solucionario-1era separata

UUNIVERSIDADNIVERSIDAD NACIONALNACIONAL DEDE INGENIERÍAINGENIERÍAFFACULTADACULTAD DEDE INGENIERÍAINGENIERÍA I INDUSTRIALNDUSTRIAL YY DEDE S SISTEMASISTEMAS

ÁREAÁREA ACADÉMICAACADÉMICA DEDE CIENCIASCIENCIAS BÁSICASBÁSICAS

TEMA: “SOLUCIONARIO SEPARATA Nº 01”

PROFESOR: CAÑOTE FAJARDO, PERCY

ALUMNOS:

Código:QUISPE SALAS, VIDAL JESÚS 20080053K

PERIODO ACADÉMICO 2010-II

LIMA-PERÚLIMA-PERÚ

1

SOLUCIONARIO SEPARATA Nº 01 FISICA MODERNA

1.- En un marco de referencia de un laboratorio, un observador nota que la segunda ley de Newton es válida. Muestre que ésta también es válida para un observador que se mueve a una velocidad constante relativa al marco de laboratorio.

Sean: S: sistema de referencia del observador que se encuentra en el laboratorio. S’: sistema de referencia del observador que se mueve a velocidad constante

relativa al laboratorio.

Se sabe que en S se cumple que:F x=max

El problema nos pide demostrar que en S’ también cumple:F ' x=m ' a ' x

Al aplicar las Transformaciones Galileanas sabemos que:

a 'x=ax

Consideramos a la masa como una cantidad invariante y que es constante en el tiempo:

m '=m

Con lo visto en los puntos anteriores, podemos afirmar que:F x=max=m' a ' x

Se considera que F x sólo depende de las posiciones relativas de m y de las partículas que interactúan con m, con esto tenemos que los ∆ x son cantidades invariantes, con esto y lo visto en los anteriores puntos tenemos que:

F x=F ' x

Con esto se queda demostrado que:F ' x=m ' a ' x

2.- Un carro de 2000 kg que se mueve a 20 m/s choca y se queda pegado a un carro de 1500 kg en reposo en un semáforo. Demuestre que el momento se conserva en un marco de referencia que se mueve a 10 m/s en la dirección del carro en movimiento.

Sean: S: sistema de referencia del observador que se encuentra en reposo. S’: sistema de referencia del observador que se mueve a velocidad constante

relativa al sistema de referencia S (v=10 m/s).

El momento de este sistema de dos partículas está dado por:po=m1 v1+m2 v2

pf=(m1+m2 )v f

El problema nos pide demostrar q en S’ se conserva el momento:p 'o=p ' f

En S se conserva el momento, así que:

2

V

Vob

V’

V’

Vob

V

po=p f

m1 v1+m2 v2=(m1+m2 ) v f Reemplazando los datos:

(2000 Kg ) (20m /s )+ (1500 Kg ) (0m /s )=(20000 Kg+15000 Kg ) v f⟹ v f=

807

m /s

⟹ po=p f=40000 Kgm/ s

En S’ tenemos que le momento del sistema seria:p 'o=m' 1 v ' 1+m'2 v '2p 'f=(m '1+m '2 )v ' f

Recordando las Transformaciones Galileanas tenemos:v ' 1=v1−vob⇒ v1=v ' 1+vobv ' 2=v2−vob⇒ v2=v ' 2+vobv ' f=v f−vob⇒ v f=v ' f+v ob

Siendo vob velocidad del observador que se encuentra en S’¿¿.

Consideramos a las masas como cantidades invariantes y que son constantes en el tiempo:

m1 '=m1 m2 '=m2

Reemplazando los datos en la conservación del momento en el sistema S:m '1 (v '1+vob )+m '2 (v '2+vob )=(m '1+m' 2) (v ' f+vob )m '1 v ' 1+m'1 vob+m '2 v '2+m' 2 vob=m '1 v 'f +m' 1 vob+m' 2v ' f+m '2 vob

⇒m '1 v '1+m' 2 v ' 2=m '1 v 'f+m' 2 v ' f

p 'o p 'f

Con esto se queda demostrado que:p 'o=p ' f

3.- Una bola se lanza a 20 m/s dentro de un vagón que se mueve sobre las vías a 40 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la bola relativa al suelo si ésta se lanza a) hacia delante, b) hacia atrás y c) fuera de la puerta lateral?

Sean: S: sistema de referencia del observador que se encuentra en reposo. S’: sistema de referencia del observador que se encuentra en el vagón del tren.

Recordando las Transformaciones Galileanas tenemos:v '=v−vob⇒ v=v '+vob

a) Hacia adelante

v '=20m /svob=40m / s⇒ v=60m /s

b) Hacia adelante

v '=−20m /svob=40m / s⇒ v=20m /s

c) Hacia el lateral

3

v=√ (v ' )2+(vob )2

3.i) Una bola se lanza a una velocidad vb dentro de un vagón que se mueve sobre las vías a una velocidad v, ¿Cuál es la velocidad de la bola relativa al suelo si ésta se lanza a) hacia delante, b) hacia atrás y c) fuera por la puerta lateral?

Sean: S: sistema de referencia del observador que se encuentra en reposo. S’: sistema de referencia del observador que se encuentra en el vagón del tren.

Recordando las Transformaciones Galileanas tenemos:v '=v−vob⇒ v=v '+vob

d) Hacia adelante

e) Hacia atrás:

f) Hacia el lateral

5.- Una nave espacial de 300 m de longitud propia tarda 0,75 s para pasar a un observador terrestre. Determine su velocidad de acuerdo a como la mide el observador en la Tierra.

Sabemos que la longitud es:L=tv

Recordando las la ecuación de la Contracción de la Longitud:

L=Lp

γ

Siendo: γ= 1

√1−v2

c2

Reemplazando los datos en las ecuaciones anteriores:

tv=Lp√1− v2

c2

(0.75×10−6 s )v= (300m ) √1− v2

(3×108m /s )2

⇒ v=24×107m /s

4

⇒ v=44.72m / s

v=√ (v ' )2+(vob )2

v=v '+vob

⇒ v=0.8c

v=v '−vob

5.i) Una nave espacial de longitud Lp propia tarda t segundos para pasar a un observador terrestre. Determine su velocidad de acuerdo a como la mide el observador en la Tierra.

Sabemos que la longitud es:L=tv


L=Lp

γ

Siendo: γ= 1

√1−v2

c2

Igualando las ecuaciones:

tv=Lp√1− v2

c2

( tvLp )2

=1− v2

c2

v2( t 2

Lp2 +

1c2 )=1

Despejando la velocidad:

6.- Una nave espacial se mueve a 0.90 c. Si su longitud es L0 cuando se mide desde el interior de la misma, ¿Cuál es su longitud medida por un observador terrestre?


L=Lp

γ

Siendo: γ= 1

√1−v2

c2

Reemplazando los datos en las ecuaciones anteriores:

L=L0 √1−(0.9c )2

c2

Resolviendo tenemos:

7.- El pión tiene una vida promedio de 26,0 ns cuando está en reposo. Para que recorra 10,0 m ¿Qué tan rápido debe moverse?

5

v=Lp c

√Lp2+c2t 2

L=0.4356 L0

La distancia que recorrerá el pión (d) será:d=v Δt

Siendo Δt ' la vida promedio del pión

Recordando la ecuación de la Dilatación del Tiempo:Δt=γ Δt '

Siendo: γ= 1

√1−v2

c2

Igualando las ecuaciones anteriores:

d=vΔt '

√1− v2

c2

⇒ d√1− v2

c2=v Δ t '

Reemplazando los datos:

(10m ) √1− v2

(3×108m / s)2=v ( 26×10−9 s)

⇒ v=2.366×108m/ s

11.- Determine el momento de un protón en unidades de MeV/c si su energía total es el doble de su energía en reposo.

Sabemos que la ecuación de la Energía Total es:

E2= (pc )2+(mc2)2

Siendo mc2 la energía en reposo

Nos dice que la Energía Total es el doble de la Energía en Reposo:

E=2mp c2

( pc )2+(m p c2 )2

=(2m p c2 )2

⇒ p=√3m p( c2

c ) Sabemos que la masa d un protón es:

m p=1.67 x ×Kg

Reemplazando los datos en la ecuación:

p=√3 (1.67×10−27Kg ) (3×108m /s)2/c

p=2.603x 10−10 J /c

Para pasar de J a Ev

1eV=1.6×10−19 J

Pasando el momento a eV/c:

6

⇒ v=0.789c

p=1627.05MeVc

12.- Muestre que la relación energía-momento E2 = p2 c2 + (mc2)2 se deriva de las expresiones E = mc2 y p = mv.

Elevando al cuadrado ambas expresiones, y multiplicamos por c2 a la del momento:

E2=γ 2m2 c4

p2 c2=γ 2m2 v2 c2

Restando ambas ecuaciones:

E2−p2c2=γ2m2c4−γ 2m2 v2 c2

E2−p2c2=γ2m2c2 (c2−v2 )

Siendo:

γ= 1

√1− v2

c2

⇒γ 2= 1

1− v2

c2

⇒γ 2= c2

c2−v2

Reemplazando en la ecuación anterior:

E2−p2c2= c2

c2−v2 m2

c2 (c2−v2 )

13.- Un protón se mueve a 0,95 c. Calcule su a) energía en reposo, b) energía total y c) energía cinética.

a) Sabemos que la Energía en Reposo es:

E=mc2

Y que la masa del protón es:

m p=1.67×10−27Kg

Reemplazando los datos en la ecuación:

E=(1.67×10−27Kg ) (3×108m / s)2

b) Sabemos que la Energía Total es:

E=γmc2

E= mc2

√1− v2

c2


7

⇒E2=(pc )2+(mc2 )2

⇒E=1.503×10−10J=939.375MeV

E=(1.67×10−27 Kg ) ( 3×108m / s )2

√1−(0.95c )2

c2

c) Sabemos que la Energía Cinética es:

K=γmc2−mc2

K=mc2( 1

√1− v2

c2

−1)Reemplazando los datos:

K= (1.67×10−27 Kg ) (3×108m /s )2( 1

√1−(0.95c )2

c2

−1)

14.- Determine la velocidad la velocidad de una partícula cuya energía total es el doble de su energía en reposo.

Sabemos que la ecuación de la Energía Total es:

E=γmc2

Siendo mc2 la energía en reposo

Nos dice que la Energía Total es el doble de la Energía en Reposo:

E=2mp c2

γmc2=2m p c2

γ=2

Sabemos que :

γ= 1

√1−v2

c2


1

√1− v2

c2

=2⇒ 12=√1− v2

c2⇒ 1

4=1− v2

c2⇒ v2

c2=3

4

Despegando v tenemos:

8

⇒E=4.814 ×10−10 J=3008.408 MeV

⇒K=3.11×10−10J=2069.033 MeV

v=0.866c

15.- Determine la energía requerida para acelerar un electrón de a) 0,50 c a 0,90c y b) 0,90c a 0,99c.

Lo que nos pide es la diferencia de energías totales de un electrón entre las velocidades inicial y final

ΔE=E f−Eo

Sabemos que la ecuación de la Energía Total es

E=γmc2⇒ mc2

√1− v2

c2

Y la masa del electrón es:

me=9.11 x 10−31Kg

a) vo=0.5c v f=0.9cReemplazando los datos:

Eo=( 9.11×10−31Kg )c2

√1−(0.5c )2

c2

Eo=( 9.11÷10−31 )c2

√1−(0.9c )2

c2

Eo=9.467×10−14 J Eo=18.810×10−14 J

Entonces la energía necesaria para acelerar el electrón será:

ΔE=18.810×10−14−9.467 x 10−14

:

b) vo=0.9c v f=0.99cReemplazando los datos:

Eo=( 9.11×10−31)c2

√1−( 0.9c )2

c2

Eo=( 9.11×10−31)c2

√1−( 0.99c )2

c2

Eo=18.810×10−14 J Eo=58.121×10−14 J

Entonces la energía necesaria para acelerar el electrón será:

ΔE=58.121×10−14 J−18.810×10−14 J:

16.- Se aceleran electrones hasta una energía de 20 GeV en el Acelerador Lineal de Stanford de 3.0 km de largo. a) ¿Cuál es el factor para los electrones? B) ¿Cuál es su velocidad? c) ¿Qué longitud tiene para ellos el acelerador?

a) La energía que alcanzan los electrones es:

E=20 x109 eV=3.2x 10−9 J

Sabemos que la Energía Total es:

9

⇒ ΔE=9.343×10−14=583.9375×103 eV

⇒ ΔE=39.311×10−14 J=2456.9375×103eV

E=γmc2

Y que la masa del electrón es:

me=9.11×10−31Kg

Igualando las ecuaciones anteriores:

γ mec2=3.2×10−9 J⇒γ=3.×10−9 J

mec2


γ= 3.2×10−9 J

(9.11×10−31Kg ) (3×108m/ s)2

b) Sabemos que:

γ= 1

√1−v2

c2

Despejando la velocidad:

v=c √1− 1γ2

Reemplazando los datos anteriores:

v=(3 x108 )√1− 1

(3.903×104 )2

v=299999999.9m /s

c) Conocemos la ecuación de la Contracción de la Longitud:

L=Lp

γ

Para los electrones es el acelerador que se mueve así que para ellos la longitud propia es la longitud del acelerador:

Ingresando los datos:

L= 3 x 103m3.903×104

17.- Un pión en reposo (m = 270 mc) decae en un muón (m = 206 mc) y un

antineutrino (mv = 0): - - + v⃗ . Encuentre la energía cinética del muón y del antineutrino en electrón volts. (Sugerencia: El momento relativista se conserva).

Conocemos la ecuación de la Energía Total, y el de la Energía Total en relación con la Energía Cinética:

E2= (pc )2+(mc2)2

10

⇒ γ=3.903×104

⇒ v=0.9999999997 c

⇒L=0.0769m

E=K+mc2

Siendo: K=γmc2

Se conserva el momento relativista:pπ=pμ+ pv

Se conserva la Energía:Eπ=Eμ+Ev

La Energía Total del pión es: Eπ=Kπ+mπ c

2

Como en el inicio el pión está en reposo (velocidad = 0), carece de energía cinética, es decir, K π es 0. Asé que sólo queda:

Eπ=mπ c2

Como el pión se encuentra en reposo inicialmente, su momento es nulo:pπ=0

La Energía Total del muón es:

Eμ=K μ+mμ c2

Eμ2=( pμ c )2+(mπ c

2 )2

Elevando al cuadrado la primera e igualando ambas ecuaciones tenemos:

(K μ )2+2mμ c2 Kμ+(mπ c

2 )2=( pμ c )2+(mπ c

2 )2

⇒ ( pμ c )2=(K μ )2+2mμ c2 Kμ

La Energía Total del antineutrón es:

E v2=( pv c )2+ (mv c

2)2

Pero la masa del antineutrón es nula (mv=0)

E v2=( pv c )2

⇒Ev=pv c

⇒ pv=Ev

c

Otra forma de hallar la Energía total es:

E v=K v+mv c2

Pero la masa del antineutrón es nula (mv=0), e igualando con la ecuación anterior:E v=K v=pvc

⇒ pv=K v

c

En la conservación del momento:

0=pμ+K v

c

Pasado al otro lado y elevando al cuadrado y luego reemplazando:

(−pμ c)2=(K v )2

(K μ )2+2mμ c2 Kμ=(K v )2

11

En la conservación de la Energía:

mπ c2=Kμ+m μ c

2+K v


(270mc )c2=Kμ+( 206mc)c2+K v

⇒K μ+K v=64 mcc2

(K μ )2+2 ( 206mc)c2 Kμ= (K v )2

⇒ (K v )2−(K μ )2=( 412mc )c2K μ

Reemplazando lo obtenido anteriormente:

(K v−Kμ ) (K v+K μ )=(412mc )c2 Kμ

(K v−Kμ ) (64mcc2 )=(412mc )c2K μ

64 mc c2K v=476mc c

2K μ

Sabemos que

mc=9.11×10−31

Operado conseguimos los valores:

19.- La salida de potencia del Sol es de 3,8 x 1026W. ¿Cuánta masa en reposo se convierte en energía cinética en el Sol cada segundo?

Sabemos que la ecuación de la Potencia es:

P=WΔt

Y que el trabajo es:W=E⇒E=P Δt

Conocemos la ecuación de la Energía Reposo:

E=mc2


(3.8×1026 J /s ¿ (1 s )=m (3×108m /s )2

20.- Una nave espacial se aleja de la Tierra a 0,50c y dispara una nave transbordadora que viaja hacia delante a 0,50 c relativas a la nave espacial. El piloto del trasbordador dispara una sonda hacia delante a una velocidad de 0,50 c relativas al trasbordador. Determine a) la velocidad del trasbordador relativa a la Tierra y b) la velocidad de la sonda relativa a la Tierra.

Aplicando las Transformaciones de la Velocidad:

12

K μ=621.9093×10−15 J=3.887×10−15 eV

K v=621.9093×10−15 J=3.887×10−15eV

⇒m=4.22×109 Kg

ux=u ' x+v

1+ux v

c2

Donde:

u'x : Velocidad del objeto respecto al sistema de referencia en movimiento.

ux : Velocidad del objeto respecto a la tierra.v : Velocidad del sistema de referencia en movimiento respecto a la tierra.

a) Aplicando esta ecuación para la nave transbordadora:

ux=0.5c+0.5c

1+(0.5c ) (0.5c )

c2

b) Aplicando esta ecuación para la nave sonda:

ux=0.5c+0.8c

1+(0.5c ) (0.8c )

c2

20.i) Una nave espacial se aleja de la Tierra a una velocidad v y dispara una nave trasbordadora que viaje hacia delante a una velocidad v relativa a la nave. El piloto del trasbordador dispara una sonda hacia delante a una velocidad v relativa al trasbordador. Determine a) la velocidad del trasbordador relativa a la Tierra y b) la velocidad de la sonda relativa a la Tierra

Aplicando las Transformaciones de la Velocidad:

ux=u ' x+v

1+u ' x v

c2

⇒ ux=c2 (u' x+v )c2+u ' x v

Donde:

u'x : Velocidad del trasbordador respecto a la nave espacial.

u' ' x : Velocidad de la sonda respecto al trasbordador.

ux : Velocidad del objeto respecto a la tierra.v : Velocidad de la nave espacial respecto a la tierra.

a) Aplicando esta ecuación para la nave transbordadora:

ux=c2 ( v+v )c2+( v×v )

b) Aplicando esta ecuación para la nave sonda:

13

⇒ux=0.8c

⇒ux=0.929c

⇒ux=2v c2

c2+v2

ux=c2(v+ 2v c2

c2+v2 )c2+v×( 2v c2

c2+v2 )Multiplicando numerador y denominador por (c2+v2) /c2

ux=v (c2+v2 )+2v c2

(c2+v2 )+2v2

21.- La reacción nuclear neta dentro del Sol es 4p 4He + E. Si la masa en reposo de cada protón es de 938,2 MeV y la masa en reposo del núcleo de 4He es de 3727 MeV, calcule el porcentaje de la masa inicial que se libera como energía.

Aplicando la ecuación de la Energía Total:

E=K+mc2

La energía que se libera es:ΔE=E p−EHe

De dato nos dan:

m p c2=938.2×106 eV

mHec2=3727×106 eV

Hallamos la energía de los 4 protones:

Ep=K p+4 mp c2

Como los protones están en reposo, la energía cinética de los protones es nula, es decir Kp=0.


Ep=4 mp c2

⇒E p=3752.8×106 eV

Hallamos la energía del núcleo de He:

EHe=KHe+4 mHec2

Como los protones están en reposo, la energía cinética de los protones es nula, es decir KHe=0.


EHe=mHe c2

⇒EHe=3727×106eV

Hallamos la diferencia de energías:

ΔE=3752.8×106 eV−3727×106 eV⇒ ΔE=25.8×106 eV

Hallamos el porcentaje:

14

⇒ux=c2 v+3v c2

c2+3 v2

d

Δt

Δt*Δt*

Δt

%E= ΔEE p

×100 %

%E= 25.8×106 eV3752.8×106 eV

×100 %

22.- Un cohete se mueve hacia un espejo a 0,80c con relación al marco de referencia S en la figura. El espejo está estacionario relativo a S. Un pulso de luz emitido por el cohete viaja hacia el espejo y se refleja de regreso al cohete. El frente del cohete está a 1,8 x 1012 m del espejo (según miden los observadores en S) en el momento en que el pulso luminoso sale del cohete ¿Cuál es el tiempo de viaje total del pulso según miden los observadores en a) el marco S, y b) el frente del cohete?

Sabemos que la velocidad del pulso de luz es de c

Sabemos que:D=v Δt

Reemplazando los datos, para hallar el tiempo que se demora en llegar el pulso de luz al espejo:

1.8×1012m=(3×108m /s) t⇒ Δt=6×103 s

Hallamos la distancia que recorre el cohete en Δt :d=0.8 (3×108m /s ) (6×103 s )⇒ d=1.44×1012m

Quedando 3.6×1011m, que serán recorridos por el pulso de luz y el cohete en un tiempo Δt ¿:

3.6×1011m=(3×108m /s ) Δt ¿+0.8 (3×108m /s)Δt ¿

⇒ Δt¿=666623s

a) El tiempo total para el observador en reposo:ΔT=Δt+Δt ¿

⇒ ΔT=6.667×103 s

b) Para el observador en el cohete, nos fijamos en la dilatación del tiempo:

ΔT=γ ΔT '⇒ ΔT '= ΔTγ

15

⇒% E=0.6875 %

d

Δt

Δt*Δt*

Δt


ΔT '=(6.667×103 s )√1−(0.8c )2

c2

22.i) Un cohete se

mueve hacia un espejo a una velocidad v con relación al marco de referencia S en la figura. El espejo está

estacionario relativo a S. Un pulso de luz emitido por el cohete viaja hacia el espejo y se refleja de regreso al cohete. El frente del cohete está a una distancia D del espejo (según miden los observadores en S) en el momento en que el pulso luminoso sale del cohete ¿Cuál es el tiempo de viaje total del pulso según miden los observadores en a) el marco S, y b) el frente del cohete?

Sabemos que la velocidad del pulso de luz es de c

Sabemos que:D=v Δt

Reemplazando los datos, para hallar el tiempo que se demora en llegar el pulso de luz al espejo:

D=c Δ t

⇒ Δt=Dc

Hallamos la distancia que recorre el cohete en Δt :d=v Δt

⇒ d= vDc

Quedando D−d, que serán recorridos por el pulso de luz y el cohete en un tiempo Δt ¿:

D− vDc

=c Δt ¿+v Δt ¿

16

S Espejo

V = 0,8 c

0

⇒ ΔT '=4×103 s

⇒ Δt¿=D ( c−v )c (c+v )

c) El tiempo total para el observador en reposo:

ΔT=Δt+Δt ¿⇒ Dc

+D ( c−v )c (c+v )

⇒ Dc (1+ c−v

c+v ) ⇒ ΔT= 2D

c+v

d) Para el observador en el cohete, nos fijamos en la dilatación del tiempo:

ΔT=γ ΔT '⇒ ΔT '= ΔTγ


ΔT '= 2 Dc+v √1− v2

c2

25.- Imagine una nave espacial que parte de la Tierra moviéndose a velocidad constante hacia el todavía no descubierto planeta Retah, el cual se encuentra a 20 horas luz de la Tierra. Se requieren 25 h (de acuerdo con un observador terrestre) para que la nave llegue q este planeta. Suponiendo que los relojes sobre la tierra y en la nave espacial están sincronizados al principio del viaje, compare el tiempo transcurrido en el marco de la nave espacial para un trayecto de ida con el tiempo transcurrido en el marco de la Tierra.

La distancia entre Retah y la Tierra es de:d= (20h ) c

Sabemos que:d=v Δt

Reemplazando datos y comparando ambas ecuaciones tenemos:(20h ) c=v (25h )⇒ v=0.8c

Aplicando la ecuación de la Dilatación del Tiempo:Δt=γ Δt '

Siendo: γ= 1

√1−v2

c2


(25h)= Δt '

√1−(0.8c )2

c2

Ambos relojes difieren en 10 h!

17

⇒ ΔT '=2 D√c2−v2

c (c+v )

⇒ Δt '=15h

26.- Considere dos marcos de referencia inerciales S y S’, donde S’ se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 0,60c relativa a S. Un regla de 1,0 m de longitud propia se mueve desde la izquierda hacia los orígenes de S y S’, y la longitud de la misma es de 50 cm cuando mide un observador en S’ a) Determine la velocidad de la regla de acuerdo a como la miden observadores en S y S’ b) ¿Cuál es la longitud de la regla cuando la mide un observador en S?


L=Lp

γ

Siendo: γ= 1

√1−v2

c2

Y las ecuaciones de Transformación de Velocidades:

ux=u ' x+v

1+u ' x v

c2

a) En el sistema S’ que se encuentra en movimiento a una velocidad V*=0.6c, para este sistema se toma como si estuviera en reposo y solo es la regla la que se mueve. Entonces tenemos la ecuación reemplazando los datos:

0.5m=(1m ) √1−( v ' )2

c2

Escogemos el valor negativo, ya que la regla se mueve en dirección contraria al sistema S’

Recordemos que la longitud propia siempre va a ser la misma en cualquier sistema de referencia

Ahora en el sistema de referencia S, con la ecuación de Transformación de las Velocidades:

v= v '+v¿

1+v ' v¿

c2


v=(−√3

2c)+(0.6c )

1+(−√3

2c) (0.6c )

c2

Nos sale el valor negativo, ya que la regla se mueve en dirección al origen del sistema S.

19

⇒ v '=−√32

c=−¿0.866 c

⇒ v=15−32√373

c=−0.554 c

b) Ingresando los datos a la educación de la Contracción de la Longitud:

L=(1m ) √1−(15−32√3

73c)

2

c2

26.i) Considere dos marcos de referencia inerciales S y S’, donde S’ se mueve hacia la derecha con una velocidad constante v relativa a S. Un regla de longitud propia Lp se mueve desde la izquierda hacia los orígenes de S y S’, y la longitud de la misma es L’ cuando la mide un observador en S’ a) Determine la velocidad de la regla de acuerdo a como la miden observadores en S y S’ b) ¿Cuál es la longitud de la regla cuando la mide un observador en S?


L=Lp

γ

Siendo: γ= 1

√1−v2

c2


ux=u ' x+v

1+u ' x v

c2

c) En el sistema S’ que se encuentra en movimiento a una velocidad V, para este sistema se toma como si estuviera en reposo y solo es la regla la que se mueve:

L'=Lp√1−(v ' )2

c2

⇒ v '=(±√1−(L 'Lp)

2)c

Escogemos el valor negativo, ya que la regla se mueve en dirección contraria al sistema S’

Recordemos que la longitud propia siempre va a ser la misma en cualquier sistema de referencia

Ahora en el sistema de referencia S, con la ecuación de Transformación de las Velocidades:

v¿= v '+v

1+ v ' vc2

20

⇒L=0.693m

⇒ v '=(−√Lp2−L '2 ) c

Lp


v¿=(−√Lp

2−L' 2) cLp

+v

1+(−√Lp

2−L' 2 ) cLp

(v )

c2

d) Ingresando los datos a la educación de la Contracción de la Longitud:

L=(Lp )√1−( (−√Lp

2−L' 2) c2+cv Lp

c Lp+(−√Lp2−L '2 ) v )

2

c2

Elevando al cuadrado y resolviendo:

Sea x=√Lp2−L '2

L=(Lp )√1−(Lp

2 c2−L '2 c2)+(v2Lp2 )−2xcv Lp

(c2 Lp2)+(Lp

2 v2−L '2 v2 )−2xcv Lp

⇒L= (Lp )√ [(c2Lp2 )+(Lp

2 v2−L' 2 v2 )−2 xcv Lp ]−[(Lp2c2−L '2 c2 )+(v2Lp

2 )−2xcv Lp ](c2 Lp

2 )+(Lp2 v2−L '2 v2 )−2 xcv Lp

Simplificando:

L=(Lp )√ L '2 (c2−v2 )(c2Lp

2 )+(Lp2 v2−L' 2 v2 )−2xcv Lp

27.- Dos cohetes están a punto de chocar. Se mueven a 0,800c y 0,600c y están al principio separados por 2,52 x 1012 m de acuerdo a una medición efectuada por Liz, la observadora terrestre en la figura. Los dos cohetes miden 50,0 m de largo según Liz. a) ¿Cuáles son sus longitudes propias respectivas? b) ¿Cuál es la longitud de cada cohete medida por un observador en el otro cohete? c) De acuerdo con Liz, ¿Cuánto tiempo falta para que los cohetes choquen? d) En relación con el cohete 1, ¿Cuánto tardan en

21

Cohete1 Cohete 2 0,800c 0,600c

2,52 x1012m

Liz

⇒ v¿=(−√Lp

2−L' 2) c2+cv Lp

c Lp+(−√Lp2−L' 2 )v

⇒(Lp L' )

c Lp+(−√Lp2−L' 2 )v

√(c2−v2 )

chocar los cohetes? e) En relación con el cohete 2, ¿Cuánto tardan en chocar los cohetes? f) Si ambas tripulaciones de los cohetes son capaces de realizar la evaluación total en 90 min (su tiempo propio), ¿Habrá algunas víctimas?


L=Lp

γ⇒ Lp=γL

Siendo: γ= 1

√1−v2

c2


ux=u ' x+v

1+ux v

c2

a) Reemplazando los datos para cada cohete:

L1 p=50m

√1−( 0.8c )2

c2

L2 p=50m

√1−(0.6c )2

c2

b) Usando las ecuaciones de las transformaciones de la velocidad:

u ' x=ux−v

1−ux v

c2

Reemplazando los datos para cada cohete:

u '1 x=(−0.6c )−(0.8 c )

1−(−0.6 c ) (0.8c )

c2

u '2 x=(−0.8c )−(0.6 c )

1−(−0.8 c ) (0.6c )

c2

⇒u ' 1x=−3537

c=−0.946c ⇒u ' 2x=−3537

c−0.946c

Por la contracción de la longitud:

L1/2=(83.33m)√1−(−0.946c )2

c2

L2/1=(62.5m)√1−(−0.946c )2

c2

c) La distancia que ambos cohetes recorrerán es de:d=v1t+v2t


2.52×1012m=(0.8c )t+(0.6c ) t

22

⇒L1 p=83.33m ⇒L2 p=62.5m

⇒L1 /2=27.027 m ⇒L2 /1=20.27 m

⇒ t=6×103 s

d) Por la contracción de la longitud:

L'=Lp

γ


L'=(2.52×1012m )√1−(0.8c )2

c2

⇒L'=1.512×1012m

Ahora par que llegue el cohete 2:

L'=u '1 x t '


1.512×1012m=(0.946c )t '

e) Por la contracción de la longitud:

L' '=Lp

γ


L' '=(2.52×1012m )√1−(0.6c )2

c2

⇒L'=2.016×1012m

Ahora par que llegue el cohete 2:

L' '=u' 2x t ' '


2.016×1012m=(0.946c ) t'

23

⇒ t '=5328 s

⇒ t ' '=7104 s

solucionario-1era separata

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