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Aula 11
“Root Locus – LGR”(Lugar Geométrico das Raízes)
parte I
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
G(s)
G(s)
)s(G
Sistema de malha fechada
Sistema de malha fechada
O “Root Locus” é o lugar geométrico dos polos do sistema de malha fechada, quando K varia.
Aqui vamos fazer sempre para K > 0, mas também é possível construir o “Root Locus” para K < 0 ou para -∞ < K < ∞.
K
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Mas o “Root Locus” é na verdade o lugar geométrico dos polos, ou seja, das raízes da equação característica, do sistema de malha fechada
Logo, o “Root Locus” é traçado no plano complexo
Ou seja, a parte de cima é um espelho da parte de baixo
Plano
Complexo
eixo real
eixo
imaginário
0
jω
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
“Root Locus” (RL) = Lugar Geométrico das Raízes (LGR)
É fácil de observar que o “Root Locus” é SIMÉTRICO em relação ao eixo real
Como já sabemos, a “função de transferência” de malha fechada (FTMF) do sistema é dada por
1 + G(s)⋅H(s) = 0
)s(H)s(G1
)s(G.T.F
+=
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e os polos de malha fechada deste sistema são as raízes da equação característica da FTMF
É fácil de mostrar que estas raízes da equação característicada FTMF são as mesmas raízes que
1 + G(s)⋅H(s) = 0
e depois calcula-se as raízes do numerador.
Estas serão raízes da equação característica da FTMF sem a necessidade de calcular a FTMF
Na verdade, a equação característica desta FTMF é justamente o numerador de
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 + G(s)⋅H(s)
Ou seja, calcula-se a expressão
)4s(
)1s2(K
−+⋅
s
1
s)4s(
)1s2(K1)s(H)s(G1
−+⋅+=+
Observe que:
Exemplo 1:
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
s)4s(
Ks)4K2(s)s(H)s(G1
2
−+−+=+
logo,
e portanto, a equação característica da FTMF é dada por:
0Ks)4K2(s2 =+−+
que poderia igualmente ser obtida (embora com um pouco mais de contas) através do denominador da FTMF, que é dada por:
Ks)4K2(s
s)1s2(KFTMF
2 +−++=
Exemplo 1 (continuação)
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
)5s(
)2s(K
+−⋅
)5s(
)K25(s)1K(
+−++=
Exemplo 2:
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
)5s(
)2s(K1)s(H)s(G1
+−⋅+=+
Observe que:
Vamos fazer o Root Locus do sistema M.F.
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 2 (continuação)
Logo, a equação característica do sistema M.F. é:
0)K25(s)1K( =−++e o único polo de M.F. é:
)1K(
)5K2(s
+−=
)5s(
)2s(K
+−⋅
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Portanto, o Root Locus deste sistema é o lugar geométrico de s
)1K(
)5K2(s
+−=
no plano complexo, quando varia-se o K, para K > 0.
Exemplo 2 (continuação)
)5s(
)2s(K
+−⋅
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0x o
eixo real
se K = 0
2–5
s→ +2
s = –5
se K →∞
Portanto, é fácil de observar que o Root Locus deste sistema é o segmento de reta no eixo real entre –5 e +2, isto é [–5 ,+2].
Observe que:
Exemplo 2 (continuação)
eixo
imaginário
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
eixo real
K→∞K → 0
Na verdade, o segmento de reta que vai de –5 para 2, quando K vai de 0 a ∞.
e note que K = 2,5 quando s = 0.
K = 2,5
Exemplo 2 (continuação)
0x o
eixo real 2–5
eixo
imaginário
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Como este sistema de M.F. é de 1ª ordem,
o único polo de M.F. é real,
e portanto,
este Root Locus fica inteiramente localizado no eixo real.
Exemplo 2 (continuação)
eixo real
K→∞K → 0 K = 2,5
0x o
eixo real 2–5
eixo
imaginário
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O Root Locus permite-nos ver que
para K < 2,5 ⇒ o sistema M.F. é estável,
pois neste caso o único polo M.F. estará no SPE, enquanto que
para K ≥ 2,5 ⇒ o sistema M.F. não é estável.
Exemplo 2 (continuação)
eixo real
K→∞K → 0 K = 2,5
0x o
eixo real 2–5
eixo
imaginário
3s2s
K2 −+
Exemplo 3:
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3s2s
)3K(s2s2
2
−+−++=
)3s()1s(
K1)s(H)s(G1
+−+=+
Observe que:
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 3 (continuação)
Logo, a equação característica do sistema M.F. é:
0)3K(s2s 2 =−++e os 2 polos de M.F. são:
K41s −±−=
3s2s
K2 −+
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 3 (continuação)
Portanto, o Root Locus deste sistema é o lugar geométrico de s
K41s −±−=
3s2s
K2 −+
no plano complexo, quando varia-se o K, para K > 0.
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
se K = 0 s = –3 e s = 1
Observe que:
0x
eixo real 1–3
K = 0K = 0
x
Exemplo 3 (continuação)
eixo imaginário
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
se K < 4 polos reaisalém disso:
K41s −±−=
se K = 4 polos reais e duplos1s −=
0x
eixo real 1–3
K = 0K = 0 K = 4
x
–1
Exemplo 3 (continuação)
eixo imaginário
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
se K = 3 o Root Locuspassa pela origem0s =
e ainda:
0x
eixo real 1–3
K = 0K = 0 K = 4
x
–1
K = 3
Exemplo 3 (continuação)
eixo imaginário
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
se K > 4 complexos
conjugados4Kj1s −±−=
Mas este Root Locus não fica restrito ao eixo real, pois
K →∞
K →∞
0x
eixo real 1–3
K = 0K = 0 K = 4
x
–1
K = 3
Exemplo 3 (continuação)
eixo imaginário
com parte real = –1e a parte imaginária variando de 0 a ∞.
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0x
eixo real 1–3
K = 0K = 0
x
–1
K = 3
Resumindo, …
K = 4
K →∞
K →∞
Este Root Locus tem 2 ramos
E mostrando os 2 ramos deste Root Locus com cores diferentes, como faz o Matlab…
Exemplo 3 (continuação)
eixo imaginário
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0x
eixo real 1–3
K = 0K = 0
x
–1
K = 3K = 4
K →∞
K →∞
E mostrando os 2 ramos deste Root Locus com cores diferentes, como faz o Matlab…
Exemplo 3 (continuação)
eixo imaginário
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O Root Locus permite-nos ver que para K ≤ 3 ⇒⇒ o sistema M.F. não é estável,
enquanto que para K > 3 ⇒ o sistema M.F. é estável, pois neste caso os 2 polos M.F. estarão no SPE.
Exemplo 3 (continuação)
0x
eixo real 1–3
K = 0K = 0
x
–1
K = 3K = 4
K →∞
K →∞
eixo imaginário
Note que o “Root Locus” depende apenas do produto G(s)⋅H(s) e não de G(s) ou de H(s) separadamente.
Portanto, se os 2 sistemas de malha fechada abaixo
então os “Root Locus” destes dois sistemas serão o mesmo
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
satisfazem
G1(s)⋅H1(s) = G2(s)⋅H2(s)
é chamada de função de transferência do sistemaem malha aberta (FTMA).
G(s)⋅H(s)(FTMA)
é como malha fosse aberta aquitornando-se aberta
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
A expressão
G(s)⋅H(s)
são chamados de polos e zeros de malha aberta.
m = número de zeros de malha aberta
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Portanto, os polos e zeros de
G(s)⋅H(s)
Vamos chamar de n e m o número de polos e zeros de G(s)⋅H(s), respectivamente
ou seja:
n = número de polos de malha aberta
A seguir vamos apresentar 8 regras que auxiliarão na elaboração do esboço do “Root Locus” para um sistema de malha fechada
com FTMA dada por G(s)⋅H(s).
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regras para a construção do “Root Locus”
Regra #1
Número de ramos
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #1 – Número de ramos
O número de ramos n de um “Root Locus” é o número de polos de malha aberta, ou seja, o número de polos
de G(s)⋅H(s).
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
n = nº ramos = nº polos de G(s)⋅H(s)
Regra #2
Intervalos com e sem “Root Locus” no eixo real
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #2 – Intervalos com e sem “Root Locus” no eixo real
ou seja, se houver um número ímpar de polos e zeros reais de G(s)⋅H(s) a direita de s.
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Um ponto s no eixo real pertencerá ao “Root Locus” se houver um número ímpar de polos e zeros reais de malha
aberta a direita de s.
0xxx x xx o oo o
0xx xo ox o
Exemplo 4:
eixo real
eixo real
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aplicação da Regra #2 –
Intervalos com e sem “Root Locus” no eixo real
0
x
x
x
xx ooo o
0xx xo ox o
x
x
o
o
eixo real
eixo real
Exemplo 4 (continuação)
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aplicação da Regra #2
x– 2
xx– 3 – 1 0
Exemplo 5: Aplicação da Regra #2 –
Intervalos com e sem “Root Locus” no eixo real
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Considere o sistema de M.F. no qual
)3s()2s()1s(
K)s(H)s(G
+++=
eixo real
Regra #3
Pontos de início e término dos ramos do “Root Locus”
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #3 – Pontos de início e término dos ramos do “Root Locus”
ou seja, começam nos n polos de G(s)⋅H(s)
e os restantes: (n – m) ramos do “Root Locus” terminam no infinito (∞)
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Os n ramos do “Root Locus” começam nos n polos de malha aberta
ou seja, terminam nos m zeros de G(s)⋅H(s)
m dos n ramos do “Root Locus” terminam nos m zeros de malha aberta
Regra #3 – Pontos de início e término dos ramos do “Root Locus”
Logo, se o número de polos de malha aberta for igual ao número de zeros de malha aberta, então nenhum ramo
termina no infinito (∞)
(continuação)
i.e., a diferença entre o número de polos e zeros de G(s)⋅H(s)
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Note que (n – m) é a diferença entre o número de polos de
malha aberta n e o número de zeros de malha aberta m
Se n = m então (n – m) = 0, e portanto nenhum ramo
termina no infinito (∞)
Regra #4
Assíntotas no infinito
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #4 – Assíntotas no infinito
Para os (n – m) ramos do “Root Locus” que não terminam nos m zeros de malha aberta, isto é, os m zeros finitos de G(s)⋅H(s), pode-se determinar a direção que eles vão para o infinito no plano complexo.
)mn(
)1i2(º180
−+⋅=γ L,2,1,0i =
γ = ângulo da assíntota com o eixo real
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #4 – Assíntotas no infinito
n – m γ = ângulo da assíntota com o eixo real
1 180º
2 90º e –90º
3 60º, –60º e 180º
4 45º, –45º, 135º e –135º
5 36º, –36º, 108º, –108º e 180º
6 30º, –30º, 90º, –90º, 150º e –150º
: : :: : :
Aplicando-se a fórmula obtém-se a tabela abaixo:
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(continuação)
Regra #5
Pontos de interseção das assíntotas com o eixo real
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #5 – Pontos de interseção das assíntotas com o eixo real
)mn(
)zRe()pRe(n
1i
m
1j
ji
o −
−
=σ∑ ∑
= =
As (n – m) assíntotas no infinito ficam determinadas pelas suas direções (ângulos γ) e pelo ponto onde eles se encontram no eixo real, σo dado pela expressão:
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #6
Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #6 – Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
0ds
dK =
Primeiro constrói-se a equação
1 + G(s)⋅H(s) = 0,
e daí obtém-se uma expressão para K em função de s:
K(s)
então calcula-se a derivada de K em relação a s, dK/ds
obtém-se os pontos s do eixo real onde há encontro de ramos
Agora, através da equação abaixo em s
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #6 – Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
0ds
dK =
maior que o número de pontos de encontro de ramos no eixo real
A equação em s
É necessário cancelar as soluções que não sejam pontos pertencentes ao “Root Locus”
s = s1 s = s2 s = s3 s = s4 s = s5 … … …
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(continuação)
em geral tem um número de soluções
s = s1 s = s2 s = s3 s = s4 s = s5 … … …
eixo real
Quando há encontro de ramos no eixo real pode ser ramosque se encontram e ENTRAM no eixo real ou ramos que se encontram e PARTEM do eixo real.
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #6 – Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
(continuação)
Para um ponto
s = s’
onde há encontro de ramos no eixo real,
calculamos a segunda derivada de K(s) em s = s’
s's2
2
ds
Kd
=
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #6 – Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
(continuação)
eixo real
⇒ 2 ramos que se encontram e PARTEM do eixo real
s’
0ds
Kd
s's2
2
<=
Se
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #6 – Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
(continuação)
eixo real
⇒ 2 ramos que se encontram e ENTRAM no eixo real
s’
0ds
Kd
s's2
2
>=
Se
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #6 – Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
(continuação)
eixo real
⇒ mais de 2 ramos que se encontram neste ponto ⇒ prosseguir para Regra #7 – Encontro de mais de dois ramos
s’
0ds
Kd
s's2
2
==
Se
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #6 – Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
(continuação)
Exemplo 6: Aplicação da Regra #6 –
Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Retornando ao Exemplo 1, fazendo
0s)4s(
)1s2(K1)s(H)s(G1 =
−+⋅+=+
tem-se que:
)1s2(
s)4s(K
+−−=
e portanto:
0)1s2(
)2ss(2
ds
dK2
2
=+
−+=s = –2
s = 1
Logo, s = 1 e s = –2 são os pontos onde há encontro de ramos
Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Logo, os pontos onde há encontro de ramos são
1)1s2(
s)4s(K
1s
=+
−−==
Para se saber o valor de K em cada um destes pontos
é necessário substituí-los (s = 1 e s = –2) na expressão
de K
4)1s2(
s)4s(K
2s
=+
−−=−=
s = 1 (K = 1) e
s = –2 (K = 4)
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
eixo reals’’= –2 s’= 1
K = 1K = 4
Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6
os pontos onde há encontro de ramos são
s = 1 (K = 1) e
s = –2 (K = 4)
0
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6
Agora para se saber se cada um destes encontro de ramossão de ramos que CHEGAM ou de ramos que PARTEM, é necessário calcular a segunda derivada
32
2
)1s2(
18
ds
Kd
+−=
substituindo-se pelos pontos onde há encontro de ramos:
s = 1 e s = –2
03
2
)1s2(
18
ds
Kd
1s1s32
2
<−=+
−===
03
2
)1s2(
18
ds
Kd
2s2s32
2
>+=+
−=−=−=
ramos que PARTEM
do eixo real
ramos que ENTRAM
no eixo real
Logo, os pontos onde há encontro de ramos são:
s = 1 (K = 1) ramos que PARTEM do eixo real
s = –2 (K = 4) ramos que ENTRAM no eixo real
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6
eixo reals’’= –2 s’= 1
K = 1K = 4
0
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 7: Aplicação da Regra #6 –
Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
)3s()2s()1s(
K)s(H)s(G
+++=
então
0)3s()2s()1s(
K1)s(H)s(G1 =
++++=+
6s11s6s
)3s()2s()1s(K
23 −−−−=
+++−=
11s12s3ds
dK 2 −−−=
Retornando ao Exemplo 5
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 7 (continuação) Aplicação da Regra #6
logo, fazendo
011s12s3 2 =−−−0ds
dK =
s = –1,423
s = – 2,58
x– 2
xx– 3 – 1 0
agora, observando os intervalos com e sem“Root Locus” no eixo real (exemplo 5)
concluímos que somente uma das soluções,
s = –1,423está numintervalo com“Root Locus”
eixo real
Regra #7
Encontro de mais de dois ramos
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #7 – Encontro de mais de dois ramos
0ds
Kd
s's2
2
==
Na aplicação da regra anterior se
isto significa que há encontro de mais de dois ramos e tem que se continuar a derivar K(s) para derivadas de ordem mais altas
k
k
ds
KdL,5,4,3k =
até que
0ds
Kd
s'sη
η
≠=
para algum η
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #7 – Encontro de mais de dois ramos
isto significa que há encontro de η ramos em s’
0ds
Kd
s's
≠=
η
η
Se
ou seja, η ramos CHEGAM e η ramos PARTEM em s’
0ds
Kd
s'sk
k
==
e para ∀ k < η
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(continuação)
O encontro de 3 ramos ou mais não é muito comum Certamente ocorre com menos frequência que o encontro de 2 ramos (Regra #6) Portanto esta Regra #7 não é sempre utilizada. Somente naqueles casos em que, ao aplicar a Regra #6, nós encontrarmos
0ds
Kd
s's2
2
==
eixo reals’
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Regra #7 – Encontro de mais de dois ramos
3 ramos CHEGAM
e 3 ramos PARTEM
em s’
Um encontro de 3 ramos em s’ pode ter o seguinte aspeto
(continuação)
Regra #7 – Encontro de mais de dois ramos
eixo reals’
4 ramos CHEGAM
e 4 ramos PARTEM
em s’
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(continuação)
Um encontro de 4 ramos em s’ pode ter o seguinte aspeto
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 8: Aplicação da Regra #7 –
Encontro de mais de dois ramos
)1s(
K)s(H)s(G
3 −=
1sK 3 +−=
0s3ds
dK 2 =−=
0)s(H)s(G1 =+
s’ = 0
0s6ds
Kd0s
0s2
2
=−= ==
aplicar Regra #7(a começar pela
derivada de 3ª ordem)
eixo reals’= 0
3 ramos CHEGAM
e 3 ramos PARTEM
em s’= 0
Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 8 (continuação) Aplicação da Regra #7
06ds
Kd
0s3
3
≠−==
encontro de 3 ramos em s’ = 0
1
–0,5 + 0,866j
–0,5 – 0,866j
x
x
x
K = 0K = 0
K = 0
K = 1
K = ∞
K = ∞
K = ∞
Este exemplo apenas ilustra a aplicação da Regra #7Para fazer o esboço deste “Root Locus” completo é necessário aplicar todas as regras