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“Transformadas z”

Aula 06

Na análise de sistemas contínuos por vezes é mais vantajoso o uso da frequência

complexa ‘s’.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

No caso de sistemas discretos, uma ferramenta bastante comum usada para passar um sinal no domínio do tempo para o domínio da frequência é a Transformada z.

A Transformada z também faz o uso de uma frequência complexa que neste caso

é ‘z’.

Portanto, as Transformada z são uma espécie de Transformadas de Laplace para sistemas discretos.

As Transformadas z são baseadas em séries de potências, nas “Séries de Laurent”, publicadas em 1843 pelo matemático francês Pierre Alphonse Laurent (1813-1854).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Mas, tudo indica que, embora não tivessem sido publicadas anteriormente, estas séries já tinham sido desenvolvidas dois anos antes, em 1841, por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), um matemático alemão que frequentemente é citado como sendo o pai da análise moderna.

As séries de Laurent são uma representação de um sinal por séries de potências, generalizando a conhecida expansão em séries de Taylor para casos em que esta não pode ser aplicada.

As Transformadas z têm grande importância nos métodos actuais de análise de sistemas de controlo discreto, em processos de amostragem, no processamento de sinais digitais, etc.

As séries de Taylor tinham sido criadas pelo matemático inglês Brook Taylor (1685-1731).

Brook Taylor (1685–1731)

Karl Weierstrass (1815–1897)

Pierre Alphonse Laurent (1813–1854)

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Da expansão em série de Taylor sabemos os seguintes resultados clássicos:

ν∀ν= ∑∞

=

ν ,!n0n

n

eeq. (6.1)

1,1,n

)1()1(log

1n

n1n

−≠ν<νν⋅−=ν+ ∑∞

=

+eq. (6.2)

resultados que serão utilizados mais adiante.

Como trataremos de séries de potência infinitas, será útil relembrar aqui nesta introdução a conhecida fórmula do limite da soma de ‘progressões geométricas’

(P.G.) de razão q ≠ 0.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Isto é, se

xn = { a1 : a2 : a3 : … : an : … } = { a1 : a1q : a1q2 : a1q

3 : … },

ou seja,

an+1 = an ⋅ q , ∀n = 1, 2, 3, … ;

ou, equivalentemente

an = a1 ⋅ qn-1 , ∀n = 1, 2, 3, …

A soma Sn dos n primeiros termos da P.G. é dada por:

∑=

=⋅++⋅+=n

0kk

nn aqaqaaS 111 L

eq. (6.3)

)1q(

)1q(aS

n

n1

−−⋅=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Outro resultado conhecido é o limite da série infinita abaixo:

20n

n

)1(n432 432

α−α=α⋅=+α⋅+α⋅+α⋅+α ∑

+∞

=L eq. (6.5)

–1 < α < 1 ,

enquanto que, se a P.G. for ilimitada (ou infinita) e a razão q satisfaz

, isto é

–1 < q < 1 ,

então, a soma S de todos os termos é dada por:

∑∞

==+⋅+⋅+⋅+=

0nnaqaqaqaaS 3

1

2

111 L

eq. (6.4))q1(

aS 1

−=

Transformadas z definição

Z { x[n] } ou X(z)

Transformada zunilateral (para n ≥ 0)

{ } n

0n

z]n[x)z(X]n[x −+∞

=⋅== ∑Z

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

eq. (6.6)

∀

=

=−

=

−=

=

ndevaloroutro,0

2nse,4

1nse,2

0nse,3

1nse,5

]n[x

]2n[u4]1n[u2]n[u3]1n[u5]n[x 0ooo −+−−++=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21 z4z23)z(X −− +−=

Note que o termo com

valor 5, para

n = –1desaparece pois está à esquerda da origem.

Exemplo 6.1:

Transformadas z da exponencial discreta

Sinal x[n] = an⋅u1[n] (exponencial discreto)

]n[ua]n[x 1

n ⋅=

{ })za1(

1)z(X]n[ua

11n

−⋅−==⋅Z

{ })az(

z)z(X]n[ua 1

n

−==⋅Z

ou

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

eq. (6.7)

eq. (6.8)

Usando a definição eq. (6.6) vemos que a Transformada z deste sinal é:

n

0n

n

0n

n )za(z]n[ua)z(X 1

1 ∑∑∞

=

−∞

=

−⋅=⋅⋅=

Transformadas z do degrau discreto

Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto)

{ })1z(

z)z(X]n[u1 −

==Z

ou

x[n] = u1[n]

{ })z1(

1)z(X]n[u

11 −−==Z

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

eq. (6.9)

caso particular de a = 1 no sinal anterior (exponencial)

Logo, do resultado obtido no sinal anterior, obtemos que a Transformada z do degrau unitário discreto u1[n] é:

]n[u3

12]n[u

2

15]n[x 11

nn

⋅

⋅−⋅

⋅=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.2:

A Transformada z deste sinal é:

{ }

∑ ∑

∑ ∑

∑

∞+

=

∞

=

−−

∞+

−∞=

∞

−∞=

−−

−∞+

−∞=

⋅⋅−

⋅⋅=

⋅⋅

−⋅⋅

=

⋅

⋅

⋅−⋅

⋅=

==

0n 0n

11

n n

1

n

1

n

11

nn

nnn

nnn

z3

12z

2

15

z]n[u3

12z]n[u

2

15

z]n[u3

12]n[u

2

15

)z(X]n[xZ

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Então, usando eq. (6.4) para cada uma destas 2 somas, temos:

11 z3

11

2

z2

11

5)z(X

−− −−

−=

eq. (6.10)

∑∞+

=

−

⋅0n

1

n

z2

1∑

∞

=

−

⋅0n

1

n

z3

1

Note que

e

são 2 somas de progressões geométricas e que as mesmas têm a1

(primeiro elemento) e q (razão) respectivamente iguais a

a1 = 1

1z2

1q −⋅=

a1 = 1

1z3

1q −⋅=e

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Usando as equações eq. (6.7) para a = ½ e a = 1/3, descobre-se que:

−=

−=

⋅

−

2

1z

z

z2

11

1]n[u

2

1

11

n

Z

e que

−=

−=

⋅

−

3

1z

z

z3

11

1]n[u

3

1

11

n

Z

e logo, o resultado obtido na eq. (6.10) acima significa que:

⋅

⋅−

⋅

⋅=

=

⋅

⋅−⋅

⋅

]n[u3

12]n[u

2

15

]n[u3

12]n[u

2

15

11

11

nn

nn

ZZ

Z

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Este resultado obtido se dá devido à propriedade da linearidade da Transformada z, à semelhança das Transformadas de Laplace no capitulo 5, e será visto mais adiante na seção 6.9 (Propriedades da Transformada z).

Agora, continuando os cálculos a partir da eq. (6.10) temos que:

{ }

−

−

−

=−−

−

11

1

z3

11z

2

11

z3

23

]n[xZ

que também equivale a:

{ }

−

−

−⋅

=

3

1z

2

1z

3

2z3z

]n[xZeq. (6.11)

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.3:

Considere a Transformada z do sinal exponencial x[n] = an⋅u1[n] já vista nas eq. (6.7) e eq. (6.8), ou seja,

.az

z

az1

1)z(X

1 −=

−= − eq. (6.12)

Fazendo a divisão de z por (z – a) temos que:

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Logo,

L+++=−

= −− 221 zaaz1az

z)z(X

Comparando com eq. (6.6), a definição de Transformada z, temos

≥∀

===<

=

0npara,a

2npara,a

1npara,a

0npara,1

0npara,0

]n[x

n

2

M

e portanto,

n1x[n] a u [n]= ⋅

que de facto corresponde ao sinal x[n] que tem como Transformada z este X(z) da

eq. (6.12).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Pólos discretos

Conforme visto no capítulo anterior [na seção 5.8, eq. (5.20) ], uma fração racional é uma fração em que ambos o numerador e o denominador são polinómios:

)z(q

)z(p

)s(q

)s(pou

As raízes do polinómio do denominador [ q(s) ou q(z) ] são chamados de “pólos”.

A Transformada z do sinal x[n] do Exemplo 6.2, dada pela eq. (6.11), é uma fração

racional cujos pólos são:

2

1=z e3

1z =

As Transformadas z dos sinais x[n] = an⋅u1[n] e x[n] = u1[n], dadas pelas eq. (6.8) e eq. (6.9) , são frações racionais cujo único pólo é:

z = a

no caso eq. (6.8), e

z = 1

no caso eq. (6.9).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.4:

Considere o sinal discreto da exponencial truncada

≥∀<∀

<<−≤≤=

Nn,0n,0

1a0,1Nn0,a]n[x

n

que encontra-se esboçado na figura abaixo:

0 < a < 1

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


( )n

0n

n

0n

n

0n

1N1

1Nn

n

za

za

za)z(X

∑

∑

∑

−−

−

=

−

=

−+∞

=

⋅=

=⋅=

=⋅= e portanto X(z) é a soma SN dos Nprimeiros termos da progressão

geométrica com o primeiro termo a1 = 1e a razão

( )1zaq −⋅=

Logo, usando a eq. (6.3) tem-se que ( )

( )( )

( )( ) 1N

NN

1

NN

1

N

z

1

az

az

1az

1az

1za

1za)z(X

1

−

−

−

−

⋅−−=

−−⋅=

=−⋅

−⋅=−

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Em principio esta Transformada z parece ter um pólo em z = a e (N–1) pólos em

z = 0 (ou seja, pólos múltiplos na origem).

Entretanto, analisando agora o numerador desta Transformada z

0az NN =−ou seja

NN az =

que nos dá a seguinte solução:

1N,,...2,1,0k,azk

N2

j

−=⋅=

π

e

que são N pontos igualmente espaçados no círculo de raio a, e são as raízes (ou zeros) do numerador desta Transformada z.

Portanto, para k = 0 na equação eq. (6.13) acima temos que:

z = a.

Ou seja, z = a é um pólo e um zero do numerador ao mesmo tempo.

Logo eles se cancelam e esta Transformada z só tem (N – 1) pólos em z = 0.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta)

]n[un

]n[u]n[x

1

2

⋅=

=

tem a seguinte Transformada z:

L++++=

=⋅=

−−−

−∑+∞

=321

n

z3z2z0

zn)z(X0n

que é uma série infinita do tipo da eq. (6.5) com α = z–1.

{ } ( ) 21

1

z1

z)z(X]n[un 1 −

−

−==⋅Z

ou

{ } ( ) 21z

z]n[un 1 −

=⋅Z

Logo, usando a eq. (6.5) temos que:

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto)

≠∀

==

=

0n,0

0n,1

]n[u]n[x o


{ } 1z1z]n[u)z(X]n[u 0

oo

n

0n

=⋅=⋅== −+∞

=∑Z

ou seja,

{ } 1]n[uo =Z

que é um resultado análogo ao obtido com as Transformadas de Laplace no capítulo anterior:

{ } 1)s(X)t(uo ==L

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.5:

Considere o sinal discreto x[n],

]1n[u]n[x o −=

que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de uma unidade de tempo para a direita.


11 zz1z]1n[u)z(X n

0no

−− =⋅=⋅−= −+∞

=∑

ou seja,

{ }z

1z]1n[u 1

o ==− −Z eq. (6.14)

Este resultado também pode ser obtido pela propriedade da translação (shift)da Transformada z que será visto mais adiante na seção 6.9 (Propriedades da Transformada z).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.6:

Considere o sinal discreto x[n],

0m,]mn[u]n[x o ≥−=

que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de m unidades de tempo para a direita.


mmn

0n

zz1z]mn[u)z(X o

−− =⋅=⋅−= −+∞

=∑

{ }m

m

z

1z]mn[uo ==− −

Z

ou seja,

eq. (6.15)

Note que a eq. (6.15) só é válida para m ≥ 0 pois a Transformada z adoptada aqui é a unilateral [eq. (6.6)].

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A expressão encontrada no Exemplo 6.1

{ } 1]n[uo =Z

{ } 0m,z]mn[u mo ≥=− −

Z

{ } 0]1n[uo =+Z

]2n[u4]1n[u2]n[u3]1n[u5]n[x 0ooo −+−−++=

21 z4z23)z(X −− +−=

poderia ser obtida usando a Transformada z do impulso uo[n] e o resultado dos exemplo 6.5 e 6.6, dados nas equações eq. (6.14) e eq. (6.15), ou seja,

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.7: (exponencial multiplicada por um seno)

Considere o sinal discreto:

]n[un4

sen3

1]n[x 1

n

⋅

⋅π⋅

=

Usando a equação de Euler temos:

]n[u3

1

j2

1]n[u

3

1

j2

1]n[x 1

4j

14

jnn

⋅

⋅−⋅

⋅=

π⋅−π⋅ee


{ }

⋅−⋅−

−⋅=

⋅⋅−

⋅⋅=

⋅

⋅

⋅−⋅

⋅==

−π⋅−−⋅

π⋅

−π⋅−∞+

=

−π⋅

−∞+

=

π⋅−π⋅

∑∑

∑

∞+

=

14j14

j

n

14j

n

0n

14j

n

0n

n

4j

n

4j

z3

11

1

j2

1

z3

11

1

j2

1

z3

1

j2

1z

3

1

j2

1

z]n[u3

1

j2

1]n[u

3

1

j2

1)z(X]n[x

0n

11

ee

ee

eeZ

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

⋅−⋅

⋅−

⋅=

π−π4

j4

j

3

1

3

1

23

1

zz

z

)z(X

ee

Note que os dois pólos desta Transformada z são:

4j

3

1z

π±⋅= e

ou seja,

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A exemplo da Transformada z do degrau discreto, visto acima, em que primeiramente apresentamo-lo multiplicado pela exponencial discreta

an, também aqui vamos inicialmente apresentar a Transformada z para

os casos de seno e co-seno multiplicados por exponenciais discretas an.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sinal seno discreto multiplicado pela exponencial

x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n]


{ }221

o

o1

on

zaz)cos(a21

)(senza)z(X]n[u)n(sena 1 −−

−

+⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅==⋅ω⋅Z eq. (6.17)

que equivale a

eq. (6.19) { }2

o2

oo

n

a)cos(za2z

)(senza)z(X]n[u)n(sena 1 +ω⋅⋅⋅−

ω⋅⋅==⋅ω⋅Z

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n]

{ }221

o

o1

on

zaz)cos(a21

)cos(za1)z(X]n[u)ncos(a 1 −−

−

+⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅−==⋅ω⋅Z eq. (6.18)

Sinal co-seno discreto multiplicado pela exponencial

tem a seguinte Transformada z :

que equivale a

{ }2

o2

oo

n

a)cos(za2z

)]cos(az[z)z(X]n[u)ncos(a 1 +ω⋅⋅⋅−

ω⋅−⋅==⋅ω⋅Z eq. (6.20)

Note agora que o sinal que tinha sido visto no exemplo 6.7 é

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n]

com

=3

1a

π=ω4

o eq. (6.21)

e a Transformadas z encontrada naquele exemplo, dada pela eq. (6.16), pode ser reescrita como:

2

3

1

2

12z

z2

9

11z

z

)z(X

4j

4j

24

j4

j2

3

2

3

1

3

23

1

+

+⋅⋅−

⋅

=+

+⋅−

⋅=

π−ππ−π

eeee

eq. (6.22)

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

3

1

4cos

12z

z4

sen

)z(X

3

3

1

2

+

π⋅⋅−

⋅

π⋅

=

que, usando as equações de Euler e substituindo

( ) 2/24/sen =π

a eq. (6.22) se torna em

que corresponde à eq. (6.19) com a e ωo dados em eq. (6.21).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sinal seno discreto

x[n] = sen(ωon)⋅u1[n]

{ }21

o

o1

ozz)cos(21

)(senz]n[u)n(sen 1 −−

−

+⋅ω⋅−ω⋅=⋅ωZ eq. (6.23)

eq. (6.25) { }1)cos(z2z

)(senz]n[u)n(sen

o2

oo 1 +ω⋅−

ω⋅=⋅ωZ

que equivale a

tem a seguinte Transformada z :

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sinal co-seno discreto

y[n] = cos(ωon)⋅u1[n]

eq. (6.24) { }21

o

o1

ozz)cos(21

)cos(z1]n[u)ncos( 1 −−

−

+⋅ω⋅−ω⋅−=⋅ωZ

que equivale a


eq. (6.26) { }1)cos(z2z

)]cos(z[z]n[u)ncos(

o2

oo 1 +ω⋅⋅−

ω−⋅=⋅ωZ

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.8:

Considere o sinal x[n]

]1n[un

)(]n[x 1

n

−⋅λ−−=

ou seja,

−−=

=λ⋅−=+

L

L

,2,1,0n,0

,3,2,1n,n

)1(]n[x

n1n

Pela definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que:

{ } ∑∞

=

−+ ⋅λ⋅−==1n

nn1n

n

z)1()z(X]n[xZ

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e da expansão em série de Taylor, eq. (6.2), obtém-se que a Transformada zdeste sinal é:

( ) az,z1log)z(X 1 >λ+= −eq. (6.27)

As Transformadas z introduzidas aqui dos sinais

uo[n],

uo[n-m],

u1[n],

n u1[n],

n2 u1[n],

sen(ωon),

cos(ωon) ,

an sen(ωon),

an cos(ωon

estão na Tabela das Transformadas znas pág. 22 e 23 do Capítulo 6 das ‘Notas de Aula’.

Na pág. 22 e 23 do Capítulo 6 das ‘Notas de Aula’ tem uma Tabela das Transformadas z dos sinais que precisaremos.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabela 6.1

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Na pág. 22 e 23 do Capítulo 6 das ‘Notas de Aula’ tem uma Tabela das Transformadas zdos sinais que precisaremos.

Tabela 6.1 (continuação)

Na pág. 22 e 23 do Capítulo 6 das ‘Notas de Aula’ tem uma Tabela das Transformadas zdos sinais que precisaremos.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Homogeneidade (“homogeneity”)

Z k · x n = k · Z x n = k · X(z)

Aditividade (“additivity”)

{ } { } { })z(X)z(X

]n[x]n[x]n[x]n[x

21

2121

+=

+=+ ZZZ

eq. (6.29)

eq. (6.28)

Linearidade (“linearity”)

Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade,eq. (6.29), e da homogeneidade eq. (6.28) juntas:

{ } { } { })z(X)z(X

]n[x]n[x]n[x]n[x

21

2121

⋅β+⋅α=

⋅β+⋅α=⋅β+⋅α ZZZ

eq. (6.30)

onde α, β ∈ C são constantes e x1[n], x2[n] são dois sinais discretos com Transfor-

madas z dadas por X1(z) e X2(z) respectivamente.

Propriedades da Transformada z { }]n[x)z(X Z=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Conforme já mencionado anteriormente (no Exemplo 6.2), a propriedade da linearidade da Transformada z permite escrever

−−

−=

−⋅−

−⋅=

⋅

⋅−

⋅

⋅=

=

⋅

⋅−⋅

⋅

−−

3

1z

z2

2

1z

z5

z3

11

12

z2

11

15

]n[u3

12]n[u

2

15

]n[u3

12]n[u

2

15

11

11

11

nn

nn

ZZ

Z

que corresponde à equação eq. (6.10)

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Translação (“time shifting”):

Se x[n] é um sinal discreto definido apenas para n = 0, 1, 2, … , ou seja

x[n] = 0, n < 0, e com Transformada z dada por X(z), uma translação de

m = 1 (shift de 1 unidade para direita):

{ } ]1[x)z(Xz]1n[x 1 −+⋅=− −Z

Para m = 2 (shift de 2 para direita):

{ } 12 z]1[x]2[x)z(Xz]2n[x −− ⋅−+−+⋅=−Z eq. (6.32)

eq. (6.31)

(continuação)Propriedades da Transformada z { }]n[x)z(X Z=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Estes termos aparecem pois estamos considerando a Transformada zunilateral, conforme a definição na eq. (6.6), assim como no capítulo 5 consideramos a Transformadas de Laplace unilateral.

eq. (6.33)

e no caso geral, m = 1, 2, 3, … (shift de m > 0 para direita)

{ }1m2m2

1m

z]1[xz]2[xz]2m[x

z]1m[x]m[x)z(Xz]mn[x

+−+−−

−−

⋅−+⋅−++⋅+−+

+⋅+−+−+⋅=−

L

Z

Os termos x[–1], x[–1]⋅z-1, x[–2], x[–m+1]⋅z-1, … etc. correspondem aos “resíduos” na propriedade da derivada em Transformadas de Laplace.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


As translações (“time shifting”) acima, x[n – 1]. x[n – 2], … x[n – m], m > 0, shift para direita, são também chamadas de ‘atraso no tempo’ (“time delay”).

Isto é, no caso de condições iniciais nulas [eq. (6.34)], temos que os termos residuaisdesaparecem e as eq. (6.31), eq. (6.32) e eq. (6.33) se transformam na forma bem mais simplificada, resumidas na eq. (6.35).

{ } z)z(X)z(Xz]1n[x 1 =⋅=− −Z

{ } 22 z)z(X)z(Xz]2n[x =⋅=− −Z

M

{ } mm z)z(X)z(Xz]mn[x =⋅=− −Z

eq. (6.35)

Note que se x[n] tem condições iniciais nulas (x[n] = 0, n < 0), isto é, se

x[−1] = 0, x[−2] = 0, x[−3] = 0, ⋯ , etc. eq. (6.34)

então estes termos residuais são todos nulos e uma translação de m > 0 (shift de m

para direita) equivale a multiplicar por z–m (no domínio z, da frequência).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Translação (shift) de 1 unidade para esquerda:

{ } z]0[x)z(Xz]1n[x ⋅−⋅=+Z

eq. (6.37)

Translação (shift) de 2 unidades para esquerda:

{ } 2z]0[xz]1[x)z(Xz]2n[x

2 ⋅−⋅−⋅=+Z

e no caso geral, a translação (shift) de m unidades para esquerda):

{ }m1m3

2m

z]0[xz]1[xz]3m[x

z]2m[xz]1m[x)z(Xz]mn[x

⋅−⋅−−⋅−−

+⋅−−⋅−−⋅=+

−L

Z

eq. (6.38)

eq. (6.36)

No caso de shift para esquerda, x[n + 1]. x[n + 2], … x[n + m], m > 0, são também chamadas de ‘avanço no tempo’ (“time advance”).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Mudança de escala no domínio z (“z-domain scaling”):

{ }

α=⋅α z

X]n[xnZ

onde α ∈ C é uma constante e x[n] é um sinal discreto com

Transformada z dada por X(z).

Portanto, a mudança de escala no domínio z equivale à multiplicação por

αn no domínio do tempo.

Em particular, se α = ejω, então, como e

jω = 1, ∀ ω,

⋅=

⋅

ωωzX]n[x

jnjeeZ


Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(continuação)Propriedades da Transformada z { }]n[x)z(X Z=Expansão no tempo (“time scaling”):

Para um sinal discreto x[n] considere o sinal expandido x(k)[n] definido abaixo.

=k

k

,0

,]k/n[x]n[x )k(

demúltiploénãonse

demúltiploénse

o qual está ilustrado na figura abaixo para k = 2 e x[n] = 1, n = 1, 2, …

Estes sinais expandidos x(k)[n] satisfazem a seguinte propriedade

{ } ( )kzX]n[x )k( =Z

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Conjugado (“conjugate”)

{ } ( )∗∗∗ = zX]n[xZ

onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z).

Note que, se x[n] for um sinal real (x[n] ∈ R) então:

X(z) = X*(z*)

logo, se X(z) tem um pólo em z = a também terá em z = a*.


Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a convolução entre dois sinais x1[n] e x2[n]

{ } ( ) )z(XzX]n[x*]n[x 2121 ⋅=Z

[ ] [ ] [ ] [ ]kxknxnxnx 2

k

121 ⋅−=∗ ∑+∞

−∞=


[ ] [ ]knxkx 2

k

1 −⋅= ∑+∞

−∞=soma de convolução

Semelhantemente às transformadas de Laplace, também na Transformada z temos que a transformada da convolução é o produto das Transformadas z:

Convolução (“convolution”)

eq. (6.39)

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”)

{ } ( )dz

zdXz]n[xn ⋅−=⋅Z

Portanto a derivada do domínio de z equivale à multiplicação por n no domínio do tempo.

Na tabela Tab 6.1 pode-se ver as Transformadas z dos sinais:

x[n] = u1[n] , x[n] = n⋅u1[n] e x[n] = n2⋅u1[n]

e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais:

x[n] = n3⋅u1[n] , x[n] = n4⋅u1[n] , … , etc.

Nessa mesma tabela também se encontram as Transformadas z dos sinais:

x[n] = an⋅u1[n] , x[n] = an⋅n⋅u1[n] e x[n] = an⋅n2⋅u1[n]

e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais:

x[n] = an⋅n3⋅u1[n] , x[n] = an⋅n4⋅u1[n] , … , etc.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Teorema Valor Inicial (TVI) e Teorema Valor Final (TVF)

A exemplo dos teoremas TVI e TVF para Transformadas de Laplace, estes teoremas para Transformadas z permitem que se descubra o valor

inicial x[0] e o valor final x[∞] de um sinal x[n] cujo X(z), a Transformada z, seja conhecida.

Teorema do valor inicial (TVI):

Teorema do valor final (TVF):

)z(Xlim]0[xz ∞→

=

)z(X)1z(lim)(x1z

⋅−=∞→

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.9:

Considere o sinal discreto do exemplo 6.2, x n = 5 · 1 2⁄ � − 2 · 1 3⁄ � ·

u� n cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (6.11).

Aplicando-se os teoremas TVI e TVF obtemos:

x 0 = lim ⟶"

X z = lim ⟶"

3z# −

23

z

z −12

z −13

= 3

e

x ∞ = lim ⟶�

z − 1 · X z = lim ⟶�

z − 1 ·3z# −

23

z

z −12

z −13

= 0

que estão de acordo com o esperado pois que como temos x[n], claro, sabemos

que neste caso são de facto x[0] = 3 e x[∞] = 0.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.10:

Se tomarmos o sinal degrau unitário discreto x n = u� n cuja Transformadas z é

dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) X z = 1 1 − z%�⁄ , então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos:

x 0& = lim ⟶"

X z = lim ⟶"

1

1 − z%� = 1

e

x ∞ = lim ⟶�

z − 1 · X z = lim ⟶�

z − 1 ·1

1 − z%�= 1

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o

degrau unitário discreto x 0 = 1 e x ∞ = 1.

Por outro lado, se tomarmos o sinal rampa unitária discreta x n = u# n cuja

Transformadas z é dada por (tabela Tab 6.1) X z = z z − 1 #⁄ , então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos:

x 0& = lim ⟶"

X z = lim ⟶"

z

z − 1 # = 0

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e

x ∞ = lim ⟶�

z − 1 · X z = lim ⟶�

z − 1 ·z

z − 1 #= lim

⟶� ·

z

z − 1= ∞

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para a

rampa unitária discreta x 0 = 0 e x ∞ = ∞.

Finalmente, se tomarmos o sinal impulso unitário discreto x n = u' n cuja Trans-

formadas z é dada por (tabela Tab 6.1) X z = 1, então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos:

x 0& = lim ⟶"

X z = lim ⟶"

1 = 1

e

x ∞ = lim ⟶�

z − 1 · X z = lim ⟶�

z − 1 · 1 = 0

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o

impulso unitário discreto x 0 = 1 e x ∞ = 0.

Transformada z inversa

As Transformadas z dos principais sinais de interesse para sistemas lineares inva-riantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fração racional, ou seja, uma fraçãodo tipo:

onde p(z) e q(z) são polinómios em z.

Conforme podemos observar na tabela das Transformadas z

etc.ou

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

eq. (6.40)

Assim como nas Transformadas inversas de Laplace, vamos apresentar aqui, através de exemplos, três casos de expansão em frações parciais para Transformadas z inversa:

o pólos reais e distintos,

o pólos complexos e

o pólos múltiplos.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

De forma semelhante a que é feita para se achar a Transformadas inversas de Laplace, aqui também, para se achar a Transformadas z inversa é necessário

desmembrar o X(z) na forma de frações menores, ou seja, é preciso se fazer a

expansão de X(z) em frações parciais.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Caso 1 – Pólos reais e distintos

( )( )2/1z)(3/1z6

4z9z2

1z5z6

z8z18)z(X

2

2

−−−=

+−−= eq. (6.41)

que, separando-se em duas frações temos:

−+

−=

2

1z

B

3

1z

A

z

)z(X

( ) ]n[u3

1

3/1z

z1

n1-

=

−Z ( ) ]n[u

2

1

2/1z

z1

n1-

=

−Z

]n[u2

1]n[u

3

12]n[x 11

nn

⋅⋅

+

⋅=

facilmente calculamos que A = 2 e B = 1, logo

eq. (6.42)

e podemos escrever a Transformada z inversa de X(z)

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) na forma:

−

−

−=

−−

−

11

1

z2

11z

3

11

z3

43

)z(X

−+

−=

−− 11 z2

11

B

z3

11

A)z(X A = 2 e

B = 1

que, separando-se em duas frações temos:

]n[u2

1]n[u

3

12]n[x 11

nn

⋅⋅

+

⋅=

e chegamos ao mesmo resultado:

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Caso 2 – Pólos complexos conjugados

22

2

z)cos2(z

z)z(X

ρ+θρ−=

ρ > 0 e

0 < θ < π

X(z) tem 2 pólos complexos conjugados:

)senj(coszj θ⋅±θ⋅ρ=⋅ρ= θ±

e

zz)cos2(z

)sen(z

)sen(

1)z(X

22⋅

ρ+⋅θρ−θ⋅ρ⋅⋅

θ⋅ρ=

eq. (6.43)

ondeeq. (6.44)

Para calcular )]z(X[]n[x 1−=Z reescreve-se X(z) na forma,

{ }

]1n[usen

])1n[(sen

]1n[u])1n[(sen)sen(

1]n[x

1

n

11n

+⋅θ

θ⋅+⋅ρ=

+⋅θ⋅+⋅ρ⋅θ⋅ρ

= +

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z e a eq. (6.36)

que neste caso equivale a

eq. (6.45) ]n[usen

])1n[(sen]n[x 1

n

⋅θ

θ⋅+⋅ρ=

pois para n = –1, sen (n+1) = sen(0) = 0, então x[–1 ] = 0.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


221 zz)cos2(1

1)z(X −− ρ+⋅θρ−

=

que pode ser colocado na forma:

zzz)cos2(1

z)sen(

)sen(

1)z(X

221

1

⋅

ρ+⋅θρ−⋅θ⋅ρ⋅

θ⋅ρ= −−

−

e, novamente, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z, podemos escrever a

Transformada z inversa de X(z) obtendo x[n] e chegando ao mesmo resultado.

]n[usen

])1n[(sen]n[x 1

n

⋅θ

θ⋅+⋅ρ= eq. (6.45)

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Esta solução da Transformada z inversa de X(z) da eq. (6.43) engloba a família de

transformadas X(z) do tipo eq. (6.40) cujo denominador

cbzz)z(q 2 +−=

c4b 2 <

satisfaz

eq. (6.46)

ou seja, tal que o polinómio q(z) tem raízes complexas conjugadas.

Uma fração racional do tipo

212

22

czbz1

1

cbzz

z

)z(q

z

−− +−=

+−=

onde a condição eq. (6.46) é satisfeita, pode sempre ser reescrita na forma da eq. (6.43)

22

2

z)cos2(z

z)z(X

ρ+θρ−=

com ρ > 0 e 0 < θ < π.

eq. (6.43)

Logo, usando eq. (6.45) com ρ = 2 e θ = 1,318 rad, x[n], a Transformada z

inversa de X(z), é

]n[u)318,1(sen

]318,1)1n[(sen2]n[x 1

n

⋅⋅+⋅=

Exemplo 6.12:

4zz

z

z4z1

1)z(X

2

2

21 +−=

+−= −−

b = 1 e

c = 4

=θ

=ρ⇒

==θρ

==ρ

4

1cos

2

1bcos2

4c2

e portanto,

1arccos 1,318 rad 75,5º

4

θ = = =

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4zzcbzz)z(q 22 +−=+−=Aqui o polinómio do denominador

que está na forma da eq. (6.43)

Logo, usando eq. (6.45) com e θ = – 0,79 rad, x[n], a Transformada z

inversa de X(z), é

Exemplo 6.13:

b = – 5 e

c = 10

e portanto,

10z5z

z

z10z51

1)z(X

2

2

21 ++=

++= −−

−=−=θ

=ρ⇒

−==θρ

==ρ

79,0102

5cos

10

5bcos2

10c2

( )arccos 0,79 2,482 rad 142,2ºθ = − = =

]n[u)482,2(sen

]482,2)1n[(sen)162,3(]n[x 1

n

⋅⋅+⋅=

10=ρ

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10z5zcbzz)z(q 22 ++=+−=Aqui o polinómio do denominador

que está na forma da eq. (6.43)

Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.)

2

2

22

2

)z(

z

z2z

z)z(X

ρ−=

ρ+ρ−=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Observe que,

i) θ = 0 → cos θ = 1 → ρ > 0, ou

eq. (6.47)

Se na eq. (6.43) considerarmos agora os casos

então a eq. (6.43) pode ser reescrita como:

ii) θ = π → cos θ = –1 → ρ < 0, que não estavam incluídos na eq. (6.44),

i) θ = 0 → cos θ = 1 → ρ > 0, ou

ii) θ = π → cos θ = –1 → ρ < 0.

Além disso, será considerado também o caso ρ = 0,

iii) ρ = 0

que também não estava contemplado na eq. (6.44).

Note que ρ é o próprio pólo

duplo (z = ρ) que pode ser positivo ou negativo e até

mesmo zero (ρ = 0).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

com ρ = 0, nos fornece

1z

z

)0z(

z)z(X

2

2

2

2

==−

=

ou seja, X(z) = 1, e logo, x[n] é o impulso unitário

]n[u]n[x o=

ou seja pólos duplos na origem (i.e., pólos duplos em z = 0). A equação eq. (6.47)

z = ρ = 0,

Começamos com este último caso (iii),

Pólos múltiplos na origem:

( )2

2

z

z)z(X

ρ−= eq. (6.47)

No caso de pólos triplos na origem (em z = 0), por exemplo, X(z) terá a expressão:

z

1

)0z(

z)z(X

3

2

=−

=

e a Transformadas z fica:

]1n[u]n[x o −=

No caso de pólos quádruplos em z = 0, X(z) terá a expressão:

24

2

z

1

)0z(

z)z(X =

−=

]2n[u]n[x o −=e a Transformadas z fica:

e assim por diante.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Agora vamos considerar o caso de ρ ≠ 0. Ou seja, casos (i) e (ii)

z)z(

z1)z(X

2⋅

ρ−⋅ρ⋅

ρ=

]n[u]n[u1

]n[x 22n1n ⋅ρ=⋅ρ⋅

ρ= +

e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z, pode-se obter x[n], a

Transformadas z inversa de X(z),

que neste caso equivale a

]n[u)1n(]n[x 1n ⋅ρ⋅+=

pois u2[n] = n⋅u1[n].

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Reescrevendo eq. (6.47) como

eq. (6.49)

i) ρ > 0, ou

ii) ρ < 0.

Pólos múltiplos fora da origem:


e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z, obtém-se x[n], a

Transformadas z inversa de X(z)

o mesmo resultado já obtido, isto é, x[n] da eq. (6.49).

z)z1(

z1)z(X

21

1

⋅ρ−⋅ρ⋅

ρ= −

−

]n[u)1n(]n[x 1

n ⋅ρ⋅+=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

eq. (6.50)

Esta solução da Transformada z inversa de X(z) engloba uma família de X(z)do tipo

cbzz)z(q 2 +−=

c4b2 =

ou seja, tal que o polinómio q(z) tem raízes duplas z = ρ = – b/2

onde

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

eq. (6.51)

2

2

2

2

2 )3z(

z

9z6z

z

z9z61

1)z(X

1 +=

++=

++= −−

Exemplo 6.14:

Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), com ρ = – 3, é dada por:

]n[u)3()1n(]n[x 1

n ⋅−⋅+=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b = 6 e

c = 9Além disso, ρ = – 6/2 = – 3

9z6zcbzz)z(q 22 ++=+−=

Aqui o polinómio do denominador é dado por

Exemplo 6.15:

b = –8 e

c = 16

2

2

2

2

2 )4z(

z5

16z8z

z5

z16z81

5)z(X

1 −=

+−=

+−= −−

]n[u4)1n(5]n[x 1

n ⋅⋅+⋅=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Além disso, ρ = – (–8)/2 = 4

Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), com ρ = 4, é dada por:

16z8zcbzz)z(q 22 ++=+−=


Exemplo 6.16:

221

1

)2z(

4z

4z4z

z4z

z4z41

z41)z(X

2

2

++=

+++=

+++= −−

−

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b = – 4 e

c = 4Além disso, ρ = – (– 4)/2 = 2.

4z4zcbzz)z(q 22 ++=+−=


Logo, reescrevemos X(z) na forma

122

z)2z(

z4

)2z(

z)z(X −⋅

+⋅−

+=

122

z)2z(

z)2(2

)2z(

z)2(

2

1)z(X −⋅

+⋅−⋅−

+⋅−⋅

−=

que equivale a

]1n[u)2()1n(2]n[un)2(2

1]n[x 11

1nn −⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅−= −

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Logo, x[n], a Transformada z inversa de X(z), com ρ = 2, é facilmente obtida usando as propriedade da Transformada z (linearidade, translação/time shift, etc.)

⋅+

⋅−⋅−

+⋅−⋅

−=

⋅+

⋅−⋅−+

+⋅−⋅

−=

−

−

12

1-2

1-

12

1-2

1-

z)2z(

z)2(2

)2z(

z)2(

2

1

z)2z(

z)2(2

)2z(

z)2(

2

1]n[x

ZZ

ZZ

ou seja,

Solução de equações de diferençasusando Transformadas z

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exemplo 6.17:

]n[x]1n[y3]n[y =−+

)z(X)z(Yz3]z[Y 1 =⋅+ −

( ) )z(Xz31]z[Y 1 =+⋅ −

)z(X3z

z)z(X

z31

1]z[Y

1⋅

+=⋅

+= −

com condição inicial nula, y[–1] = 0.

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Considere a equação de diferenças de 1ª ordem

Fazendo-se a Transformada z termo a termo,

e logo,

isto é,

e o problema de achar a solução

y[n] da equação de diferença se converte no problema de achar a

Transformada z inversa de Y(z)

{ })z(Y]n[y 1−=Z

Se x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), por exemplo,

{ }

+==

3z

z]z[Y]n[y 1-1-

ZZ

]n[u)3(]n[y 1

n ⋅−=

que é a solução da equação de diferenças com condição inicial nula,

i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto).

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

então X(z) = 1

ou seja,

Pode-se facilmente verificar que

]n[u)3(]n[y 1

n ⋅−=

de facto satisfaz a equação de diferenças com x[n] = uo[n] e que y[–1] = 0.

Se entretanto x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto), então

{ } ( ) ( ) ( ) ( )

−+

+=

−⋅

+==

1z

Bz

3z

Az

1z

z

3z

z]z[Y]n[y 1-1-1-

ZZZ

e facilmente se calcula que A = ¾ e B = ¼ , logo

]n[u4

1)3(

4

3]n[y 1

n ⋅

+−⋅

=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

X(z) = 1/(z – 1)

portanto

( ) ( )

−⋅

++

⋅

=1z

z

4

1

3z

z

4

3]n[y 1-Z

e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas zassim como a propriedade da linearidade obtém-se:

que é a solução da equação de diferenças com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e

entrada x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto).

Pode-se facilmente verificar que y[n] de facto satisfaz a equação de diferenças com

x[n] = u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica.

Exemplo 6.18:

]n[x]1n[y3]n[y =−+

com condição inicial y[–1] = 1.

)z(X)z(Yz3]1[y3)z(Y 1 =⋅⋅+−⋅+ −

)z(X3]z31[)z(Y 1 +−=⋅+⋅ −

)z(X)z31(

1

)z31(

3)z(Y

11⋅

++−= −− +

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Considere agora a mesma equação de diferenças do exemplo anterior (exemplo 6.17), ou seja,

1

zero input response

zero stateresponse

Consideremos agora que a entrada x[n] é o sinal:

x[n] = 8⋅u1[n]

)1z(

z8

)z1(

8)z(X

1 −=

−= −

Logo,

)1z)(3z(

z8

)3z(

z3

)z1)(z31(

8

)z31(

3)z(Y

2

111

−++

+−=

−++

+−= −−−

{ })z(Y]n[y 1−=Z

)1z(

z2

)3z(

z3)z(Y

−+

+=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e portanto

o que permite acharmos a solução y[n] da equação de diferença através da sua Transformada z inversa

que é a solução da equação de diferenças com condição inicial,

i.e., y[–1] = 1.

[ ] ]1n[u2)3(3

]1n[u2]1n[u)3(3]n[y

1

11

n

n

+⋅+−⋅=

+⋅++⋅−⋅=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e entrada x[n] = 8u1[n] (degrau de amplitude 8 discreto).

Note que, como a equação de diferenças é de 1ª ordem e y[–1] ≠ 0, foi necessário

recuar uma unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+1].

Pode-se facilmente verificar que y[n] de facto satisfaz a equação de diferenças

com x[n] = 8u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 1, se verifica.

Exemplo 6.19:

com condição inicial nula y[–1] = 0, onde a entrada x[n] é

]1n[x2

1]n[x]1n[y

3

1]n[y −+=−−

x[n] = u1[n] = degrau unitário discreto

[ ]( ) [ ]( ))z(Xz1x2

1)z(X)z(Yz1y

3

1]z[Y 11 ⋅+−⋅+=⋅+−⋅− −−

Note também X(z) = 1/(1 – z-1) e que x[–1] = u1[–1] = 0. Logo,

−

⋅

+=⋅

+=⋅

− −−−−

1

111

z1

1z

2

11)z(Xz

2

11]z[Yz

3

11

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Considere a equação às diferenças de 1ª ordem

0 0

e portanto,

( )1z3

1z

z2

1z

z1

1

z3

11

z2

11

]z[Y

2

11

1

−⋅

−

+=

−⋅

−

+= −

−

−

{ })z(Y]n[y 1−=Z

( ) ( )1z

z25,2

3/1z

z25,1]z[Y

−+

−−=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e mais uma vez pode-se achar a

solução y[n] da equação de diferenças achando-se a

Transformada z inversa de Y(z), ou seja,

que é a solução da equação de diferenças com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e

entrada x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto).

]n[u25,23

125,1]n[y 1

n

⋅

+

⋅−=

Transformadas z______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Pode-se facilmente verificar que y[n] de facto satisfaz a equação de diferenças com

x[n] = u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica.

Obrigado!

Felippe de Souza

[email protected]

aula 06 transformadas z - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/analise_sinais_ppt06p.pdf · a...

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