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UNIVERSIDAD DE CARABOBO

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE POSTGRADO

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA

PREUNIVERSITARIA PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE

INTEGRALES

Autor: Lcdo. Helys Joel Terán Terán

Tutor (a): Dra. Vilma Morales

Bárbula, Diciembre de 2017





ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA


INTEGRALES

Autor: Lcdo. Helys Joel Terán Terán

Bárbula, Diciembre de 2017

ii

Trabajo Especial de Grado presentado ante la Dirección de Postgrado de la Universidad de Carabobo para optar al título de Magíster en Educación Matemática

AVAL DEL TUTOR

Dando cumplimiento a lo establecido en el reglamento de Estudios de Postgrado

de la Universidad de Carabobo en su artículo 133, vigente a la presente fecha quien

suscribe DRA. VILMA MORALES titular de la cédula de identidad No. V-

4.453.597, en mi carácter de Tutora del Trabajo de Maestría titulado “ERRORES

EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA

PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES” presentado por el

ciudadano LCDO. HELYS JOEL TERÁN TERÁN titular de la cédula de identidad

No. V-19.518.409, para optar al título de MAGÍSTER EN EDUCACIÓN

MATEMÁTICA, hago constar que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos

suficientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por parte del

jurado examinador que se le designe. Por tanto doy fe de su contenido y autorizo su

inscripción ante la Dirección de Asuntos Estudiantiles.

En Bárbula a los 06 días del mes de diciembre año dos mil diecisiete.

Dra. Vilma Morales

C.I.: V-4.453.597

iv

AUTORIZACIÓN DEL TUTOR

Dando cumplimiento a lo establecido en el reglamento de Estudios de Postgrado

de la Universidad de Carabobo en su artículo 133, vigente a la presente fecha quien

suscribe DRA. VILMA MORALES titular de la cédula de identidad No. V-

4.453.597, en mi carácter de Tutora del Trabajo de Maestría titulado “ERRORES

EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA

PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES” presentado por el

ciudadano LCDO. HELYS JOEL TERÁN TERÁN titular de la cédula de identidad

No. V-19.518.409, para optar al título de MAGÍSTER EN EDUCACIÓN

MATEMÁTICA, hago constar que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos

suficientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por parte del

jurado examinador que se le designe. Por tanto doy fe de su contenido y autorizo su

inscripción ante la Dirección de Asuntos Estudiantiles.

En Bárbula a los 06 días del mes de diciembre año dos mil diecisiete.

Dra. Vilma Morales

C.I.: V-4.453.597

v

UNIVERSIDAD DE CARABOBOFACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE POSTGRADOMAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

INFORME DE ACTIVIDADES

Participante: HELYS JOEL TERÁN TERÁN C.I. No. V- 19518409

Tutora: Vilma Morales C.I. No.V- 4.453.597

Correo electrónico del participante: [email protected]

Título tentativo del Trabajo: ERRORES DE MATEMÁTICA

PREUNIVERSITARIA, SU PERMANENCIA Y EFECTO EN EL DESEMPEÑO

DE MATEMÁTICA II DE ECONOMÍA SOCIAL

Línea de Investigación: Enseñanza, aprendizaje y evaluación de la educación matemática.SESIÓN FECHA HORA ASUNTO OBSERVACIÓN

1 30/09/13 10:00 amRevisión de la temática, bibliografía recomendada.

Aceptación Tutoría.

Asesoramiento

2 02/10/13 9:00 amEl problema, interrogantes y objetivos. Discusión, Teóricos y Metodología de investigación.

Asesoramiento. Revisión

Capítulo I.

3 07/11/13 8:30 amDiscusión del Instrumento y recomendaciones parala validación.

Asesoramiento.Revisión del

Capítulo II y III.4 15/01/14 10:00 am Revisión del Capítulo I y II Asesoría.5 20/01/14 10:30 am Revisión de los Cap. I, II y III6 24/01/14 8:00 am Revisión del proyecto. Inscripción.

7 01/03/15 7:00 am Revisión y sugerencias del Capítulo I.

Vía Correo.

8 08/03/15 5:00 pm Corrección del Capítulo I. Vía Correo.9 29/04/15 11:00 am Revisión Capítulo I, II y III.

10 29/06/15 10:00 am Tabla de Operacional. Capítulo III y IV.

Asesoría y revisión.

11 10/10/15 8:30 am Revisión Capítulo III y IV.12 29/10/15 9:30 am Ajustes de los Capítulos II y IV.13 03/11/15 9:15 am Revisión Capítulo IV. Vía correo.14 24/03/15 12:00 m Revisión Tabla Operacional. Vía correo.15 30/03/16 9:00 am Revisión Capítulo III.16 11/04/16 7:40 am Revisión y sugerencias del Vía correo.

vi

Capítulo IV.

17 17/04/16 9:00 am Correcciones Capítulo IV. Vía correo electrónico

18 18/07/16 3:00 pm Revisión de Capítulos I, II, III, IV y V.

19 16/09/16 4:00 pm Revisión de Normas APA. Vía correo electrónico

20 22/09/16 3:00 pm Revisión general y sugerencias Capítulo IV.

Título definitivo: ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA

PREUNIVERSITARIA PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES.

Comentarios finales acerca de la investigación: ______________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________.

Declaramos que las especificaciones anteriores representan el proceso de dirección

del Trabajo de Grado de Maestría antes mencionado.

________________ __________________

Vilma Morales Helys Terán

C.I.: V-4.453.597 C.I.: V-19.518.409

vii





VEREDICTO

Nosotros, Miembros del jurado designado para la evaluación del Trabajo de Grado

TITULADO: ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA


INTEGRALES, PRESENTADO POR el ciudadano TERÁN TERÁN HELYS

JOEL, TITULAR DE LA CÉDULA DE IDENTIDAD No. V- 19518409, PARA

OPTAR AL TÍTULO DE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA,

ESTIMAMOS QUE EL MISMO REÚNE LOS REQUISITOS PARA SER

CONSIDERADO COMO .

NOMBRE APELLIDO CÉDULA FIRMA

BÁRBULA, DICIEMBRE DE 2017

viii

DEDICATORIA

A Dios, en primer lugar, por brindarme sabiduría, vida, salud, paciencia y la fortaleza

necesaria en todo momento para llevar a feliz término este objetivo en mi vida.

A mis padres, Lorenzo y Yoleida Terán que con gran ejemplo y apoyo han hecho de

mí una persona con buenos principios y valores humanos en la vida.

A mis hermanas, Loreida, Lorena, especialmente, Loreidy Terán quien ha estado en

todo momento.

A mis hermosos sobrinos, Lisandro y Lhix Jimena que han sido motivo de

inspiración.

A mi esposa amada, Yennyfer Figuera, por tener esa hermosa paciencia, apoyarme y

darme palabras de aliento en todo momento, por ser mi gran amiga y pilar de apoyo

en la realización de esta meta.

¡Los Amo!

ix

RECONOCIMIENTOS

A Dios, por darme las fuerzas necesarias para culminar otra meta más.

A Yennyfer Figuera, por impulsarme a continuar y culminar esta meta.

A la Profesora Vilma Morales por su entrega, esmero, comprensión, paciencia y

ayuda incondicional en todo momento durante el desarrollo de este trabajo de

investigación.

A los profesores de la Universidad de Carabobo, especialmente a las Profesoras

María del Carmen Padrón y Mariela Herrera de quienes recibí una excelente

formación.

Al Profesor Cirilo Orozco por el apoyo al impulsarme en este trabajo de

investigación.

A la Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada, UNEFA - Guacara

Estado Carabobo, por darme la oportunidad de impulsar la presente investigación.

A todos… ¡GRACIAS!

Nunca se acaba de comprender.Todo saber auténtico y vivo

comporta su halo de bruma y sus zonas oscuras,por lo que deberíamos dedicar aquí

un verdadero elogio a la imperfección.

JEAN PIERRE ASTOLFI

x

ÍNDICE GENERAL

pp.

DEDICATORIA…………………………………………………………...... ix

RECONOCIMIENTOS……………………………………………………... x

LISTA DE CUADROS…………………………………………………….... xiv

LISTA DE GRÁFICOS……………………………………………………... xv

RESUMEN…………………………………………………………………... xvii

ABSTRAC

T…………………………………………………………………...

xviii

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………… 19

CAPÍTULO I. EL PROBLEMA 22

Planteamiento del problema…………………………………………….. 22

Objetivos de la Investigación…………………………………………… 35

Objetivo General…………………………………………………… 35

Objetivos Específicos………………………………………………. 35

Justificación de la Investigación………………………………………... 35

CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO 39

Antecedentes de la Investigación……………………………………….. 39

Fundamentación Teórica………………………………………………... 42

Bases Epistemológicas……………………………………………... 42

Bases Psicológicas…………………………………………………. 44

Concepto de “Error”………………………………………………... 49

Características Fundamentales de los Errores……………………… 51

Categorías de errores en el aprendizaje de la Matemática…………. 52

Clasificación de los Errores………………………………………... 53

Tipología de los Errores de los alumnos según Astolfi…………… 53

Sistema de variables…………………………………………………….. 60

Variables…………………………………………………………… 60

Operacionalización de las Variables…………………………………… 61

CAPÍTULO III. MARCO METODOLÓGICO 62

Enfoque y paradigma…………………………………………………… 62

Diseño de Investigación………………………………………………... 63

Tipo y Nivel de Investigación………………………………………….. 64

Matemática II en la carrera Economía Social de la UNEFA…………... 65

Procedimiento de la Investigación……………………………………... 66

Primera Fase……………………………………………………….. 66

Segunda Fase………………………………………………………. 69

Tercera Fase……………………………………………………….. 71

Población y Muestra…………………………………………………… 71

Técnicas e Instrumentos de Recolección de Datos…………………….. 72

Validez y Confiabilidad………………………………………………... 73

CAPÍTULO IV. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS 78

Presentación de los Resultados……………………………………….... 79

Instrumento No. 1: Prueba Diagnóstico………………………………... 80

Instrumento No. 2: Evaluación No. 1…………………………………... 91




CAPÍTULO V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 107

Conclusiones de la investigación………………………………………. 107

Recomendaciones……………………………………………………… 112

REFERENCIAS……………………………………………………………. 115

ANEXOS 119

A. Instrumento de Validación…………………………………………. 120

xii

B. Instrumento de validación de la Prueba Diagnóstico……………….. 121

C. Prueba Diagnóstico (Instrumento definitivo)……………………….. 127

D. Instrumento de validación de la Evaluación No. 1………………….. 128

E. Evaluación No. 1 (Instrumento definitivo)………………………….. 133

F. Instrumento de validación de la Evaluación No. 2………………….. 134

G. Evaluación No. 2 (Instrumento definitivo)………………………..... 139

H. Instrumento de validación de la Evaluación No. 3………………….. 140

I. Evaluación No. 3 (Instrumento definitivo)……..……………………. 146

J. Instrumento de validación de la Evaluación No. 4…………………... 147

K. Evaluación No. 4 (Instrumento definitivo)…...…………………….. 152

L. Coeficiente de correlación Pearson entre las dos evaluaciones…….. 153

xiii

LISTA DE CUADROS

CUADRO pp.

1 Estadísticas de estudiantes inscritos, aprobados y aplazados en el segundo período del 2010 y en el primer período lectivo del 2011……………………………………………………………

33

2 Matriz de operacionalización de las Variables………………… 61

3 Contenidos de matemática preuniversitaria tomados en consideración para la elaboración de la Prueba Diagnóstico…… 67

4 Valores y significado del coeficiente de confiabilidad…………. 76

5 Frecuencia de respuestas correctas, no respondidas e incorrectas por ítem en la prueba diagnóstico………………………………. 79

6 Frecuencia de respuestas correctas, no respondidas e incorrectas por ítem para cada evaluación parcial de Matemática II……….. 90

7 Errores cometidos de acuerdo a los contenidos de matemática preuniversitaria y a la tipología de Astolfi, 1999……………….. 102

xiv

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO pp.

1 La comprensión de las instrucciones. Adaptado de Astolfi, 1999 54

2 Hábitos escolares o de mala interpretación. Adaptado de Astolfi, 1999……………………………………………………. 55

3 Concepciones alternativas. Adaptado de Astolfi, 1999………… 56

4 Operaciones intelectuales implicadas. Adaptado de Astolfi, 1999……………………………………………………………... 56

5 Procesos adoptados. Adaptado de Astolfi, 1999……………….. 57

6 Sobrecarga cognitiva. Adaptado de Astolfi, 1999……………… 58

7 Origen en otras disciplinas. Adaptado de Astolfi, 1999………... 58

8 Complejidad propia del contenido. Adaptado de Astolfi, 1999… 59

9 Tipología de errores de Astolfi, 1999. Terán, H., 2017………… 59

10 Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Prueba Diagnóstico…... 80









19 Porcentaje de respuestas para el ítem 10. Prueba Diagnóstico…. 88

20 Porcentaje de respuestas para el ítem 1-a. Evaluación No. 1…… 91

21 Porcentaje de respuestas para el ítem 1-b. Evaluación No. 1…... 92

22 Porcentaje de respuestas para el ítem 1-c. Evaluación No. 1…… 92

xv

23 Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Evaluación No. 2……... 93








31 Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Evaluación No. 4…….. 98



34 Porcentaje de respuestas para el ítem 2-c. Evaluación No. 4…… 100


36 Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.. 104



xvi



Autor: Lcdo. Helys Joel Terán TeránTutora: Dra. Vilma MoralesFecha: Diciembre, 2017

RESUMEN

Esta investigación tuvo como objetivo analizar los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria, que presentan los estudiantes de Economía Social, en la resolución de integrales de la asignatura Matemática II de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas (UNEFA), extensión Guacara del Estado Carabobo. La fundamentación teórica se centró en la Tipología de Astolfi (1999) sobre los errores de los alumnos. La metodología empleada se basó en el paradigma positivista con un enfoque cuantitativo, sustentado en una investigación de campo no experimental, de nivel transversal o transeccional y descriptivo. Los datos se obtuvieron a través de pruebas de evaluación; primero, por una prueba tipo ensayo denominada “prueba diagnóstico” y, segundo, cuatro (4) evaluaciones aplicadas durante el semestre académico, siendo objeto de estudio toda la población puesto que se realizó un estudio de tipo censal, la cual estuvo conformada por trece (13) estudiantes. El instrumento fue sometido al juicio de expertos para su validación, con respecto a la confiabilidad se obtuvo por medio del coeficiente de correlación Pearson correspondiente a las pruebas de formas equivalentes o de formas alternas. Se concluyó, entre otros aspectos, que los estudiantes no están debidamente preparados con los contenidos previos para desenvolverse satisfactoriamente en Matemática II. En tal sentido, se recomienda a los docentes que identifiquen los errores que presentan sus estudiantes de manera tal que a éstos se les dé un nuevo enfoque, dejar de usarlos en forma punitiva y convertirlos, mediante novedosas estrategias, en una oportunidad para aprender.

Palabras clave: Errores, matemática preuniversitaria, error en el aprendizaje de la matemática.

Línea de Investigación: Enseñanza, Aprendizaje y Evaluación de la Educación Matemática.Temática: Procesos de enseñanza y aprendizaje en los diferentes niveles y modalidades de la educación matemática.Sub-Temática: Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de la Matemática.

xvii

ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES

UNIVERSITY OF CARABOBOFACULTY OF EDUCATION

GRADUATE ADDRESSMASTERS IN MATHEMATICS EDUCATION

Author: Lcdo. Helys Joel Terán TeránTutor (a): Dra. Vilma MoralesYear: December, 2017

ABSTRACT

The university mathematics, presented by Social Economy students, in the resolution of integrals of Mathematics II of the National Polytechnic Experimental University of the Armed Forces (UNEFA), Guacara extension of the Carabobo state. The theoretical foundation focused on the Typology of Astolfi (1999) on the errors of the students. The methodology used was based on the positivist paradigm with a quantitative approach, based on a non-experimental field research, of a transversal or transectional and descriptive level. The data was obtained through evaluation tests; first, by a test type called "diagnostic test" and, second, four (4) evaluations applied during the academic semester, the whole population being studied since a census-type study was carried out, which consisted of thirteen (13) students. The instrument was submitted to expert judgment for validation, with respect to the reliability was obtained by means of the Pearson correlation coefficient corresponding to the tests of equivalent forms or alternate forms. It was concluded, among other aspects, that the students are not properly prepared with the previous contents to perform satisfactorily in Mathematics II. In this sense, teachers are recommended to identify the errors presented by their students in such a way that they are given a new focus, stop using them in a punitive way and convert them, through novel strategies, into an opportunity to learn.

Keywords: Errors, pre-university mathematics, error in the learning of mathematics.

Research Line: Teaching, Learning and Evaluation of Mathematics Education.Theme: Teaching and learning processes in the different levels and modalities of mathematics education.Sub-Theme: Difficulties, obstacles and errors in the learning of Mathematics.

xviii

ERRORS IN THE LEARNING OF PRE-UNIVERSITY MATH PRESENT IN THE RESOLUTION OF INTEGRALS

INTRODUCCIÓN

La educación matemática en la actualidad tiene diversidad de líneas de

investigación las cuales intentan estudiar fenómenos que intervienen en la enseñanza

y aprendizaje de la disciplina numérica, es por ello, que en el presente, parece haber

una ola de investigación, en auge y expansión, permitiendo a muchos investigadores

del mundo buscar mejoras al sistema educativo y estrategias o pautas que faciliten la

comprensión de la matemática en los diferentes niveles, tomando en cuenta el entorno

y el contexto.

Considerando el planteamiento anterior, se puede decir, que la educación

matemática está en renovación y los cambios pedagógicos, particularmente,

comprenden la atención de contenidos y procesos que se llevan a cabo en el

desarrollo de la comprensión, razonamiento y resolución de problemas. Se asume que

hay deficiencias en la enseñanza y en la forma de recibir los objetos numéricos, por lo

que se insiste en analizar los errores de aprendizaje de los estudiantes en la

matemática preuniversitaria. También hay coincidencia en la intención de realizar

minuciosos análisis de contenidos en los materiales de evaluación de manera que se

puedan identificar las diversas dificultades que se encuentran registradas, no sólo en

los escritos de los estudiantes, sino también en la praxis de los docentes, con la

intención de describir el modo en que esos errores inciden en el proceso de

enseñanza-aprendizaje.

Todo investigador que profundice en la búsqueda de conocimientos en educación

matemática converge en indagar; la comprensión, análisis y resolución de problemas

numéricos por intermedio del análisis de los algoritmos matemáticos que expliquen

las razones de errores de un determinado contenido o fallas en la solución de un

problema, donde el conocimiento se ha desarrollado de manera defectuosa. Sin

embargo, es importante destacar que este tipo de errores no viene dado en el

procedimiento por sí sólo, sino que se estructura desde la percepción mental, en la

capacidad de cognición del ser humano, es por ello que surge la necesidad de tomar

en consideración otros factores que influyen en la manera de procesar la información,

destacando todos los elementos que forman parte de un individuo, tal como lo son:

sus ideas, intereses, necesidades y expectativas.

En relación con los párrafos anteriores, cuando el docente de matemática evalúa

de forma oral, escrita o práctica algún contenido de la asignatura que dicta, en

cualquier nivel, surge la preocupación al observar que los resultados no son los

esperados; existen en tales respuestas errores de aprendizaje presentes en el desarrollo

de la misma o simplemente no existe ninguna respuesta. Por ello, surgen

interrogantes sobre el qué ha pasado, cuáles son las causas de las equivocaciones del

estudiante.

En este orden de ideas, el investigador ha observado por varios semestres

consecutivos que el rendimiento en la asignatura Matemática II de Economía Social

de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas

(UNEFA) es poco satisfactorio, por lo que en este estudio, se ha planteado realizar un

diagnóstico para conocer los errores en el aprendizaje de la Matemática, adquiridos

en la Educación Media General (se denominará matemática preuniversitaria), que el

estudiante trae consigo y analizar cómo éstos están presentes en el desempeño de la

mencionada asignatura, mediante la metodología que se explica a continuación.

En el capítulo I, se presenta la descripción y formulación del problema donde se

resalta la necesidad de hacer un estudio en cuanto a las dificultades que presentan, en

el aprendizaje, los estudiantes en el área de matemática. Igualmente, se plantean los

objetivos de la investigación que permitirán de manera metódica el análisis y

descripción de la situación, así como también la justificación y relevancia del estudio.

En el capítulo II, se presentan los antecedentes de otras investigaciones, los

postulados teóricos que apoyan y sustentan el presente estudio, asimismo, en este

apartado del proceso de investigación, se presenta la tabla de operacionalización de

variables.

20

En el capítulo II, se vislumbra la metodología empleada en la investigación,

describiendo el enfoque, paradigma, diseño, tipo y nivel de la investigación, de igual

manera se detalla la población estudiada, las técnicas e instrumentos de recolección

de datos así como también la validez y confianza.

En el capítulo III, se presenta el análisis e interpretación de los resultados que se

obtuvieron del presente estudio, donde se analizan cada uno de los ítem de las

pruebas realizadas durante el desarrollo del semestre las cuales permitieron hacer el

análisis de los errores encontrados en el diagnóstico, su presencia en el desempeño de

matemática II y en las pruebas aplicadas a los estudiantes de segundo semestre de

Economía Social de la UNEFA.

Finalmente, en el capítulo IV se presentan los hallazgos de la investigación, a

través de las conclusiones y recomendaciones.

21

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

Planteamiento del problema

El error forma parte de la cotidianidad del ser humano, pues podría decirse que es

un conocimiento deficiente e incompleto en cualquier faceta de su vida. El campo

educativo no escapa de ello; en el proceso de la enseñanza y aprendizaje de la

matemática, siempre ha existido, en todos los niveles educativos, la preocupación por

los errores de aprendizaje presentes en el desempeño del alumnado, ya que éstos

representan uno de los factores que lo inducen al fracaso escolar. Prueba de esta

preocupación se traduce en las múltiples investigaciones, que han surgido al respecto,

en todos los ámbitos educativos y en muchas partes del mundo.

Es importante tomar en consideración que el error en el aprendizaje de la

matemática debería asumirse, no como un elemento que está allí presente, sino, como

un elemento que pueda ser útil e interesante para la adquisición y reformulación de un

nuevo y mejor conocimiento, al respecto Abrate, Pochulu y Vargas (2006)

manifiestan que: “el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a

ser considerado como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno

y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos” (p. 12).

Ahora bien, el error se manifiesta en el estudiante a través de su capacidad

cognitiva, siendo más preciso, en las operaciones matemáticas, puesto que al

desarrollar las actividades de matemática se observan constantes errores, según lo

expresado por De la Torre (2004): “el alumno realiza las operaciones matemáticas de

forma mecánica, porque ya las domina, pero ante el error cometido presta mayor

atención para descubrir dónde pudo tener el fallo” (p. 49); de acuerdo al autor antes

mencionado, el estudiante incurre en el error al realizar las operaciones matemáticas

de manera mecánica, debido a que olvidan realizar un análisis cuidadoso antes de dar

respuesta, sin embargo, al cometer un error y hacerlo consciente está dispuesto en

aclarar las dificultades que se le presentan.

No sólo existe preocupación a nivel del profesorado por este tema, además, existen

organizaciones que se interesan en realizar estudios mediante programas con la

finalidad de conocer el nivel de desempeño matemático, tal es el caso, del Programa

para la Evaluación Internacional de los Alumnos (PISA), proyecto coordinado por la

Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE, 2012), en el

cual se pudo observar a nivel mundial las carencias en el desempeño por parte de los

estudiantes en la matemática, viéndose reflejado en los porcentajes con indicadores

negativos.

Para ello, se contó con la participación de 34 países miembros de la organización y

31 economías y países asociados, por ende, se hace mención de algunos países que

obtuvieron resultados negativos, es decir, no alcanzaron el nivel básico (nivel 2), de

acuerdo a la OCDE la media para establecer la cuota de este nivel fue de 23%,

entendiéndose que los porcentajes superiores a éste se encuentran catalogados como

resultados poco satisfactorios, a continuación se presentan los países que se

encontraron por encima de este porcentaje: Estados Unidos (25,8%), Suecia (27,1%),

Eslovaquia (27,5%), Grecia (35,7%) y los Emiratos Árabes Unidos (46,3%), en

consecuencia, representan un nivel de desempeño poco favorable según lo esperado

por esta organización.

De igual forma, esta circunstancia no sólo se presenta en los países antes

mencionados, sino también, en ocho (8) países latinoamericanos quienes participaron

dentro del mismo programa PISA, en los cuales se pudo observar mayor porcentaje

en cuanto al bajo rendimiento en el área del conocimiento de la matemática, a

continuación, se mencionan los países y economías asociadas: Uruguay (55,8%),

23

Costa Rica (59,9%), Argentina (66,5%), Brasil (67,1%), Colombia (73,8%), Perú

(74,6%), así como también los países, Chile (51,5%) y México (54,7%), miembros de

la OCDE, todos con un rendimiento en matemáticas por debajo del nivel esperado en

la evaluación de PISA.

En este particular, es importante destacar aunque Venezuela no participó en estos

estudios, se toma en consideración los resultados del mismo para fines de la presente

investigación, ya que a través de ellos se muestran unos indicadores negativos en

cuanto a la evaluación en el área de matemática a nivel mundial, teniendo como

común denominador una baja capacidad para formular, interpretar y emplear las

matemáticas en los distintos contextos, incluyendo conceptos y procedimientos

matemáticos para describir y explicar fenómenos, lo cual se utilizó como referencia

para el desarrollo del presente trabajo de grado.

De tal manera que, reflexionando acerca de los resultados de PISA, descritos en

párrafos anteriores y comparándolos con lo observado a nivel nacional en Venezuela,

es importante destacar la opinión de Albornoz (2013) quien plantea: “más que una

receta para encaminarnos hacia el éxito académico, (…) lo que observamos

actualmente en Venezuela es una receta para el fracaso, porque estamos siguiendo

una aventura experimental cuando requerimos es una reforma convencional” (p. 93),

tal como lo expresa el autor es de suma importancia considerar el hecho educativo

desde la realidad y no experimentar en el camino, lo que sugiere asumir planes

controlados que ayuden a mejorar la educación en Venezuela. Es por ello que, al

observar de manera general los diferentes niveles de la educación Venezolana, se

puede notar que los educandos no escapan de estas dificultades y pareciera tener

mayor incidencia en el área de la matemática, por lo cual es importante escudriñar en

el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

Ante lo expuesto, es válido considerar que todo docente al entrar en un aula de

clases puede percibir, a través de diferentes formas de expresión, las expectativas,

metas u objetivos de los educandos con respecto a la materia, sin embargo, lo que es

24

difícil de notar a primera vista es la manera en la cual los estudiantes procesan la

información que se les emite, ya que cada uno es diferente y tiene una forma especial

de organizar sus ideas y construir su propio conocimiento.

En este sentido, Popper y Lorenz (2000) afirman que: “nuestra cabeza es un cubo

con una tapa llena de agujeros, a través de los cuales se infiltra información

procedente del mundo. Esa es la teoría que fundamenta la pedagogía actual” (p.70).

Esta perspectiva del autor, sugiere que toda la información que se nos suministra es

depositada en la cabeza, sin embargo no detalla cómo se procesa, pues cada individuo

es único y diferente.

Tal como lo expresa, Briceño (2011), al referirse que el aprendizaje:

…parte siempre de la recepción de algún tipo de información, de todos los datos que se reciben, se selecciona y se organiza la información. Sin embargo, este proceso de aprendizaje es algo más complejo debido a la multiplicidad de variables, elementos y estrategias que influyen en el mismo. En este desarrollo cognitivo están no solamente el recibir y enviar mensajes o contenidos sino también la práctica, análisis, reflexión y razonamiento de pensamientos, ideas y estructuras. Igualmente, no todas las personas aprenden igual ni a la misma velocidad, lo cual no es ninguna novedad (p.143).

En relación al párrafo antes citado, la autora describe que el aprendizaje parte de

los datos obtenidos, los cuales deben procesarse mediante la organización de la

información, pero que no se queda sólo en ello pues existen diversos elementos que

influyen en él, de igual manera, hace mención a la importancia que tienen factores

como: la práctica, el análisis, reflexión, razonamientos, ideas y estructuras para el

desarrollo cognitivo del individuo, por lo cual es importante que el educando estimule

su aprendizaje para que éste sea más significativo, atendiendo a su propio estilo,

método o estrategia para aprender.

En este mismo sentido, en 1979, Keefe (en Oxford, 1990), define los estilos de

aprendizaje como: “tratos fisiológicos, afectivos y cognitivos que son indicadores

relativamente estables de cómo los aprendices perciben, interactúan con y responden

25

al ambiente de aprendizaje” (p. 6); lo que implica que los estudiantes pueden

responder de diferentes maneras a la información que recopilan en un aula de clases,

tomando en cuenta su propia manera de organizar los datos, mediante los tratos

fisiológicos, afectivos y cognitivos que le funcionen para la adquisición del

conocimiento.

Si bien es cierto que, cada estudiante es responsable de conocer y familiarizarse

con el método, estrategia o estilo que le ayude a profundizar en su propio aprendizaje,

también lo es que los educadores son parte fundamental para impulsar y motivar a los

estudiantes a descubrir la manera en que éstos pueden mejorar sus conocimientos, es

por ello que se toma en consideración la opinión de Briceño (op. cit), quien

manifiesta que:

Los estilos y estrategias de aprendizaje sobresalen entre las variables más importantes que influyen en la actuación de los estudiantes, por lo tanto, los facilitadores pueden ayudar a sus estudiantes concibiendo una instrucción que responda a las necesidades de la persona con diferentes preferencias estilísticas y enseñándoles a la vez la forma de mejorar sus estrategias para adquirir conocimiento (p.145).

Del párrafo descrito anteriormente, vale la pena preguntarse si en el proceso de

aprendizaje de la matemática y la minimización de los errores, ¿es importante la

didáctica del docente?, citando a D’Amore (2005): “la suposición más o menos

explícita parecía ser la siguiente: si se mejora la enseñanza, mejorará también el

aprendizaje” (p. 11), en consecuencia, se debe a través de la didáctica de la

matemática empleada por el docente, identificar los errores cometidos por el

estudiante, los cuales, no se deben asumir como elementos negativos, sino al

contrario, tomar acciones de corrección que permitan construir un aprendizaje más

significativo.

Podría decirse entonces que, estos errores detectados en el aprendizaje del

educando pueden mejorarse empleando una didáctica donde no sólo, el horizonte, sea

impartir un contenido a cabalidad, sino que es necesario interesarse también en cómo

26

va a ser enseñado ya que es importante tomar conciencia en lo que se refiere a la

necesidad de perfeccionar la didáctica en beneficio de la formación del estudiante.

De tal manera que, el docente de matemática debe prestar atención al identificar

errores en el aprendizaje de los estudiantes, debido a que es él quien facilita los

elementos de aprendizaje a través de la enseñanza, ya que debería estar en constante

actualización e intercambio de opiniones en conferencias sobre didáctica de la

matemática y pedagogía en cuanto a la educación, al respecto Mora (2004) señala

que:

La complejidad que caracteriza la educación, está determinada por un conjunto de variables pedagógicas, didácticas, culturales, sociales, económicas y políticas, lo cual compromete continuar más en la búsqueda de caminos con la finalidad de mejorar la práctica como docentes de aula y, por lo tanto, aportar argumentos que impulsen la transformación de la educación matemática (p. 84).

Como consecuencia de esto, se podría obtener una mejora en la formación de los

aprendices y así disminuir los errores y obstáculos que no los dejan avanzar; sin

embargo, pareciera que el estudiante en su proceso de aprendizaje pasa por alto estos

elementos o estrategias didácticas que el docente utiliza para obtener resultados

favorables en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática.

Además, para la obtención de resultados favorables en matemática, se debe tomar

en consideración al ser humano en todas sus etapas y pasos por los diferentes niveles

del sistema educativo; en tal sentido, el niño desde su primer contacto con el mundo

que lo rodea, va asimilando de una manera informal la idea de número, forma,

tamaño y en su evolución va incorporando nuevos contenidos, de allí que la

matemática siempre se encuentra inmersa en las actividades del diario vivir, es así

como el niño explora y usa la lógica racional, como característica innata va

desarrollando la disciplina matemática con la estimulación de padres, como primeros

maestros y el medio ambiente; de acuerdo al boletín emitido por Massachusetts PIRC.

27

Luego de este aprendizaje intuitivo, el niño comienza su tránsito hacia un

aprendizaje formal. En este camino hacia el aprendizaje de la matemática, el niño va

concibiendo conceptos o procedimientos erróneos que se convierten en preocupación

constante para el docente, ya que éstos aparecen de manera sistemática en la

construcción del conocimiento, por tal motivo, en este proceso debería estar presente

la corrección y superación de los mismos mediante actividades que le permitan al

estudiante tener una práctica constante, y así disminuir las dificultades presentes en el

procedimiento y manejo adecuado de la definición de los contenidos matemáticos.

Es así que el docente, en los primeros años de formación del niño específicamente

en la Educación Básica, juega un papel fundamental, debido a que si el niño en esta

etapa comete errores y se penaliza como un acto negativo, podrían convertirse estas

dificultades en una forma de odio o rechazo, lo que en un futuro pudiera

transformarse en uno de los factores de retraso académico y quizás de deserción

escolar y exclusión social, esto sustentado en un artículo de Rivas (2005), donde

plantea:

Un docente cuya visión del fenómeno educativo se expresa en los hechos, negándole al niño la posibilidad de que construya y reconstruya los saberes escolares, en virtud de asumirse él, como fuente básica del conocimiento, propiciando una nefasta dependencia en el niño y creando condiciones favorables para que el verbalismo, el formulismo y el aprendizaje mecánico se instalen desde temprana edad escolar (p. 167).

Es decir, si quienes imparten una enseñanza matemática, desde una adición o

sustracción, emplean recursos y metodologías pedagógicas que promueven más que

técnicas, procedimientos reales, lógicos y contextualizados, adecuados para los

primeros años de educación en el proceso de enseñanza y aprendizaje, el proceso

sería más efectivo en el individuo en formación, evitando dificultades y errores en el

aprendizaje del educando.

El perfil del docente, requiere de acciones concretas, que sin duda se relacionan

con el profesional que ejerce en el campo de la matemática, es por ello que ser

docente no significa vaciar contenidos repetitivos, definitivos, es necesario que se

28

aborden con propiedad nuevos paradigmas, en miras hacia una educación de calidad,

en este sentido Murillo (2003) afirma que el docente necesita: “una interesante

propuesta de actualización del maestro de matemática bajo los nuevos preceptos

teóricos-prácticos de las matemáticas a través de situaciones de aprendizajes

significativos tomadas de la vida cotidiana” (p. 178). De acuerdo a esto, se vislumbra

que en la matemática es propicio incorporar diversas situaciones de aprendizaje que

permiten generar en los educandos un aprendizaje significativo, que atienda a su

contexto cotidiano, promoviendo así un conocimiento funcional en el estudiante, que

permita aportar soluciones en el medio que le rodea.

En los párrafos anteriores, se ha insistido en la preparación del docente, ya que

debe ir a la par con la enseñanza, y todo buen método de aprendizaje debe incidir en

el estudiante asertivamente, adecuar diversas estrategias para la mediación de los

contenidos que permitirán el logro de los objetivos planteados.

El Currículo Básico Nacional y sus programas presentan nuevos modelos

contextualizados y articulados con otras asignaturas para la enseñanza y aprendizaje

de la matemática, dándole un carácter de interdisciplinario, pero se desconocen los

resultados de investigaciones al respecto y se evidencia rendimiento poco

satisfactorio en carreras universitarias, donde el conocimiento previo, matemática

adquirida en niveles anteriores, se es requerido.

En lo que se refiere al Currículo Nacional Bolivariano, del subsistema de

Educación Primaria que contempla lo siguiente: “el maestro y la maestra planificarán

junto con los niños, las niñas y otros colegas, las experiencias de aprendizajes que se

caractericen por la investigación y que conlleven tanto a la comprensión de ideas

matemáticas, como estrechar relaciones con el ambiente” (p. 21), de esta manera los

docentes en conjunto con los niños y niñas se apropian de los paradigmas

innovadores, entonces cabría preguntarse: ¿En la realidad se aprecia y practica lo

descrito en éste y en los párrafos anteriores?, ¿el maestro le da sentido a esta

contextualización?, ¿ha sido o se ha preparado para ello?

29

En virtud de esto último, haciendo una reflexión en la manera común de enseñar

matemática y, de generar aprendizajes en los distintos niveles del sistema educativo,

particularmente, en los primeros grados básicos de la educación integral del

educando, la pedagogía de la escuela pareciera que produce el conjunto de creencias

o mitos de la traumática experiencia de muchas generaciones de estudiantes en cuya

memoria escolar está anidada el estigma de una matemática que despertó miedo en su

edad escolar.

Por otro lado, y tomando en cuenta las consideraciones anteriores, en las

instituciones de Educación Media General, a pesar de que en la educación matemática

hay docentes que toman posturas tradicionalistas, otros modernas y avanzadas,

existen muchos que tienen el propósito de ayudar a superar los errores que presentan

los estudiantes en su aprendizaje, con el objetivo de eliminar las costumbres escolares

tradicionalistas donde sólo se dedica a recibir contenidos que a la larga inducen hacia

el error en el aprendizaje de la matemática, en palabras de Rico (1997) plantea que

hay:

Dos estereotipos del profesor de matemáticas: aquél que mantiene una posición convencional y tradicional, aquél otro que sostiene posiciones modernas y avanzadas. […], hay una serie de consideraciones generales que ambos tipos de profesores comparten tales como que el error es algo natural, que debe diagnosticarse de inmediato y que hay que ayudar a los alumnos a superarlo (p. 2).

La noción de número es de forma intuitiva desde los primeros meses de vida,

concreta en el nivel primaria y más formal en Educación Media General: números

naturales, enteros, racionales, irracionales, reales e imaginarios, ecuaciones,

funciones, trigonometría, figuras geométricas, entre otros temas de gran relevancia,

son temas que juegan un papel en la construcción del conocimiento, que servirá de

base para su educación superior. En función de ello, el currículo de Liceos

Bolivarianos plantea que: “es fundamental desarrollar en él y la adolescente, los

procesos matemáticos para el estudio de situaciones, tendencias, patrones, formas,

diseños, modelos y estructuras de su entorno” (p. 16), sin embargo, pareciera aún que

30

los contenidos continúan aislados y sin denotar relevancia en cuanto a la resolución

de situaciones en el contexto real del educando.

Además, de los conocimientos o aprendizajes de matemática que adquieren los

estudiantes en la secundaria, por lo anteriormente citado, el currículo busca la

comprensión de la realidad para la transformación social, esto pareciera que no se

cumple en su totalidad debido a los errores que permanecen en el aprendizaje de los

estudiantes, que no solo están presentes en la educación media, sino que continúan

siendo evidentes en los niveles de educación superior.

Por otra parte, las demandas que surgen en este contexto educativo

correspondiente al nivel superior ya no son solamente lograr los aprendizajes

tradicionales de la escuela sino manejar e interpretar contenidos y estrategias

didácticas que permitan un aprendizaje significativo y con él, desarrollar un

conocimiento apto que le permita al educando desenvolverse en un futuro en un

campo profesional; Morles, Medina y Álvarez (2003), al respecto señalan que: “los

vínculos existentes en Venezuela entre las instituciones de educación superior y otros

niveles del sistema educativo (el primario y el secundario) han sido hasta ahora, en

general, bastante débiles, pero con tendencia a fortalecerse” (p. 85).

En este mismo sentido, es importante resaltar que las instituciones de educación

superior tienen un papel fundamental en la formación de la ciudadanía, al respecto,

Pernía (2010) considera que: “las instituciones de educación superior, […], deben

tomar conciencia de la necesidad e importancia sobre la formación profesional amplia

y sólida en los diferentes procesos que involucra la docencia de la matemática en

todos los niveles” (p. 97), es decir los docentes de matemática en educación superior

deben contar con una preparación que les permita detectar y diagnosticar los errores

que el estudiante trae de niveles previos, además adaptar estrategias metodológicas

que ayuden a superar dichos errores.

Ahora bien, si el docente de matemática de educación superior debe subsanar los

errores, se hace cuesta arriba el cumplimiento de los objetivos propuestos en este

31

nivel. En tal sentido, es necesario el estudio de errores de aprendizaje que están de

forma constante en las evaluaciones aplicadas a los estudiantes, por lo que amerita

hacer un análisis de los mismos para contribuir a minimizarlos, de tal manera, que no

interfiera en el logro de los nuevos objetivos.

Es por ello que, se debe tomar en cuenta las conclusiones y aportes del programa

PISA, mencionado en párrafos anteriores, donde señala la ausencia de definiciones

básicas, anclaje de conocimientos, aunado al proceso de aprendizaje en el desarrollo

cognitivo de los estudiantes, esto sin duda alguna conllevan a la constante evidencia

de errores. En 1980, Matz (citado en Socas, 2007), señala que: “los errores son

intentos razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una

nueva situación” (p. 33), de esto se puede decir que a pesar de que el error constituye

un aspecto negativo, son intentos para hallar una solución a nuevos problemas.

Por ende, los errores que padecen los estudiantes en el nivel de educación

superior, deberían ser tomados en cuenta, revisados y analizados para minimizarlos,

en este sentido, Socas (2007) plantea lo siguiente:

Las investigaciones desarrolladas en este sentido nos han llevado a profundizar más en el origen y causa de los errores y a revisar los errores desde dos puntos de vista: las dificultades inherentes a las Matemáticas y las dificultades inherentes al proceso de enseñanza y aprendizaje de las mismas en el ámbito escolar. (p. 24).

Ahora bien, el fracaso del estudiantado por constantes errores en el aprendizaje de

la matemática, es lo que ha motivado el presente estudio, donde el investigador, a

través de su experiencia como docente, ha venido observando, con preocupación, en

la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas (UNEFA),

extensión del núcleo de Carabobo ubicada en el Municipio Guacara del Estado

Carabobo, el desempeño poco satisfactorio de los estudiantes en la asignatura

Matemática II, de la carrera de Economía Social, durante varios semestres, para el

segundo período del 2010 (II-2010), y el primer período del 2011 (I-2011) (Ver

Cuadro 1), y al parecer, una de las causas del problema está en concepciones erróneas

y la falta de los conocimientos previos en el aprendizaje de la matemática de niveles 32

anteriores, matemática preuniversitaria, los cuales se traducen en altos porcentajes de

aplazados en los parciales de dicha asignatura, sobre todo al momento de resolver

integrales, estando este contenido presente en todos los parciales.

Cuadro 1

Estadísticas de estudiantes inscritos, aprobados y aplazados en el segundo período del 2010 y en el primer período lectivo del 2011

Segundo semestre 2010 Primer semestre 2011

InscritosAprobados Aplazados

InscritosAprobados Aplazados

No. % No. % No. % No. %

96 52 54 44 46 57 36 63 21 37

Fuente. Departamento de Ingresos (UNEFA)

Una vez revisados los porcentajes descritos en el cuadro anterior, proporcionados

por el departamento de ingresos de la mencionada universidad, se pudo observar que

aunque en ambos semestres la mayoría de los estudiantes aprobaron la asignatura, el

rendimiento no es del todo satisfactorio además se visualiza que la cantidad de

estudiantes inscritos para el primer semestre del 2011, está por debajo del semestre

anterior. Esta problemática lleva a otras consecuencia, tales como: la deserción

estudiantil, lo cual se observa en el cuadro 1, donde para el segundo semestre 2010 la

matrícula estudiantil era de 96, quedaron 44 aplazados y para el primer semestre de

2011 se inscribieron sólo 57 estudiantes, lo que representa una diferencia

significativa.

Otro elemento a considerar es que la asignatura Matemática II de Economía Social

es prerrequisito de otras asignaturas del siguiente semestre tales como: Matemática III

(MAT-31135), lo cual trae como consecuencia el atraso del estudiantado en la carrera

de estudio y las implicaciones personales y psicológicas a que esto conlleva.

Todo esto, vinculado con las observaciones del investigador en el segundo

semestre del año 2013, le llevan a plantearse las siguientes interrogantes: ¿Cuáles son

los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria que presentan los 33

estudiantes cursantes de la asignatura Matemática II?, ¿Qué errores presentan los

estudiantes en la resolución de las integrales propuestas en los parciales respectivos

de la asignatura matemática II?, ¿De qué manera los errores en el aprendizaje de

matemática preuniversitaria están presentes en el desempeño de la asignatura

Matemática II de Economía Social?

Objetivos de la investigación34

Objetivo General

Analizar los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria, que

presentan los estudiantes en la resolución de integrales, de la asignatura Matemática

II de Economía Social de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las

Fuerzas Armadas (UNEFA), extensión Guacara del Estado Carabobo.

Objetivos Específicos

1. Identificar los tipos de errores en el aprendizaje de matemática

preuniversitaria, presentes en los estudiantes cursantes de la asignatura

Matemática II de Economía Social.

2. Determinar los errores de aprendizaje presentes en las evaluaciones parciales

de la asignatura Matemática II de Economía Social.

3. Describir los tipos de errores, que afectan la correcta solución de las

integrales, en las evaluaciones parciales de la Asignatura Matemática II de

Economía Social.

Justificación de la Investigación

La matemática contempla una de las áreas del conocimiento indispensable para el

desarrollo del pensamiento en el ser humano, ella vislumbra procesos racionales que

ayudan y promueven la cognición, mediante la comprensión y análisis de situaciones,

de tal manera que el individuo interactúa diariamente con los elementos que en ella

intervienen y a su vez el estudio de errores cometidos por los estudiantes se convierte

en una de las actividades de la acción educativa, es por ello que el presente estudio

está orientado al análisis de errores de aprendizaje que traen consigo los estudiantes

de la educación matemática preuniversitaria y su permanencia en matemática de

educación universitaria.

Al respecto la opinión de Morín (2003), constituye un aporte de gran relevancia,

ya que afirma que:

35

La racionalidad puede ser definida como un conjunto de las cualidades de verificación, control, coherencia, adecuación, que permiten asegurar la objetividad del mundo exterior y operar la distinción y la distancia entre nosotros y este mundo. A partir de ahí, y visto que todo conocimiento es traducción y reconstrucción y que las fermentaciones fantásticas parasitan cualquier conocimiento, el error y la ilusión son los problemas cognitivos permanentes de la mente humana. A pesar de sus capacidades de control y verificación, el conocimiento humano ha corrido y sigue corriendo riesgos formidables de error… (p. 108).

Considerando el planteamiento anterior, es necesario destacar que el error forma

parte de la cotidianidad y que es normal en la capacidad humana; sin embargo el

hacer conscientes las situaciones donde éste se expone, es probable que disminuya en

las futuras ocasiones, pues empleando la racionalidad, el individuo es capaz de actuar

con coherencia y reconstruir el conocimiento superando o evitando el error.

En vista de que la racionalidad en el individuo se desarrolla desde el momento de

su nacimiento, es relevante mencionar que la matemática es una de las pocas áreas

con la cual se trabaja desde la etapa inicial, donde se fundamenta la base del

conocimiento, requisito previo para el buen desenvolvimiento en los estudiantes a

medida que avanzan; es en este nivel de educación primaria donde se fija lo que será

en estudios posteriores el dominio de conceptos y algoritmos utilizados en

matemática de bachillerato (matemática preuniversitaria) por lo que, a través de esta

investigación se realizan unas pruebas con las cuales se pretende conocer y

determinar los errores en el aprendizaje de la matemática que persisten en los

estudiantes de las universidades Venezolanas, específicamente en la UNEFA.

En este sentido, el presente trabajo de investigación pretende dar respuesta a las

líneas estratégicas del sistema educativo superior, lo que permite promover

favorablemente un beneficio académico en los estudiantes en cuanto al aprendizaje

para entonces ir en pro de una calidad de educación, es por ello que constantemente al

inicio de año o semestre se debe tener como premisa reforzar lo ya adquirido, por lo

que el docente debe hacer un diagnóstico para detectar las necesidades que puedan,

los estudiantes, presentar en esta etapa preuniversitaria.

36

En relación al párrafo anterior, es importante clarificar que todos esos elementos

logran un impacto social, ya que al promover una educación en matemática que

media con el desarrollo del pensamiento, estudiando problemas relacionados con la

descripción e interpretación, forma parte de la realidad que asume y que rodea al

estudiante, de modo que se busca consolidar al recurso humano que será el que tome

las riendas y se desenvuelva en la sociedad en un futuro; para ello es necesario una

preparación en matemática adecuada que sugiera un desenvolvimiento favorable en

estudios posteriores.

De esta manera, se considera que los errores conducen a la frustración, repitencia

y deserción del estudiantado de la asignatura Matemática II de Economía Social, por

lo que este estudio contribuye de manera significativa a minimizar estos efectos,

divulgando los hallazgos de la misma ante los docentes, no sólo universitarios sino de

educación media general, a fin de poder discernir en los factores que inciden en esta

problemática.

En este orden de ideas, la presente investigación pretende ser un recurso

importante para el docente de educación media general, de manera que pueda fijar su

atención a las necesidades de los educandos, promoviendo estrategias de enseñanza

que desencadenen en el estudiante un aprendizaje significativo y al docente

universitario la amplitud de la mirada hacia las carencias de los participantes,

convirtiéndose éstas en oportunidades en vez de obstáculos.

Es por ello, que el presente estudio se interesa en el análisis de errores

permanentes que se evidencian en matemática II como consecuencia del

desconocimiento de conceptos, procedimientos o poca comprensión por parte de los

estudiantes y así mejorar los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria,

su permanencia en matemática II, no sólo brindando un beneficio a los estudiantes y

docentes de la institución donde se desarrolló la investigación, sino también a otras

instituciones e investigadores que deseen abordar problemáticas con índoles

similares.

37

En este sentido, es importante considerar la opinión de Popper y Lorenz (2000)

que explican:

La nueva escuela se va a caracterizar entonces porque el maestro no puede limitarse a la utilización de fórmulas o recetas fijas sino que tiene que ser un creador constante que está continuamente atento al desarrollo de sus alumnos y que le proporciona las oportunidades para que aprendan (p. 223).

Por otra parte, esta investigación constituye un punto de partida a otras

investigaciones tales como el estudio no solo de errores, sino de dificultades y

obstáculos que incidan en el desempeño de los estudiantes, por ende se facilita a otros

investigadores el estudio de esta temática ya que es una variante en la educación

matemática en el mundo y particularmente en Venezuela. En este sentido se puede

aseverar el aporte filosófico, teórico, metodológico, pedagógico y andragógico que el

presente estudio manifiesta, pues además de los autores que sustentan la investigación

con sus postulados y teorías, se encuentra un tipo de estudio que sugiere una base a

futuras investigaciones, de igual manera, a docentes de Educación Media y

Universitaria que deseen estudiar y ampliar este tipo de fallas.

38

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

En este capítulo se profundiza la manera de contextualizar el problema planteado

en la investigación, a través del progreso de una visión teórica que delimita la misma,

es aquí donde se detallan las actividades que el investigador lleva a cabo para tal

efecto como organización, determinación, obtención y consulta de los diferentes

postulados teóricos, es por ello que a continuación se esboza, en el presente marco

teórico los antecedentes, los fundamentos epistemológicos, psicológicos que le dan

pertinencia al estudio.

Antecedentes de la Investigación

Toda investigación amerita la consulta de estudios previos que le permitan orientar

su objeto de estudio, de tal manera que se puedan adquirir herramientas e información

necesaria que amplíe y guíe el trabajo de grado que se realiza, por esta razón, a

continuación se presentan algunos autores que desarrollaron estudios similares al

presente.

Azañero (2013), realizó una investigación titulada: Errores que presentan los

estudiantes de primer grado de secundaria en la resolución de problemas con

ecuaciones lineales, presentado ante la Pontificia Universidad Católica del Perú.

Cuyo objetivo general fue identificar los errores que cometen los estudiantes de

primer grado de secundaria al resolver problemas con ecuaciones lineales. Éstos

fueron determinados a través de una metodología basada en una prueba diagnóstico,

mediante una secuencia de problemas.

En tal sentido, este autor antes mencionado, de los resultados obtenidos concluyó

que: “al resolver problemas con ecuaciones lineales, los estudiantes muestran

dificultades” (p. 4), lo cual se relaciona con esta investigación ya que los estudiantes

de Matemática II de Economía Social presentan errores en el desempeño de la

asignatura, presumiblemente, como consecuencia del aprendizaje obtenido en los

contenidos de matemática preuniversitaria.

De Castro (2012), en su tesis doctoral: Estimación en cálculo con números

decimales: Dificultad de las tareas y análisis de estrategias y errores con maestros

en formación, presentado ante la Universidad de Granada. Dentro de los objetivos

planteados, por el autor, se encontró estudiar la dificultad relativa de las tareas de

estimación en función del tipo de operación y del tipo de número. La metodología de

la investigación se basó en dos partes complementarias: una de tipo cuantitativo,

llevada a cabo a través de la administración y posterior análisis estadístico de una

prueba de estimación, y otra de tipo cualitativo, realizada a través de entrevistas

individuales. Concluyó que: “la dificultad fundamental al estimar con decimales

radicó en los propios decimales. Entre las dificultades destacaron las producidas al

operar la coma decimal” (p. 454).

En ese mismo sentido; Herrera (2011), en su estudio: Obstáculos y errores en el

aprendizaje de los números irracionales para optar al título de Magister en Educación

Matemática, presentado ante la Facultad de Ciencias de la Educación de la

Universidad de Carabobo. Tuvo como objetivo general analizar los errores y los

obstáculos que presentan los estudiantes del 3° año de educación media general de la

Unidad Educativa Nacional “Creación Barrio 19 de Abril” en el aprendizaje de los

números irracionales. La metodología empleada estuvo bajo el enfoque cualitativo, de

tipo etnográfico. Concluye que los estudiantes hacen una asociación incorrecta entre

los signos y la operación aritmética así como la poca comprensión e identificación de

las características más relevantes de los elementos de cada conjunto numérico,

dejando un aporte a esta investigación, el estudio citado, con referente al análisis de

errores en el aprendizaje de las matemáticas preuniversitarias.

40

Por otra parte; Castillo (2011), en su trabajo de maestría titulado:

Representaciones simbólicas: un obstáculo para la solución de problemas

algebraicos, presentado ante la Universidad del Zulia. Cuyo objetivo general fue

determinar los errores asociados al manejo de los símbolos matemáticos presentes en

los estudiantes de tercer año de educación media general, de la Unidad Educativa

Colegio “Ntra. Sra. del Carmen” del municipio Machiques, del estado Zulia, que

pueden considerarse como un obstáculo para la solución de los problemas algebraicos

de contexto. Desarrolló una investigación descriptiva, con un diseño de campo, no

experimental, transeccional. Concluyó que los estudiantes colocaron de manifiesto

errores tales como la traducción del lenguaje ordinario al simbólico, la suma de

términos no semejantes, no incluir la variable de las operaciones aritméticas, entre

otros, que obstaculizan la satisfactoria resolución de problemas algebraicos de

contexto. En consecuencia, el estudio realizado por la autora citada, es tomado en

consideración para la presente investigación, ya que describe que los estudiantes

manifestaron errores básicos de matemática preuniversitaria que obstaculizan la

satisfactoria solución de problemas algébricos.

Vanegas (2011), en su tesis doctoral: Las representaciones de funciones

matemáticas de una variable, presentada ante la Universidad del Zulia. Se planteó

como objetivo general diseñar una propuesta didáctica con base en las indagaciones

obtenidas sobre conocimientos previos, representaciones mentales y capacidad de los

alumnos de cálculo I de la facultad de ingeniería de la Universidad del Zulia. En

cuanto a la metodología empleada se basó en una investigación mixta cuali-

cuantitativa de tipo fenomenológica. De acuerdo a los resultados que obtuvo,

determinó que las concepciones de los estudiantes son estables y meramente

operacionales, el lenguaje matemático muy deficiente, sus representaciones son de

tipo proposicional y analógicas sin llegar a representaciones mentales tipo modelos,

ni concepciones estructurales. En referencia a los errores cometidos por los

estudiantes fueron de razonamientos.

41

Piñero (2011), realizó un estudio titulado: Errores y obstáculos en el concepto de

número decimal de alumnos adultos de diferentes culturas en un entorno de falta de

libertad, presentado ante la Universitat Autónoma de Barcelona. El objetivo general

fue analizar los errores cometidos en las producciones de alumnos adultos de

diferentes culturas en una situación particular, la falta de libertad. El estudio se

enmarcó en una investigación cuantitativa, experimental de tipo Ex Post-Facto

realizando una descripción de los hechos ocurridos. En conclusión del autor, el

estudio ha puesto de manifiesto una dificultad general en los números decimales, con

sujetos que han cometido errores frecuentes.

Fundamentación Teórica

A continuación se presentan diferentes autores, cuyos postulados sustentan el

desarrollo de la investigación, las cuales se establecen en bases epistemológicas,

psicológicas, categorías, características y clasificación de errores:

Bases Epistemológicas

Popper (1979) plantea que: “el conocimiento no puede partir de la nada. El avance

del conocimiento consiste, principalmente, en la modificación del conocimiento

anterior” (p. 72). En otras palabras si se fundamenta el conocimiento a medida que se

avanza y llegan nuevos tópicos es donde se reformula el mismo, de manera más

explícita no hay fuentes últimas para alcanzarlo, la presencia del error es una

necesidad de un constante ejercicio de la crítica, todo esto se hace en virtud de

modificar los conocimientos deficientes.

Popper (1979) resume en nueve tesis los resultados epistemológicos de su

reflexión:

1. No hay fuentes últimas del conocimiento. Debe aceptarse toda fuente y toda

sugerencia y, en primer lugar, deben ser sometidas a un examen crítico.

2. La cuestión epistemológica adecuada no es la relativa a las fuentes; más bien

preguntaremos si la afirmación hecha es verdadera, si concuerda con los hechos. 42

Esto se denomina examinando o sometiendo a prueba la afirmación misma, de

modo directo, o bien sometiendo a prueba sus consecuencias.

3. En conexión con el examen y revisión críticos tienen importancia todo tipo de

argumentos.

4. La fuente más importante de nuestro conocimiento es la tradición. La mayor

parte de las cosas que sabemos las hemos aprendido por el ejemplo o porque las

hemos leído u oído previamente.

5. Toda parte de nuestro conocimiento por tradición es susceptible de examen

crítico y puede ser abandonado.

6. El conocimiento no puede partir de la nada. El avance del conocimiento consiste,

principalmente, en la modificación del conocimiento anterior.

7. No hay ningún criterio que permita reconocer la verdad. Pero sí poseemos

criterios que, con suerte, permiten conocer el error y la falsedad. La claridad y

distinción no son criterios de verdad, pero la oscuridad y la confusión indican el

error. Análogamente, la coherencia no basta para establecer la verdad pero la

incoherencia y la inconsistencia permiten establecer la falsedad.

8. La función más importante de la observación y el razonamiento, y aún de la

intuición y la imaginación, consiste en contribuir al examen crítico de las

conjeturas con las que se sondea lo desconocido.

9. La solución de un problema plantea nuevos problemas sin resolver, y ello es

tanto más así cuanto más profundo era el problema original y más audaz.

En este sentido, el conocimiento que es adquirido en niveles de educación

primaria es imprescindible por lo que se debe someter a prueba constante toda

afirmación, debido a que es en esta etapa donde se construyen bases sólidas porque

sin éstas no tendrá éxito la inclusión de nuevos temas en estudio; en consecuencia, y

tomando la cavilación hecha por Popper, el conocimiento en matemáticas no parte de

la nada, es por ello que, si se tienen los conocimientos bien estructurados y reforzados

o se modifican se podrán incorporar nuevos conocimientos.

43

Aunque Popper en esta reflexión se refiere al conocimiento general, y

directamente al conocimiento de las ciencias experimentales, resulta oportuno tomar

como referencia a las matemáticas, pues muchos de los errores que se desencadenan

en ésta asignatura pueden estar relacionados directamente al conocimiento, por lo

cual se puede admitir el error como parte elemental de la adquisición del

conocimiento, de esta manera, podría entonces tomarse las nueve hipótesis de Popper

para analizarlas y suministrar aportes importantes para el presente estudio.

Es importante destacar que, el conocimiento no se trata sólo de plantear los

obstáculos externos, sino más bien es en el acto mismo, por conocer, dónde aparecen

interrelacionados por una especie funcional indispensable las confusiones y las

dificultades, entonces pues, Bachelard (2000), lo denomina obstáculos

epistemológicos. Este planteamiento hecho se toma como fundamento epistemológico

debido a que aborda el conocimiento de lo real desde sus inicios de manera

inmediata, plena y surge del pensamiento empírico.

A pesar de que el pensamiento empírico es claro, planteado por Bachelard;

también este autor en su reflexión, al retornar en un pasado de error vislumbra una

corrección intelectual, textualmente: “al volver sobre un pasado de errores, se

encuentra la verdad en un verdadero estado de arrepentimiento intelectual” (p. 15), es

decir, explica la presencia de obstáculos cognitivos en los estudiantes sobre

matemática, se conoce en contra de un conocimiento previo cambiando o superando

estos conocimientos mal adquiridos.

Bases Psicológicas

En el proceso de enseñanza y aprendizaje, es necesario conocer la estructura

cognitiva del discente, específicamente ahondar más en cuanto a cuáles son los

conocimientos previos que emplea en el desarrollo de su aprendizaje. Es por esto, que

el autor presenta las teorías psicológicas que sirven de sustento a la investigación en

cuanto al análisis de errores en los aprendizajes de la Educación Matemática.

44

El estudiante es capaz de vincular contenidos que se le presentan de manera

trascendental y conectar lo primordial del conocimiento nuevo a lo que él ya sabe, el

aprendizaje significativo destaca el tipo de proceso de aprendizaje y el resultado del

mismo; en este sentido Moreno (1989), vislumbra que: “en el aprendizaje

significativo interactúan dos factores: las características del material o tarea de

aprendizaje y la estructura cognoscitiva del estudiante” (p. 150).

Cabe agregar, el material de aprendizaje que es presentado a los estudiantes

adquiere significado cuando logra relacionarlo con sus conocimientos previos, es

decir, para que haya un aprendizaje significativo el estudiante al enfrentarse con

contenidos, que para él puedan ser nuevos, éste podrá vincularlos con los ya

aprendidos en su estructura cognoscitiva; de esta manera este aprendizaje será

efectivo y duradero. En otras palabras, el aprendizaje significativo presume una

interacción entre la nueva información y las ideas existentes.

Esta teoría del aprendizaje significativo le brinda la oportunidad al estudiante de

desempeñarse mejor cuando éste adquiere el conocimiento nuevo y complementa el

que ya existe en su estructura cognoscitiva, pues le permite entender de mejor manera

los contenidos y saber de qué forma interactuar con ellos en un futuro cuando los

necesite, pues el educando viene acostumbrado a acudir a técnicas como repetir

constantemente lo que estudiaba para poder comprender un tema, llevándolo así a un

aprendizaje memorístico donde solo se asimila el conocimiento para el momento de

ser evaluado, no para que perdure y sirva de aliado en una labor futura.

En el aprendizaje significativo, el proceso mismo de adquirir información deja

como producto una reforma tanto de los conocimientos recién adquiridos como del

aspecto específicamente pertinente de la estructura cognoscitiva con la cual aquél

conocimiento se relaciona. Para que este aprendizaje significativo se manifieste,

Rodríguez, L. (2004), plantea que deben darse dos condiciones fundamentales:

1. Actitud potencialmente significativa de aprendizaje por parte del aprendiz, o

sea, predisposición para aprender de manera significativa.

45

2. Presentación de un material potencialmente significativo. Este requiere:

Por una parte, que el material tenga significado lógico, esto es, que sea

potencialmente relacionable con la estructura cognitiva del qué aprende de

manera no arbitraria y sustantiva;

Y por otra, que existan ideas de anclaje o sub-sumidores adecuados en el

sujeto que permitan la interacción con el material nuevo que se plantea.

Al analizar el material de aprendizaje, Ausubel (1968) distingue dos tipos: uno

potencial o lógico que se refiere a la naturaleza del material en sí mismo; otro real o

psicológico, que consiste en que dicho material puede ser comprendido por el

estudiante e incorporado a su estructura cognoscitiva.

El significado potencial o lógico, se hace real o psicológico cuando se convierte en

un contenido cognoscitivo nuevo, como resultado de haber sido relacionado de forma

sustancial con las ideas existentes en la estructura cognoscitiva y de haber

interactuado con éstas; pasando a construir el nuevo aprendizaje. Ausubel llama al

significado psicológico, significado idiosincrático, es decir, relacionado con la

personalidad del individuo, con sus capacidades, actitudes, valores y por supuesto con

su estructura cognoscitiva (ob. cit. p. 150).

En el aprendizaje significativo por recepción, el contenido potencialmente

significativo es comprendido o hecho significativo durante el proceso de

internalización. Este aprendizaje por descubrimiento, el contenido descubierto, se

hace significativo de la misma manera en gran parte.

En este sentido, para este tipo de aprendizajes Ausubel puntualiza que en los

estudiantes menores, cierta porción de los aprendizajes por repetición o por

descubrimiento suele ser conveniente, pero la mayor parte del aprendizaje en el aula,

especialmente el de los estudiantes de mayor edad, es aprendizaje significativo por

recepción, pues: “después de los años de la escuela primaria, el aprendizaje por

recepción verbal constituye el método más eficaz de asimilar significativamente el

contenido sustancial de una disciplina” (Ausubel, Novak y Hanesian, 1978, p.463).

46

Los planteamientos anteriores se pueden complementar con el esbozo de

Kilpatrick, Gómez y Rico (1998) donde proponen:

Todo conocimiento es construido. El conocimiento matemático es construido,

al menos en parte, a través de un proceso de abstracción reflexiva.

Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de construcción.

Las estructuras cognitivas están en desarrollo continuo. La actividad con

propósito induce la transformación de las estructuras existentes.

Reconocer el constructivismo como una posición cognitiva conduce a adoptar

el constructivismo metodológico.

De acuerdo a lo citado anteriormente, el constructivismo nos conduce hacia el

conocimiento verdadero, es decir en matemática los conocimientos se construyen de

forma constante en la estructura cognitiva del ser humano con el propósito de

transformar el error y, por ende, conduce a adoptar metodologías constructivistas en

el desarrollo continuo donde se deberá incluir un diagnóstico, detección, corrección y

superación mediante actividades que promuevan características sobre sus propias

producciones.

Confrey y Cazak (2006) manifiestan las raíces del constructivismo matemático:

Tenemos que ubicar las raíces del constructivismo en tres tradiciones, gran parte habituales del PME (The International Group for the Psychology of Mathematics Educations): (1) Resolución de problemas […], (2) Errores, barreras críticas y obstáculos epistemológicos […], y (3) Teorías del desarrollo cognitivo […]. Todas estas tradiciones impregnan la educación matemática con la opinión de que algo más que la lógica de la matemática era necesario para explicar, predecir, y facilitar el aprendizaje de las matemáticas. Todas ellas reconocen que la dificultad o la facilidad de aprendizaje no pueden ser explicadas simplemente mirando a la complejidad de la materia, sino que era necesario tener en cuenta otros factores para el camino recorrido de aprendizaje y los niveles de éxito o fracaso (p.307).

En consecuencia la más influyente, probablemente, es la tercera tradición

forjadora del desarrollo del constructivismo; pues agregando el trabajo de Piaget

47

(1932), acerca de las teorías del desarrollo cognitivo, en general, el constructivismo

ha poseído un impacto importante en la educación matemática, en el sentido que ha

situado a los niños al frente de la actividad que ha preguntado acerca de cuestiones

genuinas sobre cómo hacer un uso efectivo de los recursos y las ideas que éstos

aportan al aprendizaje.

En este sentido, Piaget (1932) propuso una forma alternativa sobre cómo se

construye el conocimiento, planteó una situación según la cual el conocimiento es el

producto de la interacción entre el sujeto y la realidad que lo rodea; al intervenir sobre

la realidad va construyendo las propiedades que la integran y al mismo tiempo va

construyendo su propia mente, a esta posición se le ha denominado el

constructivismo; el sujeto tiene que construir tanto sus ideas como sus conocimientos

sobre el mundo partiendo de su experiencia, como también sus propios instrumentos

de conocer. El individuo va pasando por una serie de estadios a lo largo de su

desarrollo que son distintas formas de interactuar con la realidad.

Para Piaget, el conocimiento no es una mera copia de los datos que proceden de la

realidad exterior, no se transmite directamente, el conocimiento no se produce como

consecuencia de un acto de comprensión instantáneo, su adquisición exige una acción

por parte del que aprende y una interacción con el entorno, debe ser activamente

construido desde la experiencia propia del individuo y no recibido pasivamente del

entorno por el sujeto.

Para que el aprendizaje esté disponible viene determinado por la idoneidad del

bagaje cognitivo que tiene el discente para enfrentarse a los requisitos de una nueva

tarea determinada de aprendizaje, abarcando esta idoneidad dos aspectos, primero, los

conocimientos previos específicos que poseen con relación a la materia en

aprendizaje y, segundo, el estado de madurez intelectual cognitiva del individuo.

Desde la visión de Brousseau (1997), el error no puede considerarse sólo como

prueba de la ignorancia, inseguridad o del azar éste puede ser el resultado de un

conocimiento anterior que le ayudó, en su momento, a resolver diversas situaciones

48

de manera exitosa, por el contrario, ahora se revela falso o simplemente inadaptado;

este tipo de errores generado por obstáculos, son previsibles.

Los errores que persisten una y otra vez están ligados a la estructura cognitiva del

estudiante además, utilizan procedimientos que en otras ocasiones han obtenido

resultados positivos; Brousseau, Davis y Werner (1986), señalan que:

Los errores que cometen los alumnos muestran, en algunos casos, un patrón consistente; los alumnos tienen con frecuencia concepciones inadecuadas (“misconceptions”) sobre los objetos matemáticos; a veces, estas concepciones inadecuadas los conducen a usar procedimientos equivocados que no son reconocidos como tales por sus profesores (p. 22).

Los errores aparecen en el desenvolvimiento del estudiante y más aún cuando se

enfrenta a conocimientos novedosos que le obligan a hacer una reestructuración y

revisión de lo que ya conocen, se considerará como un esquema cognitivo inadecuado

tras intentos razonables pero no exitosos de adaptar conocimientos a una nueva

situación.

Concepto de “Error”

Es importante destacar la definición que le dan distintos autores a la palabra

“error”, es por ello, que a continuación se presentan los distintos conceptos que nos

llevan a un mismo punto, el error. Según thefreedictionary y la Real Academia

Española, convergen en que el error es un concepto, idea, opinión o juicio falso o

equivocado.

Para esta investigación, desde la visión educativa, para De la Torre (2004): “el

error es entendido como distorsión, inadecuación o improcedencia” (p. 18), ahora

bien, para el mismo autor: “es un concepto que se inscribe en la perspectiva cognitiva

de la educación, legitimada por la reforma y avalada por destacados psicólogos y

pedagogos desde Dewey y Piaget hasta handbooks” (p. 15). Para ellos el error toma

un enfoque humanista frente a su carácter habitual que es sancionador, es más

49

integrador y comprensivo perspectiva desde la cual, cada vez más, se adhieren otros

paradigmas.

Para Astolfi (1999), en los modelos constructivistas: “los errores no se consideran

faltas condenables ni fallos de programa lamentables: son síntomas interesante de los

obstáculos con lo que se enfrenta el pensamiento de los alumnos” (p. 15), es decir, los

errores no representan un impedimento para el conocimiento, sino más bien son una

oportunidad de visualizar el proceso donde se encuentra el estudiante, el cual indica

los progresos y dificultades que presentan para poder encontrar un camino que lleve a

la corrección del error en el conocimiento.

De igual forma para Briceño (2011), el error es tan normal que supone: “una

debilidad común, que está presente en todos los procesos y acciones del sujeto como

ente falible que es” (p. 24). En consecuencia, podría decirse que el error forma parte

de la formación humana desde sus inicios, estando presente en cada faceta del

individuo, así que no debe verse de manera sorpresiva, sino tan normal como la

propia evolución del sujeto.

Ahora bien, el error en el aprendizaje de la matemática es considerado por

Rodríguez (2004) como las: “insuficiencias que se incrementan de grado en grado y

que se manifiestan en el limitado desempeño de los estudiantes en la asimilación y

uso de los conocimientos, que en general no rebasan el plano reproductivo” (p. 4). Es

así como, la autora califica al error como aquellas insuficiencias que se manifiestan

en el uso de conocimientos del estudiante durante su desempeño académico.

Por otra parte, Del Puerto y Minnaard (2004) afirman que:

El análisis de los errores cometidos por los alumnos en su proceso de aprendizaje provee una rica información acerca de cómo se construye el conocimiento matemático; por, otro lado, construye una excelente herramienta para revelar el estado de conocimiento de los alumnos, imprescindible a la hora de realimentar el proceso de enseñanza-aprendizaje con el fin de mejorar los resultados (p. 4)

50

Desde este punto de vista se puede discernir que el error en el aprendizaje de la

matemática es una oportunidad para potenciar las capacidades del estudiante y lograr

mejorar su desempeño.

Características Fundamentales de los Errores

Brousseau, Davis y Werner (citados en Rico, 1997) señalan cuatro vías por las

cuales el error puede presentarse, enunciándolas de la siguiente manera:

1. Se hace evidente rápidamente que los errores de los alumnos son, con

frecuencia, el resultado de un procedimiento sistemático que tiene alguna

imperfección; pero el procedimiento imperfecto lo utiliza el alumno de modo

consistente y con confianza. En estos casos, los errores muestran un patrón

consistente.

2. Los alumnos tienen con frecuencia grandes concepciones inadecuadas

(misconceptions) acerca de aspectos fundamentales de las matemáticas.

3. Cuando es posible observar a los alumnos y también intercambiar información

con sus profesores usuales, se ve que los alumnos emplean con frecuencia

procedimientos imperfectos y tienen concepciones inadecuadas que no son

reconocidas por sus profesores.

4. También se hace evidente que los estudiantes son con frecuencia más

inteligentes para inventar sus propios métodos originales de lo que se espera

de ellos. Incluso cuando un método ha sido presentado por el profesor, un

alumno puede desarrollar su propio método original, llegando hasta ignorar el

método del profesor.

Ahora bien, de acuerdo a lo expresado por Rico (1997), la mayor parte de los

investigadores y especialistas coinciden en considerar como características generales

de los errores, ya que estos surgen como espontáneos y de forma inesperada ante el

profesor; las siguientes:

51

1) Los errores, con frecuencia, cometidos por los estudiantes surgen de manera

espontánea y sorprendente, manteniéndose por lo general ocultos para el profesor

durante algún tiempo.

2) Los errores son persistentes y particulares de cada individuo. Son difíciles de

cambiar puesto que requieren de la corrección para una reorganización

fundamental del conocimiento en el alumno.

3) Hay un predomino de errores sistemáticos con respecto a los errores por azar.

Los errores sistemáticos son más frecuentes, pues revelan los procesos mentales

subyacentes del alumno; estos errores se toman como síntomas que señalan hacia

un método o comprensión equivocada subyacente, que el estudiante considera y

utiliza como correcto. Los errores por azar reflejan falta de cuidado y tienen

relativamente poca importancia.

4) Los alumnos no toman conciencia al momento que cometen un error, pues no

cuestionan lo que les parece obvio y no consideran el significado de los símbolos

y conceptos con los que trabajan.

Categorías de errores en el aprendizaje de la Matemática

Es importante tener presente que los errores, al igual que el fenómeno educativo,

se ponen en evidencia pues son la manifestación exterior de un proceso complejo en

la que intervienen distintas variables; ejemplo de ello, profesor, estudiante, currículo,

y el contexto donde se desenvuelven. Es por esto que surge la necesidad de delimitar

las causas que originan el error en pro a su tratamiento.

Sin embargo, las investigaciones que se realizan en torno a los errores en el

proceso de aprendizaje han sido de preocupación constante en la Educación

Matemática, como producto de esto se han realizado trabajos los cuales se han

centrado básicamente en cuatro líneas de investigación, que Rico (1995) las resume

de la siguiente manera:

1. Estudios sobre análisis, causas, elementos, taxonomías en la clasificación de

los errores; en donde cada uno de estos estudios responden a una particular

52

teoría psicopedagógica y a un planteamiento epistemológico particular del

conocimiento y de la matemática.

2. Trabajos acerca del tratamiento curricular de los errores, como ejemplo de

esta línea son las propuestas didácticas que parten del error para construcción

de manera correcta de los conocimientos matemáticos.

3. Estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto a la capacidad

para detectar, interpretar, analizar y tratar los errores de sus estudiantes.

4. Investigaciones psicométricas que integran técnicas estadísticas como

contrastaciones de hipótesis, para el posterior análisis de los errores.

También, el autor realiza varias propuestas para categorizar los errores, cada cual

inspirada en un modelo particular con respecto al procesamiento de la información

además de otras clasificaciones como resultados de investigaciones empírica sobre

errores.

Clasificación de los Errores

El error data, quizás, de tiempos antiguos en distintos aspectos y particularmente

en la enseñanza y aprendizaje de la matemática, es decir, muchos han sido los

investigadores y las teorías que se han presentado en relación a este tema, por lo que

vale resaltar la postura de Astolfi (1999), quien destaca que aprender es arriesgarse a

errar. A continuación, se presentan algunas tipologías para clasificar el error que se

han desarrollado en distintas situaciones, igualmente, en la matemática:

Tipología de los Errores de los alumnos según Astofi

Con respecto a los errores, Astolfi (1999) afirma que no son faltas condenables ni

fallo de programas, sino por el contrario, los explica como síntomas de los obstáculos

a los cuales se enfrenta el pensamiento de los estudiantes, planteando además el

estatus didáctica que le da el docente al error estando en concordancia con el modelo

pedagógico inmerso en la clase. Establece una tipología con la cual pretende romper

53

con las categorías tradicionales adoptadas al referirse sobre ellos, en consecuencia,

los tipifica de la siguiente manera:

Errores debidos a la redacción y comprensión de las instrucciones de trabajo

dadas: Este error está relacionado con la dificultad de los estudiantes en la

comprensión de las instrucciones de trabajo que se les dan, bien sea oralmente o

por escrito, además involucra las dificultades de lectura de los enunciados de

problemas y de otros textos escolares. En este sentido de manera esquemática

se presentan esta tipología del error en cuanto a la comprensión de las

instrucciones:

Gráfico 1. La comprensión de las instrucciones. Adaptado de Astolfi, 1999.

Errores que provienen de los hábitos escolares o de una mala interpretación de

las expectativas: Este tipo de errores tienen un papel esencial en la actividad

cotidiana de la clase y en el “oficio del alumno”. La clase funciona como un

sociedad de costumbres, es decir, una sociedad que dispone de sus propias

reglas, pero sin que estas costumbres se hayan dictado, ni aun menos

formalizado; muchos de los errores provienen de la dificultades que encuentran

los estudiantes para entender los aspectos implícitos de la situación. De manera

resumida a través del siguiente esquema se presentan los errores provenientes

de costumbres escolares o mala interpretación:

54

Dificultad en la comprensión de las instrucciones

Dificultades de lectura de los enunciados de

problemas y de otros textos escolares

La forma de preguntar es también fuente de

muchos malentendidos

Gráfico 2. Hábitos escolares o de mala interpretación. Adaptado de Astolfi, 1999.

Errores como resultado de las concepciones alternativas de los alumnos: Este

tipo de errores está relacionado con los obstáculos, de los que ya hemos visto,

hasta qué punto perduran a lo largo de la escolaridad y cómo afloran en las

producciones y respuestas de forma inesperada. Además, denominadas

representaciones en relación con las diferentes nociones enseñadas; estas

representaciones están estructuradas de forma subyacente por obstáculos

epistemológicos, vienen a cohabitar con saberes escolares las cuales quedan

como adquisiciones superficiales y son movilizadas cada vez que el oficio del

alumno tiende a relacionarlas con el problema o la actividad. Sin embargo, estas

representaciones vuelven a menudo a aparecer inalteradas, en contextos más

sencillos no relacionados, aparentemente, con el uso de los conceptos

disciplinares. El acento que se pone en las representaciones de los alumnos, en

su evolución positiva, lleva a no considerar a los conocimientos únicamente

como cosas que deben adquirirse y memorizarse. Un modelo esquemático de

esta situación se presenta a continuación:

55

Hábitos o mala

comprensión

Actividad cotidiana de

la clase

Oficio del alumno

La clase funciona como una

sociedad de costumbres

Errores de dificultades en los

alumnos para entender aspectos

implícitos

Gráfico 3. Concepciones Alternativas. Adaptado de Astolfi, 1999.

Errores ligados a las operaciones intelectuales implicadas: Estas operaciones

pueden o no estar disponibles en los alumnos y, sin embargo, parecen naturales

al enseñante. Además, están relacionados más directamente con la diversidad de

las operaciones intelectuales y que deben utilizarse para resolver problemas

que, aparentemente, están al alcance de los alumnos; esta dificultad reside en la

construcción progresiva de los conceptos de suma y sustracción, que a la misma

operación aritmética pueden corresponder operaciones lógicas extremadamente

diferentes desde el punto de vista del esfuerzo de abstracción que implican.

Esquemáticamente se presenta a continuación:

Gráfico 4. Operaciones intelectuales implicadas. Adaptado de Astolfi, 1999.

56

Obstáculos Cohabitar con saberes

escolares

Adquisiciones superficialesRepresentacio

nes de los alumnos

Campos Conceptuales

Operaciones intelectuales

Conceptos de suma y sustracción

Errores en los procesos adoptados: Estos tipos de errores pueden ser muy

diversos, ya que el docente espera el uso de un procedimiento estándar, no

llegando a comprender el camino o la intención del estudiante. Algunas

producciones de los educandos se etiquetan con excesiva rapidez como errores,

cuando manifiestan la diversidad de los procedimientos posibles para resolver

un ejercicio y el docente espera un tipo de respuesta muy preciso; pero a

menudo es la disconformidad con la solución lo que se sanciona, debidos a que

los estudiantes han podido realizar procedimientos, no necesariamente

absurdos, pero con los que no se había contado. Y siendo más precisos, el

docente siempre se sorprende de la tremenda variedad de estrategias que

aplican espontáneamente los estudiantes en la resolución, al momento que se les

deja la posibilidad y se observa su trabajo. A continuación se presenta de forma

esquemática este tipo de error:

Gráfico 5. Procesos adoptados. Adaptado de Astolfi, 1999.

Errores debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad: Esto se debe a la

capacidad de trabajo debido a que es limitada y se subestima frecuentemente la

carga cognitiva de la actividad. Durante mucho tiempo, en efecto, la memoria,

concebida como un fenómeno de grabación-repetición ha sido minusvalorada

en provecho de funciones cognitivas más nobles, como la reflexión, las

operaciones intelectuales, la creatividad, entre otros; pero ahora parece más

claro que la memoria no es un sistema pasivo, sino que está en el centro de los

57

Procedimientos Adoptados

Diversidad de los Procedimientos

Variedad de Estrategias de

Resolución

Comparar Recorridos

Procedimientos no absurdos

aprendizajes inteligentes. El exceso de palabras en las escuelas sigue afectando

a los errores, a las confusiones, a los olvidos de los estudiantes; en cambio sería

sensato, sin duda, efectuar una selección de los contenidos que se van a enseñar

hasta llegar a lo esencial, pues, si bien es cierto que la memoria tiene sus

límites, también es cierto que dispone de recursos en los que basarse; cabe

agregar que la memoria no es lineal y sedimentaria, sino que está estructurada

como una trama semántica. Un modelo esquemático es el siguiente:

Gráfico 6. Sobrecarga cognitiva. Adaptado de Astolfi, 1999.

Errores que tienen su origen en otra disciplina: Este tipo de error que se da con

frecuencia, ya que muchas veces se castiga al estudiante, o al menos se le llama

la atención, por no haber reutilizado en Física o en Geografía lo que habían

aprendido en Matemáticas. incomprendidos en la medida en que las

transferencias de las competencias requeridas parece natural, cuando en verdad

no lo es en absoluto. Como modelo esquemático se tiene:

Gráfico 7. Origen en otras disciplinas. Adaptado de Astolfi, 1999.

Errores causados por la complejidad propia del contenido: Complejidad que

no siempre es percibida como tal por los análisis de las disciplinas habituales ni

en las programaciones que se realizan; el análisis de este tipo de errores es

58

Limitada por su capacidad de corto plazo.

Memoria de Trabajo

Datos guardadosNueva información en la estructura cognitiva

Memoria a Largo Plazo

Transferencia entre Disciplinas

Rasgos Superficiales y Estructurales

Defender y Organizar la Transferencia

típico del trabajo propiamente didáctico, que consiste, en más ocasiones de lo

que se piensa. Un modelo esquemático para esta tipología de error es:

Gráfico 8. Complejidad propia del contenido. Adaptado de Astolfi, 1999.

En el gráfico 9 se visualizan, en resumen, los tipos de errores según Astolfi:

Gráfico 9. Tipología de errores de los alumnos (Astolfi, 1999). Terán, H., 2017.

Las categorizaciones propuestas por este autor son pertinentes para esta

investigación porque forman parte de los objetivos propuestos al organizar el tipo de 59

Complejidad del

Contenido

Carga Mental

Naturaleza de las Operaciones Intelectuales

Punto de Vista Psicológico del Sujeto

que Aprende

Punto de Vista Epistemológico de

la estructura del Contenido

error, ya que forma parte de los errores diagnosticados en los estudiantes los cuales

inciden en la Educación Media General, se toma como fundamento la teoría antes

mencionada la cual tiene pertinencia al estudio de errores en el aprendizaje de la

matemática preuniversitaria pues resulta esclarecedor en este trabajo ya que es un

constructo en la Educación Matemática que permite focalizar un dominio cognitivo

para el mejor desenvolvimiento en la resolución de una situación problema, además

es importante resaltar que los errores que tienen su origen en otra disciplina y los

errores causados por la complejidad propia del contenido, se excluyen para el estudio.

De acuerdo a las ideas teóricas presentadas anteriormente, los conceptos de errores

en el aprendizaje de la matemática resultan esclarecedores en el presente trabajo de

investigación y, de manera general, dentro de las habilidades matemáticas, permite

enfatizar el dominio cognitivo específico; dado que los conocimientos previos

constituyen una parte importante en el proceso de enseñanza y aprendizaje para el

buen desempeño de la asignatura Matemática II.

Sistema de Variables

Variables

Antes de realizar el desarrollo operacional de las variables, es importante tener

bien definido este término, según Palella y Martins (2012) expresan que: “las

variables son elementos o factores que pueden ser clasificados en una o más

categorías. Es posible medirlas o cuantificarlas, según sus propiedades o

características” (p. 67); es decir, las variables permiten describir con exactitud los

factores fundamentales a solucionar de un problema, tomando en cuenta los

elementos o factores que pueden ser clasificados en una o más categorías, las cuales

es posible medirlas de acuerdo a sus características, en consecuencia vale la pena

destacar que para el estudio la variable independiente es el aprendizaje de la

matemática y la variable dependiente es el error.

60

Operacionalización de las Variables

Objetivo General: Analizar los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria, que presentan los estudiantes de Economía Social, en la resolución de integrales de la asignatura Matemática II de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas.Cuadro 2

Matriz de operacionalización de las variablesVariable Definición Nominal Dimensiones Indicadores Instrumento

Tipos de errores en el aprendizaje

de la matemática

Los errores no se consideran faltas

condenables ni fallos de programa

lamentables: son síntomas interesante de los obstáculos con lo que se enfrenta el pensamiento de los alumnos (Astolfi,

1999; 15)

Errores debidos a:- Comprensión.

- Hábitos escolares o mala interpretación de las expectativas.- Concepciones

alternativas.- Operaciones

intelectuales implicadas.

- Procesos adoptados.

- Sobrecarga cognitiva.

Ecuación lineal y Ecuación cuadrática.

Números Racionales.Potenciación y Propiedades

con Números Enteros.Producto Notable.

Conjunto de los números Reales.

Números Enteros.Factorización.

Prueba de Rendimiento

Momento Inicial

Función primitiva.Integral indefinida.Integral por partes.

Integral por sustitución.Integral por fracciones

parciales.Sustitución trigonométrica.

Integral definida.

Prueba de Rendimiento

Momento Final

Fuente. Elaborado por el autor.

61

CAPÍTULO III

MARCO METODOLÓGICO

En este capítulo, se describen los métodos y procedimientos empleados en la

investigación, es por ello que, a continuación se detalla el enfoque, paradigma,

diseño, tipo, nivel de investigación, la población estudiada, y las técnicas e

instrumentos de recolección de datos, la validez y confiabilidad de los mismos.

Enfoque y paradigma

La investigación es de enfoque cuantitativo dentro del paradigma positivista. El

positivismo deja a un lado lo confuso; para darle mayor fundamento a este término,

Palella y Martins (2012) expresan que: “el positivismo quita todo lo indeterminado y

vago; procura hacerse preciso como la ciencia matemática” (p. 45), en consecuencia,

podría decirse que es el ordenamiento de la información de una manera estructurada y

coherente para descubrir los hechos de una realidad y así cumplir con los objetivos

planteados, por lo cual, el presente estudio sigue estos preceptos.

Además, como paradigma positivista, centra su atención en los principios, teorías

y normas orientadas a describir el mundo empírico, al respecto Palella y Martins

(2012) afirman que este paradigma busca la: “verificación empírica de los hechos y

sus causas, con el objetivo de establecer leyes universales. La complejidad de todo lo

humano se reduciría a variables que, cuantificadas y analizadas, facilitarían el cálculo

de la probabilidad estadística de que algo ocurra” (p. 40). Este paradigma es la base

de la investigación cuantitativa.

Diseño de la Investigación

Según lo expresado por Arias (2012): “el diseño de investigación es la estrategia

general que adopta el investigador para responder al problema planteado” (p. 27). Es

por ello, que el presente estudio se enmarcó en un diseño no experimental, en vista de

que no existen variables susceptibles de manipulación, apoyado en Hernández,

Fernández y Baptista (2010), estos estudios son los que: “se realizan sin la

manipulación deliberada de variables y en los que sólo se observan los fenómenos en

su ambiente natural para después analizarlos” (p. 149).

A continuación, se amplía lo referente al diseño, es decir, las estrategias

empleadas para la consecución de los objetivos planteados en esta investigación:

Fase 1: Definición de la situación problemática, el objeto de estudio o factores

relacionados con él, en el contexto real donde se manifiesta. En tal sentido, en

la presente investigación se observó el fenómeno de estudio, errores en el

aprendizaje de matemática preuniversitaria, directamente en su contexto

(UNEFA).

Fase 2: Referentes teóricos: revisión de la bibliografía; investigaciones y

enfoques teóricos pertinentes al tema de estudio.

Fase 3: Acciones metodológicas; diseño, tipo, nivel, población, muestra, diseño

de los instrumentos.

Fase 4: Recolección y análisis de los datos: se elaboró y aplicó en primer lugar

un instrumento o prueba diagnóstico (momento inicial) con la finalidad de

verificar los conocimientos previos y los tipos de errores de aprendizaje de los

estudiantes en matemática del nivel preuniversitario. En segundo lugar, se

aplicaron cuatro evaluaciones durante el semestre (momento final), se

estudiaron los errores que presentaban los estudiantes al resolver las integrales

y se examinó si los errores en el aprendizaje de la matemática preuniversitaria

permanecían en la resolución de las mismas. Una vez aplicados se procedió a

63

ordenar, procesar e interpretar los datos y clasificar errores, tanto en la prueba

diagnóstico como en los parciales, teniendo como referente teórico a Astolfi.

Fase 5: Una vez interpretados los datos, se convino en deducir las conclusiones

y recomendaciones, a partir del estudio realizado.

En este sentido, una vez aplicados los instrumentos en el tiempo determinado, se

procedió a realizar la descripción de los hallazgos sin manipular variable alguna, sino

tal cual las evidencias que arrojó el estudio realizado.

Tipo y Nivel de la Investigación

Siguiendo a Balestrini (2006), en toda investigación: “se debe delimitar el tipo de

estudio de que se trata con su respectivo esquema de investigación, que se adecúe y

sea el más apropiado en relación a los objetivos propuestos” (p. 129). En este sentido,

el tipo, de la presente investigación, es de campo ya que la recolección de los datos

fueron extraídos de donde han ocurrido los hechos, en este caso en específico en la

Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas, según

Palella y Martins (2012) expresan que la investigación de campo: “consiste en la

recolección de datos directamente de la realidad donde ocurren los hechos, sin

manipular o controlar variables. Estudia los fenómenos sociales en su ambiente

natural” (p. 88).

Asimismo, la investigación se enmarcó en un nivel transversal o transeccional,

puesto que se recolectaron datos en un único momento, como lo expresan Palella y

Martins (2012): “se ocupa de recolectar datos en un solo momento y en un tiempo

único. Su finalidad es la de describir las variables y analizar su incidencia e

interacción en un momento dado, sin manipularlas” (p. 94), este tiempo fue durante el

segundo período lectivo del año 2013.

Al mismo tiempo, la investigación se circunscribe en el nivel descriptivo, ya que

el objetivo de la misma es recolectar datos sobre cada una de las categorías para

interpretar las realidades tal y como han ocurrido, Palella y Martins (2012), plantean

64

que: “el nivel descriptivo hace énfasis sobre conclusiones dominantes, o sobre cómo

una persona, grupo o cosa, se conduce o funciona en el presente” (p. 92).

De esta manera, en la presente investigación se diagnosticaron los tipos de errores

que presentan los estudiantes en el aprendizaje de sus conocimientos previos de

matemáticas y de qué manera, están presentes en el desempeño del estudiantado de la

asignatura Matemática II de Economía Social, haciendo una descripción detallada,

mediante el registro de los hallazgos obtenidos en el estudio realizado interpretando

las realidades del hecho.

Matemática II en la carrera Economía Social de la UNEFA

La asignatura Matemática II (MAT-31125) está compuesta por los siguientes

espacios curriculares: 5 unidades crédito, con 3 horas teóricas y 4 horas prácticas

semanales. A su vez, tiene como prerrequisito la aprobación de la asignatura

Matemática I (MAT-31114), dentro del pensum de estudios de la universidad, así

como también, se requiere de la aprobación de esta asignatura Matemática II, debido

a que ésta es prerrequisito de Matemática III (MAT-31135).

Los contenidos de la asignatura están conformados por cuatro (4) unidades que se

desarrollaron durante el semestre, en primer lugar, la unidad 1, comprende: función

primitiva e integral definida, en la unidad 2: métodos de integración, en la unidad 3:

aplicaciones de la integral; y, en la unidad 4: integrales impropias. El desarrollo de

estas unidades tiene como objetivo aplicar los métodos de resolución de las

ecuaciones diferenciales para la formulación, resolución y análisis de modelos

económicos.

Estas unidades están distribuidas en tres (3) cohortes, pautado por la UNEFA. Para

el primero, se consideró las unidades 1 y 2; en el segundo, las unidades 1 y 3, en

cuanto a la integral definida hasta sus aplicaciones; y, por último, en el tercer cohorte,

aplicaciones en coordenadas polares, correspondiente a la unidad 3; así como también

las integrales impropias correspondientes a la unidad 4.

65

Una vez revisado y distribuidos por cohortes las unidades con sus respectivos

contenidos programáticos se elaboró la planificación respectiva al desarrollo de la

asignatura Matemática II, la cual fue entregada en la semana seis, de acuerdo a lo

pautado por el departamento de planificación, evaluación y control de la UNEFA.

Cabe agregar, los estudiantes que inscribieron la asignatura, para este período, fue de

un total de trece (13), mencionado anteriormente, en edades que oscilaron entre los 18

y 22 años. De la cantidad total, 12 son mujeres (92%) y sólo 1 hombre (8%).

Es importante señalar que el semestre estuvo pautado y planificado para dieciocho

(18) semanas, de las cuales quince (15) semana fueron de clase, iniciando el lunes 30

de septiembre del 2013 hasta el viernes 28 de febrero del 2014, y en las restantes tres

(3) se realizó reparación y entrega de las calificaciones finales.

Procedimiento de la Investigación

Para realizar el análisis de errores que cometen los estudiantes con mayor

frecuencia en el aprendizaje de la Matemática del nivel de Educación Media General,

se realizó una evaluación al inicio del semestre para diagnosticar los conocimientos

previos de los estudiantes; así como también, durante el desarrollo del semestre se

aplicaron ocho (8) parciales de los cuales se tomaron para el estudio sólo cuatro (4)

de la asignatura Matemática II de la UNEFA; de igual manera, para el análisis se

tomó como base la fundamentación teórica y los objetivos planteados, se siguieron

los procedimientos de investigación que se llevaron a cabo en tres fases. En la

descripción, se hace referencia tanto a las técnicas usadas como a la forma en que se

aplicaron.

Primera Fase: Diseño y aplicación del instrumento No. 1.

Antes de diseñar la evaluación que se suministraría a los estudiantes de Economía

Social, al inicio del semestre, se hizo una revisión de investigaciones referentes a las

categorizaciones de errores, para el caso particular, se diseñó tomando en

consideración el modelo de prueba realizado por Cadenas (2007), en su trabajo de

66

investigación publicado en la revista ORBIS titulado: Carencias, dificultades y

errores en los conocimientos matemáticos en alumnos del primer semestre de la

escuela de educación de la Universidad de los Andes, de tal manera que se modificó

el instrumento adaptándolo a las necesidades del presente estudio, tanto en forma

como en contenido.

Terminada esta etapa de la revisión de trabajos realizados al respecto, se

confeccionó el instrumento de la evaluación, el cual constó de diez (10) ítem

orientados a indagar cuáles eran los conocimientos previos en el aprendizaje de la

Matemática en la Educación Media General, en cada ejercicio se pidió la resolución

de una situación matemática, la cual es potencialmente generadora de error, donde se

involucraron contenidos conceptuales.

Asimismo, en la mayoría de los ejercicios planteados se les solicitó que los

identificaran, dependiendo del caso propuesto, además, indicar el o los

procedimientos que los estudiantes siguen para su resolución. Al mismo tiempo, se

empleó un lenguaje acorde al nivel en que se encontraban los educandos con el

objetivo de que se sintieran cómodos y entendieran el sentido de cada pregunta en la

evaluación, la cual se aplicó con la denominación “Prueba Diagnóstico” (Ver Anexo

C).

A continuación en el siguiente cuadro se muestran los contenidos por cada ítem,

indicándose la definición, conceptos, y los procedimientos involucrados, que para

efectos de la presente investigación se utilizaron como base para analizar los errores

que emergieron a partir de los datos obtenidos por cada ítem.

Cuadro 3

Contenidos de matemática preuniversitaria tomados en consideración para la elaboración de la Prueba Diagnóstico

Contenidos de Matemática Preuniversitaria

Ítem No. 1

Apartados Ecuaciones lineales.

67

a) y b)

Ítem No. 2

- - Orden en el conjunto de los Números Racionales.

Ítem No. 3

- - Diferencia de Números Racionales.

Ítem No. 4

- - Potenciación de Números Enteros y sus Propiedades.

Ítem No. 5

- -Producto Notable: El cuadrado del Binomio de una

diferencia.

Ítem No. 6

- -

Conjunto de los números Reales:

- Conjunto de los Números Naturales.

- Conjunto de los Números Enteros.

- Conjunto de los Números Racionales.

Ítem No. 7

- - Operación con Números Enteros.

Ítem No. 8

- - Ecuación Cuadrática.

Ítem No. 9

- - Propiedades de la Potenciación.

Ítem No. 10

- - Factorización: Trinomio cuadrado Perfecto.

Fuente. Elaborado por el autor.

Por último, cabe destacar que la investigación fue complementada en cada

situación con la fundamentación teórica que sustenta a la investigación, entre los

hallazgos encontrados por el investigador y los presentados por algunos estudios

previos que se relacionan con el estudio.

68

Segunda Fase: Diseño y aplicación de las evaluaciones parciales.

En esta fase se procedió a elaborar las evaluaciones, que fueron aplicadas durante

el desarrollo del semestre, tomando en cuenta los contenidos de la asignatura, a

continuación se describen los instrumentos empleados para el desarrollo de esta fase.

Instrumento No. 2: Se realizó una (1) pregunta con tres (3) apartados en los cuales

debían resolver los ejercicios mediante la definición de la primitiva de una función,

para tal fin, los estudiantes necesitaban de los conocimientos de matemática

preuniversitaria en cuanto a: productos notables: producto de la suma por la

diferencia de dos cantidades y cubo de un binomio, razones trigonométricas inversas,

identidades trigonométricas, potenciación de exponentes racionales, propiedades de la

potenciación y radicación.

Al instrumento elaborado, de acuerdo a las condiciones enunciadas anteriormente,

se le dio la denominación de “QUIZ” y fue administrado en la cuarta semana de

clase, la cual se correspondió con el martes 22 de octubre del 2013. Finalmente, la

evaluación fue aplicada el día previsto, con una duración promedio de 50 minutos

para su resolución. Cabe aclarar, también, que para efectos de la investigación en lo

sucesivo se mencionará como “Evaluación No. 1” (Ver Anexo E).

Instrumento No. 3: Se realizaron tres (3) preguntas en las cuales debían resolver los

ejercicios aplicando el método de integración por sustitución, los estudiantes

necesitaban conocimientos de matemática preuniversitaria en cuanto a: propiedades

de la potenciación, factorización y adición de conjuntos numéricos.

Una vez elaborado el instrumento, tomando en cuenta las consideraciones a los

temas mencionados, esta segunda evaluación se le otorgó la denominación “2°

QUIZ” el cual fue aplicado en la cuarta semana de clase, correspondiente al día

viernes 25 de octubre del 2013, de acuerdo a la planificación establecida. Por último,

la evaluación fue suministrada para la fecha prevista, con una duración de 50 minutos

69

para su resolución. Para efectos del presente estudio, se denominará “Evaluación No.

2” (Ver Anexo G).

Instrumento No. 4: Se realizaron tres (3) preguntas, donde la primera y segunda

tenían dos apartados (a) y (b), respectivamente, en las cuales debían resolver los

ejercicios aplicando integración indefinida y los métodos de integración por partes y

por sustitución, los estudiantes necesitaban conocimientos de matemática

preuniversitaria en cuanto a: productos notables: cuadrado de la diferencia de dos

cantidades, potenciación en con exponente racional, propiedades de la

potenciación, trigonometría y hacer uso de la ley de los signos con respecto al

producto.

Luego de elaborado el instrumento de evaluación, tomando en cuentas las

consideraciones antes descritas, esta tercera evaluación correspondiente al primer

cohorte, se aplicó denominándola “Evaluación Corta” la misma fue suministrada al

grupo en la quinta semana de clases, correspondiendo a la fecha pauta para su

aplicación el día martes 29 de octubre del 2013. Esta evaluación tuvo una duración de

90 minutos para ser resuelto por los estudiantes. En último término, este instrumento,

de aquí en adelante, se catalogará como “Evaluación No. 3” (Ver Anexo I).

Instrumento No. 5: Se realizaron tres (3) preguntas, donde la segunda tuvo tres

apartados (a), (b) y (c), en las cuales debían resolver los ejercicios aplicando el

método de integración por fracciones parciales, por sustitución trigonométrica, de

igual manera se evaluó la integración definida, los estudiantes necesitaban

conocimientos de matemática preuniversitaria relacionados a: factorización (factor

común denominador), operaciones básicas, definición de las razones trigonométricas,

identidades trigonométricas, propiedades de la potenciación (producto de potencia de

igual base), propiedad distributiva respecto al producto.

Asimismo, luego de haber elaborado el instrumento de evaluación, de acuerdo a lo

descrito anteriormente, esta evaluación fue la cuarta de la asignatura y la primera del

segundo cohorte, la denominación que se le dio fue de “Evaluación Corta”,

70

aplicándola en la séptima semana de clase en el semestre, dando cumplimiento con la

fecha planificada la cual fue el día viernes 15 de noviembre del 2013. Finalmente, en

lo sucesivo tendrá la denominación de “Evaluación No. 4” (Ver Anexo K).

Cabe destacar, que por ser esta la evaluación con mayor contenido tanto de

matemática preuniversitaria como de Matemática II, fue considerada para la

confiabilidad en la correlación Pearson.

Tercera Fase: Contenidos de matemática preuniversitaria presentes en

Matemática II.

Para esta fase, se tomaron en cuenta cuatro (4) evaluaciones, descritas

anteriormente, de Matemática II aplicadas a los estudiantes durante el desarrollo del

semestre académico, las cuales se seleccionaron para analizar porcentual y

descriptivamente los ítems propuestos para determinar de esta manera si los

conocimientos previos de matemática incidían en la resolución de cada integral, a fin

de destacar los elementos en los cuales se detectaron las equivocaciones y determinar

la presencia de los tipos de errores de matemática preuniversitaria en el desempeño de

la asignatura Matemática II.

Se tomaron estas evaluaciones para analizar cada una de las preguntas donde los

conocimientos previos estaban presentes para resolver a término y correctamente las

mismas, de esta manera se describieron los porcentajes de la cantidad de estudiantes

que manifestaban el mismo comportamiento y aquellos conocimientos básicos de

matemática preuniversitaria que no fueron dominados en cada uno de los ítem de los

instrumentos aplicados, así como también se toma en cuenta la fundamentación

teórica que le da sustento a la investigación en cuanto a la tipología de errores.

Población y Muestra

Según lo planteado por Arias (2012): “la población, o en términos más precisos

población objetivo, es un conjunto finito o infinito de elementos con características

comunes para los cuales serán extensivas las conclusiones de la investigación” (p.81).

71

Este planteamiento, refiere que la población es la cantidad de personas, las cuales

permitirán llevar a cabo una investigación y, además, en palabras de Hernández,

Fernández y Baptista (2010) es el: “conjunto de todos los casos que concuerdan con

determinadas especificaciones” (p. 174).

Atendiendo a las consideraciones anteriores, se estudió a la población en su

totalidad, es decir, significa que se realizó un censo o estudio de tipo censal, la cual

estuvo conformada por trece (13) estudiantes, según Arias (2012): “el censo busca

recabar información acerca de la totalidad de una población” (p. 33), en

consecuencia, la cantidad antes descrita de estudiantes fueron quienes se inscribieron

y cursaron en el segundo período lectivo del 2013 (II–2013), en la asignatura

Matemática II de la carrera Economía Social.

Técnicas e Instrumentos de Recolección de Datos

En este apartado, se esbozan a continuación los métodos que se emplearon para la

obtención de los datos, al respecto Arias (2012): “se entenderá por técnica de

investigación, el procedimiento o forma particular de obtener datos o información”

(p. 67). En este trabajo, para la recolección de la información, en primera instancia se

realizó la prueba diagnóstico, y como segunda instancia, las cuatro (4) evaluaciones

aplicadas durante el avance del semestre académico, tal como se explicó en el diseño

de la investigación. La técnica empleada fue la prueba de evaluación que según

Palella y Martins (2012): “la prueba de evaluación es una técnica que implica la

realización de una tarea definida en un tiempo determinado, con el fin de valorar el

resultado de un aprendizaje o labor didáctica” (p. 124).

En cuanto al instrumento que fue aplicado, Arias (2012) opina que: “un

instrumento de recolección de datos es cualquier recurso, dispositivo o formato (en

papel o digital), que se utiliza para obtener, registrar o almacenar información” (p.

68). En el caso de la presente investigación, se empleó como instrumento la prueba

tipo ensayo como recurso para obtener información con respecto a los conocimientos

de los discentes.

72

El instrumento antes mencionado, según Palella y Martins (2012): “… pueden ser

escritas u orales. Generalmente están construidas con preguntas abiertas y requieren

la elaboración de respuestas por parte del investigado” (p.145); esta prueba tipo

ensayo fue empleada, en un primer momento como prueba diagnóstico, es decir, para

recolectar la información necesaria, en cuanto a los conocimientos de matemática

preuniversitaria en los estudiantes de Matemática II.

Para el fin de la prueba diagnóstico se estructuró tomando en consideración los

siguientes aspectos: a) definición; b) descripción del procedimiento; c) resolución de

lo planteado, es decir, dejar evidencia de cómo se llegó a la respuesta. La prueba

diagnóstico se elaboró, partiendo de los conocimientos básicos que deberían dominar

los estudiantes egresados del nivel de Educación Media General y que a la vez son

requisitos básicos en la asignatura de Matemática II.

Para el momento final, fueron aplicadas cuatro (4) pruebas en el proceso de

enseñanza y aprendizaje de Matemática II, de igual manera fueron elaboradas como

pruebas tipo ensayo, con el objetivo de observar las respuestas de los estudiantes, los

errores cometidos y la presencia de estos tipos de errores en el aprendizaje de la

matemática preuniversitaria en el desempeño de Matemática II.

Validez y Confiabilidad

La validez, según Palella y Martins (2012): “se define como la ausencia de sesgos.

Representa la relación entre lo que se mide y aquello que realmente se quiere medir”

(p. 160). Por consiguiente, el método que se empleó en la presente investigación para

así garantizar la validez fue la técnica del juicio de experto, esta consistió en entregar

a tres (3) expertos en el área educativa especialistas en el área de matemática, un

ejemplar de cada instrumento con su respectiva matriz de respuesta con los objetivos

de la investigación (Ver Anexos B, D, F, H y J). Los expertos hicieron la revisión

respectiva al contenido, la pertinencia, la redacción y coherencia para cada ítem.

73

En cuanto a la confiabilidad Palella y Martins (2012) la definen como: “la

ausencia de error aleatorio en un instrumento de recolección de datos. Representa la

influencia del azar en la medida; es decir, es el grado en el que las mediciones están

libres de la desviación producida por los errores causales” (p. 164). Tomando en

consideración lo planteado anteriormente es necesario destacar que la presente

investigación requirió la aplicación de una prueba diagnóstico empleada para

determinar los errores en el aprendizaje de la matemática preuniversitaria,

posteriormente se realizaron otras pruebas equivalentes a la diagnóstico, a través de

las cuales se pudo obtener el objetivo general del estudio: Analizar los errores en el

aprendizaje de matemática preuniversitaria, que presentan los estudiantes en la

resolución de integrales, de la asignatura Matemática II de Economía Social de la

Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas (UNEFA),

extensión Guacara del Estado Carabobo.

Es por ello, que se empleó para determinar la confiabilidad el coeficiente de

correlación Pearson correspondiente a las pruebas de formas equivalentes o de formas

alternas, las cuales son definidas por Cohen y Swerdlik (2001) como:

Formas alternas y formas equivalentes son términos que en ocasiones se usan en forma indiscriminada, aunque hay una diferencia técnica entre ellos. Existen formas equivalentes de una prueba cuando para cada forma de la prueba son iguales las medias y las varianzas de las puntuaciones de pruebas observadas. (...) Las formas alternas tan sólo son versiones diferentes de una prueba que se han construido con el fin de ser equivalentes. Aunque no cumplen con los requisitos para la designación legítima de “equivalentes“, las formas alternas de una prueba están diseñadas generalmente para ser equivalentes con respecto a variables (o ítems) como contenido y nivel de dificultad (p. 160).

De igual manera, Palella y Martins (2012), consideran que en las formas

equivalentes: “se puede establecer la confiabilidad de una prueba administrándola en

diferentes momentos al mismo sujeto, pero tomando la precaución de que la prueba

sea diferente en cuanto a los contenidos aunque equivalente en cuanto a la forma”

(p.167). De tal manera que, las pruebas empleadas como instrumentos para la

recolección de datos, estuvieron enfocadas en diferentes contenidos pero que todos 74

ameritaban de los conocimientos de matemática preuniversitaria para ser resueltos,

además fueron suministradas en diferentes intervalos de tiempo, pero a los mismos

sujetos dentro de un período lectivo en la UNEFA.

En este sentido, tal como se manifestó anteriormente para determinar la

confiabilidad de los instrumentos empleados se utilizó el coeficiente de correlación de

Pearson, el cual se basa según Hernández, Fernández y Baptista (2010), en: “una

prueba estadística para analizar la relación entre dos variables medidas en un nivel

por intervalos o de razón” (p.311), el mismo enfocado en la técnica producto-

momento, en el cual se administran dos o más pruebas equivalentes a la inicial; en el

caso del presente estudio a la diagnóstico, y la prueba equivalente o paralela fue la

Evaluación No. 4, pues en ella se evaluó todos los contenidos de Matemática II de la

carrera Economía Social y para su resolución los estudiantes debían manejar

conocimientos básicos de matemática preuniversitaria (evaluados en la prueba

diagnóstico); de igual forma los valores de las variables corresponden a las

puntuaciones obtenidas en las evaluaciones.

En este sentido, es necesario analizar la opinión de Palella y Martins (2012), al

respecto del coeficiente de correlación Pearson: “permite relacionar dos variables.

Este estadístico no supone causalidad entre las variables, sino se ocupa de definir el

comportamiento de las puntuaciones obtenidas por dos variables estudiadas en una

muestra determinada” (p. 180), es importante considerar que la presente

investigación, procuró a través de éste método estadístico determinar la confiabilidad

de los instrumentos aplicados, por lo cual al evaluar los contenidos mediante diversas

pruebas, se procedió a establecer la correlación de los mismos, a través de los

puntajes obtenidos, ya que éstos indicaron los conocimientos adquiridos y su

desenvolvimiento en la asignatura de la carrera de Economía Social.

Así mismo, es importante resaltar que para tabular los datos se tomó en

consideración los trece (13) estudiantes de la población estudiada, donde se

cuantificaron las dos (2) variables anteriormente descritas esto se realizó para que la

75

confiabilidad arrojara mayor precisión en cuanto al nivel obtenido; el coeficiente de

Pearson es expresado de la siguiente manera:

r xy=N ∑ XY −∑ X ∑Y

√[ N∑ X2−(∑ X )2 ] [N ∑Y 2−(∑ Y )2 ]Donde:

r xy: es el coeficiente de correlación

N: número de sujetos

X: valores de X (1era aplicación)

Y: valores de Y (2da aplicación)

XY: producto de cada valor X por su correspondiente Y.

De igual manera, se presenta la tabla de correlación Pearson que permitió medir el

nivel de confiabilidad:

Cuadro 4

Valores y significado del coeficiente de confiabilidadRango Confiabilidad

-1,00 Correlación negativa perfecta

-0,90 Correlación negativa muy fuerte

-0.75 Correlación negativa considerable

-0.50 Correlación negativa media

-0.25 Correlación negativa débil

-0.10 Correlación negativa muy débil

0.00No existe correlación alguna entre las

variables.

+0.10 Correlación positiva muy débil

+0.25 Correlación positiva débil

+0.50 Correlación positiva media

+0.75 Correlación positiva considerable

+0.90 Correlación positiva muy fuerte

+1.00 Correlación positiva perfecta

76

Fuente. Datos tomados de Hernández, Fernández y Baptista, 2010.

Donde:

Si rxy > 0 → la relación es positivaSi rxy = 0 → no existe relaciónSi rxy < 0 → la relación es negativa

Basados en la información anterior, a continuación se describe detalladamente la

confiabilidad en el presente estudio:

r xy=N ∑ XY −∑ X ∑Y

√[ N∑ X2−(∑ X )2 ] [N ∑Y 2−(∑ Y )2 ]r xy=

13 (327 )−(44 ) (70 )

√ [13 (232 )−(44 )2 ] [13 (550 )−(70 )2 ]

r xy=4251−3080

√ [3016−1936 ] [7150−4900 ]

r xy=1171

√ (1080 ) (2250 )

r xy=0,75

Interpretación: El nivel arrojado para el coeficiente Pearson fue de 0.75, lo que

indica un nivel de correlación positiva considerable; de tal manera que, para efectos

del presente estudio representa la correlación de los tipos de errores en el aprendizaje

de matemática preuniversitaria se observan simétricamente tanto en la prueba

diagnóstico como en la Evaluación No. 4 lo cual refleja una confiabilidad favorable

de los instrumentos aplicados.

77

CAPÍTULO IV

INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS

Una vez definida la metodología que se emplearía para la investigación, y

aplicados los instrumentos para la recolección de los datos se procedió a realizar un

análisis e interpretación de cada uno de los datos estudiadas; es por ello que, en este

capítulo, se presenta la información obtenida, una vez aplicado el tratamiento

estadístico que se utilizó para su correspondiente análisis. Se comienza realizando la

descripción de los hallazgos para el primer instrumento, luego los resultados

encontrados en las evaluaciones parciales aplicadas durante el semestre y, por último,

la presencia de los primeros hallazgos en el desarrollo de los ítems de cada una de las

evaluaciones aplicadas, con la finalidad de obtener la información pertinente para

describir los resultados.

En primera instancia, se aplicó el primer instrumento, el cual consistió en una

prueba diagnóstico, en donde se presenta un análisis de los datos recabados de cada

uno de los ítems, es decir, se vislumbran las respuestas correctas e incorrectas de los

estudiantes y el porcentaje que representan para esta primera fase, al mismo tiempo se

conocen las referencias porcentuales en cuanto a definiciones y procedimientos

empleados, pertinentes a los ítems evaluados. Estos hallazgos ofrecieron una

panorámica sobre los errores de aprendizaje de la matemática preuniversitaria, es

decir, los conocimientos previos, adquiridos en el nivel de Educación Media General.

De igual manera, como segunda instancia se aplicaron cuatro (4) evaluaciones

durante el semestre, permitiendo suministrar información sobre los conocimientos de

Matemática II en estudiantes de Economía Social de la UNEFA, temas relacionados

con derivadas, su aplicación y las tablas de integración, integrales indefinidas,

definidas y los métodos de integración, de donde se determinaron los tipos de errores

que están presentes en los estudiantes cursantes de la asignatura, asimismo se

presentan los porcentajes que representan y su correspondiente descripción.

Finalmente, como última instancia, se determinó si el desconocimiento de

matemática preuniversitaria o los errores que se diagnosticaron están presentes en el

desempeño del estudiante al resolver los diferentes tipos de integrales en la asignatura

Matemática II, haciendo un análisis de los datos cuantitativamente y una descripción

de los mismos logrando de esta manera dar respuesta a los objetivos planteados en la

presente investigación.

Presentación de los Resultados

Cuadro 5

Frecuencia de repuestas correctas, no respondidas e incorrectas por ítem en la prueba diagnóstico

Semestre II-2013

Ítems 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CorrectoNo. 5 6 4 0 3 0 1 3 2 2

% 39 46 31 0 23 0 8 23 15 15

No RespondeNo. 2 2 1 1 4 5 4 9 7 10

% 15 15 8 8 31 39 31 69 54 77

IncorrectoNo. 6 5 8 12 6 8 8 1 4 1

% 46 39 61 92 46 61 61 8 31 8

Fuente. Resultados de la prueba diagnóstico, cálculo realizado por el autor.

Interpretación: Tomando en cuenta los resultados obtenidos en cada ítem de la

prueba diagnóstico, se pudo observar que la población estudiada demostró dificultad

al emitir respuesta, pues en sus producciones se hallaron errores de aprendizaje, para

los ítems 5 y 8 coinciden con un 77%, el 9 y 10 concuerdan con un 85%, en cuanto al

79

ítem 7 se presentó con un 92%, mientras que en los ítems 4 y 6 hubo un 100%. En tal

sentido, se puede vislumbrar que la mayoría de los porcentajes superan el 50% de la

población evaluada, lo que indica que los porcentajes más bajos se encuentran en las

respuestas correctas, ya que los estudiantes se equivocaron al responder o no

respondieron las preguntas, demostrando así que hay ausencia de los conocimientos

previos y presentan errores en el aprendizaje de la matemática preuniversitaria.

En lo sucesivo se presentan los hallazgos en las respuestas suministradas por los

estudiantes para la prueba diagnóstico, en donde se evidenciaron las carencias o

ausencias en sus conocimientos de matemáticas los cuales debieron ser adquiridos en

Educación Media General, matemática preuniversitaria, estas dificultades se

mostraron a través de los errores cometidos en las pruebas por los estudiantes

universitarios.

Instrumento No. 1: Prueba Diagnóstico.

Ítem No. 01: ¿Cuál es la raíz de la ecuación 2 x−1=0?

Apa

rtad

os a. Explique qué procedimiento sigue para hallar la raíz de la ecuación.

b. Dé una definición de ecuación.

Al resolver una ecuación, ésta puede ser considerada sencilla para un estudiante

universitario, pero de acuerdo con los resultados obtenidos en cuanto al desarrollo de

la ecuación lineal se encontraron diversidad en las respuestas, tal como se presenta a

continuación:

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

54%

23%

23%

Gráfico 10. Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Prueba Diagnóstico.

80

Interpretación: De acuerdo a los resultados obtenidos en el ítem 1 de la prueba

diagnóstico, sólo 3 estudiantes (23%) acertaron en la respuesta, pudiéndose notar que

dominaban las reglas de transposición de términos; otro 23% de los estudiantes no

respondieron a la pregunta, evidenciándose que los mismos carecían de conocimiento

sobre el tema planteado y, por último, 7 estudiantes (54%) quienes representan la

mayoría de la población, demostraron no poseer dominio de la competencia evaluada

ya que se observaron dificultades enfocadas en errores sobre conceptos de

ecuaciones, es decir, que al resolverlas encuentran el valor equivocado de la incógnita

[ x=−1 ]. Dentro de las respuestas, también, se evidenció que los estudiantes indicaron

[√ x−1=0 ]; de acuerdo a Astolfi (1999) este tipo de error está relacionado con la

dificultad que tienen los estudiantes para comprender las instrucciones dadas y a los

recorridos empleados.

Ítem No. 2: Ordena los siguientes tres números 13 ; 1,41;

−12 , en forma creciente.

¿Qué procedimiento sigues para ordenarlo?

En este ítem, se evidenció, el conocimiento parcial de la relación de orden.

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

39%

15%

46%


Interpretación: Se observa, de acuerdo a estos resultados, a pesar de que 6

estudiantes (46%) ordenaron de manera correcta los números en forma creciente,

hubo 5 estudiantes que lo hicieron de manera incorrecta (39%) y 2 que no

respondieron (15%), lo que equivale a un 54% que no poseían este conocimiento

previo, es decir lo que se ha llamado matemática preuniversitaria. Asimismo, en el 81

procedimiento los estudiantes no tenían conocimiento de qué debían hacer para

ordenar los números de acuerdo a lo solicitado para este ítem. En la corrección, se

pudo observar los que estuvieron en el rango del 39%, algunos lo ordenaron en forma

decreciente y otros sin un orden en específico. En tal sentido un 54% no tenían

dominio de la misma, es de destacar que las respuestas fueron diversas, dentro de las

cuales se muestra [13

;−12

;1,41]. Este tipo de error es debido a la comprensión de las

instrucciones y las operaciones intelectuales implicadas de acuerdo a Astolfi (1999).

Ítem No. 3: ¿Cuál es el resultado de 15−2

4 ? Además diga, ¿cómo identificas esta

expresión?

Para la resolución de este ítem, se requería que los estudiantes efectuaran una

adición de números racionales, donde debían hacer uso del siguiente esquema:

ab− c

d=ad−bc

bd con bd ≠0, en consecuencia, a continuación se presentan el

porcentaje arrojado por las respuestas de los educandos:

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%

62%

7%

31%


Interpretación: Se observa en el gráfico los resultados para el ítem 3 de la prueba

diagnóstico, donde 4 estudiantes (31%) aplicaron correctamente el procedimiento

respectivo demostrando un desenvolvimiento favorable en la adición de fracciones,

mientras que 1 estudiante (7%) no respondió a la pregunta; además, es importante

resaltar que 8 estudiantes (62%) respondieron de forma incorrecta y, aunque

82

identificaron la expresión de manera correcta, mostraron deficiencias en el

procedimiento que debían seguir en la adición de fracciones con diferente

denominador, pudiéndose determinar fallas en las operaciones básicas de los

contenidos de matemática preuniversitaria. Asimismo, se halló en las respuestas de

los estudiantes, entre otras, como ejemplo lo siguiente [ 1120 ]; esto de acuerdo con

Astolfi (1999) son errores ligados a operaciones intelectuales implicadas,

concepciones alternativas y de los hábitos escolares.

Ítem No. 4: ¿Cuál es el valor de (22 )−2?, Explique qué procedimiento sigues.

Para este ítem, se requería el uso de las propiedades de la potenciación, sin

embargo, a través de esta prueba diagnóstico aplicado a los estudiantes cursantes de

segundo semestre, se identificaron errores y dificultades los cuales se presentan a

continuación:

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

92%

8%

0%


Interpretación: Se observa en el gráfico, para los resultados del ítem 4 de la prueba

diagnóstico, ningún estudiante suministró una respuesta correcta, mientras que 1

estudiante (8%) no dio respuesta alguna, pudiéndose observar las debilidades que

presentaron los estudiantes en el aprendizaje de matemática previa, 12 estudiantes

(92%) respondieron de manera incorrecta las cuales estuvieron enfocado en el

desconocimiento de las propiedades de la potenciación, por no identificar la

semántica de la operación, así como también, se observó la multiplicación de la base

83

por el exponente. Entre las respuestas, que fueron diversas, se encontró

[16 ,2 , 32 ,−34 ,20 , 2−4 y 42 ] como resultado de los procedimientos empleados, los

cuales no fueron los idóneos; esto concuerda con lo planteado por Astolfi (1999)

debido a que se presentaron errores como resultado de los hábitos escolares o de una

mala interpretación de las expectativas, operaciones intelectuales implicadas y

procesos adoptados.

Ítem No. 5: Desarrolla la siguiente expresión (1−x )2, y explique el procedimiento

que empleaste. ¿Qué tipo de expresión es?

Aquí se plantea la puesta en práctica del desarrollo del cuadrado de la diferencia

de un binomio, además de realizar el desarrollo respectivo el estudiante debe

identificar el tipo de expresión; es necesario destacar que se hallaron errores en su

resolución por parte de los estudiantes, a continuación se detallan los hallazgos:

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

46%

31%

23%


Interpretación: A través del gráfico se observa que en los resultados para el ítem 5

de la prueba diagnóstico, sólo 3 estudiantes (23%) aplicaron el procedimiento

respectivo demostrando un desenvolvimiento en el desarrollo del producto notable, 4

estudiantes (31%) no saben o no dan respuesta alguna para este ítem, mientras que 6

estudiantes (46%), entre las respuestas incorrectas, se halló (1−x2), de tal manera que

usaron de forma errónea la linealidad sin tomar en cuenta el exponente, cuadrado de

la diferencia de un binomio, se evidenció el desconocimiento de la conceptualización

algebraica para desarrollar este caso de los productos notables, además, estuvo 84

enfocado en los procedimientos que debían seguir para el desarrollo de este ejercicio,

obteniendo de ésta manera un 77% de estudiantes que no dominaban estas

competencias, para identificar la expresión y el procedimiento a seguir. Este tipo de

error se corresponde con lo planteado por Astolfi (1999) en cuanto a los procesos

adoptados y a las concepciones alternativas.

Ítem No. 6: Dados los números 13 ; 0; 2,72; −5; π y

−32 colocar el símbolo

(pertenece) o (no pertenece), según los números dados pertenezcan o no, al

conjunto N de los números naturales; al conjunto Z de los números enteros, al

conjunto Q de los números racionales o al conjunto R de los números reales.

Esta situación involucró la relación entre los contenidos citados anteriormente,

aunque su misión se centró en detectar sí los estudiantes identifican el conjunto

numérico al cual pertenecen los números planteados, sin embargo se pudo determinar

que en su totalidad no conocen a cuál conjunto numérico pertenecen. A continuación

se presentan los resultados obtenidos:

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

54%

46%

0%

Gráfico 15. Porcentaje de respuestas ítem 6. Prueba Diagnóstico.

Interpretación: En el gráfico se observa los resultados arrojados para el ítem 6 de la

prueba diagnóstico, destacando que ningún estudiante conoce a cuál conjunto

numérico pertenecían los números propuestos en el ejercicio, 6 estudiantes (46%) no

respondieron por desconocimiento parcial o total de los conjuntos numéricos

presentados en esta pregunta, y 7 estudiantes (54%) respondieron de forma incorrecta

85

las cuales estuvieron enfocado en la definición al identificar el conjunto de los

números reales, lo que implica que el 100% de los estudiantes no dominaban este

contenido. Ejemplo de esto, hacen referencia a [ 2,72 ] como un número entero, y a [ π ]

(pi) como número racional. Es por esto que, de acuerdo a Astolfi (1999), son errores

debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad y a las concepciones alternativas.

Ítem No. 7: Calcula el valor de la siguiente expresión (−3 ) [−2− (−3 )−1 ]. Explique el procedimiento a seguir.

En este ítem no se especifica el camino para la resolución (por ejemplo; propiedad

distributiva), con la intencionalidad de ver las diferentes formas que toman los

estudiantes para llegar a la respuesta.

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%

62%

31%

7%


Interpretación: Se observan claramente los resultados para el ítem 7 de la prueba

diagnóstico, sólo 1 estudiante (7%) realizó correctamente el procedimiento en este

ítem, 4 estudiantes (31%) no respondieron por desconocimiento parcial o total al

simplificar los signos de agrupación haciendo uso de la ley de los signos con respecto

al producto, mientras que 8 estudiantes (62%) respondieron incorrectamente estando

enfocado en la definición y procesos adoptados al simplificar los símbolos de

agrupación, lo que determinó que un 93% de los estudiantes no maneja

adecuadamente las competencias de matemática preuniversitaria en este contenido.

En sus respuestas se evidenció que [−1 ;−12 ;−3;3 ;6 ; y 27 ], por consiguiente

siguiendo a la tipología de Astolfi (1999) son errores ligados a las operaciones

86

intelectuales implicadas, procesos adoptados, hábitos escolares y a las concepciones

alternativas.

Ítem No. 8: Calcula las raíces de la ecuación x2−2 x+1=0. ¿Qué tipo de ecuación es?

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

8%

69%

23%


Interpretación: En este gráfico se puede observar que 3 estudiantes (23%) realizaron

correctamente el procedimiento en este ítem hallando su resultado, mientras que 9

estudiantes (69%) no respondieron por desconocimiento parcial o total de cómo hallar

el o los valores de X, y sólo 1 estudiante (8%) respondió de manera incorrecta cuyo

resultado estuvo enfocado en la definición y procesos adoptados al hallar la forma

reducida de la expresión o raíces, haciendo uso de la resolvente; lo que indica que el

77% de los estudiantes no lograron las competencias de este ítem. A pesar, de estos

resultados se observó que al no responder dejaron como evidencia las deficiencias en

matemática básica; es por ello que, se ubica dentro de los errores debidos a la

sobrecarga cognitiva en la actividad y a los procesos adoptados, de acuerdo a lo

planteado por Astolfi (1999).

Ítem No. 9: Calcula (−2 )434

(−2 )3 (−3 )3

87

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

31%

54%

15%


Interpretación: De acuerdo a estos resultados, se puede observar que sólo 2

estudiantes (15%) realizaron correctamente el procedimiento en este ítem, mientras

que 7 estudiantes (54%) no respondieron por desconocimiento de las propiedades de

la potenciación, también vale destacar que 4 estudiantes (31%) respondieron

incorrectamente presentando errores y dificultades en cuanto a la definición y

procedimientos empleados al aplicar las propiedades de la potenciación con bases

negativas y exponente par o impar, lo que determinó que un 85% de los estudiantes

no tienen dominio en relación a éste contenido; de acuerdo con Astolfi (1999) son

errores debidos a los procesos adoptados, concepciones alternativas, y a las

operaciones intelectuales implicadas. Un ejemplo, de las respuestas suministradas, en

el denominador (−2 )3, (−3 )3, respondieron que su resultado (−8) y (−3).

Ítem Nº 10: Factorizar la siguiente expresión: x2−10 x+25. Explica el

procedimiento a seguir.

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

8%

69%

23%


88

Interpretación: Tomando en consideración la información presentada en el gráfico,

se puede observar que sólo 3 estudiantes (23%) realizaron correctamente el

procedimiento en este ítem, mientras que 9 estudiantes (69%) no respondieron por

desconocimiento de los casos de factorización, y 1 estudiante (8%) en su respuesta lo

realizó ( x+5 ) ( x+5 ) de forma incorrecta evidenciándose error enfocado en la

definición y procedimiento empleado al aplicar factorización, lo que muestra que un

77% de los estudiantes no dominaron las competencias de matemática

preuniversitaria con este tema; como consecuencia, son errores como resultado de los

hábitos escolares o de una mala interpretación de las expectativas, operaciones

intelectuales implicadas y a los procesos adoptados en concordancia con la tipología

de Astolfi (1999).

Por último, con respecto a la tipología de errores de Astolfi (1999), se determinó

que más del 95% de las dificultades o errores presentados por los estudiantes

estuvieron distribuidas entre: errores como resultados de los hábitos escolares o de

una mala interpretación de las expectativas, producidos por la aplicación incorrecta

de las propiedades, justificadas en esquemas similares, además de no identificar la

semántica de las operaciones. Otro aspecto, son los errores debidos a la sobrecarga

cognitiva en la actividad, causados por la carencia de aprendizajes relativos a

destrezas y conceptos que no fueron guardadas y almacenadas en la memoria.

Del mismo modo, otro alto porcentaje que se eleva del 90% de las situaciones que

fueron resueltas por los estudiantes dejaron patrones de error los cuales se encuentran

distribuidas de la siguiente forma: errores ligados a las operaciones intelectuales

implicadas, en donde presentaron dificultades al realizar las operaciones básicas,

causados por aprendizajes incorrectos. También, aquellos errores debidos a los

procesos adoptados, causados por procedimientos creados por los mismos

estudiantes, que interfirieron en el adecuado procesamiento de la información.

Asimismo, los errores debidos a la comprensión de las instrucciones, pues los

estudiantes no analizaban lo que se les estaba preguntando para luego emitir

respuestas, en consecuencia, respondían incorrectamente.

89

A continuación se hace una descripción de los hallazgos en las pruebas aplicadas,

a los estudiantes del segundo semestre de Economía Social de la asignatura

Matemática II, éstas fueron seleccionadas durante el desarrollo del semestre II-2013,

tomando en consideración cuatro (4) evaluaciones para identificar los errores

cometidos en la asignatura, con el propósito de dar respuesta al segundo objetivo

específico; en donde se evidenciaron los errores en el desempeño de ésta cátedra:

Cuadro 6

Frecuencia de repuestas correctas, no respondidas e incorrectas por ítem para cada evaluación parcial de Matemática II

Semestre II-2013

Ítems

Correcto No Responde Incorrecto

No. % No. % No. %

Evaluación No. 1 1

a 0 0 3 23 10 77

b 0 0 10 77 3 23

c 0 0 3 23 10 77

Evaluación No. 2

1 6 46 1 8 6 46

2 3 23 0 0 10 77

3 0 0 3 23 10 77

Evaluación No. 3

1a 0 0 1 8 12 92

b 2 15 1 8 10 77

2 3 23 4 31 6 46

3a 1 8 7 54 5 38

b 0 0 8 62 5 38

Evaluación No. 4

1 1 8 4 31 8 61

2

a 0 0 3 23 10 77

b 0 0 4 31 9 69

c 0 0 7 54 6 46

3 0 0 2 15 11 85

90

Fuente. Resultados de cada prueba parcial, cálculo realizado por el autor.

Interpretación: Tomando en cuenta los resultados obtenidos para cada ítems en las 4

evaluaciones parciales aplicadas de Matemática II, se puede destacar que se

encontraron dificultades, de ésta manera en la Evaluación No. 1, para cada una de las

preguntas el 100% respondió incorrectamente o simplemente no respondió; en cuanto

a la Evaluación No. 2, para el ítem 1, hubo un 54%; en cuanto al ítem 2 un 77%; en el

ítem 3 el 100%. En lo que respecta a la Evaluación No. 3, el ítem 2 representa el

77%; el 1-b con un 85%; el ítem 3-a con un 92%; mientras que los ítems 1-a y 3-b

estuvieron con un 100%, respectivamente; por último, en la Evaluación No. 4, para el

ítem 1 representa el 92%; mientras que los ítems 2-a, 2-b, 2-c y 3 coinciden con el

100%. En otras palabras, se puede acotar que gran parte de los porcentajes superan el

50% de respuestas incorrectas en los estudiantes evaluados, esto indica que los

porcentajes más bajos se ubicaron en las respuestas correctas, debido a que los

estudiantes se equivocaron al responder o no respondieron los ítems, demostrando así

que hay ausencia de los conocimientos previos.

Instrumento No. 2: Evaluación No. 1.

Ítem No. 1-a: Encontrar la integral indefinida de ∫ ( x−3 ) ( x+3 ) dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

77%

23%

0%

Gráfico 20. Porcentaje de respuestas para el ítem 1-a. Evaluación No. 1.

Interpretación: Se observa en el gráfico, que de las respuestas obtenidas ningún

estudiante respondió correctamente este ítem, en este sentido, se pudo observar que

sólo 3 estudiantes (23%) no respondieron a la pregunta, lo que indica ausencia de

91

conocimientos en matemática preuniversitaria, mientras que 10 de ellos (77%)

desarrollaron de forma incorrecta la integral, encontrándose en su mayoría errores de

producto notable, producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, los cuales

pertenecen a matemática preuniversitaria; lo que significa que un 100% de los

estudiantes evaluados no dominan las competencias necesarias para resolver este ítem

de la primera evaluación parcial.

Ítem No. 1-b: Encontrar la integral de

∫ cos (x )1−( cos ( x ) )2

dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

23%

77%

0%

Gráfico 21. Porcentaje de respuestas para el ítem 1-b. Evaluación No. 1.

Interpretación: En el gráfico presentado anteriormente, se muestra que no se

emitieron respuestas correctas por parte de los estudiantes para este ítem, además 10

estudiantes (77%) no dieron respuesta para lo solicitado en este tipo de ejercicios

sobre integrales, denotando deficiencias en el aprendizaje, destrezas y conceptos

previos que evitan la resolución, cabe resaltar, también, que de los 13 estudiantes, 3

(23%) respondieron incorrectamente debido al uso inadecuado de los conocimientos

de trigonometría, razones trigonométricas e identidades trigonométricas, contenidos

que corresponden a la matemática preuniversitaria, lo que indica que el 100% de los

estudiantes evaluados no dominan las competencias necesarias en la resolución de

integrales.

Ítem No. 1-c: Encontrar la integral de ∫ 1√ x

( x+2 )3 dx

92

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

77%

23%

0%

Gráfico 22. Porcentaje de respuestas para el ítem 1-c. Evaluación No. 1.

Interpretación: En el gráfico se destaca que 0% de los estudiantes, o sea, ninguno,

respondió correctamente a este ítem, mientras que 3 estudiantes (23%) desconoce o

simplemente no sabían qué hacer al no responder a la pregunta, de igual modo 10

estudiantes (77%) en sus respuestas presentaron errores sobre la definición de las

reglas de integración, desarrollo del producto notable, cubo de una suma,

potenciación de exponentes racionales, propiedades de la potenciación y radicación, y

los procedimientos que siguen al plantear la integral, contenidos que no estaban

presentes en sus conocimientos sobre matemática preuniversitaria y Matemática II,

éstos no les permitieron desenvolverse correctamente en esta asignatura, lo cual

indica que el 100% de los estudiantes no dominaron las competencias necesarias para

la resolución del ítem 1-c.


Ítem No. 1: Calcular la integral indefinida de ∫ x3 dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

46%

8%

46%

Gráfico 23. Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Evaluación No. 2.

93

Interpretación: Se observa a través del gráfico que, 6 estudiantes (46%) conocían y

comprendían el sentido de la integral, respondiendo satisfactoriamente, es decir,

dominaron el concepto de integral indefinida y la aplicación de integración inmediata,

mientras que sólo 1 estudiante (8%) no respondió la pregunta notándose deficiencias

en el aprendizaje de la definición de integrales, por otra parte, los otros restantes 6

estudiantes (46%) en sus respuestas presentaron errores sobre las reglas de

integración, y los procedimientos que siguieron al plantear la integral, estos

conocimientos no se encuentran presentes en sus conocimientos en el aprendizaje de

matemática preuniversitaria, Matemática I y Matemática II, lo cual no les permiten

desenvolverse correctamente en esta asignatura.

Ítem No. 2: Calcular la integral indefinida de ∫ x (3 x2−4 ) dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

77%

0%

23%


Interpretación: Se observa a través del gráfico que, sólo 3 estudiantes (23%)

conocían y comprendían el sentido de la integral, respondiendo satisfactoriamente, es

decir, dominaban el concepto de integral indefinida y la aplicación de integración

inmediata, cabe resaltar que todos respondieron a esta pregunta, mientras que en las

respuestas se halló, en 10 estudiantes (77%), errores sobre las reglas de integración

debidos al desconocimiento de los siguientes temas: potenciación, multiplicación de

signos, entre otros, además de los procedimientos incorrectos que siguieron al

plantear la integral, de manera tal que no dominaban las competencias necesarias de

matemática preuniversitaria y matemática I, lo cual no les permiten desenvolverse

correctamente en esta asignatura.

94

Ítem No. 3: Calcular la integral indefinida de ∫ 2 x−1x2−x+1

dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

77%

23%

0%


Interpretación: Se observa que 0% no respondió correctamente a la pregunta, esto

indica que ningún estudiante dominaban los conocimientos requeridos de matemática

básica y de Matemática I y II, en este sentido 3 estudiantes (23%) no respondieron a

la pregunta, mientras que los restantes 10 estudiantes (77%) se hallaron en sus

respuestas errores sobre las reglas de integración, y los procedimientos que seguían

para la resolución de la integral, prescindiendo de los conocimientos sobre

matemática preuniversitaria y Matemática I, lo cual no les permitieron desenvolverse

correctamente en esta asignatura, en consecuencia el 100% de los estudiantes

evaluados no dominan las competencias necesarias para la resolución de este ítem.


Ítem No. 1-a: Encontrar la integral indefinida de ∫ ( 2t 2−1 )2 dt

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

92%

8%

0%


95

Interpretación: Se observa que el 0% de los estudiantes no respondieron

correctamente, mientras que sólo 1 estudiante (8%) no respondió el ítem, mostrando

evidentemente deficiencias y dificultades en el aprendizaje de matemática

preuniversitaria, Matemática I y Matemática II, además, cabe señalar que los 12

estudiantes (92%) restantes respondieron de forma incorrecta, ya que presentaron

errores en el aprendizaje sobre los conocimientos de matemática preuniversitaria,

como lo es el producto notable, cuadrado de la diferencia de dos cantidades, así como

también los procedimientos que siguieron para la resolución de la integral,

prescindiendo de los conocimientos necesarios para resolver los ejercicios de la

asignatura Matemática II, en consecuencia se puede inferir que el 100% de los

estudiantes no dominan las competencias.

Ítem No. 1-b: Encontrar la integral indefinida de ∫ x+6√x

dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

77%

8%

15%


Interpretación: Se observa que sólo 2 estudiantes (15%) dominaron, no sólo los

conocimientos básicos de matemática, sino que conocían y comprendían en su

totalidad las reglas de derivación e integración al responderlo correctamente,

asimismo, 1 estudiante (8%) no respondió la pregunta realizada poniendo en

evidencia las dificultades presentes en su aprendizaje, también es importante hacer

mención que 10 estudiantes (77%) en sus respuestas presentaron errores sobre los

conocimientos de matemática preuniversitaria, potenciación en con exponente

racional y las propiedades de la potenciación, de igual forma los procedimientos que

siguieron para la resolución de la integral, prescindiendo de los conocimientos de

Matemática I, lo que no les permitieron desenvolverse correctamente en esta 96

asignatura Matemática II, arrojando de esta manera que el 92% de la muestra

evaluada no domina las competencias para éste ítem.

Ítem No. 2: Usando la integración por sustitución encontrar la integral de:∫sin (2 x ) ∙cos (2 x )dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

46%

31%

23%


Interpretación: En el gráfico se observa que, sólo 3 estudiantes (23%) dominaron,

no sólo los conocimientos básicos de matemática, sino también en su totalidad las

reglas de derivación e integración, sin embargo, 4 estudiantes (31%) no respondieron

la pregunta realizada, evidenciando dificultades; en este mismo sentido, los restantes

6 estudiantes (46%) presentaron errores en la resolución de la integral, razón por la

cual se pudo determinar que hay deficiencias en el aprendizaje de la matemática

preuniversitaria, así como también en los procedimientos empleados, demostraron

además que hay ausencia de conocimientos sobre Matemática I y en consecuencia de

Matemática II, es por esto que no se desenvuelven correctamente en esta última

asignatura, esto representa que el 84% no domina las competencias necesarias para

este ítem.

Ítem No. 3-a: Usando la integración por partes encontrar la integral de: ∫ x ∙sin ( x ) dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

38%

54%

8%


97

Interpretación: En el gráfico se observa que 1 estudiante (8%) respondió

correctamente, es decir, sólo este estudiante acertó en su respuesta; sin embargo, 7

estudiantes (54%) no resolvieron el ejercicio, evidenciando deficiencias en el

aprendizaje, mientras que 5 estudiantes (38%) respondieron mostrando en sus

respuestas dificultades sobre los conocimientos de matemática preuniversitaria,

referente a la ley de los signos con respecto al producto, así como también en los

procedimientos empleados para la resolución de la integral a través de los métodos de

integración, asimismo demostraron pocos conocimientos sobre Matemática I,

repercutiendo esto en un desenvolvimiento incorrecto de la asignatura Matemática II,

esto muestra que un 100% de los estudiantes evaluados no dominaban las

competencias necesarias para la resolución del ejercicio.

Ítem No. 3-b: Usando la integración por partes encontrar la integral de: ∫ x3 sin ( x ) dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%

38%

62%

0%


Interpretación: La gráfica nos muestra que ningún estudiante respondió

correctamente, esto representa el 0%; sin embargo, 8 estudiantes (62%) no

resolvieron esta integral, además, 5 estudiantes (38%) en sus respuestas se detectaron

errores tanto de matemática básica como de Matemática I y II, entre los cuales se

encontraron la ley de los signos con respecto al producto, concepciones,

procedimientos, reglas de derivación y técnicas de integración, es decir, cuando

resolvieron los integrales por ausencia de estos tópicos convergieron en errores, lo

que indica que el 100% de los estudiantes evaluados no dominaban las competencias

necesarias para la resolución del ítem.

98


Ítem No. 1: Resolver la integral por descomposición en fracciones parciales ∫ x2−3( x−1 )2 (x+1 )2

dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%

61%

31%

8%


Interpretación: Se muestra en la gráfica que sólo 1 estudiante (8%) comprendió y

realizó el procedimiento respectivo para la resolución de este tipo de integrales, sin

embargo, 4 estudiantes (31%) no respondieron por desconocimiento o simplemente

desconfiaron de sus respuestas, por su parte, los restantes 8 estudiante (61%) en sus

respuestas se hallaron errores debidos al aprendizaje de matemática básica, entre los

cuales se encontraron factorización, factor común, operaciones básicas, concepciones

y procedimientos, es decir, cuando resolvieron los integrales por descomposición de

fracciones parciales convergieron en errores, en consecuencia se infiere que el 92%

de los estudiantes evaluados no dominaban las competencias necesarias para la

resolución de este ítem.

Ítem No. 2-a: Usando sustitución trigonométrica encontrar la integral de:

∫ 4x2√16−x2

dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

77%

23%

0%

99


Interpretación: En la gráfica se observa que ningún estudiante suministro respuesta

correcta para este ítem, también se observa que 3 estudiantes (23%) no respondieron

a esta pregunta, además 10 estudiantes (77%) en sus respuestas presentaron errores en

el aprendizaje de matemática básica, entre los cuales se pueden mencionar la

definición de la razones trigonométricas, identidades trigonométricas, concepciones y

procedimientos, es decir, cuando resolvieron los integrales por sustitución

trigonométrica mostraron deficiencias en sus conocimientos, en consecuencia, el

100% de los estudiantes evaluados no dominaban las competencias necesarias para la

resolución de integrales.

Ítem No. 2-b: Usando sustitución trigonométrica encontrar la integral de:

∫ 1√ x2−25

dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

69%

31%

0%


Interpretación: A través de la gráfica se observa que no hubo estudiantes en cuyas

respuestas se determinará de manera correcta para este ítem, mientras que 4

estudiantes (31%) no dieron respuesta al ejercicio, denotando deficiencias en el

aprendizaje, los restantes 9 estudiantes (69%) presentaron errores en sus respuestas

los cuales eran sobre la definición de la razones trigonométricas, identidades

trigonométricas, los procedimientos empleados, desconocimiento de la reglas de

derivación, en otras palabras, al resolver los integrales por sustitución trigonométrica

100

convergieron en dificultades, también se observa que el 100% de los estudiantes

evaluados no dominaron las competencias necesarias para la resolución de este ítem.

Ítem No. 2-c: Usando sustitución trigonométrica encontrar la integral de:∫ x √1+x2 dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

46%

54%

0%

Gráfico 34. Porcentaje de respuestas para el ítem 2-c. Evaluación No. 4.

Interpretación: Se observa en la gráfica que no hubo estudiante que respondieran de

manera correcta para este ítem, también se vislumbra que 7 estudiantes (54%) no

respondieron, en tanto no sabían qué hacer frente a la situación planteada, mientras

que 6 estudiantes (46%) incurrieron en errores al responder, debido al

desconocimiento de la definición de la razones trigonométricas, identidades

trigonométricas, la reglas de derivación, también se observó deficiencias en cuanto a

los procedimientos empleados, al resolver los integrales por sustitución

trigonométrica, esto indica que el 100% de los estudiantes evaluados no dominaron

las competencias para la resolución de esta integral.

Ítem No. 3: Hallar la integral definida de: ∫−1

3

5 x (2 x2+3 x−5 ) dx

INCORRECTO

NO RESPONDE

CORRECTO

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

85%

15%

0%


101

Interpretación: La gráfica muestra que al respecto no se encontraron respuestas de

manera correcta en esta pregunta, además 2 estudiantes (15%) no respondieron para

este ítem, en consecuencia se puede decir que, ante el ejercicio, manifestaron que no

sabían qué responder debido a la ausencia de conocimientos, mientras que 11

estudiantes (85%) en sus respuestas incurrieron en errores con respecto a las reglas de

integración así como también de los conocimientos de matemática preuniversitaria

con respecto a la propiedad distributiva respecto al producto, propiedades de la

potenciación en el caso producto de potencia de igual base, así como en los

procedimientos empleados, en otras palabras, al resolver los integrales por sustitución

trigonométrica convergieron en dificultades, demostrando así que el 100% de la

muestra evaluada no dominaron las competencias necesarias para la resolución de

éste ítem.

A continuación se examina si los errores en el aprendizaje de matemática

preuniversitaria presentes en los estudiantes de Matemática II de Economía Social,

repercutieron en el desempeño de éstos al resolver los integrales en dicha asignatura,

es decir, se vislumbra aquí la columna vertebral del presente trabajo de investigación,

mostrando los resultados e inquietudes del investigador, en el estudio de las

dificultades y errores que se encuentran en la población estudiantil que ingresa a la

UNEFA.

En este sentido, se da respuesta a los objetivos propuestos, presentando a

continuación los errores encontrados, luego de aplicar un primer instrumento (prueba

diagnóstico), con respecto a los conocimientos de matemáticas adquiridos en

Educación Media General, y de qué manera están presentes en el desempeño de

matemática II; realizando una revisión en un segundo, tercero, cuarto y quinto

instrumento (evaluaciones parciales aplicadas en Matemática II), ya analizados

anteriormente, para determinar de esta manera cómo están presentes e influyen estos

errores en el desenvolvimiento de la asignatura. Así, se comienza por agrupar los

contenidos de matemática preuniversitaria presentes en las evaluaciones de

Matemática II, tomando en cuenta estos temas de estudio, se expresan el número de

102

errores hallados de acuerdo a la tipología de error, tal como se muestra en el siguiente

cuadro:

Cuadro 7

Errores presentes de acuerdo a los contenidos de matemática preuniversitaria

Contenido

Matemático

Errores debidos a:

Totales

A la

com

pren

sión

de

las

inst

rucc

ione

s de

trab

ajo

De

las c

ostu

mbr

es e

scol

ares

o

de u

na m

ala

inte

rpre

taci

ón

de la

s exp

ecta

tivas

De

las c

once

pcio

nes

alte

rnat

ivas

de

los a

lum

nos

A la

s ope

raci

ones

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icad

as

En

los r

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A la

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ecar

ga c

ogni

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dura

nte

el e

jerc

icio

A su

ori

gen

en o

tra

disc

iplin

a

Por

la c

ompl

ejid

ad p

ropi

a de

l co

nten

ido

Productos notablesRazones trigonométricas inversas e identidades trigonométricas

4 0 6 0 6 4 0 0 20

Producto notablePotenciación con exponente racionalLey de los signos

1 3 7 7 4 0 0 0 22

FactorizaciónOperaciones básicaDefinición de las razones trigonométricasIdentidades trigonométricasPropiedad distributiva respecto al productoPotenciación y propiedades

0 9 11 6 6 0 0 0 32

Fuente. Errores cometidos de acuerdo a la tipología de Astolfi, 1999.

Separando la información y analizando la tipología de error, para cada uno de los

temas que integraron las evaluaciones, se observó que:

103

En el desarrollo de la primera evaluación parcial de Matemática II, los errores más

frecuentes devinieron de concepciones alternativas y de recorridos empleados; 6

estudiantes (46%) antes de resolver los integrales debían desarrollar el producto

notable cubo de la suma de un binomio y en sustitución de este tema de matemática

preuniversitaria hacían uso de concepciones alternativas; asimismo, 6 estudiantes

(46%) en sus respuestas empleaban otros recorridos o procedimientos con respecto a

este producto notable que no erran los correctos para concretar la resolución de la

integral.

Por último, 4 estudiantes (31%) no comprendieron que para resolver las integrales

se requería de los conocimientos de matemáticas preuniversitarias con respecto a los

productos notables, particularmente, el producto de la suma por la diferencia de

binomios y, en consecuencia, estos errores son debidos a la comprensión de las

instrucciones; de igual forma, 4 estudiantes (31%), debido a la gran cantidad de

información obtenida en la Educación Media General, desarrollaban el cuadrado de

un binomio cuando debían desarrollar el cubo de una suma en los productos notables

esto debido a sobrecarga cognitiva y costumbres escolares. Cabe destacar que, estos

errores de matemática preuniversitaria estuvieron presentes en la resolución de

integrales, lo cual repercutió en el buen desenvolvimiento de los estudiantes. En el

siguiente gráfico se resumen de manera porcentual estos resultados:

Compr

ensió

n de

las i

nstru

ccio

nes

Conce

pcio

nes a

ltern

ativ

as

Recor

ridos

empl

eados

Sobr

ecar

ga co

gniti

va0%5%

10%15%20%25%30%35%40%45%50%

31%

46% 46%

31%

Gráfico 36. Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.

104

En cuanto a la tercera evaluación parcial, los errores más frecuentes se debieron a

concepciones alternativas y de operaciones intelectuales implicadas; por un lado,

los estudiantes no identificaron la expresión presentada en los integrales haciendo uso

de concepciones alternativas propias del educando, llevándolos a través del

procedimiento incorrecto empleado a una solución inválida, un ejemplo de ello fue el

desarrollo del cuadrado de la diferencia de un binomio, convirtiendo al exponente 2

en un exponente racional y, por el otro, aplicar de forma incorrecta la siguiente

propiedad de la potenciación [a−n= 1an ].

Con respecto a las operaciones intelectuales implicadas, los estudiantes no

realizaron las operaciones de la multiplicación de signos, así como también, al

desarrollar los productos notables, para el caso del cuadrado de una diferencia de dos

cantidades, no colocaron los signos respectivos al desarrollo del mismo el cual

correspondía de forma alterna (positivo – negativo – positivo), así:

[ (a−b )2=a2−2ab+b2 ]. De igual forma hubo errores debidos a la comprensión de las

instrucciones, costumbres escolares o de una mala interpretación, y de recorridos

empleados. A continuación se presentan estos porcentajes:

Compren

sión d

e las

instr

uccion

es

Costumbre

s esco

lares

o de una

mala

inter

pretac

ión

Conce

pcio

nes a

ltern

ativa

s

Operac

ione

s intel

ectua

les im

plica

das

Recorri

dos em

pleado

s0%10%20%30%40%50%60%

8%

23%

54% 54%

31%

Grafico 37. Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.

105

En la cuarta evaluación parcial, aplicada en Matemática II, se presentaron como

categorías de errores más distintivos las concepciones alternativas y las costumbres

escolares o de una mala interpretación de las expectativas; de la primera se infiere

que estos errores devinieron de consideraciones al descomponer en fracciones

parciales antes de resolver el integral, pues, los estudiantes, debieron llevar a la

mínima expresión de fracciones pero al plantearla lo realizó de manera incorrecta, lo

cual incidió en el desenvolvimiento de los estudiantes en la asignatura; asimismo, al

encontrar la integral por sustitución trigonométrica no colocaron la raíz cuadrada

respectiva.

Por su parte, en la segunda categoría de error, se observó que los estudiantes

debido a las costumbres escolares se saltaron procedimientos que debían seguir.

También, se detectaron errores al efectuar las operaciones básicas en cuanto a la

adición, sustracción, ley de los signos para el producto, debidos a las operaciones

intelectuales implicadas, de igual modo, los procedimientos empleados por los

estudiantes en la resolución de los integrales no les permitieron resolver de manera

satisfactoria las integrales, en consecuencia se clasificaron como errores de

recorridos empleados. En la siguiente grafica se resume lo hallado:

Costum

bres es

colar

es o d

e una m

ala in

terpre

tación

Concep

cione

s alte

rnativ

as

Operac

iones

intelect

uales

impli

cadas

Recorrid

os em

plead

os0%

20%

40%

60%

80% 69%85%

46% 46%

Grafico 38. Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.

106

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Toda investigación amerita dar a conocer los hallazgos encontrados en el estudio

realizado, es por ello que en el capítulo que se desarrolla a continuación se

manifiestan las conclusiones arrojadas del análisis de los datos, tomando en

consideración para este aspecto los objetivos propuestos y los planteamientos

realizados durante la investigación; de igual manera se expresan las sugerencias y

aportes que el investigador ofrece.

Conclusiones de la investigación

Finalmente, se llega al cierre de la investigación, la cual tuvo por objetivo analizar

los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria, que presentan los

estudiantes en la resolución de integrales, de la asignatura Matemática II de

Economía Social de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas

Armadas (UNEFA), extensión Guacara del Estado Carabobo.

En consecuencia, se ha estructurado este capítulo final presentando las

conclusiones de la investigación con respecto a los objetivos planteados. Para ir

cerrando, se presenta a continuación las conclusiones más importantes de los

resultados suministrados a través de la metodología empleada, de acuerdo a cada uno

de los objetivos específicos que se plantearon en el primer capítulo.

La presentación se realiza en cuatro secciones, donde las primeras tres se

corresponden a las conclusiones que se formulan referentes a los objetivos

específicos; y la última, a los interrogantes de la investigación.

Al analizar cada uno de los errores presentados por los estudiantes se determinó

que más del 50% de los estudiantes se les dificultaba el procedimiento con las

operaciones básicas tales como: propiedades de la potenciación, factorización,

adición, sustracción y multiplicación de signos, ecuaciones, producto notable,

conjuntos numéricos, entre otros; todo esto arrojó como consecuencia un desempeño

inadecuado en la asignatura de Matemática II de la carrera de Economía Social.

Para el primer objetivo se pudo constatar que los errores presentados fueron de

matemática básica (matemática preuniversitaria), sin embargo, se hizo una

interpretación de la tipología de errores presentada por Astolfi (1999), donde se pudo

diagnosticar que los tipos de errores presentados por los discentes son: debidos a la

comprensión de las instrucciones, resultado de los hábitos escolares o de una mala

interpretación de las expectativas, como resultado de las concepciones alternativas de

los alumnos, ligados a las operaciones intelectuales implicadas, errores en los

procesos adoptados, debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad.

En síntesis, se relatan los errores y dificultades presentadas por los estudiantes en

el desarrollo de la prueba diagnóstico, las cuales se expresan como resultado de los

hallazgos en las evaluaciones; por consiguiente, los errores de aprendizaje más

frecuentes de los estudiantes se encontraron cuando:

Aplicaron los conceptos de ecuaciones, es decir que al resolverlas encontraban

el valor equivocado de la incógnita.

Ordenaron los números reales de menor a mayor, es decir, lo colocaron

desordenados o de manera decreciente.

Realizaban la adición de fracciones con diferente denominador, en cuanto al

procedimiento que debían seguir, pudiéndose determinar fallas en las

operaciones básicas.

Debían aplicar las propiedades de la potenciación, no identificaban el

significado de la operación, así como también, incurrían en la multiplicación de

la base por el exponente.

108

Al desarrollar los productos notables, empleaban un recorrido alterno al

correcto, es decir, un procedimiento diferente al que debían utilizar.

Debían identificar a cuál conjunto de los números reales pertenecían los

números planteados.

Debían hacer uso de las operaciones elementales, así como también de la ley de

los signos con respecto al producto.

Al identificar la ecuación cuadrática no suministraron respuesta, al hallar la

forma reducida de la expresión o raíces, haciendo uso de la resolvente.

Al aplicar las propiedades con bases negativas y exponente par o impar, no

dominaban las competencias de matemática preuniversitaria en cuanto a la

definición y procedimientos empleados.

Desconocían de los casos de factorización o los desarrollaban en forma

incorrecta.

Con la tipología de errores de Astolfi (1999), se determinó que más del 95% de las

dificultades o errores presentados por los estudiantes estuvieron distribuidas entre:

Errores como resultados de los hábitos escolares o de una mala interpretación

de las expectativas, producidos por la aplicación incorrecta de las propiedades,

justificadas en esquemas similares además de no identificar la semántica de las

operaciones.

Errores debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad, causados por la

carencia de aprendizajes relativos a destrezas y conceptos que no fueron

guardadas y almacenadas en la memoria.

Del mismo modo, otro alto porcentaje que se eleva al 90% de las situaciones que

fueron resueltas por los estudiantes dejando patrones de error se encuentran

distribuidos de la siguiente forma:

Errores ligados a las operaciones intelectuales implicadas, en donde presentaron

dificultades al realizar las operaciones básicas, causados por aprendizajes

incorrectos.

109

Errores debidos a los procesos adoptados, causados por procedimientos creados

por los mismos estudiantes, que interfieren en el adecuado procesamiento de la

información.

Errores debidos a la comprensión de las instrucciones, pues los estudiantes no

analizaban lo que se les estaba preguntando para luego emitir respuestas, en

consecuencia, respondían incorrectamente.

Una vez que se analizaron las teorías de los tipos de errores, se procedió a dar

respuesta al objetivo específico No. 2, el cual permitió determinar los errores

presentes en los estudiantes en el desarrollo de las integrales, mediante las pruebas

parciales aplicadas en la asignatura Matemática II de Economía Social, es importante

considerar al respecto que durante la aplicación de cada uno de los instrumentos se

pudo reconocer los tipos de errores presentados con mayor frecuencia, de matemática

preuniversitaria, los cuales estaban presentes y evitaban el desenvolvimiento

satisfactorio por parte de los estudiantes. Estos errores eran debidos a:

La incorrecta concepción y desarrollo de los productos notables, producto de la

suma por la diferencia de binomios y cubo de un binomio.

El desconocimiento de la potenciación y sus propiedades, así como también

potenciación de exponentes racionales, propiedades de la radicación, debido a

que le daban un uso erróneo en su desarrollo.

Se pudo constatar que los estudiantes de Matemática II, necesitan de contenidos

previos (matemática preuniversitaria) para desarrollar correctamente las integrales en

sus diferentes casos, evidenciándose en esta investigación que no poseen estas

competencias, lo que trae consigo no aprobar la asignatura, se desmotiven y en un

gran porcentaje abandonen la carrera.

Por último, cabe señalar que una vez aplicado el primer instrumento, se pudo

constatar que todos los estudiantes aplazaron la prueba, debido a que desarrollaron

incorrectamente las preguntas planteadas, de tal manera que los errores encontrados

110

en el primer instrumento tuvieron incidencia en los instrumentos aplicados

posteriormente, donde se ameritaba de la matemática básica para resolver ejercicios

propios de la asignatura Matemática II de la carrera de Economía Social, dichas

evaluaciones también resultaron ser aplazadas por todos (100%) los estudiantes.

Por otra parte, en cuanto a las interrogantes formuladas para el presente estudio, es

importante considerar que las mismas fueron abordadas, mediante los objetivos

específicos, sin embargo a continuación se mencionan y se plantean las respuestas

encontradas a lo largo del desarrollo de la presente investigación:

¿Cuáles son los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria que

presentan los estudiantes cursantes de la asignatura matemática II?, el 100% de

los estudiantes presentaron errores con los contenidos de matemática básica,

teniendo mayor énfasis en: propiedades de la potenciación, factorización,

conjuntos numéricos y álgebra (manejo de signos de agrupación).

¿Qué errores presentan los estudiantes en la resolución de las integrales

propuestas en los parciales respectivos de la asignatura matemática II?, el 100%

de los errores encontrados en los estudiantes se apoyan en la teoría de Astolfi

(1999), en cuanto a los procedimientos empleados para la resolución de los

ejercicios o planteamientos, la mayoría de los errores prevalecieron en la

concepción errada del discente al momento de aplicar un conocimiento de

matemática básica en la asignatura de matemática II, las razones por las cuales

emplearon los métodos inadecuados variaron según las características de las

respuestas, bien sea por desconocimiento, por mala interpretación, por

comprensión de las instrucciones, entre otros.

¿De qué manera los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria

están presentes en el desempeño de la asignatura Matemática II de Economía

Social?, al respecto se pudo demostrar que los estudiantes no dominaron las

competencias básicas necesarias, lo cual les impidió resolver los planteamientos

más complejos que se generaron en la asignatura, de ésta manera se encuentra

que en su mayoría los estudiantes presentaron errores por sobrecarga de

111

contenidos, ya que no manejaban adecuadamente la matemática preuniversitaria

y al entrar en contacto con nuevas competencias se saturan de contenidos y les

impide resolver los ejercicios, ocasionando que no aprueben la materia y en

muchos casos el abandono de la carrera.

De igual manera, el 11% de los que desarrollaron exitosamente las integrales,

aunque representan una minoría, reflejaron en sus evaluaciones dominio de las

competencias de matemática preuniversitaria, constituyendo esto otra evidencia de la

importancia del dominio de los contenidos previos en el correcto desempeño en la

asignatura Matemática II de Economía Social de la UNEFA.

112

Recomendaciones

Una vez desarrollado el estudio, surgen aportes que el investigador ofrece

partiendo de los hallazgos obtenidos, a continuación se describen los mismos:

Es importante que los diferentes niveles de la educación redimensionen sus

objetivos, establezcan y determinen los propósitos que se esperan alcanzar y se

elabore un plan desde los entes que los regulan, para que la educación en cada

uno de ellos tenga articulación uno con otro y los estudiantes puedan con mayor

claridad y pertinencia apropiarse de las diferentes asignaturas con intenciones

claras y precisas.

Los docentes de matemática preuniversitaria, es decir de los niveles básica y

media general, deben idear, planificar y ejecutar estrategias que le proporcione

al estudiante desarrollar habilidades y destrezas que le permitan desenvolverse

en su contexto; de igual manera, esas estrategias de enseñanza aprendizaje,

deben permitir el descubrimiento del propio conocimiento, donde el profesor se

dé así mismo la oportunidad de conocer los intereses y necesidades de los

dicentes para aprovechar al máximo sus potencialidades y garantizar el éxito

del desempeño de estos estudiantes en la asignatura de matemática.

Es indispensable que el nivel de media general realice una investigación en

cuanto a las necesidades del nivel superior para que los contenidos, estrategias

que se imparten estén relacionadas y se promueva en los estudiantes las

competencias apropiadas para desenvolverse con éxito en las Universidades o

Institutos de Educación Superior. Al mismo tiempo, las universidades deben ir

a las escuelas básicas para manifestar sus requerimientos al estudiantado y

trabajar coordinadamente con la directiva y docentes de las mismas.

En los centros educativos que promuevan el nivel media general, es necesario

que se realice desde las aulas un proceso de concientización en los estudiantes

que despierte el interés por practicar constantemente la asignatura de

matemáticas, de igual manera explicarles la importancia de ésta para el estudio

a nivel de educación superior.

113

Los docentes de los niveles básica y media general, deben conocer, reconocer e

identificar los errores que presentan sus estudiantes de manera tal que éstos

puedan ser utilizados con un nuevo enfoque, es decir, que no sea punitivo sino

una oportunidad para aprender y, en base a este diagnóstico, re-planificar las

clases y utilizar estrategias novedosas, donde el discente pueda darse cuenta de

la equivocación y conscientemente pueda resolver eficientemente los

planteamientos formulados por el profesor.

De igual manera, en los niveles de básica y media general, es importante

aumentar las pruebas formativas y la corrección de las mismas enfocarlas en

auto y co-evaluación, de esta manera los estudiantes sin presión tienen la

posibilidad de realizar ejercicios y ellos mismos descubrir sus errores y

enmendarlos.

Asimismo, los docentes de los niveles de básica y media general, deberían

dentro de sus estrategias incluir con mayor protagonismo a los estudiantes

sobresalientes en la asignatura de matemática, otorgarle responsabilidades con

los alumnos que presenten errores en las pruebas de tal forma que les ayuden a

subsanar las fallas.

Las universidades o institutos de educación superior, deben planificar pruebas

de diagnóstico en los estudiantes que ingresan por primera vez en asignaturas

referentes a matemática y prestar atención a los errores para dedicar unas clases

de nivelación que le permitan al estudiante una mejor comprensión de los

contenidos que se van a enfrentar.

Los docentes universitarios, con mayor fuerza deben exigir a sus estudiantes la

práctica continua de la asignatura y a su vez desarrollar estrategias que

promuevan un aprendizaje significativo en ellos.

114

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Rico, L. (1995). Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. Educación Matemática. [Libro en línea]. México: Grupo editorial Iberoamericana. Disponible: http://funes.uniandes.edu.co/486/1/RicoL95-100.PDF [Consulta: 2013, Octubre 07]

Rico, L. (1997). Reivindicación del error en el aprendizaje de las matemáticas. Revista Épsilon [Revista en línea], 38. Disponible: http://funes.uniandes.edu.co/2354/1/Rico1997Reivindicaci%C3%B3n.pdf [Consulta: 2014, Marzo 23]

Rivas, P. (2005). La educación matemática como factor de deserción escolar y exclusión social. [Página web en línea]. Disponible: http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/19954/2/articulo3.pdf [Consulta: 2014, Septiembre 21]

Rodríguez, L., (2004). La Teoría del Aprendizaje Significativo. [Documento en línea]. Disponible: http://eprint.ihmc.us/79/1/cmc2004-290.pdf [Consulta: 2015, Julio 04]

Rodríguez, M. y otros. (2004). Rendición de cuentas del proyecto: Estrategia para la activación del aprendizaje de la matemática en la provincia Las Tunas. Informe final, Instituto Superior Pedagógico “Pepito Tey”. Las Tunas, Cuba.

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Thefreedictionary. Página Web en Línea. Disponible: http://es.thefreedictionary.com/error. Consulta: 2017, agosto 21

Vanegas, D. (2011). Las representaciones de funciones matemáticas de una variable. Tesis Doctoral, Universidad del Zulia, Zulia.

118

http://es.thefreedictionary.com/error

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http://funes.uniandes.edu.co/486/1/RicoL95-100.PDF

http://dle.rae.es/?id=G47B9qL

http://dle.rae.es/?id=G47B9qL


ANEXOS

ANEXO A: Validación del Instrumento



VALIDACIÓN DEL INSTRUMENTO

Estimado docente:

Reciba un cordial y respetuoso saludo, acudo a usted con el propósito de solicitar

su colaboración pertinente y necesaria para que evalúe y corrija los ítems que

contienen los siguientes instrumentos, empleando como técnica la prueba de

evaluación, como primera instancia una prueba tipo ensayo la cual consiste en una

prueba diagnóstico y, como segunda instancia, una serie de pruebas las cuales se

aplicarán en la asignatura de Matemática II, los cuales han sido diseñados bajo el

enfoque cuantitativo, dirigidos a estudiantes que cursan la asignatura Matemática II,

con el objeto de dar respuesta a las interrogantes: ¿Cuáles son los errores en el

aprendizaje de matemática preuniversitaria que presentan los estudiantes cursantes de

la asignatura Matemática II?, ¿Qué errores presentan los estudiantes en la resolución

de las integrales propuestas en los parciales respectivos de la asignatura matemática

II?, ¿De qué manera los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria están

presentes en el desempeño de la asignatura Matemática II de Economía Social?

A continuación se anexan los siguientes aspectos:

1. Título y Objetivos de la Investigación (General y Específicos).

2. Tabla de Operacionalización.

3. Formato de Validación de los Instrumentos.

Agradecido de antemano y esperando de su valiosa colaboración, como docente

experto en el área,

Atentamente: Lcdo. Helys Terán, Doc. de Matemática II, Economía Social (UNEFA).

120

ANEXO B: Instrumento de Validación de la Prueba Diagnóstico

121

ANEXO C: Prueba Diagnóstico (Instrumento definitivo)

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNEFA (GUACARA)ECONOMÍA SOCIALMATEMÁTICA II

PERÍODO: II-2013

Apellidos y Nombre: N° C.I.:Sección: Fecha: / /Sexo: Edad: Plantel de procedencia: Estimado estudiante, a continuación se presentan una serie de preguntas las cuales tienen como fin diagnosticar los conocimientos previos los cuales son requisitos de matemática II, por lo cual deberá responder:

PRUEBA DIAGNÓSTICO

1. ¿Cuál es la raíz de la ecuación 2 x−1=0?

a. Explique qué procedimiento sigues para hallar la raíz de la ecuación.

b. Dé una definición de ecuación.

2. Ordena los siguientes tres números 13 ; 1,41;

−12 , en forma creciente. ¿Qué

procedimiento sigues para ordenarlo?

3. ¿Cuál es el resultado de 15−2

4 ? Además diga, ¿cómo identificas esta expresión?

4. ¿Cuál es el valor de (22 )−2? Explique qué procedimiento sigues.

5. Desarrolla la siguiente expresión (1−x )2, y explique el procedimiento que

empleaste. ¿Qué tipo de expresión es?

6. Dados los números 13 ; 0; 2,72; −5; π y

−32 colocar el símbolo ∈ (pertenece) o ∉

(no pertenece), según los números dados pertenezcan o no, al conjunto N de los

números naturales; al conjunto Z de los números enteros, al conjunto Q de los

números racionales o al conjunto R de los números reales.

7. Calcula el valor de la siguiente expresión (−3 ) [−2− (−3 )−1 ]. Explique el

procedimiento a seguir.

8. Calcula las raíces de la ecuación x2−2 x+1=0. ¿Qué tipo de ecuación es?

127

9. Calcula (−2 )434

(−2 )3 (−3 )3

10. Factorizar la siguiente expresión: x2−10 x+25. Explica el procedimiento a

seguir.

ANEXO D: Instrumento de validación de la Evaluación No. 1

128

ANEXO E: Evaluación No. 1 (Instrumento definitivo)

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNEFA (GUACARA)ECONOMÍA SOCIALMATEMÁTICA IIPeríodo Lectivo: II-2013

QUIZ (I CORTE) 10%

Nombre y Apellido: _____________________________ N° de Cédula: _______________Sección:________

FECHA: _____/_____/_______

1. Encontrar la integral indefinida de:

a. ∫ ( x−3 ) ( x+3 ) dx (6 Pts.)

b. ∫ cos(x )1−(cos (x))2 dx (7 Pts.)

c. ∫ 1√ x

( x+2 )3 dx (7 Pts.)

¡ÉXITOS!

134

ANEXO F: Instrumento de validación de la Evaluación No. 2

135

ANEXO G: Evaluación No. 2 (Instrumento definitivo)


2° QUIZ (I CORTE) 10%

Nombre y Apellido: ________________________________ N° de Cédula: ___________________ Sección:________

FECHA: _____/_____/_______

a. Calcular utilizando la definición de integral indefinida: ∫ x3 dx (6 Pts.)

b. Calcular usando sustitución en la integral: ∫ x (3 x2−4 ) dx (7 Pts.)

c. Calcular usando sustitución en la integral: ∫ 2 x−1x2−x+1

dx (7

Pts.)

141

¡ÉXITOS!

ANEXO H: Instrumento de validación de la Evaluación No. 3

142

ANEXO I: Evaluación No. 3 (Instrumento definitivo)


EVALUACIÓN CORTA (I CORTE) 10%

Nombre y Apellido: ________________________________ N° de Cédula: ___________________ Sección:________ FECHA: _____/_____/_______

1. Encontrar la integral indefinida de:

a. ∫ ( 2t 2−1 )2 dt

b. ∫ x+6√x

dx

2. Usando la integración por sustitución encontrar la integral de:

∫sin (2x )∙ cos (2 x )dx3. Usando la integración por partes encontrar la integral de:a. ∫ x ∙sin (x)dx

b. ∫ x3 ∙sin (x)dx

“Hijo mío, desde la juventud busca la instrucción, y hasta en la vejez te encontrarás con sabiduría” (Eclesiástico 6,18).

¡ÉXITOS!Lcdo. Helys Teran

ANEXO J: Instrumento de validación de la Evaluación No. 4149

ANEXO K: Evaluación No. 4 (Instrumento definitivo)154

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA - UNEFA

Apellidos y Nombres: C.I.:

Carrera: ECONOMÍA SOCIAL Sección:Período

Lectivo: II-2013MATEMÁTICA II NOTA

FECHA: ____/____/______

EVALUACIÓN CORTA (II CORTE) 10%

1. Resolver la integral por descomposición en fracciones parciales.

∫ x2−3( x−1 )2 (x+1 )2

dx

2. Usando sustitución trigonométrica encontrar la integral de:

a. ∫ 4x2√16−x2

dx

b. ∫ 1√ x2−25

dx

c. ∫ x √1+x2 dx3. Hallar la integral definida de

∫−1

3

5 x (2 x2+3 x−5 ) dx

“Dichoso el hombre que alcanza sabiduría, el hombre que adquiere inteligencia: es mejor mercancía que la plata” (Proverbios 3, 13-14).

¡ÉXITOS!Lcdo. Helys Teran

155

ANEXO L: Coeficiente de correlación Pearson entre las dos evaluaciones

Fuente. Cálculo realizado con el Programa STATS ® 1997 – 2010.

156

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