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Relatório de Fotónica

1

“An expert is someone who has made all the mistakes.”

Hans Albrecht Bethe (1906-2005)

“Therefore we should strive to make mistakes as fast as possible.”

John Archibald Wheeler (1911-2008)

“It was in the circle around d’Alembert, with Buffon and especially Diderot, that the dispute

about the proper place of mathematics was to be extended much further, to the point of

making its applications to other sciences the only objective which mathematicians ought to

have in view. For Diderot, mathematics had had its day: it added nothing to experience, and

merely «interposed a veil between nature and the people», instead of «making philosophy

popular». We see that the principles of «cultural revolution» do not date from yesterday!

Diderot, unlike Voltaire, had a smattering of mathematics, but he must have realized that he

would never produce an original work.”

Jean Dieudonné, Mathematics – The Music of Reason (Berlin: Springer-Verlag, 1992), p. 25

2 Carlos R. Paiva

Sumário: Problemas diversos para a primeira semana de aulas. Estes problemas não

dependem da matéria das aulas teóricas.

Problema 1

Mostre que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π (ver qualquer das duas figuras

anexas).

John Stillwell, The Four Pillars of Geometry (New York: Springer, 2005)

Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond (New York: Springer, 2000)

A

B

C

D

× ×

•

A

B

C×

×

•

•


3

Problema 2

Usando a sugestão da figura anexa prove o teorema de Pitágoras: 2 2 2a b c+ = (o quadrado da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).

Sugestão: Comecemos por notar que os quadrados da figura da esquerda têm áreas

( ) 2Q a a= , ( ) 2Q b b= e ( ) ( )2Q a b a b+ = + ; os dois quadrados da figura da direita têm áreas

( ) 2Q c c= e ( ) ( )2Q a b a b+ = + . Por sua vez, os quatro triângulos (quer na figura da esquerda

quer na figura da direita) têm uma área que é metade da área do rectângulo ( ),R a b a b= , i.e.,

( ), 2T a b a b= . Da figura da esquerda infere-se que ( ) ( ) ( ) ( )4 ,Q a b Q a Q b T a b+ = + + ; da

figura da direita infere-se que ( ) ( ) ( )4 ,Q a b Q c T a b+ = + . Note-se, ainda, que se obtém –

como resultado acessório – uma demonstração geométrica de ( )2 2 2 2a b a b ab+ = + + .

Problema 3

Considere a figura anexa em que o segmento AP é perpendicular a BC : mostre que os três

triângulos nela representados são semelhantes e, a partir das relações entre lados

correspondentes, apresente uma nova demonstração do teorema de Pitágoras: 2 2 2a b c+ = ,

1 2c c c= + .

a b

b

a

a

a

b

bc

c

c c

cc

a

b

4 Carlos R. Paiva

Sugestão: Em triângulos semelhantes as áreas estão em proporção com os quadrados das

dimensões lineares correspondentes – resultado válido mesmo para triângulos não

rectângulos; ou seja 22ab kc= , 21 2c d ka= e 2

2 2c d k b= , tendo-se

1 22 2 2ab c d c d= + .

Eli Maor, The Pythagorean Theorem: A 4,000—Year History (Princeton, NJ: Princeton

University Press, 2007)

Problema 4

Vai-se, neste problema, «demonstrar» que 1 2= . Consideremos a série harmónica alternada

( ) 1

1

1 1 1 1 1 112 3 4 5 6

k

kS

k

−∞

=

−= = − + − + − +∑

que é convergente. Multipliquemos ambos os membros da igualdade anterior por 2 . Vem

2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 13 2 5 3 7 4 9 5 11 6

S = − + − + − + − + − + − +

e, então, aplicando apenas a propriedade comutativa, obtém-se ainda

1 2 1 1 2 1 1 2 12 2 12 3 3 4 5 5 6 7 7

S = − − + − − + − − + − −

a

b

1c

2c

A

B

C

P

d


5

de modo que, colocando estrategicamente os parêntesis

( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 12 2 12 3 3 4 5 5 6 7 7

S ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − − + − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e aplicando, de seguida, a propriedade associativa, ainda se obtém

1 1 1 1 1 12 12 3 4 5 6 7

S = − + − + − + −

de forma que, confrontando com a série inicial, é efectivamente

2 2 1S S= ⇒ =

já que 0S ≠ . De facto, demonstra-se facilmente que

ln 2 0.6931S = ≈

uma vez que

( )2 3 4 5

ln 1 , 1 12 3 4 5x x x xx x x+ = − + − + − − < ≤ .

Questão: Explique onde é que se errou nesta «demonstração» de que 1 2= .

Sugestão: Embora a série harmónica alternada seja convergente, ela é efectivamente uma

série simplesmente convergente (i.e., não é absolutamente convergente). Nas séries

simplesmente convergentes não é possível aplicar a propriedade comutativa – como se

aplicou nesta «demonstração».

Bento de Jesus Caraça, Conceitos Fundamentais da Matemática (Lisboa: Gradiva, 4a

ed., 2002)

6 Carlos R. Paiva

Nota histórica: A demonstração de que a série harmónica

1

1 1 1 1 112 3 4 5k

Hk

∞

=

= = + + + + +∑

é divergente foi feita, de forma independente, por Pietro Mengoli em 1650 e por Jakob

Bernoulli em 1689. A demonstração poder ser encontrada no livro de Dunham (ver caixa

seguinte com referência bibliográfica).

William Dunham, The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue

(Princeton, NJ: Princeton University Press, 2005)

Problema 5

Prove a desigualdade de Cauchy:

2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + .

Sugestão: Comece por demonstrar que se tem (caso 2n = )

( ) ( )( )2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b+ ≤ + +

e, em seguida, aplique o princípio da indução finita.

J. Michael Steele, The Cauchy—Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of

Mathematical Inequalities (New York: Cambridge University Press, 2004)


7

Problema 6

A figura anexa representa uma circunferência de raio unitário em que o segmento QR

pertence à recta cuja equação é ( )1y t x= + .

Mostre que se tem

2

2 2

1 2tan , ,2 1 1

t tt x yt t

θ −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ + +⎝ ⎠.

Assim, a localização do ponto ( ),R x y sobre a circunferência de raio unitário ( )2 2 1x y+ =

corresponde à localização de um ponto racional sobre essa circunferência – no sentido em

que

,t x y∈ ⇒ ∈ .

Define-se um tripleto pitagórico ( ), ,a b c como sendo constituído por , ,a b c∈ tais que

2 2 2a b c+ = . Nestas circunstâncias, fazendo t q p= (com ,q p∈ ), mostre que se tem

2 2 2 2, 2 ,a p q b p q c p q= − = = + .

John Stillwell, Mathematics and Its History (New York: Springer, 2nd ed., 2002)

( )1,0Q −

( ),R x y

O 1

tθ

X

Y

8 Carlos R. Paiva

Problema 7

Prove a irracionalidade de 2 , i.e., que 2 \∈ . Utilize uma demonstração por redução

ao absurdo (reductio ad absurdum): comece por supor que 2 m n= em que m e n não são

ambos inteiros pares (porquê?), i.e., um deles é necessariamente um número ímpar; note que o

quadrado de um número par (ímpar) é também par (ímpar).

Problema 8

Prove a fórmula de Euler

ie cos i sinθ θ θ= +

donde se tira uma das mais belas equações matemáticas de sempre: ie 1π = − . A partir deste

resultado prove a fómula de de Moivre:

( ) ( ) ( )cos i sin cos i sinn n nθ θ θ θ+ = + .

Usando estes resultados mostre que

i i i ie e e esin , cos

2i 2

θ θ θ θ

θ θ− −− +

= =

( ) ( ) 2 2sin 2 2sin cos , cos 2 cos sinθ θ θ θ θ θ= = −

( ) ( )3 3sin 3 3sin 4sin , cos 3 4cos 3cosθ θ θ θ θ θ= − = − .

1

12


9

Sugestão: Faça ix θ= nos desenvolvimentos em série

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2

0 0 0

e , sin 1 , cos 1! 2 1 ! 2 !

n k kk kx

k k k

x x xx xn k k

+∞ ∞ ∞

= = =

= = − = −+∑ ∑ ∑ .

Problema 9

Prove que

e cosh sinhx x x= + .

A partir daqui mostre que

e e e esinh , cosh2 2

x x x x

x x− −− +

= =

( ) ( )sin i i sinh , cos i coshx x x x= =

( ) ( )sinh i i sin , cosh i cosx x x x= = .

Sugestão: Considere os desenvolvimentos em série

( ) ( )

2 1 2

0 0 0e , sinh , cosh

! 2 1 ! 2 !

n k kx

k k k

x x xx xn k k

+∞ ∞ ∞

= = =

= = =+∑ ∑ ∑ .

Problema 10

Prove que:

( )( )

1 2

1 2

1

sinh ln 1 , 1

cosh ln 1 , 1

1 1tanh ln , 12 1

x x x x

x x x x

xx xx

−

−

−

= + + ≤

= + − ≥

+⎛ ⎞= <⎜ ⎟−⎝ ⎠

10 Carlos R. Paiva

Problema 11

Mostre que a área A a sombreado na figura anexa (delimitada pelos pontos O , P e Q ) é

dada por 2u em que coshx u= e sinhy u= .

Sugestão: Notando que o ramo direito da hipérbole é descrito pela função 21x y= + ,

mostre que a soma das áreas A B+ , com sinh cosh 2B u u= (área do triângulo OPR ), é

dada por

sinh

2

0

11 sinh cosh2 2

u uA B y d y u u+ = + = +∫

donde se tira, finalmente, que 2A u= (faça sinhy w= no cálculo do integral).

Problema 12

Mostre que a área A a sombreado na figura anexa da página seguinte (delimitada pelos

pontos O , P e Q ) é também dada por 2u , tal como no problema anterior, mas agora com

cosx u= e siny u= . A circunferência tem raio unitário. Confirme que 2A u= através de

um simples argumento sem recorrer ao cálculo integral.

A

2 2 1x y− =

X

Y

( )1,0Q

( ),P x yB

( )0,0O

( )0,R y


11

Problema 13

De acordo com o princípio de Fermat, o tempo de propagação de um raio óptico deve ser

mínimo (ou, mais geralmente, estacionário). Aplique este princípio à situação descrita na

figura junta para provar que, numa reflexão especular (em 0y = ), o ângulo de incidência

deve ser igual ao ângulo de reflexão: o ponto ( ),0P x deve obedecer à restrição θ φ= .

Suponha que o meio tem um índice de refracção n de modo que a velocidade de fase neste

meio (considerado como homogéneo) é pv c n= .

Don S. Lemons, Perfect Form: Variational Principles, Methods, and Applications in

Elementary Physics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997)

X

Y

( )0,0O

AB

( ),P x y

( )1,0Q

( )0,R y

2 2 1x y+ =

φ

θ

y

x

( )1 1,A x y

( )2 2,B x y

( ),0P x

12 Carlos R. Paiva

Problema 14

Usando – tal como no problema anterior – o princípio de Fermat, prove a lei de Snell em

relação à figura anexa: 1 1 2 2sin sinn nθ θ= . O meio 1 (com um índice de refracção 1n ) ocupa a

região 0y < enquanto que o meio 2 (com um índice de refracção 2n ) ocupa a região 0y > . A

interface que separa os dois meios é, portanto, o plano 0y = . A velocidade de fase no meio 1

é 1 1v c n= e a velocidade de fase no meio 2 é 2 2v c n= .

Problema 15

Mostre que:

( )2expG x d x π∞

−∞

= − =∫ .

A partir deste integral, fazendo a mudança de variável x aζ = , com 0aℜ > , mostre que

( )2

0

1exp2

a daπζ ζ

∞

− =∫ .

X

Y

1Meio1 n→ 2Meio 2 n→

( )1 1,A x y

( )2 2,B x y ( ),0P x

1x

2x

2y1y 1θ

2θ


13

Sugestão: Comece por calcular

( ) ( )2 2 2exp expG x d x y d y∞ ∞

−∞ −∞

= − −∫ ∫

e utilize, em seguida, coordenadas polares ( ),r θ : faça 2 2 2x y r+ = e d x d y r d d rθ= . Vem

então, com 2u r= ,

( )2 2

0 0

2 exp e uG r r d r duπ π π∞ ∞

−= − = =∫ ∫ .

Problema 16

Usando o resultado obtido no problema anterior, mostre que (com 0aℜ > )

( )2

2

0

1exp exp2 4

bI ax bx d xa aπ∞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ .

Sugestão: Comece por notar que

( )2 2

2 2exp exp exp2 4

b b bax bx a x x a xa a a

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤− + = − + = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

e, seguidamente, proceda à mudança de variável

2bxa

ζ = +

de forma a obter

( )2

2

0

exp exp4bI a d

aζ ζ

∞⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ .

14 Carlos R. Paiva

Problema 17

Comecemos com a equação de Maxwell que nega a existência de monopolos magnéticos: o

campo magnético B é solenoidal (as linhas de força são fechadas) e, consequentemente, tem-

se 0∇⋅ =B . Assim = ∇×B A onde A é o potencial vector. Mas, pelo teorema da

divergência, pode escrever-se

( )ˆ ˆ ˆ 0S V S S

d S dV d S d S⋅ = ∇ ⋅ ⇒ ⋅ = ∇× =∫ ∫ ∫ ∫B n B B n A n⋅ .

Porém, aplicando o teorema de Stokes, vem

( )ˆ ˆˆ 0S

d s d S d sΓ Γ

⋅ = ∇× ⇒ ⋅ =∫ ∫ ∫A t A n A t⋅ .

Daqui se conclui: o potencial vector é um campo vectorial conservativo (i.e, irrotacional ou

independente do caminho). Mas então

= ∇ψ ⇒ =∇×∇ψ ≡A B 0 .

Ou seja: o campo magnético não existe! A questão que se coloca é, consequentemente, a

seguinte: qual é o erro deste raciocínio?

Harry Moritz Schey, Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector

Calculus (New York: W. W. Norton & Company, 4th ed., 2005), pp. 146-147.

Problema 18

Calcule numericamente, usando um programa de computador (e.g., MATLAB), o número π .

Considere, em coordenadas cartesianas rectangulares, a circunferência de raio R : 2 2 2x y R+ = . O respectivo perímetro é dado por

2

2 1R

R

d yC d xd x−

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ .


15

Com efeito, tem-se

2 2

2 2 2 2 1 1d y d yd s d x d y d x d s d xd x d x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ∴ = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦.

Porém, de 2 2 2x y R+ = , resulta 2 2 0x d x y d y+ = , i.e., d y d x x y= − . Assim, vem

2

2 22 1R

R

xC d xR x−

= +−∫ .

Então, introduzindo a mudança de variável x Ru= , obtém-se

1

21

21duC R

u−

=−

∫ .

Finalmente, fazendo ainda sinu φ= , vem cosdu dφ φ= pelo que

2

2

2 2C R d Rπ

π

φ π−

= =∫

como é sobejamente conhecido. Conclui-se, portanto, que o número π pode ser calculado

numericamente usando o integral

1

21 1

d xx

π−

=−

∫ .

Obtém-se então 3.1415926535π = … que é um número irracional transcendente (i.e., não

algébrico). Note-se que só em 1882 é que Ferdinand Lindermann (1852-1939) conseguiu

demonstrar que o número π era transcendente; a transcendência do número e foi provada em

1873 por Charles Hermite (1822-1901).

16 Carlos R. Paiva

Problema 19

Neste problema aponta-se para uma das teorias mais interessantes da matemática: a

resolubilidade algébrica (que não pode ser aqui considerada). Em 1826 Niels Henrik Abel

(1802-1829) mostrou que não podem existir soluções gerais, na forma de operações

aritméticas ou de extracção de raízes (soluções por radicais), para equações algébricas de grau

cinco ou superior. A teoria geral da resolubilidade algébrica das equações por radicais deve-

se, porém, a Évariste Galois (1811-1832) através da teoria dos grupos. A solução das

equações cúbicas foi encontrada por Tartaglia (1499 ou 1500-1557) em 1535 e foi exposta

por Girolamo Cardano no seu livro Ars Magna (1545).

(a) Comece por demostrar que as duas soluções da equação quadrática 2 0x p x q+ + = são

dadas por ( )21,2 2 2x p p q= − ± − . Sugestão: Comece por escrever a equação dada

na forma ( ) ( )2 22 2x p p q+ = − . Note que se tem 1 2x x p+ = − e 1 2x x q= .

(b) Mostre que uma solução da equação cúbica 3 0x p x q+ + = é dada pela fórmula de

Cardano

2 3 2 3

3 3

2 2 3 2 2 3q q p q q px ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Sugestão: Comece por escrever a iqualdade ( ) ( ) ( )3 3 33u v u v u v u v+ = + + + e, de

seguida, faça a identificação x u v= + acompanhada de 3u v p= − e 3 3u v q+ = − .

Como conhece p e q , a solução x depende da determinação dos dois números u e v :

estes números resultam das duas soluções 1,2w da equação quadrática

( )32 3 0w q w p+ − = , em que 1 2w w q+ = − e 1 2 3w w p= − , tendo-se então

( ) ( )2 33 2 2 3u q q p= − + + e ( ) ( )2 33 2 2 3v q q p= − − + .

(c) Para resolver uma equação cúbica genérica 3 2 0x a x b x c+ + + = , faça a mudança de

variável 3x y a= − e a identificação 3 2 3x a x b x c y p y q+ + + = + + , determinando os

coeficientes p e q em termos dos coeficientes a , b e c . Mostre que uma solução da

equação cúbica 3 23 3 1 0x x x− − − = é 3 31 2 4x = + + .

(d) As três soluções da equação cúbica 3 1 0x − = são dadas por 1 1x = , 2x ζ= e 23x ζ=

em que ζ ∈ . Mostre que se tem


17

( )

2

3

32 1exp3 2 2

34 1exp3 2 2

exp 2 1

i i

i i

i

πζ

πζ

ζ π

⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

.

(e) Na sequência da solução determinada na alínea anterior, faça 2 1 3 iζ = − + . Notando

que, além da solução ( ),u v anteriormente encontrada para o sistema 3u v p= − e

3 3u v q+ = − , também existem as duas outras soluções ( )2,u vζ ζ e ( )2 ,u vζ ζ , mostre

então que as três soluções genéricas da equação cúbica 3 0x p x q+ + = correspondem a

2 3 2 33 3

1

2 3 2 323 3

2

2 3 2 32 3 3

3

2 2 3 2 2 3

2 2 3 2 2 3

2 2 3 2 2 3

q q p q q px

q q p q q px

q q p q q px

ζ ζ

ζ ζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

(f) Para resolver a equação biquadrada (ou quártica) 4 2 0x p x q x r+ + + = basta adicionar

a ambos os membros desta equação 2 22 z x z+ , de forma que se obtém

( ) ( )4 2 2 2 22 2x z x z z p x q x z r+ + = − − + − , i.e., ( ) ( ) ( )22 2 22x z z p x q x z r+ = − − + − .

De seguida, como z é arbitrário, escolhe-se 22 2 z p z r q− − = − e somos, deste

modo, conduzidos a uma equação cúbica para z : 2

3 2 02 2 8p p r qz z r z

⎛ ⎞− − + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Finalmente, com este resolvente cúbico, as soluções para a equação biquadrada inicial

1 1x =

2x ζ=

23x ζ=

i

18 Carlos R. Paiva

correspondem às soluções de ( )2 22x z z p x z r+ = ± − + − . Determine todas as

quatro soluções da equação 4 8 6 0x x− + = .

(g) Para resolver a equação biquadrada geral 4 3 2 0x a x b x c x d+ + + + = usando o método

da alínea anterior, basta introduzir a mudança de variável 4x y a= − e considerar a

identidade 4 3 2 4 2x a x b x c x d y p y q y r+ + + + = + + + . Determine as quatro soluções

da equação 4 3 28 24 112 52 0x x x x+ + − + = .

“What Galois did was to establish a relationship between two

completely different types of mathematical objects and their

properties. In this way he was able to read off the properties

of one of these objects, namely the solvability of a given

equation and the steps in its solution, from those of the

corresponding object.”

(Jörg Bewersdorff, Galois Theory for Beginners: A

Historical Perspective, American Mathematical Society,

Providence, RI, 2006, p. xiii)

Évariste Galois (1811-1832)

Jörg Bewersdorff, Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective (Providence,

RI: American Mathematical Society, 2006)

Jean-Pierre Escofier, Théorie de Galois (Paris: Dunod, 2e éd., 2000)

Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra (Lisboa: IST Press, 2004)

Saunders Mac Lane and Garrett Birkhoff, Algebra (Providence, RI: American

Mathematical Society, 3rd ed., 1999)

Serge Lang, Algebra (New York: Springer-Verlag, Revised Third Edition, 2002)


19

Problema 20

Considere a seguinte matriz (hermitiana) de Pauli

2

00i

iσ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

com traço nulo: ( )2tr 0σ = .

(a) Mostre que os valores próprios desta matriz são 1 1λ = e 2 1λ = − (ambos têm

multiplicidade 1, i.e., são valores próprios simples ou não degenerados). O espectro do

operador correspondente a esta matriz é, portanto, o conjunto 1 2, 1, 1λ λΛ = = − .

(b) Usando a notação de Dirac, mostre que ao valor próprio 1 1λ = está associado o vector

próprio

2 1 1 1 1

112

e e ei

σ λ⎛ ⎞

= → = ⎜ ⎟⎝ ⎠

e que ao valor próprio 2 1λ = − está associado o vector próprio

2 2 2 2 2

112

e e ei

σ λ⎛ ⎞

= → = ⎜ ⎟−⎝ ⎠.

Note que se têm as relações de ortonormalidade

( )

( )

( )

( )

1 1

2 2

1 2

2 1

11| 1 12

11| 1 12

11| 1 02

11| 1 02

e e ii

e e ii

e e ii

e e ii

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= =⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Mais sinteticamente,

1,

|0,i j i j

i je e

i jδ

=⎧= = ⎨ ≠⎩

.

(c) Verifique que se tem

( )2 1 2

0det det 1

0i

iσ λ λ

−⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

20 Carlos R. Paiva

i.e., trata-se de uma matriz unitária.

(d) Definem-se os operadores de projecção associados a esta matriz como sendo

( )

( )

1 1 1

2 2 2

1 11 1112 2

1 11 1112 2

iP e e i

i i

iP e e i

i i

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Verifique que se tem 1 2 2 1 0P P P P= = e

1 2 1 1 2 2

1 1 0 11 11 1 0 12 2i i

P P e e e e Ii i

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Verfique, ainda, que os operadores de projecção são idempotentes: 21 1P P= e 2

2 2P P= .

Verifique, finalmente, que se pode decompor a matriz 2σ na forma

2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2P P e e e eσ λ λ λ λ= + = + .

(e) Mostre que a matriz de rotação (ortogonal)

cos sinsin cos

Uθ θθ θ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

tem por valores próprios 1ie θλ −= e 2

ie θλ = e que os correspondentes vectores próprios

são os mesmos de 2σ . Verifique que 1 1 2 2U P Pλ λ= + e ainda que

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 2ln ln lnU P P i P i P i P P iλ λ θ θ θ θ σ= + = − + = − + = . Portanto, tem-se

lnU i H= em que 2H θ σ= . Daqui se infere que 2ii HU e e θσ= = .

(f) As três matrizes de Pauli definem-se como

1 2 3

0 1 0 1 0, ,

1 0 0 0 1i

iσ σ σ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Mostre que 2 2 21 2 3 Iσ σ σ= = = , 3 1 2 1 3iσ σ σ σ σ= = − , 1 2 3 2 1iσ σ σ σ σ= = − ,

2 3 1 3 2iσ σ σ σ σ= = − e ainda que

1 2 3

21

j k k j j k Iσ σ σ σ δσ σ σ

+ == −

.

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right (New York: Springer, 2nd ed., 1997)

Sadri Hassani, Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations (New

York: Springer, 2006)


21

Sumário: Problemas sobre métodos variacionais e óptica geométrica.

Problema 1

Um raio de luz une, no plano ( ),x y , dois pontos: o ponto ( )1,0A x e o ponto ( )2 ,0B x , com

2 1x x> . Admita que a trajectória do raio óptico pertence à família de parábolas (com ε ∈ )

( ) ( )( )1 2y x x x x x= − −ε .

Mostre que o princípio de Fermat impõe 0ε = . Note que esta solução corresponde ao

segmento de recta que une os dois pontos.

Problema 2

Considere uma atmosfera plana em que o índice de refracção varia exclusivamente com a

altitude: ( )n n x= .

(a) Atendendo a que a velocidade de fase é pv c n= , mostre que o princípio de Fermat

conduz a uma estacionaridade do percurso óptico I cT= . Note que, se se considerar

x d x d z′ = , vem ( )21d s d x x′= + e, consequentemente,

2 2 2 2

1 1 1 1

1t P P P

pt P P P

d sT dt n d s I cT n d sv c

= = = → = =∫ ∫ ∫ ∫ .

d x

d z

d sθ

Z

X ( )n n x=

1P

2P2 2 2d s d x d z= +

1z 2z

22 Carlos R. Paiva

(b) Mostre que o princípio de Fermat é equivalente à lei de Snell generalizada

( ) ( )lei de Snell generalizada sinn x x Dθ→ =⎡ ⎤⎣ ⎦

onde D é uma constante. Note que a estacionaridade de

( )2

1

percurso óptico ,z

z

I f x x d z′→ = ∫ ,

em que ( ) ( ) ( )2, 1f x x n x x′ ′= + , implica ter-se

ff x Dx

∂′− =′∂

.

Fazendo ( ) 00x x= e ( )0 0xθ θ= vem ( )0 0sinD n θ= , ou seja,

( ) ( ) ( )0 0lei de Snell generalizada sin sinn x x nθ θ→ =⎡ ⎤⎣ ⎦

em que ( )0 0n n x= .

(c) Mostre que a trajectória do raio na atmosfera plana obedece à equação genérica

( )

( )( ) ( )0 0

0 00 2 2 2 2

0 0

sin

sin1

x x

x x

nduz z dun u nn u

D

θ

θ− = ± = ±

−⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ .

(d) Considere, agora, o caso particular em que ( ) 0n x n g x= − , com 0g > . Admitindo uma

trajectória em que ( )0 0x = e ( )0 0x′ = , mostre que

( ) 0

0

1 coshn g zx zg n⎡ ⎤⎛ ⎞

= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Sugestão: Faça a mudança de variável ( )0 0 coshn g x n φ− = .

Problema 3

Use o princípio de Fermat para mostrar que a trajectória de um raio óptico numa atmosfera

em que o índice de refracção tem o perfil (em que 0a > , 0b > e x a< )

( ) bn xa x

=±∓

é um arco da circunferência ± tal que

( )2 2 20,a x z R R a x± ± ±→ ± + = = ± .


23

Considere que ( ) 00x x= e ( )0 0x′ = .

Sugestão: Faça a mudança de variável ( ) ( )sinD a x b φ± = na expressão genérica obtida na

alínea (c) do problema anterior.

Problema 4

(a) Mostre que, para que um raio tenha uma trajectória ( ) 2x z a z= , o meio deve ter um

índice de refracção com um perfil ( ) 1 4cn x n a x= + .

(b) Mostre que, para que um raio tenha uma trajectória ( ) ( )sinx z a g z= , o meio deve ter

um índice de refracção com um perfil ( ) ( )2 2 21cn x n g a x= + − .

Sugestão: Considere a lei de Snell generalizada (Problema 3) na forma

( )( )21

n xD

x=

′+.

X

Z a

a

0x

+

−

0R a x+ = +

0R a x− = −

24 Carlos R. Paiva

Problema 5

Considere um meio dieléctrico cujo índice de refracção tem um perfil tal que

( ) ( )2 2 2 21cn x n g x= − .

Mostre que, se 0 0x = e ( ) ( )00 cotx θ′ = , então

( ) ( )( )

0

0

cossin

sing zx z

gθ

θ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Sugestão: Note que, usando a expressão deduzida em (c) do Problema 3, se tem

( ) ( )0 0 2 2 2 2 20

sinx

c c

a dua n z xn a n g x

θ= → =− −

∫ .

Porém, neste caso, é 0cn n= . Logo

( ) ( )( )

0

20

20

sin

cos

x duz xg

xg

θ

θ=

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ .

Para efectuar este integral basta ter em consideração que

1

2 2

1sind xd x xα α

−⎡ ⎤⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ −.

Problema 6

Considere, tal como no problema anterior, um meio dieléctrico cujo índice de refracção tem

um perfil tal que

( ) ( )2 2 2 21cn x n g x= −

mas admita, agora, que 2 2 1g x .

(a) Mostre que, com razoável aproximação, se tem

( ) 2 2112cn x n g x⎛ ⎞≈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

(b) Mostre, ainda, que

2

2 21 cnd n g x g xn d x n

⎛ ⎞= − ≈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.


25

(c) Atendendo à equação paraxial

2

2

1equação paraxial d x d nd z n d x

→ = ,

mostre então que a trajectória de um raio é dada pela expressão

( ) ( ) ( )00 cos sinx z x g z g z

gφ

= +

sendo, portanto, periódica de período 2 gΛ = π e com um valor máximo maxx tal que

( )22 2max 0 0x x gφ= + .

Notas:

• Note que, se todos os raios tiverem uma inclinação ( ) 00 0x φ′ = = , obtém-se

( ) ( )0 cos 2x z x zπ= Λ de forma que ( )4 0x Λ = , independentemente do valor de

( )0 0x x= .

• Finalmente, se se utilizar a equação rigorosa da trajectória deduzida no problema

anterior para 0 0x = , vem 0 02θ π φ= − e, na aproximação paraxial,

( ) ( ) ( )0 sinx z g g zφ≈ que coincide com o resultado obtido nesta alínea.

Problema 7

Mostre que, numa atmosfera em que ( )n n r= (coordenadas polares), se verifica a lei de Snell

( ) ( )sinn r r φ κ=

onde κ é uma constante e φ é o ângulo indicado na figura anexa (página seguinte). Mostre,

ainda, que esta lei de Snell equivale a escrever a equação diferencial

( )( )

2

221

n r rdd r r

θθθ κθ

′′ = → =

′+

donde se infere que a trajectória satisfaz a equação

( )( )0

02 2 2

r

r

duru n u u

κθ θκ

= ± +−

∫ .

26 Carlos R. Paiva

Note-se que, quando ( )n r r κ= , se tem uma reflexão total ou turning point.

Sugestão: Em coordenadas polares, tem-se ( )cosx r θ= e ( )siny r θ= . Assim, comece por

mostrar que se tem 2 2 2 2 2 2d s d x d y d r r dθ= + = + . Atendendo então à figura, verifique que

se tem

( )( )2

sin1

d rrd s r

θ θφθ

′= =

′+.

O princípio de Fermat impõe, então, a estacionaridade de

( ) ( ) ( ) ( )2

1

22, , , 1r

r

fI f r d r f r n r rθ θ θ κθ∂′ ′ ′= = + → =

′∂∫ .

Problema 8

Mostre que a trajectória de um raio óptico (em

coordenadas polares) numa atmosfera cujo índice de

refracção tem um perfil

( )2

0an r nr

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

obedece à equação (com 0 0r > )

r

θ

X

Y

d sr dθ

rθ

φ

X

Y

O

( )n n r= dr

φ


27

( ) ( )0 sinr rθ θ= .

Sugestão: Comece por mostrar que se tem (ver problema anterior)

( )2

100 02 2

00

1 sinn a d rr rd r rr rθθ θ θ

κ− ⎛ ⎞

′= → = = → = +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

.

Logo, fazendo 0 0θ = , obtém-se a solução pretendida.

Problema 9

Mostre que a lente de Luneberg, uma esfera fe raio a com um índice de refracção

( )2

esfera de Luneberg 2 rn ra

⎛ ⎞→ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

imersa no vácuo, foca todos os raios paralelos num ponto P , tal como se indica na figura em

anexo.

Sugestão: Note que, num meio em que ( )n n r= , se

verifica a lei de Snell

( ) ( )sinn r r φ κ= .

Mostre, então, que os dois ângulos assinalados na

figura são efectivamente iguais a α , com

( ) ( )sin sina aκ π α α= − = .

Problema 10

Considere um meio dieléctrico cujo índice de refracção tem o perfil

( ) 0an r nr

= .

Mostre que a trajectória de um raio através deste meio é uma parábola de equação cartesiana

P

X

Y

a

α

α

28 Carlos R. Paiva

22

20

12

y xbn a b bκ ⎛ ⎞

= → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Sugestão: Fazendo ( )2 2 20n aα κ= , comece por mostrar que a trajectória, em coordenadas

polares, é dada pela equação

( )2

10

2cos rrr

αθ θ− ⎛ ⎞−= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Note que se tem

2

1

2

2cosd rd r r r r

α αα

−⎡ ⎤⎛ ⎞−=⎢ ⎥⎜ ⎟

−⎝ ⎠⎣ ⎦.

Introduza, então, as variáveis cartesianas

( )

( )0

0

sincos

x ry r

θ θθ θ

= − −⎧⎪⎨ = −⎪⎩

.


29

Problema 11

Neste problema considera-se o chamado problema do «olho-de-peixe» devido a Maxwell.

Considere-se, então, um meio cujo índice de refracção é dado por

( ) 02

1

nn rra

=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(a) Fazendo u r a= e ( )0b n aκ= , mostre que a trajectória é dada pela equação

( )2 2

2 2 20

sin4

r aa rn a

κθ ακ

−− =

−

onde α é uma constante de integração. Sugestão: Note que

( )

( )

221

2 22 2 2

11sin1 4 1

b ud b udu ub u u b u

−⎧ ⎫⎡ ⎤ +⎛ ⎞−⎪ ⎪ =⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟

⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎪ ⎪ − +⎣ ⎦⎩ ⎭.

(b) Mostre que a trajectória do ponto

genérico ( ),P r θ que passa pelo

ponto ( )0 0 0,P r θ é dada pela

equação

( ) ( )

2 22 20

0 0sin sinr ar a

r rθ α θ α−−

=− −

.

Em particular, um ponto ( )1 1 1,P r θ

em que 21 0r a r= e 1 0θ θ π= + ,

também pertence à trajectória.

(c) Definindo a constante

2 2 20 4

2ac n a κκ

= − ,

mostre que qualquer raio pertence a uma circunferência de equação

( ) ( )2 2 2 2sin cosx c y c a cα α+ + − = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Sugestão: Faça as mudanças de variável ( )cosx r θ= e ( )siny r θ= .

0P

1P

O

B

A

α

circunferência r a=

20 1OP OP a⋅ =

30 Carlos R. Paiva

Problema 12

Neste problema considera-se o caso geral de um meio não uniforme (i.e., cujas características

dependem da posição) e não estacionário (i.e., cujas características dependem do tempo).

Consideremos o caso de um campo eléctrico

( ) ( ) ( )0, , exp ,envolvente fase

t t i t⎡ ⎤⎢ ⎥= Φ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E r E r r

cuja envolvente não varia, de forma apreciável, no espaço e no tempo. Define-se, então, o

vector de onda k e a frequência ω como sendo

,t

ω∂Φ ∂Φ= = −∂ ∂

kr

.

O caso particular de uma onda plana monocromática

( )( )

0 0,,

tt tω

=Φ = ⋅ −E r E

r k r

é o mais conhecido – não necessariamente o mais realista. Atendendo a que

2 2 d

dt t tω ω∂ Φ ∂ Φ ∂

= → = − = − ∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂

kr r r

vem

dd gtω ω ω ωω

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = = + ⋅ → = − + ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

k k kvr r k r r r

onde se introduziu a velocidade de grupo ou velocidade de um fotão (dualismo onda-

corpúsculo de Louis de Broglie)

ddg t

ω∂= =

∂rv

k.

Mas então

g gt tω ω⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ ⋅ = − → + ⋅ = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

k kv v kr r r r

ou, tendo em consideração que

d d dd d dgt t t t t

ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ = + ⋅ → = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k r kv k kr r r

,

podemos sintetizar os nossos resultados na forma


31

dequações de Hamilton dda óptica geométrica d

d

t

t

ω

ω

∂=∂

→∂

= −∂

rk

kr

a que há que adicionar a equação

dd t tω ω∂=∂

.

Nota: Estas equações têm o seu equivalente mecânico desde que se considere que, para um

fotão, se tem

energiamomento linear

ω∂

=→ = ∂

→→ = ∂

= −∂

rp

p k pr

E

E

E

em que, como é habitual, se usou a notação

dddd

t

t

=

=

rr

pp.

Consideremos, doravante, que se tem

( ) ( )

2

2

2

ˆ

, ,,

c cn n k k

k c k c n ntn t t n t n t

k c n nn n

ω ω

ω ωω ω

ω ω

∂= = =

∂∂ ∂ ∂

= = → = − = −∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= − = −∂ ∂ ∂

kk kk

r kr

r r r

para o nosso meio não uniforme e não estacionário. Nestas condições, pode-se escrever então

2

dddddd

nt n t

t kn

t n

ω ω

ω

ω

∂= −

∂

=

∂= −

∂

r k

kr

.

32 Carlos R. Paiva

Como aplicação destas equações vamos considerar dois casos distintos: num primeiro caso

apenas se considera que ( )n n x= , i.e., um meio não uniforme (embora estacionário); num

segundo caso apenas se considera que ( )n n t= , i.e., um meio não estacionário (embora

uniforme).

(a) Admita um meio não uniforme em que

( ) ( ) ( )1 2 11 1 tanh2

n x n n n xκ= + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Esta lei de variação representa, apenas, uma versão mais «suave» do caso limite

( ) ( ) ( )1 2 1n x n n n H x= + −

onde ( )H x é a função de Heaviside

( )1, 00, 0

xH x

x>⎧

= ⎨ <⎩.

Com efeito, tem-se

( )( )

1

2

lim

limx

x

n x n

n x n→−∞

→+∞

=⎡ ⎤⎣ ⎦

=⎡ ⎤⎣ ⎦.

Mostre que se tem 0ω ω= , onde 0ω é uma constante (i.e., num meio não uniforme a

frequência não se modifica em diferentes regiões). Mostre ainda que, se o movimento

do raio óptico se processar no plano 0y = , então

( ) ( ) ( )2

2 1d sechd 2

d 0d

x

z

k n n n xt n x x nkt

ω ωκ κ∂= − = − −

∂

=

de modo que uma constante β do percurso do raio óptico será

( ) ( )00 0 sinzk k n x k x

cω θ β= → = =⎡ ⎤⎣ ⎦

tendo-se, por outro lado,

( ) ( ) ( )2 2 2 20 0cosx x zk n x k x k k n x kθ= ∴ + =⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Quando se considera o caso limite da variação brusca (tipo Heaviside), a constante β

impõe a lei de Snell da refracção entre dois meios


33

( ) ( )1 1 2 2

lei de Snell dasin sin

refracção espacialn nθ θ→ = .

(b) Admita, agora, um meio não estacionário em que

( ) ( ) ( )1 2 11 1 tanh2

n t n n n t= + − + Ω⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Mostre que se tem 0=k k , onde 0 0ˆα=k k é um vector constante (i.e., num meio não

estacionário o vector de onda não se modifica ao longo do tempo). Mostre, ainda, que

( ) ( )tn t

cω

α = .

Assim, quando se considera o caso limite da variação brusca (tipo Heaviside), a

constante α impõe a lei de Snell da refracção temporal

1 1 2 2

lei de Snell darefracção temporal

n nω ω→ = .

Definindo ( ) ( )tan 1t n tϕ =⎡ ⎤⎣ ⎦ , vem então

( ) ( )1 1 2 2cot cotω ϕ ω ϕ=

em que ( )1 1cot nϕ = e ( )2 2cot nϕ = .

Z

X

2n

1n

β β

1θ

2θ

1 0n k

2 0n k

1h

2h ( )( )( )( )

1 0 1

1 1 0 1

1 0 1

2 2 0 2

sincossincos

n kh n k

n kh n k

β θθ

β θθ

====

2 2 2 21 1 02 2 2 22 2 0

h n kh n k

ββ

+ =+ =

0 0 constantec kω = =

34 Carlos R. Paiva

α

α

X

cT

1ϕ

2ϕ

1 cω 2 cω

1n

2n

( )

( )

( )

( )

11

11 1

22

22 2

cot

sin

cot

sin

c

kc

c

kc

ωα ϕ

ω ϕ

ωα ϕ

ω ϕ

=

=

=

=

22 21

1

22 22

2

kc

kc

ωα

ωα

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

1k

2k

0 0ˆ vector constanteα= =k k


35

Sumário: Problemas sobre teoria elementar da dispersão.

Problema 1

Num dieléctrico isotrópico é aplicado um campo eléctrico ( ) ( )0E t E tδ= obtendo-se, em

resposta, uma polarização eléctrica ( ) ( )0expP t t= κ − τ para 0t ≥ , com ( ) 0P t = para 0t <

(modelo de Debye). No domínio da frequência tem-se ( ) ( ) ( )0D E Pω ε ω ω= + e

( ) ( ) ( )0P Eω ε χ ω ω= .

(a) Sendo ( )0 0 0s Eχ κτ ε= , determine ( ) ( )1ε ω = + χ ω em função de sχ e 0τ . Qual é o

significado físico de sχ ?

(b) Represente graficamente, para 0.2sχ = , ( ) ( )ε ω ε ω′ = ℜ⎡ ⎤⎣ ⎦ e ( ) ( )ε ω ε ω′′ = ℑ⎡ ⎤⎣ ⎦ .

(c) Mostre que, para 0 1ωτ = , ( )ε ω′′ atinge o seu valor máximo.

(d) Compare o declive de ( )ε ω′ em 0 1ωτ = com o seu declive máximo.

36 Carlos R. Paiva

Problema 2

Considere um condutor em que fN é a densidade volúmica de electrões livres. Sendo q a

carga do electrão e m a sua massa (em repouso), a condutividade do condutor é uma função

da frequência ω dada pela equação

( ) ( )

20

1f

c

q Nm i i

σσ ωγ ω ωτ

= =− −

em que ( )0 0σ σ ω= = , 1 cγ τ= (coeficiente de atrito ou taxa de colisões) e onde cτ é o

tempo característico das colisões.

(a) Sabendo que a condutividade do cobre em regime estacionário é 7 10 5.8 10 Smσ −= × , faça

uma estimativa de γ e compare este valor com a frequência óptica correspondente a

1.55 mλ µ= . Qual é o significado físico deste resultado? Considere 29 310 mfN −= .

(b) Represente graficamente ( )σ σ′ = ℜ e ( )σ σ′′ = ℑ em função de ( )0 0σ σ ω= = e de

cωτΩ = . Mostre que σ ′′ tem um máximo em 1Ω = e calcule esse máximo.

(c) Quando num condutor se despreza a contribuição dos electrões ligados ( 0bχ = ), mostre

que as ondas planas da forma ( )exp i k z tω−⎡ ⎤⎣ ⎦ obedecem à equação de dispersão

( ) ( ) ( ) ( )0 0k n k n i n kω ω ω ω′ ′′= = +⎡ ⎤⎣ ⎦ .


37

(d) Seja pω a frequência de plasma tal que

2

0

fp

q Nm

ωε

= .

Mostre que

( )( )

( )( )

22 32

2

2 2 32 2

2

1 11 12 1 2 1 1

1 11 12 1 2 1 1

p

p

X X a XnXa X a X a X

X X a Xa na X a X a X

ωω

γκ

ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′ = − + − += ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ′′ = = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Represente graficamente a parte real do índice de refracção n′ e o coeficiente de extinção

κ em função da variável adimensional X para o valor de a que está de acordo com os

valores numéricos obtidos em (a). Note que, para ( ) 10 1X X a −= = − (tendo-se, em geral,

1a < ), se obtém ( ) ( )2 20 2n n a X′ ′′= = .

(e) Em fotónica tem-se 1a << pelo que é razoável considerar, nas expressões gerais, 0a =

(i.e., 0 1X = ). Nestas condições represente graficamente ( )2 2n n X= e interprete

fisicamente o resultado obtido.

38 Carlos R. Paiva

Nota: Algumas constantes físicas de interesse:

( )

( )

8 1

197 1

031

2 12 10 0

2.99792458 10 ms valor exacto1.602176462 10 C

4 10 H m9.10938188 10 kg

1 8.854187817 10 Fm

cqm

c

µ π

ε µ

−

−− −

−

− −

= ×= ×

= ×= ×

= = ×

Problema 3

Num material dieléctrico a relação entre a polarização P e o campo eléctrico E é dada pelas

equação ( ) ( ) ( )0ω ε χ ω ω=P E em que

( )22

0 02 2 2 20 0

p

i iωω χχ ω

ω ω γ ω ω ω γ ω= =

− − − −

e onde

22 2

20 2 2

0 0 0 0

,pb bp

q N q Nm m

ωχ ω

ε ω ω ε= = =

é a susceptibilidade em regime estacionário. Assim, tem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 01ω ε ω ω ε χ ω ω ε ε ω ω= + = + =⎡ ⎤⎣ ⎦D E P E E .

(a) Mostre que

( ) ( ) ( )0t t dε χ τ τ τ∞

−∞

= −∫P E .

(b) Mostre que ( ) 0χ τ = para 0τ < (i.e., o meio é causal), de modo que

( ) ( ) ( )00

t t dε χ τ τ τ∞

= −∫P E ⇒ ( ) ( ) ( )00

t f t dε τ τ τ∞

= −∫D E

e onde se fez ( ) ( ) ( )f τ δ τ χ τ= + .

(c) Usando o teorema dos resíduos, mostre que

( ) ( )20

0 00

sin exp2

ω γχ τ χ ω τ τω

⎛ ⎞′= −⎜ ⎟′ ⎝ ⎠

para 0τ ≥ e onde se considerou

2

20 0 2

γω ω ⎛ ⎞′ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

.


39

Represente graficamente ( ) ( ) ch x xχ τ= , em que cx τ τ= , para 0 1χ = e

0 0 10cω τΩ = = . Note que

( ) ( )22

20 00

20

sin exp2 21

4

x xh x xχ ⎛ ⎞Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= Ω − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠Ω −.

(d) O índice de refracção complexo é n n i n′ ′′= + tal que ( )2n ε ω= . Mostre que, se se

definir cωτΩ = e 0 0 cω τΩ = (com 1cτ γ= ), vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 2 2 2 2 20 0

22 2 2 2 2 20 0

1 11 12 2

1 11 12 2

n g g g

n g g g

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ = + Ω −Ω Ω + + Ω −Ω Ω +Ω Ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ = − + Ω −Ω Ω + + Ω −Ω Ω +Ω Ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦

em que se introduziu a função auxiliar

( )( )

20 0

22 2 20

g χ ΩΩ =

Ω −Ω +Ω.

Represente graficamente ( )n n′ ′= Ω e ( )n n′′ ′′= Ω para 0 1χ = e 0 10Ω = .

40 Carlos R. Paiva

(e) Notando que em fotónica se tem 1Ω >> , verifique então que

( )

( )

2 2 20 0 0

22 2 20

112

nχ Ω Ω −Ω

′− =Ω −Ω +Ω

e ( )

20 0

22 2 20

12

n χ Ω Ω′′ =Ω −Ω +Ω

.

Mostre que, neste caso, o máximo do coeficiente de extinção ocorre para maxΩ = Ω tal

que

( ) ( ) 22 2 2 4 2max 0 0 0 0

1 12 1 2 1 126 6

Ω = Ω − + Ω − + Ω ≈ Ω .

Ainda em fotónica mostre que, na vizinhança de 0Ω ,

( )( )0 0 0

20

14 1

nχ Ω Ω −Ω

′− =Ω −Ω +

e ( )

0 02

0

12 4 1

n χ Ω′′ =Ω −Ω +

pelo que o coeficiente de extinção tem, nesta aproximação, um perfil lorentziano.


41

Problema 4

As relações constitutivas dos meios isotrópicos simples (i.e., sem acoplamento

magnetoeléctrico), são (com ,ε µ ∈ )

0

0

ε εµ µ

==

D EB H

e admitem a classificação genérica que se apresenta na figura anexa.

Considerando um modelo de Lorentz para a dispersão, vem

( )

( )

2

2 20

2

2 20

1modelo de Lorentz

1

pe

e e

pm

m m

i

i

ωε ω

ω ω ω

ωµ ω

ω ω ω

⎧= +⎪

− Γ −⎪→ ⎨⎪ = +⎪ − Γ −⎩

em que 0 ,e mω representam as frequências de ressonância enquanto que os coeficientes ,e mΓ

representam as frequências de colisão (i.e., as perdas) e ,pe mω as frequências de plasma. Neste

modelo é possível encontrar um intervalo de frequências 1 , 2 ,,e m e mω ω⎡ ⎤⎣ ⎦ em que cada um dos

parâmetros ( )ε ω e ( )µ ω apresenta uma parte real negativa.

(a) Mostre que, de acordo com o modelo de Lorentz, se tem

( ) ( )2 21 , 11 11 1

e m

e m

e m

p p

i iq q

ε λ µ λλ λλ λ

= + = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

(b) Represente graficamente as partes reais e imaginárias de ( )ε λ , ( )µ λ e do índice de

refracção ( )n λ para os seguintes valores numéricos: 1ep = , 0.8mp = , 100e mq q= = ,

( )ε ε′ = ℜ

( )µ µ′ = ℜ

0,mei

0plasma

s E G

s

o Nε µ′ ′< > 0,

me0

dieléctricos

ios DPSε µ′ ′> >

0, 0metamateria

meios DNG

isε µ′ ′< < 0, 0

meio

meios M

s girot

NG

rópicosε µ′ ′> <

42 Carlos R. Paiva

0.3 mmeλ = e 0.32 mmmλ = . Mostre, através deste exemplo, que um meio com um

índice de refracção negativo ou NIR (negative index of refraction) não é a mesma coisa

que um meio DNG.


43

44 Carlos R. Paiva

Nota: No caso geral em que há perdas, tem-se iε ε ε′ ′′= + e iµ µ µ′ ′′= + . O índice de

refracção será, consequentemente, também complexo e dado por

( )( )n n n n i n n i nε µ ε ε µ µ′ ′′ ′ ′′= = + +

em que

( )

12

12 4

2

sgn1 1

21

nεε εε

ε εε

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′′′⎛ ⎞ ⎢ ⎥′ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦

( )

12

12 4

2

sgn1 1

21

nεε εε

ε εε

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′′′⎛ ⎞ ⎢ ⎥′′ = + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦

e, analogamente,

( )

12

12 4

2

sgn1 1

21

nµ

µ µµµ µ

µ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′⎢ ⎥′′⎛ ⎞′ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎢ ⎛ ⎞ ⎥⎣ ⎦ + ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦

( )

12

12 4

2

sgn1 1

21

nµ

µ µµµ µ

µ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′⎢ ⎥′′⎛ ⎞′′ = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎢ ⎛ ⎞ ⎥⎣ ⎦ + ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Assim, num meio DNG em que 0ε µ′′ ′′= = e ( ) ( )sgn sgn 1ε µ′ ′= = − , obtém-se

( )( ) 1 2 1 2meio DNG 0n n n i n i nε µ ε µ ε µ′′ ′′ ′ ′→ = = = − <

i.e., um meio que tem, simultaneamente, um índice de refracção negativo.


45

Sumário: Problemas sobre interacção entre fotões e átomos, amplificação e oscilação laser e

lasers semicondutores.

Problema 1

Considere uma cavidade óptica em equilíbrio termodinâmico, com 1n = , em que ( )fρ é a

densidade espectral de energia por unidade de volume para a frequência f . Determine o

comprimento de onda λ para o qual se verifica um equilíbrio entre a taxa de emissão

estimulada e a taxa de emissão espontânea quando a temperatura absoluta da cavidade é

300KT = .

Nota: 82.99792458 10 m sc = × , 346.62606876 10 Jsh −= × , 231.3806503 10 J KBk −= × .

Problema 2

De acordo com a lei da radiação de Planck, a densidade espectral de energia numa cavidade

em equilíbrio termodinâmico à temperatura absoluta T é dada por

( ) ( ) ( )3

2 3

exp 1

ss

B

uc

k T

ωωω ωπ ω

= → =⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(a) Sabendo que o máximo da radiação cósmica de fundo (cosmic background radiation)

ocorre para a frequência 160.5 GHzpf = , estime a temperatura média equivalente

dessa radiação isotrópica. Sugestão: Comece por mostrar que

( )3

13 3

1 2 3

18B

xB

h fxk T xu f C

ek TCh cπ

=

→ =−

=

46 Carlos R. Paiva

e que ( )max pu u f= corresponde a encontrar a solução de ( )3 1 xe x−− = , i.e.,

2.8214x = .


47

(b) Deduza lei de Wien

pB

hcTy k

λ =

onde pλ é o comprimento de onda para o qual se observa um máximo da densidade

espectral de energia e 4.9651y = é uma constante adimensional que é a solução da

equação ( )5 1 ye y−− = . Note que, quando se exprime o comprimento de onda pλ em

milímetros e a temperatura absoluta em graus Kelvin, se tem

2.8978p Tλ = .

Sugestão: Comece por mostrar que

( )5

25 5

2 4 4

18B

yB

hcyk T yu C

ek TCh c

λλ

π

=

→ =−

=.

48 Carlos R. Paiva

(c) Demonstre a lei de Stefan-Boltzmann de acordo com a qual a densidade volúmica de

energia é dada por

( )2 4

16 3 4 43 3 7.5658 10 Jm K

15Bka U T aTc

π − − −= = × → = .

Sugestão: 3 4

0 1 15x

x d xe

π∞

=−∫ .

Problema 3

Num amplificador laser o ganho o iG P P= obedece à equação

( )

( ) ( )( ) ( )

02 2

0 0

, 1, exp exp

1 1 ,

oo

s oo o

o

PpP G pg LG p p

G pω ω τ

= ⎡ ⎤Ω −⎛ ⎞ ⎢ ⎥→ Ω = −⎜ ⎟+Ω +Ω Ω⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦Ω = −.

Considere, neste problema, 0 5g L = .

(a) Represente graficamente ( ),oG G p= Ω em função da frequência normalizada Ω para

0 0.1p = e 0 1p = .


49

(b) Represente graficamente ( ),oG G p= Ω em função da potência de saída normalizada

op para 0Ω = e 0.5Ω = .

Problema 4

Considere um sistema amplificador laser com transições induzidas entre dois níveis de

energia 1E e 2E , com 1 2>E E . O campo eléctrico da radiação emitida é

( )( )0 0

0

0, 0

exp exp , 02

tE t

tE i t tωτ

⎧<⎪

⎪= ⎨⎛ ⎞⎪ − − ≥⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(a) Relacione 0ω com 1E e 2E .

(b) Determine a transformada de Fourier do campo radiado:

( ) ( ) ( )expE E t i t dtω ω∞

−∞

= ∫ .

(c) Sendo ( )S ω a densidade espectral da potência radiada, com

( )( )

2

02E

Sω

ωη

= e 00

0

µηε

= ,

50 Carlos R. Paiva

mostre que 0 1τ ω∆ = em que ω∆ é a largura FWHM (full-width at half maximum) de

( )S ω . Represente graficamente maxS S em função de ( )0 0ω ω τΩ = − (perfil

lorentziano). Explique fisicamente a existência da constante 0τ .

(d) Sendo E a energia electromagnética radiada e ∆E a correspondente incerteza, mostre

que 0τ ∆ =E .

Problema 5

A cavidade de Fabry-Perot de um laser semicondutor é constituída pelas próprias paredes

planas do material semicondutor ( )1 3.6n = em contacto directo com o ar ( )2 1n = . Admita

que o coeficiente de atenuação espacial do cristal é 11 cmsα−= e que 0.2 mmd = . Determine

os principais parâmetros desta cavidade. A luz emitida pelo laser tem, no ar, o comprimento

de onda 1.55 µmλ = .

Solução:

2

1 2

1 2

0.3195n nRn n

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

11 1ln 28.53 cm2m d R

α −⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

12 58.05 cmr s mα α α −= + =

( )exp 0.3131r dα= − =

2.561π

= =−

F

1

208.19 GHz2x

cfn d

= =

12 sin 87.57 GHz2xf f πδ

π− ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠F


51

8 1

1

8.3276 10 mspcvn

−= = ×

1 2.07 pspr pv

τα

= =

0 193.41 THzcfλ

= =

02 2500pQ fπ τ= =

max2

2

intensidade óptica dacavidade de Fabry-Perot 21 sin

x

IIff

ππ

→ =⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠F

Problema 6

A liga semicondutora ternária 1Al Ga Asx x− tem um índice de refracção n tal que

( )2 22

0.9750110.906 2.92 0.002467 1.41 1n x xC

λλ

= − + − ++

com λ em mµ e onde

52 Carlos R. Paiva

( )( )

2

2

0.52886 0.735 0.36

0.30386 0.105 0.36

x xC

x x

⎧ − ≤⎪= ⎨− ≥⎪⎩

.

Represente graficamente ( )n n λ= no intervalo 0.8 m 1.6 mµ λ µ< < para os seguintes

valores de x : 0.0 (GaAs), 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 (AlAs).

Problema 7

A liga semicondutora quaternária 1 1In Ga As Px x y y− − está adaptada ao InP desde que 0.45x y= .

O intervalo de energia varia com y na forma ( 0 1y≤ ≤ )

2g ( ) 1.35 0.72 0.12 [eV]y y y= − +E .

(a) Determine a composição da camada activa dos lasers semicondutores para os

comprimentos de onda λ = 1.3 µm e λ = 1.55 µm.

(b) Determine os comprimentos de onda máximo e mínimo em que esta classe de

semicondutores pode operar.


53

Problema 8

Num laser semicondutor a corrente de injecção é a responsável pelo bombeamento que

produz a inversão da população. As equações das taxas escrevem-se na forma ( )1a pr τ=

( )

( )

sp a

c

dS G S R N r SdtdN I NG Sdt q Nτ

′= + −

= − −

Admita, neste problema, que a taxa elementar líquida de emissão estimulada st abG r r= −

obedece ao modelo linear ( )N tG G N N= − . Considere os seguintes valores numéricos:

3 15.62 10 sNG −= × , 810tN = , 1.6pspτ = .

(a) Suponha, nesta alínea, que o tempo de vida cτ da recombinação não induzida é uma

constante, com 2.2nscτ = . Admita, ainda, que sp spR n G′ = onde spn é o coeficiente de

inversão da população. Determine, nestas condições, as expressões de 0N e 0S (i.e., de

acordo com a notação adoptada, em regime estacionário) em função de 0 thI I .

Represente graficamente 0 0vs thS I I− − para os valores 0,1, 2spn = usando uma escala

logarítmica para o eixo das ordenadas.

54 Carlos R. Paiva

(b) Suponha, nesta alínea, o modelo mais realista segundo o qual ( ) ( )sp sp spR N R Nβ′ = ,

( ) 2spR N B N= e ( )1 2

c N A B N C Nτ − = + + . Considere 8 110 sA −= , 11sB −= e

9 13 10 sC − −= × . Represente graficamente 0 thN N e 0S em função de 0I para os

seguintes valores do coeficiente de emissão espontânea 30,10spβ −= . Note que, em

regime estacionário, se pode escrever

( ) ( )0 0

00 01

sp sp psp

a p

R N R NS

r G Gτ

βτ

′= =

− − (1)

donde se infere então que

( ) ( )00 0

00 01

psp sp

p c

GI NR Nq G N

τβ

τ τ= +

−. (2)

(c) Mostre que a Eq. (2) permite, tendo em consideração que ( )0 0N tG G N N= − ,

determinar a população de electões 0N através da equação

4 3 21 2 3 4 0x a x a x a x a+ + + + = com 0 thx N N= e em que

( ) 0

1 3 2

02 42 3

11 1

1

spth th th

tsp

th th th th

IBa a AN C N C q N

N IA Ba aN C N C N q N C

β

β

⎛ ⎞= − − = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠


55

Note que é habitual continuar a definir thI em que este valor da corrente corresponde ao

caso 0spβ = . Assim, da Eq. (2), obtém-se

( ) ( )2 3th

th th th thc th

NI q q A N B N C NNτ

= = + + .

A população de fotões 0S pode então ser determinada usando a Eq. (1), vindo

2

0 1th

spN

N B xSG x

β=−

.

Sugestão: Para 0 0vsS I− − é conveniente que a escala das ordenadas seja logarítmica.

Problema 9

Num laser semicondutor a corrente de injecção é a responsável pelo bombeamento que

produz a inversão da população. As equações das taxas escrevem-se na forma

( )

( ) ( )

,

,

spp

c

dS SG N S S Rdt

dN I NG N S Sdt q N

τ

τ

′= + −

= − −

Admita, neste problema, que a taxa elementar líquida de emissão estimulada st abG r r= −

obedece ao modelo não-linear

( ) ( ),1

b tG N NG N S

Sε−

=+

56 Carlos R. Paiva

e despreze a contribuição da emissão espontânea, i.e., faça 0spR′ = . Considere os seguintes

valores numéricos: 3 15.62 10 sbG −= × , 810tN = , 1.6pspτ = . Suponha ainda que 8 110 sA −= ,

11sB −= e 9 13 10 sC − −= × no cálculo de ( )1 2c N A B N C Nτ − = + + . Como ( ) 1

th t b pN N G τ−

= +

é possível introduzir uma constante cτ tal que ( )1 1 2c c th th thN A B N C Nτ τ− −= = + + donde se

infere que th th cI q N τ= . Definindo então as variáveis normalizadas

0

th

IxI

= e 0

th

NyN

= ,

mostre que

( ) ( ) ( )2 3 2c th c th cC N y B N y A y xτ τ τ+ + =

para 1x ≤ e

( ) ( )2 3 2 b bc th c th c c

G GC N y B N y A y xτ τ τ τε ε

⎛ ⎞+ + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

para 1x ≥ . Mostre ainda que 0 0S = para 1x ≤ e

( )0 1b p thG NS y

τε

= −

para 1x ≥ . Represente graficamente 0 thy N N= e 0S em função de 0 thx I I= para 0ε =

(modelo linear) e para 610ε −= (modelo não linear). Sugere-se que, no caso de 0S , use uma

escala logarítmica para o eixo das ordenadas.


57

Problema 10

Admita que, num laser semicondutor, o campo eléctrico ˆE=E x e o campo magnético

ˆH=H y dependem apenas das variáveis ( ),z t . Note que 0 tµ∇× = − ∂ ∂E H e

0 r tε ε∇× = ∂ ∂H E . Como o meio é activo, tem-se r n n i nε ′ ′′= + ∆ + ∆ (i.e., a constante

dieléctrica é complexa).

(a) Mostre que

2 2

2 2 2rE E

z c tε∂ ∂

=∂ ∂

.

(b) Suponha, agora, que ( ) ( ) ( ), expE z t A t i z tβ ω= −⎡ ⎤⎣ ⎦ e que pode considerar

2 2 0d A dt ≈ . Definindo 2 2 20rh kε β= − , mostre então que

2

202 r

dA hi Adt k

ωε

= .

(c) No laser semicondutor, tem-se 0n kβ = . Para ( )2 0n i n′ ′′∆ + ∆ ≈ , mostre que

( )2 202 1 ch i i n n kβ ′′= − ∆ , onde se introduziu o factor de Henry c n nβ ′ ′′= ∆ ∆ .

(d) Notando que 2 2 2 20rh k hε β≈ e fazendo ( ) ( ) ( )expA t S t i tφ= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , em que (por

normalização apropriada) S E E∗= é o número de fotões na cavidade laser, mostre que

2

cd dSdt S dt

βφ= − .

(e) Finalmente, considerando 0spR′ ≈ , verifique que

1 12 c

p

d Gdtφ β

τ⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

58 Carlos R. Paiva

Sumário: Problemas sobre vectores complexos e polarização.

Problema 1

Um vector real ( )tA , harmónico no tempo, satisfaz a equação diferencial

( ) ( )2

22 0d t t

dtω+ =A A

cuja solução geral assume a forma

( ) ( ) ( )1 2cos sint t tω ω= +A A A .

Então, introduzindo o vector complexo (constante) 1 2i= +a a a , em que 1a e 2a são vectores

reais ortogonais entre si (i.e., com 1 2 0⋅ =a a ), tem-se então

( )

( ) ( ) 1 1

2 2

0exp

2

t i tωπω

= =

→ =ℜ −⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

A a AA a

A a A.

Mostre que, se o vector ( )tA tiver uma polarização elíptica (ver figura anexa), os respectivos

eixos são dados pelos vectores 1a e 2a . Nota: O sentido de rotação de ( )tA sobre a elipse é

determinado pelo caminho mais curto que leva 1a até 2a .

1a

2a

( )tA

tθ ω=


59

Sugestão:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 2cos sin 0 sin cos 0.d dt t t t t t

dt dtω ω ω ω⎡ ⎤⋅ = + = ⇒ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦A A a a a a

Problema 2

Considere, no plano O X Y , os vectores complexos

( )

( )

1ˆ ˆ ˆ2

1ˆ ˆ ˆ2

i

i

= +

= −

R x y

L x y.

(a) Mostre que ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0∗⋅ = ⋅ = ⋅ =R R L L R L e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1∗ ∗⋅ = ⋅ = ⋅ =R L R R L L .

(b) Mostre que o vector R (resp., L ) corresponde a uma polarização circular direita (resp.,

polarização circular esquerda).

(c) Mostre que ( )ˆ ˆˆi= ×R z R e ( )ˆ ˆˆi= − ×L z L .

Problema 3

Seja a o vector complexo correspondente ao vector real e harmónico no tempo ( )tA . Mostre

que:

(a) Quando 0∗× =a a a polarização é linear (PL).

(b) Quando 0⋅ =a a a polarização é circular (PC).

polarização condição acrónimo

linear 0∗× =a a PL

circular 0⋅ =a a PC

x x

y y

( )R tA ( )L tA

( ) ( ) ˆ expR t i tω=ℜ −A R ( ) ( ) ˆ expL t i tω=ℜ −A L

60 Carlos R. Paiva

Nota: Em todos os outros casos a polarização é elíptica.

Problema 4

Considere o vector complexo a e que este não corresponde a uma PC, i.e., que 0⋅ ≠a a .

Mostre então que se pode decompor este vector complexo na chamada forma axial

( )( )

exp

exp

i

i

θ

θ

⋅=

⋅→ =

⋅=

⋅

a aa a

a ba a

b aa a

.

Mostre, ainda, que r =ℜb b está orientado segundo o eixo maior da elipse e que

i = ℑb b está orientado segundo o eixo menor, tendo-se portanto 0r i⋅ =b b .

r

i

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⋅ ℜ⎨ ⎬⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⋅ ℑ⎨ ⎬⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

ab a aa a

ab a aa a

Problema 5

Dado um vector complexo a define-se o correspondente vector real da polarização respectiva

( )p a :

( ) i∗

∗

×=

⋅a ap aa a

.

Mostre que o vector ( )p a é perpendicular ao plano da elipse correspondente a a e que o seu

sentido é o da normal direita.

rb

ib ra

ia


61

Definindo ( ) ( )p =a p a como sendo o comprimento do vector da polarização, mostre ainda

que se tem ( )0 1p≤ ≤a e que a elipticidade ( )e a da elipse (i.e., o quociente entre o eixo

menor e o eixo maior) é dada por

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2

2

1 1 21

p ee p

p e− −

= → =+

a aa a

a a.

Note-se que, para o caso da PL, ( ) 0p =a ; para o caso da PC, ( ) 1p =a .

polarização condição elipticidade

PL ( ) 0p =a ( ) 0e =a

PC ( ) 1p =a ( ) 1e =a

Em geral define-se o vector da elipticidade

( ) ( ) ( )i e∗

∗

×= → =

⋅ + ⋅a ae a a e a

a a a a

que é paralelo ao vector da polarização ( )p a .

Nota: Em relação aos vectores introduzidos no Problema 2, vem ( )ˆ ˆ=p R z e ( )ˆ ˆ= −p L z .

( )p a

aa

( )p a

62 Carlos R. Paiva

Problema 6

Consideremos a propagação de ondas electromagnéticas planas não uniformes em meios

isotrópicos sem perdas caracterizados por um índice de refracção n . Neste caso a constante

de propagação k é complexa e da forma

ˆ ˆi iβ α= + = +k β α β α

onde β e α são vectores (reais) unitários, i.e., 2 2ˆ ˆ 1= =β α . Mas, por outro lado, tem-se

2 20n k⋅ =k k .

Mostre, nestas circunstâncias, que se pode escrever

( )( )

0

0

ˆcoshondas planasˆnão uniformes sinh

ˆ(meios sem perdas) ˆ 0

n k

n k

ξ

ξ

=

→ =

⋅ =

β β

α α

β α

de forma que os planos de amplitude constante são perpendiculares aos planos de fase

constante ( )ˆ ˆ 0⋅ =β α e 2 2 2 20n kβ α− = .

planos de amplitudeconstante

planos de fase constante

β

α


63

Problema 7

Numa onda plana o campo eléctrico instantâneo é dada pela expressão

( ) ( ) 0 expt i tω=ℜ ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦E E k r

em que 0E é a respectiva amplitude complexa (i.e., é um vector complexo). Sendo k o vector

unitário, tal que ˆk=k k com k = k , mostre que:

(a) Numa onda com polarização circular direita (PCD), tem-se ( )0 0ˆi= ×E k E .

Sugestão: Mostre que ( )0ˆ=p E k .

(b) Numa onda com polarização circular esquerda (PCD), tem-se ( )0 0ˆi= − ×E k E .

Sugestão: Mostre que ( )0ˆ= −p E k .

Problema 8

Em meios com birrefringência circular (i.e., meios cujas duas ondas características têm

polarizações circulares ortogonais) ocorre uma rotação de polarização (conhecida como

actividade óptica nos meios quirais e como rotação de Faraday nos meios anisotrópicos tais

como magnetoplasmas e ferrites). Para analisar matematicamente esta rotação de polarização

considera-se que as amplitudes complexas das ondas características com polarizações

circulares ortogonais são (ver problema anterior)

( )( )

ˆPCDˆ 0

ˆPCE

R

L

i

i

→ = + ×⋅ = →

→ = − ×

E a k aa k

E a k a

sendo ainda ˆR Rk=k k a constante de propagação da onda com PCD e ˆ

L Lk=k k a constante

de propagação da onda com PCE. Nestas condições, o campo eléctrico instantâneo (total) é

uma combinação linear destas duas ondas características, vindo

( ) ( ) ( ) 1, exp exp2 R R L Lt i t i tω ω= ℜ ⋅ − + ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦E r E k r E k r .

Se se definir a distância ˆζ = ⋅r k , tem-se ( )ˆR R Rk k ζ⋅ = ⋅ =k r r k e ( )ˆ

L L Lk k ζ⋅ = ⋅ =k r r k de

modo que

( ) ( ) ( ) 1, exp exp2 R R L Lt i k t i k tζ ζ ω ζ ω= ℜ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦E E E .

64 Carlos R. Paiva

Está-se a admitir que se tem ( ) ( )0, cost tω=E a , i.e., uma polarização linear segundo a em

0ζ = . Nestas condições, mostre que

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 ˆ, cos sin cos12

R L

R L

k kt t

k k

φ ζ ζζ ψ ψ φ ω

ψ ζ ζ

= +⎡ ⎤→ = − × −⎣ ⎦

= −E a k a .

Observa-se, portanto, uma rotação de polarização de um ângulo

θ , tal como se indica na figura anexa. Mostre, ainda, que se tem

( ) ( ) ( )1tan tan tan2 R Lk kθ ψ ζ⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Sugestão: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 cos 2 cos 2

2 sin 2 cos 2

i x i y

i x i y

e e x y x y

i e e x y x y

ℜ + = − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ℜ − = − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

⊗

ˆ ×k a

a

( ), tζEθ

k


65

Sumário: Problemas sobre feixes ópticos.

Problema 1

Um laser de He-Ne ( )633 nmλ = de 1 mW de potência emite um feixe gaussiano com

02 0.1 mmw = em que 0w é a cintura do feixe.

(a) Determine a divergência angular 02θ do feixe.

(b) Determine o respectivo parâmetro confocal 0z .

(c) Calcule o diâmetro ( )2 w z e o raio de curvatura ( )R z para 0z z= , 02z z= e 010z z= .

(d) Calcule a intensidade óptica ( ),I r z sobre o eixo óptico do feixe (i.e., 0r = ) para 0z = ,

0z z= e 02z z= .

66 Carlos R. Paiva

Problema 2

Considere um feixe gaussiano em que se conhecem a largura w e o raio de curvatura R para

um determinado ponto localizado sobre o eixo óptico. Mostre que a cintura 0w se encontra

localizada, à esquerda desse ponto, a uma distância

2

21

RzRwλπ

=⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

sendo dada pela expressão

0 22

1

wwwR

πλ

=⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Sugestão: Comece por mostrar que se tem

2 20 0

2 2

222 2

0 0

2 21 1

1 12 2

z zR Rk w z k w z

k w z k w zR z R z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= → + = + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Problema 3

Num feixe gaussiano de 1 µmλ = são conhecidos, para uma distância 1z , a largura

1 1 mmw = e o raio de curvatura 1 1 mR = . Determine a largura 2w e o raio de curvatura 2R

para uma distância 2 1z z d= + em que 10 cmd = .

Problema 4

Um feixe óptico tem, no plano 0,z = uma amplitude espectral ( ) ( ) ( )0 ,x y x yk k F k F kψ = em

que

( )2 2

0 0exp42

w w uF uπ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

(a) Seja xk∆ a largura FWHM de ( )xF k . Calcule o produto 0 xw k∆ .

(b) Determine o perfil ( ) ( )0 , , ,0x y x yψ ψ≡ do feixe óptico no plano 0z = .


67

Sugestão: ( )2

2exp exp4ba u bu du

a aπ∞

−∞

⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ .

(c) Admita que o feixe óptico se propaga no ar e que 0zk k≈ . Faça uma estimativa do ângulo

xθ de divergência espacial do feixe segundo x . Considere 0 0 10k w = .

Nota: Na aproximação paraxial, tem-se

2 2 2 2

2 2 2 20 0 0 02 2

0 0

1 12

x y x yx y z z

k k k kk k k k k k k k

k k⎛ ⎞+ +

+ + = → = − ≈ − ≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

pelo que, numa primeira aproximação, podemos escrever (ver figura anexa)(

( )0

tan x xx x

z

k kk k

θ θ ∆ ∆≈ = ≈ .

Problema 5

Um feixe gaussiano pode ser um modo de oscilação de uma cavidade óptica constituída por

dois espelhos esféricos. Com efeito, consideremos dois espelhos esféricos côncavos, cujos

raios de curvatura são 1 0R < e 2 0R < , a uma distância d tal como se indica na figura anexa.

1R 2R

d

1z 0 2z z

0zk k≈

xk∆

xθ

68 Carlos R. Paiva

Para que um feixe gaussiano seja um modo de oscilação desta cavidade óptica, é necessário

que se verifique, com 2 1z z d= + ,

20

1 11

20

2 22

zR zz

zR zz

= +

− = +.

Mostre que isso é possível desde que

( )

( )( )( )( )

21

2 1

2 1

1 2 2 120 2

2 1

02

0

02

d R dz

R R d

z z d

d R d R d R R dz

R R d

+= − <

+ +

= + >

+ + + += − >

+ +

e ainda que a última condição, a de ter 20 0z > , implica que

1

11 2

22

1condição de estabilidade 0 1

1

dgR

g gdgR

= +

→ → ≤ ≤= +

.


69

Problema 6

Comece por mostrar que, num meio dieléctrico em que o índice de refracção é dado por

( ) ( )2 2 2 2 2 20 1 , 1n r n g r g r= − ,

a equação de Helmholtz para o potencial vector, ( )2 2 20 0n r k∇ + =Α A , quando se admite que

( ) ( )0 0 ˆ , expk n k r z i k z= → = ΨA a ,

reduz-se à nova equação paraxial de onda

2 2 2 22 0t i k k g rz

∂Ψ∇ Ψ + − Ψ =

∂.

Então, para o «ansatz»

( ) ( ) ( )2, exp

2kr z i P z r

q z⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪Ψ = +⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

,

mostre que se tem

2

1 1 1, 0P iq q q

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e ainda que

( )2

22

1 1 0du d u g u zq u d z d z= → + = .

Com base neste resultado, mostre então que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

sin coscos sin

u z a g z b g zu z a g g z b g g z

= +′ = −

onde a e b são constantes de integração. Mostre, finalmente, que

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

00

0

0A z q B z

q q q zC z q D z

+= → =

+

em que

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

cos

1 sin1

sin

cos

A z g z

B z g zg

A z D z B z C zC z g g z

D z g z

=

=→ − =

= −

=

70 Carlos R. Paiva

o que significa que

A B

matriz unimodular det =1C D

⎛ ⎞⎡ ⎤→ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦⎝ ⎠.

Nota: A matriz ABCD unimodular constitui a base da chamada óptica matricial válida na

aproximação paraxial em que ( ) ( )r z zθ′ ≈ , tendo-se

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )00

r z A z B z rr z C z D z r⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Um meio homogéneo, de comprimento z d= , corresponde ao caso

( )( )

( )( )0100 1

r d rdr d r⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥′ ′⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Uma interface, em z d= , entre dois meios de índices 1n e 1n , corresponde a

( )( )

( )( )1

2

1 0

0

r d r dn

r d r dn

+ −

+ −

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.


71

Sumário: Problemas sobre mecânica quântica.

Problema 1

Calcule o comprimento de onda Bλ de de Broglie associado a um electrão cuja energia

cinética é:

• 6 eVK = ;

• 200 MeVK = .

Qual é o valor de Bλ para uma «partícula» com 1 kgm = e 510β −= ?

Bh hcp c p

λ = =

8 1

34

19

31

20

2.99792458 10 ms6.6260755 10 J s

1 eV 1.60217733 10 J9.1093897 10 kg

0.51099906 MeV

ch

mmc

−

−

−

−

= ×= ×

= ×= ×= =E

( )

2

2

22 20 0

1energia newtoniana

1 2

1 energia relativista

pKm

c p K

γβ

γβ γ

= → =−

= − → = + = +E E E

2 2 2

0 02B

h c h cK K

λ = =− +E E E

Nota: 61.2398 10 eV mhc −= × .

Solução: 9

3714 5

6 eV 0.50 10 m 1 kg2.21 10 m

200 MeV 0.62 10 m 10B

BB

K mK

λλ

λ β

−−

− −

= → = × =→ = ×

= → = × =

φ

20 mc=E

0c p γβ= E

0 0Kγ= = +E E E

( )cos c pφ β= =E

72 Carlos R. Paiva

Problema 2

Mostre que a função de onda ( )0 xΨ correspondente à amplitude espectral

( ) 0 ,0,A k

A kk

κκ

⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩

é dada pela expressão

( ) ( )0 0

sin xx U

xκ

κΨ =

em que 0 02U Aκ= .

Sugestão: ( ) ( ) ( )0 expx A k i k x d k∞

−∞

Ψ = ∫ .

Problema 3

Na função de onda

( ) ( )0 0 expx U xαΨ = −

mostre que

0U α=

de forma a que se observe uma correcta normalização, i.e.,

( ) 21x d xψ

∞

−∞

=∫ .

κ− κ

0A

k

( )A k


73

Mostre, ainda, que esta função de onda no espaço do momento linear p é dada pela

expressão

( )2 2

0 2 2 2

2pp

απ α α

Φ =+

.

Nota: De acordo com a relação de Parseval, tem-se

( ) ( )2 20 0 1x d x p d p

∞ ∞

−∞ −∞

Ψ = Φ =∫ ∫

de modo que a função de onda também deverá estar correctamente normalizada no espaço do

momento linear.

Problema 4

Uma partícula é descrita quanticamente pela função de onda

( )( )0

0, 0

2 exp , 0

xx

x x xα α α

⎧ <⎪Ψ = ⎨− >⎪⎩

.

(a) Mostre que a função de onda está correctamente normalizada.

(b) Mostre que o valor máximo da densidade de probabilidade ( ) ( ) 20P x x= Ψ ocorre

para 1x α= .

74 Carlos R. Paiva

(c) Mostre que se tem

( )

22

1 222

32

3

32

x

x

x x x

α

α

α

=

=

∆ = − =

.

(d) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre 0x = e 1x α= ?

(e) Mostre que a função de onda, no espaço do momento linear, é

( )3

0 2

4 12

ppi

απ

αΦ = −

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(f) Com base no resultado da alínea anterior, mostre que se tem

( )

2 2 2

1 222

0p

p

p p p

α

α

=

=

∆ = − =

de modo que a relação de incerteza, neste caso, se escreve

3

2 2x p∆ ∆ = > .

Nota: Define-se a função ( )xΓ como sendo o integral

( ) 1

0

x tx t e dt∞ − −Γ = ∫ .

Com n inteiro, vem ( )1 !n nΓ + = . Em particular, ( ) ( )1 2 1Γ = Γ = . Tem-se ainda

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ,

sinx x x x x

x xππ

Γ + = Γ Γ − Γ = − .

Na figura anexa (página seguinte) representa-se graficamente esta função.


75

Função ( )xΓ .

Problema 5

Uma partícula livre de massa m encontra-se no estado inicial

( ) ( )2

0 0 2,0 exp2xx x Ua

⎛ ⎞Ψ = Ψ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

(a) Comece por mostrar que

20

1Uaπ

= .

(b) Mostre, então, que

( )2

1 22

2

1, exp2 1

xx ttt a ia i m am a

π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Ψ = −⎢ ⎥⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

.

(c) Mostre que a incerteza da posição é dada por

212

a txm a

⎛ ⎞∆ = + ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

(d) Determine ( ),p tΦ e calcule p∆ em função do tempo.

76 Carlos R. Paiva

Sugestão: ( )2

2exp exp4bax bx d x

a aπ∞

−∞

⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ .

Problema 6

Considere o seguinte problema de valores próprios:

( ) ( ) ( ), 2dui u u ud

λ θ θ θ πθ= = + .

(a) Mostre que ( ) ( ) ( )0 expu u iθ λθ= − .

(b) Mostre que os valores próprios são tais que ( )exp 2 1iπ λ− = , pelo que

0, 1, 2,λ = ± ± … .

(c) Mostre que as funções próprias são

( ) ( )1 exp2nu i nθ θπ

= .

(d) Pelo postulado da expansão, tem-se

( ) ( )n nn

c uθ θ∞

=−∞

Ψ = ∑ .

Admitindo, porém, que

( ) ( )20 cosθ θΨ = Ψ ,

mostre que os únicos termos não nulos da expansão correspondem a 2c− , 0c e 2c .

(e) Mostre que, de acordo com a alínea anterior,

04

3πΨ = .

Sugestão: Não necessita de calcular qualquer integral se tiver em consideração que

2 1nn

c∞

=−∞

=∑ .

(f) Calcule a probabilidade de uma medida do estado quântico ( )θΨ corresponder ao

valor próprio 2n = − , i.e., ( ) 222P c−− = .


77

Problema 7

Uma partícula está encerrada numa caixa unidimensional de potencial no intervalo 0 x a< < .

As funções próprias são nulas fora da caixa e, dentro da caixa, tem-se

( ) 20 sinnn xx a u x

a aπ⎛ ⎞≤ ≤ → = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

correspondendo aos valores próprios da energia (com 1, 2, 3,n = …)

2 2 2 2

222 2n

k nm a mπε ε= → = =E .

Admita, então, que a função de onda é

dada pela expressão

( )0

0

0

, 02

1 ,2

x aU xa

xx aU x aa

⎧< <⎪⎪Ψ = ⎨

⎛ ⎞⎪ − < <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

em que 0 12U a= . Determine a

probabilidade de uma medida da energia

da partícula dar o valor próprio 2

n n ε=E .

Solução:

2

24 4

par 0

96 ímpar

n n

n n

n P c

n P cnπ

→ = =

→ = =. Nota:

4

41

190n nπ∞

=

=∑ .

( ) 00V x

x a=

< <( )

0V x

x= ∞

<

( )V xx a

= ∞>

0x = x a=

x

x

( )0 xΨ

0 2a a

0

2U

78 Carlos R. Paiva

Problema 8

Mostre que, quer na representação da posição quer na representação do momento linear, se

verifica sempre a relação de comutação

[ ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,x p x p p x i= − = .

Nota:

êspaço da posição

ôperadores

êspaço do momento

ˆ

x x

p ix

x ip

p p

=→

∂= −

∂→

∂=

∂→

=

Problema 9

A equação de valores próprios do operador p (no espaço da posição)

( ) ( )ˆ pp p

dup u x i p u x

d x= − =

admite, como soluções, um espectro contínuo p−∞ < < ∞ com as correspondentes funções

próprias

( ) 1 exp2p

pu x i xπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Mostre que, nestas condições, se tem a relação de ortonormalidade

( ) ( ) ( )1 2 1 2p pu x u x d x p pδ

∞∗

−∞

= −∫

e ainda

( ) ( ) ( )0 0 px p u x d p∞

−∞

Ψ = Φ∫ .

Sugestão: ( ) ( )1 2 1 2exp 2i p p x d x p pπ δ∞

−∞

⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .


79

Problema 10

Considere o poço quântico de potencial representado na figura junta. Sejam 2 2 2k m= E e

( )2 202q m V= +E , em que E é a energia da partícula.

(a) Para uma partícula propagando-se no sentido positivo do eixo x , mostre que

C D R DD C T C

∗

∗

− ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

,

em que R é o coeficiente de reflexão e T o coeficiente de transmissão. Determine,

ainda, as expressões de C e D em função de k , q e a .

(b) Com base nos resultados da alínea anterior, mostre que

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2

2 2

sin 2

2

2 cos 2 sin 2

i k a

i k a

R i q k q a e

T q k e

q k q a i q k q a

−

−

= − ∆

= ∆

∆ = − +

.

(c) Para que valores da energia E da partícula é que o coeficiente de reflexão se anula?

(d) Explique como poderia obter as equações ( )tanq q aα = e ( )cotq q aα = − , para os

estados confinados (resp., pares e ímpares), a partir dos resultados obtidos

anteriormente.

( )V x

x a= − x a=

0VT

1

R AB

x

80 Carlos R. Paiva

Problema 11

Considere uma partícula no duplo poço quântico de potencial representado na figura em

anexo.

2 2

0

2 2

2

2

qVm

mα

+ =

= −

E

E

Atendendo à simetria da estrutura vão

existir modos confinados pares e

ímpares. Mostre que

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

2 2

2 2

1 tanhmodos pares tan

tanh

1 cothmodos ímpares tan

coth

q bq a b

q b

q bq a b

q b

α αα α

α αα α

+⎡ ⎤⎣ ⎦→ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ −

+⎡ ⎤⎣ ⎦→ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ −

.

Analise o caso particular em que 0b → .

Problema 12

Considere o duplo fosso de potencial descrito por (com g adimensional)

( ) ( ) ( )2

2m gV x x a x aa

δ δ= − − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

e faça, para estados confinados,

22

2 0mα = − >E .

Mostre que as soluções correspondentes a esses estados confinados se podem classificar em

modos pares e ímpares, tais que

( )

( )1

modos pares tanh 1

modos ímpares tanh 1

g

ag

ξξ

ξ α

ξξ

−

→ = −

= →⎛ ⎞

→ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

a− b− b a

0V

x

( )V x


81

e discuta a resolução gráfica destas equações. Compare os resultados obtidos com a análise

desenvolvida no problema anterior.

Problema 13

Um modelo aproximado para um átomo de massa m próximo de uma parede pode ser

descrito por uma energia potencial (com 0 0V > )

( ) ( )( )

0 , ,, .

V x V x x dV x x d

δ= − > −= ∞ < −

Mostre que ( )20 2V d m> para que exista um estado confinado.

Sugestão: Faça 2 22 0mα = − >E , em que 0<E representa a energia do estado confinado e

comece por mostrar que se tem ( )0 1 exp 2y dα α= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ , onde 20 0y m V= . Então, para

determinar a solução 0α α= , considere o plano y vs α− − e obtenha graficamente o valor de

0α pela intersecção da recta y α= com a curva ( )0 1 exp 2y y dα= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Problema 14

Pretende-se, neste problema, apresentar uma demonstração do teorema de Bloch (também

conhecido por teorema de Floquet). Comecemos, então, por definir o operador deslocamento

âD tal que ( ) ( )ˆ

aD f x f x a= + . Consideremos a equação de Schrödinger independente do

tempo

( ) ( )H x xΨ = ΨE

que é a equação de valores próprios do operador hamiltoniano dado pela expressão

( )2 2

2ˆ

2dH V x

m d x= − + .

Suponhamos, por hipótese, que a energia potencial é periódica de período a , i.e., que

( ) ( ) ( ) ( )âV x a V x D V x V x+ = → = .

(a) Notando que ˆ ˆ ˆ ˆ 1a a a aD D D D− −= = , prove que a forma genérica do valor próprio aλ , na

equação de valores próprios ( ) ( )â aD f x f xλ= , é ( )expa i q aλ = com q∈ .

82 Carlos R. Paiva

(b) Façamos, agora, por definição ( ) ( ) ( )expu x i q x x= − Ψ . Mostre, então, que a função

( )u x assim definida é também periódica de período a , i.e., que

( ) ( ) ( ) ( )ˆau x a u x D u x u x+ = → = .

Provou-se, deste modo, o teorema de Bloch segundo o qual

( ) ( ) ( )teorema de Bloch expx a i q a x→ Ψ + = Ψ

de forma que ( ) ( )2 2x a xΨ + = Ψ .

Problema 15

Pretende-se, neste problema, resolver o problema quântico do oscilador harmónico

unidimensional. Comecemos por considerar a equação de Schrödinger independente do tempo

( ) ( )2

2 2

2 0d u m V x u xd x

+ − =⎡ ⎤⎣ ⎦E

que é, como é sabido, equivalente à equação de valores próprios do operador hamiltoniano

( )2ˆˆ ˆ,

2p dH V x p im d x

= + = − .

Consideremos, então, o potencial harmónico

( ) 2 2 21 12 2

k V x k x m xm

ω ω= → = = .

(a) Introduzindo as variáveis adimensionais

2

m x

εω

ωξ

=

=

E

mostre que a equação de Schrödinger se reescreve na forma

( ) ( )2

22 0d u u

dε ξ ξ

ξ+ − = .

(b) Notando que a última equação diferencial é a equação de valores próprios

( ) ( )2

22

ˆ ˆdL Lu ud

ξ ξ ε ξξ

= − + → =

mostre que, ao valor próprio 1ε = , corresponde a função própria gaussiana


83

20 0

11 exp2

uε ξ⎛ ⎞= → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.


( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2

d d u d d duud d d d d

d du u ud d

ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ±⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∓ ∓

∓ ∓

para qualquer função própria de L .

(d) Usando as duas relações obtidas na alínea anterior, mostre que

( ) ( ) ( )2

22 2 0d d du u

d d dξ ξ ε ξ ξ ξ

ξ ξ ξ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎡ ⎤+ ± − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∓ ∓

o que significa que, aos valores próprios ( )2ε ± , correspondem as funções próprias

( )2 d ud

ε ξ ξξ

⎛ ⎞± → ⎜ ⎟

⎝ ⎠∓ .

(e) O resultado obtido na alínea anterior permite obter todas as funções próprias a partir da

gaussiana ( )0u ξ . Verifique, com efeito, que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21 0 1 1

2 22 1 2 2

3 22 2 3 3

13 2 exp2

15 4 2 exp2

17 8 12 exp2

d u u ud

d u u ud

d u u ud

ε ξ ξ ξ ξ ξ ξξ

ε ξ ξ ξ ξ ξ ξξ

ε ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

tendo-se, em geral,

1 10,1, 2, 22 2n nn n nε ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠E…

a que corresponde a função própria

( ) ( ) 21H exp2n n nu cξ ξ ξ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

onde ( )Hn ξ é o ésimon − polinómio de Hermite tal que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20H 1, H 1 exp expn

n n

dd

ξ ξ ξ ξξ

⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦ .

84 Carlos R. Paiva

Os primeiros cinco polinómios de Hermite são

( )( )( )( )( )

0

12

23

34 2

4

H 1H 2

polinómios de Hermite H 4 2H 8 12H 16 48 12

ξξ ξξ ξξ ξ ξξ ξ ξ

==

→ = −= −= − +

.

Verifica-se, deste modo, que o operador ( )d d ξ ξ− é um operador de «subida» (ou de

«criação») na medida em que permite obter uma função própria de L de ordem 1n + a

partir da função própria de ordem n . Analogamente, o operador ( )d d ξ ξ+ é um

operador de «descida» (ou de «aniquilação») na medida em que permite obter uma

função própria de L de ordem 1n − a partir da função própria de ordem n . Sublinhe-

se, ainda, que ao modo fundamental (i.e., o modo de ordem 0n = ) não corresponde

uma energia nula mas sim uma energia

01energia do nível 02

n ω= → =E .


85

(f) As constantes de normalização nc devem ser tais que se verifiquem as relações de

ortonormalidade

( ) ( )1,0,j k j k

j ku x u x d x

j kδ

∞∗

−∞

=⎧= = ⎨ ≠⎩

∫ .

Nestas condições mostre que

( ) ( )1 4

1 22 22 ! exp H2

nn n

m m mu x n x xω ω ωπ

−− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Nota: Em teoria quântica do campo electromagnético, cada modo de oscilação é associado a

um modo do oscilador harmónico quântico. A radiação e absorção de radiação é então

interpretada como a criação ou a aniquilação (respectivamente) de um fotão, i.e., de um

quantum de radiação electromagnética de energia ω .

Os primeiros cinco níveis de energia de um oscilador harmónico quântico.

0

1

2

3

4

12

ω

92

ω

72

ω

52

ω

32

ω

0

nEn

criação de um fotão

aniquilação de um fotão

86 Carlos R. Paiva

Problema 16

Consideremos o caso do perfil de potencial indicado na figura anexa em que ( )V x g x= .

A equação de Schrödinger independente do tempo assume então a forma

( )2

2 2

2 0d u m g x u xd x g

⎛ ⎞− − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

E .

Dada a simetria do problema as soluções podem ser classificadas em pares e ímpares: as

soluções pares correspondem a ter-se ( )0 0eu′ = ; as soluções ímpares correspondem a ter-se

( )0 0ou = . Assim, apenas temos que considerar a equação para 0x > , i.e.,

( )2

2 2

2 0d u m g x u xd x g

⎛ ⎞− − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

E

(a) Mostre que, se se introduzir a mudança de variável

( )1 3

2

2m ga x ag

ξ ⎛ ⎞= → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

E

a equação de Schrödinger se transforma em

( )2

2 0d u ud

ξ ξξ

− = .

As soluções admissíveis da equação anterior são dadas pela função de Airy

( ) ( )Aiu ξ ξ=

pelo que as funções próprias serão

( )1 3

2

2Ai nn

m gu x xg

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

E .

x

( )V x g x=


87

(b) Note que, no caso das funções pares,

( )1 3

2 2

20 Ai 0n nmu

g

⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′= − =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦E ,

enquanto que, no caso das funções ímpares,

( )1 3

2 2

20 Ai 0n nmu

g

⎡ ⎤⎛ ⎞= − =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦E .

Calcule os valores próprios da energia em unidades de ( )1 32 2g m .

Sugestão:

( )Ai 0x′ = ( )Ai 0x =

1.0188− 2.3381−

3.2482− 4.0879−

4.8201− 5.5206−

6.1633− 6.7867−

7.3722− 7.9441−

88 Carlos R. Paiva

Sumário: Problemas sobre guias ópticos planares.

Problema 1

Considere a placa dieléctrica de índice de refracção 1n imersa num meio de índice de

refracção 2n (com 2 1n n< ), ou seja,

( )2122

,,

n x dx

n x dε

⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩,

com uma espessura 2 d . Despreze as perdas dieléctricas e note que a estrutura é uniforme e

ilimitada ao longo de y pelo que, considerando ondas electromagnéticas da forma

( )exp i z tβ ω−⎡ ⎤⎣ ⎦ , se tem

ˆ ˆ,i it x

ω β∂ ∂− ∇ +

∂ ∂x z .

(a) Explique por que razão é que, nesta estrutura, os modos se podem classificar em pares e

ímpares.

(b) Explique o que significa falar, nesta estrutura, em modos superficiais.

1n

2n

2n

X

Z

d

d


89

(c) Mostre que, para os modos TE, se tem

0

0

1

x y

yz

H E

EH i

x

βωµ

ωµ

⎧ = −⎪⎪⎨ ∂⎪ = −⎪ ∂⎩

onde a componente de suporte yE observa a equação diferencial

( )2

22 0y

x y

Ek x E

x∂

+ =∂

tendo-se, para os modos superficiais,

( ) ( )2 2 2 2

1 02 2 20 2 2 2 2

2 0

,,x

h n k x dk x x k

n k x dβ

ε βα β

⎧ = − ≤⎪= − = ⎨ − = − >⎪⎩

onde β é a constante de propagação longitudinal, h a constante de propagação

transversal no meio de índice de refracção 1n e α a constante de atenuação transversal

no meio de índice de refracção 2n . Como sempre admite-se que

0 0 0kcω ω ε µ= = .

(d) Interprete geometricamente as expressões 2 2 2 21 0h n k β= − e 2 2 2 2

2 0n kα β= − em termos da

interface x d= .

x d= →

2 0n k

1 0n k

X

β β

q

h

2θ

1θ 1θ

90 Carlos R. Paiva

Sugestão: Note que 1 0 1 2 0 2sin sinn k n kβ θ θ= = , 1 0 1cosh n k θ= e 2 0 2cosq n k θ= . Note ainda

que, para 12 cπ θ θ< ≤ com ( )12 1sinc n nθ −= , se tem 2 2 iθ π ξ= − (com 0ξ > ) e

2 0 1 0n k n kβ≤ < . Mostre, nestas circunstâncias, que q iα= com 2 0 sinhn kα ξ= tendo-se

também 2 0 coshn kβ ξ= . Interprete fisicamente este resultado. Que interpretação, em termos

da estrutura considerada, deve ser dada à situação 10 cθ θ≤ < correspondente ao intervalo

2 00 n kβ≤ < ? Os modos evanescentes, com ziβ α= , em que situação se enquadram nesta

interpretação geométrica?

(e) Mostre que, para os modos TM, se tem

( )

( )

0

0

1

x y

yz

E Hx

HE i

x x

βωε ε

ωε ε

⎧ =⎪⎪⎨ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

onde a componente de suporte yH observa a equação diferencial

( )2

22 0y

x y

Hk x H

x∂

+ =∂

.

(f) Introduzindo as variáveis adimensionais u h d= , w dα= e 2 20 1 2v k d n n= − , mostre que

– tanto para os modos TE como para os modos TM – se tem

2 2 2u w v+ = .

(g) Mostre que a equação modal, no caso dos modos TE pares, é dada por

pmodos TE tanw u u→ = .

(h) Mostre que a equação modal, no caso dos modos TE ímpares, é dada por

imodos TE cotw u u→ = − .

Mostre graficamente que o corte do modo 1iTE corresponde a 2cv π= .

(i) Mostre que a equação modal, no caso dos modos TM pares, é dada por

2

p 221

modos TM tannw u un

→ = .

(j) Mostre que a equação modal, no caso dos modos TM ímpares, é dada por


91

2

i 221

modos TM cotnw u un

→ = − .

(k) Introduzindo um índice de refracção modal n tal que

0

nkβ

=

mostre que o parâmetro adimensional

2 2

2 21 u wbv v

= − =

pode ainda ser escrito na forma alternativa

( )2 2

2 2 222 1 22 2

1 2

n nb n n b n nn n

−= → = + −

−.

(l) Represente graficamente b vs v− − para os modos TE (pares e ímpares) da placa

dieléctrica.

Sugestão: Note que, para os modos pares, a equação modal tem a forma

( ) 2 2 2cos 0f u u v u= − = enquanto que, para os modos ímpares, esta equação assume a forma

( ) 2 2 2sin 0f u u v u= − = .

92 Carlos R. Paiva

Problema 2

Considere a placa dieléctrica assimétrica de espessura t representada na figura junta. O índice

de refracção do núcleo é 2n , o índice de refracção da bainha é 3n e o índice de refracção do

superstrato é 1n . Tem-se 2 1n n> e 2 3n n> .

(a) Para ondas electromagnéticas com a forma ( )exp i z tβ ω−⎡ ⎤⎣ ⎦ mostre que as únicas

componentes não nulas dos modos superficiais TE são ( ), ,y x zE H H , tendo-se

( )2

022

0

01

x yy

yy

z

H EE

x EEx

H ix

βω µ

κ

ω µ

= −∂

+ = →∂∂

= −∂

enquanto que, para os modos TM, as únicas componentes não nulas são ( ), ,y x zH E E

com

( )( )

( )

2202

2

20

01

x yy

yy

z

E En xH

x HEx

E in x x

βωε

κ

ωε

=∂

+ = →∂∂

=∂

( ) ( ) ( )1

2 2 2 20 2

3

, 0, 0,

n xx n x k n x n t x

n x tκ β

>⎧⎪= − → = − < <⎨⎪ < −⎩

.

3n

1n

2n z

x

t

0x =

x t= −


93

(b) Fazendo 2 2 2 22 0h n k β= − , 2 2 2 2

1 1 0n kα β= − e 2 2 2 23 3 0n kα β= − , mostre que as equações

modais dos modos superficiais são:

( ) ( )

( ) ( )

1 32

1 3

2 2 2 22 3 1 1 2 3

2 2 2 41 3 2 1 3

modos TE tan

modos TM tan

hht

h

h n n n nht

n n h n

α αα α

α α

α α

+→ =

−

+→ =

−

.

(c) Mostre que nenhum modo superficial se propaga desde que

1 22 2

2 2 1 3 10 2 3 2 2

2 3

0 tan n nv k t n n vn n

− ⎛ ⎞−= − → < < ⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

(d) Qual é a condição que deve observar a frequência normalizada v de forma que o regime

seja monomodal?

(e) Mostre que, sendo cλ o comprimento de onda de corte de um dado modo superficial, se

tem

1 22 21 3 1

m 2 22 22 32 3

1 22 221 3 12

m 2 2 22 21 2 32 3

1modos TE tan2

1modos TM tan2

c

c

n nt mn nn n

n nnt mn n nn n

πλ π

πλ π

−

−

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪→ = +⎨ ⎬⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪ ⎪⎢ ⎥→ = +⎨ ⎬⎜ ⎟−⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

.

(f) Para 1 1n = , 2 2n = e 3 1.7n = represente graficamente o índice de refracção modal

0n kβ= em função de t λ para os modos superficiais que se podem propagar.

Considere o intervalo 0 2.5t λ< < .

94 Carlos R. Paiva

Problema 3

No caso de uma placa dieléctrica simétrica como a da figura anexa, podemos repetir a análise

do problema anterior desde que se faça 1 3n n= , 1 3α α α= = e 2t d= .

(a) Notando, porém, que 0x = é um plano de simetria, é possível classificar os modos

superficiais em modos pares e ímpares. Assim, definindo as variáveis adimensionais

u h d= e w dα= , mostre que se tem

( )( )

modos TE pares tanmodos TE ímpares cot

w u uw u u

→ =→ = −

e ainda

( )

( )

2122

2122

modos TM pares tan

modos TM ímpares cot

nw u un

nw u un

→ =

→ = −

onde

2 2

0 2 1

2 2 2

v k d n n

u w v

= −

+ =.

(b) Assim, no caso dos modos TE, é possível dizer que a equação modal mais geral será

( ) ( )cot tan 0w u u w u u+ − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Usando a igualdade trigonométrica

2n

1n

1n

x d=

x d= − z

x


95

( ) ( )( )2

2 tantan 2

1 tanx

xx

=−

mostre que esta equação modal mais geral pode ser reescrita na forma

( ) 2 2

2modos TE tan 2 u wuu w

→ =−

que se reduz a

( ) 2 2

22 tan ht d hth

αα

= → =−

em conformidade com o resultado obtido na alínea (b) do problema anterior. Mostre,

ainda, que – de forma análoga – a equação mais geral para os modos TM assume a

forma

( ) ( )2 2 2 21 2 1 2

4 2 4 2 4 2 4 21 2 1 2

2 2modos TM tan 2 tann n u w n n hu htn u n w n h n

αα

→ = → =− −

que, mais uma vez, pode ser comparada com o resultado obtido na alínea (b) do

problema anterior.

(c) Represente graficamente o índice de refracção modal 0n kβ= em função da

frequência normalizada v para os modos superficiais que se podem propagar no

intervalo 0 6v< < . Considere 1 1.5n = e 2 2n = .

(d) Definindo um índice de refracção modal normalizado

2 2

22 21 2

n nbn n

−=

−

mostre que

2

2

11

u v bubv w v b

= −= − →

=.

Explique fisicamente porque é que 0 1b≤ < para um dado modo superficial.

96 Carlos R. Paiva

Problema 4

Considere a interface 0x = entre um dieléctrico com 21 0n > (e.g., o ar) e um metal modelado

(em frequências ópticas) por um plasma com um índice de refracção

2

22 21 0pn

ωω

= − <

tal como se indica na figura anexa.

Como se trata de um modo superficial (conhecido por plasmão) as constantes de atenuação

transversal 2 2 21 1 0n kα β= − e 2 2 2

2 2 0n kα β= − têm de ser ambas positivas.

(a) Mostre que é possível a propagação de um modo superficial TM cuja equação modal é

2 2 2 21 2 2 1 0n nα α+ =

desde que 2 22 1n n< − . Note que, para o caso do ar (em que 1 1n = ), isto significa que

deverá ter-se 2pω ω< . Sugestão: Comece por mostrar que a constante de

propagação longitudinal é dada pela expressão

2 21 2

02 21 2

n n kn n

β =+

.

(b) Mostre que, quando 1 1n = , o índice de refracção modal 0n kβ= é dado por

2

2

11 2p

nωω

−ΩΩ = → =

− Ω

22 0n <

21 0n >

z

x


97

e represente graficamente n vs− −Ω no intervalo 0 1 2< Ω < .


41

1 02 21 2

1 242

2 02 21 2

0

0

n kn n

n kn n

α

β α α

α

= − >+

→ =

= − >+

.

98 Carlos R. Paiva

Sumário: Problemas sobre teoria modal das fibras ópticas.

Problema 1

Numa fibra óptica de perfil em degrau, como a indicada na figura anexa, define-se a abertura

numérica NA como sendo ( )NA sin Aθ= . Designa-se por Aθ o valor máximo do ângulo que

um raio, proveniente do ar e incidente à entrada em 0z = , pode fazer com o eixo da fibra.

Mostre que se tem

( ) ( )( )

1 2 21 2 1

1 2

sin sinNA 2

sinA n

n n nn n

θ θφ=

→ = − = ∆=

onde o contraste dieléctrico da fibra óptica é

2 21 2

212

n nn−

∆ = .

0z =

1n = r a=

r a=

2n

1n

2n

z Aθ

φθ


99

Problema 2

A figura anexa ao problema anterior permite fazer uma estimativa grosseira da dispersão

intermodal numa fibra óptica de perfil em degrau, i.e., em que

( ) 1

2

,,

n r an r

n r a≤⎧

= ⎨ >⎩.

Com efeito, para uma fibra de comprimento L , o valor máximo da diferença de tempos de

percurso entre raios é, considerando como razoável que a velocidade de propagação é dada

por 1c n ,

( )

1 1 1

2

1sin

n n nL Lc L c n

ττφ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞∆∆ = − → = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦.

Para uma fibra óptica multimodal, em que 2 1.45n = , pretende-se limitar a dispersão

intermodal a 10 ns/km . Qual é a respectiva abertura numérica? E qual é o valor máximo do

débito binário para uma distância de transmissão 10 kmL = ?

Problema 3

(a) Para 5 µma = , 2 1.5n = e 1µmλ = , determine o valor máximo do índice de refracção

do núcleo para que a fibra óptica seja monomodal. Solução: 1 1.50195n = .

(b) Para 1 1.501n = , 2 1.500n = e 1µmλ = , determine o valor máximo do raio do núcleo

para que a fibra óptica seja monomodal. Solução: 7 µma = .

Problema 4

Considere uma fibra óptica cujo contraste dieléctrico é 1%∆ = . Para uma frequência

normalizada 10v = , determine quais os modos superficiais que se podem propagar e os

respectivos cortes cv . Não considere a aproximação de pequeno contraste dieléctrico

correspondente aos modos LP.

100 Carlos R. Paiva

Problema 5

Considere uma fibra óptica em que o índice de refracção do núcleo é 1 1.5n = . Represente

graficamente o contraste dieléctrico

2 21 2

212

n nn−

∆ =

em função do raio a do núcleo para 1.3 mcλ µ= e 1.55 mcλ µ= . Designa-se por cλ o

comprimento de onda de corte do segundo modo LP (i.e., do modo 11LP ). Note que, para que

o regime seja monomodal, é necessário que cλ λ≤ .

Problema 6

Seja P a potência total transportada numa fibra óptica operada no modo LPpn e designemos

por 1P a fracção dessa potência que flui através do núcleo. A potência contida na bainha é,

obviamente, 2 1P P P= − . Mostra-se que

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 21

21 1

K1 1

K Kp

p pp p

w P uw ww w P v

ξ ξ− +

⎡ ⎤= → Γ = = − −⎣ ⎦

onde Γ é o factor de confinamento de potência. Represente graficamente 1P P vs v− − no

intervalo 0 10v< < para os modos LP que se podem propagar. Para o modo fundamental


101

01LP e, considerando 1.2 2.4v< < , compare os valores obtidos através desta expressão com

os obtidos através da aproximação gaussiana em que

2 2

2eff

2 21 exp 1 expa aw A

π⎛ ⎞⎛ ⎞Γ = − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

No intervalo 1.2 2.4v< < é razoável considerar a aproximação de Marcuse

3 2 60.65 1.619 2.879w v va

− −≈ + + .

Nota: A área efectiva é dada por 2effA wπ= . Este parâmetro dá-nos, portanto, uma ideia do

confinamento de potência no interior do núcleo.

Problema 7

Considere uma fibra óptica de perfil triangular, em que ( )f R R= para 0 1R≤ ≤ e ( ) 1f R =

para 1R ≥ . Pretende-se que o factor de confinamento da potência seja ( )1 /e eΓ = − . Para

1.55µmλ = , 1 1.46n = e 0.25%∆ = , determine o valor de a . Recorda-se aqui que R r a= ,

tendo-se ( ) ( )2 21 1 2n R n f R= − ∆⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Sugestão:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2

0

exp exp erf2 4

2erf exp

erf 1 0.842701

x

xx x d x x x

x t dt

π

π

− = − − +

= −

=

∫

∫ .

102 Carlos R. Paiva

Problema 8

Considere uma fibra óptica de índice de refracção ( )n r em que ( )F r é a função modal

transversal do modo fundamental.

(a) Sendo ( ) ( ) 0 0N r n r k n k= + ∂ ∂ o índice de grupo do dieléctrico, mostre que

( ) ( ) ( )

( )

22

0

2

0

p g

n r N r F r r d rc

v vF r r d r

∞

∞=∫

∫.

Note que a expressão que relaciona 2β com ( )F r é variacional e que, portanto, ao

calcular 20kβ∂ ∂ , se deve ignorar a dependência de ( )F r com 0k .

(b) Admita, agora, o perfil do índice de refracção

( )2

2 21 1 2 rn r n

a⎡ ⎤⎛ ⎞= − ∆⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦.

Usando a aproximação gaussiana, determine o índice modal normalizado ( )b b v= e

represente-o graficamente. Comente a validade do resultado.

(c) Desprezando a dispersão material, mostre que o índice de grupo é dado por

1 1 2gn nv∆

= − .

Sugestão:

• ( ) ( )2 21exp exp2

x a x d x a xa

− = − −∫

• ( ) ( )3 2 2 21 1exp exp2

x a x d x x a xa a⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .


103

Problema 9

Considere o acoplamento entre dois núcleos idênticos imersos numa bainha comum. Ambas

as “fibras” são operadas em regime linear monomodal. Admita que 3.5 ma µ= , 0.5%∆ = ,

1 1.46n = e 02 / 1.55 mcλ π ω µ= = .

(a) Determine a distância · entre os eixos dos dois núcleos de forma que o acoplador tenha

um comprimento half-beat C HL L= com 20cmHL = . Tem-se

( )02HL

Cπω

= .

Solução: ( )21.02 µm 6.0061s= =· .

(b) Nas condições da alínea anterior, represente graficamente ( ) ( )2cos Ct C Lλ λ= ⎡ ⎤⎣ ⎦ e

( ) ( )2sinx Ct C Lλ λ= ⎡ ⎤⎣ ⎦ no intervalo 1.3 m 1.8 mµ λ µ≤ ≤ .

Sugestão: Note que, se se definir s a= · (com 2s ≥ ), o coeficiente de acoplamento é dado

pela expressão

( )( )

20

3 21

K2K

s wuCa v w∆

=

em que, como é sabido, 1u v b= − e w v b= . Note ainda que, para o modo fundamental

01LP , se tem a equação modal

( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1J K J Ku u w w u w= .

x

y

2a≥

1n1n

2n

aa

fibra 1 fibra 2

104 Carlos R. Paiva

Problema 10

Considere um agregado linear de três fibras ópticas idênticas. Seja C o coeficiente de

acoplamento entre duas fibras quaisquer adjacentes e despreze o acoplamento entre as fibras 1

e 3. Designe por β a constante de propagação longitudinal em cada fibra.

(a) Determine as constantes de propagação dos três supermodos.

(b) Sendo ( ),nB z ω as envolventes dos modos elementares associados a cada guia

individual (com 1 3n≤ ≤ ) e ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , ,T

z B z B z B zω ω ω ω⎡ ⎤= ⎣ ⎦B , determine a

matriz de transferência ( ),z ωT tal que ( ) ( ) ( ), , 0,z zω ω ω= ⋅B T B .

a a a

y

x

1 2 3


105

(c) Para ( ) ( )2 30, 0, 0B Bω ω= = , defina (com 1 3n≤ ≤ ) os coeficientes de transmissão

( ) ( ) ( )2

1, , / 0,n nt z B z Bω ω ω= . Represente graficamente (assinalando os pontos

notáveis), 1t , 2t e 3t para 0 Bz L≤ ≤ , com ( )0/ 2BL Cπ ω= em que 0ω é a frequência

nominal. Mostre que ( ) ( ) ( )1 0 2 0 3 0, , , 1t z t z t zω ω ω+ + ≡ .

106 Carlos R. Paiva

Sumário: Problemas sobre propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais (regime

linear).

Problema 1

Seja ( ) ( )0expA t i tω− um impulso emitido por um laser semicondutor modulado

directamente pela corrente de injecção. Admita que o factor de Henry é 5cβ = . Então,

definindo um parâmetro C do chirp tal que cC β= − , considere que à entrada 0z = da fibra

óptica se tem

( ) ( ) ( ) ( )0 0, ,0, , 0, expzE x y t E F x y A t i tω= −

com

( )2

00

10, exp2iC tA t A

τ

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

(a) Mostre que o desvio dinâmico de frequência é

( ) 20

Ct tδωτ

= .

(b) Sendo ( )A ω a transformada de Fourier de ( )A t , com

( ) ( ) ( )expA A t i t dtω ω∞

−∞

= −∫ ,

mostre que

2

0

1 Cω

τ+

∆ = ,

onde ω∆ é a meia-largura definida para 1/ e do valor máximo de ( )2

A ω . Para

0 100 psτ = , calcule / 2f ω π∆ = ∆ com e sem chirp. Comente sobre as implicações que a

existência de chirp pode ter sobre a propagação de um impulso ao longo de uma fibra

óptica.


107

Sugestão: note que

( )2

2exp exp4ba x b x dx

a aπ∞

−∞

⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ .

Problema 2

Considere, à entrada 0z = de uma fibra óptica monomodal operada em regime linear, o

impulso gaussiano

( )2

00

10, exp2iC tA t A

τ

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

em que 0A é a amplitude do impulso e cC β= − o parâmetro do chirp ( cβ é o factor de

Henry). Admita que 3 0β = .

(a) Sendo ( ) ( )1 0, /z t t zτ β τ= − e 20 2/DL τ β= , mostre que

( ) ( )( )( )

222 0

2

,, exp

z tAA z tz z

τη η

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦, com ( ) ( )

2 2

21 sgnD D

z zz CL L

η β⎡ ⎤ ⎛ ⎞

= + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

.

(b) Represente graficamente ( )zη em função da variável normalizada / Dz Lζ = para

0 2ζ≤ ≤ . Admita que ( )2sgn 1β = − e ainda que 0, 2C = ± .

108 Carlos R. Paiva

(c) Para 2 0Cβ < mostre que a largura mínima do impulso é 0min 21 C

ττ =+

. Calcule o

ponto minz z= onde ocorre essa largura mínima.

(d) Definindo o valor máximo do ritmo binário como sendo 0 01/ 2B τ= , mostre que

( ) ( )

( )2 2

220 2

2

sgn 1 1

4 1

C CB L

C

β η

β

− + + −=

+

para z L= . Represente graficamente 20B L em função de C no intervalo 6 6C− ≤ ≤ .

Admita que 1.25η = e 22 20ps /kmβ = − .

Sugestão: Note que

( )2

2exp exp4ba x b x dx

a aπ∞

−∞

⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ .


109

Problema 3

Num sistema de comunicação óptica operado em regime linear, despreza-se a largura

espectral do laser monomodal. Admita um alargamento temporal dos impulsos de 25%.

(a) Quando se despreza a dispersão de ordem superior ( )3 0β = , qual é o valor maxC C= do

parâmetro do chirp que maximiza, para a zona de dispersão anómala, o produto 2B L ?

Calcule, para 0 2γ = e 22 20ps /kmβ = − , esse valor máximo em ( )2Gb/s km⋅ .

(b) Repita a alínea anterior, mas agora para 22 2ps /kmβ = .

(c) Mostre que, quando 2 0β = , o produto 3B L varia inversamente com 21 C+ . Para uma

distância 1000kmL = , 33 1ps /kmβ = , 0 2γ = e 2C = , calcule o débito binário B .

Problema 4

Admita que o coeficiente 2β de uma fibra óptica varia linearmente com λ no intervalo

1.0 m 1.6 mµ ≤ λ ≤ µ .

(a) Fazendo Dx = λ λ , mostre que ( ) ( )2D DD x S x xλ= − . Determine, ainda, a expressão

de ( )S x exclusivamente em função dos parâmetros Dλ e DS .

(b) Calcule o valor do parâmetro ( )2ps km nmDS ⎡ ⎤⋅⎣ ⎦ . Sabe-se que ( )10 ps km nmD = ⋅

para 1.55 mλ = µ . Considere, ainda, 1.4 mDλ = µ .

(c) Qual é o valor de 22 ps kmβ ⎡ ⎤⎣ ⎦ para 1.55 mλ = µ ?

(d) Mostre que ( )ln 1g D x x xτ τ τ= + + − e determine xτ exclusivamente em função dos

parâmetros Dλ e DS . O que representa Dτ ? Nas mesmas condições das alíneas

anteriores, determine a diferença entre os tempos de transmissão de dois impulsos com

portadoras em 1 1.06 mλ = µ e 2 1.32 mλ = µ . Considere uma distância de transmissão

10 kmL = .

110 Carlos R. Paiva

Problema 5

Num sistema de comunicação óptica de comprimento L , operado em regime linear, são

transmitidos impulsos que, à entrada em 0z = , têm a forma ( ) ( )0 00, sechA t A t τ= .

(a) Qual deve ser o valor de 0A para que ( ) 20, 1A t dt

∞

−∞= =∫E ?

(b) Mostre que a largura efectiva (r.m.s.) dos impulsos à entrada é 0 0 2 3σ π τ= .

(c) Mostre que, se se desprezar a contribuição de 3β , se tem ( ) ( )22 20 2 01 6Lσ σ π β σ= + .

(d) Para um débito binário B , tal que 4 1Bσ < , mostre que 2 0.244B Lβ < .

Sugestão: Note que, para 0a > , se tem

• ( )2

0sech 1ax d x a

∞=∫

• ( )2 2 2 3

0sech 12x ax d x aπ

∞=∫

• ( ) ( ) ( ) ( )sech exp sech 2ax i x dx a aπ π∞

−∞Ω = Ω∫ .

Problema 6

Sendo ( )iP t a potência do sinal à entrada de uma fibra óptica, a correspondente potência à

saída é ( ) ( ) ( )o iP t P h t dτ τ τ∞

−∞= −∫ . Mostra-se que a transformada de Fourier de ( )h t é a

função ( ) ( ) ( ) ( )1 2 22 1 21 exp 2 1i iω ω ω ω ω ω ω− ⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦H , em que se fez

( ) 11 2 L ωω β σ

−= e ( ) 12

2 3L ωω β σ−

= . Considere ( ) ( )3dB 0 1 2ω =H H .

(a) Mostre que, para 2ω ω , a função de transferência ( )ωH é gaussiana.

(b) Admita que, nas condições da alínea anterior, se tem ( ) ( )0iP t a tδ= . Determine e

represente graficamente ( )oP t . Note que, uma vez que a fibra óptica é um sistema

causal, ( ) 0h t = para 0t < . Tenha ainda em consideração que

( ) ( )2 2exp exp 4ax bx dx a b aπ∞

−∞⎡ ⎤− + =⎣ ⎦∫ .

(c) Continuando a considerar 2ω ω , mostre que 3dB1.33B f≤ . Note que 2D λ ωσ β σ=

e que o débito binário B é tal que 1 4BL D λσ ≤ .


111

(d) Admita agora que Dλ λ= (i.e., 2 0D β= = ). Nestas condições mostre que

3dB0.574B f≤ . Note que, neste caso, 2 23 Sω λβ σ σ= e que o débito binário é tal que

2 1 8BLS λσ ≤ .

Problema 7

Em regime linear a envolvente ( ),A z t de um impulso, que se propaga num sistema de

comunicação óptica com amplificação distribuída, obedece à equação

( )2 3

1 2 32 3

1 1 1i2 6 2

A A A A g Az t t t

β β β α∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −

∂ ∂ ∂ ∂.

(a) O coeficiente de atenuação α é uma constante. O coeficiente de ganho (ou ganho

diferencial) g , porém, não pode ser considerado como uma constante. Explique qual é a

natureza matemática de g nesta equação e justifique fisicamente a sua resposta.

(b) Seja ( )Ω,~~ zAg a transformada de Fourier de ( )tzAg , . Admita, então, que o perfil

espectral do ganho diferencial é dado por

( ) 2 30 1 2 3

1 12 6

g g g g gΩ = + Ω+ Ω + Ω .

Mostre que

( ) ( ) ( )

( ) 2 30 1 2 3

, 0, exp

1 1 1i i i2 2 6

A z A z

a a a a

Ω = Ω Γ Ω⎡ ⎤⎣ ⎦

Γ Ω = + Ω+ Ω + Ω

e determine as constantes ia em termos de α , ig e de 1β , 2β e 3β (com 0,1,2,3i = ).

(c) Determine a equação da envolvente ( ),A z t em função de α , ig e de 1β , 2β e 3β .

(d) No caso particular de um perfil parabólico, com

( ) ( )2 20 01g gΩ = −Ω Ω ,

mostre que a equação diferencial da alínea anterior se transforma em

2

2

1i 02

A Aζ τ

∂ ∂− =

∂ ∂,

desde que 2 3 0β β= = e 0gα = , com Dz Lζ = e ( )1 0t zτ β τ= − . Qual é, neste caso, a

expressão do comprimento de dispersão DL ?

112 Carlos R. Paiva

Problema 8

Considere o acoplamento entre duas fibras ópticas idênticas. Seja 1u (resp., 2u ) a envolvente

do sinal que se propaga na fibra 1 (resp., fibra 2). Adoptando as usuais variáveis normalizadas

( ),ζ τ , mostra-se que, em regime linear, se tem

2 21 2 1 2

22 2

2 22 1 2 1

12 2

1 02

1 02

u u u ui u

u u u ui u

δ µ κζ τ τ τ

δ µ κζ τ τ τ

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

onde δ , µ e κ são constantes apropriadas. Introduzamos, então, a frequência normalizada

( )0 0 0ξ τ ω ω τ= Ω = − e o vector-coluna [ ]1 2Tu u=U em que ( ),nu ζ ξ – com 1, 2n = – é a

transformada de Fourier de ( ),nu ζ τ .

(a) Mostre que ( ) ( ) ( ), ,iζ ξ ξ ζ ξζ∂

= ⋅∂

U Γ U , com ( ) ( ) ( )( ) ( )

a bb aξ ξ

ξξ ξ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Γ . Determine

( )a ξ e ( )b ξ .

(b) Mostre que os valores próprios de ( )ξΓ são ( )2 / 2λ ξ σ ξ± = − ± e determine ( )σ ξ .

(c) Mostre que ( ) ( ) ( ), , 0,ζ ξ ζ ξ ξ= ⋅U S U , com ( ) 2 cos sin, exp

sin cos2ii

iθ θ

ζ ξ ξ ζθ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦S

e onde ( ) ( ),θ ζ ξ σ ξ ζ= (de acordo com a notação da alínea anterior).

(d) Interprete fisicamente o efeito e o significado físico das constantes κ , δ e µ .


113

Sumário: Problemas sobre o regime não linear em fibras ópticas e solitões.

Problema 1

A componente longitudinal da polarização eléctrica é dada, para meios isotrópicos com efeito

óptico de Kerr, por uma relação da forma ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,L NLz z zP x y z t P x y z t P x y z t= + em que

( ) ( ) ( )10, , , , , ,L

z zP x y z t E x y z tε χ= e ( ) ( ) ( )3 30, , , , , ,NL

z zP x y z t E x y z tε χ= . Admitindo que a

componente longitudinal do campo eléctrico é dada por

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0, , , , , expzE x y z t F x y A z t i z tβ ω= ℜ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

onde

( )2 2

20

, exp2

x yF x yr

⎛ ⎞+= −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

mostre que

( ) ( ) ( )0 0, , , , , , ; , , , ;3NL NL NLz z zP x y z t P x y z t P x y z tω ω= +

onde

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 23

0 0 0 020

2 23

0 0 0 020

3 3, , , ; exp , exp4 2

1 3, , , ;3 exp , exp 34 2

NLz

NLz

x yP x y z t f z t i z tr

x yP x y z t g z t i z tr

ω ε χ β ω

ω ε χ β ω

⎛ ⎞+= − ℜ −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠⎛ ⎞+

= − ℜ −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Determine as funções ( ),f z t e ( ),g z t em termos da envolvente ( ),A z t .

Sugestão: Note que

23 31 34 4

z z z zℜ = ℜ + ℜ .

114 Carlos R. Paiva

Problema 2

Quando se faz 3 0β = (i.e., quando se despreza a dispersão de ordem superior), a equação de

propagação de impulsos em regime não-linear pode ser escrita na forma

2

21 2 2

12 2

A A Ai i A A Az t t

αβ β γ∂ ∂ ∂+ + − = −

∂ ∂ ∂.

(a) Determine a nova equação de propagação nas variáveis ( ),z τ , com ( )1 0/t zτ β τ= − .

(b) Usando as definições 20 2/DL τ β= , 01/NLL Pγ= e introduzindo uma nova amplitude q

tal que ( ) ( ) ( )0, exp / 2 ,A z P z q zτ α τ= − , mostre que a equação da alínea anterior se

transforma em

( )2

21 22

q qi z q qz

µ µτ

∂ ∂= −

∂ ∂.

Determine as expressões de 1µ e ( )2 zµ em função de DL e NLL .

(c) Determine as equações em que se transforma a equação da alínea anterior nos seguintes

casos: (i) quando DL →∞ ; (ii) quando NLL →∞ . Classifique estes dois regimes.

(d) Considere a equação da alínea (b) quando se faz DL →∞ . Admitindo que a respectiva

solução se pode escrever na forma ( ) ( ) ( ), 0, exp ,NLq z q i zτ τ τ= Φ⎡ ⎤⎣ ⎦ , determine a função

( ),NL z τΦ . Represente graficamente ( ) ( ) ( ), / ,NL NLz z τ τΨ = Φ Φ ∞ e calcule ( )1/αΨ .

Problema 3

A envolvente ( ),A z τ de um impulso que se propaga numa fibra óptica em regime não linear

satisfaz a equação diferencial

2

22 2

12 2

A Ai i A A Az

αβ γτ

∂ ∂+ − = −

∂ ∂,

em que ( )1 0t zτ β τ= − e onde α é o coeficiente de atenuação (de potência).

(a) Mostre que o efeito das perdas é equivalente a uma fibra sem perdas em que o coeficiente

não linear varie longitudinalmente de acordo com a expressão ( ) ( )expz zγ γ α= − .

Sugestão: Faça a mudança de variável ( ) ( ) ( ), , exp 2A z B z zτ τ α= − .

(b) Mostre que os problemas levantados pela DVG (ou GVD) e pela AMF (ou SPM) podem

ser superados através da utilização de fibras DDF (dispersion-decreasing fibers).


115

Sugestão: Faça a mudança de variável

( )0

z

z d zξ γ ′ ′= ∫

e mostre que a equação diferencial da alínea anterior se transforma, com

( ) ( ) ( )2b ξ β ξ γ ξ= , em

( )2

22

1 02

B Bi b i B Bξξ τ

∂ ∂+ − =

∂ ∂.

Problema 4

Considere a equação não-linear de Schrödinger (zona de dispersão anómala)

( )2

22 2

1equação NLS: sgn 1 02

u ui u uβζ τ∂ ∂

= − → + + =∂ ∂

.

Admita, agora, que faz as seguintes mudanças de coordenadas 2Z ρ ζ= e T ρτ= .

(a) Qual deverá ser a transformação ( )v f uρ= de modo que ( ),v Z T obedeça ainda à

equação não-linear de Schrödinger?

(b) Admitindo, então, a solução canónica (solitão fundamental)

( ) ( ) ( ), sech exp 2v Z T T i Z= , qual é a solução equivalente ( ),u ζ τ em termos do

parâmetro ρ ? Comente o resultado.

Problema 5

Numa fibra óptica operada em regime não-linear podem propagar-se, na zona de dispersão

normal em que ( )2sgn 1β = , solitões escuros ou topológicos. A respectiva equação não-linear

de Schrödinger escreve-se na forma

( )2

22 2

1equação NLS: sgn 1 02

u ui u uβζ τ∂ ∂

= + → − + =∂ ∂

.

(a) Explique fisicamente a possibilidade de ocorrência de solitões escuros.

(b) Admitindo que o solitão escuro tem a forma ( ) ( ) ( ), expu Q iζ τ τ θ ζ= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , mostre que

( ) ( )tanhQ τ τ= e determine ( )θ θ ζ= .

Sugestão:

116 Carlos R. Paiva

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2sech 1 tanh , tanh sech , sech sech tanh .d dx x x x x x xd x d x

= − = = −

(c) Usando a função ( )sgn τ , determine as expressões de ( ) ( ),R uτ ζ τ= e

( ) ( ) , arg ,uφ ζ τ ζ τ= . Represente graficamente ( )R τ e ( ) ( ) ( ),ϑ τ θ ζ φ ζ τ= − .

Problema 6

A equação de propagação de impulsos numa fibra óptica operada em regime não-linear é

governada, se se desprezarem as perdas, pela equação

2

21 2 2

12

A A Ai i A Az t t

β β γ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂.

(a) Mostre que, fazendo a mudança de variáveis z z= e 1t t zβ∗ = − , a equação anterior se

transforma em

2

22 2

12

A Ai i A Az t

β γ∗

∂ ∂+ =

∂ ∂.

(b) Em regime CW (continuous wave) a amplitude ( ),A z t∗ reduz-se a uma variável

( )A A z= que obedece simplesmente à equação

2A i A A

zγ∂

=∂

.

Mostre que, neste caso, se obtém uma solução ( ) ( )0 NLexpA z P i zφ= ⎡ ⎤⎣ ⎦ em que

( )NL 0z P zφ γ= .

(c) Porém, a solução obtida na alínea anterior não é uma solução estável. Considere, com

efeito, uma pequena perturbação dessa solução ( ),p z t∗ tal que

( ) ( ) ( )0 NL, , expA z t P p z t i zφ∗ ∗⎡ ⎤= + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ onde se admite que 0p P<< . Nestas

condições, mostre que

2

22

NL

22

p pi i pz t L

β

∗

∂ ∂+ = ℜ

∂ ∂

em que, como é habitual, se introduziu o comprimento não-linear NL 01L Pγ= .

(d) Admitindo que a perturbação introduzida na alínea anterior tem a forma

( ) ( ) ( )1 2, exp expp z t p i Kz t p i Kz t∗ ∗ ∗= −Ω + − −Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , com 1 2,p p ∈ e onde Ω


117

representa a frequência da perturbação enquanto que K representa a correspondente

constante de propagação, mostre então que se tem

( ) ( )2 2 22 2

2 NL

1 4sgn ,2 c cK

Lβ β

βΩ = ± Ω Ω + Ω Ω = .

(e) Na zona de dispersão normal, em que ( )2sgn 1β = , a constante de propagação ( )K K= Ω

é, de facto, um número real e, consequentemente, a perturbação não introduz qualquer

instabilidade, i.e., a solução CW obtida na alínea (b) é estável. Porém, na zona de

dispersão anómala, em que ( )2sgn 1β = − , a constante de propagação ( )K K= Ω só é real

para desvios de frequência (em relação à portadora 0ω ) tais que 2 2cΩ ≥ Ω . De facto,

quando 2 2cΩ < Ω , tem-se K i= Λ em que 2gΛ = ± onde g representa um ganho

diferencial (de potência) dado pela expressão ( ) 2 22 cg βΩ = Ω Ω −Ω . Considerando

22 20ps kmβ = − e 1 12 W kmγ − −= , represente graficamente [ ]1km THzg vs−⎡ ⎤ − −Ω⎣ ⎦ para

os seguintes valores da potência de pico: (i) 0 1WP = ; (ii) 0 2 WP = ; (iii) 0 4 WP = .

Mostre que o máximo do ganho diferencial é dado por max 02g Pγ= ocorrendo para

2cΩ = ±Ω .

118 Carlos R. Paiva

Problema 7

Em regime não-linear a propagação de impulsos é afectada, simultaneamente, pela auto-

modulação de fase e pela dispersão da velocidade de grupo. Sendo ( ),A z t a envolvente dos

impulsos, tem-se

( ) ( ) ( )( ) ( )22 21 2 2 2i A z i A t A t A A i Aβ β γ α∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + = − .

(a) Fazendo z z′ = e 1t t zβ′ = − , mostre que esta equação diferencial pode ser reescrita na

forma

( ) ( )( ) ( )22 22 2 2i A z A t A A i Aβ γ α′ ′∂ ∂ − ∂ ∂ + = − .

Doravante, porém, eliminam-se as plicas de forma a evitar esta notação complicada.

(b) Considere a transformação

( ) ( ) ( ) ( )0

, , exp 1 2z

A z t B z t dα ζ ζ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

Determine o coeficiente ( )zγ na equação

( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 0i B z z B t z B Bβ γ⎡ ⎤∂ ∂ − ∂ ∂ + =⎣ ⎦

que se obtém a partir da equação diferencial da alínea anterior. Sugestão: note que

( ) ( ) ( )0

zd d z d zα ζ ζ α⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

(c) Mostre que a equação de Euler-Lagrange

( ) ( )L L B z L B tB z t

∗ ∗∗

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂

conduz à equação diferencial obtida na alínea anterior quando aplicada à lagrangiana

( ) ( ) ( )4 222 2L i B B z B B z z B z B tγ β∗ ∗ ⎡ ⎤= ∂ ∂ − ∂ ∂ − + ∂ ∂⎣ ⎦ .

(d) Admita agora que o impulso que se propaga na fibra óptica com gestão da dispersão

pode ser descrito pela expressão analítica

( ) ( )( )20, exp 1 2BB z t B iC t τ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

em que ( )0 0B B z= , ( )C C z= e ( )B B zτ τ= . Como a energia

( ) 20 ,B z t dt

∞

−∞= ∫E

do impulso deve ser constante, mostre que se tem

( ) ( )20 0BB z zτ π=E .


119

Sugestão: ( )2exp ax dx aπ∞

−∞− =∫ .

(e) Mostre que, para o impulso considerado na alínea anterior, se tem

( ) ( )2 201 BC z z aτ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦

em regime linear (i.e., quando 0γ = ) e onde 0a é uma constante. Sugestão: note que a

largura espectral do impulso é 21 BCω τ∆ = + .

(f) Prova-se que, para o impulso considerado em (d) e em regime linear, se tem

( )2 22 2, 1B B Bd dz C dC d z Cτ β τ β τ= = + .

Usando o resultado da alínea anterior, mostre que (em regime linear)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 20

2 20 20

2

z

z

B

C z C a d

z C d

β ζ ζ

τ τ β ζ ζ ζ

= +

= +

∫

∫.

120 Carlos R. Paiva

Sumário: Problemas sobre álgebra geométrica.

Problema 1

Mostre que a área A do paralelogramo da figura anexa é dada por

1 2 2 1A α β α β= ∧ = −a b .

1 1 2 2 1 1 2 2,α α β β= + = +a e e b e e

( )( )

1 1 2 2

1 2 2 1 1 2

α β α βα β α β

⋅ = ⋅ = +⎧⎪⎨ ∧ = − ∧ = − ∧⎪⎩

a b b aa b b a e e

= ⋅ + ∧ab a b a b

0

0= ⇔ ⇔ ∧ = ⇔ = ⋅⎧

⎨ = − ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ = ∧⎩

ab ba a b a b ab a bab ba a b a b ab a b

X

Y

1α

1α

1β

2α

2α

2β

2β

1β

a

b 1 2 2 1A α β α β= −


121

Problema 2

Considere a álgebra geométrica do plano 2C gerada pela base ortonormada 1 2,e e . Dados

dois multivectores u e v desta álgebra,

0 1 1 2 2 3 1 2

0 1 1 2 2 3 1 2

uv

α α α αβ β β β

= + + + ∧⎧⎨ = + + + ∧⎩

e e e ee e e e

,

determine o multivector

0 1 1 2 2 3 1 2w u v µ µ µ µ= = + + + ∧e e e e .

Problema 3

Mostre que a álgebra matricial ( )Mat 2, das matrizes 2 2× reais é isomórfica à álgebra

geométrica 2C .

Sugestão: Considere as correspondências

1 2 12

1 0 1 0 0 1 0 11 , , ,

0 1 0 1 1 0 1 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e e e

em que, como é habitual, se representa o pseudoescalar unitário por 12 1 2 1 2= = ∧e e e e e . Note

que, no âmbito deste isomorfismo, se tem

0 1 2 30 1 1 2 2 3 12

2 3 0 1

uα α α α

α α α αα α α α

+ +⎡ ⎤= + + + ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

e e e

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1212

wα β

α δ α δ β γ β γγ δ⎡ ⎤

= + + − + + + −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

e e e .

Note, ainda, que a operação de transposição matricial

Tα β α γ

γ δ β δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

corresponde, na álgebra geométrica 2C , à operação de reversão u u em que

0 1 1 2 2 3 12 0 1 1 2 2 3 12u uα α α α α α α α= + + + = + + −e e e e e e .

122 Carlos R. Paiva

Problema 4

Considere a álgebra geométrica 2C gerada pela base ortonormada 1 2,e e e considere o

pseudoescalar 12 1 2 1 2= = ∧e e e e e . Mostre que o produto geomético obedece à tabela

multiplicativa

1e 2e 12e

1e 1 12e 2e

2e 12−e 1 1−e

12e 2−e 1e 1−

Note que que a álgebra 2C é uma álgebra graduada com

2 2

2 2 2 22 2 2 2 2, ,C C C C C+ − + −= ⊕ ⊕ = = ⊕ =⊕∧ ∧ .

Um multivector genérico de 2C é, com efeito, a soma de um escalar (em ) com um vector

(em 2 ) e com um bivector ou pseudoescalar (em 2

2∧ ). A parte par 2C + da álgebra é

isomórfica ao corpo dos complexos enquanto que a parte ímpar 2C − é isomórfica aos

vectores no plano. Note-se, porém, que não se deve confundir 12 1 2=e e e com 1i = − , apesar

de 2 212 1i= = −e . Com efeito, tem-se

1 1 2 212 1 2 2 1

i iI

α αα α

=⎧= + ⇒ ⎨ = − = −⎩

r rr e e

r e r e e.

r

12r e

12 12= −e r r e


123

Problema 5

Considere a álgebra geométrica 2C gerada pela base ortonormada 1 2,e e .

(a) Sejam ( )11 12

u = + e e 1 12v = +e e . Verifique que 2u u= e 2 0v = .

(b) Sejam 1 22= −a e e , 1 2= +b e e e 1 25= −r e e . Determine α e β na decomposição

α β= +r a b . Solução: 2α = e 3β = .

(c) Sejam 1 28= −a e e e 1 22= +b e e . Verifique que 1 26 3= +a e e e 1 22 4⊥ = −a e e .

(d) Sejam 1 23= −a e e , 1 22= +b e e e 1 24 3= −r e e . Verifique que ao reflectir r em relação

ao vector a se obtém 115−′ = =r ar a e e, ao reflectir o resultado ′r em relação ao vector

b , se obtém 11 23 4−′′ ′= = +r br b e e .

( )1 2

2 2 2 2 21 2 1 2 2 1

2 2 2

x yx y x y

x y

= +

= + + +

= +

r e er e e e e e e

r

1 2x y= +r e e

1e

2e

X

Y

22Plano dos vectores: C −=

z x i y= +

1 ℜ

ℑ

12 i=e

2Plano complexo: C +=

12 1 2= ∧e e e

X

Y

2e

1e

124 Carlos R. Paiva

Problema 6

Mostre que a composição de duas reflexões, primeiro em relação ao vector a e em seguida

em relação ao vector b , é equivalente à rotação de um ângulo que é o dobro do ângulo entre

os vectores a e b .

Em particular, se 2 2 1= =a b , tem-se 1− =a a e 1− =b b , ( ) 1− =ba ab , pelo que

a

b

O

P

P′

P′′

( ) ( ) ( )

1 1

11 1

− −

−− −

′ ′′ ′= =

′′∴ = =

r r ar a r br b

r b ar a b ba r ba

a

b

⊥a

a

( )( ) ( )

1

1 1

−

− −⊥

= ⋅= − = − ⋅ = ∧

a a b ba a a ab a b b a b b

r

′r ar

⊥r ( )( )

1

1

1

⊥−

−

−

′ = −= ⋅ − ∧= ⋅ + ∧=

r r rr a r a aa r a r a

ar a


125

( )2 212, expR R R R θ′′ = = = −r r r r e

onde

12

12 12

12 12

2 2

12 12

cos , sin2 2

exp cos sin2 2 2

exp cos sin2 2 2

1

R

R

R RR R

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ∧ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

= − ⇒ =

a b a b e

ba e e

ab e e

baab a br e e r r r

.

Problema 7

Verifique que:

• ( ) ( )1 13 4 3 45

i i−+ = −

• ( )3 4 2i i+ = ± +

• 4 4 1 i− = ± ±

• 3 3 1,3 2

i i i⎧ ⎫⎪ ⎪− = ± −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

• ( ) 1 3ln 1 ln 2 22 4

i i i kπ π− + = + + com k∈ .

Problema 8

Faça 2expkkz i

nπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, com 1, 2, , 1k n= −… . Verifique que ( )( ) ( )1 2 11 1 1 nz z z n−− − − = .

Sugestão: Comece por notar que as raízes de 1 0nx − = são precisamente os números

complexos kz . Mas então ( )( ) ( )0 1 11nnx x z x z x z −− = − − − . Agora, definindo a função

( ) ( )( ) ( )1 2 1nf x x z x z x z −= − − − , tem-se

( ) 1, 11

nxf x xx−

= ≠−

.

Mas, por outro lado,

126 Carlos R. Paiva

2 1 11 , 11

nn xx x x x

x− −

+ + + + = ≠−

.

Assim, em geral, é possível escrever

( ) ( )2 11 1nf x x x x f n−= + + + + ⇒ = .

Infere-se, finalmente, que ( )( ) ( )1 2 11 1 1 nz z z n−− − − = tal como se pretendia verificar.

Problema 9

Mostre que o corpo dos complexos não pode ser ordenado.

Sugestão: Em geral, estabelecer uma relação de ordem num corpo F consiste em determinar

um subconjunto P ⊂ F que obedeça às propriedades

0 P∉

se a∈F e 0a ≠ , então ou a P∈ ou a P∉ (mas não ambas as possibilidades)

a b P+ ∈ e ab P∈ , quaisquer que sejam ,a b P∈ .

É habitual designar P por conjunto dos números positivos e por |P a a P− = − ∈ o conjunto

dos números negativos. A proposição a b P− ∈ é equivlente a escrever a b> . O caso

particular em que 0a b P− ∈ ∪ corresponde a a b≥ . Mas então, num conjunto ordenado,

os quadrados dos escalares não nulos são sempre positivos. A soma de quadrados de escalares

é também sempre positiva e, consequentemente, não pode ser nula. Porém, a igualdade

2 2 21 0 1 0i i+ = ⇒ + =

sendo válida em mostra que não é verdadeira a proposição 2 21 0i + > . Infere-se, portanto,

que o corpo não pode ser ordenado.

Problema 10

A álgebra exterior (ou álgebra de Grassmann) do espaço 3 é designada por 3∧ , com

2 3

3 3 3 3= ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧ ∧ .

O subespaço 2

3∧ é o espaço dos bivectores. Supondo que 1 2 3, ,e e e é uma base

ortonormada do espaço 3 , então uma base do espaço dos bivectores é

1 2 1 3 2 3, ,∧ ∧ ∧e e e e e e .

Represente graficamente esta base. Calcule 1 2 1 2,α = ∧ ∧x x y y .


127

Sugestão: Note que

1 1 1 2

2 1 2 2

α⋅ ⋅

=⋅ ⋅

x y x yx y x y

.

Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos ( )1, 4, 6− − , ( )5, 4, 2− − e ( )0,0,0 .

Solução: Façamos 1 2 34 6= − −a e e e e 1 2 35 4 2= − −b e e e . Então

( ) ( ) ( ) 2 2 21 2 1 3 2 3

1 116 28 16 16 28 16 182 2

∧ = ∧ + ∧ − ∧ ⇒ ∧ = + + =a b e e e e e e a b

O subespaço 3

3∧ é o espaço dos elementos de volume orientados. O produto exterior

∧ ∧a b c , em que 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e , 1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e e 1 1 2 2 3 3c c c= + +c e e e , é dado

pelo paralelepípedo orientado com arestas a , b e c , tendo-se

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

a a ab b bc c c

∧ ∧ = ∧ ∧a b c e e e .

Note-se que (com 3, , ∈a b c )

( ) ( )∧ ∧ = ∧ ∧a b c a b c

∧ ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧ = − ∧ ∧ = − ∧ ∧ = − ∧ ∧a b c b c a c a b c b a a c b b a c

1e

2e

3e

2 3∧e e

1 2∧e e

128 Carlos R. Paiva

1 1 1 2 1 3

1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

,β⋅ ⋅ ⋅

= ∧ ∧ ∧ ∧ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

x y x y x yx x x y y y x y x y x y

x y x y x y

Determine o volume do paralelepípedo cujas arestas são 1 2 32 3 4= − +a e e e , 1 2 32= + −b e e e

e 1 2 33 2= − +c e e e .

Solução: ( )1 2 3 1237 7∧ ∧ = − ∧ ∧ = −a b c e e e e , 7∧ ∧ =a b c .

Problema 11

No âmbito do espaço ordinário tridimensional, mostre que o produto interno ⋅a b pode ser

expresso em termos do produto externo ×a b e do produto exterior ∧a b na forma

( )× × ∧⎡ ⎤⎣ ⎦⋅ =∧

a a b ba b

a b

desde que os vectores a e b não sejam paralelos.

Sugestão: Comece por notar que ( ) ( ) 2× × = ⋅ −a a b a b a a b em que, na álgebra geométrica

3C , se tem 2 = = ⋅a aa a a . Recorde que o produto geométrico de dois vectores ( ),a b ab

pode ser expresso em termos do produto interno ( ), ⋅a b a b e do produto exterior

( ), ∧a b a b :

( )

( )

1212

⎧ ⋅ = +⎪⎪= ⋅ + ∧ ⇒ ⎨⎪ ∧ = −⎪⎩

a b ab baab a b a b

a b ab ba.

= ×c a b

b

a

= ∧B a b


129

Comentário: Na definição do vector = ×c a b é necessária uma métrica para determinar a

direcção perpendicular ao bivector = ∧B a b . O bivector = ∧B a b , porém, é independente de

qualquer métrica.

Problema 12

Define-se o dual de Hodge de um vector 3∈a como sendo o bivector 2

3∈a ∧ø tal que

( ) 3123,∧ = ⋅ ∀ ∈b a b a e bø .

Analogamente, define-se o dual de Hodge de um bivector 2

3∈A ∧ como sendo o vector 3∈Aø tal que

2

3123, ,∧∗ = ∀ ∈B A B A e B ∧ .

Numa base ortonormada 1 2 3,e e e, de 3 , em que 31 1 2 2 3 3α α α= + + ∈a e e e , mostre que

( ) ( ) ( )2

31 2 3 2 3 1 3 1 2α α α= = ∧ + ∧ + ∧ ∈A a e e e e e e ∧ø .

Mostre ainda que

( ) ( )( ) ( )

123

123

∧ = × = ×⎧⎪⎨

× = ∧ = − ∧⎪⎩

a b a b a b e

a b a b a b e

ø

ø

onde 123 1 2 3 1 2 3= = ∧ ∧e e e e e e e é o pseudoescalar (ou trivector) unitário da álgebra geométrica

3C .

a

123= =A a a eø

130 Carlos R. Paiva

Problema 13

Mostre que, no espaço 3 e na álgebra 3C , se tem

( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 = ⋅ − ∧ = ⋅ + ∧a b a b a b a b a b

de modo que cos sinθ θ⋅ = ⇒ ∧ = × =a b a b a b a b a b .

Sugestão: Note que ( )( )2 2 = = ⋅ + ∧ ⋅ − ∧a b abba a b a b a b a b tendo-se ( ) 22∧ = − ∧a b a b

uma vez que ( )2 0∧ ≤a b e 2 0∧ ≥a b .

Problema 14

Mostre que, para 3, , ∈a b c , se tem

( )

( )

1216

⎧ ∧ ∧ = −⎪⎪⎨⎪ ∧ ∧ = + + − − −⎪⎩

a b c abc cba

a b c abc bca cab acb bac cba.

Sugestão: Note que, fazendo = ∧B b c , se tem

( )

( )

1212

⎧ = −⎪= + ∧⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= − + ∧⎩ ⎪ ∧ = +⎪⎩

a B aB BaaB a B a BBa a B a B a B aB Ba

.

a

sinθb

a

b

θ

cosθb


131

( ) ( )1 1 12, ,− − −

⊥ ⊥= + = → = = ∧BaB a B a B B a a B B a a B BB

Problema 15

Considere a álgebra geométrica 3C gerada pela base ortonormada 1 2 3, ,e e e . Façamos,

para i j≠ ,

123 1 2 3,j k j k= ∧ = ∧ ∧e e e e e e e .

(a) Para o bivector 12 233= +Β e e verifique que 2 10= −B e ( )112 233 10− = − +B e e .

(b) Sejam 1 2 32 3 7= + +a e e e e 12 13 234 5= + −B e e e . Verifique que 12311∧ =a B e e

1 2 347 15 7= − + +a B e e e .

(c) Sejam 1 2 33 4 7= + +a e e e e 12 137= +B e e . Verifique que 1 2 33 4.9 0.7= + +a e e e e

2 30.9 6.3⊥ = − +a e e .

a ⊥a

a

=b a B

12

− =a

aa

1 1− −= = ∧B a b a b

( )( )

1

1

−

−⊥

=

= ∧

a a B B

a a B B

132 Carlos R. Paiva

Sumário: Problemas sobre álgebra geométrica (continuação).

Problema 1

Considere as matrizes (de spin) de Pauli

1 2 3

0 1 0 1 0, ,

1 0 0 0 1i

iσ σ σ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Verifique que estas matrizes observam as seguintes relações (representa-se aqui por I a

matriz identidade)

2 2 21 2 3 Iσ σ σ= = =

1 2 3 2 1iσ σ σ σ σ= = −

3 1 2 1 3iσ σ σ σ σ= = −

2 3 1 3 2iσ σ σ σ σ= = −

1 2 3 iIσ σ σ =

Assim, existe um isomorfismo entre a álgebra real ( )Mat 2, das matrizes 2 2× complexas e

a álgebra geométrica 3C :

( ) 3Mat 2, C .

Com efeito, tem-se 1 1σe , 2 2σe e 3 3σe . É então possível estabelecer as seguintes

correspondências:

( )

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

Mat 2,

, ,, ,

Iσ σ σσ σ σ σ σ σσ σ σ

3

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

1, ,

, ,

C

e e ee e e e e ee e e


133

Comentário: Existe uma distinção entre a álgebra geométrica abstracta 3C e a sua imagem

matricial ( )Mat 2, : na álgebra geométrica existe um subespaço particular, o espaço

vectorial 3 , no qual um vector ao quadrado é igual ao quadrado do seu comprimento, i.e., 22 =a a ; não existe esse correspondente subespaço na álgebra matricial. A estrutura

algébrica de 3C é, portanto, mais rica do que a estrutura algébrica de ( )Mat 2, .

Problema 2

Seja a um vector na álgebra geométrica 3C e 123=A ae o respectivo plano dual. Mostre que

a reflexão de um vector r em relação ao plano considerado é o vector 1−′ = −r ara .

( ) ( ) 21 1 2 2 3 3 123 1 23 2 31 3 12 123 123 123, 0,α α α α α α= + + = + + ⇒ = ∧ =a e e e ae e e e a ae a ae a e

( ) ( )

( )

1 1

1 1

, ,− −⊥ ⊥

− −⊥

= + = ∧ = ⋅

′ ′= − = − ⋅ + ∧ ∴ = −

r r r r r a a r r a a

r r r a r a r a r r ara.

Problema 3

Considere dois vectores unitários de 3C , m e n (i.e., com 2 2 1= =m n ). Seja φ o ângulo

entre este dois vectores (i.e., cosφ⋅ =m n ). Nestas condições, mostre que o rotor R = nm é

um multivector dado por

( )ˆ ˆexp cos sinR φ φ φ= − = −B B

a

r1−ara

1−′ = −r ara

123=A ae

134 Carlos R. Paiva

em que B é um bivector unitário ( )2ˆ 1= −B tal que ˆ sinφ∧ =m n B . Verifique que 1RR = ,

em que ( )ˆ ˆcos sin expR φ φ φ= = + =mn B B .

Problema 4

Mostre que a operação

ˆ, exp2

R R R θ⎛ ⎞′ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

a a a B

corresponde a uma rotação do vector 3C∈a de um ângulo θ no plano do bivector unitário

B (i.e., com 2ˆ 1= −B ) e tal que (ver problema anterior com 2φ θ= )

2 2ˆ , 1,sin

2θ∧

= = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

m nB m n

no sentido ditado pela orientação deste bivector (i.e., de m para n ).

Sugestão: Note que 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ− = = −B B B B , donde

( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,− −⊥= = − = ∧ = − ∧a a B B a B B a a B B a B B .

Prove, então, que

ˆ ˆ

ˆ ˆR R

R R⊥ ⊥ ⊥ ⊥

⎧ = ⇒ =⎪⎨

= − ⇒ =⎪⎩

a B Ba a a

a B Ba a a.

Daqui se infere que

2, , R⊥ ⊥ ⊥′ ′ ′ ′ ′= + = =a a a a a a a a

onde, efectivamente,

( )2 ˆexpR θ= −B .


135

Problema 5

Mostre que, sendo 3, , C∈a b c , se tem

( ) ( ) ( )∧ = ⋅ − ⋅a b c a b c a c b .

Sugestão: Comece por mostrar que, sendo ( ) 2= ∧ = −B b c bc cb , se tem

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12

2 22 2 2 2 2

2 2

= −

− = ⋅ − ⋅ − −− = ⋅ − ⋅ − − = ⋅ − ⋅ −

∴ = ⋅ − ⋅ +

aB abc ac b

ab c ac b a b c a c b bac cbab ac c ba a c b a b c bc cb a a c b a b c Ba

aB a b c a c Ba

fazendo uso das igualdades

( )( )

2

2

= ⋅ −⎧⎪⎨

= ⋅ −⎪⎩

ab a b ba

ac a c ca.

( ) ( )2 2∴ − = ⋅ − ⋅aB Ba a b c a c b .

Então, definindo

( )12

= −a B aB Ba ,

obtém-se o resultado pretendido.

B

a ′a

θa ′a

123= −u Be

136 Carlos R. Paiva

Problema 6

Definindo o produto externo de dois vectores 3, C∈a b como sendo

( ) 123× = − ∧a b a b e

mostre que

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

123 123−

× × = − ∧ = ⋅ − ⋅⎧⎪⎨

⋅ × = ∧ ∧ = − ∧ ∧⎪⎩

a b c a b c a c b a b c

a b c a b c e a b c e.

Problema 7

Fazendo uso repetido da expressão ( )2= ⋅ −ab a b ba , mostre que

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 32 2 2= ⋅ − ⋅ + ⋅ −aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a .

Verifica-se, deste modo, que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2

12

= +⎡ ⎤⎣ ⎦

∴ = ⋅ − ⋅ + ⋅

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a.

Notando, então, que

( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 2 3

= ⋅ + ∧∴ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ∧ ∧

a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a

mostre que

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2∧ ∧ = ⋅ ∧ − ⋅ ∧ + ⋅ ∧a a a a a a a a a a a a a a a a .

Problema 8

Na álgebra geométrica 3C , considere a base ortonormada 1 2 3, ,e e e e faça 12 1 2= ∧e e e e

123 1 2 3= ∧ ∧e e e e .

(a) Verifique que ( ) ( )2 2 2123 1232+ = − + ⋅a b e a b a b e onde 3, ∈a b .

(b) Sendo ( )31 12

P = + e e ( )31 12

Q = − e , verifique que 2P P= , 2Q Q= (i.e., os

multivectores P e Q são idempotentes) e 0PQ = .

(c) Verifique que ( ) ( )2

3 3 12 31 11 12 2⎡ ⎤+ ± − =⎢ ⎥⎣ ⎦

e e e e (o que mostra que os vectores podem ter

raízes quadradas).


137

(d) Mostre que as raízes quadradas do multivector 12cos sinφ φ+ e são dadas por

12cos sin2 2φ φ⎛ ⎞± +⎜ ⎟

⎝ ⎠e e 3 12cos sin

2 2φ φ⎛ ⎞± +⎜ ⎟

⎝ ⎠e e . Note que 12 3 3 12=e e e e .

(e) Notando que ( )31 12

Q = − e é idempotente (i.e., 2Q Q= ), verifique que

( )3 12 3exp 12π⎡ ⎤± − =⎢ ⎥⎣ ⎦

e e e (o que mostra que os vectores têm logaritmos).

(f) Seja 123 123u α β= + + +a be e , com ,α β ∈ e 3, ∈a b um multivector genérico de

3C . Mostre que ( )2 2 2 21232u u α β αβ= − − + + − ⋅a b a b e .

Problema 9

Sejam 31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e e 3

1 2 3x y z= + + ∈r e e e . Verifique que

3 2

3 1

2 1

00

0

a a xA a a y

a a z

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r a r

e ainda que

( ) ( )

2 22 3 1 2 1 3

2 2 2 21 2 1 3 2 3

2 21 3 2 3 1 2

a a a a a a xA a a a a a a y

a a a a a a z

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = × × = ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦

r a a r a r a a r .

Os valores próprios λ da matriz A satisfazem a equação característica

( ) 3 2 2 2 21 2 3det 0 0,I A a a aλ λ α λ α− = ⇒ + = = = + +a .

Logo, pelo teorema de Cayley-Hamilton, tem-se

3 2 0A Aα+ =

pelo que

( )

( )

22 2

2

2 1 2 1

1 , 1, 2,3,

1 , 0,1,2,

kk k

kk k

AA k

AA k

αα

αα

+ +

⎧= − − =⎪⎪

⎨⎪ = − =⎪⎩

…

….

(a) Mostre que

( ) ( )2

2exp sin 1 cosA AA I α αα α

= + + − .

138 Carlos R. Paiva

Sugestão: Note que

( ) ( ) ( )2 2 1

0 0 0

exp! 2 ! 2 1 !

k k k

k k k

A A AAk k k

+∞ ∞ ∞

= = =

= = ++∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 20 0

1 cos2 ! 2 !

k kk

k k

A A A A AI Ik k

α αα α α α

∞ ∞

= =

= + − − = + −∑ ∑

( ) ( ) ( )

2 1 2 1

0 0

1 sin2 1 ! 2 1 !

k kk

k k

A A Ak k

α αα α

+ +∞ ∞

= =

= − =+ +∑ ∑ .

(b) Mostre que o vector ( )exp A′ =r r é dado por

( ) ( ) ( ) ( )2

sin 1 cosexp cosA α ααα α

−′ = = + × + ⋅r r r a r a r a .

Sugestão: Note que, tal como se viu anteriormente, ( )2 2A = ⋅ −r a r a a r .

Problema 10

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) inventou os quaterniões. Os quaterniões são

números hipercomplexos da forma

q w ix j y zk= + + + ∈H

em que , , ,w x y z∈ e as unidades imaginárias generalizadas i , j , k satisfazem as relações

2 2 2 1

, ,i j ki j ji k jk k j i ki ik j= = = −= − = = − = = − =

.

Note-se que a multiplicação é, por definição, não comutativa – embora seja associativa. As

regras de multiplicação anteriores podem ser sintetizadas na forma

2 2 2 1i j k i jk= = = = − .

Sendo q∈H , define-se o quaternião conjugado q ∈H tal que

q w ix j y zk q w ix j y zk= + + + = − − − .

Assim

2 2 2 2 2

12 2 2 2 2

1q qq w x y z

q w ix j y k zqw ix j y k z w x y zq

−

= = + + +

− − −= = =

+ + + + + +

.


139

Define-se a parte real ( )Re q w= ∈ e a parte pura ( ) 3Pu q ix j y k z= + + ∈ . Assim

3= ⊕H . Vai-se escrever, para facilidade de notação,

( ) ( )0 0, Re , Puq q q q q= + ∈ = =q qH .

(a) Mostre que, se q w ix j y zk= + + + ∈H , então 22 2 0q wq q− + = .

(b) Sendo 0a a= + ∈a H e 0b b= + ∈b H , mostre que 0 0 0 0ab a b a b= − ⋅ + + + ×a b b a a b .

Assim, se a e b forem dois quaterniões puros (i.e., com 0 0 0a b= = ), tem-se

( )Pu= − ⋅ + × ⇒ × =ab a b a b a b ab .

Sugestão: Faça 1 2 3a a a= + +a i j k e 1 2 3b b b= + +b i j k , pelo que 1 1 2 2 3 3a b a b a b⋅ = + +a b e

( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1a b a b a b a b a b a b× = − + − + −a b i j k .

(c) Mostre que o produto externo verifica a identidade de Jacobi

( ) ( ) ( ) 0× × + × × + × × =a b c b c a c a b

o que transforma o espaço vectorial 3 dotado de produto externo uma álgebra de Lie.

Note-se, porém, que o produto externo é anti-simétrico ( )× = − ×a b b a e não é

associativo:

( ) ( )× × ≠ × ×a b c a b c .

Sugestão: Para provar a identidade de Jacobi use a propriedade

( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅a b c a c b a b c .

(d) Prove o teorema de Pitágoras

( )2 2 2 2 ⋅ ⋅× = − ⋅ =

⋅ ⋅a a a b

a b a b a bb a b b

.

140 Carlos R. Paiva

Problema 11

Em 3C pretende-se rodar o vector unitário a para o transformar noutro vector unitário b ,

deixando todos os vectores perpendiculares ao plano ∧a b inalterados. Mostre que esta

operação se pode escrever a forma

( )

2 2 1,2 1

R R R R R += = = =

+ ⋅

baa b a a ab a

ou ainda

2ˆ ˆ ˆexp , sin , 12

R θ θ⎛ ⎞= − ∧ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

B a b B B .

Sugestão: Note que o vector unitário n da figura anexa (a meio caminho entre a e b ) é dado

por

( )2 1

+ += =

+ + ⋅

a b a bna b a b

.

Com efeito, tem-se

( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 1+ = + + = + + + = + ⋅a b a b a b a b a b ba a b .

Assim, a operação a nan corresponde a a b , uma vez que

( ) ( ) ( ) ( ), ,⊥ ⊥= ⋅ + ∧ = − = = ⋅ = − = ∧ = − ∧nan n a n a n a a b a a n n a a a a n n n a n .

Mas então, o rotor

a

b

− = −b nan

n

cos

cos2

θθ

⋅ =⎧⎪⎨ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

a b

a n b n

123ne


141

( )

1 12 1

R + += = = =

+ + ⋅

ba babn naa b b a

é tal que

( ) ( )

( ) ( )

( )~

,2 1 2 1

,2 1 2 1

.

R R

R R

R R R R R R R R R

+ += = = =

+ ⋅ + ⋅

+ += = = =

+ ⋅ + ⋅

∴ = = = = ⇒ = = = = ∴ =

a b a ba n a nb a b a

a b a bb n b nb a b a

a a b b n a n n bn nnb b b a

Infere-se que, de facto, ( )2† 2 †R a R R a a R= = . Note-se, ainda, que

2ˆ ˆ ˆcos sin , sin , 12 2 2

ˆexp2

R

R

θ θ θ

θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ + ∧ = − ∧ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∴ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

na n a n a B a n B B

B

de modo que

ˆ sinθ∧ =a b B .

142 Carlos R. Paiva

Sumário: Problemas sobre meios anisotrópicos.

Problema 1

Explique, no âmbito da álgebra geométrica, o que significa dizer que um meio dieléctrico é

(electricamente) anisotrópico.

Sugestão: Analise e discuta a figura anexa onde os vectores r , s e t são unitários, i.e., tem-

se 2 2 2 1= = =r s t em que E=E s , D=D t , D = ⋅s D e D⊥ = ⋅r D . Note que ˆ =F sr e

( )( ) ˆE D β= ∧ = ∧ =F E D s t F , em que

( )ˆ ˆexpu α α β θ= = ⋅ + ∧ = + = + =E D E D E D F F F

( )( )

2 2 2cos0

sinE D

θ αα β

θ β=

= = → → + = ≥=

E D .

D

D⊥

θ = ∧F E D

s

s

t

r

E

D

F

∧s t

s

( )sε

εs


143

Problema 2

Sejam 1ε , 2ε e 3ε os valores próprios da função dieléctrica ( )Eε . Considere um cristal

uniaxial com 21 2 onε ε ε⊥= = = (em que on é o índice ordinário) e 2

3 enε ε= = (em que en é o

índice extraordinário).

(a) Mostre que se tem ( ) ( )( )2 2 2o e on n n= + − ⋅E E c E cε onde c é o eixo óptico do cristal

uniaxial.

(b) Calcule, num referencial ( ), ,x y z , a forma matricial ( )j kε=ε da função dieléctrica da

alínea anterior para um eixo óptico caracterizado por ( )ˆ ˆ ˆsin cos sin cosθ φ φ θ= + +c x y z .

Considere, ainda, os seguintes casos particulares: (i) 0φ = (configuração equatorial); (ii)

2φ π= (configuração polar); (iii) 2θ π= (configuração longitudinal).

(c) Escreva, no referencial ( ), ,x y z , a equação do elipsóide de índices. Considere, ainda, os

casos particulares (i), (ii) e (iii) analisados na alínea anterior.

Nota: No âmbito da álgebra geométrica prescinde-se do cálculo tensorial ou diádico. No

âmbito deste cálculo considera-se o tensor dieléctrico

( )( )2 2 2tensor dieléctrico o e on n n→ = + − ⊗ε I c c

do qual se infere, num dado referencial 1 2 3, ,e e e ortonormado, que

( ) ( )( )( )2 2 20

1,0,j k j k j k j k j k e o j k

j kn n n

j kδ ε δ

=⎧⋅ = = → = ⋅ = + − ⋅ ⋅⎨ ≠⎩

e e e e c e c eε .

A constante dieléctrica ( )ε = ⋅s s sε ao longo da direcção s , com 2 1=s , é dada por

( )( )22 2 2o e on n nε = + − ⋅s s c .

A função da impermeabilidade dieléctrica é a inversa da função dieléctrica

1−=η ε .

O elipsóide de índices é dado pela equação

( )elipsóide de índices 1η→ = ⋅ =s s sη .

No caso uniaxial tem-se

( ) ( )2 2 2

1 1 1

o e on n n⎛ ⎞

= + − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

D D c D cη

144 Carlos R. Paiva

( )22 2 2

1 1 1elipsóide de índices 1o e on n n

η⎛ ⎞

∴ → = + − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

s s c .

Problema 3

Considere um cristal biaxial tal que, no referencial ( )1 2 3, ,x x x , a respectiva função dieléctrica

é caracterizada pelos vectores unitários 1 1 1 3 3ˆ ˆγ γ= +d x x e 2 1 1 3 3ˆ ˆγ γ= − +d x x , em que

( )1 sin 2γ θ= e ( )3 cos 2γ θ= . Designando por iε (com 1,2,3i = ) o valor próprio da função

dieléctrica ( )Eε ao longo do eixo dieléctrico principal ix , em que 1 2 3ε ε ε< < , mostre que

( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 1 1 212

ε ε ε= + − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦E E d E d d E dε .

Problema 4

Considere a interface 0x = separando o semi-espaço 0x ≥ , preenchido por um meio

isotrópico de índice de refracção in , do semi-espaço 0x < preenchido por um cristal uniaxial

caracterizado pelos índices on (ordinário) e en (extraordinário). Admita que o eixo óptico do

cristal uniaxial é dado por ˆ ˆcos sinφ φ= +c y z . Suponha então que uma onda plana

monocromática, proveniente do semi-espaço isotrópico 0x ≥ , incidente na interface 0x = e

que a sua constante de propagação é dada por ˆ ˆi iq β= +k x z com 0 cosi i iq n k θ= e

0 sini in kβ θ= .

(a) Determine, em relação ao referencial ( ), ,x y z , a forma matricial da função dieléctrica

( )Eε do cristal uniaxial.

(b) Supondo que 1.50in = e que o meio 0x < é de calcite ( 3CaCO ) em que 1.658on = e

1.486en = (cristal uniaxial negativo porque e on n< ), diga se é possível que a onda

ordinária não se propague na região 0x < . Justifique.

(c) Determine o ângulo eθ de propagação da onda extraordinária em função do ângulo iθ de

incidência e para um dado ângulo φ de inclinação do eixo óptico.

(d) Supondo que 15φ = e considerando ainda os mesmos dados da alínea (b), determine a

gama possível de variação do ângulo de incidência iθ para o qual não existe onda

extraordinária propagando-se na região 0x < .


145

(e) Calcule o índice de refracção ( )in θ da onda extraordinária em função do ângulo iθ da

onda incidente para um dado valor φ do eixo óptico. Para os dados considerados na alínea

(b), diga qual o domínio de aplicabilidade da expressão encontrada.

Problema 5

Considere uma placa retardadora de meia-onda cuja espessura é t e cujas faces anterior

( )0z = e posterior ( )z t= são perpendiculares ao eixo longitudinal Z . Admita que a placa é

feita de um cristal uniaxial cujo eixo óptico c é transversal (i.e., é perpendicular ao eixo

longitudinal Z ) e dado por ( ) ( )ˆ ˆcos sinψ ψ= +c x y . Considere que a luz incide normalmente

(i.e., com uma constante de propagação ˆk=k z ) sobre a face anterior 0z = .

(a) O tantalato de lítio ( )3LiTaO é um cristal uniaxial positivo com 2.1391on = e

2.1432en = para o comprimento de onda 1 mλ µ= . Determine, para esse comprimento

de onda, a espessura t da placa retardadora de tantalato de lítio.

(b) Determine a polarização do feixe transmitido supondo que o feixe incidente está

polarizado linearmente segundo y .

(c) Mostre que este dispositivo é um polarizador que converte a luz com polarização circular

direita (PCD) em luz com polarização circular esquerda (PCE) e vice-versa (PCE →

PCD).

X

Z

Y

c

ψ t

146 Carlos R. Paiva

Problema 6

Mostre que, num cristal biaxial, os dois eixos característicos ( )1 2,c c da função

impermeabilidade dieléctrica 1−=η ε se relacionam com os dois eixos caraterísticos ( )1 2,d d

da função dieléctrica ε através das expressões ( )1 2 3ε ε ε< <

3 1

3 3 1 1

2 2

2

11

ε εβ

ε ε γ γβα

γβ γγ

β

−=

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=−

c dc d

em que

1 3

2

ε εα

ε= .

Note-se que 2 2 2 21 1 1 2 1= = = =d d c c (i.e., são vectores unitários). Mostre, também, que (ver

Problema 2)

2 11

3 1 1 1 1 3 3

2 1 1 3 33 23

3 1

sin2

cos2

ε ε φγε ε γ γ

γ γε ε φγε ε

− ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟− = +⎝ ⎠→

= − +− ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

d e ed e e

31 31 2 1exp cos sin2 2 2

r r rφ φ φφ φ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ = = + → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e e d d

⊗

2X

3X

1X

3γ

1γ1γ−

1c2c

1d2d

1τ1τ−

3τφ

δ

3e

1e


147

31 1

2 1 1 1 3 3

2 1 1 3 313 3

2

sin2

cos2

ε δτ γε τ τ

τ τε δτ γε

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ = +⎝ ⎠→

= − +⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

c e ec e e

31 31 2 1exp cos sin2 2 2

r r rδ δ δδ δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ = = + → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e e c c

( )( ) ( ) 3

1

cosh 1 1 1tanh ln lnsinh 2 1 4

γ ξ εββ ξ ξγβ ξ β ε= ⎛ ⎞⎛ ⎞+

→ = → = = ⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

1

tan tan2 2

εδ φε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Nota: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 1 1 212

η η η= + − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦D D D c c D c cη , 1i iη ε= (com 1,2,3i = ).

Problema 7

Num cristal biaxial, de acordo com o problema anterior, tem-se ( )1 2 3η η η> >

( )

( ) ( ) ( )0 2

0 0 2 1 1 2

0 3 112

α ηα β

β η η

=→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

= −D D D c c D c cη .

Mostre que as duas ondas características têm constantes de propagação 0k± ±=k n em que

ˆn± ±=n k (com 2ˆ 1=k ), tendo-se

( )( ) ( )1 123 2 2

0 02

2 123

ˆ1

ˆ nα β

±

= − ∧→ = + ⋅ ±

= − ∧

u k c eu v u v

v k c e.

Para diferentes valores de

3 31 2

1 3 2 3

1, 1ε εη ηζ κε η ε η

= = > = = >

represente graficamente as duas superfícies ( )ˆn n± ±= k . Mostre que os dois eixos ópticos do

cristal biaxial correspondem a ( )1 2,c c e não a ( )1 2,d d . Discuta o caso particular de um cristal

uniaxial.

148 Carlos R. Paiva


149

Sumário: Problemas sobre teoria da relatividade restrita, álgebra geométrica do espaço-tempo

de Minkowski e óptica relativista.

“1. The laws by which the states of physical

systems undergo change are not affected,

whether these changes of state be referred to

one or the other of two systems of co-

ordinates in uniform translatory motion.

2. Any ray of light moves in the «stationary»

system of co-ordinates with the determined

velocity c , whether the ray be emitted by a

stationary or by a moving body.”

Albert Einstein, “On the electrodynamics of

moving bodies.” In: H. A. Lorentz, H. Weyl,

and H. Minkowski, The Principle of Relativity

(New York: Dover, 1952), p. 41

Albert Einstein (1879-1955)

Problema 1

Mostre que o operador de d’Alembert (ou dalembertiano)

2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2

1 1c t x y z c t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ − = + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

não é invariante numa transformação de Galileu. Mostre, então, que se se admitir que

150 Carlos R. Paiva

( )

( )

x A x Bty yz zt C t Dx

⎧ = −⎪

=⎪⎨ =⎪⎪ = −⎩

o dalembertiano já é invariante, desde que se tenha B v= , 2 21 1A C v c= = γ = − e

2D v c= (i.e., numa transformação de Lorentz).

“Henceforth space by itself, and time by itself, are

doomed to fade away into mere shadows, and only a

kind of union of the two will preserve an independent

reality.”

Hermann Minkowski, “Space and Time.” In: H. A.

Lorentz, H. Weyl, and H. Minkowski, The Principle

of Relativity (New York: Dover, 1952), p. 75

Hermann Minkowski (1864-1909)

Problema 2

Um laser A emite um sinal luminoso que atinge o espelho B localizado a uma distância h .

Este sinal é recebido novamente em A , depois de ser reflectido por B , após ter decorrido um

intervalo de tempo 0 2T h c= do ponto de vista de um observador em repouso relativo ao

sistema A B− (vulgarmente designado por relógio de fotões); 299792458 m/sc = é a

velocidade da luz medida no vácuo – valor exacto fixado por convenção.


151

O sistema A B− é agora observado a mover-se com uma velocidade v constante – tal como

se mostra na figura da página seguinte. Dado que, neste novo referencial, a velocidade da luz

continua a ser dada por c (de acordo com o segundo postulado de Einstein), o tempo T que o

sinal luminoso leva a percorrer o mesmo trajecto de ida e volta é necessariamente diferente do

valor 0T calculado anteriormente. Mostre que

02

21

TTvc

=

−

.

Este problema ilustra, portanto, a dilatação do tempo: 0T Tγ= , ( ) 1 22 21 1v cγ−

= − ≥ .

A

B

h 02hTc

=

( )0A t

B

h

( )0A t T+

vT

2cT

2cT

v

152 Carlos R. Paiva

Problema 3

Consideremos o mesmo sistema A B− (relógio de fotões) do problema anterior, mas agora

rodado de 2π . Para um observador em repouso relativo em relação ao sistema A B− , a

distância entre espelhos é 0 0 2L cT= como se indica na figura anexa.

Porém, para um observador que veja o sistema a mover-se, tal como se indica na figura junta,

a distância entre A e B deverá ser 0L L≠ . Com efeito, no percurso de ida o sinal luminoso

demora um intervalo de tempo fT , com f fcT L vT= + ; porém, no percurso de volta, demora

um intervalo de tempo bT tal que b bcT L vT= − . Assim, o tempo total de ida e volta será

0f bT T T Tγ= + =

onde se teve em consideração a

dilatação do tempo calculada no

problema anterior. Mostre que

2

021 vL Lc

= − .

Este problema ilustra a contracção do espaço: 0L L γ= , ( ) 1 22 21 1v cγ−

= − ≥ .

Problema 4

A figura anexa (na página seguinte) mostra como se pode definir a simultanedade de dois

acontecimentos num dado referencial de inércia S representado pelos eixos X e cT . Um

observador A , em repouso em S (no ponto Ax ), envia um sinal luminoso no instante 1t ; este

sinal atinge o observador B (em movimento, do ponto de vista de A ) no instante 0t . Este

0L

00 2

cTL =

L fvT

L

bvT

f fcT L vT= +

b bcT L vT= −

v


153

sinal, ao atingir o ponto 0x , é instantaneamente reflectido e é recebido novamente pelo

observador A no instante 2t . O observador B desloca-se (do ponto de vista de A ) com uma

velocidade v constante: o seu movimento é descrito em S pela equação Ax x v t= + .

(a) Mostre que

( ) ( )

( ) ( )0 2 1 0 2 1

1 0 0 2 0 0

,2 2

,

A

A A

c cc t t t x x t t

c t c t x x c t c t x x

⎧ = + − = −⎪⎨⎪ = − − = + −⎩

.

(b) Usando o factor k de Bondi, tem-se 0 1t k t= e 2 0t k t= . Definindo v cβ = , mostre que

11

k ββ

+=

−.

(c) Definindo o intervalo 2s entre os acontecimentos ( )0, AxP e ( )0 0,c t xQ como sendo

( )22 2 20 0 As c t x x= − − , mostre que

2 21 2s c t t= .

X

cT

0c t

1c t

2c t

A B

0v t

0xAx

( )( )

1 0

2 0

1

1

c t c t

c t c t

β

β

= −

= +

0c t

P

Q

154 Carlos R. Paiva

Classifique os casos particulares: (i) 0 0c t = ; (ii) 0 Ax x= ; (iii) 0 0Ax x c t− = .

Problema 5

Deduza a transformação de Lorentz utilizando o factor k de Bondi determinado no problema

anterior. Sugere-se que considere a situação descrita na figura anexa (página seguinte). Um

observador A (eixo cT ) envia um sinal luminoso que atinge o ponto x no instante t

(acontecimento E ). Do ponto de vista de um observador B (eixo cT ) o acontecimento E

ocorre no ponto x no instante t . O sinal luminoso foi emitido por A no instante T t x c= −

e, quando este sinal atinge o observador B , este também envia um outro sinal luminoso no

instante T t x c= − que atinge o ponto x no instante t e que também é reflectido de volta,

alcançando novamente o observador B no instante T t x c= + .

Nestas condições, mostre que

( )

( )1c t x k c t x

c t x c t xk

− = −⎧⎪⎨

+ = +⎪⎩

donde se infere que

( ) ( ), ,E t x E t x↔

X

cTcT

A B

x

c t

c t x−

c t x+

c t x−

c t x+


155

A B

P Q

R

S

U

V

1 1 1 12 2

1 1 1 12 2

c t k c t k xk k

x k c t k xk k

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

.

Logo, atendendo a que (ver problema anterior)

2

1 21 1

11 12

kkk

kk

γβ γβ βγ β

⎧ + =⎪+ ⎪= ⇒ =⎨− −⎪ − =⎪⎩

vem finalmente

( )

( )c t c t x

x x c t

γ β

γ β

= −

= −.

Problema 6

Mostre que o conceito de simultaneidade não é um conceito absoluto: a simultaneidade

depende do referencial de inércia considerado – dois acontecimentos simultâneos num dado

referencial de inércia não são, em geral, simultâneos noutro referencial de inércia.

156 Carlos R. Paiva

Sugestão: Considere a situação descrita na figura anexa e mostre que os acontecimentos P e

Q , apesar de serem simultâneos do ponto de vista do observador A , não são simultâneos do

ponto de vista do observador B : do ponto de vista de B o acontecimento Q é anterior a P .

O observador A emite sinais luminosos (linhas contínuas) que lhe permitem estabelecer a

simultaneidade dos acontecimentos P e Q . Por sua vez o observador B , que se encontra

com o observador A quando se observa a simultaneidade (em A ) de P e Q , também emite

sinais: um sinal RQU e um sinal SPV (linhas a tracejado). Por simetria tem-se RU SV= ;

assim, os acontecimentos P e Q são equidistantes de acordo com B . Porém, o sinal RQ foi

enviado antes do sinal SP : do ponto de vista do observador B o acontecimento Q foi

efectivamente anterior ao acontecimento P .

Problema 7

Um aluno está a resolver um exame cuja duração, medida pelo relógio do professor, deve ser

de uma hora. O professor, que se move com a velocidade 0.8v c= em relação ao aluno, emite

um sinal electromagnético quando o relógio indica que decorreu uma hora desde o início do

exame. O aluno pára de escrever quando é alcançado pelo sinal. Quanto tempo teve para fazer

o exame?

Problema 8

Uma régua de comprimento 0L é mantida inclinada com um ângulo 0θ em relação à direcção

do movimento num referencial móvel. Determine o seu comprimento L e a sua inclinação θ ,

medidos no referencial do laboratório, para uma velocidade relativa v cβ= . Concretize para

0 1mL = , 0 45θ = e 0.8β = .

Problema 9

Mostre que uma transformação de Lorentz (um boost) pode ser representada através de um

diagrama de Lorentz em que as coordenadas de um acontecimento ( ),E t x ou ( ),E t x são as

componentes covariantes de OE : ver figura anexa. Note que, num diagrama de Minkowski,

as componentes de E são as componentes contravariantes.


157

Sugestão: Note que, no diagrama de Lorentz, se faz por construção sinv cβ α= = . Assim

cos 1α γ= e tanα γ β= . Como UP SV= e VQ RU= , tem-se

tan 1cos

1tan

cos

OROP OU UP OS c t c tx xOSOQ OV VQ OR

α βα γβ

αα

⎧= + = +⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⇔ =⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ = + = +⎪⎩

cos sinsin cos

c t c tx x

α αα α

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∴ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

representando uma rotação de α dos eixos ( ),cT X em relação aos eixos ( ),cT X .

O

R

P

( ) ( ), ,E t x E t x↔

Q

S

X

cT

X

cT OP ct OR c t

OQ x OS x

⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎨ ⎨

= =⎪ ⎪⎩ ⎩

α

α

Diagrama deLorentz

158 Carlos R. Paiva

Problema 10

No diagrama de Minkowski as coordenadas do acontecimento ( ),E t x ou ( ),E t x são as

componentes contravariantes de OP : ver figura anexa. Aqui trata-se de representar a

transformação

( )( )

cT cT X

X X cT

γ β

γ β

⎧ = −⎪⎨

= −⎪⎩

em que o eixo cT em S (i.e., 0X = ) corresponde à recta x v t= no referencial S e o eixo

X em S (i.e., 0cT = ) corresponde à recta c t xβ= no referencial S . Note-se, portanto,

que tanv cβ θ= = , tendo-se

( ) ( )0 1 0 1OE ct x c t x= + = +e e e e .

v t

xβ

X

X

cT cT

x

x

c t c t

( ) ( ), ,E t x E t x↔

θ

θ

Diagrama de Minkowski


159

Problema 11

Mostre que a homogeneidade do espaço-tempo (i.e., quer o espaço quer o tempo são

homogéneos) implica que a transformação de Lorentz seja linear.

Sugestão: Considere, em geral, que a passagem do referencial de inércia S para o referencial

de inércia S tem a forma

( )( )( )( )

0

1

2

3

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

t f t x y z

x f t x y z

y f t x y z

z f t x y z

=⎧⎪

=⎪⎨

=⎪⎪ =⎩

.

O caso de uma transformação não linear corresponde, por exemplo, a ter-se 2x x= . Mas

então, se 2 1x x= − em S , vem ( )( ) ( )2 22 1 2 1 2 1 2 1 1 2x x x x x x x x x x= − = − = + − = + em S .

Logo, a relação entre e depende dos pontos 1x e 2x considerados. Já se a transformação

for do tipo x k x= (i.e., linear) virá k= que não depende dos pontos considerados. Em

geral, portanto,

0 0 0 0f f f fd t dt d x d y d zt x y z

∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

e relações semelhantes para d x , d y e d z . A homogeneidade do espaço-tempo implica

então que

0 0 0 0, , ,f f f fA B C Dt x y z

∂ ∂ ∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂

onde A , B , C e D são constantes. Daqui resulta a linearidade da transformação

( )0 , , ,t f t x y z= : t At B x C y D z E= + + + + .

160 Carlos R. Paiva

Problema 12

Usando um diagrama de Lorentz mostre que o conceito de simultaneidade é um conceito

relativo – não um conceito absoluto (tal como previsto pela transformação de Galileu em que

c = ∞ ). Mostre, ainda, a dilatação do tempo e a contracção do espaço. Note que, num

diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo e a contracção do espaço são – ao contrário de

um diagrama de Lorentz – mais difíceis de verificar dada a necessidade de introduzir curvas

de calibração para os eixos X e cT .

Problema 13

O factor k de Bondi (ver Problemas 4 e 5) é particularmente apropriado para estudar o efeito

Doppler longitudinal. Considere, com efeito, a figura anexa. A linha de universo do

observador A corresponde à recta constanteAx = , enquanto a linha de universo do

observador B corresponde à recta ( ) 0Bx t x v t= + . O observador A emite sinais

electromagnéticos com um período 2 ET π ω= e estes sinais são recebidos pelo observador

B com um período 2 RT kT π ω= = . Mostre que

11

E

R

ω βω β

+=

−.

( ) 0 , 0Bx t x c tβ β= + >

A Bct

x Ax 0x

2

R

kkT πω

=

2

E

T πω

=


161

Discuta os dois casos distintos: (i) emissor e receptor afastam-se ( )0β > ; (ii) emissor e

receptor aproximam-se ( )0β < .

Problema 14

O factor k de Bondi é particularmente apropriado não só para estudar o efeito Doppler

longitudinal mas também a composição de velocidades de Einstein.

A

B

C

1v 2v

v

x

c t A B C

Ax 1x 2x

T

1k T

1 2k k T kT=

( )( )

1 1

2

B

C

x t x v t

x t x v t

= +

= +

162 Carlos R. Paiva

Com efeito, de acordo com a figura anexa (página anterior), infere-se facilmente que

1 2 1 2

1 21 22

1 1

v vv v vc

β βββ β+ +

= ⇔ =+ +

onde v cβ = , 1 1v cβ = e 2 2v cβ = . Do ponto de vista do observador :A o observador B

desloca-se com uma velocidade 1v e o observador C desloca-se com uma velocidade v . Do

ponto de vista do observador B : o observador C desloca-se com uma velocidade 2v .

Problema 15

Consideremos dois observadores A e B . O observador A parte do local onde se encontrava

junto a B e alcança, num tempo (de aceleração) desprezável, uma velocidade v c= β

constante. Após decorrido algum tempo, o viajante A inverte subitamente o sentido do seu

movimento e volta a encontrar-se com o observador B aproximando-se deste novamente com

a mesma velocidade v c= β . Suponhamos que cada um dos observadores envia ao outro

sinais electromagnéticos uniformemente espaçados no respectivo tempo próprio. Seja f a

frequência de emissão, i.e., o número de sinais que cada um envia na unidade de tempo

próprio.

L vT=

x

c tc t

A

B

C

cTcT

( )22 2 2 2c T c T L= −

D


163

No referencial S onde se encontra o observador B , a linha de universo de B corresponde a

( )A B C enquanto que a linha de universo de A é ( )A DC . O tempo total que dura a

viagem, tal como medido por B , é 2T L v= . Usando o efeito Doppler (relativista) mostre

que, do ponto de vista do viajante A , o tempo que dura a viagem é 2T L v T′ = γ < . Verifique,

ainda, que – ao contrário do que uma interpretação errada da reciprocidade poderia sugerir –

ambos os observadores estão de acordo em relação a esta diferença.

Problema 16

Considere um disco em rotação, relativamente ao seu eixo, com uma velocidade angular ω

constante. Mostre que, para um referencial solidário com o disco e colocado a uma distância

r do centro, o comprimento de uma circunferência não é 2 r= π (como na geometria

euclidiana) mas antes dado por L tal que

2

2

1

r Lr

c

= π = >ω⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Problema 17

Na álgebra geométrica 1,3C do espaço-tempo de Minkowski gerada pela base ortonormada

eµ (com , 0,1,2,3µ ν = ) tal que 20e 1= e 2e 1i = − (com , 1,2,3i j = ), onde

( )

1 0 0 00 1 0 0

e e diag 1, 1, 1, 10 0 1 00 0 0 1

µ ν µνη

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⋅ = = − − − =⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

e e e e 2µ ν ν µ µνη+ =

representa a métrica indefinida (ou semi-definida) negativa de Minkowski, mostre que

( )( )

( )( )

2 2 2

2 2 20 00 0

e e e e 1 exp e e cos e e sin ,

exp e e cosh e e sinh ,e e e e 1

i j i j i j i j

i ii i

⎧ ⎧∧ = − = − = + ∈⎪ ⎪⇒⎨ ⎨= + ∈⎪ ⎪∧ = − = + ⎩⎩

θ θ θ θ

ζ ζ ζ ζ.

164 Carlos R. Paiva

Sugestão: Note que, se 0a b⋅ = , então

( )2 2 2a b ab ab abb a a b∧ = = − = − .

Da definição

( ) ( ) ( )2 2 1

0 0 0

exp! 2 ! 2 1 !

k k k

k k k

x x xxk k k

+∞ ∞ ∞

= = =

= = ++∑ ∑ ∑

decorre

( ) ( )2 2 1

2 2 10

ˆ ˆ ˆ ê e 1 , 1ˆ ˆ ˆ ê e 1,

k kk ki j

k ki

C C C C

B B B B

+

+

⎧ = ⇒ = − = −⎪⎨

= ⇒ = =⎪⎩

pelo que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 1

0 0

2 2 1

0 0

ˆ ˆ êxp 1 1 cos sin2 ! 2 1 !

ˆ ˆ êxp cosh sinh2 ! 2 1 !

k kk k

k k

k k

k k

C C Ck k

B B Bk k

θ θθ θ θ

θ θζ ζ ζ

+∞ ∞

= =

+∞ ∞

= =

⎧= − + − = +⎪ +⎪

⎨⎪ = + = +⎪ +⎩

∑ ∑

∑ ∑.

Enquanto que, por um lado, ( )êxp Cθ representa uma rotação no hiperplano ˆ e ei jC = ∧ , por

outro lado, ( )êxp Bζ representa um boost (uma transformação de Lorentz) no hiperplano

0ˆ e eiB = ∧ .

Problema 18

Na álgebra geométrica 1,3C um acontecimento a é descrito, num referencial eS µ , por

( ) ( )0 0e e e eiia x c t x c tµ

µ= = + = + r .

Supondo que ( )a a t= descreve a linha de universo de uma partíula cujo referencial próprio é

0 fS µ com um tempo próprio τ , então

( ) 0fa cτ= .

A velocidade própria da partícula é dada por u a d a dτ= = enquanto que a velocidade

relativa (em relação a S ) é d dt=v r .

(a) Mostre que ( )0 0f eu c cγ= = + v , com ( ) 1 22 21 v cγ−

= − e em que 2 2u c= e 2 2v= −v .


165

(b) Definindo o observador próprio do referencial S como tendo a velocidade própria

0es c= , mostre que 2u L s= em que ( )2 ˆ1L Bγ β= + (com v cβ = ) é um multivector e

onde o bivector unitário 0 0ˆ ˆ ê eB = = ∧v v é do tipo tempo, i.e., 2ˆ 1B = .

(c) Mostre que o invariante 2a aa a a= = ⋅ é dado por 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a c t R c t c t r= − = + = −r ,

em que 0 0e eR = = ∧r r e onde 2 2 2R r= − =r .

(d) Definindo coshγ ζ= , de forma que sinhγ β ζ= e tanhβ ζ= , mostre que

( ) ( ) ( )ˆ êxp 2 cosh 2 sinh 2L B Bζ ζ ζ= = + com 1L L = .

(e) Notando que ( )20

1 2L L L L L L+ = + = , mostre que

( )

ˆ12 1

BL γ γ βγ

+ +=

+

tendo-se, portanto, ˆ ˆL L=v v e 0 0e eL L= . Sendo b um vector ortogonal ao plano B ,

mostre porém que Lb bL= .

(f) Mostre que, num boost (i.e., numa transformação de Lorentz), que permite passar do

referencial eS µ para o referencial fS µ , o bivector B permanece invariante,

i.e., 0 0ˆ ˆ ê fB = =v w , onde ˆcβ= −w w é a velocidade relativa de S em relação a S . Note

que a velocidade própria de S é 0fu c= enquanto que a velocidade própria de S é

0es c= : 2 2L u s c= , 2 2L s u c= .

0

0

eˆ ˆ e

ˆ

Ss c

Bcβ

=

==

vv v

0

0

fˆ ˆ f

ˆ

Su c

Bcβ

=

== −

ww w

L

166 Carlos R. Paiva

Problema 19

Na álgebra geométrica 1,3C a linha de universo de uma partícula é descrita por

( ) ( ) ( )0ea c tτ τ τ= +⎡ ⎤⎣ ⎦ r onde τ é o respectivo tempo próprio medido no referencial próprio

0 fS µ . Seja ( ) ( )0eu a d a d c= = = +⎡ ⎤⎣ ⎦vτ γ τ τ a velocidade própria da partícula num

dado referencial eS µ . Define-se, então, a aceleração própria da partícula como sendo

g u du dτ= = .

(a) Mostre que a aceleração própria está relacionada com a aceleração relativa d dt=α v

através da expressão

20e ed d dg g u c

dt dt dt⎛ ⎞

= = + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

α v αµµ

γ γ γγ γ γ

em que

3

2

d dvvdt c dtγ γ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

(b) Notando que 2 2u u u c= ⋅ = , mostre que 0g u⋅ = , i.e., a aceleração própria da partícula é

sempre ortogonal à sua velocidade própria. Mostre também que, deste modo, o bivector

aceleração é dado por uB u u u u= ∧ = e que, atendendo ao resultado da alínea anterior, se

tem

( )2 2 0d dvg u u u vdt dtγ γ⋅ = + ⋅ = ⇒ ⋅ = −α v α .

Ou seja: só se terá 0⋅ =v α no caso particular em que 0dv dt = (o caso 0v = é trivial).

(c) Mostre que, no seu referencial próprio 0S , a aceleração própria é dada por g = α de

forma que 2 2g α= − onde ˆα=α α (i.e., 2 2α= −α ). Sugestão: Note que, em 0S , se tem

( ) 0v t = e, consequentemente, ( ) 1tγ = .


167

Problema 20

A linha de universo de uma partícula com aceleração própria α constante ao longo de uma

única direcção espacial corresponde a uma hipérbole – daí o nome de movimento hiperbólico.

Com efeito, sendo essa direcção x e fazendo

2

0 0, 0,d x ct v x Xdt

τα

= ⇒ = = = = =

mostre que

( )

( )( )

2

22 2

cosh

sinh

cxc

x c t Xct

c

αττα

αττα

⎧ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⇒ − =⎨⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

( ) ( )2

1tanh tanhd x d x d c tv t cdt dt d x c c

τ ατ ατζ βτ

−⎛ ⎞∴ = = = = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Notando, ainda, que

( ) ( )1 1 2 1

2sinh cosh 1 tanh

1xx x

x− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟= + =⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )1 1 1tanh ln , 12 1

xx xx

− +⎛ ⎞= <⎜ ⎟−⎝ ⎠

mostre que se tem

( ) ( )22

2

11 , , ln2 1

1

c t t c cx t tc tc

c

α α ββ τ ζα α α βα

⎛ ⎞+⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 2

2ˆ , ln 1 ln 1

21

t c t t t tt tc c c ct

c

α α α α αταα

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥∴ = = + + − + −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

v x

donde se infere ainda que

3 22

0

1 , lim 0, limt c

t

dv t dv dv dvdt c dt dt dt

αα α α−

→∞ →∞=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⇒ = = =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2

3 2 22 2ˆ ˆ

1 1

dv dv tt t t v tdt dtt t

c c

α α

α α∴ = = ⇒ ⋅ = − = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

α x x v α .

Verifique que, quando 1t cα , é possível escrever

168 Carlos R. Paiva

( ) ( )2

21 ,2

cx t t v t tα αα

− = =

com razoável aproximação – resultado coincidente, como é sabido, com o obtido através da

mecânica newtoniana.

Sugestão: De 0 0 1 1 0g u g u g u⋅ = − = tira-se que 1 0 0 1g u g u= . Logo, atendendo a que

( ) ( )2 22 0 1 2u u u c= − = , infere-se que 0 1g u cα= pelo que 1 0g u cα= . Daqui resulta que

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

d t d x dt x d t td c d d c d c

d xd x dt d x xtdd d d c

α α ατ τ τ τ

αααττ τ τ

⎧ ⎧⎧= = =⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪== =⎪ ⎪ ⎪⎩⎩ ⎩

.

Problema 21

Um emissor de ondas electromagnéticas emite ondas de frequência 1ω e vector de onda 1k .

Um receptor, deslocando-se em relação ao emissor com uma velocidade relativa ˆv=v v ,

recebe essas ondas numa frequência 2ω e com um vector de onda 2k . Mostre que

( )

1

2

11 cos

ωω γ β θ

=−

em que 1ˆˆ cosθ⋅ = −v k . Considere os seguintes casos particulares: (i) efeito Doppler

longitudinal, com 0θ = ; (ii) efeito Doppler transversal, com 2θ π= .

1

1 0

0

eˆ ˆ e

ˆ

Su c

Bcβ

=

==

vv v

2

2 0

0

2 2

fˆ ˆ f

Su c

Bl uω

=

== ⋅

w

L1

1 0

1 1 0

1 1

eˆ ˆ e

Su c

Bl uω

=

== ⋅

k

U


169

Sugestão: Note que o vector de onda próprio das ondas electromagnéticas emitidas é dado por

( ) ( )1 2 1 20 1 0 2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ê f , ,c c c cω ω ω ω

= + = + = =k k k k k k

de forma que 2 0= . Note, ainda, que a rotação U e o boost L são tais que

1 1ˆ ˆˆ

ˆ ˆ Û U

L L

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

k v k

v w v.

Porém tem-se 0 0e eU U= , de modo que 0 0e eU U= . Enquanto que a rotação U é dada por

( )( )

2 21 1 1 1 1 1 1

2 11 1

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin , sin , 1ˆˆ1ˆ êxp exp

2 ˆˆ2 1

U B B B

U B U B

θ θ θ

θθ

= − = − ⋅ − ∧ = − ∧ = = −

−⎛ ⎞∴ = − ⇒ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⋅

vk v k v k v k

vk

v k

o boost é dado por

( )( )

2 20 0 0 0

2 0

0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ê e e cosh sinh , e sinh , 1ˆ1 eˆ êxp exp

2 ˆ2 1 e

L B B B

L B L B

= = ⋅ + ∧ = + ∧ = =

+⎛ ⎞∴ = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ + ⋅

v v v vv

v

ζ ζ ζζζ

.

Problema 22

Considere o problema geral de composição de velocidades não colineares representado na

figura anexa (ver página seguinte). Um observador com velocidade própria 0es c=

(referencial S ) observa dois outros observadores 1 0fu c= (referencial 1S ) e 2 0gu c=

(referencial 2S ) a deslocarem-se, em relação a si, com velocidades relativas 1 1 1ˆcβ=v v e

2 2 2ˆcβ=v v , respectivamente. Mostre que a velocidade relativa do observador 2 0gu c= em

relação ao observador 1 0fu c= é ˆcβ=v v , com ( )1 2ˆ ˆ cosθ⋅ = −v v

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1

1 221 2 21 2

1 1 22

2cos sin ˆ ˆ ˆ ˆˆ,

1 cos

c

β β β β θ β β θβ

β β θγ

+ − + − ⋅ + ∧ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦= =− ⎡ ⎤∧

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

v v w w v v vv

v vv v

.

170 Carlos R. Paiva

Sugestão: Comece por observar que

0 0g fR R=

( ) ( )0 2 0 20 2 1 0 1 2

0 1 0 1

g eg f

e f

L LL L L L

L L

⎧ =⎪ ⇒ =⎨=⎪⎩

( ) ( )0 00 0

0 0

g fg f

f f

L LLU U L

U U

⎧ =⎪ ⇒ =⎨=⎪⎩

donde se infere

2 1R L L LU= =

em que 1 2R L L U L= = . Esta última equação mostra que, em geral, a composição ( R ) de dois

boosts ( 1L seguido de 2L ) não é um boost: é a composição de um boost ( L ) com uma rotação

espacial (U ); os boosts e a sua operação de composição não constituem um grupo.

2

2 0

2 2 0

0

gˆ ˆ gˆ ˆ g

Su c

B

B

=

=

=

w

w

1

1 0

1 1 0

fˆ ˆ f

Su c

B

=

= w

1L0

1 1 0

2 2 0

eˆ ˆ eˆ ˆ e

Ss c

B

B

=

=

=

v

v

U

1

1 0

0

fˆ ˆ f

Su c

B

=

= v

2L

L

R


171

Nota importante: Mostre que, no caso particular em que 0θ = , se obtém

( )1 21 2 1

1 2

ˆ ˆ, sgn1β β

β β ββ β−

= = − −−

v w

enquanto que, no caso particular em que θ π= , se obtém

1 21

1 2

ˆ ˆ,1β βββ β+

= = −+

v w .

Represente graficamente β em função de θ π , para 0 θ π≤ ≤ , considerando os seguintes

casos: (i) 1 0.2β = e 2 0.4β = ; (ii) 1 2 0.5β β= = ; (iii) 1 0.6β = e 2 0.8β = ; (iv) 1 0.8β = e

2 0.98β = .

Problema 23

Uma nave espacial parte da Terra no ano 2100. Um de dois gémeos nascidos em 2080

permanece na Terra enquanto que o outro viaja a bordo da nave espacial. De forma a que os

viajantes se sintam como no planeta Terra, a nave movimenta-se sempre com uma aceleração

própria g (com 29.8 m/sg = ). A viagem decorre do seguinte modo: na primeira fase acelera

ao longo de uma linha recta durante 0 2 anosτ = (medidos no seu tempo próprio); numa

segunda fase desacelera durante mais 0τ ; numa terceira fase, depois de inverter a marcha,

acelera durante 0τ ; numa quarta e última fase desacelera durante 0τ até que, por fim, aterra.

O gémeo astronauta tem, portanto, 28 anos de idade aquando do seu regresso à Terra.

(a) Qual é a idade do gémeo que ficou na Terra?

(b) Até que distância viajou a nave espacial?

(c) Trace as linhas de universo dos dois gémeos no plano ( ),t x do gémeo que fica em Terra.

Escolha, para calibrar o eixo t , a varável adimensional 0t τ ; para unidade de espaço

escolha o ano-luz. Considere os dois casos seguintes: (i) 0 1anoτ = ; (ii) 0 1.5 anosτ = ; (iii)

0 2 anosτ = .

172 Carlos R. Paiva

gémeo

astronauta

gémeo

terrestre

0 1τ = 0 1.1868t = 1 0.9189x = 24 anos 24.75 anos

0 1.5τ = 0 2.1735t = 1 1.9848x = 26 anos 28.69 anos

0 2τ = 0 3.7505t = 1 3.6310x = 28 anos 35.00 anos

Problema 24

Represente graficamente o ângulo de Thomas φ em função do ângulo θ , para 0 θ π≤ ≤ ,

entre os versores 1v e 2v do Problema 22. Considere os casos: (i) 1 2 0.5β β= = ; (ii) 1 0.6β =

e 2 0.8β = ; (iii) 1 0.8β = e 2 0.6β = . O ângulo de Thomas φ é o ângulo de rotação associado

ao rotor U (ver figura anexa do Problema 22). Mostre que

( )

1 11

1

ˆ ˆ ˆ ˆ1ˆ ˆˆ ˆ, cos expsin 2 ˆ ˆ2 1

C U Cφφφ

∧ −⎛ ⎞= − ⋅ = − ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⋅

v w v wv wv w

.


173

Problema 25

Os interessados em viagens espaciais chegaram a propor a utilização da radiação

electromagnética (i.e., dos fotões) como propulsora dos respectivos foguetões. Sendo m a

massa total da nave espacial antes da viagem e f (com 0 1f< < ) a fracção de m

correspondente à carga útil a transportar, então ao “combustível” radiativo deverá

corresponder uma massa ( )1rm f m= − . Seja u cβ= a velocidade (estabilizada) da nave

espacial e rE a energia radiada. Então, fazendo ( ) ( ) 1 221uγ β−

= − , mostre que

( ) ( ) ( )0 01r u f u fγ β γ= = −⎡ ⎤⎣ ⎦E E E , onde 20 mc=E . Determine o valor que deverá ter f

para que 10γ = .

Problema 26

Considere num referencial S um plasma de índice de refracção ( pω é a frequência do

plasma)

( ) 2 21 pn ω ω ω= −

onde um observador se encontra em repouso. Considere também o referencial S , que se

move em relação a S com velocidade v , no qual uma fonte monocromática emite um sinal

de frequência sω . Discuta o efeito Doppler nos casos em que a fonte se aproxima ou se afasta

do observador.

174 Carlos R. Paiva

“Nobody will drive us from the paradise (of set theory) that Cantor has

created for us.”

David Hilbert (1862-1943)

Georg Cantor (1845-1818)

Comentário: Na teoria dos conjuntos é habitual usar a primeira letra do

alfabeto hebraico (o alef) que se escreve ℵ (em inglês: aleph).

Designemos por M o cardinal do conjunto M (i.e., o número dos

seus elementos). Diz-se que M é numerável se existe uma

correspondência bijectiva com o conjunto dos números naturais

1, 2,3,= … ; por outras palavras, M é numerável desde que seja possível listar os

respectivos elementos na forma 1 2 3, , ,m m m … . Note-se que o conjunto x∪ é ainda

numerável (como no conhecido «hotel de Hilbert»). Um teorema interessante, porque não

intuitivo, é que o conjunto dos números racionais é numerável. Foi Cantor quem

estabeleceu a chamada hierarquia dos conjuntos transfinitos: o tamanho de um conjunto

infinito numerável é o mais pequeno cardinal transfinito e é designado por 0ℵ . Outro

resultado pouco intuitivo é que o conjunto do números reais tem o mesmo tamanho que 2 = × ou que o conjunto dos números complexos ; escreve-se 2 c= = = . A

questão que se coloca é então: será 1c =ℵ ? A afirmação 1c =ℵ é conhecida por hipótese do

contínuo. Foi demonstrado por Kurt Gödel e Paul Cohen que 1c =ℵ é independente da

axiomática de Zermelo-Fraenkel: há modelos de teoria dos conjuntos em que 1c =ℵ e outros

em que 1c ≠ℵ . Paul Erdős (1913-1996) mostrou que a hipótese do contínuo tem implicações

analíticas interessantes – no sentido em que dependem de se considerar 1c =ℵ ou 1c >ℵ .


175

Martin Aigner and Günter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK (Berlin: Springer-

Verlag, 3rd ed., 2004)

F. William Lawvere and Robert Rosebrugh, Sets for Mathematics (Cambridge:

Cambridge University Press, 2003)

Nota: A demonstração de que o corpo é numerável é fácil. Comecemos por listar os

elementos de + como a seguir se indica, deixando de fora os números repetidos – o que

mostra que, de facto, + é numerável.

1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6

2 2 2 2 21 2 3 4 5

3 3 3 31 2 3 4

4 4 41 2 3

5 51 2

61

→ →

↓

↓

↓

Mas então, também é numerável: basta listar o número 0 no início e incluir o negativo

p q− a seguir a p q :

1 1 1 1 3 30,1, 1, 2, 2, , , , , 3, 3, 4, 4, , ,2 2 3 3 2 2

⎧ ⎫= − − − − − − −⎨ ⎬⎩ ⎭

.

176 Carlos R. Paiva

Alfabeto Grego

, alpha , nu, beta , xi, gamma , omicron, delta , , pi, , epsilon , , rho, zeta , , sigma, eta , tau, , theta , upsilon

, iota , , phi, kappa , chi, lambda , psi, mu , omega

α νβ ξγ οδ π ϖε ρζ σ ςη τθ ϑ υι ϕ φκ χλ ψµ ω

Α ΝΒ ΞΓ Ο∆ ΠΕ Ρ

Ζ ΣΗ ΤΘ ϒ

Ι ΦΚ ΧΛ ΨΜ Ω

ε

Nota: Por extenso aparece a pronúncia em língua inglesa.

relatório de fotónica 1 - autenticação · 2 carlos r. paiva sumário: problemas diversos para a...

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