ANÁLISIS DE CIRCUITOS

TEMA II: Régimen Transitorio

E.T.S.I. de Telecomunicación

Alumno: Miguel Silva Felpeto (Sonido e Imagen)

Índice General* .Introducción…………………………………………………………….. 3 1. Regímenes permanente y transitorio………………………………….. 4 2. Nomenclatura del régimen transitorio………………………………… 5

2.1-Elementos pasivos en régimen transitorio……………………. 6

3. Condiciones iniciales y finales………………………………………...8 3.1-Ejemplos de cálculo de condiciones iniciales y finales……….9

Ejemplo 1…………………………………………………...9 Ejemplo 2…………………………………………………...11

4. Respuesta de circuitos RL y RC………………………………………12 4.1-Ejemplos de circuitos RL y RC……………………………….14

Ejemplo 1: respuesta natural de un circuito RC……………14 Ejemplo 2: respuesta forzada de un circuito RC…………...15 Ejemplo 3: respuesta natural de un circuito RL……………16 Ejemplo 4: respuesta forzada de un circuito RL…………...17

5. Respuesta de circuitos con dos elementos reactivos………………….18 5.1-Ejemplo de respuesta en circuito con dos elementos…………19

6. Circuitos con elementos desacoplados………………………………..21 6.1-Ejemplo de circuito con elementos desacoplados…………….21

7. Circuitos con cambios sucesivos……………………………………..22 7.1-Ejemplo de circuito con cambios sucesivos………………….22

***APÉNDICE***- la constante de tiempo: “τ”………………………..23 .Bibliografía

.-Introducción -Este trabajo ha sido elaborado con el objetivo principal de presentar el tema de régimen transitorio de Análisis de circuitos de forma resumida y con ejemplos prácticos, si bien el segundo propósito es que resulte fácilmente entendible. Por ello, es preciso aclarar que durante el desarrollo del tema, se supondrá que el lector se encuentra familiarizado con el análisis de circuitos, en lo referente a conceptos básicos; por tanto, éstos no serán tratados, mas serán constantemente utilizados como recurso para la resolución de ejemplos. Es decir, partimos de que se tiene conocimiento de las magnitudes fundamentales, los elementos activos y pasivos de un circuito eléctrico, la nomenclatura y el criterio de signos, el manejo de las Leyes de Kirchhoff, así como el empleo de las agrupaciones de elementos (en serie, en paralelo, divisores de tensión/corriente, transformación de generadores…). Esto es importante, pues de no ser así, tendremos una lectura de difícil comprensión. *Nota: las ecuaciones que figuran en los ejemplos están escritas en una línea por lo que puede ser que no se lean de manera clara a primera vista (ya que este formato de documento impide la utilización de fracciones, cuadrado de un número…etc). Por ello pido disculpas, procuraré arreglarlo para trabajos sucesivos.

1.- Regímenes permanente y transitorio - En primer lugar y para comenzar con la exposición de este tema, es necesario presentar los conceptos de régimen permanente y régimen transitorio, así como las diferencias entre ambos. En teoría de circuitos se define el régimen permanente a aquel que se caracteriza principalmente por lo siguiente: * Las excitaciones (fuentes) llevan mucho tiempo aplicadas. * Las características de las fuentes no cambian con el tiempo. Se tiene que, la respuesta del circuito, es decir, sus corrientes y tensiones, son de la misma naturaleza que las excitaciones aplicadas. En general, en los circuitos que funcionan en tal régimen (circuitos de continua, DC), los únicos elementos relevantes son fuentes continuas y resistencias. Las condiciones de estudio de este régimen se enmarcan en dos vías: * régimen permanente continuo * régimen permanente sinusoidal (excitación de tipo sinusoidal). En cuanto al régimen transitorio, objeto de nuestro estudio, es aquel en el cual, algunas excitaciones (fuentes) se aplican o se suprimen bruscamente (instantáneamente; en un tiempo nulo). O dicho de otra forma, es el período de análisis que abarca desde que se produce un cambio (topología o alimentación) hasta que el circuito se estabiliza (estado estacionario). Los circuitos afectados por este régimen, tienen una respuesta de distinta naturaleza que las excitaciones, debido a la presencia de los llamados elementos reactivos (elementos que se analizarán más adelante). En un circuito cuyos elementos pasivos son únicamente resistencias no hay régimen transitorio aunque cambien las excitaciones; el circuito se adapta instantáneamente a las nuevas condiciones de excitación. En este caso, las condiciones de estudio del régimen transitorio se orientan en: * régimen transitorio entre dos regímenes permanentes de continua. *Análisis integro-diferencial.

2.-Nomenclatura del Régimen Transitorio -En los circuitos eléctricos las constantes de tiempo son pequeñas (del orden de milisegundos), y por tanto, la mayor parte del tiempo el circuito se considera que está en régimen permanente. El régimen transitorio sólo será importante en los instantes siguientes a algún cambio. Como enunciamos en el apartado anterior, este cambio puede ser una modificación en la topología del circuito (por ejemplo, debido a un accidente), o bien una maniobra como la conexión o la desconexión de un circuito. Suponiendo que esta maniobra o cambio en el circuito se efectúe en el instante t = 0, el instante previo a la maniobra se denominará t = 0-, en tanto que el inmediatamente posterior se llamará t = 0+. Podemos ilustrar este proceso con el siguiente gráfico: t0- = t0 = t0+ | | | t = - ∞ t = t0- | t = t0+ t = tT t = ∞ | *Donde: t = t0- : final del régimen permanente continuo inicial t = t0+: inicio del régimen transitorio t = tT : final del régimen transitorio; comienzo del permanente continuo final t =∞: final del régimen permanente continuo final Nota: suponemos que t0 = 0 s, a no ser que se indique lo contrario.

R. permanente continuo inicial

Régimen transitorio (res puesta variable con el tiempo)

R. permanente continuo final

2.1.-Elementos pasivos en régimen transitorio

Capacidad Un condensador C es un dipolo en el que en un instante t, la carga almacenada en él y la tensión en bornes satisfacen una relación definida por una curva en el plano (u-q). En un condensador lineal, la relación entre la corriente y la tensión es:

C es la capacidad del condensador y se mide en Faradios (F). La potencia entrante en un condensador es:

La energía almacenada en el condensador es:

Inductancia Una bobina, o inductancia, lineal e invariante con el tiempo es un dipolo en el cual la relación entre la tensión y la corriente está definida por la ecuación siguiente. El parámetro L se denomina inductancia de la bobina y se mide en Henrios (H).

La expresión de la potencia entrante en la bobina

El valor de la energía almacenada en la bobina en un instante t es:

Resistencia Una resistencia R es un dipolo en el que en un instante t su tension u(t) y su corriente i(t) satisfacen una relación definida por una curva en el plano (u-i). Esta curva se reconoce como “característica” de la resistencia en el instante t. La magnitud R se conoce como resistencia y se mide en ohmios (Ω). La magnitud G=1/R se denomina conductancia y se mide en Siemens (S). En una resistencia las corrientes y tensiones pueden variar bruscamente. Esto se traduce en: iR(t0-) = iR(t0+) y vR(t0-) = vR(t0+) o bien iR(t0-) ≠ iR(t0+) y vR(t0-) ≠ vR(t0+)

Una resistencia siempre absorbe potencia. La energía absorbida por una resistencia vale:

3.- Condiciones iniciales y finales

-Como establecimos en el apartado anterior, tenemos que las ecuaciones que definen el comportamiento de una bobina y de un condensador son:

En ambos casos, en el régimen permanente, las tensiones y corrientes son constantes, y por tanto, sus variaciones en el tiempo son nulas. Por esta razón, la tensión en una bobina en un circuito de continua y en régimen permanente será nula, al igual que la corriente en el condensador: iC = vL = 0 y iL , vC pueden tomar cualquier valor. Esto significa que, en régimen permanente y en corriente continua, una bobina se comporta como un cortocircuito, en tanto que un condensador se comporta como un circuito abierto. Así, en las condiciones indicadas, se pueden sustituir ambos elementos por cortocircuitos y circuitos abiertos, y resolver el circuito de esta forma.

-La corriente en las bobinas, y la tensión en los condensadores no pueden variar bruscamente, puesto que esto produciría, respectivamente, una tensión y una corriente infinitas. Esto se puede comprobar observando que la corriente en las bobinas y la tensión en los condensadores en el instante posterior a una modificación del circuito, t = 0+, vienen dadas por:

En la ecuación anterior las integrales son nulas, salvo que las tensiones y corrientes sean un impulso de Dirac(se tratará en el tema de Señales y Sistemas). Por tanto, se puede establecer que: • La tensión en un condensador no varía bruscamente en un circuito en el que no se

producen impulsos de Dirac. • La corriente en una bobina no varía bruscamente en un circuito en el que no se

producen impulsos de Dirac. Sin embargo, tanto la corriente en los condensadores (iC), como la tensión en las bobinas (vL ), sí pueden variar bruscamente.

A iL y vC se las denomina magnitudes fundamentales porque definen el comportamiento de inductancias y capacidades. Todo lo dicho anteriormente queda reflejado en la siguiente tabla:

3.1.- Ejemplos de cálculo de condiciones iniciales y finales * Ejemplo 1

Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito. En este circuito, la fuente es continua y ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las corrientes y tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0- , t = 0+ y t = ∞. ___________________________________________________________________________ -Situación del circuito para todo t tal que -∞ <= t <= 0, y, en particular, para t =0-

Se asignan de manera arbitraria los sentidos de corrientes y polaridades de tensiones. La capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula), por otro lado, la inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula). Tenemos que: iC(0-) = 0A vL(0-)= 0V Por mallas y nudos, obtenemos las ecuaciones: VG = vL + vC vC(0-) = VG iL = vC*(1/R1 + 1/R2) + iC = 2VG/R

-Situación del circuito para todo t tal que 0<= t <=∞, y, en particular, para t =0+

Comienza entra en régimen transitorio ya que han cambiado las condiciones de excitación en algunos elementos. La corriente en la inductancia y la tensión en la capacidad no pueden variar bruscamente. vC(0+)=vC(0-)=VG iL(0+)=iL(0-)=2VG/R Ecuación de nudo: vC/R2 +iC =0 iC(0+) = -VG/R Ecuación de malla: VG = vL + R1*iL vL(0+) = -VG -Situación del circuito para todo t tal que 0<= t <=∞, y, en particular, para t = ∞

El transitorio ha finalizado y el circuito se encuentra en régimen permanente continuo. Ahora la capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula). La inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula). iC(∞) = 0 A vL(∞) = 0 V Una vez más, por nudos y mallas se tiene: vC/R2 + iC = 0 vC(∞) = 0 V VG = vL + R1*iL iL(∞) = VG/R -Siguiendo este esquema, es aplicable al resto de circuitos que presentan régimen transitorio. Veremos ahora otro ejemplo un poco más complejo. * Ejemplo 2

Se suponen conocidos los valores de IG, R, L, C y a. Una vez más, se desea hallar los valores de las corrientes y tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0- , t = 0+ y t = ∞ además de la variación de energía de la capacidad entre t = 0 y t = ∞. - t = 0- : Continua vL(0-) = 0 V iC(0-) = 0 A Ecuación de nudo: IG = vC/R1 + iC +vC/R2 + iL Ecuación de malla: vC = avC + R3* iL + vL

iL(0-) = (1-a / 3-a)IG vC(0-) = (R1* IG)/(3-a) - t = 0+ : No hay cambios iL(0+) = iL(0-) = (1-a / 3-a)*IG vC(0+) = vC(0-) = (R1* IG / 3-a) Ecuación de nudo: IG = vC/R1 + iC iC(0+) = (2-a / 3-a)*IG Ecuación de malla: 0 = avC + R3* iL + vL + R2* iL vL(0+) = (a-2 / 3-a)R1*IG - t = ∞: Continua vL(∞) = 0V , iC(∞) = 0A Ecuación de nudo: IG = vC/R1 + iC vC(∞)= R1*IG Ecuación de malla: 0 = R3* iL + avC + R2*iL + vL iL(∞)= - a*IG/2 -Por último, calculamos la integral de la potencia de la capacidad entre t =0 y t = ∞ WC =⌠ pC(t)dt = ⌠ vC(t)* iC(t) dt = ⌠vC(t)*C(dvC(t) /dt) dt = C/2*[ vC^2(∞ )- vC^2(0)] = C/2 * (RIG/3-a)^2 * (8 -6ª + a^2) 4.-Respuesta de circuitos RL y RC Este apartado se centra en circuitos que sólo constan de fuentes, resistencias e inductancias o capacidades (pero no ambos).Tales configuraciones se denominan circuitos RL y RC. Estos circuitos se conocen también como circuitos de primer orden, debido a que sus voltajes y corrientes se describen por medio de ecuaciones diferenciales de primer orden. El análisis de circuitos RL y RC se dividirá en dos fases. En la primera, consideraremos las corrientes y voltajes que surgen cuando la energía almacenada en una inductancia/capacidad se libera repentinamente hacia un elemento resistivo. Esto ocurre cuando la excitación se suprime bruscamente en uno ó más elementos. Hablamos entonces de respuesta natural del circuito. En la segunda fase del análisis, se consideran las corrientes y voltajes que se presentan cuando una inductancia o una capacidad está adquiriendo energía debido a que la excitación es aplicada bruscamente. Esta respuesta se conoce como respuesta forzada. El proceso para determinar ambas respuestas es el mismo y se detalla a continuación: -En este tipo de circuitos, el régimen transitorio se manifiesta en la parte del circuito que incluye al elemento reactivo en cuestión, sea inductancia o sea capacidad. Como la respuesta es única, se calculará la expresión temporal de la magnitud fundamental correspondiente al elemento reactivo considerado (iL en el caso de una bobina, vL en el caso de una capacidad). La expresión temporal correspondiente a cualquier otra magnitud puede obtenerse una vez hallada aquélla. Nuestro objetivo será, por tanto, conseguir la expresión temporal, para llegar a conocer qué forma tendrá dicha expresión seguiremos los siguientes pasos: a)-Formularemos las ecuaciones del circuito (condiciones iniciales-finales) y a partir de ellas, obtendremos las ecuaciones diferenciales, aplicando las relaciones funcionales de los elementos reactivos. b)-Las ecuaciones diferenciales que rigen la respuesta natural y la respuesta forzada de un circuito de primer orden (bien RL , bien RC) son análogas y tienen la forma:

K : constante que puede ser 0 τ: constante de tiempo (ver Apéndice) En régimen permanente (sólo se consideran fuentes constantes) dx/dt = 0, y dado que la ecuación anterior ha de cumplirse:

donde el subíndice ‘f ‘ indica régimen permanente. Resolviendo:

c)-Es decir, llegamos a la expresión temporal que buscábamos, y resulta del tipo: X (t) = x(∞) + [x(0) – x(∞)]exp[(-t/ τ)] Además, si se trata de respuesta natural x (∞) = 0 porque se suprime la excitación en t = 0 y, si se trata de respuesta forzada x (∞) ≠ 0 puesto que se aplica la excitación en t = 0. La respuesta del circuito tiene la forma:

Resumiendo:

• Se dibuja el circuito para t = 0-, Se reemplaza condensador por circuito abierto, ó Se reemplaza bobina por cortocircuito Se calcula la tensión inicial en el condensador o la corriente en la bobina

• Se dibuja el circuito para t = 0+, Se reemplaza el condensador por fuente de tensión ó Se reemplaza la inductancia por fuente de corriente Se calcula el estado inicial x (t0) = x(0+).

• Considerar el circuito en t = ∞, Se reemplaza condensador por circuito abierto, ó Se reemplaza bobina por cortocircuito Se calcula la solución en régimen permanente xf = x (∞).

• Determinar, la constante de tiempo (circuito para t = 0 +) Se determina la resistencia de Thévenin equivalente vista en bornes de la inductancia o del condensador: Para condensadores τ = Rth* Ceq y para inductancias τ =Leq /Rth Teniendo esto claro, ponemos ahora un ejemplo de circuito RL y RC (en ambas respuestas) 4.1.- Ejemplos de circuitos RL y RC * Ejemplo 1: Respuesta natural de un circuito RC

Son datos los valores de todos los elementos del circuito. Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t > 0 El régimen transitorio sólo se manifiesta en la parte del circuito que incluye las capacidades. La respuesta es natural porque se suprime la excitación de las capacidades. Hay dos capacidades, el circuito puede ser tratado como si tuviera una, porque pueden ser agrupadas en paralelo. Para t > 0 se tiene: i1 + vC/R + i2 = 0 (Ec.nudo) Sustituyendo en la ecuación la relación funcional de la capacidad: (C1 + C2)dvC/dt + vC/R = 0 (Ec.diferencial que caracteriza la evolución temporal de vC(0+) La solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma vC(t) = A*exp(-t/τ ) (Expresión temporal(instantánea) que caracteriza la evolución de vC para t>0 τ = R*(C1 + C2) (Constante de tiempo)

Para determinar completamente la respuesta, hay que hallar la constante de la evolución temporal. Para ello, se compara la condición inicial del transitorio que puede deducirse directamente de la observación del circuito con el valor que proporciona la expresión temporal. vC(0+) = vC(0-) = (VG*R)/(RG + R) vC(0)=A A = (VG *R)/ (RG + R) y la expresión temporal de vC para t >0 queda: vC(t)= [(VG*R)/( RG +R)]exp( -t / [R*(C1 +C2 )] ) * Ejemplo 2: Respuesta forzada de un circuito RC Se desea obtener la expresión temporal (t >0) de la potencia en la fuente VB Datos: VA = 2V, VB = 2V, C = 1uF R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω , R3 = 2 Ω

Para t >0 se tiene: (VB – vC)/R2 = iC + vC/R3 (Ec. de nudo) [C*R2*R3 / (R2 + R3)]dvC/dt + vC = (R3 / R2 + R3 )* VB (Ec.diferencial) τ = (C*R2*R3)/(R2 + R3) = 1 us (cte de tiempo) Por el circuito: vCo = vC(0) = VA = 2 V vCf = vC(∞) = R3/(R2 + R3)*VB = 1V vC(t) = vCf + ( vCo –vCf )exp(-t/τ) = 1 + exp-t V (t en us) (Expresión temporal) PB(t) = -VB*iB(t) = - VB*[VB – vC(t) / R2] = -1 – exp-t W

* Ejemplo 3: Respuesta natural de un circuito RL

Se desea obtener la expresión temporal de v1 (t >0), y la variación de energía en R3 entre t = 0 y t = ∞. Para t > 0 se tiene vL /(R1+R2) + iL + vL/R4 = 0 Ecuación de nudo L*[ 1/(R1+ R2) + 1/R4)]diL/dt + iL = 0 Ecuación diferencial iL(t) = Aexp(-t/τ) Expresión temporal τ = L *(1/(R1 + R2) + 1/R4) = 1 ms Constante de tiempo Por el circuito iL(0+) = iL(0-) = VG*R1/(RG*R1 + RG*R2 + R1*R2) = 1 A + Por la expresión temporal iL(0) = A A = 1 A Por la expresión temporal vL(t) = LdiL(t)/dt = (-L*A/ τ)exp(-t/τ) = -5exp-t V v1(t) = vL(t)* R1/(R1+ R2) = -3exp-t V (divisor de tensión) y finalmente integramos teniendo como límites de integración t =0 y t = ∞ W3 = ⌠ p3 (t)dt = ⌠[vL^2(t) /R4]dt = ⌠[(-5exp-t)^2 / 10]dt = 1,25 mJ

* Ejemplo 4: Respuesta forzada de un circuito RL

La respuesta es forzada porque se aplica la excitación. L está descargada para t <0 Para t > 0 se tiene L*diL/dt + (RG + R)iL = VG Ecuación diferencial obtenida combinando una ecuación del circuito y la relación funcional de la inductancia) La solución de una ec.diferencial iL(t) = B + (A-B)exp(-t/τ)(Expresión temporal instantánea) Constante de tiempo τ = L / (RG +R) Hay que hallar las constantes de la expresión temporal. Para eso, se comparan las condiciones inicial y final del transitorio, que pueden deducirse de la observación del circuito, con los valores que proporciona la expresión temporal. iL(0+)=iL(0-) = 0 A iL(0)=A A = 0 A iL(∞) = VG /(RG + R) iL(∞) = B B = VG/(RG+R)

5.-Respuesta de circuitos con dos elementos reactivos Al igual que acabamos de ver anteriormente, ahora seguimos con el análisis de la respuesta natural y forzada pero nuestro estudio se limita a dos estructuras simples: el circuito RLC en paralelo y el RLC en serie. Estos circuitos contienen tanto inductancias como capacidades, de modo que la ec.diferencial que describe estos circuitos es de segundo orden. El proceso a seguir para resolverlos es el que sigue: -Tenemos la siguiente ecuación general:

Valor final de la

respuesta x(∞) = M

si se trata de respuesta natural M = 0 si se trata de respuesta a escalón M ≠ 0 Constante de amortiguamiento ζ : si RCL serie ζ = R /2√(C/L) si RCL paralelo ζ = 1/2R√(L/C) Pulsación propia o natural ωn ωn = 1/√LC a-) Se reduce el circuito a resolver a un circuito RCL serie o RCL paralelo b-) Se determinan los valores iniciales y finales de la variable de interés. Se calcula para el circuito RLC en cuestión: x(0+) dx(0+)/dt x(∞) c-) Se determinan las raíces de la ecuación diferencial

d-) Se determina el tipo de respuesta: Si ζ > 1 (raíces reales distintas), el circuito es sobreamortiguado Respuesta supercrítica. Respuesta:

Si ζ = 1 (raíz real doble), el circuito es amortiguado Respuesta crítica.

Si ζ < 1 (raíces complejas conjugadas), el circuito es subamortiguado Respuesta subcrítica.

Frecuencia natural amortiguada:

Respuesta:

Si ζ = 0 la respuesta es una oscilación mantenida de pulsación natural ωn Respuesta:

e-) Resolver el sistema de ecuaciones, según el tipo de respuesta:

f-) Emplear una de las siguientes expresiones para obtener la respuesta del circuito:

5.1.- Ejemplo de respuesta en circuito con dos elementos

Se trata de un circuito RCL serie y la respuesta es natural. Ecuación del circuito:

Ahora, si derivamos se obtiene:

La solución es del tipo:

Raíces de la ecuación diferencial:

constante de amortiguamiento

[ rad/s] pulsación propia o natural

6.-Circuitos con elementos desacoplados Se trata de circuitos en los que, para t > 0 los dos elementos reactivos y sus respectivos y sus respectivas magnitudes eléctricas no se influyen entre sí; las variables son independientes y los elementos están totalmente desacoplados. En estos circuitos, a la variable fundamental de cada uno de ellos le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. Puede haber influencia de un elemento reactivo en otro sin que el segundo influya en el primero. Se habla entonces de elementos parcialmente desacoplados. A la variable correspondiente al elemento no influido variable independiente) le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. A la variable correspondiente al elemento no influido le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. A la variable correspondiente al elemento influido le corresponde una ecuación diferencial de segundo orden. 6.1.- Ejemplo de circuito con elementos desacoplados

Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito, relaciones funcionales y ecuaciones diferenciales VG = LdiL/dt + RiL 0 = CdvC/dt+ vC/R Son ecuaciones diferenciales de primer orden, cada una en una variable; por tanto, se resuelven como se indicó anteriormente. iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL

iLo = iL(0) =2VG/R , iLf = iL(∞) =VG/R, τL = L/R Expresiones temporales vC(t) = vCf + (vCo - vCf)exp-t/τC vCo = vC(0) = VG, vCf = vC(∞) = 0, τC = RC

7.-Circuitos con cambios sucesivos Para finalizar, se expone un caso particular de régimen transitorio: circuitos con cambios sucesivos. Se analizan tal que así: Paso 1.Se analiza el circuito correspondiente en el instante temporal, lo que permite conocer las condiciones iniciales del circuito para el periodo que va desde el instante ti al instante ti+1. Paso 2.Se resuelve el circuito en el periodo que va desde el instante (ti)+ al instante (ti+1)-

, periodo en el que el circuito presenta una topología constante. Se derivan para este circuito las evoluciones temporales de las magnitudes de interés. Se incrementa en una unidad el contador de cambios sucesivos, esto es, i←i+1, y se continúa en el paso 1, o se para si ya se han analizado todos los intervalos temporales. 7.1.- Ejemplo de circuito con cambios sucesivos El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de t = 0.Después de t = t1 ya no experimenta más cambios.

Se desea obtener iC(0+), vC(100 ms) e iL(1.1 s). Datos: VA = 200 mV, k = 2 R = 0.5 kΩ, L = 0.5 H, C = 2 µF t1 = 1 s

Para 0 < t ≤ t1 se tiene iC(0+) =(VA - vC(0+))/R= (VA - vC(0-))/R= VAR = 0.4 mA RCdvC/dt+ vC = VA En principio habría que resolver esta ecuación diferencial, obtener la expresión temporal correspondiente, y sustituir en ésta el valor t = 0.1 s. Sin embargo, puede observarse que la constante de tiempo es τ = RC = 1 ms << 0.1 s Es decir, la parte del circuito que incluye la capacidad está en régimen permanente en el instante de interés. En consecuencia, vC(0.1 s) = vCf = vC(∞) = VA = 0.2 V Para t1 ≤ t < ∞ se tiene Ldi Ldt + Ri L = kvC Esta ecuación indica que la inductancia es un elemento acoplado. Puede ser resuelta por el procedimiento convencional.

Pero es más sencillo aplicar un procedimiento alternativo. La parte del circuito que contiene la capacidad continúa en régimen permanente en este intervalo temporal, ya que no ha experimentado más cambios, ni los cambios producidos en otra parte del circuito repercuten en ella. En consecuencia, la ecuación anterior puede ser sustituida por: LdiL/dt+ RiL = kVA Ahora habría que resolver esta ecuación diferencial, obtener la expresión temporal correspondiente, y sustituir en ésta el valor t = 0.1 s = (1.1 s - t1). Recuérdese que los exponentes correspondientes a intervalos que no empiezan en 0 están desplazados con relación a sus respectivos orígenes. Pero, nuevamente, puede observarse que la constante de tiempo es τ = L/R = 1 ms << 0.1 s Es decir, la parte del circuito que incluye la inductancia también está en régimen permanente en el instante de interés. En consecuencia, iL(0.1 s) = i Lf = iL(∞) = (k*VA)/R = 0.8 mA ***APÉNDICE*** LA CONSTANTE DE TIEMPO: “τ” -Tras un cambio en la excitación en un circuito RL tenemos que la bobina comienza a liberar la energía que almacenó antes del cambio. Tras el cambio, en la resistencia se comienza a disipar la energía que libera la bobina.

Se obtiene la pendiente en 0+. τ es la pendiente de decrecimiento de i(t) en 0+. Si la pendiente inicial se mantiene constante se tendría un decrecimiento lineal. i = Io – (Io / τ)*t y para t = τ intersección con el origen

-En el caso de un circuito RC

y la gráfica que refleja la evolución de v(t) es :

τ es la pendiente de decrecimiento de v(t) en t = 0+

BibliografíaBibliografíaBibliografíaBibliografía

[1] Circuitos Eléctricos: problemas y ejercicios resueltos, Julio Usaola García / María Ángeles Moreno López de Saá. Prentice Hall, 2002. [2] Electric Circuits (6th Edition), Nilsson, James W. Prentice Hall, 2001. [3] http://www.uclm.es/area/gsee/aie/circuitos/to10.pdf [4] http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/PDFs/transp-3.pdf