conducción de calor en estado transitorio
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27/08/2013
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Sucede cuando cambian las condiciones de frontera de un sistema.
Por ejemplo; si cambia la temperatura superficial de un cuerpo, la temperatura
Conducción de calor en estado transitorio
de cada punto también va a cambiar hasta que se alcance una nueva distribución de temperaturas de estado estable.
→ Se debe resolver en forma apropiada la ecuación del calor.
t
TCq
z
TK
zy
TK
yx
TK
x pi
Si los gradientes de temperatura dentro del sólido son pequeños → se aplicaSi los gradientes de temperatura dentro del sólido son pequeños → se aplica “Método de la resistencia interna despreciable” o de “la capacitancia concentrada”.
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Método de la resistencia interna despreciable
Si un sólido experimenta un cambio súbito de temperatura del medio en el cual esta inmerso → aparece una transferencia de calor por convección en la interfaz sólido Líquidointerfaz sólido-Líquido.
Se supone que la temperatura es espacialmente uniforme en cualquier instante del proceso → Los gradientes de temperatura dentro del sólido son insignificantes.
→ No se puede aplicar la ecuación de difusión del calor → se realiza un balance global de energía del sólido.
Donde:
balance global de energía del sólido.
dt
dTCpVTTAsh )(
-Qsale= Qalmacena
o
Considerando θ = T – T∞ e integrando
dt
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t
i
dtd
Ash
CpV
0
t = Tiempo que requiere el sólido para alcanzar la temperatura T
ti
Ash
CpV
ln
t = Tiempo que requiere el sólido para alcanzar la temperatura T.
t
CpV
Ash
eTTi
TT
i
Temperatura que alcanza el sólido en un tiempo t.
“La diferencia entre la temperatura del sólido y del fluido deben caer exponencialmente a cero conforme t→∞”
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CtRtCpV
AshAsh
CpV 1
El Termino, τ, se conoce como “constante térmica de tiempo”,
Donde:
Rt = “Resistencia a la transferencia de calor por convección”
Ct = “Resistencia interna despreciable del sólido”
A > τ → respuesta térmica más lenta → mayor tiempo para alcanzar el ilib i té iequilibrio térmico.
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Transferencia total de energía para un tiempo “t”
t t
dtAshdtqQ 0 0
dteiAshQt t
CpV
Ash
0
t
-Qsale= Qalmacena
t
eiCpVQ 1
Si Qsale > 0 → el sólido pierde energía
Si Qsale < 0 → el sólido gana energía
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Número de Biot
K
LchBi
Donde, Lc = longitud característica, generalmente:
sólido
A
VLc
sólidoA
Si Bi<<1 → “la resistencia a la conducción dentro del sólido es mucho menor que la resistencia a la convección a través de la capa límite del fluido” → es razonable la suposición de una distribución de temperaturas uniforme.
Habitualmente se toma cuando Bi < 0.1Habitualmente se toma cuando Bi 0.1
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Número de Fourier
t
CpV
Ash
eTTi
TT
i
TTii
FoBiLc
t
k
Lch
Lc
t
Cp
k
k
Lch
LcCp
th
CpV
tAsh****
22
Generalmente su exponente se puede escribir como:
El Número de “Fo = αt/Lc2” es un tiempo sin dimensión que, junto al número de Bi, caracterizan los problemas de conducción de calor en estado transitorio.
FBiTT FoBieTTi
TT
i
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Coordenadas adimensionales
Si existen gradientes de temperatura dentro del sólido, significativos → el método de la resistencia interna despreciable no es aplicable → se debe
i l ió d lrecurrir a la ecuación de calor.
Pero en algunos problemas, como la pared plana, el cilindro, y la esfera, solo se necesita una coordenada espacial.
TT
1
2
2
(para pared plana)tx 2 (para pared plana)
ix TT 0,Condición inicial:
0
x
T2 condiciones de frontera:“Por simetría del centro de la placa”
0 xx
TThx
Tk tL
Lx, “En la superficie de la placa”
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Las temperaturas en la pared no son solo T(x,t), sino T=T(x, t, Ti, T∞,L, k, h, α)
→ para simplificar la resolución analítica o numérica conviene→ para simplificar la resolución analítica o numérica conviene adimensionalizar las ecuaciones:
10 **
TTi
TT
i
“Coordenada espacial adimensional”L
xx *
FoL
tt
2*
“ Nº Fourier”
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Sustituyendo:
Fox
T
*
2*
*2
Y las condiciones iniciales y de frontera son:
10,*
* x
00
*
*
*
xx
**
1*
*
,1*
tBix x
1x x
→ Ahora “la distribución de temperaturas transitoria” es solo función de: θ* = f(x*, Fo, Bi)
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Pared Plana con Convección
Solución exacta:T(x, 0)= Ti
T∞, hT∞, h
x*=x/L
** cos2
xeCn nFon
L L
Se supone la placa se sumerge en t=0 en un líquido a T∞
Binn tan nn
n
sen
senCn
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4
1n
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Pared Plana con Convección
Solución aproximada:
Si Fo>0.2 → La solución serie infinita se aproxima por el primer termino.
*1
*0
*11
* coscos21 xxeC Fo
p p p
Se puede observar que la dependencia de la temperatura con respecto al
TT
TTeC Fo 0
1*0
21 “Representa la temperatura en el plano medio x*=0”
tiempo, en cualquier lugar dentro de la pared, es la misma que la temperatura del plano medio.
TTi
Los coeficientes C1 y ς1 salen del número de Biot (Bi=hL/K) o de la siguiente tabla:
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Pared Plana con Convección
Transferencia total de energía:
Q = -[E(t) – E(0)] = energía que se almacena
itx
Volumen
TTCpQ ),(
[ (t) (0)] g q
Para adimensionalizar: Q0 = ρ Cp V (Ti-T∞)
“Es la energía interna inicial de la pared, relativa al fluido”. “Es el valor máximo de transferencia de energía si t→∞”.
dvvv
dv
TT
TT
Q
Q itx
*),( 11
*0
1
1
0
1 sen
Q
Q
vvTTQ i 0
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Pared Plana con Convección
Representaciones gráficas para problemas con Fo>0.2:
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Pared Plana con Convección
Representaciones gráficas para problemas con Fo>0.2: