rawls, phelps, nash: e ciency curve and economic...
TRANSCRIPT
Rawls, Phelps, Nash:
e�ciency curve and economic justice
Louis de Mesnard
June 14, 2011
University of Burgundy and CNRS, Laboratoire d'Economie et de Gestion
(UMR CNRS 5118); 2 Bd Gabriel, B.P. 26611, F-21066 DIJON Cedex,
FRANCE. E-mail: [email protected]
Charles Gide Days : Justice & Economics
June, 16 & 17, 2011
Draft version
Abstract
This article o�ers some re�ections on the interpretation of Rawls' Theory
of Justice that Phelps gives by the e�ciency curve. In the �rst section
we demonstrate that the Phelps curve allows showing that egalitarianism
may be impossible, ine�cient or also possible but this last case excludes
and dominates the Rawlsian maximin. The debate egalitarianism vs. eq-
uity is clari�ed. We examine the e�ect of growth. Growth could make
equality easier in some cases and more di�cult to reach in some other
cases. Choosing the maximin does not guarantee that the growth is al-
ways favorable to the poor: it can be paradoxical because the poor can
be losing even when the maximin is selected. By considering that a Nash
bargaining is able to generate any point in the Phelps e�ciency curve, we
examine a new point, surplus-equality: it corresponds to an equal sharing
from the �disagreement point�, which should be considered as the origin
from the moment that the e�ciency curve is given. The transposition to n
agents is delicate: the overall maximin is not necessarily the leximin and
it is better to consider groups of agents. In conclusion, the area between
the maximin and surplus-equality should be the base of a left-wing policy
as it protects against a growing inequality.
1
JEL classi�cation. D63; H23; I31
Keywords. Rawls; Phelps; Nash; maximin; inequality; e�ciency
Abbreviated title. Rawls, Phelps, Nash
1 Introduction
The Theory of justice of John Rawls (Rawls 1971, 1993; Barry 1989; Gibbard
1991) includes two principles. We will quote them in the form most recently
stated by Rawls (1989). The �rst principle treats of freedoms:
Each person has an equal right to a fully adequate equal basic liberties
for all, which is consistent with a similar system of liberties for all.
The second principle treats inequalities:
The social and economic inequalities must satisfy two conditions:
1) they must �rst be attached to functions and positions open to all,
in areas of fair equal opportunities and
2) they must obtain the greatest bene�t to the most disadvantaged
members of society.
Concerning remunerations, the Rawlsian position is often summarized by a sim-
ple choice, as in McClelland's example: do we prefer a distribution of income
such as the average is 20000$ and the poor receive 15000$, or on the contrary
an average of 40000$, the poor receiving only 14000$? The position chosen by
Rawls corresponds to the �rst possibility (maximization of the position of the
most disadvantaged or maximin or principle of di�erence), even if McClelland
advances that the majority of American would choose the second face of the
alternative (McClelland 1990, p. 95). The Rawlsian position is often considered
as one of the most �liberal� in the American sense of the term, as close as pos-
sible to absolute (or strong) egalitarianism; this is why the maximin is called
practical justice by Kolm (1972, 1996b). However, Rawls is accused of support-
ing a feeble �ght against inequalities: in France, Minc's report (1994) has been
strongly criticized for this reason (in a country as France, egalitarianism is a
sensitive issue since the French revolution).
Phelps, Nobel prized in 2006, one of the most renown supporters of Rawls,
has very clearly explained Rawls' theory (1995). He draws the e�ciency curve
where the optimum must be chosen, which assumes a Paretian optimum, and he
posits the various points that can be chosen; among them, there is the maximin,
2
equality, the utilitarian point and the pro-rich point. As Phelps' tool is as
pedagogic as Hicks-Hansen IS-LM model is�even if most consider that IS-LM
betrays Keynes' idea�, and as the e�ciency curve undoubtedly exists, we return
in this paper to Phelps' contribution to examine what can be deduced from the
e�ciency curve, particularly for what concerns the question of the maximin, the
e�ect of growth, and overall egalitarianism and its impossibility in most cases.
Pure egalitarianism is determined by the original point where the revenue of
all individual is equal to zero (which is not Rawls' original position). However,
as the question can be considered as a sharing problem solved by bargaining,
we also introduce a �dose of Nash� in Rawls and Phelps. We consider that the
various points can be deduced by a generalized Nash bargaining (Nash 1950a
and 1950b; Rubinstein 1982; Binmore, Rubinstein and Wolinsky 1986). From
Nash comes the idea of �disagreement point� (the point where all individual
are placed before bargaining), which allows us to examine a new egalitarianism,
surplus-equality, where equality is determined by respect to the disagreement
point. This idea of equality is no more a chimera as pure equality is. We deduced
of all this that a left-wing policy must choose a point between the maximin and
surplus-equality. Nash allows an elegant generalization to the case of n agents,
etc.
2 The maximin
2.1 The maximin on the e�ciency curve
Phelps draws a graph, certainly simplifying and which could be likely to betray
the thought of Rawls by simplifying it in a neoclassical direction, but which
is very eloquent for the comparison about the various optima (Phelps 1985, p.
159). Nevertheless, Phelps says �... writing to me about my just published
textbook, he [Rawls] said its exposition of his theory of justice was entirely
accurate� (Phelps 2011). In this graph, the Paretian e�ciency curves (see Figure
5) is the frontier curve of possible remunerations or curve of possible, which
indicates all the possible revenues that guarantee a given output (or even a
given growth rate). The important thing to be noticed is that the agents'
revenues are the argument, but not utilities: it is what makes Phelps' curve
di�erent to what is usual. As Phelps' curve uses revenues as arguments, the
problem of a�ne transformations of utilities (translation or scaling) does not
apply. Rawls (1971) himself criticizes the idea of utility: he prefers the idea
3
of primary goods. Sen (1999) also criticizes utility. If the Nash bargaining
problem is insensitive to the scaling of utilities (this is fortunate because it is
known that utilities are essentially ordinal, and if they are cardinal, they are only
de�ned at an a�ne transformation), the approaches that require interpersonal
comparisons of utilities obviously need cardinal utilities that are sensitive to
a�ne transformations.1 We do not think that intertemporal comparisons of
utilities and cardinal utilities can be accepted but if we refuse them, it becomes
impossible to consider some remarkable points on the e�ciency curve as the
utilitarian point. Passing by the revenues as done by Phelps allows interpersonal
comparisons and de�ning all points on the e�ciency curve.
Stated for two individuals, the e�ciency curve is R2 = f (R1), by supposing
that individual 1 is always paid best, that is, by supposing that the curve is
�attened along the Y-axis and remains on the right of the �rst bisector at least
for its e�ective part.2 Let us recall that the frontier of e�ciency corresponds
to what it is possible to obtain at best, without degrading the situation of an
individual in order to improve that of another. In the interior of the frontier,
one can increase at the same time the income of individuals 1 and 2 by going
to the top, towards the line, or both at the same time. On the frontier one
cannot increase the income of one individual without decreasing that of the
other. All the points of the frontier are equally possible, except those which
correspond to a return of the curve on itself, from where the form traced on
Figure 1: the e�cient part�or Pareto-optimal�of the curve, is the segment
(r,m): before m, or after r, the income of both individuals may increase or
decrease simultaneously. The curve (r,m) is continuous, derivable and is such
that dR2
dR1≤ 0 and d2R2
dR21≤ 0. Several typical points appear on the curve in
Figure 5. In point r the richest receives more: we call it the �pro-rich� point.
The Rawlsian optimum, or maximin, is the point m, which consists in giving as
much as possible to the most underprivileged. This point may be on the left of
m on the ine�cient part of the curve, as on Figure 5 or to the right. For Rawls,
m is the right or equitable position. Rawls defends the maximin by saying that
individuals ignore by advance in which position they will fall, the bets or the
worst. Therefore, it is better for them to make that the worst position is not
too bad.
1The arguments of the problem are also certain: no need of von Neumann-Morgensternutilities, expected utilities, etc. On these approaches, see Harsanyi (1953, 1955); Hammond(1976, 1979, 1993), Bezembinder and van Acker (1987); Bosmans and Ooghe (2006); Miyag-ishima (2010).
2This shape of curve is also quoted by Kolm (1972, p. 33, 1.e example).
4
�� ��� ��
��
�Figure 1: Equality is impossible
Any intermediate solution, obtained by making a linear combination between
the incomes of the two individuals, and located betweenm and r could be chosen
and re�ects a relation of force between both: the weighting may re�ect any social
criterion. The point r is obtained if the best remunerated group is dominating,
whereas the point m gives the primacy to the less remunerated group. Phelps
(1985) says that this point is an �ideal e�ciency� while only the segment {r,m}is e�cient.
In the point u the �social income� is maximized, i.e., the sum of the incomes;
e�ciency curve's slope is there equal to −1; Gamel (2010) assimilates it to the
welfarism. It is also the point which corresponds to the Bentham's utilitarian
optimum, that is, to the maximization of the mean (this one could be weighted)
of the incomes of individuals 1 and 2. In the point e the two incomes are
equal. All this is consequentialist: only the consequences of policy decisions are
examined.
2.2 Typology of curves
The curves may adopt various forms. They may be very concentrated as in
Figure 2, left: in this case, the problem of choosing a point on the e�ciency
curve is practically evacuated. They may be very large, as in Figure 2, right:
the problem of choosing a point is increased. The e�ciency curve may be also
5
��
��
���� �� ���
���� ��Figure 2: Typology of e�ciency curves: concentrated (left), large (right)�
���
���� �� ����
���� ��Figure 3: Typology of e�ciency curves: atypical (left), very unequal (right)
atypical, �attened along the X-axis, as in Figure 3, left; or it can be very unequal,
�attened along the Y-axis, as in Figure 3, right.
Obviously, depending of the form of the e�ciency curve, the point u may be
closer to the point r or to the point m. However, as R1 ≥ R2, the curve is
probably �attened along the Y-axis. Hence, the point where the slope of the
curve is equal to −1, that is, the point u, is probably closer to r than to m
along the X-axis. This shows that utilitarianism, which is the main point in the
Anglo-Saxon culture, Rawls excepted, is probably very favorable to the rich.
2.3 On egalitarianism
The point e of equality of incomes may not exist if the intersection between the
bisector and the curve does not exist.
Proposition 1. Reaching equality can be, respectively, (i) impossible, (ii) inef-
�cient or (iii) possible but by excluding and dominating the Rawlsian optimum
6
�� ��� ��
����
�Figure 4: Equality is possible but ine�cient
in this last case.
Corollary 1. Among the e�cient points, the maximin is the closest to egali-
tarianism.
Proof. The proof of 1 and its corollary is done graphically.
(i) Equality is impossible when the e�ciency curve does not intersect the �rst
bisector as in Figure 1. In this case, reaching equality is impossible. The point
m is the closest to egalitarianism (i.e., the �rst bisector).
(ii) Equality is possible but ine�cient if the e�ciency curve intersects the �rst
bisector to the left of the Rawlsian optimum as in Figure 4. Forcing equality
implies becoming under-e�cient. The price to pay for egalitarianism is ine�-
ciency. In this case, reaching equality is fanciful and the point m is again the
closest to egalitarianism.3
In both cases of Figures 1 or 4, Phelps sees a justi�cation of the maximin:
any point to the right of m on the e�ciency curve (u, r, etc.) corresponds
to more inequality. Therefore, he adopts a point of view similar to those of
Kolm (1972, 1996b) and its idea of practical justice. However, equality is itself
a judgment of value. If both individuals have the same right on the available
wealth, they have to share equally but when the individuals have di�erent claims
3On the �Pareto argument� and feasibility of equality, see Cohen (1995) and its critique byShaw (1999).
7
�� ���
��
��
�Figure 5: Example of e�ciency curve
they share di�erently.4
(iii) When the e�ciency curve intersects the �rst bisector to the right of the
Rawlsian optimum as in Figure 5, equality is possible (it is located in the e�cient
zone) but prevents the Rawlsian optimum from existing. As the point m is to
the left of the �rst bisector, in m the revenue of individual 2 is higher than those
of individual 1: between e and m individual 2 is the richest while individual 1 is
the less favored. Therefore, the solution of the maximin is e: m is never reached
and e is selected. The point m does not correspond to the maximin anymore
and m is not the closest to egalitarianism: equality dominates and excludes the
Rawlsian maximin.
2.4 Discussing the idea of maximin
For Harsanyi and Rawls, the individuals ignore ex ante in which position they
will be ex post, which is the argument of the veil of ignorance and the original
position developed by (Harsanyi 1953, 1955, 1958, 1975) and Rawls (1971): it
is why they decide to give the larger possible revenue. However, this argument
4In the Aristotelian tradition, they share proportionally, while in the Talmudic tradition,they share in a di�erent way (Rabinovitch 1973; O'Neill 1982; Aumann and Maschler 1985;Young 1987, 1995; Moulin 2003). This shows that equality and its substitute, the maximinm, is not necessarily the most desirable point.
8
of the veil of ignorance should be quali�ed. Even if, following Dupuy (1995),
the uncertainty of life is larger today than before, in practice, the society is
largely frozen (a phenomenon known since Pareto) and the people that are in the
higher class do not spent their time in thinking that they could fall in the lowest
class tomorrow, and conversely. Thinking that the individual may consider the
right distribution of revenues before knowing their position is optimistic and
unrealistic. Moreover, asserting that this conducts the agents to favor the the
maximin, because each of them could fall in this position, it is not appropriate:
even in Rawls' perspective, the agents could as well the pro-rich point r because
they are optimistic and think that they will fall in the best position. Moehler
(2010) underlines also that Harsanyi, in its 1975 paper, argues that �a rational
individual would maximize the average utility of the di�erent positions of society.
In terms of normative decision theory, Harsanyi argues that a rational individual
would apply the principle of insu�cient reason (the Laplace rule) in the original
position, whereas Rawls argues for the maximin rule� (Moehler 2010); but for
both Gauthier (1986) and Moehler (2010), the individuals consider �rst their
own individual gains and not the utilitarian point.
For Rawls, it is possible to obtain a preferable state by modifying a given
distribution, provided that the situation of the most underprivileged is improved
(it is the principle of the maximin). He thus proposes a dynamic vision of the
optimum, since the unequal character of the situations can be modi�ed in a
direction or the other, provided that the most underprivileged �nd their interest
there (and that each individual has ex ante the same chances as the others to
be in a given situation, according to its merits).5
However, the maximin is still Paretian (since we choose a given point of the
curve of e�ciency) and, in that sense, it remains conservative (in the political
sense of the term) because one cannot move on the curve but only from the
interior of this curve towards the curve. We can thus choose a distribution that
one judges preferable rather than another�the point m rather than points u
or r for example�only ex ante before having reached the e�ciency curve when
one starts from a point in the interior to this curve. It has often been said
that the maximin supports a feeble �ght against inequalities: this is the basis
of the critics against Minc's report (Minc 1994) in France. It is perhaps an
5Phelps has chosen to think ex post, when the roles have yet been attributed betweenthe two individuals; else, one does not see why one would agree to gain less than the other.Considering that the roles are attributed in advance is a hypothesis contradictory with Rawls'idea: the less favored should not be a particular person. One may qualify his point of view as�practical� or �operational�.
9
unfounded reproach, but the maximin is certainly a progress by respect to the
Pareto optimum since we now wonder which point of the curve must be retained
according to social criteria to determine.
Formally, the argument that the individuals ignore ex ante in which position
they will be ex post, which is Harsanyi and Rawls' argument of veil of ignorance
and original position (Harsanyi 1953, 1955, 1958, 1975; Rawls 1971)6 should be
quali�ed. Even if, following Dupuy (1995), the uncertainty of life is larger today
than before7, in practice, the society is largely frozen (a phenomenon known
since Pareto) and the people that are in the higher class do not spent their time
in thinking that they could fall in the lowest class tomorrow, and conversely.
Believing that people may think about the just distribution of revenues before
knowing their position is optimistic and unrealistic. Moreover, asserting that
this conducts the agents to favor the the maximin, because each of them could
fall in this position, it is not appropriate: the agents could as well the pro-rich
point r because they are optimistic and think that they will fall in the best
position.
The beauty of the Rawlsian maximin is that it favors the poor without
implying any loss in e�ciency: the economy is as e�cient as in r or u. Nev-
ertheless, in Phelps' presentation of the maximin, the e�ciency curve is taken
as given: never the e�ciency curve is reconsidered, which would be considered
as obvious by many but conservative by some. However, Kolm underlines one
of the di�culties of the maximin (1972, p. 121). For example, let us assume
two states A and B such as million people are happier in A than in B and only
one person is happier in B than in A, but that this person is less happy than
all the others - according to the fundamental preferences - in each of the two
states. Practical justice (the maximin) results in preferring the state B with
state A, which puts all the weight on the least happy and takes account only
of its situation, other than that of all the others. One can �nd that good. But
one can also deplore that the happiness of million is sacri�ced to that of only
one, even unhappy that is this one. The argument scores a bull's-eye even if
Kolm thinks that it has a limited impact in fact because of the form of the
feasible domain, and that consequently Rawlsian justice requires implicitly that
the size of the classes of individuals is decreasing because of their income: more
individuals in 2 that in 1, or if one prefers, more poor persons that rich persons.
6See a detailed discussion in Binmore (1989).7Even a banker may become homeless, as illustrated by the sad story of Jean-Paul Allou
(Allou 2011).
10
In practice, this is generally respected. But it remains that Kolm's argument
implies also an amount of �majority rule� within the Rawlsian reasoning, what is
awkward if we take into account the well-known limits (paradox of Condorcet)
which a�ect the majority rule. However, the Corollary 1 allows us to say that
Rawls reintroduces egalitarianism and that the maximin does not conduct to a
feeble strike against inequality.
2.5 Con�icts on the Paretian curve, stability and utilitar-
ian optimum
Within a Paretian framework, all the points are as stable the ones as the others,
or more exactly the question of their stability does not arise, since they are
located on the frontier of e�ciency. However, if one goes beyond this framework
to consider the possibility of moves along the frontier of e�ciency, i.e., the
possibility of con�icts between individuals, then the stability of the various
points is not the same one. These con�icts can logically only occur after the
choice of the social decision maker; alternately one would fall down on the case
evoked previously of insoluble con�ict. However, at the same time, is it logical
to think that there is con�ict after the choice of the social decision maker?
These con�icts suppose a type of protest against the social decision maker: that
resembles to these children who dispute after the division of a cake by their
parents.
Proposition 2. The utilitarian point u is an equilibrium point.
Proof. Consider the general case where equality is impossible or ine�cient. At
the point m one can very strongly increase the income of individual 1 by degrad-
ing very little that of individual 2, and conversely at the point r, whereas at the
point u, increasing the income of an unspeci�ed individual obliges to decrease
by as much that of the other individual. Therefore, the points m and r are in
a certain manner less stable than the point u, in that sense that con�icts will
be unbalanced there. If it is supposed that the resistance of individual i is in
inverse proportion of the elasticity ERi/Rj= dRi
dRjthen in r, individual 1, the
most favored, will tend to be less opposed to the requests of individual 2, less
favored, because 1 is far from losing when the curve is vertical. Similarly, in m,
individual 2 tends to satisfy more 1's requests at the beginning because when
the curve is horizontal, he is far from losing, while at the same time he is already
the least favored: this is an obvious �paradox of the victim�. In every case, as
11
one approaches u, the resistance of the individual who sees his position being
degraded increases: starting from r, one will tend to stop out of u; similarly if we
start from m. Hence, the point u is at the same time a point of steady balance
and a point of accumulation. One can then think that, noting the subsequent
possibility of con�icts, the social decision maker will choose the point u rather
than the maximin m.
However, if e is in the Paretian zone of the e�ciency curve as in Figure 5,
the question of con�ict stability challenges the choice of e because u remains a
stable point of accumulation in the event of con�icts. In Figure 5, even if e is
the point of equality, agent 2 will be less able to resist at the requests of agent
1 than agent 1 is able to resist the requests of agent 2 and the equilibrium will
slip towards u to stabilize itself there.
2.6 Typology of policies
In terms of simple typology of policies, the point r can be interpreted as the
point of the political hard right-wing, those that can be quali�ed as egoistic.
The point e is the point of the egalitarian left-wing that belongs to the French
tradition or can be quali�ed as being a matter for Utopian ideas because the
point e poses many problems of existence and, if it exists, excludes the point m.
The point m is the point of the �modern� left-wing as it gives the maximum to
the less favored but by remaining realistic as it is still located on the Paretian
curve. The point u provides the maximum total revenue whatever inequality
between individuals is. When one goes from the point r to the point u, the
political right-wing abandons progressively its egoistic character to tend to be
more welfarist; when one goes from m (or e) to u, the left-wing abandons its
Utopian ideas (e) or its generosity to become also more welfarist. Hence, the
point u is the limit between the political right-wing and the political left-wing:
the domain of the political right-wing goes from r to u while the domain of the
left-wing goes from u to m or e eventually. This a�rmation will be quali�ed
later.
2.7 Growth and maximin
Even if the Phelps curve can be considered as the frontier that indicates all the
possible revenues that guaranteeing a given growth rate in statics, in dynamics,
growth makes the e�ciency frontier to go to the North-East of the �gure (see
Figure 6) because in a growing economy, it is possible to pay more one agent if
12
��� ��
��
�� ����� ��� ������������
��� ���Figure 6: Growth and e�ciency curve
the revenue of the other does not change. For example, for the same level R∗1
of agent's 1 revenue, it is possible to pay more agent 2: R∗∗2 instead of R∗2, and
conversely.
However, choosing the maximin to secure a left-wing economic policy is not
su�cient as soon as dynamics are considered. Particularly, growth may ruin all
e�orts made in favor of the less favored.
Growth may have a strong impact on economic justice. First, homothetic
growth can be quali�ed as neutral growth: both bene�t from growth. Second,
growth could make equality easier or, to the contrary, more di�cult (Figure 8,
left and right respectively). When equality is made easier, growth makes agent
2 to become sometimes the richest; it could eventually make agent 2 to become
always the richest. In homothetic growth (Figure 7), where the e�ciency domain
evolves between two straight lines, it is self-obvious that this case cannot occur.
Beyond that, it is awaited that when the maximin is selected, growth should
be favorable to the poor (see Figure 9, left). Similarly, if the pro-rich point
is selected, it is awaited (even considered as immoral by many) that growth is
favorable to the rich (see Figure 9, right).
However, the main question with growth is that it is possible to have a
paradoxical evolution, namely a pro-poor growth when the point r has been
chosen or a pro-rich growth when the maximin has been chosen. Let's illustrate
13
�� �
��
���� ����� ��� ���
Figure 7: Homothetic growth and e�ciency curve
���
�� ��
���
� ��Figure 8: Growth: equality made easier (left) and more di�cult (right)
���
��� ���
�����
� � ����
Figure 9: Normal pro-poor growth (left); normal pro-rich growth (right)
14
���
�� ��
��
���
� � ����
Figure 10: Paradoxical pro-rich growth (left); paradoxical pro-poor growth(right)���
� �������
��������
���� ��� ����� ��
Figure 11: Political hard right-wing and growth: the rich are losing (left); max-imin and growth: the poor are losing (right)
this. Growth may bene�t to the poor even if the point r has been selected as
in Figure 10 right: the pro-rich economic policy is a failure; growth may bene�t
to the rich even if the maximin has been selected as in Figure 10 left. In this
case, the left-wing economic policy can be considered as being a failure.
When growth makes that the curves are intersecting (in their e�cient part
or not), growth may even have an inverse e�ect, for example making the revenue
of the rich lower after growth even if a right-wing policy have been chosen (and
conversely for the poor). In Figure 11, left, the rich are losing if the points r
and r′ have been selected, but they have larger revenue if the points m and m′
have been selected! In Figure 11, right, the poor are losing if the maximin is
chosen in the new curve: they are winning if the point r is chosen but they are
losing if the point m is selected.
Growth may make that choosing the utilitarian the point u induces a vari-
ation in the sharing between the revenues: making a �welfarist� policy is abso-
lutely not a guarantee of neutrality, as shown in Figure 12.
15
���
�� ���
��
���
��� ��
��Figure 12: Utilitarian point and change in revenue distribution: growth favor-able to the poor (left) and growth unfavorable to the poor (right)
3 Lessons from the Nash bargaining
3.1 Nash bargaining
If we consider the problem as a two-persons game and its generalized�i.e., by
dropping symmetry axiom8�Nash solution (Nash 1950a and 1950b; Roth 1979;
Rubinstein 1982; Binmore, Rubinstein and Wolinsky 1986; Wright no date), we
are able to generate all points in {m, r}, that is, all possible points when the
agents have di�erent claims. Here, it is applied on a curve of which arguments
are the revenues rather than utilities but we have the right to do this.910 Con-
sider the e�ciency curve R2 (R1). Denote by Rr1 and R
r2 the coordinates of the
point r on the X-axis and Y-axis respectively; denote by Rm1 and Rm2 the coor-
dinates of the point m on the X-axis and Y-axis respectively. Rm1 is individual
1's revenue when individual 2 obtains its maximum revenue, i.e., the maximin
m, and Rr2 is individual 2's revenue that when individual 1 obtains its maximum
revenue, i.e., r. We choose the point d of coordinates {Rm1 , Rr2} as disagreementpoint11 because any point outside the convex is impossible: assume that an-
other point d′ is chosen such as those of Figure 13; from there, individual 1 may
8When utilities are argument, the four axioms of the Nash bargaining are: invarianceto equivalent utility representations, symmetry, independence of irrelevant alternatives andPareto e�ciency. The �rst one is not necessary as we revenues are arguments and the secondone is dropped in the generalized Nash bargaining.
9Nash and followers consider utilities because they think in terms of set of commoditiesthat are aggregated by the idea of utility. If we think in terms of revenue, thinking in termsof utility is unnecessary.
10For the link between Nash's and Rawls' theories, see Lengaigne (2004). We do not considerthe Kalai-Smorodinsky's solution (Kalai and Smorodinsky 1975; Kalai 1977) because it doesnot satisfy the axiom of independence of irrelevant alternatives.
11The disagreement point is also called threat point or even �status quo� by Thomson (1981)or Binmore et al. (1986); it is also the point where both individuals are placed when they failto bargain.
16
��
��
�������������
�������� � �����
����Figure 13: Disagreement point
increase its revenue up to point a without degrading those of individual 2 but as
a is not e�cient, individual 2 may also increase its revenue up to point b, which
is this time e�cient, without degrading those of individual 1; and conversely by
reversing the order of the actions of both individuals (which does not appears
in Figure 13): however, when point d is chosen, individual 1 may increase its
revenue by going to point r but individual 2 cannot make any other movement
to increase its own revenue as he is located on the e�ciency curve; conversely,
individual 2 may increase its revenue up to point m but that lets no leeway to
individual 1; conversely, any point inside the convex {m, r, d} is not the worstpoint that both agents can accept. Therefore, Rm1 and Rr2 are the minimum
revenues (while Rr1 and Rm2 are the maximum revenues): d is the worst point.
Therefore, for the Nash bargaining, we consider the convex {m, r, d}.TheNash solution is
R1 = argmax [R1 −Rm1 ]θ[R2 (R1)−Rr2]
1−θ(1)
subject to R1 ≥ Rm1 and R2 (R1) ≥ Rr2. Equation 1 is a set of hyperbolas, as
shown in Figure 14. The �rst order condition is
R′2 (R1) = −θ
1− θR2 (R1)−Rr2R1 −Rm1
(2)
17
��
��
���� ���Figure 14: Nash hyperbolas
When θ = 1 equation (2) is not de�ned but the Nash solution turns out to be
R1 = argmax [R1 −Rm1 ] subject to R1 ≥ Rm1 : R1 is maximized and the solution
is the point r. When θ = 0, it follows from (2) that R′2 (R1) = 0: R2 (R1) is
maximized and the solution is the point m. The utilitarian point is de�ned by
argmax [R1 +R2 (R1)], the �rst order condition being
R′2 (R1) = −1 (3)
Therefore, solution (2) corresponds to the the utilitarian point given by (3) if
θ
1− θR2 (R1)−Rr2R1 −Rm1
= 1 (4)
that is,
θ =R1 −Rm1
(R1 −Rm1 ) + (R2 (R1)−Rr2)(5)
If the curve is symmetric by respect to the bisector passing by d, then θ = 12
and u = s.12 Moreover, we remark that θ cannot be determined ex ante: it is
found only when the point u has been determined because in (5), neither R1
nor R2 (R1) are �xed but they are variable.
Remark. The above reasoning about the utilitarian point as steady balance and
12In the space of utilities, u = s always holds.
18
accumulation point is de�cient in the sense that the utilitarian point is not the
unique point which is a steady balance and an accumulation point as exposed
above.
Proposition 3. Depending on the parameter θ in a Nash generalized bargaining,
any point is an equilibrium point, depending on which θ has been chosen.
This proposition obviously includes the utilitarian point (Thomson 1981).
Proof. It is self-evident.
Remark. The role of the social decision maker could be to choose the parameter
θ. However, θ may also be considered as an indicator of individuals' relative
force. This shows that the maximin is a very particular case of bargaining
where the poorest receives all the bargaining power. We don not think that
Rawls argument about the veil of ignorance and the original position discussed
in sub-section 2.4 is su�cient to justify that the bargaining power is entirely
attributed to the less favored.
3.2 Surplus-equality
The Nash bargaining derivation of the various points along the e�ciency curve
suggests a di�erent de�nition of equality. We call this point surplus-equality,
denoted s in Figure 15: it is the point where the surplus is shared in two equal
parts, determined by the intersection of the �rst bisector that passes by the
disagreement point (Rm1 , Rr2) and the e�ciency curve. This sharing line has for
equation R2 = R1 − (Rm1 −Rr2) and is parallel to the main bisector of equation
R2 = R1. The point s is also a Nash equilibrium if the adequate value of θ is
chosen. It is easily derivable from the moment that the equation of the e�ciency
curve is known. Notice that in the world of utilities, the point s would be the
Nash equilibrium itself.
The point s generally di�ers from the egalitarian point e, even if e is on
the e�ciency curve as in Figure 5. From the moment that the e�ciency curve
is given and accepted by both individuals, the surplus-equality point is those
which shares equally what can be shared. Indeed, pure equality, the point e,
refers to the original point where both individuals receive zero, i.e., the pure
�original position� where both individuals have the same chance of being rich
or poor. However, no one wants to be in that place because he receives no
revenue there: the disagreement point is preferred by both, even if in that point
19
�� �
��
���� ��� ��Figure 15: Surplus equality
a certain level of inequality has been yet introduced, which supposes that the
di�erences in talents have been recognized. In a word, individuals are not in
the position {0, 0} ex ante, even if they think that they could fall in the best
or the worst position ex post. This could seem unjust but the existence of the
e�ciency curve itself makes that di�erences in talents are predetermined. More
precisely, the e�ciency curve determines the position of the disagreement point
but the converse proposition is false: defending d as original point means that
the e�ciency curve is given and known. If such a presupposition is rejected,
and if we denote by O the point where R1 = R2 = 0, no e�ciency curve can
be drawn in O, no apportionment done except pure equality and no maximin
determined at all. In other words, there is a contradiction between taking O
as original point and considering an e�ciency curve, unless the e�ciency curve
is such that the disagreement point is confused with the origin, a very special
case where s is confused with e, which we call super-equality and is drawn in
Figure 17. The Proposition 4 and it Corollary treat this case. It is worth noting
that pure equality may be e�cient and at the same time not confused with
surplus-equality as in Figure 16. Moreover, s cannot be placed to the left of e:
this would require that d itself is to the left of the bisector {O, e}, which would
mean that R1 < R2 in d.
Proposition 4. Pure equality and surplus-equality are confused if and only if
the disagreement point shares equally the revenues.
20
��
��
���� ��� ����Figure 16: Equality e�cient but not confused with surplus-equality.
��
��
���� ��� ���Figure 17: s = e
21
Proof. The straight lines {O, e} and {d, s} are parallel by de�nition. Therefore,from the axiom of Euclidean geometry, the point d is located on {O, e} if andonly if the point s is on {O, e}, i.e., e and s are confused.
Corollary 2. If pure equality and surplus-equality are confused then equality is
e�cient.
Proof. Equality is e�cient if the point e is located on the e�ciency curve. As
{O, e} and {d, s} are parallel, if e = s then e is on the e�ciency curve because
s is on the e�ciency curve by construction.
For these reasons, surplus-equality s corresponds to the true equality because
it refers to the disagreement point where both individuals are placed before
bargaining. Moreover, the segment {m, s} in the e�ciency curve is those that
must be chosen for conducting a left-wing policy because it is largely insensitive
to a growing inequality.
Proposition 5. When inequality increases, that is, the e�ciency curve is in-
�nitely �attened along the Y-axis, or Rr1 →∞, m remaining �xed, then Ru1 →∞but Rs1 is �nite and equal to Rm1 +Rm2 .
Proof. The proof is obvious. We are in the normal case of Figure (18). When
Rr1 → ∞, r goes to the right, by construction. The point s is found by inter-
secting the bisector that passes by (Rm1 , Rr2) and the e�ciency curve: s moves
slightly to the right, to the limit up to the point (Rm1 +Rm2 , Rr2 +Rm2 ) because
the curve tends to be horizontal between m and s. As the e�ciency curve tends
to be very �at, the point where its slope equals −1 in�nitely goes to the right.
As in the point n, curve's slope is between −1 and zero, n goes to the right
between n and r. See Figure 18.
Therefore, while a right-wing policy corresponds to the segment {u, r}, aleft-wing policy should be restricted to the segment {m, s} (or to {e, s}, if e islocated on the e�ciency curve).
If the e�ciency curve is �normal�, that is, �attened along the Y-axis as in
Figures 1-5, the equal-surplus point is to the left of the utilitarian point (see
Figure 18): θu >12 ; s is more favorable to the poor than u. However, if the
�gure is �attened along the X-axis, which is not the standard case, the equality-
surplus and the Nash egalitarian points are to the right of the utilitarian point
as in Figure 19: θu <12 ; they are more favorable to the rich than u; s is to the
22
�� ��
��
���� �� �� ����� ���Figure 18: E�ciency curve �attened along the Y-axis
right of n: it is the most favorable to the rich. Obviously, both n and s are
the same if the curve is symmetrical by respect to the disagreement point; it is
not necessary that the e�ciency be symmetrical by respect to the origin. The
point s also di�ers from the utilitarian point u when the e�ciency curve is not
symmetrical.
Remark. Surplus equality may be di�erent. Instead of sharing equally the sur-
plus between both individuals, one may share it following a di�erent apportion-
ment rule, as the proportional rule: the surplus may be allocated proportionally
to the minimum revenues, that is, toRm
1
Rm1 +Rr
2to which corresponds a sharing line,
of equation R2 =Rm
1
Rr2R1, which passes by the origin. This type of surplus shar-
ing is highly unequal, leading to a point that can be to the right of u, very close
to r, even in a normal e�ciency curve. Surplus may also be shared following
the Talmud. Homothetic growth projects also d and ms homothetically. See
3.3 Case of more than two agents
We have considered only two agents: things are much more complicated when
three or more individuals are considered. For n agents, the �Phelps curve� is
now a surface of n − 1 dimensions. We impose a lexicographic order between
all agents: R1 > ... > Ri > ... > Rn−1 > Rn, where Rn is the revenue of the
poorest. Rn = f (R1, ..., Rn−1) is the e�ciency curve such that dRi
dRn≤ 0 and
d2Ri
dR2n≤ 0 for any i. It is handy to return to the Nash bargaining, for n-persons
23
�� �
��
���� ���� ��Figure 19: Atypical curve: e�ciency curve �attened along the X-axis
�����
��
���� ���� �����
������Figure 20: Homothetic growth for d and s
24
here. The Nash bargaining solves:
Ri = argmax
n−1∏i=1
[Ri −Rmi ]θi [f (R1, ..., Rn−1)−Rrn]
1−∑n−1
i=1 θi
for any i = 1, ..., n− 1 subject to Ri ≥ Rmi for any i = 1, ..., n− 1, and f (Rn) ≥Rrn. For generating the minimax, one poses θi = 0 for any i = 1, ..., n−1, which
gives
Ri = argmax
n−1∏i=1
[f (R1, ..., Rn−1)−Rrn]
for any i = 1, ..., n−1. Therefore, the di�erence between Rrn and f (R1, ..., Rn−1)
is maximized. See Figure 21 for the three individuals case. The point m is the
maximin, r is the pro-rich point and m12 is the maximin between individuals
1 and 2. The curves {r,m12}, {r,m} and {m12,m} are the e�ciency curves
between individuals 1 and 2, individuals 1 and 3 and individuals 2 and 3, re-
spectively.
However, things are a little more complicated when the highest point along
the Z-axis is not unique as it is in Figure 21. For instance, in Figure 22, where the
gray areas indicate where the lexicographic order is violated, we may search the
maximin between R3 and R2 for a given R1. When R1 is minimum, it is along
curve {B2,m2}; when R1 is maximum, it is along curve {B1,m1}. Therefore,
this maximin is curve {m1,m2}. When we choose the maximin between R1
and R2, it is point m2. However, nothing proves that the the revenue R3
that corresponds to m2 is higher than those of m1: {m1,m2} may perfectly
be decreasing (and m1 be the overall maximin) without violating convexity. In
other words, the overall maximin does not necessarily correspond to the leximin
(i.e., the composition of the maximin between two agents successively placed
on the scale of revenues). Obviously, surplus-equality does not poses such a
problem.
Moreover, the volume of computations become unrealistic with millions of
individuals: it becomes necessary to make a small number of groups. Unfortu-
nately, the solution is completely sensitive to the number n of agents in each
group.
25
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��
� ��
��
�� ������������������������� �
Figure 21: Maximin for three agents.
26
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��
�� ����
�� ������� �������������������
Figure 22: Maximin for three agents.
27
4 Conclusion
We have examined how Phelps' e�ciency curve, where the revenues are argu-
ments of the e�ciency curve, may help understanding what is just in a Rawlsian
perspective. In the �rst part of the paper, we have shown that this curve is lim-
ited to its north-east section and identi�ed three remarkable points: the point r
which maximizes the revenue of the richest, the point m, the Rawlsian maximin,
which maximizes the revenue of the poorest and the point u which maximizes
the sum of the revenues. We have shown that egalitarianism can be impossible,
ine�cient, or possible but this last case excludes and dominates the Rawlsian
optimum. Therefore opposing egalitarianism and equity is not adequate (cf. the
debate in France about the Minc's report (1994) with Dupuy's critics (1995)):
equality is not always possible, but when it is possible, it replaces the maximin.
Overall, the maximin is the closest to equality: this is Kolm's idea of practical
justice. Growth may let anything unchanged if it is homogeneous but this is an
improbable situation. Sometimes growth will make equality easier and some-
times more di�cult to reach. Choosing the point m does not guarantee that
growth is always favorable to the poor: when the point m is chosen, growth
can be pro-poor but it can be also pro-rich, and conversely when the point r is
selected. In some situations growth may be completely paradoxical: the poor,
respectively the rich, can be losing when the maximin, respectively the point r,
is selected.
The utilitarian point u is an equilibrium point. However, a Nash generalized
bargaining�based on revenues rather than on utilities�is able to turn any point
in the e�ciency curve into equilibrium. This idea allows proposing a new point,
surplus-equality, which shares equally the surplus from the disagreement point.
While pure equality is determined by respect to an unrealistic situation where all
revenues are zero, surplus-equality is determined by respect to the disagreement
point, where are placed both individuals before bargaining. Therefore, it is the
true egalitarian point. Surplus-equality generally falls between the maximin
and the utilitarian point but, as the maximin and unlike the utilitarian point,
is rather stable by respect to a growing inequality. If the maximin, the pro-rich
point and the utilitarian point13 are relatively easy to �nd empirically, detecting
where the surplus-equality point is placed is not so easy.
Nevertheless, surplus-equality may be considered also for a left-wing policy.
We conclude that the area between maximin and surplus-equality should be the
13In the utilitarian point, giving one euro to one agent takes one euro to the other.
28
base of a left-wing policy as the maximin is the closest to egalitarianism without
being Utopian as equality is, and the area maximin - surplus-equality is rather
insensible to an increase of inequality. The point r corresponds to a political
hard right-wing policy and the point u to a Benthamite policy. We have also
examined the e�ect of the growth on these categories.
Extending the analysis to more than two agents is possible by following a
Nash bargaining but the overall maximin does not necessarily correspond to the
leximin; it needs too much information: considering groups of agents is obviously
much simpler and it raises the question of the sensitivity of the results to the
relative weights of the groups.
This study has obviously its own limitations. The Phelps curve is not easy
to compute in practical terms: the politicians must found it by trial and errors.
One concludes that all this story is more a parable for explaining the various
concepts of justice and for determining the optimum of a left-wing policy rather
than an operational tool.
Bibliographical references
Allou Jean-Paul (2011) Tous les banquiers ne �nissent pas en prison... moi,
c'était dans la rue, Paris: Michel Lafon.
Aumann R.J. and Maschler. M. (1985) �Game theoretic analysis of a
bankruptcy problem from the Talmud� , Journal of Economic Theory, 36, 2:
195-213.
Barry B. (1989) Theories of Justice, Berkeley and Los Angeles: University of
California Press.
Bezembinder Th. and P. van Acker (1987) �Factual vs representational utilities
and their interdimensional representations,� Social Choice and Welfare, 4:
79-104.
Binmore K. (1989) �Social Contract I: Harsanyi and Rawls,� The Economic
Journal, 99, 395, Supplement: Conference Papers: 84- 102.
Binmore K., A. Rubinstein and A. Wolinsky (1986) �The Nash Bargaining
Solution in Economic Modelling,� The RAND Journal of Economics, 17, 2:
176-188.
29
Bosmans K. and E. Ooghe. (2006) �A characterization of maximin,�
Downloadable at:
<http://www.econ.kuleuven.be/ew/academic/econover/Papers/wpchmax.pdf>.
Cohen G. (1995) �The Pareto Argument for Inequality,� Social Philosophy and
Policy, 12: 160-185.
Dupuy J.P. (1995) �Equité, égalité et confusion,� Libération, 27 février 1995.
Foley D. (1967) �Resource allocation and the public sector�, Yale Economic
Essays, 7: 45-90.
Gamel C. (2010) �Justice de résultat. De 'l'économie du bien-être' à
'l'égalitarisme libéral',� GREQAM Working Paper No 2010-22.
Gauthier D. (1986), Morals by Agreement, Oxford: Oxford University Press.
Gibbard A. (1991) �Constructing Justice,� Philosophy & Public A�airs, 20, 3:
264-279.
Hammond P.J. (1976) �Equity, Arrow's conditions, and Rawls' di�erence
principle,� Econometrica, 44, 4: 793-803.
Hammond P.J. (1979) �Equity in two person situations: some consequences,�
Econometrica, 47, 5: 1127-1135.
Hammond P.J. (1993) �Interpersonal Comparisons of Utility: Why and How
They Are and Should Be Made,� in: Elster J. and J.E. Roemer (1993)
Interpersonal Comparisons of Well-Being, Studies in Rationality and Social
Change, Cambridge University Press, pp. 200-254.
Harsanyi J. (1953). �Cardinal utility in welfare economics and in the theory of
risk-taking.� Journal of Political Economy, 61: 434-435.
Harsanyi, J. (1955) �Cardinal welfare, individualistic ethics, and interpersonal
comparisons of utility,� Journal of Political Economy, 63, 309�321.
Harsanyi, J. (1958) �Ethics in terms of hypothetical imperatives.� Mind, vol.
47, pp. 305-316.
Harsanyi, J. (1975) �Can the maximin principle serve as a basis for morality?
A critique of John Rawls' theory,� American Political Science Review, 69:
594-606.
30
Kalai E. (1977) �Proportional Solutions to Bargaining Situations:
Interpersonal Utility Comparisons,� Econometrica, 45, 7: 1623-1630.
Kalai E., and M. Smorodinsky. (1975) �Other Solutions to Nash's Bargaining
Problem,� Econometrica, 43: 513-518.
Kolm S.-C. (1972) Justice et équité, Monographies du séminaire d'économétrie,
CNRS.
Kolm S.-C. (1996a) A modern theory of justice, M.I.T. Press.
Kolm S.-C. (1996b) �The theory of justice�, Social Choice and Welfare, 13, 2:
151-182.
Lengaigne B. (2004) �Nash : changement de programme ?,� Revue d'Economie
Politique, 114, 5: 637-662.
McClelland P. D. (1990) The American Search for Economic Justice, Basil
Blackwell.
Minc A. (1994) La France de l'an 2000. Commissariat général du plan, Odile
Jacob.
Miyagishima K. (2010) �A characterization of the maximin social ordering,�
Economics Bulletin, 30, 2: 1-4.
Moehler M. (2010) �The (Stabilized) Nash Bargaining Solution as a Principle
of Distributive Justice,� Utilitas, 22: 447-473.
Moulin H.J. (2003) Fair Division and Collective Welfare, Cambridge: MIT
Press.
Nash J. F. (1950a) �The Bargaining Problem,� Econometrica, 18, 2: 155-162.
Nash J.F. (1950b) �Equilibrium points in n-persons games,� Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United Stats of America, 36, 1: 48-49.
O'Neill B. (1982) �A problem of rights arbitration from the Talmud� ,
Mathematical Social Sciences, 2, 4: 345-71.
Phelps E.S. (1985) Political Economy, an introductory text, W.W. Norton.
31
Phelps (2011) �Edmund S. Phelps - Autobiography,� Nobelprize.org, 9 Mar
2011. Downloadable at:
<http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/2006/phelps.html>.
Rabinovitch N. (1973) Probability and Statistical Inference in medieval Jewish
Literature. Toronto: University of Toronto Press.
Rawls J. (1971) Theory of Justice, Harvard University Press.
Rawls J. (1988) �La théorie de la justice comme équité : une théorie politique
et non pas métaphysique�, in Individu et justice sociale, autour de John Rawls,
Seuil, Points Politique, pp. 279-317.
Rawls J. (1989) �Les libertés de base et leur priorité�, in �John Rawls, Justice
et libertés�, Critique, 505-506: 423-465.
Rawls J. (1993) Political Liberalism, New York, NY: Columbia University
Press, 1993.
Roth A. (1979) Axiomatic Models of Bargaining, Berlin: Springer-Verlag.
Rosen M. (1989) �Une autre argumentation en faveur du principe de
di�erence�, in �John Rawls, Justice et libertés�, Critique, 505-506: 498-505.
Rubinstein A. (1982) �Perfect equilibrium in a Nash bargaining problem,�
Econometrica, 50, 1: 97-109.
Runciman W.G. (1966) Relative Deprivation and Social Justice, Routledge.
Sen A. (1999) Commodities and Capabilities, Oxford University Press, USA.
Shaw P. (1999) �The Pareto argument and inequality,� The Philosophical
Quarterly, 49, 196: 353-368.
Thomson W. (1981) �Nash's Bargaining Solution and Utilitarian Choice
Rules,� Econometrica, 49, 2: 535-538.
Tinbergen J. (1953) Redelijke Inkomensverdeling, 2nd edition, Haarlem, De
Gulden Pers.
Wright Randall. (no date) �Chapter 9, Bargaining Theory,� Course, University
of Pennsylvania, Downloadable at:
http://www.ssc.upenn.edu/~rwright/courses/app-bar.pdf.
32
Young H. P. (1987) �On dividing an amount according to individual claims or
liabilities,� Mathematics of Operations Research, 12, 3: 398-414.
Young H. P. (1995) Equity: In Theory and Practice, Princeton (N.J.):
Princeton University Press.
33