problemas de optimizacion con soluciones

7/26/2019 Problemas de optimizacion con soluciones

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Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniera y Ciencias Aplicadas

Semestre 2013-1

Profesor: Andrea Valle

Auxiliar: I. Scarneo

PRUEBA 1Introduccion a la Optimizacion

Tiempo: 2 horas.15 de Abril 2013

1.- (3 ptos) Una fabrica produce n diferentes tems y utiliza para ello m materias primas. Eltem j necesita una cantidad aij de la materia prima i por unidad de tem (i= 1,...,m,

j = 1,...,n). La disponibilidad de materia prima i es de M Pi, i = 1...m. Si se fabricael tem j solo puede producirse en las cantidades Aj, Bj o Cj, j = 1,..,n. El preciodel tem j es pj por unidad y cj es el costo unitario. Tenga en cuenta que por el s olohecho de fabricar el tem j se incurre en un costo fijo Kj . En este proceso productivose usa gas como combustible. Se sabe que el consumo de gas por unidad fabricada del

tem j es gj. Por razones ambientales, el consumo total maximo permitido de gas esG. Sin embargo, si la empresa coloca un sistema de filtro, el consumo m aximo puedeascender a H. El costo de instalar el filtro es R. Ademas, si se coloca ese filtro, entoncesel tem j solamente podra ser fabricado en las cantidades Bj o Cj , j= 1,..,n. Con estosantecedentes construya un modelo que permita determinar cuanto producir de cada temy la conveniencia o no de instalar el sistema de filtro, de tal manera que se maximice elbeneficio total (diferencia entre ingreso total y costo total de produccion y de inversionde filtro).

Solucion:

Variables (0.25 ptos c/u):

P aj: 1 si produce el tem j en la cantidad Aj, 0 si no. P bj: 1 si produce el tem j en la cantidad Bj, 0 si no.

P cj : 1 si produce el tem j en la cantidad Cj , 0 si no.

Y: 1 si se instala el flitro, 0 si no.

Qj : es la cantidad producida del tem j.

Funcion Objetivo (0.5 ptos):

maxN

j=1

[Qj(pj cj) (P aj+ P bj+ P cj) Kj] Y R

Restricciones:

El tem j solo puede producirse en una de las cantidades indicadas (0.25):

P aj+ P bj+ P cj 1 j= 1...N

Si se instala el filtro no se puede producir la cantidad Aj (0.25):

P aj+ Y 1 j= 1...N


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Niveles maximos de gas permitidos (0.25):

n

j=1

Qjgj G + Y(H G)

Disponibilidad de materia prima (0.25):

n

j=1

Qjaij M Pi i= 1...M

Naturaleza de las variables (0.25):

Qj 0 j= 1...N

P aj, P bj, P cj 0, 1 j = 1...N

Y 0, 1

2.- (2.5 ptos) El MOP le ha encargado a usted, en su calidad de asesor, planificar la cons-truccion de una carretera que ha quedado destruida con el terremoto. Dado que es unacarretera de alta velocidad, la ruta debe ser nivelada colocando sobre ella una mezcla dematerial pedregoso y grava disponible en Mcanteras a lo largo de la ruta.

En cada una de las canteras hay una cantidad de Si toneladas de material, donde i =1,..,M, y ademas para extraer una tonelada de material de la cantera i se debe gastar$Ai.

Por otro lado, en la futura carretera se han trazado N secciones y se estima que, para

nivelar la seccion j de la carretera, se requieren Dj toneladas de material, donde j =1,..,N. La nivelacion por tonelada de material cuesta $Bj . A lo anterior tambien debeconsiderar que existe un costo de transportar una tonelada de material desde la canterai hasta la seccion j dado por $Cij .

Suponga que en las canteras hay suficiente material para nivelar todos los requerimientos.

a) (1.5 ptos) Se le pide modelar el problema que determina la poltica optima de trans-porte y extraccion del material que minimiza los costos de nivelacion de la carretera.

Solucion:

Variables (0.25 ptos):

xij toneladas sacadas de la cantera i para nivelar la seccion j de la carretera.Funcion Objetivo (0.5 ptos):

mnM

i=1

N

j=1

(AiBjCij) xij

Restricciones:


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Disponibilidad en la cantera (0.25 ptos):

N

j=1

xij Si i= 1...M

Demanda en la carretera (0.25 ptos):

M

i=1

xkij Dj j= 1...N

Naturaleza de las variables (0.25 ptos):

xij 0 j = 1...N i= 1...M

b) (1 pto) Suponga que, como todava no existe ruta, para llevar material desde la

canterai a la seccion de ruta j se debe improvisar un camino temporal cuyo costoes $Eij . Si lleva material de la cantera i a la seccion de carretera j es necesario hacereste camino, pero si no lo hace no. Escriba las modificaciones adicionales que debenintroducirse al modelo de a) para tomar en cuenta este nuevo requerimiento.

Solucion:

En este caso hay que introducir variables binarias (0.5):

yij que toman valor 1 si se construye el camino de i a j y 0 si no.

Con estas variables se agrega al modelo la siguiente restriccion (0.25):

xij Siyij i= 1...M j= 1...N

Ademas, se debe modificar la funcion objetivo (0.25):

mnM

i=1

N

j=1

[(AiBjCij) xij+ yijEij]

3.- (1 pto) Suponga el siguiente problema de optimizaci on no lineal con n variables y mrestricciones.

maxxRn

ani=1exp

cixi+ b

s.a.

n

i=1

dijxi ej j = 1...m

Dondea 0, ci > 0, dij , ej son parametros del problema. Encuentre un problemalineal equivalente.

Solucion:

Primero eliminamos la constante b y como a


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mn 1ni=1exp

cixi

s.a.

n

i=1

dijxi

ej j = 1...m

Como el denominador es siempre positivo, el modelo es equivalente al siguiente (0.25):

maxn

i=1

expcixi

s.a.

n

i=1

dijxi

ej j = 1...m

Ahora, aplicando logaritmo natural sobre la funcion objetivo, el modelo queda (0.25):

maxn

i=1

ci xi

s.a.

n

i=1

dijxi

ej j = 1...m

Ahora, linealizando la restriccion se obtiene (0.25):

maxn

i=1

ci xi

s.a.

n

i=1

dijxi ej j = 1...m

n

i=1

dijxi ej j = 1...m

4.- Considere el siguiente problema:

max z= x + ys.a:

x, y D

con D= A (B C).

DondeA= {(x, y) :

x2 + y2 = 1,2}


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B= {(x, y) :|x| 1}

C={(x, y) :|y| 1}

a) (1 pto) Demuestre formalmente que el problema admite solucion optima.Solucion

Para demostrar que admite solucion optima usamos el teorema de Bolzano-Weirstrass.En este caso se tiene:

(0.25) La funcion f(x, y) =x + y es continua (polinomio de primer grado).

(0.25) El dominio D es no vaco, ya que (0, 1) D.

(0.25) El dominio D es cerrado.Tomemos una sucesion (xn, yn) en D, debemos demostrar que lmn(xn, yn) =(x, y) D.Como (xn, yn) D, luego

x2n+ y

2n= 1,2 como esta funcion es continua toma-

mos lmite y nos queda

x2

+ y2

= 1,2.Como (xn, yn) D, luego|xn| 1 o|yn| 1 como estas funciones son continuastomamos lmite y nos queda |x| 1 o|y| 1.Luego, (x, y) D, es decir, D es cerrado.

(0.25) El dominio D es acotado, 1,2 x 1,2, 1,2 y 1,2.

b) (1 pto) Resuelva graficamente el problema. Sea explcito en entregar la solucion y elvalor optimo.

Solucion

El conjunto factible esta formado por los puntos rojos y verdes, mientras que elconjunto de soluciones optimas esta formado por los puntos verdes.

Resolviendo graficamente se obtiene que x1

= (1, 0,663) y x2

= (0,663, 1).Con valor optimo z =1,663

c) (1 pto) Argumente si el problema es o no convexo.

Solucion

Para que el problema sea convexo la funcion objetivo f(x, y) y el dominio D debenser convexos. La funcion f(x, y) es convexa, sin embargo, el dominio no lo es. Por


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ejemplo, si tomamos x1 = (0, 1) D y x2 = (0, 1) D, el segmento x1+ (1)x2D , [0, 1].

5.- Considere el problema de una persona que puede consumir dos bienes. El costo del

bien 1 en el mercado es de c1 y el costo del bien 2 es c2 (Donde c1 > 0 y c2 > 0). Elpresupuesto de esta persona para comprar bienes es de P, con P >0, y el beneficioque obtiene por el consumo de ambos bienes se puede representar por la funci onf(x1, x2) = x1 x2, donde x1 y x2 representan la cantidad consumida del bien 1y del bien 2 respectivamente. El siguiente corresponde al problema de maximizarbeneficio sujeto a respetar el presupuesto:

max f(x1, x2) =x1 x2s.a:

c1x1+ c2x2 P

a) (1 pto) Bajo el supuesto de que el presupuesto se consume en su totalidad, es

decir, c1x1+ c2x2 = P, plantee el problema como un modelo de optimizacionirrestricto sobre x2. Para el modelo planteado, estudie las condiciones de 1

er y2do orden.Solucion

Despejando x1= P c2x2

c1y reemplazando en la funcion objetivo, el problema

irrestricto queda de la siguiente manera:

max g(x2) = P x2 c2x

22

c1

(Esta parte 0.2)Estudiamos la condicion de primer orden:

dg

dx2=

P 2c2x2c1

(Esta parte 0.2)Igualando a 0 se obtiene el candidato a optimo:

x2= P

2c2x1=

P

2c1

(Esta parte 0.2)Estudiamos la condicion de segundo orden (seguimos en el problema de unavariable):

Hg(x2) =2c2c1

(Esta parte 0.2)

Como vemos, Hg(x2)


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b) (1 pto) Para el problema de la parte a) aplique el Metodo del Gradientepara encontrar el optimo utilizando como punto de partida x2 = 0. ConsidereP = 2 y c1= c2= 1.

SolucionPara los datos entregados el problema irrestricto de una variable queda:

max(2 x2)x2

Aplicamos el Metodo del Gradiente.

Inicializacion: x02

= 0.f(x02

) = 2

Direccion de crecimiento: d0 = 2, no estamos en el optimo, seguimos.(Esta parte 0.2)

Determinar el tamano del paso:Se debe resolver max>0 f(x

02

+ a0d0) = max>02 2 (2 )2.

Como es un problema de una variable, derivamos e igualamos a cero: 4 8

= 0 = 12

.

(Esta parte 0.4)

Calcular x12

= x02

+ a0d0 = 0 + 12

2 = 1(Esta parte 0.2)Verificamos que f(x1

2) = 0. Luego estamos en el optimo.

(Esta parte 0.2)

c) (0.5 ptos) Demuestre formalmente que el problema de las partes a) y b) tienesolucion.SolucionEl problema es equivalente a:

mn h(x2) =P x2+ c2x

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c1

Analizando lmx2 h(x2) =La funcion h(x2) es coerciva, luego existe mnimo.

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