Teknik statistik untuk menguji hipotesis komparatif

Macam data

Bentuk komparasi

Dua sampel K sampel

Korelasi Independen Korelasi Independen

Interval/ratio

T-tes 2 *sampel

T-tes* 2 sampel

One way Anova *Two way anova

One way anova*Two way anova

Nominal Mc Nemar Fisher Exact

Chi kuadrat 2 sampel

Chi kuadrat k sampel

Cochran Q

Chi kuadrat k sampel

Ordinal

* parametris

Sign test

Wilcoxon

Matched

Pairs

Median test

Mann Whitney Utest

KolomogorovSmirnovWald Wolfowitz

Friedman

Two way

Anova

Median Extension

Kruskal WallsOne way

Anova

Hipotesis nihil dan alternatifnya :Ho : Tidak terdapat perbedaan (ada

kesamaan) produktivitas kerja antara pegawai yang mendapat rumah dinas dan tidak.

Ha : Terdapat perbedaan (tidak ada kesamaan) produktivitas kerja antara pegawai yang mendapat rumah dinas dan tidak.

Ho : µ1 = µ2Ha : µ1 ≠ µ2

Uji pihak kiri digunakan apabila rumusan hipotesa nol dan alternatifnya sebagai berikut :Ho : Prestasi belajar siswa SMU yang masuk sore hari lebih besar atau sama dengan yang masuk pagi.Ha : Prestasi belajar siswa SMU yang masuk sore hari lebih rendah dengan yang masuk pagi.

Uji pihak kanan digunakan apabila rumusan hipotesa nol dan alternatifnya sebagai berikut :Ho : Disiplin kerja pegawai swasta lebih kecil atau sama dengan pegawai negeri.Ha : Disiplin kerja pegawai swasta lebih besar dari pada pegawai negeri.

a. Statistik Parametris : t-testMenguji hipotesis komparatif rata2 dua sampel bila datanya berbentuk interval atau ratio menggunakan t - test.

)2/2()1/1(2)2/2()1/1(

2122 nsnsrnsns

xxt

Dari 25 karyawan yang mendapat fasilitas rumah dinas ingin diketahui perbedaan tingkat produktivitas kerjanya sebelum dan sesudah mendapat rumah. Diperoleh data sebelum mendapat rumah rata2 X = 74, s = 7,5 varians 56,25 sedangkan sesudah mendapat rumah X = 79,2 s=10,17 varians = 103,5 dan korelasi antara nilai sebelum dan sesudah mendapat rumah r=0,866.a. Buatlah rumusan Ho dan Hab. Ujilah adakah perbedaan dengan taraf nyata = 0,05.

Diketahui : dk = n1+n2 -2 = 50-2 = 48 Dengan taraf nyata 5 % nilai t tabel = 2,013t hitung dengan rumus

t = -4,952

)2/2()1/1(2)2/2()1/1(

2122 nsnsrnsns

xxt

Keputusan : karena t hitung < t tabel yaitu -4,952 < -2,013 maka ho ditolak dan ha

diterima. Jadi terdapat perbedaan produktivitas secara signifikan antara pegawai yang mendapat rumah dinas dan tidak.

Untuk menguji hipotesis komparatif dua sampel yang berkorelasi non parametris menggunakan Mc Nemar Test. Rancangan penelitian berbentuk sesudah dan sebelumnya ada treatment.

Sebelum Sesudah

- +

+ A B

- C D

Tanda (+) dan (-) sekedar menandai jawaban.Seseorang berubah dari positip ke negatip

diberi tanda A, jika berubah dari negatip ke postip tanda D. Jika tidak terjadi perubahan pada B dan jika tidak terjadi perubahan observasi yang berbentuk negatip di catat dalam sel C.

Jadi A+D adalah jumlah yang berubah sedang B dan C adalah yang tidak berubah.

Ho = (A+D)/2 berubah dalam satu arah dan merupakan frekuensi yang diharapkan dibawah fo pada kedua sel A dan D.

Mc Nemar berdistribusi chi kuadrat ( )

Contoh : Sampel 200, sebelum sponsor yang membeli produk 50 orang, 150 orang tdk membeli. Setelah disponsori 125 orang membeli dan 75 orang tidak membeli. Dari 125 yang membeli pembeli tetap 40 yang berubah jadi membeli 85. 75 yang tidak membeli yang berubah jadi tidak membeli 10 dan 65 orang tetap tidak membeli.

2X

DADAX /})1{( 22

Data di tabelkan menjadi :

Ho : Tidak ada perubahan penjualan sebelum dan sesudah sponsor

Ha : Terdapat perubahan penjualan sebelum dan sesudah sponsor

Sblm sponsor Setelah ada sponsor

Keputusan f f total Tetap Berubah

Membeli 50 125 = 40 + 85

Tdk membeli

150 75 = 65 + 10

200 200 = 105 + 95

Dilakukan penelitian untuk mengetahui ada tidaknya peningkatan penjualan barang sebelum dan sesudah memasang iklan. Data penjualan sebelum (X1) dan sesudah (X2) sebagai berikut :X1: 129, 130, 140, 110, 112, 150, 90, 70, 85, 110, 114, 70, 150, 140, 110 X2 : 200, 140, 300, 500, 170, 600, 700, 500, 400, 420, 230, 460, 400, 300, 600Buktikan hipotesis bahwa terdapat peningkatan penjualan setelah pemasangan iklan (t test sampel berkorelasi).

Perusahaan ingin mengetahui pengaruh sponsor pertandingan OR terhadap penjualan barang. Sampel diambil secara acak 220. Sebelum ada sponsor ada 60 orang membeli barang dan 160 orang tidak membeli. Setelah sponsor diberikan 135 orang membeli dan 85 orang tidak membeli. Dari 135 yang membeli terdiri atas 45 pembeli tetap dan 90 yang berubah jadi membeli. Selanjutnya dari 85 yang tidak membeli terdiri atas yang membeli 15 dan yang tetap tidak membeli 70 orang.Buktikan hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan penjualan sebelum dan sesudah ada sponsor.

Statistik parametris t-test. Untuk t-test parametris perlu beberapa pertimbangan antara lain : a. sebaran data berdistrusi sesuai kurva normal.

Uji normalitas menguji apakah sebaran data mengikuti kurva normal dengan langkah-langkah :1) Menentukan jumlah kelas interval. Untuk pengujian dengan chi kuadrat ditetapkan = 6.2) Menentukan panjang kelas interval3) Menyusun ke dalam tabel distribusi frekuensi, sekaligus tabel penolong untuk menghitung harga chi kuadrat hitung.

Contoh tabel penolong untuk pengujian normalitas

fo : jumlah data hasil observasi fh : jumlah data yang diharapkan 2,7%, 13,53%, 34,13%,

34,13%, 13,53%, 2,7%.

Interval fo fh fo-fh (fo-fh)^2 (fo-fh)^2/fh

13 – 27 3 4 -1 1 0,25

28 – 42 21 20 1 1 0,05

43 – 57 56 51 5 25 0,49

58 – 72 45 51 -6 36 0,70

73 – 87 21 20 1 1 0,05

88 – 102 4 4 0 0 0

Jumlah 150 150 0 0 1,55

Chi kuadrat tabel dengan dk=6-1=5 dengan kesalahan 5% terbaca 11,070. Karena harga chi kuadrat hitung (1,55) < chi kuadrat tabel (11,070) maka distribusi nilai data statistik 150 dinyatakan berdistribusi normal.b. Apakah varian data dari dua sampel homogen. Untuk itu dilakukan uji homogenitas dengan uji F rumusnya

Untuk melihat F tabel menggunakan dk pembilang = nbesar- 1 dan dk penyebut nkecil-1. Jika F hit≤Ftabel maka ho diterima dan ha ditolak berati varian homogen. c. Apakah rata-rata itu berasal dari dua sampel yang jumlahnya sama?.

)var/(var lianterkecirianterbesaF

d. Jika jumlah anggota sampel n1=n2 dan varian homogen( ) maka dapat digunakan rumus t test baik separated varians maupun polled varians.

e. Jika n1≠n2 varian homogen digunakan polled varians dengan dk = n1+n2 -2.

f. Bila n1=n2 varian tidak homogen dapat digunakan t test separated maupun t test polled varian dengan dk= n1-1 atau n2-1 bukan n1+n2 -2.

22 21

g. Jika n1≠n2 dan varian tidak homogen digunakan t test separated varians. Harga t sebagai pengganti t tabel dihitung dari selisih harga t tabel dengan dk=n1-1 dan dk=n2-1 dibagi dua kemudian ditambah dengan harga t terkecil. Contoh pengujian hipotesis :

Berdasarkan 22 responden lulusan SMA dan 18 responden SMK diperoleh data bahwa lama menunggu mendapatkan pekerjaan kedua kelompok lulusan dalam tabel berikut.

SMU n1 = 22 SMK n2 = 18X1 = 2,91 X2 = 1,78s1 = 1,51 s2 = 0,81s1 kuadrat = 2,28 s2 kuadrat = 0,65.Ho : Tidak terdapat perbedaan lama

menunggu pekerjaan antara lulusan SMA dan SMK.

Ha : terdapat perbedaan lama menunggu pekerjaan antara lulusan SMA dan SMK.

Atau Ho : µ1 = µ2 Ha : µ1 ≠ µ2

Uji homogenitas data :F = (varians terbesar/varians terkecil) =

2,28/0,65 = 3,49dk pembilang = 22-1 = 21dk penyebut = 18-1 = 17Dicari Ftabel pada taraf kepercayaan 5%

diperoleh 2,22. Fhit (3,49) > Ftabel (2,22) maka Ho ditolak Ha diterima berarti varian tidak homogen. Juga n1 ≠ n2 maka sesuai dengan pedoman di atas digunakan t-test separated varians.

t-test Separated varians :

t-test pooled varians :

Dengan persamaan diatas diperoleh t= 3,02. t tabel pengganti (karena jumlah sampel dan varians tidak homogen) t tabel dihitung dari selisih harga t tabel dengan dk=n1-1 dan dk=n2-1 dibagi dua kemudian ditambah t terkecil. n1 = 22 dk=22-1=21 maka t tabel = 2,08 (5%)n2 = 18 dk = 18-1 =17 maka t tabel = 2,11Selisih kedua harga t tabel=2,21-2,08 = 0,03Sehingga t pengganti = (0,03/2)+2,08 = 2,095.Karena thit (3,02)> ttabel (2,095) maka ho ditolak dan ha diterima. Berarti terdapat perbedaan secara

signifikan masa menunggu mendapat pekerjaan antara siswa lulusan SMA dan SMK, lulusan SMK cenderung mendapat pekerjaan lebih cepat.

1. Sampel berkorelasi untuk statistik parametris

a. Analisis varians Analisis varians digunakan untuk

menguji hipotesis komparatif k sampel bila datanya berbentuk interval atau ratio.

Ada 2 jenis analisis varians yaitu :1). Analisis varians klasifikasi tunggal (satu

jalan)2). Analisis varians klasifikasi ganda (dua

jalan)

Analisis variansi klasifikasi tunggal juga disebut anova satu jalan untuk uji komparatif rata2 k sampel bila setiap sampel hanya terdiri satu katagori. Bila setiap sampel terdiri atas dua atau lebih katagori dinamakan anova klasifikasi ganda.

Contoh :Tidak ada perbedaan secara signifikan penghasilan PNS, petani, pedagang, nelayan digunakan satu jalan.Bila hipotesis di atas didasarkan jenis kelamin (pria/wanita) maka digunakan dua jalan.

Data untuk analisis satu jalan

Data analisis dua jalan

Data sampel I Data sampel II Data sampel III

8 9 4

7 7 6

6 5 9

Katagori Sampel I Sampel II Sampel III

Katagori 1 (pria)

8 9 4

7 5 6

6 7 9

Katagori 2 (wnt)

9 8 8

6 7 6

5 9 8

Anava klasifikasi Tunggal (One way clasification)Misal untuk analisis 4 kelompok sampel masing-masing klp mempunyai rerata dan varians (simpangan baku). Kemudian digabungkan untuk diuji perbedaannya secara serentak dan signifikan. Setelah digabungkan :1. Deviasi total yaitu jarak nilai individual dalam seluruh sampel dengan mean total (X-Mtot)2. Deviasi antar klp jarak antara mean setiap klp dengan mean total misal (M4 – Mtot).3. Deviasi dalam kelompok , jarak seluruh individu dlm satu kelompok dengan mean kelompok itu misal (X-M4).

Simpangan baku merupakan jarak suatu nilai dlm klp terhadap rerata (Xi – M). Bila dikuadratkan menjadi (Xi-M)^2, jumlah kuadrat ini disingkat JK.Karena pengujian hipotesis melibatkan lebih dari 2klp sampel maka :

dk antar kelompok = m-1dk dalam kelompok = n dk total = N-1

]/)[( 22NXtotXtotJKtot

NXtotnkXtJKant /])[(]/)([ 22

JKdalJKtotJKdal

N = jumlah anggota sampel

m = jml kelompok sampel

Langkah-langkah pengujian hipotesis :1. Menghitung jumlah kuadrat total Jktot2. Menghitung jumlah kuadrat antar

kelompok JKant3. Menghitung jumlah kuadrat dalam JKdal4. Menghitung mean kuadrat antar klp (MK

ant)

5. Menghitung mean dalam kelompok (MKdal)

6. Menghitung F hitung (Fhit) dengan rumus :

)1/( mJKantMKant

)/( mNJKdalMKdal

)/( MKdalMKantF

7. Mencari harga kritis F pada tabel dengan dk pembilang (m-1) dan penyebut (N-1). Jika Fhit ≤ Ftabel maka Ho diterima dan Ha ditolak. Sebaliknya jika Fhit> Ftabel Ha diterima tolak Ho.

Contoh :Produktivitas karyawan sebelum dan sesudah

alat kerja baru sesudah 3 dan 6 bulan pemakaian. Karyawan yang dijadikan sampel tetap 15 orang, dan diulang tiga kali. Hasilnya ditabulasikan pada tabel berikut.

No Sblm alat baru (X1)

alat baru stl 3 bln (X2)

alat baru stl 6 bln (X3)

1 12 13 18

2 13 15 18

3 10 12 14

4 15 18 20

5 13 15 15

dst dst dst dst

Σ 187 236 263

X¯ 12,47 15,73 17,53

ΣX^2

2375 3782 4675

s 1,77 2,22 2,13

s^2 3,12 4,92 4,55

ΣX=686 ΣX^2 = 10832

NXtotXJKtot /2)^(2

NXtotnXnXnXJKant /)2^(3/)2^3(2/)2^2(1/)2^1(

= 10832-[(686^2)/45]=374,3

= 187^2/15 + 236^2/15 + 263^2/15 – 686^2/45 = 197,92

JKantJKtotJKdal = 374,3 – 197,92 = 176,38

1/ mJKantMKant

= 197,92 / 3-1 = 197,92/2 = 98,96

)/( mNJKdalMKdal

=176,38 / (45-3) = 176,38/42 = 4,2

MKdalMKantFhit /

= 98,96 / 4,2 = 23,56

N jumlah sampel keseluruhan dan m jumlah kelompok sampelFtabel pada dk pembilang m-1 dan dk penyebut N-mFtabel pada dk pembilang 2 dan dk penyebut 42 pada taraf Signifikansi 5% = 3,22 untuk signifikansi 1 % = 5,15.Karena Fhit>Ftabel (23,26> 3,22 dan 23,56>5,15) maka ho ditolak dan ha diterima baik untuk α=5% maupun 1%.Jadi terdapat perbedaan produktivitas kerja sebelum ada mesin baru dengan setelah ada mesin baru 3 bln dan 6 bln. Kesimpulan stl ada mesin baru produktivitas meningkat.

Pembuktian antar dua sampel X1 dengan X2, X2 dengan X3 dan X1 dengan X3.Untuk itu diperlukan pembuktian antar 2 sampel dengan t tes

Yang akan diuji t tes disini adalah :1. Perbedaan produktivitas kerja sebelum menggunakan alat kerja dan setelah 3 bln menggunakan (x1 dan x2).2. Perbedaan produktivitas kerja sebelum menggunakan alat kerja dan setelah 6 bln menggunakan (x1 dan x3).

})2/2)(1/1(2)2/2^2()1/2^1/{()21( nsnsrnsnsxxt

3. Perbedaan produktivitas kerja setelah menggunakan alat kerja 3 dan 6 bln (x2 dan x 3).

Hipotesis yang diajukan :1. Ho : p1 = p2 Ha : p1 ≠ p22. Ho : p1 = p3 Ha : p1 ≠ p33. Ho : p2 = p3. Ha : p2 ≠ p3Karena yang diuji adalah sampel berkorelasi

maka terlebih dahulu harus dicari : 1. Korelasi x1 dengan x2 dan ditemukan 0,3072. Korelasi x1 dengan x3 dan ditemukan -0,093. Korelasi x2 dengan x3 dan ditemukan 0,62

Rumus korelasi

1. Pengujian hipotesis pertama dengan data pada tabel X1 dan X2 dimasukkan pada rumus t diperoleh thit = -6,23. ttabel pada (dk=n1+n2-2 =28) dengan α = 5% diperoleh ttabel= 2,048 uji dua pihak. Karena thit (6,23)>ttabel(2,048) maka Ho ditolak Ha diterima, jadi terdapat perbedaan produktivitas kerja sebelum dan sesudah menggunakan alat baru selama 3 bulan.

2. Pengujian kedua menggunakan data pada x1 dan x3 dimasukkan pd rumus t. Diperoleh thit = -6,8 ttabel sama dengan di atas 2,048. Karena thit (6,8)>ttabel(2,048) maka Ho ditolak Ha diterima, jadi terdapat perbedaan produktivitas kerja sebelum dan sesudah menggunakan alat baru selama 3 bulan.Produktivitas stl 6 bln sdh lbh tinggi.

3. Pengujian kedua menggunakan data pada x2 dan x3 dimasukkan pd rumus t. Diperoleh thit = -3,69 ttabel sama dengan di atas 2,048. Karena thit (3,69)>ttabel(2,048) maka Ho ditolak Ha diterima, jadi terdapat perbedaan produktivitas kerja setelah 3 bln dan sesudah 6 bln menggunakan alat kerja baru. Produktivitas kerja karyawan setelah 6 bulan dengan alat baru sudah lebih tinggi.

Dari ketiga pengujian t tes di atas memberi informasi bahwa produktivitas kerja kartawab meningkat setelah menggunakan alat kerja baru.