parte 5 l’ambiente di sviluppo...

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Parte 5

L’ambiente di sviluppo ARENA®

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Caratteristiche Arena®

• distributore: Rockwell Software

• applicazioni: Manufacturing, supply chain, business process, military, warehousing e logistics improvement

• sistemi operativi: Windows 95, 98, ME, NT, 2000 e XP

• caratteristiche: ambiente grafico, run-time debugger, fitting delle distribuzioni di input, supporto all’analisi dell’output, riusabilità (oggetti e template), animazione, esecuzione e visualizzazione real-time

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Moduli di dati: Entità

Principali proprietà

• Entity Type: nome (unico) del tipo di entità• Initial Picture: rappresentazione grafica

• Holding Cost/Hour: costo orario di attraversamento del sistema da partedell’entità

• Costi iniziali: costo che l’entità ha prima ancora di entrare nel sistema. I costi sonoclassificati in:

• Initial VA Cost: costo delle attività a valore aggiunto• Initial NVA Cost: costo delle attività non a valore aggiunto• Initial Waiting Cost: costo dei tempi di attesa• Initial Transfer Cost: costo dei trasferimenti• Initial Other Cost: altri costi

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Moduli di dati: Code


• Name: Nome (unico) della coda • Type: disciplina di attesa:

First In First Out, Last In First Out, Lowest Attribute Value (first) Highest Attribute Value (first)

• Attribute Name: Se la disciplina di attesa è del tipo Lowest Attribute Valueoppure Highest Attribute Value, l’ordinamento viene fatto rispettoa questo attributo.

• Shared: indica se la coda è condivisa da più risorse

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Moduli di dati: RisorsePrincipali proprietà

• Name: nome (unico) della risorsa• Type: indica se la risorsa è a capacità fissa o variabile• Capacity: numero di entità processabili simultaneamente

• Costi:time-dependent: costi orari di utilizzo (Busy/Hour) e di fermo (Idle/Hour) time-independent: costo per unità processata (Per Use)

• StateSet Name: insieme che definisce i possibili stati della risorsa• Initial State: stato iniziale

• Failures: failures associate alla risorsa• Failure Rule: comportamento della risorsa nei confronti dell’entità se si

verifica una failure durante un processamento (Ignore, Wait, Preempt)

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Moduli di dati: Variabili e SetsPrincipali proprietà delle variabili

• Name: nome (unico) della variabile• Rows: numero di righe (se la variabile è un vettore o tabella)• Columns: numero di colonne (se la variabile è un vettore o tabella)• Clear Option: le variabili sono inizializzate

ogni volta che lo sono le statistiche (Statistics)ogni volta che lo è il sistema (System)mai (None)

• Initial Values: valori iniziali

Principali proprietà degli insiemi

• Name: nome (unico) dell’insieme• Type: Tipo di insieme (Resource, Entity Type, …)• Members: Lista degli elementi dell’insieme

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Moduli di Flowchart (1)

Create

0


• Name: identificatore del modulo • Entity Type: tipo di entità generata• Type: modalità di generazione (con tempi di interarrivo

esponenziali, costanti o distribuiti secondo unafunzione di probabilità)

• Entities per Arrival: numerosità del gruppo di arrivo• Max Arrivals: numero totale di entità generate • First Creation: istante di arrivo della prima entità

Creazione di un’entitàrappresenta il punto di ingresso delle entità nel sistema

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Dispose

0

Distruzione di un’entitàrappresenta il punto di uscita delle entità dal sistema


• Name: Identificatore del modulo• Record Entity Statistics: vero se le statistiche delle entità in arrivo vanno

memorizzate (wait time, transfer time, total time, value added cost, …)

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Process

0

Processamento di un’entitàrappresenta un attività svolta dalle entità che lo attraversano. Serve anche per definire sottomodelli

Esempi: lavorazione di una parte, servizio di un cliente, ...

• Name: identificativo del modulo• Type: standard processing oppure subModel.• Action: tipo di processamento:

Delay: è richiesto un tempo di processamento ma nessuna risorsaSeize Delay: è richiesto un tempo di processamento e una risorsa che viene

allocata ma non rilasciataSeize Delay Release: è richiesto un tempo di processamento e una risorsa che viene

allocata e rilasciataDelay Release: è richiesto un tempo di processamento, trascorso il quale una risorsa

precedentemente allocata è rilasciata.

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Process

0

Processamento di un’entitàrappresenta un attività svolta dalle entità che lo attraversano. Serve anche per definire sottomodelli

Esempi: lavorazione di una parte, servizio di un cliente, ...

• Priority: livello di priorità delle entità che attraversano il modulo• Resources: risorsa o insieme di risorse usate per il processamento• Delay Type: distribuzione utilizzata per generare i tempi di processamento• Units: unità di misura del tempo • Allocation: indica in quali categorie vanno conteggiati i tempi e costi di

processamento

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Assign Assegnamento di variabili e attributiL’operazione avviene quando una entità attraversa il modulo

• Name: Identificatore unico del modulo• Assignments: specifica l’assegnamento da effettuare ogni volta che un’entità

attraversa il modulo.• Type: Per modificare variabili di sistema utilizzare Other.

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True

False

Decide0

0

Instradamento logico di un’entitàPermette di implementare processi che decidono. In base alla condizione l’entità viene instradata su uno dei 2 rami di uscita del modulo.

Esempi: rilavorazione di parti difettose, selezione di diversi tipi di clienti, regole di dispatching, selezione del server in stadi multi-processore

• Name: identificativo del modulo•Type: decisione su condizione (es: Entity.WaitTime >= 2) oppure su

base probabilistica (es: 50% true)

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Record Salvataggio di dati e/o statistichePermette di collezionare statistiche

• Name: identificativo del modulo

• Type: Tipo di statisticaCount: incremento/decremento di una statistica

Entity statistics: statistiche generali sulle entità (informazioni su tempi e costi)Time Interval: differenza tra il valore di un attributo e il tempo corrente di

simulazioneTime Between: tempi di interarrivo delle entità nel modulo

Expression: espressione specifica

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Batch

0

Raggruppamento di più entitàLe entità che raggiungono il modulo attendono in una coda fino a quando il lotto non è completato. A quel punto viene generata una entità rappresentativa del lotto.

Esempi: assemblaggio, raggruppamento di utenti in particolari trasporti, ...

• Name: Identificativo del modulo• Type: Tipo di raggruppamento (Temporaneo o Permanente)• Batch Size: Dimensione del lotto• Save Criterion: Criterio per assegnare il valore all’attributo rappresentante (First,

Last, Sum, Product)• Rule: Regola di batching: tutte le entità (any Entity) o solo quelle con

caratteristiche date (by Attribute)

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Original

Duplicate

Separate0

0

Separazione di più entitàPermette di duplicare entità singole o di separare lotti precedentemente creati con il modulo Batch.

Esempi: separare i singoli oggetti di un container, avviare diverse pratiche da un ordine di produzione (e.g., ordine e fattura), ...

• Name: Identificativo del modulo•Type: Tipo di separazione (Duplicate Original, Split Existing Batch)•Percent Cost to Duplicates: Allocazione dei tempi e costi delle entità entranti nei

duplicati uscenti. •# of Duplicates: Numero di duplicati

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Esempi (basic Process)

Moduli• Modulo Process (Smart007)• Modulo Assign (Smart022)• Modulo Decide (Smart005)• Modulo Record (Smart163)• Moduli Batch e Separate (Smart002)• Batching by Attribute (Smart057)• Uso delle espressioni (Smart026)

Animazione• Animazione nei flowcharts (Smart035)• Animazione delle entità (Smart023)• Animazione dello stato delle risorse (Smart010)

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Esempi (basic Process)

Code• Numero di clienti in coda (Smart058)• Tempo trascorso nel sistema (Smart043)• Abbandono della coda (Smarts154)• Disciplina di attesa per priorità (Smarts158)• Gestione di code miste (Smarts115)• Gestione dinamica delle priorità (Smarts085)

Risorse• Schedulazione di risorse (Smarts114)• Risorse a capacità multipla (Smarts004)• Report sui costi delle risorse (Smarts019)• Seizing multiplo (Smarts118)

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Advanced Transfer (1)

Station Stazione fisicaDefinisce una stazione corrispondente ad una locazione fisica o logica dove avviene il processamento di una entità

• Name: Identificativo del modulo• Station Type: Stazione singola o insieme di stazioni• Station Name: Identificativo della stazione

Esempi: isole di lavorazione, punti di carico o scarico merce, …

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EnterStazione fisica (advanced)E’ una versione avanzata del modulo Station. Una entità può raggiungere il modulo anche attraverso una connessione grafica

• Name: Identificativo del modulo• Station Type: Stazione singola o insieme di stazioni• Station Name: Identificativo della stazione• Delay: Ritardo che subisce l’entità che arriva e che tipicamente rappresenta

il tempo di scarico da un transfer device• Allocation: categorie di tempo e costo in cui verrà contabilizzato il ritardo• Transfer In: indica la risorsa (eventualmente) da liberare quando l’entità entra nel

modulo. La risorsa può essere un trasportatore, un conveyor o unarisorsa generica

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Route Trasferimento di una entitàSmista l’entità alla sua stazione di destinazione

• Name: Identificativo del modulo• Route Time: Tempo di trasferimento alla stazione di destinazione• Destination Type: Station oppure Sequential

Le entità trasferite con il modulo Route possono essere animate associandoopportune stazioni grafiche alle stazioni corrispondenti ai punti di partenza e di arrivodelle entità.

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Leave Trasferimento di un’entità (advanced)E’ una versione avanzata del modulo Route

• Name: Identificativo del modulo• Allocation: categorie di tempo e costo in cui verrà contabilizzato il ritardo• Transfer Out: Indica il tipo di risorsa necessaria per il trasferimento

(request transporter, access conveyor, seize resource o none)• Queue Type: Indica la disciplina di attesa per il trasferimento• Connect Type: Indica qual è la modalità di trasferimento dell’entità (Connect,

Convey, Route, Transport)

Tipicamente Transfer Out e Connect Type concordano sul mezzo di trasporto; per esempio Transfer Out = Request Transporter implica Connect Type = Transport

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Request Assegnamento di transporter a entitàL’entità attende nel modulo fino a quando il transporterselezionato non arriva nella locazione dell’entità.

• Name: identificativo del modulo• Transporter Name: indica il transporter richiesto• Selection Rule: regola si selezione del transporter (Cyclical, Random,

Preferred Order, Specific Member, Largest Distance, e Smallest Distance)

• Velocity: specifica la velocità con la quale il transporter specificatosi muoverà verso la stazione richiedente

• Queue Type: disciplina adottata per l’attesa di un transporter

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Transport Spostamento di transporter e entitàIl trasferimento avviene tra 2 stazioni ed è possibile solo se l’entità ha già acquisito il controllo del transporter con il modulo Request.

• Name: Identificativo del modulo• Transporter Name: Indica in transporter da utilizzare• Destination Type: Sequential oppure Station• Station Name: Stazione di destinazione• Velocity: specifica la velocità con la quale il transporter specificato si

muoverà verso la stazione di destinazione

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Free Rilascio di un transporterSe non richiesto da altre entità, il transporter attenderàinattivo presso la stazione di destinazione dell’entità.

• Name: Identificativo del modulo•Transporter Name: nome del transporter che sarà liberato. Se non specificato

sarà l’ultimo transporter allocato all’entità in ordine ditempo

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Esempi (advanced Transfer)

Moduli• Modulo Route (Smarts073)• Routing delle entità (Smarts169)• Moduli Request Transport Free (Smarts146)• Moduli Leave Transport Free (Smarts148)

Altri Esempi• PickStation tra stazioni singole (Smarts113)• PickStation in un set di Stazioni (Smarts138)

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Esempi (Advanced)

• Sottomodelli (Smarts008)• Scrittura su file e Lettura da file (Smarts154 e Smarts162)• Variabili di Sistema (Smarts144)• Variabili associate alle code (Smarts141)• Variabili associate alle risorse (Smarts139)• Entità che fungono da logica di controllo (Smarts018)• Condizioni avanzate di terminazione (Smarts130)• Automation (Smarts182)• Lettura da Excel con Automation (Smarts100)• User Function in Automation (Smarts161)• Animazione (Smarts074)

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Esempi (sistemi di produzione)

• Blocking Flow Line (Smart125)

• Flow Line con buffer limitati (Smarts082)

• Parallel machine (Smarts173)

• Job Shop A (Smarts172)

• Job Shop B (Smarts168)

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Parte 6

Scelta delle distribuzioni di input

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Motivazioni• Per eseguire simulazioni che comprendono sorgenti di incertezza si devono selezionare le loro distribuzioni di probabilità

• la simulazione procede generando valori (realizzazioni) dalle distribuzioni scelte

Esempio: La simulazione di un lancio di un dado si ottiene scegliendo una legge di probabilità con 6 valori equiprobabili.

• Dati reali (se possono essere collezionati) sulla v.a. di interesse guidano la scelta della distribuzione

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Metodi basati su dati reali

1. I dati collezionati sono utilizzati direttamente per alimentare la simulazione (Trace-driven simulation)

2. I dati collezionati sono utilizzati per definire una distribuzione empirica che li descriva

3. I dati collezionati sono utilizzati per individuare una distribuzione teorica che li rappresenti

• (1) è consigliato nella validazione del modello, ma non permette una analisi previsionale• (2) preferibile a (1)• (3) preferibile a (2) quando possibile

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Distribuzione Teorica vs. Distribuzione Empirica

• una DE può presentare irregolarità dipendenti dai dati(particolarmente se i dati sono scarsi), mentre una DT rappresenta meglio il comportamento generale.

• una DE non permette la generazione di realizzazioni al di fuori degli intervalli osservati (i.e., può escludere eventi “eccezionali”)

• le DT possono essere modificate più semplicemente delle DE, in quanto è sufficiente modificare i suoi parametri.

Esempio: variazione nella frequenza media degli arrivi

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• anche in casi in cui esistono motivi fisici per scegliere una DT, è consigliabile l’utilizzo di serie storiche come supporto empirico (validazione)

• in numerosi casi pratici non esiste una DT che presenta un buon “fitting” con i dati osservati.

• Una DT può generare valori molto grandi (anche se con probabilità molto basse) che non corrispondono a realizzazioni praticamente significative

Distribuzione Teorica vs. Distribuzione Empirica

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Distribuzioni empiriche• osservazioni X1, …, Xn ordinate per valori crescenti• Distribuzione continua lineare a tratti:

F x

se x Xin

x Xn X X

se X x X per i n

se x X

i

i ii i

n

( )( )( )

, ,...,=

<−−

+ −− −

≤ < = −

≥

++

011 1

1 1

1

1

11

3/5

1/5

2/5

4/5

1

X1 X2 X3 X4 X5 X6

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Esempio• Valori osservati: 0.4, 1, 2, 2.5, 3, 3.6, 4

F x

se x Xin

x Xn X X

se X x X per i n

se x X

i

i ii i

n

( )( )( )

, ,...,=

<−−

+ −− −

≤ < = −

≥

++

011 1

1 1

1

1

11

1/2

1/6

1/3

2/3

5/6

0.4 1 2 2.5 3 3.6 4

1

35

Scelta di una distribuzione teorica

Step 2: Identificazione di una famiglia candidata di distribuzioni

Step 3: Stima dei parametri

Step 4: Verifica sui dati reali della rappresentatività della distribuzione

Step 1: Verifica dell’indipendenza delle osservazioni

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Step 1: Indipendenza delle osservazioni

Molte tecniche per la scelta di una distribuzione teorica richiedono che le osservazioni X1, X2, …, Xn siano indipendenti.

In certi casi le osservazioni collezionate in un intervallo di tempo possono essere dipendenti.

Esempio. X1, X2, …, Xn rappresentano le temperature misurate ogni ora in una certa città, a partire dalla mezzanotte: campioni vicini in tempo sono positivamente correlati

Esempio. X1, X2, …, Xn rappresentano i ritardi dei clienti misurati nella coda di un sistema a singolo servente: se la frequenza media degli arrivi èparagonabile al service rate medio il sistema è soggetto a congestione e gli Xi sono positivamente correlati.

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Correlazione di variabili aleatorie

Siano date n coppie di realizzazioni, (X1, Y1), (X2, Y2),…, (Xn, Yn) di 2 v.a. X e Y.

X e Y sono v.a. correlate se il coefficiente di correlazione è non nulla:

)()(][

)))]())((([(

YEXEYXE

YEYXEXE

ii

ii

−=−−=ρ

38

v.a. correlate(ρ = 0,9958)

Diagrammi a scattering

X

Y

v.a. non correlate(ρ = -0,004)

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

X

Y

39

Dato che è una stima di ρ, può essere anche se le Xisono indipendenti. Tuttavia, valori molto distanti da 0 sono un forte indizio della dipendenza delle osservazioni

Auto-correlazioneUna tecnica informale per verificare l’indipendenza di un insieme di dati X1, X2, …, Xn è basata sulla stima del coefficiente di auto-correlazione tra tutte le coppie di osservazioni distanti j :

21

)(

))((ˆ

n

jn

injini

j Sjn

XXXX

−

−−=

∑−

=+

ρ

Se le osservazioni X1, X2, …, Xn sono indipendenti, allora

ρj = 0 per j = 1, 2, …, n-1

jρ̂ 0ˆ ≠jρ

40

Diagramma da 100 realizzazioni indipendenti di una distribuzioneesponenziale con β = 1

Diagrammi di auto-correlazione: esempio

jρ̂

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19j

max = 0.159

min = -0.129

41

Diagramma da 100 ritardi in coda di un M/M/1 con ρ = 0.8

Diagrammi di auto-correlazione: esempiojρ̂

j

max = 0.77

min = -0.22-0,4-0,2

00,20,40,60,8

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

42

Step 2: Ipotizzare una distribuzione

Ipotesi teorica: il ruolo della sorgente di incertezza può suggerire la scelta o l’eliminazione di una distribuzione dall’insieme delle candidate

Esempio. Se gli arrivi ad un centro di servizio sono individuali, ad unrate costante e tali che i numeri di clienti che arrivano in intervalli disgiunti sono indipendenti, esistono ragioni teoriche per ipotizzare che i tempi di interarrivo siano v.a. IID con distribuzione esponenziale

Esempio. I tempi di servizio di una facility non sono modellati da una (generica) distribuzione normale, in quanto le sue realizzazionipossono assumere valori negativi.

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Distribuzione Bernoulli

•Range: {0, 1}•Parametri: p ∈(0,1)•Valor medio: E(X) = p•Varianza: V(X) = p(1 – p )

•Applicazioni: esperimento con due possibili risultati

==−

=altrimenti

xsepxsep

xp0

101

)( p

p(x)

≤<≤−

<=

xsexsep

xsexF

11101

00)(

0 1

1- p

44

Distribuzione Binomiale

{ }

∈−

=

−

altrimenti0

,,1,0se)1(

)(

nxppxn

xp

xnx K

p(x)

00.10.20.30.40.50.6 t = 5

p = 0.5

45

Distribuzione Binomiale

•Range: {0, 1}•Parametri: n > 0 intero , p ∈(0,1)•Valor medio: E(X) = np•Varianza: V(X) = np(1 – p)

•Applicazioni:numero di successi in n esperimenti bernoulliani ciascuno con probabilità p di successo;numero di parti difettose in un lotto di dimensione n;

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Distribuzione di Poisson

=

=

−

altrimenti 0

,...;2,1,0!

)(

)(kper

ke

xp

kλλ

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 5 10 15 20 25

λ = 4

λ = 8

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Distribuzione di Poisson

•Range: N•Parametri: λ > 0•Valor medio: E(X) = λ•Varianza: V(X) = λ

•Applicazioni:processi di arrivo poissoniani; numero di eventi in processi senza memoria; clienti in una giornata, telefonate in un’ora,…

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Ipotizzare una distribuzione: v.a. discrete

Tecnica del diagramma a bastone: X1, X2, …, Xn dati

• Per ogni possibile valore xj che può essere assunto dai dati sia hj la proporzione degli Xi pari a xj.• Definire il diagramma con un segmento verticale di altezza hj in corrispondenza di ciascun valore xj.

• Confrontare graficamente la forma di h(x) con la legge di probabilitàipotizzata

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Distribuzione uniforme: U(a,b)

•Range: [a, b]•Parametri: a, b con a < b; •Valor medio: E(X) = (a + b)/2•Varianza: V(X) = (b – a)2/12

•Applicazioni: utilizzata come primo modello nei casi in cui l’informazione disponibile è scarsa. Nei simulatori è utilizzata per derivare le altre distribuzioni

f x b aa x b

altrimenti( ) = −

≤ ≤

1

0

a b

1b a−

>

≤≤−−

<

=

bxse

bxaseabax

axse

xF

1

0

)( x

f (x)

50

Distribuzione esponenziale: expo(λ)

•Range: [0, ∞)•Parametri: λ > 0•Valor medio: E(X) = 1/λ•Varianza: V(X) = 1/λ 2

•Applicazioni: tempi di interarrivo quando il numero di arrivi in un intervallo di tempo fissato ha una distribuzione di Poisson

expo(1)

f (x)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0

0,4

0,8

1,2

1,6 2

2,4

2,8

3,2

3,6 4

4,4

4,8

5,2

5,6 6

6,4

6,8

≥

=−

altrimentixe

xfx

00

)(λλ

≥−

=−

altrimentixsee

xFx

001

)(λ

51

Distribuzione normale: N( µ ,σ )

•Range: (-∞ , ∞)•Parametri: µ ∈ R , σ > 0•Valor medio: E(X) = µ•Varianza: V(X) = σ 2

•Applicazioni: La distribuzione normale è la distribuzione limite di molte altre distribuzioni di probabilità. Può quindi essere utilizzata per variabili che descrivono disturbi risultati da tante piccole azioni (ritardi dovuti al traffico, errori di misura, …)

2

2

2)(

21

)( σµ

πσ

−−

=x

exf N(0,1)

f (x)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-4

-3,6

-3,1

-2,7

-2,2

-1,8

-1,4

-0,9

-0,5 -0 0,4

0,84

1,28

1,72

2,16 2,

6

3,04

3,48

3,92

52

Distribuzione Gamma: gamma(α, β )

•Range: [0, ∞)•Parametri: a > 0, β > 0•Valor medio: E(X) = αβ•Varianza: V(X) = αβ 2

•Applicazioni: buona approssimazione di tempi di servizio: expo(1/β) = gamma(1,β); tempo totale di servizio di a serventi in serie ognuno con tempi di servizio esponenziali

≥−=

−−−

altrimenti0

0se)!1()(

/1

xexxf

x

αβ βαα

≥−= ∑−

=

−

altrimenti0

0se!

)/(1)(1

0

/ xj

xexF j

jx

αβ β

solo per α intero:distribuzione Erlang

53

0 10 20 30 400

20

40

60

8063.185

0.1−

gamd zix α, β, t0,( )gamd zix α 1+, β, t0,( )gamd zix α 1+, β 0.02+, t0,( )gamd zix α 3+, β 0.02+, t0,( )

400 ix

α

α+1

α+2 α+3

Distribuzione Gamma: gamma(α, β )

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Ipotizzare una distribuzione: v.a. continueTecnica dell’istogramma: X1, X2, …, Xn dati

• suddividere l’intervallo dei valori coperti dai dati in k intervalli adiacenti [b0, b1), [b1, b2), …, [bk-1, bk) di uguale ampiezza ∆b.• Per j = 1, 2, …, k definire hj come la proporzione degli Xi contenuti nell’intervallo j.• Definire la funzione:

≥<≤

<= −

k

jjj

bxsebxbseh

bxsexh

0,

0)( 1

0

kj ,...,1per =

• Confrontare graficamente la forma di h( x ) con la ddp ipotizzata.

55

Fondamento del metodoSia X una v.a. distribuita come gli Xi , con ddp f. Allora, per j fissato, j =1, 2, …, k, risulta:

∫−

∆==≤≤−

j

j

b

bjjj yfbdxxfbXbP

1

)()()( 1

teorema delvalor medio

),( 1 jjj bby −∈per un certo

Ma hj approssima )()( jjj yfbhyh ∆≈=

Quindi, h( y ) è approx. proporzionale a f ( y ) ⇒ h ed f hanno forme simili

•Difficoltà: non esistono criteri generali per scegliere k. Regola di Sturges: k = 1 + log2n. In genere, preferibile scegliere il più piccolo kche genera un istogramma “smooth”

⇒≤≤− )( 1 jj bXbP

56

Esempi

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

• Xi ~ N(0,1)

k = 3 k = 11

k = 41

57

Definizione. La popolazione oggetto è la totalità degli elementi in esame dai quali si vogliono ottenere informazioni (es: una v.a. X).

Definizione. Un campione è un gruppo di elementi estratti da una popolazione (es: un certo numero di realizzazioni di X) allo scopo di raccogliere informazioni sulla popolazione stessa. Il campione è casualese le estrazioni degli elementi sono indipendenti.

Definizione. Una statistica campionaria è una funzione delle realizzazioni di una v.a., a sua volta v.a. osservabile.

Il valor medio di una statistica campionaria può essere utilizzato per stimare un parametro della funzione di distribuzione della popolazione.

Step 3: Stima dei parametri

58

Metodi per la stima dei parametriProblema:

Data la distribuzione di probabilità f della popolazione, determinare sulla base di un campione X1,…,Xn un valore per ognuno dei parametri che caratterizzano f che sia la miglior approssimazione possibile dei parametri incogniti.

Stime puntuali• Metodo dei momenti

Si impone che i parametri della distribuzione coincidano con gli stimatori forniti dalle statistiche campionarie (media e varianza campionaria)

2. Metodo della massima verosimiglianzaSi determinano i parametri in modo che sia massima la probabilità che i campioni osservati siano stati estratti dalla distribuzione ipotizzata

Stime per intervalli• Intervalli di confidenza

Si determina un intervallo in cui il parametro che si sta stimando cade con probabilità fissata.

59

X1, X2 , …, Xn osservazioni di variabili aleatorie IID ognuna con valor medio E(Xi) = µ e varianza Var(Xi) = σ 2 [non noti]

• Media campionaria

n

XnX

n

ii∑

== 1)(stimatore corretto di µ, i.e., µ=)]([ nXE

• Varianza campionaria

1

)]([)( 1

2

2

−

−=

∑=

n

nXXnS

n

ii stimatore corretto di σ 2, i.e., 22 )]([ σ=nSE

Statistiche campionarie: media e varianza campionaria

60

Stima di Var(X( n ))

Motivazione: è una v.a. con varianza e può )(nX

==−== ∑∑∑===

)(1)1()1()]([1

22

11

n

ii

n

ii

n

ii XVar

nX

nEX

nVarnXVar µ

Estimatore corretto di )]([ nXVar

differire notevolmente da µ in alcuni esperimenti.)]([ nXVar

nn

nXVar

n

n

ii

22

21

21)(1 σ

σ === ∑=

nnS )(2

indipendenza degli Xi

61

Massima verosimiglianza

Dati osservati IID: X1, X2, …, Xn

ddp ipotizzata: fθ(x), parametro ignoto θ

Una misura della probabilità di aver ottenuto le osservazioni X1, X2, …, Xn proprio dalla distribuzione ipotizzata è data dalla funzione di verosimiglianza:

L(θ)= fθ(X1) fθ(X2) … fθ(Xn)

Il metodo della massima verosimiglianza consiste nello sceglierecome estimatore del valore ignoto θ il valore che massimizza L(θ)θ̂

parte 5 l’ambiente di sviluppo...

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