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Contribution à la modélisation de quelques problÚmes dedynamique rapide en mécanique des matériaux et des
fluidesNicolas Jacques
To cite this version:Nicolas Jacques. Contribution à la modélisation de quelques problÚmes de dynamique rapide en mé-canique des matériaux et des fluides. Mécanique des solides [physics.class-ph]. Université de BretagneOccidentale, 2012. tel-01176717
Habilitation Ă Diriger des Recherches
Université de Bretagne Occidentale
Contribution à la modélisation de quelques problÚmes de dynamique rapide en mécanique
des matériaux et des fluides
Nicolas JACQUES
Soutenue publiquement le 20 novembre 2012 devant le jury composé de
Alain COMBESCURE INSA de Lyon Président
Jacques BESSON MINES PariTech Rapporteur
Hervé TRUMEL CEA Le Ripault Rapporteur
Laurent STAINIER Ecole Centrale de Nantes Rapporteur
Thierry AUBRY Université de Brest Examinateur
Alain MOLINARI Université de Lorraine Examinateur
Sébastien MERCIER Université de Lorraine Examinateur
Yves-Marie SCOLAN ENSTA Bretagne Examinateur
1
MĂ©moire en vue de lâobtention de lâHabilitation Ă Diriger des Recherches Ă lâUniversitĂ© de Bretagne Occidentale
présenté par
Nicolas JACQUES
MaĂźtre de ConfĂ©rences Ă lâENSTA Bretagne Laboratoire Brestois de MĂ©canique et des SystĂšmes
Volume 1 : Notice individuelle, synthĂšse de lâactivitĂ© scientifique et perspectives de recherche.
Contribution à la modélisation de quelques problÚmes de dynamique rapide en mécanique des matériaux et
des fluides
3
Sommaire
Introduction ............................................................................................................5
PremiĂšre partie : Notice individuelle .....................................................................7
Curriculum vitae...................................................................................................................... 9
Publications et communications............................................................................................ 13
Résumé des travaux de recherche ......................................................................................... 19
1. Modélisation et étude du plissement des tÎles lors de leur transport en continu dans les usines sidérurgiques.......................................................................................................... 19
2. Vibrations non-linéaires de poutres sandwich viscoélastiques..................................... 22
3. ModĂ©lisation et simulation numĂ©rique de problĂšmes dâimpact hydrodynamique ........ 22
4. ModĂ©lisation de lâendommagement de matĂ©riaux ductiles sous sollicitations dynamiques........................................................................................................................ 24
5. ModĂ©lisation de la propagation dâondes de choc dans les milieux diphasiques liquide-bulles ................................................................................................................................. 26
DeuxiĂšme partie : Comportement dynamique de matĂ©riaux et de fluides hĂ©tĂ©rogĂšnes â Application Ă lâendommagement ductile et Ă la propagation dâondes de choc dans les milieux Ă bulles ...........................................................29
Chapitre 1 : Motivations et concepts généraux ..................................................................... 31
1. Motivations.................................................................................................................... 31 1.1 Endommagement dynamique ductile .................................................................................. 31 1.2 Ondes de choc dans les milieux Ă bulles ............................................................................. 32
2. Outils pour la modĂ©lisation du comportement dynamique de milieux hĂ©tĂ©rogĂšnes ..... 34 2.1 Techniques dâhomogĂ©nĂ©isation en dynamique ................................................................... 34 2.2 Volume Ă©lĂ©mentaire statistiquement reprĂ©sentatif .............................................................. 36
Chapitre 2 : ModĂ©lisation de lâendommagement sous-choc (Ă©caillage) ............................... 41
1. Introduction................................................................................................................... 41
2. Présentation du modÚle................................................................................................. 42 2.1 Nucléation et croissance des cavités ................................................................................... 42 2.2 Comportement macroscopique............................................................................................ 46
3. Simulations numĂ©riques dâessais dâimpact de plaques et comparaison Ă lâexpĂ©rience47 3.1 Evolutions temporelles de vitesse en face arriĂšre................................................................ 47 3.2 Endommagement au sein des Ă©prouvettes impactĂ©es.......................................................... 49 3.3 Discussion ........................................................................................................................... 52
Chapitre 3 : Modélisation de la propagation dynamique de fissures ductiles....................... 53
1. Introduction................................................................................................................... 53
2. ModĂšle dâendommagement dynamique......................................................................... 53 2.1 VER, procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation et comportement macroscopique .............................. 53 2.2 Variables internes et lois dâĂ©volution associĂ©es .................................................................. 55 2.2 Remarques concernant la mise en Ćuvre numĂ©rique du modĂšle.........................................58
3. Comparaison avec des simulations micromécaniques par éléments finis .................... 59
4
4. Influence des effets micro-inertiels sur la propagation dynamique de fissures ductiles........................................................................................................................................... 62
5. Conclusion..................................................................................................................... 68
Chapitre 4 : Effet dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de fraction volumique de gaz sur la propagation dâondes de choc dans un liquide aĂ©rĂ© ................................................................................................. 69
1. Introduction................................................................................................................... 69
2. Une tentative infructueuse de modĂ©lisation des effets dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ©.... 69 2.1 PrĂ©sentation du modĂšle ....................................................................................................... 69 2.2 RĂ©sultats .............................................................................................................................. 71
3. Un modÚle pour le cas de liquides aérés contenant des clusters de bulles................... 75 3.1 Présentation du modÚle ....................................................................................................... 75 3.2 Quelques résultats ............................................................................................................... 77
4. Conclusion..................................................................................................................... 79
TroisiĂšme partie : Perspectives de recherche et conclusion.................................81
Projets de recherche .............................................................................................................. 83
Conclusion............................................................................................................................. 89
Références bibliographiques ................................................................................91
5
Introduction
Jâai commencĂ© Ă travailler dans le monde de la recherche en 2001 lorsque jâai intĂ©grĂ© lâentreprise ARCELOR Research et le Laboratoire de Physique et MĂ©canique des MatĂ©riaux (LPMM) de lâUniversitĂ© de Metz en tant que doctorant. LâintitulĂ© de mon sujet de thĂšse Ă©tait « ModĂ©lisation et Ă©tude du plissement des tĂŽles lors de leur transport en continu dans les usines sidĂ©rurgiques ». Lâobjectif principal de ces travaux Ă©tait de mettre en place des simulations numĂ©riques permettant de comprendre les mĂ©canismes donnant lieu Ă un phĂ©nomĂšne de flambement particulier appelĂ© plissement, qui survient lors du transport en continu (Ă lâaide de rouleaux) de bandes minces dans certaines usines sidĂ©rurgiques, comme les lignes de recuit. AprĂšs la soutenance de ma thĂšse, jâai encore travaillĂ© pendant un an sur des problĂ©matiques liĂ©es au flambement de bandes minces en tant quâingĂ©nieur de recherche contractuel, dans le cadre dâun projet financĂ© par ARCELOR Research. Jâai effectuĂ© aprĂšs cela un autre travail post-doctoral portant sur la modĂ©lisation et la simulation numĂ©rique des vibrations non-linĂ©aires de poutres sandwich viscoĂ©lastiques.
En FĂ©vrier 2006, jâai Ă©tĂ© recrutĂ© par lâENSTA Bretagne en tant que MaĂźtre de ConfĂ©rences.
Jâai intĂ©grĂ© lâĂ©quipe « Dynamique des MatĂ©riaux, des Fluides et des Structures » (DFMS) du Laboratoire Brestois de MĂ©canique et des SystĂšmes (LBMS â EA 4325). Mon arrivĂ©e Ă Brest a impliquĂ© une reconversion thĂ©matique ; vu le positionnement scientifique de lâĂ©quipe DFMS, il nâĂ©tait pas envisageable que je poursuive mes travaux prĂ©cĂ©dents. Jâai ainsi entrepris diffĂ©rentes actions de recherche dans les domaines suivants :
âą Les problĂšmes dâimpact hydrodynamique. âą Lâendommagement des matĂ©riaux ductiles sous sollicitations dynamiques. âą La propagation dâondes de choc dans les fluides diphasiques liquide-bulles.
Dans ces trois cas, ma contribution a portĂ© principalement sur des aspects thĂ©oriques et numĂ©riques. NĂ©anmoins, pour le premier point, jâai interagi le plus possible mon action avec celle de mes collĂšgues du LBMS menant des travaux expĂ©rimentaux concernant les impacts hydrodynamiques.
Ce document a pour but de prĂ©senter lâensemble des activitĂ©s que jâai menĂ©es depuis 2001,
et plus particuliĂšrement depuis mon arrivĂ©e Ă lâENSTA Bretagne en 2006. Il est organisĂ© en quatre parties :
-La premiĂšre partie correspond Ă une notice individuelle et a pour but de dĂ©crire de maniĂšre synthĂ©tique mon parcours professionnel, mes activitĂ©s dâenseignement, dâencadrement et de recherche.
-Dans la seconde partie, jâai choisi de prĂ©senter, parmi les actions de recherche que jâai menĂ©es, celles portant sur lâendommagement dynamique ductile et la propagation dâondes de choc dans les milieux Ă bulles. Ces deux thĂ©matiques, qui ont constituĂ© un part importante de mes activitĂ©s depuis mon arrivĂ©e Ă lâENSTA Bretagne, peuvent sembler fort Ă©loignĂ©es Ă premiĂšre vue. Mais, dâun point de vue mĂ©thodologique, elles reposent en fait sur des outils similaires. Dans les deux cas, des procĂ©dures dâhomogĂ©nĂ©isation dynamique ont Ă©tĂ© mises en Ćuvre. Jâai intitulĂ© cette seconde partie « Comportement dynamique de matĂ©riaux et de fluides hĂ©tĂ©rogĂšnes â Application Ă lâendommagement ductile et Ă la propagation dâondes de choc dans les milieux Ă bulles ».
6
-La troisiĂšme partie est dĂ©diĂ©e principalement aux perspectives de recherche. Jây prĂ©sente quelques dâactions que je souhaite mener dans lâavenir, ainsi quâun rapide bilan de mon travail de recherche. -La quatriĂšme partie (incluse dans un second volume) contient les articles que jâestime les plus reprĂ©sentatifs de mes activitĂ©s de recherche. Cette sĂ©lection ne concerne pas uniquement les travaux qui ont Ă©tĂ© dĂ©crits dans la seconde partie du mĂ©moire, ceux portant sur les problĂšmes dâimpacts hydrodynamiques sont aussi abordĂ©s.
Les rĂ©fĂ©rences aux articles reproduits dans le second volume apparaissent soulignĂ©es dans le volume 1. Je prĂ©cise aussi que des notations employĂ©es dans le volume 1 et le volume 2 sont parfois diffĂ©rentes. La raison de cela est que jâai voulu employer des notations homogĂšnes dans tout le volume 1.
7
PremiĂšre partie : Notice individuelle
9
Curriculum vitae Etat civil Nicolas JACQUES nĂ© le 5 juin 1978 Ă Revin (Ardennes), nationalitĂ© française Adresse personnelle : 17 rue Kergorju, 29200 Brest Tel. 06 19 13 21 30 Situation professionnelle MaĂźtre de ConfĂ©rences Ă lâENSTA Bretagne depuis le 1er fĂ©vrier 2006 Laboratoire Brestois de MĂ©canique et des SystĂšmes (LBMS), EA 4325 Equipe de recherche en Dynamique des Fluides, des MatĂ©riaux et des Structures (DFMS) 2 rue François Verny, 29806 Brest Cedex 9 Tel. 02 98 34 89 36, Fax. 02 98 34 87 30, E-mail : [email protected] Formation
-2001-2004 : Doctorat de Mécanique, Université de Metz, mention trÚs honorable. Sujet de thÚse : Modélisation et étude du plissement des tÎles lors de leur
transport en continu dans les usines sidérurgiques.
-2000-2001 : DEA de Mécanique et Energétique, Université Nancy I, mention bien.
-1996-2001 : DiplĂŽme dâIngĂ©nieur ESSTIN. Parcours professionnel
-Novembre 2005 Ă janvier 2006 : IngĂ©nieur de Recherche contractuel Ă lâUniversitĂ© de Metz. Sujet de recherche : ModĂ©lisation numĂ©rique des vibrations non-linĂ©aires de structures sandwich viscoĂ©lastiques.
-Décembre 2004 à septembre 2005 : Ingénieur de Recherche contractuel au CNRS. Sujet de recherche : Etude du plissement des tÎles sur lignes continues (projet financé par ARCELOR Research).
-Octobre 2001 Ă septembre 2004 : IngĂ©nieur Doctorant CIFRE chez ARCELOR Research et au Laboratoire de Physique et MĂ©canique des MatĂ©riaux (LPMM) de lâUniversitĂ© de Metz. ThĂšmes actuels de recherche -Endommagement et rupture des matĂ©riaux ductiles sous sollicitations dynamiques. -Impacts hydrodynamiques. -Propagation dâondes en milieux diphasiques.
10
ActivitĂ©s dâenseignement -UniversitĂ© Paul Verlaine-Metz (2002-2005). Jâai enseignĂ© dans cet Ă©tablissement en tant que vacataire les matiĂšres suivantes : rĂ©sistance des matĂ©riaux (TP, niveau L2), mĂ©canique des milieux continus (TD, niveau M1), calcul de structures (TP, niveau M1), pour un volume cumulĂ© de 107 hetd1. -ENSTA Bretagne. Depuis 2006, jâenseigne des matiĂšres liĂ©es Ă la mĂ©canique au sens large, principalement au sein du cycle de formation initiale dâingĂ©nieurs de lâENSTA Bretagne. Jâinterviens Ă©galement dans le cadre de la formation dâingĂ©nieurs par alternance (FIPA) et du master 2 recherche « Physique et MĂ©canique des Milieux Continus » (PMMC). Voici la liste des enseignements dans lesquels je suis impliquĂ© (les volumes indiquĂ©s correspondent Ă lâannĂ©e 2011-2012) :
⹠Méthode des éléments finis et problÚmes de contact (7.5 h de cours et 15 h de BE2, niveau M2)
⹠Comportement dynamique des matériaux (5 h de cours, niveau M2)
âą Calculs explicites en dynamique rapide (2.5 h de TD et 11.25 h de BE, niveau M2)
⹠Méthode des éléments finis pour les problÚmes non-linéaires (22.5 h de BE, niveau M2)
âą Calcul de structures (37.5 h de BE, niveau M1)
âą Dynamique des structures (12.5 h de BE, niveau M1)
⹠Mécanique des solides indéformables (25 h de TD, niveau L3)
âą MĂ©canique des milieux continus (22.5 h de TD, niveau L3)
⹠Hydrodynamique navale (2.5 h de cours portant sur la modélisation du tossage, niveau M2)
âą Encadrement de projets industriels ; suivi de stagiaires et dâapprentis Au niveau de la gestion de la formation, je suis responsable dâune unitĂ© de valeur (UV) intitulĂ©e « ModĂ©lisation et analyse des problĂšmes de dynamique rapide ».
Le tableau ci-dessous montre le volume horaire annuel des enseignements dispensés (en hetd) depuis 2006.
2006 92
2006/2007 186.25
2007/2008 189.5
2009/2010 196.25
2010/2011 200
1 heures Ă©quivalent travaux dirigĂ©s 2 Bureaux dâEtudes : dans le programme de formation de lâENSTA Bretagne, ce terme dĂ©signe des activitĂ©s encadrĂ©es oĂč les Ă©tudiants doivent traiter des problĂšmes dâingĂ©nierie, ne relevant pas de la simple mise en application de connaissances.
11
Encadrement de doctorants et de stagiaires -2011-2014 : CĂ©dric Sartori, ModĂ©lisation de lâendommagement dynamique avec prise en
compte de lâeffet de forme des cavitĂ©s, ThĂšse de Doctorat de lâUniversitĂ© de Lorraine. Je participe Ă lâencadrement (Ă 25 %) de cette thĂšse avec S. Mercier (Dir., UniversitĂ© de Lorraine).
-2009-2012 : HervĂ© Grandjean, Propagation dâune onde de choc dans un liquide aĂ©rĂ© :
modĂ©lisation et application aux rideaux de bulles, ThĂšse de Doctorat de lâUniversitĂ© de Bretagne Occidentale. Je participe Ă lâencadrement (Ă 55 %) de cette thĂšse avec M. Arrigoni et S. Zaleski (Dir., UniversitĂ© Paris VI).
-2007-2010 : Alan Tassin, ModĂ©lisation tridimensionnelle dâimpacts hydrodynamiques pour
lâĂ©tude du tossage des bulbes dâĂ©trave, ThĂšse de Doctorat de lâUniversitĂ© de Bretagne Occidentale, soutenue le 30 novembre 2010. Jâai participĂ© Ă lâencadrement (Ă 70 %) de cette thĂšse avec A. NĂȘme et J.M. Laurens (Dir.).
-2008 : Florent Laot, Etudes prĂ©liminaires pour la conception dâun dispositif dâessai de
fouettement, Stage de Master 1 Physique et Mécanique des Milieux Continus, Université de Bretagne Occidentale.
-2007 : Tanguy Leroux, Simulation numĂ©rique de lâimpact hydrodynamique de
structures flexibles, Stage de Master 2 Recherche Physique et Mécanique des Milieux Continus, spécialité Matériaux et Structures, Université de Bretagne Occidentale.
Contrats de recherche industrielle - ModĂ©lisation de lâimpact hydrodynamique : application au tossage de bulbes dâĂ©trave. DCNS IngĂ©nierie, Lorient. - Mise en place dâune stratĂ©gie innovante dâidentification de lois de comportement pour procĂ©dĂ©s de formage dynamique. I-Cube Research, Toulouse. ActivitĂ©s administratives et collectives - Membre Ă©lu du conseil du Laboratoire Brestois de MĂ©canique et des SystĂšmes (LBMS) de 2010 Ă 2012. - Co-organisation (avec Sylvain Calloch) des sĂ©minaires communs aux Ă©quipes DFMS et MMA du LBMS. -Participation Ă plusieurs comitĂ©s de sĂ©lection : Ecole Centrale de Nantes (2009), UniversitĂ© Paul Verlaine â Metz (2010), UniversitĂ© de Rennes 1 (2011), UniversitĂ© de Lorraine (2012). -Expertise dâarticles pour diffĂ©rents journaux : Journal of Materials Processing Technology, European Journal of Mechanics - B/Fluids et Journal of Fluids and Structures.
13
Publications et communications 3
Articles de revues internationales avec comité de lecture (13) :
H. Grandjean, N. Jacques, S. Zaleski. Shock propagation in liquids containing bubbly clusters: a continuum approach. Journal of Fluid Mechanics 701, 304-332, 2012.
A. El Malki Alaoui, A. NĂȘme, A. Tassin, N. Jacques. Experimental study of slamming coefficients during vertical water entry of axisymmetric rigid shapes at constant speeds. Applied Ocean Research 37, 183-197, 2012.
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Void coalescence in a porous solid under dynamic loading conditions. International Journal of Fracture 173(2), 203-213, 2012.
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Effects of microscale inertia on dynamic ductile crack growth. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 60(4), 665-690, 2012.
A. Tassin, N. Jacques, A. El Malki Alaoui, A. NĂȘme, B. LeblĂ©. Hydrodynamic loads during water impact of three-dimensional solids: Modelling and experiments. Journal of Fluids and Structures 28(1), 211-231, 2012.
A. Contantinescu, A. El Malki Alaoui, A. NĂȘme, N. Jacques, P. Rigo. Numerical and experimental studies of simple geometries in slamming. International Journal of Offshore and Polar Engineering 21(3), 216-224, 2011.
A. Tassin, N. Jacques, A. El Malki Alaoui, A. NĂȘme, B. LeblĂ©. Assessment and comparison of several analytical models of water impact. International Journal of Multiphysics 4(2), 125-140, 2010.
N. Jacques, E.M. Daya, M. Potier-Ferry. Nonlinear vibration of viscoelastic sandwich beams by the harmonic balance and finite element methods. Journal of Sound and Vibration 329(20), 4251-4265, 2010.
N. Jacques, C. Czarnota, S. Mercier, A. Molinari. A micromechanical constitutive model for dynamic damage and fracture of ductile materials. International Journal of Fracture 162(1-2), 159-175, 2010.
C. Czarnota, N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Modelling of dynamic ductile fracture and application to the simulation of plate impact tests on tantalum. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 56(4), 1624-1650, 2008.
N. Jacques, A. Elias, M. Potier-Ferry, H. Zahrouni. Buckling and wrinkling during strip conveying in processing lines. Journal of Materials Processing Technology 190(1-3), 33-40, 2007.
N. Jacques, M. Potier-Ferry. On mode localisation in tensile plate buckling. Comptes Rendus MĂ©canique 333(11), 804-809, 2005.
S. Mercier, N. Jacques, A. Molinari. Validation of an interaction law for the Eshelby inclusion problem in elasto-viscoplasticity. International Journal of Solids and Structures 42(7), 1923-1941, 2005.
3 Des informations bibliométriques sont disponibles à la page Google scholar suivante : http://scholar.google.fr/citations?user=mx87TI0AAAAJ&hl=en
14
Articles de revues nationales avec comité de lecture (3) :
H. Grandjean, N. Jacques, S. Zaleski. ModĂ©lisation de lâattĂ©nuation dâune onde de pression sous-marine par rideau de bulles. La Houille Blanche n° 4, 19-24, 2011.
N. Jacques, A. Constantinescu, S. Kerampran, A. NĂȘme. Comparaison de diffĂ©rentes approches pour la simulation numĂ©rique dâimpacts hydrodynamiques. European Journal of Computational Mechanics 19(8), 743-770, 2010.
N. Jacques, A. Elias, M. Potier-Ferry, H. Zahrouni. Simulation numérique du plissement des tÎles lors de leur transport en continu dans les usines sidérurgiques. Revue Européenne de Mécanique Numérique 15(1-2-3), 209-220, 2006.
Articles de conférences avec DOI4 (2) :
A. Molinari, S. Mercier, N. Jacques. Dynamic failure of ductile materials. Procedia IUTAM (Ă paraitre).
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Multiscale modelling of voided ductile solids with micro-inertia and application to dynamic crack propagation. Procedia IUTAM 3, 40-53, 2012.
ConfĂ©rences donnĂ©es Ă lâinvitation des organisateurs (2) :
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Microinertia effects on dynamic crack propagation in ductile materials. IUTAM Symposium on Linking Scales in Computations: from Microstructure to Macro-scale Properties, Pensacola, Florida, USA, May 17-19, 2011.
N. Jacques, C. Czarnota, S. Mercier, A. Molinari. A micromechanical constitutive model for dynamic damage and fracture of ductile materials. IUTAM Symposium on Dynamic Fracture and Fragmentation, Austin, Texas, USA, March 8-12, 2009.
Communications lors de congrĂšs internationaux (19) :
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. On the influence of microscale inertia on dynamic ductile crack extension. 10th International Conference on the Mechanical and Physical Behaviour of Materials under Dynamic Loading (DYMAT), Freiburg, Germany, September 2-7, 2012.
S. Mercier, N. Jacques, A. Molinari. Effect of inertia on multiple necking and on dynamic failure of ductile materials. 38th Solid Mechanics Conference (SolMech), Warsaw, Poland, August 27-31, 2012.
A. Molinari, S. Mercier, N. Jacques. Dynamic failure of ductile materials. 23rd International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM), Beijing, China, August 19-24, 2012.
H. Grandjean, N. Jacques, S. Zaleski. Shock propagation in a liquid containing bubbly clusters. 64th Annual Meeting of the Division of Fluid Dynamics of the American Physical Society (APS-DFD), Baltimore, MD, USA, November 20-22, 2011.
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Microinertia effects on dynamic crack propagation in ductile materials. 3rd International Conference on Impact Loading of Lightweight Structures (ICILLS), Valenciennes, France, June 28 â July 1, 2011.
4 Digital Object Identifier
15
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Influence of microinertia on dynamic damage, application to fracture of ductile materials. Annual International Workshop 2011 on Dynamic Behavior of Structures and Materials, Interaction and Friction, Metz, France, June 13-15, 2011.
A. Tassin, N. Jacques, A. NĂȘme, B. LeblĂ©. Three-dimensional water impact problems: numerical modelling based on the Wagner theory and experiments. Mathematical challenges and modelling of hydroelasticity, Workshop of the International Centre for Mathematical Sciences (ICMS), Edimburg, UK, June 21-24, 2010.
A. Tassin, N. Jacques, A. NĂȘme, B. LeblĂ©. An efficient numerical method for the three-dimensional Wagner problem. 25th International Workshop on Water Waves and Floating Bodies (IWWWFB 2010), Harbin, China, May 9-12, 2010.
A. Molinari, N. Jacques, C. Czarnota, S. Mercier. The role of micro-inertia in spalling and dynamic fracture of metals. Workshop on theoretical and experimental approaches for dynamic industrial processes, Madrid, Spain, June 24-26, 2009.
A. Tassin, N. Jacques, A. NĂȘme. A numerical method for three-dimensional water impact problems based on the Wagner theory and the boundary element method. 3rd International Conference on Computational Methods in Marine Engineering (MARINE 2009), Trondheim, Norway, June 15-17, 2009.
A. Tassin, N. Jacques, A. NĂȘme, J.M. Laurens. Simplified models for the estimation of slamming loads on bulbous bows. 11th Numerical Towing Tank Symposium (NuTTS), Brest, September 7-9, 2008.
A. Contantinescu, A. NĂȘme, N. Jacques, P. Rigo. Finite element simulations and experimental investigations of simple 2-D geometries in slamming. 27th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering (OMAE), Estoril, Portugal, June 15-20, 2008.
N. Moustaghfir, N. Jacques, E.M. Daya. Forced non linear vibration of composite beams. International Conference on Smart Materials and Adaptive Structures: Mathematical Modeling and Computation, Tangier, Morocco, April 14-16, 2008.
C. Czarnota, N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Numerical analysis of the plate impact test using a multiscale damage modelling. 9th U.S. National Congress on Computational Mechanics (USNCCM), San Francisco, USA, July 23-26, 2007.
C. Czarnota, N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Modelling of ductile fracture at high strain rates. Numerical simulation of the plate impact test. International Conference on Computational fracture and failure of materials and structures (CFRAC), Nantes, June 11-13, 2007.
A. Molinari, C. Czarnota, S. Mercier, N. Jacques. A multiscale modelling of dynamic damage by micro-voiding with application to spalling. From Microstructure to Macro-Scale Properties of Heterogeneous Materials, The 1st US-France Symposium on Advances in Bridging Scales in Computation, Shalimar FL, USA, Mars 28-30, 2007.
N. Jacques, E.M. Daya, M. Potier-Ferry. Forced non-linear vibration of damped sandwich beams by the Harmonic Balance â Finite Element Method. 8th International Conference on Computational Structures Technology (CST), Las Palmas, Spain, September 12-15, 2006.
N. Jacques, A. Elias, M. Potier-Ferry, H. Zahrouni. Wrinkling of metal sheets in continuous processing lines. 5th International Conference on Computation of Shells and Spatial Structures
16
(IASS-IACM), Salzburg, Austria, June 1-4, 2005.
S. Mercier, A. Molinari, N. Jacques. The Eshelby problem for elastic-viscoplastic materials. 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM), Warsaw, Poland, August 21-25, 2004.
Communications lors de congrĂšs nationaux (13) :
H. Grandjean, N. Jacques, M. Arrigoni, S. Zaleski. AttĂ©nuation des effets dâune explosion sous-marine par rideau de bulles. 110Ăšme session de lâAssociation Technique Maritime et AĂ©ronautique (ATMA), Paris, 4-5 juin, 2012.
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Effets micro-inertiels lors de la propagation dynamique de fissures ductiles. Journées 2012 du groupe de travail MecaDymat, Comportement et rupture des matériaux sous sollicitations dynamiques, Lyon, 3-4 mai, 2012.
N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. RĂŽle de lâinertie microscopique lors de la rupture dynamique de matĂ©riaux ductiles. 20Ăšme CongrĂšs Français de MĂ©canique (CFM), Besançon, 29 aoĂ»t â 2 septembre, 2011.
H. Grandjean, N. Jacques, S. Zaleski. Influence des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© sur la propagation dâondes de choc dans un liquide aĂ©rĂ©. 20Ăšme CongrĂšs Français de MĂ©canique (CFM), Besançon, 29 aoĂ»t â 2 septembre, 2011.
H. Grandjean, N. Jacques, S. Zaleski. ModĂ©lisation de l'attĂ©nuation d'une onde de pression sous-marine par rideau de bulles. 12Ăšmes JournĂ©es de lâHydrodynamique, Nantes, 17-19 novembre, 2010.
N. Jacques, C. Czarnota, S. Mercier, A. Molinari. Validation dâun modĂšle micromĂ©canique pour lâendommagement ductile sous chargements dynamiques intenses. MatĂ©riaux 2010, Nantes, 18-22 octobre, 2010.
N. Moustaghfir, N. Jacques, E.M. Daya. Etude comparative des vibrations non-linéaires amorties de structures composites. 9Úme Colloque National en Calcul de Structures, Giens, 25-29 mai, 2009.
C. Czarnota, N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. ModĂ©lisation multi-Ă©chelle de lâendommagement dynamique ductile et application Ă la simulation numĂ©rique de lâĂ©caillage. JournĂ©es 2008 du groupe de travail MecaDymat, Comportement et rupture des matĂ©riaux sous sollicitations dynamiques, Lorient, 2-3 avril, 2008.
N. Jacques, E.M. Daya, M. Potier-Ferry. Vibrations non linéaires de poutres sandwich viscoélastiques. 18Úme CongrÚs Français de Mécanique (CFM), Grenoble, 27-31 août, 2007.
C. Czarnota, N. Jacques, S. Mercier, A. Molinari. Comportement dynamique des matĂ©riaux ductiles. ModĂšle dâendommagement Ă©lasto-viscoplastique et simulation numĂ©rique du test dâimpact de plaques. 18Ăšme CongrĂšs Français de MĂ©canique (CFM), Grenoble, 27-31 aoĂ»t, 2007.
N. Jacques, A. Constantinescu, S. Kerampran, A. NĂȘme. Comparaison de diffĂ©rentes mĂ©thodes pour la simulation numĂ©rique de lâimpact hydrodynamique. 11Ăšmes JournĂ©es de lâHydrodynamique, Brest, 3-5 Avril, 2007.
N. Jacques, A. Elias, M. Potier-Ferry, H. Zahrouni. Simulation numérique du plissement des tÎles lors de leur transport en continu dans les usines sidérurgiques. 7Úme Colloque National en Calcul de Structures, Giens, 17-20 mai, 2005.
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N. Jacques, A. Elias, M. Potier-Ferry, H. Zahrouni. Modélisation par éléments finis du plissement des tÎles lors de leur transport dans les usines sidérurgiques. 16Úme CongrÚs Français de Mécanique (CFM), Nice, 1-5 septembre, 2003.
Autres communications (3) :
M. Arrigoni, H. Grandjean, N. Jacques, S. Kerampran, Mitigation of underwater blast by diphasic barrier. International Physical Security Forum (IPSF 2011), Berne, Switzerland, May 15-20, 2011.
A. Tassin, N. Jacques, A. NĂȘme, B. LeblĂ©. A Numerical Method for Three-Dimensional Water Impact Problems based on the Wagner Theory and the Boundary Element Method. Seminar, School of Mathematics, University of East Anglia (UEA), Norwich, UK, October 14, 2009.
S. Mercier, A. Molinari, N. Jacques. Interaction law in elasto-viscoplasticity. NATO Advanced Research Workshop, Nonlinear Homogenization and Its Application to Composites, Polycristals and Smart materials, Kazimierz Dolny, Poland, June 23-26, 2003.
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Résumé des travaux de recherche
Lâobjectif de cette partie est de donner un rapide aperçu de lâensemble des activitĂ©s de
recherche que jâai menĂ©es. Mes travaux de thĂšse, dĂ©butĂ©s en 2001, portaient sur la modĂ©lisation du plissement des tĂŽles lors de leur transport en continu dans les usines sidĂ©rurgiques. Jâai ensuite travaillĂ© sur la simulation des vibrations non-linĂ©aires de structures sandwich viscoĂ©lastiques dans le cadre dâune Ă©tude post-doctorale.
En fĂ©vrier 2006, jâai Ă©tĂ© recrutĂ© comme MaĂźtre de ConfĂ©rences Ă lâENSTA Bretagne (ex-
ENSIETA). Membre du Laboratoire Brestois de MĂ©canique et des SystĂšmes (LBMS), jây effectue mes activitĂ©s de recherche au sein de lâĂ©quipe Dynamique des MatĂ©riaux, des Fluides et des Structures (DMFS). Les objectifs scientifiques de cette Ă©quipe sont principalement liĂ©s Ă lâanalyse de la durĂ©e de vie et de lâintĂ©gritĂ© des structures navales. Deux aspects y sont particuliĂšrement dĂ©veloppĂ©s : le premier est liĂ© Ă la prĂ©vision des chargements induits par lâenvironnement marin sur les structures navales ; le second porte sur la rĂ©sistance de ces structures sous sollicitations extrĂȘmes (liĂ©es par exemple Ă des agressions militaires ou terroristes). Compte tenu des problĂ©matiques de lâĂ©quipe DFMS, jâai engagĂ© lors de mon arrivĂ©e Ă Brest de nouvelles actions de recherche, constituant pour moi une conversation thĂ©matique. Ces actions sont associĂ©es Ă deux thĂ©matiques en particulier. La premiĂšre concerne les interactions fluide-structure, et plus spĂ©cifiquement la modĂ©lisation et la simulation numĂ©rique des problĂšmes dâimpact hydrodynamique (impact dâun solide sur la surface libre dâun fluide faiblement compressible). Un des objectifs de ces travaux est la mise au point de modĂšles fiables et efficaces pour la prĂ©diction des chargements gĂ©nĂ©rĂ©s lors dâun impact hydrodynamique. La deuxiĂšme thĂ©matique concerne la modĂ©lisation de lâendommagement et la rupture de matĂ©riaux ductiles sous sollicitations dynamiques. Le travail menĂ© porte principalement sur le dĂ©veloppement de modĂšles dynamiques dâendommagement ductile.
En 2009, jâai entrepris une nouvelle action de recherche concernant la modĂ©lisation de la
propagation dâondes de choc dans les milieux diphasiques liquide-bulles. Lâapplication qui est visĂ©e au travers de cette Ă©tude est lâattĂ©nuation des effets dâexplosions sous-marines Ă lâaide de rideaux de bulles. Ces travaux, Ă premiĂšre vue trĂšs Ă©loignĂ©s des autres thĂ©matiques sur lesquelles je travaille, font en rĂ©alitĂ© appel Ă des mĂ©thodes et des outils proches de ceux mis en Ćuvre dans le cadre de mes travaux portant sur lâendommagement dynamique ductile. Dans les deux cas, le problĂšme est abordĂ© en utilisant des mĂ©thodes de transition dâĂ©chelles, qui reposent sur le mĂȘme formalisme. 1. ModĂ©lisation et Ă©tude du plissement des tĂŽles lo rs de leur transport en continu dans les usines sidĂ©rurgiques
Ces travaux correspondent Ă ma thĂšse de doctorat qui a Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©e, dans le cadre dâune convention CIFRE entre le Laboratoire de Physique et MĂ©canique des MatĂ©riaux (LPMM) de lâUniversitĂ© de Metz et lâentreprise ARCELOR Research (ex-IRSID), sous la direction de Michel Potier-Ferry et Hamid Zahrouni. Lâobjectif Ă©tait de comprendre la formation de dĂ©fauts de forme appelĂ©s plis, qui apparaissent lors du transport de bandes Ă lâaide de rouleaux (voir Fig. 1). Ce problĂšme a Ă©tĂ© Ă©tudiĂ© principalement Ă lâaide de simulations numĂ©riques. Une modĂ©lisation par Ă©lĂ©ments finis a Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©e pour simuler le passage dâune bande sur un
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rouleau. Lâanalyse des rĂ©sultats a permis dâidentifier les mĂ©canismes Ă lâorigine du plissement. Afin de valider les simulations, un protocole expĂ©rimental a Ă©tĂ© mis au point pour Ă©tudier lâinfluence du frottement sur la formation des plis. En outre, une Ă©tude analytique a Ă©tĂ© menĂ©e afin de mieux comprendre les caractĂ©ristiques du flambement de bandes longues soumises Ă un chargement de traction. Simulation numĂ©rique du plissement dâune tĂŽle lors de son passage sur un rouleau. Ces simulations ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es Ă lâaide du code ABAQUS. Un rouleau et une portion de tĂŽle sont considĂ©rĂ©s. Le rouleau est modĂ©lisĂ© par une surface rigide. Notons que pour amĂ©liorer le guidage des bandes, les rouleaux utilisĂ©s dans les usines sidĂ©rurgiques ne sont pas parfaitement cylindriques, leurs extrĂ©mitĂ©s ont un diamĂštre trĂšs lĂ©gĂšrement infĂ©rieur Ă celui du centre. La tĂŽle est modĂ©lisĂ©e avec des Ă©lĂ©ments de coque mince (Ă©lĂ©ments quadratiques Ă intĂ©gration rĂ©duite). On considĂšre une loi de comportement Ă©lasto-plastique isotrope (modĂšle de Prandl-Reuss). Le contact unilatĂ©ral avec frottement de Coulomb est dĂ©fini entre la bande et le rouleau.
Ces travaux ont permis dâidentifier les mĂ©canismes donnant lieu Ă la formation de plis lors du transport en continu de bandes mĂ©talliques. Le premier de ces mĂ©canismes est le flambement de la bande sous traction. Ce phĂ©nomĂšne est liĂ© Ă la forme des rouleaux : la diffĂ©rence de diamĂštre entre le centre et les bords cause une inhomogĂ©nĂ©itĂ© des contraintes de traction, qui est Ă lâorigine de lâapparition de contraintes compressives secondaires orientĂ©es dans le sens travers. Ces sont elles qui induisent le flambement de la tĂŽle. Ce flambement prĂ©sente dâintĂ©ressantes caractĂ©ristiques : une forte orientation et lâapparition de cascades de flambement dans le post-flambement lointain. A cause de lâeffet stabilisant de la traction, lâamplitude des ondulations de flambement reste faible, mĂȘme pour des tractions appliquĂ©es nettement plus fortes que celles typiquement employĂ©es dans les lignes industrielles. Cependant, lorsque la bande est enroulĂ©e sur le rouleau, ces ondulations sont fortement accentuĂ©es Ă cause du frottement bande-rouleau. En effet, le flambement gĂ©nĂšre des dĂ©placements latĂ©raux et par consĂ©quent il y a un lĂ©ger glissement dans le sens travers entre la bande et le rouleau. Ce glissement crĂ©e des contraintes compressives supplĂ©mentaires lors du dĂ©placement de la bande. Dans certaines circonstances, un pli sâinitie et se propage par lâaction dâun mĂ©canisme cumulatif plastique : lorsque le flambement a marquĂ© plastiquement la tĂŽle, une ondulation rĂ©siduelle se propage avec le mouvement de la tĂŽle. Son enroulement sur le rouleau accentue le flambage en amont. Par consĂ©quent, des ondulations rĂ©siduelles plus marquĂ©es arrivent sur le rouleau. Un mĂ©canisme cumulatif se met en place, le pli se forme au fur et Ă mesure quâil se propage (Fig. 1).
Fig. 1. Simulation numĂ©rique de la formation dâun pli, aperçu de lâaspect du dĂ©faut obtenu.
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Le rĂŽle du frottement dans le mĂ©canisme de formation des plis nous a amenĂ© Ă Ă©tudier lâinfluence du coefficient de frottement sur les Tractions Critiques de Formation des Plis (TCFP), c'est-Ă -dire les niveaux de traction pour lesquels des plis apparaissent sur les rouleaux. Cette Ă©tude a montrĂ© lâexistence de deux rĂ©gimes de formation des plis : en dessous dâune certaine valeur du coefficient de frottement, les TCFP augmentent drastiquement (Fig. 2). Ce phĂ©nomĂšne est liĂ© Ă lâeffet stabilisant de lâĂ©tablissement du contact sur le rouleau qui intervient quand le niveau de traction augmente.
Le modĂšle numĂ©rique a Ă©galement Ă©tĂ© appliquĂ© Ă lâĂ©tude de lâinfluence des dĂ©fauts de planĂ©itĂ© des bandes sur la formation des plis. Il est apparu que ces derniers peuvent jouer un rĂŽle extrĂȘmement pĂ©nalisant en termes de risque de plissement dans les conditions industrielles. Ces travaux ont donnĂ© lieu Ă la publication de deux articles, dans la Revue EuropĂ©enne de MĂ©canique NumĂ©rique (2006) et dans Journal of Materials Processing Technology (2007). Etude expĂ©rimentale du rĂŽle du frottement sur la formation des plis. Afin de valider les rĂ©sultats numĂ©riques concernant lâinfluence du frottement, nous avons mis au point un nouveau protocole expĂ©rimental. Ces essais ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©s chez ARCELOR Research sur le pilote guidage et pli. Il sâagit dâune installation expĂ©rimentale Ă grande Ă©chelle destinĂ©e Ă lâĂ©tude du transport des bandes dans les usines sidĂ©rurgiques. Lâobjectif Ă©tait de faire varier le coefficient de frottement lors dâessais de formation des plis, durant lesquels on mesure la TCFP en augmentant progressivement la traction jusquâĂ ce que lâon constate la formation de plis. Nous avons pour cela tirer parti de phĂ©nomĂšnes dâentraĂźnement de fluide (eau ou air) : lorsque la bande est en mouvement, elle entraĂźne entre elle et le rouleau un film fluide qui modifie les conditions dâadhĂ©rence et fait diminuer le coefficient de frottement. LâĂ©paisseur de ce film dĂ©pend de la vitesse et de la traction appliquĂ©e Ă la bande (thĂ©orie du « foil bearing »). La valeur du coefficient de frottement lors dâessais de formation de plis est dĂ©duite dâune thĂ©orie de type lubrification. Les paramĂštres de ce modĂšle sont dĂ©terminĂ©s par analyse inverse Ă partir de rĂ©sultats dâessais de perte dâadhĂ©rence. Lors de ces derniers, on mesure le couple maximal que peut transmettre la bande au rouleau. Les mesures de TCFP obtenues ont montrĂ© un bon accord avec les prĂ©visions numĂ©riques. Il a Ă©tĂ© en particulier possible dâobserver la trĂšs forte augmentation des tractions critiques pour les faibles frottements (Fig. 2).
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Coefficient de frottement
Trac
tion
crit
ique
(M
Pa)
Simulations numériques
Essais
Fig. 2. Influence du coefficient de frottement sur la traction critique de formation des plis â
Comparaison entre simulations et essais.
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Etude analytique du flambement sous traction de bandes longues. Lorsque lâon applique un chargement de traction dans le plan Ă une plaque, des contraintes compressives peuvent apparaĂźtre. Par exemple, si le chargement nâest pas homogĂšne, une zone de compression latĂ©rale, localisĂ©e prĂšs du bord oĂč est appliquĂ© ce chargement, est observĂ©e. Ces contraintes, mĂȘme si leur niveau est gĂ©nĂ©ralement bien plus faible que celui des contraintes de traction, peuvent causer le flambement de la bande. Lâobjet de ces travaux Ă©tait de mieux comprendre les principales caractĂ©ristiques du flambage sous traction. Ce phĂ©nomĂšne a pu ĂȘtre reproduit en retenant trois causes : les effets stabilisants de la rigiditĂ© de flexion et de la traction appliquĂ©e dans le sens long, et lâeffet dĂ©stabilisant des contraintes compressives dans le sens travers. La rĂ©partition spatiale de ces derniĂšres est aussi prise en compte. Les principales caractĂ©ristiques du flambement ont Ă©tĂ© explicitĂ©es. La forte orientation du mode est liĂ©e Ă lâexistence dâun phĂ©nomĂšne de sĂ©lection des longueurs dâonde induit par lâeffet stabilisant de la traction. LâĂ©volution du mode dans la longueur de la bande est liĂ©e Ă la rĂ©partition spatiale des contraintes compressives. Ces travaux ont Ă©tĂ© publiĂ©s dans les Comptes Rendus MĂ©canique (2005). 2. Vibrations non-linĂ©aires de poutres sandwich vis coĂ©lastiques
Cette Ă©tude a Ă©tĂ© menĂ©e dans le cadre dâun travail post-doctoral rĂ©alisĂ© au Laboratoire de Physique et MĂ©canique des MatĂ©riaux (LPMM), qui portait sur le dĂ©veloppement dâun modĂšle numĂ©rique pour le calcul des vibrations non-linĂ©aires forcĂ©es de poutres sandwich. Le point original de lâapproche proposĂ©e est la prise en compte Ă la fois de non-linĂ©aritĂ©s dâorigine gĂ©omĂ©trique et dâun comportement viscoĂ©lastique dĂ©pendant de la frĂ©quence. La poutre est modĂ©lisĂ©e Ă lâaide dâun modĂšle cinĂ©matique de type « zig-zag ». La technique de rĂ©solution utilise les mĂ©thodes de lâĂ©quilibrage harmonique et des Ă©lĂ©ments finis. Contrairement Ă ce qui est gĂ©nĂ©ralement fait dans le cas des vibrations non-amorties, nous avons choisi dâappliquer la mĂ©thode de lâĂ©quilibrage harmonique avant la discrĂ©tisation par Ă©lĂ©ments finis. Cela signifie que la mĂ©thode de lâĂ©quilibrage harmonique est utilisĂ©e pour obtenir une formulation faible gouvernant la rĂ©ponse forcĂ©e de la poutre. Celle-ci est ensuite utilisĂ©e pour construire un modĂšle Ă©lĂ©ments finis. Cette façon de faire permet de tirer parti du fait que la loi de comportement viscoĂ©lastique a une forme plus simple dans le domaine frĂ©quentiel que dans le domaine temporel. Le modĂšle dĂ©veloppĂ© a Ă©tĂ© validĂ© par comparaison avec des rĂ©sultats de simulations basĂ©es sur lâintĂ©gration temporelle directe des Ă©quations du mouvement, ainsi quâavec des donnĂ©es expĂ©rimentales. En outre, nous avons observĂ© que les propriĂ©tĂ©s amortissantes des poutres sandwich dĂ©pendent de lâamplitude des vibrations. Nous attribuons ce phĂ©nomĂšne dâune part Ă lâaugmentation des frĂ©quences de rĂ©sonance avec lâamplitude de vibration, qui conduit Ă un changement des propriĂ©tĂ©s mĂ©caniques de la couche viscoĂ©lastique, et dâautre part, de maniĂšre plus surprenante, Ă la dĂ©pendance de la forme du mode Ă lâamplitude de vibration. Ces travaux ont Ă©tĂ© publiĂ©s dans Journal of Sound and Vibration (2010). 3. ModĂ©lisation et simulation numĂ©rique de problĂšme s dâimpact hydrodynamique Validation et comparaison de diffĂ©rentes approches de modĂ©lisation pour les impacts hydrodynamiques. On trouve dans la littĂ©rature un nombre important de publications portant sur la modĂ©lisation et la simulation numĂ©rique dâimpacts solide-liquide. La diversitĂ© des approches permettant de traiter ces problĂšmes pose des questions concernant la prĂ©cision, la
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robustesse et la facilitĂ© de mise en Ćuvre des mĂ©thodes existantes. De plus, comme la plupart des travaux porte gĂ©nĂ©ralement sur lâĂ©tude dâune modĂ©lisation particuliĂšre, il est difficile pour les ingĂ©nieurs et chercheurs ayant besoin de modĂ©liser certains problĂšmes dâimpact hydrodynamique, de choisir les outils les mieux adaptĂ©s au problĂšme quâils ont Ă traiter. Dans ce contexte, nous avons entrepris une Ă©tude comparative de diffĂ©rentes approches de modĂ©lisation, afin de mettre en Ă©vidence leurs limitations, avantages et dĂ©fauts. Nous avons considĂ©rĂ© lâutilisation de codes de calculs gĂ©nĂ©ralistes du marchĂ© (ABAQUS et Fluent), ainsi que des modĂšles semi-analytiques dĂ©diĂ©s aux problĂšmes dâimpact, en nous limitant Ă des cas bidimensionnels. Dans ce travail, nous nous sommes basĂ©s Ă la fois sur des comparaisons entre les rĂ©sultats des diffĂ©rents modĂšles, sur certains arguments thĂ©oriques (liĂ©s par exemple Ă lâanalyse dimensionnelle), et aussi sur des comparaisons avec des rĂ©sultats dâessais dĂ©veloppĂ©s au sein de lâĂ©quipe DFMS. Ces travaux ont Ă©tĂ© publiĂ©s dans European Journal of Computational Mechanics (2010), International Journal of Multiphysics (2010) et International Journal of Offshore and Polar Engineering (2011). ModĂ©lisation tridimensionnelle dâimpacts hydrodynamiques. Ces travaux ont Ă©tĂ© menĂ©s dans le cadre de la thĂšse de doctorat dâAlan Tassin, financĂ©e par la sociĂ©tĂ© DCNS (convention CIFRE). Lâobjectif principal de ces recherches Ă©tait la mise au point de modĂšles simplifiĂ©s permettant de dĂ©terminer les chargements hydrodynamiques induits par le tossage des dĂŽmes de protection des sonars de certains navires militaires. Une des difficultĂ©s de ce problĂšme Ă©tait liĂ©e au fait que la gĂ©omĂ©trie de ces dĂŽmes empĂȘche lâutilisation de mĂ©thodes dite « des tranches », dans lesquelles le problĂšme tridimensionnel est approximĂ© par une sĂ©rie de problĂšmes 2D. Le dĂ©veloppement de modĂšles dâimpact rĂ©ellement tridimensionnels a Ă©tĂ© nĂ©cessaire.
Les travaux ont Ă©tĂ© orientĂ©s vers le dĂ©veloppement dâun modĂšle dâimpact basĂ© sur la
thĂ©orie de Wagner, cette approche devant constituer un compromis intĂ©ressant entre prĂ©cision des rĂ©sultats, facilitĂ© de mise en Ćuvre et temps de calcul. Dans la modĂ©lisation proposĂ©e, le problĂšme de Wagner tridimensionnel est formulĂ© en potentiel des dĂ©placements. Un point dĂ©licat de la thĂ©orie de Wagner est la dĂ©termination de la surface de contact entre le fluide et le solide impactant. La mĂ©thode que nous proposons pour cela est basĂ©e sur une description paramĂ©trique de la surface de contact par une sĂ©rie de Fourier tronquĂ©e. Les coefficients de cette sĂ©rie sont obtenus Ă lâaide dâun algorithme itĂ©ratif recherchant la solution permettant de minimiser lâerreur sur la condition de Wagner5. Cette mĂ©thodologie nĂ©cessite de pouvoir calculer Ă chaque itĂ©ration la dĂ©formĂ©e de la surface libre du fluide. Pour rĂ©aliser cette tĂąche, un modĂšle Ă©lĂ©ments de frontiĂšre a Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©. Une originalitĂ© de ce dernier est que les inconnues sont aussi approximĂ©es Ă lâaide de sĂ©ries de Fourier tronquĂ©es, ce qui permet de limiter le nombre de degrĂ©s de libertĂ©. Concernant le calcul de la pression hydrodynamique agissant au niveau de la surface de contact liquide-solide, une approche semi-analytique basĂ©e sur le modĂšle de Logvinovich modifiĂ© (Korobkin, 2004) a Ă©tĂ© mise au point.
Afin dâobtenir des donnĂ©es pour valider le modĂšle proposĂ©, une campagne expĂ©rimentale a Ă©tĂ© menĂ©e Ă lâaide de la machine hydraulique dâimpact de lâENSTA Bretagne. Les essais rĂ©alisĂ©s nous ont permis de mesurer les efforts hydrodynamiques sur diffĂ©rentes maquettes tridimensionnelles. Par ailleurs, nous avons rĂ©alisĂ© des simulations numĂ©riques Ă lâaide du code de calculs par Ă©lĂ©ments finis ABAQUS/Explicit, qui utilise la mĂ©thode Volume-of-Fluid (VOF) et un algorithme de couplage Euler-Lagrange (CEL). Les comparaisons effectuĂ©es dĂ©montrent les capacitĂ©s prĂ©dictives du modĂšle de Wagner 3D, ainsi que ses avantages en
5 La condition de Wagner impose la continuité entre la surface de contact et la surface libre du liquide.
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termes de simplicitĂ© de mise en Ćuvre. Ces travaux ont Ă©tĂ© publiĂ©s dans Journal of Fluids and Structures (2012). 4. ModĂ©lisation de lâendommagement de matĂ©riaux duc tiles sous sollicitations dynamiques
Cette thĂ©matique porte sur la mise au point de modĂšles de comportement et dâendommagement permettant de dĂ©crire la rĂ©ponse de matĂ©riaux ductiles soumis Ă des chargements dynamiques intenses. Le terme ductile signifie ici que le processus dâendommagement est liĂ© Ă la nuclĂ©ation, la croissance et la coalescence de micro-vides au sein du matĂ©riau. Dans ces travaux, menĂ©s en collaboration avec SĂ©bastien Mercier et Alain Molinari de lâUniversitĂ© de Lorraine, lâaccent a Ă©tĂ© mis sur la modĂ©lisation et lâanalyse des effets de lâinertie microscopique. Un solide endommagĂ© (poreux) est par nature fortement hĂ©tĂ©rogĂšne : la prĂ©sence de micro-cavitĂ©s constitue une hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de distribution de masse volumique, et gĂ©nĂšre, Ă lâĂ©chelle de la microstructure du matĂ©riau, des perturbations locales des champs de vitesse et dâaccĂ©lĂ©ration. Il y a donc des effets dâinertie associĂ©s au dĂ©veloppement de lâendommagement, que nous appelons effets micro-inertiels. Ceux-ci ont Ă©tĂ© pendant bien longtemps Ă©ludĂ©s par la majoritĂ© des chercheurs travaillant sur la rupture dynamique ductile. Par exemple, presque tous les travaux portant sur la simulation numĂ©rique de ce phĂ©nomĂšne reposent sur lâutilisation de modĂšles dâendommagement viscoplastiques, qui nĂ©gligent lâinertie microscopique (Seaman et al., 1976; Rajendran et al., 1988 ; Needleman et Tvergaard, 1991 ; Addessio et Johnson, 1993 ; Dornowski et Perzyna, 2006). Cette pratique est en contradiction avec certaines Ă©tudes thĂ©oriques qui ont indiquĂ© que la croissance dâune cavitĂ© dans un solide sous chargement dynamique peut ĂȘtre fortement influencĂ©e par les effets dâinertie (Ortiz et Molinari, 1992 ; Tong et Ravichandran, 1995 ; Wu et al., 2003a,b). Mon travail a portĂ© sur la mise au point de modĂšles de comportement et dâendommagement « rĂ©ellement dynamiques », câest-Ă -dire incorporant une contribution de lâinertie microscopique sur la rĂ©ponse macroscopique du matĂ©riau. Les effets micro-inertiels ont Ă©tĂ© pris en compte en utilisant une procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation tenant compte des effets dâinertie liĂ©s aux mouvements de matiĂšre internes au VER (Volume ElĂ©mentaire ReprĂ©sentatif).
ModĂ©lisation de lâendommagement et de la rupture de matĂ©riaux ductiles sous choc (Ă©caillage). LâĂ©caillage dĂ©signe ici la rupture dâun solide lors de la rĂ©flexion dâune onde de choc sur une surface libre. Les sollicitations mĂ©caniques qui sont associĂ©es Ă ce phĂ©nomĂšne sont parmi les plus sĂ©vĂšres et les plus rapides qui soient (le matĂ©riau peut ĂȘtre soumis Ă des contraintes de traction augmentant Ă plus de 100 GPa/”s). Le modĂšle qui a Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ© pour dĂ©crire lâĂ©caillage tente de tenir compte des mĂ©canismes physiques qui accompagnent lâendommagement Ă lâĂ©chelle microscopique (câest Ă dire la nuclĂ©ation et la croissance de micro-vides). Une approche statistique est adoptĂ©e pour dĂ©crire la nuclĂ©ation des cavitĂ©s. Nous supposons que le matĂ©riau contient une population de sites potentiels de nuclĂ©ation, chaque site Ă©tant caractĂ©risĂ© par une pression de nuclĂ©ation. Lorsque la pression macroscopique dĂ©passe cette derniĂšre, un vide de rayon nul est nuclĂ©Ă© au niveau du site considĂ©rĂ©. De plus, afin de tenir compte (dans une certaine mesure) de lâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de la microstructure du matĂ©riau, la pression de nuclĂ©ation varie dâun site Ă lâautre. Une distribution de Weibull est utilisĂ©e pour dĂ©crire les fluctuations des pressions de nuclĂ©ation au sein du matĂ©riau. Par ailleurs, la croissance des cavitĂ©s est dĂ©crite par un modĂšle de sphĂšre creuse tenant compte des effets micro-inertiels. Ce modĂšle de comportement et dâendommagement a Ă©tĂ© implantĂ© dans le code de calculs par Ă©lĂ©ments finis ABAQUS/Explicit. Des simulations numĂ©riques dâessais dâimpact de plaques ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es. En se basant sur des rĂ©sultats expĂ©rimentaux de la
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littĂ©rature, nous avons observĂ© que ce modĂšle permet de prĂ©voir avec une bonne prĂ©cision la rĂ©ponse macroscopique du matĂ©riau, mais Ă©galement lâĂ©tat dâendommagement en son sein (distribution statistique des tailles de vides et rĂ©partition spatiale de la porositĂ©). Ce point est important car, comme la dĂ©termination des paramĂštres dĂ©crivant la population des sites potentiels de nuclĂ©ation se fait par analyse inverse, il se pose un problĂšme dâobjectivitĂ© lors de comparaisons basĂ©es uniquement sur des grandeurs macroscopiques. Nous avons en effet constatĂ© que dans ce cas, il nâest pas rĂ©ellement possible de valider la modĂ©lisation, voir (Jacques et al., 2010). Ce problĂšme est levĂ© quand les comparaisons portent Ă©galement sur des donnĂ©es microscopiques, comme les distributions de tailles de vides. Ces travaux ont donnĂ© lieu Ă deux publications dans Journal of the Mechanics and Physics of Solids (2008) et dans International Journal of Fracture (2010).
Propagation dynamique de fissures dans les matĂ©riaux ductiles. Ce problĂšme implique des Ă©tats de contraintes diffĂ©rents de ceux entrant en jeu pour lâĂ©caillage, ce qui influe sur les mĂ©canismes de nuclĂ©ation et de croissance des cavitĂ©s. Cela a nĂ©cessitĂ© le dĂ©veloppement dâun modĂšle prĂ©sentant certaines diffĂ©rences avec celui dĂ©crit prĂ©cĂ©demment. Bien sĂ»r, les deux modĂšles ont pour point commun la prise en compte des effets micro-inertiels. La validitĂ© de la modĂ©lisation des effets micro-inertiels que nous proposons a pu ĂȘtre Ă©tablie au travers de comparaisons avec des calculs dynamiques par Ă©lĂ©ments finis de Volumes ElĂ©mentaires ReprĂ©sentatifs (VER) de matĂ©riaux poreux Ă microstructure pĂ©riodique. Ce modĂšle dâendommagement a Ă©tĂ© intĂ©grĂ© dans ABAQUS/Explicit et utilisĂ© pour la simulation numĂ©rique de la propagation de fissures dans diffĂ©rents types dâĂ©prouvettes (prĂ©sentant ou non une fissure initiale). Les simulations rĂ©alisĂ©es semblent montrer que les effets micro-inertiels pourraient jouer un rĂŽle trĂšs important lors de la propagation dynamique de fissures ductiles. La micro-inertie stabilise la croissance des cavitĂ©s (et lâĂ©volution de lâendommagement qui en rĂ©sulte) dans les phases oĂč celle-ci tend Ă devenir instable et donc trĂšs rapide. Cela survient en particulier lors de lâapparition de phĂ©nomĂšnes de localisation de lâendommagement. Du fait de lâeffet stabilisant de la micro-inertie, la localisation survient de maniĂšre plus progressive et, pour cette raison, la sensibilitĂ© au maillage des rĂ©sultats des simulations est fortement rĂ©duite par rapport au cas oĂč lâinertie microscopique est nĂ©gligĂ©e. En dâautres termes, nous avons observĂ© que la micro-inertie induit un effet rĂ©gularisant. Il a Ă©tĂ© constatĂ© que la largeur de la zone oĂč lâendommagement se concentre est liĂ©e Ă la distance moyenne entre les micro-vides6. Au travers de comparaisons entre les rĂ©sultats de ce modĂšle et de celui de Gurson, Tvergaard et Needleman (qui ne tient pas compte de la micro-inertie), nous avons observĂ© que les vitesses de propagation de fissure sont rĂ©duites par les effets micro-inertiels. La micro-inertie a Ă©galement une forte influence sur la tĂ©nacitĂ© apparente du matĂ©riau sous sollicitation dynamique. Un article portant sur le rĂŽle de lâinertie microscopique lors de la propagation dynamique de fissures ductiles a Ă©tĂ© publiĂ© dans Journal of the Mechanics and Physics of Solids (2012).
Coalescence de cavitĂ©s sous sollicitations dynamiques. Ce problĂšme a Ă©tĂ© abordĂ© au travers de simulations numĂ©riques par Ă©lĂ©ments finis de VER de matĂ©riaux poreux Ă microstructure pĂ©riodique. Ces travaux ont montrĂ© que les mĂ©canismes qui gouvernent la coalescence de vides sous sollicitations dynamiques peuvent ĂȘtre diffĂ©rents de ceux observĂ©s dans le cas de chargements quasi-statiques. Dâune maniĂšre gĂ©nĂ©rale, les effets dâinertie retardent et ralentissent la striction des ligaments entre vides (Fig. 3). De plus, nous avons constatĂ© que, pour des vitesses de chargement et niveaux de triaxialitĂ© suffisamment Ă©levĂ©s, la striction des
6 La prise en compte de lâinertie microscopique donne naissance Ă des effets dâĂ©chelle. Ainsi, contrairement au cas quasi-statique, la rĂ©ponse macroscopique du matĂ©riau prĂ©vue par les modĂšles dĂ©veloppĂ©s (avec micro-inertie) dĂ©pend de la taille du VER, et donc de la longueur caractĂ©ristique de la microstructure du matĂ©riau.
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ligaments nâapparaissait plus : la coalescence intervient par un mĂ©canisme dit dâempiĂ©tement gĂ©omĂ©trique. Dans ce cas, les vides croissent jusquâĂ des niveaux de porositĂ© trĂšs Ă©levĂ©s tout en conservant une forme quasi-sphĂ©rique. Ce phĂ©nomĂšne a Ă©tĂ© observĂ© dans diffĂ©rentes Ă©tudes expĂ©rimentales (Curran et al. 1987 ; Roy 2003). DâaprĂšs nos simulations, la transition du mĂ©canisme de coalescence par striction vers celui par empiĂ©tement gĂ©omĂ©trique est fortement liĂ©e Ă des effets dâinertie microscopique. Ces travaux ont Ă©tĂ© publiĂ©s dans International Journal of Fracture (2012).
(a) (b)(a) (b)
Fig. 3. Illustration de lâeffet stabilisant de lâinertie sur la coalescence de cavitĂ©s dans un matĂ©riau poreux, dâaprĂšs (Jacques et al., 2010). Ces images montrent la forme du vide et le contour de dĂ©formation plastique Ă©quivalent obtenu Ă lâaide (a) dâun calcul statique et (b)
dâun calcul dynamique, pour une dĂ©formation axiale de 0.22. La rĂ©duction de la largeur du ligament inter-vides est bien moins marquĂ©e dans le cas dynamique.
5. ModĂ©lisation de la propagation dâondes de choc d ans les milieux diphasiques liquide-bulles
Ces travaux ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©s dans le cadre de la thĂšse de doctorat dâHervĂ© Grandjean, financĂ©e par la DGA, qui porte sur la modĂ©lisation de lâattĂ©nuation dâondes de choc issues dâexplosions sous-marines Ă lâaide de rideaux de bulles (Fig. 4). Ce dispositif, utilisĂ© pour sĂ©curiser les zones lors dâopĂ©rations de dĂ©minage ou de travaux portuaires, a une efficacitĂ© avĂ©rĂ©e. NĂ©anmoins, peu dâĂ©tudes portant sur la modĂ©lisation des rideaux de bulles ont Ă©tĂ© proposĂ©es. Lâobjectif des travaux de thĂšse consiste Ă comprendre les mĂ©canismes mis en jeu lors de lâinteraction onde-rideau, Ă identifier les paramĂštres physiques qui gouvernent le phĂ©nomĂšne, et potentiellement Ă optimiser lâefficacitĂ© du rideau.
Pour aborder ce problĂšme, nous avons choisi de nous orienter vers le dĂ©veloppement dâun
modĂšle continu, multi-Ă©chelles de milieu diphasique liquide-bulles. MĂȘme si ces travaux ont Ă©tĂ© motivĂ©s par un besoin applicatif bien dĂ©fini, ils ont permis certaines avancĂ©es dans la comprĂ©hension des phĂ©nomĂšnes de propagation dâondes de chocs dans les milieux Ă bulles, concernant en particulier lâinfluence des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s locales de fraction volumique dâair. La plupart des modĂšles existants supposent en effet que les bulles sont rĂ©parties de maniĂšre rĂ©guliĂšre au sein du liquide. Or, diffĂ©rents mĂ©canismes peuvent conduire Ă la sĂ©grĂ©gation des bulles (Brennen, 2005). Par exemple, il est bien connu que les bulles ont tendance Ă se concentrer au sein des zones de plus basse pression, comme le centre de tourbillons. Ainsi,
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dans bien des cas, un milieu Ă bulles nâest pas homogĂšne, mais comporte des zones de forte et faible porositĂ©. Pour explorer lâinfluence de ces hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s, nous avons dĂ©veloppĂ© un modĂšle permettant de dĂ©crire la rĂ©ponse de milieux contenant des clusters de bulles. Ce modĂšle est basĂ© sur une procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation en deux Ă©tapes ; il sera prĂ©sentĂ© dans la seconde partie de ce mĂ©moire. Les rĂ©sultats que nous avons obtenus montrent que la prĂ©sence des clusters influe fortement sur la structure des ondes de choc. En effet, la largeur du front dâonde dans un milieu Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšne nâest pas uniquement liĂ©e Ă la taille des bulles (comme câest le cas pour un milieu homogĂšne), mais aussi Ă celle des clusters (qui reprĂ©sente la longueur caractĂ©ristique des variations de porositĂ©). Le modĂšle dĂ©veloppĂ© a Ă©tĂ© validĂ© au travers de comparaisons avec des rĂ©sultats expĂ©rimentaux de la littĂ©rature (Dontsov, 2005).
Fig. 4. Dispositif de rideau de bulles (source : DGA Techniques Navales) Un autre aspect de la réponse des milieux à bulles pour lequel de nouveaux
dĂ©veloppements thĂ©oriques ont Ă©tĂ© proposĂ©s est la fission des bulles lors du passage dâune onde de choc de forte amplitude (Fig. 5). En se basant sur une analyse de perturbation linĂ©aire (Prosperetti et Seminara, 1978), un critĂšre permettant de prĂ©dire la fission des bulles, ainsi que le nombre de fragment a Ă©tĂ© proposĂ© et couplĂ© Ă un modĂšle de milieu diphasique. Les simulations rĂ©alisĂ©es montrent que la fission tend Ă augmenter la dissipation dâĂ©nergie lors de la propagation dâondes de choc.
Les diffĂ©rents modĂšles qui ont Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©s ont Ă©tĂ© utilisĂ©s pour Ă©tudier lâinteraction
dâune onde de choc avec un rideau de bulles. Du fait de la base micromĂ©canique de la modĂ©lisation, elle permet de relier lâattĂ©nuation de lâonde avec des paramĂštres physiques tels que la fraction volumique dâair et la taille initiale des bulles dans le rideau. Ceci permet dâenvisager lâoptimisation de lâefficacitĂ© des rideaux de bulle. Ces travaux ont donnĂ© lieu Ă la publication dâarticles dans La Houille Blanche (2011) et dans Journal of Fluid Mechanics (2012).
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Fig. 5. Fragmentation dâune bulle lors de la propagation dâune onde de choc de forte amplitude dans un mĂ©lange eau-bulles dâair, dâaprĂšs (Ando et al., 2011b). A lâendroit indiquĂ© par la flĂšche blanche, une bulle vient de fissionner donnant naissance Ă un amas de bulles de
plus petites tailles.
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DeuxiĂšme partie : Comportement dynamique de matĂ©riaux et de fluides hĂ©tĂ©rogĂšnes â
Application Ă lâendommagement ductile et Ă la propagation dâondes de choc dans les milieux Ă
bulles
31
Chapitre 1 : Motivations et concepts généraux
Ce chapitre a deux objectifs principaux : dâune part, Ă©voquer, sur la base dâune rapide revue bibliographique, les raisons qui ont motivĂ© les travaux prĂ©sentĂ©s dans cette partie du mĂ©moire, et dâautre part, introduire les principaux outils mĂ©thodologiques utilisĂ©s pour la rĂ©alisation de ces travaux. La procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation dynamique proposĂ©e par Molinari et Mercier (2001) est dĂ©crite, ainsi que la notion de volume Ă©lĂ©mentaire statistiquement reprĂ©sentatif introduite (dans le contexte de la rupture dynamique) par Dragon et Trumel (2003). 1. Motivations 1.1 Endommagement dynamique ductile
La rupture des matĂ©riaux ductiles implique gĂ©nĂ©ralement la nuclĂ©ation, la croissance et la coalescence de microcavitĂ©s. Les mĂ©canismes microscopiques de la rupture ductile Ă©tant assez bien identifiĂ©s, il semble assez naturel de chercher Ă dĂ©crire ce phĂ©nomĂšne Ă lâaide dâune approche multi-Ă©chelles. Une des premiĂšres Ă©tudes allant dans cette direction fut celle de Gurson (1977). Ce dernier dĂ©veloppa un modĂšle dâendommagement continu en considĂ©rant comme Volume ElĂ©mentaire ReprĂ©sentative (VER) de matĂ©riau endommagĂ© (poreux) un motif de sphĂšre creuse et en rĂ©alisant une analyse-limite de ce motif (en supposant un comportement rigide-parfaitement plastique de la matrice7). De nombreuses amĂ©liorations furent ensuite apportĂ©es Ă lâapproche proposĂ©e par Gurson afin dây inclure diffĂ©rents phĂ©nomĂšnes, tels que les changements de forme des vides, lâĂ©crouissage, lâanisotropie de la matrice ou encore la coalescence. Il existe maintenant des modĂšles dâendommagement Ă base micromĂ©canique capable de dĂ©crire de nombreux aspects de la rupture ductile sous sollicitations quasi-statiques (Benzerga et Leblond, 2010 ; Besson, 2010).
Les mécanismes de nucléation, croissance et coalescence de microvides sont aussi
observĂ©s sous sollicitations dynamiques, mĂȘme sâils peuvent intervenir de maniĂšre diffĂ©rente par rapport au cas quasi-statique, voir e.g. (Jacques et al., 2012c) concernant la coalescence. Certains auteurs ont cherchĂ© Ă appliquer lâapproche micromĂ©canique de la rupture ductile dans le cas de sollicitations dynamiques. Needleman et Tverggard (1991a,b, 1994), ainsi que Xia et Cheng (2000), utilisĂšrent une version viscoplastique du modĂšle de Gurson, Tvergaard et Needleman (GTN) tenant compte de lâĂ©chauffement adiabatique pour simuler la propagation dynamique de fissures ductiles. Le modĂšle GTN viscoplastique fut Ă©galement utilisĂ© pour traiter dâautres problĂšmes de dynamique rapide, tels que la fragmentation dâanneaux (Sorensen et Freund, 2000 ; Guduru et Freund, 2002 ; Becker, 2002) ou lâessai dâimpact de Taylor (Vadillo et al., 2008). Il convient de bien avoir Ă lâesprit que, dans le modĂšle GTN viscoplastique, la croissance des cavitĂ©s est supposĂ©e ĂȘtre contrĂŽlĂ©e par le comportement de la matrice (et bien sĂ»r par lâĂ©tat de contrainte). Si lâon excepte les travaux de Worswick et al. (1994), les modĂšles dâendommagement micromĂ©caniques de type GTN nâont quasiment pas Ă©tĂ© utilisĂ©s pour la simulation de lâendommagement sous choc (Ă©caillage), la plupart des auteurs prĂ©fĂ©rant utiliser des modĂšles dâendommagement spĂ©cifiques, dĂ©diĂ©s Ă ce problĂšme (Seaman et al., 1976 ; Perzyna, 1986 ; Rajendran et al., 1988 ; Addessio et Johnson, 1993 ;
7 MatiÚre (dense) entourant les vides dans le matériau poreux
32
Kanel et al., 1997). Dans tous ces travaux, la croissance des microcavitĂ©s et lâĂ©volution de lâendommagement en rĂ©sultant sont supposĂ©s contrĂŽlĂ©s par des effets visqueux associĂ©s Ă la sensibilitĂ© Ă la vitesse de dĂ©formation de la matrice.
Le problĂšme de la croissance dynamique dâune cavitĂ© dans une matrice viscoplastique a
Ă©tĂ© abordĂ© thĂ©oriquement dans un certain nombre dâĂ©tudes (Johnson, 1981 ; Ortiz et Molinari, 1992 ; Tong and Ravichandran, 1995 ; Wu et al., 2003a,b). A lâexception de ceux de Johnson (1981), ces travaux aboutirent tous Ă la conclusion que lâinertie joue un rĂŽle crucial dans ce problĂšme : si les effets viscoplastiques influencent les premiers instants de lâĂ©volution du vide, celle-ci est ensuite contrĂŽlĂ©e principalement par les effets dynamiques induits par lâexpansion de la cavitĂ© (que nous appellerons par la suite effets micro-inertiels). Ces rĂ©sultats soulĂšvent des questions concernant le domaine dâapplicabilitĂ© des modĂšles dâendommagement viscoplastiques qui sont couramment employĂ©s pour lâanalyse de problĂšmes de rupture dynamique. En effet, si la croissance des cavitĂ©s peut ĂȘtre fortement affectĂ©e par les effets micro-inertiels, on peut se demander sâil nâexiste pas des situations oĂč les modĂšles dâendommagement basĂ©s sur lâhypothĂšse quasi-statique8 ne sont plus appropriĂ©s.
Pour essayer de répondre à cette question, une part importante de mes travaux a portée sur
la mise au point de modĂšles micromĂ©caniques dâendommagement ductile rĂ©ellement dynamiques, c'est-Ă -dire tenant compte des effets dâinertie Ă lâĂ©chelle microscopique. Ces modĂšles ont Ă©tĂ© mis en Ćuvre pour traiter un certain nombre de problĂšmes de rupture dynamique, afin dâanalyser le rĂŽle de la micro-inertie. 1.2 Ondes de choc dans les milieux Ă bulles
Les milieux Ă bulles (liquides contenant des bulles de gaz, encore appelĂ©s liquides aĂ©rĂ©s) ont des propriĂ©tĂ©s tout Ă fait particuliĂšres (Brennen, 2005; van Wijngaarden, 2007). Par exemple, comme la compressibilitĂ© dâun tel milieu est liĂ©e principalement aux bulles de gaz et que son inertie provient du liquide, la cĂ©lĂ©ritĂ© des ondes peut y ĂȘtre trĂšs base et bien plus faible que dans chacun de ses constituant pris sĂ©parĂ©ment9. Contrairement au cas des matĂ©riaux ductiles poreux, lâimportance du rĂŽle de lâinertie microscopique (associĂ©e aux oscillations radiales des bulles) dans le comportement des liquides aĂ©rĂ©s est avĂ©rĂ©e depuis les annĂ©es 60. Les premiers travaux concernant le dĂ©veloppement de modĂšles continus de milieux Ă bulles, basĂ©s sur une analyse multi-Ă©chelles, ont Ă©tĂ© menĂ©s indĂ©pendamment par Iordanski (1960) et Kogarko (1961) en Union SoviĂ©tique, et par van Wijngaarden (1968) aux Pays-Bas. Sur cette base, il a Ă©tĂ© ensuite dĂ©montrĂ© que la structure dâune onde de choc dans un liquide aĂ©rĂ© est principalement contrĂŽlĂ©e par la dynamique des bulles (van Wijngaarden, 1970, 1972). Il est intĂ©ressant de noter que si par la suite la modĂ©lisation continue des milieux Ă bulles a Ă©tĂ© lâobjet de nombreux travaux, voir e.g. (Noordzij and van Wijngaarden, 1974 ; Drumheller et al., 1982 ; Zhang and Prosperetti, 1994 ; Watanabe and Prosperetti, 1994 ; Ando et al., 2011a), elle nâa Ă©tĂ© validĂ©e expĂ©rimentalement quâassez rĂ©cemment (Kameda et al., 1998). Avant cela, les travaux ayant visĂ© Ă comparer les rĂ©sultats de modĂšles continus de milieux Ă bulles avec des donnĂ©es expĂ©rimentales nâavait gĂ©nĂ©ralement montrĂ© quâun accord mĂ©diocre entre les deux (Drumheller et al., 1982 ; Watanabe and Prosperetti, 1994). La raison de cela fut
8 Ces modĂšles ont Ă©tĂ© Ă©tablis en supposant que le VER de matĂ©riau endommagĂ© est en Ă©quilibre statique. Mais bien sĂ»r, ils peuvent ĂȘtre employĂ©s dans le cadre de simulations dynamiques oĂč lâinertie est prise en compte Ă lâĂ©chelle macroscopique. 9 Par exemple, la vitesse du son dans de lâeau contenant une fraction volumique de 1.5 % dâair Ă tempĂ©rature et pression ambiantes nâest que de 100 m/s.
33
identifiĂ©e par Kameda et al. (1998). Ces derniers montrĂšrent quâun accord satisfaisant ne peut ĂȘtre obtenu que si lors des essais les bulles sont rĂ©parties de maniĂšre homogĂšne et rĂ©guliĂšre dans le fluide, voir Fig. 1.1. En dâautres termes, Kameda et al. (1998) mirent au grand jour que les modĂšles continus de liquides aĂ©rĂ©s disponibles dans la littĂ©rature reposent tacitement sur lâhypothĂšse dâune rĂ©partition homogĂšne des bulles au sein du liquide. Cette hypothĂšse est sans doute trĂšs limitative dans bien des cas. Il est en effet bien connu que diffĂ©rents mĂ©canismes sĂ©grĂ©gatifs peuvent agir au sein dâun milieu Ă bulles (Brennen, 2002, chap. 7). Ces mĂ©canismes peuvent par exemple ĂȘtre dus aux interactions entre dĂ©placement des bulles et Ă©coulement global du mĂ©lange (Cabalina et al., 2003). Il est aussi connu que des bulles dans un champ acoustique ont tendance Ă se regrouper et Ă former des clusters (Lauterborn et Kurz, 2010). En fait, dans la plupart des cas, un liquide aĂ©rĂ© ne va pas comporter une distribution homogĂšne et rĂ©guliĂšre de bulles, mais celles-ci vont sâorganiser de maniĂšre plus complexe, impliquant des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s locales de fraction volumique de gaz. Pour cette raison, nous avons entrepris des actions concernant la modĂ©lisation des effets dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© sur la rĂ©ponse de milieux liquide-bulles.
Fig. 1.1. Exemples de distributions de bulles observĂ©es dans les expĂ©riences de Kameda et al. (1998), rĂ©alisĂ©es Ă lâaide dâun tube Ă choc vertical. Dans le premier cas (a), nous voyons une distribution non-uniforme de bulles. Ces derniĂšres ont en effet tendance Ă se concentrer vers
le centre du tube et Ă former des amas. Le mĂ©lange observĂ© peut ĂȘtre qualifiĂ© de non-homogĂšne, dans le sens oĂč lâon peut distinguer des zones oĂč les fractions volumiques dâair
(porositĂ©s) sont diffĂ©rentes. Dans le second cas (b), les bulles sont reparties de maniĂšre rĂ©guliĂšre, quasi-pĂ©riodique au sein du liquide. Kameda et al. (1998) observĂšrent quâun accord
satisfaisant entre leurs données expérimentales et des résultats numériques basés sur un modÚle continu de milieux à bulles (reposant sur un formalisme proche de celui de van
Wijngaarden) nâest obtenu que pour des distributions de bulles trĂšs rĂ©guliĂšres, comme dans le cas (b).
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2. Outils pour la modĂ©lisation du comportement dyna mique de milieux hĂ©tĂ©rogĂšnes 2.1 Techniques dâhomogĂ©nĂ©isation en dynamique
Les mĂ©thodes dâhomogĂ©nĂ©isation ou de transition dâĂ©chelles sont maintenant des outils bien Ă©tablis et largement utilisĂ©s en mĂ©canique des matĂ©riaux et aussi en mĂ©canique des fluides. Un avantage de ces techniques est quâelles permettent de crĂ©er des liens entre comportement macroscopique et caractĂ©ristiques microstructurales. Lâendommagement ductile est un domaine oĂč lâhomogĂ©nĂ©isation a Ă©tĂ© mise en Ćuvre avec particuliĂšrement de succĂšs, voir e.g. lâarticle de revue de Benzerga et Leblond (2010). NĂ©anmoins, la plupart des outils employĂ©s en mĂ©canique des matĂ©riaux ont Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©s dans un cadre quasi-statique (le VER est supposĂ© en Ă©quilibre statique). Comme indiquĂ© prĂ©cĂ©demment, la validitĂ© de cette hypothĂšse dans le cas de problĂšmes de dynamique rapide est sujette Ă interrogations. Pour cette raison, Molinari et Mercier (2001) ont prĂ©sentĂ© un formalisme assez gĂ©nĂ©ral pour lâhomogĂ©nĂ©isation de matĂ©riaux hĂ©tĂ©rogĂšnes, tenant compte des effets dâinertie induits par les mouvements de matiĂšre internes au VER (micro-inertie). Notons que Wang et ses collaborateurs ont Ă©galement abordĂ© le problĂšme de lâhomogĂ©nĂ©isation en dynamique, mais en utilisant un formalisme diffĂ©rent (Wang, 1997 ; Wang et Jiang, 1997).
Selon Molinari et Mercier (2001), la définition classique de la contrainte macroscopique
comme la moyenne volumique de la contrainte dans le VER nâest plus appropriĂ©e en dynamique. Ils proposent la dĂ©finition suivante pour la contrainte macroscopique ÎŁ :
rr xâ+=ÎŁ ÎłÏÏ , (1.1)
oĂč les crochets dĂ©signent lâopĂ©ration de moyenne volumique sur le VER et â le produit tensoriel. Ï est la contrainte microscopique ; rx et rÎł dĂ©signent respectivement la position et
lâaccĂ©lĂ©ration dâun point du VER. Ces quantitĂ©s sont dĂ©finies dans un rĂ©fĂ©rentiel centrĂ© au niveau du centre de masse du VER et dont les axes restent parallĂšles Ă ceux dâun rĂ©fĂ©rentiel GalilĂ©en, voir aussi (Wright et Ramesh, 2008). Il est intĂ©ressant de noter que lâĂ©quation (1.1) est exacte lorsque le VER est soumis Ă des conditions de contrainte homogĂšne sur les bords. Quand le VER est Ă soumis Ă un gradient de vitesse homogĂšne sur les bords, (1.1) doit ĂȘtre vue comme une dĂ©finition. Mais dans les deux cas, ÎŁ est conjuguĂ©e avec le gradient de vitesse
macroscopique L (défini comme la moyenne volumique du gradient de vitesse
microscopique) au travers de la relation suivante, qui représente une version dynamique du lemme de Hill-Mandel :
dt
vddL
rt
2
2
1:: ÏÏ +=ÎŁ . (1.2)
Les Ă©quations (1.1) et (1.2) nous montrent que le comportement macroscopique dâun
matériau (ou fluide) hétérogÚne résultent de deux contributions. La premiÚre que nous
appellerons contrainte statique, notée staΣ , est liée au comportement des matériaux constituant
le VER. La seconde, la contrainte dynamique dynÎŁ , est de nature purement inertielle, induite
par les accélérations de la matiÚre au sein du VER. Ainsi,
dynsta ÎŁ+ÎŁ=ÎŁ . (1.3)
35
Dans le cas dâun milieu poreux, la contrainte statique peut ĂȘtre dĂ©crite par de nombreux modĂšles, dont celui de Gurson (1977) ou ses dĂ©rivĂ©s. Molinari et Mercier (2001) obtinrent une expression analytique pour la contrainte dynamique en utilisant lâĂ©quation (1.2). Pour cela, ils considĂ©rĂšrent comme VER un motif de sphĂšre creuse (volume sphĂ©rique contenant une cavitĂ© sphĂ©rique concentrique) et utilisĂšrent un champ de vitesse proche de celui de Rice et Tracey (1969) (qui fut Ă©galement utilisĂ© par Gurson (1977) pour la mise au point de son modĂšle) :
r'
rmr xLxr
bDv +
=3
, (1.4)
avec ( ) 3/tr LDm = et IDLL m' .â= , I Ă©tant le tenseur identitĂ© dâordre 2. b est le rayon
externe du motif de sphĂšre creuse et r la distance par rapport au centre de ce motif. Dans (1.4), le premier terme est associĂ© Ă lâexpansion de la cavitĂ© et le second Ă son changement de forme.
Lâexpression complĂšte de dynÎŁ peut ĂȘtre trouvĂ©e dans (Molinari et Mercier, 2001), elle a la
forme suivante :
( )f,L,LSadyn &20Ï=ÎŁ , (1.5)
oĂč le point dĂ©signe la dĂ©rivation temporelle dans un rĂ©fĂ©rentiel GalilĂ©en. Ï0 est la masse volumique de la matrice, a le rayon de la cavitĂ© et f la porositĂ©, 33 baf = . Dans le cas
général, la contrainte dynamique dynΣ est un tenseur (non-symétrique) et dépend à la fois de
mD et 'L . Cependant, nous allons par la suite considérer que les termes associés à la
croissance de la cavité (liés à mD ) sont prédominants et négliger ceux correspondant au
changement de forme (liés à 'L ). On peut alors réécrire la contrainte dynamique sous la forme
suivante :
IPdyndyn â =ÎŁ , avec
( )
ââ+= 2321232120 2
1
2
53 ---
m--
mdyn fffDf-fDaP &Ï . (1.6)
Plusieurs raisons peuvent ĂȘtre avancĂ©es pour justifier cette simplification. Tout dâabord, on peut noter que le terme associĂ© Ă mD dans le champ de vitesse (1.4) implique une forte
accentuation de la vitesse au sein du VER : la vitesse augmente lorsque lâon sâapproche de la cavitĂ© (quand r tend vers a). Ce phĂ©nomĂšne, liĂ© Ă lâhypothĂšse dâincompressibilitĂ© de la matrice, nous indique quâau sein du VER la matiĂšre va subir de fortes accĂ©lĂ©rations surtout Ă proximitĂ© des vides lors de la croissance de ceux-ci. Une seconde raison pouvant justifier la dominance des effets micro-inertiels induits par la croissance des vides par rapport Ă ceux associĂ©s au changement de forme est liĂ©e au choix du VER employĂ©. En choisissant un motif de sphĂšre creuse, nous supposons implicitement que les changements de forme des vides seront trĂšs limitĂ©s. Ainsi, il ne sera licite dâemployer le modĂšle dĂ©veloppĂ© que pour des Ă©tats de contraintes pour lesquels la croissance des cavitĂ©s sera quasi-sphĂ©rique10. Dans ce cas, le gradient de vitesse sera dominĂ© par sa composante sphĂ©rique. Il semble donc raisonnable de
négliger les termes de dynΣ induits par les changements de forme des cavités, voir aussi
(Leblond et Roy, 2000). Prise en compte de lâĂ©lasticitĂ©. Dans lâanalyse micromĂ©canique que nous venons dâĂ©voquer, les effets de lâĂ©lasticitĂ© ne sont pas pris en compte : la matrice est supposĂ©e avoir un comportement rigide-plastique et le champ de vitesse (1.4) est isochore. Comme cela est 10 Pour un matĂ©riau isotrope, cela est le cas si le taux de triaxialitĂ© des contraintes (rapport entre pression hydrostatique et contrainte Ă©quivalente de von Mises) est suffisamment Ă©levĂ© (au moins supĂ©rieur Ă lâunitĂ©).
36
souvent fait en mĂ©canique des milieux poreux, lâintroduction de lâĂ©lasticitĂ© peut ĂȘtre rĂ©alisĂ©e Ă lâĂ©chelle macroscopique en supposant une dĂ©composition additive du tenseur vitesse de dĂ©formation en une partie Ă©lastique (pouvant ĂȘtre dĂ©crite par exemple Ă lâaide dâune relation hypoĂ©lastique) et une partie plastique :
pe DDD += . (1.7)
On remplace dans les Ă©quations provenant de lâanalyse micromĂ©canique la vitesse de dĂ©formation par la vitesse de dĂ©formation plastique, par exemple pour lâĂ©quation (1.6) :
( )
ââ+= 2321232120 2
1
2
53 ---p
m--p
mdyn fffDf-fDaP &Ï . (1.8)
Nous verrons dans le chapitre 3 (§ 3), au travers de comparaisons avec des calculs par Ă©lĂ©ments finis de VER, que cette façon de faire, bien quâassez heuristique, semble donner des rĂ©sultats convenables. Remarques concernant lâĂ©quation (1.8) : âą La prise en compte des effets micro-inertiels donne naissance Ă un type de sensibilitĂ© Ă la vitesse de dĂ©formation tout Ă fait particulier. En effet, la pression dynamique ne dĂ©pend pas seulement de la vitesse de dĂ©formation plastique, mais aussi de sa dĂ©rivĂ©e par rapport au temps. Nous verrons que cette dĂ©pendance semble avoir un rĂŽle important dans des problĂšmes impliquant des phĂ©nomĂšnes de localisation de lâendommagement et de la dĂ©formation (voir chapitre 3). âą La micro-inertie induit un effet dâĂ©chelle : la pression dynamique dĂ©pend de a, le rayon du vide. En dynamique, le comportement macroscopique du matĂ©riau va dĂ©pendre de la taille du VER et non pas seulement de sa morphologie, comme câest le cas en quasi-statique. Cela signifie quâun modĂšle avec micro-inertie incorpore une dĂ©pendance Ă la longueur caractĂ©ristique de la microstructure du matĂ©riau. 2.2 Volume Ă©lĂ©mentaire statistiquement reprĂ©sentatif
Dans le cas quasi-statique, la plupart des modĂšles de matĂ©riaux poreux Ă base micromĂ©canique ont Ă©tĂ© Ă©tablis en considĂ©rant comme VER un motif morphologique unique (motif de sphĂšre creuse pour le modĂšle de Gurson et autres modĂšles basĂ©s sur lâhypothĂšse de vides sphĂ©riques, ou volume sphĂ©roĂŻdal pour les modĂšles tenant compte de la forme des cavitĂ©s, voir (Benzerga et Leblond, 2010)). Les premiĂšres Ă©tudes menĂ©es en tenant compte des effets dynamiques ont Ă©galement considĂ©rĂ© un motif de sphĂšre creuse comme VER (Carroll et Holt, 1972 ; Johnson, 1981 ; Leblond et Roy, 2000 ; Molinari et Mercier, 2001). Cependant, Ă cause de lâeffet dâĂ©chelle mis en Ă©vidence Ă la fin du paragraphe prĂ©cĂ©dent, lâutilisation dâun motif de sphĂšre creuse unique est plus discutable dans le cas dynamique que quasi-statique. La raison de cela est illustrĂ©e par la figure 1.2 qui montre une micrographie dâun matĂ©riau endommagĂ©. Nous voyons que les vides ont des tailles fort diffĂ©rentes. Comment, dans ce cas, choisir la valeur du rayon qui va dĂ©finir la taille du motif de sphĂšre creuse ? (Faut-il prendre le rayon moyen ou une autre valeur ?) Il semble Ă©galement difficile de prendre en compte la nuclĂ©ation de nouvelles cavitĂ©s en dynamique en utilisant un motif morphologique unique.
37
strain direction
200 ”m
strain direction
200 ”m200 ”m
Fig. 1.2. Micrographie montrant lâendommagement gĂ©nĂ©rĂ© lors dâun essai dâimpact de plaques en aluminium Ă 152 m/s, dâaprĂšs (Antoun et al., 2003). Des diffĂ©rences de tailles
importantes sont observées dans la population de cavités.
b
a
b
a
(a) (b)
b
a
b
a
(a) (b)
Fig. 1.3. (a) Volume élémentaire statistiquement représentatif pour la description du
comportement dynamique de milieux poreux. Le VER contient une population de cavités de différentes tailles. A chaque cavité est associé un motif de sphÚre creuse (b), dont la géométrie est définie par son rayon interne a et de son rayon externe b (ou de maniÚre équivalente par
son rayon interne a et sa porosité f).
Pour dĂ©passer les limitations associĂ©es au modĂšle de sphĂšre creuse en dynamique, Dragon et Trumel (2003) suggĂ©rĂšrent dâutiliser plutĂŽt comme VER une collection de motifs morphologiques, Fig. 1.3. Dans cette approche, le VER contient une population de vides de diffĂ©rentes tailles et un motif de sphĂšre creuse est associĂ© Ă chaque cavitĂ©. Pour dĂ©crire cette population, on peut utiliser comme variables microstructurales N, le nombre de vides par unitĂ© de volume (de matĂ©riau poreux) et w(a), la distribution statistique des tailles de vides au sein du matĂ©riau. Le nombre de vides par unitĂ© de volume dont le rayon est compris dans lâintervalle (infinitĂ©simal) [a, a+da] est alors Ă©gal Ă Nw(a)da. Notons Ă©galement que la
porosité moyenne f~
dans le VER (collection de sphÚres creuses) est liée à N et w(a) par la relation suivante11 :
daawaNf â«â
=0
3 )(3
4~ Ï . (1.9)
11 Dans ce mémoire, le tilde est utilisé pour désigner des grandeurs macroscopiques.
38
Pour complĂ©ter lâapproche, il est nĂ©cessaire de dĂ©cider comment la matiĂšre est repartie entre les diffĂ©rents motifs Ă©lĂ©mentaires, câest Ă dire de spĂ©cifier le rayon externe ou la porositĂ© locale de chaque motif. DiffĂ©rents schĂ©mas de construction sont envisageables, voir (Czarnota, 2006), on peut choisir par exemple que :
(i) Tous les motifs ont initialement le mĂȘme rayon externe (construction iso-b). (ii) La porositĂ© initiale est la mĂȘme pour tous les motifs (construction iso-f ou
homothĂ©tique12). Il est difficile de discuter les mĂ©rites relatifs de ces deux schĂ©mas de construction, mais lâon peut supposer que le premier (iso-b) est peut ĂȘtre assez bien adaptĂ© au cas de vides Ă©quidistants. Concernant le second (iso-f), il repose sur lâhypothĂšse selon laquelle la prĂ©sence dâun vide dans le matĂ©riau va gĂ©nĂ©rer Ă lâĂ©chelle microscopique une zone de perturbations des champs de vitesse, dâaccĂ©lĂ©ration et de dĂ©formation dont la taille est proportionnelle au rayon de ce vide. Notons que la plupart des modĂšles micromĂ©caniques dâendommagement ductile, dĂ©veloppĂ©s dans le cadre quasi-statique, reposent Ă©galement sur cette hypothĂšse. En effet, ces modĂšles ont gĂ©nĂ©ralement Ă©tĂ© mis au point en considĂ©rant comme VER un motif morphologique unique. Cela revient Ă supposer que la « zone dâinfluence » dâune cavitĂ© est proportionnelle Ă sa taille. Notons que, si cette hypothĂšse est appropriĂ©e dans de nombreux cas, elle ne permet pas de dĂ©crire certaines interactions complexes pouvant survenir entre cavitĂ©s de tailles trĂšs diffĂ©rentes (Perrin et Leblond, 1990 ; Leblond, 2003, chap. 10).
Un autre choix de modĂ©lisation doit ĂȘtre fait concernant le schĂ©ma dâhomogĂ©nĂ©isation utilisĂ© pour obtenir le comportement macroscopique du VER. Dans nos travaux, deux schĂ©mas assez simples, que nous avons nommĂ©s schĂ©ma D et schĂ©ma ÎŁ, ont Ă©tĂ© utilisĂ©s :
(i) Pour le schéma D, la vitesse de déformation plastique macroscopique13 p
D~
est appliqué
Ă lâensemble des motifs Ă©lĂ©mentaires, pp DD
~= . La contrainte macroscopique ÎŁ~ est
alors obtenue par moyenne volumique sur lâensemble des motifs :
( ) ( ) ( )
( ) ( )â«
â«â
â
ÎŁ
=ÎŁ
0
3
0
3
~
daawab
daawaab
. (1.9)
La contrainte ( )aÎŁ au niveau de chaque motif incorpore une composante statique et
dynamique, voir Eq. (1.3). Par consĂ©quent, au niveau macroscopique, la contrainte sera Ă©galement la somme dâun terme statique et dynamique.
(ii) Dans le schéma Σ, la contrainte macroscopique Σ~ est appliquée sur la frontiÚre
extĂ©rieure de tous les motifs et la vitesse de dĂ©formation macroscopique est dĂ©finie comme la moyenne volumique sur lâensemble des motifs (par une formule similaire Ă 1.9).
12 Car, dans ce cas, chaque motif est homothĂ©tique par rapport Ă un autre. 13 Dans le cas gĂ©nĂ©ral, câest plutĂŽt un gradient de vitesse qui devrait ĂȘtre appliquĂ© aux motifs Ă©lĂ©mentaires. Mais, pour toutes les applications considĂ©rĂ©es dans ce mĂ©moire, nous avons utilisĂ© la formulation simplifiĂ©e de la
contrainte dynamique, Eq. (1.8), qui ne fait intervenir que pmD .
39
Remarques : âą Dans le cas des milieux Ă bulles, le choix du schĂ©ma ÎŁ semble prĂ©fĂ©rable dans la mesure oĂč la pression est homogĂšne dans un liquide au repos (en absence dâefforts volumiques ou Ă une Ă©chelle suffisamment petite). âą On peut se demander pourquoi une formulation quasi-statique (1.9) est utilisĂ©e pour la seconde Ă©tape dâhomogĂ©nĂ©isation (passage du niveau des motifs Ă©lĂ©mentaires Ă lâĂ©chelle macroscopique). En fait, dans lâapproche utilisĂ©e, le VER est assez « pauvrement » dĂ©fini. Nous nâavons quâune information statistique sur les tailles de vides, la gĂ©omĂ©trie exacte du VER et donc la rĂ©partition de masse en son sein nâest pas connue. Par consĂ©quent, il nâest pas possible dâutiliser une autre formulation que (1.9) sans dâhypothĂšse complĂ©mentaire concernant le VER. En outre, si nous supposons que les effets micro-inertiels sont induits par les fortes accĂ©lĂ©rations subies par la matiĂšre Ă proximitĂ© immĂ©diate des cavitĂ©s, ils ont lieu Ă lâintĂ©rieur des motifs Ă©lĂ©mentaires (et sont donc pris en compte lors de la premiĂšre Ă©tape dâhomogĂ©nĂ©isation). âą Nous avons tentĂ© dâappliquer la notion de volume Ă©lĂ©mentaire statistiquement reprĂ©sentative pour dĂ©crire les effets dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de fraction volumique de gaz dans milieux Ă bulles. Cette tentative sâest avĂ©rĂ©e infructueuse. Les raisons de cela seront discutĂ©es dans le chapitre 4.
41
Chapitre 2 : ModĂ©lisation de lâendommagement sous-c hoc (Ă©caillage)
1. Introduction
Lors dâun impact Ă grande vitesse entre deux solides, des ondes de choc (compressives) sont gĂ©nĂ©rĂ©es au niveau de la surface de contact entre ces solides. La rĂ©flexion dâune de ces ondes sur une surface libre peut causer lâapparition de contraintes de traction de forte amplitude au sein de lâun des solides et la rupture de celui-ci (Antoun et al., 2003 ; Kanel, 2010). Ce phĂ©nomĂšne est appelĂ© Ă©caillage car il peut conduire Ă la formation et mĂȘme Ă lâĂ©jection dâune Ă©caille au niveau de la surface du solide, Fig. 2.1. En laboratoire, lâĂ©caillage est gĂ©nĂ©ralement Ă©tudiĂ© Ă lâaide dâessais dâimpact de plaques, Fig. 2.2. Dans ces derniers, il est possible de faire varier la sollicitation subie par le matĂ©riau en jouant sur la vitesse dâimpact et sur les Ă©paisseurs des Ă©prouvettes. Il convient de noter certaines spĂ©cificitĂ©s liĂ©es Ă ces essais :
(i) Dans une grande partie de lâĂ©prouvette, la matiĂšre est sollicitĂ©e en dĂ©formation uniaxiale.
(ii) Les pressions de choc gĂ©nĂ©rĂ©es peuvent ĂȘtre bien supĂ©rieures Ă la limite Ă©lastique des matĂ©riaux testĂ©s. Pour cette raison, les essais dâimpact de plaques impliquent des Ă©tats de contraintes avec un trĂšs fort taux de triaxialitĂ©, typiquement compris entre 6 et 10.
(iii) La matiĂšre subie des chargements extrĂȘmement rapides. Dans le plan dâĂ©caillage (Fig. 2.2-b), la contrainte de traction peut augmenter Ă des vitesses comprises entre 10 et 100 GPa/”s.
Dans ce chapitre, un modĂšle multi-Ă©chelles pour dĂ©crire lâendommagement ductile sous
choc est prĂ©sentĂ©. Bien sĂ»r, ce modĂšle tient compte des effets dâinertie liĂ©s Ă la croissance des vides. Un autre point important de la modĂ©lisation est la description de la nuclĂ©ation des cavitĂ©s, qui repose sur une approche statistique. La validation expĂ©rimentale du modĂšle, sur la base de donnĂ©es de la littĂ©rature, sera Ă©galement abordĂ©e.
Fig. 2.1. Ecaillage dâune plaque dâaluminium impactĂ©e par une bille en verre Ă 6 km/s,
dâaprĂšs (Eftis et al., 2003). Cette vue dâune coupe de la plaque montre le cratĂšre crĂ©Ă© par lâimpact de la bille et Ă©galement lâĂ©caille formĂ©e au niveau de la surface infĂ©rieure sous lâeffet
de la rĂ©flexion de lâonde de choc gĂ©nĂ©rĂ©e au moment de lâimpact.
42
ImpacteurImpacteur
V i
CibleCible
VISAR
(a) (b)
t0
(c)
V i=185 m/s Vi=212 m/s V i=306 m/s
ImpacteurImpacteur
V i
CibleCible
VISAR
(a) (b)
t0
(c)
V i=185 m/s Vi=212 m/s V i=306 m/s
Fig. 2.2. Essais dâimpact de plaques. (a) Exemple de configuration couramment utilisĂ©e faisant intervenir deux Ă©prouvettes cylindriques (impacteur et cible). Le diamĂštre des
éprouvettes est généralement choisi bien supérieur à leurs épaisseurs afin que la matiÚre soit sollicitée en déformation uniaxiale dans la partie centrale des éprouvettes (à proximité de
lâaxe de symĂ©trie). Un dispositif de type VISAR peut ĂȘtre utilisĂ© pour mesurer lâĂ©volution de la vitesse au niveau de la surface libre de la cible. (b) Diagramme illustrant la propagation des ondes au niveau de lâaxe de symĂ©trie des Ă©prouvettes lors de lâessai, dâaprĂšs Czarnota (2006).
Au moment de lâimpact (t0), des ondes compressives sont gĂ©nĂ©rĂ©es et se propagent dans les plaques. La rĂ©flexion de ces ondes sur les surfaces libres de lâimpacteur et de la cible gĂ©nĂšre des ondes de dĂ©tente. La rencontre de celles-ci au niveau du plan dâĂ©caillage va conduire Ă lâapparition de contraintes de traction pouvant causer lâendommagement et la rupture du
matĂ©riau. (c) Micrographies montrant lâendommagement de plaques de tantale pour diffĂ©rentes vitesses dâimpact, dâaprĂšs Roy (2003).
2. PrĂ©sentation du modĂšle 2.1 NuclĂ©ation et croissance des cavitĂ©s SpĂ©cificitĂ©s de la nuclĂ©ation de vides sous trĂšs hautes pressions. Pour les problĂšmes classiques de rupture ductile (pour lesquels la triaxialitĂ© des contraintes T reste infĂ©rieure Ă 3), la nuclĂ©ation de nouveaux vides lors de la dĂ©formation du matĂ©riau est souvent induite par des phĂ©nomĂšnes de rupture ou de dĂ©cohĂ©sion au niveau dâinclusions. Lors de lâĂ©caillage, les mĂ©canismes et les sites de nuclĂ©ation des cavitĂ©s sont diffĂ©rents. En effet, le nombre de vides par unitĂ© de volume dans le matĂ©riau endommagĂ© est gĂ©nĂ©ralement supĂ©rieur au nombre potentiel dâinclusions par unitĂ© de volume (Antoun et al., 2003). Cela signifie que les vides sont nuclĂ©Ă©s au niveau dâautres sites que les inclusions, Ă une Ă©chelle plus fine. Les
43
particularitĂ©s de la nuclĂ©ation sous choc ont Ă©tĂ© illustrĂ©es de maniĂšre trĂšs claire par les expĂ©riences de Roy (2003). Ce dernier a Ă©tudiĂ© les mĂ©canismes dâendommagement dâun tantale polycristallin de haute puretĂ©. Il a rĂ©alisĂ© pour cela des essais de traction sur des Ă©prouvettes axisymĂ©triques lisses et entaillĂ©es (0.33 < T < 1), pour des vitesses de dĂ©formation comprises entre 10-4 et 1000 s-1. Dans ce cas, aucune trace dâendommagement ductile ne fut observĂ©e. Du fait de sa grande puretĂ©, le tantale considĂ©rĂ© ne contenait quasiment aucune inclusion. Pour cette raison, aucun vide nâĂ©tait nuclĂ©Ă© durant la dĂ©formation, le matĂ©riau restait dense et la rupture des Ă©prouvettes survenait par striction ultime. Roy (2003) rĂ©alisa Ă©galement des essais dâimpact de plaques pour la mĂȘme nuance de tantale (T â 10). Lors de ces essais, le mĂ©canisme dâendommagement observĂ© Ă©tait de nature ductile, avec la nuclĂ©ation et la croissance de trĂšs nombreux micro-vides, Fig. 2.2-c. Cela montre que les fortes contraintes de traction qui apparaissent lors des essais dâimpact de plaques sont capables de causer la nuclĂ©ation de vides Ă partir dâautres dĂ©fauts que des inclusions. Comme ces sites de nuclĂ©ation sont gĂ©nĂ©ralement invisibles lors dâobservations en microscopie optique, certains auteurs parlent de nuclĂ©ation homogĂšne. Personnellement, je ne suis pas sĂ»r que ce terme soit trĂšs appropriĂ© car les matĂ©riaux solides, en particulier les mĂ©taux polycristallins, sont toujours hĂ©tĂ©rogĂšnes Ă une certaine Ă©chelle. Dâailleurs, certaines Ă©tudes expĂ©rimentales rĂ©centes montre la forte corrĂ©lation entre certains paramĂštres microstructuraux (comme la taille de grain) et le dĂ©veloppement de lâendommagement (Kanel, 2010). Des travaux thĂ©oriques basĂ©s sur des mĂ©thodes de dynamique molĂ©culaire (Belak, 1998 ; Dremov et al., 2006 ; Kuksin et al., 2010) semblent aussi montrer que la nuclĂ©ation des vides se fait au niveau de sites privilĂ©giĂ©s : dans un polycristal, les vides se forment surtout au niveau des joints de grain, mais peuvent aussi apparaitre Ă lâintĂ©rieur des grains au niveau de dĂ©fauts dâempilement du rĂ©seau cristallin et de prĂ©cipitĂ©s. ModĂ©lisation de la nuclĂ©ation. Comme nous venons de le voir, la nuclĂ©ation de vides sous choc fait intervenir des mĂ©canismes, ayant lieu Ă une Ă©chelle trĂšs fine, qui sont loin dâĂȘtre entiĂšrement compris. En outre, la nuclĂ©ation est fortement influencĂ©e par des Ă©lĂ©ments microstructuraux difficilement caractĂ©risables (la microstructure dâun matĂ©riau nâest jamais connue entiĂšrement). Pour ces raisons, dans lâapproche que nous proposons, un point de vue statistique est adoptĂ©. Pour comprendre ce modĂšle, il faut avoir en tĂȘte la notion de pression critique de cavitation. ConsidĂ©rons le problĂšme idĂ©alisĂ© dâune cavitĂ© isolĂ©e au sein dâune matrice infinie ayant un comportement Ă©lastoplastique, soumise Ă une pression hydrostatique (traction) augmentant lentement au cours du temps. Il est bien connu que dans ce cas la prĂ©sence de cavitĂ© va devenir instable lorsque la pression va atteindre un certain seuil appelĂ© pression critique de cavitation ou de nuclĂ©ation (Huang et al., 1991). Lorsque cette pression critique est atteinte, la cavitĂ© commence une phase de croissance instable (contrĂŽlĂ©e par les effets dâinertie) et trĂšs rapide. Durant cette phase, la croissance de la cavitĂ© induit une restitution dâĂ©nergie Ă©lastique qui est supĂ©rieure Ă lâĂ©nergie dissipĂ©e par dĂ©formation plastique. Dans un matĂ©riau homogĂšne, la pression de cavitation a une valeur unique, dĂ©pendant uniquement14 des propriĂ©tĂ©s rhĂ©ologiques de la matrice. Par exemple, pour une matrice incompressible et en absence dâĂ©crouissage, la pression critique de cavitation Pc est donnĂ©e par (Huang et al., 1991)
+=
00 3
2ln1
3
2
ÏÏ E
Pc , (2.1)
oĂč E et Ï0 sont respectivement le module dâYoung et la limite Ă©lastique de la matrice.
14 Ceci est vrai si lâon suppose que la matrice est un milieu continu « standard » (basĂ© sur la thĂ©orie du premier gradient). Avec un milieu continu gĂ©nĂ©ralisĂ©, dont le comportement dĂ©pend des gradients de dĂ©formation, la pression critique sera aussi fonction de la taille initiale de la cavitĂ© (Wu et al., 2003c).
44
Nous supposons que le phĂ©nomĂšne dâinstabilitĂ© de cavitation survient Ă©galement dans un
matĂ©riau hĂ©tĂ©rogĂšne, mais en Ă©tant influencĂ© par la microstructure du matĂ©riau. Il semble en effet raisonnable de penser que les mĂ©canismes de cavitation vont ĂȘtre affectĂ©s par la nature du site Ă partir duquel le vide va croitre, ainsi que par son voisinage (orientation des grains adjacents, prĂ©sence de contraintes rĂ©siduellesâŠ). Par consĂ©quent, la pression de cavitation nâaura pas une valeur unique, mais va varier dâun site Ă lâautre. Cela implique que les vides vont ĂȘtre nuclĂ©Ă©s graduellement lorsque la pression appliquĂ© au matĂ©riau augmente. Ce type de comportement a dĂ©jĂ Ă©tĂ© observĂ© expĂ©rimentalement, certaines Ă©tudes montrant clairement une forte augmentation du nombre de vides par unitĂ© de volume en fonction du niveau de contrainte atteint (Antoun et al., 2003 ; Roy, 2003).
Nous allons maintenant prĂ©senter le modĂšle utilisĂ© pour dĂ©crire la nuclĂ©ation de cavitĂ©s dans un matĂ©riau hĂ©tĂ©rogĂšne. ConsidĂ©rons un VER de ce matĂ©riau. Initialement, aucune cavitĂ© nâest prĂ©sente dans ce VER (la porositĂ© initiale est nulle), mais celui-ci contient une population de sites potentiels de nuclĂ©ation Ă partir desquels les vides vont se former lorsque le matĂ©riau sera sollicitĂ© (Fig. 2.3-a). Chacun de ces sites est caractĂ©risĂ© par sa pression de nuclĂ©ation Pc. La nature exacte de ces sites nâĂ©tant pas connue, un point de vue statistique est adoptĂ© : nous introduisons une fonction de densitĂ© de probabilitĂ© ( )cPw pour dĂ©crire les
variations de pression de nucléation au sein du matériau (Molinari et Wright, 2005). Par la suite, nous utiliserons la fonction de Weibull :
occoccocc
c PPpourPPPP
Pw â„
ââ
â=â ÎČÎČ
ηηηÎČ
exp)(1
,
occc PPpour Pw â€= 0)( . (2.2)
Cette fonction dĂ©pend de trois paramĂštres : ÎČ, η et Poc. Ce dernier reprĂ©sente une pression seuil dâinitiation de lâendommagement. Lâexistence dâun tel seuil est supportĂ©e par plusieurs Ă©tudes expĂ©rimentales (Antoun et al., 2003 ; Roy, 2003). Il est dâailleurs intĂ©ressant de noter que Wu et al. (2003b) ont observĂ© que, pour de nombreux matĂ©riaux, la pression seuil dâinitiation de lâendommagement mesurĂ©e expĂ©rimentalement est assez proche de la pression critique de cavitation homogĂšne calculĂ©e Ă partir des propriĂ©tĂ©s macroscopiques de la matrice.
Le nombre de vides par unité de volume de matrice Nc est donné par
â«=maxP
ccTmaxc dPPwNPN
~
0
)()~
( , (2.3)
oĂč maxP~
est la valeur maximale atteinte par la pression macroscopique15 et NT est le nombre
total de sites potentiels de nuclĂ©ation par unitĂ© de volume de matrice. Par commoditĂ©, nous avons pris lâhabitude dâexprimer cette quantitĂ© en fonction dâun paramĂštre b0 reprĂ©sentant une distance caractĂ©ristique entre sites de nuclĂ©ation : ( )3
043 bNT Ï= . (2.4)
15 Dans le modĂšle proposĂ©, la nuclĂ©ation de cavitĂ©s est pilotĂ©e par la pression macroscopique. Il sâagit sans doute dâune hypothĂšse assez forte. Il semble en effet Ă©vident que de fortes variations de contrainte ont lieu Ă lâĂ©chelle de la microstructure dâun matĂ©riau endommagĂ©. Par consĂ©quent, la pression locale au niveau des sites de nuclĂ©ation peut ĂȘtre diffĂ©rente de la pression macroscopique. Selon certains auteurs, les hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de pression sont susceptibles dâinfluer sur le processus de nuclĂ©ation (Roy, 2003 ; Trumel et al., 2009).
45
Pour rĂ©aliser les simulations numĂ©riques, la distribution continue des pressions de nuclĂ©ation (2.2) est discrĂ©tisĂ©e. Pour cela, lâintervalle de pression de nuclĂ©ation nous
intéressant [ ]*~, PPoc ( *~
P Ă©tant un majorant de la valeur maximale de pression attendue lors
dâune simulation) est divisĂ© en un nombre nf de sous-intervalles de taille âP. A chaque sous-intervalle est associĂ©e une famille de sites de nuclĂ©ation, identifiĂ©e par un indice i et caractĂ©risĂ©e par une pression de nuclĂ©ation ciP , prise Ă©gale Ă la valeur mĂ©diane du sous-
intervalle, et par le nombre de ces sites par unité de volume de matrice Ni :
Pi
PP occi ââ+=2
12, (2.5)
)2/â()2/â( PPNPPNN ciccici ââ+= . ( fni â€â€1 ) (2.6)
Sites potentiels de nucléation
Vides nucléés à partir de sites de nucléation
(a)
Motifs élémentaires utilisés pour décrire la croissance des vides nucléés
(b)Sites potentiels de nucléation
Vides nucléés à partir de sites de nucléation
(a)
Motifs élémentaires utilisés pour décrire la croissance des vides nucléés
(b)
Fig. 2.3. Illustration de lâapproche utilisĂ©e pour dĂ©crire la nuclĂ©ation et la croissance de cavitĂ©s sous choc. (a) Le VER contient des sites potentiels de nuclĂ©ation. Un vide est nuclĂ©Ă© au
niveau dâun site lorsque la pression macroscopique dĂ©passe la pression de nuclĂ©ation de ce site. (b) Pour dĂ©crire la croissance des vides nuclĂ©Ă©s, un motif de sphĂšre creuse est associĂ© Ă
chaque famille de vides. Croissance des cavitĂ©s. Lorsquâune nouvelle famille de sites de nuclĂ©ation est activĂ©e (i.e.
quand la pression macroscopique, ( ) 3/~~ Σ= trP , dépasse ciP ), un motif de sphÚre creuse est
associĂ© Ă cette famille pour dĂ©crire la croissance des vides. Au moment de la nuclĂ©ation, le rayon du vide ai et sa vitesse dâexpansion ia& sont Ă©gaux Ă zĂ©ro. Le nombre de familles de
vides actives et donc le nombre de motifs Ă©lĂ©mentaires associĂ©s Ă chaque point matĂ©riel varient au cours du temps. Lors de lâactivation dâune nouvelle famille, le volume de matrice est redistribuĂ© entre les motifs de sphĂšres creuses de telle façon que le rayon externe bi soit, Ă cet instant, le mĂȘme pour tous les motifs (schĂ©ma de construction iso-b). Pour lier la rĂ©ponse des motifs Ă©lĂ©mentaires au comportement macroscopique du matĂ©riau, nous considĂ©rons ici le schĂ©ma dâhomogĂ©nĂ©isation de type ÎŁ
16 (voir chapitre prĂ©cĂ©dent), c'est-Ă -dire que la contrainte macroscopique est appliquĂ©e sur la frontiĂšre externe de tous les motifs. En outre, compte tenu des trĂšs forts niveaux de triaxialitĂ© des contraintes rencontrĂ©s dans les problĂšmes dâĂ©caillage, nous nĂ©gligeons lâeffet des contraintes dĂ©viatoriques sur la croissance des cavitĂ©s. Avec ces hypothĂšses, la croissance des vides est contrĂŽlĂ©e par lâĂ©quation suivante :
16 Le schéma de type D a également été considéré, mais ne sera pas discuté dans ce chapitre. Pour une comparaison entre les résultats des deux schémas, le lecteur peut se reporter à (Czarnota et al., 2008).
46
( ) ( )
+â+â+= 34312310 3
1
3
41
2
31,
~iiiiiiiistat ffafaaffPP &&&& Ï , (2.7)
avec fi la porosité locale au niveau du motif associé à la famille i, iii baf = . Dans cette
Ă©quation, le second terme du membre de droite est une pression dynamique (cette derniĂšre est identique Ă celle donnĂ©e par lâĂ©quation (1.8), mais a Ă©tĂ© rĂ©Ă©crite en utilisant la relation
aafD pm &= ). La pression statique statP est définie comme le minimum entre la pression de
nucléation du site et une pression viscoplastique donnée par le modÚle GTN : ( )viscocistatic PPP ,min= avec
( )iiyi
visco fqqP Î”Î”Ï &,
1ln
3
2
12
= . (2.8)
yÏ est la contrainte dâĂ©coulement de la matrice et iΔ la dĂ©formation Ă©quivalente effective de
la matrice au sein du motif i, voir (Czarnota et al., 2008) pour lâexpression de cette quantitĂ©.
1q et 2q sont les paramÚtres du modÚle GTN. La définition de statP peut sembler arbitraire,
mais est motivĂ©e par certains Ă©lĂ©ments. Tout dâabord, il est Ă©vident quâau moment de la nuclĂ©ation du vide, statP doit ĂȘtre Ă©gale Ă la pression de cavitation. Dâautre part, on peut se dire
que lorsque la porositĂ© au sein du motif aura atteint une valeur significative (de sorte que toute la matrice se dĂ©forme plastiquement), le comportement du motif pourra ĂȘtre dĂ©crit de maniĂšre appropriĂ©e par un modĂšle de milieu poreux de type GTN. 2.2 Comportement macroscopique Equation dâĂ©tat. Lors du passage dâune onde de choc, un matĂ©riau peut subir une forte compression, accompagnĂ©e par un changement de volume Ă©lastique pouvant approcher 10%. Dans de telles conditions, la rĂ©ponse Ă©lastique du matĂ©riau va manifester un comportement non-linĂ©aire. Pour dĂ©crire cela, nous avons utilisĂ© une Ă©quation dâĂ©tat de Mie-Gruneisen, modifiĂ©e afin de tenir du couplage avec lâendommagement (Jacques et al., 2010). La pression macroscopique est donnĂ©e par :
( ) me
e
e EÎÎ
s
kP
~2
11
~~
000
2ÏÏ
ÏÏ
â
+
+= . (2.9)
Dans cette Ă©quation, 0Î et s sont des paramĂštres. eÏ est un changement de volume Ă©lastique
dĂ©fini comme la diffĂ©rence entre le changement de volume total du matĂ©riau Ï et celui induit par le dĂ©veloppement des microvides pÏ :
pe ÏÏÏ â= avec ( ) 1~
det â= FÏ et 3
13
4i
n
iip aN
a
â=
= ÏÏ , (2.10)
oĂč na est le nombre de familles de vides actives et F~
est le tenseur gradient de la
transformation macroscopique. Nous avons tenu compte de lâeffet de lâendommagement sur le
module de compressibilité k~
en utilisant la formule de Mackenzie (1958), modifiée par Johnson (1981) :
( )00
00
4~
3
4~1
~
””+
â=fk
fkk , (2.11)
k0 et ”0 Ă©tant respectivement le module de compressibilitĂ© et de cisaillement du matĂ©riau sain. La porositĂ© macroscopique peut ĂȘtre calculĂ©e par
47
3
1
3
1
~i
n
iii
n
ii bNaNf
aa
ââ==
= . (2.12)
LâĂ©nergie interne par unitĂ© de masse mE~
est donnée par
m
t
m KdÏDE~~
:~
~1~
0
âÎŁ= â« Ï, (2.13)
Ï~ Ă©tant la masse volumique du matĂ©riau endommagĂ© et mK~
lâĂ©nergie cinĂ©tique par unitĂ© de
masse associĂ©e Ă lâinertie microscopique :
( )31
1
23 12~
i
n
i
iiim faaNKa
â=â=
&Ï . (2.14)
Comportement dĂ©viatorique et critĂšre de rupture. A lâĂ©chelle macroscopique, le comportement dĂ©viatorique du matĂ©riau est de type Ă©lasto-viscoplastique. La fonction de plasticitĂ© suivante est utilisĂ©e :
( ) ( ) 0,~~1
~
2/1 =ââ
Σ=Ί pp
y
c
eqd ΔΔ
ff&Ï . (2.15)
eqÎŁ~ est la contrainte Ă©quivalente au sens de von Mises du tenseur des contraintes
macroscopiques et pΔ est la déformation plastique équivalente associée à dΊ . cf~
est un
paramĂštre du modĂšle appelĂ© porositĂ© critique. Ce paramĂštre est Ă©galement utilisĂ© comme critĂšre de rupture lors des simulations : nous supposons que la rupture complĂšte dâun point matĂ©riel survient lorsque la porositĂ© moyenne dans le VER atteint cette porositĂ© critique.
Dans la modĂ©lisation proposĂ©e, il nây a pas de couplage entre comportement sphĂ©rique et dĂ©viatorique. La fonction dΊ fait certes intervenir la porositĂ©, mais lâĂ©volution de cette
derniĂšre (au travers des mĂ©canismes de nuclĂ©ation et de croissance de cavitĂ©s) est pilotĂ©e uniquement par la pression hydrostatique. Cette approche dĂ©couplĂ©e nâest appropriĂ©e que pour des Ă©tats de contraintes avec une trĂšs haute triaxialitĂ©. Le modĂšle dâendommagement proposĂ© ici ne doit donc pas ĂȘtre considĂ©rĂ© comme un modĂšle « gĂ©nĂ©raliste », mais comme un modĂšle dĂ©diĂ© Ă la simulation numĂ©rique de problĂšmes dâĂ©caillage. Un modĂšle adaptĂ© Ă des Ă©tats de contraintes de plus basse triaxialitĂ© sera prĂ©sentĂ© dans le prochain chapitre. 3. Simulations numĂ©riques dâessais dâimpact de plaq ues et comparaison Ă lâexpĂ©rience 3.1 Evolutions temporelles de vitesse en face arriĂšre
Le modĂšle de comportement et dâendommagement proposĂ© a Ă©tĂ© implantĂ© dans le code de calculs par Ă©lĂ©ments finis ABAQUS/Explicit. Certains dĂ©tails concernant les mĂ©thodes numĂ©riques utilisĂ©es peuvent ĂȘtre trouvĂ©s dans (Czarnota et al., 2008). Nous avons simulĂ© les essais dâimpact de plaques qui ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©s par Roy (2003) et par Lin et al. (2004) pour du tantale (polycristallin). La procĂ©dure qui a Ă©tĂ© adoptĂ©e pour dĂ©terminer les paramĂštres du modĂšle est dĂ©crite en dĂ©tails dans (Jacques et al., 2010). Nous noterons simplement que la
48
plupart des paramĂštres peuvent ĂȘtre identifiĂ©s Ă lâaide dâessais indĂ©pendants17. Seuls trois paramĂštres, qui caractĂ©risent la population des sites potentiels de nuclĂ©ation (η, ÎČ et b0, voir Eqs. (2.2) et (2.4)), ne peuvent pas ĂȘtre dĂ©terminĂ©s directement. Il est nĂ©cessaire de les identifier par analyse inverse en les ajustant pour que les rĂ©sultats des simulations reproduisent avec fidĂ©litĂ© des mesures de vitesses expĂ©rimentales. Les courbes de vitesses qui ont Ă©tĂ© utilisĂ©es pour lâidentification de ces paramĂštres, correspondant Ă trois essais menĂ©s pour diffĂ©rentes vitesses dâimpact, et les rĂ©sultats numĂ©riques associĂ©s sont prĂ©sentĂ©s par la figure 2.4-a. LâĂ©tude de Roy (2003) comportait Ă©galement des mesures obtenues en utilisant des impacteurs ayant des Ă©paisseurs diffĂ©rentes. Ces essais ont Ă©tĂ© simulĂ©s numĂ©riquement afin de valider la modĂ©lisation, voir Fig. 2.4-b. Comme nous le voyons, un excellent accord entre les rĂ©sultats numĂ©riques et expĂ©rimentaux est observĂ©.
Nous avons Ă©galement considĂ©rĂ© les rĂ©sultats des essais dâimpact de plaques qui ont Ă©tĂ©
rĂ©alisĂ©s par Lin et al. (2004) pour des vitesses dâimpact allant jusquâĂ 705 m/s. Pour la simulation de ces essais, nous nâavons pas modifiĂ© les paramĂštres matĂ©riaux identifiĂ©s prĂ©cĂ©demment. La figure 2.5 montre que, dans ce cas encore, les rĂ©sultats des simulations concordent tout Ă fait avec les rĂ©sultats expĂ©rimentaux.
time ( )
velo
city
()
0 1 2 3 4 50
100
200
300
400
500 modelexperimental data (Roy, 2003)ââââââââ
m/s
”s
1
3
2
V =212imp
V =412imp
V =306imp
1
3
2
m/s
m/sm/s
time ( )
velo
city
()
0 1 2 3 4 50
100
200
300
400 modelexperimental data (Roy, 2003)ââââââââ
m/s
”s
13 2
V =303imp1
2
t =4i m/smmV =306impt =3i m/smm
3 V =307impt =2i m/smm
(a) (b)
time ( )
velo
city
()
0 1 2 3 4 50
100
200
300
400
500 modelexperimental data (Roy, 2003)ââââââââ
m/s
”s
1
3
2
V =212imp
V =412imp
V =306imp
1
3
2
m/s
m/sm/s
time ( )
velo
city
()
0 1 2 3 4 50
100
200
300
400 modelexperimental data (Roy, 2003)ââââââââ
m/s
”s
13 2
V =303imp1
2
t =4i m/smmV =306impt =3i m/smm
3 V =307impt =2i m/smm
(a) (b)
Fig. 2.4. Comparaison entre les mesures de vitesse de surface libre effectuées par Roy (2003)
et les rĂ©sultats de simulations numĂ©riques. (a) Essais rĂ©alisĂ©s pour diffĂ©rentes vitesses dâimpact. (b) Essais rĂ©alisĂ©s avec diffĂ©rentes Ă©paisseurs dâimpacteur pour une vitesse dâimpact dâenviron 300 m/s. Voir (Jacques et al., 2010) pour plus de dĂ©tails sur les
configurations considérées.
17 Par exemple, les paramĂštres liĂ©s au comportement viscoplastique du matĂ©riau intact ont Ă©tĂ© identifiĂ©s Ă partir dâessais de compression rĂ©alisĂ©s par Roy (2003) Ă lâaide de barres dâHopkinson.
49
time ( )
velo
city
()
0 0.5 1 1.5 20
200
400
600
800 model
experimental data (Lin et al., 2004)ââââââââ
m/s
”s
1
2
V =705imp
V =522imp
1
2
m/s
m/s
Fig. 2.5. Comparaison entre les mesures de vitesse de surface libre effectuées par Lin et al. (2004) et des résultats de simulations numériques. Voir (Jacques et al., 2010) pour plus de
détails sur les configurations considérées. 3.2 Endommagement au sein des éprouvettes impactées
En plus des mesures de profils de vitesse, Roy (2003) a rĂ©alisĂ© des observations trĂšs fines de lâĂ©tat dâendommagement des Ă©prouvettes Ă lâissue des essais dâimpact. Pour cela, il a effectuĂ© des coupes transversales des plaques et mesurĂ© le rayon de chaque vide visible dans le plan de coupe. A partir de ces donnĂ©es, il est possible de tracer la distribution statistique des tailles de vides au sein des Ă©prouvettes. Le modĂšle qui est proposĂ© permet Ă©galement dâobtenir ce type dâinformation. En effet, au niveau de chaque Ă©lĂ©ment du maillage, nous avons accĂšs au rayon des vides des diffĂ©rentes familles, ainsi quâĂ leur nombre par unitĂ© de volume. En combinant ces donnĂ©es pour lâensemble des Ă©lĂ©ments, nous pouvons construire la distribution statistique des tailles de vides dans lâĂ©prouvette. NĂ©anmoins, des prĂ©cautions particuliĂšres doivent ĂȘtre prises pour comparer les rĂ©sultats expĂ©rimentaux et numĂ©riques. En effet, les donnĂ©es fournies par les simulations correspondent Ă la distribution des vides prĂ©sents dans le volume de lâĂ©prouvette, tandis que les donnĂ©es expĂ©rimentales correspondent aux cavitĂ©s qui ont Ă©tĂ© observĂ©es dans un plan de coupe. Pour tenir compte des conditions expĂ©rimentales lors de comparaisons entre essais et calculs, nous avons mis au point une procĂ©dure numĂ©rique de type Monte-Carlo permettant de convertir les distributions volumiques que fournissent les simulations en des distributions « de plan de coupe ». Le principe de cette procĂ©dure est le suivant : un vide est positionnĂ© alĂ©atoirement au sein dâun volume correspondant Ă celui examinĂ© lors des expĂ©riences. Le rayon de ce vide est lui aussi tirĂ© alĂ©atoirement, mais en respectant la distribution volumique de tailles de vides. Connaissant la position et le rayon du vide, on peut dĂ©terminer si celui-ci est intersectĂ© ou pas par le plan de coupe (Fig. 2.6). Si câest le cas, on garde en mĂ©moire son rayon. Ce tirage alĂ©atoire (position et rayon) est rĂ©pĂ©tĂ© un grand nombre de fois (10 millions de fois). Ensuite, avec les valeurs des rayons des vides qui Ă©taient intersectĂ©s par le plan de coupe, une nouvelle distribution statistique est construite. La figure 2.7 montre une distribution expĂ©rimentale obtenue par Roy (2003), la distribution volumique prĂ©dite par une simulation de cet essai et la distribution « de plan de coupe » correspondante. Nous voyons que la distribution volumique et celle « de plan de coupe » ont des allures trĂšs diffĂ©rentes. Cela sâexplique par le fait que la probabilitĂ© quâune cavitĂ© soit intersectĂ©e par le plan de coupe est dâautant plus faible que son rayon est petit. Pour cette raison, les petits vides sont peu observĂ©s dans le plan de coupe. Lorsque la distribution « de
50
plan de coupe » est considérée, nous observons un bon accord avec les données de Roy (2003).
Volume of material
Cutting plane
Voids included in the cutting plane distribution
Voids not included in the cutting plane distribution
Volume of material
Cutting plane
Voids included in the cutting plane distribution
Voids not included in the cutting plane distribution
Fig. 2.6. Illustration de la procédure permettant de convertir une distribution statistique de tailles de vides présents dans un volume en une distribution de tailles de vides observés dans
un plan de coupe. Une génération aléatoire de vides dans le volume est effectuée. La distribution « de plan de coupe » est ensuite construite à partir de la taille des cavités
intersectées par le plan de coupe.
radius ( )
dens
ity(
)
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.005
0.01
0.015
0.02 volume
experimental data (Roy, 2003)
-1
”m
cutting plane
”m
Fig. 2.7. Distribution statistique de tailles de vides dans une éprouvette de tantale impactée à 212 m/s. Comparaison entre des données expérimentales obtenues par Roy (2003) et des
résultats de simulations. Voir (Jacques et al., 2010) pour plus de détails sur la configuration considérée.
La figure 2.8 montrent lâĂ©volution du rayon moyen des vides en fonction de la vitesse
dâimpact, prĂ©vue par la modĂ©lisation et observĂ©e expĂ©rimentalement. Dans les deux cas, une forte dĂ©croissance du rayon moyen avec la vitesse dâimpact apparait. Si la tendance expĂ©rimentale est correctement prĂ©dite par le modĂšle, nous observons nĂ©anmoins que les rĂ©sultats numĂ©riques sont plus Ă©loignĂ©s des mesures pour les vitesses dâimpact les plus Ă©levĂ©es. Nous attribuons cela au changement de mĂ©canisme de coalescence mis en Ă©vidence par Roy (2003) : alors que la coalescence survient aux vitesses dâimpact les plus faibles Ă un stade trĂšs avancĂ© de lâendommagement au travers dâun mĂ©canisme dâempiĂ©tement gĂ©omĂ©trique, des fissures reliant les vides apparaissent dans le cas de trĂšs fortes vitesses. Ce
51
phĂ©nomĂšne nâest pas pris en compte dans la modĂ©lisation, oĂč la rupture du matĂ©riau est supposĂ©e avoir lieu lorsque la porositĂ© atteint une valeur critique, identique pour toutes les simulations.
impact velocity ( )
mea
nvo
idra
dius
()
0 200 400 600 800 10000
20
40
60
80
100
120
modelexperimental data (Roy, 2003)
”m
m/s Fig. 2.8. Evolution du rayon moyen des cavitĂ©s en fonction de la vitesse dâimpact.
distance from the spall plane ( )
poro
sity
-1 -0.5 0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
mm
free surface
model
experimental data (Roy, 2003)
V =212imp m/s
Fig. 2.9. Evolution de la porositĂ© au travers de lâĂ©paisseur dâune Ă©prouvette de tantale impactĂ©e Ă 212 m/s.
La figure 2.9 montre lâĂ©volution de la porositĂ© au travers de lâĂ©paisseur dâune Ă©prouvette
impactĂ©e Ă 212 m/s. La largeur de la zone fortement endommagĂ©e est correctement prĂ©vue par les simulations. Il faut noter que la courbe numĂ©rique correspond Ă des rĂ©sultats obtenus aprĂšs une Ă©tude de convergence du maillage. Il est bien connu que lâutilisation de modĂšles dâendommagement cause gĂ©nĂ©ralement des problĂšmes de localisation pathologique (illimitĂ©e) de lâendommagement et de la dĂ©formation : lâendommagement tend Ă se concentrer dans une zone dâĂ©paisseur nulle rendant, impossible la convergence des rĂ©sultats vis-Ă -vis du maillage (Bazant et Belytschko, 1985 ; Forest et Lorentz, 2004). Dans le cas quasi-statique, la suppression de ce problĂšme requiert gĂ©nĂ©ralement dâavoir recours Ă des modĂšles non-locaux,
52
voir e.g. (Leblond et al., 1994 ; Enakoutsa et al., 2007, 2009) pour le cas de la rupture ductile. Comme nous le verrons dans le chapitre suivant, la prise en compte des effets micro-inertiels gĂ©nĂšre un effet rĂ©gularisant pour les problĂšmes dynamiques et Ă©vite la dĂ©pendance pathologique des rĂ©sultats par rapport au maillage (Jacques et al., 2012a). La bonne corrĂ©lation entre rĂ©sultats expĂ©rimentaux et numĂ©riques observĂ©e Ă la figure 2.9 suggĂšre que, pour le cas considĂ©rĂ©, lâeffet rĂ©gularisant de la micro-inertie est suffisant pour dĂ©crire de maniĂšre satisfaisante le phĂ©nomĂšne de localisation de lâendommagement. 3.3 Discussion
Un modĂšle destinĂ© Ă dĂ©crire lâendommagement et la rupture de matĂ©riaux mĂ©talliques ductiles soumis Ă des sollicitations hautement dynamiques a Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©. Une comparaison des rĂ©sultats numĂ©riques avec des donnĂ©es expĂ©rimentales de la littĂ©rature a Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©e pour tester les capacitĂ©s prĂ©dictives de ce modĂšle. Les donnĂ©es qui ont Ă©tĂ© considĂ©rĂ©es sont des profils temporels de vitesse et des observations de lâĂ©tat de lâendommagement (tailles des vides et rĂ©partition de porositĂ©) dans les Ă©prouvettes impactĂ©es. Il est Ă©vident quâil nâexiste pas de validation dĂ©finitive dâun modĂšle (on ne peut pas exclure quâil puisse exister dâautres donnĂ©es expĂ©rimentales qui le mettraient en dĂ©faut). Nous pensons cependant que lâaccord observĂ© avec les diffĂ©rentes grandeurs considĂ©rĂ©es constitue un rĂ©sultat trĂšs encourageant, tendant Ă accrĂ©diter les hypothĂšses sur lesquelles repose la modĂ©lisation (en particulier le rĂŽle de lâinertie microscopique). En effet, il est sans doute possible de reproduire les profils de vitesse avec un modĂšle qui reposerait sur des hypothĂšses erronĂ©es, mais il est probablement beaucoup plus difficile de dĂ©crire Ă©galement lâĂ©tat dâendommagement dans le matĂ©riau. Pour illustrer ces propos, nous allons supposer que nous altĂ©rions intentionnellement le modĂšle en remplaçant la valeur de la masse volumique 0Ï intervenant dans lâĂ©quation dĂ©crivant la
croissance des vides (2.7) par une autre valeur 00Ë Î»ÏÏ = (cela revient Ă considĂ©rer un modĂšle
dans lequel les effets de micro-inertie ne sont pas correctement pris en compte). Est-il possible avec ce modĂšle (erronĂ©) de reproduire les profils de vitesse expĂ©rimentaux avec la mĂȘme prĂ©cision que le modĂšle correct en adoptant un autre jeu de paramĂštres ? La rĂ©ponse Ă cette question est affirmative, car le modĂšle altĂ©rĂ© donne les mĂȘmes rĂ©sultats numĂ©riques que le modĂšle initial si lâon remplace la valeur b0 de la distance caractĂ©ristique entre sites de nuclĂ©ation, voir Eqs. (2.3) et (2.4), par λ00
Ë bb = . Comme le paramĂštre b0 ne peut ĂȘtre
obtenu que par analyse inverse, nous voyons quâune comparaison avec des profils de vitesse expĂ©rimentaux ne permet pas Ă elle seule de discriminer un modĂšle de lâautre. ConsidĂ©rons Ă prĂ©sent les tailles de vides obtenues avec le modĂšle erronĂ©. Ce dernier (toujours en prenant
λ00Ë bb = ) conduit Ă des tailles de vides divisĂ©es par λ comparativement aux rĂ©sultats du
modĂšle initial. Par consĂ©quent, la distribution de tailles de vides quâil prĂ©voit nâest plus en accord avec les donnĂ©es expĂ©rimentales. Cette observation nous semble trĂšs importante, car elle montre que la validitĂ© dâune modĂ©lisation micromĂ©canique de lâendommagement ne peut pas ĂȘtre Ă©tablie uniquement sur la base de ses capacitĂ©s prĂ©dictives en termes de profils de vitesse (donnĂ©es liĂ©es Ă la rĂ©ponse macroscopique du matĂ©riau). Une validation plus poussĂ©e nĂ©cessite de prendre Ă©galement en compte des observations microscopiques quantifiant la nature et le niveau dâendommagement.
53
Chapitre 3 : Modélisation de la propagation dynamiq ue de fissures ductiles
1. Introduction
Dans le chapitre prĂ©cĂ©dent, le problĂšme de lâendommagement sous choc a Ă©tĂ© abordĂ©. Les rĂ©sultats obtenus semblent indiquer que ce phĂ©nomĂšne est fortement affectĂ© par les effets micro-inertiels. Un autre problĂšme pouvant impliquer des sollicitations suffisamment intense pour que le rĂŽle de lâinertie microscopique soit important est la propagation dynamique de fissures ductiles. En effet, dâaprĂšs certaines Ă©tudes (Freund et al., 1986 ; Siegmund et Needleman, 1997 ; Xia et Cheng, 2000), des vitesses de dĂ©formation de lâordre de 105 s-1 sont atteintes Ă proximitĂ© de la pointe de fissure, avec en outre des taux de triaxialitĂ© des contraintes relativement Ă©levĂ©s (de lâordre de 2 Ă 3). Ce type de sollicitation est susceptible de gĂ©nĂ©rer des croissances trĂšs rapides de cavitĂ©s. Glennie (1972) proposa un modĂšle analytique pour dĂ©crire la propagation dynamique de fissures ductiles, dans lequel la croissance des cavitĂ©s est dĂ©crite par une version dynamique du modĂšle de Rice et Tracey (1969). La modĂ©lisation proposĂ©e par Glennie (1972) est, de son propre aveu, trĂšs simplifiĂ©e ; elle nâinclut par exemple pas de couplage entre le dĂ©veloppement de lâendommagement et le champ de contrainte en pointe de fissure. Les rĂ©sultats quâil obtint suggĂšrent cependant que les effets dâinertie associĂ©s Ă la croissance des vides pourraient avoir une influence significative sur les vitesses de propagation de fissures. MalgrĂ© cela, les travaux menĂ©s par la suite sur la simulation et lâanalyse de la propagation dynamique de fissures ductiles reposent tous, Ă notre connaissance, sur lâutilisation de modĂšles dâendommagement viscoplastiques, nĂ©gligeant la contribution inertielle (Needleman et Tverggard, 1991a,b, 1994 ; Xia et Cheng, 2000).
Un des principaux objectifs de ce chapitre est dâĂ©tudier le rĂŽle de lâinertie microscopique
lors de la propagation dynamique de fissures ductiles. Pour cela, un nouveau modĂšle de comportement et dâendommagement a Ă©tĂ© mis au point. Par rapport au modĂšle dĂ©crit dans le chapitre prĂ©cĂ©dent, celui-ci tient compte de lâeffet des contraintes dĂ©viatoriques sur lâĂ©volution de lâendommagement. Cela Ă©tait nĂ©cessaire car les problĂšmes de propagation de fissures nâimpliquent pas des taux de triaxialitĂ© des contraintes aussi Ă©levĂ©s que lâĂ©caillage. Aussi, les variables internes utilisĂ©es pour dĂ©crire lâendommagement sont diffĂ©rentes. Lorsque les effets micro-inertiels sont pris en compte, il nâest plus possible dâutiliser la seule porositĂ© comme variable dâendommagement ; des informations concernant les tailles de vides sont nĂ©cessaires. Le modĂšle prĂ©sentĂ© dans le chapitre prĂ©cĂ©dent impliquait un nombre de variables internes trĂšs important car le rayon des vides de chaque famille Ă©tait utilisĂ© comme variable dâendommagement. Dans ce chapitre, nous montrerons quâil est possible sous certaines hypothĂšses de dĂ©crire lâĂ©tat dâendommagement (en tenant compte de lâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© des tailles des vides dans le matĂ©riau) Ă lâaide de seulement trois variables internes. 2. ModĂšle dâendommagement dynamique 2.1 VER, procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation et comportement macroscopique
Le VER utilisĂ© est constituĂ© dâune collection de motifs de sphĂšres creuses (Fig. 1.3). Nous supposons que la porositĂ© f est la mĂȘme au niveau de tous les motifs (schĂ©ma de construction
54
homothĂ©tique, voir chap. 1, § 2.2). ConsidĂ©rons pour lâinstant que nous connaissons le nombre de cavitĂ©s par unitĂ© de volume de matĂ©riau poreux N et la distribution statistique de tailles de vides w(a). Nous rappelons que la porositĂ© moyenne dans le VER est liĂ©e Ă ces deux grandeurs par la relation (1.9). La contrainte ÎŁ au niveau de chaque motif est la somme dâune
contribution statique et dynamique :
IPdynsta â +ÎŁ=ÎŁ , (3.1)
oĂč Pdyn est dĂ©finie par lâĂ©quation (1.8). Une version viscoplastique du modĂšle de Gurson, Tvergaard et Needleman (GTN) est utilisĂ©e pour dĂ©crire la contrainte statique ; la surface de plasticitĂ© est :
( )2121 1
2
3cosh2 fqqfq
stam
staeq ââ
ÎŁ+
Σ=Ί
ÏÏ, (3.2)
avec ( ) 2:3 stastastaeq SS=ÎŁ , ( ) 3/tr stasta
m ÎŁ=ÎŁ et Istam
stasta â ÎŁâÎŁ=S . Ï reprĂ©sente la
contrainte dâĂ©coulement de la matrice. Celle-ci est supposĂ©e dĂ©pendre de la vitesse de
dĂ©formation effective de la matrice Δ& , de la dĂ©formation cumulĂ©e correspondante dtâ«= ΔΔ & et
de la tempĂ©rature T : ( )T,,ΔΔÏÏ &= . Nous noterons que le modĂšle de coalescence introduit par
Tvergaard et Needleman (1984), basĂ© sur lâutilisation dâune porositĂ© fictive âf , nâa pas Ă©tĂ© utilisĂ© ici. Ce modĂšle a Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ© sur la base de rĂ©sultats de simulations quasi-statiques de VER de matĂ©riaux poreux Ă microstructure pĂ©riodique. Nous avons rĂ©cemment menĂ© des simulations numĂ©riques de ce type pour le cas dynamique (Jacques et al., 2012c). Les rĂ©sultats obtenus montrent que les mĂ©canismes de coalescence peuvent ĂȘtre assez diffĂ©rents sous sollicitations dynamiques, comparativement au cas quasi-statique. Il a Ă©tĂ© en particulier observĂ© que lâinertie peut considĂ©rablement retarder la striction des ligaments inter-vides, et mĂȘme parfois la supprimer (la coalescence intervient dans ce cas par un mĂ©canisme dit dâempiĂštement gĂ©omĂ©trique, aussi observĂ© expĂ©rimentalement (Curran et al., 1987 ; Roy, 2003 ; Venkert et al., 2001)). Cela soulĂšve de sĂ©rieux doutes concernant lâapplicabilitĂ© du modĂšle de coalescence de Tvergaard et Needleman (1984) Ă des problĂšmes dynamiques.
Le comportement macroscopique du VER est obtenu Ă lâaide du schĂ©ma dâhomogĂ©nĂ©isation de type D. Cela signifie que la vitesse de dĂ©formation plastique
macroscopique est appliquĂ©e Ă lâensemble des motifs Ă©lĂ©mentaires, pp DD
~= . La contrainte
macroscopique est la somme dâune composante statique et dynamique :
IPdynstaâ +ÎŁ=ÎŁ ~~~
. (3.3)
La vitesse de dĂ©formation plastique et la porositĂ© ont (par hypothĂšse) la mĂȘme valeur au niveau de tous les motifs de sphĂšres creuses. Comme le modĂšle GTN (3.2) nâincorpore aucun
effet dâĂ©chelle, la contrainte statique staÎŁ est identique pour tous les motifs et est Ă©gale Ă la
valeur macroscopique, stastaÎŁ=ÎŁ~ . Cela implique que la contrainte statique macroscopique
staΣ~ vérifie le critÚre GTN (3.2).
La pression dynamique dynP~
est quant à elle donnée par la relation suivante (Jacques et al., 2012) :
( )
ââ+= 2321232120
~
2
1~
2
5~3
~~~~~~ ---pm
-pm
dyn fffDf-fDaP -&Ï avec
55
( )
( )â«
â«â
â
=
0
3
0
5
2~
daawa
daawa
a . (3.4)
Comme nous le voyons, lâutilisation combinĂ©e dâune construction de VER iso-f et dâun schĂ©ma dâhomogĂ©nĂ©isation de type D (voir chap. 1, § 2.2) conduit Ă une loi de comportement ayant une forme remarquablement simple. En effet, la contrainte au niveau macroscopique a la la mĂȘme forme que pour un seul motif de sphĂšre creuse. Toute lâinformation concernant la distribution des tailles de vides au sein du matĂ©riau est condensĂ©e dans le rayon effectif a~ .
LâĂ©lasticitĂ© du matĂ©riau est prise en compte Ă lâĂ©chelle macroscopique en supposant une dĂ©composition additive du tenseur taux de dĂ©formation en parties plastique et Ă©lastique :
pe
DDD~~~ += . (3.5)
La partie plastique est donnĂ©e par la loi dâĂ©coulement associĂ©e au modĂšle GTN :
sta
pHD
ÎŁâΊâ= ~
~, 0â„H , 0â€ÎŠ , 0=Ίâ H . (3.6)
La relation suivante est utilisée pour décrire le comportement élastique :
( )
â â
++
=ÎŁâ
IDDE ee ~
tr21
~1
~Μ
ΜΜ
, (3.7)
oĂč â
Σ~ est la dérivée objective de Green-Nagdhi du tenseur des contraintes de Cauchy (une
autre dĂ©rivĂ©e objective pourrait tout aussi bien ĂȘtre utilisĂ©e). E et Îœ sont respectivement le module dâYoung et le coefficient de Poisson (supposĂ©s constants). 2.2 Variables internes et lois dâĂ©volution associĂ©es
Comme mentionnĂ© prĂ©cĂ©demment, la prise en compte de la micro-inertie fait quâil nâest plus possible dâutiliser uniquement la porositĂ© comme variable dâendommagement. En effet, la pression dynamique (3.4) dĂ©pend de la distribution de tailles de vides dans le matĂ©riau w(a). On pourrait craindre de prime abord quâil soit nĂ©cessaire de mettre Ă jour cette distribution durant les simulations afin de dĂ©crire proprement les effets micro-inertiels. Cependant, comme lâeffet de la distribution des rayons des vides nâintervient quâau travers du rayon effectif a~ (3.4), il nâest en fait pas nĂ©cessaire de travailler avec la distribution complĂšte ; on peut Ă la place utiliser un petit nombre de variables internes qui permettent de calculer a~ . Nous proposons dâutiliser trois variables dâendommagement :
1) La porosité f~
. 2) Le nombre de vides par unitĂ© de volume (de matĂ©riau poreux) N. 3) Si tous les vides avaient le mĂȘme rayon, ces deux variables seraient suffisantes. En effet, le
rayon des vides est dans ce cas Ă©gal Ă ( )3 Nf 34~ Ï . Dans le cas oĂč les vides nâont pas la
mĂȘme taille, il est nĂ©cessaire dâintroduite une troisiĂšme variable. Celle-ci, notĂ©e c et appelĂ©e coefficient dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de tailles de vides, est dĂ©finie par :
3
5
a
ac = , (3.8)
oĂč ak (avec k=3 ou k=5) est une quantitĂ© que nous appellerons kĂšme rayon caractĂ©ristique de la distribution de tailles de vides, donnĂ©e par
56
kk
k daawaa â«â
=0
)( . (3.9)
Notons que a3 peut ĂȘtre calculĂ© Ă partir de la porositĂ© et du nombre de vides par unitĂ© de volume par la relation suivante (voir Eq. (1.9)) :
33 34
~
N
fa
Ï= . (3.10)
Ainsi, le rayon effectif a~ peut ĂȘtre exprimĂ© en fonction des trois variables dâendommagement :
325
34
~~
N
fca
Ïâ = / . (3.11)
Nous allons maintenant Ă©tablir les lois dâĂ©volution associĂ©es Ă ces trois variables internes.
En lâabsence de nuclĂ©ation de cavitĂ©s, lâĂ©volution du nombre de vides par unitĂ© de volume N peut ĂȘtre obtenue Ă partir de lâhypothĂšse dâincompressibilitĂ© de la matrice, qui conduit Ă la relation suivante (Jacques et al., 2012a) :
pmDN-N
~3 â =& . (3.12)
Si de nouveaux vides sont nuclĂ©Ă©s lors de la dĂ©formation du matĂ©riau, une contribution supplĂ©mentaire va intervenir dans lâĂ©quation donnant lâĂ©volution de N :
nupm NDN-N && +â = ~
3 . (3.12b)
DiffĂ©rents modĂšles pourraient ĂȘtre utilisĂ©s pour dĂ©crire le terme de nuclĂ©ation nuN& . Les
problĂšmes de propagation de fissures nâimpliquent pas des trĂšs forts niveaux de pression hydrostatique comme les problĂšmes de choc. Pour cette raison, nous pensons que la nuclĂ©ation de cavitĂ©s va ĂȘtre principalement induite par la rupture et la dĂ©cohĂ©sion dâinclusions. MĂȘme si certaines Ă©tudes suggĂšrent que ce phĂ©nomĂšne dĂ©pend Ă la fois des niveaux de dĂ©formation plastique et de contrainte (Lee et Mear, 1999 ; Needleman, 1987 ; Shabrov et al., 2002), nous nous limitons ici Ă un modĂšle de nuclĂ©ation contrĂŽlĂ© par la dĂ©formation plastique. Nous inspirant des travaux de Chu et Needleman (1980), le taux de nuclĂ©ation est Ă©crit sous la forme suivante :
( ) ( )ΔΔ && AfNnu
~1â= avec
ââ=2
21
exp2
)(N
N
N
N
s
e
s
NA
ΔÏ
Δ . (3.13)
NN, eN et sN sont des paramĂštres du modĂšle. Le terme ( )f~
1â a Ă©tĂ© introduit pour tenir compte du fait que les nouveaux vides sont nuclĂ©Ă©s uniquement Ă partir de la matrice. Nous supposons que la taille des cavitĂ©s nuclĂ©Ă©es est Ă©gale Ă celle des inclusions leur donnant naissance. Nous introduisons wnu(a), la distribution statistique des tailles des inclusions18.
18 Notons quâen Ă©crivant que wnu(a) est fonction uniquement de la taille des vides, nous supposons tacitement quâil nây a pas de lien entre la taille dâune inclusion et la dĂ©formation plastique pour laquelle la nuclĂ©ation de la cavitĂ© survient. Il convient cependant de noter que les simulations micromĂ©caniques de Needleman (1987) mirent en Ă©vidence un effet de la taille des inclusions : les petites inclusions ont une plus grande rĂ©sistance Ă la dĂ©cohĂ©sion que les grandes (pour des propriĂ©tĂ©s dâinterface matrice-inclusion donnĂ©es). Ce phĂ©nomĂšne pourrait ĂȘtre pris en compte en incluant une dĂ©pendance Ă la dĂ©formation plastique de la forme );( awnu Δ .
57
En nĂ©gligeant le changement de volume de la matrice, lâĂ©volution de la porositĂ© est donnĂ©e par (Leblond, 2003)
( )Ω
+â = nupmDf-f
Ï&& ~~13
~, (3.14)
oĂč nuÏ& est le volume de vide crĂ©Ă© par unitĂ© de temps par la nuclĂ©ation de nouveaux vides et Ω
est le volume total de matĂ©riau poreux. Ces quantitĂ©s sont liĂ©es au taux de nuclĂ©ation nuN& et Ă
la distribution de tailles des inclusions wnu(a) par la relation suivante :
nununu Na && 3
33
4ÏÏ =Ω
, (3.15)
oĂč a3nu est le 3Ăšme rayon caractĂ©ristique de la distribution de tailles dâinclusions (voir Eq. 3.9). LâĂ©quation (3.14) peut ainsi ĂȘtre rĂ©Ă©crite sous la forme suivante :
( ) nunupm NaDf-f && 3
33
4~~13
~ Ï+â = . (3.14b)
La mise en place de lâĂ©quation donnant lâĂ©volution du coefficient dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de tailles
de vides est un peu plus dĂ©licate. Commençons par Ă©tablir une loi dâĂ©volution pour le rayon caractĂ©ristique ak (3.9). ConsidĂ©rons pour cela un intervalle de temps infinitĂ©simal ],[ dttt + .
A la fin de cet intervalle, il existe deux types de vides dans le matĂ©riau : ceux dĂ©jĂ prĂ©sents Ă lâinstant t (qui ont grossi par dĂ©formation plastique de la matrice) et ceux qui ont Ă©tĂ© nuclĂ©Ă©s pendant lâintervalle. Par consĂ©quent, la distribution de tailles de vides Ă t+dt peut ĂȘtre Ă©crite sous la forme suivante :
)()(1);( * awN
dNaw
N
dNadttw nu
nunu +
â=+ avec
dtNdN nunu&= . (3.15)
w*(a) correspond aux vides dĂ©jĂ prĂ©sents Ă lâinstant t. A cause de la croissance des cavitĂ©s, w*(a) nâest pas identique Ă );( atw . LâĂ©volution du rayon dâune cavitĂ© est donnĂ©e par (Czarnota et al., 2006)
f
Daa
pm
~
~=& . (3.16)
En utilisant cette expression, il est possible de relier la valeur du rayon dâun vide Ă lâinstant t+dt et celle Ă lâinstant t :
)()( taBdtta â =+ avec dtf
Dd
f
DB
pm
dtt
t
pm
~
~1~
~exp +â
= â«
+
Ï (3.17)
Cette relation permet dâĂ©tablir que (Jacques et al., 2012a)
=B
atw
Baw* ;
1)( . (3.18)
Le kĂšme rayon caractĂ©ristique de w*(a), voir Eq. (3.9), peut donc ĂȘtre exprimĂ© par
)(~
~1)( tadt
f
DtaBa k
pm
k*k â
+ââ = . (3.19)
En considĂ©rant lâĂ©quation (3.15), on peut montrer le rayon caractĂ©ristique ak (3.9) Ă lâinstant t+dt est donnĂ© par
( ) ( ) ( )kknunuk*
knuk
k aN
dNa
N
dNdtta +
â=+ 1)( , (3.20)
58
knua Ă©tant le kĂšme rayon caractĂ©ristique de la distribution de tailles dâinclusions wnu(a). En
considĂ©rant la limite de cette expression quand dt tend vers zĂ©ro, lâĂ©quation diffĂ©rentielle suivante, dĂ©crivant lâĂ©volution de ak, peut ĂȘtre obtenue aprĂšs quelques calculs :
+â+=
N
N
a
a
kf
Daa nu
k
k
knupm
kk
&& 1
1~
~. (3.21)
On peut Ă lâaide de cette expression Ă©crire la loi dâĂ©volution pour le coefficient dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de tailles de vides (3.8) sous la forme suivante :
â
â â +=
3
3
3
5
3
3
3
1
5
1
15
2
a
a
ac
ac
N
Ncc nunununu&
& avec nu
nunu a
ac
3
5= . (3.22)
LâĂ©quation (3.22) dĂ©pend de deux paramĂštres19, a3nu et a5nu qui sont liĂ©s Ă la taille des inclusions prĂ©sentes dans le matĂ©riau. Il est intĂ©ressant de noter que lâĂ©volution du coefficient dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de tailles de vides est liĂ©e Ă la nuclĂ©ation de nouveaux vides : c reste constant si le taux de nuclĂ©ation est nul.
De maniĂšre classique, la loi dâĂ©volution de la dĂ©formation plastique effective de la matrice est obtenue en utilisant la notion de dissipation plastique Ă©quivalente :
( ) pstaDf~
:~~
1 ÎŁ=â Î”Ï & . (3.23)
En nĂ©gligeant les Ă©changes thermiques par conduction et en supposant quâune partie fixe du travail plastique est convertie en chaleur, lâĂ©volution de la tempĂ©rature de la matrice est donnĂ©e par lâĂ©quation suivante : ΔÏÎČÏ &&
TQTC =00 . (3.24)
avec C0 la capacitĂ© calorifique massique de la matrice et TQÎČ le coefficient de Taylor-
Quinney. 2.2 Remarques concernant la mise en Ćuvre numĂ©rique du modĂšle
Le modĂšle de comportement et dâendommagement qui vient dâĂȘtre prĂ©sentĂ© a Ă©tĂ© intĂ©grĂ© dans le code de calculs par Ă©lĂ©ments finis ABAQUS/Explicit. Les aspects liĂ©s aux techniques numĂ©riques employĂ©es ne seront par dĂ©crits en dĂ©tails ici. Nous prĂ©cisons nĂ©anmoins que la mise au point dâun algorithme efficace pour lâintĂ©gration numĂ©rique des Ă©quations du modĂšle nâa pas Ă©tĂ© sans difficultĂ©. DiffĂ©rentes mĂ©thodes ont Ă©tĂ© testĂ©es et, Ă ce jour, celle constituant le meilleur compromis entre robustesse, temps de calculs et simplicitĂ© de programmation est un algorithme semi-implicite de type prĂ©dicteur-correcteur, inspirĂ© des travaux dâAravas (1987)
et de Enakoutsa et al. (2007). Dans cet algorithme, les variables dâendommagement (f~
, N et c), ainsi que la tempĂ©rature T, sont traitĂ©es explicitement. Le fonctionnement de lâalgorithme requiert la rĂ©solution dâun systĂšme de trois Ă©quations dont les inconnues sont la partie
sphérique du tenseur vitesse de déformation plastique )(
~tt
pmD â+ , un scalaire associĂ© Ă la partie
dĂ©viatorique de ce mĂȘme tenseur ( ) 3~
:~
2~
)()()(
ttp'
ttp'
tt
peq DDD â+â+
â+= et la vitesse de
dĂ©formation effective de la matrice )( tt â+Δ& . La dĂ©rivĂ©e par rapport au temps de la vitesse de
19 Nous rappelons que a3 peut ĂȘtre calculĂ© Ă partir de la porositĂ© et du nombre de vides par unitĂ© de volume grĂące Ă lâEq. (3.10).
59
déformation plastique volumique, nécessaire pour le calcul de la pression inertielle, est estimée par une formule de différence finie :
)()()(
)(
~1~~
~t
pm
tpmtt
pm
ttpm D
t
DDD &&
ΞΞ
Ξââ
ââ â
= â+â+ , (3.25)
oĂč tâ est le pas de temps et Ξ est un paramĂštre devant ĂȘtre compris entre 0 et 1. Afin de contrĂŽler la prĂ©cision de lâintĂ©gration numĂ©rique, en particulier concernant les variables traitĂ©es explicitement, une stratĂ©gie de sous-incrĂ©mentation a Ă©tĂ© employĂ©e. Cela signifie que le pas de temps utilisĂ© pour lâintĂ©gration de la loi de comportement peut ĂȘtre infĂ©rieur au pas de temps global de la simulation. La taille du pas de temps local est dĂ©terminĂ©e afin que lâaugmentation de porositĂ© sur ce pas reste infĂ©rieure Ă une certaine tolĂ©rance.
Le traitement de la rupture est rĂ©alisĂ© par une technique de suppression dâĂ©lĂ©ments : lorsque la porositĂ© au niveau dâun Ă©lĂ©ment20 atteint une valeur critique, cet Ă©lĂ©ment est rendu inactif (il ne contribue plus au calcul du vecteur des forces internes). Cette façon de faire peut sembler assez sommaire. Cependant, nous avons observĂ© que les rĂ©sultats des simulations ne dĂ©pendent pas trop de la valeur de porositĂ© critique utilisĂ©e (Jacques et al., 2012b). 3. Comparaison avec des simulations micromĂ©caniques par Ă©lĂ©ments finis
Afin de proposer une premiĂšre validation du modĂšle qui vient dâĂȘtre dĂ©crit, des calculs dynamiques par Ă©lĂ©ments finis dâun VER de matĂ©riau poreux Ă microstructure pĂ©riodique ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©s. Nous prĂ©cisons que ces simulations ne fournissent quâune validation trĂšs partielle de la modĂ©lisation proposĂ©e, car elles portent sur un cas oĂč les vides sont dĂ©jĂ prĂ©sents initialement et ont la mĂȘme taille.
Les simulations ont Ă©tĂ© faites avec le code de calculs ABAQUS/Explicit. Nous avons considĂ©rĂ© un modĂšle axisymĂ©trique contenant une cavitĂ© initialement sphĂ©rique (Fig. 3.1). Il est connu que ce type de modĂšle reprĂ©sente approximativement un matĂ©riau dans lequel les vides sont positionnĂ©s sur un rĂ©seau hexagonal (Tvergaard, 1982). Initialement, la hauteur et la largeur du domaine de calcul sont identiques et Ă©gaux Ă 361.7 ”m et le rayon de la cavitĂ© est de 22 ”m, donnant une porositĂ© de 1.5Ă10-4. Le maillage est constituĂ© de 2085 Ă©lĂ©ments Ă 4 nĆuds avec interpolation bi-linĂ©aire et intĂ©gration rĂ©duite (appelĂ©s CAX4R dans la documentation ABAQUS) et de 15 triangles linĂ©aires (CAX3). La mĂ©thode de maillage adaptif dâABAQUS a Ă©tĂ© utilisĂ©e afin de limiter la distorsion des Ă©lĂ©ments dans zone situĂ©e Ă proximitĂ© du bord de la cavitĂ©. Dans les simulations, la cellule est soumise Ă un Ă©tat de dĂ©formation uniaxiale : le dĂ©placement radial est fixĂ© Ă zĂ©ro sur les bords latĂ©raux du domaine et une vitesse verticale est prescrite sur le bord supĂ©rieur. Dans la plupart des calculs, lâĂ©volution temporelle de cette vitesse est telle que la cellule subisse une vitesse de dĂ©formation macroscopique constante, mais une simulation a aussi Ă©tĂ© menĂ©e pour une vitesse de dĂ©formation variable.
20 Dans toutes les simulations, des éléments à intégration réduite comportant un seul point de Gauss ont été employés.
60
VV
Fig. 3.1. ModĂšle axisymĂ©trique dâun matĂ©riau poreux Ă microstructure pĂ©riodique. Les conditions aux limites symbolisĂ©es sur le dessin correspondent Ă une sollicitation en
déformation uniaxiale. Le matériau constituant la matrice a un comportement élasto-viscoplastique décrit par la
thĂ©orie du J2 ; sa contrainte dâĂ©coulement est donnĂ©e par la relation suivante :
( ) ( ) ( )T
m
nAT ÎœÎžÎ”Î”Î”Î”Î”Î”Ï â
++= 11,,
00
&
&& avec
refm
ref
TT
TT
ââ
=Ξ . (3.26)
LâĂ©chauffement induit par la dĂ©formation plastique est pris en compte en considĂ©rant des conditions adiabatiques et le modĂšle de Taylor-Quinney, Eq. (3.24). Les paramĂštres suivants, reprĂ©sentatifs dâun acier de construction navale, ont Ă©tĂ© utilisĂ©s pour les simulations : E=2.1Ă1011 Pa, Îœ=0.3, Ï0=7850 kg/m3, A=900Ă106 Pa, Δ0=0.023, n=0.167, 0Δ& =1.86Ă10-6 s-1,
m=0.057, Tref=50 K, Tm=1773 K, ÎœT=0.32, C0=470 J/kg/K, ÎČTQ=1. La tempĂ©rature initiale est T0=300 K.
La figure 3.2 montre une comparaison des courbes contrainte-dĂ©formation obtenues, pour diffĂ©rentes vitesses de dĂ©formation (10000 s-1, 20000 s-1 et 40000 s-1), avec les calculs par Ă©lĂ©ments finis, le modĂšle proposĂ© (incluant effets micro-inertiels) et le modĂšle GTN viscoplastique. Les paramĂštres q1 et q2, intervenant dans ces deux modĂšles, ont Ă©tĂ© pris Ă©gaux Ă 1.25 et 1, respectivement. Nous voyons que les simulations numĂ©riques prĂ©voient une Ă©volution de la contrainte en escalier lors du dĂ©but de la dĂ©formation. Ce phĂ©nomĂšne est liĂ© au fait que nous appliquons instantanĂ©ment au dĂ©but des calculs une vitesse sur le bord supĂ©rieur du motif (Fig. 3.1), gĂ©nĂ©rant ainsi des ondes Ă©lastiques qui se propagent dans le domaine et se rĂ©flĂ©chissent sur ses frontiĂšres. Ces ondes sont sans grande importance car elles sâestompent rapidement lorsque le matĂ©riau commence Ă se dĂ©former plastiquement (pour une dĂ©formation supĂ©rieure Ă 0.01). La figure 3.2 montre que le modĂšle proposĂ© reproduit les rĂ©sultats des calculs par Ă©lĂ©ments finis avec une bien meilleure fidĂ©litĂ© que le modĂšle GTN. Tout dâabord, lâĂ©volution de la valeur maximale de la contrainte avec la vitesse de dĂ©formation imposĂ©e nâest pas correctement dĂ©crite par le modĂšle GTN, le dĂ©saccord augmentant pour les plus grandes vitesses de dĂ©formation. En outre, nous voyons que les courbes contrainte-dĂ©formation donnĂ©es par les simulations prĂ©sentent des oscillations qui sont dâautant plus marquĂ©es que la vitesse de dĂ©formation prescrite est importante. Ce phĂ©nomĂšne est liĂ© aux effets dâinertie qui, sâils ralentissent la croissance de la cavitĂ© dans certaines phases de la
61
rĂ©ponse du matĂ©riau, peuvent aussi lâassister Ă dâautres moments (Jacques et al., 2012a). Ces oscillations sont en fait induites par des transferts entre Ă©nergie Ă©lastique et Ă©nergie cinĂ©tique. Nous voyons quâelles sont bien reproduites par le modĂšle proposĂ©. Ce nâest pas le cas avec le modĂšle GTN (quasi-statique) qui prĂ©voit une dĂ©croissance monotone de la contrainte.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Axia
l str
ess
(M
Pa
)
Axial strain
FEM - D22=40000 s-1
Present model - D22=40000 s-1
FEM - D22=20000 s-1
Present model - D22=20000 s-1
FEM - D22=10000 s-1
Present model - D22=10000 s-1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Ax
ial s
tre
ss (
MP
a)
Axial strain
FEM - D22=40000 s-1
GTN model - D22=40000 s-1
FEM - D22=20000 s-1
GTN model - D22=20000 s-1
FEM - D22=10000 s-1
GTN model - D22=10000 s-1
(a) (b)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Axia
l str
ess
(M
Pa
)
Axial strain
FEM - D22=40000 s-1
Present model - D22=40000 s-1
FEM - D22=20000 s-1
Present model - D22=20000 s-1
FEM - D22=10000 s-1
Present model - D22=10000 s-1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Ax
ial s
tre
ss (
MP
a)
Axial strain
FEM - D22=40000 s-1
GTN model - D22=40000 s-1
FEM - D22=20000 s-1
GTN model - D22=20000 s-1
FEM - D22=10000 s-1
GTN model - D22=10000 s-1
(a) (b)
Fig. 3.2. RĂ©ponse dâun matĂ©riau poreux sollicitĂ© en dĂ©formation uniaxiale Ă vitesse de
déformation constante. Comparaison des résultats des calculs numériques micromécaniques avec (a) ceux du modÚle avec micro-inertie et (b) ceux du modÚle GTN viscoplastique.
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Ax
ial s
tre
s (M
pa
)
Axial strain
FEM
Present model
GTN
Constant strain rate
( ) 022 DtD =Increasing strain rate
( ) ( )00022 ttDDtD â+= &
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Ax
ial s
tre
s (M
pa
)
Axial strain
FEM
Present model
GTN
Constant strain rate
( ) 022 DtD =Increasing strain rate
( ) ( )00022 ttDDtD â+= &
Fig. 3.3. RĂ©ponse dâun matĂ©riau poreux sollicitĂ© en dĂ©formation uniaxiale avec une vitesse de
dĂ©formation variant au cours du temps. Les rĂ©sultats du modĂšle avec micro-inertie et du modĂšle GTN sont comparĂ©s Ă ceux dâune simulation dynamique micromĂ©canique par Ă©lĂ©ments
finis. Lâhistoire de la vitesse de dĂ©formation imposĂ©e est donnĂ©e par lâĂ©quation (3.27).
Comme indiqué dans le chapitre 1, la prise en compte des effets micro-inertiels induit une dépendance de la réponse du matériau à la dérivée par rapport au temps de la vitesse de déformation plastique, voir aussi Eq. (3.4). Nous avons réalisé une simulation pour une vitesse de déformation non-constante, donnée par
>+=<=
00022
0022
,)()(
,)(
ttt-tDDtD
ttDtD
0&
(3.27)
avec D0 = 10000 s-1, 0D& = 4.75Ă1011 s-2, t0 = 4Ă10-6 s. Les rĂ©sultats obtenus sont prĂ©sentĂ©s par
la figure 3.3. Comme nous le voyons, une nette augmentation de la contrainte est observée
62
durant la phase oĂč la vitesse de dĂ©formation augmente. Cette hausse est tout Ă fait bien reproduite par le modĂšle proposĂ©, mais pas par le modĂšle GTN viscoplastique. Dans ce dernier, lâeffet du changement de vitesse est uniquement liĂ© Ă la sensibilitĂ© Ă la vitesse de dĂ©formation de la matrice et est trĂšs peu marquĂ©. Dans le modĂšle proposĂ©, il y a aussi la contribution de lâinertie, qui semble jouer un rĂŽle trĂšs important dans le cas prĂ©sent.
Finalement, les rĂ©sultats prĂ©sentĂ©s dans ce paragraphe nous ont montrĂ© que lâinertie microscopique peut avoir dans certaines circonstances un effet notable sur la rĂ©ponse dâun matĂ©riau poreux, en particulier lors de phases transitoires impliquant de rapides variations de la vitesse de dĂ©formation. Nous verrons dans le paragraphe suivant que la sensibilitĂ© Ă la vitesse de dĂ©formation et Ă sa dĂ©rivĂ©e temporelle induite par la micro-inertie peut jouer un rĂŽle important dans certains problĂšmes impliquant des phĂ©nomĂšnes de localisation de lâendommagement et de la dĂ©formation. 4. Influence des effets micro-inertiels sur la prop agation dynamique de fissures ductiles
Dans cette section, nous allons Ă©tudier le rĂŽle de lâinertie microscopique lors de la rupture dynamique de diffĂ©rentes piĂšces : une Ă©prouvette axisymĂ©trique entaillĂ©e et une plaque prĂ©fissurĂ©e en dĂ©formation plane, voir Fig. 3.4. Les rĂ©sultats numĂ©riques obtenus avec le modĂšle dâendommagement dynamique proposĂ© seront systĂ©matiquement comparĂ©s Ă ceux obtenus avec le modĂšle GTN (sans micro-inertie). Les paramĂštres dĂ©crivant le comportement de la matrice sont identiques Ă ceux adoptĂ©s dans la section prĂ©cĂ©dente, voir Eq. (3.26). Les valeurs suivantes ont Ă©tĂ© choisies pour les paramĂštres de Tvergaard : q1=1.5 et q2=1.15 (Besson et al., 2001). Pour simplifier la discussion, nous allons nous limiter au cas oĂč il nây a pas de nuclĂ©ation de cavitĂ©s lors de la dĂ©formation du matĂ©riau (NN=0 dans (3.13)). En dâautres termes, nous considĂ©rons que lâendommagement rĂ©sulte de la croissance de vides prĂ©existants. Nous supposons que les tailles initiales des vides sont donnĂ©es par une distribution exponentielle :
â=
110
1)(
a
aexp
aaw . (3.28)
Lâutilisation de cette distribution pour dĂ©crire les tailles de vides dans les matĂ©riaux endommagĂ©s fut suggĂ©rĂ©e par Seaman et al. (1972) sur la base dâobservations micrographiques. La distribution exponentielle dĂ©pend dâun seul paramĂštre a1, qui correspond au rayon moyen des vides. La valeur du coefficient dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de tailles de vides c (3.8) correspondant Ă une distribution exponentielle est Ă©gale Ă 1.4337 (quelque soit la valeur de a1). Dans les simulations rĂ©alisĂ©es, plusieurs valeurs du rayon moyen initial a1 ont Ă©tĂ© considĂ©rĂ©es.
Par contre, dans tous les cas, la porosité initiale 0
~f a Ă©tĂ© prise Ă©gale Ă 1.5Ă10-4. Pour une
distribution exponentielle (3.28), la valeur initiale du nombre de vides par unitĂ© de volume peut ĂȘtre calculĂ©e par la relation suivante :
3
1
00
8
~
a
fN
Ï= . (3.29)
63
9
204
5
rer
yer
aT(a)(b)
200
50100
aT
aT
xer
yer
9
204
5
rer
yer
aT(a)(b)
200
50100
aT
aT
xer
yer
Fig. 3.4. Configurations considérées dans les simulations numériques de propagation
dynamique de fissures ductiles : (a) barre axisymĂ©trique entaillĂ©e et (b) plaque prĂ©fissurĂ©e en dĂ©formation plane (les dimensions sont donnĂ©es en millimĂštres). Dans les simulations, ces Ă©prouvettes sont soumises Ă un effort surfacique constant dâamplitude Ta, qui est symbolisĂ©
par des flĂšches rouges sur les dessins.
La figure 3.5 illustre lâeffet de la finesse du maillage sur le trajet de fissure au sein de lâĂ©prouvette axisymĂ©trique entaillĂ©e, prĂ©vu par le modĂšle avec micro-inertie pour a1=5 ”m et par le modĂšle GTN21. Notons que, dans tous les cas, la fissure sâinitie au centre de lâĂ©prouvette et se propage ensuite vers la droite en direction de la surface libre. Comme nous le voyons, les rĂ©sultats du modĂšle GTN (viscoplastique) sont clairement dĂ©pendants de la taille des Ă©lĂ©ments. Quand le maillage est raffinĂ©, la distance parcourue par la fissure Ă lâinstant considĂ©rĂ© devient plus importante et lâĂ©paisseur de la zone fortement endommagĂ©e se rĂ©duit. En fait, les simulations basĂ©es sur le modĂšle GTN souffrent dâun problĂšme de localisation pathologique de lâendommagement : celui-ci tend Ă se concentrer dans une bande dont la taille est fixĂ©e par celle des Ă©lĂ©ments. Dans le cas statique, lâutilisation de modĂšles de matĂ©riaux induisant un comportement adoucissant (dont les modĂšles dâendommagement) conduit Ă un problĂšme mal posĂ© dâun point de vue mathĂ©matique et aucune convergence des rĂ©sultats nâest possible. Il est souvent avancĂ© que le phĂ©nomĂšne de localisation illimitĂ©e est liĂ© au fait que les Ă©quations dĂ©crivant le problĂšme nâincorpore aucune longueur caractĂ©ristique permettant de fixer la taille de zone oĂč lâendommagement se localise, voir e.g. (Forest et Lorentz, 2004). Pour des problĂšmes dynamiques (avec prise en compte de lâinertie Ă lâĂ©chelle macroscopique), il a Ă©tĂ© montrĂ© que lâintroduction dâeffets de vitesse dans la loi de comportement donne naissance Ă une longueur caractĂ©ristique et Ă un effet rĂ©gularisant pouvant supprimer le phĂ©nomĂšne de localisation illimitĂ©e (Needleman, 1988 ; Sluys et de Borst, 1992 ; Suffis et al., 2003). Cela signifie que le problĂšme que nous traitons avec le modĂšle GTN viscoplastique est, en thĂ©orie, bien posĂ© mathĂ©matiquement. NĂ©anmoins, lâeffet rĂ©gularisant de la viscoplasticitĂ© est bien trop faible pour ĂȘtre observĂ© avec les maillages considĂ©rĂ©s. Notons que Needleman et Tvergaard (1994) conclurent aussi que lâeffet rĂ©gularisant de la viscoplasticitĂ© est trop faible pour prĂ©venir Ă lui seul la dĂ©pendance des rĂ©sultats vis-Ă -vis du maillage dans des problĂšmes de propagation dynamique de fissures ductiles (pour des paramĂštres matĂ©riau correspondant Ă un acier). ConsidĂ©rons maintenant les rĂ©sultats obtenus avec le modĂšle proposĂ©. Il apparait que ce
21 Notons que, pour une valeur donnée de porosité initiale, le modÚle GTN correspond à la limite du modÚle avec micro-inertie lorsque a1 tend vers zéro.
64
dernier est beaucoup moins sensible Ă la taille des Ă©lĂ©ments que le modĂšle GTN. En effet, les chemins de fissure obtenus avec les deux maillages sont quasiment identiques. De plus, lâendommagement se concentre dans une zone plus large dont la taille nâest pas liĂ©e Ă celle des Ă©lĂ©ments. En fait, nous observons que lâinclusion dans la loi de comportement du matĂ©riau de la contribution micro-inertielle gĂ©nĂšre un effet rĂ©gularisant. Ce rĂ©sultat Ă©tait attendu car, dans la mesure oĂč la micro-inertie induit une sensibilitĂ© additionnelle Ă la vitesse de dĂ©formation, il semble logique quâelle contribue Ă prĂ©venir le problĂšme de localisation illimitĂ©e. Par contre, rien ne garantissait Ă lâavance que lâeffet rĂ©gularisant de la micro-inertie soit largement prĂ©dominant par rapport Ă celui de la viscoplasticitĂ©, comme nous lâobservons dans le cas prĂ©sent.
GTN
Micro-inertia based model
Coarse mesh71Ă22 ”m2
Coarse mesh71Ă22 ”m2
Fine mesh39Ă10 ”m2
Fine mesh39Ă10 ”m2
GTN
Micro-inertia based model
Coarse mesh71Ă22 ”m2
Coarse mesh71Ă22 ”m2
Fine mesh39Ă10 ”m2
Fine mesh39Ă10 ”m2
Fig. 3.5. Chemins de fissure dans lâĂ©prouvette axisymĂ©trique entaillĂ©e obtenus avec le modĂšle proposĂ© (pour a1=5 ”m) et le modĂšle GTN (sans micro-inertie), en considĂ©rant deux maillages diffĂ©rents. La zone apparaissant en noir correspond aux Ă©lĂ©ments oĂč la porositĂ© est supĂ©rieure Ă 0.3. La rĂ©gion qui est reprĂ©sentĂ©e dans cette figure est indiquĂ©e par un rectangle vert dans
la figure 3.4-a. Lâinstant considĂ©rĂ© est t=40.125 ”s et lâamplitude du chargement appliquĂ© est Ta=700 MPa.
65
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.5 0 0.5Lagrangian position (mm)
Por
osity
a1=10 ”m, M1 a1=10 ”m, M2 a1=5 ”m, M1 a1=5 ”m, M2
137 ”m
251 ”m
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.5 0 0.5Lagrangian position (mm)
Por
osity
a1=10 ”m, M1 a1=10 ”m, M2 a1=5 ”m, M1 a1=5 ”m, M2
137 ”m
251 ”m
Fig. 3.6. Evolution de la porositĂ© le long de lâaxe de symĂ©trie (ey) de lâĂ©prouvette
axisymétrique entaillée obtenue pour différents maillages (M1 et M2) et valeurs initiales du rayon moyen des vides (a1=5 ”m et a1=10 ”m). Le maillage M1 (resp. M2) correspond à une
taille dâĂ©lĂ©ments dans la zone centrale de lâĂ©prouvette de 71Ă22 ”m2 (resp. 39Ă10 ”m2). Lâinstant considĂ©rĂ© est t=40.125 ”s et lâamplitude du chargement appliquĂ© est Ta=700 MPa.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.5 0 0.5Lagrangian position (mm)
Por
osity
Ta=700 MPaTa=1000 MPa
Fig. 3.7. Effet de lâamplitude Ta du chargement appliquĂ© sur la distribution spatiale de
porositĂ© le long de lâaxe de symĂ©trie (ey) de lâĂ©prouvette axisymĂ©trique entaillĂ©e. Lâinstant considĂ©rĂ© est t=40.125 ”s et le rayon moyen initial des vides est a1=10 ”m.
Lâeffet rĂ©gularisant de la micro-inertie est Ă©galement illustrĂ© par la figure 3.6, qui prĂ©sente
la rĂ©partition spatiale de porositĂ© le long de lâaxe de lâĂ©prouvette axisymĂ©trique entaillĂ©e, pour deux valeurs du rayon moyen initial des vides et deux finesses de maillage. La convergence des rĂ©sultats vis-Ă -vis du maillage apparait clairement. Il est aussi intĂ©ressant de voir que la largeur de la zone fortement endommagĂ©e dĂ©pend de la valeur du rayon moyen initial des vides : elle est environ deux fois plus grande pour a1=10 ”m que pour a1=5 ”m. Nous rappelons que la porositĂ© initiale est la mĂȘme pour toutes les simulations. Ceci implique que
66
pour a1=10 ”m les vides sont non seulement deux fois plus gros, mais aussi deux fois plus espacĂ©s que pour a1=5 ”m. La figure 3.6 nous montrent donc que le comportement Ă la localisation prĂ©vu par le modĂšle proposĂ© dĂ©pend de la longueur caractĂ©ristique de la microstructure du matĂ©riau. En dâautres termes, nous observons que le modĂšle proposĂ© parvient Ă capter des effets dâĂ©chelle liĂ©s Ă la microstructure du matĂ©riau. Dans le cas quasi-statique, la description dâeffets dâĂ©chelle microstructuraux nĂ©cessite de recourir Ă des modĂšles non-locaux, voir par exemple (Enakoutsa et al., 2007, 2009). Le modĂšle que nous proposons est un modĂšle local (le comportement dâun point matĂ©riel ne dĂ©pend que de la dĂ©formation et de la valeur des variables internes au niveau de ce point), cependant grĂące Ă la prise en compte de lâinertie microscopique, il permet aussi de dĂ©crire des effets dâĂ©chelle liĂ©s Ă la microstructure du matĂ©riau dans le cas de problĂšmes dynamiques. Il convient de noter que la largeur de la zone oĂč lâendommagement et la dĂ©formation se localisent ne dĂ©pend pas uniquement de la taille caractĂ©ristique de la microstructure du matĂ©riau (via la valeur de a1), mais aussi des propriĂ©tĂ©s rhĂ©ologiques de la matrice et des conditions de chargement. La figure 3.7 montre par exemple que la zone fortement endommagĂ©e devient plus Ă©paisse lorsque lâamplitude du chargement est augmentĂ©e (phĂ©nomĂšne de dĂ©localisation de lâendommagement).
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
28 30 32 34
Time (”s)
Por
osity
a1=10 ”ma1=5 ”mGTN
Fig. 3.8. Evolution au cours du temps de la porositĂ© au niveau dâun Ă©lĂ©ment se situant au
centre de la zone oĂč lâendommagement se localise dans lâĂ©prouvette axisymĂ©trique entaillĂ©e. Lâamplitude du chargement appliquĂ© est Ta=700 MPa.
Comment interprĂ©ter le rĂŽle jouĂ© par lâinertie microscopique lors de problĂšmes de
localisation de lâendommagement ? Un Ă©lĂ©ment de rĂ©ponse nous est fourni par la figure 3.8 qui montre lâĂ©volution temporelle de la porositĂ© au niveau dâun Ă©lĂ©ment situĂ© au centre de la bande fortement endommagĂ©e obtenue avec le modĂšle GTN et avec le modĂšle proposĂ©, pour a1=5 ”m et a1=10 ”m. Aux premiers instants, les trois simulations prĂ©disent des Ă©volutions de porositĂ© quasi-identiques ; lâinertie microscopique nâa aucune influence durant cette phase. Les rĂ©sultats deviennent diffĂ©rents lorsque t dĂ©passe 31 ”s : le modĂšle GTN prĂ©voit une Ă©volution extrĂȘmement rapide, quasi-explosive de la porositĂ©, tandis que cette Ă©volution est nettement plus progressive quand la micro-inertie est prise en compte. En fait, la figure 3.8 met en Ă©vidence un phĂ©nomĂšne dâinstabilitĂ© de cavitation : Ă cause du dĂ©veloppement de lâendommagement et de la rĂ©duction de la section de lâĂ©prouvette, le matĂ©riau est soumis Ă un certain moment (tâ31 ”s) Ă un niveau de contrainte dĂ©passant sa rĂ©sistance statique et se
67
retrouve dans un Ă©tat instable. A la suite de cela, survient une phase de croissance dynamique des cavitĂ©s et de lâendommagement. Les effets micro-inertiels jouent bien sĂ»r un rĂŽle clĂ© lors de cette phase ; sâils sont nĂ©gligĂ©s (comme dans le modĂšle GTN), lâendommagement est cumulĂ© de maniĂšre presque instantanĂ©e. Cette Ă©volution excessivement rapide de la porositĂ© sâaccompagne de lâapparition soudaine dâun phĂ©nomĂšne de localisation de lâendommagement trĂšs marquĂ©. Avec le modĂšle tenant compte de lâinertie microscopique, comme lâaugmentation de la porositĂ© est plus graduelle, la localisation de lâendommagement apparait aussi de maniĂšre plus progressive. Pour cette raison, la bande de localisation est, Ă un instant donnĂ©, plus Ă©tendue lorsque la micro-inertie est prise en compte, voir (Jacques et al., 2012a).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
8 10 12 14
Cra
ck a
dv
an
ce (
mm
)
Time (”s)
GTN, M3
GTN, M2
GTN, M1
a1=1.5 ”m, M4
a1=1.5 ”m, M3
a1=1.5 ”m, M2
a1=1.5 ”m, M1
a1=5 ”m, M3
a1=5 ”m, M2
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GTN a1=1.5 ”m
a1=5 ”m
0
0.2
0.4
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Cra
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dv
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mm
)
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GTN, M3
GTN, M2
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a1=1.5 ”m, M2
a1=1.5 ”m, M1
a1=5 ”m, M3
a1=5 ”m, M2
a1=5 ”m, M1
GTN a1=1.5 ”m
a1=5 ”m
Fig. 3.9. Accroissement au cours du temps de la longueur dâune fissure dans lâĂ©prouvette
prĂ©fissurĂ©e. Les simulations ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es avec le modĂšle GTN et celui proposĂ© pour deux valeurs initiales du rayon moyen des cavitĂ©s, a1=5 ”m et a1=10 ”m. Lâamplitude du
chargement appliquĂ© est Ta=1500 MPa. DiffĂ©rents maillages ont Ă©tĂ© considĂ©rĂ©s (M1, M2, M3 et M4) ; la taille des Ă©lĂ©ments dans la zone oĂč la fissure se propage est Ă©gale Ă 20Ă20 ”m2
pour M1, 10Ă10 ”m2 pour M2, 7.25Ă5 ”m2 pour M3 et 3.625Ă2.5 ”m2 pour M4.
ConsidĂ©rons Ă prĂ©sent la plaque prĂ©fissurĂ©e en dĂ©formation plane (Fig. 3.4-b). La figure 3.9 montre lâaugmentation de la longueur de fissure obtenue avec le modĂšle GTN et celui proposĂ© (pour a1=1.5 ”m et a1=5 ”m), en considĂ©rant plusieurs maillages. Lâeffet rĂ©gularisant de la micro-inertie est Ă nouveau mis en Ă©vidence par cette figure : contrairement au modĂšle GTN, celui proposĂ© fournit des rĂ©sultats qui ne dĂ©pendent quasiment pas du maillage. Nous voyons aussi que lâinertie microscopique a une forte influence sur la vitesse dâavancĂ©e de la fissure. Avec le modĂšle GTN, la vitesse moyenne de la fissure est comprise entre 580 m/s et 970 m/s suivant le maillage employĂ©, alors que le modĂšle avec micro-inertie prĂ©voit une vitesse de 180 m/s pour a1=1.5 ”m et de 140 m/s pour a1=5 ”m. Le rĂŽle de lâinertie (macroscopique) lors de la propagation dynamique de fissures est bien connu. Dans le cadre de la thĂ©orie de la rupture fragile (oĂč tous les phĂ©nomĂšnes irrĂ©versibles sont supposĂ©s avoir lieu en pointe de fissure), lâinertie conduit Ă lâexistence dâune vitesse de propagation limite Ă©gale Ă la cĂ©lĂ©ritĂ© des ondes de Rayleigh (Freund, 1990). Pour des matĂ©riaux Ă©lasto-plastiques, Lam et Freund (1985) montrĂšrent que les dĂ©formations plastiques survenant au voisinage de la pointe de fissure causent des effets dâinertie additionnels qui rĂ©duisent les vitesses de propagation. Les rĂ©sultats prĂ©sentĂ©s par la figure 3.9 nous indiquent que les effets dâinertie microscopique
68
(associĂ©s Ă la croissance de micro-vides) semblent eux aussi jouer un rĂŽle crucial lors de la propagation dynamique de fissures ductiles. Ce rĂŽle Ă©tait jusquâĂ prĂ©sent presque totalement ignorĂ©. 5. Conclusion
Une analyse des effets de lâinertie microscopique (associĂ©e aux mouvements de matiĂšre induits par la croissance de micro-cavitĂ©s) lors de la rupture de matĂ©riaux ductiles sous sollicitations dynamiques a Ă©tĂ© menĂ©e. Pour cela, un modĂšle dâendommagement continu basĂ© sur une mĂ©thode dâhomogĂ©nĂ©isation tenant compte des effets dynamiques Ă lâĂ©chelle du VER a Ă©tĂ© mis au point et intĂ©grĂ© dans un code de calculs par Ă©lĂ©ments finis. DiffĂ©rentes simulations de la propagation dynamique (instable) de fissures ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es. Dans tous les cas, lâinfluence des effets micro-inertiels semble importante. La micro-inertie stabilise la croissance des cavitĂ©s et lâĂ©volution de lâendommagement qui en rĂ©sulte dans les phases oĂč celles-ci tendent Ă devenir trĂšs rapides. Cela survient en particulier lors de lâapparition de phĂ©nomĂšnes de localisation de lâendommagement. GrĂące Ă lâeffet stabilisant de la micro-inertie, la localisation survient de maniĂšre plus progressive. Pour cette raison, la sensibilitĂ© au maillage des rĂ©sultats des simulations est fortement rĂ©duite : la micro-inertie procure un effet rĂ©gularisant significatif. Les prĂ©dictions du modĂšle montrent que la largeur de la zone oĂč lâendommagement se concentre est liĂ©e au rayon initial des micro-vides. Cela veut dire que le modĂšle proposĂ© permet de rendre compte dâeffets dâĂ©chelle liĂ©s Ă une longueur caractĂ©ristique de la microstructure du matĂ©riau. Les simulations montrent Ă©galement que lâinertie microscopique tend Ă limiter la vitesse Ă laquelle les fissures se propagent.
69
Chapitre 4 : Effet dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de fraction vol umique de gaz sur la propagation dâondes de choc dans un liqu ide
aéré 1. Introduction
La plupart des modĂšles continus de liquides aĂ©rĂ©s de la littĂ©rature sont dĂ©diĂ©s au cas de milieux « homogĂšnes », dans lesquels les bulles sont supposĂ©es ĂȘtre rĂ©parties suffisamment rĂ©guliĂšrement pour ne pas crĂ©er de variation de fraction volumique de gaz. Or, comme nous lâavions Ă©voquĂ© dans le chapitre 1, il existe de nombreux mĂ©canismes pouvant conduire Ă la sĂ©grĂ©gation des bulles dans le liquide et crĂ©er des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© (Brennen, 2005). Dans ce chapitre, des travaux ayant pour but de dĂ©crire lâeffet dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de fraction volumique de gaz sur la rĂ©ponse dâun milieu Ă bulles sont prĂ©sentĂ©s. Ces travaux ont Ă©tĂ© menĂ©s dans le cadre de la thĂšse de doctorat dâHervĂ© Grandjean (2012). Deux modĂšles diffĂ©rents ont Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©s. Dans le premier, basĂ© sur la notion de volume Ă©lĂ©mentaire statistiquement reprĂ©sentatif (voir chap. 1, § 2.2), une distribution statistique est utilisĂ©e pour dĂ©crire les hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© au sein du liquide. De ce fait, ce modĂšle se veut gĂ©nĂ©ral dans le sens oĂč une distribution quelconque de porositĂ©s peut ĂȘtre considĂ©rĂ©e, offrant la possibilitĂ© de dĂ©crire lâeffet dâun grand nombre de types de rĂ©partitions de bulles au sein du liquide. Afin de tester la validitĂ© de cette approche, des simulations numĂ©riques tridimensionnelles, dans lesquelles les hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© sont spĂ©cifiĂ©es directement (taille, forme, position), ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es. Nous avons constatĂ© un dĂ©saccord entre les rĂ©sultats de ces simulations et ceux du modĂšle continu proposĂ©, invalidant ce dernier. Il est en fait apparu que la rĂ©ponse dâun milieu Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšne nâest pas uniquement liĂ©e Ă la dynamique des bulles quâil contient, mais est aussi influencĂ©e par des effets inertiels ayant lieu Ă une Ă©chelle plus grande, qui sont induits par des mouvements de matiĂšre gĂ©nĂ©rĂ©s par les hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ©. Pour cette raison, il semble quâune modĂ©lisation dâun liquide aĂ©rĂ© hĂ©tĂ©rogĂšne doive incorporer une information concernant la longueur caractĂ©ristique des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© au sein du liquide, ce qui nâest pas le cas dans le premier modĂšle dĂ©veloppĂ©.
Nous avons dĂ©veloppĂ© un deuxiĂšme modĂšle pour le cas particulier dâun milieu hĂ©tĂ©rogĂšne
oĂč les bulles se concentrent sous forme dâamas (clusters), rĂ©guliĂšrement disposĂ©s au sein du liquide. Ce type de configuration correspond trĂšs certainement Ă un cas oĂč lâeffet des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s est trĂšs marquĂ©. Ce second modĂšle prend en compte, dans la procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation sur laquelle il repose, les effets inertiels Ă lâĂ©chelle des clusters. Il a permis dâobtenir un bon accord avec des simulations numĂ©riques tridimensionnelles et des rĂ©sultats expĂ©rimentaux de la littĂ©rature.
2. Une tentative infructueuse de modĂ©lisation des e ffets dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© 2.1 PrĂ©sentation du modĂšle
La figure 4.1-a montre des bulles de diazote (N2) au sein dâun tube Ă choc vertical rempli dâhuile de silicone. Comme nous le voyons, les bulles ont tendance Ă sâorganiser de façon Ă crĂ©er des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© au sein du liquide. Par exemple, pour la population
70
prĂ©sentĂ©e Ă la Fig. 4.1-a, il semble possible dâidentifier trois zones avec des porositĂ©s diffĂ©rentes, dĂ©finissant trois « familles » de bulles au sein du liquide.
Nous allons tenter de proposer une approche multi-Ă©chelles afin de dĂ©crire la rĂ©ponse dâun mĂ©lange liquide-bulles prĂ©sentant des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ©. Par soucis de simplicitĂ©, nous concentrons notre attention sur le cas oĂč les bulles ont toutes le mĂȘme rayon initial (mĂ©lange monodispersĂ©). De plus, nous supposons que le fluide est initialement au repos. La notion de volume Ă©lĂ©mentaire statistiquement reprĂ©sentatif est utilisĂ©e dans cette approche. Nous considĂ©rons comme VER une collection de sphĂšres de liquide contenant chacune une bulle sphĂ©rique en son centre (ces motifs seront appelĂ©s sphĂšres creuses), voir Fig. 4.1-b. Chacun de ces motifs est associĂ© Ă une famille de bulles, identifiĂ©e par un indice i. Une famille est caractĂ©risĂ©e par une valeur de porositĂ© initiale
if0 et par une probabilitĂ© de prĂ©sence iÏ
(pourcentage des bulles du liquide appartenant Ă la famille i), avec 1=âi
iÏ . La porositĂ©
moyenne dans le VER f~
est liée aux porosités locales if par la relation suivante :
â=i i
i
ff
Ï~1
. (4.1)
1 2
3
(a) (b)
303Ïf
202Ïf101
Ïf1 2
3
(a) (b)
303Ïf
202Ïf101
Ïf
Fig. 4.1. (a) Milieu Ă bulles prĂ©sentant des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s locales de porositĂ©. (b) Pour dĂ©crire le comportement macroscopique de ce type de milieu, nous proposons dâutiliser comme VER une collection de motifs de sphĂšres creuses ayant des valeurs diffĂ©rentes de
porositĂ© initiale. RĂ©ponse des motifs de sphĂšres creuses et comportement macroscopique du liquide aĂ©rĂ©. ConsidĂ©rons pour le moment que le liquide contenu dans chaque motif est incompressible et Newtonien. Un schĂ©ma dâhomogĂ©nĂ©isation de type ÎŁ est utilisĂ© pour relier le comportement macroscopique du VER Ă celui des motifs Ă©lĂ©mentaires. Cela signifie que la pression macroscopique P
~ est appliquĂ©e sur la frontiĂšre extĂ©rieure de lâensemble des motifs. De plus,
lâinertie du gaz est nĂ©gligĂ©e devant celle du liquide. Avec ces hypothĂšses, lâĂ©volution du rayon des bulles des diffĂ©rentes familles est donnĂ©e par lâĂ©quation suivante :
( ) ( )i
ii
iiiiiiiLb a
f-a
aff-af-aaÏpP
i
Ï” 214
3
1
3
41
2
31
~ 3431231 ââ
++â=&
&&& , (4.2)
oĂč ibp dĂ©signe la pression du gaz au sein des bulles de la famille i. ÏL , ” et Ï sont
respectivement la masse volumique, la viscosité (dynamique) et le coefficient de tension de
71
surface du liquide. Notons que la porositĂ© locale fi peut ĂȘtre calculĂ©e en fonction du rayon des bulles ai grĂące Ă lâĂ©quation suivante :
3
03
3
iba
af
i
ii +
= , (4.3)
oĂč i
b0 est une quantitĂ©, constante au cours du temps, reprĂ©sentant le rayon dâune sphĂšre ayant
pour volume celui de la quantitĂ© de liquide prĂ©sente dans la sphĂšre creuse associĂ©e Ă la famille dâindice i. En supposant le comportement du gaz contenu dans les bulles rĂ©git par la loi des gaz parfaits, lâĂ©volution de la pression interne
ibp est donnĂ©e par lâĂ©quation suivante
(Nigmatulin et Khabeev, 1974 ; Watanabee et Prosperetti, 1994) :
( )
i
ii
ar
iG
iib
ib r
Tk
aap
ap
=
âââ+â= 133 γγ
&& , (4.4)
avec kG la conductivité thermique et γ le coefficient polytropique du gaz. Sur la base des travaux de Drumheller et al. (1982) et de Preston et al. (2007), un modÚle analytique simplifié a été mis au point pour déterminer le gradient de température au niveau de la surface de la bulle ( )
iari rT =ââ , voir (Grandjean et al., 2012).
La compressibilitĂ© du liquide est prise en compte Ă lâĂ©chelle macroscopique, nous
supposons que le volume relatif 0LL VV de la phase liquide est lié à la pression moyenne en
son sein LP~
par une Ă©quation dâĂ©tat linĂ©aire :
L
L
L
L PP
V
V
Ï0
0
~~1
ââ= , (4.5)
oĂč LÏ est le module de compressibilitĂ© du liquide et 0
~P la valeur initiale de la pression
macroscopique. Nous supposons que la pression moyenne dans le liquide est Ă©gale Ă la
pression macroscopique, PPL
~~ = . Nous pouvons justifier cette hypothÚse par le fait que le changement de volume du mélange induit par la compressibilité du liquide ne sera significatif (par rapport au changement de volume des bulles) que pour de faibles valeurs de porosité. Dans ce cas, la pression moyenne dans le liquide sera proche de la pression macroscopique. Avec cette hypothÚse et en considérant les relations
000
~1
~1
V
V
f
f
V
V
L
L â ââ= et ( )F
V
V ~det
0
= , (4.6)
nous pouvons réécrire (4.5) sous la forme suivante :
( )
â=â F
f-
f-PP L
~det~
1
~1
1~~
0
0 Ï . (4.7)
2.2 RĂ©sultats
Des simulations unidimensionnelles par Ă©lĂ©ments finis de la propagation dâondes de choc ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es en utilisant le modĂšle prĂ©sentĂ© dans le paragraphe prĂ©cĂ©dent. Pour illustrer lâinfluence des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ©, nous allons considĂ©rer deux distributions qui sont prĂ©sentĂ©es par la figure 4.2. La distribution 1 contient plusieurs familles de bulles ayant une probabilitĂ© de prĂ©sence assez importante, Ă la fois pour des porositĂ©s locales supĂ©rieures et infĂ©rieures Ă la porositĂ© moyenne du VER. La distribution 2 est quant Ă elle dominĂ©e par
72
quelques familles trĂšs poreuses. Ce type de distribution pourrait correspondre Ă un liquide aĂ©rĂ© fortement hĂ©tĂ©rogĂšne dans lequel les bulles se concentrent sous forme dâamas (zones de forte porositĂ©), le reste du fluide ne contenant que trĂšs peu de bulles.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
Distribution 2
Distribution 1
Porosité Moyenne
if0
iÏ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
Distribution 2
Distribution 1
Porosité Moyenne
if0
iÏ
Fig. 4.2. Distributions de porosités initiales considérées dans les simulations numériques. Dans les deux cas, la porosité moyenne (4.1) est égale à 0.24 %. Ces deux distributions
comportent 20 familles. Elles ont été construites en discrétisant des distributions continues décrites par une fonction de Weibull dont la variable est b0, voir Eq. (4.3). Plus de détails à ce
sujet sont disponibles dans (Grandjean, 2012).
Les structures dâondes de choc issues de ces 2 distributions de porositĂ©s sont prĂ©sentĂ©es par la figure 4.3. Dans chaque cas, les rĂ©sultats obtenus sont comparĂ©s avec ceux correspondant Ă un milieu Ă bulles homogĂšne (c'est-Ă -dire contenant une seule famille de bulles) de mĂȘme porositĂ© moyenne. Avec la distribution 1, ne prĂ©sentant que des variations assez modestes des porositĂ©s locales (par rapport Ă la valeur moyenne), les rĂ©sultats obtenus sont quasi-identiques au cas homogĂšne. Une diffĂ©rence plus marquĂ©e est observĂ©e pour la distribution 2. Dans ce cas, les hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© conduisent Ă rĂ©duire la longueur dâonde et lâamplitude des oscillations de pression. Cela est induit par le fait que, pour la distribution 2, les bulles sont majoritairement dans des zones de forte porositĂ©. Or, lâĂ©quation (4.2) nous montre que la porositĂ© cause une rĂ©duction des effets inertiels associĂ©s aux mouvements radiaux des bulles. Par consĂ©quent, les bulles ont tendance Ă osciller avec une pĂ©riode plus courte. Cela explique la diminution de longueur dâonde observĂ©e Ă la Fig. 4.3-b (les oscillations de pression sont directement liĂ©es Ă celles des bulles).
Des simulations ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es pour dâautres distributions de porositĂ©s, confirmant les
tendances tirĂ©es de la figure 4.3 : le modĂšle ne prĂ©voit un effet notable des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© que pour des distributions comportant des familles trĂšs poreuses (par rapport Ă la porositĂ© moyenne) avec une forte probabilitĂ© de prĂ©sence. En outre, pour tous les calculs rĂ©alisĂ©s, lâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de porositĂ© conduit Ă une rĂ©duction de la longueur dâonde du signal, indiquant une rĂ©duction des effets associĂ©s Ă la dynamique des bulles.
73
(a)
(b)
(a)
(b)
Fig. 4.3. Effet des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© sur la structure dâune onde de choc se
propageant dans un liquide aĂ©rĂ©. Les rĂ©sultats obtenus avec le modĂšle prĂ©sentĂ© dans cette section sont comparĂ©s au cas dâun milieu Ă bulles homogĂšne de mĂȘme porositĂ©
macroscopique. Les paramĂštres utilisĂ©s dans les simulations sont reprĂ©sentatifs du SF6 pour le gaz et de lâhuile de silicone pour le liquide, les bulles ont un rayon initial de 0.613 mm. (a)
Distribution de porositĂ©s initiales 1 ; (b) distribution 2, voir Fig. 4.2. Comparaison avec des simulations tridimensionnelles de milieux Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšnes â mise en dĂ©faut du modĂšle. Afin de tester la validitĂ© du modĂšle qui vient dâĂȘtre prĂ©sentĂ©, nous avons cherchĂ© Ă comparer les rĂ©sultats quâil fournit Ă ceux de simulations tridimensionnelles par Ă©lĂ©ments finis. Dans ces simulations, lâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de fraction volumique de gaz est introduite de maniĂšre directe : le domaine de calcul est divisĂ© en plusieurs zones ayant des porositĂ©s initiales diffĂ©rentes. Pour simplifier la mise en place de ces calculs, nous nous sommes limitĂ©s au cas dâun fluide comportant deux familles de bulles, caractĂ©risĂ©es par
10f =1Ă10-6 , Ï1=3.8Ă10-5 , 20f =8Ă10-2 et Ï2=0.999962. La porositĂ© moyenne initiale de ce
mĂ©lange est 1.98Ă10-2. Le domaine de calcul utilisĂ© dans les simulations 3D est illustrĂ© par la figure 4.4. Il est composĂ© de deux zones adjacentes de forme prismatique, dont les dimensions sont dĂ©finies par les paramĂštres dâČ et d âČâČ (voir Fig. 4.4). Des calculs ont Ă©tĂ© menĂ©s pour diffĂ©rentes valeurs de dâČ et d âČâČ , mais dans tous les cas le ratio dd âČâČâČ est Ă©gale Ă 0.5.
74
Fig. 4.4. Illustration du domaine de calcul utilisĂ© dans les simulations 3D de propagation dâondes de choc dans un milieu Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšne. Le domaine est divisĂ© en deux zones
ayant des porositĂ©s initiales diffĂ©rentes ; la zone de forte porositĂ© est reprĂ©sentĂ©e en bleu. La direction z correspond Ă la direction de propagation de lâonde.
Fig. 4.5. Structure spatiale dâondes de choc se propageant dans un milieu Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšne.
Comparaison entre des simulations numériques 3D, réalisées pour différentes tailles de domaine (voir Fig. 4.4), et une simulation 1D utilisant le modÚle présenté dans le paragraphe
2.1. Le profil correspondant Ă un milieu Ă bulles homogĂšne de mĂȘme porositĂ© moyenne est aussi reprĂ©sentĂ©. Le rayon initial des bulles est Ă©gal Ă 2 mm.
La figure 4.5 compare la structure dâune onde de choc obtenue Ă lâaide du modĂšle continu
de milieu Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšne prĂ©sentĂ© prĂ©cĂ©demment (basĂ© sur une procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation en deux Ă©tapes) et les rĂ©sultats de calculs 3D menĂ©s pour diffĂ©rentes valeurs de dâČ et d âČâČ (voir Fig. 4.4). Le profil correspondant Ă un milieu Ă bulles homogĂšne de mĂȘme porositĂ© moyenne est aussi reprĂ©sentĂ©. Ces rĂ©sultats mettent clairement en dĂ©faut le modĂšle qui a Ă©tĂ© proposĂ©. En effet, contrairement Ă celui-ci, les calculs 3D prĂ©dissent que lâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de porositĂ© conduit Ă une augmentation significative de la longueur caractĂ©ristique du profil de choc. En outre, la rĂ©ponse prĂ©dite par les calculs 3D dĂ©pend de la largeur du domaine de calcul. Cela signifie quâil existe des effets dâĂ©chelle liĂ©s Ă la taille caractĂ©ristique des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© au sein du fluide. Ces effets ne sont aucunement
75
pris en compte dans le modÚle continu que nous venons de développer. Ceci explique que ce dernier ne soit pas en mesure de reproduire les résultats des calculs 3D.
Comment expliquer ces effets dâĂ©chelle? Dans les simulations que nous venons de
discuter, un milieu trĂšs hĂ©tĂ©rogĂšne est considĂ©rĂ© (les valeurs de la porositĂ© dans les deux zones sont trĂšs diffĂ©rentes). Par consĂ©quent, les comportements des fluides dans les deux zones sont trĂšs distincts ; la compressibilitĂ© de la zone la plus poreuse est nettement plus forte que lâautre. Pour cette raison, lors de la propagation de lâonde de choc, le changement de volume du milieu est liĂ© principalement Ă une contraction de la zone la plus poreuse. Cette contraction sâaccompagne de mouvements de matiĂšre dans lâautre zone. Autrement dit, la propagation dâune onde dans le milieu induit des mouvements de fluide Ă une Ă©chelle liĂ©e Ă la taille caractĂ©ristique des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ©. Ces mouvements nâexistent pas dans le cas dâun milieu homogĂšne. Cette explication suggĂšre que la longueur dâonde des profils de pression obtenus par les calculs 3D (Fig. 4.5) nâest pas uniquement liĂ©e Ă la dynamique des bulles contenues dans le milieu (comme dans le cas du liquide homogĂšne), mais aussi Ă une vibration dâensemble de la zone la plus poreuse.
La question qui survient est comment dĂ©crire les effets dâĂ©chelle liĂ©s aux hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de
porositĂ© (non pris en compte dans le modĂšle continu qui vient dâĂȘtre proposĂ©)? Bien sĂ»r, les simulations 3D sont un outil tout Ă fait adaptĂ© pour Ă©tudier lâeffet des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ©, mais au prix de temps de calculs assez importants. En guise dâalternative (ou de complĂ©ment), nous proposons dans la section suivante un modĂšle continu (basĂ© sur une procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation en deux Ă©tapes) pour le cas particulier de liquides contenant des clusters sphĂ©riques de bulles. Ce modĂšle tient compte dâeffets dâinertie liĂ©s Ă la dynamique globale des clusters. 3. Un modĂšle pour le cas de liquides aĂ©rĂ©s contenan t des clusters de bulles 3.1 PrĂ©sentation du modĂšle Position du problĂšme. Nous considĂ©rons un mĂ©lange diphasique consistant en un liquide contenant une population de bulles initialement de mĂȘme taille. Les bulles sont concentrĂ©es dans des zones de forme sphĂ©rique appelĂ©es clusters, alors que le reste du domaine fluide est exempt de bulles (Fig. 4.6). La fraction volumique de gaz dans les clusters est supposĂ©e uniforme et est notĂ©e fc. La fraction du volume occupĂ©e par les clusters est notĂ©e α. Ainsi, la
fraction volumique moyenne de gaz dans le mélange f~
est donnée par
cff α=~. (4.8)
Tous les clusters ont le mĂȘme rayon, notĂ© R1. Nous supposons de plus que les clusters sont rĂ©partis sur un rĂ©seau rĂ©gulier, et notons d1 la distance moyenne inter-clusters (Fig. 4.6). Les bulles dans les clusters sont Ă©galement supposĂ©es ĂȘtre rĂ©parties sur un rĂ©seau rĂ©gulier (distance inter-bulles d). MĂ©thodologie employĂ©e. Une technique de transition dâĂ©chelles en deux Ă©tapes a Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©e afin de dĂ©crire le comportement macroscopique du milieu diphasique considĂ©rĂ©. Elle est illustrĂ©e par la figure 4.7. La premiĂšre phase dâhomogĂ©nĂ©isation vise Ă dĂ©crire la rĂ©ponse du fluide diphasique (liquide+bulles) contenu dans les clusters, ou en dâautres termes de remplacer ce mĂ©lange diphasique par un fluide homogĂšne Ă©quivalent que nous appellerons
76
FHE 1 par la suite. Le volume Ă©lĂ©mentaire reprĂ©sentatif (VER) utilisĂ© pour cette premiĂšre Ă©tape dâhomogĂ©nĂ©isation est une sphĂšre de liquide contenant une bulle (reprĂ©sentĂ©e en pointillĂ©e dans la Fig. 4.7-a). La rĂ©ponse macroscopique du liquide est ensuite obtenue lors dâune deuxiĂšme transition dâĂ©chelles. Le VER utilisĂ© est alors une sphĂšre de liquide contenant une inclusion de FHE 1 (voir Fig. 4.7-b), dont la rĂ©ponse est dĂ©crite par le modĂšle continu Ă©tabli dans la premiĂšre Ă©tape dâhomogĂ©nĂ©isation. Lâapproche proposĂ©e est dĂ©crite en dĂ©tails dans un article qui est inclus dans le second volume de ce mĂ©moire (Grandjean et al., 2012) ; seules les grandes lignes sont Ă©voquĂ©es ici.
Fig. 4.6. Illustration de la microstructure dâun liquide aĂ©rĂ© contenant des clusters de bulles. R1, a, d et d1 dĂ©signent respectivement le rayon des clusters, celui des bulles, la distance inter-
bulles et la distance inter-clusters.
~P
~~P
Fig. 4.7. Illustration de la technique de transition dâĂ©chelles en deux Ă©tapes permettant de dĂ©crire la rĂ©ponse dâun liquide contenant des clusters de bulles.
Nous nĂ©gligeons la compressibilitĂ© du liquide. La premiĂšre Ă©tape dâhomogĂ©nĂ©isation
conduit à la relation suivante décrivant la réponse du fluide au sein des clusters :
( )( ) ( ) ( ) ( )a
qf-a
aqfqf-aqf-aaÏpP ccccLb
Ï” 214
3
1
3
41
2
31 3431231 ââ
++â=&
&&& (4.9)
77
oĂč P dĂ©signe la pression (mesoscopique) au sein des clusters. LâĂ©volution de la pression pb dans les bulles est donnĂ©e par lâĂ©quation (4.4). Nous avons introduit dans lâĂ©quation (4.9) un paramĂštre notĂ© q et appelĂ© paramĂštre dâinteraction entre bulles. Cela revient Ă considĂ©rer une porositĂ© effective au sein du motif de sphĂšre creuse Ă©gale Ă cqf . Ce paramĂštre q est fortement
apparentĂ© au paramĂštre (aussi notĂ© q) introduit par Tvergaard (1982) dans le modĂšle de Gurson (1977). Dans le cas des milieux Ă bulles, lâintroduction du paramĂštre q est justifiĂ©e par les travaux de Seo et al. (2010). Ces derniers ont menĂ© des comparaisons entre des calculs 1D de propagation dâondes de choc basĂ©s sur un modĂšle continu, dans lequel la dynamique des bulles est dĂ©crite par lâĂ©quation (4.9), et des simulations numĂ©riques tridimensionnelles directes du milieu Ă bulles (qui permettent de dĂ©crire lâĂ©coulement des fluides Ă lâĂ©chelle microscopique). Lorsque les bulles sont reparties sur un rĂ©seau rĂ©gulier, ces deux approches donnent des rĂ©sultats trĂšs proches si le paramĂštre q est choisi de telle façon que le rayon externe du VER (motif de sphĂšre creuse) soit Ă©gal Ă la demi-distance entre bulles voisines. Dans le cas dâun rĂ©seau cubique simple, cela revient Ă choisir q Ă©gal Ă Ï6 .
Passons maintenant Ă la seconde Ă©tape dâhomogĂ©nĂ©isation. En nĂ©gligeant les effets visqueux dans la couronne de liquide autour du cluster, nous pouvons obtenir la relation suivante reliant la pression macroscopique P
~ (agissant sur la frontiÚre extérieure du VER,
voir Fig. 4.7-b), et la pression P1 au niveau du bord du cluster :
( )( ) ( ) ( )
++â= 341
311
21
311111 3
1
3
41
2
31
~ ααα qq-Rq-RRÏP-P L&&& . (4.10)
q1 est paramĂštre du modĂšle appelĂ© paramĂštre dâinteraction entre clusters qui joue, Ă lâĂ©chelle des clusters, un rĂŽle similaire Ă celui de q au niveau des bulles. La masse volumique du mĂ©lange diphasique Ă lâintĂ©rieur du cluster peut ĂȘtre assez proche de celle du liquide pur. Pour cette raison, il ne semble pas justifiĂ© de nĂ©gliger les effets dâinertie induits par les mouvements de matiĂšre au sein du cluster. Ces effets dynamiques ont Ă©tĂ© pris en compte de maniĂšre approchĂ©e en utilisant une mĂ©thode de Bubnov-Galerkin. LâĂ©quation suivante reliant la pression moyenne dans le cluster P et la pression P1 au bord de celle-ci a Ă©tĂ© obtenue : 111 RRÏPP c
&&â= , (4.11)
cÏ Ă©tant la masse volumique du fluide dans le cluster, ( )cLc fÏÏ â= 1 . Finalement, en
combinant les Ă©quations (4.9), (4.10) et (4.11), nous obtenons lâĂ©quation suivante reliant lâĂ©volution du rayon des bulles dans les clusters Ă la pression macroscopique :
( ) ( )a
qf-a
aaaaÏpP cLb
Ï” 214
~ 221 ââÎ +Î â=
&&&& (4.12)
avec ( )( ) ( ) ( )( )311
31323132311 11
51
1 αqfNffNqf cbccbc â+â+â=Î
et ( ) ( ) ( )++â+
+â=Î 3734313234312 2
5
2
3
1
3
41
2
3cccbcc fffNqfqf
( ) ( )( ) ( ) ( )
+â+ââ 341
311
3432311
343132
3
1
3
41
2
312 ααα qqfNqffN cbccb
oĂč Nb est le nombre de bulles par clusters, 331 aRfN cb = .
3.2 Quelques résultats
La figure 4.8 montre la structure spatiale dâondes de choc pour diffĂ©rentes valeurs initiales du rayon des clusters ; le rayon initial des bulles, la porositĂ© moyenne et celle au sein des
78
clusters sont identiques dans tous les cas. Comme nous le voyons, la longueur dâonde du signal de pression augmente avec la taille des clusters. Si pour de petits clusters contenant peu de bulles, la structure de lâonde de choc nâest pas trĂšs diffĂ©rente de celle du milieu Ă bulles homogĂšne, des diffĂ©rences plus marquĂ©es sont observĂ©es pour des amas plus grands. Dans un milieu Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšne, deux types dâeffets inertiels liĂ©s Ă la microstructure entrent en jeu, faisant intervenir deux Ă©chelles caractĂ©ristiques diffĂ©rentes : les premiers sont induits par les accĂ©lĂ©rations subies par le liquide Ă proximitĂ© immĂ©diate des bulles et dĂ©pendent du rayon de ces derniĂšres, tandis que les seconds sont liĂ©s Ă lâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de porositĂ© et interviennent Ă lâĂ©chelle des clusters. Pour cette raison, les hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© conduisent gĂ©nĂ©ralement Ă amplifier les effets inertiels. Cela explique pourquoi la longueur dâonde du profil de choc puisse ĂȘtre bien plus importante dans un liquide contenant des amas de bulles que dans le liquide homogĂšne correspondant (un accroissement des effets inertiels conduit Ă des oscillations plus lentes des clusters et des bulles quâils contiennent et donc Ă une augmentation de la longueur dâonde).
Fig. 4.8. Propagation dâune onde de choc dans un liquide contenant des clusters de bulles : effet du rayon des clusters sur la structure spatiale de lâonde. Gaz : N2 , liquide : huile de
silicone, rayon initial des bulles a0=1 mm, porosité initiale dans les clusters et dans le
mélange : 0cf = 1 % et 0
~f = 0.25 % ( 0α = 25 %).
La figure 4.9 montre lâinfluence du rayon des bulles sur la structure spatiale dâune onde de
choc pour des valeurs donnĂ©es du rayon des clusters, de la porositĂ© moyenne et de celle au sein des clusters. Pour ces simulations, les effets thermiques nâont pas Ă©tĂ© pris en compte. Bien sĂ»r, la longueur dâonde du profil dĂ©croit avec le rayon des bulles du fait dâune rĂ©duction des effets micro-inertiels. NĂ©anmoins, nous observons que la structure du choc devient indĂ©pendante du rayon des bulles lorsque celui-ci devient infĂ©rieur Ă une certaine valeur. Cela signifie que pour des clusters contenant un grand nombre de bulles, les effets dynamiques intervenant Ă lâĂ©chelle des clusters dominent ceux causĂ©s par les oscillations des bulles.
79
Fig. 4.9. Propagation dâune onde de choc dans un liquide contenant des clusters de bulles :
effet du rayon des bulles sur la structure spatiale de lâonde. Gaz : N2 , liquide : huile de silicone, rayon initial des clusters
01R =4 cm, porosité initiale dans les clusters et dans le
mélange : 0cf = 1 % et 0
~f = 0.25 % ( 0α = 25 %). Pour ces simulations, les échanges
thermiques entre les bulles et le liquide nâont pas Ă©tĂ© pris en compte. 4. Conclusion
Dans ce chapitre, la question de lâinfluence dâune rĂ©partition inhomogĂšne des bulles sur la rĂ©ponse dynamique dâun liquide aĂ©rĂ© a Ă©tĂ© abordĂ©e. Dans un premier temps, nous avons essayĂ© de modĂ©liser les effets des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© en dĂ©veloppant un modĂšle continu basĂ© sur une mĂ©thode de transition dâĂ©chelles en deux Ă©tapes et la notion de volume Ă©lĂ©mentaire statistiquement reprĂ©sentatif. Cependant, des comparaisons avec des simulations tridimensionnelles (dans lesquelles le domaine de calcul est divisĂ© en plusieurs zones ayant des porositĂ©s diffĂ©rentes) ont mis en dĂ©faut cette stratĂ©gie. La raison de cela est que la microstructure dâun milieu Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšne fait intervenir deux longueurs caractĂ©ristiques : le rayon des bulles et la distance sur laquelle les hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ© sont observĂ©es. Des effets dâinertie peuvent avoir lieu Ă chacune de ces Ă©chelles. Or, la notion de volume Ă©lĂ©mentaire statistiquement reprĂ©sentatif ne permet pas de tenir compte des effets inertiels ayant lieu Ă lâĂ©chelle intermĂ©diaire (liĂ©e aux hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de porositĂ©).
Un second effort de modĂ©lisation a Ă©tĂ© entrepris pour un type particulier dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de
porositĂ©, celui dâun liquide contenant des clusters de bulles. Le modĂšle dĂ©veloppĂ© est aussi basĂ© sur une mĂ©thode de transition dâĂ©chelles en deux Ă©tapes, mais dans ce cas les effets dâinertie sont pris en compte lors des deux Ă©tapes. Les rĂ©sultats montrent que la structure dâune onde de choc se propageant dans un liquide contenant des amas de bulles va dĂ©pendre non seulement du rayon des bulles, mais aussi de la taille des amas. Notons que la validitĂ© du modĂšle proposĂ© a pu ĂȘtre Ă©tablie sur la base de comparaisons avec des rĂ©sultats de calculs axisymĂ©triques dans lesquels les clusters sont reprĂ©sentĂ©s directement (via le maillage), et de donnĂ©es expĂ©rimentales de la littĂ©rature, voir (Grandjean et al., 2012).
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TroisiĂšme partie : Perspectives de recherche et conclusion
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Projets de recherche
Dans cette partie, une liste de problĂšmes que jâaimerais aborder dans lâavenir est prĂ©sentĂ©e.
Certains font dĂ©jĂ lâobjet dâactions de recherche, dâautres correspondent Ă des projets Ă plus long terme, dont la concrĂ©tisation est subordonnĂ©e en partie Ă lâobtention de moyens humains et financiers.
Sur le thĂšme de lâendommagement dynamique ductile : aspects fondamentaux ModĂ©lisation de lâendommagement dynamique ductile avec prise en compte de lâeffet de forme des cavitĂ©s. Il sâagit des travaux de thĂšse de CĂ©dric Sartori (doctorant Ă lâUniversitĂ© de Lorraine) qui ont dĂ©butĂ© en 2011. Dans les travaux concernant lâendommagement dynamique prĂ©sentĂ©s dans ce mĂ©moire, nous nous sommes toujours basĂ©s sur lâhypothĂšse de cavitĂ©s ayant une forme sphĂ©rique. Il est bien connu que cette hypothĂšse nâest pas adaptĂ©e lorsque lâon considĂšre des problĂšmes impliquant une faible triaxialitĂ© des contraintes, pour lesquels des changements de forme significatifs des vides sont observĂ©s au cours de la dĂ©formation du matĂ©riau. Cette hypothĂšse est Ă©galement inappropriĂ©e lorsque lâon a affaire Ă des cavitĂ©s initialement trĂšs aplaties. Il est par exemple bien connu que dans certains aciers multiphasĂ©s, lâendommagement sâinitie par lâapparition de micro-fissures dans une phase fragile (ferrite) qui croissent ensuite par dĂ©formation plastique dâune phase ductile (austĂ©nite). La description des effets de forme des vides dans les matĂ©riaux poreux est aussi importante dans lâobjectif de prĂ©voir la coalescence des cavitĂ©s (Gologanu et al., 2001). Dans le cadre de la thĂšse de CĂ©dric Sartori, nous sommes en train, dans lâesprit des travaux menĂ©s par Gologanu (1997) pour le cas quasi-statique, de dĂ©velopper un modĂšle de comportement et dâendommagement dynamique (incorporant effets micro-inertiels) Ă base micromĂ©canique, pour des matĂ©riaux contenant des cavitĂ©s sphĂ©roĂŻdales. Effet dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s micro-structurales sur lâendommagement dynamique ductile. Dans le cas de sollicitations quasi-statiques, diffĂ©rents Ă©tudes ont Ă©tĂ© menĂ©es concernant lâinfluence dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de microstructure lors de la rupture de matĂ©riaux ductiles (Becker, 1987 ; Devillers-Guerville et al., 1998 ; Lebond et Perrin, 1999). Ces travaux montrĂšrent que les hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s micro-structurales, en accĂ©lĂ©rant localement lâendommagement, contribue à « affaiblir » le matĂ©riau et Ă limiter sa ductilitĂ©. Il est possible que lâeffet des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de microstructure soit un peu diffĂ©rent sous chargement dynamique. Il est en effet probable que ces hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s conduisent Ă amplifier les effets dâinertie microscopique, de maniĂšre un peu similaire Ă ce que nous avons observĂ© dans le cas de milieux Ă bulles hĂ©tĂ©rogĂšnes (chap. 4). En sâinspirant des travaux de Becker (1987) et de Devillers-Guerville et al. (1998), lâendommagement de matĂ©riaux ductiles en prĂ©sence dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de microstructure pourrait ĂȘtre Ă©tudiĂ© dans un premier temps Ă lâaide de calculs par Ă©lĂ©ments finis, dans lesquels certaines propriĂ©tĂ©s matĂ©riau (par exemple la porositĂ© initiale ou les paramĂštres de nuclĂ©ation) seraient affectĂ©es alĂ©atoirement Ă diffĂ©rentes zones du maillage. Interaction entre effets non-locaux et micro-inertie. La simulation numĂ©rique de matĂ©riaux ayant un comportement adoucissant pose le problĂšme de la localisation pathologique de lâendommagement, celui-ci tendant Ă se concentrer dans une zone de largeur nulle, rendant impossible toute convergence des rĂ©sultats par rapport au maillage. Dans le cas quasi-statique,
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la rĂ©solution de ce problĂšme requiert lâutilisation de modĂšles non-locaux22. Les effets non-locaux deviennent significatifs lorsque la longueur caractĂ©ristique de variation des champs macroscopiques devient du mĂȘme ordre de grandeur que la taille de la microstructure du matĂ©riau, ce qui survient lorsque des phĂ©nomĂšnes de localisation apparaissent. Pour les problĂšmes dynamiques (avec prise en compte de lâinertie Ă lâĂ©chelle macroscopique), lâintroduction dâune sensibilitĂ© Ă la vitesse de dĂ©formation dans la loi de comportement du matĂ©riau, comme câest le cas avec la micro-inertie, gĂ©nĂšre aussi un effet rĂ©gularisant. Comme nous lâavons observĂ© prĂ©cĂ©demment, lâutilisation de modĂšles dâendommagement avec micro-inertie permet dâobtenir une convergence des rĂ©sultats par rapport au maillage. Lâeffet rĂ©gularisant induit par lâinertie microscopique dĂ©pend directement de la taille caractĂ©ristique de la microstructure du matĂ©riau. Au travers de comparaisons avec des rĂ©sultats dâessais dâimpact de plaques pour du tantale, nous avons observĂ© que nos simulations numĂ©riques Ă©taient en mesure de reproduire de maniĂšre correcte la rĂ©partition spatiale de porositĂ© dans les Ă©prouvettes et, en particulier, la taille de la zone fortement endommagĂ©e (Jacques et al., 2010). Cela suggĂšre que la modĂ©lisation de phĂ©nomĂšnes de localisation dynamique ne requiert pas nĂ©cessairement lâemploi de modĂšles non-locaux : il est possible que dans certains cas le mĂ©canisme rĂ©gularisant le plus important soit induit par la micro-inertie. NĂ©anmoins, pour pouvoir confirmer (ou infirmer) cette hypothĂšse et afin de mieux comprendre les mĂ©canismes rĂ©gissant les phĂ©nomĂšnes de localisation de lâendommagement et de la dĂ©formation sous sollicitations dynamiques, il me semble nĂ©cessaire de dĂ©velopper un modĂšle incorporant Ă la fois micro-inertie et effets non-locaux. Afin de relier ces deux facteurs Ă des paramĂštres microstructuraux, lâidĂ©al serait que le modĂšle repose sur une fondation micromĂ©canique. A ma connaissance, le seul modĂšle dâendommagement ductile non-local Ă base micromĂ©canique est celui proposĂ© par Gologanu, Leblond, Perrin et Devaux, voir (Gologanu, 1997) et (Enakoutsa et Leblond, 2009). Reprendre la procĂ©dure dâhomogĂ©nĂ©isation proposĂ©e par ces derniers en y incluant les effets dâinertie Ă lâĂ©chelle du VER me semble tout Ă fait possible. Cependant, une complication liĂ©e Ă cette approche est que le modĂšle obtenu reposera sur la thĂ©orie du second gradient, rendant complexe son implantation dans un code de calculs par Ă©lĂ©ments finis. Dâautres façons de faire plus simples, basĂ©es sur une prise en compte phĂ©nomĂ©nologique des effets non-locaux (voir e.g. Enakoutsa et al., 2007), sont Ă©galement envisageables.
Sur le thĂšme de lâendommagement dynamique ductile : aspects numĂ©riques Techniques dâadaptation de maillage pour la simulation numĂ©rique de la rupture dynamique. Les simulations numĂ©riques basĂ©es sur lâutilisation de modĂšles dâendommagement continus sont consommatrices de ressources informatiques importantes. En effet, elle requiert lâutilisation de maillages extrĂȘmement fins pour reprĂ©senter les zones de localisation de lâendommagement dont la taille est de lâordre de la distance moyenne entre vides. Les coĂ»ts informatiques de ces simulations sont actuellement incompatibles avec la rĂ©solution de problĂšmes industriels et mĂȘme avec la simulation de certaines configurations expĂ©rimentales assez complexes. Une piste pour limiter le nombre dâĂ©lĂ©ments nĂ©cessaires est lâutilisation de mĂ©thodes dâadaptation de maillage permettant de raffiner automatiquement, en cours de simulation, le maillage dans les zones oĂč apparaissent de forts gradients macroscopiques. Pour avancer dans cette direction, je pense mâappuyer sur une mĂ©thode dâĂ©lĂ©ments finis avec intĂ©gration nodale stabilisĂ©e (Dohrmann et al., 2000 ; Puso et al., 2008) ou avec lissage nodale (Bonet et Burton, 1998 ; Bonet et al., 2001 ; De Micheli et Mocellin,
22 Par ce terme, je dĂ©signe ici lâensemble des modĂšles donnant naissance Ă des effets dâĂ©chelle tels que les modĂšles utilisant des variables internes non-locales, ceux reposant sur la thĂ©orie micromorphe ou celle du second gradient.
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2008). Ces techniques me semblent avoir certains atouts, elles permettent en particulier de travailler avec des maillages de triangles Ă 3 nĆuds (cas 2D) ou de tĂ©traĂšdres Ă 4 nĆuds (cas 3D) sans rencontrer de problĂšmes de verrouillage volumĂ©trique, tout en Ă©tant peu sensible Ă la distorsion du maillage. En lien avec la perspective prĂ©cĂ©dente (concernant les modĂšles non-locaux), il faut noter que les techniques dâintĂ©gration nodale ouvrent des pistes pour le traitement numĂ©rique des modĂšles dâendommagement basĂ©s sur la thĂ©orie du second gradient (Yoo et al., 2004). ModĂšles de zone cohĂ©sive pour la propagation dynamique de fissures ductiles. Une autre piste pour rĂ©duire les temps de calcul et envisager des simulations Ă plus grande Ă©chelle est lâutilisation de modĂšles de zone cohĂ©sive. Lâobjectif serait de bĂątir une modĂšle de zone cohĂ©sive en se basant sur les modĂšles dâendommagement dynamique qui ont Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©s. Pour les problĂšmes quasi-statiques, la formulation de modĂšles de zones cohĂ©sives Ă partir de modĂšles dâendommagement continus a Ă©tĂ© lâobjet de plusieurs travaux (Siegmund and Brocks, 1998 ; Tvergaard, 2001 ; Cazes et al., 2009, 2010 ; Cazes, 2010). En particulier, la mĂ©thodologie proposĂ©e par Tvergaard (2001) est assez gĂ©nĂ©rale (elle nâest pas liĂ©e Ă un modĂšle dâendommagement particulier) et a aussi lâavantage de tenir compte de la triaxialitĂ© des contraintes. Dans un premier temps, je pense me baser sur cette mĂ©thode. Cependant, son application aux problĂšmes dynamiques prĂ©sente certaines limitations. La principale est liĂ©e au fait que ce modĂšle identifie le comportement de la zone cohĂ©sive Ă partir de celui dâune bande de matĂ©riau endommagĂ©, dont la largeur doit ĂȘtre spĂ©cifiĂ©e. Or, les simulations que jâai rĂ©alisĂ©es montrent que la micro-inertie induit un phĂ©nomĂšne de « dĂ©localisation » de lâendommagement : la zone dâĂ©laboration de fissure devient plus Ă©tendue quand lâintensitĂ© du chargement augmente. La prise en compte de ce phĂ©nomĂšne dans un modĂšle dâinterface est une question ouverte. NĂ©anmoins, une piste intĂ©ressante est en train dâĂȘtre ouverte par Su et Stainier (2010), qui proposent un modĂšle de bande de cisaillement adiabatique basĂ© sur une approche variationnelle. Dans ce modĂšle, la largeur de la bande est une inconnue qui peut Ă©voluer au cours du calcul, dont la valeur est dĂ©terminĂ©e par la rĂ©solution dâun problĂšme de minimisation dâune fonctionnelle.
Sur le thĂšme du comportement dynamique des matĂ©riaux hĂ©tĂ©rogĂšnes ModĂ©lisation micromĂ©canique du comportement dynamique des mousses mĂ©talliques Ă porositĂ© fermĂ©e. Les mousses mĂ©talliques sont des matĂ©riaux hĂ©tĂ©rogĂšnes fortement poreux, dont le comportement sous impact est fortement influencĂ© par des effets dâinertie associĂ©s Ă la dĂ©formation des cellules Ă©lĂ©mentaires qui les constituent. Si ce point a Ă©tĂ© mis en Ă©vidence expĂ©rimentalement (Tan et al., 2005), il nâexiste Ă ma connaissance des modĂšles de comportement tenant compte de ces effets micro-inertiels que pour le cas de mousses Ă porositĂ© ouverte (Romero et al., 2008). Le dĂ©veloppement dâune modĂ©lisation multi-Ă©chelles du comportement dynamique des mousses Ă porositĂ© fermĂ©e me semble une perspective de travail intĂ©ressante, qui pourrait ĂȘtre abordĂ©e en se basant sur le formalisme que nous avons utilisĂ© pour les matĂ©riaux endommagĂ©s, mais en considĂ©rant dâautres morphologies de VER.
Sur le thĂšme des impacts hydrodynamiques et des fluides multiphasiques ModĂ©lisation stochastique dâimpacts hydrodynamiques. Le dimensionnement et lâanalyse de lâendommagement par fatigue des structures navales nĂ©cessite de pouvoir estimer les chargements dus au tossage. Il est clair que durant la vie dâun navire, certains Ă©lĂ©ments structuraux vont subir un grand nombre dâimpacts, pour des conditions trĂšs variables : la
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vitesse dâimpact, lâangle dâincidence, la courbure de la surface du liquide (effet liĂ© Ă la houle) seront diffĂ©rents dâun impact Ă un autre, entrainant une forte variabilitĂ© des chargements gĂ©nĂ©rĂ©s. Un dimensionnement fin des structures nĂ©cessite sans doute non seulement la connaissance des chargements pour des conditions « de rĂ©fĂ©rence », mais Ă©galement des chargements extrĂȘmes, ainsi que les probabilitĂ©s dâoccurrence associĂ©es. Un projet de recherche intĂ©ressant pourrait ĂȘtre le dĂ©veloppement dâun modĂšle dâimpact tridimensionnel stochastique, permettant de modĂ©liser les incertitudes et la variabilitĂ© des chargements hydrodynamiques. Au moins deux stratĂ©gies sont envisageables pour cela. La premiĂšre serait lâutilisation dâune mĂ©thode de Monte-Carlo oĂč chaque simulation serait rĂ©alisĂ©e avec le modĂšle dâimpact dĂ©veloppĂ© par Alan Tassin durant sa thĂšse (Tassin et al., 2012). MĂȘme si ce modĂšle est assez rapide, la multiplication des calculs inhĂ©rente Ă la mĂ©thode de Monte-Carlo fait que cette approche serait sans doute trĂšs lourde en temps de calcul. Une autre stratĂ©gie reposerait sur une mĂ©thode de perturbation. Cette technique a Ă©tĂ© utilisĂ©e, par exemple, pour obtenir des solutions analytiques approchĂ©es de problĂšmes dâimpact tridimensionnels par perturbation dâune solution axisymĂ©trique (Korobkin et Scolan, 2006). La gĂ©nĂ©ralisation de cette approche pourrait permettre de dĂ©crire de maniĂšre peu coĂ»teuse lâeffet de variations des conditions dâimpact sur les chargements hydrodynamiques gĂ©nĂ©rĂ©s. Interactions fluide-structure lors dâimpacts hydrodynamiques. Il a Ă©tĂ© montrĂ© que pour certains problĂšmes dâimpact, la dĂ©formation de la structure impactante et lâĂ©coulement du fluide peuvent ĂȘtre fortement couplĂ©s (Khabakhpasheva et Korobkin, 2003 ; Scolan, 2004). NĂ©anmoins, lâĂ©tude des interactions fluide-structure lors dâimpacts hydrodynamiques est un sujet qui nâa Ă©tĂ© que trĂšs partiellement explorĂ©. Tout dâabord, la plupart des Ă©tudes publiĂ©es se focalisent sur des problĂšmes bidimensionnels. La mise au point dâune mĂ©thodologie permettant de traiter efficacement des problĂšmes tridimensionnels dâimpact hydroĂ©lastique est un problĂšme ouvert. Un autre point qui mĂ©riterait une certaine attention est lâanalyse des interactions fluide-structure lors dâimpacts de structures non-linĂ©aires. Dans la plupart des Ă©tudes de la littĂ©rature, le comportement de la structure est modĂ©lisĂ© dans le cadre des petites perturbations. Or, il me semble fort possible que certains problĂšmes, pour lesquels les couplages entre rĂ©ponse structurale et Ă©coulement sont importants, correspondent Ă©galement Ă des cas oĂč le comportement de la structure pourrait prĂ©senter une certaine non-linĂ©aritĂ© dâorigine gĂ©omĂ©trique. Notons Ă©galement que trĂšs peu de travaux existants concernent lâimpact de structures fortement flexibles. La simulation de ce problĂšme pose des questions concernant Ă la fois la modĂ©lisation du fluide, de la structure, et des algorithmes de rĂ©solution et de couplage. Effets de lâaĂ©ration lors dâimpacts hydrodynamiques. Certains problĂšmes dâimpact impliquent non pas un liquide pur, mais un fluide contenant une certaine quantitĂ© de gaz. Cela se produit par exemple lors des impacts gĂ©nĂ©rĂ©s par le ballotement du gaz liquĂ©fiĂ© contenu dans les cuves des mĂ©thaniers ou lors du dĂ©ferlement de vagues sur des installations cĂŽtiĂšres. La prĂ©sence du gaz, en modifiant trĂšs fortement la compressibilitĂ© du fluide, influe sur les chargements induits lors de lâimpact sur la structure. Il est important de noter que, si lâaĂ©ration du fluide tend Ă rĂ©duire les pics de pression lors de lâimpact, elle peut conduire Ă augmenter la durĂ©e de ce dernier et, au final, Ă augmenter lâimpulsion subie par la structure (Bullock et al., 2007). La modĂ©lisation de lâimpact de fluides aĂ©rĂ©s a fait lâobjet de quelques travaux, mais se basant gĂ©nĂ©ralement sur une description assez sommaire du comportement du fluide aĂ©rĂ© (utilisant un module de compressibilitĂ© effectif). Certains travaux prĂ©liminaires mâamĂšnent Ă penser que cela nâest pas forcement suffisant. A cause de la rĂ©ponse des bulles, le comportement dâun fluide aĂ©rĂ© est Ă la fois fortement non-linĂ©aire et sensible Ă la vitesse de chargement. Ces aspects pourraient avoir une certaine influence dans les problĂšmes dâimpact.
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Il serait intĂ©ressant de les Ă©tudier en utilisant, par exemple, les modĂšles de fluides diphasiques qui sont dĂ©veloppĂ©s dans la thĂšse dâHervĂ© Grandjean, et Ă©galement dâenvisager la rĂ©alisation dâune campagne dâessais en utilisant la machine hydraulique dâimpact de lâENSTA Bretagne.
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Conclusion
Dans ce mĂ©moire, jâai voulu illustrer les recherches que jâai menĂ©es depuis ma nomination
comme MaĂźtre de ConfĂ©rences Ă lâENSTA Bretagne. Compte tenu du positionnement scientifique du Laboratoire Brestois de MĂ©canique et des SystĂšmes (LBMS), jâai cherchĂ© Ă dĂ©velopper diffĂ©rentes actions dans le domaine de la dynamique rapide. De mon point de vue, les principales avancĂ©es liĂ©es Ă mes travaux sont :
âą Le dĂ©veloppement de modĂšles dynamiques dâendommagement ductile Ă base micromĂ©canique (tenant compte des effets de lâinertie microscopique).
âą Lâanalyse du rĂŽle des effets micro-inertiels dans certains problĂšmes de rupture dynamique (Ă©caillage et propagation dynamique de fissures ductiles).
âą La modĂ©lisation et lâanalyse des effets dâhĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s de fraction volumique de gaz sur la propagation dâondes dans les milieux Ă bulles.
âą Le dĂ©veloppement et la validation dâun modĂšle tridimensionnel simplifiĂ© dâimpact hydrodynamique basĂ© sur la thĂ©orie de Wagner.
Dans la rĂ©alisation de ces travaux, jâai essayĂ© de concilier aspects thĂ©oriques et applicatifs.
Jâai cherchĂ© bien sĂ»r Ă Ă©clairer certains points de notre discipline encore mal compris, mais aussi Ă mettre au point des outils permettant de rĂ©pondre Ă certains problĂšmes industriels. Pour cela, jâai essayĂ© dâavoir une approche assez multidisciplinaire. Par exemple, dans mes travaux sur la rupture dynamique, la formulation de nouveaux modĂšles de comportement et dâendommagement a toujours Ă©tĂ© accompagnĂ©e de dĂ©veloppements numĂ©riques permettant leur intĂ©gration dans des codes de calculs et la rĂ©alisation de simulations numĂ©riques. Aussi, jâai accordĂ© une grande importance Ă la validation des modĂšles mis au point, sur la base de confrontations avec dâautres approches de modĂ©lisation (e.g. simulations micromĂ©caniques par Ă©lĂ©ments finis de matĂ©riaux poreux, calculs dâimpacts hydrodynamiques basĂ©s sur la mĂ©thode Volume-of-Fluid) et de donnĂ©es expĂ©rimentales. Je prĂ©cise sur ce point que si mon travail a portĂ© surtout sur la modĂ©lisation, jâai essayĂ© dâĂ©tablir un dialogue avec des collĂšgues expĂ©rimentateurs et participĂ© activement Ă la dĂ©finition de certaines campagnes dâessais dâimpact hydrodynamique.
Les travaux qui sont prĂ©sentĂ©s dans ce mĂ©moire ne me sont bien sĂ»r pas propres. Tout dâabord, certains dâentre eux rĂ©sultent du travail des doctorants que jâai co-encadrĂ©s : Alan Tassin et HervĂ© Grandjean. Dâautres sont le fruit de collaborations sur le long terme avec des enseignants-chercheurs : Alain NĂȘme pour les travaux sur lâimpact hydrodynamique, SĂ©bastien Mercier et Alain Molinari (UniversitĂ© de Lorraine) pour lâendommagement dynamique ductile.
JâespĂšre que les travaux et projets de recherche prĂ©sentĂ©s dans ce mĂ©moire auront montrĂ©
mon implication dans le travail scientifique. Au terme de onze annĂ©es dâactivitĂ© dans le monde de la recherche, dont six comme MaĂźtre de ConfĂ©rences, je pense avoir acquis suffisamment dâexpĂ©rience et dâautonomie scientifique pour effectuer les diffĂ©rentes tĂąches incombant Ă un enseignant-chercheur confirmĂ©, telles que la mise en place dâactions de recherche originales, lâencadrement de doctorants et de stagiaires, la gestion de partenariats acadĂ©miques et industriels, la valorisation des rĂ©sultats au travers de publications et communications. Cela me motive Ă candidater Ă lâHabilitation Ă Diriger des Recherches.
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