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1

1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

8th Lecture / 8. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Büro: Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

2

3-D FDTD – Derivation of the Discrete Equations / 3D-FDTD – Ableitung der diskreten Gleichungen

The first two Maxwell’s Equations are in differential form / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten in Differentialform:

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

∂= −∇ −

∂∂

= ∇ −∂

B R ×E R J R

D R ×H R J R

In Cartesian Coordinates we find for the Curl operator applied to E and H / Im Kartesischen Koordinatensystem finden wir für den Rotationsoperator angewendet auf E und H:

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , )( , )

x y y

x y z

y yx xz zx y z

x y y

x y z

yz

tx y z

E t E t E t

E t E tE t E tE t E ty z z x x y

tx y z

H t H t H t

H tH ty

∂ ∂ ∂∇ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∇ =

∂ ∂ ∂

∂∂= −

∂

e e e

×E R

R R R

R RR RR Re e e

e e e

×H R

R R R

RR ( , )( , ) ( , )( , ) yx xzx y z

H tH t H tH tz z x x y

∂ ∂ ∂∂ + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

RR RRe e e

2

3


If we insert the last expressions into the first two Maxwell’s equations are in differential form read / Wenn wir die letzten Ausdrücke in the ersten beiden Maxwellschen Gleichungen in Differentialform einsetzen,

erhalten wir:

m( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )

x y zx y z

y yx xz zx y z

t t tt

B t B t B tt

E t E tE t E tE t E ty z z x x y

∂= −∇ −

∂∂ + + ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

B R ×E R J R

R e R e R e

R RR RR Re e e

m m m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , )

x y zx y z

x y zx y z

y xzx

J t J t J t

t t tt

D t D t D tt

H t H tH ty z z

− + +

∂= ∇ −

∂∂ + + ∂

∂ ∂∂= − + ∂ ∂ ∂

R e R e R e

D R ×H R J R

R e R e R e

R RR e

e e e

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , ) ( , )

y xzy z

x y zx y z

H t H tH tx x y

J t J t J t

∂ ∂∂ − + − ∂ ∂ ∂ − + +

R RR e e

R e R e R e

Six decoupled scalar equations! / Sechs entkoppelte skalare Gleichungen!

4


If we insert the last expressions into the first two Maxwell’s equations are in differential form we read / Wenn wir die letzten Ausdrücke in die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen in Differentialform

einsetzen, erhalten wir:

m

m

m

e

( , )( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )( , )( , ) ( , )

(

yzx x

x zy y

y xz z

yzx x

y

E tE tB t J tt y z

E t E tB t J tt z x

E t E tB t J tt x y

H tH tD t J tt y z

Dt

∂ ∂∂= − − − ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

= − − − ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂= − − ∂ ∂ ∂

∂∂

RRR R

R RR R

R RR R

RRR R

R e

e

( , ) ( , ), ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

x zy

y xz z

H t H tt J tz x

H t H tD t J tt x y

∂ ∂ = − − ∂ ∂ ∂ ∂∂

= − − ∂ ∂ ∂

R R R

R RR R

3

5


m

m

m

e

( , )( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )( , )( , ) ( , )

yzx x

x zy y

y xz z

yzx x

E tE tH t J tt y z

E t E tH t J tt z x

E t E tH t J tt x y

H tH tE t J tt y z

t

µ

µ

µ

ε

∂ ∂∂= − − − ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

= − − − ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂= − − ∂ ∂ ∂

∂∂

RRR R

R RR R

R RR R

RRR R

e

e

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

x zy y

y xz z

H t H tE t J tz x

H t H tE t J tt x y

ε

ε

∂ ∂ = − − ∂ ∂ ∂ ∂∂

= − − ∂ ∂ ∂

R RR R

R RR R

xEyE

zE

xH

zH

yH

m

e

, 1, 2,3

, 1,2,3i i

i i

x x

x x

H J i

E J i

= =

= =

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )

x x

y y

z z

B t H tB t H t

B t H t

µµ

µ

=

=

=

R RR R

R R

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )

x x

y y

z z

D t E tD t E t

D t E t

εε

ε

=

=

=

R RR R

R R

Constitutive equation for homogeneous isotropic materials / Konstituierende Gleichungen für homogene isotrope

Materialien:

6


m( , )( , )( , ) ( , )yz

x xE tE tH t J t

y zµ

∂ ∂= − − − ∂ ∂

RRR R

( , ) ( , )x xH t H tt∂

=∂

R R

( )dyE

( )bzE( )m

xH

( )fzE

( )uyE

( )

( )

( )

( )m m

( ) ( )2

( ) ( )2

( , ) ( )

( , ) ( )

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

mx x

mx x

f bz z z

d uy y y

H t H t

J t J t

E t E t E t yy y

E t E t E tz

z z

µ =

=

∂ − = + ∆ ∂ ∆

∂ − = + ∆ ∂ ∆

R

R

R

R

○

○

( )dyE

( )bzE

( )mxH

( )fzE

( )uyE

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

m( ) ( )( ) ( )( ) ( )

d uf by ym mz z

x xE t E tE t E tH t J t

y zµ

−−= − + −

∆ ∆

A part of the discrete curl operator / Ein Teil des diskreten Rotationsoperators

4

7

2-D EM Wave Propagation – 2-D FDTD – TM and TE Case /2D EM Wellenausbreitung – 2D-FDTD – TM- und TE-Fall

( )ng G∈

( )ng G∈

1x x=3z x=

2-D TE Case / 2D-TE-Fall

Gn n=

Gn( )nxE

( )nzE

( )nyH

2y x=( )ng G∈

( )ng G∈

1x x=3z x=

2-D TM Case / 2D-TM-Fall

Gn n=

Gn

( )nxH

( )nzH

( )nyE

2y x=

m

m

e

( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

yx x

yz z

x zy y

x z

E tH t J t

t zE t

H t J tt x

H t H tE t J tt z x

x z

µ

µ

ε

∂∂= −

∂ ∂∂∂

= − −∂ ∂

∂ ∂∂ = − − ∂ ∂ ∂ = +

RR R

RR R

R RR R

R e e

m

e

e

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

x zy y

yx x

yz z

x z

E t E tH t J tt z x

H tE t J t

t zH t

E t J tt x

x z

µ

ε

ε

∂ ∂∂ = − − − ∂ ∂ ∂

∂∂= − −

∂ ∂∂∂

= −∂ ∂

= +

R RR R

RR R

RR R

R e e

G G⊥

Dual orthogonal grid system in space /

Dual-orthogonalesGittersystem im Raum

8

2-D EM Wave Propagation – 2-D FDTD – TM Case/2D EM Wellenausbreitung – 2D-FDTD – TM-Fall

( )ng G∈

( )ng G∈

1x x=3z x=

2-D TM Case / 2D-TM-Fall

Gn n=

Gn

( )nxH

( )nzH ( )n

yE

2y x=

m

m

e

( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

yx x

yz z

x zy y

x z

E tH t J t

t zE t

H t J tt x

H t H tE t J tt z x

x z

µ

µ

ε

∂∂= −

∂ ∂∂∂

= − −∂ ∂

∂ ∂∂ = − − ∂ ∂ ∂ = +

RR R

RR R

R RR R

R e e

Two-dimensional staggered grid system in the 2-D TM case / Zweidimensionales versetztes

Gittersystem im 2D-TM-Fall

5

9

Implementation of Boundary Conditions / Implementierung von Randbedingungen

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material / Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

( , , )

( , , )

01

0

t

t

ny

t tny

En N

E

= ≤ ≤=

i i

i i

Plane wave boundary condition for a vertical incident plane wave / Ebene-Wellen-Randbedingung für eine vertikal einfallende ebene Welle

(2, , ) (3, , )

( 1, , ) ( 2, , 2)

11

z t z t

x z t x z t

n n n ny y z z

N n n N n n t ty y

E E n Nn NE E− − −

= ≤ ≤ ≤ ≤=

PW BC / EW-RB

PW BC / EW-RB

PEC BC / IEL-RB

PEC BC / IEL-RB

Slit / Schlitz

PEC BC / IEL-RB

Plane wave excitation / Ebene-Wellen-Anregung

10


( ) 0nxH =( ) 0n

zH =( ) 0nyE =

Ghost components which are allocated outside the simulation area

/ Geisterkomponenten, welche

außerhalb des Simulationsgebietes liegen

Ghost grid cells / Geistergitterzelle

n

Simulation area / Simulationsgebie

t

6

11


Ghost grid cells / Geistergitterzelle

n

Simulation area / Simulationsgebie

t

(2, ,, ) (3, ,, )z t z tn n n ny yE E=

0yE = 0yE = 0yE = 0yE =

Plane wave excitation / Ebene-Wellen-Anregung

Slit / Schlitz

12

2-D TM FDTD – Diffraction on a Single Slit /2D-TM-FDTD – Beugung an einem Spalt

7

13

2-D TM FDTD – Diffraction on a Single Slit /2D-TM-FDTD – Beugung am Spalt

Wave field movie of the Hxfield component / Wellenfeldfilm der

Hx-Feldkomponente

Wave field movie of the Hzfield component / Wellenfeldfilm der

Hz-Feldkomponente

Wave field movie of the Eyfield component / Wellenfeldfilm der

Ey-Feldkomponente

14

2-D TM FDTD – Diffraction on a Double Slit /2D-TM-FDTD – Beugung am Doppelspalt

8

15

2-D TM FDTD – Diffraction on a Double Slit /2D-TM-FDTD – Beugung am Doppelspalt

Wave field movie of the Hxfield component / Wellenfeldfilm derHx-Feldkomponente


Hz-Feldkomponente


Ey-Feldkomponente

16

Photonic Crystals /Photonische Kristalle

Joannopoulos, J. D., R. D. Meade, J. N. Winn:

Photonic Crystals –Molding the Flow of

Light. Princeton University

Press, Princeton, 1995.

Johnson, S. G.: Photonic Crystals: The Road from Theory to

Practice. Kluwer Academic

Press, 2001.

Links:

Photonic Crystals Research at MITHomepage of Prof. Sajeev John, University of Toronto, Canada

9

17

2-D TM FDTD – Photonic Crystals /2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle

( )r

( )r

Relative permittivity of the background 1

Relative Permittivität des HintergrundesRelative permittivity of the rods

11.4Relative Permittivität der Stäbe

b

r

ε

ε

=

=

18



Hx-Feldkomponente


Hz-Feldkomponente


Ey-Feldkomponente

10

19



Hx-Feldkomponente


Hz-Feldkomponente


Ey-Feldkomponente

20


11

21


22

FDTD and FIT / FDTD und FITFDTD : Finite Difference Time Domain / Finite Differenzen im ZeitbereichFIT : Finite Integration Technique / Finite Integrationstechnik

m

e

e

m

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t tt

t t tt

t t

t t

ρ

ρ

∂= −∇ −

∂

∂= ∇ −

∂

∇ =

∇ =

B R ×E R J R

D R ×H R J R

D R R

B R R

i

i

m

e

e

m

d ( , ) ( , ) ( , )d

d ( , ) ( , ) ( , )d

( , ) ( , )

( , ) ( , )

S C S S

S C S S

S V V

S V V

t t tt

t t tt

t t dV

t t dV

ρ

ρ

=∂

=∂

=∂

=∂

= − −

= −

=

=

∫∫ ∫ ∫∫

∫∫ ∫ ∫∫

∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫

B R dS E R dR J R dS

D R dS H R dR J R dS

D R dS R

B R dS R

i i i

i i i

i

i

FDTDMaxwell’s equations in differential form /

Maxwellsche Gleichungen in Differentialform

FITMaxwell’s equations in integral form /

Maxwellsche Gleichungen in Integralform

0

0 0, ,2 2( , )

z z

z zf z t f z tf z t

z z=

∆ ∆ + − − ∂ ≈∂ ∆

0

00( , ) d ,

2z z

z zzf z t z f z t z

+∆

=

∆ ≈ + ∆ ∫

FD approximation of spatial and temporal derivatives / FD-

Approximation von räumlichen und zeitlichen Ableitungen

FIT approximation of spatial and temporal integrals / FIT-Approximation

von räumlichen und zeitlichen Integralen

Central difference approximation / Zentrale Differenzen Approximation

Mid point rule approximation of a 1-D integral / Mittelpunktsregel-Approximation eines 1D-

Integrals

12

23

Definition of Material Cells / Definition der Materialzellen

1x x=3z x=2y x= 1x x=

3z x=

2y x=

1xn = x xn N=1yn =

y yn N=

z zn N=

1zn =

( )nmMaterial cell / Materialzelle

( )

1

Nn

nM m

== ∑

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

n n N

n n N

m n

m n

→ ∈ ∈

→ ∈ ∈

ε R ε

ν R ν

( ) ( ) ( )1 1 1 1

1,2, ,

1

x x y y z z

x y z

x

y x

z x y

n M n M n M n

n N N N N

MM N

M N N

= + − + − + −

= =

=

=

=

…

24

3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen

d dd

xS SR

= =

=

dS n edR s

( )dyE

( )bzE( )m

xB

( )fzE

( )uyE

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

md ( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂

= − −∫∫ ∫ ∫∫B R dS E R dR J R dSi i i

( ) ( )

( ) ( )

3 3( )

3 3( )

( , ) ( , ) d

( , ) d

( ) d

( )

xS S

xS

mx S

y z

mx

t dS t S

B t S

B t S y z y z

B t y z y z y z

=∆ ∆

=

=

= +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

= ∆ ∆ +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

∫∫ ∫∫∫∫

∫∫

n B R e B R

R

i i

1x x=3z x=2y x=

1x x= 3z x=

2y x=

integration cell / -Integrationszelle( )mxB

I ( )mxB

I

( ) ( )

( ) ( )

3 3( )

3 3( )

( , ) d ( ) d d

( )

mS S

y z

m

f t S f t y z y z y z

f t y z y z y z

=∆ ∆

= +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

= ∆ ∆ +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

∫∫ ∫∫R

x∆

z∆

Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte

Approximation error / Approximationsfehler

z∆

y∆

y∆

13

25


d d dd d

d d

x

y y

z z

S y zR y

R z

= =

= =

= =

dS n edR s e

dR s e

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

md ( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


1x x= 3z x=

2y x=


I ( )mxB

I

y∆

z∆

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) d ( , ) d

( , ) d ( , ) d

( , )d ( , )d

( , )d ( , )d

u f

d b

u f

d b

u f

d

C S C C

C C

y zC C

y zC C

y zC C

y zC

t t t

t t

t y t z

t y t z

E t y E t z

E t y E t

=∂= +

+ +

= +

− −

= +

− −

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫

E R dR E R dR E R dR

E R dR E R dR

E R e E R e

E R e E R e

R R

R R

i i i

i i

i i

i i

( )bCz∫

( )uC

( )fC( )dC

( )bC

( , ) ?C S

t=∂

=∫ E R dRi

26


( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , )d ( , )d ( , )d ( , )du f d by z y zC S C C C Ct E t y E t z E t y E t z

=∂= + − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫E R dR R R R Ri

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3( )

3( )

3( )

3( )

3( )

( )

( , )d ( ) d

( )

( , )d ( ) d

( )

( , )d ( ) d

(

u u

f f

d d

uy yC C

y

uy

fz zC C

z

fz

dy yC C

y

dy

E t y E t y y

E t y y

E t z E t z z

E t z z

E t y E t y y

E t

=∆

=∆

=∆

= + ∆

= ∆ + ∆

= + ∆

= ∆ + ∆

= + ∆

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

R

R

R

○

○

○

○

○

( )

( )

( )

( ) ( )

3

3( )

3( )

)

( , )d ( ) d

( )

b bb

z zC Cz

bz

y y

E t z E t z z

E t z z

=∆

∆ + ∆

= + ∆

= ∆ + ∆

∫ ∫R

○

○

○

( )

( )

( ) ( )3( )

3( )

( , ) d ( ) d

( )

u um

C Cy

m

f t R f t y y

f t y y

=∆

= + ∆

= ∆ + ∆

∫ ∫R ○

○

Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte

Approximation error / Approximationsfehler

( )mf

1x x= 3z x=

2y x=

y∆

( )uC

yα =

14

27


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 3

( , ) ( , )d ( , )d ( , )d ( , )d

( ) d ( ) d ( ) d ( ) d

u f d b

u f d b

y z y zC S C C C C

u f d by z y zC C C C

y z y z

t E t y E t z E t y E t z

E t y E t z E t y E t z

y z

=∂

=∆ =∆ =∆ =∆

= + − −

= + − −

+ ∆ + ∆

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

E R dR R R R Ri

○ ○

( ) ( )3 3( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) u f d by z y zC S

t E t y E t z E t y E t z y z=∂

= ∆ + ∆ − ∆ − ∆ + ∆ + ∆ ∫ E R dRi ○ ○

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

1x x= 3z x=

2y x=integration cell / -Integrationszelle( )mxB

I ( )mxB

I

y∆

z∆

( )uC

( )fC( )dC

( )bC

28


md ( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


( ) ( )

( ) ( )

m m

m

3 3( )m

3 3( )m

( , ) ( , ) d

( , ) d

( ) d

( )

xS S

xS

mx S

y z

mx

t dS t S

J t S

J t S y z y z

J t y z y z y z

=∆ ∆

=

=

= +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

= ∆ ∆ +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

∫∫ ∫∫∫∫

∫∫

n J R e J R

R

i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

m u f d b mx y z y z xB t y z E t y E t z E t y E t z J t y z

t ∆ ∆ = − ∆ + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆


I ( )mxB

I

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

u f d by z y zC S

t E t y E t z E t y E t z

y z

=∂= ∆ + ∆ − ∆ − ∆

+ ∆ + ∆

∫ E R dRi

○ ○


I ( )mxB

I


I ( )mxB

I

15

29


( )rzE

( )dxE

( )rzE

( )myB

( )lzE

( )uxE

1x x=3z x=2y x=

1x x=

3z x=2y x=

integration cell / -Integrationszelle( )myB

I ( )myB

I

x∆

z∆

( )myB( )l

zE

( )dxE

( )uxE

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )m

d ( )d

( ) ( ) ( ) ( )

( )

my

u l d rx z x z

my

B t y zt

E t x E t z E t x E t z

J t y z

∆ ∆

= − − ∆ + ∆ + ∆ − ∆

− ∆ ∆

md ( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


integration cell / -Integrationszelle( )myB

I ( )myB

I

30


1x x=3z x=2y x=

1x x=

3z x=2y x=

integration cell / -Integrationszelle( )mzB

I ( )mzB

I

y∆

( )fxE

( )mzB

( )bxE

( )ryE

( )lyE

( )fxE

( )mzB

( )bxE

( )ryE

( )lyE

x∆

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )m

d ( )d

( ) ( ) ( ) ( )

( )

mz

b r f lx y x y

mz

B t x yt

E t x E t y E t x E t y

J t x y

∆ ∆

= − ∆ + ∆ − ∆ − ∆

− ∆ ∆

md ( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


integration cell / -Integrationszelle( )mzB

I ( )mzB

I

16

31


md ( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) (

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

m u f d b mx y z y z x

m u l d r my x z x z y

m u f dz y z y

B t y z E t y E t z E t y E t z J t y zt

B t y z E t x E t z E t x E t z J t y zt

B t y z E t y E t z Et

∆ ∆ = − ∆ + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − − ∆ + ∆ + ∆ − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − ∆ + ∆ − ) ( ) ( )m( ) ( ) ( )b m

z zt y E t z J t y z ∆ + ∆ − ∆ ∆

32

Dual-Orthogonal Grid System in Space /Dual-orthogonales Gittersystem im Raum

1x x=3z x=2y x=

3-D / 3D

( )

( )

n

n

g G

m M

∈

∈

( )ng G∈

G G⊥Primary grid / Secondary (dual) grid

Primäres Gitter Sekundäres (duales) Gitter

Gn n=

Gn

( )nxE

( )nyE

( )nzB

( )nyB

( )yn MzE−

( )zn MyE−

( )zn MxE−

( )xn MzE−

( )xn MyE−

( )yn MxE−

( ) ( ) ( )1 1 1 1

1,2, ,

1

x x y y z z

x y z

x

y x

z x y

n M n M n M n

n N N N N

MM N

M N N

= + − + − + −

= =

=

=

=

…

G M=Primary grid / Material grid

Primäres Gitter Materialgitter

Global node numbering / Globale Gitternummerierung

( )nzE

( )nxB

17

33

End of Lecture 8 /Ende der 8. Vorlesung

numerical methods of electromagnetic field theory …1 1 numerical methods of electromagnetic field...

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