numerical methods of electromagnetic field theory i (nft i ... · of the inhomogeneous case –...
TRANSCRIPT
Num
eric
al M
etho
ds o
f El
ectr
omag
netic
Fie
ld T
heor
y I (
NFT
I)N
umer
isch
e M
etho
den
der
Elek
trom
agne
tisch
en F
eldt
heor
ie I
(NFT
I) /
4th
Lect
ure
/ 4.
Vorle
sung
Univ
ersi
tät K
asse
lFa
chbe
reic
h El
ektr
otec
hnik
/ In
form
atik
(F
B 16
)Fa
chge
biet
The
oret
isch
e El
ektr
otec
hnik
(F
G T
ET)
Wilh
elm
shöh
er A
llee
71Bü
ro: R
aum
211
3 /
2115
D-3
4121
Kas
selDr.
-Ing
. Ren
éM
arkl
ein
mar
klei
n@un
i-ka
ssel
.de
http
://w
ww
.tet.e
-tec
hnik
.uni
-kas
sel.d
eht
tp:/
/ww
w.u
ni-k
asse
l.de/
fb16
/tet
/mar
klei
n/in
dex.
htm
l
Univ
ersi
ty o
f Kas
sel
Dep
t. El
ectr
ical
Eng
inee
ring
/ Co
mpu
ter
Scie
nce
(FB
16)
Elec
trom
agne
tic F
ield
The
ory
(FG
TET
)W
ilhel
msh
öher
Alle
e 71
Off
ice:
Roo
m 2
113
/ 21
15D
-341
21 K
asse
l
FD S
olut
ion
of th
e 1-
D W
ave
Equa
tion
/ FD
-Lös
ung
der
1D W
elle
ngle
ichu
ng
Nor
mal
ized
1-D
FD
wav
e eq
uatio
n /
Nor
mie
rte
1D F
D W
elle
ngle
ichu
ng
(Cau
salit
y /
Kaus
alitä
t)0
0
(,
)(
,)
e ()
()
(,
)(
)e
e
0
1 1
zt
zt
zz
zt
t
nn
nn
xx
tn
nnn
nx
xt
EJ
n
JK
fn
δ
==
≤
=>
(1,
)
(,
)
01
0
t
ztn
xt
tNn
xEn
NE
=
≤
≤
=
Initi
al c
ondi
tion
/ An
fang
sbed
ingu
ng
Boun
dary
con
ditio
n /
Rand
bedi
ngun
g
Dis
cret
e hy
perb
olic
in
itial
-bou
ndar
y-va
lue
prob
lem
/D
iskr
etes
hy
perb
olis
ches
An
fang
s-Ra
ndw
ert-
Prob
lem
(,
1)(
,)
(,
1)(
1,)
(,
)(
1,)
2
(,
)(
,1)
ee
1ˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ2
()
2fo
r / fü
r1
ˆˆ
zt
zt
zt
zt
zt
zt
zt
zt
zz
nn
nn
nn
nn
nn
nn
xx
xx
xx
tt
nn
nn
xx
nN
EE
Et
EE
En
N
tJ
J
+−
+−
−
≤≤
=
−+∆
−+
≤
≤
+∆
−
z∆z∆
z∆z∆
zZ
zN=∆
1zn=
zz
nN
=
(,
)0
zt
Nn
xE=
(1,
)0
tnxE
=(
,)
zt
nn
xE
FD M
etho
d –
1-D
FD
Wav
e Eq
uatio
n –
Flow
Cha
rt /
FD
-Met
hode
–1D
FD
-Wel
leng
leic
hung
-Fl
ussd
iagr
amm
(,
)(
,1)
(,
2)(
1,1)
(1,
1)2
2ˆ
ˆˆ
ˆˆ
21
()
()
zt
zt
zt
zt
zt
nn
nn
nn
nn
nn
xx
xx
xE
tE
Et
EE
−−
+−
−−
=−∆
−+∆
+
(,
)(
,)
(,
1)(
,2)
ee
ˆˆ
ˆˆ
zt
zt
zt
zt
nn
nn
nn
nn
xx
xx
EE
tJ
J−
−
=
+∆
−
Star
t
Stop
1t
tn
n=
+
tt
nN
≥
1tn=
For
all n
x: 1
-D F
D w
ave
equa
tion
/ 1D
FD
Wel
leng
leic
hung
For
all n
x : E
xcita
tion
/ An
regu
ng
No
No
Yes
Yes
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
()
00
00
2(
1)1
cos
cos
20
()2
0el
se /
sons
tn
n
RC
fn
tft
tnT
Tf
tn
fπ
π
−
−
<<
==
=
Rais
ed c
osin
e pu
lse
with
n c
ycle
s /
Aufs
teig
ende
r Ko
sinu
s-Im
puls
mit
nZy
klen
()
()
2
00
0
12
1co
sco
s2
02
2()
0el
se /
sons
tRC
ftft
tT
Tf
ft
ππ
−
<<
==
= Ra
ised
cos
ine
puls
e w
ith 2
cycl
es /
Au
fste
igen
der
Kosi
nus-
Impu
ls m
it 2
Zykl
en
Tim
e /
Zeit
t
001
fT
=
002 Tπ
ω=
Freq
uenc
y /
Freq
uenz
Circ
ular
Fre
quen
cy /
Kr
eisf
requ
enz
02
TT
=
0T
2()
RCft
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
0e
0RC
2RC
20
(,
)()
(,
)x
xzz
Jzzt
ft
Ezt
ft
c
−
=→
∼∼
∓
Elec
tric
cur
rent
den
sity
exc
itatio
n: b
road
band
pul
se /
El
ektr
isch
e St
rom
dich
tean
rege
gung
: bre
itban
dige
rIm
puls
()RC
2
1 1
em1
(,
)
(,
)
(,
)
x y
z
ft
Ezt
Hzt
Szt
Snapshots / Schnappschüsse
Sour
ce p
oint
/
Que
llpun
kt
xE−
←xE+→
yH
−←
yH
+→
emz
S−←
emz
S+→
Num
eric
al R
esul
ts –
Valid
atio
n /
Num
eris
che
Erge
bnis
se –
Valid
ieru
ng
Num
eric
al R
esul
ts/
Num
eris
che
Erge
bnis
se
Valid
atio
n /
Valid
ieru
ng
Com
pare
num
eric
al r
esul
ts w
ith a
naly
tical
sol
utio
ns o
r w
ith o
ther
nu
mer
ical
sol
utio
ns. /
Ver
glei
che
die
num
eris
chen
Erg
ebni
sse
mit
anal
ytis
chen
Lös
unge
n od
er a
nder
en n
umer
isch
en L
ösun
gen
Num
eric
al R
esul
ts –
Valid
atio
n /
Num
eris
che
Erge
bnis
se –
Valid
ieru
ng
1.Pl
ane
Wav
e So
lutio
n of
the
Hom
ogen
eous
Cas
e –
No
sour
ces,
no
boun
darie
s!/
Eben
e W
elle
n al
s Lö
sung
des
hom
ogen
en F
alle
s –
Kein
e Q
uelle
n, k
eine
Rän
der!
Give
s th
e co
rrec
t cha
ract
eris
tic, b
ut n
ot th
e co
rrec
t am
plitu
de a
nd
no re
flect
ions
at t
he b
ound
arie
s! /
Gi
bt d
ie k
orre
kte
Char
akte
ristik
, abe
r nic
ht d
ie k
orre
kte
Ampl
itude
und
kei
ne
Refle
xion
en a
n de
n Rä
nder
n w
iede
r!
2. G
reen
’s F
unct
ion
Solu
tion
of th
e In
hom
ogen
eous
Cas
e –
“Poi
nt”s
ourc
e, b
ut n
o bo
unda
ries,
if w
e us
e th
e fr
ee-s
pace
Gre
en’s
func
tion!
/ Lö
sung
übe
r G
reen
sche
Fun
ktio
n fü
r de
n in
hom
ogen
en F
all –
„Pun
kt“q
uelle
, abe
r ke
ine
Ränd
er, w
enn
wir
die
Gre
ensc
he F
unkt
ion
für
den
Frei
raum
ver
wen
den!
Give
s th
e co
rrec
t cha
ract
eris
tic a
nd c
orre
ct a
mpl
itude
, but
no
refle
ctio
ns
at th
e bo
unda
ries!
/
Gibt
die
kor
rekt
e Ch
arak
teris
tik u
nd d
ie k
orre
kte
Ampl
itude
, abe
r kei
ne
Refle
xion
en a
n de
n Rä
nder
n w
iede
r!
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
Hom
ogen
eous
sca
lar
1-D
wav
e eq
uatio
n fo
r th
e el
ectr
ic fi
eld
stre
ngth
/ H
omog
ene,
ska
lare
1D
-Wel
leng
leic
hung
für
die
elek
tris
che
Feld
stär
ke
00
22
22
20
22
22
20
11
001
(,
)(
,)
0
1(
,)
0
11
(,
)0
xx x
zct
zct
x
Ezt
Ezt
zc
t
Ezt
zc
t
Ezt
zc
tzc
t
∂
∂∂
∂+
−
∂∂
∂∂
∂∂
−=
∂∂
∂∂
−=
∂∂
∂
∂∂
∂+
−=
∂
∂∂
∂
Split
ting
of th
e 1D
wav
e op
erat
or /
Au
fspa
ltung
des
1D
-Wel
leno
pera
tors
00
11
(,
)0
(
,)
0x
xEzt
Ezt
zc
tzc
t
∂
∂∂
∂+
=−
=
∂
∂∂
∂
One
-way
wav
e eq
uatio
n /
“One
-way
”Wel
leng
leic
hung
Hyp
erbo
lic p
artia
l diff
eren
tial e
quat
ion
/ H
perb
olis
che
part
ielle
Diff
eren
tialg
leic
hung
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
00
00
00
00
0
00
00
00
00
00
11
(,
), 1
,,
11
,,
0
11
(,
),
x x
zEzt
Ezt
zc
tzc
tc
zz
Ezt
Ezt
zc
ct
c
zz
Ezt
Ezt
cc
cc
zEzt
Ezt
zc
tzc
tc
+
++
++
−
∂∂
∂∂
+=
+−
∂∂
∂∂
∂∂
=−
+−
∂∂
=−
−+
−
=
∂∂
∂∂
−=
−+
∂∂
∂∂
∂=
00
00
0
00
00
00
1,
,
11
,,
0
zz
Ezt
Ezt
zc
ct
c
zz
Ezt
Ezt
cc
cc
−−
−−
∂+
−+
∂∂
=+
−+
=
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
Hom
ogen
eous
sca
lar
1-D
wav
e eq
uatio
n fo
r th
e el
ectr
ic fi
eld
stre
ngth
/ H
omog
ene,
ska
lare
1D
-Wel
leng
leic
hung
für
die
elek
tris
che
Feld
stär
ke
22
22
20
001
(,
)(
,)
0
11
(,
)0
xx x
Ezt
Ezt
zc
t
Ezt
zc
tzc
t
∂∂
−=
∂∂
∂
∂∂
∂+
−=
∂
∂∂
∂
00
00
00
(,
), ,
,
xz
Ezt
Eztc z
zE
zt
Ezt
cc
+−
=
=
−+
+
∓So
lutio
n is
a le
ft a
nd r
ight
pro
paga
ting
plan
e w
ave
/Lö
sung
ist e
ine
nach
link
s un
d re
chts
lauf
ende
eb
ene
Wel
le
A w
ave,
whi
ch
prop
agat
es fo
r in
crea
sing
tim
e ti
n po
sitiv
e z
dire
ctio
n /
Eine
Wel
le, d
ie s
ich
für
zune
hmen
de Z
eit
t in
posi
tive
z-Ri
chtu
ng a
usbr
eite
t
A w
ave,
whi
ch
prop
agat
es fo
r in
crea
sing
tim
e ti
n ne
gativ
e z
dire
ctio
n /
Eine
Wel
le, d
ie s
ich
für
zune
hmen
de Z
eit
t in
nega
tive
z-Ri
chtu
ng a
usbr
eite
t
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/
FD-M
etho
de –
1D W
elle
ngle
ichu
ng –
Beis
piel
Cons
ider
an
asym
met
ric tr
iang
ular
pul
se /
Betr
acht
e ei
nen
asym
met
risch
en
Dre
ieck
sim
puls
()0
0at
ri(
,)
xEzzt
Ef
t=
=()
atri
ft
t→T
00
0
00
atri
0
00
0at
ri0
atri
00
00
00
00
(,
),
, ,,
,,
xzz
Ezt
Ezt
c
zz
Ef
zt
c zz
zz
Ef
zt
Ef
zt
cc
zz
zz
Ezt
Ezt
cc
+−
−=
−=
−−
=−
++
−−
=−
++
∓
∓
This
mea
ns, t
hat t
he s
olut
ion
for
all z
and
t is
give
n by
/ D
ies
bede
utet
, das
s di
e Lö
sung
für
alle
zun
d tg
egeb
en is
t dur
ch(
) 1,xEzt
z→ z→
()
2,xEzt
Snap
shot
s /
Schn
apps
chüs
se
Exci
tatio
n fu
nctio
n /
Anre
gung
sfun
ktio
n
10
tt
=>
21
0tt
t=
>>
0zz
=
0zz
=TZ
TZ
0E−
←
0E−
←0E+→
0E+→
Sour
ce p
oint
/
Que
llpun
kt
1 0E
0E
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
0
0
0
0
00
00
00
00
00
0
() () ()
zz
tc
zz
tc
ct
zz
ctzz
zt
zct
zt
zct
zt
zct
+ −−=
−=±
=±
±=
−
=±
=+
=−
∓
∓
11
00
1
11
00
1
()
()
zt
zct
zt
zct
+ −
=+
=−
00
atri
0(
,)
,x
zz
Ezt
Ef
zt
c
−
=
∓
() 1,
xEzt
z→ z→
()
2,xEzt
Snap
shot
s /
Schn
apps
chüs
se 10
tt
=>
21
0tt
t=
>>
0z 0zTZ
TZ
0E−
←
0E−
←0E+→
0E+→
22
00
2
22
00
2
()
()
zt
zct
zt
zct
+ −
=+
=−
2z−2z+
1z−1z+
Sour
ce p
oint
/
Que
llpun
kt
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
22
22
201
(,
)(
,)
0x
xEzt
Ezt
zc
t∂
∂−
=∂
∂ 00
(,
),
xz
Ezt
Eztc
=
∓
01(
,)
(,
)y
xH
zt
Ezt
tz
µ∂
∂=−
∂∂
em(
,)
(,
)(
,)
zx
yS
zt
EztH
zt
=
?
FD M
etho
d –
1-D
Hel
mho
ltz E
quat
ion
(Red
uced
Wav
e Eq
uatio
n)FD
-Met
hode
–1D
Hel
mho
ltz-G
leic
hung
(Sch
win
gung
sgle
ichu
ng)
22
22
201
(,
)(
,)
0x
xEzt
Ezt
zc
t∂
∂−
=∂
∂
Hom
ogen
eous
sca
lar
1-D
wav
e eq
uatio
n /
Hom
ogen
e, s
kala
re 1
D-W
elle
ngle
ichu
ng
1-D
Fou
rier
tran
sfor
m w
ith
rega
rd to
tim
e t/
1D F
ourie
r-Tr
ansf
orm
atio
n be
zügl
ich
der
Zeit
t
j(
,)
(,
)e
(,
)
tx
xt
tx
Ez
Ezt
dt
FTEzt
ωω
∞ =−∞
= =
∫
j
-1
1(
,)
(,
)e2
(,
)
tx
x x
Ezt
Ez
d
FTEz
ω
ω
ωω
π
ω
∞−
−∞
= =
∫1-
D in
vers
eFo
urie
r tr
ansf
orm
with
re
gard
to c
ircul
ar fr
eque
ncy ω
/1D
inve
rse
Four
ier-
Tran
sfor
mat
ion
bezü
glic
h de
r Kr
eisf
requ
enz ω
(,
)(
,)
xx
Ezt
Ezω
−−•
(,
)(
,)
xx
Ez
Ezt
ω•−−
22
2
(,
)(
,)
j
xx
Ez
Ezt
t t
ω ω ω
•−−
∂−
•−−∂ ∂
−•−−∂
FD M
etho
d –
1-D
Hel
mho
ltz E
quat
ion
(Red
uced
Wav
e Eq
uatio
n)FD
-Met
hode
–1D
Hel
mho
ltz-G
leic
hung
(Sch
win
gung
sgle
ichu
ng)
22
22
201
(,
)(
,)
0x
xEzt
Ezt
zc
t∂
∂−
=∂
∂
Hom
ogen
eous
sca
lar
1-D
wav
e eq
uatio
n /
Hom
ogen
e, s
kala
re 1
D-W
elle
ngle
ichu
ng
() 2 0
22
22 0
22
22 0
22 0
2
1(
,)
(,
)0
(,
)(
,)
0
(,
)(
,)
0
xx
xx
k
xx
Ez
Ez
zc
Ez
Ez
zc
Ez
kEz
zωω
ω
ωω
ω
ωω
=
∂−
−=
∂
∂+
=∂
∂+
=∂
Hom
ogen
eous
sca
lar
1-D
Hel
mho
ltz w
ave
equa
tion
(red
uced
wav
e eq
uatio
n) /
Hom
ogen
e, s
kala
re 1
D H
elm
holtz
-Gle
ichu
ng
(Sch
win
gung
sgle
ichu
ng)
00
(,
),
xz
Ezt
Eztc
=
∓
Solu
tion
in th
e tim
e do
mai
n /
Lösu
ng im
Zei
tber
eich
()
0j
0(
,)
ekz
xEz
Eω
ω±
=So
lutio
n in
the
freq
uenc
y do
mai
n /
Lösu
ng im
Fre
quen
zber
eich
22
2
(,
)(
,)
x
xEzt
Ez
t
ω
ω
−−•
∂−−•−
∂
FD M
etho
d –
1-D
Hel
mho
ltz E
quat
ion
(Red
uced
Wav
e Eq
uatio
n)FD
-Met
hode
–1D
Hel
mho
ltz-G
leic
hung
(Sch
win
gung
sgle
ichu
ng)
Max
wel
l’s e
quat
ions
in th
e fr
eque
ncy
dom
ain
/ M
axw
ells
che
Gle
ichu
ngen
im
Freq
uenz
bere
ich
0 0
0 01(
,)
(,
)
1(
,)
(,
)
1j
(,
)(
,)
1j
(,
)(
,)
yx
xy
yx
xy
Hzt
Ezt
tz
Ezt
Hzt
tz
Hz
Ez
z
Ez
Hz
z
µ ε
ωω
ωµ
ωω
ωε
∂∂
=−
∂∂
∂∂
=−
∂∂
∂−
=−
∂ ∂−
=−
∂
(,
)(
,)
(,
)(
,)
j
xx
yy
Ezt
Ez
Hzt
Hz
t
ω ω
ω
−−•
−−•
∂−−•
∂
()
0j
0(
,)
ekz
xEz
Eω
ω±
=
()
()
()
()
()0
00
j0
0
00
0
00
jj
j0
00
00
00
0j
e
/
jj
00
00
0
j1
11
(,
)(
,)
ee
ej
jj
j
1e
e
kz
kz
kz
kz
yx
k
c
kz
kz
kH
zEz
EE
Ez
zz
kE
EZ
ωω
εµ
ωω
ωω
ωωµ
ωµ
ωµ
ωµ
ωω
ωµ
±
±±
±
=±
=
±±
∂∂
∂=
==
=±
∂∂
∂
=±
=±
Elec
tric
fiel
d st
reng
th: p
lane
wav
e /
Elek
tris
che
Feld
stär
ke: e
bene
Wel
le
Max
wel
l’s e
quat
ions
in th
e tim
e do
mai
n /
Max
wel
lsch
e G
leic
hung
en im
Zei
tber
eich
Mag
netic
fiel
d st
reng
th: p
lane
wav
e /
Mag
netis
che
Feld
stär
ke: e
bene
Wel
le
FD M
etho
d –
1-D
Hel
mho
ltz E
quat
ion
(Red
uced
Wav
e Eq
uatio
n)
FD-M
etho
de –
1D H
elm
holtz
-Gle
ichu
ng (S
chw
ingu
ngsg
leic
hung
)H
omog
eneo
us s
cala
r 1-
D w
ave
equa
tion
in th
e tim
e do
mai
n /
Hom
ogen
e, s
kala
re 1
D-W
elle
ngle
ichu
ng im
Ze
itber
eich
22
22
20
22
22
201
(,
)(
,)
0
1(
,)
(,
)0
xx
yy
Ezt
Ezt
zc
t
Hzt
Hzt
zc
t
∂∂
−=
∂∂
∂∂
−=
∂∂
0 0
0
j0
j0
j0
0
(,
)(
)e
(,
)(
)e
1(
)ekz
xkz
y
kz
Ez
E
Hz
H
EZ
ωω
ωω
ω± ±
±
= = =±
Hom
ogen
eous
, sca
lar
1-D
Hel
mho
ltz e
quat
ion
in th
e fr
eque
ncy
dom
ain
/ H
omog
ene,
ska
lare
1D
-Hel
mho
ltz-
Gle
ichu
ng im
Fre
quen
zber
eich
22 0
2 22 0
2
(,
)(
,)
0
(,
)(
,)
0
xx
yy
Ez
kEz
z
Hz
kH
zz
ωω
ωω
∂+
=∂ ∂
+=
∂
00
00
(,
),
(,
),
x y
zEzt
Eztc
zH
zt
Hztc
=
=
∓ ∓
00
0
1(
,)
,y
zH
zt
Ezt
Zc
=±
∓
Solu
tion
of th
e 1-
D w
ave
equa
tion
in th
e tim
e do
mai
n /
Lösu
ng d
er h
omog
enen
1D
-Wel
leng
leic
hung
im
Zeitb
erei
ch
Solu
tion
of th
e 1-
D H
elm
holtz
equ
atio
n in
the
freq
uenc
y do
mai
n /
Lösu
ng d
er h
omog
enen
1D
-H
elm
holtz
-Gle
ichu
ng im
Fre
quen
zber
eich
Solu
tion
of th
e 1-
D w
ave
equa
tion
for
the
mag
netic
fie
ld s
tren
gth
in te
rms
of th
e el
ectr
ic fi
eld
stre
ngth
/
Lösu
ng d
er h
omog
enen
1D
-Wel
leng
leic
hung
für
die
mag
netis
che
Feld
stär
ke a
ls F
unkt
ion
der
elek
tris
chen
Fe
ldst
ärke
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
00
00
0
(,
),
1(
,)
,
x y
zEzt
Eztc
zH
zt
Ezt
Zc
=
=±
∓
∓
em
00
00
00
00
0
2 00
0
(,
)(
,)
(,
)
,,
1,
,
1,
zx
yS
zt
EztH
zt
zz
Ezt
Hzt
cc
zz
Ezt
Ezt
cZ
c
zE
zt
Zc
=
=
=
±
=±
∓∓
∓∓
∓
emem
2em
00
0
22
00
00
00
(,)
(,)
emem
1(
,)
,
11
,,
(,
)(
,)
zz
z
Szt
Szt
zzz
Szt
Ezt
Zc z
zE
zt
Ezt
Zc
Zc
SztS
zt
+−
+−
=±
=−
−+
=+
∓
22
22
20
22
22
201
(,
)(
,)
0
1(
,)
(,
)0
xx
yy
Ezt
Ezt
zc
t
Hzt
Hzt
zc
t
∂∂
−=
∂∂
∂∂
−=
∂∂
22
em0
em0
00
00
11
(,
),
(,
),
zz
zz
Szt
Ezt
Szt
Ezt
Zc
Zc
+−
=−
=−
+
Hom
ogen
eous
sca
lar
1-D
wav
e eq
uatio
ns /
H
omog
ene,
ska
lare
1D
-Wel
leng
leic
hung
enSo
lutio
ns /
Lös
unge
n
Poyn
ting
vect
or /
Poy
ntin
g-Ve
ctor
Poyn
ting
vect
or o
f the
two
plan
e w
aves
/
Poyn
ting-
Vekt
or d
er b
eide
n eb
enen
Wel
len
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
emem
em
22
00
00
00
00
(,
)(
,)
(,
)
,,
zz
zS
zt
Szt
Szt
zz
zz
Ezt
Ezt
cc
ZZ
+−
=+
−−
−+
=+
−
00
00
00
(,
),
,x
zz
zz
Ezt
Ezt
Ezt
cc
+−
−−
=−
++
00
00
00
00
,,
(,
)y
zz
zz
Ezt
Ezt
cc
Hzt
ZZ
+−
−−
−+
=+
−
The
plan
e w
ave
solu
tion
give
s th
e co
rrec
t cha
ract
eris
tic o
f the
wav
e fie
ld, b
ut th
e am
plitu
de is
not
cor
rect
! Th
ism
eans
we
can
notv
arify
the
num
eric
alre
sults
with
the
plan
e w
ave
solu
tion
of th
e ho
mog
eneo
usw
ave
equa
tion,
bec
ause
the
sim
ulat
edpr
oble
mco
rres
pond
to th
e so
lutio
nof
the
inho
mog
eneo
usw
ave
equa
tion.
/
Die
Ebe
ne-W
elle
n-Lö
sung
gib
t die
kor
rekt
e Ch
arak
teris
tik d
es W
elle
nfel
des
wie
der,
abe
r die
Am
plitu
de d
er
Wel
lena
ntei
le is
t nic
ht k
orre
kt! D
ies
bede
utet
, das
s m
an d
ie n
umer
isch
en R
esul
tate
mit
der
Eben
en-W
elle
n-Lö
sung
nic
ht v
olls
tänd
ig v
erifi
zeire
nka
nn, d
a di
e si
mul
iert
e Si
tuat
ion
mit
der
Lösu
ng d
er in
hom
ogen
en
Wel
leng
leic
hung
kor
resp
ondi
ert.
()RC
2
1 1
em1
(,
)
(,
)
(,
)
x y
z
ft
Ezt
Hzt
Szt
Elec
trom
agne
tic F
ield
of a
“Poi
nt S
ourc
e”Ex
cita
tion
in 1
-D /
El
ektr
omag
netis
ches
Fel
d ei
ner
„Pun
ktqu
elle
n“an
regu
ngin
1D
0e
(,
)j
(,
)(
,)d
xx
z
Ez
Gzz
Jz
zω
ωµ
ωω
∞ ′ =−∞
′′
′=
−∫
z−∞
←z→
∞
Unk
own/
Unb
ekan
nt:
(,
)?
xEzω
=
We
cons
ider
a h
omog
eneo
us in
finite
1-D
reg
ion
/ W
ir be
trac
hten
ein
hom
ogen
es, u
nend
liche
s 1D
-Geb
iet
Sour
ce p
oint
/
Que
llpun
kt
e0
(,
):G
iven
/ G
egeb
enx
Jzz
ω=
whe
re w
e pr
escr
ibe
an e
lect
ric c
urre
nt d
ensi
ty J e
x(z,ω
)with
the
unit
A/m
2 at
z=
z 0./
wob
ei w
ir ei
ne e
lekt
risch
e St
rom
dich
te m
it de
r Ei
nhei
t A/m
2 an
der
Ste
lle z
=z 0
vorg
eben
.
0zz
=
A so
lutio
n fo
r th
e el
ectr
ic fi
eld
stre
ngth
is g
iven
by
the
dom
ain
inte
gral
rep
rese
ntat
ion
/Ei
ne L
ösun
g fü
r di
e el
ektr
isch
e Fe
ldst
ärke
ist d
ann
gege
ben
über
die
(Geb
iets
-) In
tegr
alda
rste
llung
Then
, the
unk
now
n el
ectr
ic fi
eld
stre
ngth
is a
sol
utio
n of
the
inho
mog
eneo
us H
elm
holtz
equ
atio
n /
Die
unb
ekan
nte
elek
tris
che
Feld
stär
ke is
t dan
n Lö
sung
der
inho
mog
enen
Hel
mho
ltz-G
leic
hung
22 0
e2
(,
)(
,)
j(
,)
xx
xEz
kEz
Jz
zω
ωωµ
ω∂
+=−
∂
(,
) Gzzω′
−1-
D s
cala
r G
reen
’s fu
nctio
n /
1D s
kala
re G
reen
sche
Fun
ktio
nCo
nvol
utio
n in
tegr
al /
Faltu
ngsi
nteg
ral
Elec
trom
agne
tic F
ield
of a
Poi
nt S
ourc
e Ex
cita
tion
in 1
-D /
El
ektr
omag
netis
ches
Fel
d ei
ner
Punk
tque
llena
nreg
ung
in 1
D
0e
(,
)j
(,
)(
,)d
xx
z
Ez
Gzz
Jz
zω
ωµ
ωω
∞ ′ =−∞
′′
′=
−∫
0
0
0 0
j0
0
j0
0
j0
0
j01
j(
,)
PV(
)e
2 1j
PVe
()
2 1PV
e(
)2
j 1PV
e(
)2
j
kzz
kzz
kz
kzz
Gzz
czz
k
czz
k
cc
zz
czz
ωπ
δ
πδ
πδ
ω
πδω
′−
′−
′−
′′
−=
+−
′
=+
−
′=
−+
−
′=
−+
−
0
0(
,)
2z
cGzt
utc
=−
()
()
e0
e
0e
0
(,
)(
,)
(,
)x
x x
Jz
zzK
z
zzK
z
ωδ
ω
δω
=−
=− (
)(
)0
00
()
()
zzfz
zzfz
δδ
−=
−
Inte
gral
rep
rese
ntat
ion
/ In
tegr
alda
rste
llung
1-D
sca
lar
Gre
en’s
func
tion
in th
e fr
eque
ncy
dom
ain
/ 1D
ska
lare
Gre
ensc
he F
unkt
ion
im F
requ
enzb
erei
ch
1-D
sca
lar
Gre
en’s
func
tion
in th
e tim
e do
mai
n /
1D s
kala
re G
reen
sche
Fun
ktio
n im
Zei
tber
eich
()0
01
0t
ut
t<
=
>
Unit
step
func
tion
/ Ei
nhei
tssp
rung
funk
tion
Elec
tric
cur
rent
den
sity
/
Elek
tris
che
Stro
mdi
chte
Prop
erty
of t
he d
elta
-dis
trib
utio
n /
Eige
nsch
aftd
erD
elta
-Dis
trib
utio
n
e0
(,
)x
Kz
ω
Elec
tric
sur
face
cur
rent
den
sity
/
Elek
tris
che
Fläc
hens
trom
dich
te
EM F
ield
of a
Poi
nt S
ourc
e Ex
cita
tion
in 1
-D /
EM
-Fel
d ei
ner
Punk
tque
llena
nreg
ung
in 1
D
()
0e
00
e
00
e0
(,
)j
(,
)(
,)d
j(
,)
(,
)d
j(
,)
(,
)
xx
z
xz
x
Ez
Gzz
Jz
z
Gzz
zzK
zz
Gzz
Kz
ωωµ
ωω
ωµ
ωδ
ω
ωµ
ωω
∞ ′ =−∞ ∞ ′ =−∞
′′
′=
−
′′
′′
=−
−
=−∫ ∫
00
e0
e0
0e
00
e0
(,
)(
,)
j
(,
)(
,)
(,
)(
,)
(,
)(
,)
(,
)(
,)
xx
xx
xt
x
Ez
Ezt
tGzz
Gzzt
Kz
Kzt
Gzz
Kz
Gzzt
Kzt
ω ω ω ωω
ω
•−−
∂•−−−∂
−•−−
−
•−−
−•−−
−∗
00
e0
00
0e
00
00
0e
00
(,
)(
,)
(,
)d (,
)d2
(,
)d2
xx
t
xt
xt
Ezt
GzzttK
zt
tt
zz
cutt
Kzt
tt
c zz
cutt
Kzt
tt
c
µ
µ µ
∞ ′ =−∞
∞ ′ =−∞
∞ ′ =−∞
∂′
′′
=−
−−
∂
−∂
′′
′=−
−−
∂
−∂
′′
′=−
−−
∂
∫
∫
∫
The
aste
risk
“*t“d
enot
es c
onvo
lutio
n in
tim
e /
Der
Ste
rn “*
t“b
ezei
chne
t ei
ne F
altu
ng in
der
Zei
t
EM F
ield
of a
Poi
nt S
ourc
e Ex
cita
tion
in 1
-D /
EM
-Fel
d ei
ner
Punk
tque
llena
nreg
ung
in 1
D
00
0e
00
(,
)(
,)d
2x
xt
zz
cEzt
utt
Kzt
tt
cµ
∞ ′ =−∞
−∂
′′
′=−
−−
∂
∫
00
00
zz
zz
utt
tt
tc
cδ
−−
∂′
′−
−=
−−
∂
00
0e
00
00
0e
00
00
0e
00
(,
)(
,)d
2
(,
)d2
,2
xx
t
xt
x
zz
cEzt
tt
Kzt
tc zz
ct
tK
zt
tc
zz
cK
zt
c
µδ
µδ
µ
∞ ′ =−∞ ∞ ′ =−∞
−′
′′
=−
−−
−′
′′
=−
−−
−=−
−
∫ ∫
00
037
7 c
Zµ
=≈
Ω
00
e0
0(
,)
,2
xx
zz
ZEzt
Kzt
c
−
=−
−
Solu
tion
for
the
xco
mpo
nent
of t
he e
lect
ric fi
eld
stre
ngth
/
Lösu
ng fü
r di
e x-
Kom
pone
nte
der
elek
tris
chen
Fel
dstä
rke
Wav
e im
peda
nce
of fr
ee s
pace
(vac
uum
) /
Wel
lenw
ider
stan
d de
s Fr
eira
umes
(Vak
uum
)
EM F
ield
of a
Poi
nt S
ourc
e Ex
cita
tion
in 1
-D /
EM
-Fel
d ei
ner
Punk
tque
llena
nreg
ung
in 1
D
[]
0
00
e0
0
0e
0
1(
,)
(,
)j
1j
(,
)(
,)
j
(,
)(
,)
yx
x
x
Hz
Ez
z
Gzz
Kz
z
Gzz
Kz
z
ωω
ωµ
ωµ
ωω
ωµ
ωω
∂=
∂ ∂=
−∂
∂=
−∂
00
e0
(,
)j
(,
)(
,)
xx
Ez
Gzz
Kz
ωωµ
ωω
=−
0e
0
00
e0
0
00
e0
0
00
0e
00
0
(,
)(
,)
(,
)d (,
)d2
(,
)d2
sgn(
)(
,)d
2 sgn
yx
t
xt
xt
xt
Hzt
GzzttK
zt
tz
zz
cutt
Kzt
tz
c zz
cutt
Kzt
tz
c
zz
czz
tt
Kzt
tc
cδ
∞ ′ =−∞
∞ ′ =−∞
∞ ′ =−∞
∞ ′ =−∞
∂′
′′
=−
−∂
−∂
′′
′=
−−
∂
−∂
′′
′=
−−
∂
−−
′′
′=−
−−
=−
∫
∫
∫
∫
00
e0
0
1(
),
2x
zz
zz
Kzt
c
−
−−
()(
)
()(
)
0
0
00
0
00
0
00
00
00
sgn
sgn
sgn(
)
sgn(
)
zz
utt
zc
zz
zz
utt
zc
zz
zz
zz
tt
cc
zz
zz
tt
cc
δ δ
−∂
′−
−
∂
−−
∂′
=−
−
∂
−−
−′
=−
−−
−−
′=−
−−
()()
()
()
ut
tt ut
tt
δ δ
∂=
∂ ∂−
=−
∂
EM F
ield
of a
Poi
nt S
ourc
e Ex
cita
tion
in 1
-D /
EM
-Fel
d ei
ner
Punk
tque
llena
nreg
ung
in 1
D
em
00
00
e0
e0
00
02
00
e0
0
(,
)(
,)
(,
)
sgn(
),
,2
2
sgn(
),
4
zx
y xx
x
Szt
EztH
zt
zz
zz
Zzz
Kzt
Kzt
cc
zz
Zzz
Kzt
c
=
−
−−
=−
−−
−
−=
−−
Solu
tion
for
the
yco
mpo
nent
of t
he m
agne
tic fi
eld
stre
ngth
/
Lösu
ng fü
r di
e y-
Kom
pone
nte
der
mag
netis
che
Feld
stär
ke
00
e0
0
sgn(
)(
,)
,2
yx
zz
zz
Hzt
Kzt
c
−
−=−
−
00
e0
0(
,)
,2
xx
zz
ZEzt
Kzt
c
−
=−
−
Solu
tion
for
the
xco
mpo
nent
of t
he e
lect
ric fi
eld
stre
ngth
/
Lösu
ng fü
r di
e x-
Kom
pone
nte
der
elek
tris
chen
Fel
dstä
rke
Solu
tion
for
the
zco
mpo
nent
of t
he P
oynt
ing
vect
or /
Lö
sung
für
die
z-Ko
mpo
nent
e de
s Po
yntin
g-Ve
ktor
s
EM F
ield
of a
Poi
nt S
ourc
e Ex
cita
tion
in 1
-D /
EM
-Fel
d ei
ner
Punk
tque
llena
nreg
ung
in 1
D
()
e0
e re
f2
00
e0
0 0e
00
20
0em
ze
00
,()
(,
),
2 1(
,)
,2
(,
),
4
xRC
xx
yx
x
Kzt
Kf
t
zz
ZE
zt
Kzt
c
zz
Hzt
Kzt
c zz
ZS
zt
Kzt
c
± ±
±
=
−=−
−
−
=−
−=±
−
∓
()
e0
2
0e
00
0e
00
20
eem
z0
0
,()
1(
,),
2 1(
,),
2 1(
,),
4
xRC
xx
yx
x
Kzt
ft
zz
Ezt
Kzt
c zz
Hzt
Kzt
c zz
Szt
Kzt
c
± ± ±
=
−=−
−
−
=−
−=±
−
∓
ref
ref
ref
ref
ref
ref
ref
ref
0re
f
ref
ref
ref
ref
ref
ref
ref
ref
ref
ˆ
ˆ ˆ
xx
yy
xt
tt
tz
xz
ccc
c
EE
E
EH
HH
HE
c
εε
εµ
µµ
µµ
εµ
µµ
∆∆
=∆
∆∆
=∆
=∆
∆=
==
=
= ==
=re
fre
fre
fre
fre
fre
f2 re
fem
zem
zem
ref
emre
fre
fre
fre
f
ref
ee
ere
fe
ref
ref
ref
ref
ee
ere
fe
ref
ref
e re
f
1(
)(
)
xx
xx
EE
Z
ES
SS
SE
HZ
JJ
JJ
Et
zz
x
KK
KK
xJ
ε µ
ε
δδ
==
==
=
==∆
=∆
==∆
ref
0
ref
ref
0
ref
0
ref
0
e re
f1
A/m
cc
xz
ZZ
K
εε
µµ
=
∆=∆
= = = =
Nor
mal
izat
ion
of th
e fie
ld c
ompo
nent
s /
Nor
mie
rung
der
Fel
dkom
pone
nten
EM F
ield
com
pone
nts
/EM
-Fel
dkom
pone
nten
Nor
mal
ized
EM
fiel
d co
mpo
nent
s /
Nor
mie
rte
EM-F
eldk
ompo
nent
en
()RC
2
1 1
em1
(,
)
(,
)
(,
)
x y
z
ft
Ezt
Hzt
Szt
FD M
etho
d –
1-D
Wav
e Eq
uatio
n –
Exam
ple
/ FD
-Met
hode
–1D
Wel
leng
leic
hung
–Be
ispi
el
()
e0
2
0e
00
0e
00
20
eem
z0
0
,()
1(
,),
2 1(
,),
2 1(
,),
4
xRC
xx
yx
x
Kzt
ft
zz
Ezt
Kzt
c zz
Hzt
Kzt
c zz
Szt
Kzt
c
± ± ±
=
−=−
−
−=
−
−=±
−
∓
The
Gre
en’s
func
tion
met
hod
give
s th
e so
lutio
n of
the
1-D
sim
ulat
ion
area
exc
ited
by a
“poi
nt”s
ourc
e, w
hich
is
in 1
-D a
sin
gula
r el
ectr
ic s
urfa
ce c
urre
nt s
ourc
e. T
he s
ingu
lar
sour
ce is
inde
pend
ent o
f xan
d y.
The
ref
eren
ce
solu
tion
give
s th
e co
rrec
t cha
ract
eris
tic a
nd c
orre
ct a
mpl
itude
s. B
ut th
e so
lutio
n do
esn’
t acc
ount
for
the
refle
ctio
ns a
t the
bou
ndar
ies,
bec
ause
we
used
the
free
-spa
ce G
reen
’s fu
nctio
n./
Die
Met
hode
der
Gre
ensc
hen
Funk
tion
erm
öglic
ht d
ie L
ösun
g de
s vo
rlieg
ende
n Pr
oble
ms,
der
Anr
egun
g de
s 1D
-Sim
ulat
ions
gebi
etes
dur
ch e
ine
„Pun
kt“q
uelle
, die
gen
auer
ges
agt i
n 1D
ein
e si
ngul
äre
elek
tris
che
Fläc
hens
trom
dich
te is
t.D
a di
e si
ngul
äre
Que
lle v
on x
und
yun
abhä
ngig
ist.
Die
Cha
rakt
eris
tik u
nd A
mpl
itude
stim
mt ü
bere
in, n
ur d
ie
Refle
xion
en a
n de
n Rä
nder
n fe
hlen
, was
an
der
Verw
endu
ng d
er G
reen
sche
n Fu
nktio
n fü
r de
n Fr
eira
um li
egt.
FD M
etho
d –
Prop
ertie
s /
FD-M
etho
de -
Eige
nsch
afte
n
Spat
ial a
nd T
empo
ral D
iscr
etiz
atio
n /
Räum
liche
und
zei
tlich
e D
iskr
etis
ieru
ng
Cons
iste
ncy
/ Ko
nsis
tenz
Dis
sipa
tion
/D
issi
patio
n
Stab
ility
Con
ditio
n /
Stab
ilitä
tsbe
ding
ung
Conv
erge
nce
/ Ko
nver
genz
? ?z t∆=
∆=
()
tfz
∆=
∆
Der
ivat
ion
of th
e N
umer
ical
Dis
pers
ion
Rela
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/
Able
itung
der
num
eris
chen
Dis
pers
ions
rela
tion
für
das
1D-F
D-S
chem
a 2t
er O
rdnu
ngSt
abili
ty b
y th
e vo
n Ne
uman
n’s
met
hod
(Fou
rier
serie
s m
etho
d):
Inse
rt a
com
plex
mon
ofre
quen
t (m
onoc
hrom
atic
) pla
ne w
ave
into
the
disc
rete
FD
equ
atio
ns a
nd a
naly
ze th
e sp
ectr
al r
adiu
s of
the
ampl
ifica
tion
mat
rix, w
here
the
spec
tral
rad
ius
mus
t be
smal
ler
equa
l one
.
Stab
ilitä
t dur
ch d
ie v
on N
eum
anns
che
Met
hode
(Fou
rier-
Reih
en-M
etho
de):
Setz
e ei
ne k
ompl
ex m
onof
requ
ente
(mon
ochr
omat
isch
e) e
bene
Wel
le in
die
di
skre
ten
FD-G
leic
hung
en e
in u
nd a
naly
sier
e de
n sp
ektr
alen
Rad
ius
der
Vers
tärk
ungs
mat
rix, w
obei
der
spe
ktra
le R
adiu
s kl
eine
rgle
ich
Eins
sei
n m
uss.
Com
plex
mon
ofre
quen
t (m
onoc
hrom
atic
) pla
ne w
ave
/Ko
mpl
ex m
onof
requ
ente
(mon
ochr
omat
isch
e) e
bene
W
elle
()
0 0
ˆj
00
ˆj
j0
0
ˆ(
,)
(,
)e ˆ(
,)e
etk
xt
k
Et
E E
ω ω
ω ω
−−
−
= =
kR k
R
Rk k
i i
[]
[]
FDFD
(1)
()
1D1D
:t
tn
n+
=W
GW
GAm
plifi
catio
n m
atrix
/Ve
rstä
rkun
gsm
atrix
[]
()
[]
FDFD
1D1D
1
ρ
≤G
Gof
the
mat
rix /
Spec
tral r
adiu
s /
Spek
trale
r Rad
ius
der M
atrix
[]
()
[]
()
[]
()
[]
FDFD
FDFD
1D1D
1D1D
1..
whe
re
max
/
-w
obe
:i
nn
nN
n nρ
νν
==
GG
GG
th e
igen
valu
e of
the
mat
rixte
r Eig
enw
ert d
er M
atrix
…
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/
Able
itung
der
Sta
bilit
ätsb
edin
gung
für
das
1D-F
D-S
chem
a 2t
er O
rdnu
ng
22
22
0
kk
k=k
kk
kk
xz
zz
xz
zz
xy
zz
zkk
kcω
=+
+
==
++
==
=
=
ke
ee
e
kk
k
Wav
e ve
ctor
/ W
elle
nvek
tor
Mag
nitu
de o
f the
wav
e ve
ctor
/Be
trag
des
Wel
lenv
ekto
rs
Wav
enum
ber /
Wel
lenz
ahl
Circ
ular
freq
ue
i
00
2
sgn
(k)k
ksg
n(k
)ˆ
sgn(
k)
k
ˆsg
n(k
)(
zz
zz
zz
zz
zz
zz
f
kk
k
kk
ωπ
= ==
==
=
=
e
ee
kk
ek
kR
e
ncy
/Kr
eisf
requ
enz
Prop
agat
ion
dire
ctio
n /
Ausb
reitu
ngsr
icht
ung
Phas
e of
the
plan
e w
ave
/Ph
ase
der e
bene
n W
elle
ii
)sg
n(k
)sg
n(k
)z
zx
zz
zz
xy
zk
zk
z+
+=
=e
ee
eei
Mon
ofre
quen
t (m
onoc
hrom
atic
) pla
ne w
ave
in th
e tim
e do
mai
n /
Mon
ofre
quen
te (m
onoc
hrom
atis
che)
ebe
ne W
elle
im Z
eitb
erei
ch
()
0 0
ˆj
00
ˆj
j0
0
ˆ(
,)
(,
)e ˆ(
,)e
etk
xt
k
Et
E E
ω ω
ω ω
−−
−
= =
kR k
R
Rk k
i i
k R
ˆco
nst.
=k
Ri
Plan
e of
con
stan
t pha
se /
Eben
e ko
nsta
nter
Pha
se
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/ Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
0 0 0 0
(,
1)j
(1)
j0
0ex
p()
j(
1)0
0(
,)
j0
0(
,1)
j(
1)0
0
ˆˆ
ˆ(
,)e
e
ˆˆ
(,
)exp
()e
ˆˆ
ˆ(
,)e
xp(
)eˆ
ˆ(
,)e
xp(
)e
zt
tz
z
t
zt
t
zt
t
nn
nt
knz
xx
n
nt
xz
nn
nt
xx
znn
nt
xx
z
EE E
n
EE
n
EE
n
ω ω ω ω
ω ω ω ω
+−
+∆
∆
=
−+
∆
−∆
−−
−∆
= = = =
k k k k
0
0
0
(1,
)j
j0
0(
,)
j0
0(
1,)
jj
00
ˆˆ
ˆ(
,)e
xp(
)ee
ˆˆ
ˆ(
,)e
xp(
)eˆ
ˆˆ
(,
)exp
()e
e
zt
t
zt
t
zt
t
nn
nt
kz
xx
znn
nt
xx
zn
nnt
kz
xx
z
EE
n
EE
n
EE
n
ω
ω
ω
ω ω ω
+−
∆∆
−∆
−−
∆−
∆
= = =
k k k
(,
1)(
,)
(,
1)(
1,)
(,
)(
1,)
2ˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ2
()
2z
tz
tz
tz
tz
tz
tnn
nn
nn
nn
nn
nn
xx
xx
xx
EE
Et
EE
E+
−+
−
=
−+∆
−+
00
(,
)j
jj
00
00
exp(
)
ˆˆ
ˆˆ
ˆ(
,)e
e(
,)e
xp(
)ezt
tt
z
z
nn
nt
nt
knz
xx
xz
nE
EE
nω
ωω
ω−
∆−
∆∆
=
==
kk
00
0
0
00
-j(
1)-j
-j(
1)0
00
00
0-j
2j
-j0
00
00
0
-j-j
(1)
20
00
0
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
(,
)e2
(,
)e(
,)e
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
(
)(
,)e
2(
,)
(,
)ee
ˆˆ
ˆˆ
21
()
(,
)e(
,)e
(
tt
t
t
zt
nt
nt
nt
xx
xnt
kz
kz
xx
x
nt
nt
xx
EE
E
tE
EE
tE
E
ωω
ω
ω
ωω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
+∆
∆−
∆
∆∆
∆
∆−
∆
=−
+∆
−+
=−∆
−
+∆
kk
k
kk
k
kk
0-j
2j
-j0
00
0ˆ
ˆˆ
ˆ)
(,
)e(
,)e
etnt
kz
kz
xx
tE
Eω
ωω
∆∆
∆
+
kk
Inse
rt d
iscr
ete
plan
e w
ave
/ Se
tze
die
disk
rete
ebe
ne W
elle
into
the
FD s
chem
e /
in d
asFD
-Sch
ema
ein
with
/ m
it
it fo
llow
s /
folg
t
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/ Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
00
0 0
00
j(
1)j
j(
1)2
00
00
00
j2
jj
00
00
jj
(1)
20
00
0
2
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
(,
)e2
1(
)(
,)e
(,
)e
ˆˆ
ˆˆ
(
)(
,)e
(,
)ee
ˆˆ
ˆˆ
21
()
(,
)e(
,)e
()
tt
t t
tt
nt
nt
nt
xx
x
nt
kz
kz
xx nt
nt
xx
Et
EE
tE
E
tE
E
t
ωω
ω ω
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
−+
∆−
∆−
−∆
−∆
∆−
∆
−∆
−−
∆
=−∆
−
+∆
+
=−∆
−
+∆
kk
k
kk
kk
[]
0
00
0
0
jj
j0
0
2cos
()
jj
(1)
20
00
0
j2
00
j(
1)2
00
00
ˆˆ
ee
(,
)e
ˆˆ
ˆˆ
21
()
(,
)e(
,)e
ˆˆ
(
)2c
os(
)(
,)e
ˆˆ
ˆˆ
(,
)e2
1(
)co
s()
1(
,
t
tt
t
t
nt
kz
kz
x
kz
nt
nt
xx
nt
x
nt
xx
E
tE
E
tkzE
Et
kz
E
ω
ωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ωω
−∆
∆−
∆
=∆
−∆
−−
∆
−∆
−+
∆
+
=−∆
−
+∆
∆
=+∆
∆−
k
kk
k
kk
00
jj
(1)
00
ˆˆ
)e(
,)e
tt
nt
nt
xE
ωω
ω−
∆−
−∆
−k
22
2sin
1co
s
2sin
cos
12
2α
αα
α
=
−→
−=
−
00
0
00
-j(
1)-j
-j(
1)2
20
00
00
0
-j(
1)-j
22
00
00
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
(,
)e2
12(
)sin
(,
)e(
,)e
2
ˆˆ
ˆˆ
(,
)e2
12(
)sin
(,
)e2
tt
t
tt
nt
nt
nt
xx
x
nt
nt
xx
kz
Et
EE
kz
Et
E
ωω
ω
ωω
ωω
ω
ωω
+∆
∆−
∆
−∆
∆
∆
=
−∆
−
∆
=−
+−
∆
kk
k
kk
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/ Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
00
0
00
-j(
1)-j
-j(
1)2
20
00
00
0
-j(
1)-j
22
00
00
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
(,
)e2
12(
)sin
(,
)e(
,)e
2
ˆˆ
ˆˆ
(,
)e2
12(
)sin
(,
)e2
tz
t
tt
nt
nt
nt
xx
x
nt
nt
xx
kz
Et
EE
kz
Et
E
ωω
ω
ωω
ωω
ω
ωω
+∆
∆−
∆
−∆
∆
∆
=
−∆
−
∆
=−
+−
∆
kk
k
kk
0 0
()
-j0
0
()
(1)
-j(
1)0
0
ˆˆ
(,
)e
ˆˆ
(,
)e
tt
tt
t
nnt
x
nn
nt
x
UE
VU E
ω ω
ω ω
∆
−
−∆
= = =
k k
(1)
(1)
()
22
()
()
22
21
2()
sin2
21
2()
sin2
tt
t
tt
nn
n
nn
kz
UU
tU
kz
Vt
U
+−
∆
=−
+−
∆
∆
=−
+−
∆
Def
ine
/ D
efin
iere
whi
ch y
ield
s fo
r th
e ab
ove
equa
tion
/ w
omit
wir
für
die
ober
e G
leic
hung
erh
alte
n
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/ Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
()
()
()t
t
tnn
n
U V
=
W
[]
[]
(1)
()
FD 1D
(1)
22
()
(1)
()
FD(
1)(
)1D
21
2()
sin1
21
0
tt
tt
nn
tt
tt
nn
nn
nn
kz
tU
U
VV
+
+ +
==
=
+
∆
−
∆−
=
=
WW
G
WG
W
[]
[]
2
2FD 1D
22
2
21
2()
sin1
det
21
21
2()
sin1
2
kz
t
kz
t
νν
ν
νν
∆
−
∆−
−
−
=
−
∆
=
−−
∆+
GI
[]
[]
FD 1D
det
0ν−
=G
I[
](
)[
]FD
FD1D
1D:
-n
n nν
GG
th e
igen
valu
e of
the
mat
rixte
r Eig
enw
ert d
er M
atrix
Def
ine
a ne
w a
lgeb
raic
vec
tor
/ D
efin
iere
ein
en n
euen
alg
ebra
isch
en V
ekto
r
[]FD 1D
:G
Ampl
ifica
tion
mat
rix /
Vers
tärk
ungs
mat
rix
Char
acte
ristic
pol
ynom
ial /
Ch
arak
teris
tisch
es P
olyn
om
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
22
22
22
22
22
12(
)sin
12(
)sin
12(
)sin
12
22
kz
kz
kz
tt
tν
ν
∆
∆
∆
−−
∆+
−∆
=−
∆−
22
22
22
12(
)sin
12(
)sin
12
2kz
kz
tt
ν
∆
∆
−−
∆=
−∆
−
2
22
22
21/
2
2
2
12(
)sin
12(
)sin
12
2
1
j1
aa
kz
kz
tt
aa
aa
ν
==
∆
∆
=−
∆±
−∆
−
=±
−
=±
−22
1 /
1
aa
≤≤
iffa
lls
Eige
nval
ues
of th
e am
plifi
catio
n m
atrix
/
Eige
nwer
te d
er V
erst
ärku
ngsm
atrix
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
()2
22
22
21/
2j
11
1
1aa
aa
aa
ν=
±−
=+
−=
+−
=
2
22
22
21/
2
2
22
2
12(
)sin
12(
)sin
12
2
1
j1
if 1
/ fal
ls 1
aa
kz
kz
tt
aa
aa
aa
ν
==
∆
∆
=−
∆±
−∆
−
=±
−
=±
−≤
≤
Unit
circ
le /
Einh
eits
krei
s
1
1−
1−
1Th
is m
eans
for,
that
all
eige
nval
ues
a2 ≤
1ar
e on
the
unit
circ
le in
the
com
plex
pla
ne. /
Die
s be
deut
et, d
ass
alle
Eig
enw
erte
fü
ra2
≤1
auf d
em E
inhe
itskr
eis
in d
er
kom
plex
en E
bene
lieg
en.
RejIm
1,2
nn
nn
νν
ν=
+=
Imnν
Renν
[]
()
FD 1D1
ρ≤
G
Spec
tral
rad
ius
/Sp
ektr
aler
Rad
ius
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/ Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
2
22
22
21/
2
22
2
12(
)sin
j1
12(
)sin
22
j1
if 1
/ fal
ls 1
aa
kz
kz
tt
aa
aa
ν
==
∆
∆
=−
∆±
−−
∆
=±
−≤
≤
2 22
2
22
44
22
22
22
22
2
1
12(
)sin
12
14(
)sin
4()
sin1
22
4()
sin1
()
sin0
22
1(
)sin
02
()
sin1
2 ()
1
a
kz
t
kz
kz
tt
kz
kz
tt
kz
t
kz
t
t
≤
∆
−
∆≤
∆∆
−∆
+∆
≤
∆
∆
−
∆−∆
≤
∆
−∆
≤
∆
∆≤
∆≤
beca
use /
wei
2m
axsin
12
1
kz
t
∆
=
∆≤
l
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/ Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
max
1-D
/ 1D
:
1
xt
tt
c∆∆
≤∆
=∆
≤ ref
ref
:
t
xt
tt
c∆
∆∆
=∆
=∆
Cou
rant
num
ber /
C
oura
nt-Z
ahl
1-D
Sta
bilit
y Co
nditi
on fo
r an
FD
alg
orith
m o
f 2nd
ord
er in
spa
ce a
nd ti
me–
CFL-
Cond
ition
/1D
-Sta
bilit
ätsb
edin
gung
für
eine
n FD
-Alg
orith
mus
zw
eite
r O
rdnu
ng in
Rau
m u
nd Z
eit–
CFL-
Bedi
ngun
g
2-D
and
3-D
Sta
bilit
y Co
nditi
on fo
r an
FD
alg
orith
m o
f 2nd
ord
er in
spa
ce a
nd ti
me–
CFL-
Cond
ition
/2D
-un
d 3D
-St
abili
täts
bedi
ngun
g fü
r ei
nen
FD-A
lgor
ithm
us z
wei
ter
Ord
nung
in R
aum
und
Zei
t–CF
L-Be
ding
ung
max
max
11
2-D
/ 2D
:
0.
707
22
11
3-D
/ 3D
:
0.
577
33
xt
tt
c xt
tt
c∆∆
≤∆
=∆
≤≈
∆∆
≤∆
=∆
≤≈
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
22
21/
2
22
22
2
()
1 i
f 1
/ fal
ls 1
j1
if 1
/ fal
ls 1
w
ith
12(
)sin
2
ta
aa
a
kz
aa
aa
at
ν∆
=±
−≥
≥
∆
=
±−
≤≤
=−
∆
[]
()
FD 1D1
ρ≤
GSp
ectr
al r
adiu
s /
Spek
tral
er R
adiu
s
22
1/2
1 :
j1
aa
aν
≤=
±−
22
1/2
1:
1a
aa
ν>
=±
−
22
12
12
j1
j
11
1a
aa
aν
νν
ν=
+−
=−
−
==
22
12
12
1
1lim
lim
0a
a
aa
aa
νν
νν
→∞
→∞
=+
−=
−−
→∞
→
[]
()
FD 1D1
ρ≥
GSp
ectr
al r
adiu
s /
Spek
tral
er R
adiu
s
1/2
as a
func
tion
of a
ls Fu
nktio
n vo
n
()
()
tt
ν∆
∆
1()t
ν∆ 2(
)tν
∆
Der
ivat
ion
of th
e St
abili
ty C
ondi
tion
for
the
1-D
FD
Sch
eme
of 2
nd O
rder
/Ab
leitu
ng d
er S
tabi
lität
sbed
ingu
ng fü
r da
s 1D
-FD
-Sch
ema
2ter
Ord
nung
[]
()
FD 1Dt
ρ∆
G
22
21/
2
22
2
22
()
1 i
f 1
/ fal
ls 1
j1
if 1
/ fal
ls 1
with
1
2()
sin2
ta
aa
a
aa
aa
kz
at
ν∆
=±
−≥
≥
=±
−≤
≤
∆
=
−∆
Spec
tral
rad
ius
/ Sp
ektr
aler
Rad
ius
Eige
nval
ues
/ Ei
genw
erte
1()t
ν∆ 2(
)tν
∆
[]
()
FD 1Dt
ρ∆
G