numerical methods of electromagnetic field theory i (nft i ... · of the inhomogeneous case –...

41
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 4th Lecture / 4. Vorlesung Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein [email protected] http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D-34121 Kassel

Upload: phungcong

Post on 08-Aug-2019

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Num

eric

al M

etho

ds o

f El

ectr

omag

netic

Fie

ld T

heor

y I (

NFT

I)N

umer

isch

e M

etho

den

der

Elek

trom

agne

tisch

en F

eldt

heor

ie I

(NFT

I) /

4th

Lect

ure

/ 4.

Vorle

sung

Univ

ersi

tät K

asse

lFa

chbe

reic

h El

ektr

otec

hnik

/ In

form

atik

(F

B 16

)Fa

chge

biet

The

oret

isch

e El

ektr

otec

hnik

(F

G T

ET)

Wilh

elm

shöh

er A

llee

71Bü

ro: R

aum

211

3 /

2115

D-3

4121

Kas

selDr.

-Ing

. Ren

éM

arkl

ein

mar

klei

n@un

i-ka

ssel

.de

http

://w

ww

.tet.e

-tec

hnik

.uni

-kas

sel.d

eht

tp:/

/ww

w.u

ni-k

asse

l.de/

fb16

/tet

/mar

klei

n/in

dex.

htm

l

Univ

ersi

ty o

f Kas

sel

Dep

t. El

ectr

ical

Eng

inee

ring

/ Co

mpu

ter

Scie

nce

(FB

16)

Elec

trom

agne

tic F

ield

The

ory

(FG

TET

)W

ilhel

msh

öher

Alle

e 71

Off

ice:

Roo

m 2

113

/ 21

15D

-341

21 K

asse

l

FD S

olut

ion

of th

e 1-

D W

ave

Equa

tion

/ FD

-Lös

ung

der

1D W

elle

ngle

ichu

ng

Nor

mal

ized

1-D

FD

wav

e eq

uatio

n /

Nor

mie

rte

1D F

D W

elle

ngle

ichu

ng

(Cau

salit

y /

Kaus

alitä

t)0

0

(,

)(

,)

e ()

()

(,

)(

)e

e

0

1 1

zt

zt

zz

zt

t

nn

nn

xx

tn

nnn

nx

xt

EJ

n

JK

fn

δ

==

=>

(1,

)

(,

)

01

0

t

ztn

xt

tNn

xEn

NE

=

=

Initi

al c

ondi

tion

/ An

fang

sbed

ingu

ng

Boun

dary

con

ditio

n /

Rand

bedi

ngun

g

Dis

cret

e hy

perb

olic

in

itial

-bou

ndar

y-va

lue

prob

lem

/D

iskr

etes

hy

perb

olis

ches

An

fang

s-Ra

ndw

ert-

Prob

lem

(,

1)(

,)

(,

1)(

1,)

(,

)(

1,)

2

(,

)(

,1)

ee

ˆˆ

ˆˆ

ˆ2

()

2fo

r / fü

r1

ˆˆ

zt

zt

zt

zt

zt

zt

zt

zt

zz

nn

nn

nn

nn

nn

nn

xx

xx

xx

tt

nn

nn

xx

nN

EE

Et

EE

En

N

tJ

J

+−

+−

≤≤

=

−+∆

−+

+∆

z∆z∆

z∆z∆

zZ

zN=∆

1zn=

zz

nN

=

(,

)0

zt

Nn

xE=

(1,

)0

tnxE

=(

,)

zt

nn

xE

FD M

etho

d –

1-D

FD

Wav

e Eq

uatio

n –

Flow

Cha

rt /

FD

-Met

hode

–1D

FD

-Wel

leng

leic

hung

-Fl

ussd

iagr

amm

(,

)(

,1)

(,

2)(

1,1)

(1,

1)2

ˆˆ

ˆˆ

21

()

()

zt

zt

zt

zt

zt

nn

nn

nn

nn

nn

xx

xx

xE

tE

Et

EE

−−

+−

−−

=−∆

−+∆

+

(,

)(

,)

(,

1)(

,2)

ee

ˆˆ

ˆˆ

zt

zt

zt

zt

nn

nn

nn

nn

xx

xx

EE

tJ

J−

=

+∆

Star

t

Stop

1t

tn

n=

+

tt

nN

1tn=

For

all n

x: 1

-D F

D w

ave

equa

tion

/ 1D

FD

Wel

leng

leic

hung

For

all n

x : E

xcita

tion

/ An

regu

ng

No

No

Yes

Yes

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

()

00

00

2(

1)1

cos

cos

20

()2

0el

se /

sons

tn

n

RC

fn

tft

tnT

Tf

tn

π

<<

==

=

Rais

ed c

osin

e pu

lse

with

n c

ycle

s /

Aufs

teig

ende

r Ko

sinu

s-Im

puls

mit

nZy

klen

()

()

2

00

0

12

1co

sco

s2

02

2()

0el

se /

sons

tRC

ftft

tT

Tf

ft

ππ

<<

==

= Ra

ised

cos

ine

puls

e w

ith 2

cycl

es /

Au

fste

igen

der

Kosi

nus-

Impu

ls m

it 2

Zykl

en

Tim

e /

Zeit

t

001

fT

=

002 Tπ

ω=

Freq

uenc

y /

Freq

uenz

Circ

ular

Fre

quen

cy /

Kr

eisf

requ

enz

02

TT

=

0T

2()

RCft

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

0e

0RC

2RC

20

(,

)()

(,

)x

xzz

Jzzt

ft

Ezt

ft

c

=→

∼∼

Elec

tric

cur

rent

den

sity

exc

itatio

n: b

road

band

pul

se /

El

ektr

isch

e St

rom

dich

tean

rege

gung

: bre

itban

dige

rIm

puls

()RC

2

1 1

em1

(,

)

(,

)

(,

)

x y

z

ft

Ezt

Hzt

Szt

Snapshots / Schnappschüsse

Sour

ce p

oint

/

Que

llpun

kt

xE−

←xE+→

yH

−←

yH

+→

emz

S−←

emz

S+→

Num

eric

al R

esul

ts –

Valid

atio

n /

Num

eris

che

Erge

bnis

se –

Valid

ieru

ng

Num

eric

al R

esul

ts/

Num

eris

che

Erge

bnis

se

Valid

atio

n /

Valid

ieru

ng

Com

pare

num

eric

al r

esul

ts w

ith a

naly

tical

sol

utio

ns o

r w

ith o

ther

nu

mer

ical

sol

utio

ns. /

Ver

glei

che

die

num

eris

chen

Erg

ebni

sse

mit

anal

ytis

chen

Lös

unge

n od

er a

nder

en n

umer

isch

en L

ösun

gen

Num

eric

al R

esul

ts –

Valid

atio

n /

Num

eris

che

Erge

bnis

se –

Valid

ieru

ng

1.Pl

ane

Wav

e So

lutio

n of

the

Hom

ogen

eous

Cas

e –

No

sour

ces,

no

boun

darie

s!/

Eben

e W

elle

n al

s Lö

sung

des

hom

ogen

en F

alle

s –

Kein

e Q

uelle

n, k

eine

Rän

der!

Give

s th

e co

rrec

t cha

ract

eris

tic, b

ut n

ot th

e co

rrec

t am

plitu

de a

nd

no re

flect

ions

at t

he b

ound

arie

s! /

Gi

bt d

ie k

orre

kte

Char

akte

ristik

, abe

r nic

ht d

ie k

orre

kte

Ampl

itude

und

kei

ne

Refle

xion

en a

n de

n Rä

nder

n w

iede

r!

2. G

reen

’s F

unct

ion

Solu

tion

of th

e In

hom

ogen

eous

Cas

e –

“Poi

nt”s

ourc

e, b

ut n

o bo

unda

ries,

if w

e us

e th

e fr

ee-s

pace

Gre

en’s

func

tion!

/ Lö

sung

übe

r G

reen

sche

Fun

ktio

n fü

r de

n in

hom

ogen

en F

all –

„Pun

kt“q

uelle

, abe

r ke

ine

Ränd

er, w

enn

wir

die

Gre

ensc

he F

unkt

ion

für

den

Frei

raum

ver

wen

den!

Give

s th

e co

rrec

t cha

ract

eris

tic a

nd c

orre

ct a

mpl

itude

, but

no

refle

ctio

ns

at th

e bo

unda

ries!

/

Gibt

die

kor

rekt

e Ch

arak

teris

tik u

nd d

ie k

orre

kte

Ampl

itude

, abe

r kei

ne

Refle

xion

en a

n de

n Rä

nder

n w

iede

r!

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

Hom

ogen

eous

sca

lar

1-D

wav

e eq

uatio

n fo

r th

e el

ectr

ic fi

eld

stre

ngth

/ H

omog

ene,

ska

lare

1D

-Wel

leng

leic

hung

für

die

elek

tris

che

Feld

stär

ke

00

22

22

20

22

22

20

11

001

(,

)(

,)

0

1(

,)

0

11

(,

)0

xx x

zct

zct

x

Ezt

Ezt

zc

t

Ezt

zc

t

Ezt

zc

tzc

t

∂∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂+

−=

∂∂

Split

ting

of th

e 1D

wav

e op

erat

or /

Au

fspa

ltung

des

1D

-Wel

leno

pera

tors

00

11

(,

)0

(

,)

0x

xEzt

Ezt

zc

tzc

t

∂∂

∂+

=−

=

∂∂

One

-way

wav

e eq

uatio

n /

“One

-way

”Wel

leng

leic

hung

Hyp

erbo

lic p

artia

l diff

eren

tial e

quat

ion

/ H

perb

olis

che

part

ielle

Diff

eren

tialg

leic

hung

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

00

00

00

00

0

00

00

00

00

00

11

(,

), 1

,,

11

,,

0

11

(,

),

x x

zEzt

Ezt

zc

tzc

tc

zz

Ezt

Ezt

zc

ct

c

zz

Ezt

Ezt

cc

cc

zEzt

Ezt

zc

tzc

tc

+

++

++

∂∂

∂∂

+=

+−

∂∂

∂∂

∂∂

=−

+−

∂∂

=−

−+

=

∂∂

∂∂

−=

−+

∂∂

∂∂

∂=

00

00

0

00

00

00

1,

,

11

,,

0

zz

Ezt

Ezt

zc

ct

c

zz

Ezt

Ezt

cc

cc

−−

−−

∂+

−+

∂∂

=+

−+

=

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

Hom

ogen

eous

sca

lar

1-D

wav

e eq

uatio

n fo

r th

e el

ectr

ic fi

eld

stre

ngth

/ H

omog

ene,

ska

lare

1D

-Wel

leng

leic

hung

für

die

elek

tris

che

Feld

stär

ke

22

22

20

001

(,

)(

,)

0

11

(,

)0

xx x

Ezt

Ezt

zc

t

Ezt

zc

tzc

t

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂+

−=

∂∂

00

00

00

(,

), ,

,

xz

Ezt

Eztc z

zE

zt

Ezt

cc

+−

=

=

−+

+

∓So

lutio

n is

a le

ft a

nd r

ight

pro

paga

ting

plan

e w

ave

/Lö

sung

ist e

ine

nach

link

s un

d re

chts

lauf

ende

eb

ene

Wel

le

A w

ave,

whi

ch

prop

agat

es fo

r in

crea

sing

tim

e ti

n po

sitiv

e z

dire

ctio

n /

Eine

Wel

le, d

ie s

ich

für

zune

hmen

de Z

eit

t in

posi

tive

z-Ri

chtu

ng a

usbr

eite

t

A w

ave,

whi

ch

prop

agat

es fo

r in

crea

sing

tim

e ti

n ne

gativ

e z

dire

ctio

n /

Eine

Wel

le, d

ie s

ich

für

zune

hmen

de Z

eit

t in

nega

tive

z-Ri

chtu

ng a

usbr

eite

t

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/

FD-M

etho

de –

1D W

elle

ngle

ichu

ng –

Beis

piel

Cons

ider

an

asym

met

ric tr

iang

ular

pul

se /

Betr

acht

e ei

nen

asym

met

risch

en

Dre

ieck

sim

puls

()0

0at

ri(

,)

xEzzt

Ef

t=

=()

atri

ft

t→T

00

0

00

atri

0

00

0at

ri0

atri

00

00

00

00

(,

),

, ,,

,,

xzz

Ezt

Ezt

c

zz

Ef

zt

c zz

zz

Ef

zt

Ef

zt

cc

zz

zz

Ezt

Ezt

cc

+−

−=

−=

−−

=−

++

−−

=−

++

This

mea

ns, t

hat t

he s

olut

ion

for

all z

and

t is

give

n by

/ D

ies

bede

utet

, das

s di

e Lö

sung

für

alle

zun

d tg

egeb

en is

t dur

ch(

) 1,xEzt

z→ z→

()

2,xEzt

Snap

shot

s /

Schn

apps

chüs

se

Exci

tatio

n fu

nctio

n /

Anre

gung

sfun

ktio

n

10

tt

=>

21

0tt

t=

>>

0zz

=

0zz

=TZ

TZ

0E−

0E−

←0E+→

0E+→

Sour

ce p

oint

/

Que

llpun

kt

1 0E

0E

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

0

0

0

0

00

00

00

00

00

0

() () ()

zz

tc

zz

tc

ct

zz

ctzz

zt

zct

zt

zct

zt

zct

+ −−=

−=±

±=

=+

=−

11

00

1

11

00

1

()

()

zt

zct

zt

zct

+ −

=+

=−

00

atri

0(

,)

,x

zz

Ezt

Ef

zt

c

=

() 1,

xEzt

z→ z→

()

2,xEzt

Snap

shot

s /

Schn

apps

chüs

se 10

tt

=>

21

0tt

t=

>>

0z 0zTZ

TZ

0E−

0E−

←0E+→

0E+→

22

00

2

22

00

2

()

()

zt

zct

zt

zct

+ −

=+

=−

2z−2z+

1z−1z+

Sour

ce p

oint

/

Que

llpun

kt

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

22

22

201

(,

)(

,)

0x

xEzt

Ezt

zc

t∂

∂−

=∂

∂ 00

(,

),

xz

Ezt

Eztc

=

01(

,)

(,

)y

xH

zt

Ezt

tz

µ∂

∂=−

∂∂

em(

,)

(,

)(

,)

zx

yS

zt

EztH

zt

=

?

FD M

etho

d –

1-D

Hel

mho

ltz E

quat

ion

(Red

uced

Wav

e Eq

uatio

n)FD

-Met

hode

–1D

Hel

mho

ltz-G

leic

hung

(Sch

win

gung

sgle

ichu

ng)

22

22

201

(,

)(

,)

0x

xEzt

Ezt

zc

t∂

∂−

=∂

Hom

ogen

eous

sca

lar

1-D

wav

e eq

uatio

n /

Hom

ogen

e, s

kala

re 1

D-W

elle

ngle

ichu

ng

1-D

Fou

rier

tran

sfor

m w

ith

rega

rd to

tim

e t/

1D F

ourie

r-Tr

ansf

orm

atio

n be

zügl

ich

der

Zeit

t

j(

,)

(,

)e

(,

)

tx

xt

tx

Ez

Ezt

dt

FTEzt

ωω

∞ =−∞

= =

j

-1

1(

,)

(,

)e2

(,

)

tx

x x

Ezt

Ez

d

FTEz

ω

ω

ωω

π

ω

∞−

−∞

= =

∫1-

D in

vers

eFo

urie

r tr

ansf

orm

with

re

gard

to c

ircul

ar fr

eque

ncy ω

/1D

inve

rse

Four

ier-

Tran

sfor

mat

ion

bezü

glic

h de

r Kr

eisf

requ

enz ω

(,

)(

,)

xx

Ezt

Ezω

−−•

(,

)(

,)

xx

Ez

Ezt

ω•−−

22

2

(,

)(

,)

j

xx

Ez

Ezt

t t

ω ω ω

•−−

∂−

•−−∂ ∂

−•−−∂

FD M

etho

d –

1-D

Hel

mho

ltz E

quat

ion

(Red

uced

Wav

e Eq

uatio

n)FD

-Met

hode

–1D

Hel

mho

ltz-G

leic

hung

(Sch

win

gung

sgle

ichu

ng)

22

22

201

(,

)(

,)

0x

xEzt

Ezt

zc

t∂

∂−

=∂

Hom

ogen

eous

sca

lar

1-D

wav

e eq

uatio

n /

Hom

ogen

e, s

kala

re 1

D-W

elle

ngle

ichu

ng

() 2 0

22

22 0

22

22 0

22 0

2

1(

,)

(,

)0

(,

)(

,)

0

(,

)(

,)

0

xx

xx

k

xx

Ez

Ez

zc

Ez

Ez

zc

Ez

kEz

zωω

ω

ωω

ω

ωω

=

∂−

−=

∂+

=∂

∂+

=∂

Hom

ogen

eous

sca

lar

1-D

Hel

mho

ltz w

ave

equa

tion

(red

uced

wav

e eq

uatio

n) /

Hom

ogen

e, s

kala

re 1

D H

elm

holtz

-Gle

ichu

ng

(Sch

win

gung

sgle

ichu

ng)

00

(,

),

xz

Ezt

Eztc

=

Solu

tion

in th

e tim

e do

mai

n /

Lösu

ng im

Zei

tber

eich

()

0j

0(

,)

ekz

xEz

ω±

=So

lutio

n in

the

freq

uenc

y do

mai

n /

Lösu

ng im

Fre

quen

zber

eich

22

2

(,

)(

,)

x

xEzt

Ez

t

ω

ω

−−•

∂−−•−

FD M

etho

d –

1-D

Hel

mho

ltz E

quat

ion

(Red

uced

Wav

e Eq

uatio

n)FD

-Met

hode

–1D

Hel

mho

ltz-G

leic

hung

(Sch

win

gung

sgle

ichu

ng)

Max

wel

l’s e

quat

ions

in th

e fr

eque

ncy

dom

ain

/ M

axw

ells

che

Gle

ichu

ngen

im

Freq

uenz

bere

ich

0 0

0 01(

,)

(,

)

1(

,)

(,

)

1j

(,

)(

,)

1j

(,

)(

,)

yx

xy

yx

xy

Hzt

Ezt

tz

Ezt

Hzt

tz

Hz

Ez

z

Ez

Hz

z

µ ε

ωω

ωµ

ωω

ωε

∂∂

=−

∂∂

∂∂

=−

∂∂

∂−

=−

∂ ∂−

=−

(,

)(

,)

(,

)(

,)

j

xx

yy

Ezt

Ez

Hzt

Hz

t

ω ω

ω

−−•

−−•

∂−−•

()

0j

0(

,)

ekz

xEz

ω±

=

()

()

()

()

()0

00

j0

0

00

0

00

jj

j0

00

00

00

0j

e

/

jj

00

00

0

j1

11

(,

)(

,)

ee

ej

jj

j

1e

e

kz

kz

kz

kz

yx

k

c

kz

kz

kH

zEz

EE

Ez

zz

kE

EZ

ωω

εµ

ωω

ωω

ωωµ

ωµ

ωµ

ωµ

ωω

ωµ

±

±±

±

=

±±

∂∂

∂=

==

∂∂

Elec

tric

fiel

d st

reng

th: p

lane

wav

e /

Elek

tris

che

Feld

stär

ke: e

bene

Wel

le

Max

wel

l’s e

quat

ions

in th

e tim

e do

mai

n /

Max

wel

lsch

e G

leic

hung

en im

Zei

tber

eich

Mag

netic

fiel

d st

reng

th: p

lane

wav

e /

Mag

netis

che

Feld

stär

ke: e

bene

Wel

le

FD M

etho

d –

1-D

Hel

mho

ltz E

quat

ion

(Red

uced

Wav

e Eq

uatio

n)

FD-M

etho

de –

1D H

elm

holtz

-Gle

ichu

ng (S

chw

ingu

ngsg

leic

hung

)H

omog

eneo

us s

cala

r 1-

D w

ave

equa

tion

in th

e tim

e do

mai

n /

Hom

ogen

e, s

kala

re 1

D-W

elle

ngle

ichu

ng im

Ze

itber

eich

22

22

20

22

22

201

(,

)(

,)

0

1(

,)

(,

)0

xx

yy

Ezt

Ezt

zc

t

Hzt

Hzt

zc

t

∂∂

−=

∂∂

∂∂

−=

∂∂

0 0

0

j0

j0

j0

0

(,

)(

)e

(,

)(

)e

1(

)ekz

xkz

y

kz

Ez

E

Hz

H

EZ

ωω

ωω

ω± ±

±

= = =±

Hom

ogen

eous

, sca

lar

1-D

Hel

mho

ltz e

quat

ion

in th

e fr

eque

ncy

dom

ain

/ H

omog

ene,

ska

lare

1D

-Hel

mho

ltz-

Gle

ichu

ng im

Fre

quen

zber

eich

22 0

2 22 0

2

(,

)(

,)

0

(,

)(

,)

0

xx

yy

Ez

kEz

z

Hz

kH

zz

ωω

ωω

∂+

=∂ ∂

+=

00

00

(,

),

(,

),

x y

zEzt

Eztc

zH

zt

Hztc

=

=

∓ ∓

00

0

1(

,)

,y

zH

zt

Ezt

Zc

Solu

tion

of th

e 1-

D w

ave

equa

tion

in th

e tim

e do

mai

n /

Lösu

ng d

er h

omog

enen

1D

-Wel

leng

leic

hung

im

Zeitb

erei

ch

Solu

tion

of th

e 1-

D H

elm

holtz

equ

atio

n in

the

freq

uenc

y do

mai

n /

Lösu

ng d

er h

omog

enen

1D

-H

elm

holtz

-Gle

ichu

ng im

Fre

quen

zber

eich

Solu

tion

of th

e 1-

D w

ave

equa

tion

for

the

mag

netic

fie

ld s

tren

gth

in te

rms

of th

e el

ectr

ic fi

eld

stre

ngth

/

Lösu

ng d

er h

omog

enen

1D

-Wel

leng

leic

hung

für

die

mag

netis

che

Feld

stär

ke a

ls F

unkt

ion

der

elek

tris

chen

Fe

ldst

ärke

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

00

00

0

(,

),

1(

,)

,

x y

zEzt

Eztc

zH

zt

Ezt

Zc

=

em

00

00

00

00

0

2 00

0

(,

)(

,)

(,

)

,,

1,

,

1,

zx

yS

zt

EztH

zt

zz

Ezt

Hzt

cc

zz

Ezt

Ezt

cZ

c

zE

zt

Zc

=

=

=

±

∓∓

∓∓

emem

2em

00

0

22

00

00

00

(,)

(,)

emem

1(

,)

,

11

,,

(,

)(

,)

zz

z

Szt

Szt

zzz

Szt

Ezt

Zc z

zE

zt

Ezt

Zc

Zc

SztS

zt

+−

+−

=−

−+

=+

22

22

20

22

22

201

(,

)(

,)

0

1(

,)

(,

)0

xx

yy

Ezt

Ezt

zc

t

Hzt

Hzt

zc

t

∂∂

−=

∂∂

∂∂

−=

∂∂

22

em0

em0

00

00

11

(,

),

(,

),

zz

zz

Szt

Ezt

Szt

Ezt

Zc

Zc

+−

=−

=−

+

Hom

ogen

eous

sca

lar

1-D

wav

e eq

uatio

ns /

H

omog

ene,

ska

lare

1D

-Wel

leng

leic

hung

enSo

lutio

ns /

Lös

unge

n

Poyn

ting

vect

or /

Poy

ntin

g-Ve

ctor

Poyn

ting

vect

or o

f the

two

plan

e w

aves

/

Poyn

ting-

Vekt

or d

er b

eide

n eb

enen

Wel

len

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

emem

em

22

00

00

00

00

(,

)(

,)

(,

)

,,

zz

zS

zt

Szt

Szt

zz

zz

Ezt

Ezt

cc

ZZ

+−

=+

−−

−+

=+

00

00

00

(,

),

,x

zz

zz

Ezt

Ezt

Ezt

cc

+−

−−

=−

++

00

00

00

00

,,

(,

)y

zz

zz

Ezt

Ezt

cc

Hzt

ZZ

+−

−−

−+

=+

The

plan

e w

ave

solu

tion

give

s th

e co

rrec

t cha

ract

eris

tic o

f the

wav

e fie

ld, b

ut th

e am

plitu

de is

not

cor

rect

! Th

ism

eans

we

can

notv

arify

the

num

eric

alre

sults

with

the

plan

e w

ave

solu

tion

of th

e ho

mog

eneo

usw

ave

equa

tion,

bec

ause

the

sim

ulat

edpr

oble

mco

rres

pond

to th

e so

lutio

nof

the

inho

mog

eneo

usw

ave

equa

tion.

/

Die

Ebe

ne-W

elle

n-Lö

sung

gib

t die

kor

rekt

e Ch

arak

teris

tik d

es W

elle

nfel

des

wie

der,

abe

r die

Am

plitu

de d

er

Wel

lena

ntei

le is

t nic

ht k

orre

kt! D

ies

bede

utet

, das

s m

an d

ie n

umer

isch

en R

esul

tate

mit

der

Eben

en-W

elle

n-Lö

sung

nic

ht v

olls

tänd

ig v

erifi

zeire

nka

nn, d

a di

e si

mul

iert

e Si

tuat

ion

mit

der

Lösu

ng d

er in

hom

ogen

en

Wel

leng

leic

hung

kor

resp

ondi

ert.

()RC

2

1 1

em1

(,

)

(,

)

(,

)

x y

z

ft

Ezt

Hzt

Szt

Elec

trom

agne

tic F

ield

of a

“Poi

nt S

ourc

e”Ex

cita

tion

in 1

-D /

El

ektr

omag

netis

ches

Fel

d ei

ner

„Pun

ktqu

elle

n“an

regu

ngin

1D

0e

(,

)j

(,

)(

,)d

xx

z

Ez

Gzz

Jz

ωµ

ωω

∞ ′ =−∞

′′

′=

−∫

z−∞

←z→

Unk

own/

Unb

ekan

nt:

(,

)?

xEzω

=

We

cons

ider

a h

omog

eneo

us in

finite

1-D

reg

ion

/ W

ir be

trac

hten

ein

hom

ogen

es, u

nend

liche

s 1D

-Geb

iet

Sour

ce p

oint

/

Que

llpun

kt

e0

(,

):G

iven

/ G

egeb

enx

Jzz

ω=

whe

re w

e pr

escr

ibe

an e

lect

ric c

urre

nt d

ensi

ty J e

x(z,ω

)with

the

unit

A/m

2 at

z=

z 0./

wob

ei w

ir ei

ne e

lekt

risch

e St

rom

dich

te m

it de

r Ei

nhei

t A/m

2 an

der

Ste

lle z

=z 0

vorg

eben

.

0zz

=

A so

lutio

n fo

r th

e el

ectr

ic fi

eld

stre

ngth

is g

iven

by

the

dom

ain

inte

gral

rep

rese

ntat

ion

/Ei

ne L

ösun

g fü

r di

e el

ektr

isch

e Fe

ldst

ärke

ist d

ann

gege

ben

über

die

(Geb

iets

-) In

tegr

alda

rste

llung

Then

, the

unk

now

n el

ectr

ic fi

eld

stre

ngth

is a

sol

utio

n of

the

inho

mog

eneo

us H

elm

holtz

equ

atio

n /

Die

unb

ekan

nte

elek

tris

che

Feld

stär

ke is

t dan

n Lö

sung

der

inho

mog

enen

Hel

mho

ltz-G

leic

hung

22 0

e2

(,

)(

,)

j(

,)

xx

xEz

kEz

Jz

ωωµ

ω∂

+=−

(,

) Gzzω′

−1-

D s

cala

r G

reen

’s fu

nctio

n /

1D s

kala

re G

reen

sche

Fun

ktio

nCo

nvol

utio

n in

tegr

al /

Faltu

ngsi

nteg

ral

Elec

trom

agne

tic F

ield

of a

Poi

nt S

ourc

e Ex

cita

tion

in 1

-D /

El

ektr

omag

netis

ches

Fel

d ei

ner

Punk

tque

llena

nreg

ung

in 1

D

0e

(,

)j

(,

)(

,)d

xx

z

Ez

Gzz

Jz

ωµ

ωω

∞ ′ =−∞

′′

′=

−∫

0

0

0 0

j0

0

j0

0

j0

0

j01

j(

,)

PV(

)e

2 1j

PVe

()

2 1PV

e(

)2

j 1PV

e(

)2

j

kzz

kzz

kz

kzz

Gzz

czz

k

czz

k

cc

zz

czz

ωπ

δ

πδ

πδ

ω

πδω

′−

′−

′−

′′

−=

+−

=+

′=

−+

′=

−+

0

0(

,)

2z

cGzt

utc

=−

()

()

e0

e

0e

0

(,

)(

,)

(,

)x

x x

Jz

zzK

z

zzK

z

ωδ

ω

δω

=−

=− (

)(

)0

00

()

()

zzfz

zzfz

δδ

−=

Inte

gral

rep

rese

ntat

ion

/ In

tegr

alda

rste

llung

1-D

sca

lar

Gre

en’s

func

tion

in th

e fr

eque

ncy

dom

ain

/ 1D

ska

lare

Gre

ensc

he F

unkt

ion

im F

requ

enzb

erei

ch

1-D

sca

lar

Gre

en’s

func

tion

in th

e tim

e do

mai

n /

1D s

kala

re G

reen

sche

Fun

ktio

n im

Zei

tber

eich

()0

01

0t

ut

t<

=

>

Unit

step

func

tion

/ Ei

nhei

tssp

rung

funk

tion

Elec

tric

cur

rent

den

sity

/

Elek

tris

che

Stro

mdi

chte

Prop

erty

of t

he d

elta

-dis

trib

utio

n /

Eige

nsch

aftd

erD

elta

-Dis

trib

utio

n

e0

(,

)x

Kz

ω

Elec

tric

sur

face

cur

rent

den

sity

/

Elek

tris

che

Fläc

hens

trom

dich

te

EM F

ield

of a

Poi

nt S

ourc

e Ex

cita

tion

in 1

-D /

EM

-Fel

d ei

ner

Punk

tque

llena

nreg

ung

in 1

D

()

0e

00

e

00

e0

(,

)j

(,

)(

,)d

j(

,)

(,

)d

j(

,)

(,

)

xx

z

xz

x

Ez

Gzz

Jz

z

Gzz

zzK

zz

Gzz

Kz

ωωµ

ωω

ωµ

ωδ

ω

ωµ

ωω

∞ ′ =−∞ ∞ ′ =−∞

′′

′=

′′

′′

=−

=−∫ ∫

00

e0

e0

0e

00

e0

(,

)(

,)

j

(,

)(

,)

(,

)(

,)

(,

)(

,)

(,

)(

,)

xx

xx

xt

x

Ez

Ezt

tGzz

Gzzt

Kz

Kzt

Gzz

Kz

Gzzt

Kzt

ω ω ω ωω

ω

•−−

∂•−−−∂

−•−−

•−−

−•−−

−∗

00

e0

00

0e

00

00

0e

00

(,

)(

,)

(,

)d (,

)d2

(,

)d2

xx

t

xt

xt

Ezt

GzzttK

zt

tt

zz

cutt

Kzt

tt

c zz

cutt

Kzt

tt

c

µ

µ µ

∞ ′ =−∞

∞ ′ =−∞

∞ ′ =−∞

∂′

′′

=−

−−

−∂

′′

′=−

−−

−∂

′′

′=−

−−

The

aste

risk

“*t“d

enot

es c

onvo

lutio

n in

tim

e /

Der

Ste

rn “*

t“b

ezei

chne

t ei

ne F

altu

ng in

der

Zei

t

EM F

ield

of a

Poi

nt S

ourc

e Ex

cita

tion

in 1

-D /

EM

-Fel

d ei

ner

Punk

tque

llena

nreg

ung

in 1

D

00

0e

00

(,

)(

,)d

2x

xt

zz

cEzt

utt

Kzt

tt

∞ ′ =−∞

−∂

′′

′=−

−−

00

00

zz

zz

utt

tt

tc

−−

∂′

′−

−=

−−

00

0e

00

00

0e

00

00

0e

00

(,

)(

,)d

2

(,

)d2

,2

xx

t

xt

x

zz

cEzt

tt

Kzt

tc zz

ct

tK

zt

tc

zz

cK

zt

c

µδ

µδ

µ

∞ ′ =−∞ ∞ ′ =−∞

−′

′′

=−

−−

−′

′′

=−

−−

−=−

∫ ∫

00

037

7 c

=≈

Ω

00

e0

0(

,)

,2

xx

zz

ZEzt

Kzt

c

=−

Solu

tion

for

the

xco

mpo

nent

of t

he e

lect

ric fi

eld

stre

ngth

/

Lösu

ng fü

r di

e x-

Kom

pone

nte

der

elek

tris

chen

Fel

dstä

rke

Wav

e im

peda

nce

of fr

ee s

pace

(vac

uum

) /

Wel

lenw

ider

stan

d de

s Fr

eira

umes

(Vak

uum

)

EM F

ield

of a

Poi

nt S

ourc

e Ex

cita

tion

in 1

-D /

EM

-Fel

d ei

ner

Punk

tque

llena

nreg

ung

in 1

D

[]

0

00

e0

0

0e

0

1(

,)

(,

)j

1j

(,

)(

,)

j

(,

)(

,)

yx

x

x

Hz

Ez

z

Gzz

Kz

z

Gzz

Kz

z

ωω

ωµ

ωµ

ωω

ωµ

ωω

∂=

∂ ∂=

−∂

∂=

−∂

00

e0

(,

)j

(,

)(

,)

xx

Ez

Gzz

Kz

ωωµ

ωω

=−

0e

0

00

e0

0

00

e0

0

00

0e

00

0

(,

)(

,)

(,

)d (,

)d2

(,

)d2

sgn(

)(

,)d

2 sgn

yx

t

xt

xt

xt

Hzt

GzzttK

zt

tz

zz

cutt

Kzt

tz

c zz

cutt

Kzt

tz

c

zz

czz

tt

Kzt

tc

∞ ′ =−∞

∞ ′ =−∞

∞ ′ =−∞

∞ ′ =−∞

∂′

′′

=−

−∂

−∂

′′

′=

−−

−∂

′′

′=

−−

−−

′′

′=−

−−

=−

00

e0

0

1(

),

2x

zz

zz

Kzt

c

−−

()(

)

()(

)

0

0

00

0

00

0

00

00

00

sgn

sgn

sgn(

)

sgn(

)

zz

utt

zc

zz

zz

utt

zc

zz

zz

zz

tt

cc

zz

zz

tt

cc

δ δ

−∂

′−

−−

∂′

=−

−−

−′

=−

−−

−−

′=−

−−

()()

()

()

ut

tt ut

tt

δ δ

∂=

∂ ∂−

=−

EM F

ield

of a

Poi

nt S

ourc

e Ex

cita

tion

in 1

-D /

EM

-Fel

d ei

ner

Punk

tque

llena

nreg

ung

in 1

D

em

00

00

e0

e0

00

02

00

e0

0

(,

)(

,)

(,

)

sgn(

),

,2

2

sgn(

),

4

zx

y xx

x

Szt

EztH

zt

zz

zz

Zzz

Kzt

Kzt

cc

zz

Zzz

Kzt

c

=

−−

=−

−−

−=

−−

Solu

tion

for

the

yco

mpo

nent

of t

he m

agne

tic fi

eld

stre

ngth

/

Lösu

ng fü

r di

e y-

Kom

pone

nte

der

mag

netis

che

Feld

stär

ke

00

e0

0

sgn(

)(

,)

,2

yx

zz

zz

Hzt

Kzt

c

−=−

00

e0

0(

,)

,2

xx

zz

ZEzt

Kzt

c

=−

Solu

tion

for

the

xco

mpo

nent

of t

he e

lect

ric fi

eld

stre

ngth

/

Lösu

ng fü

r di

e x-

Kom

pone

nte

der

elek

tris

chen

Fel

dstä

rke

Solu

tion

for

the

zco

mpo

nent

of t

he P

oynt

ing

vect

or /

sung

für

die

z-Ko

mpo

nent

e de

s Po

yntin

g-Ve

ktor

s

EM F

ield

of a

Poi

nt S

ourc

e Ex

cita

tion

in 1

-D /

EM

-Fel

d ei

ner

Punk

tque

llena

nreg

ung

in 1

D

()

e0

e re

f2

00

e0

0 0e

00

20

0em

ze

00

,()

(,

),

2 1(

,)

,2

(,

),

4

xRC

xx

yx

x

Kzt

Kf

t

zz

ZE

zt

Kzt

c

zz

Hzt

Kzt

c zz

ZS

zt

Kzt

c

± ±

±

=

−=−

=−

−=±

()

e0

2

0e

00

0e

00

20

eem

z0

0

,()

1(

,),

2 1(

,),

2 1(

,),

4

xRC

xx

yx

x

Kzt

ft

zz

Ezt

Kzt

c zz

Hzt

Kzt

c zz

Szt

Kzt

c

± ± ±

=

−=−

=−

−=±

ref

ref

ref

ref

ref

ref

ref

ref

0re

f

ref

ref

ref

ref

ref

ref

ref

ref

ref

ˆ

ˆ ˆ

xx

yy

xt

tt

tz

xz

ccc

c

EE

E

EH

HH

HE

c

εε

εµ

µµ

µµ

εµ

µµ

∆∆

=∆

∆∆

=∆

=∆

∆=

==

=

= ==

=re

fre

fre

fre

fre

fre

f2 re

fem

zem

zem

ref

emre

fre

fre

fre

f

ref

ee

ere

fe

ref

ref

ref

ref

ee

ere

fe

ref

ref

e re

f

1(

)(

)

xx

xx

EE

Z

ES

SS

SE

HZ

JJ

JJ

Et

zz

x

KK

KK

xJ

ε µ

ε

δδ

==

==

=

==∆

=∆

==∆

ref

0

ref

ref

0

ref

0

ref

0

e re

f1

A/m

cc

xz

ZZ

K

εε

µµ

=

∆=∆

= = = =

Nor

mal

izat

ion

of th

e fie

ld c

ompo

nent

s /

Nor

mie

rung

der

Fel

dkom

pone

nten

EM F

ield

com

pone

nts

/EM

-Fel

dkom

pone

nten

Nor

mal

ized

EM

fiel

d co

mpo

nent

s /

Nor

mie

rte

EM-F

eldk

ompo

nent

en

()RC

2

1 1

em1

(,

)

(,

)

(,

)

x y

z

ft

Ezt

Hzt

Szt

FD M

etho

d –

1-D

Wav

e Eq

uatio

n –

Exam

ple

/ FD

-Met

hode

–1D

Wel

leng

leic

hung

–Be

ispi

el

()

e0

2

0e

00

0e

00

20

eem

z0

0

,()

1(

,),

2 1(

,),

2 1(

,),

4

xRC

xx

yx

x

Kzt

ft

zz

Ezt

Kzt

c zz

Hzt

Kzt

c zz

Szt

Kzt

c

± ± ±

=

−=−

−=

−=±

The

Gre

en’s

func

tion

met

hod

give

s th

e so

lutio

n of

the

1-D

sim

ulat

ion

area

exc

ited

by a

“poi

nt”s

ourc

e, w

hich

is

in 1

-D a

sin

gula

r el

ectr

ic s

urfa

ce c

urre

nt s

ourc

e. T

he s

ingu

lar

sour

ce is

inde

pend

ent o

f xan

d y.

The

ref

eren

ce

solu

tion

give

s th

e co

rrec

t cha

ract

eris

tic a

nd c

orre

ct a

mpl

itude

s. B

ut th

e so

lutio

n do

esn’

t acc

ount

for

the

refle

ctio

ns a

t the

bou

ndar

ies,

bec

ause

we

used

the

free

-spa

ce G

reen

’s fu

nctio

n./

Die

Met

hode

der

Gre

ensc

hen

Funk

tion

erm

öglic

ht d

ie L

ösun

g de

s vo

rlieg

ende

n Pr

oble

ms,

der

Anr

egun

g de

s 1D

-Sim

ulat

ions

gebi

etes

dur

ch e

ine

„Pun

kt“q

uelle

, die

gen

auer

ges

agt i

n 1D

ein

e si

ngul

äre

elek

tris

che

Fläc

hens

trom

dich

te is

t.D

a di

e si

ngul

äre

Que

lle v

on x

und

yun

abhä

ngig

ist.

Die

Cha

rakt

eris

tik u

nd A

mpl

itude

stim

mt ü

bere

in, n

ur d

ie

Refle

xion

en a

n de

n Rä

nder

n fe

hlen

, was

an

der

Verw

endu

ng d

er G

reen

sche

n Fu

nktio

n fü

r de

n Fr

eira

um li

egt.

FD M

etho

d –

Prop

ertie

s /

FD-M

etho

de -

Eige

nsch

afte

n

Spat

ial a

nd T

empo

ral D

iscr

etiz

atio

n /

Räum

liche

und

zei

tlich

e D

iskr

etis

ieru

ng

Cons

iste

ncy

/ Ko

nsis

tenz

Dis

sipa

tion

/D

issi

patio

n

Stab

ility

Con

ditio

n /

Stab

ilitä

tsbe

ding

ung

Conv

erge

nce

/ Ko

nver

genz

? ?z t∆=

∆=

()

tfz

∆=

Der

ivat

ion

of th

e N

umer

ical

Dis

pers

ion

Rela

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/

Able

itung

der

num

eris

chen

Dis

pers

ions

rela

tion

für

das

1D-F

D-S

chem

a 2t

er O

rdnu

ngSt

abili

ty b

y th

e vo

n Ne

uman

n’s

met

hod

(Fou

rier

serie

s m

etho

d):

Inse

rt a

com

plex

mon

ofre

quen

t (m

onoc

hrom

atic

) pla

ne w

ave

into

the

disc

rete

FD

equ

atio

ns a

nd a

naly

ze th

e sp

ectr

al r

adiu

s of

the

ampl

ifica

tion

mat

rix, w

here

the

spec

tral

rad

ius

mus

t be

smal

ler

equa

l one

.

Stab

ilitä

t dur

ch d

ie v

on N

eum

anns

che

Met

hode

(Fou

rier-

Reih

en-M

etho

de):

Setz

e ei

ne k

ompl

ex m

onof

requ

ente

(mon

ochr

omat

isch

e) e

bene

Wel

le in

die

di

skre

ten

FD-G

leic

hung

en e

in u

nd a

naly

sier

e de

n sp

ektr

alen

Rad

ius

der

Vers

tärk

ungs

mat

rix, w

obei

der

spe

ktra

le R

adiu

s kl

eine

rgle

ich

Eins

sei

n m

uss.

Com

plex

mon

ofre

quen

t (m

onoc

hrom

atic

) pla

ne w

ave

/Ko

mpl

ex m

onof

requ

ente

(mon

ochr

omat

isch

e) e

bene

W

elle

()

0 0

ˆj

00

ˆj

j0

0

ˆ(

,)

(,

)e ˆ(

,)e

etk

xt

k

Et

E E

ω ω

ω ω

−−

= =

kR k

R

Rk k

i i

[]

[]

FDFD

(1)

()

1D1D

:t

tn

n+

=W

GW

GAm

plifi

catio

n m

atrix

/Ve

rstä

rkun

gsm

atrix

[]

()

[]

FDFD

1D1D

1

ρ

≤G

Gof

the

mat

rix /

Spec

tral r

adiu

s /

Spek

trale

r Rad

ius

der M

atrix

[]

()

[]

()

[]

()

[]

FDFD

FDFD

1D1D

1D1D

1..

whe

re

max

/

-w

obe

:i

nn

nN

n nρ

νν

==

GG

GG

th e

igen

valu

e of

the

mat

rixte

r Eig

enw

ert d

er M

atrix

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/

Able

itung

der

Sta

bilit

ätsb

edin

gung

für

das

1D-F

D-S

chem

a 2t

er O

rdnu

ng

22

22

0

kk

k=k

kk

kk

xz

zz

xz

zz

xy

zz

zkk

kcω

=+

+

==

++

==

=

=

ke

ee

e

kk

k

Wav

e ve

ctor

/ W

elle

nvek

tor

Mag

nitu

de o

f the

wav

e ve

ctor

/Be

trag

des

Wel

lenv

ekto

rs

Wav

enum

ber /

Wel

lenz

ahl

Circ

ular

freq

ue

i

00

2

sgn

(k)k

ksg

n(k

sgn(

k)

k

ˆsg

n(k

)(

zz

zz

zz

zz

zz

zz

f

kk

k

kk

ωπ

= ==

==

=

=

e

ee

kk

ek

kR

e

ncy

/Kr

eisf

requ

enz

Prop

agat

ion

dire

ctio

n /

Ausb

reitu

ngsr

icht

ung

Phas

e of

the

plan

e w

ave

/Ph

ase

der e

bene

n W

elle

ii

)sg

n(k

)sg

n(k

)z

zx

zz

zz

xy

zk

zk

z+

+=

=e

ee

eei

Mon

ofre

quen

t (m

onoc

hrom

atic

) pla

ne w

ave

in th

e tim

e do

mai

n /

Mon

ofre

quen

te (m

onoc

hrom

atis

che)

ebe

ne W

elle

im Z

eitb

erei

ch

()

0 0

ˆj

00

ˆj

j0

0

ˆ(

,)

(,

)e ˆ(

,)e

etk

xt

k

Et

E E

ω ω

ω ω

−−

= =

kR k

R

Rk k

i i

k R

ˆco

nst.

=k

Ri

Plan

e of

con

stan

t pha

se /

Eben

e ko

nsta

nter

Pha

se

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/ Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

0 0 0 0

(,

1)j

(1)

j0

0ex

p()

j(

1)0

0(

,)

j0

0(

,1)

j(

1)0

0

ˆˆ

ˆ(

,)e

e

ˆˆ

(,

)exp

()e

ˆˆ

ˆ(

,)e

xp(

)eˆ

ˆ(

,)e

xp(

)e

zt

tz

z

t

zt

t

zt

t

nn

nt

knz

xx

n

nt

xz

nn

nt

xx

znn

nt

xx

z

EE E

n

EE

n

EE

n

ω ω ω ω

ω ω ω ω

+−

+∆

=

−+

−∆

−−

−∆

= = = =

k k k k

0

0

0

(1,

)j

j0

0(

,)

j0

0(

1,)

jj

00

ˆˆ

ˆ(

,)e

xp(

)ee

ˆˆ

ˆ(

,)e

xp(

)eˆ

ˆˆ

(,

)exp

()e

e

zt

t

zt

t

zt

t

nn

nt

kz

xx

znn

nt

xx

zn

nnt

kz

xx

z

EE

n

EE

n

EE

n

ω

ω

ω

ω ω ω

+−

∆∆

−∆

−−

∆−

= = =

k k k

(,

1)(

,)

(,

1)(

1,)

(,

)(

1,)

ˆˆ

ˆˆ

ˆ2

()

2z

tz

tz

tz

tz

tz

tnn

nn

nn

nn

nn

nn

xx

xx

xx

EE

Et

EE

E+

−+

=

−+∆

−+

00

(,

)j

jj

00

00

exp(

)

ˆˆ

ˆˆ

ˆ(

,)e

e(

,)e

xp(

)ezt

tt

z

z

nn

nt

nt

knz

xx

xz

nE

EE

ωω

ω−

∆−

∆∆

=

==

kk

00

0

0

00

-j(

1)-j

-j(

1)0

00

00

0-j

2j

-j0

00

00

0

-j-j

(1)

20

00

0

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

(,

)e2

(,

)e(

,)e

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

(

)(

,)e

2(

,)

(,

)ee

ˆˆ

ˆˆ

21

()

(,

)e(

,)e

(

tt

t

t

zt

nt

nt

nt

xx

xnt

kz

kz

xx

x

nt

nt

xx

EE

E

tE

EE

tE

E

ωω

ω

ω

ωω

ωω

ω

ωω

ω

ωω

+∆

∆−

∆∆

∆−

=−

+∆

−+

=−∆

+∆

kk

k

kk

k

kk

0-j

2j

-j0

00

ˆˆ

ˆ)

(,

)e(

,)e

etnt

kz

kz

xx

tE

ωω

∆∆

+

kk

Inse

rt d

iscr

ete

plan

e w

ave

/ Se

tze

die

disk

rete

ebe

ne W

elle

into

the

FD s

chem

e /

in d

asFD

-Sch

ema

ein

with

/ m

it

it fo

llow

s /

folg

t

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/ Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

00

0 0

00

j(

1)j

j(

1)2

00

00

00

j2

jj

00

00

jj

(1)

20

00

0

2

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

(,

)e2

1(

)(

,)e

(,

)e

ˆˆ

ˆˆ

(

)(

,)e

(,

)ee

ˆˆ

ˆˆ

21

()

(,

)e(

,)e

()

tt

t t

tt

nt

nt

nt

xx

x

nt

kz

kz

xx nt

nt

xx

Et

EE

tE

E

tE

E

t

ωω

ω ω

ωω

ωω

ω

ωω

ωω

−+

∆−

∆−

−∆

−∆

∆−

−∆

−−

=−∆

+∆

+

=−∆

+∆

kk

k

kk

kk

[]

0

00

0

0

jj

j0

0

2cos

()

jj

(1)

20

00

0

j2

00

j(

1)2

00

00

ˆˆ

ee

(,

)e

ˆˆ

ˆˆ

21

()

(,

)e(

,)e

ˆˆ

(

)2c

os(

)(

,)e

ˆˆ

ˆˆ

(,

)e2

1(

)co

s()

1(

,

t

tt

t

t

nt

kz

kz

x

kz

nt

nt

xx

nt

x

nt

xx

E

tE

E

tkzE

Et

kz

E

ω

ωω

ω

ω

ω

ωω

ω

ωω

−∆

∆−

=∆

−∆

−−

−∆

−+

+

=−∆

+∆

=+∆

∆−

k

kk

k

kk

00

jj

(1)

00

ˆˆ

)e(

,)e

tt

nt

nt

xE

ωω

ω−

∆−

−∆

−k

22

2sin

1co

s

2sin

cos

12

αα

α

=

−→

−=

00

0

00

-j(

1)-j

-j(

1)2

20

00

00

0

-j(

1)-j

22

00

00

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

(,

)e2

12(

)sin

(,

)e(

,)e

2

ˆˆ

ˆˆ

(,

)e2

12(

)sin

(,

)e2

tt

t

tt

nt

nt

nt

xx

x

nt

nt

xx

kz

Et

EE

kz

Et

E

ωω

ω

ωω

ωω

ω

ωω

+∆

∆−

−∆

=

−∆

=−

+−

kk

k

kk

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/ Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

00

0

00

-j(

1)-j

-j(

1)2

20

00

00

0

-j(

1)-j

22

00

00

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

(,

)e2

12(

)sin

(,

)e(

,)e

2

ˆˆ

ˆˆ

(,

)e2

12(

)sin

(,

)e2

tz

t

tt

nt

nt

nt

xx

x

nt

nt

xx

kz

Et

EE

kz

Et

E

ωω

ω

ωω

ωω

ω

ωω

+∆

∆−

−∆

=

−∆

=−

+−

kk

k

kk

0 0

()

-j0

0

()

(1)

-j(

1)0

0

ˆˆ

(,

)e

ˆˆ

(,

)e

tt

tt

t

nnt

x

nn

nt

x

UE

VU E

ω ω

ω ω

−∆

= = =

k k

(1)

(1)

()

22

()

()

22

21

2()

sin2

21

2()

sin2

tt

t

tt

nn

n

nn

kz

UU

tU

kz

Vt

U

+−

=−

+−

=−

+−

Def

ine

/ D

efin

iere

whi

ch y

ield

s fo

r th

e ab

ove

equa

tion

/ w

omit

wir

für

die

ober

e G

leic

hung

erh

alte

n

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/ Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

()

()

()t

t

tnn

n

U V

=

W

[]

[]

(1)

()

FD 1D

(1)

22

()

(1)

()

FD(

1)(

)1D

21

2()

sin1

21

0

tt

tt

nn

tt

tt

nn

nn

nn

kz

tU

U

VV

+

+ +

==

=

+

∆−

=

=

WW

G

WG

W

[]

[]

2

2FD 1D

22

2

21

2()

sin1

det

21

21

2()

sin1

2

kz

t

kz

t

νν

ν

νν

∆−

=

=

−−

∆+

GI

[]

[]

FD 1D

det

0ν−

=G

I[

](

)[

]FD

FD1D

1D:

-n

n nν

GG

th e

igen

valu

e of

the

mat

rixte

r Eig

enw

ert d

er M

atrix

Def

ine

a ne

w a

lgeb

raic

vec

tor

/ D

efin

iere

ein

en n

euen

alg

ebra

isch

en V

ekto

r

[]FD 1D

:G

Ampl

ifica

tion

mat

rix /

Vers

tärk

ungs

mat

rix

Char

acte

ristic

pol

ynom

ial /

Ch

arak

teris

tisch

es P

olyn

om

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

22

22

22

22

22

12(

)sin

12(

)sin

12(

)sin

12

22

kz

kz

kz

tt

ν

−−

∆+

−∆

=−

∆−

22

22

22

12(

)sin

12(

)sin

12

2kz

kz

tt

ν

−−

∆=

−∆

2

22

22

21/

2

2

2

12(

)sin

12(

)sin

12

2

1

j1

aa

kz

kz

tt

aa

aa

ν

==

=−

∆±

−∆

−22

1 /

1

aa

≤≤

iffa

lls

Eige

nval

ues

of th

e am

plifi

catio

n m

atrix

/

Eige

nwer

te d

er V

erst

ärku

ngsm

atrix

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

()2

22

22

21/

2j

11

1

1aa

aa

aa

ν=

±−

=+

−=

+−

=

2

22

22

21/

2

2

22

2

12(

)sin

12(

)sin

12

2

1

j1

if 1

/ fal

ls 1

aa

kz

kz

tt

aa

aa

aa

ν

==

=−

∆±

−∆

−≤

Unit

circ

le /

Einh

eits

krei

s

1

1−

1−

1Th

is m

eans

for,

that

all

eige

nval

ues

a2 ≤

1ar

e on

the

unit

circ

le in

the

com

plex

pla

ne. /

Die

s be

deut

et, d

ass

alle

Eig

enw

erte

ra2

≤1

auf d

em E

inhe

itskr

eis

in d

er

kom

plex

en E

bene

lieg

en.

RejIm

1,2

nn

nn

νν

ν=

+=

Imnν

Renν

[]

()

FD 1D1

ρ≤

G

Spec

tral

rad

ius

/Sp

ektr

aler

Rad

ius

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/ Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

2

22

22

21/

2

22

2

12(

)sin

j1

12(

)sin

22

j1

if 1

/ fal

ls 1

aa

kz

kz

tt

aa

aa

ν

==

=−

∆±

−−

−≤

2 22

2

22

44

22

22

22

22

2

1

12(

)sin

12

14(

)sin

4()

sin1

22

4()

sin1

()

sin0

22

1(

)sin

02

()

sin1

2 ()

1

a

kz

t

kz

kz

tt

kz

kz

tt

kz

t

kz

t

t

∆≤

∆∆

−∆

+∆

∆−∆

−∆

∆≤

∆≤

beca

use /

wei

2m

axsin

12

1

kz

t

=

∆≤

l

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/ Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

max

1-D

/ 1D

:

1

xt

tt

c∆∆

≤∆

=∆

≤ ref

ref

:

t

xt

tt

c∆

∆∆

=∆

=∆

Cou

rant

num

ber /

C

oura

nt-Z

ahl

1-D

Sta

bilit

y Co

nditi

on fo

r an

FD

alg

orith

m o

f 2nd

ord

er in

spa

ce a

nd ti

me–

CFL-

Cond

ition

/1D

-Sta

bilit

ätsb

edin

gung

für

eine

n FD

-Alg

orith

mus

zw

eite

r O

rdnu

ng in

Rau

m u

nd Z

eit–

CFL-

Bedi

ngun

g

2-D

and

3-D

Sta

bilit

y Co

nditi

on fo

r an

FD

alg

orith

m o

f 2nd

ord

er in

spa

ce a

nd ti

me–

CFL-

Cond

ition

/2D

-un

d 3D

-St

abili

täts

bedi

ngun

g fü

r ei

nen

FD-A

lgor

ithm

us z

wei

ter

Ord

nung

in R

aum

und

Zei

t–CF

L-Be

ding

ung

max

max

11

2-D

/ 2D

:

0.

707

22

11

3-D

/ 3D

:

0.

577

33

xt

tt

c xt

tt

c∆∆

≤∆

=∆

≤≈

∆∆

≤∆

=∆

≤≈

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

22

21/

2

22

22

2

()

1 i

f 1

/ fal

ls 1

j1

if 1

/ fal

ls 1

w

ith

12(

)sin

2

ta

aa

a

kz

aa

aa

at

ν∆

−≥

=

±−

≤≤

=−

[]

()

FD 1D1

ρ≤

GSp

ectr

al r

adiu

s /

Spek

tral

er R

adiu

s

22

1/2

1 :

j1

aa

≤=

±−

22

1/2

1:

1a

aa

ν>

22

12

12

j1

j

11

1a

aa

νν

ν=

+−

=−

==

22

12

12

1

1lim

lim

0a

a

aa

aa

νν

νν

→∞

→∞

=+

−=

−−

→∞

[]

()

FD 1D1

ρ≥

GSp

ectr

al r

adiu

s /

Spek

tral

er R

adiu

s

1/2

as a

func

tion

of a

ls Fu

nktio

n vo

n

()

()

tt

ν∆

1()t

ν∆ 2(

)tν

Der

ivat

ion

of th

e St

abili

ty C

ondi

tion

for

the

1-D

FD

Sch

eme

of 2

nd O

rder

/Ab

leitu

ng d

er S

tabi

lität

sbed

ingu

ng fü

r da

s 1D

-FD

-Sch

ema

2ter

Ord

nung

[]

()

FD 1Dt

ρ∆

G

22

21/

2

22

2

22

()

1 i

f 1

/ fal

ls 1

j1

if 1

/ fal

ls 1

with

1

2()

sin2

ta

aa

a

aa

aa

kz

at

ν∆

−≥

−≤

=

−∆

Spec

tral

rad

ius

/ Sp

ektr

aler

Rad

ius

Eige

nval

ues

/ Ei

genw

erte

1()t

ν∆ 2(

)tν

[]

()

FD 1Dt

ρ∆

G

End

of L

ectu

re 4

/En

de d

er 4

. Vor

lesu

ng