1 dr. r. marklein - nft ii - ss 2003 numerical methods of electromagnetic field theory ii (nft ii)...
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Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie II (NFT II) /
4th Lecture / 4. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer Science
(FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
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Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
inkSource /Quelle
O
PEC Cylinder / IEL Zylinder
( ) ( )r rr z
r 0
R e e
r
2-D Case /2D-Fall
TMeK ( , )z r
inE ( , )z r
0r
sc sc
TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S
G C
r r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
This is a Fredholm integral equation of the 1. kind in form of a closed line integralfor the unknown electric surface current density for a known incident field. /
Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 1. Art in Form eines geschlossenen Linienintegrals für die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld.
(1)00
j( , ) H4
G k r r r r
cylrr
r
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
sc sc
TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S
G C
r r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
TM ine
V / A V / mA / m
( ) K ( ) E ( )z zZ
Matrix Equation / Matrixgleichung
Impedance Matrix /Impedanzmatrix
Electric Surface Current Density Vector /Elektrischer Flächenstromdichtevektor
Electric Field Strength Vector /Elektrischer Feldstärkevektor
Discretization via MoM /Diskretisierung durch MoM
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
sc sc
TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S
G C
r r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
TM ine
V / A V / mA / m
( ) K ( ) E ( )z zZ
Matrix Equation / Matrixgleichung
Discretization via MoM /Diskretisierung durch MoM
1TM ine
A / V V / mA / m
K ( ) ( ) E ( )z zZ
Solution of the Matrix Equation / Lösung der Matrixgleichung
Iterative Solution via Conjugate Gradient (CG) Method /Iterative Lösung durch Konjugierte Gradienten (KG) Methode
Problem: Large Impedance Matrix / Problem: Große Impedanzmatrix !
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
sc sc
TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S
G C
r r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
TM ine( ) K ( ) E ( )z zZ
TM ine 1 111 12 1TM in
21 22 2 e 2 2
TM in1 2 e
K ( ) E ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) K ( ) E ( )
( ) ( ) ( ) K ( ) E ( )×
z zN
N z z
N N NN N N zN zNN N
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
Matrix Equation / Matrixgleichung
Discretization via MoM /Diskretisierung durch MoM
Complex Symmetric N X N Matrix / Komplexe symmetrische N X N Matrix
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
sc sc
TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S
G C
r r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
sc sc
in in
TM TMe e
0
E ( , ) E ( ) 1,...,
K ( , ) K ( ) 1,...,
j , d , 1,...,r
r
r
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z zm
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mnC S
m N
n N
G Z m n N
TM ine 1 111 12 1TM in
21 22 2 e 2 2
TM in1 2 e
K ( ) E ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) K ( ) E ( )
( ) ( ) ( ) K ( ) E ( )×
z zN
N z z
N N NN N N zN zNN N
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
N
N N NN
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
We have to Consider Two Different Cases for the Elements of the Impedance Matrix / Man unterscheidet zwei Verschiedene Fälle für die Elemente der Impedanzmatrix
sc sc
TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S
G C
r r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
For / Für: (Self Cell / Eigenzelle)
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
For / Für
r r
r r
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
TM TMe e sc sc
( )
K ( , ) K ( ), ( ) :
, ( ),
r r
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r r r r
z z b e
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s s C C s s s
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in TM0 e scE ( , ) j ( ), K ( ), d ( )
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G s s s C
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inkSource /Quelle
O
PEC Cylinder / IEL Zylinder
cylrr
( )srTMeK ( ),z s
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inE ( , )z r
0r
s Contour Parameter = Integration Variable/Konturparameter = Integrationsvariable
( )
( )
Begin of Contour /Anfang der KonturEnd of Contour /Ende der Kontur
b eginn
e nd
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Rectangular Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an
einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Rechteckimpuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( ) ( )( ); ,n nn ebp s s s r
( )nbs ( )s r
( )nes
1( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1( ) ( ); , otherwise /
0sonst
n neb
n n n neb
s s sB s p s s s
rRectangular Pulse
(or Piecewise-Constant) Function / Rechteckimpuls-Funktion
(oder stückweise konstante Funktion)
in TM0 e scE ( , ) j ( ), K ( ), d ( )
e
b
s
z zs s
G s s s C
r r r r r r
Basis Function Expansion using Rectangular Pulse Basis / Basisfunktionsentwicklung mit Rechteckimpulsfunktionen
inkSource /Quelle
O
PEC Cylinder / IEL Zylinder
( )sr
in0jin in
0E ( , ) E ( )ez z k rr
0r
n Integer Counter /Ganzzahliger Zähler
(5)( )r bs
(5)( )r es
TM(1)eK z
TM(3)eK z
TM(4)eK z
TM(2)eK z
TM(8)eK z
TM(7)eK z TM(6)
eK z
TM(5)eK z
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einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Rechteckimpuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( ) ( )( ); ,n nn ebp s s s r
( )nbs ( )s r
( )nes
1( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1( ) ( ); , otherwise /
0sonst
n neb
n n n neb
s s sB s p s s s
rRectangular Pulse
(or Piecewise-Constant) Function / Rechteckimpuls-Funktion
(oder stückweise konstante Funktion)
( )TM TM( ) ( ) ( )e e
1K ( ), K ( ); ,
Nnn n n
z z ebn
s p s s s
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( )
( )
in TM0 e sc
( )TM( ) ( ) ( )0 e sc
1
TM( )0 e
1
E ( , ) j ( ), K ( ), d ( )
j K ( ), ( ); , d ( )
j K ( ), d ( )
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z zs s
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G s s s C
G s p s s s s C
G s s
Basis Function Expansion using Rectangular Pulse Basis / Basisfunktionsentwicklung mit Rechteckimpulsfunktionen
Pulse Basis Expansion of / Pulsbasisentwicklung von
TMeK ( ),rz s
The Rectangular Pulse Function Workslike a Filter Function /
Die Rechteckimpuls-Funktion arbeitetwie eine Filterfunktion
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
in TM( )0 e
1E ( , ) j K ( ), d ( )
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( )
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(1)in TM( )0 e 00
1
(1)TM( )0e 00
1
jE ( , ) j K H ( ) d ( )4
K H ( ) d ( )4
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nb
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
(1)in TM( )0e 00
1E ( , ) K H ( ) d ( )
4
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z zn s s
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( )
( )
( )
( )
(1)in TM( )0e 00
1
( ) ( ) (1)in TM( )0e 00
1
( ) ((1)in TM( )0e 00
1
, E ( , ) , K H ( ) d ( )4
( ), E ( , ) ( ), K H ( ) d ( )4
E ( , ) K H4
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ne
nb
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) ( ) d ( )
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Testing Procedure with Delta Testing Functions /Testprozedur mit Delta-Testfunktionen
( )( ) ( )mmw r r r
, ,m mw f w gL
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
( ) ( )(1)in TM( )0e 00
1E ( , ) K H ( ) d ( )
4
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( )
( )
( )in in in
TM TM( ) TM( )e e e
( )(1)000
VE ( ) E ( , ) E ( , ) 1,...,mAK K K 1,...,m
V( ), H ( ) d ( ) , 1,...,4 A
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mzm z z
n nzn z z
sm
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Z Z s k s s m n N
nth Element – nth Cell / n-tes Element – n-te Zelle
TM ine 1 111 12 1TM in
1 e
TM in1 2 e
K ( ) E ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) K ( ) E ( )
( ) ( ) ( ) K ( ) E ( )×
z zN
m mn mN zn zm
N N NN N N zN zNN N
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
( )(1)000H ( ) d ( ) , 1,...,
4r r r
ne
nb
sm
mns s
Z k s s m n N
where the Phase of the Hankel Function is given by / wobei die Phase der Hankel-Funktion geben ist über
TM ine 1 111 12 1TM in
1 e
TM in1 2 e
K ( ) E ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) K ( ) E ( )
( ) ( ) ( ) K ( ) E ( )×
z zN
m mn mN zn zm
N N NN N N zN zNN N
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )r rm m ms x x s y y s
where / wobei ( )r m determines the Phase center / das Phasenzentrum angibt
The Solution of this Contour Integral cannot Formulated in a Closed Form. We have to Introduce some further Approximations. /
Die Lösung dieses Konturintegrals kann nicht in einer geschlossenen Form angegeben werden. Wir müssen weitere Approximationen einführen.
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
( )(1)000H ( ) d ( ) , 1,...,
4r r r
ne
nb
sm
mns s
Z k s s m n N
=?
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
N
N N NN
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
For / Für: Self Cell / Eigenzelle
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
For / Für
r r
r r
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
( )(1)000H ( ) d ( ) , 1,...,
4r r r
ne
nb
sm
mns s
Z k s s m n N
=?
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
N
N N NN
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
For / Für: Self Cell / Eigenzeller r
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inkSource /Quelle
O
PEC Cylinder / IEL Zylinder
( )sr
in0jin in
0E ( , ) E ( ) ez z k rr
0r
n Integer Counter /Ganzzahliger Zähler
(5)( )r bs
(5)( )r es
TM(1)eK z
TM(3)eK z
TM(4)eK z
TM(2)eK z
TM(8)eK z
TM(7)eK z TM(6)
eK z
TM(5)eK z
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
( )
( )
( )(1)000H ( ) d ( ) 1,...,
4
me
mb
sm
mms s
Z k s s m N
r r r
(5)(5) (5)
(5) ( )
e bs s
s s
r r
r r
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )(1) (1)0 00 0
2(1)
000
H ( ) d ( ) H d
2 H d
m me e
m mb b
m
s sm
s s s s
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k s s k s s
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( ) ( )m s s r r
Power Series Approximation of the Hankel Function for Small Arguments z /
Potenzreihenapproximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente z
( )mesr
( )mbsr
( ) ( )ms s r r
( )sr( )mr
( )mbs s ( )
ems s
( )( ) ( ) mm me bs s r r
O
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
(1)0 00H ( ) J ( ) jN ( )?z z z
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Editors):Handbook of Mathematical Functions,with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.p. 1046, Dover Publications, New York, 1972.
www.amazon.de
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
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(1)0 00H ( ) J ( ) jN ( )?z z z
2 40
2 40 0
10.5772 15664 90153 28606 06512
1J ( ) 1 ( )4
2 2 1N ( ) ln J ( ) ( )2 4
0.5772 15664 90153 28606 06512
e
e1.7810 72428 ...
z z z
zz z z z
O
O
[Abramowitz & Stegun, p. 360, Eq. 9.1.12]
[Abramowitz & Stegun, p. 360, Eq. 9.1.13]
[Abramowitz & Stegun, p. 3]Euler Constant /Eulersche Konstante
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
(1)0 00H ( ) J ( ) jN ( )?z z z
2
2 40
2 40 0
114
2 2 4
2 2 4
1J ( ) 1 ( )4
2 2 1N ( ) ln J ( ) ( )2 4
2 1 2 1ln 1 ( )2 4 4
2 1 2 1ln ln ( )2 4 2 4
2 1ln ln2 4 2
z
z z z
zz z z z
z z z z
z z z z z
z z
O
O
O
O
2 41 ( )z z
O
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
(1)0 00
2 2 4
2 2
2
H ( ) J ( ) jN ( )
1 2 11 j ln ln 1 ( )4 2 4 2
1 2 11 j ln ln 14 2 4 2
2 1 11 j ln j ln 12 4 2 2
z z z
z zz z z
z zz z
z z z
O
2 40
2 40
1J ( ) 1 ( )4
2 1N ( ) ln ln 1 ( )2 4 2
z z z
z zz z z
O
O
Finally we find for the Power Series Approximation of the Hankel Function for Small Arguments z /Letztendlich finden wir für die Potenzreihenapproximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente z
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )(1)00
2(1)
000
2
0
2 2
0 0
H ( ) d ( )
2 H d
22 1 j ln d2
2 22 1 j d j ln d2
me
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k s s
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(1) 20
2 1 1H ( ) 1 j ln j ln 12 4 2 2
21 j ln2
z zz z
z
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( ) ( )( )
( )
2 2( )(1)
000 0
2 4H ( ) d ( ) 2 1 j d j ln d2
m mme
mb
sm
s ss s
zk s s s s
r r r
( )( )
2 2
00
( )
2 22 1 j d 2 1 j
21 j
mm
ss
m
s s
( )( )0
2 40
00 0
( )( ) 0
4 4 2j ln d j ln d2
2j ln 14
mm k
s
mm
k ss
k
k
ln d ln 1 0x x x x x
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
( )( )(1) ( ) ( ) 0
00
( )( ) 0
2 2H ( ) d ( ) 1 j j ln 14
21 j ln 14
me
mb
s mm m m
s s
mm
kk s s
k
r r r
( )
( )0 021 j ln 1 1,...,4 4
mm
mmk
Z m N
Main Diagonal Elements of the Impedance Matrix / Hauptdiagonalelemente der Impedanzmatrix
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments / Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
( )(1)000H ( ) d ( ) , 1,...,
4r r r
ne
nb
sm
mns s
Z k s s m n N
=?
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
N
N N NN
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
For / Für r r
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )
( )
( ) ( )
( )(1)000
( ) ( )(1) ( )( )000
(1) ( ) ( )000
H ( ) d ( ) , 1,...,4
H4
H4
ne
nb
mn n
sm
mns s
m n nne b
r
mn n
Z k s s m n N
k s s
k r
r r r
r r r r
( ) ( )( )
2 2( ) ( ) ( ) ( )
m nmn
m n m n
r
x x y y
r r
Position Vector Points to the Midpoint of the nth Cell /Ortsvektor zeigt auf den Mittelpunkt der n-ten Zelle
( )nr
( )( ) ( ) nn ne bs s r r
Approximation of the Arc Length of the nth Cell /Approximation der Bogenlänge der n-ten Zelle
( )
( )
( )( )
( )
d ( )
ne
nb
snn
e bs s
n
s s s
r r r
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
(1) ( ) ( )000H
4mn n
mnZ k r
Off Diagonal Elements of the Impedance Matrix / Nebendiagonalelemente der Impedanzmatrix
( ) ( )( )
2 2( ) ( ) ( ) ( )
m nmn
m n m n
r
x x y y
r r
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )( )0
(1)0
( )TM TM( ) TM TM( ) ( ) ( )e e e e
1( )in in
21 j ln 14( )
4H ( )
K K K ( ), K ( ); ,
E ( ) E ( , )
nn
mn
mn
Nnn n n n
zn z z z ebn
mzm z
k m nZ
k r m n
s p s s s
r r
r
Elements of the Impedance Matrix /Elemente der Impedanzmatrix
TM ine( ) K ( ) E ( )z zZ
Matrix Equation / Matrixgleichung
sc sc
TM in0 e sc
scE ( , )
j K ( , ) , d E ( , ),z zC S
z
G C
rr
r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
Discretization via MoM /Diskretisierung durch MoM
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elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )( )0
(1)0
21 j ln 14( )
4H ( )
nn
mn
mn
k m nZ
k r m n
Elements of the Impedance Matrix /Elemente der Impedanzmatrix
TM ine
V / A V / mA / m
( ) K ( ) E ( )z zZ
Matrix Equation / Matrixgleichung
1TM ine
A / V V / mA / m
K ( ) ( ) E ( )z zZ
Solution of the Matrix Equation / Lösung der Matrixgleichung
Iterative Solution via Conjugate Gradient (CG) Method /Iterative Lösung durch Konjugierte Gradienten (KG) Methode
Problem: Large Impedance Matrix / Problem: Große Impedanzmatrix !
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Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
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Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
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EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Calculation of the Scattered Field /Berechnung des Streufeldes
sc sc
sc TM 3sc0 eE ( , ) j K ( , ) , d , \z zC S
G C
rr r r r r r
inkSource /Quelle
O
PEC Cylinder / IEL Zylinder
( )sr
in0jin in
0E ( , ) E ( ) ez z k rr
0r
n Integer Counter /Ganzzahliger Zähler
(5)( )r bs
(5)( )r es
TM(1)eK z
TM(3)eK z
TM(4)eK z
TM(2)eK z
TM(8)eK z
TM(7)eK z TM(6)
eK z
TM(5)eK z
in sc 3scE ( , ) E ( , ) E ( , ), \z z z C r r r r
Calculation of the Total Field /Berechnung des Gesamtfeldes
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Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
Real Part / Realteil Imaginary Part / Imaginärteil Magnitude / BetragIncident Field /
Einfallendes Feld
Scattered Field / Streufeld
Total Field / Gesamtfeld
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End of 4th Lecture /Ende der 4. Vorlesung