Mosaici, simmetrie impossibili e quasi-cristalli

annalisa.marzuoli@unipv.it

Pavia, 13 giugno 2012

( Una quasi-lezione )

Esagoni e pentagoni (1.1)

Bibliografia essenziale (1.2)

Testi e Immagini: Marjorie Senechal Crystalline Symmetries: an informal mathematical introduction Adam Hilger 1990 [avanzato] Ian Steward Che forma ha un fiocco di neve? Numeri magici in natura Bollati Boringhieri 2003 • Wikipedia: Mosaic, Penrose tiling, Polygons • http://www.its.caltech.edu/˜atomic/snowcrystals/

• http://KVA.se (Accademia Svedese delle Scienze),

The discovery of quasicrystals (Premio Nobel per la Chimica 2011) • http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/#

Kepler (1.3)

1611

1619

Kepler De nive sexangula (2.1)

Simmetria esagonale

Strutture stellate variamente ornate

(curve frattali)

Spiegazioni di Keplero: I) Il fiocco di neve nell’ aria è tridimensionale -con sei punte dirette come i vertici di un ottaedro- ma cadendo al suolo si appiattisce in un esagono (realistico?)

(2.2)

Spiegazioni di Keplero: II) Le gocce d’acqua (sferiche) si ‘impacchettano’ il più strettamente possibile, dando origine di preferenza a configurazioni esagonali

(2.3)

Struttura cristallina del ghiaccio (2.4)

- Atomi di ossigeno (in rosso)

-2 atomi di idrogeno per ciascun

ossigeno

si dispongono in reticoli esagonali

H2O (diagramma di fase)

Simmetria e Complessità (2.5)

Il fascino dei fiocchi (2.6) scienza, filosofia, letteratura:

→→ la passeggiata di Castorp

(T Mann, La Montagna Incantata)

Hooke Micrographia (1665) _________________________

_________________________ Cartesio Discorso sul metodo…,

le meteore e la geometria (1637) (ovvero:

cose che accadono nel cielo)

Mosaici: tessere a forma di poligoni regolari • di uno stesso tipo • di tipi diversi pavimentano una superficie piana senza lasciare vuoti e senza sovrapporsi

Tessellazioni del piano (3.1)

Poligoni regolari di uno stesso tipo (n lati) (3.2) simmetrie per opportune rotazioni delle tessere e traslazioni

lungo certe direzioni di una singola tessera del mosaico tessellazioni (pavimentazioni) periodiche dell’intero piano

esagono n=6

triangolo n=3

quadrato n=4

Generazione dei mosaici dalla singola tessera

Rotazioni di 2π/n di ciascuna tessera intorno all’ asse passante per il centro e ortogonale al piano Traslazioni della tessera lungo opportune direzioni

(3.3)

Poligoni regolari di tipi diversi:

rotazioni e traslazioni di un insieme di ‘poche’ tessere

(dominio fondamentale) possono comunque produrre

tessellazioni periodiche dell’intero piano

Il pentagono (3.4)

Non può pavimentare il piano senza lasciare vuoti

NB Dodici pentagoni regolari combinati nel dodecaedro rappresentano una tessellazione della superficie bidimensionale di una sfera nello spazio euclideo tridimensionale

La restrizione cristallografica (Haüi 1882) (*): La simmetria rotazionale pentagonale (5-fold) è incompatibile con l’ invarianza traslazionale propria dei reticoli periodici (tessellazioni riproducibili a partire da una singola tessera o da un ‘piccolo’ gruppo di tessere chiamato dominio fondamentale). Il teorema vale sia nel piano che nello spazio e inoltre esclude anche le simmetrie rotazionali di ordine più alto (ettagonali, ottagonali, decagonali ecc.)

(*) M Senechal (Cap 1, Teor 1.2)

(3.5)

Il mostro di Kepler (3.6)

Inserzione di pentagoni ↓

rottura della simmetria roto-traslazionale ↓

tessellazioni non periodiche

Tiling non periodici (4.1)

Tiling 1 (Penrose 1974) 6 proto-tessere

Diversi insiemi di proto-tessere per uno stesso tiling (4.2)

4 proto-tessere

3 proto-tessere

Evoluzione dei tiling: Kite e dart (4.3)

2 proto-tessere decorate:

Aquilone (kite) Freccia (dart)

Decorate con linee curve in modo da incollarsi tra loro solo rispettando i colori →

e la continuità delle lineee

In ogni vertice sono ammesse

solo 7 configurazioni

(vietato il rombo!)

Varietà dei Penrose tiling (4.4)

Le ‘quasi-simmetrie’ delle tessellazioni piane non periodiche derivano da ‘vere’ simmetrie di tessellazioni periodiche in spazi di

dimensione maggiore di tre (4.5)

Proiezione sul piano dell’ ipercubo 4-dimensionale

Proiezione dell’ottaedro sul piano (Kepler)

M. Senechal (Cap. 7)

(5.1)

Esperimento condotto da Dan Shechtman nel 1982 Diffrazione a raggi X su campione di Al con 10-14% Mn

(5.2) Pentagono regolare:

D = L x φ D: diagonale L: lato

φ : sezione aurea = 1,6180339...

Simmetria pentagonale (5.3)