modelamiento matematico en sistema de tanques

7/27/2019 Modelamiento Matematico en Sistema de Tanques

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Engineering’s ProblemsODELAMIENTO MATEMÁTICO EN

SISTEMAS DE TANQUES CONDESCARGA POR GRAVEDAD

“EL CONOCIMIENTO NOS HACE LIBRES”

11/05/2013

By: Ing. Edgar R. Julián Laime



PROBLEM’S SOLUTIONS IN ENGINEERING UNCP

DESCARGA DE UN TANQUE POR GRAVEDAD FIMM

HUANCAYO-PERU

26/10/2010

Ing. Edgar R. Julián Laime Página 2 de 13

MODELAMIENTO MATEMATICO EN SISTEMAS DE TANQUES CON

DESCARGA POR GRAVEDAD

1. MOTIVACIÓN

En muchas aplicaciones industriales es común ver como se aprovecha fuerzamotriz de la gravedad para transportar o suministrar un fluido de uno a otro equipo

que puede constituir parte del mismo proceso ó de otro proceso consecutivo, de

este modo se produce un ahorro energético que se traduce en ahorro de costos de

producción para el proceso, ya que no hacemos uso de bombas u otro dispositivos

que nos demandan consumo de energía eléctrica, y es aquí donde radica su

importancia dentro del diseño de equipos en plantas industriales. Por lo cual es

imprescindible conocer y comprender las variables y parámetros que intervienen y

describen el comportamiento del fenómeno mediante el modelamiento matemático,

luego utilizando herramientas matemáticas como métodos analíticos y/o numéricos

podemos dar solución a dicho modelo matemático para luego escalar al siguiente

nivel que sería la simulación del sistema utilizando programación digital y

posteriormente esto nos servirá para diseñar el sistema de control automático para

luego poderlo trasladar con un gran índice de confianza a un modulo experimental

de pruebas y contrastar nuestra hipótesis.

2. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA

El sistema mostrado en la figura 1, es el que representa el fenómeno de descarga

de un fluido de proceso en un tanque por acción de la gravedad, este fenómeno se

produce en Régimen ó Estado No Estacionario (ENE), ya que tenemos una

velocidad de salida de masa de fluido que varía en todo momento dependiendo del

nivel de fluido dentro del tanque hasta que todo el fluido haya sido descargado.

Para iniciar la comprensión del fenómeno partimos de un sistema simple en donde

no hay alimentación de fluido de proceso, y además se tiene un volumen inicial de

fluido dentro del tanque lo que se traduce en un nivel inicial (H0) desde donde se

iniciará la descarga del fluido de proceso.

Entonces en un tiempo inicial (t=0), el valor que toma el nivel de fluido dentro del

tanque (h) es igual a H0, para un tiempo cualquiera una vez iniciada la descarga

tiene el valor de h(t) es decir en el Estado No Estacionario (ENE), el plano de

referencia corresponde al valor de z2 = 0, y la velocidad de flujo correspondiente alplano de referencia está representada por el vector v2 (velocidad de descarga).





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El volumen de control para el balance de materia está comprendido entre los

planos xy que corresponden a los puntos z1 y z2 (plano de referencia) según se

muestra en la figura (1).

FIGURA 1: Descarga de un fluido en un tanque por gravedad

3. BALANCE DE MATERIA

3.1. Balance de materia en el tanque

La ecuación general de balance de materia para el sistema mostrado en la figura 1

esta descrita mediante la ecuación (3.1), la cual se muestra a continuación:

(3.1)

Z2

PLANO DE REFERENCIA: X

Z1

h

H

D

dS

Z

v

v

Acumulación de

Materia= Ingreso por

Flujo

Salida

por flujo- +

Generación

de Materia-

Consumo

De materia





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Este sistema no presenta generación ni consumo de materia por reacción química

ni por otro medio por lo que asumimos como condiciones iniciales del sistema los

siguientes postulados:

Generación de materia = 0 Consumo de materia = 0

Con lo cual la ecuación (3.1) se reduce a:

(3.2)

Si nuestro volumen de control se encuentra comprendido entre los planos de

referencia z1 y z2, la ecuación (3.2), puede representarse mediante:

VC CS

dAnvdV t

.. (3.3)

Si desarrollamos la expresión anterior:

VC SS ES

dAvdAvdV t

..... (3.4)

VC

s s seee dAvdAvdV t

..... (3.5)

Donde en el sistema de unidades CGS:

Densidad del fluido dentro del volumen de control Volumen de fluido dentro del volumen de control Densidad de entrada o ingreso de fluido al del volumen de control Densidad de salida de fluido al del volumen de control

Velocidad de ingreso de materia al volumen de control

Velocidad de salida de materia al volumen de control Área transversal de la tubería de ingreso al volumen de control Área transversal de la tubería de salida al volumen de control Otra condición del sistema es como ya se había mencionado el hecho de que no

presenta ingreso de materia al sistema, y además dentro del volumen de control no

hay variación de composición ni temperatura, el liquido que fluye es de viscosidad y

densidad constante es decir fluido newtoniano e incompresible en condiciones

isotérmicas por lo que:

Acumulación de

Materia= Ingreso por

Flujo

Salida

por flujo-





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ingreso de materia = 0

No hay variación de composición ( ) No hay variación de temperatura (

)

Con lo que la ecuación (3.5), queda como:

VC

s s dAvdV t

... (3.6)

Integrando la ecuación:

sali da salid a Avdt

dV . (3.7)

Donde:

Área transversal del tanque Altura o nivel de fluido dentro del tanque en cualquier instante Además:

Sustituyendo en ecuación (3.7):

(3.8)

3.2. Balance de Energía en el tanque

El balance energético para el sistema en estudio comprendido por el tanque esta

descrito por los efectos energéticos en el fluido contenido en éste, los cuales están

descritos mediante la ecuación (3.9):

wqV P g

z g m

g

vmU

cc

.

..

.2

.2

(3.9)

Donde: = Variación de la energía interna del fluido

= Variación de la energía cinética del fluido = Variación de la energía potencial del fluido

Variación

de energíainterna

+

Calor

suministradoal fluido

Trabajo

RealizadoPor el fluido

Variación

de energíacinética

Variación

de energíapotencial

Variación

deenergía

+ + = -





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= Variación de la energía de presión del fluido = Calor suministrado al fluido desde el entorno = Trabajo efectuado por el fluido hacia el entorno Si tenemos en cuenta que el término comprende todos los incrementos de

energía interna que tiene el fluido es decir los efectos caloríficos, de compresión,

efectos superficiales y efectos químicos, esto queda descrito mediante la ecuación:

∫ ∫ ∫ ∫ (3.10)

Además la variación de la energía de presión en el fluido:

2

1

2

1).( PdV VdP V P (3.11)

Reemplazando ecuación (3.10) y (3.11) en ecuación (3.9)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(3.12)

Debido a las irreversibilidades caloríficas ocasionadas por fricción el términoentropía es igual al calor absorbido del entorno por el fluido más la energía

disipada de modo irreversible en el fluido ():

∫ (3.13)

Teniendo en cuenta las consideraciones siguientes:

Efectos químicos despreciables ∫

Efectos superficiales despreciables ∫

Reemplazando estas consideraciones y ecuación (3.13) en ecuación (3.12),

tenemos:

∫ ∫ ∫

∫

∫ (3.14)





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Referida a la unidad de masa:

∫ ̅ (3.15)

Respecto a la unidad de peso:

∫ ̅ (3.16)

En el sistema se observa también:

Trabajo producido por el sistema hacia el entorno nulo

Energía disipada de modo irreversible despreciable ̅

Aplicando estas consideraciones obtenemos la ecuación (3.17), la cual es conocida

como la ecuación de Bernou l lí :

(3.17)

Donde:

: Representa la perdida de carga del fluido por fricción con el tanque (

)

Por lo tanto:

(3.17)

La pérdida de carga () depende principalmente de:

Las dimensiones del tanque

La altura del fluido en cualquier tiempo (t) La velocidad de flujo de salida del liquido (v 2 )

Estos factores están representados en la siguiente ecuación:

(3.18)

(3.19)

Donde:

Factor de fricción que depende principalmente del diámetro y del régimen de

flujo Longitud total de canalización





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Longitud equivalente depende de la geometría y accesorios Nivel de fluido dentro del tanque

Diámetro de flujo ó diámetro del tanque

Velocidad de flujo en la salida de ⁄ Aceleración de la gravedad ⁄ Reemplazando ecuación (3.18) en ecuación (3.17):

(3.17)

(3.19)

Se observa además en el volumen de control que:

La velocidad del fluido en el punto z 1 es muy pequeña comparada con la

velocidad del fluido en el punto z 2 :

Plano de referencia:

Altura o nivel de fluido dentro del tanque

Considerando esto la ecuación (3.19) queda como sigue:

(3.20)

De donde despejando la velocidad de descarga de fluido :

(3.21)

Por último introducimos el parámetro ó denominado comúnmente coeficiente de

descarga del tanque el cual representa un factor de corrección entre el flujo de

salida ideal y el flujo real, el mismo que depende de la geometría del tanque, e;

nivel de fluido y la velocidad de descarga, con lo que finalmente concluimos en:

( ) ( ) (3.22)





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De donde:

(3.23)

(3.24)

Es necesario determinar empíricamente el valor del coeficiente de descarga ,

puesto que un parámetro inherente de cada sistema dependiente de las

propiedades del mismo como la geometría y el material del tanque, el factor de

fricción fluido-tanque, la forma del orificio de descarga, accesorios etc…y por ello

debe ser encontrado experimentalmente aunque también puede ser hallado por

tablas o como función del factor de fricción

.

Entonces el caudal de descarga o caudal de salida del volumen de control estará

dado por la siguiente ecuación:

Caudal de descarga Real:

(3.25)

Caudal de descarga Ideal:

(3.26)

El coeficiente de descarga para un sistema Real en donde hay pérdidas de

energía por fricción y/o otros factores tiene un valor entre , siendo 1

el valor para un sistema ideal en donde no hay perdidas por fricción y otros.

3.3. Aplicación del principio de conservación de materia y Energía

Del balance de materia y del balance energético en el volumen de control es decir el tanque, podemos concluir en las ecuaciones siguientes:

(3.8)

(3.25)

Reemplazando ecuación (3.25) en ecuación (3.8):

(3.27)





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Donde: Altura o nivel de fluido contenido dentro del tanque en cualquier instante t Área transversal del tanque Área transversal de la tubería de descarga del fluido Coeficiente de descarga del tanque Aceleración de la gravedad ⁄ Siendo la ecuación (3.27), el modelo matemático que describe la descarga de fluido

de proceso contenido dentro del tanque por acción de la gravedad en estado no

estacionario (ENE) es decir en cualquier tiempo (t).

4. SOLUCION DEL MODELO MATEMÁTICO PROPUESTO PARA EL SISTEMA

Para encontrar solución al modelo matemático que describe el sistema

representado por la ecuación (3.27), se recurre a dos tipos de métodos distintos:

solución por métodos analíticos y solución por métodos numéricos, ambos ofrecen

ventajas comparativas uno frente al otro y en general se trabaja combinando

ambos para dar solución al modelo matemático del sistema si es que se desea

simular y diseñar un sistema de control automático para el mismo, lo que se

describe a continuación.

4.1. Solución del modelo matemático por Métodos Analíticos

La solución analítica de la ecuación (3.27) se encuentra al integrar dicha ecuación,

para ello en primer lugar separamos variables:

(3.27)

(3.28)

Integrando para las condiciones límite:

Condición limite 1: t=0, h=H 0

Condición limite 2: t=t, h=h(t)

∫ ∫ (3.29)





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Desarrollando:

(√ ) (3.29)

( √ ) (3.30)

Se tiene:

(3.31)

Finalmente la ecuación del tiempo de descarga del tanque desde una altura inicial

H0 hasta una altura h, esta dado por la siguiente ecuación:

( √ ) (3.32)

El tiempo de descarga total del tanque (h=0) será entonces:

( ) (3.33)

De igual manera el nivel h en tanque transcurridos t segundos será:

[ ](3.34)

La ecuación (3.34) es conocida como la ecuación solución del sistema y es la que

predice el nivel de fluido dentro del tanque en cualquier instante t de tiempo y es

válida tanto para el estado no estacionario ENE como para el estado estacionario

EE, ya que a éste último se llega cuando haya pasado un tiempo suficiente t, o

para .

La ecuación (3.34), también es comúnmente utilizada para la simulación del

sistema, todos los términos de esta ecuación son conocidos excepto el

coeficiente de descarga Cd el cual es estimado del tiempo total de descarga

experimental:

De la ecuación (3.33):

( ) (3.35)

El parámetro Cd es un valor que permanece constante en el sistema y es

característico de cada tanque dependiendo de la forma y/o posición de la tuberíade descarga del fluido de proceso.





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4.2. Solución del modelo matemático por Métodos Numéricos

La solución numérica de la ecuación (3.27) se encuentra aplicando el método de

Runge Kutta de 4to Orden, para ello requerimos lo siguiente: la función pendiente,

las condiciones iniciales y las formulas del método numérico: (3.27)

Función Pendiente:

( ) (3.28)

Condiciones Iniciales:

Cuando:

Formulas del método numérico:

El método Runge Kutta más popular de cuarto orden se conoce como método RK

clásico de cuarto orden (RK4). Las fórmulas para el método son las siguientes:

Donde: : Valor Actual de la variable dependiente

: Valor Anterior ó inicial de la variable dependiente

: Valor Anterior ó inicial de la variable independiente : Tamaño de paso propuesto : Función Pendiente evaluada en

Para el término i – ésimo se tiene:

(3.29)





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4.3. Ejemplo de cálculo

Para el tanque siguiente, las dimensiones se encuentran en cm, calcular:

a. El tiempo de descarga por el método analítico

b. El tiempo de descarga por el método numérico RK4c. El nivel del fluido en el tanque en el E.E. con un caudal de ingreso de 145cm3/s.

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