metoda matricelor de transfer sisteme de bare

7/26/2019 Metoda Matricelor de Transfer Sisteme de Bare

1/38

1. Studiul teoretic al vibraiilor cuplate ale arborilor cotii_______________________________________________________________________________

DESCRIPTION OF METHOD AND SIMPLIFYING HYPOTHESIS

We consider that the system is formed from straight elements (bars) of constant section which are effectingbending vibrations in two perpendicular plans which are containing longitudinal axis of a element torsion

vibrations and axial vibrations around and respectively in length of this axis (figure 1).

!ig. 1" #pplication of proposed method to a system of bars

$t is constructed a transfer matrix which %eeps account of an this types of vibrations a saltus matrix forvariations multi&stago sections and concentrated mass and a transit matrix from an element to an other forchanging the coordinate system. We begin from the left terminal point and we traverse the system from anelement to an other till the right terminal point. 'epending on the type of the leaning we write the boundaryconditions and we obtain an algebraic system. We put the condition that the system to admit non&ero solutionand we obtain the natural angular freuencies.

1.1. PREZENTAREA METODEI

Se consider* c* arborele cotit ca mediu continuu este alc*tuit din elemente (tronsoane)

drepte de seciune constant* care execut* vibraii de +ncovoiere vibraii longitudinale ,i vibraii detorsiune.

Se negli-a* astfel existena canalelor de ungere a te,iturilor ,i a altor abateri de la forma

regulat* a elementelor.

!iecare element al s*u execut* vibraii de +ncovoiere +n dou* plane perpendiculare care

conin axa longitudinal* a elementului.

#legnd pentru un element axele ca +n figura 1./ cu axa Oyax* longitudinal* vibraiile de

+ntindere compresiune se execut* +n lungul axei longitudinale ,i sunt cuplate cu vibraiile de

+ncovoiere +n planulxOy.

0ibraiile de torsiune se execut* +n -urul axei Oy,i se cuplea* cu vibraiile de +ncovoiere +n

planulyOz.


2/38


Se urm*re,te construirea unei matrice de

transfer care s* in* seama de toate aceste tipuri de

vibraii.

Se porne,te din cap*tul din stnga ,i se merge pe fibra medie din element +n element pn* +n

cap*tul din dreapta. 2n funcie de tipul de reemare se pun condiiile la limit* ,i din condiia ca

sistemul algebric liniar ,i omogen care se obine s* admit* r*d*cini nenule se obin pulsaiile

proprii.

1.2. STABILIREA MATRICEI DE TRANSFER

1.2.1. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU VIBRAIILE DENCOVOIERE

3entru un element de grind* de lungime l care execut* vibraii de +ncovoiere cu notaiile

din figura 1.4 +ntre vectorii de stare din seciunile k-1,i kse poate scrie relaia 516/7"

Figur 1.!

Figur 1."

8


3/38


v

M

F

S TU

EI

V

EI

V ST

EI

U

EI

EIU EIV ST

EIT EIU V S

v

M

F

k

k

k

k

k

k

k

kk k k

=

16 /

6

6

/ 6

1

1

1

1 1

(1.1)

unde" & S,T,U,Vsunt funciile 9r+lov&:ayleigh"

( ) ( ) ( )[ ]S l ch l l = +16

cos

( ) ( ) ( )[ ]T l sh l l = +16

sin

( ) ( ) ( )[ ]U l ch l l = 16 cos

( ) ( ) ( )[ ]V l sh l l = 1

6 sin ;

&

= A

EI4 +n care este pulsaia proprie de ordinul n este densitatea

materialuluiAeste aria seciunii transversaleEeste modulul de elasticitate

longitudinalIeste momentul de inerie al seciunii transversale fa* de axa neutr* a

acesteia.:elaia (1.1) mai poate fi scris* sub forma 567"

v

M

EI

FEI

S T U V

V S T U

U V S T

T U V S

v

M

EI

FEIk k k

=

6

/

6

/

1

. (1.6)

'ac* se notea* 567"

=

mM

EI=

6

fF

EI=

/

atunci se poate scrie"


4/38


5/38


6/38


7/38


k k

k

!

k

!

k

k

!

lM

Il

M

Il

M

Il

= +

= +

1

1

1

1

cos sin

sin cos

care poate fi pus sub forma matriceal* "

M

I

l l

l lM

I! !k k k

=

cos sin

cos cos1

. (1.8)

'ac* se notea*

mM

I!=

" l= cos # l= sin

atunci se poate scrie "

m

" #

# " mk k k

=

1

. (1.


8/38


Bonform teoriei lui Saint&0Cnant privind torsiunea barelor cu seciune dreptunghiular* axa

Oyva fi ,i ax* neutr* pentru torsiune.

Se iolea* din aceast* bar* un element prismatic de lungime $x, acionat la capete de

momentele de torsiuneMy ,iMy%$My .

Se aplic* teorema momentului cinetic +n raport cu axa Oy"$ &

$ 'M

y

y= .

'eoarece axa Oyeste ax* de simetrie ea este ,i ax* principal* de inerie deci xy yz *.

'in expresia momentului cinetic 5


9/38


3entru un element de bar* prismatic* de seciune constant* de lungime l care execut*

vibraii de torsiune relaia de leg*tur* +ntre vectorii de stare din seciunile k-1 ,i k se stabile,te

procednd analog cu caul barelor drepte de seciune circular*.

Se pleac* de la soluia ecuaiei cu derivate pariale (1.1@). Se face notaia = I

I!

$+n

care este pulsaia proprie de ordinul n. Se ine seama de relaia de leg*tur* +ntre momentul de

torsiune ,i unghiul de torsiune specific* reultat* din teoria lui Saint&0Cnant pentru torsiunea

barelor cu seciune dreptunghiular*.

Bu notaiile din figura 1. se obine "

M

l I l

I l l Mk k k

$

$

=

cos sin

cos cos

1

1

(1.11)

care conduce la sistemul "

k k

k

$

k k $ k

lM

Il

M I l M l

= +

= +

1

1

1 1

cos sin

sin cos

.

'ac* se +nmule,te a doua ecuaie cu1

I$

se obine sistemul"

k k

k

$

k

$

k

k

$

lM

Il

M

Il

M

Il

= +

= +

1

1

1

1

cos sin

sin cos

care poate fi pus sub forma matriceal* "

M

I

l l

l l

M

I$ $k k k

=

cos sin

cos cos1

. (1.16)

'ac* se notea*

mM

I$=

" l= cos

# l= sin

atunci se poate scrie "

m

" #

# " mk k k

=

1. (1.1/)

1?


10/38


11/38


Bu notaiile din figura 1. se poate scrie relaia matriceal* (1.14). Schimb*rile de semne

care apar fa* de relaia (1.6) la unele elemente ale vectorilor de stare pentru vibraiile de

+ncovoiere se datorea* utili*rii unui sistem de referin* unic pentru toate tipurile de vibraii.

v

M

EI

F

EI

v

F

EA

M

I

v

M

EI

F

EI

S T U V

V S T U

U V S T

T U

x

z

ix

z

ix z

x

ix z

y

y

cy xz

y

y

-y !xz

z

x

iz

x

iz x

z

iz x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

k

=

6

/

6

/

@ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @

V S

M N

N M

" #

# "

S T U V

V S T U

U V S T

T U V S

x x

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

@ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @

k k

v

M

EI

F

EI

v

F

EA

M

I

v

M

EI

F

EI

x

z

ix

z

ix z

x

ix z

y

y

cy xz

y

y

-y !xz

z

x

iz

x

iz x

z

iz x

6

/

6

/

1

(1.1

4)

1


12/38


+n care se folosesc urm*toarele notaii"

vx&deplasarea +n lungul axei Ox;

vy&deplasarea +n lungul axei Oy;

vz&deplasarea +n lungul axei Oz;

x&unghiul de rotaie +n -urul axei Ox;

y&unghiul de rotaie +n -urul axei Oy;

z&unghiul de rotaie +n -urul axei Oz;

Fx&fora t*ietoare pe axa Ox;

Fy&fora axial* pe axa Oy;

Fz&fora t*ietoare pe axa Oz;

Mx&momentul +ncovoietor pe axa Ox(+ncovoiere +n planulyOz);My&momentul de torsiune pe axa Oy(torsiune +n -urul axei Oy);

Mz&momentul +ncovoietor pe axa Oz(+ncovoiere +n planulxOz);

Axz& aria seciunii transversale (din planulxOz);

E & modulul de elasticitate longitudinal;

& modulul de elasticitate transvarsal;

Iz &momentul de inerie fa* de axa Oz al seciunii din planulxOz;

Ix &momentul de inerie fa* de axa Ox al seciunii din planulxOz;

I!xz& momentul de inerie polar al seciunii din planulxOz;

4

z

xzixix

EI

A = unde" & este densitatea materialului;

ix& este pulsaia proprie pentru vibraiile de incovoiere din planulxOy(pe direcia Ox).

Ecycy

= unde" cy& este pulsaia proprie pentru vibraiile longitudinale

(+n lungul axei Oy).

-y-y

= unde" y& este pulsaia proprie pentru vibraiile de torsiune

(+n -urul axei Oy).

4

x

xziziz

EI

A = unde" iz& este pulsaia proprie pentru vibraiile de incovoiere din planul

yOz(pe direcia Oz).

Sx Tx Ux Vx& sunt funciile 9r+lov&:ayleigh scrise +n caul vibraiei de +ncovoiere +n planul

xOy(pe direcia Ox) adic*"

18


13/38


14/38


15/38


'ac* se consider* c* pentru o seciune (nod) se poate vorbi de un vector de stare la stnga

seciunii (nodului) { }q st

,i un vector de stare la dreapta seciunii (nodului) { }q dr

atunci pentru

elementul kse poate scrie"

{ } [ ] { }q A qkst

k k

dr

= 1. (1.1A)

MATRICELOR DE TRECERE PENTRU SITUA5II

PARTICULARE SPECIFICE

".1 MATRICEA DE TRECERE ".1.1. MATRICEA DE TRECERE PRINTR6UN N OD N CARE

SE SCHI MB7 DIREC5IA DE PARCURGERE

3entru un punct +n care sistemul de axe O 1x1y1z1 +Gi modificH orient area axelor

devenind Oxyz(fig. 4.1) presupunem cH sunt cunoscute unghiurile pe care axele

sistemului Oxyzle fac cu axele si stemului Ox1y1z1 Gi anume "

( )= Ox Ox1 0 ; ( )= Oy Ox10 ; ( )= Oz Ox1 0

( )= Ox O y10 ; ( )= Oy Oy10 ; ( )= Oz O y10

( )= Ox Oz 10 ; ( )= O y Oz 10 ; ( )= Oz Oz 1 0

3entru un nod kse poate vorbi despre un vector de stare la stnga nodului Gi

Figur ".1

61


16/38


despre un vector de stare la dreapta nodului (fig. 4.6) . 0ectorul de stare din

dreapta nodului corespunde sistemului de referinIH cu axele modificate .

3entru un nod k se pot scrie relaIiile "

v vx

dr

x

st

= ; v v

y

dr

y

st= ; v vz

dr

z

st

=

xdr xst= ; ydr

yst= ; zdr zst=

F Fx xst= ; F Fy y

st= ; F Fz z

st=

M Mx

dr

x

st= ; M Mydr

yst= ; M M

z

dr

z

st= .

2ntre vectorul de stare din stnga nodului Gi vectorul de stare din dreapta

nodului

(cu componente +n sistemul de referinIH cu axele modificate) se poate scrie

relaIia

( 4.1 )"

Figur ".2

66


17/38


v

M

$-x

z

z

1

1

1

@

@

@ @

cos

cos

6/


18/38


(4.1)=atricea care conIine cosinusurile directoare a fost notatH cu 5 7 k .

JotuGi matricele care conIin cosinusurile directoare nu pot fi folosite sub

aceastH formH dator itH faptului cH vectorii de star e de la extremitHIile unui

element nu conIin deplasHrile unghiurile forIele Gi momentele ci mHrimi

proporIionale cu ac estea (F /.6.) . 3en tru un nod k aflat +ntre elementele k Gi k-1

vectorii de stare din stnga Gi din dreapta conIin urmHtoarele elemente "

v v

m ME I

fF

E I

v v

fF

E A

m M I

v v

mM

E I

x k

s'

x k

s'

z k

s' z k

s'

ix k

z k

s' z k

s'

ix k z k

x k

s' x k

s'

ix k z k

y k

s'

y k

s'

y k

s' y k

s'

cy k xz k

y k

s'

y k

s'

y k

s' y k

s'

-y k !xz k

z k

s'

z k

s'

x k

s' x k

s'

iz k

x k

s' x k

s'

iz k x

, ,

,

,

,

,

,

, ,

,

,

, ,

, ,

,

,

, ,

, ,

,

,

, ,

, ,

,

,

,

,

,

,

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

6

/

6

,

,

,

, ,

k

z k

s' z k

s'

iz k x k

fF

E I=

/

v v

m ME I

fF

E I

v v

fF

E A

m M I

v v

x k

$-

x k

$-

z k

$- z k

$-

ix k

z k

$- z k

$-

ix k z k

x k

$- x k

$-

ix k z k

y k

$-

y k

$-

y k

$- y k

$-

cy k xz k

y k

$-

y k

$-

y k

$- y k

$-

-y k !xz k

z k

$-

z k

$-

x k

$- x k

$-

iz k

, ,

,

,

,

,

,

, ,

,

,

, ,

, ,

,

,

, ,

, ,

,

,

, ,

, ,

,

,

,

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+

1

1

6

1

1

/

1

1 1

1 1

1

mM

E I

fF

E I

x k

$- x k

$-

iz k x k

z k

$- z k

$-

iz k x k

,

,

, ,

,

,

, ,

=

=

+ +

+ +

1

6

1

1

/

1

BoeficienIii cu care trebuie multiplicate cosinusurile directoare se pot obIine cu

a-utorul urmHtorului tabel "

axe

noi

vx kst

, z kst

, mz kst

, fx kst,

vy kst

, fy kst

, y kst

, my kst

, vz kst

, x kst

, mx kst

, fz kst,

vx kdr

, e

11,

cos

* * * e1 5,

cos

* * * e1 9,

cos

* * *

z kdr

, * e2 2,

cos

* * * * 2 7,

cos

* * e2 10,

cos

* *

64


19/38


mz kdr

, * * e3 3,

cos

* * * * e3 8,

cos

* * e311,

cos

*

fx kdr

, * * * e4 4,

cos

* e4 6,

cos

* * * * * 4 12,

cosvy kdr

, e

51,

cos

* * * e5 5,

cos

* * * e5 9,

cos

* * *

fy kdr

, * * * e6 4,

cos

* e6 6,

cos

* * * * * e 612,

cosy k

dr,

* e7 2,

cos

* * * * 7 7,

cos

* * e7 10,

cos

* *

my kdr

, * * e8 3,

cos

* * * * e8 8,

cos

* * e8 11,

cos

*

vz kdr

, e

9 1,

cos

* * * e9 5,

cos

* * * e9 9,

cos

* * *

x kdr

, * e10 2,

cos

* * * * 10 7,

cos

* * e10 10,

cos

* *

mx kdr

, * * e11 3,

cos

* * * * e11 8,

cos

* * e1111,

cos

*

fz kdr,

* * * e12 4,

cos

* 12 6,

cos

* * * * * e12 12,

cos 3e prima linie a tabelului sunt trecute elementele vectorului de stare din dreapta

nodului k { }/k

$-

deci care c onIine mHrimile (deplasHri rot iri forIe momente)

proiectate pe axel e sistemului de refer inIH rotit (mobil) .

3e prima coloanH a tabelului sunt trecute elementele vectorului de stare din

stnga nodului k { }/k

s' deci care conIine mHrimile (deplasHri rot iri forIe

momente) proiectate pe axele sistemului de referinIH nerotit (fix) .

Bonform relaIiei (4.1) elementele de pe prima coloanH a tabelului se obIin

+nsumnd produsele dintre elementele nenule de pe linia respectivH Gi elementele

corespunHtoare de pe prima linie . 'e exemplu "

( ) ( ) ( )m 2 m 2 m 2 my k$- z ks' y ks' x ks', , , , , , ,cos cos cos= + + 8 / 8 8 8 11 . BoeficienIii 2 i , 3 se deter minH Gtiind cH relaIia matricealH (4.1 ) este valabilH

pentru orice val ori ale unghiurilor , , , , , , , , .

6?


20/38


Ba exemplu se va deter mina coeficientul 24 , 5 . 'in tabel reultH "

( ) ( ) ( )f 2 f 2 f 2 fy k

$-

x k

s'

y k

s'

z k

s'

, , , , , , ,cos cos cos= + +

A 4 A A A 16

. (4.6)

Se considerH cos @ cos = @ cos = @ ceea ce corespunde uneirotaIii a sistemului de coordonate +n -urul axei Ozcu 6* .

Bu aceste valori relaIia (4.6) devine "

f 2 fy k$-

x k

s'

, , ,cos= A 4 .

(4./)

'in relaIia matricealH (4.1 ) se obIine relaIia F Fy k$-

x ks'

, ,cos= care

multiplicatH cu raport ul

ix k z k

cy k xz k

E I

E A

, ,

, ,

/

1 1+ +

Gi Iinnd seama de expresiile termenilor

fy k$-

, Gi fx ks'

, devine"

F

E A

E I

E A

F

E I

y k

$-

cy k xz k

ix k z k

cy k xz k

x k

ix k z k

,

, ,

, ,

, ,

,

, ,

cos

+ + + +=

1 1

/

1 1

/

sau

fE I

E A fy k

$- ix k z k

cy k xz k

x k

s'

,

, ,

, ,

,cos= + +

/

1 1

.

(4.4)

'in relaIiile (4./) Gi (4.4) reultH "

2E I

E A

ix k z k

cy k xz k

A 4

/

1 1

,

, ,

, ,

= + +

.

#nalog se deter minH Gi ceilalIi coeficienIi .

Eliminnd prima linie Gi prima coloanH a tabelului se obIine o matrice pHtra tH

16x16 notatH 577 k. #ceasta este matricea de trecere printr&un nod k +n care

axele sistemului de coordonate +Gi schimbH orientarea .

Elementele matricei 577 k se obIin din tabel multiplicnd cosinusurile

directoare cu coeficienIii 2 i , 3 "

7 21 1 1 1, , cos= 7 2 6 6, , cos=

7 21 ? 1 ?, , cos= 7 2 , , cos=

7 21 < 1


21/38


7 26 6 6 6, , cos= 7 28 / 8 /, , cos=

7 26 6 , , cos= 7 28 8 8 8, , cos=

7 26 1@ 6 1@, , cos= 7 28 11 8 11, , cos=

7 2/ / / /, , cos= 7 2< 1 < 1, , cos=

7 2/ 8 / 8, , cos= 7 2< ? < ?, , cos=

7 2/ 11 / 11, , cos= 7 2< < <


22/38


v

m

f

v

f

m

v

m

f

$-7 7 7

7 7 7

7 7 7

7 7 7

7 7 7

7 7

x

z

z

x

y

y

y

y

z

x

x

z k

=

1 1 1 ? 1

metoda matricelor de transfer sisteme de bare

Documents