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Institutode
Matem
atica,FısicayEstadıstica
-UDLA2012
CapacitacionLAT EX–Docentes
UDLA
MauricioGallardoCaballero
UNIVERSIDAD DE LAS AMERICAS
INSTITUTO DE MATEMATICA, FISICA Y ESTADISTICA.
SEDE CONCEPCION
Capacitacion de LATEX para
docente del IMFE
Mauricio Gallardo Cabalero
Desde 17 al 20 de Diciembre de 2012
El objetivo es dominar el programa LATEX para disenar cartas, apuntes,
memorias, afiches, libros, slides, con un enfoque matematico cientıfico.
Utilizar modelo estandar para guıas de ejercicios, catedras, apuntes y
generar una base de datos para asignaturas del IMFE.
Instituto de Matematica, Fısica y Estadıstica - UDLA2012
Capacitacion LATEX– Docentes UDLA
Mauricio Gallardo Caballero
2Mauricio
Gallardo
Caballero
-IMFE
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Matem
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CapacitacionLAT EX–Docentes
UDLA
MauricioGallardoCaballero
Indice general
1. Introduccion al LATEX 5
1.1. Instalacion de LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Instalacion visualizadores, Miktex 2.9 y Editor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Comenzando con LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Estructura general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Preambulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Elaborando documento con en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Colores en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Tamano de letra en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Familia de letra en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4. Ambientes de listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Texto matematico con LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1. Definiendo Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2. Definiendo funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3. Definiendo tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.4. Definiendo ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Entorno grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1. Inclusion de imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2. Entorno Grafico Pstricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6. Beamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1. Preambulo en Beamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.2. Aspecto importante en el Documento de Beamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.3. Entorno grafico con Beamer (Tikz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.4. Apoyo de Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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Capıtulo 1
Introduccion al LATEX
1.1. Instalacion de LATEX
1.1.1. Instalacion visualizadores, Miktex 2.9 y Editor
☞ Instalar Acrobat Reader para visualizar archivos en formato PDF.
☞ Instalar GhostScript y GhostView (o GSview) para visualizar archivo en formato DVI o PS.
☞ Instalar MikTex 2.9 (Completa) la cual viene el CD o bien para obtener una version superior a 2.9
se debe ingresar a la pagina http://miktex.org/download
☞ Instalar Texmaker editor gratuito de LATEX
Al instalar Miktex 2.9 se debe instalar la version completa para ası utilizar todos los comandos que
se indicaran en este manual.
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Texmaker es un editor gratuito, en la siguiente imagen vemos en la parte izquierda se ilustra la
programacion en LATEXy en la parte derecha vemos el visualizador de Texmaker. Para
Realicemos una configuracion rapida de Texmaker, presionamos la pestanaOpciones luego presionamos
Configurar Texmaker
Figura 1.1: Configuracion Texmaker
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presionamos Compilacion rapida y seleccionamos usuario.
Figura 1.2: Compilacion rapida
Finamente presionamos wizard y agregamos los comando de compilacion como se muestra en la si-
guiente figura
Figura 1.3: Comando para crear pdf
Despues al compilar presionamos F1 y crea nuestro pdf. Si volvemos a la 1.2 y presionamos Editor
podemos configurar el diccionario en espanol.
Figura 1.4: Configurar diccionario
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1.2. Comenzando con LATEX
1.2.1. Estructura general
La estructura general es
\documentclass [ opciones]{ Tipo}
Preambulo
\begin{document}
Documento
\end{document}
Tipos de documentos
En Tipo se puede introducir una de las siguientes opciones
☞ article: Para documentos cortos, solo con secciones y subsecciones y sus parrafos y subparrafos.
☞ book: Para documentos mas largos incluye capıtulos, prologo, apendices o incluso partes.
☞ report: Similar a book, formato intermedio entre article y book.
☞ slides: Para presentaciones, diapositivas.
Tamano de papel
En opciones se puede introducir una de las siguientes
☞ a4paper: Tamano a4
☞ letterpaper: Tamano carta
☞ a5paper: largo 210 mm y ancho 148 mm
☞ legalpaper :largo 14 in y ancho 8.5 in
☞ executivepaper: largo 10.5 in y ancho 7.25 in
Tamano de letra
☞ En opciones se puede introducir una de las siguientes tamanos de letra de fondo 10pt,11pt y 12pt
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1.2.2. Preambulo
A continuacion detallaremos el preambulo de nuestro archivo archivoIMFE.tex
En Preambulo estan los paquetes (\usepackage) adicionales que se cargan
\usepackage[latin1]{inputenc} %reconoce acento
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{graphicx} % usar graficos en dvi o ps
\usepackage[spanish,activeacute]{babel} % para que salga todo en espa~nol
\usepackage{amsfonts,amssymb,color} % Color y fondos matematico
% Graficos con pstrick
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,
pst-func,pst-plot, pst-infixplot,pst-all,pst-node,psfrag}
\usepackage{pst-circ} % circuito
\usepackage{lastpage}
\usepackage{multicol} % Crea varias columnas
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{ulem}
\usepackage{pifont} % Para que listas salga dedo
\usepackage{multirow}
\usepackage{fancyhdr} % Numeracion de paginas
\usepackage{enumerate} % Manipular enumerate
\usepackage{hyperref} % Hiperlink
\usepackage{eso-pic} % Para sello de agua
\usepackage{dsfont} % Estilo de letra (Reales, enteros)
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Los margenes y tamanos del texto tambien son parte del preambulo
\parindent=2.1pc % Sangrıa
\setlength{\oddsidemargin}{-1cm} % Margen izquiedo 1 pulg a izquierda
(Hoja Izquierda)
\setlength{\evensidemargin}{-1cm} % Margen izquiedo 1 pulg a izquierda
(Hoja Derecha)
\setlength{\textwidth}{18cm} % Ancho del Texto
\setlength{\textheight}{25cm} % Altura del Texto
\setlength{\topmargin}{-3cm} % Texto queda 3cm mas arriba
\linespread{1.2} % Espacio entre lineas
Tambien podemos definir nuevo comando con la sentencia
\def\nombre{ Sentencia }
O tambien podemos definir nuevos colores a los ya predefinidos por LATEX
\definecolor\nombre{rgb}{ Tonalidad de Color }
En nuestro archivo tenemos las siguientes definiciones
\def\P{\mathds{P}}
\def\PP{\mathcal{P}}
\def\R{\mathds{R}}
\def\Ri{\mathcal{R}}
\def\K{\mathds{K}}
\def\C{\mathds{C}}
\def\CC{\mathcal{C}}
\def\L{\mathcal{L}}
\def\N{\mathds{N}}
\def\Q{\mathds{Q}}
\def\Z{\mathds{Z}}
\def\M{\mathcal{M}}
\definecolor{Navy}{rgb}{0.,0.,.5}
Con cual dan los siguientes resultados P,P,R,R,K,C, C,L,N,Q,Z,M y el color Navy
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Con el paquete de fancy podemos editar la numeracion de pagina
\fancyhead[Opciones]{ Texto }
Donde opciones tenemos las siguientes
☞ E: pagina de la derecha
☞ O: pagina de la izquierda
☞ L: izquierda
☞ C: centro
☞ R: derecha
☞ H: cabecera
☞ F: pie
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} %Numeracion en la parte superior
%\lhead[\thepage]{\thesection } %La seccion
\fancyhead[LE,RO]{ \color{blue} \thepage } %Numeracion de la pagina
\fancyhead[LO]{\sc \footnotesize \color{Navy} Capacitacion \LaTeX - UDLA 2012}
\fancyhead[RE]{\sc \footnotesize \color{Navy} Capacitacion \LaTeX - IMFE }
1.3. Elaborando documento con LATEX
Inmediatamente entre
\begin{document}
\end{document}
se realizara el documento en el cual hay dos partes importantes que es la parte de Texto y la parte
matematica, la primera es similar a cualquier editor, daremos algunas indicaciones
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1.3.1. Colores en LATEX
Existen una gran variedad de colores entre los cuales estan red, blue, yellow, magenta, pink,
orange, black , green se utiliza la siguiente sentencia para utilizar color
{ \color{Nombre del color en ingles} Texto }
1.3.2. Tamano de letra en LATEX
Existen varios tamanos de letras los cuales estos son
tiny , scriptsize , footnotesize, small, normalsize, large, Large, LARGE, huge, Huge
La sentencia es
{ \tama~noletra Texto }
1.3.3. Familia de letra en LATEX
Entre la familias estan negrita, Roman, Sans, Serif y Typewriter.
utilizando bf, o bien it, o bien sc, o bien rm, o bien sf, o bien tt o bien sl
La sentencia es
{ \familialetra Texto }
Por ejemplo
Letra cursiva de color verde y tamano huge
la cual en formato latex es
{\sl \green \huge Letra cursiva de color verde y tama~no huge}
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1.3.4. Ambientes de listas
El ambiente Enumerate
Para generar
1. Hola
2. Ahora es la segunda
a) Una lista dentro de otra
b) Otro item
3. Sabias 2 + 13 = 3
\begin{enumerate}
\item Hola
\item Ahora es la segunda
\begin{enumerate}
\item Una lista dentro de otra
\item Otro item
\end{enumerate}
\item Sabias $2+13=3$
\end{enumerate}
El ambiente Itemize
Para generar
☞ Hola
☞ Ahora es la segunda
✎ Una lista dentro de otra
✎ Otro item
☞ Sabias 2 + 13 = 3
\begin{itemize}
\item Hola
\item Ahora es la segunda
\begin{itemize}
\item Una lista dentro de otra
\item Otro item
\end{itemize}
\item Sabias $2+13=3$
\end{itemize}
El ambiente Description
Para generar
1.1- Hola
π Ahora es la segunda
⋆ Una lista dentro de otra
Otro item
Numero Sabias 2 + 13 = 3
\begin{description}
\item[1.1-] Hola
\item[$\pi$] Ahora es la segunda
\begin{description}
\item[$\star$] Una lista dentro de otra
\item Otro item
\end{description}
\item[Numero] Sabias $2+13=3$
\end{description}
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Ejercicio 1.3.1 Escribir un parrafo en latex en el cual incluya una parte con negrita, una parte en color
rojo, una parte de tamano Large, y este parrafo debe estar separado en tres columnas con la sentencia
\begin{multicols}{3} Texto \end{multicols}
Solucion: Por ejemploPedagogıa en Matematicas y Estadıstica
Orientacion de la carrera
La carrera de Pedagogıa en Ma-
tematica y Estadıstica en UDLA -
Universidad de Las Americas, for-
ma profesores desde el conocimien-
to pedagogico de la disciplina, con
enfasis en la matematica escolar y
especializacion en estadıstica, con
autonomıa y etica profesional, ca-
paces de participar en los distintos
ambientes educativos de la socie-
dad; aptos para llevar a la practica
los actuales modelos educativos ba-
sados en las teorıas del proceso cog-
nitivo, y con los valores sociales y
culturales necesarios para desarro-
llar docencia en el sistema educa-
cional chileno.
Perfil de egreso del alumno
El Profesor de Matematica y Es-
tadıstica de UDLA - Universidad
de Las Americas, es un profesio-
nal con solidos conocimientos dis-
ciplinarios, formado en educacion
y didactica. Estimula aprendiza-
jes significativos de sus estudian-
tes de modo creativo, establece me-
tas y procedimientos claros, organi-
za contenidos y tiempo, verifica con
una adecuada evaluacion la efec-
tividad del proceso de ensenanza
aprendizaje. Tiene capacidad inves-
tigativa, y se preocupa de su forma-
cion profesional continua.
Campo Ocupacional
El profesor de matematica y es-
tadıstica esta habilitado para ejer-
cer docencia en los distintos ambi-
tos de la disciplina, en estableci-
mientos educacionales publicos o
privados de educacion media, en el
segundo ciclo de educacion basica
y/o en educacion superior. Tambien
puede desempenarse como docente
directivo de unidades educativas, o
en el ejercicio libre de su profesion,
en consultorıas y asesorıas relacio-
nadas con su disciplina y formacion.
1.4. Texto matematico con LATEX
Para escribir en modo matematico todos los comando deben estar entre $ $ o bien $$ $$ o tambien
utilizando la sentencia para ecuaciones
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
Una gran cantidad de sımbolos matematicos los podemos visualizar en el siguiente archivo
http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/Symbols.pdf
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1.4.1. Matrices
Para escribir una matriz utilizaremos el co-
mando array mas especıficamente iniciaremos
con\begin{array}{clr} donde c indica que la pri-
mera columna centrada (center), l indica que la se-
gunda columna esta a la izquierda (left) y r indica
que la tercera columna esta a la derecha (right). Por
otro lado para saltar de fila utilizaremos \\
A =
(
1 2 π 3
−28 0 x3 12
)
$$
A = \left(\begin{array}{rccl}
1 & 2 & \pi & 3\\
-28 & 0 & x^3 & \frac{1}{2}
\end{array}\right)
$$
1.4.2. Definicion de funciones
Para definir una funcion por tramos utilizamos
el comando \begin{cases}
Por ejemplo sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x2y3
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
$$
f(x,y) = \begin{cases}
\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^2} &, (x,y)\neq (0,0)\\
0&, (x,y)=(0,0) \end{cases}
$$
1.4.3. Definiendo tablas
Por ejemplo realicemos la siguiente tabla, la
cual es muy similar a array en esta utilizare-
mos | para hacer las lineas verticales las cua-
les se ingresan en la misma parte de las colum-
nas \begin{tabular}{|c|r|l|} y con el comando
\hline se realiza las lineas horizontales.
Notas
Alumno Catedra 1 – Catedra 2
Mauricio Gallardo 7.0 – 6.9
Manuel Iturra 5.6 – 4.3
David Moreira 3.0 – 5.1
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|r@{ \ -- \ }l|}\hline
&\multicolumn{2}{c|}{Notas}\\
\cline{2-3}Alumno &Catedra 1 &Catedra 2 \\\hline
Mauricio Gallardo & 7.0 & 6.9 \\
Manuel Iturra & 5.6 & 4.3 \\
David Moreira &3.0 & 5.1 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
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1.4.4. Definiendo ecuaciones
Para definir una ecuacion utilizaremos el comando eqnarray, por ejemplo para escribir esta ecuacion
∣
∣
∣
∣
6
x
∣
∣
∣
∣
≤ 5 ⇔ −5 ≤ 6
x≤ 5
⇔ 6
x≥ −5 ∧ 6
x≤ 5
⇔ 6
x+ 5 ≥ 0 ∧ 6
x− 5 ≤ 0
⇔ 5x + 6
x≥ 0 ∧ 5x + 6
x≤ 0
\begin{eqnarray*}
\left| \frac{6}{x} \right | \le 5
&\Leftrightarrow& -5 \le \frac{6}{x }\le 5
\\\noalign{\medskip}
&\Leftrightarrow& \frac{6}{x }\ge -5\quad \wedge
\quad \frac{6}{x }\le 5 \\\noalign{\medskip}
&\Leftrightarrow& \frac{6}{x }+5\ge 0\quad \wedge
\quad \frac{6}{x }-5\le 0 \\\noalign{\medskip}
&\Leftrightarrow& \frac{5x+6}{x }\ge 0 \quad\wedge
\quad \frac{5x+6}{x }\le 0
\end{eqnarray*}
Si quitamos el cada linea queda enumerada
6
x≤ 5 ⇔ 6
x− 5 ≤ 0 (1.1)
⇔ 5x + 6
x≤ 0 (1.2)
\begin{eqnarray}
\frac{6}{x} \le 5 &\Leftrightarrow& \frac{6}{x }-5\le 0
\\\noalign{\medskip}
&\Leftrightarrow& \frac{5x+6}{x }\le 0
\end{eqnarray}
Tambien se puede utilizar el comando \nonumber para quitar la numeracion de una linea especifica
∫ 1
0xn dx = 0 ⇔ xn+1
n + 1
∣
∣
∣
∣
1
0
=1
3
⇔ 1
n + 1=
1
3(1.3)
⇔ n + 1 = 3
⇔ n = 2 (1.4)
\\begin{eqnarray}
\int_0^1 x^n\, dx =0
&\Leftrightarrow& \frac{x^{n+1}}{n+1}\bigg |_0^1=\frac{1}{3}
\nonumber\\\noalign{\medskip}
&\Leftrightarrow& \frac{1}{n+1} =\frac{1}{3}
\\\noalign{\medskip}
&\Leftrightarrow& n+1=3 \nonumber\\\noalign{\medskip}
&\Leftrightarrow& n=2
\end{eqnarray}
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Ejercicio 1.4.1 Escribir
] − ∞,−3[ ] − 3,−2[ ] − 2, 0[ ]0,+∞[
x + 2 − − + +
x + 3 − + + +
x − − − +(x+2)(x+3)
x− + − +
Indicacion: Utilizar array
Solucion:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
& ]-\infty ,-3[& ]-3,-2[ & ]-2,0[ & ]0,+\infty [ \\\hline
x+2 & - & - & + &+\\ \hline
x+3& - & +&+& +\\ \hline
x& - & - & -&+ \\ \hline
\frac{(x+2)(x+3)}{x}& - & + &- & + \\ \hline
\end{array} $$
Ejercicio 1.4.2 Demostremos que el siguiente limite No existe
lım(x,y)→(0,0)
x4
x − y
para esto basta considerar las trayectorias
B1 = {(x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} : x = 0}
B2 = {(x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} : y = x − x4}
de donde Indicacion: los parentesis \{ \}
lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈B2
x4
x − y= lım
x→0
x4
x − (x − x2)
= lımx→0
x4
x4
= lımx→0
1
= 1
lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈B1
x4
x − y= lım
y→0
0
y
= lımy→0
0
= 0
Indicacion: Utilizar\atop
como
lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈B1
x4
x − y6= lım
(x,y)→(0,0)(x,y)∈B2
x4
x − y
se tiene que el limite no existe.
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Solucion:
Demostremos que el siguiente limite {\bf No existe}
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^4}{x-y}$$
para esto basta considerar las trayectorias
\begin{eqnarray*}
B_1&=& \{(x,y)\in \R^2-\{(0,0)\}: x=0\} \\\noalign{\medskip}
B_2&=& \{(x,y)\in \R^2-\{(0,0)\}: y=x-x^4\}
\end{eqnarray*}
de donde \hfill{\bf \red Indicacion: los parentesis \verb+\{ \}+}
\begin{multicols}{2}
\begin{eqnarray*}
\lim_{(x,y)\to (0,0) \atop (x,y)\in B_2} \frac{x^4}{x-y} &=&
\lim_{x\to 0} \frac{x^4}{x-(x-x^2)} \\\noalign{\medskip}
&=& \lim_{x\to 0} \frac{x^4}{x^4}\\\noalign{\medskip}
&=& \lim_{x\to 0}1\\\noalign{\medskip}
&=& 1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\lim_{(x,y)\to (0,0) \atop (x,y)\in B_1} \frac{x^4}{x-y} &=&
\lim_{y\to 0} \frac{0}{y} \\\noalign{\medskip}
&=& \lim_{y\to 0} 0\\\noalign{\medskip}
&=& 0
\end{eqnarray*}
\end{multicols}
\hfill{\bf \red Indicacion: Utilizar\verb+\atop+}
como $$\lim_{(x,y)\to (0,0) \atop (x,y)\in B_1} \frac{x^4}{x-y}
\neq \lim_{(x,y)\to (0,0) \atop (x,y)\in B_2} \frac{x^4}{x-y} $$
se tiene que el limite no existe.
Ejercicio 1.4.3 Usando Induccion matematica demuestre que
1
1 · 3+
1
3 · 5+
1
5 · 7+ · · · + 1
(2n − 1) · (2n + 1)=
n
2n + 1, ∀n ∈ N
Notar que usando notacion de sumatoria se escribe
Indicacion: El color es Navy
n∑
k=1
1
(2k − 1) · (2k + 1)=
n
2n + 1,∀n ∈ N
Indicacion: para sumatoria utilizar \sum
Sea
S =
{
n ∈ N :n∑
k=1
1
(2k − 1) · (2k + 1)=
n
2n + 1
}
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i) Es facil ver que 1 ∈ S pues
1∑
k=1
1
(2k − 1) · (2k + 1)=
1
3=
1
2 · 1 + 1
ii) Supongamos que p ∈ S es decir
p∑
k=1
1
(2k − 1) · (2k + 1)=
p
2p + 1
Por probar que p + 1 ∈ S que es equivalente a demostrar
p+1∑
k=1
1
(2k − 1) · (2k + 1)=
p + 1
2(p + 1) + 1
En efecto
p+1∑
k=1
1
(2k − 1) · (2k + 1)=
p∑
k=1
1
(2k − 1) · (2k + 1)+
1
(2(p+ 1) − 1) · (2(p+ 1) + 1)
=1
2p + 1+
1
(2p + 1) · (2p+ 3)/ Por Hipotesis de induccion
=1
2p + 1
(
p +1
2p + 3
)
=1
2p + 1· 2p
2 + 3p + 1
2p + 3
=1
2p + 1· (2p+ 1)(p+ 1)
2p + 3
=p + 1
2p + 3
=p + 1
2(p + 1) + 1
Ası S = N y luego se cumplen∑
k=1
1
(2k − 1) · (2k + 1)=
n
2n + 1,∀n ∈ N
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Solucion:
Usando Induccion matematica demuestre que
$$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\dots+
\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}=\frac{n}{2n+1} ,\forall n\in\N$$
Notar que usando notacion de sumatoria se escribe
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{n}{2n+1} ,\forall n\in\N$$
Sea $$ S=\left\{n\in \N: \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)\cdot
(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}\right\}$$
\begin{itemize}
\item[i)] Es facil ver que $1\in S$ pues
$$\sum_{k=1}^1 \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2
\cdot 1+1}$$
\item[ii)] Supongamos que $p\in S$ es decir
$$\sum_{k=1}^p \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{p}{2p+1}$$
Por probar que $p+1\in S$ que es equivalente a demostrar
$$\sum_{k=1}^{p+1} \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{p+1}{2(p+1)+1}$$
\end{itemize}
En efecto
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^{p+1} \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}
&=&{\color{green}\sum_{k=1}^p \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)} }+
\frac{1}{(2(p+1)-1)\cdot (2(p+1)+1)}\\\noalign{\medskip}
&=&{\color{green} \frac{1}{2p+1}}+ \frac{1}{(2p+1)\cdot (2p+3)}
\qquad \mbox{/ \color{green} Por Hipotesis de induccion} \\\noalign{\medskip}
&=& \frac{1}{2p+1}\left( p+ \frac{1}{ 2p+3} \right) \\\noalign{\medskip}
&=& \frac{1}{2p+1}\cdot\frac{2p^2+3p+1}{ 2p+3} \\\noalign{\medskip}
&=& \frac{1}{2p+1}\cdot\frac{(2p+1)(p+1)}{ 2p+3}\\\noalign{\medskip}
&=& \frac{p+1}{ 2p+3}\\\noalign{\medskip}
&=& \frac{p+1}{ 2(p+1)+1}
\end{eqnarray*}
Ası $S=\N$ y luego se cumple
$\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{n}{2n+1} ,\forall n\in\N$
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Ejercicio 1.4.4 Si el sexto termino de
(
xy
2− 2y2
)n
es 33ax7y17. Encontrar los valores de a y n.Sabemos
que T6 = 33ax7y17, por otro lado sabemos que
T5+1 =
(
n
5
)(
xy
2
)n−5(
2y2)5 ⇔ 33ax7y17 =
(
n
5
)
xn−5yn−5
2n−525 y10
⇔ 33ax7y17 =n!
5!(n − 5)!32
xn−5yn+5
2n−5
⇔ 33ax7y17 =16n!
24(n − 5)!xn−5yn+5
Indicacion: para combinatoria \choose
De donde se obtiene que n − 5 = 7 y n + 5 = 17, ası n = 12. Por otro lado
33a =16 12!
24(12 − 5)!⇒ a =
16 12!
33 · 24 · 7!
⇒ a = 1920
Solucion:
Si el sexto termino de
$\displaystyle \left(\frac{xy}{2}-2y^2\right)^n$ es $33ax^7y^{17}$.
Encontrar los valores de $a$ y $n$. Sabemos que $T_6=33ax^7y^{17}$,
por otro lado sabemos que
\begin{eqnarray*}
T_{5+1}= {\ n\ \choose \ 5\ } \left(\frac{xy}{2}\right)^{n-5} \left(2y^2\right)^5
& \Leftrightarrow& 33ax^7y^{17} = {\ n\ \choose \ 5\ } \,
\frac{x^{n-5}y^{n-5}}{2^{n-5}}\, 2^5\, y^{10} \\\noalign{\medskip}
& \Leftrightarrow& 33ax^7y^{17} = \frac{n!}{5!(n-5)!}\, 32\,
\frac{x^{n-5}y^{n+5}}{2^{n-5}} \\\noalign{\medskip}
& \Leftrightarrow& 33ax^7y^{17} = \frac{16\,n!}{24(n-5)!}\, x^{n-5}y^{n+5}
\end{eqnarray*}
De donde se obtiene que $n-5=7 $ y $n+5=17$, ası $n=12$. Por otro lado
\begin{eqnarray*}
33a= \frac{16\,12!}{24(12-5)!}
& \Rightarrow& a= \frac{16\,12!}{33\cdot 24\cdot 7!}
\\\noalign{\medskip}
& \Rightarrow& a= 1920
\end{eqnarray*}
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Ejercicio 1.4.5
∫ 1
0
dx√− ln x
=
∫ 0
∞
−e−t
√t
dt
=
∫
∞
0t−
12e−t dt
=
∫
∞
0t12−1e−t dt
= Γ
(
1
2
)
=√π
Indicacion: para sımbolo de integral a \int
Solucion:
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{-\ln x}}
&=& \int_\infty^0 \frac{-e^{-t}}{\sqrt{t}} \, dt \\\noalign{\medskip}
&=& \int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}}e^{-t} \, dt \\\noalign{\medskip}
&=& \int_0^\infty t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t} \, dt \\\noalign{\medskip}
&=&\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\\noalign{\medskip}
&=& \sqrt{\pi}
\end{eqnarray*}
1.5. Entorno grafico
1.5.1. Inclusion de imagen
Para incluir una imagen se utiliza la siguiente sentencia
\includegraphics[height=150mm,width=350mm]{nombreimagen.eps}
Donde el nombre de la imagen debe estar en formato eps. Si esta en otro formato utilizar convertidores
online como
http://www.pictureresize.org/online-images-converter.html
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Tambien se puede utilizar el siguiente formato para dar mas opciones
\begin{figure}[h]
\includegraphics[opciones ]{nombreimagen.eps}
\caption{Texto}
\end{figure}
Por ejemplo
Figura 1.5: Logo UDLA
Lo cual realiza de la siguiente forma
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[height=30mm,width=70mm,angle=45]{logo_udla}
\end{center}
\caption{Logo UDLA}
\end{figure}
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1.5.2. Entorno Grafico Pstricks
Pstrick es un paquete que permite graficar en LATEXa base de comando, existen muchos manuales donde
unos de ellos son
http://www.tex.uniyar.ac.ru/doc/pst_ug.pdf
http://www2.washjeff.edu/users/rhigginbottom/latex/resources/pstricks-add-manual.pdf
La estructura general es
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,
dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
En la cual se da opciones
☞ xunit=1cm,yunit=1cm : Escala grafica de 1:1 por defecto.
☞ algebraic=true: Cuando se define una funcion o una expresion reconozca la parte algebra.
☞ dotstyle=: Estilo del punto.
☞ linewidth=0.8pt: Grosor de linea.
☞ arrowsize=3pt 2: Grosor de punto de la flecha.
Otra parte importante es la definicion de ejes, en el primer caso se suprime el eje Y .
\psaxes[xAxis=true,yAxis=false,Dx=10,Dy=0,
ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-1)(5,1)
En segundo caso aparece los dos ejes
\psaxes[arrowscale=1.5,Dx=2,Dy=4]{->}(0,0)(-5,-3)(6,7)[$x$,90][$y$,0]
☞ Dx=2,Dy=4: Con esta opcion el eje X mostrara los valores de dos en dos, en cambio el eje Y mostrara
valores de cuatro en cuatro.
☞ (0,0)(-5,-5)(6,7): Este comando indica que los ejes estan centrado en el origen y el eje X va desde
[−5, 6] y el eje Y va desde [−3, 7]
☞ [x,90][y,0] : Indica la orientacion de los ejes, si quiere realizar una orientacion debe cambiar los angulos.
En los link anteriores se puede analizar como crear lineas, (\psline), circunferencias (\pscicle),
funciones, curvas, etc. A continuacion veremos unos ejemplos.
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Ejercicio 1.5.1 Ejemplo construir el siguiente bosquejo
−2−3 2 3
Solucion:
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,
linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{center}
\fbox{
\begin{pspicture*}(-5,-1)(5,1)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=false,Dx=10,Dy=0,ticksize=-2pt 0,subticks=2]
{->}(0,0)(-5,-1)(5,1)
%Sombreado
\psframe[linecolor=black,fillcolor=red,fillstyle=solid](-3,0)(-2,.5)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=red,fillstyle=solid](2,0)(3,.5)
%Texto
\rput[bl](-2,-.6){\footnotesize $ -2$}
\rput[bl](-3,-.6){\footnotesize $ -3$}
\rput[bl](2,-.6){\footnotesize $ 2$}
\rput[bl](3,-.6){\footnotesize $ 3$}
\end{pspicture*}}
\end{center}
Ejercicio 1.5.2 Grafica en coordenada polares
1
2
1 2
0
π6
π4
π3
π2
2π33π
45π6
π
7π65π4 4π
33π2
10π6
7π4
5π3
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\begin{center}
\fbox{
\begin{pspicture}[linewidth=1pt,xunit=1cm,yunit=1cm](-3,-3)(3,3)
\psaxes[Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0.1,0.1)(2.4,2.4)
\SpecialCoor
%lineas
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;30)(0,0)(2.34;0)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;60)(0,0)(2.34;45)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;120)(0,0)(2.34;90)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;150)(0,0)(2.34;135)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;210)(0,0)(2.34;180)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;240)(0,0)(2.34;225)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;300)(0,0)(2.34;270)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;330)(0,0)(2.34;315)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;360)(0,0)(2.34;330)
%Circunferencia
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){1}
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
%texto
\rput[bl](2.34;0){$0$}
\rput[bl](2.34;30){$\frac{\pi}{6}$}
\rput[bl](2.34;45){$\frac{\pi}{4}$}
\rput[bl](2.34;60){$\frac{\pi}{3}$}
\rput[bc](2.34;90){$\frac{\pi}{2}$}
\rput[br](2.34;120){$\frac{2\pi}{3}$}
\rput[br](2.34;135){$\frac{3\pi}{4}$}
\rput[br](2.34;150){$\frac{5\pi}{6}$}
\rput[br](2.34;180){$\pi$}
\rput[br](2.34;210){$\frac{7\pi}{6}$}
\rput[br](2.34;225){$\frac{5\pi}{4}$}
\rput[br](2.34;240){$\frac{4\pi}{3}$}
\rput[bc](2.34;270){$\frac{3\pi}{2}$}
\rput[bl](2.34;300){$\frac{10\pi}{6}$}
\rput[bl](2.34;315){$\frac{7\pi}{4}$}
\rput[bl](2.34;330){$\frac{5\pi}{3}$}
% Funcion implictamente
\psplotImp[linewidth=2pt,linecolor=red,algebraic](-5,-2.2)(5,2.4){(x^2+y^2)^2-8*x*y }
\end{pspicture}}
\end{center}
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Ejercicio 1.5.3 Otro ejemplo de grafica en coordenada polares
r = a sennθa
\begin{center}
\fbox{
\begin{pspicture}(-2,-2)(3,2)
\psaxes[labels=y,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
%
\infixtoRPN{(1.5*sin(5*x))}
\psplot[polarplot=true,%
linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=500]{0}{360}{\RPN}
%
\uput*[45](0,1.5){\blue $r=a\sen n\theta$}
\uput*[45](-.7,1.3){\blue $a$}
\end{pspicture}}
\end{center}
Ejercicio 1.5.4 Area entre curvas
2
4
−2
3 6
x
y
y2 = 4xy = 3− x
x = 7
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\begin{center}
\fbox{
\begin{pspicture}[linewidth=1pt,xunit=1cm,yunit=1cm](-3,-2.5)(9,5.5)
%SOMBREADO
\pscustom[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=green]{
\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}{sqrt(4*x)}
\psplot[algebraic,linecolor=blue,linewidth=2pt]{1}{3}{3-x}
\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}{0}
}
%CURVAS
\psaxes[arrowscale=1.5,Dx=3,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-2)(8,4.8)[$x$,90][$y$,0]
%EJES
\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{3}{sqrt(4*x)}
\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}{-sqrt(4*x)}
%Texto
\rput[bl](3,4){\red{$y^2=4x$}}
\psplot[algebraic,linecolor=blue,linewidth=2pt]{-1}{5}{3-x}
\rput[bl](-3,4){\blue{$y=3-x$}}
%
\psellipticarc[linewidth=0.05,linecolor=magenta]{->}(7,1)(.3,.3){120}{380}
\psline[linecolor=magenta,linewidth=1pt,linestyle=dashed](7,-.3)(7,4)
%Texto
\rput[bl](6,-1){\magenta{ $x=7$}}
\end{pspicture}}
\end{center}
Ejercicio 1.5.5 Una grafica de conjuntos
UF L
20 1020
10
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\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,runit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,3)
\psframe[linewidth=2pt,framearc=.1,fillstyle=solid,fillcolor=cyan](4,3)
%
%\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=red](2,3){1.5}%
%\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=green](4,3){1.5}
%\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=yellow](3.5,2){1.5}
%
\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=orange](1.5,1.5){1}
\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=yellow](2.5,1.5){1}
\pscircle[linewidth=2pt](1.5,1.5){1}
%
\rput(.3,2.7){U}
\rput(.6,2.3){F}
\rput(3.4,2.3){L}
\rput(1,1.5){20}
\rput(3,1.5){10}
\rput(2,1.5){20}
\rput(3.6,.5){10}
%
\end{pspicture}
\end{center}
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1.6. Beamer
Entorno de slides, para IMFE se anexa el archivo beamer_IMFE.tex
Figura 1.6: Modelo Beamer para IMFE
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1.6.1. Preambulo en Beamer
En este caso debemos iniciar con \documentclass{beamer}, resto de definiciones es similar al anterior
salvo los siguientes
☞ Colores de fondo y de letras.
\setbeamercolor{normal text}{bg=mycolor,fg=white}
%\setbeamercolor{Title bar}{fg=orange}
%\setbeamercolor{Location bar}{fg=yellow,bg=orange}
\setbeamercolor{block title}{bg=Navy,fg=orange}
\setbeamercolor{block body}{bg=black,fg=yellow}
\setbeamercolor{section in head/foot}{bg=mycolor,fg=black }
\setbeamercolor{block body example}{bg=mypink,fg=white}
\setbeamercolor{block title example}{bg=black,fg=orange}
\setbeamercolor{title}{fg=orange,bg=black}
\setbeamercolor{alerted text}{fg=green}
%\setbeamercolor{alerted text}{fg=white,bg=red}
\setbeamercolor{theorem title}{fg=white,bg=red}
☞ Estilo del Beamer, el mas utilizado es Warsaw
%\usetheme{Darmstadt}
\usetheme{Warsaw}
%\usetheme{Rochester}
%\usetheme{Hannover}
%\usetheme[height=22mm]{Rochester}
%\usetheme{Marburg}
1.6.2. Aspecto importante en el Documento de Beamer
Para crear una hoja se debe comenzar con
\begin{frame}
\end{frame}
dentro de este se pueden incluir varios tipos de
recuadros, entre los el cual mas comun es
\begin{block}
\end{block}
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1.6.3. Entorno grafico con Beamer (Tikz)
De igual forma se puede incluir graficos con includegraphics , pero no opera el paquete PStrick, en su
lugar uno muy similar el cual es Tikz, hay un completo manual y ejemplo en la siguiente pagina.
http://www.texample.net/tikz/examples/
Dentro de estos ejemplos es una animacion de area bajo una curva donde realiza al mismo tiempo el
calculo de integral, para esto debemos abrir el archivo animated-definite-integral.pdf
Figura 1.7: animated-definite-integral.pdf
1.6.4. Apoyo de Geogebra
Por ultimos podemos realizar graficos o dibujos con Geogebra y luego exportar en formato Pstrick o
Tikz
Figura 1.8: Apoyo de Geogebra
MGC 17 al 20 de Diciembre de 2012