Live Webinars (online lectures) with recordings.

Online Query Solving

Online MCQ tests with detailed solutions

Online Notes and Solved Exercises

Career Counseling

सं�भा�व्यता�

सं�भा�व्यता�

ब्लेज पा�स्कले

फर्मा��

को�णत्या�ही घटने ची घडण्या�ची किंको�वा� ने घडण्या�ची

शक्याता� म्हीणजे सं�भा�व्यता� ही�या.

सं�भा�व्यता�

या�दृच्छि�क प्रया�ग

को� ठलीही अश क्रि"या� अथवा� घटने� जे वा�रं�वा�रं घड%ने

या ऊ शकोता , या� घटने ची सं�भा�व्य फलिलीता अगो�दरं

मा�क्रिहीता असंता�ता पण या� फलीता��बा�बाता क्रिनेश्चि/ता भा�को0ता

कोरंता� या ता ने�ही. अश� घटने ली� या�दृच्छि�क प्रया�ग

असं म्हीणता�ता.

नि�ष्पात्ती�

या�दृच्छि�क प्रया�ग�च्या� फली�ता�ली� नि�ष्पात्ती� असं

म्हणता�ता.

क�ह� उदा�हरण

��ण फ कल्या�वर छा�पा� किंक+व� क�टा� या�पा-क. एक याण�र ह

नि�श्चि1ता असंता. म्हण2� ��णफ क ह� या�दृच्छि�क प्रया�ग आह.

52 पात्त्या��च्या� क5 टार्माधू2� 1 पात्ती� क�ढण ह� या�दृच्छि�क प्रया�ग आह.

एक फ�सं� टा�कली�. ह� ह� एक या�दृच्छि�क प्रया�ग

आह.

पात्त्या��चा� क5 टा

• एक2 ण 4 सं�चा : इस्पि;क, बदा�र्मा, निकलीवर, चा=कटा

• प्रत्याक सं�चा�ता 2, 3,……10 आश्चिण र�ज�, र�ण�, ग?ली�र्मा, एक्क� असं

13 पात्ती असंता�ता.

• 4 र�ज, 4 र�ण्या� आश्चिण 4 ग?ली�र्मा असं 12 पात्ती ह चिचात्रया?क्त पात्ती

असंता�ता.

संर्मासं�भा�व्य नि�ष्पात्ती�

फ�सं� फ कोली� असंता� प1ष्ठभा�गो�वारं या� प3को0 को�णताही

एको सं�ख्या� या ण्या�ची शक्याता� संमा�ने असंता . म्हीणजे ची 1 ता 6 प3को0

को�णताही सं�ख्या� प1ष्ठभा�गो�वारं असं% शकोता .

परं�ता� जेरं एखा�द� फ�सं� फ कोली� असंता� एको क्रिवालिशष्ट सं�ख्या� संताता

प1ष्ठभा�गो�वारं मिमाळता असं ली तारं त्या�ली� असंमाता�ली फ�सं� असं

म्हीणता�ता. या थ नि�ष्पात्ती� संर्मासं�भा�व्य नेसंता�ता.

जेरं दिदली ल्या� क्रिनेष्पत्तीप3को0 एखा�द> क्रिवालिशष्ट

क्रिनेष्पत्ती प्रा�धा�न्या�ने मिमाळण्या�ची शक्याता�

नेसं ली तारं त्या�ली� संमासं�भा�व्य क्रिनेष्पत्ती म्हीणता�ता.

जेसं को0 एको ने�ण फ कोली असंता� छा�प� किंको�वा�

को�ट� मिमाळण्या�ची शक्याता� संर्मासं�भा�व्य असंता .

�र्मा?�� अवक�श या�दृच्छि�क प्रया�ग�ता�ली शक्या असंण�ऱ्या� संव� नि�ष्पात्तीGच्या� सं�चा�ली�

�र्मा?�� अवक�श असं म्हणता�ता. ता� ‘S’ किंक+व� Ω ( ओर्माग� ) या�

चिचान्ह�� दाश�निवता�ता.

�र्मा?�� अवक�श�ता�ली प्रत्याक घटाक�ली� �र्मा?�� घटाक असं म्हणता�ता.

�र्मा?�� घटाक e1, e2……en किंक+व� ω1, ω2, ω3…… ωn �

दाश�निवता�ता.

�र्मा?�� अवक�श S र्माधू�ली एक2 ण घटाक��चा� सं�ख्या� n(S) �

दाश�निवता�ता.

जर n (S) सं��ता असंली तार त्या�ली� सं��ता �र्मा?�� अवक�श असं

म्हणता�ता.

सं��ता �र्मा?�� अवक�श�चा� क�ह� उदा�हरण अ.

क्र.

या�दृच्छि�क प्रया�ग �र्मा?�� अवक�श �र्मा?�� घटाक��चा� सं�ख्या�

1. एक ��ण फ कली. S = { H, T } n(S) = 2

2. दा�� ��ण� फ कली�.  S = { HH, HT, TH, TT }

n(S) = 4

3. ता�� ��ण� फ कली� S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }

n(S) = 8

4. एक फ�सं� टा�कली�. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

n(S) = 6

5. 1 ता 20 सं�ख्या� चिलीनिहलील्या� क�र्डां�Oर्माधू2� 1 क�र्डां� क�ढली.

S = { 1, 2, 3,……….20 }

n(S) = 20

H

H

H

H

T

T

T

T

H H

H

H

H

H

H

H

T

T

T

T

TT

T

T

i. एक ��ण दा��दा� फ कण किंक+व� दा�� ��ण� एक�चा

वळीQ फ कण या� दा�न्ह� या�दृच्छि�क प्रया�ग��सं�ठीQ

�र्मा?�� अवक�श एकचा आह.

ii. एक फ�सं� दा��दा� फ कण किंक+व� 2 फ�सं एक�चा वळीQ फ कण

या� दा�न्ह� या�दृच्छि�क प्रया�ग��सं�ठीQ �र्मा?�� अवक�श एकचा

आह.

iii. दिदालीली� अटा पा2ण� करण�ऱ्या� नि�ष्पात्ती�ं��� अपाश्चिUता नि�ष्पात्ती�

असं म्हणता�ता.

घटने�

�र्मा?�� अवक�श�च्या� उपासं�चा�ली� घटा�� असं म्हणता�ता.

म्हणजचा अपाश्चिUता नि�ष्पात्ती�ं�च्या� सं�चा�ली� घटा�� असं म्हणता�ता.

घटा�� � दाश�वली� ज�ता.

को�ही उद�हीरंण

दा�� ��ण� फ कली� असंता�, कर्मा�ता कर्मा� एक (म्हणज 1 निकं�व�

2 ) क�टा� मिर्माळीण्या�चा� घटा�� ‘A’ ह� खा�ली�लीप्रर्मा�ण चिलेनिहलेX

ज�ता.

या� घटा�ता�ली एक2 ण घटाक��चा� सं�ख्या�

� दाश�निवली� ज�ता.

याथे =

संर्माज� A आश्चिण B या� S च्या� घटा�� आहता.

तार A ⊆ S आश्चिण B ⊆ S

∴ A ∪ B ⊆ S आश्चिण A ∩ B ⊆ S

म्हणजचा A ∪ B आश्चिण A ∩ B या� S च्या� घटा��

आहता .

घटा�चा प्रक�र नि�श्चि1ता घटा�� : ज्या� घटा�र्माध्या �र्मा?�� अवक�श�र्माधू�ली संव� �र्मा?�� घटाक

असंता�ता निताली� नि�श्चि1ता घटा�� असं म्हणता�ता. �र्मा?�� अवक�श S ह�

स्वता\चा� उपासं�चा असंता� म्हण2� S ह� नि�श्चि1ता घटा�� आह.

उदा�हरण�थे�

फ�सं� फ कली� असंता�,

∴ n (S) = 6

∴ n (A) = 6

संर्माज� A ह� 10 पाU� लीह�� असंण�र� सं�ख्या�

मिर्माळीण्या�चा� घटा�� आह.

A या� घटने माध्या S माधाली संवाE नेमा�ने� घटको आही ता म्हीण%ने A ही क्रिनेश्चि/ता घटने�

आही .

अशक्या घटा�� : ज्या� घटा�र्माध्या �र्मा?�� अवक�श�र्माधू�ली एकह� �र्मा?��

घटाक ��ह� त्या� घटा�ली� अशक्या घटा�� असं म्हणता�ता.

उदा� : एक फ�सं� फ कली� असंता�,

∴ n (A) = 0

संर्माज� A ह� 7 � भा�ग ज�ण�र� सं�ख्या�

मिर्माळीण्या�चा� घटा�� आह. तार

A या� घटा�र्माध्या एकह� �र्मा?�� घटाक ��ह� म्हण2� A ह� अशक्या घटा��

आह.

एकघटाक. घटा��

ज्या� घटने माध्या एकोची नेमा�ने� घटको असंता� अश� घटने ली� एकोघटको0

घटने� असं म्हीणता�ता.

उदा� 1 : एक फ�सं� फ कले� असंता�,

संर्माज� A ह� 4 � भा�ग ज�ण�र� सं�ख्या� मिर्माळीण्या�चा� घटा�� आह. तार

A = {4} ∴ n(A) = 1

∴ A ह� एकघटाक. घटा�� आह.

उदा� 2 : संर्माज� B ह� 3 � भा�ग ज�ण�र� सं�ख्या� मिर्माळीण्या�चा�

घटा��

आह. तारB = {3, 6} ∴ n(B) = 2

∴ B ह� एकघटाक. घटा�� ��ह� .