Fıs1 — 04/1 — G.5 — Ex. 13 – p. 12

IF — UFRJ — 2004/1Fısica 1 — IFA (prof. Marta)

Lista de exercıcios 13

Sistema de Partıculas:Momento Linear, Centro de Massa,Conservacao do Momento, Colisoes

1. Um corpo de massa m1 esta sobre o eixo x no ponto x1. Outro corpode massa m2 esta sobre o eixo x no ponto x2. Determine o valor dadistancia entre o centro de massa do sistema constituıdo pelos doiscorpos e o corpo de massa m1. Aplique este resultado aos casos em quem2 =m1 e m2 = 2m1.

2. Um sistema de partıculas e composto de dois objetos de massas m1 em2. Demonstre que o centro de massa esta deste sistema esta sobrea linha que une os dois, entre os dois, e a razao entre a distancias d1e d2 de cada um dos dois corpos ao centro de massa e inversamenteproporcional a razao entre as massas: d1/d2 =m2/m1.

w

1u

2-cm

d1 d2

3. Obtenha a posicao do centro de massa de um sistema de duas partıcu-las, de massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg, em repouso nas posicoes~r1 = 5 ı+ 2ˆ e ~r2 = ı¡ 3ˆ. Calcule a distancia de cada uma das massasao centro de massa do sistema. As posicoes estao dadas em metros.

4. Um nucleo de radio 226 (com 88 protons e 128 neutrons, 22688 Ra) sofredecaimento radioativo, emitindo uma partıcula ® (que corresponde aonucleo do atomo de helio, com 2 protons e 2 neutrons, 42He). As mas-sas do proton e do neutron sao aproximadamente iguais. Se o nucleooriginal estiver inicialmente em repouso, a partıcula ® e emitida comvelocidade de 1, 5× 107 m/s. Qual e a velocidade do nucleo residual?

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5. Um projetil e lancado com velocidade inicial de 400 m/s numa direcaoque faz um angulo de 60± com a horizontal. No ponto mais alto desua trajetoria, ele explode em dois fragmentos iguais, um dos quais caiverticalmente, levando 20 s para chocar-se com o solo. A que distanciado ponto de queda do primeiro cai o outro fragmento, supondo-se osolo horizontal?

6. Um nucleo radioativo, inicialmente em repouso, desintegra-se, emitindoum eletron e um neutrino em direcoes perpendiculares entre si. Omodulo do momento linear do eletron e 1, 2 × 10¡22 kg m/s e o doneutrino 6, 4× 10¡23 kg m/s.

(a) Ache a direcao e o modulo do momento adquirido pelo nucleo aorecuar.

(b) A massa do nucleo residual e de 5, 8×10¡26 kg. Qual a sua energiacinetica de recuo?

7. Um corpo de massa igual a 8,0 kg desloca-se com velocidade de 2,0 m/ssem influencia de qualquer forca externa. Num certo instante, ocorreuma explosao interna e o corpo divide-se em dois fragmentos, de 4,0 kgcada. Com a explosao, uma energia cinetica de translacao de 36 J etransmitida ao sistema formado pelos dois fragmentos. Nenhum dosdois deixa a linha do movimento inicial. Determine a velocidade e osentido do movimento de cada fragmento depois da explosao.

8. Duas partıculas P e Q estao inicialmente em repouso, separadas poruma distancia de 1 m. A partıcula P tem massa m1 = 3, 0 kg, e Qtem massa m2 = 5, 0 kg. Elas atraem-se mutuamente com uma forcaconstante de modulo 0,35 N. Nenhuma forca externa atua sobre estesistema.

(a) Descreva o movimento do centro de massa do sistema.

(b) A que distancia da posicao original de P as partıculas vao colidir?

9. Um homem de massa m esta pendurado numa escada de corda, sus-pensa por um balao de massa M. O balao esta estacionario em relacaoao solo.

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(a) Se o homem comecar a subir pela escada com velocidade de mo-dulo v (em relacao a escada), em que direcao e com que velocidade(em relacao a Terra) o balao mover-se-a?

(b) Como se movera o balao depois que o homem parar de subir?

10. Um aviao, cuja massa total eM, em voo horizontal planado (com motordesligado) com velocidade de modulo v0 dispara para frente um foguetede massa m. O foguete sai com velocidade horizontal de modulo vc emrelacao ao aviao (medida pelo piloto apos o lancamento). Calcule asvelocidades do aviao e do foguete em relacao a Terra imediatamenteapos o disparo.

11. Um cachorro de 5,0 kg esta de pe, parado dentro de um barco cujoextremo encontra-se a 6 m da margem, como mostrado na figura. Eleanda 2,4 m sobre o barco em direcao a margem, e depois para. O barcotem uma massa de 20 kg, e supoe-se nao haver atrito entre ele e a agua.A que distancia da margem estara o barco no final da caminhada docachorro?

12. Um casal passeia num bote a remo de 100 kg e 3 m de comprimento emuma lagoa de aguas calmas. Em um dado momento, o homem cai forado barco, perdendo o remo, e fica a uma distancia de 1,5 m da popado barco na direcao de seu comprimento. Como nenhum dos dois sabenadar, a mulher, de 50 kg, resolve andar em direcao a proa do barco, afim de salvar seu companheiro. Desconsiderando o atrito entre o barcoe a agua, determine se a mulher sera ou nao bem sucedida. Suponhaque o centro de massa do barco esta em seu centro geometrico.

13. Um homem de massa M , em repouso, de pe com patins sobre umasuperfıcie supostamente sem atrito, atira uma bola de massa m ho-rizontalmente, com velocidade de modulo v, para outro patinador demesma massa, em repouso, que a apanha e a devolve com a mesmavelocidade v. (A velocidade dada corresponde a velocidade em relacaoao patinador antes dele lancar a bola.)

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(a) Calcule a velocidade do primeiro patinador logo apos lancar abola.

(b) Calcule a velocidade do segundo patinador logo apos receber abola.

(c) Calcule a velocidade do segundo patinador apos lancar a bola devolta.

14. Determine o centro de massa de um sistema composto por tres partı-culas de massas 1,0 kg, 3,0 kg e 6,0 kg, localizadas nos vertices de umtriangulo equilatero de 2 m de lado.

15. Num instante particular, tres partıculas move-se como mostrado nafigura. Elas estao sujeitas apenas as suas interacoes mutuas. Aposum certo tempo, elas sao novamente observadas; ve-se quem1 move-secomo mostrado na figura, enquanto m2 esta parada. Ache a velocidadede m3. Considere m1 = 2 kg, m2 = 0, 5 kg, m3 = 1 kg, v1 = 1 m/s,v2 = 2 m/s, v3 = 4 m/s e v01 = 3 m/s.

x

yI N Í C

I O

1vr 2vr12

03033vr

x

yF I M

'v1

r

2

?

1

3

16. Um conjunto de partıculas possui massa total M = 2 kg. O momentolinear do sistema e dado por ~P = b t ı + c t2ˆ, onde b = 2 kg m/s2,c = 4 kg m/s3 e t e dado em segundos. Todas as massas permanecemconstantes.

(a) Determine a velocidade do centro de massa em funcao do tempo.

(b) Obtenha uma expressao para a forca que atua sobre o sistemacomo funcao do tempo.

(c) Calcule o modulo da forca externa para t = 1 s.

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17. A posicao do centro de massa de um sistema constituıdo de 4 partıculasde massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg e m4 = 4 kg e dadapor XCM = ¡0, 4 m e YCM = ¡0, 1 m. Sabendo que as tres primeiraspartıculas estao localizadas nas posicoes (1, 0), (¡1,¡1) e (¡1, 1), ondeas coordenadas estao dadas em metros, determine a posicao da quartapartıcula.

18. Um observador mede as velocidades de duas partıculas de massas m1e m2 e obtem os valores ~v1 e ~v2. Determine:

(a) a velocidade do centro de massa das duas partıculas;

(b) a velocidade de cada uma das partıculas em relacao ao centro demassa do sistema;

(c) o momento linear de cada partıcula em relacao ao centro de massado sistema.

19. Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m1 =1 kg e m2 = 3 kg ligadas por uma haste rıgida de massa desprezıvele comprimento igual a 20 cm esta em repouso na posicao indicada nafigura. Num certo instante t = 0, passam a atuar as forcas ~F1 = 3ˆ e~F2 = ¡4 ı (dadas em Newtons) respectivamente sobre as massas 1 e 2.Despreze o atrito com a mesa.

- x (cm)-5 5 10 15

6y (cm)

w y

(a) Encontre a aceleracao do centro de massa do sistema.

(b) Calcule a posicao do centro de massa do sistema como funcao dotempo.

(c) Que tipo de trajetoria descrevera o centro de massa?

(d) Responda aos itens anteriores no caso em que a haste rıgida forsubstituıda por uma mola de comprimento natural 20 cm e cons-tante elastica k = 0, 1 N/cm.

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20. Considere uma chapa homogenea de massa M , na forma de um trian-gulo equilatero de lado a, sobre uma mesa horizontal sem atrito. De-termine o vetor posicao do centro de massa da chapa como funcao dotempo, sabendo que as forcas constantes ~F1 e ~F2 mostradas na figurasao aplicadas na chapa e que esta parte do repouso na posicao indicadana figura. De sua resposta em funcao dos parametros M , a e F , onde

F = |~F1|= | ~F2| .

- x

6y

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

AAAAAAAAAA

6~F1

HHHY

~F2

21. Um taco atinge uma bola de bilhar, exercendo sobre ela uma forca de50 N durante um intervalo de tempo de 0,010 s. Se a massa da bola ede 0,20 kg, que velocidade ela tera apos o impacto?

22. Uma bola de 1,0 kg cai verticalmente sobre o solo, com velocidadede 25 m/s. Ela e rebatida para cima e volta com uma velocidade de10 m/s.

(a) Que impulso age sobre a bola, durante o contato com o solo?

(b) Se a bola ficou em contato com o solo durante 0,020 s, qual a forcamedia exercida sobre o solo?

23. Uma bola de borracha de massa 1 kg, que move-se sobre uma mesaplana sem atrito com velocidade constante de 2 m/s, colide frontal-mente com um bloco de massa 100 kg, em repouso. O choque e per-feitamente elastico. Quais as velocidades da bola e do bloco depois dochoque?

24. Uma massa m1, com velocidade de modulo v , choca-se frontalmentecom uma massa m2. Apos a colisao, m2 possui velocidade de modulou2. A massa m1, chocando-se com a mesma velocidade de modulo vcom a massa m3, faz com que esta adquira uma velocidade de modulo

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Fıs1 — 04/1 — G.5 — Ex. 13 – p. 18

u3. Os choques sao elasticos e as massas m2 e m3 estao inicialmenteem repouso.

(a) Calcule m1 e v em termos de m2, m3, u2 e u3.

(b) Em 1932, num historico trabalho de pesquisa, James Chadwickobteve um valor para a massa do neutron, estudando colisoeselasticas de neutrons rapidos com nucleos de hidrogenio e de ni-trogenio. Ele encontrou que a maxima velocidade final do nucleode hidrogenio inicialmente em repouso era 3, 3 × 107 m/s e quea maxima velocidade final do nucleo de nitrogenio 14 era 4, 7 ×106 m/s. A massa do nucleo de hidrogenio e uma unidade demassa atomica (u.m.a.) e a do nucleo de nitrogenio 14 e de 14u.m.a.. Queremos saber, em u.m.a., qual a massa do neutron, e avelocidade inicial dos neutrons utilizados na reacao.

25. Num reator de fissao nuclear, os neutrons produzidos pela fissao de umnucleo de uranio devem ser freados, de forma que possam ser absorvidospor outros nucleos e produzam mais fissoes. Esta frenagem e obtidapor meio de colisoes elasticas com nucleos, na regiao de moderacaodo reator. Se desejarmos frear os neutrons com o mınimo de colisoespossıvel, que elementos devem ser usados como material moderador?Por que?

26. Considere dois blocos A e B, de massas iguais a 1 kg e 2 kg, respectiva-mente, colocados sobre uma mesa sem atrito. Uma mola de constanteelastica k = 3 N/cm e de massa desprezıvel esta presa ao bloco B.Prende-se o bloco A ao bloco B por meio de um fio, e neste processocomprime-se a mola de 10 cm. Num dado momento o fio se rompe.Determine a velocidade de cada bloco apos a separacao.

A

A γγγγγγγγ γγγγγγγγ

γγγγγγγγγγγγγγγγ

B

B

a n t e s

depo i s

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27. Considere um choque elastico unidimensional de um corpo A que seaproxima de um corpo B inicialmente em repouso. Como voce escolhe-ria a massa de B, em relacao a massa de A, para que apos o choque Btenha:

(a) a maxima velocidade possıvel;

(b) o maior momento linear possıvel;

(c) a maxima energia cinetica?

28. Uma partıcula de massa m1 e energia cinetica inicial T1 colide elastica-mente com uma partıcula de massa m2 inicialmente em repouso. Quale a energia maxima que a primeira partıcula pode perder durante estacolisao? (Sugestao: use o referencial do centro de massa do sistema.)

29. Dois corpos de massas m1 = 4 kg e m2 = 2 kg, com velocidades demodulos v1 = 5 m/s e v2 = 2 m/s, como indicado na figura, colidem epermanecem juntas apos o choque.

m1

m2

v2

v1

(a) Calcule a velocidade das partıculas apos o choque e a variacao naenergia cinetica total durante o choque.

(b) Calcule as velocidades iniciais e finais dos corpos num referencialligado ao centro de massa do sistema. Faca o esquema da colisaoneste referencial.

(c) Calcule a variacao da energia cinetica no referencial do centro demassa do sistema.

30. Como mostrado na figura, observa-se um bloco de madeira com massaM = 0, 49 kg em repouso num plano horizontal. O coeficiente de atritoentre o bloco e o plano e µ = 0, 25. Uma bala de massa m = 0, 01 kg eatirada contra o bloco, atingindo-o horizontalmente com velocidade de500 m/s, ficando nele engastada.

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Fıs1 — 04/1 — G.5 — Ex. 13 – p. 20

(a) Calcule a velocidade do conjunto imediatamente apos o impacto.

(b) Ache a distancia que o conjunto percorre ate parar.

M-m~v0

31. Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superfıcie hori-zontal, como mostra a figura. O coeficiente de atrito entre o bloco e asuperfıcie e µ. Uma extremidade de uma mola, de constante elastica k,esta ligada ao bloco, e a outra extremidade esta presa a uma parede.Inicialmente a mola nao esta distendida. Uma bala de massa m1 atingeo bloco e fica grudada nele. Se a deflexao maxima da mola for x,obtenha a velocidade da bala em funcao de m1, m2, k, µ, g e x.

°°°°°°° m2t¾ m1

32. Um vagao de massa m desce uma colina de altura h. Ao final da colinao solo e horizontal, e o vagao colide com um vagao igual inicialmenteem repouso. Os dois se engatam e comecam a subir uma outra colina.Que altura eles alcancam?

Considere o atrito desprezıvel.

h

33. Considere o sistema da figura, formado por um conjunto de n massassuspensas por fios de massas desprezıveis de forma a nao existir contatoentre elas. A primeira massa tem um valor f m0, a segunda f2m0,a terceira f3m0 e assim sucessivamente ate a n-esima, f nm0. Umapartıcula de massa m0 e velocidade ~v0 choca-se com a primeira massa.

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k

fm0

k k k· · · k

fnm0

{ -~v0

m0

(a) Supondo todas as colisoes entre as massas perfeitamente elasticas,mostre que a ultima massa e ejetada com velocidade

~vn =

"2

1 + f

#n~v0 .

(b) Mostre que, para valores de f proximos da unidade (f = 1 + »,» ¿ 1), este sistema pode ser usado para transferir praticamentetoda a energia cinetica da partıcula incidente para a ultima massasuspensa, mesmo para grandes valores de n.

(c) Calcule, para f = 0, 9 e n = 20, a massa, a velocidade e a energiacinetica da ultima massa suspensa em funcao de m0 e de ~v0 dapartıcula incidente. Compare com o resultado que seria obtidonuma colisao direta entre a partıcula incidente e a ultima partıculasuspensa.

34. Um atomo de deuterio (cujo nucleo, o deuteron, contem um proton eum neutron) com energia cinetica de 0, 81 × 10¡13 J colide com umatomo similar em repouso. Ocorre uma reacao nuclear, e e emitido umneutron cuja velocidade faz um angulo reto com a direcao da velocidadedo primeiro atomo. Nesta reacao, e liberada uma energia de 5, 31 ×10¡13 J, que e transformada em energia cinetica das partıculas emitidas.Determine a energia cinetica do neutron, dado que o outro produto eum atomo de Helio 3 e que as massas do neutron, do deuterio e do 3Hesao respectivamente 1,67 , 3,34 e 5,00 em unidades de 10¡27 kg.

35. Uma partıcula de massa m0 com velocidade de modulo v0 atinge umapartıcula estacionaria de massa 2m0. Como resultado, a partıcula demassa m0 tem a direcao de seu movimento defletida de um angulo de45± e o modulo de sua velocidade passa a ser v0/2. Ache o vetor ve-locidade da partıcula de massa 2m0 apos a colisao. Houve conservacaoda energia cinetica do sistema?

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36. Mostre que em uma colisao elastica nao frontal de duas esferas identi-cas, em que uma delas esta inicialmente em repouso, o angulo formadopelas direcoes das velocidades finais das duas esferas e sempre ¼/2.

37. Uma partıcula de massa m1 e velocidade u1 atinge uma partıcula emrepouso de massa m2. O choque e perfeitamente elastico. Observa-seque depois do choque as partıculas tem velocidades iguais e opostas.Ache:

(a) a relacao m2m1;

(b) a velocidade do centro de massa do sistema;

(c) a energia cinetica total das partıculas no referencial do centro demassa do sistema, em funcao da energia cinetica inicial de m1,T1 =

12 m1 u

21 ;

(d) a energia cinetica final de m1 no sistema de laboratorio.

38. Uma partıcula de massa m movendo-se com velocidade v sobre umamesa plana sem atrito incide sobre outra partıcula de massa 2m, emrepouso. Apos o choque, observa-se que a massa m tem velocidadede modulo 2v/3 fazendo um angulo de 60± com a direcao original domovimento, do ponto de vista de um observador no laboratorio.

(a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e depoisdo choque?

(b) Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa dosistema, da partıcula de massa 2m apos o choque?

39. Uma partıcula de massa m, que move-se com velocidade de modulo v,choca-se com uma partıcula em repouso de massa 2m. Em consequenciadisto, a partıcula de massa m e desviada de 30± da sua direcao deincidencia, e fica com uma velocidade final de modulo v/2. Obtenhaa velocidade final da partıcula de massa 2m (em modulo, direcao esentido) depois desta colisao. A energia cinetica se conserva durantea colisao? Resolva este mesmo problema no referencial do centro demassa do sistema. Observe que angulos medidos em referenciais que semovem um em relacao ao outro nao sao necessariamente iguais.

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40. Uma bola de aco de massa 0,5 kg esta presa a um cordao de 70 cm decomprimento e e abandonada quando o cordao esta na horizontal. Naparte mais baixa de sua trajetoria, a bola atinge um bloco de aco demassa 2,5 kg, inicialmetne em repouso sobre uma superfıcie lisa, comomostrado na figura. A colisao e elastica. Determine as velocidades dabola e do bloco apos a colisao.

pw

p

w

41. O arranjo da figura e chamado de pendulo balıstico. Ele e usado paradeterminar a velocidade de um projetil, atraves da medida da altura hque o bloco sobe apos ter sido atingido pelo projetil.

Mt

m -~v

AAAAM

h

(a) Prove que a velocidade do projetil e dada por

v =q2 g h

m+M

m,

onde m e a massa da bala e M a massa do bloco.

(b) Calcule a energia gasta pelo projetil para penetrar no bloco.

42. Uma bala de massa m e velocidade v passa atraves do bulbo de umpendulo de massaM e emerge com velocidade v/2. O fio que suporta obulbo tem comprimento `. Qual e o menor valor de v para que o bulbodo pendulo gire uma volta completa?

m

v v /2M

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43. Demonstre que, para um sistema de partıculas, a variacao da energiacinetica total e igual a soma do trabalho total das forcas internas e dotrabalho total das forcas externas.

44. Considere duas partıculas de massas m1 e m2 sujeitas apenas a in-teracao mutua do tipo newtoniano (satisfazendo a terceira lei de New-ton). Escreva a segunda lei de Newton para cada uma das partıculas.Subtraia uma das equacoes da outra e mostre entao que “o movimentorelativo de duas partıculas, sujeitas apenas as suas interacoes mutuas,e equivalente, em relacao a um observador inercial, ao movimento deuma partıcula de massa µ = m1m2/(m1+m2) – a massa reduzida dosistema – sob a acao de uma forca igual a forca de interacao”.

45. Seja um sistema de duas partıculas de massas m1 e m2 e velocidades~v1 e ~v2.

(a) Mostre que para um observador que se move com o centro demassa do sistema a energia cinetica vale

Tcm =1

2µv02 ,

onde µ = m1m2/(m1 + m2) e a massa reduzida do sistema e~v0 = ~v1 ¡ ~v2 e a velocidade relativa das duas partıculas.

(b) Mostre que para um observador num sistema de referencia qual-quer a energia cinetica do sistema e

T = Tcm +1

2M V 2cm ,

ondeM = m1+m2 e a massa total do sistema e ~Vcm e a velocidadede seu centro de massa.

(c) Qual e o maior valor da energia que pode ser perdida atraves decolisoes das duas partıculas? Suponha o sistema isolado.

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Respostas — Lista de exercıcios 13

Sistema de Partıculas:Momento Linear, Centro de Massa,Conservacao do Momento, Colisoes

1. d1 =m2

m1+m2(x2 ¡ x1); se m1 = m2, d1 =

12 (x2 ¡ x1).

w

1u

2-cm

d1 d2

2. Se d = |~r1 ¡ ~r2| e a distancia entre os dois objetos, d1 = m2m1+m2

d,d2 =

m1m1+m2

d, e portanto d1/d2 =m2/m1.

3. ~R = 2 ı¡ 74 ˆ; d1 = 4, 8 m, d2 = 1, 6 m.

4. 0, 66× 105 m/s.

5. 60 m.

6. (a) Fazendo um angulo de 118± com a direcao do momento do eletron,com modulo 1, 36× 10¡22 kg.m/s.

(b) 1, 6× 10¡19 kg.

7. Um dos fragmentos tem velocidade igual a 5 m/s com a mesma direcaoe o mesmo sentido da velocidade inicial do corpo; o segundo fragmentotem velocidade de 1 m/s, com a mesma direcao e sentido oposto aosentido da velocidade inicial do corpo.

8. (a) O centro de massa esta em repouso inicialmente, e permanece emrepouso.

(b) A 0,75 m de P (sobre o centro de massa do sistema).

Tostadas

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9. (a) A velocidade do homem em relacao a Terra vale u = v + V (emmodulo), e V e o modulo da velocidade do balao em relacao aTerra; entao V = mv/ (M ¡m) — o balao sobe em relacao a Terrase sua massa for maior do que a massa do homem, e desce se suamassa for menor.

(b) Ficara em repouso.

10. Aviao: (M ¡m)v±/(M ¡ 2m); foguete: mv±/(2m ¡M ), onde o sinalpositivo corresponde ao movimento no mesmo sentido original do aviao.

11. A 6,6 m da margem.

12. Nao (supondo que o braco do homem mede menos de 0,5 m).

13. (a) u1 = mv/M , com sentido oposto ao da bola.

(b) u2 = mv/(M +m), com o mesmo sentido da velocidade da bola.

(c) u4 = (m/M)m v/(M +m), com sentido oposto ao da velocidadeda bola.

14. Usando um sistema de eixos coordenados onde a direcao x e definidapelas posicoes das massas de 1,0 kg e de 3,0 kg, com a origem colocadasobre a posicao da massa de 1,0 kg, e com a posicao da massa de 6,0 kgcom coordenadas positivas, ~R = 1, 2 ı + 1, 0ˆ (em metros).

15. ~v 03 = 4, 5 ı¡ ˆ (em m/s).

16. (a) ~V = t ı + 2 t2 ˆ (em m/s).

(b) ~FEXTRES = 2 ı + 8 t ˆ (em N).

(c) F (t = 1) = 8, 2 N.

17. (0,¡0, 5).

18. (a) ~V = (m1~v1+m2~v2)/(m1 +m2).

(b) ~v¤1 = m2 (~v1 ¡ ~v2) /M e ~v¤2 = ¡m1 (~v1 ¡ ~v2)/M , onde M =m1 +m2

(c) ~p¤1 = ¡~p¤2 =m1m2 (~v1 ¡ ~v2)/M

19. (a) ~A = ¡ ı + 0, 75ˆ.

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Fıs1 — 04/1 — G.5 — Ex.13 – p. 27

(b) Considerando a massa 1 como sendo a que esta em x1 = ¡5 cm,~R(t) = (0, 1 ¡ 0, 5 t2) ı + 0, 38 t2ˆ.

(c) Uma reta; a equacao da trajetoria e X = 0, 1 ¡ (4/3) Y , ou Y =3/4 (0, 1 ¡X).

(d) Todas as respostas anteriores ficam iguais, pois o movimento docentro de massa nao depende de forcas internas ao sistema.

20. ~R(t) =³a2 ¡

p34

FM t

2´ı +

³a2p3+ 3

4FM t

2´ˆ

21. 2, 5 m/s.

22. (a) 35 N.s.

(b) 1, 75 × 103 N.

23. vbola = 4/101 = 0, 04 m/s; vbloco = ¡99/101 = ¡0, 98 m/s.

24. (a) m1 = (m3u3 ¡m2 u2) / (u2 ¡ u3);v = 0, 5 [(m3 ¡ 2m2) u3 +m2 u2] / (m3 u3 ¡m2 u2).

(b) m = 1, 16 u.m.a., v = 0, 8× 106 m/s.

25.

26. v1 = 1, 4 m/s, v2 = 0, 7 m/s, na mesma direcao e em sentidos opostos.

27. (a) mB >>> mA, ou mA/mB ! 0 (e nesse caso, vB = 2v±, com v± avelocidade inicial do corpo A).

(b) mB <<mA, ou mB/mA ! 0 (e nesse caso, pB = 2mBv±).

(c)

28.

29. (a) ~vf = 8/3 v1 (em m/s); ¢T = ¡ 98/3 J.

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