Física Experimental II

Instituto de Física

2021.1 Remoto

Copyright © 2020 Instituto de Física - UFRJ

PUBLICADO PELO GRUPO DE PROFESSORES DE FISEXP 2

HTTP://FISEXP2.IF.UFRJ.BR

Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the“License”). You may not use this file except in compliance with the License. You may obtain acopy of the License at http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. Unless requiredby applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License is distributed on an“AS IS” BASIS, WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.See the License for the specific language governing permissions and limitations under the License.

Versão: 8 de dezembro 2020

Conteúdo

I O Curso

1 Informações do Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 O curso de Física Experimental 2020.1 Remoto 9

1.2 Avaliações 9

1.3 Presença 9

1.4 Critério de Aprovação 10

1.5 Aulas e Experimentos 10

II Revisão

2 Conceitos básicos de tratamento de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Introdução 15

2.2 Algarismos significativos 15

2.3 Precisão e exatidão 172.3.1 As fontes de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Erro sistemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.3 Discrepância relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Medidas indiretas e propagação de incerteza 202.4.1 Algarismos significativos e arredondamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

III Experimento 1

3 Pêndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Introdução 273.2 Material 303.3 Montagem experimental 303.4 Medidas experimentais 303.5 Análises 31

IV Experimento 2

4 Oscilador Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Introdução 354.2 Material 354.3 Procedimento experimental 364.3.1 Experimento estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Experimento dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Análise de dados 374.4.1 Constante elástica do experimento estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4.2 Constante elástica do experimento dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

V Experimento 3

5 Oscilador Harmônico Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1 Introdução 415.1.1 Tempo de relaxação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

VI Experimento 4

6 Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1 Introdução 476.2 Materiais 476.3 Procedimento 506.4 Análise dos dados 52

VII Experimento 5

7 Ondas Sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1 Introdução 577.2 Materiais 57

7.3 Procedimento Experimental 587.3.1 Tubo Semi-aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.3.2 Tubo Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3.3 Análise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

VIII Relatórios

8 Relatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.1 Relatório 1. Pêndulo Simples 658.2 Relatório 2. Oscilador Harmônico Simples 668.3 Relatório 3. Oscilador Harmônico Amortecido 668.4 Relatório 4. Empuxo 668.5 Relatório 5. Ondas Sonoras 67

I

1 Informações do Curso . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 O curso de Física Experimental 2020.1 Remoto1.2 Avaliações1.3 Presença1.4 Critério de Aprovação1.5 Aulas e Experimentos

O Curso

1. Informações do Curso

1.1 O curso de Física Experimental 2020.1 RemotoO curso de Física Experimental 2 em um cenário de pandemia é um esforço do Instituto de Física daUFRJ em trazer para você, aluno, a continuidade na sua formação de nível superior com qualidadee segurança necessária. Os experimentos do curso foram adaptados de forma que o fenômenofísico sob consideração possa ser estudado em casa, levando-se em conta as devidas limitações. Éimportante lembrar que de forma alguma isso representa um curso simples ou mais fácil que nomodo presencial.

O curso é estruturado de forma que o aluno participe das atividades síncronas (aulas) tendo jávisto os vídeos relacionados a cada experimento e tendo os dados experimentais coletados, ou seja,espera-se que o aluno já tenha realizado o experimento. Durante a aula, o seu professor tem comoobjetivos uma breve revisão dos conceitos, discutir o experimento e resultados obtidos. Geralmente,para cada experimento estão programadas duas aulas. A segunda aula é dedicada a tirar as últimasdúvidas que ainda podem existir antes da entrega do relatório.

1.2 AvaliaçõesNo curso remoto de FisExp2, as avaliações serão feitas exclusivamente na forma de relatóriosque deverão ser entregues até a data limite da atividade definida no Ambiente Virtual (AVA). Osrelatórios são considerados atividades individuais que deverão ser acompanhados de prova deexecução do experimento. Assim, é obrigatório a realização de um vídeo do experimento quepermita a identificação do aluno, a realização do experimento e a individualização dos dadoscoletados. O vídeo deverá ser enviado para a Plataforma do Youtube e o link deverá constar na 1apágina do relatório.

1.3 PresençaA presença nas aulas síncronas não é obrigatória. No entanto, os alunos que desejarem participardesta atividade, só poderão entrar na sala até 15 minutos após o início da aula. Essa medida se dá

10 Capítulo 1. Informações do Curso

em razão do controle de acesso que em algumas plataformas se dá pela autorização em meio a umaaula já iniciada, o que pode interromper o andamento da aula.

1.4 Critério de AprovaçãoPara conseguir a aprovação o aluno deverá ter média final maior ou igual a 5,0. A média final (Mf )será calculada a partir das notas dos relatórios (R_i):

M f =15

5

Âi=1

Ri =R1 +R2 +R3 +R4 +R5

5(1.1)

1.5 Aulas e ExperimentosO curso tem aulas de 2 horas semanais e o conteúdo de cada aula é apresentado abaixo

Aula 1. Conceitos básicos de tratamento de dados.

Aula 2. Empuxo.

Aula 3. Entrega de Relatório R1.

Aula 4. Pêndulo Simples.

Aula 5. Entrega de Relatório R2.

Aula 6. Oscilador Harmônico Simples.

Aula 7. Entrega de Relatório R3 e Oscilador Harmônico Amortecido.

Aula 8. Entrega de Relatório R4

Aula 9. Ondas Sonoras.

Aula 10. Entrega de Relatório R5.

Formato do curso:

A primeira atividade do curso é uma revisão sobre conceitos básicos de tratamento de dados(videoaula), acompanhada de uma lista de exercícios de revisão. Na aula correspondente, queservirá de introdução ao curso, seu professor explicará o funcionamento do curso e esclareceráqualquer dúvida nesse respeito.

As demais atividades serão compostas por duas aulas cada. Antes da primeira aula de cadaexperimento, é esperado que o aluno tenha lido o material da prática e tentado montar o experimentoe coletado os dados experimentais em casa. Dessa forma, a primeira aula servirá para resolver asdificuldades encontradas na montagem do experimento (modelo de “aula invertida”) e análise dosdados coletados junto com o seu professor. Na segunda aula da atividade, você poderá resolver asdúvidas remanescentes visando a finalização do relatório. A entrega do relatório será 48 horas após

1.5 Aulas e Experimentos 11

essa segunda aula.

Durante o período, teremos também um fórum de discussão no qual os monitores estarãorespondendo dúvidas e orientando na resolução das dificuldades encontradas.

Requisitos do curso:

1. Acesso à internet.2. Celular compatível com os aplicativos gratuitos Phyphox*, Gerador de Função e Gerador de

Ruído.3. Acesso a um computador é recomendável, mas não indispensável.

* No caso do Phyphox, apenas serão necessárias as funções: “Espectro de Áudio” e “Aceleraçãocom g”. Note que sugerimos alguns aplicativos gratuitos para Android e iOS, mas podem serusados outros que exerçam a mesma função.

Lista de materiais:

Experimento 1.

1. Espiral de caderno ou 2m de arame galvanizado ( 1mm de diâmetro, fácil de achar em lojasde ferragens ou material de construção).

2. De 8 a10 moedas da mesma denominação (recomenda-se de 50 ou 25 centavos).3. Frasco de vidro cilíndrico comprido (por exemplo, recipiente de vidro de azeitona ou seme-

lhante).4. Dosador de xarope ou seringa capaz de medir 5 ou 10 ml.5. Recipiente para as moedas (pote de canela, tempero, vitaminas, etc).6. Fita adesiva, tesoura, lápis, fio de costura e papel.

Experimento 2.

1. Cronômetro (pode ser o do celular).2. Barbante ou fio de comprimento maior que 1 metro.3. Suporte para pendurar o pêndulo (sua casa deve ter várias possibilidades, em caso de dúvidas

consulte seu professor ou um dos monitores).

Experimento 3 e 4.

1. Espiral de caderno ou arame que possa ser enrolado para fazer uma mola ou mola comercial(caso você tenha uma a disposição).

2. Recipiente que permita medir volumes de um fluido (frasco coletor de urina, seringa, copocilíndrico, etc).

3. Garrafa pet.4. Linha de costura ou nylon.5. Régua milimetrada.

12 Capítulo 1. Informações do Curso

Experimento 5.

1. Copo cilíndrico longo2. Tubo de papelão (usado como suporte para papel alumínio ou filme de PVC ou papel toalha)3. Régua4. Recipiente com água5. Celular com aplicativos (gratuitos):Gerador de Função e Phyphox (módulo Espectro de

Áudio)6. Ouvido (caso você tenha algum problema auditivo, comunique ao seu professor)7. Rádio ou TV ou um segundo celular com o aplicativo Gerador de Ruído

Bibliografia:-Fundamentos da Teoria de Erros – José Henrique Vuolo – Editora Edgar Blücher Ltda. – 1992-Roteiros de Física Experimental II-Fundamentos de Física – Halliday-Resnick-Walker – Vol.2 – John Wiley and Sons LTC S.A.-Física Básica – H.M. Nussenzveig – Vol.2 – Edgar Blücher - SPGraduação do Instituto de Física: gradu@if.ufrj.br +55 (21) 3938-7270, +55 (21) 3938-7273

II

2 Conceitos básicos de tratamento de da-dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Introdução2.2 Algarismos significativos2.3 Precisão e exatidão2.4 Medidas indiretas e propagação de incerteza

Revisão

2. Conceitos básicos de tratamento de dados

2.1 IntroduçãoNesta primeira prática vamos rever resumidamente os principais conceitos de representação etratamento de dados experimentais e aplicá-los a algumas situações simples. O ponto de partida é oentendimento que, ao fazermos uma medição, sempre estaremos cometendo erros cujas origenspodem ser a limitação do instrumento de medida, ou dificuldades diversas ao realizar a medida oulimitação na modelagem do sistema. Por exemplo, ao medirmos a largura de um objeto podemosnos deparar com limites que não são bem definidos por conta de irregularidades na superfície.Outro exemplo �e nosso tempo de reação. Ao medirmos um intervalo de tempo pode ocorrer umatraso ou um adiantamento no acionamento do cronômetro. Nesses dois exemplos, se repetirmos amedida, veremos que seus valores apresentarão variação aleatória a partir de alguma casa decimal.Para expressar essa situação convenciona-se escrever uma medida experimental na forma

y = (y±sy) u (2.1)

sendo• y ⌘ valor médio ou valor esperado da medida. Muitas vezes usamos apenas o termo valor da

medida.• sy ⌘ incerteza da medida.• u ⌘ unidade da medidaEsta representação pode ser interpretada como a definição de um intervalo de valores associado

a uma determinada medida, como indicado na figura 2.1.Vamos ver a seguir como escrever corretamente cada um desses campos.

2.2 Algarismos significativosComo o próprio nome diz, eles são os algarismos que significam algo, que trazem alguma informa-ção. Por exemplo, imagine que você está caminhando pela rua e pergunta a hora a alguém comum relógio de pulso analógico. Essa pessoa dá uma olhada rápida no relógio, enquanto caminha,

16 Capítulo 2. Conceitos básicos de tratamento de dados

Figura 2.1: Representação gráfica de y = (y±sy). A medida realizada corresponde ao intervaloindicado.

e responde: são 11 horas, 42 minutos e 34 segundos. Você acha que é possível que essa leituratenha sido realmente feita? Claro que não! Certamente os quarenta e dois minutos já são umaestimativa: o ponteiro dos minutos provavelmente estava entre o 8 e o 9, ou seja é algo entre 40e 45 minutos. Então, essa informação sobre os segundos não tem qualquer significado. Dizemosque esse algarismo que foi estimado, o 2, é um algarismo duvidoso. Os outros algarismo sãoalgarismos certos: certamente a pessoa não leu 11 em vez de 12 ou 10, ou qualquer outro valorde hora, por exemplo. Os algarismos certos e e os duvidosos são os algarismos significativos damedida. Quanto maior for o número de algarismos significativos em uma medida, mais informaçãoela traz.

Numa medida direta feita com instrumentos anlógicos o número de algarismos significativosreflete a menor divisão da unidade representada no instrumento de medida ou a menor variaçãopercebida pelo instrumento. No caso do instrumento digital escrevemos a medida até o último digitoindicado. Numa medida indireta veremos mais à frente que o número de algarimos significativosda medida depende de como foi calculada e das incertezasa das medidas envolvidas no cálculo.

Um ponto que sempre gera dúvida é se os zeros são significativos ou não. Para responder penseem alterar as unidades da medida. Se o número de zeros mudar ao fazer essa alteração, eles não sãosignificativos, já que indicam apenas em que unidades estamos escrevendo a medida. Vamos vercomo isso funciona examinando alguns exemplos.

Exemplo 1.1• y1 = 2,47 cm tem três algarismos significativos sendo o 7, duvidoso. Para escrever y1 em

metros caminhamos a vírgula para a esquerda duas casas decimais e completamos com zeros.Nada foi feito em termos de alterar a quantidade de informação em y1, apenas trocamos asunidades, logo esses zeros de preenchimento não são significativos. Em resumo, as duasformas abaixo são equivalentes e têm três algarismos significativos:

y1 = 2,47|{z}sig

cm = 0,0 247|{z}sig

m

• A mudança para uma unidade menor pode ser feita com a ajuda de potências de dez, que nãocontam como algarismos significativos. Por exemplo a medida y2 , com dois algarismossignificativos pode ser escrita nas formas equivalentes:

y1 = 0, 52|{z}sig

kg = 0, 52|{z}sig

⇥103g = 5,2|{z}

sig

⇥102g

• Já os zeros ao final do número são significativos e devem ser sempre escritos. Seescrevermos uma medida como y3 = 3,10s, ficará implícito que temos certeza dos trêssegundos e do um décimo de segundo. O zero na casa dos centésimos de segundo éduvidoso, sendo o último significativo. Observe mais um exemplo:

2.3 Precisão e exatidão 17

100|{z}sig

m = 0, 100|{z}sig

km = 1,00|{z}sig

⇥108µm

2.3 Precisão e exatidãoVimos que a quantidade de algarismos significativos em uma medida indica o quanto a conhecemose que, por convenção, o último algarismo escrito é duvidoso 1. Vamos ver agora como quantificar adúvida nesse algarismo significativo. Para tal vamos definir duas grandezas importantes, que serãoutilizadas para determinar a qualidade de uma determinada medida x = (x±sx):

• Precisão ! relacionada a incerteza sx

• Exatidão ! relacionada ao valor esperado x. Em textos mais antigos o termo acurácia éusado.

Estes indicadores podems ser utilizados para medidas diretas e indiretas.

2.3.1 As fontes de incertezaA incerteza em uma medida vem das limitações no processo de medida e de erros aleatórios, quepodem ser minimizados mas não removidos. Os principais tipos de incerteza são:

1. Precisão do instrumento: todo instrumento de medida tem limitações, ou seja, medidasrealizadas com um determinado instrumento só serão conhecidas até uma determinadafração da unidade de medida. Por exemplo, quando usamos uma boa régua metálica paramedir a largura de uma barra, se as arestas da barra forem bem definidas e se for fácil amanipulação da barra será possível fazer a medida com precisão de 0,5 mm, o que significadividir visualmente a menor divisão da régua, igual a um milímetro, por dois. Um exemplodiferente é o de instrumentos digitais. Se nada for dito, a precisão será dada pela últimacasa informada pelo instrumento, caso esse dígito se mantenha constante. Se for observadaalguma flutuação do valor mostrado, ela deve ser estimada e passará a ser a precisão damedida. Por exemplo, se num cronômetro digital o menor valor de tempo indicado no visorfor 0,01 s, um determinado intervalo de tempo medido com ele só poderá ser escrito até ocentésimo de segundo.

2. Erro aleatório ou acidental: este é proveniente do processo de medida. Dizemos quea grandeza que queremos medir tem seu valor verdadeiro, algo idealizado, do qual sópodemos nos aproximar. Ao realizarmos a medição sempre haverá variações aleatóriasimperceptíveis nas condições de medida tais que, se a repetirmos, encontraremos valoresdiferentes entre si. Um exemplo típico é a medida de um intervalo de tempo por acionamentode um cromômetro. Um ser humano sempre estará cometendo erros aleatórios provenientesdo atraso ou adiantamento no acionamento do cronômetro.

Na prática observamos uma combinação de várias fontes de incerteza. Assim ao fazermos umamedida direta devemos sempre observar o instrumento, verificando sua limitação e adequação aoexperimento, e definir um protocolo de medição que minimize flutuações aleatórias. Por exemplo,se usamos uma régua metálica graduada em milímetros para medir o diâmetro de uma esfera, seráimpossível estimar qualquer fração de milímetro, pela dificuldade em se justapor a régua à esfera.Assim, um mesmo instrumento pode gerar leituras com incertezas diferentes, dependendo do queestá sendo medido.

Incertezas e algarismos significativos1Esta convenção na verdade significa escrever a incerteza com um algarismo significativo, o que corresponde à

maioria das situações experimentais. Entretanto, há casos em que o elevado número de medições, feitas em condiçõesextremamente controladas, e o tratamento estatístico dos dados experimentais permitem que se escreva a incerteza comdois algarismos significativos. Neste caso os dois últimos algarismos da medida serão duvidosos.

18 Capítulo 2. Conceitos básicos de tratamento de dados

Normalmente usamos um ou dois algarismos significativos para representar as incertezas,dependendo do grau de estimativa envolvido na sua determinação. Como vamos trabalhar commuitas estimativas na determinação das incertezas nas medidas diretas, usaremos a convenção deum significativo para a incerteza. Assim, o valor da medida deve ser escrito até a casa decimalafetada pela incerteza, como nos exemplos abaixo.

L = (2,25±0,05) cm M = (351±2)⇥10�2

kgIncerteza relativa e precisãoA incerteza relativa de uma medida é definida como

R =

����sy

y

����

Seu valor revela quanto uma determinada medida é precisa: quanto menor o valor da in-certeza relativa, mais precisa é a medida. Note que R é uma grandeza adimensional e por issopermite que medidas com diferentes unidades sejam comparadas. Mais frequentemente R é escritana forma de porcentagem. Não existe uma regra fixa para o número de significativos na represen-tação de R, em geral usamos de um a dois significativos para essa grandeza. É importante notarque o valor absoluto da incerteza isoladamente nãoo é suficiente para qualificarmos a precisão deuma medida. Por exemplo, reportar a distância entre Rio e São Paulo com incerteza de um metrocertamente é muito bom. Por outro lado, dar o comprimento de um carro com incerteza de ummetro é muito ruim. Qual a diferença? No primeiro caso, estamos falando de uma dúvida de ummetro em cerca de 500 km e no segundo caso, a incerteza é de um metro em cerca de 4 metros

Exemplo 1.2: Vamos comparar as medidas abaixo com relação à precisão. Os resultados foramescritos com um algarismo significativo usando critérios que serão definidos mais adiante, na seção2.4.1.

2.3 Precisão e exatidão 19

m1 = (0,00064± 0,00003) kg R1 =��� 0,00003

0,00064

��� = 0,041 = 0,05 = 5 %m2 = (3245± 1) m/s R2 =

�� 13245

�� = 0,00031 = 0,0003 = 0,03 %m3 = (0,000643± 0,000007) km R3 =

���0,00000070,000643

��� = 0,011 = 0,01 = 1 %

m4 = (25,3± 0,1) cm R4 =��� 0,1

25,3

��� = 0,0039 = 0,004 = 0,4 %

Temos, assim, que

R1 > R3 > R4 > R2

Chamando de Pi a precisão da i-ésima medida, temos que

P2 > P4 > P3 > P1

2.3.2 Erro sistemáticoEste é o tipo de erro aparece quando usamos aparelhos de medida mal calibrados, como uma balançaque indique um valor de massa diferente de zero quando não há nenhum objeto sobre seu prato demedida, ou por um procedimento experimental realizado sem a devida atenção, como a mediçãodo comprimento de uma mesa usando uma régua começando da marcação de 1,0 cm. Esses errossão erros grosseiros e devemos estar atentos quanto à calibração dos instrumentos de medida e aosprocedimentos experimentais utilizados, de modo a evitá-los ou corrigí-los posteriormente.

Exemplo 1.3: Numa experiência sobre o pêndulo físico, são estudadas as oscilações de umabarra perfurada em torno de um eixo que passa por um dos furos, como indicado na figura 2.2(a).No decorrer da experiência precisamos medir a distância h entre o centro de massa da barra e oeixo de oscilação. Nesta montagem específica o eixo tem uma seção reta triangular de forma aminimizar a área de contato entre o eixo e a superfície interna do orifício e, portanto, minimizar aperda de energia por atrito. A figura 2.2(b) mostra a forma correta de se medir o h como definidono modelo. Um erro frequentemente cometido é o de medir do centro de massa até a parte inferiordo orifício, medida hmedido na figura. Todos os valores de hmedido serão sistematicamente menoresdo que h levando a vários outros erros no decorrer da análise dos dados.

2.3.3 Discrepância relativaOs erros sistemáticos afetam o valor da medida, mas não sua incerteza. Muitas vezes desejamoscomparar medidas com algum padrão tomado como referência. Essa comparação é feita através docálculo da discrepância relativa definida como:

D =

����y� yre f

yre f

����

Assim, quanto menor a discrepância relativa, mais exata é a medida.Quanto ao número de algarismos significativos para expressar D, também não há uma regra.

Como é mais comum escrever D na forma de porcentagem, em geral usamos de 1 a 2 significativospara essa grandeza.

Exemplo 1.4: Suponha que se queira estudar a propagação de ondas sonoras em diferentes gasese que para tal seja necessário medir a velocidade de propagação dessas ondas no gás escolhido.Depois de montada a experiência é necessário realizar experimentos de calibração, comparandoo valor medido com o tabelado, vre f = (343,2± 0,1) m/s. No primeiro desses experimento foimedido o valor v1 = (35±1)⇥10 m/s. Considerando-se que o intervalo da medida é entre 34⇥10

20 Capítulo 2. Conceitos básicos de tratamento de dados

Figura 2.2: (a) Oscilação de uma barra perfurada em torno de um eixo de seção triangular. (b) h émedida que corretamente corresponde à distância entre eixo de oscilação e o centro de massa. Amedida realizada, hmedido, é sistematicamente menor do que h.

m/s e 36⇥10 m/s, vemos que o valor tabelado está incluído. Mas a precisão desse valor medido émuito ruim. O valor de referência tem quatro algarismos significativos e o medido, apenas dois.Isso torna a comparação sem sentido. Depois de revisar e corrigir a montagem e o procedimento,a experiência é repetida levando a v2 = (348,6± 0,2) m/s. A precisão melhorou muito, temosquatro algarismos significativos agora, mas não há concordância com o valor tabelado. O intervalodo valor medido não tem qualquer superposição com o tabelado. Para corrigir a experiência ospossíveis erros sistemáticos foram procurados e corrigidos. O resultado após a segunda correção foiv3 = (343,4±0,2) m/s. Agora sim faz sentido comparar os resultados em termos de discrepância.Temos:

D =

����343,4�343,2

343,2

����= 5,8⇥10�4 = 0,058%

Precisão e exatidão são duas qualidades desejadas em uma medida, mas são propriedadescompletamente diferentes. Podemos visualizar isso através da imagem de um alvo que foi atingidopor diversos dardos, jogados por atiradores com habilidades bem diferentes. A figura 2.3 mostraalgumas imagens características.

2.4 Medidas indiretas e propagação de incertezaA situação mais frequente na vida real é aquela em que precisamos calcular uma grandeza a partirdos valores de diversas medidas diretas. Um exemplo simples é a medida da velocidade de umobjeto. Temos que realizar duas medidas diretas, distância e tempo, e calcular a velocidade que seráuma medida indireta. O valor calculado deve ser escrito de acordo com as regras que vimos até aqui,por isso precisamos saber como calcular o valor esperado e a incerteza da medida indireta a partirdessas grandezas das medidas diretas e também da relação matemática que será usada. Dizemosque as incertezas das medidas diretas propagam-se através do cálculo da incerteza desejada.

2.4 Medidas indiretas e propagação de incerteza 21

Figura 2.3: (a) Excelente atirador, concentrou seus dardos no centro do alvo. (b) Este atirador temalgum problema sistemático de mira. Os dardos estão concentrados, indicando boa precisão, massistematicamente desviados para a direita e para baixo. (c) Este atirador tenta mandar o dardo nocentro mas erros aleatórios o fazem atirar de forma dispersa, com pouca precisão. Os dardos estãosimétricos com relação ao centro, o que indica que a mira não tinha qualquer desvio sistemáticoapreciável. (d) Este íltimo atirador está mal! Manda os dardos em direções muito diferentes e comerro sistemático para baixo e para a esquerda.

Exemplo 1.5: Vamos considerar uma situação simplificada. Queremos calcular uma área retangulare para tanto medimos os dois lados do retângulo obtendo a = a±sa e b = b±sb. Queremosescrever a área como A = ab = A±sA.

Definimos:

A = ab

Pode-se mostrar que uma expressão que leve em conta a distribuição de valores no intervalo damedida, é

✓sA

A

◆2

=⇣sa

a

⌘2+

✓sb

b

◆2

Numa situação mais geral temos que calcular o valor de w que é dado por uma função f de x,ye z: w = f (x,y,z). Vamos supor que x,y e z sejam independentes entre si. Sabendo que x = x±sx,y = y±sy e z = z±sz temos que

w = f (x,y,z) (2.2)

e

sw =

s✓∂ f

∂xsx

◆2

w

+

✓∂ f

∂ysy

◆2

w

+

✓∂ f

∂ zsz

◆2

w

(2.3)

22 Capítulo 2. Conceitos básicos de tratamento de dados

O símbolo ∂ significa a derivada parcial, ou seja, numa função de muitas variáveis será a derivadaapenas com relação a uma delas. As outras variáveis comportam-se como constantes neste caso. Oíndice w indica que as derivadas devem ser caalculadas em x = x,y = y e z = z.

Exemplo 1.6: Se f = a2b

3,

∂ f

∂a= 2ab

3e∂ f

∂b= 3a

2b

2

Você verá mais sobre a derivada parcial em Cálculo II.A tabela 1.1 mostra as expressções para as funções que serão usadas em Física Experimental II.

Função f w = f (x,y) Incertezax± y x± y s2

w= s2

x+s2

y

ax+by ax+by s2w= (asx)2 +(bsy)2

xy ou x/y xy ou x/y�sw

w

�2=�sx

x

�2+⇣

sy

y

⌘2

xny

mx

ny

m�sw

w

�2=�n

sx

x

�2+⇣

msy

y

⌘2

Tabela 2.1: Expressões de incerteza propagada para funções mais comuns.

Exemplo 1.7: Suponha que um determinado ângulo q foi medido com incerteza sq e deseja-secalcular a = gsinq , onde g = (9,7879±0,0001) m/s2. Para escrever a na forma a±sa devemoscalcular a propagação das incertezas de g e q no resultado final. Para isso calculamos

(sa)2 =

∂ (gsinq)

∂q

�2

s2q +

∂ (gsinq)

∂g

�2

s2g= (gcosq)2s2

q +(sinq)2s2g

2.4.1 Algarismos significativos e arredondamentosDepois de calcular a incerteza propagada, devemos ser cuidadosos ao escrever corretamente oresultado da medida indireta. A incerteza propagada deve ser escrita com um algarismo significativoe o valor da grandeza calculada deve ser escrito até a casa decimal afetada pela incerteza. Nesseprocesso vamos nos deparar com a necessidade de arrendondar tanto a incerteza quanto o valor damedida.

Para arredondar um determinado valor, vamos adotar os critérios da norma técnica da Associa-ção Brasileira de Normas Técnicas ABNT-5891:

1. Quando o algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo inferior a 5, permaneceinalterado o algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores (1,6357 arredondado àprimeira casa decimal torna-se 1,6);

2. Quando o algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo superior a 5, ou igual a 5seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, soma-se uma unidade ao algarismoa ser conservado e retiram-se os posteriores (1,6678 torna-se 1,7 e 1,6505 torna-se 1,7,arredondados à primeira casa decimal);

3. Se o algarismo à seguida do algarismo a ser conservado for igual a 5 e não houver maisnenhum algarismo à sua direita ou se todos os algarismos à direita forem zeros, retira-setodos os algarismos posteriores ao que será conservado e :(a) Adiciona-se uma unidade ao algarismo conservado, se este for ímpar;

2.4 Medidas indiretas e propagação de incerteza 23

(b) Permanece inalterado o algarismo conservado, se este for par.Exemplo 1.8: Vamos calcular o peso p da massa m= (234,00±0,02)g sabendo que g= (9,7879±0,0001) m/s2 . Vamos trabalhar no SI, portanto escrevemos m = (234,44±0,02)⇥10�3kg. Comisso,

p = mg = 2,29428376 N

Agora vamos calcular a incerteza. Como Temos um produto,

✓sp

p

◆2

=⇣sm

m

⌘2+

✓sg

g

◆2

=

✓0,02

234,00

◆2

+

✓0,00019,7879

◆2

= 7,409⇥10�10

Logo

sp = 2,29428376N ⇥2,72⇥10�5 = 6,23⇥10�5 N

Agora escrevemos a incerteza calculada com uma algarismo significativo

sp = 6⇥10�5 N

Finalmente escrevemos p até a quinta casa decimal, usando o critério de arredondamento, eescrevemos o resultado final:

2,29428376N ! p = (2,29428±0,00006) N

Claro que também poderíamos usar a equação 2.3 para calcular a incerteza absoluta. Nestecaso,

sp =q(msg)2 +(gsm)2

Exemplo 1.9 Observe os arredondamentos abaixo, feitos de modo que a medida tenha 3algarismos significativos:

• x = 4,678 m ! x = 4,68 m (critério 1)• y = 4,674 m ! y = 4,67 m (critério 2)• z = 4,675 m ! z = 4,68 m (critério 3(a))• w = 4,665 m ! w = 4,66 m (critério 3(b))Regra de bolso para algarismos significativos Muitas vezes o cálculo da incerteza propagada

pode ser bem longo e fica difícil de saber se o resultado está certo ou não. Uma forma simples desaber se pelo menos a ordem de grandeza da incereteza propagada está correta é usar a seguinteregra:

• Numa operação matemática envolvendo medidas com diferentes números de algarismossignificativos o resultado terá aproximadamente o mesmo número de algarismos significativosque a medida com menor número.Exemplo 1.10 Vamos calcular o volume V de um tubo de seção reta quadrada de ladoa = (1,0±0,1) cm e comprimento L = (120,0±0,1) cm . A medida a tem 2 algarismossignificativos e L, 4, sendo a mais precisa. Assim esperamos que V tenha entre 2 e 4algarismos significativos. Vamos fazer a propagação:

V = a2L !V = a

2L = 120,0cm3

✓sV

V

◆=

s✓2sa

a

◆2

+⇣sL

L

⌘2= 0,095242

24 Capítulo 2. Conceitos básicos de tratamento de dados

Um erro muito comum é esquecer que 0,095242 é a incerteza relativa e escrever este valorcomo se fosse a incerteza absoluta, levando a um resultado de volume com 5 algarismossignificativos, mais preciso do que todas as medidas usadas no seu cálculo, o que é umabsurdo.Calculando corretamente a incerteza absoluta, temos

sV =V

✓sV

V

◆= (120,0cm3)(0,095242) = 1⇥ cm3

Finalmente,

V = (12±1)⇥10 cm3

O resultado final tem dois algarismos significativos, como a medida menos precisa usada nocálculo. Se for necessário melhorar a precisão da medida de V , vale a pena medir a commais precisão.

III

3 Pêndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1 Introdução3.2 Material3.3 Montagem experimental3.4 Medidas experimentais3.5 Análises

Experimento 1

3. Pêndulo Simples

3.1 Introdução

Neste experimento iremos estudar o movimento de um pêndulo simples e usar esse movimentopara medir a aceleração da gravidade.

Um pêndulo simples é composto de um objeto preso a um fio de comprimento L conforme afigura a seguir:

Figura 3.1: Pêndulo simples

Onde:

28 Capítulo 3. Pêndulo Simples

• q é a posição angular do pêndulo como indicado na figura.• L é o comprimento do fio.• D é a distância do centro de massa do objeto preso ao fio até a base do fio.Geralmente nos cursos de física teórica, o objeto preso ao fio tem dimensões desprezíveis, mas

este não é o nosso caso aqui. Vamos considerar que o centro de massa do nosso objeto está a umadistância D da ponta desse fio.

Sobre este objeto teremos duas forças: a tensão do fio e a força peso. A tensão sempre apontarána direção paralela ao fio que é paralelo ao vetor posição do objeto em relação ao eixo de rotação,ou seja, o torque dessa força será nulo. Já a força peso aponta na direção vertical para baixo epode ser decomposta em duas componentes: uma tangente à trajetória (~Pt) e outra perpendicular àtrajetória (~Pp) conforme a figura abaixo.

Figura 3.2: Diagrama de forças

Os módulos das componentes do peso são dadas por

Pt = Psen(q) = mgsen(q) (3.1)

Pp = Pcos(q) = mgcos(q) (3.2)

A componente perpendicular à trajetória do peso não irá exercer torque pois é paralela aovetor posição. Já a componente tangente à trajetória exercerá torque. Como essa componente éperpendicular ao vetor posição e o módulo de~r é L+D o torque é dado por

t =�Pt(L+D) =�mgsen(q)(L+D) (3.3)

O sinal de menos aparece por que a tendência desse torque é fazer com que o objeto se movapara a posição de equilíbrio (torque restaurador).

3.1 Introdução 29

Se escrevermos a segunda lei de Newton para a rotação deste objeto, teremos:

Id

2qdt2 =�mg(L+D)sen(q) (3.4)

onde I é o momento de inércia desse objeto em relação ao eixo de rotação. Pelo teorema dos eixosparalelos teremos:

I = ICM +m(L+D)2 (3.5)

onde ICM é o momento de inércia do objeto em relação ao seu centro de massa. Como usaremosobjetos com geometrias complicadas é difícil determinar o valor de ICM. O que podemos fazer éescrever o momento de inércia em relação ao centro de massa como

ICM = mk2 (3.6)

onde k é chamado de raio de giração.Substituindo esses resultado na equação 3.4

�mk

2 +m(L+D)2� d2q

dt2 =�mg(L+D)sen(q) (3.7)

d2q

dt2 +g(L+D)

k2 +(L+D)2 sen(q) = 0 (3.8)

Para amplitudes de movimento pequenas podemos fazer a seguinte aproximação

sen(q)⇡ q (3.9)

De forma que a equação 3.8 fica

d2q

dt2 +g(L+D)

k2 +(L+D)2 q = 0 (3.10)

Essa é a equação do oscilador harmônico simples. Desta equação podemos identificar que afrequência angular é dada por

w2 =g(L+D)

k2 +(L+D)2 (3.11)

E como o período é dado por T = 2p/w , então teremos que

T = 2p

sk2 +(L+D)2

g(L+D)(3.12)

30 Capítulo 3. Pêndulo Simples

Para a análise dos nossos dados iremos reescrever essa equação da seguinte forma

T2

4p2 =k

2 +(L+D)2

g(L+D)=

L+Dg

+k

2

g(L+D)(3.13)

Repare que não temos uma expressão linear y = aL+b. Para observarmos um comportamentolinear em relação ao comprimento do fio, nós teremos que planejar o nosso experimento de formaque o terceiro termo da equação acima seja desprezível. Isso acontecerá se o raio de giração desseobjeto for bem menor que o comprimento do fio. Para satisfazer essa condição, nós teremos queusar um objeto pequeno (o menor possível, no máximo do tamanho de uma laranja, que teria umraio de giração de aproximadamente 4-5cm). Se reescrevermos essa equação da seguinte forma:

T2

4p2 =L+D

g

✓1+

k2

(L+D)2

◆(3.14)

Se L � k, podemos desprezar o segundo termo entre parênteses e obteremos uma expressãolinear em T

T2

4p2 =L

g+

Dg

(3.15)

Observaremos a validade dessa aproximação na análise de dados.onde podemos identificar os coeficientes angular e linear para um ajuste linear.

3.2 Material• Cronômetro (pode ser do próprio celular)• Barbante, fio ou fio dental de mais ou menos 1m de comprimento• Régua (maior possível), trena ou metro de costura.• Um objeto pequeno (menor ou do mesmo tamanho de uma laranja) e pesado suficiente para

garantir que o fio esteja completamente esticado• Celular com aplicativo para realizar ajuste linear ou computador com programa para análise

de dados (Qtiplot).Para mais detalhes veja a seção de montagem experimental.

3.3 Montagem experimentalAmarre o seu objeto ao fio e o pendure em um suporte que esteja suficientemente fixo. Umbom suporte fixo é a maçaneta de uma porta, por exemplo. Certifique-se de que o fio estejacompletamente esticado.

Faça seu objeto oscilar com uma amplitude pequena (no máximo em torno de 10 graus).Certifique-se que o pêndulo oscila sem dificuldades e o amortecimento seja desprezível (a amplitudenão diminui significativamente com o tempo).

3.4 Medidas experimentaisIremos fazer no mínimo 5 tomadas de dados. Para cada tomada, acerte um valor paracomprimento do fio e meça o período de 5 oscilações 10 vezes. Não se esqueça de ir anotandoos seus dados.

3.5 Análises 31

• Comprimento do fio: Meça o comprimento do fio do centro de rotação até a o ponto em queo fio está amarrado ao objeto. Idealmente uma trena ou fita métrica de costura resolvem ocaso. Caso tenha uma régua menor vá "girando"essa régua. Outras formas de fazer essamedida são sempre bem vindas. Para o método utilizado estime a incerteza do comprimentomedido justificando.

• Período: Bote o seu pêndulo para oscilar e observe o movimento e certifique-se que aoscilação esteja ocorrendo de forma adequada. Meça o período de 5 oscilações e anote seusresultados. A principio, a incerteza de cada medida seria a incerteza instrumental (no caso docronômetro, a menor escala), mas é necessário se levar em conta erros aleatórios na medida,principalmente por causa do tempo de resposta humano ao usar o cronômetro. Iremos definiressa incerteza na seção de Análise de Dados.Para cada comprimento, faça dez vez a medida do período de 5 oscilações. Não se esqueçade anotar o período de uma oscilação dividindo o intervalo de tempo que você mediu por 5.

Dependência do período com a amplitude de oscilação (Opcional, consulte seu professor) -Vamos observar um caso que foge da aproximação de ângulos pequenos. Faça dez medidas doperíodo de cinco oscilações para um certo comprimento do fio, agora com uma amplitude maior(algo em torno de 45 graus). Compare com o período medido para oscilações pequenas para estemesmo comprimento do fio.

3.5 AnálisesMédias de período - Você terá 5 conjuntos de 10 medidas do período. Calcule para cada conjuntoa média

T =ÂN

i=1 Ti

N, (3.16)

o desvio padrão

sT =

sÂN

i=1(Ti �T )2

N �1, (3.17)

e a incerteza do valor médio

dT=

sTpN

(3.18)

onde N é o número total de medidas e T é a média desses valores.Complete a seguinte tabela

Tabela 3.1: Tabela de dados obtidosL(cm) dL (cm) T (s) d

T(s) (T/2p)2(s2) d(T/2p)2 (s2)

32 Capítulo 3. Pêndulo Simples

Faça o gráfico correspondente (não se esqueça das barras de erro!) e faça um ajuste linear. Apartir do ajuste determine o valor da aceleração da gravidade e o parâmetro D que foi discutido nomodelo.

Envie com o seu relatório um vídeo e/ou anexe fotos da sua montagem experimental no seurelatório (de acordo com a indicação de seu professor).

IV

4 Oscilador Harmônico Simples . . . . . . . . 354.1 Introdução4.2 Material4.3 Procedimento experimental4.4 Análise de dados

Experimento 2

4. Oscilador Harmônico Simples

4.1 Introdução

Oscilações são encontradas em todos os campos da Física. Diversos sistemas exibem um comporta-mento oscilatório, como o pêndulo simples (estudado na pratica anterior), cordas de instrumentosmusicais e colunas de ar em instrumentos de sopro e até a corrente elétrica alternada de que nosservimos para ligar nossos equipamentos eletrônicos diariamente. Mesmo a luz que permite quevocê leia esse roteiro é composta por oscilações do campo eletromagnético que se propagam aaltíssima velocidade.

As chamadas oscilações harmônicas são aquelas que podem ser descritas por uma funçãoseno ou cosseno. O adjetivo harmônico se origina do fato de que os sons harmônicos musicaiscorrespondem a movimentos de um certo meio material descritos por combinações das funçõesseno e cosseno. Esse tipo de oscilação é muito importante e aparece em diversos sistemas, sendocapaz de descrever uma variedade enorme de fenômenos. Além disso, pode-se mostrar que, nagrande maioria dos casos, uma partícula localizada em uma posição de equilíbrio estável oscilaharmonicamente em torno dessa posição após sofrer uma pequena perturbação. Tudo isso serve degrande motivação para estudarmos esse assunto em detalhe tanto do ponto de vista teórico comoexperimental.

Nessa prática, estudaremos experimentalmente as oscilações harmônicas em sistemas massa-mola, i.e., sistemas compostos por um objeto massivo preso a uma mola de constante elásticak.

4.2 Material• Espiral de caderno ou arame que possa ser enrolado para fazer uma mola ou mola comercial

(caso possua alguma em casa). Independente do material utilizado, a chamaremos de molaao longo do roteiro

• Frasco coletor de urina ou seringa ou copo cilíndrico ou qualquer outro com marcação dovolume.

• Garrafa pet.

36 Capítulo 4. Oscilador Harmônico Simples

• Linha de costura ou nylon.• Régua milimetrada.• Celular com aplicativo Phyphox instalado

4.3 Procedimento experimental

A montagem experimental, exemplificada na figura 4.1, é bem simples. Fique a vontade para alterá-la caso possua material mais adequado que o proposto ou alguma outra metodologia que alcance osmesmos objetivos propostos nesse experimento.

Para preparar o experimento é necessário:• Fixar verticalmente uma das extremidades da mola em algum lugar em que ela possa oscilar

livremente.• Prender a garrafa pet à outra extremidade da mola.

Figura 4.1: Esquema da montagem experimental sugerida para a primeira parte do experimento deoscilações.

Inicialmente, o objetivo será determinar a constante elástica da mola. Esse valor pode serobtido em experimentos no modo estático ou dinâmico. Planeje o experimento antes decomeçar a fazer as medidas. Para o experimento estático, como o valor de k poderia serobtido? Quais medidas diretas devem ser realizadas para obter a constante elástica k da mola?É suficiente fazer este experimento somente para um valor de massa? Se possível, discutaessas questões com seus colegas. Para o caso dinâmico, como o valor de k da mola poderiaser obtido? Quais são as medidas diretas que deveriam ser realizadas? Quais instrumentosseriam adequados? Temos uma sugestão de procedimento para os dois experimentos.

4.3.1 Experimento estáticoCom uma garrafa pet presa à mola e usando o frasco coletor como medidor de volume, acrescenteuma certa quantidade de água na garrafa pet. Espere o sistema parar de oscilar e marque a alturada base da garrafa na parede. De preferência, utilize um lápis para que possa retirar a marca daparede ou marque em uma folha que possa ser descolada da parede ao final do experimento. A

4.4 Análise de dados 37

quantidade adequada de água para fazer o experimento é altamente dependente da mola que estásendo utilizada. Cuidado para não deformar a mola devido ao excesso de peso sobre a mesma.

Repita o procedimento 5 vezes (sugestão), sempre acrescentando água na garrafa e medindo adistensão da espiral a partir da altura da base da garrafa marcada na parede. Lembre-se de anotar osvalores de volume de água colocados na garrafa pet para cada repetição.

4.3.2 Experimento dinâmico

A diferença entre esse experimento e o anterior é que agora você colocará o sistema para oscilarpara cada quantidade de água colocada na garrafa pet.

Esse experimento permite avaliar a dependência do período de oscilação do sistema massa-molaem função das propriedades da mola e da massa do sistema. Para isso, realizaremos medidas domovimento do sistema para diferentes valores de volume de água. A tomada de dados necessita dealguns cuidados muito importantes.

Primeiramente, note que a elasticidade da mola depende da sua forma espiral. É desejávelque essa propriedade seja mantida em todas as medidas, de forma que a mola não pode ser muitodistendida ou comprimida. Em outras palavras, e necessário um cuidado para que o movimentodo sistema seja de pequenas amplitudes de oscilação em torno da posição de equilíbrio. Alémdisso, desejamos estudar oscilações harmônicas em uma dimensão e, portanto, devem ser evitadosqualquer movimento na horizontal. Uma boa maneira de conseguir isso é movimentar a garrafa umpouco para cima e soltá-la a partir do repouso.

Siga as etapas:• Com uma garrafa pet presa à mola e usando o frasco coletor como medidor de volume,

acrescente uma certa quantidade de água na garrafa pet e coloque o sistema para oscilar.Meça o período de oscilação do sistema massa-mola (tempo em que um ponto do sistemamassa-mola parte e volta para a mesma posição). Pense se vale a pena medir só um períodoou se há alguma vantagem em medir vários períodos para cada vez que o experimento forrealizado. Se necessário, discuta essas questões com seus colegas ou com seu professor.

• Repita o procedimento 5 vezes (sugestão), sempre acrescentando água na garrafa e medindoo período (ou alguns períodos) de oscilação do sistema.

• Lembre-se de anotar os valores de volume de água colocados na garrafa pet para cadarepetição.

4.4 Análise de dados

4.4.1 Constante elástica do experimento estático

Para estimar o valor da constante elástica k da mola do experimento estático, faça um gráfico empapel milimetrado/qtiplot da distensão da mola em relação a uma posição de equilíbrio em funçãodos valores de massa de água utilizados. Obtenha os parâmetros relevantes a partir de um ajustemanual desse gráfico.

Pense em como transformar seus valores de volume de água em valores de massa. Não seesqueça de avaliar as incertezas de todas as grandezas. Pense sobre a influência da garrafa pet vaziaem seu experimento. É possível extrair o valor dessa massa a partir de seus dados? Discuta comseus colegas e com o professor

38 Capítulo 4. Oscilador Harmônico Simples

4.4.2 Constante elástica do experimento dinâmicoPara obter o valor de k da mola, através do experimento dinâmico,você deverá montar uma tabelacontendo os dados da massa e período, ambas com suas respectivas incertezas.

Verifique qual é a dependência esperada do período de oscilação do sistema massa-mola emfunção da massa do sistema. Para linearizar essa dependência, você pode fazer o gráfico de T

2/4 ·p2

em função da massa do sistema.Pense como o valor de k pode ser obtido a partir desse gráfico.

V

5 Oscilador Harmônico Amortecido . . . . 415.1 Introdução

Experimento 3

5. Oscilador Harmônico Amortecido

5.1 IntroduçãoNeste experimento continuaremos a tratar o oscilador harmônico, mas agora temos como objetivo oestudo do amortecimento das amplitudes de oscilação do sistema massa-mola em função do tempo.Você deve ter observado no experimento anterior que após iniciado com uma determinada amplitude,com o passar do tempo essa amplitude diminui até que o sistema massa-mola para de oscilar, oupelo menos, essa amplitudes são imperceptíveis. Para verificar o comportamento da amplitude deoscilação no tempo, nós vamos utilizar o celular com o aplicativo Phyphox (https://phyphox.org)instalado. Trata-se de um aplicativo gratuito compatível com sistema Android e iOS.

Uma característica do sistema amortecido é que ele é descrito por uma função que decaiexponencialmente a partir de uma amplitude inicial A0.

A(t) = A0e�t/t (5.1)

Na equação 5.1, o parâmetro t é chamado de tempo de relaxação e é uma constante do sistemamassa-mola. Podemos interpretar o tempo de relaxação como sendo o tempo necessário para que aamplitude do sistema tenha uma redução de aproximadamente 63% do valor inicial. Isso fica clarose fizermos t = t na equação anterior:

A(t) = A0e�t/t = A0e

�1 =A0

e' 0,37A0 (5.2)

Outra constante que podemos determinar no sistema massa-mola é o tempo de meia-vida t1/2,que é o tempo necessário para que a amplitude caia a metade do seu valor inicial.

A(t = t1/2) = A0e�t1/2/t (5.3)

como

42 Capítulo 5. Oscilador Harmônico Amortecido

A(t = t1/2) = A0/2

então:

A0/2 = A0e�t1/2/t

12= e

�t1/2/t

Finalmente, obtemos que o tempo de meia-vida é dado por:

t1/2 = t · ln(2) (5.4)

A montagem do experimento é simples, basta acoplar o celular à mola que está sendo utilizada desdeo início do experimento anterior, como pode ser observado na figura 5.1. O celular representará aprópria massa que será colocada para oscilar. Tome o cuidado de colocar algo macio abaixo docelular para amortecer a queda, caso aconteça algum acidente.

Figura 5.1: Esquema da montagem experimental sugerida para a segunda parte do experimento deoscilações.

As etapas são as seguintes:• Acople o celular à mola• Abra o aplicativo phyphox instalado no celular. O aplicativo é separado por sessões. Utiliza-

remos os sensores. Clique em “aceleração sem g”. Em seguida, dê o play para o aplicativocomeçar a capturar o movimento (clicando em play, que fica piscando na tela do celular) ecoloque o sistema para oscilar. Grave várias oscilações até pausar a coleta dos dados.

• Dependendo de como o celular é orientado em relação à mola, você deverá observar umcomportamento oscilatório em uma das direções. No caso da figura 5.1 é esperado que essecomportamento seja observado no gráfico da aceleração na direção y.

• Os dados coletados podem ser exportados tocando no símbolo de três pontos (...) ao lado dosímbolo da lixeira na tela do app, depois selecionando a opção exportar dados e escolhendo oformato dos dados de sua preferência para serem compartilhados pelo celular via e-mail ousalvos diretamente em algum sistema de armazenamento na nuvem para posterior análise.

• Será realizada uma única medida. Lembre-se que o sistema deve oscilar somente em umadimensão.

5.1 Introdução 43

5.1.1 Tempo de relaxaçãoCom os dados os dados obtidos usando o aplicativo phyphox, faça o gráfico da aceleração dosistema na direção y em função do tempo. Note que se você usou a opção de aceleração com gno Phyphox, com o celular parado, ele vai medir um valor na direção vertical igual ao valor daaceleração da gravidade, ou seja, os seus dados estão com um offset (desvio) de valor igual a g.

A partir da tabela de amplitude de aceleração em função do tempo, compare o valor do períodoobtido nesse experimento com o período para uma massa equivalente obtido na primeira parte doexperimento de oscilações.

Prepare uma tabela com os valores de máximos de amplitude de aceleração (Ag) em função dotempo. Esses dados devem ser anotados para uma faixa grande de tempo, preferencialmente, até ofinal da tomada de dados. Não é necessário anotar valores consecutivos. Faça o gráfico de Ag emfunção do tempo. Calcule o valor esperado para tempo de relaxação e o tempo de meia-vida dooscilador a partir desse gráfico. Ainda usando os dados coletados, determine através de um ajusteexponencial ou de um ajuste de reta o t e t1/2 .

Que tipo de movimento você observou? O sistema se comporta como um oscilador harmônicosimples ou amortecido? Veja o vídeo sobre o modelo teórico desse sistema ou relembre os estudosde Física II. Discuta o resultado.

VI

6 Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1 Introdução6.2 Materiais6.3 Procedimento6.4 Análise dos dados

Experimento 4

6. Empuxo

6.1 IntroduçãoNa mecânica dos fluidos, estudamos as forças sobre um fluido e seus efeitos em diversas condições.Na hidrodinâmica, por exemplo, estamos interessados em saber o comportamento de um fluido emmovimento quando sujeito a certas forças. Já a hidrostática compreende a mecânica dos fluidosem repouso. Na hidrostática, em particular, uma das perguntas relevantes que podemos fazer équal a força que um fluido em repouso exerce sobre um sólido imerso ou parcialmente imerso nofluido. Nessa prática, nosso objetivo será estudar experimentalmente justamente esse tipo de força,conhecida como empuxo.

O princípio de Arquimedes estabelece que todo corpo parcial ou totalmente submerso numfluido estará sujeito a uma força vertical, ascendente, de magnitude igual ao peso da porção delíquido deslocado pelo corpo.

Fempuxo = r f luido ·Vsubmerso ·g (6.1)

6.2 Materiais• Espiral de caderno ou 2m de arame galvanizado ( 1mm de diâmetro), fácil de achar em lojas

de ferragens.• Umas 10 moedas da mesma denominação/família• Frasco de vidro fino e comprido.• Dosador de xarope, seringa ou algum recipiente graduado (Caso tenha dificuldade, é possível

construir uma escala de volume a partir de uma régua e recipientes apropriados).• Recipiente para as moedas (pote de canela, tempero, vitamina C, etc).• Fita adesiva, tesoura, lápis, fio de costura, régua e papel.

Proveta (fig. 6.3)• Coloque água até aproximadamente a metade do frasco.• Cole uma fita de papel na lateral do frasco.

48 Capítulo 6. Empuxo

Figura 6.1:

Figura 6.2:

• Faça uma marcação inicial de referência (0 na figura).• Adicione 10 ml de água com o copinho dosador ou seringa.• Faça a marca correspondente ao 10.• Continue até chegar perto da boca do frasco.• Adicione linhas intermediárias (correspondente a variações de 5 ml).• Se possível repita o processo e adicione linhas correspondentes a 2,5 ml.

Moedas (fig. 6.4)

Devem ser da mesma denominação e família. Para um frasco de dimensões similares aomostrado na seguinte página recomendamos usar moedas de: 50 centavos, 2a família (fig. 6.4,esquerda) ou 25 centavos, 2a família (fig. 6.4, centro). Para um frasco menor, tipo de temperos, érecomendável usar moedas mais leves como a de 5 centavos, 2a família (fig. 6.4, direita).

6.2 Materiais 49

Figura 6.3:

Figura 6.4:

Recipiente de moedas (fig. 6.5)

O recipiente deve ser fino o suficiente para entrar pela boca do frasco usado como proveta. Aomesmo tempo deve ser largo o suficiente para deslocar uns 80 ml antes de encostar no fundo dofrasco e antes que a água entre no recipiente. É conveniente que seja leve para não deformar a mola.Prenda o recipiente com um fio a fim de poder pendurá-lo.

Mola (fig. 6.5)• Retire o espiral do caderno (caso precise cortar as pontas, pode usar um corta-unhas).• Desenrole o espiral até deixá-lo totalmente esticado.• Enrole o arame em volta de um objeto cilíndrico de aproximadamente 4 cm de diâmetro

(frasco de tempero por exemplo). Ao terminar, terá um diâmetro maior e poucos centímetrosde comprimento.

• Pendure a mola adicione o recipiente com as moedas embaixo. A mola irá se deformar edeve ficar parecida à da foto.

• Com todas as moedas no recipiente, produza uma oscilação de amplitude 5 cm. Desta formaele irá se deformar até uma condição estável para nosso experimento. Verifique que este é o

50 Capítulo 6. Empuxo

Figura 6.5: Recipiente para moedas (esquerda) e mola ( direita).

caso.

6.3 Procedimento

Construindo uma escala de massa (fig. 6.6)• Pendure a mola e o recipiente de moedas vazio.• Cole uma tira de papel na parede e faça nele uma marcação que corresponda à altura do

recipiente. Note que é muito importante garantir a horizontalidade da observação. (em casode dúvida consulte seu professor ou monitor)

• Coloque uma moeda no recipiente e faça novamente uma marcação no papel que indique aaltura do recipiente.

• Repita o procedimento anterior com as moedas restantes.• Ao terminar você deve ter uma escala de alturas que corresponda ao peso sustentado pela

mola (ver figura).

Processo de medição (fig. 6.7)

Coloque o frasco com água por baixo do recipiente com as moedas (use um livro ou uma caixapara estabilizar o frasco). Levante o frasco com água até que o recipiente das moedas se nivele coma marcação imediatamente superior. Tome nota do volume (V ) correspondente a esta marcação.Repita o passo anterior para cada uma das marcações. Note que a cada marcação que você sobe oempuxo da água aumenta conseguindo assim sustentar o peso de mais uma moeda.

6.3 Procedimento 51

Figura 6.6: Notem que é possível escolher como referência tanto a parte superior como a inferiordo recipiente de moedas.

Figura 6.7: Notem que é possível. escolher como referência tanto a parte superior como a inferiordo recipiente de moedas.

52 Capítulo 6. Empuxo

6.4 Análise dos dadosAo terminar você terá o volume de água que corresponde a cada altura do recipiente de moedas.Faça um gráfico do volume (V ) vs o numero (n) de marcações, onde o zero corresponde à marcaçãomais baixa. Mediante um ajuste linear, V = an+b, determine o coeficiente angular.

Usando um aplicativo para celular

Na figura (6.8) usamos o aplicativo LeastSquares. Existe uma grande variedade de aplicativos,você pode escolher à vontade. Leve em consideração que é necessário que o aplicativo calcule aincerteza do ajuste.

Figura 6.8:

Usando o QtPlot O programa pode ser obtido na ana Materiais e Ferramentas no curso de Fisexp2

no AVA.Na figura 6.9 ilustramos o resultado do ajuste utilizando este programa. Não esqueça de

incluir as incertezas no gráfico e utilizar a opção instrumental (No fit wizard, Weighting method:

Instrumental).Para seu relatório faça uma captura de imagem similar à da figura 6.9, que inclui a tabela com

os dados, o gráfico e a janela com os detalhes do ajuste.

Determinação da massa da moeda

A partir do coeficiente angular obtido e considerando que a densidade da água é r = (0,997±0,001)g/ml, determine a massa da moeda utilizada.

Ajuda: note que as marcações feitas na tira de papel colada à parede representam uma escala

6.4 Análise dos dados 53

Figura 6.9:

de peso onde a unidade corresponde ao peso de uma moeda. Portanto, os valores do eixo xcorrespondem a 0, mg, 2mg, 3mg. . . (onde m é a massa da moeda e g é a gravidade).

Pesquise o valor nominal da massa das moedas e compare com o seu resultado.

Sobre o Relatório

O relatório deve conter todas as informações necessárias para que o leitor possa reproduzirmentalmente tanto sua linha de pensamento quanto o seu procedimento experimental. Além disso,ele deve reportar os resultados obtidos de forma clara. Lembre-se de que uma medida sem suarespetiva incerteza carece de valor prático.

Inclua uma foto sua junto à montagem experimental e até mais 5 fotos que ilustrem os detalhesmais importantes do seu experimento.

VII

7 Ondas Sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.1 Introdução7.2 Materiais7.3 Procedimento Experimental

Experimento 5

7. Ondas Sonoras

7.1 Introdução

As ondas sonoras são ondas longitudinais que se propagam por variações de pressão no meio. Umobjeto que oscila é uma fonte sonora mas, para que o som se propague e seja percebido por umobservador, é necessário a existência de um meio material. Além disso, a sensibilidade do ouvidohumano está limitada à faixa de frequências entre 20 Hz e 20 kHz. A velocidade de propagaçãodo som depende do meio e é aproximadamente a mesma para todas as frequências. No ar, oscomprimentos de onda na faixa do audível correspondem a dimensões de objetos típicos do nossocotidiano, o que tem implicações importantes na propagação de ondas sonoras.

Uma característica muito importante do movimento ondulatório é o fato de que ondas confi-nadas em uma região do espaço só podem oscilar em frequências bem definidas, formando ondasestacionárias. As frequências permitidas são as frequências de ressonância dos modos normais devibração.

A geração de ondas sonoras estacionárias e fenômenos de ressonância são fundamentais nodesenho de instrumentos musicais. Instrumentos como o piano e o violino usam a vibração de umacorda . Já os instrumentos de sopro são baseados nos modos normais de vibração de uma coluna dear no interior de um tubo.

Neste experimento vamos determinar a velocidade de propagação de uma onda sonora no aratravés da geração de ondas estacionárias em um copo cilíndrico longo e em um tubo cilíndricoaberto de papelão. Dois métodos de medida são propostos. O primeiro método consiste emencontrar a frequência do harmônico fundamental de ressonância para diferentes comprimentosda coluna de ar no copo. O segundo método consiste em medir as frequências dos harmônicos deressonância do tubo de papelão, excitadas simultaneamente através de um ruído sonoro.

7.2 Materiais• Copo cilíndrico longo (de preferência com comprimento aproximadamente 3x o diâmetro)• Tubo de papelão (usado como suporte para papel alumínio ou filme de PVC ou papel toalha)• Régua

58 Capítulo 7. Ondas Sonoras

• Recipiente com água• Celular com aplicativos (gratuitos): Gerador de Frequência e Phyphox (função: Espectro de

Áudio)• Ouvido (caso tenha problema auditivo, comunique seu professor)• Rádio ou um segundo celular com aplicativo Gerador de Ruído (Não use vídeo do youtube

pois pode apresentar cortes em algumas faixas de frequência!)• Opcional: Computador com programa para análise de dados (Qtiplot que já foi utilizado em

Fisexp I)

7.3 Procedimento ExperimentalCom esse experimento vamos determinar a velocidade vS de propagação do som no ar. Qual o valorde vS? Como esse valor varia com a temperatura? Como a velocidade de propagação v de umaonda se relaciona com o comprimento de onda l e a frequência f da fonte? (Assista à videoaulaassociada a esse experimento)

Antes de iniciar as medidas, pense e planeje com cuidado seu experimento. Instale os aplicativossugeridos e explore suas funcionalidades. Leia o roteiro e converse com seus colegas sobre arealização do experimento.

7.3.1 Tubo Semi-abertoPara determinar a velocidade do som no ar, vamos excitar a ressonância do modo fundamental devibração de uma coluna de ar no interior de um tubo que está fechado em uma ponta e aberto naoutra (tubo semi-aberto). Para um tubo semi-aberto:

• Como os comprimentos de onda dos modos normais de vibração se relacionam com ocomprimento do tubo?

• Conhecendo o comprimento do tubo e o valor de vS, como você pode estimar a frequênciadas ondas estacionárias no tubo?

No lugar de um tubo perfeitamente cilíndrico vamos usar um copo longo, parcialmente preenchidocom água, e para encontrar a ressonância correspondente ao harmônico fundamental vamos usaruma onda sonora produzida através de um aplicativo gerador de sinais. Nesse caso:

• Qual medida corresponde ao comprimento ` do tubo ressonante?• Se o recipiente usado não for exatamente cilíndrico (por exemplo, um copo de seção circular

com o diâmetro da parte superior - boca do copo - ligeiramente maior do que o diâmetro dabase do copo) como vai medir o `? Qual a incerteza na medida?

• Como você vai identificar a ocorrência da ressonância?• Quando a ressonância ocorre, como vai saber que ela corresponde ao primeiro harmônico?

A montagem experimental é extremamente simples mas como faremos a medida usando a audição,procure executar o experimento em um local e um horário com pouco ruído ambiente.

Método I• Reúna seu material em cima de uma mesa ou sobre um apoio firme e tenha à mão um pano,

caso esbarre e entorne o recipiente com água. Verifique a carga do celular antes de iniciar oexperimento e tenha cuidado para não molhar seu aparelho.

• Meça o diâmetro D e a altura H do copo.• Coloque um pouco de água no copo.

7.3 Procedimento Experimental 59

• Com a régua, meça a altura da coluna de ar que restou no copo, ou seja, a distância da boca docopo até o nível da água. Essa distância corresponde ao comprimento ` do tubo ressonante.

• A tabela 1 (seção 4), pode ser usada para auxiliar na organização durante a tomada de dados.• Para o valor do comprimento ` medido:

1. Estime o valor para o comprimento de onda l , que corresponde ao primeiro modonormal de vibração (n = 1) para um tubo semi-aberto, através da relação l = nl

4 .2. Usando o comprimento de onda determinado no item anterior e 343m/s como valor para

a velocidade do som no ar (T = 20oC), estime a frequência ( fest) do primeiro modonormal de vibração usando a relação vS = l fest .

3. No seu celular, abra o aplicativo Gerador de Função, introduza a frequência estimadano passo anterior e rode o aplicativo.

4. Posicione o celular sobre o copo com o alto-falante apontando na direção da aberturado copo e aproxime o ouvido para que consiga perceber as variações na intensidadedo som. No aplicativo, vá diminuindo a frequência aos poucos. Você vai notar quea intensidade do som aumenta, passa por um máximo e diminui novamente. A partirdesse ponto, vá aumentando a frequência aos poucos para encontrar o máximo naintensidade do som. Esse valor de frequência corresponde à frequência de ressonânciado harmônico fundamental da coluna de ar no copo. Faça pequenas variações em tornodesse valor de frequência para determinar com maior precisão a frequência do sinalque corresponde à máxima intensidade do som e a incerteza na medida da frequência.(Assista o vídeo Método I, que ilustra a realização de uma medida.)

5. Anote o valor encontrado e o erro da medida.6. Altere a quantidade de água no copo (retire e/ou adicione porções de água) e repita o

procedimento. Tente repetir a medida para 10 valores diferentes de `. Qual seria umavariação de altura apropriada para realizar entre um ponto e outro?

7.3.2 Tubo AbertoJá vimos como as ondas sonoras se propagam no ar, no interior de um tubo semi-aberto (umaextremidade aberta e outra fechada). Agora vamos estudar o comportamento das ondas sonoras emum tubo aberto nas duas extremidades. Para essa nova situação, quais são as condições de contornoe como os comprimentos de onda das ondas estacionárias se relacionam com o comprimento dotubo?

Método IINesse experimento vamos excitar a coluna de ar no interior de um tubo aberto usando um ruídosonoro, conhecido como ruído branco, cujo som é parecido com um chiado. Pesquise sobre ascaracterísticas do ruído branco e converse com seus colegas sobre como gerar este sinal.

Antes de iniciar o experimento, pense nas diferenças entre os métodos I e II e tente inferir o queacontece na coluna de ar quando você utiliza um ruído sonoro como excitação. Qual modo normalde vibração pode ser excitado? A execução do experimento é bastante simples, como mostra afigura 7.1.

• Meça o comprimento ` e o diâmetro D do tubo. Posicione o tubo na horizontal sobre umasuperfície plana.

• Ligue o rádio e procure uma frequência que não corresponda a uma emissora (procure porum chiado).

• Posicione o rádio próximo a uma das extremidades do tubo, com o alto-falante voltado paraa abertura do tubo como mostra a figura 7.1 (tome cuidado para não bloquear a abertura dotubo).

• Posicione o celular (C1) na outra extremidade do tubo, com o microfone voltado para a saídado tubo (Fig.7.1).

60 Capítulo 7. Ondas Sonoras

Figura 7.1: Esquema da montagem experimental para a medida da velocidade do som no ar nointerior de um tubo aberto usando o ruído produzido por um rádio fora de sintonia.

• Abra o aplicativo Phyphox no celular e selecione o módulo Espectro de Áudio (Fig.7.2a).1. No menu Configurações (7.2b), selecione 8192 amostras (7.2c) (discuta com seus

colegas e seu professor sobre o significado desse número). Em seguida volte ao menuHistória e rode o programa para iniciar a coleta de dados (Fig.7.2d). Colete os dados por1-2 minutos e pare (7.2e). (Faça uma foto da tela do celular e inclua no relatório)

2. No menu História aparecem 2 gráficos com informações similares (7.2e): o primeiromostra o espectro de frequência do som (tempo x frequência) onde as frequências deressonância aparecem como linhas verticais claras . O segundo registra as frequênciasde pico em função do tempo e as frequências de ressonância aparecem como linhashorizontais. Caso não esteja observando as linhas em nenhum dos dois gráficos durantea medida, mude a posição do rádio, aproximando-o ou afastando-o do tubo.

3. Para fazer a análise do espectro obtido, escolha o gráfico onde as frequências deressonância aparecem com maior definição. A seguir usamos o gráfico Frequência dePico x t como exemplo para a análise dos dados.

4. Ao clicar sobre um dos gráficos, por exemplo Frequência de Pico, ele será ampliado eaparece na parte inferior um menu com opções para a análise. Nesse menu é possívelampliar a escala e fazer a leitura dos dados (7.3a). Cada uma das linhas horizontaisrepresenta a frequência de um modo normal de vibração. Pense em como você vaideterminar a incerteza na medida da frequência.

5. Caso prefira fazer a análise em outro programa, os dados coletados podem ser exporta-dos clicando no símbolo de três pontinhos no canto inferior direito ou ainda ao lado dalixeira no canto superior direito. Selecione exportar dados (7.2b), escolha o formatodos dados de sua preferência (7.2c) para serem compartilhados pelo celular, por e-mailou salvos diretamente em alguma nuvem para posterior análise.

• Caso esteja usando um segundo celular como gerador de ruído (aqui nomeado C2), troque orádio da figura 7.1 por C2. O alto-falante de C2 deve estar voltado para a entrada do tubo.

• No celular C2, acesse o aplicativo Gerador de Ruído, selecione ruído branco e rode oaplicativo. Siga os passos acima para realizar a coleta de dados com o Phyphox no celularC1.*Caso não tenha acesso a um rádio ou a um segundo celular, converse com seu profes-sor sobre outro meio de gerar o ruído.

7.3.3 Análise de DadosTubo Semi aberto

Com as medidas feitas com o copo cilíndrico usando o método I, faça um gráfico do comprimentodo tubo pelo inverso da frequência de ressonância correspondente `⇥ f

�1med

(dados da tabela 7.1) e

7.3 Procedimento Experimental 61

realize um ajuste linear dos dados. O ajuste pode ser feito com o auxílio de um computador, comum aplicativo ou manualmente usando um papel milimetrado. Como a velocidade do som no ar, vS,pode ser obtida a partir desse gráfico? Determine vS e sua incerteza. Este valor é compatível com ovalor tabelado de vS?

Compare os valores estimados para a frequência de ressonância e os valores medidos. Discutacom seus colegas e tente apontar possíveis causas para as diferenças observadas.

Tubo AbertoA partir do comprimento ` e do diâmetro D do tubo de papelão e usando a correção D` para ocomprimento do tubo (ver videoaula), calcule quais seriam o comprimento de onda (l cor

n) e a

frequência ( fcor

n) correspondentes a cada modo normal de vibração (n). Anote esses valores na

tabela 7.2.Compare os valores de frequência obtidos com o Phyphox através do método II, com os valores

calculados a partir do comprimento do tubo ( fcor

nna tabela 7.2). É possível fazer alguma correspon-

dência entre esse valores? Utilize a coluna fmed

nda tabela 7.2 para fazer essa correspondência.

Faça um desenho esquemático da onda estacionária no tubo correspondente a cada uma dasfrequências de pico que você observou no seu experimento.

Faça um gráfico de fmed

n⇥l cor

n

�1, realize um ajuste linear dos dados e determine a velocidadedo som no ar, vS. Compare o valor de vS obtido nos dois métodos.

Figura 7.2: Analisando um sinal sonoro com o módulo Espectro de Áudio do aplicativo Phyphox.

62 Capítulo 7. Ondas Sonoras

Figura 7.3: Leitura de dados no módulo Espectro de Áudio do aplicativo Phyphox.

H = ( ± ) D = ( ± )n ` ( ) dl ( ) lest ( ) fest ( ) fmed ( ) d f med ( )

Tabela 7.1: Dados obtidos para o copo cilíndrico (tubo semi-aberto) usando o método de medida I.

Anote aqui os valores das frequências detectadas com o Phyphox:

l = ( ± ) D = ( ± )n l cor

n( ) dl ( ) f

cor

n( ) f

med

n( ) d f med ( )

Tabela 7.2: Dados obtidos para o tubo de papelão (tubo aberto) usando o método de medida II.

VIII

8 Relatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.1 Relatório 1. Pêndulo Simples8.2 Relatório 2. Oscilador Harmônico Simples8.3 Relatório 3. Oscilador Harmônico Amortecido8.4 Relatório 4. Empuxo8.5 Relatório 5. Ondas Sonoras

Relatórios

8. Relatórios

Os relatórios deverão ser enviados na Plataforma AVA até a data definida para a atividade. Somenteserão corrigidos e pontuados os relatórios contantes como entregues.

O relatório deverá ser digitado e entregue no formato PDF.

8.1 Relatório 1. Pêndulo Simples1. Introdução

• Qual o objetivo do experimento?• Liste os materiais utilizados no seu experimento. Explique as escolhas realizadas

(vantagens, desvantagens, limitações de disponibilidade, etc).2. Procedimento Experimental

• Inclua uma foto de você junto a sua montagem experimental e mais algumas fotos (max5) que mostrem os detalhes mais relevantes do seu processo de medição.

• Descreva o procedimento experimental. Especifique os detalhes relevantes de cadaparte do experimento.

3. Resultados• Apresente os dados do experimento em uma tabela. Não deixe de especificar as

respectivas incertezas.• Apresente o gráfico solicitado no roteiro do experimento e os parâmetros do ajuste

realizado. Não esqueça de incluir as barras de erro, as escalas utilizadas e os títulos doseixos com suas respectivas unidades.

• Apresente os valores dos coeficientes obtidos no ajuste.• Determine o valor da gravidade com sua respectiva incerteza.

4. Discussão dos resultados• Como se compara seu resultado com o valor nominal da aceleração da gravidade (978,7± 0,1 cm/s2 )?

• O valor de D obtido no ajuste é consistente com as dimensões do objeto utilizado?• O que você poderia fazer para melhorar a precisão do seu resultado?• Opcional (consulte seu professor): Para um mesmo comprimento, as suas medidas do

66 Capítulo 8. Relatórios

período para ângulos pequenos (menor que 10 graus) e ângulos maiores (em torno de45 graus) são compatíveis? Tomando a medida de ângulos menores como referênciaqual é a variação percentual?

8.2 Relatório 2. Oscilador Harmônico Simples1. Introdução

• Qual é o objetivo do experimento?2. Procedimento experimental

• Descreva, detalhadamente, a sua montagem experimental bem como suas medidasforam tomadas e materiais utilizados. Gostaríamos de saber se sua montagem foidiferente das possibilidades deste roteiro! Anexe uma foto e/ou vídeo da sua montagemexperimental de acordo com a indicação do seu professor.

• Explique a diferença entre os dois métodos de medida.3. Resultados

• Reporte os seus dados medidos, bem como suas incertezas em uma tabela.• Anexe um gráfico dos seus dados experimentais (não se esqueça das barras de erro,

escalas utilizadas e títulos dos eixos com suas respectivas unidades) e a curva do ajustelinear.

4. Discussão de Resultados• Identifique no modelo quem fará o papel de y, x, a e b no ajuste linear da forma

y = ax+b.• Como se comparam os valores da constante da mola obtidos pelos diferentes métodos?• Discuta as vantagens e desvantagens de ambos métodos e indique qual procedimento

você considera ser mais apropriado.• O que você poderia ter feito para ter resultados mais precisos?

8.3 Relatório 3. Oscilador Harmônico Amortecido1. Introdução

• Qual é o objetivo do experimento?2. Procedimento experimental

• Descreva sua montagem experimental, os materiais utilizados e o método de medidaempregado no experimento. Gostaríamos de saber se sua montagem foi diferentedas possibilidades apesentadas no roteiro. Anexe fotos e/ou vídeo da sua montagemexperimental de acordo com a indicação do seu professor.

3. Resultados e Discussão• Faça o gráfico de amplitude em função do tempo e determine, claramente no gráfico, o

tempo de relaxação.• Linearize o gráfico anterior e determine, novamente, o tempo de relaxação.• Ainda com um gráfico de amplitude em função do tempo, faça o ajuste de um função

que decai exponencialmente no tempo. Apresente o resultado para o tempo de relaxaçãoobtido por esse ajuste.

• Compare os resultados obtidos através do ajuste, com os valores esperados calculadosinicialmente.

8.4 Relatório 4. Empuxo1. Introdução

• Qual é o objetivo do experimento?

8.5 Relatório 5. Ondas Sonoras 67

• Liste os materiais utilizados no seu experimento. Explique as escolhas realizadas(vantagens, desvantagens, limitações de disponibilidade, etc).

2. Procedimento experimental• Inclua uma foto de você junto a sua montagem experimental e mais algumas fotos (max

5) que mostrem os detalhes mais relevantes do seu processo de medição.• Descreva cada parte do procedimento experimental. Especifique os detalhes relevantes

de cada parte do experimento.3. Resultados

• Apresente os dados do experimento em uma tabela. Não deixe de especificar asrespectivas incertezas.

• Apresente o gráfico solicitado no roteiro do experimento e os parâmetros do ajusterealizado. Não esqueça de incluir as barras de erro, as escalas utilizadas e os títulos doseixos com suas respectivas unidades.

• Apresente os valores dos coeficientes obtidos no ajuste.• Determine o valor da massa das moedas com sua respectiva incerteza.

4. Discussão dos resultados• Como se compara seu resultado com o valor nominal da massa das moedas?• O que você poderia fazer para melhorar a precisão do seu resultado?

8.5 Relatório 5. Ondas Sonoras1. Introdução

• Qual é o objetivo do experimento?2. Procedimento experimental

• Descreva sua montagem experimental, os materiais utilizados e o método de medidaempregado nas duas partes do experimento. Gostaríamos de saber se sua montagemfoi diferente das possibilidades apesentadas no roteiro. Anexe fotos e/ou vídeo da suamontagem experimental de acordo com a indicação do seu professor.

• Explique a diferença entre os dois métodos de medida.3. Resultados e Discussão

Para os dois experimentos realizados:• Apresente os dados organizados em tabelas.• Inclua a foto da tela do Phyphox com os dados coletados para o tubo aberto como

especificado no roteiro do experimento.• Apresente os gráficos solicitados no roteiro do experimento e os valores dos parâmetros

do ajuste realizado. Não esqueça de incluir em cada gráfico as barras de erro, as escalasutilizadas e os títulos dos eixos com suas respectivas unidades.

• A partir do gráfico, determine a velocidade do som no ar, vsom, e sua incerteza. Essevalor é compatível com o valor tabelado de vsom?

• Observe os valores estimados para a frequência de ressonância e os valores medidosnos dois métodos. Tente apontar possíveis causas para as diferenças observadas.

• Compare os valores de vsom obtidos nos dois métodos. Qual o mais preciso? Qual omais acurado?