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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELETRICA E DE COMPUTACAO

Metodos Nao Parametricos

Exercıcios MATLAB

IA-856 Identificacao e Filtragem

arquivo trans naoparametrico05.tex

8 de maio de 2006

EA-856 - Metodos Nao Parametricos 1

exercıcio completo utilizando as rotinas do toolbox:

System Identification

rotinas: declaracao de conjunto de dados e tratamento:

iddata.m, detrend.m,

identificacao nao-parametrica da resposta ao impulso:

impulse.m, cra.m,

identificacao nao-parametrica via resposta em frequencia:

spa.m, etfe.m.

rotinas auxiliares do toolbox:

Control System

rotinas: zpk.m, tf.m, c2d.m, bode.m.

problema: Obter a identificacao nao-parametrica determinando-se a resposta ao im-

pulso e a reposta em frequencia de um sistema de interesse, a partir de um conjunto de

dados de entrada (u) e saıda medida (y), conforme o diagrama de blocos:

e

uy

Gu(s)

Gr(s)

Figura 1: u – entrada acessıvel; e – ruıdo; y – saıda medida

2 EA-856 - Exercıcios MATLAB

Sistema na forma:

Y (s) = Gu(s)U(s) + Gr(s)E(s) ou,

Y (z) = Gu(z)U(z) + Gr(z)E(z), forma amostrada

onde

Gu(z) =Nu(z)

Du(z), Ge(z) =

Nr(z)

Dr(z)

Fases do Experimento: Fase 1: Acionar o sistema com entradas apropriadas para captu-

rar a dinamica no conjunto de dados [y(k)u(k)], k = 1, . . . , N

Fase 2: Obtencao do modelo nao-parametrico (resposta ao

impulso)

Fase 3: Obtencao do modelo nao-parametrico (resposta em

frequencia)

Fase 4: Verificacao do modelo obtido frente ao modelo

“ideal”utilizado no Simulink

fase 1: Sistema escolhido

Gu(s) =272

(s + 4)(s2 + 4s + 68)

Ruıdo e filtrado pela f.t. dada por

Ge(s) =30s + 2400

s2 + 100s + 2400

clear all, close all

Gu=tf([272], conv([1 4],[1 4 68])) % Sistema Continuo a ser Identificado

impulse(Gu), pause % resposta ao impulso

step(Gu), pause % resposta ao degrau


Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 2: Resposta ao impulso e ao degrau de Gu

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 3: Resposta ao impulso e ao degrau da versao amostrada de Gu

Geracao dos dados amostrados. Escolheu-se o perıodo de amostragem Ts = 0, 05 s. e

a entrada de excitacao do sistema.

% Sistema amostrado

Ts=0.05 % periodo de amostragem

Gud=c2d(Gu,Ts) % converte sistema contınuo --> discreto

impulse(Gud), pause % plota a resposta ao impulso

step(Gud), pause % plota a resposta ao degrau

Assim a f.t. Gu(z) fica definida como:


>> Gud= zpk(Gud)

Zero/pole/gain:

0.0050891 (z+3.348) (z+0.2446)

-----------------------------------

(z-0.8187) (z^2 - 1.667z + 0.8187)

Sampling time: 0.05

Com essa escolha, o sistema amostrado global fica sendo:

(z − 0.8187)(z2− 1.667z + 0.8187)Y (z) =

0.0050891(z + 3.348)(z + 0.2446)U(z) + Ef(z)

(z2− 0.1851z + 0.006738)Ef(z) = (0.8219z − 0.000275)E(z)

e podemos reconhecer os polinomios na forma

Du(z)Y (z) = Nu(z)z−nU(z) + Ef(z)

Dr(z)Ef(z) = Nr(z)E(z)


implementacao no Simulink:

3

Saída Amostrada

2

Entrada Amostrada

1

Saída Contínua

z

1

Unit Delay1

z

1

Unit Delay

30s+2400

s +100s+24002

Transfer Fcn3

68

s +4s+682

Transfer Fcn2

4

s+4

Transfer Fcn1

Band-LimitedWhite Noise

1

In1

Figura 4: Diagrama Simulink do Sistema com entrada comandada e ruıdo.

Table 1. Continuous White Noise. Block PropertiesName Cov Ts seed VectorParams1D

Band-Limited White Noise [pr1] 0.005 [23341] on

Table 2. Inport Block PropertiesName Port PortDimensions SampleTime Defined In

In1 1 -1 -1 Sum1

Table 3. Mux Block PropertiesName Inputs DisplayOptionMux 2 bar

Table 4. Outport Block PropertiesName Port OutputWhenDisabled InitialOutput Used By

Entrada Amostrada 2 held [] Sinal AmostradoSaıda Amostrada 3 held [] Sinal AmostradoSaıda Contınua 1 held [] Sinal Contınuo

Table 5. Sum Block PropertiesName IconShape Inputs InputSameDT OutDataTypeModeSum round ++ off Inherit via internal rule

Table 6. TransferFcn Block PropertiesName Numerator Denominator AbsoluteTolerance

Transfer Fcn1 [68] [1 4 68] autoTransfer Fcn2 [4] [1 4] autoTransfer Fcn3 [30 2400] [1 100 2400] auto

Table 7. Unit Delay Block PropertiesName SampleTime

Unit Delay TsUnit Delay1 Ts

atencao:

1) No bloco “digital clock”adotar como parametro o perıodo de amostragem Ts.

2) Na janela de simulacao, acesse “Simulation”, depois “Configuration Parameters”, seleci-one “Data Importa/Export”. No quadro “Save Options” desabilite a opcao “Limit data pointsto last:”


fase 2: Simulacao e geracao do conjunto de dados para identificacao do sistema esco-

lhido

definir a entrada do sistema a ser identificado:

Figura 5: Diagrama Simulink com entrada definida pelo “Signal Builder”.

Valores definidos no Signal Buider

% tempo de simulac~ao = 90s.:

Axes > change Time Range ... Min. time 0, Max. time 90

% sinal PBRN:

Signal > New > Pseudo random noise ... Frequency 10.0,

Upper value +5, Lower Value -5

O sistema esta pronto para ser simulado e gerar a sequencia de dados durante 90s.

%% Define os dados de inicializac~ao do sistema

%% No Diagrama Simulink:

%% Simulation > Simulation Parameters ... Stop Time: Tsim

%% Band-Limited White Noise > Noise Power: [pr1]

clear, close all

Tsim=90; % tempo total de simulac~ao

Ts=0.07; % periodo de amostragem

pr1=0.05; % potencia do sinal gaussiano de faixa limitada

sim(’nome_do_arquivo_simulink’)


% para obter somente um valor do ponto amostrado

tdisc=yout(:,1); % vetor do tempos utilizados pela rotina de integrac~ao

tadi=[tdisc; tdisc(max(size(tdisc)))];

tatr=[0;tdisc];

ind=find(tadi>tatr);

tdisc=tdisc(ind); % vetor do tempos contendo amostras espacadas de Ts

% definicao dos sinais amostrados espacados de Ts

udisc=yout(ind,2); ydisc=yout(ind,3);

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−10

−5

0

5

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−10

−5

0

5

10

Figura 6: Saıda y e entrada u em 20 s.

fase 3: Obtencao do modelo nao-parametrico (resposta ao impulso)

E necessario remover valores constantes dos dados de entrada e saıda antes de pro-

cessa-los.

%%pre-processamento dos dados

udisc=udisc-mean(udisc); ydisc=ydisc-mean(ydisc); % elimina a media dos dados


primeiro metodo: resposta ao impulso pelo metodo da convolucao

% identifica a primeira amostra para a qual a entrada n~ao e nula

tini=min(find(udisc(:,1)~=0));

tfin=max(size(tdisc)); % define o ultimo valor de interesse da amostra

U=[]; % inicializacao da matriz de entradas

J=60; % numero total de amostras a ser consideradas na

% identificac~ao da resposta ao impulso (= J+1)

% ciclos de construc~ao da matriz U a partir da definic~ao das linhas

taux=tini;

while taux<=tfin && (taux-J)<1

U=[U; [udisc(taux:-1:1)’ zeros(1,-taux+J+1)]];

taux=taux+1;

end

while taux<=tfin

U=[U; udisc(taux:-1:(taux-J))’];

taux=taux+1;

end

% gera a estimativa da resposta ao impulso

mask=tini:(taux-1);

h1=U\ydisc(mask);

figure, stem(0:Ts:(Ts*J),h1/Ts), hold on, plot(t,h,’-r’)

% h1 resposta ao impulso estimada pelo metodo da convoluc~ao

% h resposta ao impulso original do sistema


fase 4: Verificacao do modelo obtido frente ao modelo “ideal”

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5metodo da convoluçao

Figura 7: Resposta ao impulso estimada pelo metodo da convolucao e a curva original.

segundo metodo: resposta ao impulso pelo metodo da convariancia

Iremos utilizar a estrutura de dados apropriada ao toolbox de identificacao.

% declara uma estrutura de dados tendo ydisc como saıda

% e udisc como entrada:

dat1=iddata(ydisc,udisc,Ts);

datm1=detrend(dat1,’constant’); % elimina a media dos dados e da nome aos bois

set(datm1,’InputName’,’entrada de acionamento’,’OutputName’,’torque em Nm’)

A rotina Matlab covf serve para estimar as funcoes de correlacao existentes na estrutura

de dados dat1 contendo o vetor [y u] ja pre-processado.

J=60; % no. de maximo de defasagem das func~oes de correlac~ao

% a considerada na estimativa

R1=covf(datm1,J+1); % calcula a matriz de auto-covariancias e covariancias


% cruzadas

figure, plot(R1’)

title(’Funcao de Auto-Correlacao e Correlacao Cruzada’)

legend(’r_{yy}’,’r_{uy}’,’r_{yu}’,’r_{uu}’)

0 10 20 30 40 50 60 70−5

0

5

10

15

20

25Funcao de Auto−Correlacao e Correlacao Cruzada

ryy

ruy

ryu

ruu

Figura 8: Funcoes de auto-correlacao e correlacao cruzadas de y e u.

Para a construcao da matriz de autocorrelacao Ruu na forma adequada:

Ruu =

ruu(0) ruu(1) ruu(2) · · · ruu(F )ruu(1) ruu(0) ruu(1) · · · ruu(F − 1)ruu(2) ruu(1) ruu(0) · · · ruu(F − 2)

......

.... . .

...ruu(F ) ruu(F − 1) ruu(F − 2) · · · ruu(0)

a rotina Matlab toeplitz deve ser usada.

Ruy1=R1(2,:); % funcao de correlacao cruzada entre u e y

Ru1=R1(4,:); % funcao de autocorrelacao de u

MRu1=toeplitz(Ru1) % produz a matriz de autocorrelacao de u, p.ex.:

>>MRu1 =


1.0000 -0.0120 -0.0050 0.0040 0.0050 0.0060

-0.0120 1.0000 -0.0120 -0.0050 0.0040 0.0050

-0.0050 -0.0120 1.0000 -0.0120 -0.0050 0.0040

0.0040 -0.0050 -0.0120 1.0000 -0.0120 -0.0050

0.0050 0.0040 -0.0050 -0.0120 1.0000 -0.0120

0.0060 0.0050 0.0040 -0.0050 -0.0120 1.0000

Passo final: estimacao e verificacao

h1=MRu1\Ruy1’; % estima a resposta ao impulso h1 com J+1 amostras

fase 4: Verificacao do modelo obtido frente ao modelo “ideal”

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5metodo da convariancia

Figura 9: Resposta ao impulso estimada pelo metodo da covariancia e a curva original.


outros metodos disponıveis no toolbox de identificacao:

Rotinas cra e impulse

J=60; % ordem do filtro FIR/no. de amostras da resposta ao impulso - 1

% estimacao da resposta ao impulso: metodo 1 (rotina cra)

na=15; % ordem do filtro branqueador

figure, h2=cra(datm1,J,na,2); % determinac~ao da resposta ao impulso & plots

−100 −50 0 50 100−1

0

1

2

3

4

5Covf for filtered y

−100 −50 0 50 100−5

0

5

10

15

20

25Covf for prewhitened u

−100 −50 0 50 100−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Correlation from u to y (prewh)

−100 −50 0 50 100−1

0

1

2

3Impulse response estimate

Figura 10: Funcoes de auto-correlacao e correlacao cruzadas de y e u filtrados e estimativa da

resposta ao impulso dada pela rotina cra.

% outras formas graficas:

figure, h2=cra(datm1,J,na,1) % resposta com intervalo de confianca


0 10 20 30 40 50 60−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Impulse response estimate

lags

Figura 11: Resposta ao impulso estimada pela pela rotina cra com intervalo de confianca.

figure, stem(0:Ts:(Ts*(size(h2)-1)),h2/Ts), hold on, plot(t,h,’-r’)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5metodo cra do Matlab

Figura 12: Resposta ao impulso estimada pela pela rotina cra comparacao com a curva original.


% estimacao da resposta ao impulso: metodo 2 (rotina impulse)

h3=impulse(datm1); % determinacao da resposta ao impulso

figure, impulse(datm1,’sd’,1); % plot com intervalos de confianca

−2 −1 0 1 2 3 4−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3From entrada de acionamento

To

torq

ue e

m N

m

Figura 13: Estimativa da resposta ao impulso com regiao de confianca: rotina impulse.


% extrai as 1as. M amostras nao antecipativas da resposta ao impulso h3

% para efeito de comparac~ao:

h3=h3.B((-h3.InputDelay+1):(h3.nb)); h3=h3(:);

figure, stem(0:Ts:(Ts*(size(h3)-1)),h3/Ts), hold on, plot(t,h,’-r’)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5metodo impulse do Matlab

Figura 14: Resposta ao impulso estimada pela pela rotina impulse e a curva original.


domınio da frequencia

exercıcios utilizando as rotinas do toolbox: System Identification

rotinas: spa.m, etfe.m, bode.m

Utilizamos os mesmos dados obtidos na fase 1 do experimento no domınio do tempo.

A rotina spa.m e um procedimento de resposta em frequencia atraves de analise espec-

tral

O parametro M na rotina controla o tamanho da janela de dados utilizados. Se M = [ ]utiliza-se o valor default da rotina que e min(length(DATA)/10,30)

M=[]; % tamanho da janela usada no calculo

modf=spa(ddat,M); % gera o modelo em frequencia a partir dos dados ddat

% resposta em frequencia de gud com intervalo de confianca:

figure(6), clf bode(modf,3)

10−1

100

101

102

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Am

plitu

de

From entrada de acionamento to torque em Nm

10−1

100

101

102

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

Pha

se (

degr

ees)

Figura 15: Respostas em frequencia: rotina spa com intervalo de confianca.


% espectro do ruıdo com intervalo de confianca:

figure(7), clf bode(modf(’noise’),3)

10−1

100

101

102

10−3

10−2

10−1

100

Disturbance spectrum for output torque em Nm

Figura 16: Estimativa do espectro de frequencia do ruıdo: rotina spa com intervalo de confianca.

segundo metodo frequencial: rotina etfe

A rotina etfe, calcula a transformada discreta de Fourier utilizando FFT (fast Fourier

transform)

%% procedimento de estimacao da resposta em frequencia via FFT

M=12; %tamanho da janela usada no calculo

modfe=etfe(ddat,M);

Para comparacao tracamos as figuras a seguir, utilizando os comandos:

figure(8),clf

bode(modf,modfe)

legend(’rotina spa M=[]’,’rotina etfe M=12’)

figure(9),clf

bode(Gud)


10−1

100

101

102

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Am

plitu

de

From entrada de acionamento to torque em Nm

10−1

100

101

102

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

Pha

se (

degr

ees)

rotina spa M=[]rotina etfe M=12

(a)Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

100

101

−450

−360

−270

−180

−90

0

(b)

Figura 17: (a) Comparacao das respostas obtidas pelas rotina: spa (azul) com a etfe (em

verde). Tamanho de janela M indicado. (b) Reposta em frequencia do sistema “ideal”gud.


resultado dos exercıcios propostos na 1a. aula

Parametros Iniciais:

• Tempo de amostragem Ts

0,15 s.

• Tempo de Simulacao 10 s.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time offset: 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Time offset: 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Time offset: 0

Figura 18: Sinal dos Osciloscopios

(a) Osciloscopio com o Sinal Medido e o Sinal Perfeito (nao acessıvel);

(b) Osciloscopio com os Sinais Amostrados de Saıda e Entrada (truncado, amplitude do im-

pulso = 10;

(c) Osciloscopio com os Sinais Amostrados de Saıda e Entrada apos filtragem do sinal discreto.

Caracterısticas do Filtro: Filtro discretizado utilizando o metodo zoh (zero-order hold),

com quatro polos em tempo contınuo com valores -12, -12.5, -13, -13.5


0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2metodo da resposta ao impulso

Ts=0.15, Ampl. do Impulso=10

Gerador de Ruidos:

potencia 0.0001, sampling time=0.01

sem filtrofiltro polos=−12,−12.5,−13 e −13.5

Figura 19: Resultado do Metodo da Resposta ao Impulso.

• Alteracao do Experimento: Amplitude do Impulso e alterado de 10 para 30. Resultado:

A relacao sinal ruıdo e melhorada.


0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2metodo da resposta ao impulso


Gerador de Ruidos:



Figura 20: Resultado do Metodo da Resposta ao Impulso, com impulso de maior amplitude.

• Alteracao do Experimento: Entrada de Impulso e substituıdo por um Sinal Binario

Pseudo-aleatorio (BPRS) de amplitude ±5, Frequencia = 100 (10 por s.).


0 1 2 3 4 5 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1metodo da resposta ao impulso com entrada PRBS Tsim=10 s

Ts=0.10, Ampl. do Sinal PBRS=+−5

Gerador de Ruidos:



Figura 21: Resultado do Metodo da Resposta ao Impulso, com sinal BPRS.


metodo de covariancia

0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2metodo da covariancia


Gerador de Ruidos:



Figura 22: Resultado do Metodo da Covariancia: dados ajustados como nas Figs. 1 e 2 do

metodo da resposta ao impulso.


0 1 2 3 4 5 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2metodo da covariancia com entrada PRBS Tsim=10 s


Gerador de Ruidos:



Figura 23: Resultado do Metodo da Covariancia, com sinal BPRS. Dados ajustados como na

Fig. 4.

• Alteracao do Experimento: Tempo de Simulacao Tsim e aumentado de 10s. para 30s.


0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2metodo da resposta ao impulso com entrada PRBS Tsim=30 s


Gerador de Ruidos:



Figura 24: Resultado do Metodo da Resposta ao Impulso: Tsim = 30s.

0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Gerador de Ruidos:



Figura 25: Resultado do Metodo da Covariancia: Tsim = 30s.

• Alteracao do Experimento: Potencia do Ruıdo e aumentada de 0,0001 para 0,005.


0 1 2 3 4 5 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4metodo da resposta ao impulso com entrada PRBS Tsim=30 s


Gerador de Ruidos:potencia 0.005, sampling time=0.01


Figura 26: Resultado do Metodo da Resposta ao Impulso: Potencia do ruıdo aumentada.

0 1 2 3 4 5 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



Gerador de Ruidos:potencia 0.005, sampling time=0.01


Figura 27: Resultado do Metodo da Covariancia: Potencia do ruıdo aumentada.

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