7/23/2019 Le Modele de Bohr - Solution

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LE MODELE DE BOHR - solution

1. Le moment cinetique s’ecrit par definition−→L   = −→r   ∧−→ p , ou −→r  est le vecteur position et −→ p   le vecteur quantite de

mouvement (−→ p   = m−→v ). Comme le mouvement est circulaire,  −→v  est orthogonal a  −→r . Le moment cinetique estdonc perpendiculaire au plan du mouvement, et sa composante selon  z  vaut L  =  rp  =  rmv . Le modele de Bohrdonne donc la relation suivante :

 pr =  mvr  =  n 

2. Dans un mouvement stationnaire, la somme des forces exterieures est nulles. L’electron est soumis a une forced’attraction de Coulomb en  e2/r2 et a une force centrifuge de la forme  mv2/r. La somme projetee sur l’axe  rdonne la relation suivante :

e2

r2  =

 mv2

r

En combinant avec la relation precedente, on a :

rn  = n2 

2

me2  et pn =

 me2

n 

3. L’energie d’un electron   E n   est la somme de son energie cinetique (positive) et de son potentiel d’interaction(negatif ) :

E n =

  p2n

2m −

 e2

rn =

  me4

2n2 2   =

  hc

n2R

La frequence de radiation de saut d’un electron d’un niveau  n  a un niveau  n + 1 vaut ν n = (E n −E n+1)/h, soit:

ν n =  cR

 1

n2 −

  1

(n + 1)2

= cR

  2n + 1

n2(n + 1)2

4. Lorsque n >> 1, on peut utiliser l’approximation suivante :

ν n  ≈ cR2n

n4  =

  2cR

n3  = 2π

 me4

 3n3

Une charge tournant a la vitesse   vn   a une distance   rn  produit un rayonnement de frequence   f   donne par lenombre de tours qu’elle effectue par seconde, soit :

f  =  vn2πrn

= 2π me4

 3n3

On constate ainsi que, pour  n   eleve, les sauts quantiques deviennent suffisamment faibles pour que le modele deBohr fournisse les resultats des approches classiques.

5. Dans le modele de Bohr, l’electron est traite comme une particule classique. Donc, pour que les resultats soientvalables, il faut que la position  r  et la quantite de mouvement  p  de la particule soient precisement definis, soit∆r << r  et ∆ p << p. Or l’hypothese de quantification du moment cinetique donne la relation  rp =  n . On doitdonc avoir :

∆r∆ p << rp  =  n 

L’inegalite de Heisenberg s’ecrit d’autre part sous la forme :

∆r∆ p >   

Pour que ces deux relations puissent etre verifiees, il est necessaire que  n  soit tres grand. L’utilisation du modelede Bohr pour l’atome d’hydrogene est donc impossible.

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