Laporan I: The Coriolis Force in Action

by

PUTU HARRY GUNAWAN30111002

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

DAFTAR ISI i

Daftar Isi

1 Pendahuluan 1

2 Rumusan dan Analisis Gaya Coriolis 3

2.1 Persamaan Gaya Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Diskritisasi Gaya Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Hasil Simulasi dan Diskusi 8

4 Simpulan 13

Pendahuluan 1

1 Pendahuluan

Jaman sekarang ini, masih ada orang yang menganggap bahwa bumi ini diam.

Atau lebih parah lagi: Bumi ini datar. Bagaimana membuktikan bahwa bumi ini

berputar pada porosnya? Kenyataan bahwa matahari, bulan dan benda langit

lainnya terbit dan terbenam setiap hari tampaknya tidak cukup membuktikan

bahwa bumilah yang berputar (bukan sebaliknya: matahari mengelilingi bumi).

Bukti harusnya dapat diperoleh berdasarkan hasil pengamatan. Jika benar

bumi berputar, pastilah ada efek atau fenomena alam sebagai hasil dari perge-

rakannya. Karena bumi yang berputar, bukti itu harus dicari di bumi, bukan di

Matahari atau benda luar angkasa lain. Ada bukti seperti ini. salah satunya ”Efek

Coriolis”.

Efek Coriolis melekat pada fenomena defleksi (pembelokan arah) gerak sebuah

benda pada sebuah kerangka acuan yang berputar, khususnya di permukaan Bumi

(lihat gambar 1(a) dan 1(b)). Pada intinya, sebuah benda yang bergerak lurus

dalam kerangka yang berputar, akan terlihat berbelok oleh pengamat yang diam

di dalam kerangka tersebut.

Dari penjelasan tersebut, dapat diketahui bahwa bumi selalu berotasi. Dan dari

rotasi tersebut selalu menimbulkan fenomena alam. Salah satunya adalah angin

yang dikenal dengan angin utama (angin timur, barat, dan pasat). Angin-angin

utama itu berhembus dalam suatu arah yang hampir tetap pada garis-garis lintang

tertentu. Angin itu timbul karena peredaran atmosfer dan rotasi bumi. Seandainya

bumi tidak berotasi, angin akan bergerak lurus ke utara atau ke selatan. Namun

rotasi bumi menimbulkan gaya rotasi yang disebut gaya Coriolis, yaitu gaya yang

membelokkan arah angin utama. Nama Coriolis sendiri diambil dari nama seorang

ilmuwan Perancis Gaspard Gustave Coriolis (1792). Jadi pengertian dari gaya

Coriolis adalah gaya semu yang timbul akibat efek dua gerakan yaitu gerak rotasi

bumi dan gerak benda relatif terhadap bumi.

Dalam kata lain, gaya Coriolis merupakan gaya yang membelokkan arah arus

yang berasal dari tenaga rotasi bumi. Pembelokan itu akan mengarah ke kanan

di belahan bumi utara dan mengarah ke kiri di belahan bumi selatan. Gaya ini

mengakibatkan adanya aliran gyre yang searah jarum jam (ke kanan) pada belahan

bumi utara dan berlawanan dengan arah jarum jam di belahan bumi selatan lihat

Pendahuluan 2

(a) Posisi benda sebelumbergerak

(b) Hasil efek Coriolis (c) Arah gaya Coriolis pada bumi

Gambar 1: Efek Gaya Coriolis

gambar 1(c).

Gaya Coriolis mempengaruhi aliran massa air, dimana gaya ini akan membe-

lokkan arah arus dari arah yang lurus. Gaya Coriolis juga yang menyebabkan

timbulnya perubahan-perubahan arah arus yang kompleks susunannya yang ter-

jadi sesuai dengan makin dalamnya kedalaman suatu perairan.

Pada umumnya tenaga angin yang diberikan pada lapisan permukaan air dapat

membangkitkan timbulnya arus permukaan yang mempunyai kecepatan sekitar 2

% dari kecepatan angin itu sendiri. Kecepatan arus ini akan berkurang cepat sesuai

dengan makin bertambahnya kedalaman perairan dan akhirnya angin tidak ber-

pengaruh sama sekali terhadap kecepatan arus pada kedalaman 200 m. Pada saat

kecepatan arus berkurang, maka tingkat perubahan arah arus yang disebabkan

oleh gaya Coriolis akan meningkat. Hasilnya akan dihasilkan sedikit pembelok-

an dari arah arus yang relaif cepat di lapisan permukaan dan arah pembelokanya

menjadi lebih besar pada aliran arus yang kecepatanya makin lambat dan mem-

punyai kedalaman makin bertambah besar. Akibatnya akan timbul suatu aliran

arus dimana makin dalam suatu perairan maka arus yang terjadi pada lapisan-

lapisan perairan akan makin dibelokan arahnya. Hubungan ini dikenal sebagai

Spiral Ekman.

Rumusan dan Analisis Gaya Coriolis 3

2 Rumusan dan Analisis Gaya Coriolis

Pada bagian ini akan dibahas mengenai penurunan persamaan gaya Corolis beserta

diskritisasinya menggunakan beda hingga dan juga membahas kestabilan numerik

dari diskritisasi tersebut.

2.1 Persamaan Gaya Coriolis

Persamaan pengatur momentum dari gaya corilis adalah:

dU

dt= −Ω2X

dV

dt= −Ω2Y

(2.1)

dengan X, Y adalah posisi benda dan U, V adalah kecepatan dalam sistem koordi-

nate yang diam. Perubahan posisi dari fluida dirumuskan sebagai:

dX

dt= U

dY

dt= V

(2.2)

Kecepatan fluida dalam sistem yang diam dan berputar tidaklah sama, sehing-

ga hubungannya dapat dilihat sebagai:

U = u− Ωy

V = v + Ωx(2.3)

dengan u, v adalah kecepatan fluida dalam sistem koordinate yang berputar. Hasil

kombinasi dari persamaan (2.1) dan (2.2) adalah:

d2X

dt2= −Ω2U

d2Y

dt2= −Ω2V

(2.4)

dengan kondisi awal adalah X(0) = X0, Y (0) = Y0, Xt(0) = U0, Yt(0) = V0. Solusi

persamaan diatas yang memenuhi kondisi awal, kecepatan, dengan tanpa adanya

2.2 Diskritisasi Gaya Coriolis 4

ganguan awal (u = 0 dan v = 0), dan menggunakan persamaan (2.3) adalah:

X(t) = X0 cos(Ωt)− Y0 sin(Ωt)

Y (t) = Y0 cos(Ωt) +X0 sin(Ωt)(2.5)

Tanpa adanya gaya lain, osilasi inersia pada fluida diatur oleh persamaan mo-

mentum sebagai:

∂u

∂t= +2Ωv

∂v

∂t= −2Ωu

(2.6)

Karena perbedaan antara orientasi sumbu rotasi bumi, maka besarnya gaya Cori-

olis bergantung pada lintang geografis dan persamaan (2.6) berubah menjadi:

∂u

∂t= +fΩv

∂v

∂t= −fΩu

(2.7)

dengan f = 2Ω sin(Ψ), dan Ψ adalah lintang geografis atau disebut sebagai pa-

rameter Coriolis. Periode osilasi inersia dihitung dengan T = 2π|f | , dan jari-jari

lingkaran inersia adalah u0|f | (dengan u0 adalah kecepatan awal di t = 0).

2.2 Diskritisasi Gaya Coriolis

Gaya Coriolis dalam fluida yang berputar pada persamaan (2.7) dalam bentuk

beda hingganya adalah:

(un+1

vn+1

)=

(1 ∆tf

−∆tf 1

)(un

vn

)(2.8)

Selanjutnya lokasi dari fluida ditentukan dengan:

xn+1 = xn + ∆tun+1

yn+1 = yn + ∆tvn+1(2.9)

2.2 Diskritisasi Gaya Coriolis 5

untuk melihat kestabilan numerik dari skema explicit pada persamaan (2.8), maka

kita lihat nilai eigen dari matrik Amplification:

eign

((1 ∆tf

−∆tf 1

))=

∣∣∣∣∣ 1− λ ∆tf

−∆tf 1− λ

∣∣∣∣∣ = 0 (2.10)

(1− λ)2 + (∆tf)2 = 0

(1− λ)2 = −(∆tf)2

(1− λ) = ±i(∆tf)

λ = 1±∆tf

(2.11)

Dari hasil nilai eigen pada persamaan (2.11), maka dapat dilihat |λ| =√

1 + (∆tf)2 >

1 sehingga |λ| > 1. Jadi skema explicit persamaan (2.8) dan (2.9) tidak stabil

(numerically unstable). Karena ketidak stabilan skema explicit diatas, maka se-

lanjutnya akan diperkenalkan dua skema yaitu pertama skema Semi-Implicit dan

kedua skema Local Rotating. Diskritisasi persamaan (2.6) dengan menggunakan

skema Semi-Implicit adalah:

un+1 = un + 0.5α(vn + vn+1)

vn+1 = vn − 0.5α(un + un+1)(2.12)

dengan α = ∆tf . Sehingga bila persamaa (2.12) dibawa kedalam bentuk matrik

menjadi: (un+1

vn+1

)=

1

1 + β

(1− β α

−α 1− β

)(un

vn

)(2.13)

denga β = 0.25α2. Untuk melihat kestabilan numerik dari skema semi implicit

pada persamaan (2.13), maka kita lihat kembali nilai eigen dari matrik Amplifica-

tion:

eign

(1

1 + β

(1− β α

−α 1− β

))=

∣∣∣∣∣ 1−β1+β

α1+β

− α1+β

1−β1+β

∣∣∣∣∣ = 0 (2.14)

2.2 Diskritisasi Gaya Coriolis 6

((1− β1 + β

)− λ)2

+

(α

1 + β

)2

= 0((1− β1 + β

)− λ)2

= −(

α

1 + β

)2

((1− β1 + β

)− λ)2

= ±i(

α

1 + β

)λ =

(1− β)± α1 + β

|λ| =

√(1− β1 + β

)2

+

(α

1 + β

)2

|λ| = 1

1 + β

√1− 2β + β2 + α2

|λ| = 1

1 + β

√1− 2β + β2 + 4β

|λ| = 1

(2.15)

karena nilai |λ| = 1 pada skema diatas menunjukkan bahwa skema semi implicit

merupkan skema yang selalu stabil. Selanjutnya pada skema Local Rotating, ga-

ya Coriolis bekerja pada kecepatan sudut dan tidak merubah kecepatan gerakan

fluida, dalam hal ini hanya kecepatannya saja. Bentuk matrik dari skema Local-

Rotating adalah: (un+1

vn+1

)=

(cos(α) sin(α)

− sin(α) cos(α)

)(un

vn

)(2.16)

dengan α = ∆tf . Seperti biasa untuk melihat kestabilan numerik dari skema

Local-Rotating pada persamaan (2.16), maka kita kembali melihat nilai eigen dari

matrik Amplification:

eign

((cos(α) sin(α)

− sin(α) cos(α)

))=

∣∣∣∣∣ cos(α)− λ sin(α)

− sin(α) cos(α)− λ

∣∣∣∣∣ = 0 (2.17)

2.2 Diskritisasi Gaya Coriolis 7

(cos(α)− λ)2 + (sin(α))2 = 0

(cos(α)− λ)2 = − (sin(α))2

(cos(α)− λ) = ±i (sin(α))

λ = cos(α)± i sin(α)

|λ| =√

cos(α)2 + sin(α)2 = 1

(2.18)

Karena nilai |λ| = 1 dari persamaan (2.18), maka hal ini menunjukkan bahwa

skema Local-Rotating merupakan skema yang selalu stabil juga.

Hasil Simulasi dan Diskusi 8

3 Hasil Simulasi dan Diskusi

Pada bagian ini akan dibahas mengenai simulasi dari persamaan persamaan Cori-

olis yang sudah dibahas ada bab sebelumnya. Untuk mensimulasikan persamaan

(2.8),(2.13) dan (2.16), maka perlu dibentuk nilai inisialisasi awal seperti pada

gambar 2. Dari gambar 2, Dapat dilihat bahawa niali-nilai awal diberikan se-

Gambar 2: Inisialisasi nilai awal program

suai dengan contoh pada [1] bab 3.12.6. Selanjutnya program untuk diskritisasi

persamaan explicit (2.8) dapat dilihat pada gambar 3.

Gambar 3: explicit method

Sesuai dengan penjelasan pada bab sebelumnya, skema explicit ini tidaklah

Hasil Simulasi dan Diskusi 9

stabil, sehingga hasil dari simulasi program pada gambar (2) dan (3) bisa dilihat

pada gambar (4).

Gambar 4: Hasil menggunakan skema explicit

Pada gambar (4), terlihat bahwa dalam waktu simulasi yang lama maka par-

tikel yang berputar pada bidang yang bergerak akan semakin melebar dan bera-

khir diluar inersia lingkaran. Simulasi selanjutnya akan digunakani skema Semi-

implicit dan Local-Rotating sesuai dengan persamaan (2.13) dan (2.16). Program

untuk mensimulasi persamaan (2.13) dan (2.16) dapat dlihat pada gambar 5. Pro-

gram pada gambar 5, dibagi menjadi dua perintah sekaligus, yaitu menggunakan

mode=1 berarti mengguankan skema Semi-implicit sedangkan mode 6= 1 berarti

Hasil Simulasi dan Diskusi 10

menggunakan skema Local-Rotating.

Gambar 5: Semi-Implicit dan Local Roatation approach

Hasil dari simulasi dengan menggunakan skema Semi-implicit dan Local-Rotating

menghasilkan simulasi yang sama. hasilnya dapat dilihat pada gambar 6. Hasil

dari menggunakan dua skema diatas berhasil sesuai dengan exercise yang diingink-

an pada [1], dimana partikel berputar pada lintasan yang sama dan membentuk

lingkaran pada bidang yang berputar pula.

Pada bagian berikutnya simulasi dikerjakan sesuai dengan experimen yang di-

lakukan oleh Tom Howard dalam videonya yang berjudul ”Experiment of Coriolis

Force”. Cuplikan gambarnya dapat dilihat pada gambar 7, dimana Tom yang

dibantu oleh asistennya mencoba membuat garis lurus yang menyusuri pinggiran

penggaris pada lembaran kertas yang bentuknya sebuah lingkaran. Dalam eksperi-

men tersebut, selama menyusuri pinggiran penggaris, bidang kertas juga sekaligus

di putar sehingga hasil yang diharapkan tidak membentuk garis lurus melaikan

sebuah lintasan yang berbelok seperti pada gambar 7.

Hasil Simulasi dan Diskusi 11

Gambar 6: Hasil menggunakan skema Semi-implicit dan Local-Rotating

Hasil Simulasi dan Diskusi 12

Gambar 7: Real experimen

Simpulan 13

Untuk mensimulasikan keadaan pada gambar 7, pada simualsi gambar 2 nilai

awal dari u dan v dirubah menjadi u = 0 dan v = 1 yang berarti bahawa kecepatan

awal diberikan hanya ke sumbu y sebesar 1. Hasilnya dapat dilihat pada gambar

8.

Gambar 8: Hasil simulasi sesuai dengan eksperimen

4 Simpulan

Gaya Coriolis adalah gaya semu yang timbul akibat efek dua gerakan yaitu gerak

rotasi bumi dan gerak benda relatif terhadap bumi, atau dalam kata lain, gaya

Coriolis merupakan gaya yang membelokkan arah arus yang berasal dari tenaga

rotasi bumi.

Untuk mendiskritisasi persamaan pengatur momentum dari gaya Coriolis di-

gunakan skema beda hingga explicit, semi-implicit dan local-rotating. Dari analisis

kestabilan ketiga skema tersebut, skema explicit tidak bisa digunakan karena ske-

ma tersebut tidak stabil. Sedangkan untuk skema semi-implicit dan local-rotating,

memiliki syarat selalu stabil (always stable).

PUSTAKA 14

Pustaka

[1] Kampf. Jochen. Ocean Modelling for Beginners . Springer-Heidelberg Berlin

Heidelberg, 2009.