Mod

wi

Dep

ellingo

ithaGr

partment

Sup

ofTher

raphica

JO

Report

ofAerona

forthe

pervisor:

IMPERIAL

 

rmoaco

alInter

ORDIDILM

submitte

autics,Im

eMaster’s

DrAimee

JUNE2011

LCOLLEGE

ousticI

rface(S

MÉ

edtothe

mperialCo

sThesis

e S.Morga

1

ELONDON

nstabil

Simulin

ollegeLon

ans

lities

nk)

ndon

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

To my mother, because she is always with me.

To my father and to Toni, because they are always with me, too. 

I 

 

Combustion units frequently experience thermoacoustic instabilities, also known as 

combustion oscillations, which are consequence of the internal coupling between acoustic 

waves  and  unsteady  heat  release.  Deterioration  in  system  performance,  starting  by 

increased  emissions  or  higher  levels  of  fuel  consumption, may  occur  due  to  this  large‐

amplitude  flow  oscillations  and  their  associated  pressure  fluctuations  and,  under  some 

circumstances, these can be intense enough to cause structural damage on the installation. 

After introducing its physical background, this acoustic phenomenon is modelled in 

the  time  domain  using  a  one‐dimensional  linearized  analytical  approach  and  then 

implemented  into  Simulink;  thus  providing  a  pioneering  tool which models  combustion 

instabilities in an interactive and customizable environment. A first model reproduces the 

behaviour  of  an  acoustically  excited  pipe  without  combustion,  whereas  a  second  one 

simulates  the  performance  of  a  generic  combustor with  unsteady  heat  release without 

mean  flow.  The  validity  of  the  conceived models  is  checked  through  comparison with 

acoustics  theory  and  earlier  research  developed  in  the  Laplace  domain.  This  graphical 

modelling  aspires  to  become  a  faster, more  visual  alternative  to  the  complex  current 

approaches  to  the  analysis  of  combustion  oscillations,  especially  suitable  for  shorter 

projects thanks to its simplicity of use. 

As  an  initial  approach  to  the  interruption  of  combustion  oscillations,  feedback 

control  is applied to the modelled combustor. A fixed‐parameter controller  is designed  in 

the time domain using Nyquist and Bode techniques and then implanted into the Simulink 

model. Finally, the robustness of the controller to slight changes  in the heat release time 

delay is assessed. 

 

ABSTRACT 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

II 

 

I would  like to express my sincere thanks my supervisor, Dr Aimee S. Morgans, for 

her attention and advice throughout the course of this Master’s project. Her guidance was 

crucial and made possible the eventual success of this work. 

I would  like to extend my gratitude to German Gambon and Damián Álvarez, who 

provided  priceless  help  during  the  first  stages  of  the  project  to  get  familiar  with  the 

software involved. 

Finally,  I am very grateful  to my mother, my  family and my  friends. Without  their 

encouragement and love I would not have overcome this challenge. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JORDI DILMÉ 

London, June 2011

ACKNOWLEDGEMENTS 

 

   

1 

 

Contents 

  ABSTRACT ……...…………………………………………………………………………………………………………………………….  I 

  ACKNOWLEDGEMENTS …………………………………………………………………………………………………………………….  II 

1. Introduction ………………………………………………………………………………………………………………………….. 3 

2. Aim of the project …………………………………………………………………………………………………………………. 4 

3. Energy and combustion oscillations ………………………………………………………………………………………. 5 

3.1. Physical fundamentals …………………………………………………………………………………….................  5 

3.2. Acoustic analysis …………………………………………………………………………………………………………….  6 

4. Acoustically excited tube without combustion ………………………………………………………………………  8 

4.1. General description of the model and reason for modelling …………………………………………..  8 

4.2. Description of the numerical model ……………………………………………………………………………….  9 

4.3. Pressure modelling ………………………………………………………………………………………………………...  10 

4.4. Results and model checking ……………………………………………………………………………………………  11 

5. Model combustor …………..…………………………………………………………………………………………………….. 15 

5.1. General description of the model and reason for modelling …………………………………………..  15 

5.2. Description of the numerical model …………………………………………………………………...............  16 

5.3. Pressure modelling …………………………………………………………………………………………………………  19 

5.4. Results and model checking ……………………………………………………………………………………………  20 

6. Practical approach to feedback control ……..………………………………………………………………………….. 28 

6.1. Fixed‐parameter control applied to the combustor modelled with Simulink ……………….  28 

6.1.1. Controller design in Laplace domain ……………………………………………………………………….  28 

6.1.2. Practical implementation of the controller into the Simulink model ……………………….  33 

6.1.3. Analysis of control robustness …………………………………………………………………………………  35 

7. Future work ………………………………………………………………………………………………………………………….. 37 

8. Conclusions …………………………………………………………………………………………………………………………… 38 

9. References …………………………………………………………………………………………………………………………….  39 

10.  Additional bibliography ………………………………………………………………………………………………………..  40 

Appendices:  

A.  Simulink block diagram of the acoustically excited tube without combustion 

B.  Simulink block diagram of the model combustor 

C.  Simulink block diagram of the model combustor with masked subsystems  

D.  Simulink block diagram of the model combustor with feedback control 

E.  Simulink block diagram of the model combustor with feedback control and masked subsystems 

2 

 

List of figures 

Fig. 1  Control volume of perfect gas within a combustor ……………………………………………………………........  5 

Fig. 2  Schematic of the acoustically excited tube without combustion …………………...............................  8     

Fig. 3  Simulink block diagram of the model (acoustically excited tube) ………………………………………………  11 

Fig. 4  Pressure amplitude response to variation of excitation frequency without mean flow ……………..  13 

Fig. 5   Pressure amplitude response to variation of excitation frequency with mean flow …………………..  13 

Fig. 6  Mode shapes of pressure amplitude for the first three resonant frequencies …………………………..  14 

Fig. 7  Diagram of the combustor model ……………………………………………………………………………………………..  16 

Fig. 8  Simulink block diagram of the combustor model ……………………………………………………………………...  20 

Fig. 9  Stability regions of the first mode of G(s) as a function of the heat‐release time delay …………….  22 

Fig. 10  Time evolution of pressure measurements for two different values of   ………………………………..  22 

Fig. 11  Stability regions of the time response of the Simulink model (max. step size of 10‐5 s.) …………….  23 

Fig. 12  Stability regions of the i first modes (n = 1…i) of G(s)………………………………………………………………..  23 

Fig. 13  (a) Stability regions of the ten first modes of G(s) obtained from Bode plot analysis ………………..  24 

       (b) Stability regions of the time response of the Simulink model (max. step size of 10‐5 s.) ……….  24 

Fig. 14  Stability regions of the time response of the Simulink model (max. step size of 10‐4 s.) …………….  24 

Fig. 15  (a) Stability regions of the four first modes of G(s)obtained from Bode plot analysis ……………….  25 

            (b) Stability regions of the time response of the Simulink model (max. step size of 10‐4 s.) ……….  25 

Fig. 16  Gain and phase shift checking for k = 0 (maximum step size = 10‐5 s.) ……………………………………….  26 

Fig. 17  Gain and phase shift checking for k = 2 (maximum step size = 10‐5 s.) ……………………………………….  26 

Fig. 18  Gain and phase shift checking for k = 1.3 (maximum step size = 10‐5 s.) ……………………………………  27 

Fig. 19  Gain and phase shift checking for k = 3.3 (maximum step size = 10‐5 s.) ……………………………………  27 

Fig. 20  Generic arrangement for feedback control of combustion oscillations ……………………………………..  28 

Fig. 21  Structure of the negative feedback closed‐loop control system ………………………………………………..  29 

Fig. 22  Bode plot of the open‐loop transfer function of G(jω) for k = 0.5 …………………………………………....  29 

Fig. 23  Nyquist diagram of the OLTF from the loudspeaker input to the filtered pressure ……………………  31 

Fig. 24  Bode diagram of a generic phase‐lag compensator …………………………………………………………………..  31 

Fig. 25  Nyquist diagram of the controlled system with two anticlockwise encirclements of‐1 point …….  32 

Fig. 26  Simulink block diagram of the controlled system ………………………………………………………………………  33 

Fig. 27  Comparison between pressure measurements with control OFF and ON, respectively …………….  34 

Fig. 28  Pressure time response under varying values of k …………………………………………………………………….  35 

Fig. 29  Pressure measurement with control ON for k = 2.45 …………………………………………………………………  37 

3 

 

1.  INTRODUCTION  

Combustion  units,  from  gas  turbine  combustors  to  rocket  motors,  frequently  experience 

thermoacoustic  instabilities,  also  known  as  combustion  oscillations  or  instabilities.  These  are 

consequence  of  the  internal  coupling  between  acoustic  waves  and  the  combustion  process  itself: 

unsteady heat release generates acoustic waves, these propagate along the combustor and reflect from 

boundaries to get back to the combustion zone, where they generate more unsteady heat release, for 

example through hydrodynamic instabilities [1,2] or local changes in the fuel‐air ratio [3]. Depending on 

the phase  relationship of  this unsteady heat  release  response,  the energy associated  to  the acoustic 

waves  may  increase  rapidly  resulting  in  the  occurrence  of  large‐amplitude  instability.  When  this 

instability  appears,  oscillation  amplitudes  start  to  increase  exponentially;  at  some  point,  some  non‐

linearity in the system limits these amplitudes, leading to “self‐excited oscillations” [4, 5, 6]. 

 Deterioration in the system performance may occur due to these almost always unwanted large‐

amplitude flow oscillations and their associated pressure fluctuations and, under some circumstances, 

these can be intense enough to cause structural damage on the installation. 

Study and control of combustion instabilities is currently a subject of great importance, inasmuch 

as their occurrence in the new generation gas turbines, in which reduced emissions of NOx are a priority, 

is, at  least, frequent [4]: both  industrial  land‐based gas turbines [7, 8, 9] and aero‐engines [10, 11] are 

particularly  susceptible  to  them.  Because  these  gas  turbine  combustors  are  operated  under  lean 

premixed  conditions, NOx emissions are  reduced, but, at  the  same  time,  this also makes  combustors 

especially  prone  to  experience  combustion  instabilities  [12,  13].  This  problematic,  however,  is  not 

limited  to  gas  turbine  combustors:  aeroengine  afterburners  [14, 15, 16],  rocket motors  [17],  ramjets 

[18], boilers or furnaces [19] are other systems particularly susceptible to it. On a laboratory‐scale, the 

most common device used to reproduce and analyse this phenomenon is a simple open‐ended vertical 

tube with a heat source in its lower half, known as Rijke tube [20]. 

The elimination of thermoacoustic instabilities is achieved by interrupting the coupling between 

the acoustic waves and the unsteady heat release. Existing methods used to reach this interruption may 

be classified into passive control methods, active control methods or, the most recent alternative, tuned 

passive control methods.  

The  first ones  [19, 21] are based on permanent changes and aim  to achieve one of  these  two 

objectives:  either  reduce  the  susceptibility of  the  combustion process  to  acoustic  excitation  through 

hardware design changes, such as modifying the combustor geometry [12, 22, 23] or the fuel injection 

system, or remove energy from sound waves using acoustic dampers, such as Helmholtz resonators [24] 

or quarter mode tubes [25]. The main inconvenient associated to these mechanisms is that they might 

be  ineffective  at  the  low  frequencies  at which  some  of  the most  damaging  oscillations  occur  and, 

furthermore, required changes of design are usually expensive and time‐consuming [4].  

4 

 

On  the other hand, active control principle  is based on  introducing one or more  inputs  to  the 

system which are actively varied using an actuator [4, 5, 6]. Active control may be subdivided into open‐

loop, where  the mentioned  input  is  independent  from measurements on the system, and closed‐loop 

(i.e. with feedback), where an actuator modifies a parameter of the system in response to a measured 

signal. The aim of closed‐loop active control is to design the control relationship between de sensor and 

actuator  signal  such  that  the  closed  loop  system  is  stable.  The  main  advantage  of  active  control, 

especially  closed‐loop,  lies  in  its  power  to  interrupt  oscillations  over  a  range  of  operating  settings. 

However, if the controller design is incorrect, it may make the instabilities even more damaging.  

As  the  third  option  appears  the  tuned  passive  control, which  has  focused  recent  interest.  It 

consists of designing the damping devices, such as Helmholtz resonators [24], with a variable geometry 

and/or variable forced flow throw them. The fundamental is simple: these dampers offer peak damping 

performance at a certain frequency depending on the previously mentioned parameters, so, by tuning 

them,  high  damping  and  even  instability  suppression  may  be  achieved  across  a  wider  range  of 

frequency.  In comparison to active control, bandwidth requirements are  lower, as geometry/flow rate 

actuation is only required when operating conditions are modified. 

 

2. AIM OF THE PROJECT 

Given  the  susceptibility  of  the  listed  devices  to  experience  these  undesired  combustion 

instabilities, the aim of this project is to model the appearance and behaviour of these large amplitude 

flow  oscillations  in  the  time  domain,  in  certain  different  circumstances  and  settings,  using  Simulink1 

(Matlab).  As well  as  that,  the  application  of  closed‐loop  control  to  interrupt  the  coupling  between 

acoustic waves and unsteady heat release that gives rise to combustion oscillations is introduced and a 

fixed‐parameter controller is designed and applied to the main combustor model. The idea is to provide 

a  useful  but  easy  to  use  tool  to  predict,  analyse  and,  consequently,  avoid  the  occurrence  of 

thermoacoustic instabilities. 

The numerical background of the developed models is based on previous modelling approaches: 

Morgans,  Evesque  and  Zhao  have  developed  several  Fortran  codes  in  time  domain  that  simulate 

different combustor settings, under specific assumptions, whereas Stow and Dowling have implemented 

more complicated codes, again in Fortran, combining both frequency and time domains. 

This project represents a step forward  in combustion oscillations analysis as  it seeks to provide 

the  first  tool  which  models  this  thermoacoustic  phenomenon  in  an  interactive  and  customizable 

graphical environment. This implementation is intended to offer a faster, more visual alternative to the 

complex current modelling approaches as none of them offers graphical user interface (GUI). As a result 

of this, it is thought to be more suitable for short future projects and researches thanks to the simplicity 

of use and the easiness with which it can be customized to satisfy users’ specific requirements. 

                                                            1 Simulink is an environment for multidomain simulation and Model‐Based Design for dynamic and embedded systems. 

 

3.

3

arise 

Rayle

to com

as Ra

with p

quickl

acous

bound

estab

Morg

consid

(furth

forces

sound

denot

unste

. ENERGY 

3.1. Physica

As  introduc

due to feedb

igh, studied t

mbustion inst

yleigh’s criter

pressure, but 

ly extrapolate

stic waves and

In  1964,  B. 

dary  conditio

lishing the fun

If  we  follow

ans  [4],  a  pe

dered (Fig. 1).

her analysis ac

s are neglecte

d and ratio of

tes a mean va

Pressure  flu

ady heat rele

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 1

AND COM

l fundamen

ced  in  Section

ack between 

he physics of 

abilities in the

rion, which  st

loses energy

ed to the phys

d heat release

T.  Chu  expa

ons  to  it  [26],

ndamentals to

w  Chu’s  analy

erfect  gas  bu

. The gas is as

ccounting for 

ed. The pressu

f specific heat

alue and a prim

uctuations  an

ase. The relat

Control volume

MBUSTION

ntals [4] 

n  1,  combust

sound waves

acoustics in d

e late ninetee

tates  that an 

y when heat  is

sics of combu

e on which mo

anded  Rayleig

,  thus  provid

o develop met

ysis  [26]  and

urning  within 

ssumed to be 

mean flow an

ure, density, h

t capacities ar

me denotes a 

nd  changes  i

tionship betwe

′

combustor(volumeV)

acousticwaves

,

e of perfect gas w

N OSCILLA

ion  instabiliti

s and unstead

depth and wa

enth century [

acoustic wav

s added out o

ustion oscillat

ost of these os

gh’s  criterion

ding  a  useful 

thods for con

  reproduce  t

  a  combusto

linearly distu

nd mean heat 

heat release ra

re denoted by

fluctuating va

n  entropy  le

een these thr

1

′

within a combustor

ATIONS  

es  are  large 

dy heat releas

as the first to 

20]. In 1878, 

ve gains energ

of phase with

ions to explai

scillations are 

  through  the

insight  into 

trolling them

the  simplifica

or  of  volume

rbed from the

release have 

ate per unit vo

y p, ρ, q, u, c

alue. 

ead  to  the  d

ee terms resu

1

surface,S

unsteadyheatrelease

r [4]

amplitude  flo

se. John Willia

provide some

he formulated

gy when heat

h pressure. Th

in the energy 

based. 

e  incorporatio

thermoacoust

. 

tion  presente

V,  bounded 

e rest with no

been publishe

olume, particl

c and γ, respe

ensity  chang

ults in: 

ow  oscillation

am Strutt, 3rd 

e physical app

d a criterion, 

t  is added  in 

his principle m

y exchange be

on  of  the  eff

stic  instabilitie

ed  by  Dowlin

d  by  a  surfac

o mean heat r

ed [27]) and v

le velocity, sp

ectively. An o

e  that  arises

5 

ns  that 

Baron 

proach 

known 

phase 

may be 

etween 

fect  of 

es  and 

ng  and 

ce  S  is 

release 

viscous 

peed of 

verbar 

s  from 

3.1  

6 

 

By combining  this equation  (3.1) with  the  linearized continuity and momentum equations, and 

integrating over the volume V, an acoustic energy equation is obtained [26]: 

12

12

1. S 3.2  

The  left‐hand  side  term  represents  the  rate of  change of  the  sum of  the kinetic and potential 

energies within  volume  V.  The  first  term  on  the  right‐hand  side  represents  the  exchange  of  energy 

between  the  combustion  and  sound waves.  Following Rayleigh, when  the pressure,  p,  and  the heat 

release, q, have a component which is in phase (in other words, when the phase difference lies between 

‐90° and +90°),  the acoustic energy  tends  to be  increased. Finally,  the second  term on  the  right‐hand 

side, the surface term, captures energy  losses across the bounding surface, S, because the fluid within 

this surface does work on the surroundings [4]. 

Furthermore,  it can be observed that acoustic disturbances will grow  in magnitude  if their gain 

from  combustion  is  larger  than  the  energy  losses  across  boundaries.  This  can  be  formulated  in  the 

following inequality, which is the generalized form of the Rayleigh’s criterion: 

1 . S 3.3  

where  the overbar denotes an average over one period of  the acoustic oscillation.  If  the  inequality  is 

satisfied, acoustic waves’ amplitude will increase until non‐linear effects limit its growth. 

If these nonlinearities appear primarily in the heat release rate with the sound waves remaining 

linear  and  it  is  assumed  that  acoustic waves  are  initially  growing,  heat  release  saturation  or  phase 

change effects may tend to equalize the terms in equation (3.3) at a certain pressure amplitude. At this 

amplitude, limit cycle oscillations occur [28, 29, 30, 31]. 

Equation  (3.3)  does  not  only  explain why  combustion  instabilities  occur  and why  their  size  is 

limited  by  non‐linear  effects,  but  also  shows  that  these  oscillations  may  be  eliminated  by  either 

decreasing the energy source term,  ´ , or increasing the surface loss term,  . S. This is what 

control methods mentioned in Section 1, both passive and active, pursue.  

 

3.2. Acoustic analysis 

The models  presented  in  this  project  simulate  and  analyse  the  behaviour  of  acoustic waves 

travelling  along  an open‐ended pipe with  a  constant  cross  section, A,  and a  total  length of L, under 

specific assumptions in each case: different sources and locations of the tube excitation, with or without 

mean  flow,  absence  or  presence  of  combustion.  Denoting  the  distance  along  the  tube  by  x,  the 

combustion zone (or the harmonically forcing in the absence of combustion) is located at x=0, with the 

upstream and downstream open ends at x= ‐xuand x=xd, respectively. Similarly, upstream region  is 

noted as Region1 and downstream region as Region2. 

7 

 

When analysing  the system  in any of  the cases provided,  it  is assumed  that  the  frequencies of 

interest are  low enough to ensure that all nonplanar modes  (both radial and transversal) are well cut 

off, so only one‐dimensional disturbances are important [32], and for the combustion zone to be short 

compared to the wavelength [28]. Contributions from entropy waves are neglected, acoustic waves are 

assumed  to  behave  linearly  to  the mean  flow  [24]  and both  the mean  density,  ,  and  the  speed  of 

sound,  , are assumed constant all along the tube [4].  

Wave strengths (vid Fig. 2 and Fig. 7) are denoted as: 

L1(t) for left‐travelling waves in Region1

R1(t) for right‐travelling waves in Region1 

L2(t) for left‐travelling waves in Region2

R2(t) for right‐travelling waves in Region2

As pressure obeys the linear wave equation, pressure and velocity upstream the flame, ‐xu<x<0, 

can be written as a linear combination of the waves L1 and R1: 

,

3.4  

,1

3.4  

Similarly, downstream the combustion zone, 0>x>xd, pressure and velocity can be expressed as 

a linear combination of the waves L2 and R2: 

,

3.5  

,1

3.5  

where an overbar denotes a mean value. 

The  boundary  conditions  of  the  combustor  are  characterized  by  upstream  and  downstream 

pressure  reflection  coefficients Ru  and Rd,  respectively. Therefore,  the  reflected waves R1 and L2 are 

easily obtained as a function of L1and R2using the following relationships: 

3.6  

3.6  

And hence: 

3.7  

3.7  

8 

 

where  τu  and  τd  are,  respectively,  the  upstream  and  downstream  propagation  time  delays,  whose 

numerical developments are: 

2 1

3.8  

2 1

3.8  

where  /  is the mean flow Mach number. 

 

4.  ACOUSTICALLY EXCITED TUBE WITHOUT COMBUSTION 

 4.1. General description of the model and reason for modelling 

A  first approach  to  the  study of  combustion  instabilities  consists of modelling  the acoustically 

excited  tube  shown  in  Figure 1 and analysing  the behaviour of acoustic waves,  initially  injected by a 

loudspeaker  located at x=0,  travelling along  the setup  in  the absence of combustion, both with and 

without mean flow. 

The  reason why  the  study  firstly models  a  pipe  excited  by  a  loudspeaker  instead  of  directly 

introducing a flame as an excitation source is no other than the complexity this second option involves. 

An acoustically excited tube is easier to model numerically and implementing this setting is a necessary 

stage before proceeding to the sophisticated modelling of a thermoacoustically excited pipe, where the 

interaction of combustion and acoustic waves is by no means trivial to describe (vid. Section 5). 

In the current model (Fig. 2), two sensors are implemented to measure the pressure fluctuations 

along the pipe, each one located at an arbitrary point of each region, these locations denoted as x=‐x1

for the upstream sensor and x=x2for the downstream sensor.  

Values for the main parameters used in this first approach are summarized in Table 1. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 2 Schematic of the acoustically excited tube without combustion

L1 t R2 t

R1 t L2 t

0 u d

p1

LoudspeakerVls t Vsin wt

p2

Region1 Region 2

9 

 

4.2. Description of the numerical model 

The  device  simulated  consists  of  an  axial  pipe which  incorporates  the  previously mentioned 

loudspeaker to generate acoustic waves which propagate along the tube.  

In this initial analysis, two different settings or cases regarding the mean flow (ū) are modelled: 

a) Assuming negligible mean flow (ū=0)  

b) Assuming steady and one‐dimensional mean flow. 

 The rate of unsteady volume injection, Vls(t), is implemented as a sinusoidal wave: 

sin 4.1  

 where V denotes the amplitude of the wave and ωthe frequency. This wave acts as the acoustic source 

which gets the physical system started and our aim is to study and analyse the behaviour of the derived 

waves  resulting  from  its  interaction with  the  tube’s ends and  the mean  flow at different  frequencies 

over the range of interest. To do so, a matrix system expressing these derived waves (L1(t), R1(t), L2(t)

and R2(t)) as a function of Vls(t)and, by extension, as a function of frequency ω, is required. 

The equations of conservation of mass and pressure continuity across the  loudspeaker at x=0 

are given by: 

4.2  

0 , 0 , 4.2           

Substitution from (3.4) and (3.5) into (4.2a) and (4.2b) leads to: 

4.3  

4.3  

Parameter Value

Effective length or the pipe, L, m 1

Pipe cross-sectional area, A, m2 1.13 x 10-2

Axial distance from the loudspeaker to the upstream end, xu, m 0.2

Axial distance from the loudspeaker to the downstream end, xd, m 0.8

Axial distance from the loudspeaker to the upstream pressure sensor, x1, m 0.1

Axial distance from the loudspeaker to the downstream pressure sensor, x2, m 0.4

Reflection coefficient at upstream end, Ru, - -0.98 / -0.95

Reflection coefficient at downstream end, Rd, - -0.98 / -0.95

Mean density, , kg·m-3 1.2

Mean speed of sound, , m·s-1 350

Loudspeaker sine wave amplitude, V, m3·s-1 1

Table 1 Geometrical and acoustic parameters

10 

 

Making  use  of  the  pipe  end  boundary  conditions  specified  in  (3.7),  enough  information  is 

provided to solve for each of the four wave strengths in Figure 2. The resulting matrix equation is given 

by: 

0 4.4  

where X and Y are the following coefficient matrices:  

1 11 1

; 4.5                                      

Having solved the matrix equation, the expressions for the time evolution of the outgoing waves 

L1(t) and R2(t) as a function of ωare obtained: 

12

4.6  

12

4.6  

 

4.3. Pressure modelling 

In  order  to  obtain  the  time  evolution  expressions  of  the  pressure  fluctuation,  theoretically 

measured by the pressure sensors at x=‐x1 and x=x2, these points have to be substituted in equations 

(3.4a) and (3.5a), respectively, as follows: 

,

4.7  

,

4.7  

Application of the open end boundary conditions and the correspondent time delays leads to:  

4.8  

4.8  

Combining  these  two expressions with  (4.6a)  and  (4.6b),  the graphical block modelling of  this 

case is implemented with Simulink so that the pressure fluctuation’s behaviour at the pressure sensors, 

located at x = ‐ x1 and x=x2, can be analysed when varying the input frequency ωof Vls(t).  

The arrangement of blocks  in  the definitive Simulink model  is  reproduced  in Figure 3  (a  larger 

view of the model is shown in Appendix A). 

 

4

used t

on the

conse

simula

to bot

the tw

furthe

when

frequ

agree

resea

4.4. Results 

The develop

to study the p

e assumption

a) Assu

b) Assu

In  case  a), 

equence, 

In  case b), 

ations and it i

The numeric

th settings a) 

wo cases, but

er analysis. 

Among all t

  the  frequen

encies  are  pl

ement  betwee

rch as well as 

 

and model

ped model, b

pressure evol

s over the me

uming negligib

uming steady 

it  is  obvious

0. 

the mean  flo

s assumed th

cal value give

and b), rema

t may be easil

he informatio

ncy  of  the  ac

lotted,  for  bo

en  the  result

the theory ba

l checking

by  adjusting  t

ution along th

ean flow (ū): 

ble mean flow

and one‐dime

s  that  neglect

ow,  regarded 

at ū=0.1· , s

n to the rest o

ain as summar

ly modified in

on that this m

coustic  excita

oth  cases  a)

ts  derived  fro

ased on plane

Fig. 3 Simul

he  customiza

he pipe in two

w (ū=0) 

ensional mea

ting  the mea

as  steady an

o the mean fl

of geometrica

rized in Table

n Matlab’s Co

model can pro

ation  is  varie

and  b),  in  o

om  this  num

e wave descrip

link block diagram

able  value of 

o different ca

n flow. 

an  flow  impli

d one‐dimens

ow Mach num

al and flow pa

e 1. These are 

mmand Wind

vide, the evo

ed  and  the  m

order  to  carry

erical model 

ption [32]. 

m of the model

some of  its p

ses or circum

es  that  ū = 0

sional,  is now

mber is

rameters of t

logical values

dow to fit use

lution of the 

main  mode  s

y  out  a  doub

and  the  pre

parameters,  c

mstances, depe

0,  and,  as  a 

w  considered 

.

0

the model, co

s useful to co

er’s requireme

pressure amp

shapes  at  res

ble  checking 

evious  experim

11 

can be 

ending 

direct 

in  the 

.1. 

mmon 

mpare 

ents  in 

plitude 

sonant 

of  the 

mental 

12 

 

First checking: Pressure amplitude behaviour around resonance 

 If we let λ denote the wave length and L has been previously defined as the total length of the 

tube, the acoustic system is in resonance when L is a multiple of half the wavelength, λ/2. That is: 

↔ 2; ∀ 4.9  

As a result of this, if , resonant frequencies are those that fulfill the following condition: 

↔ ; ∀ 4.10  

For  example,  the  first  resonant  frequency  (n = 1),  also  known  as  first  mode  frequency  or 

fundamental frequency, is  and the second resonant frequency (n=2) is

. 

In order  to  illustrate  the specific behaviour of  the pressure’s amplitude around  resonance,  the 

graphs plotting  the  results  of  this  initial  study  represent  the  factor  n  [‐]  from  equation  (4.9)  on  the 

horizontal axis and pressure amplitude [Pa] on the vertical axis. 

Not only  two different  settings are  simulated, without mean  flow  (Fig. 4) and with mean  flow 

(Fig. 5), but  in each of these cases the results are calculated  for two different values of the reflection 

coefficients Ru and Rd. As detailed in Table 1, the model is simulated and plotted for Ru = Rd = ‐0.98 and 

Ru  = Rd  =  ‐0.95.  These  values,  especially  the  second  one,  are  slightly  less  (in  magnitude)  than  the 

theoretical  value  of  ‐1  for  an  open  end  [32].  Through  this  assumption,  the  numerical  model  is 

considering the acoustic energy loss that occurs at both ends of the tube. The lower (in magnitude) the 

reflection coefficient is, a greater loss of energy is assumed. 

Graphs presented below confirm  the expected  results:  the plotting of pressure amplitude as a 

function of frequency presents peak values around resonance (i.e. when index n is an integer; vid. 4.10), 

regardless the presence or the absence of mean flow. However, whereas these peaks exactly coincide 

with  resonant  frequencies when no mean  flow  is  considered  (Fig. 4[a,b]),  they appear  slightly before 

resonance in both regions of the tube in the second case (Fig. 5[a,b]) due to the interaction between the 

unsteady volume injected and the mean flow.  

At  the  same  time,  it  can  be  observed  that  the  amplitude’s  peak  values  are  lower when  the 

reflection coefficients are lower (in magnitude) (Fig. 4[a] and Fig. 5[a]), and higher when these are closer 

to the theoretical value of ‐1 for an open end (Fig. 4[b] and Fig 5[b]). The explanation is simple: as the 

reflection  coefficients approach  to  their  ideal value,  the  loss of energy at open ends  is  reduced and, 

consequently, the amplitude of pressure fluctuations remains higher. 

Finally,  it can be observed  that  in  the  four  figures,  the peak of amplitude  for  the  first mode  is 

higher in Region2. However, this tendency changes in the third peak thanks to the damping properties 

derived from the length of each region. 

13 

 

Fig. 4[a,b] Pressure amplitude response to variation of excitation frequency without mean flow

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6x 10

5

n (L=n*/2) [ ]

Am

plitu

de [

Pa]

[ Ru = Rd = -0.95 ] p1

p2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

5

10

15x 10

5

n (L=n*/2) [ ]

Am

pltiu

de [

Pa]

[ Ru = Rd = -0.98 ] p1

p2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6x 10

5

n (L=n*/2) [ ]

Am

plitu

de [

Pa]

[ Ru = Rd = -0.95 ]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

5

10

15x 10

5

n (L=n*/2) [ ]

Am

plitu

de [

Pa]

[ Ru = Rd = -0.98 ]

Fig. 5[a,b] Pressure amplitude response to variation of excitation frequency with mean flow ( = 0.1)

The matching between the theoretical results and those obtained from the developed model  in 

the  time domain  constitutes  a  solid  validation  for  this  first numerical development  and  its  graphical 

implementation with Simulink (Fig. 3). 

 

14 

 

(a) Without mean flow (b) With mean flow

Fig. 6 Mode shapes of pressure amplitude for the first three resonant frequencies (n = 1, 2, 3) with Ru = Rd = -0.98.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2x 10

6

x [m]

Am

plitu

de [P

a]

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2x 10

6

x [m]

Am

plitu

de [P

a]

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2x 10

6

x [m]

Am

plitu

de [P

a]

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2x 10

6

x [m]

Am

plitu

de [P

a]

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2x 10

6

x [m]

Am

plitu

de [P

a]

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2x 10

6

x [m]

Am

plitu

de [P

a]

n = 1  n = 1 

n = 2  n = 2 

n = 3  n = 3 

Second checking: Mode shapes of the resonant frequencies 

The second validation consists of plotting the pressure amplitude along the horizontal axis, from 

the upstream end at x= ‐xu to the downstream end at x=xd, for the first three resonant frequencies 

(ni=i1,i2,i3)  in  order  to  check  the  agreement  between  the  information  this model  provides  and  the 

theoretical mode shapes at this frequencies. 

Analysing  the  figures below,  it  can  rapidly be  affirmed  that  the mode  shapes perfectly  fit  the 

theory regarding standing waves in air columns in an open ended tube. Precisely, given that the pipe is 

open at both ends, the pressure at the ends would theoretically have to be atmospheric, p(t)=0,for 

any resonant frequency [32].However, as reflection coefficients are assumed to present values slightly 

lower  in magnitude  than  the  theoretical  values  of  1,  as  possible  energy  losses  across  pipe  ends  are 

considered, pressure nodes (i.e. points of zero amplitude) suffer a slight shift from their  ideal position 

outwards the pipe (Fig. 6). 

15 

 

Furthermore, acoustics theory raise that pressure nodes do not only occur at the extremes of an 

open ended tube, but at every position of x where: 

2 ; ∀ 4.11  

(q  is  a multiplying  factor  and  n  is  the mode  number).  At  the  same  time,  an  antinode  of  pressure, 

corresponding to a point of maximum pressure, is due to appear at every position of x where: 

2 14

2 12; ∀ 4.12  

Remembering that   for a system in resonance, conditions (4.11) and (4.12) clearly match 

with the pressure amplitude behaviour shown in Fig. 6 for the first three (n=1,2,3) resonant frequencies.  

It must be pointed out  that, although  it cannot be easily appreciated  in  the presented  figures, 

pressure  amplitude  at pressure nodes  all  along  the  tube  is not  exactly  zero.  The  explanation of  this 

phenomenon  is  based  on  the  energy  losses which  had  been  previously mentioned when  discussing 

about the pressure nodes at the extremes of the pipe. 

To sum up, the analysis of mode shapes appears to corroborate the validity of this model, as 

the agreement between the physical behaviour of the pressure amplitude, the theory of acoustics and 

the results plotted is satisfactory. 

 

5. MODEL COMBUSTOR 

5.1. General description of the model and reason for modelling 

The next step  in our way to model combustion  instabilities  lies  in developing a Simulink model 

which  includes  a  source  of  unsteady  heat  release.  To  be  precise,  the  following  system  consists  of  a 

horizontal tube without mean flow, open at both ends, with a heat source contained in its left half and a 

loudspeaker  in  its upstream end which applies a white noise  input to get the system started. Figure 7 

shows a schematic diagram of the geometry and devices included. 

The analysis that follows transfers to the time domain the one that was firstly conceived  in the 

Laplace domain by Evesque [33], aiming to find the open‐loop transfer function from the  loudspeaker 

input to the sensor pressure in the absence of a control heat input. This study in the Laplace domain was 

later expanded by Dowling and Morgans, so their corresponding paper [4]  is taken as reference  in this 

project. 

 This  modelling  approach  offers  a  graphical  interface  to  identify  the  stability  regions  of  the 

uncontrolled system  in a specific setting. At  the same  time,  it constitutes  the base model  for which a 

fixed‐parameter controller will be designed in the next step of the current project (vid. Section 6). 

16 

 

L1 t R2 t

R1 t L2 t

0u d

HeatreleaseQ’ t

Pref Pressuresensor

Region1 Region2

Loudspeakerinput Vc whitenoise

Fig. 7 Diagram of the combustor model

5.2. Description of the numerical model 

Following the assumptions specified in Section 3, equations of conservation of mass, momentum 

and energy across the flame at x=0 can be written in the form [28]: 

5.1  

5.2  

12

12

5.3  

We firstly seek to obtain a matrix equation that relates the upstream and downstream acoustic 

waves  to  the  instantaneous  rate  of  heat  release, Q(t),  and  the  loudspeaker  signal,  i(t).  This  can  be 

achieved by combining  (5.1),  (5.2),  (5.3) and  the perfect gas equation, and making use of  the specific 

boundary conditions for this setting. 

The first equation needed is obtained directly from substitution of (5.1) intro (5.2), giving: 

0 5.4  

To obtain the second equation, the left‐hand side of the energy equation (5.3) is expanded in the 

form: 

12

12

5.5  

Use of the perfect gas equation   to rewrite Tρ as p/R  (where R  is the gas constant) 

and substitution of (5.1) into (5.5) simplify the previous expression to: 

12

12

5.6  

Recalling the relationships between specific heat capacities, Cpand Cv, and their ratio, γ, we have: 

1 5.7  

 

 

 

 

 

17 

 

By introducing this equivalence into (5.6), the second equation of the matrix system is obtained: 

112

5.8  

where Q is the  instantaneous rate of heat release, γ is the ratio of specific heat capacities and Acomb  is 

the combustor cross‐sectional area. 

Once these two equations, (5.4) and (5.8), are deduced, substituting their flow variables (p1,p2,

u1, u2)  for  their  expressions,  detailed  in  (3.4a,b)  and  (3.5a,b),  assuming ,making  use  of  the 

isentropic  condition / )  and  the  corresponding  boundary  conditions  and  linearizing  in  the 

flow perturbations give a matrix system which expresses the time evolution of the outgoing waves L1(t) 

and R2(t)generated by the unsteady heat releaseQ(t) (Q(t)=Q’(t),as 0and, then, 0).

However,  it  is  necessary  to  highlight  that,  since  the mean  flow  is  negligible  and  due  to  the 

presence  of  the  loudspeaker  output,  reflected  waves  R1(t)  and  L2(t) may  be  here  expressed  as  a 

function of L1(t), R2(t)and the loudspeaker signal,i(t), using the boundary conditions as follows: 

5.9  

5.9  

where i(t) is the white noise injected by the loudspeaker at x=‐xu and  2 /   and  2 /  are, 

respectively, the upstream and downstream propagation time delays in the absence of mean flow. 

Ultimately, the resulting matrix expression of the model shows that: 

1 111

11

1 1

0′

111

5.10  

Similarly to McManus’ formulation for unsteady heat release, known as the (n‐τ) model [5], heat 

release  is expressed as a function of the fluid velocity  just upstream the combustion zone (u1(x=0‐,t)). 

Specifically,  Dowling  and Morgans  [4]  use  the  following  expression  in  the  Laplace  domain  for  the 

instantaneous rate of heat release per unit area, q: 

5.11  

where H(s) is the flame transfer function. If we transfer this expression to the time domain and develop 

the velocity term as a function of the waves in Region1 by using the expression (3.4b), then: 

′

1

5.11  

Application of the upstream boundary condition (5.9a) gives: 

′

5.12  

18 

 

At his point, substitution of (5.12) intro (5.10) and grouping of terms, leads to: 

1 111

11  

1 11 1

01

1 11

5.13  

If we then isolate the time evolution of the outgoing waves L1(t) and R2(t),we have: 

12

1 22 1 0

 

12

1 11

12

12 1

5.14  

Finally, having solved the matrix equation, the expressions for the time evolution of the outgoing 

waves L1(t) and R2(t) as a function of the instantaneousrateofheatrelease expressedthroughH t ) 

and the acoustic loudspeaker signal, i(t), are obtained: 

12

1 2 1 1

 

5.15  

12

2 1 1 2 1

 

5.15  

However,  the ultimate aim of  the model  is  to  relate pressure measured at  the  sensor  located 

downstream, at x=xref, with the loudspeaker input, Vc(t).  

The  first  step  to  reach  this  relationship  is  describing  the  loudspeaker  dynamics  through  its 

transfer function in the Laplace domain, Wac(s):  

5.16  

where  i(s)  is  the  loudspeaker  output  or  signal  and  Vc(s)  is  the  loudspeaker  white  noise  input. 

Nevertheless, the  loudspeaker dynamics  is assumed to be flat over the  low frequencies of  interest [4], 

consequently, Wac(s) ≈ constant, both in the Laplace and the time domain.  

In parallel, once more, Dowling and Morgan’s work  [4]  is  followed when  it comes  to choose a 

specific flame model, H(s): the simplest type, based on a time‐lag concept, is assumed.  

∝ 5.17  

19 

 

The inclusion of these two last considerations into expressions (5.15a) and (5.15b) results in the 

definite expressions of the outgoing waves, L1(t)and R2(t), in the time domain: 

12

1 2 1 1

 

5.18  

12

2 1 1 2

1

5.18  

 

5.3. Pressure modelling 

The last step before drawing the block diagram of this model consists of deducing the expression 

of Pref, the pressure measured at the sensor located at x=xref, as a function of the travelling waves. This 

is obtained by substituting this specific location into equation (3.5a) assuming negligible mean flow:   

,

5.19  

Application of the downstream boundary condition (3.7b) leads to: 

,

5.20  

where  2 / since  negligible mean  flow  is  assumed.  So,  in  the  end, we  get  to  the  equivalent 

expression of sensor pressure as the one previously achieved by Dowling and Morgans [4], but placed in 

the time domain: 

,

2

5.21  

When connecting expressions (5.18a) and (5.18b) with (5.21), enough information is provided to 

draw  a  Simulink block diagram of  the model described, which  relates  the pressure measured  at  the 

sensor, Pref, with the loudspeaker input, Vc(t). 

 However,  before  designing  the  final  graphical  model,  one  last  improvement  should  be 

introduced: Dowling & Morgans’ analysis in the Laplace domain of this model shows that the stability of 

the model strongly depends on the value of the flame model time delay,  (5.17); in order to check that 

our Simulink model presents the same behaviour (Section 5.4), this time delay is normalized in the same 

way it is done in the reference study [4], so the results obtained with our design in the time domain can 

be  easily  compared  to  the  ones  presented  by  Dowling  and  Morgans.  As  a  result  of  this,  blocks 

corresponding to the flame model time delay are implemented as follows: 

5.22  

 

where

tube l

stabil

comb

an eq

more 

5

betwe

by Eve

menti

graph

micro

Trans

e ω0  is the th

length (vid. 4.

ity map of the

Taking  into 

ustor with un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Appendix B 

uivalent mod

aesthetic view

 

5.4. Results 

The  checkin

een the result

esque [33] an

ioned, their p

Essentially, 

hical equivalen

ophone pressu

ferring it to th

heoretical first

.10) and k is t

e model. 

account  all  t

nsteady heat r

includes a lar

el structured 

w of the grap

and model

ng  of  the  dev

ts derived fro

nd later studie

aper is used a

our model  (

nce  to  the op

ure, Pref, pres

he notation us

Fig. 8 Simul

t mode frequ

the normalizin

these  conside

elease and wi

rger view of th

in subsystem

hical model p

l checking

veloped  Simu

m our model 

ed in depth by

as main refere

Fig.  8),  based

pen‐loop  trans

sented  in  sect

sed in our mo

link block diagram

ency (n = 1) 

ng parameter

erations,  this 

ithout mean f

he Simulink b

ms that mask s

resented abo

ulink model  (

 and the resu

y Dowling and

ence to assure

d  on  a  nume

sfer  function,

tion 2.2.1 of 

odel, G(s)wou

1

m of the model

corresponding

r used in the f

is  the  Simul

flow (Fig. 8):

lock diagram,

maller subdiv

ve. 

Fig.  9)  basica

ults derived fr

d Morgans [4

e the validity o

erical  develop

, G(s),  from  t

Dowling and 

uld have the fo

g to a wavele

following sect

ink  block  diag

whereas App

visions of the d

ally  arises  fro

om the analy

]. Therefore, 

of our model. 

pment  in  the 

he  loudspeak

Morgans’  rep

ollowing form

1 1

ength of doub

tion to illustra

gram  of  the 

pendix C repro

diagram and 

om  the  comp

ysis firstly pres

as it was prev

time  domain

ker  input, Vc, 

port of  their 

m: 

20 

ble the 

ate the 

model 

oduces 

offer a 

parison 

sented 

viously 

n,  is  a 

to the 

study. 

5.23              

21 

 

where: 

Wac(s)is the loudspeaker transfer function: 

1 

H(s)is flame transfer function, assuming a flame model based on a time‐lag concept: 

∝  

J is the determinant of a matrix derived from the numerical development in the Laplace domain: 

1 1 1 1 1 11

 

Geometry and flow parameters defining our model are simulated assuming the same values that 

are  used  in  [4]  to  evaluate  the  open‐loop  transfer  function,  G(s),  so  the  results  derived  from  each 

method may be fairly compared. These parameters and their value are summarized in Table 2. 

Dowling and Morgans prove  in  their paper  that  the  stability of  the detailed  system, expressed 

through the transfer function G(s), depends strongly on the value of the flame model time delay,  . Our 

next aim is, therefore, to confirm that the stability of our Simulink system depends on this parameter in 

the same way. 

In  the  reference  paper,  each  mode  is  considered  to  be  caused  by  a  second‐order  transfer 

function with the form: 

∝2

5.24  

∝2

5.24  

where  is the system’s natural frequency and ξ is the system’s damping ratio. Consequently, at mode 

peaks, where  , we have: 

∝12 2

5.25  

Parameter Value

Effective length or the pipe, L, m 0.75

Axial distance from the heat release to the upstream end, xu, m 0.25

Axial distance from the heat release to the downstream end, xd, m 0.5

Axial distance from the heat release to the pressure sensor, xref, m 0.09

Reflection coefficient at upstream and downstream end, Ru and Rd, - -0.95

Loudspeaker transfer function, Wac(s), - 1

Ratio of specific heat capacities, γ, - 1.4

Mean speed of sound, , m·s-1 400

Table 2 Geometrical and flow parameters

22 

 

(a) k = 0 (b) k = 0.5

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-10

-5

0

5

10

Time [s]

Am

plitu

de [P

a]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-400

-200

0

200

400

Time [s]

Am

plitu

de [P

a]

Fig. 10 Time evolution of pressure measurements for two different values of the flame model time delay, τH = kΠ/ω0

This means that a positive ξ implies a phase decrease of 180° and, consequently, a stable mode; 

and a negative ξ results in a phase increase of 180° and, therefore, an unstable mode. As a result of this, 

we can deduce the stability of each mode analyzing the change of phase across the mode peaks in the 

Bode  plots:  a  phase  decrease  of  180°  indicates  a  stable  conjugate  pair  of  poles,  whereas  a  phase 

increase of 180° indicates an unstable conjugate pair [4]. 

If we do trace the Bode plots of G(jω), the open loop transfer function from Vc to Pref defined by 

Dowling and Morgans (vid. 5.22) for successive values of the flame model time delay,  , normalized as 

a  function of  the multiplying  factor k  (vid. 5.22) and analyze  the phase  change across  the  first mode 

peak, we obtain the following stability map:  

  

 

 

 

 

 

 

 

Using  the  Simulink  block  diagram  (Fig.  8), when  analyzing  the  time  evolution  of  the  pressure 

measurements  in  the pressure  sensor  for different values of  the heat‐release  time delay,  , we also 

face two different responses depending on the value of the normalizing factor k: a stable response or an 

unstable response. As an example, Figure 10a shows the stable response for k= 0 (which is unsurprising 

given that   = 0 means that there is no heat release and, by extension, no coupling mechanism to cause 

instability), whereas Figure 10b shows the unstable response for k= 0.5, where the coupling between 

acoustic waves and unsteady heat release is responsible for the occurrence of combustion instabilities.    

 

 

 

 

 

Stable 

Unstable 

Fig. 9 Stability regions of the first mode of G(s), presented by Dowling and Morgans in the Laplace domain, as a function of the heat-release time delay, τH.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

k = τHω0/Π

Stability of first mode of G(jω) with flame model time delay

23 

 

Stability of i first modes (n = 1‐i) with flame model time delay 

If we simulate (imposing an initially arbitrary maximum step size along each simulation of 10‐5 s.) 

and analyze the time response of the Simulink model for the same range of values for the parameter k

as in Figure 9, in order to classify them between unstable and stable following the criterion exemplified 

with Figures 10a and 10b, the following stability regions arise:  

 

 

 

 

 

 

 

 

It may be quickly observed that stability regions derived from Simulink simulations clearly differ 

from  the stability map presented  in Figure 9. However,  further  research  in  the  interpretation of each 

analysis  seems  to  indicate  that  this  difference  lies  in  the  fact  that  higher‐order  modes  are  not 

considered in the first case (Fig. 9). Taking this into account, following the steps that led to the stability 

map  for  the  first mode,  the  changes  of  phase  across  higher‐order mode  peaks  are  studied  and  the 

coupling, in terms of stability, of an increasing number of modes are captured in the following figure:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 1 

n = 1‐2 

n = 1‐4 

n = 1‐6 

n = 1‐8 

n = 1‐10 

Stable 

Unstable 

Fig. 12 Stability regions of the i first modes (n = 1…i) of G(s), as a function of the heat-release time delay, τH, obtained from Bode plot analysis

Stable 

Unstable 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

k = τHω0/Π

Stability map obtained with Simulink model (max step size = 10‐5 s)

Fig. 11 Stability regions of the time response of the Simulink model as a function of the heat-release time delay, τH. (imposing a maximum step size of 10-5 s. in the simulation)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

k = τHω0/Π

24 

 

Stable 

Unstable 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

k = τHω0/Π

Stability map obtained with Simulink model (max step size = 10‐4 s)

Fig. 14 Stability regions of the time response of the Simulink model as a function of the heat-release time delay, τH. (imposing a maximum step size of 10-4 s. in the simulation)

Considering the ten first modes, the stability regions which can be obtained analyzing the Bode 

plots  of  the  system’s  transfer  function, G(s)  (vid.  5.23),  presented  by Dowling  and Morgans  [4],  are 

nearly the same as the one resulting from the Simulink model simulations (Fig. 11).  Stability evolution in 

Figure 12  clearly  shows  that  the higher  the number of modes  considered  to draw  the  stability maps 

above is, the closer they will get to the one obtained through our Simulink model imposing a maximum 

step size of 10‐5 s. in the simulations. Our Simulink model is then a useful tool to study the system’s real 

behaviour over a determinate range of  frequencies of  interest. The range of  frequency considered by 

the model will depend on the maximum step size fixed, so this parameter must be carefully chosen. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Therefore, having permormed our simulations  in Simulink  imposing such a small maximum step 

size, 10‐5 s., a wide  range of  frequencies are captured  in  the  time  response and,  therefore, up  to  ten 

modes have to be considered to obtain a similar stability map through Bode plot analysis (Fig . 13). 

This statement is verified when observing how the stability map provided by our Simulink model 

changes if we impose a significantly wider maximum step size: 10‐4 s.  

 

 

 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

k = τHω0/Π

Stable 

Unstable 

(a) 

(b) 

Comparison of stability maps (I)

Fig. 13 (a) Stability regions of the ten first modes (n=1-10) of G(s) obtained from Bode plot analysis (b) Stability regions of the time response of the Simulink model (maximum step size of 10-5 s.)

25 

 

Figure 14 shows that, after changing the maximum step size of the simulation, the new stability 

map obtained by Simulink presents similar  stability  regions  to  the one  included  in Figure 12  in which 

only the first six modes were considered (n= 1‐6). These two stability maps are reproduced below for 

easier comparison (Fig. 15): 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Therefore, by running the simulation with wider step sizes, higher order modes are well cut‐off. 

As  a  result  of  this,  this  tool may  be  used  as  a  “trial‐and‐error”  low‐pass  filter.  Considering  this,  the 

selection of the maximum step size of the simulations  is a powerful tool that  lets the user restrict his 

acoustic  study  to  a  determinate  range  of  frequency.  In  the  study  of  combustion  oscillations,  the 

attention is focused on the low frequencies at which some of the most damaging instabilities occur, so 

the second option, a maximum step size of 10‐4 s., appears to be an adequate choice. This hypothesis 

will be further discussed in Section 6 when conceiving the feedback control. 

At this point, although a clear agreement between the results included in Dowling and Morgans’ 

paper and the results derived from our Simulink model has been proved, this is yet restricted to stability 

regions. Therefore, a deeper checking strategy is performed to ensure total agreement. 

To run this ultimate checking, a prior change has to be made  in our Simulink model: the white 

noise input is substituted by a sine wave block, so the loudspeaker becomes harmonically forced and, as 

a  result of  this, both  the  input  and output waves of  the  system  are  sinusoidal.  Thanks  to  this  slight 

modification,  gain  and  phase  shift  can  be measured  at  any  given  frequency  for  a  specific  value  of 

parameter  k  (used  as  a  normalization  of  the  heat  release  time  delay,  ;  vid.  5.22). Obviously,  this 

methodology is restricted to those values of k that stabilize our system, as gain and phase shift can only 

be measured in the temporal response when this response is stable. 

Having repeated this procedure for a range of “spot check” frequencies and different values of 

parameter k, results are scattered on the Bode diagrams that arise from the Laplace analysis, described 

in equation (5.23) by Dowling and Morgans [4], for each specific value of parameter k.  

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

k = τHω0/Π

Stable 

Unstable 

(a) 

(b) 

Comparison of stability maps (II)

Fig. 15 (a) Stability regions of the four first modes (n=1-6) of G(s) obtained from Bode plot analysis

(b) Stability regions of the time response of the Simulink model (maximum step size of 10-4 s.)

26 

 

It was  above  demonstrated  (Fig.  11),  that  Simulink model’s  response  is  only  stable  for  k =  0 

(without heat release) and for k= 2 (when a maximum step size of 10‐5 s if fixed). So, using these values, 

the previously detailed checking method leads to the following diagrams: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

The  matching  between  the  Bode  plots  and  the  scattered  points,  both  for  gain  and  phase, 

obtained with our Simulink model with k=0 and k=2 appears to be total.   

Fig. 16 Gain and phase shift checking for k = 0 (maximum step size = 10-5 s.)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

-20

0

20

40Gain and phase shift checking (k=0)

Gai

n [d

B]

[rad/s]

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

-1000

-500

0

Pha

se [d

eg]

[rad/s]

Dowling & Morgans

Simulink Model

Fig. 17 Gain and phase shift checking for k = 2 (maximum step size = 10-5 s.)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

-20

0

20

40Gain and phase shift checking (k=2)

Gai

n [d

B]

[rad/s]

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

-1000

-500

0

Pha

se [d

eg]

[rad/s]

Dowling & Morgans

Simulink model

27 

 

However, in order to go a step further, not only checking the validity of the Simulink model, but 

also the explanation given to Figure 15, the graphs are now plotted for k= 1.3 and k= 3.3, values that 

also lead to a stable response in the time domain when the maximum step size imposed is 10‐4 s. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Once more, plots  show  the  expected matching between  the  two methods.  In  conclusion,  the 

reliability  of  the  developed  Simulink model  (Fig.  8)  that  relates  the  pressure measured  at  a  given 

downstream  location, Pref,  to  the white noise  loudspeaker  input, Vc,  in presence of heat  release and 

without mean flow is ensured.  

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

-20

0

20

40Open Loop Transfer Function (k=1.3)

Gai

n [d

B]

[rad/s]

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

-1000

-500

0

Pha

se [d

eg]

[rad/s]

Dowling & Morgans

Simulink model

Fig. 18 Gain and phase shift checking for k = 1.3 (maximum step size = 10-4 s.)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

-20

0

20

40Open Loop Transfer Function (k=3.3)

Gai

n [d

B]

[rad/s]

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

-1000

-500

0

Pha

se [d

eg]

[rad/s]

Dowling & Morgans

Simulink Model

Fig. 19 Gain and phase shift checking for k = 3.3 (maximum step size = 10-4 s.)

28 

 

6.  PRACTICAL APPROACH TO FEEDBACK CONTROL  

Feedback  control,  also  known  as  closed‐loop  control,  involves  modifying  some  input  to  an 

unstable combustion system (using a controller and an actuator) in response to an output measurement 

(obtained  using  a  sensor).  To  be  precise,  feedback  control  seeks  to  design  the  control  relationship 

between  the  sensor  signal  and  the  actuator  signal  such  that  the  closed  loop  comprising  combustion 

system, the sensor, the controller and the actuator is stable.  

Figure 20 shows the feedback layout for a typical combustion system. A sensor measures a time‐

varying output from the combustor, S(t), and feeds it to a controller. This controller produces a signal, 

V(t), and this signal drives an actuator to produce a time‐varying input to the combustion system, A(t). 

As specified above, the aim of controller design is to choose the relationship between the sensor signal, 

S(t), and the actuator signal, A(t), that stabilizes the entire closed‐loop combustion system [4]. 

 

 

 

 

 

 

The  choice  of  sensor  and  actuator  is  one  of  the  most  delicate  points  when  implementing 

feedback control on practical combustion systems. In spite of this, another main complexity of controller 

design for such applications basically  lies  in the  large number of features which have to be taken  into 

account simultaneously [8, 34]. 

In  2005,  Dowling  and Morgans  reviewed  and  summarized  all  the  systematic  approaches  to 

controller  design  that  had  been  applied  to  combustion  instabilities  to  date  [4].  Schuermans  had 

presented a similar table in 2003 which also included developments in open‐loop control [35].  

 

6.1. Fixed‐parameter control applied to the combustor modelled with Simulink 

6.1.1. Controller design in Laplace domain 

As  a  first  stage, previous  to much more  complex  systematic  controller design  techniques,  the 

objective of this section is to design a fixed‐parameter controller for the combustor which was modelled 

with Simulink in Section 5 (Fig. 8) and implement it adding the feedback control for a given configuration 

of this model in the time domain. 

Combustionsystem 

Sensor 

Actuator  Controller 

ControllersignalV(t)

SensorsignalS(t)

ActuatorsignalA(t)

+ 

‐ 

Fig. 20 Generic arrangement for feedback control of combustion oscillations

29 

 

Fig. 21 Structure of the negative feedback closed-loop control system

G(s)+ 

‐ 

K(s)

2000 4000 6000 8000 10000 12000-40

-20

0

20

Gai

n in

dB

2000 4000 6000 8000 10000 12000-1000

-500

0

Pha

se in

deg

rees

in rad/s

Because the modelled system is single‐input single‐output (SISO), it is possible to design a robust 

controller using straightforward Nyquist and Bode criterions [4]. Once the controller has been designed 

in  the Laplace domain,  it will be added  to the Simulink model, which operates  in  the  time domain,  in 

order to check its effectiveness to interrupt combustion instabilities. 

Once more, the open‐loop transfer function (OLTF) of interest, G(s), is the transfer function from 

the  loudspeaker  input, Vc,  to  the pressure measurement, Pref. We now  seek  to conceive a controller, 

K(s), such that the closed‐loop system illustrated in Figure 21 is stable. 

 

 

 

 

 

The first step consists of the selection of the specific setting of the model for which the controller 

will be designed. Geometry and flow parameters keep the same values that were used in Section 5 and 

summarized  in  Table  2.  Choosing  a  specific  heat‐release  time  delay,  ,  is,  however,  much  more 

challenging because the controller design analysis that  follows  is valid  for systems which present only 

one unstable mode over the low frequencies of interest. 

Taking  this  into  account,  Bode  plots  of  G(jω)  are  drawn  for  a  wide  range  of  values  of  the 

parameter k,  taken  as  the  previously  detailed  normalization  of  the  flame model  time  delay,  τH  (vid.  

5.22). Considering the phase change across the resonant peaks of G(jω), system’s behaviour for k = 0.5 

seems to be susceptible of stabilization using the fixed‐parameter control technique, because only the 

first mode  (n  =  1)  is  unstable  over  low  frequencies  and  this  instability  corresponds  to  an  unstable 

conjugate pair of poles (Fig. 22; the blue line remarks the phase change across the first resonant peak). 

 

 

 

 

 

 

Fig. 22 Bode plot of the open-loop transfer function of G(jω) for k = 0.5

30 

 

The Nyquist Stability Criterion [36] can be expressed as 

Z = N + P 

where  Z  = number of zeros of 1+K(s)G(s) in the right‐half s plane 

    N = number of clockwise encirclements of the ‐1+j0 point 

    P = number of poles of K(s)G(s) in the right‐half s plane 

Our modelled system with k = 0.5 has two open‐loop unstable poles over the low frequencies of 

interest, which means K(s)G(s) presents two poles in the right‐half s plane and, consequently, P = 2.   

As a result of this, for a stable control system, we must have Z = 0, or N = ‐P, therefore we must 

have P anticlockwise encirclements of ‐1point. In other words, the Nyquist plot for K(jω)G(jω) needs to 

encircle the ‐1 point in an anticlockwise direction twice in order to obtain a stable closed‐loop system. 

Before drawing the Nyquist plot, however, a remark on the stability of higher‐order modes must 

be made: despite Figure 22 clearly shows that in our model only the first mode (n = 1) is unstable over 

the  low frequencies of  interest, the eleventh mode (n = 11), whose frequency (ω11 = 11Π /L rad∙s‐1)  is 

assumed to be out of the range of interest, is again unstable and could distort the time response. 

Considering this, a second‐order low‐pass filter, Gf(s), is added to the open‐loop transfer function 

of our system, G(s), so it attenuates high frequencies and the Nyquist plot for Gf(jω)G(jω)is restricted 

to the low frequencies of interest, thus highlighting the first mode (n = 1) which causes the instability.  

A generic second‐order low‐pass filter, Gf(s), has the following structure: 

2 6.1  

where   = natural frequency of the system 

    ξ = damping ration (0 < ξ < 1) 

     = gain of the low‐pass filter 

Because we want the filter to attenuate the frequency response  just above the unstable mode, 

which from the Bode plot in Figure 22 is at a frequency of ω = 1675 rad∙s‐1, a good choice of value for 

the low‐pass filter’s natural frequency is   = 2000 rad∙s‐1. The importance of the damping ratio’s exact 

value is lower, so an arbitrary but realistic value of ξ = 0.5 is chosen. Finally, a unity gain is fixed for the 

filter,  Kf  =  1,  because  it  is  thought  that  if  the  filter  does  not modify  the  response magnitude,  the 

influence of the controller, K(s), will be later easier to understand and interpret. 

After adding the filter, the Nyquist plot for Gf(jω)G(jω) is shown in Figure 23. The anticlockwise 

loops  correspond  to  the  unstable  mode,  for  positive  and  negative  frequencies,  respectively.  By 

considering the unit circle plotted over the Nyquist diagram, it is clear that there are no encirclements of 

the ‐1+j0 point. To achieve these two anticlockwise encirclements, the controller K(s) has to introduce 

additional phase lag near the frequency of the unstable mode. 

31 

 

-20

-15

-10

-5

Mag

nitu

de (

dB)

101

102

103

104

105

140

160

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram of a phase-lag compensator

Frequency (rad/sec)

Diagram of a phase‐lag compensator

ω [rad/s] 

Phase [deg] 

Gain [dB] 

Fig. 24 Bode diagram of a generic phase-lag compensator

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

By analyzing the figure above, an interesting choice of controller structure to achieve this phase 

lag is that of a phase‐lag compensator with the following form: 

1 6.2  

The  value  of  the  compensator’s  should  be  such  that  the  maximum  lag  provided  by  the 

compensator  appears  close  to  the  location  of  the  unstable  mode  we  seek  to  stabilize,  which,  as 

previously detailed, is at a frequency of ω = 1675 rad∙s‐1 (Fig. 22). 

The corner frequencies of the phase lag compensator described in (6.2) are at ω=aand  ω=βa

rad·s‐1, so the maximum phase lag occurs at an approximate frequency of   rad·s‐1 [4, 36] (Fig. 24).  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2 0 2 4 6 8 10 12-6

-4

-2

0

2

4

6

Nyquist plot for Gf(j)G(j)

Real part

Imag

inar

y P

art

Fig. 23 Nyquist diagram of the OLTF from the loudspeaker input to the filtered pressure (── Gf(jω) G(jω) for positive ω, --- Gf(jω) G(jω) for positive ω, ── unit circle)

32 

 

The exact choice of values for the controller’s parameters responds to the compromise between 

maximising the phase and gain margins. Thus, having calculated the phase margin and the gain margin 

through Nyquist diagram analysis for several different combinations of a and β that satisfy the condition 

 ≈ 1675 rad∙s‐1, the finally selected values for the controller are a = 853.91 and β = 3.85. The value 

of  Kc  is  then  chosen  to  be  ‐0.1  to  achieve  the  two  required  encirclements  of  the  ‐1 point  and  a 

sufficiently wide gain margin. 

Considering these values, the ultimate transfer function of the phase lag compensator, K(s), is: 

0.1 3.85 853.91853.91

0.1 328.76853.91

6.3  

The resulting Nyquist plot for K(jω)Gf(jω)G(jω) is shown in Figure 25.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

As the Nyquist Stability Criterion required (vid. 6.1), there are two anticlockwise encirclements of 

the ‐1 +j0 point. The gain margin is 4.47 dB and the phase margin is 21.5°; consequently, the closed‐loop 

system should be stable once the controller is implemented and, considering the value of these margins, 

the controlled system should be robust to slight plant uncertainties or changes. 

 

 

Fig. 25 Nyquist diagram of the controlled system with two anticlockwise encirclements of-1 point (── Gf(jω) G(jω) for positive ω, --- Gf(jω) G(jω) for positive ω, ── unit circle)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Nyquist plot for K(j)Gf(j)G(j)

Real part

Imag

inar

y pa

rt

 

design

a nega

Simul

obtain

system

for k 

highe

to  an

intere

(highe

of inte

6.1.2. Pract

Once  the  c

ned using Nyq

ative feedbac

If we  imple

ink model  (Fi

ned (Fig. 26). 

However,  b

m for a given 

= 0.5), as  it h

r‐order mode

alyse  the Nyq

est and  the o

er‐order unsta

erest), this filt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig

tical impleme

ontroller  aim

quist and Bod

ck loop and an

ment  the pha

ig. 8),  the ult

Larger views o

before  simula

flame model 

happened whe

es needs to be

quist diagram

nly unstable 

able modes   t

tering will be 

g. 26 Simulink b

entation of the

med  to  stabiliz

e techniques,

nalyse its robu

ase  lag compe

imate graphic

of the model 

ting  this  syst

time delay, 

en this contro

e made. If in 

m  (Fig. 23)  so 

mode  (n = 1)

the first one a

here achieved

block diagram of t

e designed co

ze  the  Simul

 the final step

ustness to slig

ensator as  th

cal block diag

can be found 

tem  to  prove

 (normalized

oller was desi

the controlle

that  the  ana

) over  this  ra

at n = 11  , we

d by fixing a s

the controlled sys

ontroller into 

ink model  de

p consists of im

ht changes in 

he  transfer  fu

gram  for  the 

in Appendice

e  the  compe

d through para

igned, a ment

r design we h

alysis was  foc

nge of  freque

re filtered bec

pecific maxim

stem

the Simulink 

eveloped  in  S

mplementing 

the heat rele

nction specifi

closed‐loop c

es D and E. 

nsator’s  pow

ameter k; in t

tion regarding

had to introdu

cused on  the 

ency was high

cause they we

mum step size 

model 

Section  5  has

it into the mo

ease time dela

ied  in  (6.3)  in

controlled sys

wer  to  stabiliz

the current an

g the eliminat

uce a low‐pas

low  frequenc

hlighted  in  th

ere out of the

in the simulat

33 

s  been 

odel as 

ay,  . 

nto  the 

stem  is 

ze  the 

nalysis, 

tion of 

s filter 

cies of 

he plot 

e range 

tions. 

34 

 

In Section 5, we  traced  the stability maps of our model combustor derived  from  two different 

configurations of the simulations: the first one  imposing a maximum step size of 10‐5 s and the second 

one  limiting  this  simulation  parameter  to  10‐4  s. As  it was  then  explained,  the  first  setting provided 

similar results to ones obtained through Bode plot analysis when the ten first modes were considered, 

whereas  the  second  setting  led  to  a  stability  map  really  close  to  the  one  which  could  be  traced 

considering only the first six modes. 

Because we  now  need  to  restrict  our  analysis  to  low  frequencies,  so  that we  face  a  system 

arrangement  with  just  one  unstable  mode  over  the  frequencies  of  study  and,  thus,  higher‐order 

unstable modes have to be well cut‐off, we will perform the following simulations aimed to check the 

validity of the designed controller fixing a maximum step size of 10‐4 s. In order words, we are using this 

parameter  setting  as  a  “trial‐and‐error”  low‐pass  filter  to  make  sure  that  out‐of‐interest  high 

frequencies do not affect  the  time  response of  the system, an application which had been previously 

suggested in Section 5.  

Having  done  this  remark,  the  Simulink  model  is  simulated  without  and  with  the  negative 

feedback  loop  so  the pressure  time  response  at  x= xref  for  the  same  settings,  specially  the  value of 

factor k (k = 0.5), can be compared with the control OFF and ON, respectively (Fig. 27). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Fig. 27 Comparison between pressure measurements with control OFF and ON, respectively

Pressure measurement with control OFF

Pressure measurement with control ON

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-400

-200

0

200

400

Time [s]

Pre

ssur

e [P

a]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-5

0

5

Time [s]

Pre

ssur

e [P

a]A

mpl

itude

[Pa]

A

mpl

itude

[Pa]

35 

 

6.1.3. Analysis of control robustness 

The  last step of the  implementation of feedback control to the modelled combustor focuses on 

assessing the robustness of the designed controller when the system faces slight changes  in the flame 

model time delay,  . The aim of this analysis is to determine a margin of the parameter k for which the 

first frequency mode and, consequently, the whole system, remain stable without modifying the values 

of the compensator K(s). Knowing that  / , the study simply consists of analyzing the pressure 

time response of the system under varying values of the k, starting for the central value k = 0.5 for which 

the controller has been specifically designed, and classify it between stable or unstable for each case. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

0

1x 10

42

Pre

ssur

e [P

a]

-10

0

10

Pre

ssur

e [P

a]

-10

0

10

Pre

ssur

e [P

a]

-10

0

10

Pre

ssur

e [P

a]

-20

0

20

Pre

ssur

e [P

a]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

0

2x 10

14

Time [s]

Pre

ssur

e [P

a]

k= 0.39 

k= 0.40 

k= 0.45 

k= 0.50 

k= 0.52 

k= 0.53 

Fig. 28 Pressure time response under varying values of k (normalization of heat-release time delay)

Am

plitu

de [P

a]

Am

plitu

de [P

a]

Am

plitu

de [P

a]

Am

plitu

de [P

a]

Am

plitu

de [P

a]

Am

plitu

de [P

a]

Time [s]

36 

 

By observing Figure 28,  it  is easy  to deduce  the  interval of k around  the  face value k = 0.5  for 

which the modelled system is stabilized by the designed fixed‐parameter controller. This interval, which 

informs  about  the  robustness  of  the  controller  to  changes  in  the  heat‐release  time  delay, may  be 

expressed as: 

↔ 0.40 0.52 6.4   

If  the  flame model  time  delay  suffers  any  change  such  that  the  value  of  its  normalization, 

expressed as k,  is moved out of this  interval,  in principle a new controller will have to be designed to 

stabilize the modeled combustor (some exceptions to this statement will be later explained). 

If we examine it in depth, the information provided by Figure 28 does not end here: interval (6.4) 

does not only inform about the robustness of the controller but also confirms the usefulness as a low‐

pass  filter  of  a  correct  setting  of  the maximum  step  size  of  the  simulation.  In  section  6.1.2,  it was 

explained that, when imposing a maximum simulation step size of 10‐4 s., approximately only the first six 

modes  (n = 1‐6) of  frequency were captured  in  the  time  response because higher‐order modes were 

filtered and  therefore had a negligible  influence on  the system’s plotted behavior. This assumption  is 

again corroborated in Figure 28.  

Bode plot analysis show that  for values  from k = 0.15 to k = 1, the  first mode of the system  is 

unstable,  but  this  instability  is meant  to  be  interrupted  by  the  designed  controller.  Then,  once  the 

controller  has  been  added  to  the  model  to  stabilize  this  first  mode,  the  new  responsible  for 

desstabilizing the system is the next unstable mode, which will appear at higher frequencies. However, 

we only want this second, and higher, unstable modes to affect the system’s response if they are over 

the low frequencies of interest and that is why we use the step size of the simulation as a low‐pass filter. 

Starting with the face value of k = 0.5 and moving down, for k = 0.45 the second unstable mode is 

the eighth (n = 8), but this  is filtered when a maximum step size of 10‐4  is  imposed and so the system 

remains stable. The same happens for k = 0.40: the second unstable mode is the seventh (n = 7), which 

is filtered too and consequently a stable response arises. Nevertheless, for k = 0.39, the sixth mode (n = 

6) is unstable, so it is not filtered by our simulation settings and the time response is plotted as unstable. 

 A similar casuistry is observed if the value of k is moved up. For k = 0.52, the second mode (n = 2) 

is  right on  the  limit between  stability and  instability and  this  is  reflected on  the  time  response: peak 

values are higher but the response is still stable. For k = 0.53, however, the second (n = 2) and the fourth 

(n  = 4) modes  are  clearly unstable  and,  as  these modes  are  included  in  the  six  first modes  that  are 

considered when fixing a maximum step size of 10‐4 s, the response of the simulation becomes unstable.  

Figure  29  shows  the  ultimate  example  and  constitutes  one  of  the  exceptions  previously 

announced. When analyzing  the system  for k = 2.45,  the situation  is quite similar  to  the one derived 

from k = 0.5: unstable modes are n = 1, 8, 10… As a result of this, the system response is expected to be 

stable because the first unstable mode (n = 1) is stabilized by the designed phase‐lag compensator and 

higher‐order unstable modes (n = 8, 10…) are filtered by the simulation’s step size restriction. 

37 

 

 

 

 

 

 

 

 

In conclusion, the designed controller can stabilize any configuration of the model such that only 

the  first mode  is unstable over the  low  frequencies of  interest,  in this case,  limited up to sixth mode. 

Thus, by  fixing a determinate maximum step size of the simulation, the user can choose how  low the 

range of  frequency  to which he/she wants  to  restrict  the  research  is.  In  the  current  analysis,  it was 

decided to focus it on, approximately, the six first modes of frequency. 

 

7. FUTURE WORK 

At  this  point,  it  is  clear  that  research  aimed  to model  combustion  instabilities with  Simulink 

presents several  lines of future development, as different stages of the work done up to date may be 

improved  in order  to obtain models  that present an acoustic behaviour closer  to  the performance by 

real combustors.  

Firstly,  some  of  the  assumptions  and  simplifications  specified  in  Section  3.2  can  be modified, 

starting  for  including  the  contribution  of  entropy waves  in  future models,  following  the  analysis  by 

Morgans, Annaswamy and Chee Su Goh  [37,38], or accounting  for changes  in  flow parameters across 

the flame axial plane (temperature, density, speed of sound, Mach number, etc.). 

Focusing on the model combustor develop in Section 5, the logical next step would imply adding 

mean flow to the numerical development of the model. As well as that, future research could select a 

more complex flame model (vid. 5.22) aiming to emphasize the effect of combustion oscillations at low 

frequencies and, on parallel, accounting for important factors such as combustor geometry, laminar or 

turbulent flows, diffusion or premixed flames or combustion efficiency [38]. 

Finally, regarding the feedback control of the model, it is obvious that the controller designed in 

this  project  is  just  an  initial  approach  to  control  techniques  and  constitutes  the  base  for  further 

applications of closed‐loop control to Simulink model. Consequently, the complexity of the implemented 

feedback control may be widely expanded, for example, through the application of parameters that are 

varied in time to respond to measurements on the system. 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-6

-4

-2

0

2

4

6Pressure measurement with control ON for k=2.45

Time [s]

Am

plitu

de [P

a]

Fig. 29 Pressure measurement with control ON for k = 2.45

38 

 

8. CONCLUSIONS 

At this point, it seems clear that the goals that were settled at the beginning of the project have 

been achieved.  

Although  a  first  model  simulating  the  behaviour  of  an  acoustically  excited  tube  has  been 

designed and the derived results perfectly match the theory of acoustics, this has been conceived as a 

prior but necessary step to face the true aim of the study: the modeling of thermoacoustic instabilities 

using a graphical interface. 

Therefore,  a  generic  combustor  experiencing  combustion  oscillations  has  been  successfully 

developed  in  the  time domain using a one‐dimensional  linearized approach and  then modelled using 

Simulink2. Results obtained with  this model have been doubled checked with  the ones provided by a 

similar study carried out by Dowling and Morgans in the Laplace domain [4]: analysis of stability and the 

comparison of the gain and phase shifts provided by these two methods for different values of the heat 

release time delay are fully satisfactory. 

This model constitutes a first version of the easy‐to‐use tool to model thermoacoustic instabilities 

in  a  graphical  and  customizable  environment we  aimed  to  provide when  this  project was  initiated. 

Although  several  improvements may  be  applied  to  this  first model  (vid.  Section  7),  it  represents  an 

important and firm step to reach the ultimate ambitious objective.  

Finally,  as  an  initial  approach  to  the  interruption  of  combustion  instabilities,  fixed‐parameter 

feedback control has been added  to  the system and  its potential  to stabilize  the system  for a specific 

given setting with only one unstable mode over the low frequencies of interest has been demonstrated. 

This  last section of  the project has been completed with an analysis of  the controller’s  robustness  to 

slight changes in the flame model time delay. Here arises the importance of an adequate configuration 

of  the  simulations  in Simulink:  the maximum  step  size  setting has been proved as a powerful  tool  to 

restrict the scope of the study to the low frequencies at which combustion oscillations tend to occur.  

Over and above  the objectives and  results attained  in  this project,  it may be affirmed  that  the 

modelling of thermoacoustic instabilities with Simulink presents an important room for improvement. In 

this  sense, moving  towards more  accurate  and  complex numerical developments but preserving  the 

fundamental  idea  of  providing  easily  understandable  visual  models  represents  an  important  but 

involving challenge for the near future.  

 

 

 

 

                                                            2 Simulink is an environment for multidomain simulation and Model‐Based Design for dynamic and embedded systems. 

39 

 

9. REFERENCES 

[1] Poinsot, T., Trouve, A., Veynante and D., Candel, S., J. of Fluid Mech. 177 (1987) 265‐292 

[2] Renard, P. H., Thevenin, D., Rolon,  J. C. and Candel, S., Prog. Energy Combust. Sci. 26  (3)  (2000) 

225‐282  

[3] Richards, G. A. and Janus, M. C., ASME J. of Eng. For Gas Turbines and Power 120 (1998) 294‐302. 

[4] Dowling, A. P., and Morgans, A. S., Feedback control of combustion oscillations, Annu. Rev. Fluid 

Mech. 37 (2005) 151‐182 

[5] McManus,  K.  R.,  Poinsot,  T.  and  Candel,  S.  M.,  A  review  of  active  control  of  combustion 

instabilities, Prog. Energy Combust. Sci 19 (1993) 1‐29 

[6] Ducruix, S., Schuller, T., Durox, D. and Candel, S., J. of Prop. and Power 19 (5) (2003) 722‐734 

[7] Seume, J., Vortmeyer, N., Krause, W., Hermann, J., Hantschk, C., Zangl, P., Gleiss, S., Vortmeyer, D. 

and Orthmann, A., J. of Eng. For Gas Turbines and Power 120 (1998) 721‐726 

[8] Mongia, H. C., Held, T. J., Hsiao, G. C. and Pandalai, R. P., J of Prop. and Power 19 (5) (2003) 822‐

829 

[9] Schadow, K. and Yang, V., AGARD Workshop Report (1996) 

[10] Zhu, M., Dowling, A. P and Bray, K. N., J. of Eng. for Gas Turbines and Power – Trans. of the ASME 

123 (4) (2001) 779‐786   

[11] Giuliani, F., Gajan, P., Diers, O. and Ledoux, M., Proc. of the Combustion Inst. 29 (2003) 91‐98  

[12] Richards, G. A. and Janus, M. C., ASME J. of Eng. for Gas Turbines and Power 120 (1998) 294‐302 

[13] Correa, S. M., Proc. of the 27th Int. Symp. On Combustion, Vol. 2 (1998), pp 1793‐1807 

[14] Bloxsidge, J. G., Dowling, A. P. and Langhorne, P. J., J. of Fluid Mech. 193 (1988) 417‐443 

[15] Bloxsidge, J. G., Dowling, A. P. and Langhorne, P. J., J. of Fluid Mech. 193 (1988) 445‐473 

[16] Schadow, K., Wilson, R. and Gutmark, E., AAIA J. 25 (1988) 1164‐1170 

[17] Crocco,  L.  and  Cheng,  S.  I.,  Theory  of  combustion  instability  in  liquid  propellant  rocket motors, 

Butterworths, London, 1956.  

[18] Hedge, U., Reuter, D., Zinn, B. and Daniel, B., AAIA‐87‐0216 (1987) 

[19] Putnam, A. A., Combustion Driven Oscillations in Industry, American Elsevier, 1971. 

[20] Rayleigh, J. W. S., The Theory of Sound, Vol. II, Dover Publications, 1945. 

[21] Culick, F., AGARD Conf. on Combustion Instabilities in Liquid‐Fueled Propulsion Systems (1988) 

[22] Richards, G. A., Straub, D. L. and Robey, E. H., J. of Prop and Power 19 (5) (2003) 795‐810  

[23] Steele, R. C., Cowell, L. H., Cannon, S. M. and Smith, C. E., J. of Eng. for Gas Turbines and Power 122 

(3) (2000) 412‐419  

[24] Zhao, D., Barrow, C. A., Morgans, A. S., and Carrotte, J., Acoustic damping of a Helmoltz resonator 

with an oscillating volume, AAIA Journal, Vol. 47, No. 7 (2009) 

[25] Joshi, N., Epstein, M., Durlak, S., Marakovits, S. and Sabla, P., 94‐GT‐253 (1994) 

[26] Chu, B. T., Acta Mechanica 1 (1964) 215‐234 

40 

 

[27] Bloxsidge, J. G., Dowling, A. P., Hooper, N. and Langhorne, P. J., AAIA J. 26 (1988) 783‐790 

[28] Dowling, A. P., Nonlinear self‐excited oscillations of a ducted  flame,  J. of Fluid Mech. 346  (1997) 

271‐290 

[29] Peracchio, A. A. and Proscia, W. M., ASME J. of Eng. for Gas Turbines and Power 121 (3) (1999) 415‐

421   

[30] Stow, S. R. and Dowling, A. P., Proc. of the ASME Turbo Expo, GT2004‐54245 (2004)  

[31] Noiray, N., Durox, D., Schuller, T. and Candel, S., J. of Fluid Mech. 615 (2008) 139‐167 

[32] Dowling, A. P., and Ffowcs Williams, J. E., Sound and sources of sound, Department of Engineering, 

Univ. of Cambridge, Ellis Horwood Publishers, 1983. 

[33] Evesque,  S.,  Adaptive  control  of  combustion  oscillations,  Department  of  Engineering,  Univ.  of 

Cambridge, 2000. 

[34] Cohen, J. M. and Banaszuk, A., Factors affecting the control of unstable combustors, J. Prop. Power 

19(5) (2003) 811‐821 

[35] Schuermans,  B.,  Modeling  and  control  of  thermoacoustic  instabilities,  PhD  Thesis,  École 

Polytechnique Fédérale de Lausanne (2003). 

[36] Ogata, K., Modern Control Engineering, Pearson Education International (2002). 

[37] Morgans, A. S. and Annaswamy A. M., Adaptive control of combustion instabilities for combustion 

systems with right‐half plane zeros, Combust. Sci. and Tech, 180 (2008) 1549‐1571 

[38] Su  Goh,  C.  and  Morgans,  A.  S.,  The  effect  of  entropy  wave  dissipation  and  dispersion  on 

thermoacoustic instability in a model combustor. 

 

 

10.   COMPLEMENTARY BIBLIOGRAPHY 

Illingworth, S. J. and Morgans, A. S., Advances in feedback control of the Rijke tube thermoacoustic 

instability, International Journal of Flow Control (2011) 

Morgans,  A.  S.  and  Stow,  S.  R.,  Model‐based  control  of  combustion  instabilities  in  annular 

combustors, Combustion and Flame, 150 (2007) 380‐399 

Dowling, A. P. and Stow, S. R., Acoustic analysis of gas turbine combustors, Journal of Propulsion 

and Power, 19 (2003) 751‐764 

Dowling, A. P., The Calculation of Thermoacoustic Oscillations, Journal of Sound and Vibration, 180 

(1995) 557‐581 

Wang, C. H. and Dowling, A. P., The absorption of axial acoustic waves by a Helmholtz resonator, 

Journal of Sound and Vibration (Draft paper) 

 

 

 

 

Appendices 

A.  Simulink block diagram of the acoustically excited tube without combustion 

B.  Simulink block diagram of the model combustor 

C.  Simulink block diagram of the model combustor with masked subsystems (aesthetic arrangement) 

D.  Simulink block diagram of the model combustor with feedback control 

E.  Simulink block diagram of the model combustor with feedback control and masked subsystems 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Append

 

 

 

ix A.  Simulink bblock diagram off the acousticallyy excited tube wwithout combustion (Fig. 3) 

 

 

 

Appendix B.  Simulink bblock diagram off the model combustor (Fig. 8) 

 

 

Append

 

ix C.  Simulink bblock diagram of f the model combustor with massked subsystemss (aesthetic arraangement) 

Append

 

ix D.  Simulink bblock diagram off the model commbustor with feedback control 

 

Appendix E.  Simulink block diagram of the model combustor with feeddback control annd masked subsyystems