jean-pierre richard - inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/smart-systdyn2016.pdf ·...

1

Jean-Pierre Richard

Centrale Lille

UMR

Equipe-Projet

[email protected]

Master SMaRT – septembre 2016

http://researchers.lille.inria.fr/~jrichard

pdf disponible sur : http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard/enseignement.htm

© J.P. RICHARD 2016

voir aussi le livre en téléchargement https://hal.inria.fr/hal-00519555/


http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard/enseignement.htm

https://hal.inria.fr/hal-00519555/

About CRIStAL...

[CRIStAL, May 2016]

approx. 450 people

organized in 9 Groups

UMR 9189

+Inocs

http://cristal.univ-lille.fr/?rubrique9

http://cristal.univ-lille.fr/?rubrique9

(today)

team

CFHPjoint team

DEFROSTteam

SYNER

G T C O 2

‘A’

joint

project-

team

NON-A

Presently

3 teams :■ Symbolic computation, high performance [CFHP] F. Boulier

■ Soft robots [DEFROST - Inria] C. Duriez

■ Hybrid, nonlinear, delay systems [SYNER & NON-A – Inria] L. Belkoura

29 perm.staff [3DR+7PU, 7CR+9MC, 3 IR]

31 non perm. [23 PhD, 6 Post-Doc, 2 Ingés]

Recent staff movements (2016) :

■ +2 perm.

o 1 researcher (CR2 Inria)

o 1 engineer (IR Inria)

■ +3 PhD std

o 2 defenses in 2016

o 5 starting 2016-2017

■ -2 post-doc

o 3 out

o 1 in

People & structure






People & structure

Key strengths and expertise:

■ Interdisciplinarity challenge: [auto + info + maths] for dynamical systems

o robust control and estimation, finite-time convergence

o real-time modeling for control of deformable robots

o symbolic computation, high performance computing, parameter estimation

■ Broad range of application fields:

o Cyber-physical systems, communication, computing: embedded/networked, IoT, crypto, exascale...

o Robotics: soft robots, collaboration, interaction, surgery, handicap, teleoperation

o Fluid mechanics and micro/nano-tech: boundary layer control (Onera-LML-IEMN)

o Biology and information: biologial modelling, ‘living sensors’

o Electrical engineering: power converters, sensorless control…






People & structure

Key strengths and expertise:

■ Interdisciplinarity challenge: [auto + info + maths] for dynamical systems

o robust control and estimation, finite-time convergence

o real-time modeling for control of deformable robots

o symbolic computation, high performance computing, parameter estimation

■ Broad range of application fields:

o Cyber-physical systems, communication, computing: embedded/networked, IoT, crypto, exascale...

o Robotics: soft robots, collaboration, interaction, surgery, handicap, teleoperation

o Fluid mechanics and micro/nano-tech: boundary layer control (Onera-LML-IEMN)

o Biology and information: biologial modelling, ‘living sensors’

o Electrical engineering: power converters, sensorless control…

model analysis,

exact manipulation,

exact resolution

offline / before of after

« control »

plan and track some trajectory

online / real-time

« soft sensors »

obtain unmeasured data

online / real-time

num. simulation

inversion output input

online / real time

Collaborative SLAM (2014) Autonomous wheelchair (2013) Soft robot 3D (2015)

Online estimation (2014) 4 cops and 1 thief (2013) Teleoperation over IP (2012)

Internet of Oysters (2015) Eliminate/Integrate over Maple Nonlinear underactuated (2007)

Active flow control (ongoing) HMI (ongoing) Indoor blimp (ongoing)

Surveillance of area (2015)

Assistance to person (2016) Drones under perturb. (ongoing) xxx

10

Jean-Pierre Richard

Centrale Lille

UMR

Equipe-Projet

[email protected]

Master SMaRT – septembre 2016


pdf disponible sur : http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard/enseignement.htm


voir aussi le livre en téléchargement https://hal.inria.fr/hal-00519555/


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PLAN D’ENSEMBLE

1. Introduction

2. Basic notions

3. Stability

4. Controllability

5. Observability

6. Delay systems

7. Distributions


12

Plan plus détaillé…1. Introduction- various examples, including chaotic systems, delay systems…

2. Basic notions- definitions of solutions, flows, transients and invariant solutions, phase portrait

- equilibrium points, periodic solutions, limit cycles

- Lipschitz systems and existence/uniqueness of solutions

- autonomous/time-varying, linear/nonlinear models

- Lie brackets and commutativity of flows

3. Stability- Lyapunov stability, attractivity, attractivity does not imply stability

- exponential stability, stability of linear systems

- absolute stability, BIBO stability

- different criteria of stability of linear systems in different norms (continuous / discrete time)

- Aizerman's conjecture in the nonlinear case

- 1st Lyapunov method, limitations, center manifold theorem

- 2nd Lyapunov method, Lyapunov functions for stability and instability, Chetaev function

4. Controllability- general definition

- linear case, verification for linearization, nonlinear case, accessibility

- difference between controllability and stabilizability

5. Observability- see next page…


J.P. Richard 8h cours

+ C. Fiter 4h TD

D. Efimov

0h cours + 2h TD

C. Fiter

6h cours + 4h TD

13

Plan plus détaillé…

5. Observability- general notions: state, input, parameters

- model-based vs model-free techniques (geometric vs algebraic frameworks)

- linear systems: definitions (observability, detectability...), full and reduced order observers

- nonlinear case by linearization

- observability, distinguishability and identifiability in nonlinear case

- observer design for nonlinear systems: high-gain, finite-time observer via homogeneity

- adaptive observers

- differentiation algorithms

6. Delay systems- examples, motivation from networked control systems and (a)periodic sampling problems

- Lipschitz conditions in the delayed case

- analysis of FDE: operators, geometry, algebra formalisms

- Smith predictor

- stability, Lyapunov-Krasovskii and Lyapunov-Razumikhin approache

7. Distributions- mathematical tools, applications


D. Efimov

10h cours + 2h TD

C. Fiter

2h Cours + 2h TD

J.P. Richard

2h cours

L. Belkoura 4h Cours


14

1- Introduction :

15

Petit rappel sur les systèmes lagrangiens…

1- Introduction : exemple mécanique 1

d frottement

l longueur

m masse

u couple moteur

q angle

g gravité

g

m

u


16


NB : inversible etc.

exempleacadémique,et... inutile ?

G

M

m

F

x

2l


http://vimeo.com/2952236

17

B2, projet IMARA, juin 2003

G

M

m

F

x

2l

mais aussi… (2010)

Puma 2009 (GM)

2003


b2-june.mpg

b2-june.mpg

segway_polo.mp4

segway_polo.mp4

http://www.youtube.com/watch?v=8jlOaCUsoHY&feature=player_detailpage

http://www.youtube.com/watch?v=mbIZ9rLDxLA

18


x 1

x 2 ò

u2

u1

Monocycle simplifié : entrées = vitesses (pas d’inertie), pas de glissement…(modèle cinématique, pas modèle dynamique)

on

modélise

ça…

mais pas

ça


19

1- Introduction : exemple mécanique 3bis

Monocycle simplifié (modèle cinématique, entrées = vitesses)

v1v2

x2

x1

q

u1

u1=1/2(v1+v2)u2=1/2(v1 -v2)2005


2004

pekee-syner.avi

pekee-syner.avi

Miabot_Lagis-LeChoc.AVI





miabots_all.wmv

miabots_all.wmv

3Pekees-obstacles_SyNeR.wmv

3Pekees-obstacles_SyNeR.wmv

autoroute-lagis-isen.wmv

robotcity.wmv

robotcity.wmv

20


q

u1 u2

Tricycle (simplifié)

x2

x1


minicar-EPML68.wmv

minicar-EPML68.wmv

travel_LAGIS-sfsd-08.wmv

travel_LAGIS-sfsd-08.wmv

21

1- Introduction : exemple électrique 1

Moteur Courant Continu (sortie = position)

courant rotorique (armature)

vitesse angulaire (armature)

position angulaire

flux inducteur (stator)

tension rotorique (armature)

gain moteur («fem/vitesse»)

inertie, frot. charge

résist., self rotoriques


22


Moteur Shunt x1 position angulaire

x2 vitesse angulaire

x3 courant armature


23


Moteur Pas-à-Pas (modélisé dans le repère de Park)


stepperSMC-syner.wmv

stepperSMC-syner.wmv

1- Introduction : exemple en GdP


24

S

cA cB

25

Autres exemples …


Site JPR pictures/video movies

Boston Dyn.

BigDog

DARPA

Jap-Fr

HRP2 2006

(planif !)

Boston Dyn.

Atlas 2015

DARPA

Boston Dyn.

Atlas 2016

DARPA

Boston Dyn.

Spot 2016

DARPA

http://www.youtube.com/channel/UC9PIimZ9ynZwU3H8tpKHauA

http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard/manips.htm

https://www.youtube.com/watch?v=M8YjvHYbZ9w

https://www.youtube.com/watch?v=-e9QzIkP5qI

https://www.youtube.com/watch?v=rVlhMGQgDkY

https://www.youtube.com/watch?v=tf7IEVTDjng

26

1- Introduction : exemple en écologieProies-Prédateurs (Lotka-Volterra)

Nbre Herbivores : x seuls : dx/dt = ax, (a > 0)

Nbre Carnivores : y seuls : dy/dt = - by , (b > 0)

Herbivores

Carnivores

ensemble dx/dt = ax - cxy (a,b,c,d > 0)

dy/dt = -by + dxy

Vito Volterra (1860-1940), mathématicien, fondateur de l’analyse fonctionnelle, systèmes héréditaires.

Alfred James Lotka, chimiste : « Elements of Physical Biology », 1925.

NB : Volterra avait remarqué que

(simu)… sacré Vito !… sacré Vito !

x


volterra.mdl

volterra.mdl

27

x

h y

1- Introduction : exemple en écologie (suite)

Modèle proies-prédateurs à 3 espèces :

Plants d’herbe : h seuls :

Gazelles : x seuls :

Lions : y seuls : simu…(herbe seule)

saturationanalyse ?

ensemble


Herbe.mdl


1- Introduction : exemple en météorologie

Mêmes CI xyz (t0 ≠)Credit: W. Perruquetti

Sensibilité aux C.I. pressentie vers 1875 par James Clerk Maxwell (1831-1879) puis Henri Poincaré.

Lorenz (Edward Norton Lorenz, météorologiste, 1917- ?) étudie en 1963 l’équation déterministe :

(modèle très simplifié desécoulements dans l’atmosphère)

Chaos : pour C.I. , solutions

pas de cycle limite !

Même t0CI xyz #

Lorenz.mpg

Lorenz.mpg

https://www.youtube.com/watch?v=FYE4JKAXSfY

29

1- Introduction : attracteur étrange issu du chaos

Section de Poincaré d’un attracteur étrange (ici, cas d’un pendule forcé) :

La permanence d’une même structuration à différentes échelles signe un objet fractal.

(a) Représentation globale de l’attracteur : structure feuilletée et repliements.

(b) Agrandissement de la partie encadrée : topologie semblable à celle de l’attracteur dans sa totalité.


30

1- Introduction : un autre exemple de chaos

Attracteur de Rösler :

Question: à partir de quel ordre d’équation différentielle peut-on rencontrer ce type de comportement ?

dx/dt = - x - y

dy/dt = x + 0.2y

dz/dt = 0.2 - 5.8z + xz


rythme gouttes d’eau, rythmes cardiaques, etc.

Rosler.mpg

Rosler.mpg

31

1- Introduction : un autre exemple de chaos

Système scalaire discret :

Pour quelles valeurs de aa-t-on un phénomène de chaos ?

(click me…)

Valeurs d’adhérence xi

(oh, click me again…)

x densité de population

en début d’année n

f facteur de fécondité,

r ressources nutritives

x(n +1) = f r x(n)

r = r (x) = k (1 - x)

« FONCTION LOGISTIQUE »


a

Nbre val.adh.

mi

d'après le nom du physicien-mathématicien Mitchell Jay Feigenbaum, PhD MIT 1970 (Feigenbaum = figuier en allemand)

Nombre de Feigenbaum : les mi étant les a de bifurcation, on a une constante d

qui s’avère commune à d’autres systèmes, comme

=

4,66920160910299067185320382…

« arbre de Feigenbaum »

http://cours-info.iut-bm.univ-fcomte.fr/wiki/pmwiki.php/SDD/LaFonctionLogistique

http://cours-info.iut-bm.univ-fcomte.fr/wiki/pmwiki.php/SDD/LaFonctionLogistique

https://www.youtube.com/watch?v=Y3yu_Lx3GmQ

https://www.youtube.com/watch?v=Y3yu_Lx3GmQ

32

Un ptit dernier ?

moteurtension u angle mesuré x

angle

voulu

x = 0

+-

écart

e = 0 – x



Un ptit dernier ? (suite)

moteur embarqué

(satellite)

u angle mesuré x(t)

+-

ligne de com. retard h/2

ligne de com. retard h/2

angle

voulu

xc = 0

angle transmis x(t-h/2)

e

commande

transmise e(t-h/2)

simu

h =1.5

Delay1500ms.mdl

et un lien chaos-retard


34

simu

../../../../cnrs/CRISTAL/CO2/SyNeR/Retards-introduction/delaychaos_paper304.pdf

../../../../cnrs/CRISTAL/CO2/SyNeR/Retards-introduction/delaychaos_paper304.pdf

Retard : un vieux sujet ? (1)(S

pringer,

2006)

voir aussi http://www.journals.elsevier.com/automatica/most-downloaded-articles

http://www.journals.elsevier.com/automatica/most-downloaded-articles

PhD en cours (Feingesicht + Polyakov, Kerhervé, Richard + IEMN, LML, Onera, LAMIH, etc.)

estimation

algorithmPROCESSse

nso

rs

modelling

errorsmeasurement

noises

actu

ato

rs

control

algorithm

Desired behavior

Modèles ?

- Navier Stokes...

- non linéaire + retard(s)

Retard : un vieux sujet ? (2)

37

2 EDO : Équations Différentielles Ordinaires

Équations différentielles ordinaires (EDOs) :

(E)

* f continue intégrale classique

f mesurable intégrale au sens de Lebesgue ( dérivée de p.p.)

intervalles de IR et de IRn


E

Problème de Cauchy (PC) :

intervalle centré en t0

38

(2- EDO, suite)

(E)

Définition :On appelle solution de (E) passant par x0 à t0 toute fonction :

- définie sur un intervalle non vide contenant t0 :

- absolument continue* (dérivable presque partout),

- vérifiant (E) presque partout sur

- et telle que : .

On la notera aussi, plus simplement, .

*


39

(2- EDO, suite)

Cas « standard » :

Théorème local : valable pour un intervalle de temps centré sur t0Énoncés plus complets et preuves : cf. [RIC02] p. 176-178.

Preuves basées sur approximations des solutions par des suites. © J.P. RICHARD 2016

40

(2- EDO, suite)

Définitions d’ensembles particuliers :

Point d’équilibre :

soit, si unicité de solution :

Ensemble invariant[positivement] :

« J’y suis, j’y reste. » Marie Edmé Patrice Maurice de Mac-Mahon, 1808-1893

« Ce n’est rien, j’y suis, j’y suis toujours… » Jean Nicolas Arthur Rimbaud, 1854-1891


41

(2 Outils Mathématiques : EDO, suite)

Question subsidiaire : comment voit-on que

ce comportement n’estpas linéaire ?

Exemple 1 :

! xe = 0oui, mais prouvez-le…

(simu1)

(simu2)


limit_cycle_simple.mdl

limit_cycle_simple.mdl

limit_cycle.mdl

limit_cycle.mdl

42

Exemple 2 :

(2 Outils Mathématiques : EDO, suite)

Remarque : non lipschitzienne pour (essayer ).

Essayer les solutions, :

t0


43

Classification des EDO

Non linéaire, Non stationnaire

Non linéaire, Stationnaire Linéaire, Stationnaire (LTI)

Linéaire, Non stationnaire

« stationnaire » = « autonome » = « time invariant »

Périodique si


Cas particulier NL1 – équations linéaires

44© J.P. RICHARD 2016

Solution ?

sauf si… ?

Cas particulier NL2 – équat. de Lagrange, de Clairaut

45

(d/dt puis dm/dt)



46

Cas particulier NL3 – équation de Bernouilli


47

Cas particulier 3 – équation de Riccati

48

2 Outils mathématiques pour EDO : flot

(un point un point sur la traj.)|


Propriétés :Définition :

Exemple :

49

2 Outils Mathématiques : flot, non commutativité

cas linéaire :

Composition de flots : non commutativité


on va définir le « commutateur » des flots, ou

crochet de Lie

qui s’annule lorsqu’il y a commutativité.

50

2 Outils mathématiques : crochet de Lie(Lie bracket)

* Marius Sophus Lie, 1842-1899, Norvégien, théorie des groupes continus

*

f,g analytiques


51

2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)

Une interprétation du crochet de Lie en termes de commande :Système affine en la commande et « sans dérive » :

proof?wait a mn!


52


Cas particulier : système linéaire sans dérive

xç = b1u1 + b2u2

g1 = b1

g2 = b2




?proof?do it

yourself!

CQFD53


?proof?

do it yourself! CQFD

xç = g1(x)



Propriétés de



Juste pour l’entrainement…

? ?



Encore un p’tit, pour la route ?

Satellite sous-actionné


Pour que la commande soit « reconfigurable »

quel que soit l’actionneur en panne, il faudra(it) et suffira(it) que :

Remarque sur


- 3 -

Comportements asymptotiques :

stabilité, attractivité


3 Définitions : stabilité, attractivité

et (globalement) asymptotiquement stables’il est stable et attractif.


3 Stabilité (définitions, suite)

attractif stable

?

trop facile…



(simu) (CI auto)

attractif stable

?

… et sans simulation ?

… étudier ?



Définition (suite) :

Le point d’équilibre

est localement attractif si :

exponentiellement stable (localement pour ) si :



Définition (suite) :


3 Stabilité (définitions, suite)Exemple 1 :

dx/dt = x - x y

dy/dt = - y + x y

Herbivores

Carnivores

Équation de Lotka-Volterra

Exemple 2 :

Équation… de l’herbe ? dx/dt = x ( 1 - x )

x

t 0

1

Herbe.mdl

Herbe.mdl


0


Équation de Van der Pol

Exemple 3 :

est …

est ... ?

est …

globalement asympt. stable,

localement asympt. stable.

instable, non attractif,


Définition (suite) : stabilité absolue


DéfinitionLe système (1) est absolument stable si, pour tout gain de la famille ,l’équilibre est globalement asymptotiquement stable.


(2)

Définition Le système (2) est BIBO-stable si, pour toute entrée u bornée,

la sortie y reste bornée :

Définition (suite) : stabilité BIBO (bounded input, bounded output)


Cas linéaire :

Pour A, B, C des matrices constantes bornées,

si le spectre de A est dans le demi-plan Re (l) < 0,alors le système (3) est BIBO stable.

(3)

Autrement dit : en linéaire, si y converge vers 0 pour u = 0, alors BIBO OK. Question : est-ce général ? Réponse : …

≠ stabilité « interne »


stabilité BIBO (suite)


Et en non linéaire ? Exemple : (E. Sontag)

(2)

(4)

Donc ici : y converge vers 0 pour u = 0, mais pas BIBO pour autant...

(ici, u tend même vers 0 quand t augmente)

Pas toujours !


Stabilité - rappel en linéaire :

Systèmes en temps continu


Exemples

Stabilité - rappel en linéaire (suite)

-1

0


3. Stabilité (linéaire continu, suite)

(éq. Lyapunov cont.)


3. Stabilité (linéaire, suite)

a ii

Ci

a jj

aij

i=j

Cj

Ck

Im

Re0

Pour rappel, critère des cercles de Gershgorine :


Stabilité - rappel en linéaire :

Systèmes en temps discret


3. Stabilité (linéaire discret, suite)


3. Stabilité : problème en NL

Stabilité en NL : mais pourquoi tant de théorie ?

1) La résolution ?

2) La simulation ?

3) La linéarisation ?


3. Stabilité : problème en NL (suite)

Conjecture d’Aizerman

Contre-exemple (Pliss, 1956)


Alexander Mikhaïlovich

1ère méthode de Lyapunov

Équivalences linéaires locales

2ème méthode de Lyapunov

Méthodes de comparaison

Stabilité : méthodes d’étudenonlinear is kharacho*…

* Le non-linéaire, c’est wonderful…

Mathématicien et physicien russe, membre de l’Académie des sciences.

Après des études à l’université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis

professeur à l’université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à

l’université de Saint-Pétersbourg. Élève de P. L. Tchebychev, il élabore

dans sa thèse (1892) une méthode générale pour la solution des

problèmes de stabilité. Avant lui, les problèmes de stabilité étaient

habituellement résolus en linéarisant les équations différentielles et en

négligeant tout ce qui était d’ordre supérieur.


3. Stabilité : 1ère méthode de Lyapunov

(linéarisé en 0)


3. Stabilité (1ère m.L., suite)

Exemple

(’tite simu)


3. Stabilité (1ère m.L., suite)

Limites de la 1ère m. L ?

1) Cas critique ( juste stable) non considéréA

1) Théorèmes d’équivalence locale2) 2nde méthode de Lyapunov

1) Cas critique ( juste stable) non considéré

2) Aspect qualitatif seul : sert à «trier» les pts d’équilibre


3. Stabilité :

équivalence locale à un champ linéaire

Exemple 1


83

3. Stabilité :

équivalence locale à un champ linéaire

Exemple 2


3. Stabilité (équiv. locale, suite)Structure d’un flot en linéaire


3. Stabilité (équiv. locale, suite)Structure d’un flot en NON linéaire



Théorème 1 : (cas hyperbolique) (1964)



Théorème 2 : (cas hyperbolique)



Théorème 3 : (cas non hyperbolique, enfin !)

Théorème 4 : (toujours le cas non hyperbolique)

??


3. Stabilité (équiv. locale, suite)Exemple

Linéarisé :pas de conclusion par la 1ère M.L. (E)

Variété centre :

développement en série de Taylor :


3. Stabilité (équiv. locale, suite)Exemple (suite)

Dynamique «réduite» à la variété centre :

Variété centre :

Linéarisé :pas de conclusion par la 1ère M.L. (E)

asymptotiquement stable

(non exponentiellement)


3. Stabilité (équiv. locale, suite)Exemple (interprétation)

(E)

Linéarisé, variété centre, système réduit…

Mais, que diable, n’aurait-on pas pu faire plus simple ?

« Ceci est une loupe » (R. Magritte)

asymptotiquement stable(non exponentiellement)


3. Stabilité :

2ème méthode de Lyapunov (« méthode directe »)

Étudier la convergence de

sans résoudre cette équation ?xç = f (x); x(0) = x0

Utiliser une « distance » de à l’équilibre , pour se ramener à un système scalaire plus simple (syst. de comparaison).

x(t) xe


3. Stabilité (2ème M.L., suite)Principe des « fonctions de Lyapunov »

connu connu

inconnu


v(x)=cte

x=0

v(x)=0

3. Stabilité (2ème M.L., suite)Principe des « fonctions de Lyapunov »

vç = grad v(x)[ ]T

f (x; t)Interprétation de

x(t)grad v(x)


3. Stabilité : Théorèmes

Notations

Définitions

«définie négative»… c’est pareil dans

l’autre sens.


3. Stabilité simple : Théorème

Démonstration ?

(S)


3. Stabilité asymptotique : Théorème

Théorème : stabilité asymptotique (Lyapunov, 1892)

L’équilibre du système (S) est asymptotiquement stable s’il existe une

fonction définie positive dont la dérivée (à droite le cas échéant) le

long des traj. (S) soit définie négative.

Démonstration ?

v(x; t )

x = 0

vç(x; t )

v(x(t )) positive, décroissante, ne peut «s’arrêter» ( ) qu’en .vç(x(t )) = 0 x = 0

v(x(t); t ) = v( x ( t0 ) ; t0 ) + Rt0

tvç ( x ( ò) ; ò) dò v( x ( t0 ) ; t0 )

ôR

t 0

tw(x(ò))dò

t > t 0;

x(t )6= 0;

ú

(S)


3. Stabilité asymptotique globale : Théorème

x1

x2

(S)


3. Stabilité asymptotique exponentielle : Théorème

(S)


3. Stabilité : Fonction de Lyapunov


3. Stabilité : Théorème d’instabilité

x = 0

v(x)=0

v(x)=0

x = 0

v(x)=0

v(x)=0

v<0

v>0

v<0

v>0

v<0

v<0

v<0

v<0

(S)

Démonstration : premier cas évidentdeuxième cas plus amusant


3. Stabilité : principe d’invariance de LaSalle


3. Stabilité locale : domaine d’attraction

Estimation du domaine d’attraction d’un équilibre :(exemple dit « très important »)

(système mécanique à frottement non linéaire)

1ère m.L. As. stable pour .

Points d’équilibre ?

Stabilité ?

Stab. globale ? 2è m.L.


3. Stabilité locale : domaine d’attraction (suite)(suite de l’exemple dit « très important »)

?

00


3. Stabilité locale : Théorème d’estimation du domaine d’attraction


Un petit résumé de la démarche « classique »


3. Stabilité : fonctions candidates

Recherche de fonctions de Lyapunov

fonctions « candidates »

dérivable p.p., à sauts bornés


3. Stabilité : fonctions candidates quadratiques

équation de Lyapunov

Fonctions candidates quadratiques


3. Stabilité : fonctions candidates Holder 1

Max des sommes en colonnes < 0

indice ligne

Norme de Holder 1 (de la somme)

*

*


indice de colonne

3. Stabilité : fonctions candidates de Holder

Norme de Holder (du max)

Max des sommes en lignes < 0

3. Stabilité : exemples

111

Exemple 1



3. Stabilité : exemplesExemple 2

CS de stab. asympt. glob. :

Exemple 3

Exemple 4

1

1-1

-1

2-2

-2

2

(inst.)

(inst.)


3. Stabilité : exemplesExemple 5 (pendule sans friction)

(penser énergie…)

jean-pierre richard - inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/smart-systdyn2016.pdf ·...

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