INTERVALOS DE CONFIANZA

Juan Carlos Colonia

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS

PARÁMETROS DE UNA POBLACIÓN

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES CONOCIDA

Sea una muestra aleatoria de tamaño

n extraída de una población con varianza

conocida, y sea la media muestral. El intervalo

de confianza de para esta dado por:

Donde valor de la abscisa en la distribución

Normal estándar que deja a su izquierda un área

igual a

1 2 nX , X , ..., X

2N ,

100 1 %

1 2Z

x

1 12 2

I x Z ; x Zn n

1 2

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES CONOCIDA

Ejemplo:

Un comerciante mayorista compra de conservas de atún de la marca A. Según la indicación de la etiqueta el peso promedio aproximado por conserva es onzas. Se supone que la población de los pesos es normal con desviación estándar 2 onzas. El comerciante escoge al azar 20 latas de un envío reciente y encuentra que el peso promedio es de 18.5 onzas. Determine el intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de las conservas de atún.

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES CONOCIDA

Ejemplo:

Con 95 % de confianza se puede afirmar que el peso

promedio de las conservas de atún es la especificada

en la etiqueta

12

I x Zn

x

2

n 20

x 18.5

2I 18.5 1.96 17.62 ;19.37 17.62 19.37

20

0.9751

2

Z Z 1.96

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES CONOCIDA

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Sea una muestra aleatoria de tamaño

n extraída de una población con varianza

desconocida, y sean y las respectivas media

y varianza de la muestra, ; el intervalo de

confianza de para esta dado por:

n 30

1 12 2

s sI x Z ; x Z

n n

1 2 nX , X , ..., X

x 2s

2N ,

n 30

100 1 %

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Ejemplo:

Se toma una muestra de 100 latas de salsa de

tomate de 16 onzas con fin de controlar el peso

de la producción, los resultados arrojan de media

de 15.2 onzas con una desviación estándar de

0.96 onzas. ¿A un nivel de confianza del 95%, se

puede afirmar que las latas de salsa de tomate

contiene 16 onzas?.

n 30

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Ejemplo:

Con 95 % de confianza se puede afirmar que el peso

promedio de las latas de salsa de tomate es menor de lo

especificado en cada lata.

12

sI x Z

n

x

s 0.96

n 100 x 15.2

0.96I 15.2 1.96 15.01;15.38 15.01 15.38

100

0.9751

2

Z Z 1.96

n 30

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Sea una muestra aleatoria de tamaño n

extraída de una población con varianza

desconocida, y sean y las respectivas media y

varianza de la muestra, ; el intervalo de confianza

de para esta dado por:

Donde:

Valor de la abscisa en la distribución t de

Student con n – 1 grado de libertad que deja a su

derecha un área igual a

1 2 nX , X , ..., X

2N ,

100 1 %

n 30

x

n 30

n 1, n 1,2 2

s sI x t ; x t

n n

2s

n 1, 2t

2

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Ejemplo:

Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar media de la tensión de ruptura de una fibra, para lo cual diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura en libras de 16 fibras del proceso. Los resultados del experimento dan una media de 20.3812 libras y una desviación estándar de 0.2736 libras, construir un intervalo de confianza del 98% para el valor real de la tensión de ruptura promedio de la fibra.

n 30

I.C. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Ejemplo:

La tensión a la ruptura de las fibras se encuentra ente

20.20 y 20.55 libras con una confianza de 98 %

x

s 0.2736

n 16 x 20.38

0.27I 16.6 2.602 20.20 20.55

16

15 , 0.98n 1,1

2

t t 2.602

n 30

n 1,12

sI x t

n

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA

Sea una muestra aleatoria de tamaño n

extraída de una población con media y varianza

desconocida, y sea la varianza muestral; el intervalo

de confianza de para esta dado por:

Donde:

Valor de la abscisa en la distribución Ji-cuadrado

con n – 1 grado de libertad que deja a su derecha un

área igual a

1 2 nX , X , ..., X

2N ,

100 1 %2

2s

2 2

2 2

n 1; n 1;12 2

n 1 s n 1 sI ;

2

n 1; 2

2

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA

Ejemplo:

Se registran las conexiones realizadas a internet

para teléfonos móviles que cuenten con tecnología

3G; de las conexiones realizadas durante 30 meses

se obtiene un promedio de 5,856 y una varianza de

2,270,482. Se quiere determinar un intervalo de

confianza de 95% para la varianza de las conexiones

realizadas a internet. Los datos de las conexiones

están en miles.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA

Ejemplo:

Con 95 % de confianza se puede afirmar que la

variabilidad de las conexiones se encuentra entre

1,440,094 y 4,103,195

2 2

2 2

n 1; n 1;12 2

n 1 s n 1 sI ;

21,440,094 4,103,195

2 2

29 ; 0.975n 1;1

2

16.047

2 2

29 ; 0.025n 1;

2

45.722

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA

PROPORCIÓN

Sea una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población Bernoulli con parámetro , y sea la proporción muestral; el intervalo de confianza de para esta dado por:

donde

1 2 nX , X , ..., X

100 1 %

1

2

Z P Z z 12

p

1 1

2 2

p 1 p p 1 pI p Z ; p Z

n n

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA

PROPORCIÓN

Ejemplo:

El gerente de producción de artefactos eléctricos garantiza que el 95% de los artefactos que se producen están de acuerdo con las especificaciones de los estándares exigidos. Examinando una muestra de 200 unidades de dichos artefactos se encontró que 25 son defectuosos. Si se pone en duda la afirmación del gerente de producción ¿cuál será el intervalo de confianza del 98% para la proporción de artefactos defectuosos?

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA

PROPORCIÓN

Ejemplo:

Con 95 % de confianza se puede afirmar que el

porcentaje de defectuosos superan el 5%, por tanto lo

que afirma el gerente no es cierto.

1

2

p 1 pI p Z

n

25p 0.125

200

0.125 0.875I 0.125 2.326 0.07 0.17

200

0.981

2

Z Z 2.326