1

1

Regresión Residuo tipificado

4,504,00

3,503,00

2,502,00

1,501,00

,500,00

-,50-1,00

-1,50-2,00

-2,50-3,00

-3,50

Histograma

Variable dependiente: Dimensión 1

Fre

cuen

cia

400

300

200

100

0

Desv. típ. = 1,00

Media = 0,00

N = 2591,00

CONCEPTOS

•Estimadores del __X y de P

•Estimadores de la diferencia de medias

•Tamaño de muestra

Tomado y adaptado de: Hzapata

Adaptó: Rodolfo Herrera

2

MUESTRA POBLACION

PARAMETROSESTIMADORES

µµµµx Pp

V M = V V + Error de medida

SISTEMATICO ALEATORIO

� OBSERVADOR

� SUJETO

� INSTRUMEN

• VARIABILIDAD DEL ESTIMADOR EN EL MUESTREO

ERROR NO DE MUESTREOSESGO DE INFORMACION

ERROR DE MUESTREO

ERROR ESTANDAR

DISEÑO y EJECUCION TEORIA DEL MUESTREO

n

N

PLAN DE MUESTREO

• DEFINIR, ACTUALIZAR y ENUMERAR EL MARCO MUESTRAL

• DEFINIR LA UNIDAD DE MUESTREO

• DEFINIR METODO o TIPO DE MUESTREO (MAS, Estratificado, Conglomerados, Multietapico)

• ESTIMAR EL TAMAÑO DE MUESTRA

Definir cual es el parametro a estimar (media, proporción, diferencias)

• UTILIZAR UN PROCEDIMIENTO DESELECCIÓN ALEATORIAPARA OBTENER LA MUESTRA. (CR, SR)

URNAS CON BALOTASPROGRAMAS DE COMPUTADORCALCULADORASTABLAS DE NUMEROS ALEATORIOS

• SUPERVISAR EL PROCEDIMIENTO REALIZADO PARAEVITAR SESGOS

Siempre hubo problemas,

muchas cosas empeoraron,

pero otras mejoraron mucho,

la naturaleza probabilística de

una muestra no es un

problema, sino una solución.

También es cierto que muchos

estudios no requieren

muestras probabilísticas.

Hay otras fuentes de problemas.

4

Universo deUniverso deUniverso deUniverso deestudioestudioestudioestudio

Variables deVariables deVariables deVariables deinterésinterésinterésinterés

Margen de errorMargen de errorMargen de errorMargen de errorpermitidopermitidopermitidopermitido

Parámetros aParámetros aParámetros aParámetros ainvestigarinvestigarinvestigarinvestigar

Muestreomultietapico

Muestreosistemático

Muestreoproporcional

Muestreo aleatoriosimple

Muestreoconglomerados

Muestreoestratificado

TiposTiposTiposTipos dedededeMuestreoMuestreoMuestreoMuestreo

n

TIPOS DE MUESTREO PROBABILISTICOTIPOS DE MUESTREO PROBABILISTICOTIPOS DE MUESTREO PROBABILISTICOTIPOS DE MUESTREO PROBABILISTICO

2

5

Muestreo aleatorio simple (m.a.s.)

� Se eligen individuos de la población de estudio, de manera que todos tienen la misma probabilidad de aparecer, hasta alcanzar el tamaño muestraldeseado.

� Se puede realizar partiendo de listas de individuos de la población, y eligiendo individuos aleatoriamente con un computador, calculadora o tabla de números aleatorios .

� Normalmente tiene un costo bastante alto su aplicación.

6

Muestreo Aleatorio Simple (MAS)

Consiste en seleccionar sin o conreposición y en forma equiprobable,un elemento hasta completar un totalde n, valor establecido antemano.

Cuando se selecciona con reposiciónlos elementos de la muestra laprobabilidad es igual para todos 1111/N/N/N/N,sin reposición la probabilidad es1111/(N/(N/(N/(N----1111)))), y sucesivamente.

No. AleatorioNo. AleatorioNo. AleatorioNo. Aleatorio IndividuoIndividuoIndividuoIndividuo

5555 AAAA

2222 BBBB

CCCC

DDDD

EEEE

FFFF

f=n/N < 5% las f=n/N < 5% las f=n/N < 5% las f=n/N < 5% las diferencias son diferencias son diferencias son diferencias son despreciables entre despreciables entre despreciables entre despreciables entre MCR y MSRMCR y MSRMCR y MSRMCR y MSR

Registro Edad

1 31

2 24

3 35

4 42

5 41

6 45

7 20

8 31

9 41

10 25

11 28

12 21

13 20

14 26

15 28

Pasos a tener en cuenta en el proceso de estimación de la media poblacional:

1. Validación de supuestos: • La edad presenta baja dispersión• La edad se distribuye de manera

normal• La varianza de la edad es conocida:

σσσσ2=492.El método de muestreo: MAS SR

3. Tamaño de la muestra: Seleccionar muestra de tamaño n=15 SR.

4. Realizar la estimación puntual o promedio muestral para la edad de las personas

Desviaciones teóricas del investigador más corrientes :•Creer que el muestreo intencionado puede cumplir con los axiomas del probabilístico y que admiten igualmente cálculo del error de estimación y la aplicación de tests

Muestra

X=30.53

Como realizamos el proceso de inferencia estadística?

5. Realizar la estimación por intervalos para lo cual es necesario

definir el nivel de confiabilidad (1 – α)α)α)α) y calcular:

•Desviación estándar de la variable edad σσσσx =7

•Desviación estándar del estimador de la media (Error Estándar de la media)

σσσσX= σσσσ X /√√√√ n = 7 / √√√√ 15 = 1.81

),(),(: εεµ +−= xxlsli

EstándardadxErrorconfiabilieCoeficient __=ε

Determinar un error estimación (Error de muestreo) tal que:

3

9

DISTRIBUCION MUESTRAL DEL PROMEDIO CON VARIANZA POB. CONOCIDA O “n” GRANDETEOREMA DEL LIMITE CENTRAL (TLC)

1. El promedio de todas las posibles muestras de igual tamaño es igual a µµµµ

2. La desviación estándar de la distribución muestral se llama error estándar. E E( x )

3. Independientemente de la forma de la Población inicial, la distribución muestral del promedio sigue aproximadamente una Curva Normal,siempre y cuando el tamaño de muestra sea suficientemente grande ( n > 30)

INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95%:INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95%:INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95%:INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95%:

“Probabilidad a favor de que el valor del “Probabilidad a favor de que el valor del “Probabilidad a favor de que el valor del “Probabilidad a favor de que el valor del PARAMETRO de la POBLACIÓN se encuentra en PARAMETRO de la POBLACIÓN se encuentra en PARAMETRO de la POBLACIÓN se encuentra en PARAMETRO de la POBLACIÓN se encuentra en dicho intervalo”dicho intervalo”dicho intervalo”dicho intervalo”

INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% : 5.38 - 5.62

8,007,507,006,506,005,505,004,504,003,503,00

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL PROMEDIO

POBLACION N = 10

MUESTRAS POSIBLES TAMAÑO n = 5 (252)

Fre

cuen

cia

60

50

40

30

20

10

0

¿Qué es la confianza?

� La confianza es un por ciento, tal

como 90%, 95%, 99%.

� Si obtenemos muchas muestras de la

población, aproximadamente el (1 -

α)100% de ellas contienen el valor

desconocido de la media poblacional.

� Si se aumenta la confianza, se ofrece

menos información. (el ancho del

intervalo aumenta)

¿Qué es la confianza?

Silva, L.C.

P=34%

36%30%

41%35%

p=33%

p=38%

No aciertan

4

INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% para INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% para INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% para INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% para µµµµ

Se construye con base en el Se construye con base en el Se construye con base en el Se construye con base en el promediopromediopromediopromedio de la de la de la de la muestramuestramuestramuestra y su y su y su y su ERROR ESTANDAR ERROR ESTANDAR ERROR ESTANDAR ERROR ESTANDAR utilizando utilizando utilizando utilizando las propiedades de la las propiedades de la las propiedades de la las propiedades de la Curva Normal Curva Normal Curva Normal Curva Normal u otro u otro u otro u otro tipo de distribución muestral.tipo de distribución muestral.tipo de distribución muestral.tipo de distribución muestral.

INDICA INDICA INDICA INDICA LA PRECISION LA PRECISION LA PRECISION LA PRECISION DEL ESTIMADORDEL ESTIMADORDEL ESTIMADORDEL ESTIMADOR

( )n

promedioEEσ= XXXX ± 1.961.961.961.96

I. C. ( 95% )I. C. ( 95% )I. C. ( 95% )I. C. ( 95% )

n

σINTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% : 5.38 - 5.62

8,007,507,006,506,005,505,004,504,003,503,00

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL PROMEDIO

POBLACION N = 10

MUESTRAS POSIBLES TAMAÑO n = 5 (252)

Fre

cuen

cia

60

50

40

30

20

10

0

ERROR DE MUESTREO = ERROR DE MUESTREO = ERROR DE MUESTREO = ERROR DE MUESTREO = X X X X ---- µµµµ

X X X X ---- µµµµ = = = = ε ;;;; ε ==== ZZZZ 1111----αααα x x x x E E ( X ) =E E ( X ) =E E ( X ) =E E ( X ) = σσσσn

ZZZZ 1111----αααα xxxx

Confianza

µµµµ

Es posible construir un intervalo de confianza

LI: LS:

Xi

Xi

ε−x

Tenga presente que Z = (X - µµµµ )σσσσ X /√√√√ n

ε+x

212, αα −zz

nz

σε α2

1−=n

zσε α

2=

Intervalo de confianza

� Si aplica la distribución normal, seleccionamos un número a entre 0 y 1 tal

que P( -z αααα /2 < Z < z 1- αααα /2 ) = 1 - αααα

� Si la varianza σσσσ2 es conocida:

ασµ

αα −=≤−≤− 1)(22

z

n

xzP

ασµσαα −=+≤≤− 1)(

22 nzx

nzxP

5

P( -z αααα /2 < Z < z 1111−−−−αααα /2 ) = 1 -ααααR eg la em pírica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

1- αααα1111−−−−αααα /2

αααα/2

-z αααα /2 z 1111−−−−αααα /2

Recordemos:

Margen de error E

� E Es la mitad del ancho del intervalo

� Corresponde a la precisión del intervalo

54.315

796.1 ==

nzx

nzx

σµσαα

21

2−+≤≤−

En

zσ

α2

1−=

)34;27(

)54.353.30;54.353.30(

)5.3;5.3(

%95IC

xx

+−+−µµµµ:

Confianza µ

Muestra 7

Muestra 6

Muestra 5

Muestra 4

Muestra 3

Muestra 2

Muestra 1

Interpretación : Existe una probabilidad del 95% de que el intervalo (27; 34) contenga a la media de edad de las personas con VIH ?

µµµµ

Pregunta: Que tan precisa es la estimación de µµµµ ?

La precisión en la estimación, depende del tamaño de la muestra y la variabilidad de la característica objeto de estudio.

•Si el tamaño de muestra aumenta el error de estimación disminuye (el intervalo de confianza se hace menor) o viceversa.

•Si la varianza de la variable de interés disminuye, el estimador disminuye por lo tanto el error de estimación disminuye, o viceversa.

LI LS

Xi

Xi

6

Qué sucede cuando la varianza poblacional se desconoce (que es lo más corriente), por ejemplo en el caso de las personas con VIH reportados al departamento?:

Recordemos que los supuestos son: La edad presenta baja dispersiónLa edad se distribuye de manera normalLa varianza de la edad es desconocida:

σσσσ2=?

Cuando se desconoce la varianza poblacional, no es recomendable utilizar Z como coeficiente de confiabilidad

Registro Edad1 312 243 354 425 416 457 208 319 41

10 2511 2812 2113 2014 2615 28

Media 30,53Desviación estándar8,45Estándar

Es posible construir un estadístico T que tiene un comportamiento T de Student n-1 grados de libertad.

n

sx

t 0µ−=

αµαα −=≤−≤ − 1)(

21

2t

n

sx

tP

DISTRIBUCION MUESTRAL DEL PROMEDIO CON VARIANZA POB. DESCONOCIDA O

RESUMEN: MEDIA, VARIANZA Y ERROR ESTANDAR DE LA MEDIA MUESTRAL NECESARIOS PARA LA ESTIMACION DE LA MEDIA POBLACIONAL

µµµµLI LS

Si f=n/N > 5% ⇒⇒⇒⇒

Si f=n/N ≤≤≤≤ 5% ⇒⇒⇒⇒

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LAS DIFERENCIAS DE MEDIAS DE POBLACIONES INDEPENDIENTES - Varianza conocida

2

2

22

1

21

2121

2

)()(αα

σσµµ

z

nn

xxz ≤

+

−−−≤−

Usamos:

7

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS POBLACIONES INDEPENDIENTES-Varianza común desconocida

21

21

2121

2 11

)()(αα

µµ−

≤+

−−−≤ t

nns

xxt

Usamos

¿Cómo se calcula?

Cuando X es una variable binomial y se cumple que:1. n es grande,2. nP es mayor a 53. nQ es mayor a 5,

Entonces (por el Teorema del límite central TLC) lavariable X se distribuye aproximadamente normal con

1. Media nP (nπ)2. Varianza PQ/n

Notación:P: πQ=(1- π)

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCION

LI LS

Número de éxitos seleccionados en la muestra Total mediciones (Número de éxitos y fracaso)

= =º

Se puede construir un estadístico

Que tiene distribución normal con 1. Media

1. Varianza

2. Error estándar

nPQ/

nQP /.

nP

LI LS

Si f=n/N ≤≤≤≤ 5% ⇒⇒⇒⇒

Si f=n/N > 5% ⇒⇒⇒⇒

También se debe considerar la fracción de muestreo:

Hay que ajustar!

Se puede pasar por alto lacorrección por población finita

8

Procedimiento para la estimación de la proporción Poblacional

Qué sucede con los supuestos?Qué tan grande es n ? SiEs nP y nQ mayor a 0.05 ? SiEs la fracción de muestre f=n/N > 5%? Si

εεεε =

Entonces para estimar P o ππππ :

Debe tener en cuenta el factor de corrección por población finita

εεεε =

εεεε = 1.96 [√√√√ (0.2)(0.8)/209] [√√√√(600-210)/(600-1)]εεεε = 1.96 * 0.028 * 0.807 = 0.044

Procedimiento para la estimación de la proporción Poblacional

LI: 0.20 – 0.044 =0.156 LS: 0.20 + 0.044 =0.244

Conclusión: El intervalo (0.156, 0.244) tiene una probabilidad del 95% de contener a P (ππππ ).

εεεε =

θθθθ

Podemos generalizar el caso del estimador de la media poblacional a otros estimadores poblaciones

LI LS

Parámetro θ

Estimador

Error estándar de

distrib. Teórica

µµµµ σ/√ n Z, tn-1

P √ p q / n Z

µµµµ1 - µµµµ2

S.√ 1/n1+1/n2

S2=(n1-1)S 1

2+(n2-1)S22

n1+n2-2

t n1+ n2 - 2

µµµµ1 - µµµµ2

√ σ12/n1+σ22/n2

Z

t n1+ n2 - 2

P1 – P2

√ P1 q1/n1+P 2q 2/n2 Z

________________________________________________

√√√√/n/n/n/n1111 + + + + /n/n/n/n2222En donde, En donde, En donde, En donde, = = = = nnnn 1111 pppp 1111 + n+ n+ n+ n 2222pppp 2222

nnnn 1111 + n+ n+ n+ n 2222

√pq/(n√pq/(n√pq/(n√pq/(n----1) ó1) ó1) ó1) ó

√PQ/n√PQ/n√PQ/n√PQ/n

Criterios para fijar el tamaño de muestra:� Diseño muestral (Aleatorio simple, estratificado,

conglomerados, etc)

� Recursos disponibles

� Plan de análisis

� Exactitud en la estimación

� Las tabulaciones cruzadas (Valor mínimo en cada casilla de 5 casos cuando sea posible)

Tamaño de muestra

9

Estimación del tamaño de la muestra para estimar elpromedio de una población en un muestreo aleatorio

simple

Para estimar la media de una variable cuantitativa ( peso, talla, edad)en una población, el tamaño de la muestra a seleccionar dependerá de los siguientes aspectos:

1. Error aceptado o error de estimación deseado: εεεε2. Nivel de confianza deseado: 1 - significancia=1- ∝∝∝∝3. Desviación estándar de la variable objeto de estudio: σσσσx4. Error estándar del estimador: si f=n/N< 5% :

_• EE (X), Si f=n/N>5% :

Estimación del tamaño de la muestra para estimar elpromedio de una población en un muestreo aleatorio

simple

Luego el error de estimación cuando f=n/N<5%, esta dado por:

Al despejar n se obtiene la fórmula detamaño de muestra preliminar:

Ojo! Cuando la fracción de muestreo f=n/N >= 5%, entonces, se hace un ajuste por población finita:

n= n0 o equivalentemente n= (n0 * N) / (n0+ N)1 + n0

N

εεεε =

n0 =

Ejemplo: Estimación del tamaño de la muestrapara estimar el promedio de una población

La oficina de Trabajo planea un estudio con el interés de conocer elpromedio de horas semanales trabajadas por las mujeres del serviciodoméstico. La muestra será extraída de una población de N=10000mujeres que figuran en los registros de la Seguridad Social y de lascuales se conoce a través de un estudio piloto que su varianza es deσσσσ2

x =9.648 horas. Trabajando con un nivel de confianza de 0.95(∝∝∝∝ =0.05) y estando dispuestos a admitir un error de estimaciónmáximo de εεεε =0.2 horas.

¿cuál debe ser el tamaño muestral “n” que se debeemplear?.

σσσσ2x =9.648 ; εεεε =0.2 ; N=10000;

Para ∝∝∝∝ =0.05 Z1- ∝/2 = 1.96

n0 = 1.96 2 * 9.648 / 0.2 2 = 927

Como f=n/N > 5%, 927/ 10000 = 0.0927 es decir 9.27%

n= ( n0 * N) / (n0+ N) = 927* 10000 / (927+ 10000) = 848

R/: El tamaño muestral debe ser de 848empleadas

SOLUCION AL EJEMPLO:Estimación del tamaño de la muestra para estimar el promedio de una población

n0 =

10

Estimación del tamaño de la muestra para estimar la proporción de una población mediante un

muestreo aleatorio simple

Cálculo del tamaño de la muestra para estimar la Proporción poblacional

Para determinar la proporción de éxito o fracaso (de enfermedad o de exposición) de una variable cualitativa, el tamaño de la muestra a tomar depende:

•Error aceptado o error de estimación deseado: εεεε•Nivel de confianza deseado: ∝∝∝∝•Proporción de éxito (prevalencia, proporción de exposición): P , ππππ•Error estándar del estimador P :

•Cuando f= n/N >5% entonces

o

Recuerde que el error de estimación P o ππππ esta determinado por:

Al despejar n se obtiene la fórmula de tamaño de muestra preliminar:

no = (Z1- ∝∝∝∝/2 ) 2 P . Q / εεεε 2

Ojo! Cuando la fracción de muestreo f=n/N >= 5%, entonces, se hace un ajuste por población finita:

n= n0 o equivalentemente n= (n0 * N) / (n0+ N)1 + n0

N

εεεε = =

Cálculo del tamaño de la muestra para estimar La proporción de una población

Ejemplo : Estimación del tamaño de muestra para una proporción poblacional

Suponga que se desea realizar un estudio sobre la población de unmunicipio, en el que a través de una muestra representativa, se pretende estimar el porcentaje de hogares pobres en la zona rural. La información disponible para realizar el diseño de muestreo es un

listado de N=600 hogares correspondiente a un censo reciente realizado por las promotoras de salud del municipio. Según datos históricos el municipio presenta en la zona rural un 30% (P=0.30, Q=0.70) de población pobre.

Estimar el numero de hogares a seleccionar, con un nivel de confianza del 95% (∝∝∝∝=0.05) y un error de estimación del 5% (εεεε=0.05).

11

P = 0.30 ; Q = 1 - 0.30 = 0.7 ; ε : 0.05Z1- ∝/2 = 1.96

n0 = Z1- ∝/2 2 . P.Q / ε 2 = 1.96 2 0.30 *0.70*/ 0.05 2

n0 = 322.7 = 323

Como la fracción de muestreo es mayor al 5%

n= 323 * 600 / (323+ 600) =210

Rpta: El tamaño muestral debe ser de 210 hogares

Procedimiento para calcular el tamaño de muestra para estimar la proporción Poblacional

� No perder de vista los objetivos de la investigaciónNo perder de vista los objetivos de la investigaciónNo perder de vista los objetivos de la investigaciónNo perder de vista los objetivos de la investigación

� Elegir el tipo de muestra y los instrumentos que mejor sirvan a los Elegir el tipo de muestra y los instrumentos que mejor sirvan a los Elegir el tipo de muestra y los instrumentos que mejor sirvan a los Elegir el tipo de muestra y los instrumentos que mejor sirvan a los objetivos del estudio objetivos del estudio objetivos del estudio objetivos del estudio

� Usar preferentemente muestras probabilísticas y tests de Usar preferentemente muestras probabilísticas y tests de Usar preferentemente muestras probabilísticas y tests de Usar preferentemente muestras probabilísticas y tests de significación (son recursos para conseguir objetividad). significación (son recursos para conseguir objetividad). significación (son recursos para conseguir objetividad). significación (son recursos para conseguir objetividad).

� Cumplir las condiciones esenciales al utilizar muestras Cumplir las condiciones esenciales al utilizar muestras Cumplir las condiciones esenciales al utilizar muestras Cumplir las condiciones esenciales al utilizar muestras probabilísticas.probabilísticas.probabilísticas.probabilísticas.

� Utilizar los tests bajo condiciones preestablecidas y consensuadas.Utilizar los tests bajo condiciones preestablecidas y consensuadas.Utilizar los tests bajo condiciones preestablecidas y consensuadas.Utilizar los tests bajo condiciones preestablecidas y consensuadas.

Consejos al investigador

Diseño de muestreo:Muestreo Aleatorio Sistemático

Recomendación al investigador•Usar preferentemente muestras probabilísticas y tests de significación (son recursos para conseguir objetividad).

Variante del MAS: Cada elemento de la población tiene una misma probabilidad de quedar en la muestra

Se usa cuando la varianza del estimador es homogénea

El tamaño de la muestra se obtiene de manera similar al MAS

Produce errores de estimación similares al MAS si se cumple lo siguiente:

•Si los elementos de la población son ordenados en magnitud de acuerdo a un esquema•Si los elementos de la población tienen variación cíclica

Ventajas:Fácil de realizar en el campo.Simplifica el proceso de selección de la muestra

QUE CARACTERISTICAS TIENE EL DISEÑO DE MUESTREO SISTEMATICO?

12

Muestras de tamaño n extraida aleatoriamente de una población de tamaño N donde se selecciona un elemento entre los primeros k elementos del marco muestral y después cada k-esimo elemento es tambien seleccionado hasta completar el tamaño de la muestra “n”

QUE ES UNA MUESTRA ALEATORIA SISTEMATICA?

Muestreo Sistemático:Procedimiento

1. Se ordena la lista de las N unidades muestrales 2. Se calcula el tamaño de muestra,

Ejemplo anterior: n= 210; N=600

Se determina el valor de k = N/n Ejemplo anterior: 600/210 ≈≈≈≈ 3

Elegir aleatoriamente un número m, entre 1 y k=3; Ejemplo anterior: m=2

3. Se realiza el proceso de selección de la muestra a partir del numero seleccionado m,

Ejemplo anterior: m=2

Muestreo Sistemático: : Procedimiento

4. Se toma como muestra los elementos de la lista que consisten en ir saltando de k elementos en k, a partir de m.

Ejemplo anterior:Como m=2 y teniendo en cuenta que la lista es circular los elementos de la muestra serán: 2, 5, 8 , ..... hasta completar los 210