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ÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICE
ÍNDICE DE CUADROS 5 ÍNDICE DE FIGURAS 9
ÍNDICE DE FÓRMULAS 13
RESUMEN 15
INTRODUCCIÓN 16
CAP. I : INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA 17
1.1. INTRODUCCIÓN 17
1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA 19
1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA 20
CAP. I I : INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS 22
2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES 22
2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES 30
CAP. I I I : LEVANTAMIENTOS DE CAMPO 42
3.1. INTRODUCCIÓN 42
3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO 43
3.3. L IBRETAS DE CAMPO 44
3.4. CLASES DE ANOTACIONES 45
3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES 47
3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO 50
CAP. IV: CÁLCULOS DE GABINETE 52
4.1. INTRODUCCIÓN 52
4.2. CONSIDERACIONES BÁSICAS 52 4.3. CALCULADORAS ELECTRÓNICAS DE BOLSILLO 53
4.4. UNIDADES DE MEDIDA 54
4.5. UNIDADES EN TOPOGRAFÍA 56
4.6. S ISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S I ) 59
4.7. CIFRAS SIGNIFICATIVAS 59
4.8. PROBLEMAS RELACIONADOS CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS 60
4.9. REDONDEO DE NÚMEROS 61
4.10. COMPROBACIONES 62
4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS 63
CAP. V: ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE CAMPO 64
5.1. INTRODUCCIÓN 64
5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS 65
5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS 66
4.4. T IPOS DE ERRORES 67
5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES 68
5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES 70 5.7. CÁLCULO DE ERRORES 70
5.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 78
CAP. VI : MEDIDA DE DISTANCIAS 83
6.1. INTRODUCCIÓN 83
2
6.2. CINTAS 83
6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN 83
6.4. CALIBRACIÓN 84
6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA 85
6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE 85
6.7. CORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTA 87
6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS 92
6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS INCLINADAS 93
6.10. PROBLEMAS PROPUESTOS 94
CAP. VII : NIVELACIÓN COMPUESTA 96
7.1. INTRODUCCIÓN 96
7.2. ALGUNAS DEFINICIONES 96
7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN 99
7.4. CLASES DE NIVELACIÓN 100
7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN 101
7.6. ORDENES DE PRECISIÓN 103
7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN 104
7.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 109
CAP. VII I : NIVELACIÓN DE CIRCUITO CERRADO 115
8.1. INTRODUCCIÓN 115
8.2. COMPROBACIÓN DE COTAS 116
8.3. CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CIERRE 116
8.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 117
CAP. IX: MEDIDA Y TRAZADO DE PERFILES 122
9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES. 122
9.2. PROBLEMAS PROPUESTOS 125
CAP. X: MEDICIONES ANGULARES 128
10.1. INTRODUCCIÓN 128 10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO 128
10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES 129
10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA 131
10.5. AZIMUT 132
10.6. RUMBOS 133
10.7. COMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOS 134
10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES 135
10.9. CALCULO DE RUMBOS 136
10.10. PROBLEMAS PROPUESTOS 138
CAP. XI : POLIGONACIÓN 142
11.1. INTRODUCCIÓN 142
11.2.TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO RADIACIÓN 144
11.3. COORDENADAS RECTANGULARES 146
11.4. LATITUDES Y ALEJAMIENTOS 147
11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL 149
11.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 163
CAP. XII : LEVANTAMIENTO DE PREDIOS IRREGULARES 175
3
12.1. INTRODUCCIÓN 175
12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO 175
12.3.TÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSON 176
12.4.TÉCNICA DE COORDENADAS 178
12.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 185
CAP. XII I : LEVANTAMIENTO DE PREDIOS LIGADOS 189
13.1. INTRODUCCIÓN 189
13.2.CÁLCULO TIPO DE UN PREDIO LIGADO 189
13.3.PROBLEMAS PROPUESTOS 199
CAP. XIV: FRACCIONAMIENTO POR LÍNEA 207
14.2.LOS DATOS DE PARTIDA 207
14.6.PROBLEMAS PROPUESTOS 223
CAP. XV. FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS 232
15.1. INTRODUCCIÓN 232
15.2. LOS DATOS DE PARTIDA 232
15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS 233
15.4. CÁLCULOS DEL FRA CCIONA MI ENTO CON DAT OS DEL SUBPREDI O 1 233
15.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 240
CAP. XVI: TRIANGULACIÓN 250
16.1. INTRODUCCIÓN 250
16.2. S ISTEMAS DE TRIANGULACIÓN 250
16.3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN 253
16.4. RECONOCIMIENTO 254
16.5. MEDICIONES Y CORRECCIONES DE LAS BASES 255
16.6. AJUSTE DE ÁNGULOS 256
16.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS 257
16.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 264
CAP. XVII : TRILATERACIÓN 272
17.1. INTRODUCCIÓN 272
17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES 272
17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN 273
17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS 274
17.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 283
CAP. XVII I : LEVANTAMIENTOS COMBINADOS 292
18.1. INTRODUCCIÓN 292
18.2. CÁLCULO DEL SISTEMA COMBINADO 292
18.3. PROBLEMAS PROPUESTOS 325
CAP. XIX: CURVAS DE SUPERFICIE 337
19.1. INTRODUCCIÓN 337
19.2. TIPOS DE CURVAS HORIZONTALES 337
19.3. ELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLE 339
19.4. FORMULAS DE LA CURVA SIMPLE 341
19.5. SOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLE 343
19.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 346
4
CAP. XX: CURVAS DE NIVEL 347
20.1. INTRODUCCIÓN 347
20.2. CURVAS DE NIVEL 347
20.3. TIPOS DE CURVA DE NIVEL 348
20.4. MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL 349
20.5. DESARROLLO DE LA MARCACION DE UNA CURVA DE NIVEL 351
20.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 353
CAP. XXI : LEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOS 356
21.1. GENERALIDADES 356
21.2. CARACTERÍSTICAS DEL LEVANTAMIENTO HIDROGRÁFICO 357
21.3. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS Y DE COSTAS 359
21.4. EQUIPO PARA HIDROGRAFÍA 360
21.5. OPERACIONES DE SONDEO 362
21.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 365
CAP. XXI I : CURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICAS 367
22.1. INTRODUCCIÓN 367
22.2. S ISTEMA A 367
22.3. S ISTEMA B 369
22.4. S ISTEMA C 370
22.5. S ISTEMA D 371
22.6. INTERPOLACIÓN DE CURVAS DE NIVEL 371
22.7. PROBLEMAS PROPUESTOS 373
CAP. XXI I I : LEVANTAMIENTO PARA OBRAS Y CONSTRUCCIONES 375
23.1. INTRODUCCIÓN 375
23.2. ALINEAMIENTO 376
23.3. RASANTE 376
23.4. TRAZO DE EDIFICIOS 378
23.5. ALCANTARILLAS 380
23.6. LAS CALLES 381 23.7. S ISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍAS 381
FUENTES DE INFORMACIÓN 383
5
ÍÍÍÍNDICE DE CUADROSNDICE DE CUADROSNDICE DE CUADROSNDICE DE CUADROS
NÚMERO Y DENO MINA CIÓN DE CUA DRO S PÁG.
CUADR O N° 4.1. C IFRAS S IGN IF ICA TIVAS 60
CUADR O N° 5.1. EJEMPLO DE CÁ LC UL O ERRO RES 73
CUADR O N° 5.2. OTRO EJEMPL O DE CÁL CUL O ERR ORES 74
CUADR O N° 5.3. CÁLCUL O DE MEDIDAS P ONDERADAS 78
CUADR O 7.1. REG ISTR O DE CAM PO PARA LA NI VE LACIÓN DI FERE NCI AL 106
CUADR O 7.2. CÁLCUL O DE LAS E LEVACIONES 107
CUADR O 7.3. CÁLCUL O DEL DESNI VE L 108
CUADR O 7.4. CÁLCUL O DE LA COMPROB ACI ÓN DEL DESNI VEL 108
CUADR O 8.1. REG ISTR O DE UNA N IVE LACI ÓN DE C IRC UIT O C ERRA DO 115
CUADR O 8.2. CÁLCUL O DE COT AS DE UN CIR CU ITO CERRADO 115
CUADR O 8.3. CÁLCUL O DE COT AS CORRE GIDAS 116
CUADR O N° 9.1. REG ISTR O DE CAMPO DE UN PERF IL L ONGI TUDINAL 123
CUADR O N° 9.2. CÁLCUL O DE DESNIV EL DE L PERF IL L ONGI TUDINAL 124
CUADR O N° 9.3. COMPROBACI ÓN DEL DESNI VEL 124
CUADR O N° 10.1. COMP ARACI ÓN E NT RE AZ IM UTE S Y RUM BOS 135
CUADR O N° 11.1. DATOS DE CA MPO 150
CUADR O N° 11.2. CORRE CCI ÓN D E ÁNGU LOS I NTERNOS 150
CUADR O N° 11.3. RUMB OS DE L A P OLIGON AL 154
CUADR O N° 11.4. CÁLCU LO DE ALEJA MIEN TOS Y LAT IT UDES 154
CUADR O N° 11.5. CORRE CCI ÓN D E ALEJAMIENT OS Y LAT ITU DES 159
CUADR O N° 11.6. TABU LA CIÓ N CO MPLETA 160
CUADR O N° 11.7. CÁLCU LO DE COORDENA DAS 160
CUADR O N° 11.8. TABU LA CIÓ N VERTICAL 162
CUADR O N° 11.9. CÁLCU LO DE L ÁREA DEL PREDIO 163
CUADR O N° 12.1. DATOS DE LA PAR TE REGU LAR 180
CUADR O N° 12.2. DATOS DE LA PAR TE IRRE GULAR 180
CUADR O N° 12.3. CÁLCU LO DE ALEJA MIEN TOS Y LAT IT UDES 181
CUADR O N° 12.4. COMPENSA CIÓN DE ALE JA MIE NTOS Y L AT IT UDES 181
CUADR O N° 12.5. CÁLCU LO DE LAS M EDI DAS C ORREG IDAS 182
CUADR O N° 12.6. CÁLCU LO DE ABSC ISAS Y OR DE NADAS 183
CUADR O N° 12.7. CÁLCU LO DE L ÁREA DEL PREDIO IRREGULAR 184
CUADR O N° 12.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL PR ED IO I RREGU LAR 184
CUADR O N° 13.1. DATOS DE LA P OLIGO NAL DE A POY O 190
CUADR O N° 13.2. DATOS DE LA L IG AS 191
CUADR O N° 13.3. CÁLCU LO DE ALEJA MIEN TOS Y LAT IT UDES 192
CUADR O N° 13.4. CORRE CCI ONES DE A LEJ AM IENT OS Y LA TI TU DES 192
CUADR O N° 13.5. CÁLCU LO DE M ED IDAS C ORREG IDAS 193
CUADR O N° 13.6. CÁLCU LO DE ALEJA MIEN TOS Y LAT IT UDES DE LI GAS 194
CUADR O N° 13.7. CÁLCU LO DE LA CORRECC IÓN DE L IGAS 194
CUADR O N° 13.8. CÁLCU LO DE LAS COOR DE NAD AS DE L IGA S 194
CUADR O N° 13.9. CÁLCU LO DE LAS COOR DE NAD AS DE PREDIO 197
CUADR O N° 13.10. CÁLCUL O DE A LEJAM IENT OS Y LAT ITUDES DE L PREDI O 198
6
CUADR O N° 13.11. CÁLCUL O DE RUMBO S Y D IST ANC IAS DEL PREDIO 198
CUADR O N° 13.12. CÁLCUL O DE L A SUPERFI C IE DEL PRED IO 198
CUADR O N° 14.1. DATOS DE PART IDA D EL FRACCIO NAMIEN TO 207
CUADR O N° 14.2. CÁL CUL O DE ALE JA MIE NTOS Y LA TIT UD ES DEL
FRA CCI ONAMIEN TO 209
CUADR O N° 14.3. TABULAC IÓN DE RUM B OS Y D IST AN CIAS DEL
FRA CCI ONAMIEN TO 212
CUADR O N° 14.4. TAB ULACIÓN DE CO ORD ENADA S RELA TIVAS DEL
FRA CCI ONAMIEN TO 213
CUADR O N° 14.5. MATR IZ VERTICAL DE CO ORDENADAS RE LA TIVAS DEL
FRA CCI ONAMIEN TO 214
CUADR O N° 14.6. CÁLC ULO DE D OBLE S ÁREAS Y ÁRE A D EL
FRA CCI ONAMIEN TO 215
CUADR O N° 14.7. MEDID AS DEL S UB PREDIO 1 216
CUADR O N° 14.8. CÁLCU LO DE ALEJAM IENTO S Y LA T ITUDES D EL S UBPRE DIO
1 217
CUADR O N° 14.9. COM PR OBACI ÓN ALE JA MIE NTO S Y LAT IT UDES D EL
SUBPRE DI O 1 218
CUADR O N° 14.10. LEY DE SENOS PARA E L SUBPR ED IO 1 219
CUADR O N° 14.11. COM PR OBACI ÓN DE A LEJ AM IENT OS Y L AT IT UDES DEL
SUBPRE DI O 1 221
CUADR O N° 14.12. CÁLCUL O DE L ÁREA DE L SUBPRED IO 1 222
CUADR O N° 14.13. CÁLCUL O DE L ÁREA DE L SUBPRED IO 2 223
CUADR O N° 14.14. RESUMEN DE ÁREAS DEL PRE DIO 223
CUADR O N° 15.1. DATOS DE PART IDA D EL FRACCIO NAMIEN TO POR P UNT OS 232
CUADR O N° 15.2. CÁL CUL O DE ALE JA MIE NTOS Y LA TIT UD ES DEL
FRA CCI ONAMIEN TO POR PUNT OS 234
CUADR O N° 15.3. COMPROB ACI ÓN DE ALEJAM IENTO S Y LA TIT UD ES DEL
FRA CCI ONAMIEN TO POR PUNT OS 236
CUADR O N° 15.4. CÁLCULO DE L ÁRE A DEL SU BPRE DIO 1 D EL
FRA CCI ONAMIEN TO POR PUNT OS 236
CUADR O N° 15.5. CÁLCU LO DE LA DIST ANC IA Y RUM B O DE L A L ÍNEA DEL
FRA CCI ONAMIEN TO POR PUNT OS 238
CUADR O N° 15.6. COM PR OBACI ÓN DE LA L ÍNEA DE FRA CCI ONAMIEN TO POR
PUNT OS 239
CUADR O N° 15.7. CÁLCU LO DE L ÁREA DEL FRA CCI ONAM IENTO PO R PUNT OS 240
CUADR O N° 15.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL FR ACCIONAM IENT O P OR PU NT OS 240
CUADR O N° 16.1. NORM AS DE EXA CTITUD Y LA S ESP EC IF ICACIONES
GENE RA LES DE LA TR IA NGUL ACIÓN 253
CUADR O N° 16.2. DATOS DE LA F IGURA DE PUNT O CENTRAL 257
CUADR O N° 16.3. CON VERSI ÓN A DECIM ALES DE GRADO 258
CUADR O N° 16.4. ORDENACI ÓN DE L OS ÁN GUL OS PARES E IM PARES 259
CUADR O N° 16.5. CÁL CU LO DE L OS SEN OS DE L OS ÁNGUL OS PARES E
IMP ARES 259
CUADR O N° 16.6. CÁL CUL O DE LAS PA RTES PROP OR CION ALES DE L OS
SENOS DE L OS ÁN GUL OS PARES E I MPARES 260
CUADR O N° 16.7. CÁLCUL O DE LOS ÁNG UL OS PARES E IMP ARES
CORR EG IDOS 261
CUADR O N° 16.8. CÁLCU LO DE DISTANCIAS DE LA TR IANGULACIÓN 262
7
CUADR O N° 16.9. CÁL CU LO DE RUM BOS Y D ISTANCIAS DE LA
TRIANGULACIÓ N 263
CUADR O N° 16.10. CÁLCUL O DE A LEJ AM IE NT OS Y D IS TA NCIAS DE LA
TRIANGULACIÓ N 263
CUADR O N° 16.11. CÁLCUL O DE L ÁREA DE L A TR IANGU LA CI ÓN 263
CUADR O N° 17.1. MEDIDAS DEL SISTEMA T RILATE RAD O 274
CUADR O N° 17.2. COMPRO BACIÓN DE LOS Á NGU LOS I NTERN OS 276
CUADR O N° 17.3. CÁL CULO DE L OS ÁNGU LOS INTER NOS D EL SEG UND O
TRIÁNGULO 277
CUADR O N° 17.4. CÁLC ULO DE L OS ÁNG UL O S INTER NOS DEL TERCER
TRIÁNGULO 277
CUADR O N° 17.5. CÁLC UL O D E L OS ÁNGUL OS INTERN OS DEL CUAR TO
TRIÁNGULO 277
CUADR O N° 17.6. CÁLCULO DE L OS ÁNGUL OS INTER NOS DE L QUI NT O
TRIÁNGULO 278
CUADR O N° 17.7. CÁL CUL O DE L OS ÁNG UL OS I NT ERNOS DE L SEX TO
TRIÁNGULO 278
CUADR O N° 17.8. CÁL CUL O DE LOS ÁNGU LOS INTERNOS DE L SÉP TI MO
TRIÁNGULO 278
CUADR O N° 17.9. CÁL CU LO DE L OS ÁNGULO S INTER NOS DE L ÚLT IM O
TRIÁNGULO 279
CUADR O N° 17.10. ÁNGUL OS IN TERNOS DEL S IST EM A T RILA TERA DO 279
CUADR O N° 17.11. ÁNGU LOS INTER NOS C ORREG IDO S DEL S ISTEM A
TRIL ATE RA DO 280
CUADR O N° 17.12. RUMBO S Y D IST ANC IAS DE L SI STEMA TR ILATER AD O 281
CUADR O N° 17.13. ALEJAM IE NT OS Y LAT ITUDES DEL S IS TE MA T R ILA TERA DO 281
CUADR O N° 17.14. ALEJAM IE NTO S Y L AT ITUDES COMPENS AD OS DEL
S IST EM A TR ILATERA DO 282
CUADR O N° 17.15. ÁREA DEL SISTEMA TR ILATERAD O 282
CUADR O N° 18.1. MEDIDAS DEL SISTEMA CO M BIN ADO 293
CUADR O N° 18.2. MEDIDAS DEL PO LÍ GON O COM BINADO 293
CUADR O N° 18.3. MEDIDAS DEL PRIMER TRI ÁNGUL O COM BINAD O 294
CUADR O N° 18.4. MEDIDAS DEL SEGUNDO TR IÁN GUL O C OMBI NAD O 294
CUADR O N° 18.5. MEDIDAS DEL TERCER TR IÁ NGU LO COM BINA DO 294
CUADR O N° 18.6. MEDIDAS DEL CUADR IL ÁTER O CO M BINADO 296
CUADR O N° 18.7. CORRE CCIÓN DE ME DID AS DE L CUA DR ILÁTERO
CO MBIN ADO 296
CUADR O N° 18.8. CORREC CIÓN D E PARES OP UE ST OS DEL CUA DR ILÁTERO
CO MBIN ADO 298
CUADR O N° 18.9. ORDENA CIÓN EN ÁNGUL OS PARES E IMPARES DEL
CU AD RILÁTE RO C OM BI NAD O 298
CUADR O N° 18.10. CÁ LCUL O DE SENOS DE ÁNGU LOS PARES E IM PARE S DEL
CU AD RILÁTE RO C OM BI NAD O 299
CUADR O N° 18.11. CÁL CUL O DE SE NOS DE LAS PARTES PROP OR CION ALES
DE L OS ÁNGUL OS PARES E IMPARES DEL CUADRI LÁ TERO COM B INA DO 300
CUADR O N° 18.12. CORR ECC IÓN DE ÁNGUL OS PARES E I MPARES DEL
CU AD RILÁTE RO C OM BI NAD O 301
CUADR O N° 18.14. CÁL CUL O D E D ISTANCI AS DE L CUA DR I LÁ TERO
CO MBIN ADO 302
8
CUADR O N° 18.15. CÁLCULO DE DEC IM AL ES D E GRADO DE L PO LÍGONO
CO MBIN ADO 303
CUADR O N° 18.16. CORRECC IÓN GEOM ÉT RI CA DEL P OLÍGONO C OM BI NAD O 304
CUADR O N° 18.17. ORDE NA CIÓN EN ÁNGUL OS PARES E IMPARES DEL
POL ÍGON O COM BIN ADO 305
CUADR O N° 18.18. CÁ LCUL O DE SENOS DE ÁNGU LOS PARES E IM PARE S DEL
POL ÍGON O COM BIN ADO 306
CUADR O N° 18.19. CÁL CUL O DE SE NOS DE LAS PARTES PROP OR CION ALES
DE Á NGUL OS PARES E I MPARES DEL POLÍGON O CO MBIN ADO 307
CUADR O N° 18.20. CORR EC CIÓN TR IGO NOMÉ TR ICA DE ÁNGUL OS D EL
POL ÍGON O COM BIN ADO 308
CUADR O N° 18.21. ÁNGU LOS CENTR AL ES DE L POL ÍG ONO COM BINA DO 308
CUADR O N° 18.22. D I STANCIAS DEL PO LÍGONO CO MBINADO 310
CUADR O N° 18.23. ÁNG UL OS INTERNOS DE L PRI MER TR IÁN GUL O DEL
S IST EM A CO MBINAD O 311
CUADR O N° 18.24. ÁNGUL OS INTERNOS DEL S EGUND O TR IÁNG UL O D EL
S IST EM A CO MBINAD O 311
CUADR O N° 18.24. ÁNGUL OS INT ERNOS DE L TERCER TR IÁN GUL O DEL
S IST EM A CO MBINAD O 312
CUADR O N° 18.25. CORRE CCI ÓN DE ÁNGU LOS IN TERN OS Y DISTAN CIAS DEL
POL ÍGON O DE APOY O DEL SISTEMA COM BIN ADO 313
CUADR O N° 18.26. RUMBOS Y DI ST ANC IAS DE L POL ÍGON O DE APO YO D EL
S IST EM A CO MBINAD O 313
CUADR O N° 18.27. ALE JAMIENT OS Y LA T ITU DES DE L P OL ÍGO NO DE AP OY O
DE L SISTEMA COM BINADO 314
CUADR O N° 18.28. COORDENA DA S Y ÁREA DEL POL ÍGON O DE APOYO DEL
S IST EM A CO MBINAD O 314
CUADR O N° 18.29. ALEJAM IENTO S Y LAT ITUDES DE L AS L IGAS D EL S IST EM A
CO MBIN ADO 315
CUADR O N° 18.30. COMPENSA CIÓN DE ALEJAM IENTO S Y LA TI TU DE S D E L AS
L IGAS DEL S ISTEM A C OM BI NAD O 316
CUADR O N° 18.31. CO ORDENA DA S DE LAS L IGAS DEL S ISTE MA CO M BINAD O 316
CUADR O N° 18.32. COORDE NA DAS DE LAS L IG AS Y DE APOY O DEL S ISTEM A
CO MBIN ADO 317
CUADR O N° 18.33. CO ORDENA DA S DEL SISTEMA CO MBIN ADO 318
CUADR O N° 18.34. MATR IZ DEL S ISTEM A C OM BI NAD O 318
CUADR O N° 18.35. ÁREA DE L SI STEMA COM B INA DO 319
CUADR O N° 18.36. MED IDAS DEL S ISTEMA C OMBI NAD O 320
CUADR O N° 18.37. ALEJA M IENTOS Y LAT I TU DES DEL FRA CCI ONA MIE NTO
DE L SISTEMA COM BINADO 321
CUADR O N° 18.38. COM PR OBACI ÓN DE A LEJ AM IENT OS Y L AT IT UDES DEL
FRA CCI ONAMIEN TO DE L S ISTE MA C OMBINAD O 322
CUADR O N° 18.39. COM PR OBACI ÓN DE A LEJ AM IENT OS Y L AT IT UDES DEL
PRIM ER PREDI O DEL SI STEMA COM B INA DO 324
CUADR O N° 18.40. COOR DE NADAS Y ÁRE A DE L PR IMER PREDIO D EL
S IST EM A CO MBINAD O 324
9
ÍÍÍÍNDICE DE NDICE DE NDICE DE NDICE DE FIGURASFIGURASFIGURASFIGURAS
NÚMERO Y DENO MI NACIÓN DE FIGURA S PÁG.
F I GUR A N° 2.1. CALIBRA CIÓ N DE C INTAS MÉTR ICAS 23
F I GUR A N° 2.2. PLOMA DA ME TÁ LI CA 23
F I GUR A N° 2.3. TENS IÓM ETRO 24
F I GUR A N° 2.4. JAL ÓN 24
F I GUR A N° 2.5. CORTE ESQUEM ÁT IC O DE U NA BRÚJUL A 25
F I GUR A N° 2.6. PARTES D E UNA BRÚJU LA 26
F I GUR A N° 2.7. T I POS DE M IRAS TOP OGR ÁF ICAS 28
F I GUR A N° 2.9. M IRA HOR IZ ONT AL 29
F I GUR A N° 2.10. TEODOLIT O 30
F I GUR A N° 2.11. LECTURA DE L TEO DOLIT O 31
F I GUR A N° 2.12. E SCALA DEL TEODO LITO 31
F I GUR A N° 2.13. E SCALA DE COINCI DE NCIA DE L TEODOL IT O 32
F I GUR A N° 2.14. OTRA ESCALA DE COIN CIDENC IA DEL TEOD OL IT O 32
F I GUR A N° 2.15. E JES DE UN TEODOL IT O 33
F I GUR A N° 2.16. TEODOLIT O ELE CTRÓN ICO 34
F I GUR A N° 2.17. E STACIÓN TOT AL ELECTR ÓNI CA 35
F I GUR A N° 2.18. N I VE L TUBULAR 37
F I GUR A N° 2.19. P ARTES DEL N IV EL DE INGENIERO 38
F I GUR A N° 2.20. N I VE L DE INGENIERO 38
F I GUR A N° 2.21. N I VE L DE ALT A P RECIS IÓN 39
F I GUR A N° 2.22. D I STAN CIÓMET ROS ELEC TR ÓNICOS 41
F I GUR A N° 3.1. REPRESENTACIÓ N GRÁF ICA DE L A L IBRETA DE CAMP O 44
F I GUR A N° 3.2. TABU LA CIÓ N E N LA L IBRET A DE CAMP O 45
F I GUR A N° 3.3. BOSQUEJ O EN LA L IB RETA DE CAMP O 46
F I GUR A N° 3.4. D ISTR IBUCI ÓN DE LA AN OTACI ONES EN LA L I BRETA DE
CAMP O 47
F I GUR A N° 3.5. FECHA, H ORA DE IN ICI O Y TERM I NAC IÓN DE L TRA BAJO 48
F I GUR A N° 3.6. CONDIC IONES DE L CLIMA 49
F I GUR A N° 3.7. BR IGADA DE CAMP O 49
F I GUR A N° 3.8. T I PO E IDE NT IF ICACIÓ N DE L INS TR UME NT O 50
F I GUR A N° 4.1. CALCULADORA ELECTRÓ NIC A DE BOLS IL LO 53
F I GUR A N° 4.2. UNIDADES PRIMI T I VAS DE ME DID A 55
F I GUR A N° 4.3. REDONDEO DE NÚ MER OS 62
F I GUR A N° 5.1. CLASES DE ERRO RES E N LAS ME DIDAS 10
F I GUR A N° 5.2. T I POS DE ERR ORES EN LAS M EDI DAS 68
F I GUR A N° 5.3. MAGNITUDES DE LO S ERR ORES 69
F I GUR A N° 5.4. INDIC ADORES MÁS USUALES DE ER RO RES 71
F I GUR A N° 7.1. ELEMENT OS DE UNA N IVE LACI ÓN 97
F I GUR A N° 7.2. CLASES DE N I VE LA CIÓN 101
10
F I GUR A N° 7.3. INSTRUM ENT OS Y ACCES OR I OS DE NIVELAC IÓN 102
F I GUR A N° 7.4. ORDENES DE PR EC IS IÓN DE LA N IV ELA CIÓN 103
F I GUR A N° 7.5. N IVEL AC IÓN COMP UESTA 107
F I GUR A N° 9.1. TRAZO DE U N PERF I L L ONG IT UDINAL 124
F I GUR A N° 10.1. DETERM INACIÓN DE UN ÁNGUL O 129
F I GUR A N° 10.2. ÁNGUL OS HOR IZ ONTALES I NTER IOR ES Y EXTERIO RES 130
F I GUR A N° 10.3. ÁNGUL OS HOR IZ ONTALES A LA I ZQU IERDA Y A LA DER EC HA 130
F I GUR A N° 10.4. ÁNGUL OS HOR IZ ONTALES DE DEF LEX IÓN 131
F I GUR A N° 10.5. MER ID IAN O VERDADER O Y MAGN ÉTICO 132
F I GUR A N° 10.6. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE A ZIM UTES 133
F I GUR A N° 10.7. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE R UM B OS 134
F I GUR A N° 10.8. UBICACI ÓN DE L OS ÁN GUL OS AZ IMUTA LES 136
F I GUR A N° 10.9. UBICACI ÓN DE L OS RU M BOS DE UNA P OL IGO NAL 137
F I GUR A N° 10.10. EJEMPLO DE CÁ LC UL O DE AZ IM UTE S 137
F I GUR A N° 11.1. E JEMPL O DE UNA RE D DE APO YO 142
F I GUR A N° 11.2. E JEMPL O DE UN REL LENO 143
F I GUR A N° 11.3. TÉCNIC A DE R ADIAC IÓN 144
F I GUR A N° 11.4. TÉCNIC A DE INTERSECCIÓ N 145
F I GUR A N° 11.5. REPRESENT AC IÓN GRÁF ICA DE COO RDENADAS 146
F I GUR A N° 11.6. CÁLC UL O DE A LE JAMIE NT OS Y L AT IT UDES 148
F I GUR A N° 11.7. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A POL IG ONA L 149
F I GUR A N° 11.8. CÁLC UL O DEL RUM BO DE BC 151
F I GUR A N° 11.9. CÁLC UL O DEL RUM BO DE CD 152
F I GUR A N° 11.10. CÁLCUL O DEL RUM BO DE DA 152
F I GUR A N° 11.11. CÁLCUL O DEL RUM BO DE COMPROBACIÓ N 153
F I GUR A N° 11.12. REPRESENTAC IÓN GRÁF I CA DE LOS ERR ORES DE C IERR E 156
F I GUR A N° 12.1. REPRESENTACI ÓN DE L A TÉ CNI CA DE L TRAPE CI O 176
F I GUR A N° 12.2. REPRESENTACI ÓN DE L A TÉ CNI CA DE S IMPSON 177
F I GUR A N° 12.3. REPRESENTACI ÓN DE L A TÉ CNI CA DE COO RDE NA DAS 178
F I GUR A N° 12.4. REPRESENTACI ÓN DEL PRE DIO IRREGUL AR 179
F I GUR A N° 12.5. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE A BS CISAS Y ORDEN ADAS 182
F I GUR A N° 13.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL PREDIO 191
F I GUR A N° 13.2. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE C OORDENAD AS DE AP OYO 193
11
F I GUR A N° 13.3. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A LI GA AP 195
F I GUR A N° 13.4. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A LI GA FS 195
F I GUR A N° 13.6. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A LI GA CQ 196
F I GUR A N° 13.7. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A LI GA DR 196
F I GUR A N° 13.8. REPRESENTACI ÓN DE L AS CO ORD ENADA S DEL PRE DIO 197
F I GUR A N° 14.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL FRACCIO NAMIEN TO 208
F I GUR A N° 14.2. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL SUBPRE DI O 1 216
F I GUR A N° 14.3. REPRESENTA CIÓ N GRÁF ICA DEL TR IÁNGUL O NMC DEL
SUBPRE DI O 1 218
F I GUR A N° 14.4. REPRESENTACIÓN GRÁF IC A DE L OS ÁNGUL OS INTER NOS
DE L TRIÁNGU LO NMC 219
F I GUR A N° 14.5. REPRESENTACIÓN GRÁF IC A DE L AS ME DID AS DEL
SUBPRE DI O 1 221
F I GUR A N° 14.6. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL SUBPRE DI O 2 222
F I GUR A N° 15.1. REPRESENTAC IÓN GR ÁF ICA DEL FRACCIONAMIENT O POR
PUNT OS 233
F I GUR A N° 15.2. REPRESENTA CIÓ N GR ÁF ICA DEL SUBPRED IO 1 DEL
FRA CCI ONAMIEN TO POR PUNT OS 234
F I GUR A N° 15.3. REPRESE NT ACI ÓN GRÁF ICA DEL TRI ÁNGUL O MNN’ DEL
SUBPRE DI O 1 DEL FRACCI ONAM IENTO PO R PUNT OS 237
F I GUR A N° 15.4. CÁLCUL O DE Á NGUL O INTERN O N’ DEL SUBPR EDI O 1 D EL
FRA CCI ONAMIEN TO POR PUNT OS 238
F I GUR A N° 16.1. CADENA DE TR IÁN GUL OS SE NCIL LOS 251
F I GUR A N° 16.2. CADENA DE CUA DR ILÁ TER OS 252
F I GUR A N° 16.3. CADENA DE FI GURAS DE PU NT O CE NTRA L 253
F I GUR A N° 16.4. REPRESENTACIÓN GRÁF ICA DE LA TR IANGULACIÓN DE
F IGURA DE PU NT O CE NTRA L 257
F I GUR A N° 16.5. REPRESENTACIÓN GRÁF ICA DE L PR IME R T RIA NGU LO DEL
POL ÍGON O 262
F I GUR A N° 17.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL S IST EM A TR ILATERA DO 274
F I GUR A N° 17.2. REPRESENT ACI ÓN GR ÁF ICA DE L PR IME R TR IÁNG UL O
TRIL ATE RA DO 275
F I GUR A N° 17.3. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL PREDIO TR ILATER ADO 280
F I GUR A N° 18.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL PREDIO COM B INADO 292
F I GUR A N° 18.2. REPRESENTA CIÓ N GRÁF ICA DEL CUA DR ILÁTERO
CO MBIN ADO 295
F I GUR A N° 18.3. REPRESENTACI ÓN DEL P OLÍGON O COM BINADO 302
F I GUR A N° 18.4 REPRE SENTACI ÓN DE L PR IME R TR IÁNGUL O DE L SI STEMA
CO MBIN ADO 310
12
F I GUR A N° 18.5 REPRESENT ACI ÓN DEL SEGUN DO TRIÁ NGU LO DEL S IST EM A
CO MBIN ADO 311
F I GUR A N° 18.5 REPRESENTAC IÓN DE L TER CE R TR IÁNGUL O DE L SISTEMA
CO MBIN ADO 312
F I GUR A N° 18.6 REPRESENTACI ÓN GR ÁF ICA DE L POL ÍGON O DE APOYO D EL
S IST EM A CO MBINAD O 312
F I GUR A N° 18.7 REPRESENTACI ÓN GRÁF ICA DE LAS L IGAS DE L S ISTEMA
CO MBIN ADO 315
F I GUR A N° 18.8 REPRESEN TA CIÓ N GRÁF ICA DEL F RA CCIONA MIENT O DEL
S IST EM A CO MBINAD O 320
F I GUR A N° 18.9 REPRESENT ACI ÓN GRÁ FI CA DE L PRE DIO 1 DE L SISTEMA
CO MBIN ADO 321
F I GUR A N° 18.10 REPRESENTACIÓN G RÁF IC A DE LA D IS TANCIA N’N DEL
FRA CCI ONAMIEN TO DE L S ISTE MA C OMBINAD O 323
F I GUR A N° 18.11 REPRESENT ACIÓN GRÁ FICA DEL Á NGU LO N’ DEL
FRA CCI ONAMIEN TO DE L S ISTE MA C OMBINAD O 323
F I GUR A N° 19.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE U NA CUR VA SIM PL E 338
F I GUR A N° 19.2. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE U NA CUR VA COMPUEST A 338
F I GUR A N° 19.3. E LEMEN TOS D E UNA CUR VA SI MPLE 340
F I GUR A N° 19.4. GRADO DE CURV AT URA DE UNA CURVA SIMP LE 341
F I GUR A N° 19.5. S OLUCIÓN DE U NA CUR VA SIMP L E 10
F I GUR A N° 20.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE C UR VAS DE N I VE L 348
F I GUR A N° 20.2. MARCACI ÓN DE LAS C URVAS DE NIVEL 351
F I GUR A N° 21.1. REPRESENTACI ÓN DE L A OPERA CIÓN DE S OND EO 362
F I GUR A N° 21.2. LOCA LIZA CIÓ N DE S ONDEO S POR AL INEACIÓN Y ÁNGULO
DESDE LA COSTA 363
F I GUR A N° 21.3. LO CAL IZ AC IÓN DE S ONDEOS POR D OS Á NGU LOS DES DE
UN A LAN CHA 365
F I GUR A N° 22.1. CUADR ÍC ULAS ES TA CA DAS PARA EL S IS TE MA A 368
F I GUR A N° 22.2. CURVAS BA TI MÉTR IC AS T IPO SIST EMA A 368
F I GUR A N° 22.3. CUADR ÍC ULAS ES TA CA DAS PARA EL S IS TE MA B 369
F I GUR A N° 22.4. CURVAS BA TI MÉTR IC AS T IPO SIST EMA B 370
F I GUR A N° 22.5. E SCALA PARA INTERP OLAC IÓN DE CUR VAS DE N IVE L 372
F I GUR A N° 23.1. L ÍNEAS BASE PAR A EL TRAZADO DE UN EDIF IC IO 379
F I GUR A N° 23.2. OTRO T RAZ AD O DE L ÍNE AS BASE DE UN ED IF IC I O 380
13
ÍÍÍÍNDICE DE NDICE DE NDICE DE NDICE DE FÓRMULASFÓRMULASFÓRMULASFÓRMULAS
NÚ MERO Y DENO MINA CIÓN DE FÓ RMU LA S PÁG.
FORMULA N° 5.1. CÁLC UL O DEL ER ROR ESTÁNDAR DE UN A S OLA ME DID A 71
FORMULA N° 5.2. CÁLC UL O DEL ER ROR ESTÁNDAR DE LA ME DIA 71
FORMULA N° 5.3. CÁLC UL O DEL ER ROR PROBAB LE DE UN A ME DI DA 72
FORMULA N° 5.4. CÁLC UL O DEL ER ROR PROBAB LE DE LA ME DIA 72
FORMULA N° 5.5. CÁLC UL O DEL ER ROR RELATIV O 75
FORMULA N° 5.6. CÁLC UL O DEL ER ROR T EM IBLE 76
FORMULA N° 5.7. CÁLC UL O DEL VA LO R MÁS PRO BAB LE 76
FORMULA N° 5.8. CÁLC UL O DE UNA M EDI DA PON DERADA 76
FORMULA N° 5.9. CÁLC UL O DEL VA LO R ME DIO UNA SER IE DE MED IDAS 77
FORMULA N° 6.1. CÁLC UL O DE LA PE NDIENTE 1 86
FORMULA N° 6.2. CÁLC UL O DE LA PE NDIENTE 2 86
FORMULA N° 6.3. CÁLC UL O DE C ORRECCIÓN DE L A PEN DIENTE 87
FORMULA N° 6.4. CÁLC UL O DE ME DIDAS INC LI NAD AS A H OR IZONT AL ES 87
FORMULA N° 6.5. CÁLC UL O DE LA C ORREC CIÓ N POR TEM PERA TURA 89
FORMULA N° 6.6. CÁLC UL O DE LA C ORREC CIÓ N POR CATE NAR IA 90
FORMULA N° 6.7. CÁLC UL O DE LA C ORREC CIÓ N POR TE NS IÓN 91
FORMULA N° 6.8. CÁLC UL O DE D IST AN CIAS C ON ESTA DIA 93
FORMULA N° 6.9. CÁLC UL O DE D IST AN CIAS VER TICA LES C ON ESTADIA 94
FORMULA N° 6.10. CÁLCUL O DE D IS TA NCIAS HOR IZ ONTALES CO N EST AD IA 94
FÓRMULA N° 7.1. CÁLC UL O DE LA DES VIACI ÓN VERTI CAL 99
FÓRMULA N° 7.2. CÁLC UL O DE LA REFRACCIÓN 100
FÓRMULA N° 7.3. CÁLC UL O C OM BI NAD O DE CURV AT URA Y REFR ACC IÓN 100
FÓRMULA 8.1. CÁLCUL O DE L ERROR DE UNA N IVE LACI ÓN R ÁP IDA 116
FÓRMULA 8.2. CÁLCUL O DE L ERROR DE UNA N IVE LACI ÓN ORDINAR IA 116
FÓRMULA 8.3. CÁLCUL O DE L ERROR DE UNA N IVE LACI ÓN PRECISA 117
FÓRMULA N° 11.1. CÁLCUL O DE LA COO RDENA DA X 146
FÓRMULA N° 11.2. CÁLCUL O DE LA COO RDENA DA Y 146
FÓRMULA N° 11.3. CÁLCUL O DE LAT I TU DES 147
FÓRMULA N° 11.4. CÁLCUL O DE ALEJ AM IENT OS 148
FÓRMULA N° 11.5. CÁLCUL O DEL ERR OR L INEAL D E C IE RRE 155
FÓRMULA N° 11.6. CÁLCUL O DEL ERR OR ANGU LA R DE C IERR E 155
FÓRMULA N° 11.7. CÁLCUL O DE ERROR RE LA TI VO DE C IERRE 157
FÓRMULA N° 11.8. CÁLCUL O DE LA CORRE CCI ÓN DE ALEJ AM IENT OS 157
FÓRMULA N° 11.9. CÁLCUL O DE LA CORRE CCI ÓN DE LAT ITUDES 158
FÓRMULA N° 11.10. CÁLCU LO DE L R UM B O CORREGI DO 159
FÓRMULA N° 11.11. CÁLCU LO DE LA DISTAN CIA COR REG IDA 159
FÓRMULA N° 11.12. CÁLCU LO DE L ÁREA 162
FORMULA N° 12.1. CÁLCUL O C ON LA TÉ CN ICA DE L TR APECI O 175
FORMULA N° 12.2. CÁLCUL O C ON LA RE GLA D E S IMPS ON 176
FÓRMULA N° 14.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO 209
FÓRMULA N° 14.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL
FRACCIONAMIENTO 209
14
FÓRMULA N° 14.3. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS DEL
FRACCIONAMIENTO 210
FÓRMULA N° 14.4. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LATITUDES DEL
FRACCIONAMIENTO 210
FÓRMULA N° 14.5. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDAS DEL
FRACCIONAMIENTO 211
FÓRMULA N° 14.6. CÁLCULO DE DISTANCIAS CORREGIDAS DEL FRACCIONAMIENTO 211
FÓRMULA N° 14.7. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1 217
FÓRMULA N° 14.8. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1 217
FÓRMULA N° 15.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO
POR PUNTOS 235
FÓRMULA N° 15.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL
FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS 235
FÓRMULA N° 15.3. CÁLCULO DE LA DISTANCIA NN’ DEL FRACCIONAMIENTO POR
PUNTOS 237
FÓRMULA N° 15.4. CÁLCULO DE LA DISTANCIA DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR
PUNTOS 239
FÓRMULA N° 15.5. CÁLCULO DEL RUMBO A DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR
PUNTOS 239
FÓRMULA N° 16.1. CORRECCIÓN DE LA BASE DE LA TRIANGULACIÓN 256
FÓRMULA N° 16.2. CORRECCIÓN UNITARIA DE LOS ÁNGULOS DE LA TRIANGULACIÓN 260
FÓRMULA N° 17.1. LEY DE COSENOS 272
FÓRMULA N° 17.2. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO A CON LA LEY DE COSENOS 275
FÓRMULA N° 17.3. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO B CON LA LEY DE COSENOS 275
FÓRMULA N° 17.4. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO C CON LA LEY DE COSENOS 276
FÓRMULA N° 18.1. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN UNITARIA DE ÁNGULOS DEL
CUADRILÁTERO COMBINADO 300
FÓRMULA N° 18.2. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN UNITARIA DE ÁNGULOS DEL
POLÍGONO COMBINADO 307
FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE DISTANCIAS PERIMETRALES DEL POLÍGONO
COMBINADO 309
FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE COORDENADAS ESTÉS SISTEMA COMBINADO 317
FÓRMULA N° 18.4 CÁLCULO DE COORDENADAS NORTES SISTEMA COMBINADO 318
FÓRMULA N° 18.5 CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS DEL SISTEMA COMBINADO 319
FÓRMULA N° 18.6 CÁLCULO DE LATITUDES DEL SISTEMA COMBINADO 319
FÓRMULA N° 18.7 CÁLCULO DE LA DISTANCIA N’N DEL FRACCIONAMIENTO DEL
SISTEMA COMBINADO 322
FÓRMULA N° 19.1. CÁLCUL O DEL RADI O DE U NA C URVA SIMP LE 342
FÓRMULA N° 19.2. CÁLCUL O DE LA SU BT ANGENTE DE UN A C URVA 342
FÓRMULA N° 19.3. CÁLCUL O DE LA LO NG I TU D DE UN A CURVA SIMP LE 342
FÓRMULA N° 19.4. CÁLCUL O DEL PUNT O DE INIC IO DE UNA CUR VA S IM PL E 342
FÓRMULA N° 19.5. CÁLCUL O DEL PUNT O F IN AL DE UNA CURV A S IM PLE 342
FÓRMULA N° 19.6. CÁLCUL O DE LA EX TERNA D E U NA CUR VA SIM PL E 342
FÓRMULA N° 19.7. CÁLC UL O DE L A OR DENADA M EDIA DE U NA CURVA
S IMPLE 343
FÓRMULA N° 19.8. CÁLCUL O DE L ÁNGUL O DE DEFLEX IÓN DE UNA CUR VA
S IMPLE 343
15
RESUMENRESUMENRESUMENRESUMEN
El presente texto universitario de TOPOGRAFÍA APLICADA A LA
INGENIERÍA PESQUERA Y AS IST IDA POR COMPUTADORA , complementa
los libros de texto de topografía util izados en universidades y en
escuelas técnicas y es un buen complemento de cualquiera de los
textos más importantes que se util izan en cursos elementales de
ingeniería civi l .
La mejor forma de resolver problemas de topografía consiste en
resolver una gran cantidad de problemas, por el lo, presentamos la
solución detallada de una gran cantidad de ellos y muchos
problemas propuestos que no se encuentran en los textos
habituales. Los diferentes t ipos de problemas resueltos,
concentrándonos en el método de solución, hacen más senci lla la
comprensión de las diferentes técnicas topográficas contribuyen a
asegurar el éxito de los estudiantes.
En el presente texto universitario presentamos los notables
adelantos en la tecnología de fabricación del instrumental
topográfico y en la apl icación de las computadoras para procesar y
representar gráficamente los datos que han cambiado
drásticamente los procedimientos tradicionales y han reducido el
t iempo de los cálculos laboriosos, ha llevado a la precisión a
niveles no imaginados en el pasado y que nos permi ten hacer
posible su rápida representación gráfica y difusión en medios
virtuales.
El texto presenta una expl icación concisa y directa de los aspectos
esenciales de cada uno de los capítulos, los procedimientos de
cálculos estandarizados para su procesamiento y gráficación con
computadoras y la inclusión de una gran cantidad de problemas
propuestos rescatados de las prácticas de campo real izadas con
los alumnos en los últ imos semestres académicos.
16
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Hemos preparado el presente Texto Universi tario “TOPOGRAFÍA
APLICADA A LA INGENIERÍA PESQUERA Y AS IST IDA POR COMPUTADORA”,
aprobado por Resolución Rectoral : No. 1101-09-R del
22/Oct/2009, contenido en 23 capí tulos, debidamente,
estructurados y s istematizados para poner al alcance de los
estudiantes de ingeniería e investigadores, un ins trumento de
carácter práctico en forma de manual.
Los lectores encontrarán en el presente trabajo, un excelente
medio para supl i r a falta de publicaciones especial izadas sobre el
tema o que se encuentran en obras de circulación restringida o no
está alcance de todos los interesados o que se requiere revisar
una gran cantidad de fuentes. As imismo, el trabajo intenta supl ir la
debi lidad en la formación matemática y gráfica de los alumnos,
fundamentalmente, por el bajo acceso a fuentes especializadas y
que en el presente trabajo se tratan con la debida complej idad
académica sin quitarle su esencial idad.
En el texto ha sido elaborado teniendo en cuenta que cualquier
alusión seria a la Topografía pasa por tratar la toma de decisiones
para seleccionar el instrumental topográfico, el levantamiento de
las mediciones directamente en el campo, la revis ión y
procesamiento de los datos uti l izando software especializado, la
elaboración de planos originales y defini t ivos con los datos
recolectados y, f inalmente, con el señalamiento y monumentación
del predio medido.
Finalmente, el presente texto queda justi ficado, porque: es un
imperativo en las actuales condiciones económicas y nivel de
desarrollo tecnológico de nuestra Universidad, para no quedar a la
zaga en la aplicación de las computadoras para registro,
procesamiento, diseño y gráficación de datos topográficos; por
el lo, la elaboración del texto univers itario es una contribución al
mejoramiento de la transferencia de información del docente a los
alumnos que incrementarán la eficiencia del el proceso
enseñanza-aprendizaje.
17
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍAINTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍAINTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍAINTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA
1.1. INTRODUCCIÓN
Los orígenes de la Topografía se confunden con los de la
astronomía, la astrología y las matemáticas. Los registros más
antiguos que hay en existencia, y que tratan directamente de la
topografía, indican que esta ciencia tuvo su principio en Egipto.
Herodoto dice que Sesortris (alrededor de 1400 a. C.), dividió las
t ierras de Egipto en predios para f ines de impuestos. Las
inundaciones del Ni lo hicieron desaparecer porciones de estos
lotes, y se designaron topógrafos, es decir, medidores de tierras,
para reponer los l ímites.
Teniendo como base estos trabajos, los primeros f ilósofos griegos
desarrollaron la ciencia de la geometría. Herón fue el primero en
apl icar la geometría a la topografía, alrededor de 120 a.C. Fue
autor del tratado """"La DioptraLa DioptraLa DioptraLa Dioptra """" , en el cual relacionó los métodos de
medición de un terreno, el trazo de un plano y los cálculos
respectivos. También describe en esta obra uno de los primeros
instrumentos topográficos de que se t ienen noticia, el l lamado
precisamente dioptradioptradioptradioptra.
Los romanos para construir sus grandes obras, desarrollaron
signif icativamente la topografía. La topografía necesaria para estas
construcciones originó la organización de un gremio o asociación
de topógrafos y agrimensores. Usaron y desarrollaron ingenios
instrumentos. Entre estos se encuentran los llamados: gromagromagromagroma, que
se usó para visar; l ibellal ibellal ibellal ibella, que era un bastidor en forma de A con
una plomada, para la nivelación; y chorobateschorobateschorobateschorobates , que era una regla
horizontal, de unos 20 pies (6 metros) de largo, con patas de
soporte y una ranura en la parte superior para ser l lenada con
agua, y el cual servía de nivel.
En la edad media, la ciencia de los griegos y los romanos fue
mantenida viva por los árabes. En el s iglo XIII , Von Piso escribió
18
Practica Geometría, que contenía ins trucciones sobre los métodos
topográficos. También escribió la obra Liber QuadratorumLiber QuadratorumLiber QuadratorumLiber Quadratorum , que
trataba principalmente del cuadrante, que era un bastidor
cuadrado de latón con un ángulo de 90° y escalas graduadas.
Otros instrumentos de esta época fueron el astrolabio, un círculo
metál ico con un índice articulado en su centro y sostenido por un
anil lo en la parte superior, y el báculo de cruz (o jalón de
agrimensor), que era una pértiga de madera de unos 4 pies (1.20
m) de longitud, con una cruceta transversal ajustable, en ángulo
recto con la regla. Las longitudes conocidas de los brazos
permitían medir distancias por proporciones y ángulos.
Las primeras civi lizaciones suponían que la Tierra era una
superficie plana. La historia registra que un griego llamado
Eratóstenes , que vivió alrededor del año 200 a.C., midió las
dimensiones de la Tierra. Determinó el ángulo que subtendía el
arco de meridiano ubicado entre Siena y Alejandría en Egipto,
midiendo las sombras proyectadas del Sol en estas ciudades.
Luego cálculo la longitud del arco multiplicando el número de días
de caravana entre Siena y Alejandría por la distancia media
recorrida diariamente. A part ir de las medidas del ángulo y el arco,
y apl icando la geometría elemental, Eratóstenes calculó que la
circunferencia de la Tierra medía alrededor de 25,000 mil las (unos
40,000 Km.). Las medidas geodés icas subsecuentes que se han
hecho, usando mejores instrumentos y técnica geométricamente
equivalente a la de Eratóstenes , han demostrado que su valor,
aunque l igeramente mayor, es asombrosamente cercano al valor
aceptado.
En los siglos XVIII y XIX se desarrolló rápidamente la topografía. La
necesidad de mapas y la f ijación de linderos nacionales hicieron
que Inglaterra y Francia real izaran extensos levantamiento que
requerían de triangulaciones de precisión. El aumento del valor de
las t ierras y la importancia de la exacti tud de los linderos, aunados
a las mejoras públ icas en los servicios de caminos, canales y
ferrocarri les, llevaron a la topografía a una posición prominente.
19
Actualmente, el gran volumen de la construcción general, las
numerosas part iciones de t ierra, la necesidad de mejores registros
y las demandas planteadas por los programas de exploración y
estudio ecológico han implicado un desarrol lo creciente de los
trabajos de topografía. La topografía es aun el signo del progreso
en el fomento y la uti l ización de los recursos naturales de la Tierra.
1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA
La Topografía se define como la ciencia y el arte de efectuar
mediciones necesarias para determinar las posiciones relativas de
puntos situados arriba, sobre, o debajo de la superf icie de la
Tierra, o de situar tales puntos en una posición especificada. Las
operaciones topográficas no están l imitadas a t ierra f irme. Se
real izan sobre vastas extensiones de agua así como en el espacio
extraterrestre.
En general el trabajo del topógrafo puede dividirse en cinco
partes:1
a) Toma de decisiones. Selección del método de levantamiento,
del ins trumental, de la ubicación más probable de vért ices, etc.
b) Trabajo de campo o adquisición de datos. Realización de
mediciones y regis tro de datos de campo
c) Cálculo o procesamiento de Datos. Elaboración de cálculos con
base en los datos registrados para determinar ubicaciones,
áreas, volúmenes, etc.
d) Elaboración de planos o mapas (representación gráfica de los
datos). Dibujo o representación de las medidas para obtener un
plano, un mapa o un gráfico, o para transcribir datos de un
formato numérico o de computadora
e) Señalamiento. Colocación de señales (mojoneras y estacas)
para del inear o marcas l inderos, o bien, guiar trabajos de
1 BRINKER, R. y P. WOLF, Topografía Moderna, Ed. Harla, México,
1992; pp. 3.
20
construcción.
1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA
La topografíaLa topografíaLa topografíaLa topografía es una de las artes más antiguas e importantes de
practica el hombre, porque desde los tiempos antiguos ha sido
necesario marcar l ími tes y dividir terrenos. Actualmente la
topografía se uti l iza extensamente. Los resultados de los
levantamientos topográficos de nuestros días se emplean, por
ejemplo, para:
a) Elaborar planos de la superf ic ie terrestre, arriba y abajo del
nivel del mar;
b) Trazar cartas de navegación para uso en el ai re, en tierra y en
el mar;
c) Establecer l ímites en terrenos de propiedad privada y públ ica;
d) Construir bancos de datos con información sobre recursos
naturales y de uti l ización de la tierra, para ayudar a la mejor
adminis tración y aprovechamiento de nuestro ambiente fís ico;
e) Evaluar datos sobre tamaño, forma, gravedad y campo
magnético de la Tierra; y
f) Obtener registros astronómicos de la Luna y de los planetas.
La t ipografía t iene un papel extremadamente importante en
muchas ramas de la ingeniería, por ejemplo, se requieren
levantamientos topográficos:
a) Antes, durante y después de la construcción de carreteras, vías
férreas, sistemas viales de tránsito, edif icios, puentes, túneles ,
canales, obras de irr igación, presas, sistemas de drenaje,
fraccionamiento de terrenos urbanos, sistemas de
aprovis ionamiento de agua potable, el iminación de aguas de
negras, t i ros de Minas, gasoductos, líneas de transmisión
b) Para la instalación de l íneas de ensamble industrial y otros
disposit ivos de fabricación
21
c) Para el armado y montaje de equipo y maquinaria de gran
tamaño
d) Para establecer el Control aerofotográfico
e) En las actividades de la geología, la selvicultura, arquitectura de
paisaje y la arqueología
f) En obras de ingeniería mil i tar
g) En el alineamiento de maquinaria de mecánica y de taller.
22
CAPÍTULO II
INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOSINSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOSINSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOSINSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS
2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES
CINTAS MÉTRICAS Y ACCESORIOS
Medir una longi tud consiste en determinar, por comparación, el
número de veces que una unidad patrón es contenida en dicha
longitud.
La unidad patrón uti l izada en la mayoría de los países del mundo
es el metro, definido (después de la Conferencia Internacional de
Pesos y Medidas celebrada en París en 1889) como la longitud a
0ºC del prototipo internacional de platino e iridio que se conserva
en Sévres (Francia).
Esta definición se mantuvo hasta la Conferencia General de Pesos
y Medidas celebrada en la misma ciudad en 1960, en donde se
definió al metro como 1’650.763,73 veces la longitud de onda en el
vacío de radiación anaranjada del criptón 86.
En octubre 20 de 1983 el metro fue redefinido en función de la
velocidad de la luz (c=299'792.792 m/s) como la longitud del
trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de
t iempo de 1/299’792.458 de segundo.
Una cinta métrica Una cinta métrica Una cinta métrica Una cinta métrica es la reproducción de un número determinado
de veces (3, 5, 30, 50,100) de la unidad patrón.
En el proceso de medida, las cintas son sometidas a diferentes
tensiones y temperaturas, por lo que dependiendo del material con
el que han sido construidas, su tamaño original variará.
Por esta razón, las cintas vienen cal ibradas de fábrica para que a
una temperatura, tensión y condiciones de apoyo dadas, su
longitud sea igual a la longitud nominal.
23
F IGURA N° 2.1. CALIBRACIÓN DE C INTAS MÉTRICAS
Las cintas métricas empleadas en trabajos topográficos deben ser
de acero, res istentes a esfuerzos de tensión y a la corrosión.
Comúnmente, las cintas métricas vienen en longi tudes de 30, 50 y
100 m, con una sección transversal de 8 mm x 0,45 mm para
trabajos fuertes en condiciones severas o de 6 mm x 0,30 mm
para trabajos en condiciones normales.
PPPPLOMADA METÁL ICALOMADA METÁL ICALOMADA METÁL ICALOMADA METÁL ICA
Instrumento con forma de cono, construido generalmente en
bronce, con un peso que varía entre 225 y 500 gr, que al dejarse
colgar libremente de la cuerda sigue la dirección de la vert ical del
lugar, por lo que con su auxi lio podemos proyectar el punto de
terreno sobre la cinta métrica.
F IGURA N° 2.2. PLOMADA METÁLICA
24
TTTTENSIÓMETROENSIÓMETROENSIÓMETROENSIÓMETRO
Es un disposit ivo que se coloca en el extremo de la cinta para
asegurar que la tensión apl icada a la cinta sea igual a la tensión
de cal ibración, evi tando de esta manera la corrección por tensión y
por catenaria de la distancia medida.
F IGURA N° 2.3. TENSIÓMETRO
JJJJALONESALONESALONESALONES
Son tubos de madera o aluminio, con un diámetro de 2.5 cm y una
longitud que varía de 2 a 3 m. Los jalones vienen pintados con
franjas alternas rojas y blancas de unos 30 cm y en su parte f inal
poseen una punta de acero.
El jalón se usa como ins trumento auxi l iar en la medida de
distancias, local izando puntos y trazando alineaciones.
F IGURA N° 2.4. JALÓN
25
FFFF ICHASICHASICHASICHAS
Son vari l las de acero de 30 cm de longi tud, con un diámetro
φ=1/4”, pintados en franjas alternas rojas y blancas. Su parte
superior termina en forma de ani l lo y su parte inferior en forma de
punta.
Generalmente vienen en juegos de once fichas juntas en un anil lo
de acero.
Las f ichas se usan en la medición de dis tancias para marcar las
posiciones f inales de la cinta y l levar el conteo del número de
cintadas enteras que se han efectuado.
BRÚJULABRÚJULABRÚJULABRÚJULA
Generalmente un instrumento de mano que se util iza
fundamentalmente en la determinación del norte magnético,
direcciones y ángulos horizontales. Su apl icación es frecuente en
diversas ramas de la ingeniería. Se emplea en reconocimientos
prel iminares para el trazado de carreteras, levantamientos
topográficos, elaboración de mapas geológicos, etc.
F IGURA N° 2.5. CORTE ESQUEMÁTICO DE UNA BRÚJULA
La f igura muestra el corte esquemático de una brújula. La brújula
consiste de una aguja magnética [A] que gira sobre un pivote
agudo de acero duro [B] apoyado sobre un soporte cónico ubicado
26
en el centro de la aguja. La aguja magnética está ubicada dentro
de una caja [C], la cual, para medir el rumbo, contiene un circulo
graduado [D] generalmente dividido en cuadrantes de 0o a 90o ,
marcando los cuatro puntos cardinales; teniendo en cuenta que
debido al movimiento aparente de la aguja los puntos Este Este Este Este y Oeste Oeste Oeste Oeste
estén intercambiados.
F IGURA N° 2.6. PARTES DE UNA BRÚJULA
Algunas brújulas llamadas brújulas azimutales, tienen el círculo
horizontal dividido en 360°.
Coincidiendo con la alineación norte – sur poseen un disposit ivo de
col imación
A objeto de contrarrestar los efectos de la incl inación magnética, la
aguja posee un pequeño contrapeso de bronce [E] y su ubicación
depende de la lati tud del lugar. En zonas local izadas al norte del
ecuador, el contrapeso estará ubicado en el lado sur de la aguja, y
en zonas local izadas al sur del ecuador el contrapeso estará
ubicado en el lado norte de la aguja.
27
Para proteger el pivote sobre el cual gira la aguja, las brújulas
poseen un dispositivo elevador [F] que separa la aguja del pivote
cuando las brújulas no están s iendo util izadas. En el interior se
ubica un pequeño nivel esférico de burbuja [G]. Un vidrio ubicado
en la parte superior de la caja [H] sirve para proteger la aguja, el
círculo y el nivel esférico. Para hacer coincidir el eje de rotación de
la aguja con la vert ical del vért ice donde se está efectuando la
medida, algunas brújulas se util izan con plomada [I ] y otras se
apoyan sobre un bastón de madera.
A f in de corregir la decl inación magnética del lugar, algunas
brújulas poseen un arco de decl inación [J] graduado en grados,
cuyo cero coincide con la alineación norte, de manera que
conociendo la decl inación del lugar, mediante un disposit ivo
especial, se puede hacer girar el circulo horizontal hasta hacer
coincidir la lectura con el valor de la decl inación del lugar; de esta
manera, el rumbo medido con la brújula es el rumbo real.
Es importante mencionar, debido a su popularidad, el Teodoli to –
Brújula Wild T0 por ser un instrumento muy util izado tanto en la
determinación de acimutes magnéticos como en la medición de
ángulos en levantamientos de puntos de rel leno por taquimetría.
MIRAS VERTICALESMIRAS VERTICALESMIRAS VERTICALESMIRAS VERTICALES
Son reglas graduadas en metros y decímetros, generalmente
fabricadas de madera, metal o fibra de vidrio. Usualmente, para
trabajos normales, vienen graduadas con precisión de 1 cm y
apreciación de 1 mm. Comúnmente, se fabrican con longitud de 4
m divididas en 4 tramos plegables para faci lidad de transporte y
almacenamiento.
Existen también miras telescópicas de aluminio que facil i tan el
almacenamiento de las mismas. A f in de evitar los errores
instrumentales que se generan en los puntos de unión de las miras
plegables y los errores por di latación del material, se fabrican
miras continuas de una sola pieza, con graduaciones sobre una
cinta de material consti tuido por una aleación de acero y níquel,
28
denominado INVAR por su bajo coeficiente de variación
longitudinal, sujeta la cinta a un resorte de tensión que compensa
las deformaciones por variación de la temperatura. Estas miras
continuas se apoyan sobre un soporte metál ico para evitar el
deterioro por corrosión producido por el contacto con el terreno y
evitar, también, el asentamiento de la mira en las operaciones de
nivelación.
F IGURA N° 2.7. T IPOS DE M IRAS TOPOGRÁFICAS
Las miras vert icales se usan en el proceso de nivelación y en la
determinación indirecta de distancias. Las miras deben ser
vert ical izadas con el auxil io de un nivel esférico generalmente
sujeto en la parte posterior de la mira.
29
MMMM IRAS HORIZONTALESIRAS HORIZONTALESIRAS HORIZONTALESIRAS HORIZONTALES
La mira horizontal de INVAR es un instrumento de precisión
empleado en la medición de distancias horizontales.
La mira está construida de una aleación de acero y níquel con un
coeficiente termal de variación de longitud muy bajo,
prácticamente invariableinvariableinvariableinvariable, característ ica que da origen al nombre
de MIRAS DE INVAR.
La mira horizontal de INVAR , mostrada en la figura, posee dos
brazos con marcos o señales separados entre sí 2 m [A], una base
con 3 torni llos nivelantes [B] y un nivel esférico [C] para
horizontal izarla. Cerca del centro de la mira se ubica un col imador
[D] con una marca tr iangular [E] que sirve para centrar la mira,
asegurando que la visual del teodoli to sea perpendicular a la mira.
A un lado del colimador se puede observar el comprobador [F], el
cual, al ser visual izado desde el teodol i to, permite comprobar la
orientación de la mira. La mira debe ser centrada en el punto
sobre un trípode [G].
Para poder medir una distancia horizontal con mira de INVAR , es
necesario medir el ángulo horizontal con un teodol i to con precisión
de por lo menos de 1”.
F IGURA N° 2.9. M IRA HORIZONTAL
30
La aparición de los distanciómetros electrónicos, más rápidos y
precisos en la medición de distancias, ha ido desplazando el uso
de las miras INVAR .
2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES
TEODOLITOSTEODOLITOSTEODOLITOSTEODOLITOS
El teodol i to es un instrumento util izado en la mayoría de las
operaciones que se realizan en los trabajos topográficos.
Directa o indirectamente, con el teodol i to se pueden medir ángulos
horizontales, ángulos vert icales, distancias y desniveles.
F IGURA N° 2.10. TEODOLITO
Los teodol i tos dif ieren entre sí en cuanto a los sistemas y métodos
de lectura. Existen teodol itos con sistemas de lectura sobre vernier
y nonios de visual directa, microscopios lectores de escala
micrómetros ópticos, sistemas de lectura de coincidencia.
32
F IGURA N° 2.13. ESCALA DE COINCIDENCIA DEL TEODOLITO
F IGURA N° 2.14. OTRA ESCALA DE COINCIDENCIA DEL TEODOLITO
En cuanto a los métodos de lectura, los teodol itos se clasifican en
repetidores y reiteradores, según podamos o no prefi jar lectura
sobre el circulo horizontal en cero y sumar ángulos repetidamente
33
con el mismo aparato, o medir independientemente N veces un
ángulo sobre diferentes sectores del cí rculo, tomando como valor
f inal el promedio de las medidas.
Aunque como se ha mencionado previamente, los teodoli tos
dif ieren en forma, sistemas de lectura y precisión, básicamente sus
componentes son iguales, por lo que en el presente capítulo se
describen las partes básicas de un teodoli to.
La figura se muestra los tres ejes de un teodoli to;
• Eje vert ical “V-V” o eje de rotación de la al idada
• Eje horizontal “H-H” o eje de rotación del círculo vert ical
• Eje de col imación “C-C”
FIGURA N° 2.15. EJES DE UN TEODOLITO
34
TEODOLITOS ELECTRÓNICOSTEODOLITOS ELECTRÓNICOSTEODOLITOS ELECTRÓNICOSTEODOLITOS ELECTRÓNICOS
El desarrollo de la electrónica y la aparición de los microchips han
hecho posible la construcción de teodol i tos electrónicos con
sistemas digi tales de lectura de ángulos sobre pantal la de cristal
l íquido, faci li tando la lectura y la toma de datos mediante el uso en
l ibretas electrónicas de campo o de tarjetas magnéticas;
el iminando los errores de lectura y anotación y agi l izando el trabajo
de campo. La f igura muestra el teodoli to electrónico DT4 de
SOKKIA.
FIGURA N° 2.16. TEODOLITO ELECTRÓNICO
35
ESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICAESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICAESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICAESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICA
La incorporación de microprocesadores y distanciómetros
electrónicos en los teodol i tos electrónicos, ha dado paso a la
construcción de las Estaciones Totales.
Con una estación total electrónica se pueden medir distancias
vert icales y horizontales, ángulos vert icales y horizontales; e
internamente, con el micro procesador programado, calcular las
coordenadas topográficas (norte, este, elevación) de los puntos
visados. Estos instrumentos poseen también tarjetas magnéticas
para almacenar datos, los cuales pueden ser cargados en el
computador y util izados con el programa de aplicación
seleccionado. La f igura muestra la estación total Wild T-1000 con
pantal la de cristal l íquido, tarjeta de memoria magnética para la
toma de datos y programas de apl icación incorporados para
cálculo y replanteo.
Una de las características importantes tanto los teodol i tos
electrónicos como las estaciones totales, es que pueden medir
ángulos horizontales en ambos sentidos y ángulos vert icales con el
cero en el horizonte o en el zenit.
FIGURA N° 2.17. ESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICA
36
ESTACIONES ROBÓTICAS
A principios de los años noventa, Geotronics AB introdujo en el
mercado el Geodimeter System 4000, primer modelo de estación
total robótica.
El s istema consiste en una estación total con servo motor de
rastreo y una unidad de control remoto de posicionamiento que
controla la es tación total y funciona como emisor y recolector de
datos. Tanto la estación como la unidad de control remoto se
conectan por medio de ondas de radio, por lo que es posible
trabajar en la oscuridad.
Una vez puesta en estación, la estación total es orientada
col imando un punto de referencia conocido y por medio de un
botón se transfiere el control de la estación a la unidad de control
remoto de posicionamiento. A part ir de este momento, el operador
se puede desplazar dentro del área de trabajo con la unidad de
control remoto recolectando los datos. Las estaciones robóticas
vienen con programas de apl icación incorporados, que junto con
las característ icas mencionadas previamente, permi ten, tanto en
los trabajos de levantamiento como en los de replanteo, la
operación del sistema por una sola persona
NIVELES
El nivel tubular o nivel tóricoEl nivel tubular o nivel tóricoEl nivel tubular o nivel tóricoEl nivel tubular o nivel tórico , es un trozo de tubo de vidrio de
sección circular, generado al hacer rotar un cí rculo alrededor de un
centro O, tal y como se muestra en la figura. La superficie es
sel lada en sus extremos y su interior se l lena parcialmente con un
l íquido muy volátil (como éter sul fúrico, alcohol etc.) que al
mezclarse con el aire del espacio restante forma una burbuja de
vapores cuyo centro coincidirá siempre con la parte más alta del
nivel.
37
FIGURA N° 2.18. NIVEL TUBULAR
La parte superior de un nivel tórico viene dividida generalmente en
intervalos de 2 mm de ampl i tud.
La sens ibi lidad S S S S de un nivel se define como el ángulo central, en
segundos, que subtiende el arco correspondiente a una divis ión.
El nivel va protegido por una caja metál ica [A] y se fi ja a la base
del instrumento mediante una art iculación [B] y un tornil lo de
corrección [C]. El eje o tangente central del nivel se local iza en el
punto medio de tangencia, cuando la burbuja está centrada.
Generalmente, los niveles uti l izados en los ins trumentos
topográficos t ienen sensibi lidad de 10”, 20”, 30”, 40” y 75”, de
acuerdo a la precisión requerida.
NNNN IVEL DE INGENIEROIVEL DE INGENIEROIVEL DE INGENIEROIVEL DE INGENIERO
En las operaciones de nivelación, donde es necesario el cálculo de
las diferencias vert icales o desniveles entre puntos, al nivel tórico
se le anexa un telescopio, una base con tornil los nivelantes y un
trípode.
Los niveles difieren entre sí en apariencia, de acuerdo a la
precisión requerida y a los fabricantes del instrumento. En la figura
se representan los componentes básicos de un nivel.
38
FIGURA N° 2.19. PARTES DEL NIVEL DE INGENIERO
FIGURA N° 2.20. NIVEL DE INGENIERO
En la f igura se muestra el nivel Wild N2 con nivel tórico de doble
curvatura. La siguiente f igura muestra el nivel de alta precisión PL1
de Sokkia, empleado en nivelaciones de primer orden. Este t ipo de
nivel posee un prisma de placas plano paralelas y un micrómetro
óptico que permiten, con el empleo de una mira INVAR, aumentar
la precisión de las lecturas a la mira a 1/ 10 de mm. Un ejemplo de
lectura con nivel de placas plano paralelas y micrómetro óptico se
muestra en la b (a) (b)
39
FIGURA N° 2.21. NIVEL DE ALTA PRECISIÓN
En todas las operaciones de nivelación es necesario, antes de
efectuar las lecturas a la mira, chequear la horizontalidad del eje
de col imación.
En algunos niveles, este proceso se realiza ópticamente
proyectando la burbuja del nivel tórico sobre el lente de
col imación, como se muestra en la f igura 2.30, de manera de
hacer la veri ficación al momento de tomar la lectura. En caso de
que no se veri f ique la coincidencia de la burbuja, se usa un tornil lo
basculante que permite, mediante pequeños movimientos, corregir
una eventual incl inación del eje de col imación.
DISTANCIOMETROS ELECTRONICOSDISTANCIOMETROS ELECTRONICOSDISTANCIOMETROS ELECTRONICOSDISTANCIOMETROS ELECTRONICOS
Aunque parezca un proceso senci llo, la medición distancias con
cintas métricas es una operación no solo complicada sino larga,
tediosa y costosa.
Como se mencionó previamente, las cintas se fabrican con
longitudes de hasta 100 m, siendo las de 50 m las de mayor uso
en los trabajos de topografía.
40
Cuando las longitudes a medir exceden la longi tud de la cinta
métrica uti l i zada, se hace necesario dividir la longitud total en
tramos menores o iguales a la longitud de la cinta, incrementando
la probabil idad de cometer errores de procedimiento tales como
errores de al ineación, de lectura, de transcripción, etc.
Diferentes métodos y equipos se han implementado a lo largo de
los años para mediciones de distancias rápidas y precisas.
A f inales de la década del 40, se desarrol ló en Suecia el
GEODÍMETRO, primer instrumento de medición electrónico de
distancias capaz de medir distancias de hasta 40 Km mediante la
trans ición de ondas luminosas, con longi tudes de onda conocida
modulados con energía electromagnética. a. Emisor de rayos láser
b. Detector de rayos
Unos diez años más tarde, en sur África, se desarrolló el
TELURÓMETRO, capaz de medir distancias de hasta 80 Kms
mediante la emisión de micro ondas.
Recientemente, con la introducción de los microprocesadores se
han desarrol lado nuevos instrumentos, más pequeños y l ivianos,
capaces de medir rápidamente distancias de hasta 4 Km con
precisión de ± [1mm + 1 parte por mil lón (ppm)] en donde ± 1 mm
corresponde al error instrumental el cual es independiente de la
distancia media. Los distanciómetros electrónicos se pueden
clasificar en Generadores de micro ondas (ondas de radio) y
Generadores de ondas luminosas (rayos láser e infrarrojos).
Los dis tanciómetros de micro ondas requieren transmisores y
receptores de onda en ambos extremos de la distancia a medir
mientras que los instrumentos basados en la emisión de ondas
luminosas requieren un emisor en un extremo y un prisma reflector
en el extremo contrario.
42
CAPÍTULO II I
LEVANTAMIENTOS DE CAMPOLEVANTAMIENTOS DE CAMPOLEVANTAMIENTOS DE CAMPOLEVANTAMIENTOS DE CAMPO
3.1. INTRODUCCIÓN3.1. INTRODUCCIÓN3.1. INTRODUCCIÓN3.1. INTRODUCCIÓN
Las notas de campo son el único registro permanente del trabajo
topográfico que se real iza en un lugar. Si son incompletas o
incorrectas, o si se destruyeran, podría perderse gran parte del
t iempo invert ido en hacer las mediciones precisas, o todo él. Por
tanto, el trabajo del encargado del registro de campo es, con
frecuencia, el más importante y dif íci l en una brigada de
topografía.
Los datos de los regis tros de campo los usa normalmente el
personal de gabinete u ofic ina para hacer dibujos y cálculos. De
manera que es esencial que las notas sean inteligibles para
cualquier enterado, sin tener que mediar explicaciones verbales.
Es recomendable el empleo de letras incl inadas, tipo Reinhardt,
por su claridad y rapidez de escri tura; este t ipo de letras requiere
del mínimo número de trazos s imples para formar una letra.
Las libretas de campo son documentos legales y pueden ser
util izados en los juzgados para establecer l ímites de propiedades,
de modo que deben ser conservadas en forma adecuada, es deci r,
bajo llave y guardadas en cajas a prueba de incendios.
Las anotaciones originales son las que se toman al momento de
hacer las mediciones. Cualquier anotación hecha con
posterioridad, es una copia y deberá anotarse como tal. Las copias
de una libreta de campo carecen de val idez en un juzgado, porque
se prestan a cuestionamiento por las equivocaciones u omisiones
cometidas durante su "copia".
Los estudiantes t ienen la tendencia de anotar sus registros en
hojas sueltas para después pasarlas a la libreta en forma limpia y
nítida. Esta práctica es contraproducente y nuli f ica el trabajo de
43
campo y el instructor debe estar vigilante para que no suceda esta
mala práctica.
Las notas de campo deben escribirse con un lápiz bien afi lado y no
se permiten borraduras de los datos anotados. Si se registrara
incorrectamente un número, se cruzará luego con una pequeña
aspa y a continuación se anotará la correcta. Si se tiene que
cambiar toda una página, se trazará l íneas diagonales entre las
esquinas y se escribirá la palabra CANCELADA, expl icando las
razones.
3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO
Los requisitos para un buen registro en las l ibretas de campo son:
a) PRECISIÓNa) PRECISIÓNa) PRECISIÓNa) PRECISIÓN
Se anotarán las mediciones hechas en el campo, con sumo
cuidado para no cometer errores ni equivocaciones. De igual
forma, se anotarán los datos completos sin redondeos ni
estimaciones.
b) b) b) b) LEGIBILIDADLEGIBILIDADLEGIBILIDADLEGIBILIDAD
Las notas o registros de campo tienen valor si son legibles. La
presentación de un regis tro legible acredita a un buen estudiante o
topógrafo.
c) c) c) c) INTEGRIDADINTEGRIDADINTEGRIDADINTEGRIDAD
La omisión de una sola medida o detal le puede nuli f icar los
regis tros de campo para el dibujo o cálculo. Debe veri f icarse
cuidadosamente las notas para no tener que regresar al campo y
repetir el levantamiento. Nunca deben ser al terados los datos para
mejorar la calidad del levantamiento.
44
d) d) d) d) ADECUACIÓNADECUACIÓNADECUACIÓNADECUACIÓN
Deben ser util izadas diferentes arreglos de la libreta que se
adecuen convenientemente para el tipo de trabajo que se ejecuta.
e)e)e)e) CLARIDADCLARIDADCLARIDADCLARIDAD
Se debe seleccionar un correcto procedimiento de campo para que
las anotaciones y croquis muestren claridad así se hará más
evidente las equivocaciones u omisiones.
3.3. LIBRETAS DE CAMPO3.3. LIBRETAS DE CAMPO3.3. LIBRETAS DE CAMPO3.3. LIBRETAS DE CAMPO
Las l ibretas de campo por contener datos val iosos, estar expuestas
uso rudo, debe ser un documento de naturaleza permanente. Por
tanto, las empastadas en forma de libro, con cuaderni llos cosidos,
de pasta dura y rígida y, las hojas intercambiables son las
adecuadas u uti l izadas.
Todas las hojas de las libretas de campo contienen rayados
especiales de columnas y f i las para satisfacer las necesidades
part iculares en nivelación, levantamientos con teodol ito,
levantamientos de configuración y determinación de secciones
transversales. Ejemplo:
FIGURA N° 3.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIBRETA DE CAMPO
45
3.4. 3.4. 3.4. 3.4. CLASES DE ANOTACIONESCLASES DE ANOTACIONESCLASES DE ANOTACIONESCLASES DE ANOTACIONES
Hay tres t ipos generales de anotaciones; en la práctica se util iza
comúnmente una combinación de estos tres tipos, que son los
siguientes:
a) a) a) a) TABULACIONESTABULACIONESTABULACIONESTABULACIONES
Las mediciones numéricas se registran en columnas de
acuerdo a un plan prescri to que depende del instrumento que
se use, del orden de precisión del levantamiento y del t ipo de
medida. Ejemplo:
FIGURA N° 3.2. TABULACIÓN EN LA LIBRETA DE CAMPO
ESTACIÓNLECTURA
ATRÁS (m)ALTURA DEL
INSTRUM ENTOLECTURA
ADELANTE (m)DISTANCIAS
(m)COTAS
(m)
A 0.954 0.000 0.000 826.420
B 1.365 3.652 132.580
C 2.654 3.124 108.450
D 3.657 2.259 75.380
E 1.654 1.654 132.520
F 1.234 1.028 109.480
G 3.124 2.145 85.620
H 3.029 0.758 63.250
I 2.954 0.956 45.950
J 2.654 0.857 65.850
K 3.265 0.856 121.650
L 0.000 1.526 75.640
46
b) b) b) b) BOSQUEJOSBOSQUEJOSBOSQUEJOSBOSQUEJOS
Los bosquejos aclaran las anotaciones de campo y deben
usarse con abundancia. Se pueden dibujar a escala real o
aproximada o exagerada para lograr mayor claridad. Las
mediciones deben escribirse directamente sobre el bosquejo, o
macarse en clave en alguna forma, para datos tabulares. La
legibi lidad es un requisito muy importante en cualquier
bosquejo.
FIGURA N° 3.3. BOSQUEJO EN LA LIBRETA DE CAMPO
c) c) c) c) DESCRIPCIONESDESCRIPCIONESDESCRIPCIONESDESCRIPCIONES
Las tabulaciones con o sin bosquejos también pueden
complementarse con descripciones. Una descripción puede
consistir en unas dos palabras para avalar las mediciones
registradas, o pueden ser exposiciones bastante amplias, si ha
de usarse en el futuro, posiblemente años después, para ubicar
un monumento. Cuando exista duda sobre la neces idad de
47
información, incluyese ésta y hágase un bosquejo. Es preferible
contar con información en exceso que tener muy poca.
FIGURA N° 3.4. DISTRIBUCIÓN DE LA ANOTACIONES EN LA LIBRETA DE CAMPO
3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES
Los esti los y formatos de las anotaciones dependen de las normas
part iculares u oficiales y de la preferencia personal. Usualmente,
las páginas del lado izquierdo y las del lado derecho de una l ibreta
de campo se util izan siempre en pares y l levan el mismo número.
El tí tulo del levantamiento deberá escribirse en la parte superior de
la página del lado izquierdo y con frecuencia se extiende hasta la
página del lado derecho. Los t í tulos pueden abreviarse en las
páginas siguientes para el mismo proyecto de levantamiento. La
ubicación y t ipo de operación se anotan bajo el tí tulo.
48
En página izquierda hay por lo general un rayado de seis columnas
destinadas a tabulación solamente. La página derecha es
cuadriculada y se destina a los croquis. Los encabezados de las
columnas se colocan entre las dos primeras l íneas horizontales en
la parte superior de la página izquierda, y se escriben de izquierda
a derecha en el orden anticipado de lectura y anotación. La parte
superior de la página izquierda o de la derecha debe contener
cuatro indicaciones:
a) FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL
TRABAJO.TRABAJO.TRABAJO.TRABAJO. Estos datos son necesarios para documentar las
notas y consti tuir un i tinerario, así como para relacionar
diferentes trabajos. Las observaciones sobre precisión,
dif icultades encontradas u otros hechos pueden irse reuniendo
a medida que progresa el trabajo.
F IGURA N° 3.5. FECHA, HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL TRABAJO
b) CONDICIONES DEL CLIMA.CONDICIONES DEL CLIMA.CONDICIONES DEL CLIMA.CONDICIONES DEL CLIMA. La intensidad del viento, la
temperatura ambiente y diversos fenómenos meteóricos, como
l luvia, nieve, bril lantez solar y niebla, t ienen un efecto decisivo
en la exacti tud de los trabajos de topografía. Un medidor de
dis tancias no puede hacer bien su trabajo cuando sopla un
fuerte viento o cuando hay aguacero. Por el lo, los detalles sobre
las condiciones del tiempo atmosférico son importantes al
revisar notas de campo, así como para apl icar correcciones a
las longitudes medidas con cinta, por variación de temperatura
y por otros conceptos.
49
FIGURA N° 3.6. CONDICIONES DEL CLIMA
c)c)c)c) BRIGADA DE CAMPO.BRIGADA DE CAMPO.BRIGADA DE CAMPO.BRIGADA DE CAMPO. Conviene anotar el apel lido y las iniciales
necesarias del nombre de cada uno de los miembros de una
brigada, así como sus cargos, para documentación y referencia
futura. Las funciones de cada uno pueden indicarse con
s ímbolos o letras, como:
Para el operador del instrumento, OOOO
Para un ayudante, AyAyAyAy
Para el portador de la mira, PmPmPmPm
Para el anotador, AAAA
Para el Jefe de Brigada, JJJJ
F IGURA N° 3.7. BRIGADA DE CAMPO
c) TIPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO.TIPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO.TIPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO.TIPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO. El t ipo de
instrumento uti l izado y su ajuste afectan la exacti tud de un
levantamiento. La identi f icación del equipo específ icamente
util izado ayuda a local izar los errores en algunos casos.
50
F IGURA N° 3.8. T IPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO
Brújula BruntonCinta de lona
3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO
Si se siguen las sugerencias que se indican podrán el iminarse
algunas deficiencias y equivocaciones frecuentes en registros de
campo:
a) El nombre y dirección del propietario debe ser escri to en la
página de la libreta y en la tapa, preferentemente con t inta
china.
b) Use un lápiz bien afi lado o use portaminas.
c) Comience el trabajo de cada día en una página nueva.
d) Inmediatamente después de hacer una medición, anótela
s iempre directamente sobre la libreta de registro, y no en una
hoja suelta de papel para copiarla más tarde.
e) No borre ningún dato registrado. Cruce con una pequeña aspa
el valor incorrecto (pero conservando su legibil idad), y anote el
valor correcto debajo de aquel. Cancele una página trazando
diagonales entre las esquinas de la página.
f) Lleve consigo una regl il la para trazar rectas y un pequeño
transportador para trazar ángulos.
g) Uti lice croquis en lugar de tabulaciones cuando haya duda.
h) Haga los dibujos según proporciones generales, en vez de
trazarlos a escala exacta o sin plan alguno.
i ) Exagere los detalles en los esquemas si se mejora con el lo la
claridad, o bien, trace diagramas por separado.
j ) Anote las descripciones y dibujos en l ínea con los datos
numéricos correspondientes.
51
k) Evite el amontonamiento de notas.
l ) Uti lice notas explicativas cuando sea pertinente, teniendo
presente siempre el objeto del trabajo de topografía y las
neces idades de personal que trabajará en la oficina.
m) Procure que el norte quede en la parte superior o al lado
izquierdo en todos los croquis. Es indispensable señalar la
dirección del meridiano.
n) Repita en voz alta los valores que le dicten para anotar. Por
ejemplo, antes de registrar una distancia de 124.24, diga en
voz alta "uno, dos, cuatro, punto, dos, cuatro" para veri f icar la
lectura con el que dio la medida.
o) Escriba siempre un cero antes del punto decimal en caso de
números menores de 1, es decir anote 0.45 en vez de .45.
p) Indique la precisión de las medidas por medio de cifras
s ignif icativas. Por ejemplo, anote 4.60 en vez de 4.6 si la
lectura se determinó realmente hasta los centésimos.
q) No sobrescriba ningún número sobre otro ni sobre las líneas de
croquis y no trate de transformar una cifra en otra, como un 3
en un 5.
r) Haga todas las comprobaciones ari tméticas posibles en las
notas, y regístrelas, antes de retirase del campo.
s) Calcule todos los cierres y relaciones mientras está en el
campo.
t) Escriba su apel lido con la inicial de su nombre en la esquina
inferior derecha de la página en todos los registros originales
52
CAPÍTULO IV
CÁLCULOS DE GABINETECÁLCULOS DE GABINETECÁLCULOS DE GABINETECÁLCULOS DE GABINETE
4.1.4.1.4.1.4.1. IIIINTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓN
La práctica de la topografía comprende trabajos de campo y de
gabinete. El trabajo de campo incluye principalmente a la
obtención de datos y el trazado de elementos de construcción. El
trabajo de gabinete se refiere a los cálculos necesarios para
transformar las mediciones de campo de modo que satisfagan el
propósito d estudio. Por ejemplo, en las mediciones de predios,
uno de los objetivos importantes es la determinación del área.
Los conceptos cómputos y cálculos se consideran sinónimos. Sin
embargo, aquí computadora signif ica un mecanismo de cómputo
digital, de alta velocidad y de gran capacidad de almacenamiento.
El termino calculadora se usará tanto para designar a la maquina
electrónica portáti l o de bolsi llo como a la de escri torio.
4.2.4.2.4.2.4.2. CCCCONSIDERACIONES ONSIDERACIONES ONSIDERACIONES ONSIDERACIONES BBBBÁSICASÁSICASÁSICASÁSICAS
La l impieza y uniformidad del método son tan esenciales en los
cálculos como en la elaboración de los registros de campo. El
arreglo de las operaciones en la secuencia lógica de la solución no
solo ayuda al calcul ista, sino que también facili ta el trabajo del
revisor.
La mayoría de los organismos de ingeniería y topografía ha
diseñado formas de cálculo para f ines generales y para problemas
específ icos.
Una característica muy conveniente del formato de cálculo,
especialmente para el trabajo de estudiantes, es la subdivis ión del
cálculo en tres partes principales, con los siguientes t ítulos:
a) DDDDATOSATOSATOSATOS . Se anotará una descripción concisa o tabla de la
información o datos disponibles.
53
b) IIIINCÓGNITASNCÓGNITASNCÓGNITASNCÓGNITAS . Se indicará lo que debe calcularse o lo que debe
obtenerse.
c) SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN. Comprenderá la descripción completa de todos los
pasos que conduzcan a los resultados deseados.
Todos los resultados de los cálculos de ingeniería se consideran
provisionales hasta que hayan sido comprobados. Más adelante,
cuando sea necesario, se adicionan diversas formas de
veri f icación.
4.3.4.3.4.3.4.3. CCCCALCULADORAS ALCULADORAS ALCULADORAS ALCULADORAS EEEELECTRÓNICAS DE LECTRÓNICAS DE LECTRÓNICAS DE LECTRÓNICAS DE BBBBOLSILLOOLSILLOOLSILLOOLSILLO
La introducción de la pequeña calculadora cientí fica de bolsil lo ha
provocado una drástica modificación de los métodos de cálculo
topográfico. La calculadora electrónica de bolsillo es rápida, fáci l
de usar, exacta y muy versáti l . Las características de operación y
las capacidades relativas de las diferentes marcas y modelos
varían mucho en un amplio rango de precios.
F IGURA N° 4.1. CALCULADORA ELECTRÓNICA DE BOLSILLO
54
La calculadora de la figura permite resolver problemas cientí f icos y
de ingeniería. Da las funciones tr igonométricas más usuales: seno,
cósenos y tangente; sus funciones inversas, tanto en grados
sexagesimales decimalizados, como en grados centesimales y
radianes; puede convert ir coordenadas rectangulares coordenadas
polares, y viceversa. Con una sola tecla calcula recíprocos,
cuadrados y raíces cuadradas, y tiene funciones estadísticas para
determinar medias y desviaciones estándares. La calculara de la
i lustración tiene múl tiples registros de memorias que permiten el
almacenamiento automático de resultados intermedios para
recuperarlos después. Se le la llama calcular programable porque
puede retener y repetir un programa de un cierto número de
pasos. Un programa es, senci llamente, una secuencia de teclazos
que recuerda la calculadora. Cuando hay que real izar un cálculo
i terativo con datos diferentes, la calculadora lo efectúa sin mayor
intervención del calcul ista.
No puede detal larse aquí la amplia gama de aplicaciones. El
manual del propietario proporcionado por el fabricante es la mejor
fuente de información respecto a los procedimientos de operación.
La calculadora electrónica, ya sea de bolsi llo o d escri torio,
representa un gran avance en cuanto a la velocidad, confiabil idad
y faci l idad de los cálculos de campo y de gabinete. Ha
incrementado la productividad del personal de oficina, ha hecho
posible efectuar cálculos preliminares de campo con el fin de
descubrir equivocaciones en las medidas y, en general, ha
reducido el costo del trabajo de gabinete en la topografía.
4.4. 4.4. 4.4. 4.4. UUUUNIDADES DE NIDADES DE NIDADES DE NIDADES DE MMMMEDIDAEDIDAEDIDAEDIDA
Para investigar el origen de las unidades hoy aceptadas de
medición l ineal, como el metro y el pie, se recurre invariablemente
al estudio de la metrología, que se define como la ciencia de las
pesas y las medidas. La investigación de la evolución de varias
unidades lineales comienza con los registros escri tos de los
55
primeros metrólogos, y con el examen y estudio de las ruinas de
varias civi lizaciones antiguas, como las pirámides de Egipto, el
Partenón de Atenas, y Stonehenge en Inglaterra. Uno de los más
notables dispositivos de medición uti l izados por las civi l izaciones
pasadas fue el Ni lómetro, que servía para determinar las alturas de
las inundaciones a lo largo del Nilo.
Las unidades l ineales más primitivas se derivaban de la longitud
de ciertas partes del cuerpo humano. El dígito era la anchura del
primer nudil lo del dedo índice; la cuarta era la longitud de la mano
extendida, desde el pulgar hasta el meñique; el pie era la longitud
del pie humano, y el codo era la distancia a lo largo del antebrazo
desde la art iculación del codo hasta la punta del dedo medio.
F IGURA N° 4.2. UNIDADES PRIMITIVAS DE MEDIDA
Las unidades lineales modernas tuvieron su origen en la yarda y
pie bri tánicos de 1855, y en la toise francesa, de 1766, que tenía
una longitud de cerca de 6.4 pies ingleses. La unidad de longitud
más importante, el metro, está asociada con el desarrol lo de un
amplio sistema métrico. El metro fue originalmente definido como
la diezmil lonésima parte de un cuadrante del meridiano terres tre.
Después de la realización de estudios de exacti tud geodésica, y de
las del iberaciones de geodestas destacados, un tratado
56
internacional determinó la creación, en 1875, de una Oficina
Internacional de Pesas y Medidas. En la primera conferencia, en
1889, se adoptaron nuevas normas para el s istema métrico. El
metro fue redefinido en términos de distancia entre dos marcas
sobre una barra de platino-ir idio, a 0° C. A ésta se le conoce como
el Metro Patrón Internacional.
En Octubre de 1960, en la Conferencia General sobre Pesas y
Medidas (CGPM), Estados Unidos y otras 35 naciones acordaron
redefinir el metro en función de la longitud de onda de una cierta
clase de luz. En la actualidad, el metro es igual a la longitud de
1'650,763.73 ondas de la luz rojo-anaranjada producida por la
combustión del elemento kriptón (Kr 86). La longitud de onda de la
luz rojo-anaranjada del kriptón es una constante real, mientras que
hay cierto riesgo de inestabilidad en la barra patrón de metal. Si la
CGMP hubiera tenido lugar un año después, el rayo láser podría
haberse util izado para fijar la norma en vez de la luz de kriptón.
El metro, el pie, la yarda y otras unidades de longitud, no cambian
ya en real idad, pues el standard de longi tudes de onda y el
standard sólido de metal están en acuerdo satis factorio, aunque
algunas medidas discrepantes están siendo veri ficadas todavía.
4.5. 4.5. 4.5. 4.5. UUUUNIDADES EN NIDADES EN NIDADES EN NIDADES EN TTTTOPOGRAFÍAOPOGRAFÍAOPOGRAFÍAOPOGRAFÍA
a) UNIDADES DE LONGITUD
Las unidades básicas de longitud más empleadas son el pie y el
metro. El pie (foot = ft) es de origen anglosajón y es
universalmente uti l i zado en los países de habla inglesa. El metro
(m) es de origen francés, y se ha convert ido en la unidad adoptada
para uso internacional y cientí f ico. Con el transcurso del t iempo, el
metro desplazará gradualmente al pie, en todos los campos de la
ingeniería.
De la mil le passum de los ejércitos romanos, se derivaron nuestros
términos "mil la" y "paso"; también la pért ica romana, que significa
57
percha o vari l la para medir. La percha se util izó ampliamente
como unidad de longitudes en la medición de predios. Sin
embargo, pronto se reconoció la necesidad de estandarizar la
longitud de la percha y, generalmente, se recomendaba el
s iguiente método:
"Una percha deberá ser determinada de manera
correcta y legal, y de acuerdo con la práctica cientí f ica,
de esta manera: dieciséis hombre, bajos y altos, uno
después de otro, como vayan sal iendo de la iglesia,
deberán colocar, cada uno, un zapato en f ila; y si se
toma una longitud será una percha verdadera"
Entre las unidades de longitud que se usaron en levantamientos
antiguos y que se emplean también en la actual idad en Estados
Unidos, se encuentran las siguientes:
1 pie ( ', f t ) = 12 pulgadas (símbolo: plg, ", in)
1 pulgada (plg) = 25,4 mm
1 yarda (yd) = 3 pies (s ímbolo: pie)
1 metro (m) = 39,37 plg = 3,2808 pie
1 pért iga = 16,5 pie ( rod, pole o perch)
1 vara = 33 plg (unidad española antigua que se uti l izó en el
sudoeste de USA)
1 cadena Gunter = 66 pies = 100 eslabones = 4 pért igas
1 mil la (terres tre) = 5280 pie = 80 cadenas Gunter
1 mil la (náutica) = 6076,10 pie
1 kilómetro (Km) = 0,62137 millas
b) UNIDADES DE SUPERFICIE
El ager, o área de terreno que podía ser arada en un día por una
yunta bueyes, derivó el acre. El acre es la unidad más común de
58
área en USA y es equivalente a 10 cadenas cuadradas Gunter. En
consecuencia, un acre contiene 43 560 pies cuadrados.
Entre las unidades de superficie que se usaron en levantamientos
antiguos y que se emplean también en la actual idad, se
encuentran las siguientes:
1 hectárea (Ha) = 10 000 metros cuadrados (m2)
1 hectárea = 2,471 acres
1 acre = 43 560 pies cuadrados (pie2)
1 acre = 4 046,856 metros cuadrados
1 metro cuadrado = 10,76 pies cuadrados
1 mm cuadrado = 0,00155 plg cuadradas (plg2)
c) UNIDADES ANGULARES
La unidad angular que más se usa en topografía es el grado
(sexagesimal), que se define como el ángulo subtendido por
1/360 avo de una circunferencia. Se han usado también otros
métodos para subdividir una circunferencia, como por ejemplo, en
400 grados centesimales (400g). El radian (rad) es el ángulo
central subtendido por un arco de circunferencia de longitud igual
al radio.
Entre las unidades angulares que se usaron en levantamientos
antiguos y que se emplean también en la actual idad, se
encuentran las siguientes:
1 grado sexagesimal (1°) = 60 minutos sexagesimal
1 minuto sexagesimal (1') = 60 segundos sexagesimal
1 grado centesimal (1g) = 100 minutos g.
1 minuto centesimal (1c) = 100 segundos cc.
1 radian (rad) = 57° 17' 44,8"
1 radian = 57,2958°
1 grado sexagesimal = 0,01745 rad
59
4.6. 4.6. 4.6. 4.6. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA IIIINTERNACIONAL DE NTERNACIONAL DE NTERNACIONAL DE NTERNACIONAL DE UUUUNIDADES NIDADES NIDADES NIDADES (SI)(SI)(SI)(SI)
Actualmente, todos los países están adoptando el Sistema
Internacional de Unidades, que se conoce generalmente como SI.
Este sistema, que no implica cambio alguno en las dimensiones ni
en los valores, será un medio para normal izar y simpli ficar las
unidades de medida en todo el mundo. Las unidades SI de mayor
importancia para los topógrafos (sus símbolos normales se indican
entre paréntesis) son:
El metro (m) para distancias
El metro cuadrado (m2) para superficies
El radián (rad) para ángulos planos y, también,
El grado sexagesimal (1°) para ángulos planos
El metro cúbico (m3) para volúmenes
El ki lómetro (Km) = 1000 m
El milímetro (mm) = 0,001 m
El centímetro (cm) = 0,01 m
El decímetro (dm) = 0,1 m
4.7. 4.7. 4.7. 4.7. CCCC IFRAS IFRAS IFRAS IFRAS SSSS IGNIFICATIVASIGNIFICATIVASIGNIFICATIVASIGNIFICATIVAS
Cuando se registran medidas, de cualquier clase, una indicación
de la exacti tud lograda es el número de dígitos (ci fras
signif icativas) que se registran. Por definición, el número de cifras
signif icativas en cualquier valor incluye los dígitos pos itivos
(seguros) más uno (solamente uno) que es un dígito estimativo, y
por tanto, cuestionable.
Por ejemplo: una distancia regis trada como 875,52 se dice que
t iene cinco cifras signif icativas; en este caso, los cuatro primeros
dígitos son seguros y el último es cuestionable.
60
A menudo se confunde el número de cifras significativas con el
número de cifras decimales. A continuación algunos ejemplos:
CUADRO N° 4.1. C IFRAS SIGNIFICATIVAS
CIFRAS
SIGNIFICATIVAS EJEMPLOS
DOS CIFRAS 24; 2,4; 0,24; 0,0024; 0,024
TRES CIFRAS 365; 45,6; 0,0000456; 0,0560
CUATRO CIFRAS 3465; 45,67; 0,0006785; 25,00
Con el fin de aclarar el concepto de las cifras s ignificativas,
resultan úti les las siguientes reglas.
i ) Todos los dígitos diferentes de cero son signi ficativos
i i ) Los ceros al principio de un número indican solo la posición del
punto decimal. No son signif icativos.
i i i ) Los ceros entre otros dígitos si son signif icativos
iv) Los ceros al f inal de un número con decimales si son
signif icativos.
4.8.4.8.4.8.4.8. PPPPROBLEMAS ROBLEMAS ROBLEMAS ROBLEMAS RRRRELACIONADOS CON ELACIONADOS CON ELACIONADOS CON ELACIONADOS CON CCCC IFRAS IFRAS IFRAS IFRAS SSSS IGNIFICATIVASIGNIFICATIVASIGNIFICATIVASIGNIFICATIVAS
a) Las medidas de campo se presentan con un número
específ ico de cifras signif icativas, con lo cual se indica el
número correspondiente que debe tener un valor calculado.
En el campo es práctica común l levar por lo menos un
dígito más de los que se requieren, y luego redondear la
respuesta al número correcto de cifras signi ficativas. Si se
usan logaritmos o funciones trigonométricas naturales,
deben tener siempre una cifra más que el número de cifras
61
s ignif icativas que se desee tener en la respuesta.
b) Puede haber un número implíci to de ci fras s ignif icativas.
Por ejemplo, la longitud de cierto campo deportivo puede
estar especificada como de 100 yardas. Pero al del imitar el
campo en el terreno, tal distancia se mediría
probablemente al centésimo de pie más próximo, y no a la
media yarda más cercana.
c) Cada factor puede ocasionar una variación igual. Por
ejemplo, si se va a corregir una cinta de acero de 30,00 m
de longitud por un cambio de temperatura de 10°C, uno d
estos números t iene cuatro cifras signif icativas mientras
que el otro sólo tiene dos. Sin embargo, una variación de
10°C en la temperatura cambia la longitud de la cinta en
0,002 m. Por tanto, para este tipo de datos s i se justi fica
una longitud ajustada de la cinta a cuatro cifras
s ignif icativas.
4.9.4.9.4.9.4.9. RRRREDONDEO DE EDONDEO DE EDONDEO DE EDONDEO DE NNNNÚMEROSÚMEROSÚMEROSÚMEROS
Redondear un número es suprimir uno o más dígitos para que la
respuesta sólo contenga aquel los que sean significativos o
necesarios en cálculos subsecuentes. Al redondear números de
cualquier grado es necesario de exacti tud, se debe seguir el
procedimiento siguiente:
a) Cuando el dígito a despreciar sea menor que 5, se escribirá sin
ese dígito. Así, 76,454 se transforma en 76,45.
b) Cuando el dígito a despreciar sea exactamente 5, se usará el
s iguiente número par para el dígito precedente. Así, 56,875 se
transforma en 56,88, y 56,885 se redondea también a 56,88.
c) Cuando el dígito a despreciar sea mayor que 5, se escribirá el
número con el dígito precedente aumentado en una unidad. Así,
32,576 se convierte en 32,58.
62
F IGURA N° 4.3. REDONDEO DE NÚMEROS
4.10.4.10.4.10.4.10. CCCCOMPROBACIONESOMPROBACIONESOMPROBACIONESOMPROBACIONES
En los cálculos de gabinete se enfatiza la gran necesidad de estar
siempre alerta para evitar la introducción de errores notables o
equivocaciones. En part icular, es importante que los datos sean
bien digitados en la calculadora y que los resultados sean
transcri tos de manera correcta a las formas de cálculo.
Por lo general, en el aula de clase o en una oficina de ingeniería,
los resul tados de los cálculos de rutina los compruebe un revisor,
que uti l iza las hojas de cálculo originales. La comprobación más
efectiva sería un cálculo independiente por parte de una segunda
persona, quien de preferencia, usará fórmulas distintas.
Cuando un cálculo de comprobación aparentemente revele errores
o equivocaciones en los cálculos originales, es necesario
asegurarse que la comprobación está correcta antes de aceptar
sus resultados.
En todo trabajo de gabinete, en especial el real izado por
aprendices, siempre es aconsejable que, al concluir el problema,
el calculista se pregunte si el resultado parece razonable.
63
4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS
a) As ignar la cantidad de cifras signif icativas tienen los siguientes
números: 4,4; 56.4; 87,65; 0,44; 0,00000524; 0,474; 0,452;
85.624; 635.0024; 0,5324; 0,623587; 4253;001
b) Redondear a solo dos decimales: 23.365; 0,32578; 63.2584;
21,365; 5324,45287; 63.254
c) Redondear a solo tres decimales: 0,2536; 23.2554; 6332,8557;
0,535; 12,4565; 5632,8524; 0,00052
d) Redondear a solo seis decimales: 52,3265254; 0, 3254875;
6325,8525487; 52,3254588; 3.45283333
64
CAP ÍTULO V
ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE
CAMPOCAMPOCAMPOCAMPO
5.1. INTRODUCCIÓN5.1. INTRODUCCIÓN5.1. INTRODUCCIÓN5.1. INTRODUCCIÓN
Toda construcción es la culminación de los procesos de diseño y
planeación; con el la se completa y termina un proyecto. Puede
tratarse de un edif icio, camino, carretera, puente, canal, presa, un
parque industrial, una subdivisión de predio. El proyecto, elaborado
con el propósito de util izarlo para determinado f in y en un lugar
part icular, debe trazarse teniendo en cuenta el lugar especif icado;
al inearse correctamente con respecto a las estructuras adyacentes
y la obra debe construirse de acuerdo a las dimens iones, formas y
características requeridas. Para ejecutar correctamente el trazo
sobre el terreno, es indispensable hacer mediciones.
En el campo, las distancias horizontales se miden con cintas,
vari l las, reglas o aun con estacas marcadas. Las diferencias de
elevación se determinan comúnmente por medio de niveles de
burbuja y una regla graduada o estadal. Casi sin excepción los
ángulos se miden con la ayuda de un teodol i to o tránsito, aunque
muchas veces pueden conseguirse resul tados satisfactorios
usando instrumentos menos precisos, como la brújula.
Las mediciones pueden hacerse directa o indirectamente. Se
efectúa una medición indi recta cuando no es posible aplicar el
instrumento de medida directamente a la distancia o ángulo que
debe medirse. Por tanto, se determina la respuesta por su relación
con algún otro valor conocido. Así, la distancia a través de un río
puede encontrarse midiendo la longitud de una línea trazada sobre
una oril la, el ángulo de cada extremo de esa hasta un punto
situado al otro lado, y calculando luego la distancia deseada por
medio de una de las formulas clásicas de trigonometría.
65
5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS
Se denomina error a la di ferencia entre el valor observado o
calculado de una cantidad y el valor verdadero o ideal. Cuando se
mide una distancia con una cinta dividida en décimos de metro, la
distancia podrá leerse sólo hasta el centés imo de metro (por
interpolación). Si se dispone de una cinta graduada en centésimos
de metro, la misma dis tancia podría estimarse hasta el milésimo. Y
con una cinta graduada en milésimos de metro será posible
obtener una lectura hasta el milésimo metro. Es obvio que la
exacti tud de las medidas depende del tamaño de la divis ión, de la
confiabi lidad del equipo empleado y de las l imi taciones humanas
para apreciar la divis ión de la escala. Por el lo, podemos establecer
incondicionalmente que:
a) Ninguna medida es exacta
b) Toda medida contiene errores
c) Nunca se puede conocer el valor verdadero de una dimensión,
y por tanto,
d) El valor exacto que hay en cualquier medida siempre será
desconocido.
Las equivocacionesequivocacionesequivocacionesequivocaciones son fallas , pura y simplemente, y no se pueden
perdonar; ocurren por una mala comprensión del problema, por
descuido o por un cri terio deficiente. A las grandes equivocaciones
se las llama errores garrafaleserrores garrafaleserrores garrafaleserrores garrafales, y no se tratan como errores. Las
equivocaciones se detectan mediante la comprobación sistemática
de todo trabajo, y se el iminan rehaciendo parte del mismo, o bien,
todo él. Es muy dif íci l descubrir equivocaciones pequeñas porque
se asocian con errores. Cuando no son detectadas, estas
pequeñas equivocaciones pueden tratarse, por tanto, como
errores, y afectarán a los diversos tipos de estos.
En ejecución de una obra es fundamental que todas las
mediciones sean confiables y no contengan equivocaciones.
Mientras avanza la obra, la veri f icación repetida de las medidas
por medio de diversos procedimientos proporciona la confianza
66
requerida, pero se neces ita poner mucho cuidado en comprobar
constantemente los resultados y tener un alto sentido de
responsabilidad.
5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS
Los errores que aparecen en las medidas son de tres clases:
F IGURA N° 5.1. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS
a) a) a) a) ERRORES NATURALESERRORES NATURALESERRORES NATURALESERRORES NATURALES
Son ocasionados por variaciones del viento, la temperatura, la
humedad, la refracción, la gravedad y la decl inación magnética.
Por ejemplo, la longitud de una cinta de acero varía al
presentarse cambios de temperatura ambiental.
b) b) b) b) ERRORES INSTRUMENTALESERRORES INSTRUMENTALESERRORES INSTRUMENTALESERRORES INSTRUMENTALES
Resultan de cualquier imperfección que haya en la construcción
o el ajuste de los instrumentos, y del movimiento de sus partes.
Por ejemplo, las graduaciones pintadas en un estadal o mira de
nivelación pueden no estar perfectamente espaciadas, o el
es tadal podría estar combado. El efecto de la mayor parte de
los errores instrumentales puede reducirse adoptando
procedimientos topográficos adecuados y aplicando
correcciones calculadas.
67
c) c) c) c) ERRORES PEERRORES PEERRORES PEERRORES PERSONALESRSONALESRSONALESRSONALES
Nacen de las l imitaciones de los sentidos humanos de la vista,
el tacto y el oído. Por ejemplo, existe un error pequeño en el
valor medido de un ángulo cuando el hi lo vert ical de la retícula
del anteojo de un teodol i to no queda perfectamente al ineado
sobre un objetivo, o cuando la parte superior de un estadal no
está vert ical al ser visada.
4.4. TIPOS DE ERRORES4.4. TIPOS DE ERRORES4.4. TIPOS DE ERRORES4.4. TIPOS DE ERRORES
Los errores que contienen las medidas son de dos tipos: errores
sistemáticos y errores accidentales.
a) a) a) a) ERRORES SISTEMÁTICOSERRORES SISTEMÁTICOSERRORES SISTEMÁTICOSERRORES SISTEMÁTICOS
Son aquellos cuyas magnitudes y signos se relacionan en forma
directa con las condiciones que rodean a las mediciones. Se
ajustan a las leyes físicas conocidas y son susceptibles de
determinarse matemáticamente. Los cambios en las
condiciones se ven acompañados por los correspondientes
cambios en la magnitud, y a veces en el s igno, del error
resultante. Los errores sistemáticos son acumulativos y
constantes, cuando la magnitud y el s igno del error son igual en
toda la serie de mediciones.
Los errores sistemáticos pueden calcularse y eliminarse sus
efectos. Por ejemplo, una cinta de 50 metros que tiene una
longi tud mayor de 0,006 m, introduci rá un error positivo de
0,006 m (o de 6 mm) cada vez que se uti l iza. El cambio de
longi tud de una cinta de acero que resulta de una diferencia de
temperatura puede calcularse por medio de una formula
s imple, y efectuarse fáci lmente la corrección.
68
b) b) b) b) ERRORES ACCIDENTALESERRORES ACCIDENTALESERRORES ACCIDENTALESERRORES ACCIDENTALES
Son los errores que quedan después de haber el iminado las
equivocaciones y los errores sistemáticos. Son ocasionados por
factores que quedan fuera del control del observador, obedecen
a leyes de la probabil idad y reciben también el nombre de
errores aleatorioserrores aleatorioserrores aleatorioserrores aleatorios. Estos errores están presentes en todas las
mediciones topográficas.
Las magnitudes y los signos de algebraicos de los errores
aleatorios son resultados del azar, y no hay manera absoluta
alguna de calcularlos ni de eliminarlos. A los errores aleatorios
se les conoce también como errores compensativoserrores compensativoserrores compensativoserrores compensativos, porque
t ienden a cancelarse parcialmente entre sí en una serie de
mediciones.
F IGURA N° 5.2. T IPOS DE ERRORES EN LAS MEDIDAS
5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES
Los términos siguientes se encuentran asociadas a la magnitud de
los errores:
a) a) a) a) DISCREPANCIADISCREPANCIADISCREPANCIADISCREPANCIA
Es la diferencia entre dos valores medidos con la misma
cantidad. Es también la diferencia entre el valor medido y el
valor conocido de una cantidad. La discrepancia pequeña entre
dos valores indica que probablemente no hay ninguna
LAS MAGNITUDES Y SIGNOS SE RELACIONAN EN FORMA DIRECTA CON LAS CONDICIONES QUE RODEAN A LAS MEDICIONES.SON SUSCEPTIBLES DE DETERMINARSE Y ELIMINARSE MATEMÁTICAMENTE.PUEDEN SER AUTOCONPENSATORIOS
SON LOS QUE QUEDAN DESPUÉS DE HABER ELIMINADO LAS EQUIVOCACIONES Y LOS ERRORES SISTEMÁTICOS. SON OCASIONADOS POR FACTORES QUE QUEDAN FUERA DEL CONTROL DEL OBSERVADOR, OBEDECEN A LEYES DE LA PROBABILIDAD, POR TANTO, SON ALEATORIOS
69
equivocación y que los errores aleatorios son pequeños. Sin
embargo, no revela la magnitud de los errores s istemáticos. Por
ejemplo, al medir con cinta, de ida y vuelta, una l ínea base de
300 m de largo podría producirse una discrepancia de 0,012 m,
pero si no se calcularan las correcciones por pendiente y
temperatura, ambas mediciones podrían estar erróneas.
b) b) b) b) CONCORDANCIACONCORDANCIACONCORDANCIACONCORDANCIA
Es la precisión entre dos valores medidos con la misma
cantidad. Pero no asegura exacti tud. Por ejemplo, dos medidas
de una dis tancia hechas con una cinta que se supone t iene
50,000 m de longitud pero que en realidad tiene 50,007 m,
podrían resultar ser 135,980m y 135,982 m. Estos valores son
precisos pero no exactos, pues hay un error de
aproximadamente 0,021 m en cada uno.
c) c) c) c) INCERTIDUMBREINCERTIDUMBREINCERTIDUMBREINCERTIDUMBRE
Es la diferencia vaga entre el valor verdadero y la cantidad
medida. Por ejemplo, la incertidumbre de un ángulo es +-15",
es una expresión vaga y, ningún observador podrá determinar
el error en un intervalo tan grande.
F IGURA N° 5.3. MAGNITUDES DE LOS ERRORES
DISCREPANCIA
CONCORDANCIA
INCERTIDUMBRE
EXACTITUD
PRECISIÓN
70
d) d) d) d) PRECISIÓNPRECISIÓNPRECISIÓNPRECISIÓN
Es el grado de posibil idad de repetición entre varias medidas
de la misma cantidad, y se basa en el refinamiento de las
mediciones y en el tamaño de las discrepancias. El grado de
precisión alcanzable depende de la sensibi lidad del equipo y de
la destreza de observador.
e) e) e) e) EXACTITUDEXACTITUDEXACTITUDEXACTITUD
Es la absoluta cercanía al verdadero valor de una medida. Un
levantamiento puede ser preciso sin ser exacto.
5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES
Lo que caracteriza a una medición es que, siempre, contiene error.
El tamaño del error puede reducirse por refinamiento del equipo y
apl icando un procedimiento cuidadoso. En general, se pueden
establecer los siguientes:
a) Los errores pequeños ocurren con mayor frecuencia que los
grandes, es decir, son más probables.
b) Los errores grandes ocurren con poca frecuencia y son, por
tanto, menos probables.
c) Los errores posi t ivos y negativos de la misma magnitud ocurren
con igual frecuencia; es decir, son igualmente probables.
5.7 CALCULO DE ERRORES5.7 CALCULO DE ERRORES5.7 CALCULO DE ERRORES5.7 CALCULO DE ERRORES
A f in de comparar la calidad relativa de varias series de medidas
f ís icas de la misma cantidad, conviene calcular un índice numérico
de la precisión de las observaciones. Dos indicadores muy usuales
son el error estándar y el error probable.
71
F IGURA N° 5.4. INDICADORES MÁS USUALES DE ERRORES
a)a)a)a) ERROR ESTÁNDARERROR ESTÁNDARERROR ESTÁNDARERROR ESTÁNDAR
También llamado desviación estándar o error medio cuadrático,
se uti l iza para la interpretación de datos biológicos,
sociológicos, psicológicos, así como datos relacionados, y en
grado cada vez mayor, para la valoración de observaciones
topográficas. Las ecuaciones los definen son las siguientes.
FORMULA N° 5.1. CÁLCULO DEL ERROR ESTÁNDAR DE UNA SOLA MEDIDA
( )
2
s
v
n 1σ = ±
−
∑
También:
FORMULA N° 5.2. CÁLCULO DEL ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA
( )
2
m
v
n n 1σ = ±
−
∑
72
Asimismo:
FORMULA N° 5.3. CÁLCULO DEL ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA
s sE 0.6745= ± σ
FORMULA N° 5.4. CÁLCULO DEL ERROR PROBABLE DE LA MEDIA
m mE 0.6745= ± σ
Dónde:
σs = Error estándar de una sola medida
σm = Error estándar de la media
Es = Error probable de una sola medida
Em = Error probable de la media
v = residuo
n = número de mediciones
El error probable de una medida que forma parte de una serie
es la mediana o valor central de todos los errores, o residuos,
cuando se le agrupa en orden numérico. Puesto que el número
de errores mayores que el error probable es igual al de errores
menores que éste, la probabi lidad de que un error exceda al
probable es igual a la que un error sea inferior a éste, porque la
probabil idad total es la unidad.
En consecuencia, puede definirse el error probable como la
cantidad que, sumada o restada del valor más probable, f ija
los l ímites dentro de los cuales existe la misma probabi lidad de
que se halle el valor verdadero de la cantidad medida.
73
CUADRO N° 5.1. EJEMPLO DE CÁLCULO ERRORES
No.
MEDI CIÓN Valor (m) v v2
1 2544.364 0.046 0.0021252
2 2544.252 -0.066 0.0043428
3 2544.481 0.163 0.0266016
4 2544.128 -0.190 0.0360620
5 2544.282 -0.036 0.0012888
6 2544.184 -0.134 0.0179292
7 2544.245 -0.073 0.0053144
8 2544.366 0.048 0.0023136
9 2544.425 0.107 0.0114704
10 2544.452 0.134 0.0179828
Promedio 2544.318 0.1254309
Reemplazando:
a) σ s =Error estándar de una sola medida
( ) ( )
2
s
v 0.1254300.118
n 1 10 1σ = ± = =
− −
∑
b) Es =Error probable de una sola medida
( )s sE 0.6745 0.6745 0.118 0.080= ± σ = =
c) σm =Error estándar de la media
( ) ( )
2
m
v 0.1254300.037
n n 1 10 10 1σ = ± = =
− −
∑
74
d) Em = Error probable de la media
( )m mE 0.6745 06745 0.037 0.025= ± σ = =
RESPUESTAS
VP = Valor más probable 2544.318 m
σ s = Error estándar de una sola medida ±0.118 m
Es = Error probable de una sola medida ±0.080 m
σm = Error estándar de la media ±0.037 m
Em = Error probable de la media ±0.025 m
Cuadro N° 5.2. OTRO EJEMPLO DE CÁLCULO ERRORES
No.
MEDI CIÓN
ÁNGULO MEDIDO v v2
GRAD MI N SEG DEC I MAL
1 359 59 12 359.986667 -0.005092 0.000026
2 359 59 24 359.990000 -0.001759 0.000003
3 359 59 8 359.985556 -0.006203 0.000038
4 359 59 36 359.993333 0.001574 0.000002
5 359 59 54 359.998333 0.006574 0.000043
6 359 59 45 359.995833 0.004074 0.000017
7 359 59 32 359.992222 0.000463 0.000000
8 359 59 54 359.998333 0.006574 0.000043
9 359 59 18 359.988333 -0.003426 0.000012
10 359 59 45 359.995833 0.004074 0.000017
11 359 59 24 359.990000 -0.001759 0.000003
12 359 59 12 359.986667 -0.005092 0.000026
359.991759 0.000231
75
Reemplazando:
a) σ s =Error estándar de una sola medida
( ) ( )
2
s
v 0.00023060.004579
n 1 12 1σ = ± = =
− −
∑
b) Es =Error probable de una sola medida
( )s sE 0.6745 0.6745 0.004579 0.003088= ± σ = =
c) σm =Error estándar de la media
( ) ( )
2
m
v 0.0023060.001322
n n 1 12 12 1σ = ± = =
− −
∑
d) Em = Error probable de la media
( )m mE 0.6745 06745 0.01322 0.000892= ± σ = =
RESPUESTAS
VP = Valor más probable 2544.318 m
σ s = Error estándar de una sola medida ±0.04579°
Es = Error probable de una sola medida ±0.003088°
σm = Error estándar de la media ±0.001322°
Em = Error probable de la media ±0.000892°
b)b)b)b) ERROR RELATIVOERROR RELATIVOERROR RELATIVOERROR RELATIVO
FORMULA N° 5.5. CÁLCULO DEL ERROR RELATIVO
srE
Ma
σ=
76
c)c)c)c) ERROR TEMIBLEERROR TEMIBLEERROR TEMIBLEERROR TEMIBLE
FORMULA N° 5.6. CÁLCULO DEL ERROR TEMIBLE
t rE 3E=
d)d)d)d) VALOR MAS PROBABLEVALOR MAS PROBABLEVALOR MAS PROBABLEVALOR MAS PROBABLE
FORMULA N° 5.7. CÁLCULO DEL VALOR MÁS PROBABLE
mp
serieV
n=∑
e)e)e)e) MEDICIONES PONDERADASMEDICIONES PONDERADASMEDICIONES PONDERADASMEDICIONES PONDERADAS
Hasta ahora se ha supuesto que todas las mediciones se han
hecho bajo las mismas condiciones y que son de igual
cal idad. Sin embargo, a veces una observación de una serie
puede ser más confiable que otra. Esa observación debe
ejercer mayor inf luencia sobre el cálculo de resul tados. Al
grado de confiabil idad se le denomina ponderación o pesopesopesopeso de
la medición. Es el valor relat ivo de esa observación respecto
a las demás de la serie.
Se expresa como un número y, siendo del todo relat ivo,
puede multiplicarse por cualquier factor, s iempre y cuando
todos los demás de la serie se multipliquen por la misma
cantidad.
La ecuación general para una media ponderada, es:
FORMULA N° 5.8. CÁLCULO DE UNA MEDIDA PONDERADA
1 1 2 2 3 3 n np
1 2 3 n
wM w M w M .... w MM
w w w .... w
+ + + +=
+ + + +
77
La asignación de pesos depende en gran medida del cri terio,
basado en la experiencia y en el conocimiento de las
condiciones de campo y en el momento en que se efectuaron
las lecturas y mediciones
Al Calcular el valor medio de alguna cantidad a part ir de dos
o más series de medidas, es lógico considerar la precisión
calculada de cada uno de los conjuntos o series. Se toman
los pesos inversamente proporcionales al cuadrado del error
probable (o d del error estándar), o sea:
FORMULA N° 5.9. CÁLCULO DEL VALOR MEDIO UNA SERIE DE MEDIDAS
21 2
22 1
w E
w E=
Ejemplo:
Para i lustración de un ajuste por ponderación, supóngase que
se registran cuatro medidas de una distancia: 482.16, 482.17,
482.20 y 482.18, y que se les dan pesos relativos de 1, 2, 2 y
4, respectivamente, por parte del Jefe de Grupo (o brigada)
de topografía. La medida ponderada se hal la multiplicando
cada medida por su peso, sumando los productos y
dividiendo el total entre la suma de las ponderaciones. En
este caso, la media ponderada es:
p
482.16(1) 482.17(2) 482.20(2) 482.18(4)M 482.18m
1 2 2 4+ + +
= =+ + +
Otro ejemplo:
78
Como segunda ilustración, considérese que los ángulos
medidos de un cierto triangulo son: A = 49° 51’ 15”, peso 1;
B = 60° 32’ 08”, peso 2; y C = 69° 36’ 33”, peso 3. Los
ángulos se ajustaran en proporción inversa a sus pesos
relativos, como en la tabulación que se sigue. El ángulo C
con el peso máximo de (3), t iene la corrección más pequeña,
2x; B recibe 3x; y A, 6x.
CUADRO N° 5.3. CÁLCULO DE MEDIDAS PONDERADAS
VÉRTICE ÁNGULO
MEDIDO PONDERAC IÓN CORRECCIÓN
CORRECCIÓN
CALCULADA
ANGU LO
CORREG IDO
A 49.854167 1 6 0.000606 49.854773
B 60.535556 2 3 0.000303 60.535859
C 69.609167 3 2 0.000202 69.609369
SUMA 179.998889 6 11 0.001111 180.000000
DEFECTO 0.001111 0.0001010
5.5.5.5.8888 PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
a) Con los datos que muestran, calcular el error estándar de una
sola medida, el error estándar de la media, el error probable
de una sola medida y el error probable de la media.
Núm. GRAD MIN SEG
1 125 36 12
2 125 36 24
3 125 36
33
79
4 125 36
36
5 125 36 54
6 125 36 23
7 125 36
32
8 125 36
43
9 125 36 18
10 125 36 45
b) Con los datos que muestran, calcular el error estándar de una
sola medida, el error estándar de la media, el error probable
de una sola medida y el error probable de la media.
Núm. GRAD MIN SEG
1 539 58 12
2 539 58 45
3 539 58 33
4 539 58 54
5 539 58 54
6 539 58 23
7 539 58 12
8 539 58 43
9 539 58 18
10 539 58 23
c) Con los datos que muestran, calcular el error estándar de una
sola medida, el error estándar de la media, el error probable
de una sola medida y el error probable de la media.
80
Núm. GRAD MIN SEG
1 1,280 15 12
2 1,280 15 35
3 1,280 15 33
4 1,280 15 54
5 1,280 15 26
6 1,280 15 23
7 1,280 15 56
8 1,280 15 43
9 1,280 15 15
10 1,280 15 23
d) Corregir las medidas del pol ígono que muestra
VÉRTICE Á NGULO MEDIDO PONDERAC IÓN
A 49.854167 1
B 60.535556 2
C 69.609167 3
D 179.998889 6
e) Corregir las medidas del pol ígono que muestra
VÉRTICE Á NGULO MEDIDO PONDERAC IÓN
A 71.635400 2
B 82.132400 2
C 102.240000 4
D 104.129260 1
81
f ) Corregir las medidas del pol ígono que muestra
VÉRTICE Á NGULO MEDIDO PONDERAC IÓN
A 85.345542 2
B 101.252069 5
C 170.136601 4
D 85.548786 1
E 95.597724 4
F 182.266917 3
g) Corregir las medidas del pol ígono que muestra
VÉRTICE Á NGULO MEDIDO PONDERAC IÓN
A 178.775050 2
B 89.132452 4
C 91.617760 4
D 175.104794 2
E 94.828609 4
F 90.313052 1
h) Corregir las medidas del pol ígono que muestra
VÉRTICE Á NGULO MEDIDO PONDERAC IÓN
A 88.518869 1
B 100.716648 5
C 167.835387 4
82
D 90.053064 2
E 93.425606 6
F 178.826897 1
i ) Corregir las medidas del pol ígono que muestra
VÉRTICE Á NGULO MEDIDO PONDERAC IÓN
A 176.379207 1
B 88.270384 5
C 94.869826 3
D 173.660353 2
E 93.623903 3
F 93.062863 3
83
CAPÍTULO VI
MEDIDA DE DISTANCIASMEDIDA DE DISTANCIASMEDIDA DE DISTANCIASMEDIDA DE DISTANCIAS
6.1. INTRODUCCIÓN6.1. INTRODUCCIÓN6.1. INTRODUCCIÓN6.1. INTRODUCCIÓN
La medición de distancias es un elemento importante en la
mayoría de los trabajos topográficos. La distancia puede
determinarse a pasos, mediante podómetro, odómetro, estadia
vert ical y horizontal, triangulación, tr i lateración y disposit ivos
electrónicos, pero la medición con cinta es todavía el principal
método para efectuar mediciones de distancia.
6.2. CINTAS6.2. CINTAS6.2. CINTAS6.2. CINTAS
Las cintas topográficas más comunes se fabrican de f leje de acero
de sección constante, con graduaciones a intervalos regulares.
Otras se hacen de una aleación de acero o de tela metál ica o no
metál ica. Existe una gran diversidad de cintas en cuanto a
longitudes, anchos y modos de graduación.
6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN
Suele util izarse diverso equipo accesorio con las cintas a fin de
real izar la medición de distancias.
a) FICHAS DE CADENERO
Los alf ileres de acero con argol la en un extremo y punta en el
otro se denominan, también, FLECHAS DE CADENAMIENTO. Se
uti l izan para marcar los extremos de la cinta sobre el terreno y
84
para señalar el número de longitudes de cinta en una línea
dada.
b) DINAMÓMETRO DE RESORTE
Se uti l iza para aplicar la tensión apropiada a la cinta cuando
van a real izar mediciones muy cuidadosas.
c) MORDAZA
Se emplea para aprisionar el f leje plano de la cinta de acero sin
torcerlo, cuando se mide menos de una longitud completa de
cinta.
6.4. CALIBRACIÓN6.4. CALIBRACIÓN6.4. CALIBRACIÓN6.4. CALIBRACIÓN
La cal ibración es la comparación de un instrumento o disposit ivo
con un patrón para determinar el valor del instrumento o
disposit ivo en términos de una unidad adoptada. Se considera que
una cinta está cal ibrada cuando la distancia entre sus marcas
extremas se determinó mediante la comparación de ésta, bajo
condiciones prescri tas, con un patrón que representa a dicha
unidad.
Todas las cintas de acero para topografía están bien graduadas
por el fabricante bajo condiciones controladas de temperatura,
tensión y apoyo. Pero cuando se trabaja en el campo, las
condiciones son diferentes.
Para trabajos de baja exacti tud, podría despreciarse el monto del
error en la longitud de la cinta, en condiciones de campo
promedio, pero para mediciones de más alta calidad podría
resultar imprescindible conocer la longitud exacta de la cinta. Para
f ines de comparación, el patrón puede ser una cinta maestra que
85
no se uti l ice en el campo, a f in de protegerla contra daños, o bien,
una l ínea Base local, con la longitud de la cinta, cuyos extremos
estén sól idamente monumentados y cuya longi tud se haya
determinado hasta el diezmillonésimo de metro con una cinta
maestra.
6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA
Los métodos son variables debido a diferencias en los
requerimientos del proyecto, en el terreno, en la clase de cinta y
en otros factores como las preferencias personales de los jefes de
brigada y las prácticas establecidas de las organizaciones
topográficas.
En general, existen dos métodos básicos para medir distancias con
cinta; se denominan MEDICIÓN CON CINTA HORIZONTAL y
MEDICIÓN CON CINTA INCLINADA. En el primer método, la cinta
se coloca horizontalmente y las posiciones de las marcas finales o
intermedias se transfieren al terreno. En la medición con cinta
incl inada, se determina la pendiente de la cinta, y se calcula la
distancia horizontal correspondiente.
Para la medición correcta por cualquier método se requiere la
sujeción adecuada de la cinta, su cuidadoso al ineamiento, la
apl icación de la tensión correcta, la habil idad en el uso de
plomadas y colocación de f ichas, y el conocimiento de otros
factores –como la temperatura- que afectan la cal idad de la
medición.
6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE
Siempre que la cinta pueda ser colocada convenientemente en el
terreno –no importa que tan pronunciada sea la pendiente- deberá
preferirse así, ya que, este método es más exacto y rápido que
86
tratar de sostener horizontalmente y bajar los puntos al terreno con
plomadas. La única diferencia entre este método y el de medición
sobre terreno plano es que debe apl icarse una corrección, cuya
magni tud se cons iderará en seguida.
De la figura, resulta evidente que el valor de la corrección Cg es la
diferencia entre s y h , la hipotenusa y el cateto horizontal del
triángulo rectángulo cuyos lados son s, h y v.
La relación de los v/h se denomina PENDIENTE, y suele
expresarse en porcentaje; o sea, la elevación o caída en una
distancia de 100 metros. Así una pendiente de 1% es aquella para
la cual el desnivel v es de un metro, en una distancia horizontal de
100 metros. La pendiente se expresa en veces de grados de arco,
indicando el ángulo vert ical entre la horizontal y el terreno
incl inado, pero esta práctica no es común en las mediciones con
cinta.
Según se vio, la corrección Cg es igual a la diferencia s-h, que
puede deducirse del triángulo rectángulo como sigue: s2 = h2 + v2,
o bien, s2 - h2 = v2, de lo cual:
FORMULA N° 6.1. CÁLCULO DE LA PENDIENTE 1
( ) ( ) 2s h s h v− + =
o también:
FORMULA N° 6.2. CÁLCULO DE LA PENDIENTE 2
( )2v
s hs h
− =+
Por lo regular, se desea obtener el valor de Cg cuando se conoce
el valor de v (medido en el campo) y la distancia incl inada es de 20
m; así , h es la incógnita. En el miembro derecho de la ecuación, la
relación v2/ (s+h) es usualmente un número pequeño, y como s y h
87
casi iguales en magnitud, el error que se introduzca será también
pequeño si se supone que s y h son iguales. Con este supuesto la
ecuación queda:
FORMULA N° 6.3. CÁLCULO DE CORRECCIÓN DE LA PENDIENTE
2
g
vC
2s=
debe notarse que las mediciones incl inadas pueden convert irse a
horizontales mediante el ángulo vert ical de incl inación del terrenoα,
obtenido con un Teodoli to o clis ímetro y apl icando la expresión:
FORMULA N° 6.4. CÁLCULO DE MEDIDAS INCLINADAS A HORIZONTALES
h s(cos )= α
Este método produce resultados satisfactorios y es fáci l de aplicar
cuando el ángulo horizontal puede medirse bien.
6.7. 6.7. 6.7. 6.7. CORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTACORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTACORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTACORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTA
La exactitud relativa prescri ta para una medición con cinta
determinará el cuidado con el que se realice el trabajo de campo,
y condicionará también el grado de refinamiento de las
correcciones que se apl iquen a los datos originales u observados.
En general, toda medición deberá corregirse a fin de obtener la
longitud verdadera o mejor, porque la cinta tiene la longitud
correcta (cal ibrada) solo bajo condiciones específicas de tensión,
temperatura y apoyo. Además, cuando los puntos de apoyo no
están en la misma elevación, será necesaria una corrección por
pendiente.
Las principales fuentes de error en el trabajo de mediciones con
cinta pueden identi ficarse en términos de las siguientes
correcciones:
88
a) CORRECCIÓN POR LONGITUD
La longitud de una cinta varía con la temperatura, tensión y
modo de apoyo. La diferencia entre la longitud nominal de una
cinta y su longitud real bajo las condiciones de calibración se
conoce como corrección por longitud, C l. Los cálculos de las
correcciones en las mediciones con cinta siempre comienzan
con la longitud nominal. Entonces, las condiciones de uso en el
campo determinan la magnitud y el signo de las demás
correcciones por apl icar a los valores observados.
Así, al comparar con un patrón se halla que la longitud real de
una cinta es de 20.005 m, el verdadero valor será de 20.005 m,
aunque la dis tancia registrada sea 20.000 m. En consecuencia,
s i la cinta es más larga, la corrección deberá sumar a la
longitud anotada.
Por ejemplo, si va a medirse una distancia con dicha cinta y se
halla que es de 200.76 m, el error resultante será 10 x 0.005 = -
0.05 m, y por tanto, la longitud corregida será 200.76 + 0.05 =
200.81 m.
b) CORRECCIÓN POR TEMPERATURA.
La longitud cal ibrada de una cinta es tal longitud a una
temperatura de 20 °C (68°F). Cuando la temperatura de una
cinta de acero sea menor de 20 °C, la longitud de la cinta será
menor que su longitud calibrada e, inversamente, cuando la
temperatura excede de 20°C, la longitud de la cinta será mayor
que la calibrada. La corrección C t que debe apl icarse a la
longitud observada de una línea debido al efecto de la
temperatura sobre la cinta de acero puede evaluarse mediante
la expresión:
89
FORMULA N° 6.5. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN POR TEMPERATURA
( )t 1 oC 0.0000116 T T L= −
Donde 0.0000116 es el coeficiente de di latación térmica
longitudinal del acero por cada 1°C, T1 es la temperatura en el
campo, To es la temperatura de calibración, y L es la longi tud de
la línea.
Por ejemplo, si To = 20°C y T1 = 28.3°C, la corrección por
temperatura para una cinta de acero de 20 m sería:
( )10.0000116t oC T T L= −
( )0.0000116 28.3 20 20 0.0019tC m= − =
c) CORRECCIÓN POR PENDIENTE
Cuando se efectúa una medición con la cinta en posición
incl inada, la distancia incl inada será siempre mayor que la
distancia horizontal proyectada. Las equivocaciones al tratar de
sujetar horizontalmente la cinta, o al determinar la pendiente,
producirán errores cuya magnitud puede calcularse como ya se
expl icó.
d) CORRECCIÓN POR ALINEAMIENTO
El efecto de la inexacti tud al colocar la cinta en línea es el
mismo en naturaleza y magnitud que el debido a la pendiente.
Sin embargo, puede controlarse con mayor faci lidad que este
último, y los errores resultantes suelen ser pequeños
90
Por ejemplo, qué error resulta si se t iene el extremo de una
cinta de 30 m, 0.80 m más abajo.
( )22 0.8v
Error 0.011m2s 2x30
= = = +
e) CORRECCIÓN POR CATENARIA
Una cinta apoyada solo en los extremos formará en el centro
una catenaria cuyo tamaño es función de su peso por unidad de
longitud y de tensión. El efecto acortador de la catenaria es,
esencialmente, la diferencia entre la longitud de la curva que
forma la cinta y la de la cuerda entre los extremos. La catenaria
hace que la distancia regis trada sea mayor que la longitud real
medida. Cuando la cinta está apoyada en su punto medio, el
efecto de la catenaria en los dos claros será mucho menor que
cuando está apoyada nada más que en los extremos
La corrección por catenaria, Cs, puede calcularse mediante la
ecuación:
FORMULA N° 6.6. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN POR CATENARIA
2
2s
W LC
24P=
Dónde: W es el peso de la cinta entre apoyos; L es el intervalo
entre apoyos; y, P es la tensión de la cinta
Ejemplo. Una cinta de acero de 20 m pesa 0.75 Kg. y está
apoyada en los extremos solamente, con una tensión de 5 kg.
Hal le la corrección por catenaria.
2 2
2 2s
W L 0.75 x20C 0.019m
24P 24x5= = = −
91
Otro. Una cinta de acero de 30 m pesa 0.336 Kg. y está
apoyada a los 0, 15 y 30 m, con una tensión de 5 kg. ¿Cuál es
la corrección por catenaria?
( )
( )
22
22s
0.168 15W LC 2 0.001m
24P 24 5
= = = −
f ) CORRECCIÓN POR TENSIÓN
Puesto que la cinta de acero es elás tica en cierto grado, su
longitud se modificará por variaciones en la tensión aplicada.
Este cambio de longitud no se refiere al efecto sobre catenaria
debido a variaciones en la tensión, sino más bien a la
deformación elástica de la cinta.
La corrección puede estimarse mediante la expres ión
FORMULA N° 6.7. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN POR TENSIÓN
( )1 op
P P LC
AE
−=
Dónde:
Cp = Alargamiento de la cinta de longitud L, en metros
P1 = Tensión aplicada, en kilogramos
Po = Tensión de cal ibración, en ki logramos
A = Área transversal de la cinta, en centímetros cuadrados
E = Modulo de elasticidad del material de la cinta (para el
acero es de 2’100000), en kilogramos por centímetro
cuadrado
92
Ejemplo. Una cinta de acero de 20 m con un área transversal de
0.030 cm2 t iene la longitud correcta bajo una tensión de 5 kg.
Calcule el alargamiento debido a una tensión de 10 kg.
( ) ( )
( )( )1 o
p
P P L 10 5 20C 0.0016m
AE 0.030 2100000
− −= = = +
6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS
Tradicionalmente, las distancias se han medido por comparación
directa con alguna unidad de longitud establecida, como en las
mediciones con cadena o cinta. Pero pueden emplearse otros
procedimientos que implican la medición de magnitudes de las
que se obtiene la distancia en forma indirecta, mediante cálculo.
TAQUIMETRÍA
La palabra taquimetría se deriva del griego y significa “medición
rápida”. Generalmente se aplica a la obtención de distancias
desde una posición del ins trumento –por lo regular, un teodol i to-
mediante la medición de un ángulo pequeño, opuesto a su base
conocida. Los principios matemáticos de la taquimetría fueron
establecidos en 1639 por el astrónomo inglés Will iam Gascogine.
Los instrumentos taquimétricos pueden tener base dentro de sí, o
hacer uso de una base externa.
MÉTODO DE ESTADIA
Es un método rápido de medición de distancias y sus resultados
suficientemente confiables para ciertos trabajos topográficos. Si
las condiciones son favorables, el error no excederá de 1/500. En
los levantamientos con cinta de acero, puede emplearse a f in de
93
detectar equivocaciones. En combinación con la medición de
ángulos vert icales, permite calcular desniveles.
El método de estadia se emplea en levantamientos topográficos e
hidrográficos aunque, en general, su uso ha venido reduciéndose
por los notables avances logrados en ciertos campos de la
topografía, como la cartografía aérea.
El equipo requerido para las mediciones con estadia consiste en
un estadal y un teodol i to cuyo telescopio está provisto de dos hi los
d estadia. Estos se hal lan en el anil lo de la retícula, uno arriba y
otro abajo del hi lo horizontal centrado. El es tadal está graduado en
metros, decímetros y centímetros dispuestos en varias formas.
Las lecturas se hacen fi jando el hi lo inferior sobre una marca de
metro cerrado y observando donde el hi lo superior corta al estadal.
La diferencia entre las dos lecturas se denomina INTERVALO, y
consti tuye una medida de la distancia del instrumento al estadal.
Para medir distancias indirectamente, util izando estadal y teodol i to,
se util iza la ecuación:
FORMULA N° 6.8. CÁLCULO DE DISTANCIAS CON ESTADIA
D kr=
Dónde:
D = Distancia indirecta
k = Factor por el que hay que multipl icar cada diferencia de
lectura. Se le denomina, también, coeficiente de estadia o
constante de estadia del instrumento
r = Diferencia de la lectura superior y la lectura inferior
6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS I6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS I6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS I6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS INCLINADASNCLINADASNCLINADASNCLINADAS
En la práctica es poco frecuente tener visuales horizontales al
medir con estadia. Por tanto, conviene extender las
consideraciones teóricas al caso de visuales incl inadas. En terreno
94
incl inado, se pueden obtener las distancias horizontales y el
desnivel entre dos puntos, por el método de estadia, si se lee,
además del intervalo en el estadal, el ángulo de incl inación de la
visual en el círculo vert ical.
En condiciones normales se obtendrán resultados suficientemente
satisfactorios, apl icando las ecuaciones:
FÓRMULA N° 6.9. CÁLCULO DE DISTANCIAS VERTICALES CON ESTADIA
. ( . )V k r sen α=
FÓRMULA N° 6.10. CÁLCULO DE DISTANCIAS HORIZONTALES CON ESTADIA
. .(cos )H k r α=
EJEMPLOS:
Dados r = 0.966, k = 100, y α = 4°20’, calcular H y V.
. (cos ) 100 0.966 0.997141 96.3239H k r x x mα= = =
. . ( ) 100 0.966 0.075559 7.2990V k r sen x x mα= = =
6.10. 6.10. 6.10. 6.10. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
a. Calcular el valor de la corrección para una cinta de acero de 50
metros, sí To = 20°C y T1 = 28.3°C.
b. Cuál es el error resulta si se t iene el extremo de una cinta de 20
m, 0.85 m más abajo.
c. Calcule el alargamiento debido a una tensión de 12 kg de una
cinta de acero de 30 m que t iene un área transversal de 0.030
cm2 s í tiene la longitud correcta bajo una tensión de 6 kg.
d. Calcular la distancia vert ical y la distancia horizontal sí, r =
0.978, k = 100, y α = 4°28’.
95
e. Calcular el valor de la corrección para una cinta de acero de
100 metros, sí To = 22°C y T1 = 25.3°C.
f. Cuál es el error resulta si se t iene el extremo de una cinta de 75
m, 0.58 m más abajo.
g. Calcule el alargamiento debido a una tensión de 15 kg de una
cinta de acero de 50 m que t iene un área transversal de 0.036
cm2 s í tiene la longitud correcta bajo una tensión de 10 kg.
h. Calcular la distancia vert ical y la distancia horizontal sí, r =
0.678, k = 100, y α = 2°28’.
i . Calcular el valor de la corrección para una cinta de acero de
100 metros, sí To = 20°C y T1 = 29.5°C.
j . Cuál es el error resulta si se t iene el extremo de una cinta de
100 m, 0.78 m más abajo.
k. Calcule el alargamiento debido a una tensión de 10kg de una
cinta de acero de 100 m que t iene un área transversal de 0.140
cm2 s í tiene la longitud correcta bajo una tensión de 10 kg.
l . Calcular la distancia vert ical y la distancia horizontal sí, r =
1.648, k = 100, y α = 6° 36’.
96
CAP ÍTULO VII
NIVELACIÓN COMPUESTANIVELACIÓN COMPUESTANIVELACIÓN COMPUESTANIVELACIÓN COMPUESTA
7.1. INTRODUCCIÓN7.1. INTRODUCCIÓN7.1. INTRODUCCIÓN7.1. INTRODUCCIÓN
La nivelación, es un término general que aplica a cualquiera de los
diversos procedimientos altimétricos por medio de los cuales se
determinan elevaciones o niveles de puntos, o bien, di ferencias de
elevación o desniveles, es una operación vital para obtener los
datos necesarios para la elaboración de mapas o planos de
configuración y en proyectos de obras de ingeniería y de
construcción. Los resultados de la nivelación se uti l izan:
a) En los proyectos de carreteras, vías férreas y canales que han
de tener pendientes que se adapten en forma óptima a la
topografía existente;
b) Situar obras de construcción de acuerdo a elevaciones
planeadas;
c) Calcular volúmenes de terracerías;
d) Investigar las características de escurrimiento y drenaje de
regiones; y
e) Elaborar mapas y planos que muestren la configuración general
del terreno.
7.2. ALGUNAS 7.2. ALGUNAS 7.2. ALGUNAS 7.2. ALGUNAS DEFINICIONESDEFINICIONESDEFINICIONESDEFINICIONES
Se definen a continuación los conceptos básicos que se emplean
en la nivelación y se i lustran en la figura.
a) LÍNEA VERTICAL
Recta que va hasta el centro de la Tierra desde cualquier punto
dado, e indica la dirección de la gravedad. Comúnmente se
considera materializada por el hi lo de una plomada.
97
b) SUPERFICIE DE NIVEL
Superf icie curva que en cada uno de sus puntos es
perpendicular a la vert ical respectiva. Las superficies de nivel
son de forma aproximadamente esférica o esferoidal. La
superf icie libre de una masa de agua tranquila reproduce una
de tales superficies. En topografía plana se considera a una
superf icie de nivel como una superf icie plana.
F IGURA N° 7.1. ELEMENTOS DE UNA NIVELACIÓN
c) LÍNEA DE NIVEL
Línea contenida en una superficie de nivel y que es, por tanto,
curva.
d) PLANO HORIZONTAL
Plano perpendicular a la vert ical de un lugar.
98
e) LÍNEA HORIZONTAL
Recta perpendicular a la vert ical.
f ) SUPERFICIE DE REFERENCIA
Superf icie de nivel a la cual se refieren las elevaciones (por
ejemplo, el nivel medio del mar). Se le llama a veces plano datoplano datoplano datoplano dato
o plano de comparaciónplano de comparaciónplano de comparaciónplano de comparación, aunque realmente no sea un plano.
g) NIVEL MEDIO DEL MAR (NMM).
Altura media de la superficie del mar según todas las etapas de
marea en un periodo de 19 años. Se determina por lecturas
tomadas generalmente a intervalos de una hora.
h) ELEVACIÓN O COTA
Distancia vert ical medida desde un plano o nivel de referencia
hasta un punto o plano dados. Si la elevación del punto A es de
456.674 m, se dice que la cota de A es 456.674, respecto de
algún plano de referencia. La elevación de un punto sobre el
nivel medio del mar es su coordenada geográfica l lamada
al ti tud.al ti tud.al ti tud.al ti tud.
i ) BANCO DE NIVEL (BN)
Objeto natural o arti f icial relat ivamente permanente, que tiene
un punto f ijo marcado cuya elevación arriba o abajo de un plano
de referencia adoptado, se conoce o se supone. Algunos
ejemplos de bancos de nivel son discos de metal f ijados en
concreto, rocas grandes, partes no movibles de buzones de
desagüe o bordes de aceras o banquetas.
99
j ) NIVELACIÓN
Proceso altimétrico que se sigue para determinar elevaciones
de puntos, o bien, diferencias de elevación entre puntos.
k) CONTROL VERTICAL
Serie de bancos de nivel u otros puntos de cota conocida que
se establecen para un trabajo de topografía o geodesia;
también se l lama control básico de nivel.
7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN
Por las definiciones de superf icie de nivel y de l ínea horizontal , es
evidente que esta úl tima se separa de una superficie de nivel a
causa de la curvaturacurvaturacurvaturacurvatura de la Tierra. En la f igura 7.1. la desviación
vert ical DB de una l ínea horizontal que pasa por el punto A, está
expresada aproximadamente por la fórmula:
FÓRMULA N° 7.1. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN VERTICAL
C = 0.0785 K2
en la cual el alejamiento de una superficie de nivel respecto a una
l ínea horizontal es C en metros y K sus dis tancia en ki lómetros.
Como los puntos A y B están sobre una l ínea de nivel , tienen la
misma elevación. Si la visual fuera horizontal, la curvatura de la
Tierra ocas ionaría que la lectura en un estadal (o mira de
nivelación) puesto en B estaría aumentada en la magnitud BD.
Los rayos de luz que atraviesan la atmósfera de la Tierra son
desviados o refractados hacia la superf icie de la misma, como se
i lustra en la f igura. As í, una visual teóricamente horizontal, como
AH en la f igura, se desvía de la trayectoria curva AR. El resultado
es que un objeto situado en R parece estar en H, y la lectura que
100
se toma en un estadal emplazado en R se ve disminuida en la
distancia RH.
El efecto de la refracciónrefracciónrefracciónrefracción, que hace que los objetos parezcan más
altos de lo que en real idad están (y como consecuencia, que las
lecturas de estadal sean menores de lo que deberían ser).
El desplazamiento angular que resulta de la refracción es variable.
Depende de las condiciones atmosféricas y del ángulo de una línea
visual forme con la vertical. En el caso de una visual horizontal , la
refracción R en metros, está expresada aproximadamente por la
fórmula:
FÓRMULA N° 7.2. CÁLCULO DE LA REFRACCIÓN
R = 0.011 K2
Este valor es casi la sétima parte del efecto de la curvatura de la
Tierra, pero de sentido contrario.
El efecto combinado de la curvatura y la refracción, hhhh en metros,
es aproximadamente:
FÓRMULA N° 7.3. CÁLCULO COMBINADO DE CURVATURA Y REFRACCIÓN
h = 0.0675 K2
7.4. CLASES DE NIVELACIÓN7.4. CLASES DE NIVELACIÓN7.4. CLASES DE NIVELACIÓN7.4. CLASES DE NIVELACIÓN
Por lo general, las nivelaciones pueden ser directas e indirectas.
a) NIVELACIÓN DIRECTA
Es la operación de determinar desniveles midiendo distancias
vert icales sobre un estadal graduado, mediante un instrumento
de nivelación. En el pasado esta técnica se denominaba
nivelación de burbujanivelación de burbujanivelación de burbujanivelación de burbuja, porque un tubo de nivel lleno de éter o
101
de alcohol consti tuía el medio esencial para hacer horizontal la
visual.
b) NIVELACIÓN INDIRECTA
Que a su vez, pude ser barométrica y trigonométrica. La
nivelación barométricanivelación barométricanivelación barométricanivelación barométrica se apoya en el fenómeno de que las
diferencias de elevación son proporcionales a las diferencias en
la presión atmosférica. Conforme a el lo, las lecturas del
barómetro en varios puntos de la superf icie terrestre
proporcionan una medida de las elevaciones relativas de tales
puntos. La nivelación trigonométricanivelación trigonométricanivelación trigonométricanivelación trigonométrica se basa en la relación que
existe entre los ángulos vert icales observados y las distancias
horizontales o incl inadas medidas.
F IGURA N° 7.2. CLASES DE NIVELACIÓN
7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN
El instrumento básico usado para medir desniveles es el nivel de nivel de nivel de nivel de
ingenieroingenieroingenieroingeniero. Aunque los hay de muchos t ipos y diseños, consiste
esencialmente en un telescopio para visar y un dispositivo de
nivelación para mantener la visual en pos ición horizontal . Este
disposit ivo puede ser un tubo de alcohol, cuya burbuja debe
centrarse, o un péndulo. Cuando se nivela, cuidadosamente, el
instrumento y se hace gi rar alrededor de su eje vert ical, la visual
DIRECTA INDIRECTA
102
genera aparentemente un plano horizontal. Entonces, a part ir de la
elevación de la visual puede determinarse la elevación de
cualquier punto cercano que esté bajo esa visual hasta un desnivel
igual a la longitud del estadal.
Los trabajos de nivelación requieren del uso de diversos
accesorios. Entre los más importantes tenemos: al tr ípode,tr ípode,tr ípode,tr ípode, que
sostiene la plataforma o base del nivel de ingeniero y mantiene
estable durante la observaciones; el es tadal es tadal es tadal es tadal es, esencia, una regla
graduada que se sostiene en forma vert ical y sirve para medir una
distancia vert ical (diferencia en elevación o desnivel) entre una
visual y un punto específico que esté abajo o arriba de el la. El
punto puede ser una estación permanente como un banco de nivelbanco de nivelbanco de nivelbanco de nivel
o una superf icie natural o arti f icial; la miras de estadal,miras de estadal,miras de estadal,miras de estadal, se usan
cuando algunas condiciones naturales entorpecen las lecturas
directas y es un accesorio que se monta sobre el estadal y
contiene un vernier que facil i ta las mediciones hasta el milésimo
de metro; las niveletas,niveletas,niveletas,niveletas, se fi jan sobre el estadal y son niveles que
sirven para ayudar a mantener vert icalmente al estadal; los puntos puntos puntos puntos
de l iga,de l iga,de l iga,de l iga, son pequeños tr ípodes que se colocan a ras del suelo para
servir de apoyo estable al estadal.
F IGURA N° 7.3. INSTRUMENTOS Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN
103
7.6. ORDENES DE PRECISIÓN7.6. ORDENES DE PRECISIÓN7.6. ORDENES DE PRECISIÓN7.6. ORDENES DE PRECISIÓN
La nivelación se clasifica en tres órdenes de precisión. La
clasificación y las especif icaciones fueron elaboradas en USA, por
el Federal Geodetic Control Committee (FGCC) y publ icadas en
1974. La calidad de la nivelación se juzga por los errores de cierre
de l ínea o de circuito o por la diferencia máxima permisible entre
las corridas hacia adelante y hacia atrás de un tramo de una línea
nivelada.
Un error derror derror derror de cierre de l íneae cierre de l íneae cierre de l íneae cierre de l ínea es la diferencia entre el desnivel medido
entre dos puntos de elevación fi ja y el desnivel correspondiente a
las elevaciones establecidas de esos puntos. Un error de cierre de error de cierre de error de cierre de error de cierre de
circuitocircuitocircuitocircuito es la magnitud por la que no cierra un circuito de
nivelación. Puesto que en la nivelación todos los errores son
accidentales en cuanto a sus efectos, el error de cierre es
proporcional a la raíz cuadrada del número de lecturas. Por lo
tanto, suponiendo que el número de lecturas por ki lómetro será
siempre más o menos el mismo, la exacti tud o el valor del máximo
error permisible en el trabajo de nivelación se expresa como un
coeficiente mult ipl icado por la raíz cuadrada de la distancia, en
kilómetros, denotada en este trabajo por K. Como se indica en el
Cuadro, los órdenes de precisión de la cal idad del trabajo de
nivelación para circuitos o l íneas se establecen en términos de
error de cierre máximo permisible.
F IGURA N° 7.4. ORDENES DE PRECISIÓN DE LA NIVELACIÓN
FU ENTE: Fe dera l Geodet ic Contro l Com mi t te e, USA, 1974.
104
Las nivelaciones de primer y segundo ordenprimer y segundo ordenprimer y segundo ordenprimer y segundo orden son de índole
geodésica, y su estudio está fuera del alcance del presente
trabajo. En cambio la nivelación de tercer ordentercer ordentercer ordentercer orden se asocia más
comúnmente con los trabajos de ingeniería y es aquí de part icular
importancia. Algunos procedimientos de nivelación, como la
barométrica, se consideran de cuarto ordencuarto ordencuarto ordencuarto orden, o menor. No existen
normas especí ficas para este orden de precisión.
7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN
a) NIVELACIÓN DIFERENCIAL
Es la técnica más usada para determinar desniveles. Consiste,
esencialmente, en util izar un nivel de ingeniero con una burbuja
sensible, en el que establece una l ínea visual horizontal. Al
nivelarse el instrumento, la línea visual se ajusta de tal modo
que sea paralela al eje del nivel. Sí éste se nivela, la visual del
instrumento, forma un plano horizontal si el aparato se gira
al rededor de su eje vert ical.
A las técnicas de nivelación están asociados una serie de
términos comúnmente empleados, a algunos de el los, pasamos
a definir los brevemente:
Banco de NivelBanco de NivelBanco de NivelBanco de Nivel. (BN)
Es un objeto permanente de elevación conocida. Debe estar
bien definido y local izado donde tenga la menor posibi lidad de
sufrir al teraciones. Como ejemplos pueden citarse un poste de
metal o concreto fi jado en el terreno, un escalón cortado en la
raíz de un árbol , una cuña metál ica clavada en un árbol o
poste, una esquina definida de un puente o edif icio, o un buzón
de desagüe.
105
PPPPUNTO DE UNTO DE UNTO DE UNTO DE LLLL IGAIGAIGAIGA .... (PL)
Es un objeto definido, f i rme, que conserva temporalmente una
elevación durante el proceso de nivelación entre bancos. A
veces, un punto marcado con tiza sobre una banqueta servirá
como un punto de liga. Nunca debe usarse el césped y objetos
débi les o móvi les como puntos de l iga.
VVVV ISTA ISTA ISTA ISTA HHHHACIA ACIA ACIA ACIA AAAATRÁSTRÁSTRÁSTRÁS .... (+)
Es una lectura de estadal hecha sobre un banco de nivel o
punto de l iga de elevación conocida. Es, pues, la distancia
vert ical desde el banco o punto de liga hasta la visual.
AAAALTURA DEL LTURA DEL LTURA DEL LTURA DEL IIIINSTRUMENTONSTRUMENTONSTRUMENTONSTRUMENTO .... (- )
Es la elevación de la visual. Se determina sumando la lectura
hacia atrás de la elevación del punto sobre el que se toma la
lectura. Algunas veces se le llama elevación del instrumento
(EI).
VVVV ISTA ISTA ISTA ISTA HHHHACIA ACIA ACIA ACIA AAAADELANTEDELANTEDELANTEDELANTE .... (-)
Es una lectura de estadal sobre un punto de liga u otro objeto
cuya elevación se desconoce. Es, pues, la distancia vert ical de
la visual al punto observado.
EJEMPLO:
Dada la f igura, la elevación del banco de nivel 36 es de 278,349
m. La lectura hacia atrás (+) es 2,871 m. La lectura hacia
adelante (-) del punto de liga es 0,448 m. La lectura hacia atrás
(+) del punto de l iga es 0,103 m, y la lectura hacia adelante (-)
del banco de nivel 37 es 0,887 m. Calcular la cota del BN 37.
ELEVACIÓN DEL BN 36 278.349 m
LECTURA HACIA ATRÁS DEL BN 36 (+) 2.871 m
106
ALTURA DEL INSTRUMENTO 281.220 m
LECTURA HACIA ADELANTE (PL) (-) 0.448 m
COTA DEL PUNTO DE LIGA 1 280.772 m
LECTURA HACIA ATRÁS DEL PL (+) 0.103 m
ALTURA DEL INSTRUMENTO 280.875 m
LECTURA HACIA ADELANTE (PL) (-) 0.887 m
ELEVACIÓN DEL BN 37 279.988 m
El registro de campo para la nivelación del ejemplo, es el
s iguiente:
CUADRO 7.1. REGISTRO DE CAMPO PARA LA NIVELACIÓN DIFERENCIAL
ESTA CIÓN L ECTU RA
ATRÁ S
ALTU RA
I NSTRU MENTO
L ECTU RA
A DELANTE
EL EVA CIÓN
(COTA)
BN 36 2.871 278.349
PL1 0.103 0.448
BN 37 0.887
107
F IGURA N° 7.5. N IVELACIÓN COMPUESTA
Calculando en la Tabla
CUADRO 7.2. CÁLCULO DE LAS ELEVACIONES
ESTACI ÓN LECTU RA
ATRÁ S
ALTU RA
I NSTRU MENTO
L ECTU RA
ADELA NTE
ELEVACIÓN
(COTA)
BN 36 2.871 281.220 278.349
PL1 0.103 280.875 0.448 280.772
BN 37 0.887 279.988
SUMAS 2.974 1.335
108
CUADRO 7.3. CÁLCULO DEL DESNIVEL
Cota Final (BN 37) 279.988 m
Cota Inicial (BN 36) 278.349 m
Desnivel (BN 36 - BN 37) 1.639 m
CUADRO 7.4. CÁLCULO DE LA COMPROBACIÓN DEL DESNIVEL
COMPROBACIÓN:
Total de Lecturas (+) 2.974 m
Total de Lecturas (-) 1.335 m
Desnivel Comprobado 1.639 m
b) b) b) b) NIVELACIÓN RECIPROCANIVELACIÓN RECIPROCANIVELACIÓN RECIPROCANIVELACIÓN RECIPROCA
Cuando una l ínea cruza un cuerpo de agua extenso o una
hondonada es afectada por los efectos de curvatura,
refracción y desajuste del instrumento. En tal caso, es
recomendable ejecutar una nivelación recíproca. Esta técnica
se ejecuta fi jando el instrumento en medio de los puntos cuyo
desnivel se desea conocer. La media de las lecturas
reciprocas será el desnivel entre los puntos o bancos
medidos.
EJEMPLO:
En la f igura 6.5., la elevación del BN 120 es 226,427 m. Si tuado el
nivel de ingeniero en la margen izquierda, la lectura hacia atrás fue
de 1,442 m y la lectura hacia adelante de 1,911 m. En la segunda
posición (sobre la margen derecha), la lectura hacia atrás fue de
1,795 m y hacia adelante de 2,326 m. Calcular la elevación del BN
121.
109
El desnivel medido es:
( )1.442m 1.911m) (1.795m 2.326m0.500m
2
− + −= −
Por lo tanto, la elevación del BN 121 es:
226.427m 0.500m 225.927m− =
7.8. PROBLEMAS PROPUESTOS7.8. PROBLEMAS PROPUESTOS7.8. PROBLEMAS PROPUESTOS7.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACI ÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
ALTU RA DEL
INSTRU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANTE
(m)
DISTANC IAS
(m)
CO TAS
(m)
A 2.356 0.000 0.000 524.120
B 3.254 1.025 56.320
C 1.985 0.985 62.350
D 2.654 0.759 45.210
E 1.752 1.320 35.940
F 0.000 1.024 45.620
2. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACI ÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
ALTU RA DEL
INSTRU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANTE
(m)
DISTANC IAS
(m)
CO TAS
(m)
A 1.035 0.000 0.000 125.480
B 0.965 1.654 121.320
110
C 1.024 2.654 98.560
D 1.128 2.957 75.630
E 0.968 3.248 102.540
F 0.000 2.457 56.840
3. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
4. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACI ÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
ALTU RA DEL
INSTRU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANTE
(m)
DISTANC IAS
(m)
CO TAS
(m)
A 3.254 0.000 0.000 234.450
B 3.027 3.654 132.540
C 2.351 3.054 128.150
D 2.035 2.654 97.520
E 1.257 2.102 132.550
ESTACI ÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
ALTU RA DEL
INSTRU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANTE
(m)
DISTANC IAS
(m)
COTAS
(m)
A 3.254 0.000 0.000 536.280
B 2.125 2.354 56.310
C 1.058 1.254 24.870
D 2.654 3.325 45.970
E 3.365 2.654 85.640
F 0.000 3.254 106.450
111
F 0.000 1.324 121.260
5. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACI ÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
ALTU RA DEL
INSTRU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANTE
(m)
DISTANC IAS
(m)
CO TAS
(m)
A 0.954 0.000 0.000 826.420
B 1.365 3.652 132.580
C 2.654 3.124 108.450
D 3.657 2.259 75.380
E 1.654 1.654 132.520
F 0.000 1.028 109.480
G 3.124 0.000 0.000
H 3.029 0.758 63.250
I 2.954 0.956 45.950
J 2.654 0.857 65.850
K 3.265 0.856 121.650
L 0.000 1.526 75.640
6. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACI ÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
ALTU RA DEL
INSTRU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANTE
(m)
DISTANC IAS
(m)
CO TAS
(m)
A 1.032 0.000 0.000 542.640
B 0.856 2.635 63.520
112
C 1.024 3.024 56.650
D 1.632 3.124 66.540
E 0.965 2.965 54.850
F 0.000 2.856 62.310
7. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACI ÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
ALTU RA DEL
INSTRU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANTE
(m)
DISTANC IAS
(m)
CO TAS
(m)
A 0.864 0.000 0.000 425.860
B 0.964 3.965 121.250
C 1.654 2.564 96.650
D 2.594 1.254 123.250
E 3.954 2.957 122.540
F 0.000 3.125 112.540
8. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACIÓN
L ECTU RA
ATRÁ S
( m)
ALTU RA DEL
INST RU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANT E
(m)
DISTANCIA S
(m)
COTAS
(m)
A 3.254 0.000 0.000 428.240
B 0.625 0.654 86.320
C 2.957 3.452 96.320
D 0.325 1.254 79.540
113
9. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACI ÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
ALTU RA DEL
INSTRU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELANTE
(m)
DISTANC IAS
(m)
CO TAS
(m)
A 1.032 0.000 0.000 542.640
B 0.856 2.635 63.520
C 1.024 3.024 56.650
D 1.632 3.124 66.540
E 0.965 2.965 54.850
F 0.000 2.856 62.310
G 0.864 0.000 0.000
H 0.964 3.965 121.250
I 1.654 2.564 96.650
J 2.594 1.254 123.250
K 3.954 2.957 122.540
L 0.000 3.125 112.540
E 1.624 3.654 84.250
F 0.000 3.965 86.360
G 3.124 0.000 0.000
H 3.029 0.758 63.250
I 2.954 0.956 45.950
J 2.654 0.857 65.850
K 3.265 0.856 121.650
L 0.000 1.526 75.640
114
10. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los
desniveles entre las estaciones de nivelación.
ESTACIÓN
LECTU RA
ATRÁ S
(m)
A LTU RA DEL
INST RU MENTO
(m)
L ECTU RA
ADELA NTE
(m)
DISTANCI AS
(m)
COTAS
(m)
A 3.254 0.000 0.000 428.240
B 0.625 0.654 86.320
C 2.957 3.452 96.320
D 0.325 1.254 79.540
E 1.624 3.654 84.250
F 0.000 3.965 86.360
115
CAPÍTULO VII I
NIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADONIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADONIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADONIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADO
8.1. INTRODUCCIÓN8.1. INTRODUCCIÓN8.1. INTRODUCCIÓN8.1. INTRODUCCIÓN
Es la determinación del perf i l de un ci rcui to, es decir, que la
estación de part ida, también, es la estación de llegada. Por tanto,
el error de cierre del circuito permisible debería ser cercano a
cero. Como los errores de cierre se basan en la longitud de las
l íneas o en el número de estaciones del circuito, es lógico que el
ajuste de las cotas deba basarse tanto en la longitud de las l íneas
de l iga como en el número de estaciones.
EJEMPLO:
CUADRO 8.1. REGISTRO DE UNA NIVELACIÓN DE CIRCUITO CERRADO
ESTACIÓN LECTURA ATRÁS (m)
ALTURA DEL INSTRUMENTO
(m)
LECTURA ADELANTE
(m)
DISTANCIAS (m)
COTAS (m)
A 2.325 0.000 0.000 532.240
B 1.654 2.654 86.540
C 3.257 1.957 96.540
D 2.354 2.658 75.640
E 1.654 3.254 86.540
A 0.000 0.744 68.540
CUADRO 8.2. CÁLCULO DE COTAS DE UN CIRCUITO CERRADO
ESTACIÓN LECTURA ATRÁS (m)
ALTURA DEL INSTRUMENTO
(m)
LECTURA ADELANTE
(m)
DISTANCIAS (m)
COTAS (m)
A 2.325 534.565 0.000 0.000 532.240
B 1.654 533.565 2.654 86.540 531.911
C 3.257 534.865 1.957 96.540 531.608
D 2.354 534.561 2.658 75.640 532.207
E 1.654 532.961 3.254 86.540 531.307
A 0.000 532.217 0.744 68.540 532.217
-0.023
116
8.2.8.2.8.2.8.2. COMPROBACIÓN DE COTASCOMPROBACIÓN DE COTASCOMPROBACIÓN DE COTASCOMPROBACIÓN DE COTAS
CUADRO 8.3. CÁLCULO DE COTAS CORREGIDAS
8.3.8.3.8.3.8.3. CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CIERRECIERRECIERRECIERRE
1. NIVELACIÓN RÁPIDA. Es cuando el error de cierre máximo
obedece al error que indica la s iguiente ecuación:
FÓRMULA 8.1. CÁLCULO DEL ERROR DE UNA NIVELACIÓN RÁPIDA
Ec 0.10 K= ± K, expresado en Ki lómetros
2. NIVELACIÓN ORDINARIA. Cuando el error de cierre alcanza
como máximo el valor dado por la siguiente ecuación:
FÓRMULA 8.2. CÁLCULO DEL ERROR DE UNA NIVELACIÓN ORDINARIA
Ec 0.02 K= ± K, expresado en Ki lómetros
3. NIVELACIÓN PRECISA. Cuando el error de cierre máximo
está dado por la siguiente ecuación:
ESTACIÓNLECTURA
ATRÁS (m)
ALTURA DELINSTRUM ENTO
(m)
LECTURAADELANTE
(m)
DISTANCIAS(m)
COTAS(m)
DISTANCIAS ACUM ULADAS
(m)
CORRECCIÓN DE COTAS
(m)
COTAS CORREGIDAS
(m)
A 2.325 534.565 0.000 0.000 532.240 0.000 0.000 532.240
B 1.654 533.565 2.654 86.540 531.911 86.540 0.005 531.916
C 3.257 534.865 1.957 96.540 531.608 183.080 0.010 531.618
D 2.354 534.561 2.658 75.640 532.207 258.720 0.014 532.221
E 1.654 532.961 3.254 86.540 531.307 345.260 0.019 531.326
A 0.000 532.217 0.744 68.540 532.217 413.800 0.023 532.240
11.244 11.267 -0.023 0.000
-0.023
117
FÓRMULA 8.3. CÁLCULO DEL ERROR DE UNA NIVELACIÓN PRECISA
Ec 0.01 K= ± K, expresado en Ki lómetros
8.4. 8.4. 8.4. 8.4. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
1. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTA CIÓN LECTURA
ATRÁS ( m)
AL TU RA DEL
INS TR UME NT O
(m)
LECTURA
ADEL AN TE
(m )
DISTAN CIAS
(m )
COTAS
(m )
A 2.325 0.000 0.000 532.240
B 1.654 2.654 86.540
C 3.257 1.957 96.540
D 2.354 2.658 75.640
E 1.654 3.254 86.540
A 0.000 0.744 68.540
2. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTA CIÓN LE CT UR A
ATR ÁS (m )
AL TURA DEL
INSTRUMENT O
( m)
LE CT URA
ADE LANTE
(m )
D IS TA NCI AS
( m)
C OTAS
( m)
A 1.365 0.000 0.000 254.450
B 3.624 0.965 102.350
C 3.625 1.254 123.520
D 0.965 3.654 96.540
E 1.214 3.965 89.690
118
A 0.000 0.980 108.320
3. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTACI ÓN LECTURA
ATRÁS ( m )
ALTURA D EL
INS TR UME NTO
(m)
LECTURA
ADEL ANTE
( m )
DISTANCIAS
(m )
CO TAS
(m )
A 0.966 0.000 0.000 632.540
B 1.028 3.597 84.250
C 1.654 2.245 86.250
D 2.658 1.324 79.850
E 3.564 1.063 79.280
A 0.000 1.674 88.670
4. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTA CIÓN LE CT UR A
ATRÁS (m )
ALTURA D EL
INS TR UMEN TO
(m)
LECTURA
ADEL AN TE
(m )
D IS TA NCIAS
(m )
COTAS
( m )
A 2.325 0.000 0.000 724.360
B 3.652 3.254 231.250
C 1.658 3.564 198.650
D 3.654 1.965 212.630
E 1.034 1.324 209.640
A 0.000 2.244 186.640
119
5. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTA CIÓN LE CT UR A
ATRÁS (m )
ALTURA D EL
INS TR UMEN TO
(m)
LECTURA
ADEL AN TE
(m )
D IS TA NCIAS
(m )
C OTAS
(m )
A 3.564 0.000 0.000 632.320
B 0.654 0.854 168.650
C 2.864 3.864 209.640
D 1.231 1.021 189.640
E 3.758 3.254 125.640
A 0.000 3.054 235.640
6. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTA CIÓN LE CT UR A
ATRÁS (m )
ALTURA D EL
INS TR UMEN TO
(m)
LECTURA
ADEL AN TE
(m )
D IS TA NCIAS
(m )
C OTAS
(m )
A 0.324 0.000 0.000 864.320
B 0.864 3.758 86.950
C 1.654 3.125 128.640
D 2.654 1.757 206.470
E 3.864 0.524 213.640
A 0.000 0.224 215.860
120
7. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTA CIÓN LE CT UR A
ATRÁS (m )
ALTURA D EL
INS TR UMEN TO
(m)
LECTURA
ADEL AN TE
(m )
D IS TA NCIAS
(m )
C OTAS
( m)
A 0.325 0.000 0.000 832.420
B 3.965 3.569 108.630
C 0.635 1.325 125.640
D 3.858 3.584 136.540
E 0.864 0.635 153.210
A 0.000 0.565 208.340
8. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTAC IÓN LE CT UR A
ATRÁS (m )
AL TURA DEL
INSTRUMEN TO
(m)
LE CT URA
ADEL AN TE
(m )
DIS TANCIAS
(m )
C OTAS
( m )
A 3.864 0.000 0.000 726.360
B 3.254 3.321 206.340
C 3.023 3.657 186.640
D 2.856 1.564 214.330
E 2.542 3.858 186.640
A 0.000 3.123 147.660
121
9. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
10. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas
corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito
cerrado.
ESTA CIÓN LECTURA
ATRÁS ( m)
ALTURA DEL
INS TR UME NT O
(m)
LE CT UR A
ADEL ANTE (m )
D ISTA NCIAS
(m )
COTAS
(m )
A 2.856 0.000 0.000 236.520
B 2.965 0.954 45.630
C 1.584 1.024 65.620
D 2.548 1.254 42.210
E 2.354 1.021 85.620
F 0.000 0.987 87.320
ESTACI ÓN LECTURA
ATR ÁS (m )
AL TURA DEL
INSTRUMEN TO
(m)
LE CT URA
ADEL ANTE
(m )
D IS TA NCI AS
(m )
COTAS
( m )
A 1.035 0.000 0.000 452.640
B 0.965 0.958 63.250
C 1.024 1.024 86.520
D 1.128 2.365 54.320
E 0.968 2.954 63.650
F 0.000 3.654 52.630
122
CAPÍTULO IX
MEDIDA Y TRAZADO DE PERFILESMEDIDA Y TRAZADO DE PERFILESMEDIDA Y TRAZADO DE PERFILESMEDIDA Y TRAZADO DE PERFILES
9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES.9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES.9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES.9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES.
Es la determinación de elevación, de puntos del terreno a
intervalos regulares a lo largo de una l ínea dada. Antes del diseño
y la construcción de redes de drenaje, carreteras, vías férreas, y
obras semejantes, se f ijan estacas a cada 20 m a lo largo del eje.
Estos puntos a cada 20 m se denominan estacionesestacionesestacionesestaciones. Los puntos
entre estaciones completas se llaman puntos intermediospuntos intermediospuntos intermediospuntos intermedios. Una
estaca situada, por ejemplo, a 240 m del punto de inicio se
identi ficará como "2 + 40""2 + 40""2 + 40""2 + 40" . Es aconsejable asignar un número de
estación de, digamos, 2 + 00, al punto inicial de una ruta.
El perfi l longitudinal del terreno es el trazo de la intersección de un
plano vert ical imaginario con la superficie del terreno. Es usual
dibujar el perf i l en papel especial, con la escala vert ical mucho
mayor que la horizontal, y en este plano se efectúan diversos
estudios relativos a determinación de pendientes y estimación de
costos.
Suponiendo que ya se ha efectuado el trazo sobre el terreno con
estacas a cada 20 m, la brigada de nivelación determina primero,
mediante el procedimiento normal de nivelación diferencial, la
altura del instrumento, el cual deberá ins talarse convenientemente
cerca del trazo. En seguida, se hacen lecturas hacia adelante con
el es tadal sobre el terreno, en cada estaca y en los puntos
intermedios donde ocurra un cambio notable de la pendiente del
terreno.
En el cuadro 9.1., puede apreciarse que el regis tro de la nivelación
de perf i les es similar al de la nivelación diferencial , salvo que se
incluye una columna más, con el encabezado de PQ. (Puntos de (Puntos de (Puntos de (Puntos de
Quiebre)Quiebre)Quiebre)Quiebre), para las lecturas del estadal sobre el terreno, y que será
preciso registrar varias de estas lecturas entre puntos de liga,
dependiendo de las condiciones de campo.
123
EJEMPLO 1:
CUADRO N° 9.1. REGISTRO DE CAMPO DE UN PERFIL LONGITUDINAL
ESTACIÓN L ECTU RA
A TRÁ S
ALTU RA
INSTRU MENTO
L ECTU RA
ADELA NTE
PUNTO
QUI EBRE EL EVAC IÓN
BN 0.352 169.926 169.574
O+280 0.450 169.476
O+300 1.410 168.516
PL1 0.126 167.732 2.320 167.606
O+308 0.970 166.762
0+320 1.250 166.482
0+334 1.350 166.382
0+335 2.630 165.102
0+336 1.310 166.422
0+340 1.230 166.502
0+360 0.890 166.842
PL2 1.952 169.264 0.420 167.312
0+380 1.020 168.244
0+388 1.240 168.024
0+392 2.020 167.244
0+400 1.700 167.564
0+408 0.700 168.564
0+420 0.740 168.524
PL3 0.648 168.616
COMPR. 2.430 3.388 -0.958
FUENT E: FUNDAMEN TAL S O F SU RVEYI NG, de Schm idt y Ray ner , U SA, 1978.
124
CUADRO N° 9.2. CÁLCULO DE DESNIVEL DEL PERFIL LONGITUDINAL
Cota Final (0 + 4200 + 4200 + 4200 + 420) 168.616 m
Cota Inicial (0 + 2800 + 2800 + 2800 + 280) 169.574 m
Desnivel (0 + 280 0 + 280 0 + 280 0 + 280 a 0 + 4200 + 4200 + 4200 + 420) - 0.958 m
CUADRO N° 9.3. COMPROBACIÓN DEL DESNIVEL
Total de Lecturas (+) 2.430 m
Total de Lecturas (-) 3.388 m
Desnivel Comprobado -0.958 m
F IGURA N° 9.1. TRAZO DE UN PERFIL LONGITUDINAL
125
9.2. PROBLEMAS PROPUESTOS9.2. PROBLEMAS PROPUESTOS9.2. PROBLEMAS PROPUESTOS9.2. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las
elevaciones de cada estación del perf i l longitudinal.
ESTACIÓN LECTU RA
A TRÁ S (m)
ALTU RA
INST RU MENTO
( m)
LECTU RA
ADELANT E
(m9
EL EVA CIÓN
( m)
BN1 2.178 30.476
PL1 4.162 3.689
PL2 5.458 7.169
BN19 3.721 9.215
BN20 4.633 7.345
PL3 6.523 5.207
BN21 4.528 2.151
PL4 5.812 6.178
PL5 6.218 3.724
BN20 7.083 10.448
PL6 5.578 4.171
BN19 9.511 4.856
PL7 8.235 6.321
BN1 3.139
2. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las
elevaciones de cada estación del perf i l longitudinal.
ESTAC IÓN LECTU RA
A TRÁ S (m)
A LTU RA
INSTRU MENTO (m)
LECTU RA
ADELANT E
(m9
ELEVACIÓN
(m)
BN7 2.587 40.476
126
0+0 4.2
0+50 5.6
1+0 6.2
1+50 7.7
PL1 3.655
2+0 8.9
2+31 9.1
2+50 10.0
PL2 6.006
3+0 10.9
+050 11.2
BN19
3. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las
elevaciones de cada estación del perf i l longitudinal.
ESTAC IÓN LECTU RA
A TRÁ S (m)
A LTU RA
INSTRU MENTO (m)
LECTU RA
ADELANT E
(m9
ELEVACIÓN
(m)
BN20 2.761 15.610
PL1 4.470 3.850
BN11 5.120 7.150
BN12 5.610 7.102
PF 3.527
127
4. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las
elevaciones de cada estación del perf i l longitudinal.
ESTAC IÓN LECTU RA
A TRÁ S (m)
A LTU RA
INSTRU MENTO (m)
LECTU RA
ADELANT E
(m9
ELEVACIÓN
(m)
BN28 1.39 74.81
PL1 3.29 7.50
PL2 4.91 8.53
BN29 5.12
5. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las
elevaciones de cada estación del perf i l longitudinal.
ESTAC IÓN LECTU RA
A TRÁ S (m)
A LTU RA
INSTRU MENTO (m)
LECTU RA
ADELANT E
(m9
ELEVACIÓN
(m)
BN28 1.69 457.84
PL1 3.48 6.50
PL2 3.91 1.53
BN29 4.12
128
CAP ÍTULO X
MEDICIONES ANGULARESMEDICIONES ANGULARESMEDICIONES ANGULARESMEDICIONES ANGULARES
10.1. INTRODUCCIÓN10.1. INTRODUCCIÓN10.1. INTRODUCCIÓN10.1. INTRODUCCIÓN
Fundamentalmente, el objetivo de un levantamiento topográfico es
la determinación de la posición relativa de puntos sobre o cerca de
la superf icie de la tierra. Para establecer la posición de un punto,
por lo general se requieren mediciones tanto de distancias como
ángulos. Las mediciones angulares pueden ser horizontales o
vert icales, dependiendo del plano en que se miden, y comúnmente
se ejecutan con teodol i tos. Los ángulos horizontales son las
medidas básicas que se necesitan para determinar rumbos y
acimutes.
Los ángulos se miden directamente en el campo o bien pueden
trazarse directamente sobre la hoja de trabajo de una plancheta.
Sin embargo, un ángulo también puede medirse en forma indirecta
con un longímetro y calcularse su valor por la relación de
cantidades conocidas de un triángulo o de otra f igura geométrica
simple.
10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO
Un ángulo puede determinarse por tres conceptos básicos:
a) La línea de referencia,
b) El sentido del giro y
c) La ampli tud
129
FIGURA N° 10.1. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO
10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales, es decir, los ángulos medidos en el
plano horizontal pueden ser:
a) Ángulos interiores y exteriores;
b) Ángulos a la derecha y ángulos a la izquierda; y
c) Ángulos de deflexión.
Los ÁNGULOS INTERIORESÁNGULOS INTERIORESÁNGULOS INTERIORESÁNGULOS INTERIORES son los ángulos que quedan dentro de un
pol ígono cerrado. Se miden siguiendo el borde o l ímite de una
f igura hasta cerrar con el punto de part ida. Los ángulos interiores
pueden ser leídos como ángulos a la derecha o ángulos a la
izquierda. Los ÁNGULOS EXTERIORESÁNGULOS EXTERIORESÁNGULOS EXTERIORESÁNGULOS EXTERIORES , son los que quedan fuera del
pol ígono cerrado y son suplementos de los ángulos interiores.
Estos ángulos, habitualmente no se miden, salvo que se usen
como comprobación, ya que la suma de los ángulos interior y
exterior, en cualquier estación, deben ser igual a 360°.
LÍNEA DEREFERENCIA
AMPLITUD
SENTIDO DELGIRO +
130
FIGURA N° 10.2. ÁNGULOS HORIZONTALES INTERIORES Y EXTERIORES
Los ÁNGULOS A LA DERECHAÁNGULOS A LA DERECHAÁNGULOS A LA DERECHAÁNGULOS A LA DERECHA se miden en el sentido de las maneci llas
del reloj y de la estación de atrás a la estación de adelante. Los
ÁNGULOS HACIA LA IZQÁNGULOS HACIA LA IZQÁNGULOS HACIA LA IZQÁNGULOS HACIA LA IZQUIERDAUIERDAUIERDAUIERDA, se miden en sentido contrario a las
maneci llas del reloj y también de la estación de atrás a la estación
de adelante. En el campo es recomendable medir los ángulos
hacia la izquierda sí se dispone de un teodoli to que de lecturas
directas hacia la izquierda.
FIGURA N° 10.3. ÁNGULOS HORIZONTALES A LA IZQUIERDA Y A LA DERECHA
A
B
C
D
E
ÁNGULOA LA
IZQUIERDA ÁNGULO A LA
DERECHA
131
Los ÁNGULOS DE DEFLEXIÓNÁNGULOS DE DEFLEXIÓNÁNGULOS DE DEFLEXIÓNÁNGULOS DE DEFLEXIÓN, se miden ya sea hacia la derecha
(según las manecillas del reloj) o hacia la izquierda (contra las
maneci llas del reloj) a part ir de la prolongación de la l ínea de atrás
y hacia la estación de adelante. Los ángulos de deflexión son
siempre menores a 180°, y debe especif icarse en sentido del giro
en que se miden. Así la deflexión a la derecha es DDDD y la deflexión a
la izquierda es IIII .
FIGURA N° 10.4. ÁNGULOS HORIZONTALES DE DEFLEXIÓN
10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA
La dirección de una l ínea es su ángulo horizontal medido desde
una l ínea de referencia establecida, a la que se denomina
meridiano de referenciameridiano de referenciameridiano de referenciameridiano de referencia. El meridiano magnético es el que adopta
generalmente. Si no se dispone del meridiano de referencia, puede
seleccionarse un meridiano supuestomeridiano supuestomeridiano supuestomeridiano supuesto o arbitrarioarbitrarioarbitrarioarbitrario, para establecer
posteriormente su relación con la l ínea meridiana.
132
F IGURA N° 10.5. MERIDIANO VERDADERO Y MAGNÉTICO
El meridiano verdaderoverdaderoverdaderoverdadero para cualquier punto de la superf icie de la
Tierra es el círculo máximo que pasa por los polos geográficos
norte y sur.
La dirección de un meridiano magnéticomagnéticomagnéticomagnético se define por medio de
una aguja magnética suspendida libremente, y bajo la influencia
sólo del campo magnético de la Tierra. Un polo magnético es el
centro de convergencia de los meridianos magnéticos.
Para establecer un meridiano supuesto, debe asignarse a una l ínea
recta, la condición de línea norte-sur verdadera. La dirección de
todas las demás l íneas, se determinan con relación a ésta.
10.5. AZIMUT10.5. AZIMUT10.5. AZIMUT10.5. AZIMUT
El azimut de una línea es el ángulo horizontal medido en el sentido
de las manecil las del reloj desde cualquier meridiano de
referencia, a partir de 0° hasta 360° y no requieren de letras para
identi ficar al cuadrante. Cada l ínea t iene dos azimutes,
dependiendo de la posición en que se encuentre el observador.
Por ejemplo, si se t iene una l ínea AB, el azimut será directo, sí se
133
mide de A á B y, será inverso sí se mide de B á A. Así mismo, un
azimut directo puede convert irse en inverso, y viceversa, sí se le
suma o resta 180°.
F IGURA N° 10.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE AZ IMUTES
Los acimutes pueden ser verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o
supuestossupuestossupuestossupuestos, dependiendo del meridiano de referencia que use. En
topografía plana, el azimut se mide generalmente a partir del Norte
Magnético.
10.6. RUMBOS10.6. RUMBOS10.6. RUMBOS10.6. RUMBOS
El rumbo de una l ínea es el ángulo horizontal comprendido entre
un meridiano de referencia y la l ínea. Los rumbos se miden a favor
o en contra de las maneci llas del reloj, dependiendo del cuadrante,
a part ir de la l ínea norte o sur y su valor jamás supera los 90°.
134
F IGURA N° 10.7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RUMBOS
Para identi f icar un rumbo, se nombra primero el extremo del
meridiano a partir del cual se mide (NNNNorte o SSSSur), luego, el valor
del ángulo, y f inalmente, la dirección (EEEEste ú OOOOeste) que forma a
part ir del meridiano. Por ejemplo, una l ínea que es tá en el I II
Cuadrante, formando un ángulo de 37° 40' 30" con el meridiano sur
de referencia, tiene un rumbo de S S S S 37° 40' 30" WWWW.
Los rumbos, como los acimutes, pueden ser verdaderos, verdaderos, verdaderos, verdaderos,
magnéticos, de cuadrícula o supuestosmagnéticos, de cuadrícula o supuestosmagnéticos, de cuadrícula o supuestosmagnéticos, de cuadrícula o supuestos, dependiendo del
meridiano de referencia que use. En topografía plana, el rumbo se
mide generalmente a part ir del Norte Magnético.
10.7. 10.7. 10.7. 10.7. COMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOSCOMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOSCOMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOSCOMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOS
Como los rumbos y los acimutes se encuentran en la mayoría de
las operaciones topográficas, es necesario resumir y comparar sus
propiedades.
135
CUADRO N° 10.1. COMPARACIÓN ENTRE AZIMUTES Y RUMBOS
A Z I M U T E SA Z I M U T E SA Z I M U T E SA Z I M U T E S R U M B O SR U M B O SR U M B O SR U M B O S
Varían de 0° a 360° Varían de 0° a 90°
Requieren un sólo valor
numérico.
Requieren dos letras y un
valor numérico.
Pueden ser verdaderos,
magnéticos, supuestos,
directos o inversos
Igual que los acimutes
Sólo se miden en el sentido
de las maneci llas del reloj.
Se miden a favor o en
contra de las maneci llas del
reloj.
Sólo se miden a parti r del
norte.
Se miden a partir del norte
o sur.
10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES
Los cálculos de acimutes como de rumbos, se hacen mejor con la
ayuda de un esquema (gráfico o dibujo). En la tabla 8.2. Se
presenta los cálculos para todos los acimutes de la f igura 8.7.
Obsérvese que nuevamente se logra una veri ficación recalculando
el azimut del lado de partida uti l izando el último ángulo.
CUADRO N° 10.2. CÁLCULO DE AZIMUTES
VÉRTICE ÁNGULO
I NTERNO
LADO AZ IMUT ( ° )
A 115.166667 AB 311.500000
B 118.866667 BC 12.633333
C 135.700000 CD 56.933333
D 132.500000 DE 104.433333
136
E 88.583333 EF 195.850000
F 129.183333 FA 246.666667
TOTAL 720.000000
F IGURA N° 10.8. UBICACIÓN DE LOS ÁNGULOS AZIMUTALES
10.9. CALCULO DE RUMBOS10.9. CALCULO DE RUMBOS10.9. CALCULO DE RUMBOS10.9. CALCULO DE RUMBOS
Es en las poligonales en donde se requieren, con mayor
necesidad, de los rumbos. Estos deben calcularse cuidadosamente
para evitar pos ibles errores personales. Los ángulos de las
pol igonales tienen que ajustarse al total geométrico correcto antes
de calcular rumbos. Como los ángulos interiores de una pol igonal
cerrada deben ser iguales al valor (n-2)180°, el rumbo original y el
calculado para comprobación deben ser iguales.
137
F IGURA N° 10.9. UBICACIÓN DE LOS RUMBOS DE UNA POLIGONAL
El rumbo de cualquier l ínea de part ida debe recalcularse como
comprobación usando el último ángulo. Toda discrepancia indica
un error ari tmético, o bien, que no se ajustaron correctamente los
ángulos antes de calcular los rumbos.
F IGURA N° 10.10. EJEMPLO DE CÁLCULO DE AZIMUTES
NM
NM
NM
NM
A
B
C
D
138
10.10. PROBLEMAS PROPUESTOS10.10. PROBLEMAS PROPUESTOS10.10. PROBLEMAS PROPUESTOS10.10. PROBLEMAS PROPUESTOS
a) Se t iene la l ínea BC con rumbo S 81° 36' E. Se gira un ángulo a
la izquierda (en sentido contrario al de las maneci llas del reloj)
en el punto C, con valor de 92°35'. Calcúlese el rumbo de la
l ínea CD.
b) Se t iene la l ínea CD con rumbo S 05° 49' W. y un ángulo gi rado
hacia la izquierda en D, de 134° 30'. Calcúlese el rumbo de la
l ínea DE.
c) Se t iene la l ínea DE con rumbo S 51° 19' W; ángulo DEF = 134°
42' medido hacia la izquierda en E. Calcúlese el rumbo de la
l ínea EF.
d) Una l ínea EF con rumbo N 83° 23' W y un ángulo izquierdo de
115° 51' en F. Calcúlese el rumbo de la l ínea FA.
e) Se t iene el azimut de la l ínea BC = 98° 24' el ángulo C = 92° 35'
a la izquierda. Calcular el azimut de CD.
f) El lado AB de un pol ígono de cinco lados está en la dirección
norte precisamente. La estación C se hal la al este de B.
calcúlese los rumbos y tabule los acimutes de cada lado para
los ángulos interiores medidos en el sentido del reloj . A = 141°
16', B = 110° 31', C = 86° 01 ', D = 51° 46' y D = 150° 26'.
g) El lado AB de un pol ígono de cinco lados está en la dirección
norte precisamente. La estación C se hal la al este de B.
calcúlese los rumbos y tabule los acimutes de cada lado para
los ángulos interiores medidos en el sentido del reloj . A = 166°
50', B = 42° 21 ', C = 97° 33 ', D = 134° 07' y D = 99° 09'.
h) El lado AB de un pol ígono de cinco lados está en la dirección
norte precisamente. La estación C se hal la al este de B.
calcúlese los rumbos y tabule los acimutes de cada lado para
los ángulos interiores medidos en el sentido del reloj. A = 62°
10', B = 136° 27', C = 130° 52 ', D = 81° 35' y D = 128° 56'.
i ) El lado AB de un pol ígono de cinco lados está en la dirección
norte precisamente. La estación C se hal la al este de B.
calcúlese los rumbos y tabule los acimutes de cada lado para
139
los ángulos interiores medidos en el sentido del reloj . A = 118°
28', B = 82° 13', C = 106° 43 ', D = 72° 58' y D = 159° 58 '.
j ) Calcular los rumbos y tabular los acimutes de un hexágono
regular, conociendo el rumbo de part ida de AB = N 45° 45' E.
La estación C está al oeste de B.
k) Calcular los rumbos del predio cuyas medidas se muestran en
la tabla adjunta, si el rumbo de partida, medido en el lado AB,
es S 10.624500° E
VÉRTICE Á NGULO ( °)
A 96.123600
B 93.254500
C 103.454200
D 137.254300
E 110.224100
l ) Calcular los rumbos del predio cuyas medidas se muestran en
la tabla adjunta, si el rumbo de partida, medido en el lado AB,
es N 72.364500° W
VÉRTICE ÁNG ULO ( ° )
A 91.245200
B 89.235400
C 90.251200
D 72.541600
E 196.312500
m) Calcular los rumbos del predio cuyas medidas se muestran en
la tabla adjunta, si el rumbo de partida, medido en el lado AB,
es N 28.124600° E
140
VÉRTI CE Á NGULO ( °)
A 91.254300
B 195.864200
C 71.452400
D 91.245600
E 89.864500
n) Calcular los rumbos del predio cuyas medidas se muestran en
la tabla adjunta, si el rumbo de partida, medido en el lado AB,
es N 5.236400° E
VÉRTICE ÁNG ULO ( ° )
A 135.254600
B 102.456200
C 92.568400
D 98.425800
E 111.664500
o) Calcular los acimutes del predio cuyas medidas se muestran en
la tabla adjunta, si el azimut de partida, medido en el lado AB,
es 180.000000°
VÉRTI CE ÁNGULO ( °)
A 83.240000
B 92.340000
C 92.240000
D 92.840000
141
p) Calcular los acimutes del predio cuyas medidas se muestran en
la tabla adjunta, si el azimut de partida, medido en el lado AB,
es 53.245600°
VÉRTI CE ÁNGULO ( °)
A 98.360000
B 84.210000
C 96.240000
D 80.840000
q) Calcular los acimutes del predio cuyas medidas se muestran en
la tabla adjunta, si el azimut de partida, medido en el lado AB,
es 125.647500°
VÉRTICE ÁNGULO ( °)
A 91.125000
B 89.365000
C 86.245000
D 93.545000
r) Calcular los acimutes del predio cuyas medidas se muestran en
la tabla adjunta, si el azimut de partida, medido en el lado PQ,
es 325.642500°
VÉRTI CE Á NGULO ( °)
P 88.455000
Q 82.455000
R 100.845000
S 88.645000
142
CAPÍTULO XI
POLIGONACIÓNPOLIGONACIÓNPOLIGONACIÓNPOLIGONACIÓN
11.1. INTRODUCCIÓN11.1. INTRODUCCIÓN11.1. INTRODUCCIÓN11.1. INTRODUCCIÓN
Los levantamientos con teodoli to tienen por objeto:
1. Situar determinados detalles en la configuración del terreno
2. Señalar o replantear puntos o alineaciones de longitud y
di rección dadas, que han de servir de base para el proyecto de
ciertas obras o apl icaciones
Los trabajos con teodol i to pueden dividirse, en general, en dos
grupos:
1. Establecimiento de una red de pol igonales mediante un
sistema de estaciones y al ineaciones, que se l lama red de red de red de red de
apoyo.apoyo.apoyo.apoyo.
F IGURA N° 11.1. EJEMPLO DE UNA RED DE APOYO
2. Situación, con respecto a esta red de apoyo, de todos los
detalles del terreno que consti tuyen el rel lenorel lenorel lenorel leno del
levantamiento.
143
F IGURA N° 11.2. EJEMPLO DE UN RELLENO
En algunos trabajos apenas es necesario tomar detal les, como
sucede al levantar los l inderos de una f inca, donde el teodoli to se
estaciona generalmente en las esquinas o vért ices del perímetro, y
sí las l íneas son rectas no hay que tomar detalle alguno
propiamente dicho. En cambio, hay otros trabajos en que los
detalles, tomados desde la red de apoyo, consti tuye el principal
objetivo principal del levantamiento, para poder representar la
configuración del terreno y dibujar el plano correspondiente.
En algunos levantamientos se van tomando los detal les a medida
que se establece la red de poligonales; en otros se observa
primero la red y después de comprobada se procede al rel leno de
detalles. Este último procedimiento es el que se sigue cuando se
opera sobre una extensión considerable de terreno y cuando las
técnicas y los instrumentos empleados para la poligonación no son
los mismos que para el relleno.
144
11.2.11.2.11.2.11.2. TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO
RADIACIÓNRADIACIÓNRADIACIÓNRADIACIÓN
Es la técnica más senci l la para operar con teodoli to y cinta.
Consiste en hacer una sola estación con aquel y tomar
desde ella los ángulos y distancias a los puntos asequibles.
Estos puntos se suelen llamar destacados o radiados.
Para hacer un levantamiento con esta técnica es preciso que
la superf icie objeto del mismo sea de poca extensión.
Generalmente, se emplea para s ituar detal les en
levantamientos más extensos.
F IGURA N° 11.3. TÉCNICA DE RADIACIÓN
INTERSECCIÓNINTERSECCIÓNINTERSECCIÓNINTERSECCIÓN
También es una técnica muy senci lla. Consiste en tomar dos
estaciones, cuya l ínea de unión se l lama base; desde cada una
de las estaciones se dirigen visuales a los puntos que se
quieren situar y se anotan los ángulos respectivos. De este
modo, un punto cualquiera queda situado por dos ángulos
leídos desde los extremos de la base y por la longitud de esta
úl tima.
Se emplea en levantamientos de pequeñas superf icie y para el
rel leno de planos levantados con teodoli to. Asimismo, no se
145
aplica en el levantamiento de linderos, no solo por los muchos
cálculos que su uso entraña, sino por la inseguridad de los
valores resultantes cuando los tr iángulos tienen ángulos muy
agudos.
F IGURA N° 11.4. TÉCNICA DE INTERSECCIÓN
POLIGONACIÓNPOLIGONACIÓNPOLIGONACIÓNPOLIGONACIÓN
Es ta técnica se aplica para situar detal les del terreno
(part iendo de estaciones con teodol i to) o para determinar
puntos o líneas previamente medidos (replanteados). Se
clasifica, a su vez, en:
Poligonal cerrada
Poligonal abierta
Poligonal con ángulos de deflexión
Poligonal con ángulos acimutales
Poligonal con ángulos interiores
Poligonal con ángulos exteriores
146
11.3. COORDENADAS RECTANGULARES11.3. COORDENADAS RECTANGULARES11.3. COORDENADAS RECTANGULARES11.3. COORDENADAS RECTANGULARES
En la práctica de la Topografía se acostumbra defini r la posición de
un punto con referencia dos l íneas que se intersecan en ángulos
rectos en algún punto seleccionado. Las coordenadas
rectangulares planas de un punto son las dis tancias al punto desde
ese par de ejes mutuamente perpendiculares. La distancia desde
el eje X será la coordenada Y y la distancia desde el eje Y será la
coordenada X.
FÓRMULA N° 11.1. CÁLCULO DE LA COORDENADA X
XL.sen∆ = α
FÓRMULA N° 11.2. CÁLCULO DE LA COORDENADA Y
YL.cos∆ = β
F IGURA N° 11.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE COORDENADAS
ÁNGULODEL
RUMBO
LONGITUD
X∆
Y∆
147
Convencionalmente, se asigna al eje X la di rección este-oeste, y
al eje Y la dirección norte-sur. Por ello, en la práctica, las
coordenadas x crecen hacia el este y las y hacia el norte. Con
frecuencia se denomina a tales coordenadas E y N,
respectivamente. Con el fin de evitar valores negativos, el origen (x
= cero e y = cero) se ubica bastante lejos al sur y al oeste del
área por levantar.
11.4. LATITUDES Y ALEJAMIE11.4. LATITUDES Y ALEJAMIE11.4. LATITUDES Y ALEJAMIE11.4. LATITUDES Y ALEJAMIENTOS NTOS NTOS NTOS
El uso de las coordenadas rectangulares es la técnica más
conveniente para expresar las pos iciones horizontales de los
puntos de un levantamiento. Las coordenadas de un punto definen
de manera única su posición respecto a cualquier otro punto
localizado en el mismo sistema. Las coordenadas se emplean para
muchos f ines, entre ellos el dibujo topográfico y el cálculo de áreas
de predios.
Los términos lati tud y alejamiento se usan frecuentemente en los
cálculos de coordenadas rectangulares. Se definen como sigue:
La lati tud de una l ínea es su proyección sobre el meridiano de
referencia
El alejamiento se una l ínea es su proyección sobre la línea este-
oeste perpendicular al meridiano de referencia.
Es evidente que la lati tud aquí definida no es lo mismo que la
lat i tud geográfica.
Las expresiones básicas para calcular lat i tud y alejamiento son:
FÓRMULA N° 11.3. CÁLCULO DE LATITUDES
Latitud Longitud(cos )= α
148
FÓRMULA N° 11.4. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS
Alejamiento Longitud(sen )= α
α = ángulo del rumbo
F IGURA N° 11.6. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES
Las lati tudes son Norte, o posi tivas, cuando las líneas t ienen rumbo
norte; y sur, o negativas cuando las líneas t ienen rumbo sur.
Los alejamientos son este, o positivas, cuando las l íneas t ienen
rumbo este; y oeste, o negativas, cuando las l íneas tienen rumbo
oeste. A las lat i tudes también se les l laman proyecciones en Y, y a
los alejamientos, proyecciones en X.
149
11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL
El cálculo típico de una pol igonal abarca conceptos fundamentales
ampliamente util i zados en varios cálculos topográficos. Además, la
secuencia progresiva de las operaciones consti tuye un excelente
ejemplo de procedimiento ordenado de cálculo, seguido con
frecuencia en la solución de un problema típico dado. El cálculo de
una pol igonal cerrada, incluyendo la determinación de su área,
comprende la ejecución de una ordenada secuencia de
operaciones, que se muestra a continuación.
1. EL GRÁFICO
F IGURA N° 11.7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA POLIGONAL
150
2.2.2.2. LOS DATOSLOS DATOSLOS DATOSLOS DATOS
CUADRO N° 11.1. DATOS DE CAMPO
VÉRTIC E ÁNGULO INTERNO DISTANCIA
A 86.632400° 1,377.680 m
B 91.014800° 808.620 m
C 94.134500° 1,371.250 m
D 88.416400° 881.140 m
3. Determinar si la poligonal medida es consistente, es decir, s i
cumple con la función ai
180 (n 2)= ° −∑ , siendo n = número de
lados. Reemplazando, ai
180 (4 2) 360= ° − = °∑ . Como la sumatoria
de los ángulos internos es 360.198100°, la pol igonal NO es
consistente.
4. Por tanto, procedemos a calcular la corrección angular con el
objetivo que la suma de los ángulos internos de la pol igonal
sea, exactamente, 900.000000°.
CUADRO N° 11.2. CORRECCIÓN DE ÁNGULOS INTERNOS
VÉRTICE ÁNG ULO I NTERNO
( ° )
CORRECCI ÓN
GEOMÉT RICA ( ° )
ÁNGULO INTERNO
CORREGIDO ( ° )
A 86.632400 -0.049525 86.5828750
B 91.014800 -0.049525 90.9652750
C 94.134500 -0.049525 94.0849750
D 88.416400 -0.049525 88.3668750
SUM ATO R IA S 360.198100 360.0000000
INC O NSI ST ENC I A -0.198100
COR REC C IÓ N
UNIT AR I A -0.049525
151
5. Luego, calculamos los valores y consignamos las respectivas
orientaciones de los rumbos de cada uno de los lados,
comenzando por el rumbo de part ida medido en el lado AB = S
74.364800° W. Es necesario recalcular el rumbo de partida con
los últimos resultados del cálculo, solo as í estaremos en
condiciones de tener confianza en los rumbos calculados.
F IGURA N° 11.8. CÁLCULO DEL RUMBO DE BC
152
F IGURA N° 11.9. CÁLCULO DEL RUMBO DE CD
F IGURA N° 11.10. CÁLCULO DEL RUMBO DE DA
N 69.3
14550°
E
88.366875°
Rumbo DA
DA = 88.366875° - 69.314550° = S 19.052325° E
153
F IGURA N° 11.10. CÁLCULO DEL RUMBO DE COMPROBACIÓN
F IGURA N° 11.11. CÁLCULO DEL RUMBO DE COMPROBACIÓN
N 16.600475° W
S 19.052325° E
154
CUADRO N° 11.3. RUMBOS DE LA POLIGONAL
LA DOS R U M B O S ( ° )
A B S 74.364800 W
B C N 16.600475 W
C D N 69.314550 E
D A S 19.052325 E
RUM B O
C OM PRO B ADO 74.364800
5. Seguidamente se procede a calcular sus respectivos
alejamientos y lat i tudes de cada lado, util izando las siguientes
funciones:
Alejamiento = longitud x seno del ángulo del rumbo
Lati tud = longitud x coseno del ángulo del rumbo
CUADRO N° 11.4. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES
6. En cualquier pol igonal cerrada, las sumas algebraicas de los
alejamientos y de las lat i tudes debían ser iguales a cero
porque el levantamiento se inicia y termina en el mismo punto.
No obstante, por los inevitables errores en las medicines
l ineales y angulares, estas condiciones casi nunca se
satisfarán exactamente. Los cálculos, indican que:
ESTE OESTE NORTE SUR
A B S 74.364800 W 1,486.540 0.000 1,431.534 0.000 400.640
B C N 16.600475 W 979.360 0.000 279.800 938.540 0.000
C D N 69.314550 E 1,442.360 1,349.376 0.000 509.495 0.000
D A S 19.052325 E 1,108.240 361.764 0.000 0.000 1,047.532
86.3650003 5,016.500 1,711.141 1,711.333 1,448.036 1,448.171
LADOS RUM BOS (°)DISTANCIAS
(m) ALEJAM IENTOS (m9 LATITUDES (m)
155
a) ERROR LINEAL DE CIERRE
FÓRMULA N° 11.5. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE
2 2
LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑
2 2
LCE (1711.141 1711.333) (1448.036 1448.171)= − + −
2 2
LCE ( 0.192) ( 0.135) 0.235m= − + − =
b) ERROR ANGULAR DE CIERRE
FÓRMULA N° 11.6. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE
Alej.
ACAlej.
ERRORE (tg )
ERROR= α =
AC
0.192E (tg ) 1.421361
0.135−
= α = =−
ACArctg(tg ) E Arctg(1.421361)α = =
oACE Arctg(1.421361) 54.871664= =
oACE N54.871664 E=
F
156
FIGURA N° 11.12. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS ERRORES DE CIERRE
7. El cálculo del error relat ivo de cierre, da un mejor índice de la
cal idad de una pol igonal que el error l ineal de cierre. Como es
obvio, una poligonal de 4 Km de largo que tenga un error lineal
de cierre de 1.40 m será más precisa que una poligonal de
solo 2 Km de largo con el mismo error de cierre. Por tanto, es
práctica común calcular el error relat ivo de cierre, que es el
error l ineal divido entre la longitud de la poligonal.
Naturalmente ambas cantidades deberán estar en las mismas
unidades. El resultado se expresa en forma de quebrado con la
unidad como numerador.
En consecuencia, el error relat ivo de cierre (ERC ) de nuestra
pol igonal , es:
157
FÓRMULA N° 11.7. CÁLCULO DE ERROR RELATIVO DE CIERRE
LCRC
E 0.235m 1E
Perímetro 5,016.500m 21,321.801= = =
Es te resultado significa que, en promedio, se generó un error
de un metro por cada 21,231.801 m de pol igonal.
8. Después de determinar el error relativo de cierre y de confirmar
que su valor satis face las especificaciones de calidad del
levantamiento, la pol igonal debe ser compensada. La
operación de compensar se refiere a la distribución equitat iva y
lógica de las correcciones a los alejamientos y lati tudes, de
modo que sus sumas algebraicas se igualen a cero. Este
procedimiento hará que la pol igonal sea una f igura
matemáticamente cerrada.
El procedimiento más util izado es el que se conoce como la
REGLA DE LA BRÚJULA, llamada, también, la REGLA DE
BOWDITCH en honor al eminente marino norteamericano
Nathaniel Bowditch (1773-1838), a quien suele atribuírsele.
Supone que la cal idad de las mediciones l ineales y angulares
es aproximadamente la misma que las correcciones a los
alejamientos y lat i tudes varían en proporción directa a la
longitud del lado.
La Regla de la Brújula especi fica que la corrección al
alejamiento (o la lat i tud) de un lado es el error total en los
alejamientos (o las lat i tudes) como la longitud del lado es a la
longitud de la poligonal. Por tanto, con referencia al lado AB, la
corrección al alejamiento se calcula con la siguiente relación:
FÓRMULA N° 11.8. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS
Alej.(AB) AB
Alej.
C Lado
E Perímetro=
158
Alej.(AB)
C 1, 486.540m0.192m 5,016.500m
=−
Alej.(AB)C 0.057m= −
As imismo, con referencia al lado AB, la corrección a la lat i tud
se calcula con la siguiente relación:
FÓRMULA N° 11.9. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LATITUDES
Lat.(AB) AB
Lat.
C Lado
E Perímetro=
Lat.(AB)
C 1,486.540m0.135m 5,016.500m
=−
Lat.(AB)C 0.040m= −
9. Las correcciones deben apl icarse en forma apropiada. Así,
para el caso presente, la suma de los alejamientos este es
menor que los alejamientos oeste. Por tanto, las correcciones a
los alejamientos este serán posit ivas, y negativas a los
alejamientos oeste. Asimismo, la suma de las lat i tudes norte es
menor que las lat itudes sur. Por consiguiente, las correcciones
a las lat i tudes norte serán pos itivas, y negativas a las lat i tudes
sur.
El cálculo tabulado completo, se muestra en el siguiente
cuadro:
159
CUADRO N° 11.5. CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES
10. Para calcular los rumbos corregidos, es decir, uti l izando los
alejamientos y lat i tudes compensadas, se debe APLICAR la
misma ecuación usada para calcular el Error Angular de
Cierre (EAC ), así :
FÓRMULA N° 11.10. CÁLCULO DEL RUMBO CORREGIDO
ABAB AB
AB
Alej.RUMBO (tg )
Lat.= α =
AB AB
1,431.477RUMBO (tg ) 3.573336
400.599−
= α = =−
AB AB
Arctg(tg ) RUMBO Arctg(3.573336)α = =
oAB AB
RUMBO Arctg(3.573336) 74.365697= α = =
oAB
RUMBO S74.365697 W=
11. Asimismo, las distancias corregidas se calculan con la misma
ecuación que util izamos para calcular el Error Lineal de Cierre
(ELC
), así:
FÓRMULA N° 11.11. CÁLCULO DE LA DISTANCIA CORREGIDA
Distancia CorregidaAB
= DC ( A B)
= 2 2AB AB
( Alej. ) ( Lat. )+∑ ∑
VALOR ALEJAM IENT VALOR LATITUDES
A B -0.057 -1,431.477 -0.040 -400.599
B C -0.038 -279.762 0.026 938.567
C D 0.055 1,349.432 0.039 509.534
D A 0.043 361.807 -0.030 -1,047.502
0.000 0.0000
LADOSC O R R E C C I O N E S (m)
160
DC( AB) = 2 2( 1,431.477m) ( 400.599m) 1,486.474m− + − =
12. La tabulación completa es la siguiente:
CUADRO N° 11.6. TABULACIÓN COMPLETA
13. La primera coordenada de una estación de pol igonal, o de
part ida, es igual a cero. Las demás coordenadas se obtienen
mediante la suma algebraica sucesiva de las lati tudes y los
alejamientos compensados con las coordenadas del punto
anterior. Las operaciones ari tméticas quedarán comprobadas
sí las coordenadas del punto de partida, determinadas a
part ir del último punto, quedan iguales a los valores originales
dados, como se muestra en el s iguiente cuadro:
CUADRO N° 11.7. CÁLCULO DE COORDENADAS
ALEJAM IENT LA TITUDES RUM BOS (°) DISTANCIAS (m)
A B S 74.364800 W 1,486.540 -1,431.477 -400.599 74.365697 1,486.474
B C N 16.600475 W 979.360 -279.762 938.567 -16.597927 979.375
C D N 69.314550 E 1,442.360 1,349.432 509.534 69.313880 1,442.426
D A S 19.052325 E 1,108.240 361.807 -1,047.502 -19.054907 1,108.226
86.3650003 5,016.500 0.000 0.0000 5,016.5000
LA DOS RUM BOS (°)DISTA NCIAS
(m)
C O R R E C C I O N E S (m) M EDIDAS CORREGIDAS
ALEJAM IENT LATITUDES ESTES NORTES
A B -1,431.477 -400.599 0.000 0.000
B C -279.762 938.567 -1,431.477 -400.599
C D 1,349.432 509.534 -1,711.239 537.967
D A 361.807 -1,047.502 -361.807 1,047.502
0.000 0.0000
COORDENADAS (m)LADOS
CORRECCIONES (m)
161
14. Uno de los principales objetivos de los levantamientos
prediales es obtener los datos necesarios para la
determinación de áreas. El procedimiento para calcular el
área de cualquier f igura plana cerrada, l imitada por l íneas
rectas, puede expresarse como:
REGLAREGLAREGLAREGLA: El área es igual a la mitad de la suma algebraica de
los productos de cada ordenada por la diferencia entre las
dos abscisas adyacentes, restando s iempre la abscisa
anterior de la siguiente.
Esta regla puede deducirse con faci lidad sumando
algebraicamente las áreas de los trapecios formados al
proyectarlas los dos lados de la pol igonal sobre un meridiano
de referencia al oeste del terreno. Al aplicar la regla anterior
a la práctica de la topografía, se susti tuyen los términos de
ordenada y abscisa por las coordenadas correspondientes,
ESTE y NORTE.
Ya con estas susti tuciones, usando las letras E y N para
indicar las coordenadas, la regla puede aplicarse de la
siguiente manera: se escriben las coordenadas de cada
vért ice en forma de quebrado, con la abscisa E en el
numerador y la ordenada N en el denominador.
Luego, la serie de quebrados así escri tos se divide mediante
l íneas vert icales interrumpidas. Entonces, se mult ipl ica el
primer numerador, E1, por la diferencia entre los dos
denominadores adyacentes, N2 y N4, restando s iempre la
abscisa anterior, N4, de la siguiente, N2. Para indicar esta
operación, se escribe el denominador de la últ ima fracción
situada a la derecha, N4, fuera de la l ínea interrumpida, a la
izquierda del primer quebrado. Igualmente, se escribe el
denominador del primer quebrado, N1, fuera de la l ínea
interrumpida, a la derecha del últ imo quebrado. El arreglo
completo queda como sigue:
162
EEEE 1111 EEEE2222 EEEE3333 EEEE 4444
NNNN4444 NNNN1111 NNNN2222 NNNN3333 NNNN4444 NNNN1111
Entonces, el área estará dada por la ecuación:
FÓRMULA N° 11.12. CÁLCULO DEL ÁREA
Con el fin de determinar el área que encierra la pol igonal de
nuestro problema, los quebrados tabulados vert icalmente,
quedan como s igue:
CUADRO N° 11.8. TABULACIÓN VERTICAL
NNNN 4444 1,047.502
EEEE 1111 NNNN 1111 0.000 0.000
EEEE 2222 NNNN 2222 -1,431.477 -400.599
EEEE 3333 NNNN 3333 -1,711.239 537.967
EEEE 4444 NNNN 4444 -361.807 1,047.502
NNNN 1111 0.000
1 2 4 2 3 1 3 4 2 4 1 3
1A E (N N ) E (N N ) E (N N ) E (N N )
2 = − + − + − + −
163
15. El área del predio, tabulada, es:
CUADRO N° 11.9. CÁLCULO DEL ÁREA DEL PREDIO
11.6. PROBLEMAS PROPUESTOS11.6. PROBLEMAS PROPUESTOS11.6. PROBLEMAS PROPUESTOS11.6. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular el error angular de cierre y el error l ineal de cierre
del predio, sí el rumbo de part ida medido en el lado AB es N
10.12° W. Las longitudes de los lados, son:
LADOS DISTANCIA (m)
A B 671.4500
B C 1092.5600
C D 732.3200
D A 1184.3000
Calcular los rumbos y distancias corregidos del predio
Calcular las coordenadas del predio
Calcular el área del predio
2. Calcular el área del predio cuyas medidas se muestran a
continuación.
ESTES NORTES
A B 0.000 0.000 0.000
B C -1,431.477 -400.599 -770,087.860
C D -1,711.239 537.967 -2,478,046.840
D A -361.807 1,047.502 194,640.354
2A -3,053,494.347
ÁREA 1,526,747.173
COORDENADAS (m) DOBLESAREAS
LADOS
164
LA DO RU MBO S ( ° ) D ISTANCI AS
(m)
M N S 84.000000 E 366.8000
N O S 3.143515 E 377.2800
O Q S 26.208039 O 233.1800
Q R N 87.826143 O 301.3000
R P N 5.794273 O 201.7400
P M N 5.399057 E 414.7000
3. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es N 28.322400° E
VÉRTI CE ÁNG ULO
INTERNO ( ° )
LADO DI STA NCIA
(m)
A 70.254200 A B 871.2400
B 94.623600 B C 555.3600
C 85.224000 C D 716.7400
D 110.252400 D A 584.8800
A
B
C
D
165
4. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es S 76.325400° E
VÉRTI CE ÁNG ULO
INTERNO ( ° )
LADO DI STA NCIA
(m)
A 114.324500 A B 695.3200
B 80.624500 B C 702.6500
C 77.324500 C D 818.0700
D 87.217800 D A 427.0800
5. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es S 64.123600° W
VÉRTI CE ÁNG ULO
INTERNO ( ° ) LADO
DI STA NCIA
(m)
A 94.235800 A B 716.2500
B 101.061200 B C 794.4500
C 69.621500 C D 927.3100
D 95.326400 D A 629.2400
A
B
C
D
166
6. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es N 81.364500° W
VÉRTICE ÁNGULO
INTERNO ( ° )
LADO DISTANCI A
(m)
A 103.251400 A B 718.6200
B 81.653400 B C 704.1800
C 83.457800 C D 761.5800
D 91.452400 D A 515.8700
A
B
C
D
167
7. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es N 28.324500° E
VÉRTI CE ÁNG ULO
INTERNO ( ° )
LADO DI STA NCIA
(m)
A 71.635400 A B 801.3600
B 82.132400 B C 611.4500
C 102.240000 C D 504.1400
D 104.129260 D A 678.1400
8. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es S 66.424500° W
VÉRTIC E ÁNGU LO
INTERNO ( ° )
LA DO DISTANCI AS
(m)
A 90.936400 A B 743.150
B 136.842400 B C 329.240
C 127.535400 C D 632.450
D 84.428400 D E 949.630
E 100.421200 E A 668.450
A
B
C
D
168
9. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es S 13.524800° W
VÉRTICE Á NGULO
I NTERNO ( ° )
LADO DISTANCIA S
(m)
A 74.823400 A B 751.420
B 96.864500 B C 1007.420
C 101.124800 C D 709.670
D 77.524200 D E 769.880
E 189.628400 E A 469.650
169
10. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es N 22.242600° W
VÉRTICE ÁNGULO
INTERNO ( ° )
LADO DISTANCI AS
(m)
A 95.424200 A B 998.270
B 143.821400 B C 489.450
C 131.124500 C D 1079.220
D 90.214800 D E 1638.120
E 79.324200 E A 1520.240
170
11. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es N 10.424500° E
VÉRTICEÁNGULO
I NTERNO ( ° )
LA DO DISTANCI AS
(m)
A 85.125400 A B 653.230
B 90.568400 B C 906.450
C 75.748800 C D 241.030
D 215.459600 D E 369.450
E 73.245200 E A 989.480
171
12. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es N 21.424500° W
VÉRTICE ÁNG ULO
INTERNO ( ° )
LA DO DISTANCI AS
(m)
A 59.323400 A B 639.470
B 81.135600 B C 807.340
C 101.265400 C D 449.340
D 80.264800 D E 583.120
E 218.165400 E A 276.040
172
13. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se
muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el
lado AB, es S 14.524800° W
VÉRTICE Á NGULO
I NTERNO ( ° )
LADO DI STA NCIAS
( m)
A 71.762500 A B 818.320
B 88.426400 B C 690.450
C 102.852400 C D 781.640
D 65.425400 D E 444.560
E 211.423600 E A 432.320
173
B
C
D
E
A
2
14. Calcular el área del predio mostrado en el gráfico, sí su
rumbo de partida, medido en el lado AB, es S 12.242500° E.
VÉRTICEÁNGULO
INTERIO R ( ° ) LADO
DISTANCIA
(m)
A 148.012400 A B 309.520
B 153.324500 B C 271.870
C 147.856200 C D 265.210
D 142.325600 D E 280.270
E 162.122400 E F 411.220
F 158.326400 F G 291.750
174
G 151.312200 G H 257.480
H 169.425400 H I 198.070
I 163.685800 I J 149.720
J 151.754200 J K 188.320
K 145.326500 K L 169.420
L 164.324500 L M 285.520
M 161.323200 M N 337.720
N 162.724500 N O 281.920
O 158.325400 O A 265.250
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
S 12.242500° E
175
CAP ÍTULO XII
LEVANTAMIENTO DE LEVANTAMIENTO DE LEVANTAMIENTO DE LEVANTAMIENTO DE PREDIOS PREDIOS PREDIOS PREDIOS
IRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARES
12.1. INTRODUCCIÓN12.1. INTRODUCCIÓN12.1. INTRODUCCIÓN12.1. INTRODUCCIÓN
Las áreas de predios con l inderos, o curvos, usualmente se
determina estableciendo una líneas base cerca y midiendo las
distancias, a intervalos regulares o irregulares, de ésta al l indero.
Las técnicas más usuales son tres: la técnica del trapecio, la regla
de Simpson y la técnica de coordenadas
12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO
Si se dispone de las extremos de las ordenadas al lindero están
unidos por l íneas rectas, se forma una serie de trapecios, cuyas
bases son las distancias y las alturas son el intervalo común, bbbb. En
consecuencia, el área del primer trapecio es ,2/)( 21 hhb + del
segundo es ,2/)( 32 hhb + etc. Sumando todas estas áreas, se obtiene
la siguiente ecuación para el área total A, en la que nnnn es igual al
número de ordenadas.
FORMULA N° 12.1. CÁLCULO CON LA TÉCNICA DEL TRAPECIO
1 n2 3 n 1
h hA b (h h ... h )
2 −
+ = + + + +
176
FIGURA N° 12.1. REPRESENTACIÓN DE LA TÉCNICA DEL TRAPECIO
EJEMPLO:EJEMPLO:EJEMPLO:EJEMPLO:
Calcular el área si el intervalo común es de 5 m y las ordenadas
son 9.02, 8.60, 10.45, 12.65, 12.07, 8.29 y 5.61 m,
respectivamente.
Solución
29.02 5.61A 5 (8.60 10.45 12.65 12.07 8.29 296.87m
2
+ = + + + + + =
12.3.12.3.12.3.12.3. TÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSONTÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSONTÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSONTÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSON
La regla de Simpson, de un tercio, puede apl icarse a áreas como
la que se muestra en el gráfico, en donde las ordenadas tienen un
intervalo común b, b, b, b, siempre que se tome un número non de
ordenadas. La regla puede apl icarse como sigue: el área es igual
a un tercio del intervalo común entre ordenadas, multipl icando por
la suma de la primera y última ordenadas, más dos veces la suma
de las otras ordenadas nones, más cuatro veces la suma de las
ordenadas pares; o sea que, si nnnn es el número de ordenadas:
FORMULA N° 12.2. CÁLCULO CON LA REGLA DE S IMPSON
1 n 3 5 n 2 2 4 n 1
bA h h 2(h h ... h ) 4(h h ... h )
3 − − = + + + + + + + + +
177
FIGURA N° 12.2. REPRESENTACIÓN DE LA TÉCNICA DE S IMPSON
Esta regla se basa en el supuesto de que la curva que pasa por los
extremos de las primeras tres ordenadas es una parábola; lo
mismo para la curva que pasa por los extremos de las ordenadas
3, 4 y 5, y por los extremos de las ordenadas 5, 6 y 7, etc. Se
supone que esta serie de curvas paraból icas se apegará más al
l indero que las líneas rectas y que, por lo tanto, producirá un valor
más exacto para el área.
EJEMPLO:EJEMPLO:EJEMPLO:EJEMPLO:
Calcular El área de la f igura si el intervalo común es de 5 m, y las
ordenadas son de 13.50, 12.80, 12.01, 10.55, 8.75, 6.80 y 4.45 m,
respectivamente.
Solución: Puesto que hay un número non de distancias, la regla
puede apl icarse a toda el área, como sigue:
h4h3h1 h2 h5 h6 h7
178
[ ] 25A 13.50 4.45 2(12.01 8.75) 4(12.80 10.55 6.80) 300.12m
3= + + + + + + =
12.4.12.4.12.4.12.4. TÉCNICA DE COORDENADASTÉCNICA DE COORDENADASTÉCNICA DE COORDENADASTÉCNICA DE COORDENADAS
Si el l indero de un área permite tomar mejor las ordenadas a
intervalos irregulares, el área puede calcularse como una serie de
trapecios separados, o por coordenadas. Esta técnica ya se
expl icó en el capítulo anterior.
FIGURA N° 12.3. REPRESENTACIÓN DE LA TÉCNICA DE COORDENADAS
EJEMPLO:EJEMPLO:EJEMPLO:EJEMPLO:
Un instructor de Topografía, para calcular la superf icie de un
predio colindante con el curso irregular de un camino, decide
ejecutar el levantamiento basándose en el lado de apoyo de
b1b6b5b4b3b2b1b6
h6h5h4h3h2h1
b1b6b5b4b3b2b1b6
h6h5h4h3h2h1
179
manera que el lado BC del polígono quede cerca del curso
irregular. Tomando como base el lado BC ordena medir, a
intervalos irregulares, 18 cuerdas desde B hacia los bordes
irregulares del camino, midiendo asimismo, el ángulo de elevación
desde la al ineación BC hacia los puntos de cada cuerda. Las
mediadas, registradas en la Libreta de Campo, se indican en los
cuadros adjuntos.
FIGURA N° 12.4. REPRESENTACIÓN DEL PREDIO IRREGULAR
A
B
C
D
ÁREA REGULAR
ÁREA IRREGULAR
EL GRÁFICO
180
1. Los datos de la parte regular
CUADRO N° 12.1. DATOS DE LA PARTE REGULAR
2. Los datos de la parte irregular
CUADRO N° 12.2. DATOS DE LA PARTE IRREGULAR
A B N 22.540000 E 920.220
B C S 68.480000 E 1605.080
C D S 24.520000 O 970.120
D A N 66.680000 O 1570.850
LADOS DISTANCIASRUM BOS
ANGULO +B 1 3.540000 55.250
B 2 6.250000 112.250
B 3 8.250000 185.240
B 4 9.230000 212.240
B 5 12.420000 360.250
B 6 9.650000 420.150
B 7 7.650000 485.320
B 8 7.420000 542.840
B 9 6.250000 642.540
B 10 7.250000 745.120
B 11 10.210000 942.540
B 12 13.240000 1,012.650
B 13 16.320000 1,145.240
B 14 15.210000 1,234.560
B 15 13.850000 1,355.550
B 16 10.420000 1,462.420
B 17 6.470000 1,564.120
B 18 3.450000 1,584.410
DISTANCIA(m)CUERDA
ALINEACION
181
2. Cálculo de Alejamientos, lati tudes, error l ineal de cierre y
error angular de cierre
CUADRO N° 12.3. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES
3. Compensación de alejamientos y latitudes
CUADRO N° 12.4. COMPENSACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES
ESTE OESTE NORTE SUR
A B N 22.540000 E 920.220 352.746 0.000 849.926 0.000
B C S 68.480000 E 1605.080 1493.189 0.000 0.000 588.785
C D S 24.520000 O 970.120 0.000 402.610 0.000 882.631
D A N 66.680000 O 1570.850 0.000 1442.525 621.846 0.000
5066.270 1845.936 1845.135 1471.773 1471.416
0.801 0.356
L A T I T U D E SLADOS DISTANCIAS
A L E J A M I E N T O SRUM BOS
CORR. ALEJ. ALEJA M IEN. CORR. LAT. LA TITUDES
A B -0.145 352.601 -0.065 849.862
B C -0.254 1492.936 0.113 -588.898
C D 0.153 -402.764 0.068 -882.699
D A 0.248 -1442.773 -0.111 621.736
0.000 0.000
C O M P E N S A C I O N E SLADOS
182
4. Cálculo de las medidas corregidas, de las coordenadas y del
área de la parte regular
CUADRO N° 12.5. CÁLCULO DE LAS MEDIDAS CORREGIDAS
6. Las componentes (ordenadas y abscisas) de la parte irregular
F IGURA N° 12.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ABSCISAS Y ORDENADAS
ANGULOS DISTANCIAS ESTE NORTE
A B 22.533181 920.104 0.000 0.000 0.000
B C -68.472928 1,604.885 352.601 849.862 92,016.041
C D 24.526565 970.246 1,845.536 260.964 -2,715,886.592
D A -66.687285 1,571.034 1,442.773 -621.736 -376,511.295
5066.270 -3,000,381.846
ÁREA 1,500,190.923
DOBLESAREAS
C O R R E C C I O N E S C O O R D E N A D A SLADOS
))(( 7B7B7 SenCuerdaCUERDAOrdenada −−=
m45717632540012Senm640826Ordenada7 .).)(.( =°=
))(( 7B7B7 CosCUERDACUERDAAbscisa −−=
m58780732540012Cosm640826Abscisa 7 .).)(.( =°=
183
CUADRO N° 12.6. CÁLCULO DE ABSCISAS Y ORDENADAS
ANGULO + ABSCISAS ORDENADAS
B O 0.000000 0.000 0.000 0.000
B 1 3.540000 55.250 55.145 3.411
B 2 6.250000 112.250 111.583 12.220
B 3 8.250000 185.240 183.323 26.581
B 4 9.230000 212.240 209.492 34.043
B 5 12.420000 360.250 351.819 77.481
B 6 9.650000 420.150 414.205 70.429
B 7 7.650000 485.320 481.001 64.606
B 8 7.420000 542.840 538.294 70.103
B 9 6.250000 642.540 638.721 69.951
B 10 7.250000 745.120 739.163 94.033
B 11 10.210000 942.540 927.615 167.071
B 12 13.240000 1,012.650 985.733 231.928
B 13 16.320000 1,145.240 1,099.095 321.814
B 14 15.210000 1,234.560 1,191.314 323.896
B 15 13.850000 1,355.550 1,316.138 324.493
B 16 10.420000 1,462.420 1,438.302 264.497
B 17 6.470000 1,564.120 1,554.158 176.250
B 18 3.450000 1,584.410 1,581.539 95.346
B C 0.000000 1,604.885 1,604.885 0.000
DISTANCIA(m)
C O M P O N E N T E S
CUERDA
ALINEACION
184
7. Cálculo de las coordenadas de la parte irregular y del área del
predio irregular
CUADRO N° 12.7. CÁLCULO DEL ÁREA DEL PREDIO IRREGULAR
8. El área total (parte regular y parte irregular), es.
CUADRO N° 12.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL PREDIO IRREGULAR
ANGULO + ABSCISAS ORDENADAS ESTE NORTE
B O 0.000000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
B 1 3.540000 55.250 55.145 3.411 55.145 3.411 673.884
B 2 6.250000 112.250 111.583 12.220 111.583 12.220 2,585.278
B 3 8.250000 185.240 183.323 26.581 183.323 26.581 4,000.580
B 4 9.230000 212.240 209.492 34.043 209.492 34.043 10,663.277
B 5 12.420000 360.250 351.819 77.481 351.819 77.481 12,801.468
B 6 9.650000 420.150 414.205 70.429 414.205 70.429 -5,332.792
B 7 7.650000 485.320 481.001 64.606 481.001 64.606 -156.841
B 8 7.420000 542.840 538.294 70.103 538.294 70.103 2,877.115
B 9 6.250000 642.540 638.721 69.951 638.721 69.951 15,284.637
B 10 7.250000 745.120 739.163 94.033 739.163 94.033 71,787.507
B 11 10.210000 942.540 927.615 167.071 927.615 167.071 127,912.820
B 12 13.240000 1,012.650 985.733 231.928 985.733 231.928 152,535.346
B 13 16.320000 1,145.240 1,099.095 321.814 1,099.095 321.814 101,082.093
B 14 15.210000 1,234.560 1,191.314 323.896 1,191.314 323.896 3,190.675
B 15 13.850000 1,355.550 1,316.138 324.493 1,316.138 324.493 -78,177.718
B 16 10.420000 1,462.420 1,438.302 264.497 1,438.302 264.497 -213,218.284
B 17 6.470000 1,564.120 1,554.158 176.250 1,554.158 176.250 -262,887.533
B 18 3.450000 1,584.410 1,581.539 95.346 1,581.539 95.346 -278,745.665
B C 0.000000 1,604.885 1,604.885 0.000 1,604.885 0.000 -153,019.087
DOBLE AREA -486,143.239
AREA m2 243,071.619
DOBLESAREAS
DISTANCIA(m)
C O M P O N E N T E S C O O R D E N A D A S
CUERDA
ALINEACION
ÁREA DE LA PARTE REGULAR 1,500,190.923 m2
ÁREA DE LA PARTE REGULAR 243,071.619 m2
ÁREA TOTAL DEL PREDIO 1,743,262.542 m2
185
12.6. 12.6. 12.6. 12.6. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular la superf icie de la parcela irregular. La
representación gráfica y sus respectivas medidas se
muestran a continuación. El lado irregular se encuentra sobre
CD.
A B S 80.425400 W 1478.260 1 0.965400 52.630
B C N 15.416400 W 844.520 2 2.365400 132.250
C D N 76.412400 E 1489.270 3 3.355200 253.320
D A S 14.326400 E 947.463 4 6.645800 356.280
5 7.263500 456.280
6 6.548700 703.280
7 4.596700 936.280
8 2.654800 1121.240
9 1.326400 1332.580
DISTANCIAm
LADORUM BOS
(°)DISTANCIA
mCUERDA
ÁNGULO DEELEVACIÓN (°)
186
2. Calcular la superf icie de la parcela irregular. La representación
gráfica y sus respectivas medidas se muestran a continuación.
El lado irregular se encuentra bajo el lado CD.
A B S 83.623400 E 1457.250 1 1.253100 41.625
B C S 6.225800 W 963.530 2 2.865400 124.360
C D N 83.225600 W 1495.630 3 3.358700 232.250
D A N 8.554800 E 954.220 4 5.623400 362.540
5 4.362500 532.960
6 5.624000 861.360
7 3.659800 1025.640
8 2.635400 1236.540
9 1.025400 1402.380
ÁNGULO DEDEPRESIÓN (°)
DISTANCIAm
LADORUM BOS
(°)DISTANCIA
mCUERDA
187
3. Calcular la superf icie de la parcela irregular. La representación
gráfica y sus respectivas medidas se muestran a continuación.
El lado irregular se encuentra bajo el lado CD.
A B S 72.442500 W 1399.250 1 1.326500 63.240
B C N 16.624400 W 952.560 2 3.326500 156.350
C D N 76.624500 E 1492.680 3 5.265400 365.240
D A S 10.452800 E 850.240 4 6.325400 512.640
5 4.362500 723.540
6 3.632500 936.250
7 4.326400 1095.320
8 2.036400 1254.580
9 1.032400 1395.640
LADORUM BOS
(°)DISTANCIA
mCUERDA
ÁNGULO DEDEPRESIÓN (°)
DISTANCIAm
188
4. Calcular la superf icie de la parcela irregular. La representación
gráfica y sus respectivas medidas se muestran a continuación.
El lado irregular se encuentra sobre el lado CD.
A B N 88.442500 E 1453.120 1 1.232500 52.350
B C S 7.624400 E 764.280 2 2.654800 121.320
C D S 87.624500 W 1494.260 3 5.236500 235.360
D A N 4.452800 W 782.110 4 7.352400 412.250
5 4.265400 632.540
6 3.365400 845.270
7 2.525400 1005.640
8 3.654800 1265.280
9 1.584700 1395.240
LADORUM BOS
(°)DISTANCIA
mCUERDA
ÁNGULO DEELEVACIÓN (°)
DISTANCIAm
189
CAPÍTULO XI I I
LEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOSLEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOSLEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOSLEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOS
13.1. INTRODUCCIÓN13.1. INTRODUCCIÓN13.1. INTRODUCCIÓN13.1. INTRODUCCIÓN
Muchas veces, al efectuar el levantamiento de un predio, es muy
dif ícil medir directamente a lo largo de los linderos por la presencia
de obstrucciones (cortina de árboles, paredes, cercos vivos, etc.)
En este caso, las longitudes y rumbos de los l inderos se calculan
mediante una pol igonal auxi liar (dentro o fuera del predio) cuyas
estaciones deben ubicarse en lugares accesibles y cercanos a los
vért ices del predio.
Desde cada una de las estaciones de la poligonal auxil iar se l iga
cuidadosamente el vért ice más cercano mediante ángulo y
distancia.
El cálculo de la pol igonal dará las coordenadas de las estaciones
de la pol igonal auxi liar, y éstas permit irán determinar las
coordenadas de los vért ices del predio. Luego se resuelve el
problema inverso para obtener las longitudes y rumbos de los
l inderos del predio.
13.2. CÁLCULO TIPO DE 13.2. CÁLCULO TIPO DE 13.2. CÁLCULO TIPO DE 13.2. CÁLCULO TIPO DE UN PREDIO LIGADOUN PREDIO LIGADOUN PREDIO LIGADOUN PREDIO LIGADO
1. Los datos de la pol igonal de apoyo
190
CUADRO N° 13.1. DATOS DE LA POLIGONAL DE APOYO
2. Los datos de las l igas.
CUADRO N° 13.2. DATOS DE LA LIGAS
A B N 4.500000 E 1,830.6200
B C N 65.120000 O 348.3200
C D N 71.840000 E 1,203.4500
D E S 30.240000 O 408.5400
E F S 21.450000 E 1,957.0500
F A S 83.360000 O 1,492.0000
7,239.9800
LADOS RUMBOS DISTANCIA
A P S 31.50000 O 78.120
C Q N 63.50000 O 82.240
D R N 23.16000 E 86.520
F S S 65.20000 E 52.650
LIGAS RUMBOS DISTANCIAS
192
4. Cálculo de alejamientos y lati tudes de apoyo
CUADRO N° 13.3. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES
5. Cálculo de las correcciones de alejamientos y de lati tudes del
pol ígono de apoyo
CUADRO N° 13.4. CORRECCIONES DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES
6. Cálculo de las medidas corregidas, las coordenadas de
apoyo y el área de apoyo.
ESTE OESTE NORTE SUR
A B N 4.500000 E 1,830.6200 143.629 0.000 1,824.977 0.000
B C N 65.120000 O 348.3200 0.000 315.993 146.545 0.000
C D N 71.840000 E 1,203.4500 1,143.506 0.000 375.081 0.000
D E S 30.240000 O 408.5400 0.000 205.750 0.000 352.947
E F S 21.450000 E 1,957.0500 715.672 0.000 0.000 1,821.499
F A S 83.360000 O 1,492.0000 0.000 1,481.992 0.000 172.521
7,239.9800 2,002.807 2,003.735 2,346.603 2,346.967
-0.928 -0.364
LADOS RUMBOS DISTANCIAALEJAMIENTOS LATITUDES
CORR. ALEJ. ALEJAMIEN. CORR. LAT. LATITUDES
A B 0.235 143.864 0.092 1,825.069
B C -0.045 -315.948 0.018 146.562
C D 0.154 1,143.660 0.061 375.142
D E -0.052 -205.698 -0.021 -352.927
E F 0.251 715.923 -0.098 -1,821.400
F A -0.191 -1,481.801 -0.075 -172.446
0.000 0.000
LADOSC O R R E C C I O N E S
193
CUADRO N° 13.5. CÁLCULO DE MEDIDAS CORREGIDAS
F IGURA N° 13.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE COORDENADAS DE APOYO
DOBLES
ANGULOS DISTANCIAS ESTE NORTE ÁREAS
A B 4.507097 1,830.730 0.000 0.000 0.000
B C -65.114294 348.287 143.864 1,825.069 283,645.801
C D 71.839551 1,203.615 -172.085 1,971.631 -89,777.244
D E 30.235104 408.496 971.576 2,346.773 21,583.602
E F -21.457892 1,957.050 765.878 1,993.846 -1,665,269.138
F A 83.362014 1,491.801 1,481.801 172.446 -2,954,483.067
7,239.980 0.000 0.000 -4,404,300.046
ÁREA 2,202,150.023
LADOSCOORDENADAS DE APOYO MEDIDAS CORREGIDAS
A
B
C
D
E
FE = 1,481.801 mN = 172.446 m
E = 0.000 mN = 0.000 m
E = 143.864 mN = 1,825.069 m
E = -172.085 mN = 1,971.631 m
E = 971.576 mN = 2,346.773 m
E = 765.878 mN = 1,993.846 m
194
7. Cálculo de los alejamientos y lat i tudes de las l igas
CUADRO N° 13.6. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DE LIGAS
8. Las ligas, al no estar unidas entre sí, no se corrigen
CUADRO N° 13.7. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LIGAS
9. Calculo de las coordenadas de las ligas
CUADRO N° 13.8. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE LIGAS
ESTE OESTE NORTE SUR
A P S 31.50000 O 78.120 0.000 40.818 0.000 66.608
C Q N 63.50000 O 82.240 0.000 73.599 36.695 0.000
D R N 23.16000 E 86.520 34.028 0.000 79.547 0.000
F S S 65.20000 E 52.650 47.794 0.000 0.000 22.084
LATITUDESLIGAS RUM BOS DISTANCIAS
ALEJAM IENTOS
CORR. ALEJ. ALEJAM IEN. CORR. LAT. LATITUDES
A P 0.000 -40.818 0.000 -66.608
C Q 0.000 -73.599 0.000 36.695
D R 0.000 34.028 0.000 79.547
F S 0.000 47.794 0.000 -22.084
LIGASC O R R E C C I O N E S
ALEJAM IEN. LATITUDES ESTES NORTES
A P -40.818 -66.608 -40.818 -66.608
C Q -73.599 36.695 -73.599 36.695
D R 34.028 79.547 34.028 79.547
F S 47.794 -22.084 47.794 -22.084
COORDENADAS DE LAS LIGASLIGAS
C O R R E C C I O N E S
195
F IGURA N° 13.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIGA AP
F IGURA N° 13.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIGA FS
A
E = 0.000 mN = 0.000 m
EP = -40.818 mNP = -66.608 m Alej. = -40.818 m
NM
P
S
F
E = 1,481.801 mN = 172.446 m
Alej. = 47.794 mES = 1,529.595 mNS = 150.362 m
S 65.200000° E, 52.650 m
NM
196
F IGURA N° 13.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIGA CQ
F IGURA N° 13.7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIGA DR
N63.500000° W
, 82.240 m
Lat. = 79.547m
N23.160000° E, 86.520 m
197
10. Cálculo de las coordenadas del predio
CUADRO N° 13.9. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE PREDIO
F IGURA N° 13.8. REPRESENTACIÓN DE LAS COORDENADAS DEL PREDIO
ESTES NORTES ESTES NORTES ESTES NORTES
A P -40.818 -66.608 0.000 0.000 -40.818 -66.608
C Q -73.599 36.695 -172.085 1,971.631 -245.684 2,008.327
D R 34.028 79.547 971.576 2,346.773 1,005.604 2,426.320
F S 47.794 -22.084 1,481.801 172.446 1,529.595 150.362
COORDENADAS DE LAS LIGAS COORDENADAS DEL APOYOLIGAS
COORDENADAS DEL PREDIO
A
B
C
D
E
F
Q
R
S
ED = 971.576 mND = 2,346.773 m
EC = -172.085 mNC = 1,971.631 m
E = 0.000 mN = 0.000 m
E = 1,481.801 mN = 172.446 m
EQ = -245.684 mNQ = 2,008.327 m
ER = 1,005.604 mNR = 2,426.320 m
ES = 1,529.595 mNS = 150.326 m
EP = -40.818 mNP = -66.608 m
P
198
11. Cálculo de los alejamientos y lat i tudes del predio
CUADRO N° 13.10. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL PREDIO
12. Cálculo de rumbos y distancias del predio
CUADRO N° 13.11. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS DEL PREDIO
13. Cálculo de la superf icie del predio
CUADRO N° 13.12. CÁLCULO DE LA SUPERFICIE DEL PREDIO
ESTES NORTES ALEJAM IENTOS LATITUDES
P Q -40.818 -66.608 -204.866 2,074.935
Q R -245.684 2,008.327 1,251.288 417.994
R S 1,005.604 2,426.320 523.991 -2,275.959
S P 1,529.595 150.362 -1,570.413 -216.970
SUMAS 0.0000 0.0000
LIGASCOM PONENTES DEL PREDIOCOORDENADAS DEL PREDIO
ALEJAM IENTOS LATITUDES ANGULOS DISTANCIAS
P Q -204.866 2,074.935 -5.638760 2,085.0240
Q R 1,251.288 417.994 71.528060 1,319.2576
R S 523.991 -2,275.959 -12.965213 2,335.4989
S P -1,570.413 -216.970 82.133751 1,585.3304
0.0000 0.0000 7,325.1108
LADOS M EDIDAS DEL PREDIOCOM PONENTES DEL PREDIO
DOBLES
ESTES NORTES AREAS
P Q -40.818 -66.608 -75,837.646
Q R -245.684 2,008.327 -612,472.635
R S 1,005.604 2,426.320 -1,868,377.046
S P 1,529.595 150.362 -3,813,171.895
-6,369,859.222
ÁREA -3,184,929.611
LADOSCOORDENADAS DEL PREDIO
199
13.3. PROBLEMAS PROPUESTOS13.3. PROBLEMAS PROPUESTOS13.3. PROBLEMAS PROPUESTOS13.3. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de
apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su
respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio
l igado que se muestra.
POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA
1 2 N 39.254600 E 501.420 1 A S 77.126500 W 55.320
2 3 S 58.424500 E 794.630 2 B N 2.452800 E 92.540
3 4 S 26.427500 W 530.230 3 C N 78.852400 E 112.640
4 1 N 56.451200 W 910.140 4 D S 12.568400 E 175.640
LADO RUM BOS (°)DISTANCIAS
HORIZONT (m)LIGA RUM BOS (°)
DISTANCIASHORIZONT
(m)
B
C
D
A
2
3
4
1
200
2. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de
apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su
respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio
l igado que se muestra.
POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA
1 2 S 70.254600 E 825.640 1 A S 18.126500 E 95.230
2 3 S 31.424500 W 1120.640 2 B S 74.452800 W 162.380
3 4 N 55.427500 W 729.680 3 C N 11.852400 W 152.480
4 1 N 26.451200 E 916.450 4 D N 68.568400 E 85.640
LIGA RUM BOS (°)DISTANCIASHORIZONT
(m)LADO RUM BOS (°)
DISTANCIASHORIZONT (m)
201
3. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de
apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su
respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio
l igado que se muestra.
4. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de
apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su
respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio
l igado que se muestra.
POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA
1 2 N 19.254600 W 569.340 1 A N 23.126500 E 85.230
2 3 N 68.424500 E 963.450 2 B S 89.452800 E 72.280
3 4 S 22.427500 E 710.120 3 C S 12.852400 W 52.480
4 1 S 76.451200 W 1006.540 4 D N 76.568400 W 135.640
LIGA RUM BOS (°)DISTANCIASHORIZONT
(m)LADO RUM BOS (°)
DISTANCIASHORIZONT (m)
B
C
D
A
2
3
4
1
202
5. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de
apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su
respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio
l igado que se muestra.
POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA
1 2 N 6.254600 E 677.960 1 A S 52.126500 W 165.230
2 3 S 79.424500 E 968.320 2 B N 33.452800 W 131.280
3 4 S 6.427500 W 490.120 3 C N 61.852400 E 98.480
4 1 S 89.451200 W 970.540 4 D S 38.568400 E 65.640
LADO RUM BOS (°)DISTANCIAS
HORIZONT (m)LIGA RUM BOS (°)
DISTANCIASHORIZONT
(m)
203
6. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de
apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su
respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio
l igado que se muestra.
POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA
1 2 N 2.926400 E 871.250 1 A S 45.325800 W 162.450
2 3 S 86.863400 E 1374.420 2 B N 48.635900 W 149.340
3 4 S 9.251400 E 667.760 3 C N 52.254800 E 283.240
4 5 N 86.324500 W 796.530 4 D S 51.364800 E 155.630
5 1 S 75.632400 W 752.560
LADO RUM BOS (°)DISTANCIAS
HORIZONT (m)LIGA RUM BOS (°)
DISTANCIASHORIZONT
(m)
204
7. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de
apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su
respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio
l igado que se muestra.
POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA
1 2 N 13.246400 E 1039.560 1 A N 54.825400 E 147.540
2 3 S 81.425800 E 1676.240 2 B S 10.754800 E 333.250
3 4 S 3.526400 W 1040.340 2 C S 68.362500 E 430.240
4 1 N 81.425500 W 1852.130 3 D S 75.725800 W 310.560
4 E N 48.362800 W 315.430
LADO RUM BOS (°)DISTANCIAS
HORIZONT (m)LIGA RUM BOS (°)
DISTANCIASHORIZONT
(m)
205
8. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de
apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su
respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio
l igado que se muestra.
POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA
1 2 N 87.425600 W 1501.180 1 A S 45.425900 E 152.520
2 3 N 18.125800 W 317.880 2 B S 60.324800 W 278.360
3 4 N 12.362400 E 412.180 4 C N 35.421200 W 248.630
4 5 N 86.236400 E 1448.820 5 D N 44.589700 E 150.360
5 1 S 4.254800 E 869.770
LADO RUM BOS (°)DISTANCIAS
HORIZONT (m)LIGA RUM BOS (°)
DISTANCIASHORIZONT
(m)
206
POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA
1 2 S 81.932500 W 1866.810 1 A N 55.724500 W 147.360
2 3 N 4.253200 W 1033.140 2 B N 62.241500 E 242.650
3 4 N 80.126600 E 1693.080 3 C S 26.245700 E 441.370
4 1 S 13.654700 E 1089.110 3 D S 80.368400 E 329.520
4 E S 33.524800 W 155.420
LADO RUM BOS (°)DISTANCIAS
HORIZONT (m)LIGA RUM BOS (°)
DISTANCIASHORIZONT
(m)
1
4
3
2
A
E
D
C
B
207
CAPÍTULO XIV
FRACCIONAMIENTO POR LÍNEAFRACCIONAMIENTO POR LÍNEAFRACCIONAMIENTO POR LÍNEAFRACCIONAMIENTO POR LÍNEA
14.1. INTRODUCCIÓN14.1. INTRODUCCIÓN14.1. INTRODUCCIÓN14.1. INTRODUCCIÓN
El cálculo tipo de una parcela para fraccionamiento en subparcelas
por una l ínea de di rección dada, incorpora conceptos
fundamentales ya uti l izados y apl icados en la solución de varios
problemas topográficos. El éxito depende, fundamentalmente, de
la adopción de las siguientes operaciones ordenadas de cálculo:
Representar gráficamente los datos de partida (aunque el
alumno puede considerar irrelevante esta recomendación, el
éxito en el fraccionamiento está determinado por la
construcción, a escala, de la respectiva representación gráfica)
Comprobar el cierre geométrico y la consis tencia de los datos
Calcular los rumbos de part ida (sí no son los de part ida) y
comprobar el últ imo rumbo por una ruta de cálculo diferente a
su establecimiento.
Compensar y calcular la superficie la parcela o predio.
Fraccionar en dos subparcelas que sumen la superficie de la
parcela o predio.
14.2. LOS DATOS DE PARTIDA14.2. LOS DATOS DE PARTIDA14.2. LOS DATOS DE PARTIDA14.2. LOS DATOS DE PARTIDA
CUADRO N° 14.1. DATOS DE PARTIDA DEL FRACCIONAMIENTO
A B S 66.6484 O 877.800
B C N 33.00256 O 386.550
C D N 4.332480 E 339.550
D E N 69.56512 E 833.020
E A S 19.08664 E 639.720
LADOS RUM BOS (°)DISTANCIAS
(m)
208
b)b)b)b) LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL PREDIOPREDIOPREDIOPREDIO
F IGURA N° 14.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL FRACCIONAMIENTO
4. COMPENSACIÓN DE LA POLIGONAL4. COMPENSACIÓN DE LA POLIGONAL4. COMPENSACIÓN DE LA POLIGONAL4. COMPENSACIÓN DE LA POLIGONAL
a) Cálculo de alejamientos y lati tudes
SUBPREDIO 2: NDEM
SUBPREDIO 1: ABCNM
LÍNEA D
E DIREC
CIÓN C
ONOCID
A, MN =
S 74.12
4800° W
LÍNEA C_
M DE
SCON
OCIDA
, PERO C
OGNO
SCIBL
E
209
CUADRO N° 14.2. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL
FRACCIONAMIENTO
b) Como en cualquier poligonal cerrada, las sumas algebraicas
de los alejamientos y de las lat i tudes debían ser iguales a
cero, porque el levantamiento se inicia y termina en el
mismo punto. No obstante, por los inevitables errores en las
medicines lineales y angulares, estas condiciones casi
nunca se satisfarán exactamente. Los cálculos, indican que:
c) ERROR LINEAL DE CIERRE
FÓRMULA N° 14.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO
2 2LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑
2 2LCE ( 0.008) (1.114) 1.503m= − + =
d) ERROR ANGULAR DE CIERRE
FÓRMULA N° 14.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO
Alej.
ACLat.
ERRORE (tg )
ERROR= α =
AC
0.008E (tg ) 42.152836
1.114−
= α = = °
ESTE OESTE NORTE SUR
A B S 66.6484 O 877.800 0.000 805.899 0.000 347.936
B C N 33.00256 O 386.550 0.000 210.545 324.179 0.000
C D N 4.332480 E 339.550 25.651 0.000 338.580 0.000
D E N 69.56512 E 833.020 780.598 0.000 290.843 0.000
E A S 19.08664 E 639.720 209.187 0.000 0.000 604.552
3,076.640 1,015.436 1,016.444 953.601 952.487
-1.008 1.114
LADOS RUM BOS (°)DISTANCIAS
(m)
LATITUDESALEJA M IENTOS
210
e) Después de determinar los errores lineal y angular de cierre,
la pol igonal debe ser compensada. La operación de
compensar se refiere a la distribución equitat iva y lógica de
las correcciones a los alejamientos y lat itudes, de modo que
sus sumas algebraicas se igualen a cero. Este
procedimiento hará que la poligonal sea una figura
matemáticamente cerrada.
f) El procedimiento que emplearemos es LA REGLA DE LA
BRÚJULA, ésta supone que la calidad de las mediciones
l ineales y angulares es aproximadamente la misma que las
correcciones a los alejamientos y lat i tudes varían en
proporción di recta a la longi tud del lado. Asimismo,
especif ica que la corrección al alejamiento (o la lat i tud) de
un lado es el error total en los alejamientos (o las lat i tudes)
como la longitud del lado es a la longitud de la poligonal.
Por tanto, con referencia al lado AB, la corrección al
alejamiento se calcula con la siguiente relación:
FÓRMULA N° 14.3. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS DEL FRACCIONAMIENTO
Alej.(AB) AB
Alej.
C Lado
E Perímetro=
Alej.(AB)C 877.800m
1.008m 3,076.640m=
−
Alej.(AB)
C 0.288m= −
Asimismo, con referencia al lado AB, la corrección a la
lat i tud se calcula con la s iguiente relación:
FÓRMULA N° 14.4. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LATITUDES DEL
FRACCIONAMIENTO
Lat.(AB) AB
Lat.
C Lado
E Perímetro=
211
Lat.(AB)C 877.800m1.114m 3,076.640m
=
Lat.(AB)
C 0.318m=
g) Las correcciones deben aplicarse en forma apropiada. Así,
para el caso presente, la suma de los alejamientos este es
menor que los alejamientos oeste. Por tanto, las
correcciones a los alejamientos este serán posit ivas, y
negativas a los alejamientos oeste. Asimismo, la suma de
las lati tudes norte es menor que las lati tudes sur. Por
consiguiente, las correcciones a las lati tudes norte serán
pos it ivas, y negativas a las lati tudes sur.
5. 5. 5. 5. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDOSCÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDOSCÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDOSCÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDOS
a) Para calcular los rumbos corregidos, es deci r, uti l izando los
alejamientos y lat i tudes compensadas, se debe APLICAR la
misma ecuación usada para calcular el Error Angular de
Cierre (EAC), así:
FÓRMULA N° 14.5. CÁLCULO DE RUMBOS CORREGIDOS DEL FRACCIONAMIENTO
ABAB AB
AB
Alej.RUMBO (tg )
Lat.= α =
AB AB
805.612RUMBO (tg ) 66.621908
348.254−
= α = = °−
b) Asimismo, las dis tancias corregidas se calculan con la
misma ecuación que uti l izamos para calcular el Error Lineal
de Cierre (ELC
), así:
212
FÓRMULA N° 14.6. CÁLCULO DE DISTANCIAS CORREGIDAS DEL FRACCIONAMIENTO
Distancia CorregidaAB
= DC( AB )
= 2 2Alej Lat+∑ ∑
DC( AB )
= 2 2( 805.612m) ( 348.254m) 877.662m− + − =
c) La tabulación completa es la siguiente:
CUADRO N° 14.3. TABULACIÓN DE RUMBOS Y DISTANCIAS DEL
FRACCIONAMIENTO
6. CÁLCULO DE COORDENADAS6. CÁLCULO DE COORDENADAS6. CÁLCULO DE COORDENADAS6. CÁLCULO DE COORDENADAS
La primera coordenada de una estación de pol igonal, o de
part ida, es igual a cero. Las demás coordenadas se obtienen
mediante la suma algebraica sucesiva de las lati tudes y los
alejamientos compensados con las coordenadas del punto
anterior. Las operaciones ari tméticas quedarán comprobadas sí
las coordenadas del punto de partida, determinadas a part ir del
último punto, quedan iguales a los valores originales dados,
como se muestra en el s iguiente cuadro:
A B S 66.621908 O 877.662
B C N 32.998108 O 386.364
C N N 4.352779 E 69.125
N M N 74.124800 E 942.013
M A S 19.097598 E 320.004
2,595.167
RUM BOSLADO DISTANCIAS
213
CUADRO N° 14.4. TABULACIÓN DE COORDENADAS RELATIVAS DEL
FRACCIONAMIENTO
El procedimiento para calcular el área de cualquier figura
plana cerrada, l imitada por l íneas rectas, es igual a la mitad
de la suma algebraica de los productos de cada ordenada por
la diferencia entre las dos abscisas adyacentes, restando
siempre la abscisa anterior de la siguiente.
Esta regla puede deducirse con facil idad sumando
algebraicamente las áreas de los trapecios formados al
proyectarlas los dos lados de la poligonal sobre un meridiano
de referencia al oeste del terreno. Al aplicar la regla anterior a
la práctica de la topografía, se susti tuyen los términos de
ordenada y abscisa por las coordenadas correspondientes,
ESTE y NORTE.
Ya con estas susti tuciones, usando las letras E y N para
indicar las coordenadas, la regla puede apl icarse de la
siguiente manera: se escriben las coordenadas de cada
vért ice en forma de quebrado, con la abscisa E en el
numerador y la ordenada N en el denominador.
Luego, la serie de quebrados así escri tos se divide mediante
l íneas vert icales interrumpidas. Entonces, se mul tiplica el
primer numerador, E1, por la diferencia entre los dos
denominadores adyacentes, N2 y N7, restando siempre la
abscisa anterior, N7, de la siguiente, N2. Para indicar esta
operación, se escribe el denominador de la última fracción
ALEJAM IENT LATITUDES ESTES NORTES
A B -805.612 -348.254 0.000 0.000
B C -210.418 324.039 -805.612 -348.254
C D 25.762 338.457 -1016.030 -24.215
D E 780.871 290.541 -990.267 314.242
E A 209.397 -604.783 -209.397 604.783
0.000 0.000
LADOSC O R R E C C I O N E S COORDENADAS RELATIVAS
214
situada a la derecha, N7, fuera de la l ínea interrumpida, a la
izquierda del primer quebrado. Igualmente, se escribe el
denominador del primer quebrado, N1, fuera de la l ínea
interrumpida, a la derecha del último quebrado. El arreglo
completo queda como sigue:
Con el fin de determinar el área que encierra la poligonal de
nuestro problema, los quebrados tabulados vert icalmente,
quedan como sigue:
CUADRO N° 14.5. MATRIZ VERTICAL DE COORDENADAS RELATIVAS DEL
FRACCIONAMIENTO
NNNN 5555 604.783
EEEE 1111 NNNN 1111 0.000 0.000
EEEE 2222 NNNN 2222 -805.612 -348.254
EEEE 3333 NNNN 3333 -1016.030 -24.215
EEEE 4444 NNNN 4444 -990.267 314.242
EEEE 5555 NNNN 5555 -209.397 604.783
NNNN 1111 0.000
777777777777777.
7. 7. 7. 7. CÁLCULO DE CÁLCULO DE CÁLCULO DE CÁLCULO DE LA SUPERFICIE DEL PREDIOLA SUPERFICIE DEL PREDIOLA SUPERFICIE DEL PREDIOLA SUPERFICIE DEL PREDIO
El área del predio, tabulada, es:
215
CUADRO N° 14.6. CÁLCULO DE DOBLES ÁREAS Y ÁREA DEL
FRACCIONAMIENTO
8.8.8.8. CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL
SUB_PREDIO 1SUB_PREDIO 1SUB_PREDIO 1SUB_PREDIO 1
a) Teniendo en cuenta que la línea de fraccionamiento
comienza en M que está a la mitad del lado AB del predio y
termina en el N que pertenece al al ineamiento CD.
b) Asimismo, teniendo en cuenta, que la dirección de la línea
de fraccionamiento MN es conocida por haber sido dada; y,
c) Como se desconoce la ubicación de N, al ineamos el punto
M con el vért ice C. Este al ineamiento es desconocido pero
es cognoscible, si lo consideramos como un error de cierre.
d) Así, la representación gráfica y los datos del pol ígono MABC,
son los siguientes:
ESTES NORTES
A B 0.000 0.000 0.000
B C -805.612 -348.254 19,507.740
C D -1016.030 -24.215 -673,115.039
D E -990.267 314.242 -622,876.086
E A -209.397 604.783 65,801.180
-1,210,682.204
ÁREA 605,341.102
LADOSCOORDENADAS RELATIVAS
DOBLES AREAS
216
F IGURA N° 14.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SUBPREDIO 1
CUADRO N° 14.7. MEDIDAS DEL SUBPREDIO 1
LÍNEA C_
M DE
SCON
OCIDA
, PERO C
OGNO
SCIBL
E
S 19.097598° E; 320.004 m
S 66.6
21908° W; 8
77.66
2 m
N 32.998108° W
; 386.364 m
A B S 66.621908 O 877.662
B C N 32.998108 O 386.364
C M
M A S 19.0975978 E 320.004
LADO RUM BOS DISTANCIA
217
CUADRO N° 14.8. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL
SUBPREDIO 1
c) Como cualquier pol igonal cerrada, las sumas algebraicas de
los alejamientos y de las lat i tudes debían ser iguales a cero
porque el levantamiento se inicia y termina en el mismo
punto. Pero en el presente caso no disponemos de las
medidas del lado MC; por lo que, el error l ineal y angular
son, precisamente, las medidas del lado faltante. Los
cálculos, indican que:
d) ERROR LINEAL DE CIERRE DE CF
FÓRMULA N° 14.7. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1
2 2LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑
2 2LCE ( 911.331) ( 326.606) 968.089m= − + − =
e) ERROR ANGULAR DE CIERRE DE CF
FÓRMULA N° 14.8. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1
Alej.
ACAlej.
ERRORE (tg )
ERROR= α =
AC
911.331mE (tg ) 70.283142
326.606m−
= α = = °−
ESTE OESTE NORTE SUR
A B S 66.621908 O 877.662 0.000 805.612 0.000 348.254
B C N 32.998108 O 386.364 0.000 210.418 324.039 0.000
C M 0.000 0.000 0.000 0.000
M A S 19.0975978 E 320.004 104.698 0.000 0.000 302.392
1,584.029 104.698 1,016.030 324.039 650.645
-911.331 -326.606
LADO RUM BOS DISTANCIA ALEJAM IENTOS LATITUDES
218
f ) El error lineal de cierre, 968.089 m es, precisamente, la
longitud de MC y el error angular de cierre, N 70.283142° E,
es su rumbo.
CUADRO N° 14.9. COMPROBACIÓN ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SUBPREDIO 1
g) Seguidamente, representamos el tr iángulo MCN y los datos
conocidos:
FIGURA N° 14.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TRIÁNGULO NMC DEL SUBPREDIO 1
h) En la representación gráfica anterior, como desconocemos
los ángulos internos del tr iángulo MCN, conocemos las tres
ESTE OESTE NORTE SUR
A B S 66.621908 O 877.662 0.000 805.612 0.000 348.254
B C N 32.998108 O 386.364 0.000 210.418 324.039 0.000
C M N 70.2831419 E 968.089 911.331 0.000 326.606 0.000
M A S 19.0975978 E 320.004 104.698 0.000 0.000 302.392
2,552.118 1,016.030 1,016.030 650.645 650.645
0.000 0.000
LADO RUM BOS DISTANCIA ALEJAM IENTOS LATITUDES
RumboM
N = S 74.12
4800° W; Lon
gitud = ?
Rumb
oCM = N
70.28
3142° E; L
ongitud = 968.0
89 m
RCM= N 32.621908° W;
Longitud = ?
219
direcciones del mismo y la longitud de dos de sus lados;
estamos en condiciones de apl icar la Ley de Senos para
conocer las longi tudes que faltan, siempre que conozcamos
los valores de los ángulos internos del Triángulo MCN.
i ) La Ley de senos relaciona, siempre, las longitudes de un
tr iángulo con su respectivo ángulo interno opuesto. Para el
caso del tr iángulo CFG, estas relaciones son:
CUADRO N° 14.10. LEY DE SENOS PARA EL SUBPREDIO 1
C_N N_M M_C
Seno M Seno C Seno N
j ) Para calcular los ángulos internos del triángulo MCN, es
recomendable representarlo gráficamente a escala, así:
FIGURA N° 14.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL
TRIÁNGULO NMC
S 74.124
800° W; Lon
gitud = ?
N 70.2
83142° E; 96
8.089 m
N 4.352779° E
90.000000° - 70.283142° = 19.716858°
C = 90.000000° - (19.716858° + 4.352779°) = 65.930333°
74.124800°
N = 180.000000° - 74.124800° + 4.352779° = 110.227979°
70.283142°
90.000000° - 74.124800° = 15.875200°
M = 90.000000° - 70.283142° - 15.485200° = 3.841658°
220
k) La sumatoria de los ángulos internos del tr iángulo MCN, si
estuvieran bien calculados, deben sumar 180.000000°, como
es en el presente caso.
l ) Seguidamente, reemplazamos los valores de los ángulos
internos de MCN para apl icar la Ley de senos, as í:
m) Obteniendo los valores de los senos y reemplazando la
longitud conocida de MC = 968.089 m, tenemos:
n) Resolviendo las relaciones de la Ley de Senos, las
longitudes de CN y MN, son:
CCCCÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA LLLLONGITUD ONGITUD ONGITUD ONGITUD CNCNCNCN
( )( ) ( )( )CN
SenN MC Sen65.930333 968.089mL 69.625m
SenN Sen3.841658
°= = =
°
CCCCÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA LLLLONGITUD ONGITUD ONGITUD ONGITUD CNCNCNCN
( )( ) ( )( )MN
SenC MC Sen110.227979 968.089mL 942.013m
SenN Sen3.841658
°= = =
°
CALCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE CNM
CN NM CM SUMA
4.352779 74.124800 70.2831419
65.930363 110.227979 3.841658 180.000000
C N M
C N N M M C
sen M sen C sen N
C N N M 968.089
0.066999 0.913050 0.938324
221
o) Ahora lo representamos gráficamente.
FIGURA N° 14.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS MEDIDAS DEL SUBPREDIO 1
p) Si las longitudes de CG y GA son correctas, la figura debe
cerrar perfectamente, así:
CUADRO N° 14.11. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SUBPREDIO 1
S 66.6
21908
° W; 8
77.66
2 m
N 32
.998108
° W; 3
86.364 m
N 4.352779° E;
69.125 m
S 19.097597° E; 3
20.004 m
ESTE OESTE NORTE SUR
N D N 4.352779 E 270.311 20.516 0.000 269.532 0.000
D E N 69.591110 E 833.171 780.871 0.000 290.541 0.000
E M S 19.097598 E 320.004 104.698 0.000 0.000 302.392
M N S 74.124800 O 942.0135 0.000 906.085 0.000 257.681
2,365.499 906.085 906.085 560.073 560.073
0.000 0.000
LADOS RUM BOSALEJAM IENTOS LATITUDES
DISTANCIAS
222
q) Seguidamente, calculamos las coordenadas y la superf icie
del Sub-predio 1.
CUADRO N° 14.12. CÁLCULO DEL ÁREA DEL SUBPREDIO 1
r) Luego, calculamos la superf icie del Sub-predio 2 para
comprobar que las áreas de los dos Sub-predios sumen,
exactamente, el área total del predio.
FIGURA N° 14.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SUBPREDIO 2
S 19.097597° E; 3
20.004 m
N 4. 352779° E;
(339.436 -69.125) = 270. 311 m
223
CUADRO N° 14.13. CÁLCULO DEL ÁREA DEL SUBPREDIO 2
s) Finalmente, presentamos el resumen de superf icies:
CUADRO N° 14.14. RESUMEN DE ÁREAS DEL PREDIO
AREA TOTAL m2 605,341.102
ÁREA SUB PREDIO 1 252,739.881
ÁREA SUB PREDIO 2 352,601.221
ÁREA (1+2) 605,341.102
DIFERENCIA m2 0.000
14.6. PROBLEMAS PROPUESTOS14.6. PROBLEMAS PROPUESTOS14.6. PROBLEMAS PROPUESTOS14.6. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular la superficie y la distancia de la línea de
fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la
l ínea de fraccionamiento MN es S 76.442800° E
DOBLES AREAS
ESTES NORTES
N D N 4.352779 E 270.311 0.000 0.000 0.000
D E N 69.591110 E 833.171 20.516 269.532 11,490.383
E M S 19.097598 E 320.004 801.387 560.073 -9,496.759
M N S 74.124800 O 942.0135 906.085 257.681 -507,473.386
2,365.499 -505,479.762
ÁREA 252,739.881
LADOS RUM BOS DISTANCIASCOORDENADAS RELATIVAS
224
2. Calcular la superficie y la distancia de la l ínea de
fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la
l ínea de fraccionamiento MN es N 69.425400° E
A B S 29.232800 E 204.960
B C S 24.154200 O 850.640
C D N 70.421600 O 678.540
D E N 19.128500 E 821.320
E A S 85.457200 E 620.220
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
A
B
C
D
E
M
N
MN = S 76.442800° E
SUBPARCELA 1
SUBPARCELA 2
225
A B S 19.254800 E 496.330
B C S 68.864700 O 1011.320
C D N 21.462800 O 679.570
D E N 62.425400 E 781.640
E F S 26.364800 E 270.140
F A N 69.362900 E 230.530
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
226
3. Calcular la superficie y la distancia de la l ínea de
fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la
l ínea de fraccionamiento MN es N 89.451200° E
A B N 16.125400 E 263.440
B C N 16.327400 O 348.750
C D N 77.524800 E 1041.480
D E S 6.452400 E 770.080
E A S 87.452400 O 1080.160
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
A
B
D
E
M N
C
MN = N 89.451200° E
SUBPARCELA 1
SUBPARCELA 2
227
4. Calcular la superficie y la distancia de la l ínea de
fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la
l ínea de fraccionamiento MN es S 18.222400° W
A B S 72.329700 E 996.320
B C S 9.452600 O 323.640
C D S 64.362800 E 153.950
D E S 28.426500 O 392.450
E F N 68.954200 O 1140.120
F A N 19.128400 E 660.320
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
MN
= S
18.8
2240
0° W
228
5. Calcular la superficie y la distancia de la línea de
fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la
l ínea de fraccionamiento MN es N 17.225400° E
6. Calcular la superficie y la distancia de la línea de
fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la
l ínea de fraccionamiento MN es S 17.225400° E
A B N 79.235600 W 1373.250
B C N 5.935400 E 634.250
C D S 80.357200 E 349.250
D E N 16.825400 E 217.160
E F S 77.235400 E 1079.150
F A S 12.425400 W 817.540
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
D
C
A
B
F
M
N
E
SUBPARCELA 1
SUBPARCELA 2
229
7. Calcular la superficie y la distancia de la l ínea de
fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la
l ínea de fraccionamiento MN es N 10.622400° E
A B N 79.254800 E 1431.530
B C S 11.241800 E 788.630
C D S 79.124800 W 1139.120
D E N 12.825800 W 251.320
E F S 79.363200 W 340.070
F A N 5.435400 W 542.140
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
MN = S17.225400° E
230
8. Calcular la superficie y la distancia de la l ínea de
fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la
l ínea de fraccionamiento MN es S 10.622400° E
A B S 85.235600 E 1734.230
B C S 8.935400 W 722.650
C D N 87.357200 W 471.270
D E S 42.825400 W 353.120
E F N 81.235400 W 1022.850
F A N 6.425400 E 945.450
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
MN = N
10.622400° E
231
A B N 84.365400 E 1713.350
B C S 5.625800 E 820.250
C D S 87.254700 W 1058.750
D E S 68.365200 W 414.640
E F N 49.954200 W 383.340
F A N 4.664200 W 606.940
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
E
D
C
A
F
M
B
SUBPARCELA 1
SUBPARCELA 2
N
232
CAPÍTULO XV
FRACCIONAMIENTO POR PUNTOSFRACCIONAMIENTO POR PUNTOSFRACCIONAMIENTO POR PUNTOSFRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
15.1. INTRODUCCIÓN15.1. INTRODUCCIÓN15.1. INTRODUCCIÓN15.1. INTRODUCCIÓN
El cálculo tipo de una parcela para fraccionamiento por puntos en
sub_parcelas de igual superficie, incorpora conceptos
fundamentales ya uti l izados y apl icados en la solución de varios
problemas topográficos. El éxito depende, fundamentalmente, de
la adopción de las siguientes operaciones ordenadas de cálculo:
Representar gráficamente los datos de partida (aunque el
alumno puede considerar irrelevante esta recomendación, el
éxito en el fraccionamiento está determinado por la realización
del respectivo gráfico)
Comprobar el cierre geométrico y la consis tencia de los datos
Calcular los rumbos de part ida (s í no son los datos de part ida) y
comprobar el úl timo rumbo por ruta de cálculo diferente a su
establecimiento.
Compensar y calcular la superficie la pol igonal
Fraccionar en dos subparcelas de igual superf icie
15.2. LOS DATOS DE PARTIDA15.2. LOS DATOS DE PARTIDA15.2. LOS DATOS DE PARTIDA15.2. LOS DATOS DE PARTIDA
CUADRO N° 15.1. DATOS DE PARTIDA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
LADOS R U M B O S ( ° ) D ISTANCI AS (m)
A B N 4.234933 W 974.412
B C N 86.467627 E 2055.647
C D S 6.036318 E 1061.057
D A S 88.815788 W 2091.811
233
15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS
FIGURA N° 15.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
15.4.15.4.15.4.15.4. CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL
SUBPREDIO 1SUBPREDIO 1SUBPREDIO 1SUBPREDIO 1
e) Teniendo en cuenta que la l ínea de fraccionamiento
comienza en M (que se encuentra en la mitad del
al ineamiento de AB) y termina en N (en el al ineamiento
de CD).
f) Como se desconoce la ubicación de N, tomamos el
punto N’ ubicado a una distancia estimada de 500.000
m, medido desde D. Así , la figura se convierte en un
nuevo pol ígono de cuatro lados, de los cuales se
desconoce el rumbo y distancia de MN’. Las medidas
faltantes de MN’ lo calculamos como s i fueran errores
l ineal y angular de cierre. La representación gráfica es
234
la siguiente:
FIGURA N° 15.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SUBPREDIO 1 DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
CUADRO N° 15.2. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
c) Como cualquier poligonal cerrada, las sumas
algebraicas de los alejamientos y de las lati tudes debían
ser iguales a cero porque el levantamiento se inicia y
N 4.234933° W
S 6.036318° E
ESTE OESTE NORTE SUR
A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000
M N' 0.000 0.000 0.000 0.000
N' D S 6.036318 E 500.000 52.579 0.000 0.000 497.228
D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231
3079.017 52.579 2127.343 485.876 540.459
-2074.763 -54.583
TOTALES
LADO RUM BOS DISTANCIAA L E J A M I E N T O S L A T I T U D E S
235
termina en el mismo punto. Pero en el presente caso no
disponemos de las medidas del lado MN’; por lo que,
los errores lineal y angular son, precisamente, las
medidas del lado faltante. Los cálculos, indican que:
d) ERROR LINEAL DE CIERRE
FÓRMULA N° 15.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
2 2LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑
2 2LCE ( 2074.763) ( 54.583) 2,075.481m= − + − =
e) ERROR ANGULAR DE CIERRE
FÓRMULA N° 15.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
Alej.
ACAlej.
ERRORE (tg )
ERROR= α =
AC
2,074.763E (tg )
54.583−
= α =−
AC
2.074.763Arctg(tg ) E Arctg( ) N88.492998 E
54.583−
α = = = °−
t ) El error l ineal de cierre, 2,074.481 m es, precisamente,
la longitud de MN’ y el error angular de cierre, N
88.492998° E, es su rumbo. Por lo que procedemos a
calcular el área del pol ígono ABMN’.
236
CUADRO N° 15.3. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL
FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
CUADRO N° 15.4. CÁLCULO DEL ÁREA DEL SUBPREDIO 1 DEL FRACCIONAMIENTO POR
PUNTOS
u) El área de 1,026,099.236 m2 corresponde al pol ígono
ABMN’, es menor en 27,518.989 m2 que el área media
de 1,053,618.226 m2 que le corresponde a la subpredio
1. Por tanto, la posición de N’ se encuentra un poco más
alejada hacia la C de la que habíamos considerado,
estimativamente, de 500.000 m. Esta pequeña distancia,
N’N, se calcula apl icando la misma ecuación
(l igeramente modificada) usada para calcular el área de
un triángulo, así:
ESTE OESTE NORTE SUR
A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000
M N' N 88.492998 E 2075.481 2074.763 0.000 54.583 0.000
N' D S 6.036318 E 500.000 52.579 0.000 0.000 497.228
D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231
5154.499 2127.343 2127.343 540.459 540.459
0.000 0.000
TOTALES
LADO RUM BOS DISTANCIAA L E J A M I E N T O S L A T I T U D E S
ALEJAM IEN. LATITUDES ESTE NORTE
A M -35.978 485.876 0.000 0.000 0.000
M N' 2074.763 54.583 -35.978 485.876 -19,444.812
N' D 52.579 -497.228 2038.785 540.459 -902,456.803
D A -2091.365 -43.231 2091.365 43.231 -1,130,296.858
0.000 0.000 0.000 0.000 -2,052,198.473
ÁREA 1,026,099.236
LADOCOM PENSACIONES DE ALEJ. Y LAT. COORDENADAS
DOBLES AREAS
237
FÓRMULA N° 15.3. CÁLCULO DE LA DISTANCIA NN’ DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
v) Antes de apl icar la ecuación, conocemos la superficie
del pequeño triangulo MN’N (27,518.989 m2), la
distancia de MN’ (2,075.481 m) y solo ignoramos el
valor del ángulo interno de N’ pero disponemos de datos
suficientes para conocerlo. Para faci li tar la observación
de los datos, presentamos a continuación, la figura que
la reproduce:
FIGURA N° 15.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TRIÁNGULO MNN’ DEL SUBPREDIO 1
DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
w) De la ecuación, para calcular NN’, solo requerimos
conocer el valor del ángulo N’ que corresponde al
pequeño tr iángulo MNN’, por lo que procedemos
calcularlo, basándonos en la siguiente f igura:
AD
SUB PREDIO 1
M
N’
S 88.815788° W, 2,091.811 m
N 88.492998° E, 2,0
75.481 m
LADO DE F
RACCIONA
MIENTO
N
27,518.989 m2
1,026,099.236 m2
( )
( )
2 MN'NN 'N
MN ' senN '=
( )
( )
2 MN'NN'N
MN' senN'=
238
FIGURA N° 15.4. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO N’ DEL SUBPREDIO 1 DEL
FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
x) Ahora adicionamos la distancia de NN’, de 26.601 m, a
los 500.000 m estimados (26.601 m + 500.000 m =
526.601 m) y comprobamos si efectivamente se ha
logrado fraccionar la parcela en dos subpredios de igual
superf icie, así:
CUADRO N° 15.5. CÁLCULO DE LA DISTANCIA Y RUMBO DE LA LÍNEA DEL
FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
M
N’
N 88.492998° E, 2,07
5.481 m
LADO DE F
RACCION
AMIENTO
N
1.507002°
88.492998°
NM
' o o o oN 90 6.036318 1.507002 85.470684= − + =
( )
( )
( )( )
22 27.518.989m2 MN'NN'N 26.601m
MN' senN' 2,075.481m sen85.470684= = =
°
ESTE OESTE NORTE SUR
A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000
M N 0.000 0.000 0.000 0.000
N D S 6.036318 E 526.601 55.377 0.000 0.000 523.681
D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231
TOTALES 3105.619 55.377 2127.343 485.876 566.913
-2071.966 -81.037
L A T I T U D E SLADO RUM BOS DISTANCIA
A L E J A M I E N T O S
239
y) ERROR LINEAL DE CIERRE
FÓRMULA N° 15.4. CÁLCULO DE LA DISTANCIA DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
2 2LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑
2 2LCE ( 2071.966) ( 81.037) 2,073.550m′ ′= + =
l ) ERROR ANGULAR DE CIERRE
FÓRMULA N° 15.5. CÁLCULO DEL RUMBO A DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
Alej.
ACLat.
ERRORE (tg )
ERROR= α =
AC
2071.966mE (tg ) N87.760235 E
81.037m−
= α = = °−
CUADRO N° 15.6. COMPROBACIÓN DE LA LÍNEA DE FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
ESTE OESTE NORTE SUR
A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000
M N N 87.760235 E 2073.550 2071.966 0.000 81.037 0.000
N D S 6.036318 E 526.601 55.377 0.000 0.000 523.681
D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231
5179.169 2127.343 2127.343 566.913 566.913
0.000 0.000
TOTALES
L A T I T U D E SLADO RUM BOS DISTANCIA
A L E J A M I E N T O S
240
CUADRO N° 15.7. CÁLCULO DEL ÁREA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
m) Finalmente, el resumen de superf icies del subpredio 1,
se muestran a continuación.
CUADRO N° 15.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS
ÁREA DEL PREDIO 2,107,236.451 m2
ÁREA MEDIA 1,053,618.226 m2
ÁREA DEL SUBPREDIO 1 1,053,618.226 m2
DIFERENCIA 0.000 m2
15.5. 15.5. 15.5. 15.5. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
1. Doña Luisa Andrómeda Al iens propietaria del predio rural "El
Otero Grande" contrata los servicios del topógrafo Juan
Sintierra para que realice el levantamiento y el respectivo
fraccionamiento en dos subpredios de igual área para
legarlos a sus dos hijas. El topógrafo, luego de observar las
ALEJAM IEN. LATITUDES ESTE NORTE
A M -35.978 485.876 0.000 0.000 0.000
M N 2071.966 81.037 -35.978 485.876 -20,396.574
N D 55.377 -523.681 2035.988 566.913 -901,218.568
D A -2091.365 -43.231 2091.365 43.231 -1,185,621.309
0.000 0.000 0.000 0.000 -2,107,236.451
ÁREA 1,053,618.226
DOBLES AREASCOM PENSACIONES DE ALEJ. Y LAT. COORDENADAS
LADOS
241
condiciones del predio y teniendo en cuenta que se encuentra
sembrado de altos naranjos, decide medirlo desde el
exterior, basándose en el pol ígono de apoyo 1234, trazado
fuera de los linderos del predio, desde los que los l iga los
vért ices del predio ABCD.
El topógrafo, asimismo, recibe instrucciones precisas de
doña Andrómeda para iniciar el fraccionamiento en M que se
encuentra, exactamente, a la mitad de B_C y termina en el
punto N que se encuentra en D_A.
Las medidas lineales y angulares del polígono de apoyo
1234 y de las l igas, reportadas por don Juan Sintierra, son:
LADO AZ IMUT ( ° ) D ISTA NCIA (m)
1 2 18.370600 699.410000
2 3 103.123300 937.430000
3 4 196.299700 719.940000
4 1 284.456000 960.850000
LIGA S AZIMUT ( ° ) D I STA NCIA (m)
1 A 34.500000 17.540
2 B 143.550000 16.650
3 C 222.540000 12.870
4 D 321.360000 16.650
CALCULAR:CALCULAR:CALCULAR:CALCULAR:
1. Los rumbos, sin corregir, del polígono de apoyo
2. Los rumbos y distancias, corregidas, del polígono de
apoyo
3. Las coordenadas de apoyo
242
4. Las coordenadas del predio
5. Las medidas (rumbos y dis tancias) del predio
6. El área del predio
7. La distancia de N_A
8. El rumbo y distancia de M_N
9. Las medidas (rumbos y dis tancia del sub_predio 1
2. Una brigada de topografía al mando de don Juan Sintierra es
contratada para fraccionar, en dos sub_parcelas de áreas
iguales, el predio PQRS de propiedad de doña Andrómeda
Al iens quien desea legar como anticipo de herencia a sus dos
hijas. Don Juan, después de observar las condiciones del
predio, que está rodeada de un cerco vivo y que los vért ices
no son intervisibles, decide realizar el levantamiento mediante
la técnica de ligas. Para el lo traza el pol ígono de apoyo
ABCDC dentro de los l inderos del predio y luego, desde cada
uno de los vértices del ABCD, liga los vért ices PQRS del
predio.
Asimismo, don Juan recibe las siguientes instrucciones de la
propietaria:
El fraccionamiento debe comenzar en el punto M que se
encuentra a la mitad de la al ineación QR (éste lado colinda
con una carretera de reciente construcción) y debe
f inal izar en el punto N y compartir un punto de la
al ineación SP y las dos sub_parcelas fraccionadas deben
tener la misma área.
Don Juan, por motivos ajenos, no logra f inal izar el encargo
y deja las siguientes medidas para que cada uno de los
integrantes de la brigada, es decir, us ted; calcule las
medidas de las dos sub_parcelas.
Las coordenadas del polígono de apoyo
243
VÉRTICE COORDENADA S DE A PO YO ( m)
ESTE NORT E
A 0.000 0.000
B -85.977 -515.959
C -1,309.230 -446.357
D -1,254.152 115.319
Las medidas de las l igas
LA DOS R U M B O S DI STANCIA
( m)
A P N 42.325000 E 65.2100
B Q S 48.545000 E 85.2300
C R S 32.545000 O 51.2800
D S N 53.245000 O 45.6400
4. Si us ted recibiera el encargo de fraccionar, en dos
sub_parcelas de áreas iguales, el predio ABCD de propiedad
de doña Luisa Andrómeda quien desea legar como anticipo
de herencia a sus dos hi jas, en trance de casamiento. Doña
Luisa desea que la l ínea de fraccionamiento debe comenzar
desde M que se encuentra, exactamente, a la mitad de la
al ineación AB y que colinda con una carretera de reciente
construcción y deben f inalizar en N que, a su vez, pertenece
a la alineación CD.
Calcular el rumbo y longitud de la línea divisoria part iendo de
las coordenadas del predio que se muestra en el gráfico.
244
LADOS COORD ENADA S
ESTE NORT E
A B 0.0000 0.0000
B C -1,631.2583 188.1121
C D -1,515.6935 896.0357
D A 113.3255 746.0271
SUMA 0.0000 0.0000
5. Doña Luisa Andrómeda Aliens propietaria del predio "Cristal
de Oro" contrata los servicios del topógrafo Juan Sintierra
para que proceda al levantamiento del predio para luego
proceder a la división. Las hijas casaderas, Euterpe y
Cal iope, recibirán los subpredios en condición de herencia.
El las planean instalar sendas Piscigranjas para cultivar
Camarón “Jumbo” y langostinos.
La propietaria conviene con sus hijas, iniciar la división a los
900.00 metros de la al ineación PQ y terminar a los 900.00
metros de la alineación RS.
El topógrafo, luego de observar las condiciones del predio,
decide medirlo basándose en el pol ígono de apoyo y con
l igas a los vért ices. Por ello traza, dentro de los linderos del
predio, el pol ígono de apoyo ABCD y mide las ligas AP, BQ,
CR y DS. El pol ígono de apoyo lo mide util izando la técnica de
tr iangulación.
El azimut de part ida, medido en el lado AB, es de 9.160000°.
Las medidas angulares del pol ígono de apoyo ABCD y de las
l igas, reportadas por Don Juan Sintierra, son:
245
NU M. ÁNGULO
1 37,640000
2 32,240000
3 58,300000
4 53,300000
5 40,120000
6 42,160000
7 43,640000
8 52,840000
LADO RU MBO RU MBO S DISTA NCIA
A P S O 18,840000 234,300
B Q N O 45,300000 201,150
C R N E 61,120000 328,400
D S S E 31,120000 152,100
La base, medida en el lado AE, es de 862.15 metros.
CALCULAR:
1 Los valores de los ángulos corregidos del
pol ígono de apoyo ABCD
2 Los rumbos del pol ígono de apoyo
3 Las distancias perimetrales del pol ígono de
apoyo
4 El error lineal de cierre del polígono de apoyo
5 Las coordenadas de las ligas
6 Los rumbos del predio
7 Las distancias del predio
246
6. Calcular la orientación y distancia de la l ínea de
fraccionamiento MN de la parcela que se muestra para que
las superficies de las subparcelas 1 y 2 sean iguales.
7. Calcular la orientación y distancia de la l ínea de
fraccionamiento MN de la parcela que se muestra para que
las superficies de las subparcelas sean iguales.
A B N 86.324200 E 1,368.250
B C S 3.813300 W 642.350
C D N 88.988100 W 304.520
D E S 15.317100 W 275.240
E F N 85.908700 W 1,049.140
F A N 7.814500 E 745.530
LADO RUM BOS DISTANCIA
LÍNEADEFRACCIONAMIENTO
247
8. Calcular la orientación y distancia de la l ínea de
fraccionamiento MN de la parcela que se muestra para que
las superficies de las subparcelas 1 y 2 sean iguales.
A B N 3.824200 W 616.350
B C S 87.307400 E 888.520
C D S 9.536600 E 231.690
D E S 89.038800 E 272.390
E F S 1.568700 W 407.870
F A N 86.612200 W 1,147.640
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
248
9. Calcular la orientación y distancia de la l ínea de
fraccionamiento MN de la parcela que se muestra para que
las superficies de las subparcelas sean iguales.
A B S 18.624200 W 653.280
B C N 75.216500 W 1,137.450
C D N 13.144900 E 398.950
D E S 76.121840 E 267.420
E F N 25.539000 E 227.840
F A S 76.837800 E 882.470
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
249
A B N 1.524200 E 632.060
B C S 87.770800 E 1,679.850
C D S 5.068700 E 930.240
D E N 88.7926000 W 1,304.060
E F N 12.446600 W 342.070
F A S 89.818800 W 400.270
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
250
CAPÍTULO XVI
TRITRITRITRIAAAANGULACIÓNNGULACIÓNNGULACIÓNNGULACIÓN
11116666.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN
Triangulación es una técnica topográfica para determinar las
posiciones horizontales de puntos sobre la superf icie terrestre. Es
un procedimiento muy eficaz para real izar levantamientos de áreas
extensas porque evita tener que medir las longitudes de todas las
al ineaciones. Un sis tema de triangulación consiste
fundamentalmente en un conjunto de tr iángulos cuyos ángulos se
han medido en forma directa. Los lados cuyas longitudes se miden
se conocen como bases o l íneas base. Los puntos de
levantamiento o estaciones de triangulación se local izan en los
vért ices de los tr iángulos. A part ir de los ángulos y bases medidos,
pueden determinarse sucesivamente, por trigonometría, las
longitudes de todos los demás lados interconectados. Además, se
conocen las coordenadas horizontales de un punto, así como el
azimut de otra estación, es posible calcular las coordenadas de
todos los demás puntos y los acimutes de las l íneas restantes.
Tri lateración es un procedimiento para extender el control
horizontal fundado en la medición directa de las longitudes de
todas las l íneas de una figura geométrica y en el subsecuente
cálculo de los ángulos.
11116666.2. SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN.2. SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN.2. SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN.2. SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN
La tr iangulación logró predominar porque redujo la tediosa y difícil
tarea de medir directamente las distancias con cinta para extender
el control horizontal, sobre todo realizar levantamientos en terreno
accidentado.
En general, la triangulación, suele referirse a redes amplias que
comprenden grandes áreas, l íneas largas, mediciones de precisión
251
y complejos cálculos con sus correspondientes ajustes. Las
ventajas de emplearla para trabajos catastrales y de ingeniería civi l
a nivel local , con frecuencia todavía se desprecian. Cualquier
sistema de triangulación consiste en una serie de tr iángulos
l igados que se añaden o se traslapan.
a) CADENA DE TRIÁNGULOS SENCILLOS
Es un sistema rápido y económico para cubrir una faja de
terreno estrecha como por ejemplo, la cuenca de un río. No es
tan exacta como otros sistemas, y es necesario ir intercalando
bases más cercanas si no se desea que la acumulación de
errores se vuelva excesiva. En este sistema no debe permit irse
ángulos pequeños, de menos de 20°. Los sistemas de
triangulación de alta cal idad no contienen triángulos senci llos
como unidades de una cadena de figuras.
FIGURA N° 16.1. CADENA DE TRIÁNGULOS SENCILLOS
252
b) CADENA DE CUADRILÁTEROS
Los cuadri láteros integran un gran sistema, porque las
longitudes calculadas de los lados pueden irse propagando a
través de los sistemas mediante diferentes combinaciones de
lados y ángulos; se incrementa así la exacti tud de los resultados
y se t ienen frecuentes comprobaciones de los cálculos.
FIGURA N° 16.2. CADENA DE CUADRILÁTEROS
c) CADENA DE FIGURAS DE PUNTO CENTRAL
Si se va a cubrirse una zona amplia con una distribución de
puntos relativamente densa, como en el caso de una gran
triangulación para un área metropoli tana, se util izan f iguras de
punto central
253
FIGURA N° 16.3. CADENA DE FIGURAS DE PUNTO CENTRAL
11116666.3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN .3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN .3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN .3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN
La base fundamental para clasif icar la tr iangulación, es la exacti tud
relativa con la que puede propagarse la posición horizontal entre
dos puntos directamente conectados. La Extensión y propós ito del
levantamiento sirven también para definir los diversos rangos de
trabajo.
En el cuadro, que se muestra a continuación, se tabulan las
normas de exacti tud y las especificaciones generales, en forma
abreviada, como las publ icó el Federal Geodetic Control
Committee en 1974.
254
CUADRO N° 16.1. NORMAS DE EXACTITUD Y LAS ESPECIFICACIONES
GENERALES DE LA TRIANGULACIÓN
PRI MER
ORDEN
SEGUNDO ORDEN TERCER O RDEN
CLA SE I CLASE I I CLASE I CLASE I I
USO PRINC I PAL
RED
PRI MA RIA
NA CIONAL
REFU ERZO
DE LA RED
NACIONAL
COMPLEME
NTO DE LA
RED
NACIONAL
LEV.
LOCA LES
DE
CONT ROL
LEV.
LOCALES
DE
CONT ROL
ERRO R ESTÁ NDA R DE
LA BA SE NO MA YO R
DE
1 PA RTE EN
1 '000,000
1 PA RTE EN
900,000
1 PA RTE EN
800,000
1 PA RTE EN
500,000
1 PA RTE EN
250,000
ERRO R DE CI ERRE DE
UN TRIANGU LO
PRO MEDIO, NO MA YO R
DE
1.0" 1 .2" 2 .0" 3 .0" 5 .0"
ERRO R DE CI ERRE DE
UN TRIANGU LO
MÁXIMO, NO DEBE
EX CEDER DE
3.0" 3 .0" 5 .0" 5 .0" 10.0 "
ERRO R DE C I ERRE
LINEAL, NO MAYO R DE
1 PA RTE EN
100,000
1 PA RTE EN
50,000
1 PA RTE EN
20,000
1 PA RTE EN
10,000
1 PA RTE EN
5,000
11116666.4. RECONOCIMIENTO.4. RECONOCIMIENTO.4. RECONOCIMIENTO.4. RECONOCIMIENTO
Todo trabajo de tr iangulación, incluso de menor magnitud,
usualmente va precedido por un estudio preliminar de campo,
l lamado reconocimiento, encaminado a seleccionar los mejores
sit ios para las estaciones. Los cri terios para determinar la
localización y distribución de las estaciones son la intervis ibi lidad y
la rigidez de la f igura.
Debe comprobarse la intervisibi lidad de las estaciones antes de
iniciar el programa de observación de ángulos. En ciertos casos,
todo lo que se requiere es un aprueba visual de las líneas en la
vis i ta prel iminar al si tio de las estación
255
La rigidez de la figura es el efecto de la forma del tr iángulo sobre
la exacti tud con la que puede calcularse la longitud de un lado. En
cualquier sis tema de triangulación, las longitudes de los lados de
los triángulos se calculan por la ley de los Senos. Los datos
híncales son la longitud medida de una línea, l lamada base, y los
ángulos horizontales en los vértices de los triángulos. Puesto que,
para una incert idumbre dada en el ángulo, los senos de los
ángulos pequeños cambian más rápidamente que los de los
ángulos grandes, es evidente que el error porcentual en el lado
calculado de un tr iángulo será mayor si el lado esta opuesto a un
ángulo pequeño que si esta opuesto a un ángulo más grande. Se
supone que la exacti tud con la que se mide un ángulo es
independiente de su tamaño.
11116666.5. MEDICIONES Y CORRECCIONE.5. MEDICIONES Y CORRECCIONE.5. MEDICIONES Y CORRECCIONE.5. MEDICIONES Y CORRECCIONES DE LAS BASESS DE LAS BASESS DE LAS BASESS DE LAS BASES
En la triangulación es frecuente determinar longitudes de las bases
midiendo, varias veces, directamente con cinta y con ins trumentos
EDM para que la base medida sea lo más precisa posible.
Después de la medición, es necesario calcular y apl icar varias
correcciones a la longitud observada, con el f in de obtener el
mejor valor de la longitud de la base.
Tratándose de una base medida con cinta, es tas correcciones son,
fundamentalmente:
a) Corrección por longitud de la cinta
b) Corrección por temperatura
c) Corrección por pendiente
d) Corrección por catenaria
e) Corrección por reducción a nivel del mar.
Con respecto a la corrección por reducción a nivel del mar,
supóngase que C es la corrección que debe restarse de la longitud
medida, L, que tiene una elevación H sobre el nivel del mar.
256
Entonces, como para un ángulo dado los arcos son proporcionales
a sus respectivos radios, puede escribirse la siguiente relación:
FÓRMULA N° 16.1. CORRECCIÓN DE LA BASE DE LA TRIANGULACIÓN
LHC
R=
Como el valor promedio del radio de la Tierra puede tomarse
6’372,200 m ó 20’906,000 pies
11116666.6. AJUSTE DE.6. AJUSTE DE.6. AJUSTE DE.6. AJUSTE DE ÁNGULOSÁNGULOSÁNGULOSÁNGULOS
Cuando un arco de triangulación está formado por una cadena de
triángulos, el ajuste angular consiste en aplicar a cada ángulo una
corrección igual a un tercio del error de cierre.
En el caso de un cuadri látero, además de satisfacer la CONDICIÓN
GEOMÉTRICA, o sea, que la suma de los ángulos de cada triangulo
se iguale a 180° exactamente, deberá cumplirse también una
CONDICIÓN TRIGONOMÉTRICA. Esta implica una segunda
corrección de los ángulos,
257
11116666.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS
a) El gráfico
FIGURA N° 16.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA TRIANGULACIÓN DE FIGURA DE
PUNTO CENTRAL
b) Los datos
CUADRO N° 16.2. DATOS DE LA FIGURA DE PUNTO CENTRAL
Gr. Min
1 78 15
2 48 36
3 37 32
4 44 54
5 53 48
6 52 15
7 44 36
8 57 54
9 62 48
10 59 15
NUM. ÁNGULO
258
Rumbo de partida, AB = S 3.662400° E.
Base AF = 536.450 metros
c) Al igual que en la tr iangulación de cuadri láteros, como
en este caso, los ángulos internos de la f igura que no
deben contradecir a la ecuación ( )o
ang _ int180 n 2= −∑ , es
decir no debe exceder los 540° por tratarse de un
pol ígono de cinco lados. En el caso de que exista error
por defecto (como el presente) o por exceso, debemos
compensar el pol ígono; restándole a cada ángulo
medido, el error por exceso dividido por diez, que son el
número de ángulos internos medido en el pol ígono, es
decir, 0.116667°/10 = 0.011667°. Los cálculos tabulados
se muestran a continuación
CUADRO N° 16.3. CONVERSIÓN A DECIMALES DE GRADO
d) Para proceder a la compensación trigonométrica de los
ángulos del pol ígono, procedemos a ordenar los
ángulos; primero los pares y luego los impares. A los
Gr. Min
1 78 15 78.250000 78.261667
2 48 36 48.600000 48.611667
3 37 32 37.533333 37.545000
4 44 54 44.900000 44.911667
5 53 48 53.800000 53.811667
6 52 15 52.250000 52.261667
7 44 36 44.600000 44.611667
8 57 54 57.900000 57.911667
9 62 48 62.800000 62.811667
10 59 15 59.250000 59.261667
539.883333 540.000000
0.116667
0.011667
Sumatoria
Defecto
Defecto/10
NUM. ÁNGULO ANGULO
DECIMALCORREC. BANG. COMP.
259
pares les denominaremos ángulos α y a los impares,
ángulos β .
CUADRO N° 16.4. ORDENACIÓN DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES
d) Luego, calculamos los senos de los ángulos ordenados,
lo mult ipl icamos por 100 para evitar logari tmos
negativos, obtenemos sus respectivos logaritmos y
sumamos pares e impares; así:
CUADRO N° 16.5. CÁLCULO DE LOS SENOS DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES
NUM. VALOR
1 78.261667 2 48.611667
2 48.611667 4 44.911667
3 37.545000 6 52.261667
4 44.911667 8 57.911667
5 53.811667 10 59.261667
6 52.261667 1 78.261667
7 44.611667 3 37.545000
8 57.911667 5 53.811667
9 62.811667 7 44.611667
10 59.261667 9 62.811667
540.000000 540.000000
NUM.CORREC. BANG. COMP.
ANG. ORDENADOS
NUM. VALOR SENO ANG. x 100 LOG.x 100
2 48.611667 0.750246 75.024571 1.875204
4 44.911667 0.706016 70.601579 1.848814
6 52.261667 0.790814 79.081422 1.898074
8 57.911667 0.847230 84.723011 1.928001
10 59.261667 0.859511 85.951050 1.934251
1 78.261667 0.979087 97.908692 1.990821
3 37.545000 0.609384 60.938434 1.784891
5 53.811667 0.807081 80.708056 1.906917
7 44.611667 0.702298 70.229802 1.846521
9 62.811667 0.889509 88.950943 1.949151
540.000000 Σ pares (α) 9.484345
Σ impares(β) 9.478301
ANG. ORDENADOS SUMATORIAS DE ANGULOS α y β
260
c) Seguidamente, calculamos las parte proporcionales (pp)
de los ángulos ordenados α y β e incrementados en un
segundo, así.
CUADRO N° 16.6. CÁLCULO DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE LOS SENOS DE LOS
ÁNGULOS PARES E IMPARES
d) Para calcular la corrección unitaria a cada uno de los 10
ángulos del pol ígono uti l izamos la siguiente ecuación:
FÓRMULA N° 16.2. CORRECCIÓN UNITARIA DE LOS ÁNGULOS DE LA TRIANGULACIÓN
Σ pares (α) 9.484345 Σ Di f. Tab.(α ) 0.000008
Σ impares(β ) 9.478301 Σ Di f. Tab.(β) 0.000008
Reemplazando
NUM. VALOR INCR. 1 SEG SENO INC.. x 100 LOG.x 100 DIFERENCIA
2 48.611667 48.611944 0.750249 75.024892 1.875205 0.000002
4 44.911667 44.911944 0.706019 70.601922 1.848817 0.000002
6 52.261667 52.261944 0.790817 79.081719 1.898076 0.000002
8 57.911667 57.911944 0.847233 84.723268 1.928003 0.000001
10 59.261667 59.261944 0.859513 85.951298 1.934252 0.000001
1 78.261667 78.261944 0.979088 97.908790 1.990822 0.000000
3 37.545000 37.545278 0.609388 60.938818 1.784894 0.000003
5 53.811667 53.811944 0.807083 80.708342 1.906918 0.000002
7 44.611667 44.611944 0.702301 70.230147 1.846524 0.000002
9 62.811667 62.811944 0.889512 88.951165 1.949152 0.000001
540.000000 Σ Dif. Tab.(Q) 0.000008
Σ Dif. Tab.(β) 0.000008
ANG. ORDENADOS SUMATORIAS DE LAS PARTES PROPORCIONALES (pp) DE & y β
log.sen( ) log.sen( )C
pp( ) pp( )
α − β=
α + β
∑ ∑∑ ∑
o9.484345 9.478301 0.006044C 0.104255
0.000008 0.000008 0.000016° − °
° = = =+
261
Como la sumatoria de los ángulos pares (α) son mayores
que la sumatoria de los ángulos impares (β ); aplicamos
una corrección unitaria negativa de 0.104255° a los
pares y pos itiva a los impares. El cálculo se muestra en
la siguiente tabla:
CUADRO N° 16.7. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES CORREGIDOS
g) Para calcular las distancias perimetrales del cuadri látero, se
apl ica la Ley de senos. Esta relaciona, básicamente, los
lados de un triángulo con su ángulo opuesto. En
consecuencia, nos permite calcular, una de las longi tudes de
un triángulo, conociendo la longi tud base y al menos 2
ángulos internos adyacentes, tal como se muestra en la
siguiente f igura.
NUM. VALOR
2 48.611667 48.507411
4 44.911667 44.807411
6 52.261667 52.157411
8 57.911667 57.807411
10 59.261667 59.157411
1 78.261667 78.365922
3 37.545000 37.649255
5 53.811667 53.915922
7 44.611667 44.715922
9 62.811667 62.915922
540.000000 540.000000
ANG. ORDENADOS ANGULOSCORREGIDOS
262
FIGURA N° 16.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRIMER TRIANGULO DEL POLÍGONO
11sen
AF
2sen
AB=
m920.572126667.53
807411.44xsen450.536
11sen
2AFxsenAB =
°
°==
Las demás longitudes se muestran en la siguiente tabla.
CUADRO N° 16.8. CÁLCULO DE DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN
LAD_DESCON ANG. OPUEST LAD_CONOC ANG. OPUEST DISTANCIA
A BA BA BA B 11 536.450 2 572.920
B FB FB FB F 1 572.920 11 701.468
B CB CB CB C 12 701.468 4 986.763
C FC FC FC F 3 986.763 12 608.003
C DC DC DC D 13 608.003 6 739.819
D FD FD FD F 5 739.819 13 622.211
D ED ED ED E 14 622.211 8 717.753
E FE FE FE F 7 717.753 14 517.313
E AE AE AE A 15 517.313 10 510.559
A EA EA EA E 9 510.559 15 536.450
COMPROBACION
BASE en el lado AF = 536.450 metros
263
Rumbos y distancias del pol ígono
CUADRO N° 16.9. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN
CUADRO N° 16.10. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN
CUADRO N° 16.11. CÁLCULO DEL ÁREA DE LA TRIANGULACIÓN
A B S 3.662400 E 572.920
B C N 89.819067 O 986.763
C D N 8.542400 O 739.819
D E N 74.584267 E 717.753
F A S 46.139067 E 510.559
LADO R U M B O S DISTANCIAS
ESTE OESTE NORTE SUR
A B S 3.662400 E 572.920 36.597 0.000 0.000 571.750
B C N 89.819067 O 986.763 0.000 986.758 3.116 0.000
C D N 8.542400 O 739.819 0.000 109.894 731.612 0.000
D E N 74.584267 E 717.753 691.930 0.000 190.794 0.000
F A S 46.139067 E 510.559 368.125 0.000 0.000 353.772
3527.8143 1096.652 1096.652 925.521 925.522
0.000 0.000
A L E J A M I E N T O S L A T I T U D E SLADO R U M B O S DISTANCIAS
ANGULOS DISTANCIAS ESTE NORTE
A B -3.662400 572.9198 0.000 0.000 0.000
B C -89.819067 986.7634 36.597 -571.750 -20,810.084
C D -8.542400 739.8191 -950.162 -568.634 -698,110.258
D E 74.584267 717.7529 -1060.055 162.978 -977,800.848
F A -46.139067 510.5591 -368.126 353.772 59,996.355
3527.8143 0.000 0.000 -1,636,724.835
AREA 818,362.418
COORDENADASDOBLES AREAS
MEDIDAS CORREGIDASLADO
264
16.8. PROBLEMAS PROPUESTOS16.8. PROBLEMAS PROPUESTOS16.8. PROBLEMAS PROPUESTOS16.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí
su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 86.224500°
E y la base, de 682.240 metros, ha sido medida en el lado
AG.
NUM. ÁNG ULOS
NUM. ÁNG ULOS
Gr . Min Gr . Min
1 46 58 13 48 12
2 41 54 14 49 12
3 43 15 15 40 18
4 44 45 16 45 36
5 51 18 17 49 42
6 39 42 18 46 24
7 38 24 19 42 24
8 54 24 20 38 15
BASE: 682.240 m
265
2. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí
su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 74.524500°
W y la base, de 518.240 metros, ha s ido medida en el lado
AG.
NUM. ÁNG ULOS
NUM. ÁNG ULOS
Gr . Min Gr . Min
1 47 4 13 47 45
2 43 12 14 49 32
3 42 6 15 40 42
4 44 18 16 45 36
5 51 6 17 50 14
6 41 14 18 45 24
7 40 8 19 41 48
8 51 12 20 39 15
A
B
C
D
E
F
1
23
45
67
8
910
11
12
13
14
15
1617
18
19
20
21
22
23
24
G
H
BASE: 518.240 m
RUMBO DE PARTIDA: S 74.524500° W
266
3. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí
su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es N 13.142400°
E y la base, de 568.180 metros, ha sido medida en el lado
AG.
NUM. ÁNGU LOS
NUM. ÁNGU LOS
Gr . Min Gr . Min
1 40 12 13 42 45
2 46 8 14 43 18
3 53 12 15 43 42
4 41 18 16 41 24
5 44 6 17 47 24
6 49 14 18 43 24
7 43 4 19 45 48
8 43 6 20 52 36
RU
MB
OD
EP
AR
TI D
A: N
13.
142
400°
E
267
4. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí
su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 13.842400°
E y la base, de 695.240 metros, ha sido medida en el lado
AG.
NUM. ÁNG ULOS
NUM. ÁNG ULOS
Gr . Min Gr . Min
1 40 14 13 42 36
2 46 24 14 40 42
3 52 14 15 43 12
4 40 12 16 42 42
5 45 14 17 47 12
6 49 14 18 44 38
7 42 8 19 46 15
8 44 24 20 52 36
BASE
: 695
.240
m
RU
MB
OD
EP
AR
TID
A: S 13
.842
400
° E
268
5. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí
su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 1.234600° W
y la base, de 812.680 metros, ha sido medida en el lado AG.
NUM. ÁNG ULOS
NUM. ÁNG ULOS
Gr . Min Gr . Min
1 42 21 13 42 42
2 42 45 14 51 15
3 51 15 15 42 45
4 42 42 16 42 21
5 39 32 17 43 18
6 50 45 18 47 12
7 47 12 19 50 45
8 43 24 20 39 32
RU
MB
OD
EP
AR
TI D
A: N
0. 4
33
20
0°
E
269
6. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí
su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es N 89.647500°
W y la base, de 725.240 metros, ha s ido medida en el lado
AG.
NUM. ÁNG ULOS
NUM. ÁNG ULOS
Gr . Min Gr . Min
1 40 24 13 49 24
2 38 22 14 48 54
3 47 12 15 38 24
4 49 28 16 41 32
5 40 45 17 46 22
6 45 24 18 48 28
7 51 25 19 46 18
8 46 54 20 40 32
15
16
17
18
19
20
13
14
22
23
24
21
3
45
6
7
8
1 2
10
11
12
9
BASE: 765.090 m
RUMBO DE PARTIDA: N 89.244600° EBA
F
G
E
H
D
C
270
7. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí
su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 8.324500° W
y la base, de 794.520 metros, ha sido medida en el lado AG.
NUM. ÁNG ULOS
NUM. ÁNG ULOS
Gr . Min Gr . Min
1 45 15 13 50 14
2 49 12 14 39 24
3 47 34 15 42 36
4 41 21 16 51 28
5 48 12 17 42 48
6 47 8 18 41 24
7 39 8 19 44 16
8 42 18 20 47 52
BASE
: 803
.250
m
RU
MB
OD
EP
AR
TIDA: N
11.4
33200
° W
271
8. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí
su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es N 84.525400°
W y la base, de 815.540 metros, ha s ido medida en el lado
AG.
NUM. ÁNG ULOS
NUM. ÁNG ULOS
Gr . Min Gr . Min
1 48 24 13 49 52
2 46 16 14 47 45
3 41 45 15 38 14
4 38 32 16 40 26
5 48 45 17 46 32
6 49 28 18 51 18
7 40 32 19 45 24
8 46 26 20 40 28
43
2
1
8
7
6
5
10
9
12
11
14
1320
19
18
17
16
15
21
24
23
22
BASE: 7
18.630 m
A
BC
D
E
F
G H
272
CAPÍTULO XVII
TRILATERACIÓNTRILATERACIÓNTRILATERACIÓNTRILATERACIÓN
17.1. INTRODUCCIÓN17.1. INTRODUCCIÓN17.1. INTRODUCCIÓN17.1. INTRODUCCIÓN
El principio de tri lateración es uti l izado para extender el control
horizontal. Consiste, básicamente, en la medición directa de las
longitudes de los lados de los triángulos y en el subsecuente
cálculo de los ángulos.
Consti tuye una alternativa a la tr iangulación y debe vérsele como
complementaria de los métodos de poligonación y tr iangulación
para proveer control.
Las mismas consideraciones que originaron la adopción de los
métodos de triangulación, o sea, la posibil idad de transferir con
exacti tud las posiciones de puntos sobre terreno accidentado, han
apoyado el empleo de la tr ilateración.
Tanto la triangulación como la tri lateración t ienen en común, la
rigidez de la f igura y la intervisibil idad entre las estaciones.
17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES
Los ángulos se determinan fáci lmente con la ayuda de una
calculadora electrónica, usando la ley de los cosenos. Las
distancias deben estar reducidas a nivel de mar; donde las
distancias a, b y c son los lados de los tr iángulos opuestos a los
ángulos A, B y C, respectivamente.
FÓRMULA N° 17.1. LEY DE COSENOS
bc2
acbAcos
222 −+=
273
La suma de los ángulos calculados deben ser exactamente 180° y
deben considerarse a los ángulos como planos y no esféricos. Sin
embargo, al satisfacer la condición geométrica solo se veri f ica que
el cálculo de los ángulos es correcto. Por ello, debe efectuarse
algunas comprobaciones externas midiendo de vez en cuando
algunos ángulos, comparando acimutes calculados y observados a
lo largo de líneas seleccionadas, y con los errores de cierre de
posición, cando se hagan ligas con otro control de orden igual o
superior.
17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN
Las evaluaciones confirman la conveniencia de la ut i l ización de la
tri lateración para extender el control horizontal, s iempre y cuando
se respeten las recomendaciones de la configuración geométrica y
de las longitudes de las l íneas.
También puede considerársele como un auxi l iar para la
triangulación. Sin embargo, cuando se trata de redes de pequeñas
f iguras, la tri lateración aventaja a la tr iangulación por la notable
faci lidad y rapidez con que pueden tomarse mediciones muy
precisas de distancias con instrumentos de lectura automática, en
comparación con el trabajo que representa hacer observaciones de
ángulos.
274
17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS
a) El gráfico y las mediciones de los lados del sistema
FIGURA N° 17.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SISTEMA TRILATERADO
CUADRO N° 17.1. MEDIDAS DEL SISTEMA TRILATERADO
LADO DI STA NCIA
(m) LADO
DI STANCIA
( m)
AB 720.82 BG 576.61
BC 759.90 CG 533.79
CD 785.85 FG 432.12
DE 819.45 CF 815.82
EF 800.30 FH 656.50
FA 718.14 CH 603.59
AG 617.77 DH 499.49
EH 533.74
275
b) Representación gráfica del triángulo ABG
F IGURA N° 17.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRIMER TRIÁNGULO
TRILATERADO
d) Las ecuaciones de la Ley de Cosenos para los tres ángulos
internos del tr iángulo ABG
FÓRMULA N° 17.2. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO A CON LA LEY DE COSENOS
bg2
agbAcos
222 −+=
FÓRMULA N° 17.3. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO B CON LA LEY DE COSENOS
ag2
bgaBcos
222 −+=
1
2
11
b = AG = 620.290 m
276
FÓRMULA N° 17.4. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO C CON LA LEY DE COSENOS
ab2
gbaGcos
222 −+=
e) Reemplazando en las ecuaciones con los valores medidos en
campo y reportados en la tabla.
°=−+
=−+
= 312182.50)820.720)(770.617(2
610.576820.720770.617
bg2
agbAcos
222222
°=−+
=−+
= 534480.55)820.720)(610.576(2
770.617820.720610.576
ag2
bgaBcos
222222
°=−+
=−+
= 153338.74)770.617)(610.576(2
820.720770.617610.576
ab2
gbaGcos
222222
e) Si los cálculos son correctos la sumatoria de los tres ángulos
internos deben sumar, exactamente, 180°.
CUADRO N° 17.2. COMPROBACIÓN DE LOS ÁNGULOS INTERNOS
VÉRTICE Á NGULO
A 50.312182°
B 55.534480°
G 74.153338°
180.000000°
f) Los valores de los demás triángulos, son:
277
CUADRO N° 17.3. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SEGUNDO
TRIÁNGULO
SEGUNDO TRI ÁNGULO: BCG
LADOS DI STANCIA
( m) NÚM VÉRT ICE ÁNGULOS ( ° )
BC 759.900 3 B 44.504549
CG 533.790 4 C 49.217671
GB 576.610 12 G 86.277781
180.000000
CUADRO N° 17.4. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL TERCER
TRIÁNGULO
TERC ER T RIÁNGULO: CFG
LADOS DI STANCIA
( m) NÚM VÉRT ICE ÁNGULOS ( ° )
CF 815.820 5 C 28.725585
FG 432.120 6 F 36.419668
GC 533.790 13 G 114.854747
180.000000
CUADRO N° 17.5. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL CUARTO
TRIÁNGULO
CU ARTO TRI ÁNGULO: FA G
LADOS DI STANCIA
( m) NÚM VÉRT ICE ÁNGULOS ( ° )
FA 718.140 7 F 58.875309
AG 617.770 8 A 36.783219
GF 432.120 14 G 84.341473
180.000000
278
CUADRO N° 17.6. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL QUINTO
TRIÁNGULO
QUI NTO TRIÁ NGULO: FCH
LADOS DI STANCIA
( m) NÚM VÉRT ICE ÁNGULOS ( ° )
FC 815.820 15 F 46.875811
CH 603.590 16 C 52.547112
HF 656.500 23 H 80.577077
180.000000
CUADRO N° 17.7. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SEXTO
TRIÁNGULO
SEXTO TRIÁNGULO: CDH
LADOS DI STANCIA
( m) NÚM VÉRT ICE ÁNGULOS ( ° )
CD 785.850 17 C 39.463941
DH 499.490 18 D 50.179813
HC 603.590 24 H 90.356247
180.000000
CUADRO N° 17.8. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SÉPTIMO
TRIÁNGULO
SÉPT IMO TRIÁNGULO: DEH
LADOS DI STANCIA
( m) NÚM VÉRT ICE ÁNGULOS ( ° )
DE 819.450 19 D 39.008064
EH 533.740 20 E 36.088869
HD 499.490 25 H 104.903067
180.000000
279
CUADRO N° 17.9. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL ÚLTIMO
TRIÁNGULO
ÚLTI MO TRI ÁNGULO: EFH
LADOS DI STANCIA
( m) NÚM VÉRT ICE ÁNGULOS ( ° )
EF 800.300 21 E 54.642456
FH 656.500 22 F 41.533246
HE 533.740 26 H 83.824298
759.900 180.000000
g) Los ángulos internos del predio ABCDEF, son:
CUADRO N° 17.10. ÁNGULOS INTERNOS DEL SISTEMA TRILATERADO
VÉRTICE ÁNGULO ( °)
A 87.09540
B 100.03903
C 169.95431
D 89.18788
E 90.73132
F 183.70403
SUMA 720.71197
280
FIGURA N° 17.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO TRILATERADO
h) Los ángulos internos corregidos, geométricamente, del predio
ABCDEF, son:
CUADRO N° 17.11. ÁNGULOS INTERNOS CORREGIDOS DEL SISTEMA TRILATERADO
VÉRTICE ÁNG ULO ( ° )
A 86.976739
B 99.920366
C 169.835647
D 89.069215
E 90.612662
F 183.585372
SU MA 720.000000
281
i ) Los rumbos y distancias, part iendo del rumbo de part ida AB
= N 5.232600° E, del predio ABCDEF, son:
CUADRO N° 17.12. RUMBOS Y DISTANCIAS DEL SISTEMA TRILATERADO
LADOS R U M B O S ( ° ) D ISTANCIAS (m)
A B N 5.232600 E 720.820
B C N 85.312234 E 759.900
C D S 84.523413 E 785.850
D E S 6.407373 O 819.450
E F N 84.205289 O 800.300
F A N 87.790662 O 718.140
TOTAL 4604.460
j ) Los alejamientos y lati tudes del predio ABCDEF, son:
CUADRO N° 17.13. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SISTEMA TRILATERADO
LA DO R U M B O S DIS TA NCI A ALEJAMIENT OS LA TI TUDES
ESTE OESTE N ORTE SUR
A B N 5.232600 E 720.820 65.738 0.000 717.816 0.000
B C N 85.312234 E 759.900 757.358 0.000 62.103 0.000
C D S 84.523413 E 785.850 782.263 0.000 0.000 75.001
D E S 6.407373 O 819.450 0.000 91.448 0.000 814.331
E F N 84.205289 O 800.300 0.000 796.210 80.802 0.000
F A N 87.790662 O 718.140 0.000 717.606 27.685 0.000
4604.460 1605.359 1605.265 888.406 889.332
0 .094 -0.926
282
k) Los alejamientos y lat i tudes compensados del predio ABCDEF,
son:
CUADRO N° 17.14. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES COMPENSADOS DEL SISTEMA
TRILATERADO
LAD O R U M B O S D IS TA NCI A C OMPENSACIONES
ALEJA MIEN. LA TIT UD ES
A B N 5.232600 E 720.820 65.723 717.961
B C N 85.312234 E 759.900 757.342 62.256
C D S 84.523413 E 785.850 782.247 -74.843
D E S 6.407373 O 819.450 -91.465 -814.167
E F N 84.205289 O 800.300 -796.227 80.963
F A N 87.790662 O 718.140 -717.621 27.829
4604.460 0.000 0.000
l ) Las medidas corregidas, las coordenadas, las dobles áreas y
el área del predio, ABCDEF, son:
CUADRO N° 17.15. ÁREA DEL SISTEMA TRILATERADO
LADO R U M B O S ( ° ) DISTAN CIAS
(m )
CO ORDENA DAS D OBLES ÁRE AS
ESTE NOR TE
A B N 5.230380 E 720.963 0.000 0.000 0.000
B C N 85.300654 E 759.897 65.723 717.961 51,278.555
C D S 84.534771 E 785.818 823.066 780.217 -10,359.524
D E S 6.409826 O 819.288 1605.313 705.375 -1,427,137.750
E F N 84.193945 O 800.333 1513.848 -108.792 -1,067,829.717
F A N 87.779193 O 718.160 717.621 -27.829 78,071.414
TOTAL 4604.460 0.000 0.000 -2,375,977.022
Área (m2) 1,187,988.511
283
17.5. PROBLEMAS PROPUESTOS17.5. PROBLEMAS PROPUESTOS17.5. PROBLEMAS PROPUESTOS17.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí
el rumbo de partida, medido en el lado AB, es N 22.124800°
E
LADO DI STA NCIAS
( m)
A B 586.240
B C 685.320
C D 724.080
D E 651.270
E F 710.540
F A 653.080
A G 552.390
B G 502.640
C G 448.640
F G 356.270
C F 665.980
F H 572.640
C H 512.320
D H 438.210
E H 432.150
284
2. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí
el rumbo de partida, medido en el lado AB, es S 81.324500°
E
RUMBODEPARTIDA: N 22.124800° E
LADO DI STA NCIAS
( m)
A B 1247.70
B C 1156.90
C D 1228.00
D E 1122.60
E F 1074.30
F A 1132.60
A G 804.20
B G 873.10
C G 884.60
D G 840.80
D A 1175.10
285
3. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí
el rumbo de partida, medido en el lado AB, es N 14.524800°
E
D H 741.90
E H 839.00
F H 885.90
A H 740.10
LADO DI STA NCIAS
( m)
A B 855.50
B C 1057.10
C D 1063.20
D E 960.70
286
4. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí
el rumbo de partida, medido en el lado AB, es S 82.124800°
W
RUMBODEPARTIDA: N14.524800° E
E F 1112.60
F A 971.90
A G 826.30
B G 754.10
C G 672.90
F G 562.20
F A 1031.60
F H 868.90
C H 791.20
D H 648.30
E H 648.20
287
E
F
A
B
C
D
1
23
45
67
8
910
1112
13
1415
1617
1819
20
21
22
23
24
G
H
RUMBO DE PARTIDA: S 82.
124800° W
LADO DI STA NCIAS
( m)
A B 1087.950
B C 858.270
C D 1069.780
D E 971.050
E F 800.570
F A 984.510
A G 663.570
B G 733.220
C G 702.690
D G 696.580
D A 915.980
D H 600.110
E H 706.140
F H 708.530
A H 605.780
288
5. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí
el rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 1.722300° E
LADODISTANCIAS
(m)
A B 1074.040
B C 973.940
C D 1038.520
D E 1196.540
E F 1034.860
F A 943.630
A G 848.640
B G 801.750
C G 735.840
F G 627.580
C F 1195.630
F H 884.520
C H 850.640
D H 690.570
E H 761.240RUMBODEPARTIDA: S 1.722300° E
289
6. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí
el rumbo de partida, medido en el lado AB, es S 85.522400°
E
LADODISTANCIAS
(m)
A B 1256.570
B C 1129.240
C D 1220.630
D E 1132.560
E F 1055.640
F A 1126.520
A G 811.670
B G 867.540
C G 870.280
D G 835.270
D A 1171.630
D H 750.640
E H 833.510
F H 873.420
A H 736.540
290
7. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí
el rumbo de part ida, medido en el lado AB, es N 9.622300° E
LADODISTANCIAS
(m)
A B 912.930
B C 827.840
C D 882.740
D E 1017.050
E F 879.630
F A 802.150
A G 721.340
B G 681.480
C G 625.460
F G 533.440
C F 1016.380
F H 751.840
C H 723.040
D H 586.980
E H 647.050
RUMBO
DEPARTIDA: N9. 622300° E
291
8. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí
el rumbo de partida, medido en el lado AB, es S 87.722400°
W
LADODISTANCIAS
(m)
A B 954.990
B C 858.220
C D 927.670
D E 860.740
E F 802.280
F A 856.550
A G 616.860
B G 659.330
C G 661.410
D G 634.860
D A 890.420
D H 570.480
E H 633.460
F H 663.790
A H 559.770
292
CAPÍTULO XVII I
LEVANTAMIENTOS COMBINADOSLEVANTAMIENTOS COMBINADOSLEVANTAMIENTOS COMBINADOSLEVANTAMIENTOS COMBINADOS
18.1. INTRODUCCIÓN18.1. INTRODUCCIÓN18.1. INTRODUCCIÓN18.1. INTRODUCCIÓN
Un sistema múltiple cons iste fundamentalmente en un conjunto de
triángulos, cuadriláteros y pol ígonos triangulados o tri laterados que
deben calcularse independientemente para luego ser integrados en
el s istema; cuyos ángulos, bases o distancias se han medido en
forma directa. Es un procedimiento muy eficaz para realizar
levantamientos de áreas extensas porque evita tener que medir las
longitudes de todas las al ineaciones (tr iangulación) o los ángulos
internos (tri lateración). Los puntos de levantamiento o estaciones
de tr iangulación o de tr i lateración se localizan en los vért ices de
los tr iángulos. A part ir de los ángulos y bases medidos, se
determinan sucesivamente, por tr igonometría, las longitudes de
todos los demás lados interconectados.
11118888.2. .2. .2. .2. CÁLCULOCÁLCULOCÁLCULOCÁLCULO DEL SISTEMADEL SISTEMADEL SISTEMADEL SISTEMA COMBINADOCOMBINADOCOMBINADOCOMBINADO
FIGURA N° 18.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO COMBINADO
293
CUADRO N° 18.1. MEDIDAS DEL SISTEMA COMBINADO
CUA DRILÁTERO PQRWCUA DRILÁTERO PQRWCUA DRILÁTERO PQRWCUA DRILÁTERO PQRW
NUM. ÁNGU LO
G rados Minu tos
1 33 24
2 36 52
3 51 35
4 58 41
5 36 28
6 31 14
7 56 36
8 54 38
Rumbo de partida: PQ = N 5.245000° W.
Base: AC = 1,038.240 metros
CUADRO N° 18.2. MEDIDAS DEL POLÍGONO COMBINADO
POLÍGONO WRSXV
NUM. Á NGULO
Grad os Minu tos
9 41 38
10 36 42
11 49 35
12 59 26
13 49 17
14 55 42
15 71 12
294
16 49 53
17 57 51
18 69 24
CUADRO N° 18.3. MEDIDAS DEL PRIMER TRIÁNGULO COMBINADO T RIÁNGU LO T RILATERA DO VXU
LADOS DI STA NCIAS (m)
VX 504.540
XU 782.230
UV 919.420
CUADRO N° 18.4. MEDIDAS DEL SEGUNDO TRIÁNGULO COMBINADO
T RIÁNGU LO T RILATERA DO U XT
LADOS DI STA NCIAS (m)
UX 782.230
XT 754.680
TU 943.520
CUADRO N° 18.5. MEDIDAS DEL TERCER TRIÁNGULO COMBINADO
T RIÁNGU LO T RILATERA DO X ST
LADOS DI STA NCIAS (m)
XS 572.640
ST 768.820
TX 754.680
Teniendo en cuenta la f igura debemos establecer la siguiente
estrategia para resolverlo:
a) Cálculo del cuadri látero PQRW
b) Cálculo del pol ígono WRSXV
c) Cálculo de los tres triángulos tr i laterados
295
d) Integración de las cinco figuras básicas para determinar las
medidas del polígono de apoyo, PQRSTUVW.
e) Cálculo de las ligas del pol í fono de apoyo hacia los vért ices del
predio
f) Cálculo de las medidas del predio ABCD
g) Fraccionamiento del predio en dos subpredios de igual área.
TRIANGULACIÓN DEL CUADRILÁTERO PQRWTRIANGULACIÓN DEL CUADRILÁTERO PQRWTRIANGULACIÓN DEL CUADRILÁTERO PQRWTRIANGULACIÓN DEL CUADRILÁTERO PQRW
a) LA FIGURA
FIGURA N° 18.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CUADRILÁTERO COMBINADO
BASE, WQ = 1,038.240 m
296
b) LOS DATOS
CUADRO N° 18.6. MEDIDAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO
NU M. ÁNGULO ÁNGULO
DECI MA L Grados Minu tos
1 33 24 33.400000
2 36 52 36.866667
3 51 35 51.583333
4 58 41 58.683333
5 36 28 36.466667
6 31 14 31.233333
7 56 36 56.600000
8 54 38 54.633333
TOTAL 359.466667
e) Compensando los ángulos internos de la f igura que no deben
contradecir a la ecuación ( )o
ang _ int180 n 2= −∑ , es decir no debe
exceder los 360° por tratarse de un cuadri látero. En error
existente por defecto, se compensa sumándole a cada ángulo
medido, el error por defecto dividido por ocho, que son el
número de ángulos internos medido en el cuadri látero, es
deci r, 0.533333°/8 = 0.0666667°. Los cálculos tabulados se
muestran a continuación
CUADRO N° 18.7. CORRECCIÓN DE MEDIDAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO
NUM. Á NGULO ÁNGULO
DECI MAL
CORREC. B
ANG. CO MP. Gr . Min .
1 33 24 33.400000 33.466667
2 36 52 36.866667 36.933333
3 51 35 51.583333 51.650000
297
4 58 41 58.683333 58.750000
5 36 28 36.466667 36.533333
6 31 14 31.233333 31.300000
7 56 36 56.600000 56.666667
8 54 38 54.633333 54.700000
SU MA 359.466667 360.000000
DEFECTO 0.533333
DEFECTO/8 0.06666667
f) Por tratarse de un cuadrilátero, cuyos vért ice se han unido con
diagonales, también, debe satisfacer la condición de igualdad
de pares opuestos, es decir, 1 2 5 6+ = + y 3 4 7 8+ = + .
Reemplazando, primero en 1 2 5 6+ = + :
70.400000° = 67.833333°
Hay una diferencia de 2.566667° en la suma de los pares
opuestos. Para compensarlo, procedemos a dividir el error
entre el número de ángulos (4), así : 2.566667°/4 = 0.641667°.
Por lo tanto, como la suma de 1 + 2 es mayor; se apl ica una
corrección de -0.641667° a los ángulos 1 y 2; y, de +0.566667°
a los ángulos 5 y 6.
Asimismo, reemplazando en 3 4 7 8+ = + :
110.400000° = 111.366667°
Ahora la diferencia es de 0.966667° en la suma de los pares
opuestos. Para compensarlo, también, procedemos a dividir el
error entre el número de ángulos (4), así: 0.966667°/4 =
0.241667°. Por consiguiente, teniendo en cuenta que la suma
de 3 + 4 es menor se aplica una corrección de +0.241667° a
los ángulos 3 y 4; y, de -0.241667° a los ángulos 7 y 8.
298
La tabulación es la siguiente:
CUADRO N° 18.8. CORRECCIÓN DE PARES OPUESTOS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO
g) Para proceder a la compensación trigonométrica de los
ángulos del cuadri látero, procedemos a ordenar los ángulos;
primero los pares y luego los impares. A los pares les
denominaremos ángulos α y a los impares, ángulos β .
CUADRO N° 18.9. ORDENACIÓN EN ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO
COMBINADO
NÚM. CORREC. C
ÁNG. COMP.
Á NG. ORDENADO S
NÚM. VALO RES
1 32.825000 2 36.291667
2 36.291667 4 58.991667
3 51.891667 6 31.941667
4 58.991667 8 54.458333
5 37.175000 1 32.825000
1 33.400000 33.466667 1+2 5+6 32.825000
2 36.866667 36.933333 70.400000 67.833333 36.291667
3 51.583333 51.650000 DIFERENCIA 2.566667 51.891667
4 58.683333 58.750000 DIF/4 -0.641667 58.991667
5 36.466667 36.533333 3+4 7+8 37.175000
6 31.233333 31.300000 110.400000 111.366667 31.941667
7 56.600000 56.666667 DIFERENCIA -0.966667 56.425000
8 54.633333 54.700000 DIF/4 0.241667 54.458333
359.466667 360.000000 360.000000
ÁNGULODECIM AL
NUM .CORREC. B
ÁNG. COM P.SUM A DE LOS PARES
OPUESTOS DE ÁNGULOSCORREC. C
ÁNG. COM P.
299
6 31.941667 3 51.891667
7 56.425000 5 37.175000
8 54.458333 7 56.425000
360.000000 360.000000
h) Luego, calculamos los senos de los ángulos ordenados, lo
mult ipl icamos por 100 para evitar logari tmos negativos,
obtenemos sus respectivos logaritmos y sumamos pares e
impares; así:
CUADRO N° 18.10. CÁLCULO DE SENOS DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL
CUADRILÁTERO COMBINADO
i ) Seguidamente, calculamos las parte proporcionales (pp) de
los ángulos ordenados α y β e incrementados en un
segundo, así.
NÚM . VALORES SENO ANG. x 100 LOG_1
2 36.291667 0.591896 59.189595 1.772245
4 58.991667 0.857092 85.709238 1.933028
6 31.941667 0.529056 52.905558 1.723501
8 54.458333 0.813693 81.369300 1.910461
1 32.825000 0.542075 54.207492 1.734059
3 51.891667 0.786845 78.684527 1.895889
5 37.175000 0.604252 60.425151 1.781218
7 56.425000 0.833163 83.316262 1.920730
360.000000 Σ pares α 7.339235
Σ impares β 7.331896
SUM ATOIAS DE ANGULOS α y βANG. ORDENADOS
300
CUADRO N° 18.11. CÁLCULO DE SENOS DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE LOS
ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO COMBINADO
h) Para calcular la corrección unitaria a cada uno de los 8 ángulos
del cuadrilátero uti l izamos la siguiente ecuación:
FÓRMULA N° 18.1. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN UNITARIA DE ÁNGULOS DEL
CUADRILÁTERO COMBINADO
Σ pares (α) 7.339235 Σ Dif. Tab. (α) 0.000009
Σ impares(β ) 7.331896 Σ Dif. Tab. (β ) 0.000009
Reemplazando
Como la sumatoria de los ángulos pares (α) son mayores que
la sumatoria de los ángulos impares (β ); aplicamos una
NÚM . VALORES INCR. 1 SEG SENO INC.. x 100 LOG_2 DIFERENCIA
2 36.291667 36.291944 0.591900 59.18999 1.772248 0.000003
4 58.991667 58.991944 0.857095 85.70949 1.933029 0.000001
6 31.941667 31.941944 0.529060 52.90597 1.723505 0.000003
8 54.458333 54.458611 0.813696 81.36958 1.910462 0.000002
1 32.825000 32.825278 0.542079 54.20790 1.734063 0.000003
3 51.891667 51.891944 0.786848 78.68483 1.895891 0.000002
5 37.175000 37.175278 0.604255 60.42554 1.781221 0.000003
7 56.425000 56.425278 0.833165 83.31653 1.920731 0.000001
360.000000 Σ Dif. Tab. Α 0.000009
Σ Dif. Tab.b 0.000009
SUM ATORIAS DE LAS PARTES PROPORCIONALES (pp) DE α y βANG. ORDENADOS
log.sen( ) log.sen( )C
pp( ) pp( )
α − β=
α + β
∑ ∑∑ ∑
oseg
7.339235 7.331896 0.007339C 0.112605
0.000009 0.000009 0.000018−
= = =+
301
corrección unitaria negativa de 0.112605° a los pares y posit iva
a los impares. El cálculo se muestra en la siguiente tabla:
CUADRO N° 18.12. CORRECCIÓN DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO
COMBINADO
i ) Para calcular las distancias perimetrales del cuadri látero, se
apl ica la Ley de senos. Esta relaciona, básicamente, los lados
de un tr iángulo con su ángulo opuesto. En consecuencia, nos
permite calcular, una de las longitudes de un triángulo,
conociendo la longitud base y al menos 2 ángulos internos
adyacentes.
NÚM . VALORES
2 36.291667 36.179062
4 58.991667 58.879062
6 31.941667 31.829062
8 54.458333 54.345729
1 32.825000 32.937605
3 51.891667 52.004271
5 37.175000 37.287605
7 56.425000 56.537605
360.000000 360.000000
ÁNGULOSCORREGIDOS
ANG. ORDENADOS
302
CUADRO N° 18.14. CÁLCULO DE DISTANCIAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO
TRIANGULACIÓN DEL POLÍGONO WRSXVTRIANGULACIÓN DEL POLÍGONO WRSXVTRIANGULACIÓN DEL POLÍGONO WRSXVTRIANGULACIÓN DEL POLÍGONO WRSXV
c) El gráfico
F IGURA N° 18.3. REPRESENTACIÓN DEL POLÍGONO COMBINADO
LAD_DESCON ANG. OPUEST LAD_CONOC ANG. OPUEST DISTANCIA
WP sen 2 1038.24 sen 1+8 613.574
PQ sen 7 613.5738 sen 2 867.124
QR sen 1 867.1241 sen 4 550.741
RW sen 3 550.7410 sen 6 822.954
WQ sen 4+5 822.9540 sen 3 1038.240
COMPROBACIÓN
DISTANCIAS DEL CUADRILÁTERO PQRW
BASE en el lado WQ = 1,038.240 metros
R
S
VW
Y
9
10
11
1213
14
15
1617
18
19
2021
2223
X
303
d) Los datos
CUADRO N° 18.15. CÁLCULO DE DECIMALES DE GRADO DEL POLÍGONO COMBINADO
e) Al igual que en la triangulación de cuadri láteros, como en este
caso, los ángulos internos de la f igura no deben contradecir a
la ecuación ( )∑ −=int_ang
o n 2180 , es decir no debe exceder los 540°
por tratarse de un pol ígono de cinco lados. En el caso de que
exista error por exceso (como el presente) compensamos el
pol ígono; restándole a cada ángulo medido, el error por
exceso dividido por diez, que son el número de ángulos
internos medido en el pol ígono, es decir, 0.666667°/10 =
0.066667°. Los cálculos tabulados se muestran a continuación
GRADOS M INUTOS
9 41 38 41.633333
10 36 42 36.700000
11 49 35 49.583333
12 59 26 59.433333
13 49 17 49.283333
14 55 42 55.700000
15 71 12 71.200000
16 49 53 49.883333
17 57 51 57.850000
18 69 24 69.400000
ÁNGULONÚM .
ÁNGULODECIM AL
304
CUADRO N° 18.16. CORRECCIÓN GEOMÉTRICA DEL POLÍGONO COMBINADO
e) Para proceder a la compensación trigonométrica de los
ángulos del polígono, procedemos a ordenar los ángulos;
primero los pares y luego los impares. A los pares les
denominaremos ángulos α y a los impares, ángulos β.
GRADOS M INUTOS
9 41 38 41.633333 41.566667
10 36 42 36.700000 36.633333
11 49 35 49.583333 49.516667
12 59 26 59.433333 59.366667
13 49 17 49.283333 49.216667
14 55 42 55.700000 55.633333
15 71 12 71.200000 71.133333
16 49 53 49.883333 49.816667
17 57 51 57.850000 57.783333
18 69 24 69.400000 69.333333
540.666667 540.000000
-0.666667
ÁNGULONÚM .
ÁNGULODECIM AL
CORRECIÓNGEOM ÉTRICA
305
CUADRO N° 18.17. ORDENACIÓN EN ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO
COMBINADO
f ) Luego, calculamos los senos de los ángulos ordenados, lo
mult ipl icamos por 100 para evi tar logari tmos negativos,
obtenemos sus respectivos logaritmos y sumamos pares e
impares; así :
NÚM. VALOR
9 41.566667 10 36.633333
10 36.633333 12 59.366667
11 49.516667 14 55.633333
12 59.366667 16 49.816667
13 49.216667 18 69.333333
14 55.633333 9 41.566667
15 71.133333 11 49.516667
16 49.816667 13 49.216667
17 57.783333 15 71.133333
18 69.333333 17 57.783333
540.000000 540.000000
NÚM .CORRECIÓN
GEOM ÉTRICA
ÁNGULOS ORDENADOS
306
CUADRO N° 18.18. CÁLCULO DE SENOS DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO
COMBINADO
f ) Seguidamente, calculamos las parte proporcionales (pp) de los
ángulos ordenados α y β e incrementados en un segundo,
así.
NÚM . VALOR SENO ÁNG. x 100 LOG.x 100
10 36.633333 0.596692 59.669183 1.775750
12 59.366667 0.860446 86.044573 1.934723
14 55.633333 0.825442 82.544204 1.916687
16 49.816667 0.763984 76.398375 1.883084
18 69.333333 0.935650 93.564952 1.971113
9 41.566667 0.663491 66.349105 1.821835
11 49.516667 0.760595 76.059485 1.881153
13 49.216667 0.757185 75.718510 1.879202
15 71.133333 0.946274 94.627365 1.976017
17 57.783333 0.846038 84.603812 1.927390
540.000000 Σ pares (α) 9.481357
Σ impares(β) 9.485597
SUM ATORIAS DE ÁNGULOS α y βÁNGULOS ORDENADOS
307
CUADRO N° 18.19. CÁLCULO DE SENOS DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE
ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO COMBINADO
j ) Para calcular la corrección unitaria a cada uno de los 8
ángulos del pol ígono uti l izamos la siguiente ecuación:
FÓRMULA N° 18.2. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN UNITARIA DE ÁNGULOS DEL POLÍGONO COMBINADO
Reemplazando
NÚM. VALOR INCR. 1 SEG SENO INC.. x 100 LOG.x 100 DIFERENCIA
10 36.633333 36.633611 0.596696 59.669572 1.775753 0.000003
12 59.366667 59.366944 0.860448 86.044820 1.934725 0.000001
14 55.633333 55.633611 0.825445 82.544478 1.916688 0.000001
16 49.816667 49.816944 0.763987 76.398688 1.883086 0.000002
18 69.333333 69.333611 0.935651 93.565123 1.971114 0.000001
9 41.566667 41.566944 0.663495 66.349468 1.821837 0.000002
11 49.516667 49.516944 0.760598 76.059800 1.881155 0.000002
13 49.216667 49.216944 0.757188 75.718826 1.879204 0.000002
15 71.133333 71.133611 0.946275 94.627521 1.976017 0.000001
17 57.783333 57.783611 0.846041 84.604071 1.927391 0.000001
540.000000 Σ Dif. Tab.(α) 0.000008
Σ Dif. Tab. (β) 0.000008
SUM ATORIAS DE LAS PARTES PROPORCIONALES (pp) DE α y βÁNGULOS ORDENADOS
Σ pares (α) 9.481357 Σ Dif. Tab.(α) 0.000008
Σ impares(β ) 9.485597 Σ Dif. Tab.(β ) 0.000008
log.sen( ) log.sen( )C
pp( ) pp( )
α − β=
α + β
∑ ∑∑ ∑
o9.481357 9.485597 0.004240C 0.073035
0.000009 0.000009 0.000016−
= = =+
308
j ) Como la sumatoria de los ángulos pares (α ) son menores que
la sumatoria de los ángulos impares (β); apl icamos una
corrección unitaria posit iva de 0.073035° a los pares y
negativa a los impares. El cálculo se muestra en la siguiente
tabla:
CUADRO N° 18.20. CORRECCIÓN TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS DEL POLÍGONO
COMBINADO
CUADRO N° 18.21. ÁNGULOS CENTRALES DEL POLÍGONO COMBINADO
NUM
VA LO RES DE LO S
ÁNGULOS
CENT RAL ES
19 101.800000
20 71.116667
21 75.150000
NÚM . VALOR
10 36.633333 36.706369
12 59.366667 59.439702
14 55.633333 55.706369
16 49.816667 49.889702
18 69.333333 69.406369
9 41.566667 41.493631
11 49.516667 49.443631
13 49.216667 49.143631
15 71.133333 71.060298
17 57.783333 57.710298
540.000000 540.0000000
ANGULOSCORREGIDOS
ÁNGULOS ORDENADOS
309
22 59.050000
23 52.883333
∑ 360.000000
j ) Para calcular las distancias perimetrales del cuadri látero, se
apl ica la Ley de senos. Esta relaciona, básicamente, los lados
de un tr iángulo con su ángulo opuesto. En consecuencia, nos
permite calcular, una de las longi tudes de un tr iángulo,
conociendo la longitud base y al menos 2 ángulos internos
adyacentes, tal como se muestra en la siguiente f igura.
FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE DISTANCIAS PERIMETRALES DEL POLÍGONO
COMBINADO
RY sen9
WR sen19=
Reemplazando
( )( )
o
o
822.954m sen41.493631WRsen9RY 557.008m
sen19 sen 101.800000= = =
k) Las demás longitudes se muestran en la siguiente tabla.
310
CUADRO N° 18.22. DISTANCIAS DEL POLÍGONO COMBINADO
FIGURA N° 18.4 REPRESENTACIÓN DEL PRIMER TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO
LAD_DESCON ANG. OPUEST LAD_CONOC ANG. OPUEST DISTANCIA
RY sen 9 822.9540 sen 19 557.008
RS sen 20 557.0083 sen 12 612.046
SY sen 11 612.0465 sen 20 491.463
SX sen 21 491.4633 sen 14 575.007
XY sen 13 575.0072 sen 21 449.936
XV sen 22 449.9355 sen 16 504.536
VY sen 15 504.5362 sen 22 556.450
VW sen 23 556.4503 sen 18 474.008
WY sen 17 474.0079 sen 23 502.511
WR sen 19 502.5108 sen 10 822.954
COMPROBACIÓN
DISTANCIAS DEL POLIGONO WRSXV
BASE en el lado WR = 822.954 metros
UV
24
25
26
X
311
CUADRO N° 18.23. ÁNGULOS INTERNOS DEL PRIMER TRIÁNGULO DEL SISTEMA
COMBINADO
FIGURA N° 18.5 REPRESENTACIÓN DEL SEGUNDO TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO
CUADRO N° 18.24. ÁNGULOS INTERNOS DEL SEGUNDO TRIÁNGULO DEL SISTEMA
COMBINADO
LADO DIST (m) CUADRADO NÚM VERT COSENO ÁNGULO
VX 504.536 254556.7618 25 V 0.526004 58.264146
XU 782.230 611883.7729 26 X 0.026741 88.467670
UV 919.420 845333.1364 27 U 0.836112 33.268184
SUMA 180.000000
TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO VXU
LADO DIST (m) CUADRADO NÚM VERT COSENO ÁNGULO
UX 782.230 611883.7729 28 U 0.631781 50.818337
XT 754.680 569541.9024 29 X 0.246637 75.721424
TU 943.520 890229.9904 30 T 0.595380 53.460238
SUMA 180.000000
TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO UXT
312
FIGURA N° 18.5 REPRESENTACIÓN DEL TERCER TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO
CUADRO N° 18.24. ÁNGULOS INTERNOS DEL TERCER TRIÁNGULO DEL SISTEMA
COMBINADO
l ) El pol ígono de apoyo y los valores de los ángulos internos del
sistema, quedan, así:
F IGURA N° 18.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO
S T
X
30
31 32
LADO DIST (m) CUADRADO NÚM VERT COSENO ÁNGULO
XS 572.640 327916.5696 31 X 0.354469 69.239120
ST 768.820 591084.1924 32 S 0.396880 66.616695
TX 754.680 569541.9024 33 T 0.717589 44.144185
SUMA 180.000000
TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO XST
313
CUADRO N° 18.25. CORRECCIÓN DE ÁNGULOS INTERNOS Y DISTANCIAS DEL POLÍGONO
DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO
CUADRO N° 18.26. RUMBOS Y DISTANCIAS DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA
COMBINADO
VÉRTICES ÁNGULOS ÁNG. CORREGIDOS LADOS DISTANCIAS (m)
P 87.283333 87.307693 PQ 867.124
Q 88.183333 88.207693 QR 550.741
R 182.316667 182.341027 RS 612.046
S 175.200029 175.224389 ST 768.820
T 97.604423 97.628784 TU 943.520
U 84.086521 84.110881 UV 919.420
V 165.864146 165.888506 VW 474.008
W 199.266667 199.291027 WP 613.574
TOTAL 1079.805120 1080.000000 TOTAL 5749.253252
0.194880
PQ N 5.245000 O 867.124
QR N 86.547307 E 550.741
RS N 84.206280 E 612.046
ST N 88.981891 E 768.820
TU S 8.646892 E 943.520
UV S 87.242226 O 919.420
VW N 78.646280 O 474.008
WP S 82.062693 O 613.574
LADOS RUM BOS DISTANCIAS
314
CUADRO N° 18.27. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA
COMBINADO
CUADRO N° 18.28. COORDENADAS Y ÁREA DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA
COMBINADO
ESTE OESTE NORTE SUR
PQ N 5.245000 O 867.124 0.000 79.268 863.493 0.000
QR N 86.547307 E 550.741 549.741 0.000 33.168 0.000
RS N 84.206280 E 612.046 608.920 0.000 61.784 0.000
ST N 88.981891 E 768.820 768.699 0.000 13.661 0.000
TU S 8.646892 E 943.520 141.853 0.000 0.000 932.796
UV S 87.242226 O 919.420 0.000 918.355 0.000 44.237
VW N 78.646280 O 474.008 0.000 464.732 93.316 0.000
WP S 82.062693 O 613.574 0.000 607.696 0.000 84.728
5,749.2533 2,069.213 2,070.051 1,065.422 1,061.760
-0.838 3.662
ALEJAM IENTOS LATITUDESLADOS RUM BOS DISTANCIAS
ALEJAM IENT LATITUDES ESTES NORTES
PQ -79.142 862.941 0.000 0.000 0.0000
QR 549.822 32.817 -79.142 862.941 -70,891.7335
RS 609.009 61.395 470.680 895.758 44,343.6224
ST 768.811 13.171 1,079.689 957.153 80,507.6700
TU 141.991 -933.397 1,848.500 970.324 -1,701,036.7342
UV -918.221 -44.822 1,990.490 36.927 -1,947,135.0976
VW -464.663 93.014 1,072.269 -7.895 51,674.3811
WP -607.606 -85.119 607.606 85.119 4,797.0255
0.000 0.000 SUMA -3,537,740.8664
AREA m2 1,768,870.4332
C O R R E C C I O N E SLADOS
COORDENADAS RELATIVAS DOBLESÁREAS
315
CÁLCULOS CON LAS LIGASCÁLCULOS CON LAS LIGASCÁLCULOS CON LAS LIGASCÁLCULOS CON LAS LIGAS
a) El gráfico
F IGURA N° 18.7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS LIGAS DEL SISTEMA COMBINADO
g) Las medidas de las l igas no t ienen ninguna relación unas con
otras (no forman f igura alguna y de ninguna manera serán
calculadas en columnas), tal como se observa en la figura y
solo razones puramente didácticas hace que lo presentemos
en una sola tabla. Así, los alejamientos y lati tudes de las ligas,
son:
CUADRO N° 18.29. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DE LAS LIGAS DEL SISTEMA
COMBINADO
ESTE OESTE NORTE SUR
P A S 48.245000 O 82.3200 0.000 61.411 0.000 54.821
Q B N 45.125000 O 76.5200 0.000 54.226 53.990 0.000
T C N 43.645000 E 101.2400 69.875 0.000 73.260 0.000
U D S 39.125000 E 62.5400 39.464 0.000 0.000 48.517
LADOS R U M B O SALEJAM IENTOS LATITUDES
DISTANCIAS
316
c) Las l igas, al no estar unidas entre sí, no se corrigen. Por tanto,
los alejamientos y lati tudes se ordenan en sus respectivas
columnas respetando sus signos. Sí se obvian estos últ imos los
cálculos siguientes serán erróneos.
CUADRO N° 18.30. COMPENSACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DE LAS LIGAS DEL
SISTEMA COMBINADO
d) Los alejamientos y lat i tudes de las ligas indican la posición de los
vért ices del predio desde los vért ices de la pol igonal de apoyo,
por lo que, se convierten en coordenadas directamente siempre
que se respete sus s ignos. Así:
CUADRO N° 18.31. COORDENADAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA COMBINADO
f ) Debemos precisar que las coordenadas de las ligas solo son
de cada vért ice de apoyo hasta el vért ice del perímetro, pero
no son las coordenadas del perímetro, estas deberán
calcularse sumando algebraicamente las coordenadas de la
ALEJAM IEN. LATITUDES
P A -61.411 -54.821
Q B -54.226 53.990
T C 69.875 73.260
U D 39.464 -48.517
LADOSCOM PENSACIONES
ALEJAM IEN. LATITUDES ESTE NORTE
P A -61.411 -54.821 -61.411 -54.821
Q B -54.226 53.990 -54.226 53.990
T C 69.875 73.260 69.875 73.260
U D 39.464 -48.517 39.464 -48.517
LADOSCOM PENSACIONES COORDENADAS DE LIGAS
317
poligonal de apoyo y las coordenadas de las l igas. Las sumas
algebraicas de las coordenadas de apoyo y de las ligas no
cambian así la poligonal de apoyo se encuentre dentro (como
el presente) o fuera del perímetro del predio.
Asimismo, el número de lados de la pol igonal de apoyo y del
predio pueden ser diferentes, pero la cantidad de l igas y
vértices perimetrales siempre serán iguales. En el presente
caso el número de lados de apoyo son ocho (8) y el número de
vértices perimetrales son cuatro (4); por lo que, desde dos
vértices de apoyo (R, S, V y W) no se han trazado l iga alguna.
Por tanto, las coordenadas de apoyo que pertenecen a éstos
vértices (R, S, V y W B y F) no son tomados en cuenta y sus
respectivas posiciones son ocupadas por las siguientes
coordenadas. La tabulación de lo expresado se muestra a
continuación.
CUADRO N° 18.32. COORDENADAS DE LAS LIGAS Y DE APOYO DEL SISTEMA
COMBINADO
h) Para calcular las coordenadas de los vért ices del perímetro
del predio, se suman las coordenadas de la poligonal de
apoyo con las coordenadas de las l igas que conecta con los
vért ices del predio, así:
FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE COORDENADAS ESTÉS SISTEMA COMBINADO
)ESTE(APOYO)ESTE(LIGA)ESTE(PREDIO CCC +=
ESTE NORTE ESTE NORTE
P A -61.411 -54.821 0.000 0.000
Q B -54.226 53.990 -79.142 862.941
T C 69.875 73.260 1848.500 970.324
U D 39.464 -48.517 1990.490 36.927
LADOSCOORDENADAS DE LIGAS COORDENADAS DE APOYO
318
FÓRMULA N° 18.4 CÁLCULO DE COORDENADAS NORTES SISTEMA COMBINADO
)NORTE(APOYO)NORTE(LIGA)NORTE(PREDIO CCC +=
Reemplazando
m.).().(C )ESTE(PREDIO 4107610000410761 −=+−=
m.).().(C )NORTE(PREDIO 8207540000820754 −=+−=
i ) La tabulación completa, es la siguiente
CUADRO N° 18.33. COORDENADAS DEL SISTEMA COMBINADO
k) La matriz vert ical para calcular el área del predio completo, ya
con estas susti tuciones, usando las letras E y N para indicar
las coordenadas, queda como sigue:
CUADRO N° 18.34. MATRIZ DEL SISTEMA COMBINADO
NNNN 4444 -11.5894
EEEE 1111 NNNN 1111 -61.4107 -54.8207
EEEE 2222 NNNN 2222 -133.3673 916.9307
EEEE 3333 NNNN 3333 1,918.3744 1043.5842
EEEE 4444 NNNN 4444 2,029.9539 -11.5894
NNNN 1111 -54.8207
ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE
P A -61.411 -54.821 0.000 0.000 -61.411 -54.821
Q B -54.226 53.990 -79.142 862.941 -133.367 916.931
T C 69.875 73.260 1848.500 970.324 1918.374 1043.584
U D 39.464 -48.517 1990.490 36.927 2029.954 -11.589
LADOSCOORDENADAS DE LIGAS COORDENADAS DE A POYO COORDENADAS DEL PREDIO
319
j ) El área del predio, es:
CUADRO N° 18.35. ÁREA DEL SISTEMA COMBINADO
k) Para calcular los componentes del predio, alejamientos y
lat i tudes; se procede invi rtiendo la secuencia del cálculo
normal de alejamientos y lat itudes. Para el cálculo de
coordenadas se suman algebraicamente los alejamientos o
lat i tudes, pero para el cálculo de alejamientos y lat i tudes,
part iendo de coordenadas, se restan la coordenada de
adelante menos la coordenada de la l ínea, así:
FÓRMU LA N° 18.5 CÁLCULO DE AL EJA MIENT OS DEL SIST EMA CO MBI NADO
)A(ESTE)B(ESTEAB CC.Alej −=
FÓRMU LA N° 18.6 CÁLCULO DE LATI TUDES DEL SIST EMA CO MBI NADO
)A(NORTE)B(NORTEAB CC.Lat −=
Reemplazando:
( ) ( ) m....Alej AB 9567714107513573133 −=−−−=
( ) ( ) m....Lat AB 75149718207549307916 =−−=
ESTE NORTE
P A -61.411 -54.821 -57,021.032
Q B -133.367 916.931 -146,491.317
T C 1918.374 1043.584 -1,781,249.177
U D 2029.954 -11.589 -2,229,711.377
-4,214,472.903
Área 2,107,236.451
LADOSCOORDENADAS DEL PREDIO
DOBLES ÁREAS
320
CUADRO N° 18.36. MEDIDAS DEL SISTEMA COMBINADO
CÁLCULOS DEL CÁLCULOS DEL CÁLCULOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTOFRACCIONAMIENTOFRACCIONAMIENTOFRACCIONAMIENTO
h) Teniendo en cuenta que la línea de fraccionamiento comienza
en M (que se encuentra en la mitad del al ineamiento de AM) y
termina en N (en el al ineamiento de CD); se construye la
siguiente representación gráfica:
F IGURA N° 18.8 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO
ESTE NORTE A LEJAM IEN LATITUDES RUM BOS DISTANCIA S
P A -61.411 -54.821 -71.957 971.751 -4.234933 974.412 A B
Q B -133.367 916.931 2051.742 126.654 86.467627 2055.647 B C
T C 1918.374 1043.584 111.579 -1055.174 -6.036318 1061.057 C D
U D 2029.954 -11.589 -2091.365 -43.231 88.815788 2091.811 D A
0.000 0.000 6182.927
LADOSLADOSM EDIDAS DEL P REDIOCOORDENADAS DEL PREDIO
321
i ) Como se desconoce la ubicación de N, tomamos el punto N’
ubicado a una distancia estimada de 500.000 m, medido desde
D. As í, la f igura se convierte en un pol ígono de cuatro lados, de
los cuales se desconoce el rumbo y distancia de MN’. Las
medidas faltantes de MN’ lo calculamos como si fueran errores
l ineal y angular de cierre. La representación gráfica es la
siguiente:
F IGURA N° 18.9 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO 1 DEL
SISTEMA COMBINADO
CUADRO N° 18.37. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA
COMBINADO
AD
SUB PREDIO 1
M
N’
S 88.815788° W, 2,091.811 m
LÍNEA DE FR
ACCIONAMIENTO
TENTATIVO
PUNTO CONOCIDO.SE ENCUENTRA A
487.206 m DE A Ó DE B LADO
DESCONOCID
O PERO CAL
CULABLE COM
O ERROR DE
CIERRE
PUNTO TENTATIVO.TOMADO A500.000 m
MEDIDO DESDE D
ESTE OESTE NORTE SUR
A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000
M N'
N' D S 6.036318 E 500.000 52.579 0.000 0.000 497.228
D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231
3079.017 52.579 2127.343 485.876 540.459
-2074.763 -54.583
TOTALES
A L E J A M I E N T O S L A T I T U D E SLADOS RUM BOS DISTANCIAS
322
j ) El error lineal de cierre, 2075.481 m es, precisamente, la
longitud de MN’ y el error angular de cierre, 88.492998° es su
rumbo. Por lo que procedemos a calcular el área del pol ígono
AMN’D.
CUADRO N° 18.38. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL
FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO
k) El área de 1026,099.236 m2 corresponde al pol ígono AMN’D,
es menor en 27,518.9892 m2 al área media de 1053,618.226
m2 que le corresponde al subpredio 1. Por tanto, la posición de
N’ se encuentra un poco más alejada de la que habíamos
considerado, estimativamente, de 500.000 m. Esta pequeña
distancia, N’N, se calcula apl icando la misma ecuación
(l igeramente modificada) usada para calcular el área de un
triángulo, así:
FÓRMULA N° 18.7. CÁLCULO DE LA DISTANCIA N’N DEL FRACCIONAMIENTO DEL
SISTEMA COMBINADO
l ) Para faci li tar la observación de los datos, presentamos a
continuación, la f igura que las reproduce:
ESTE OESTE NORTE SUR
A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000
M N' N 88.492998 E 2075.4813 2074.763 0.000 54.583 0.000
N' D S 6.036318 E 500.000 52.579 0.000 0.000 497.228
D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231
5154.499 2127.343 2127.343 540.459 540.459
0.000 0.000
TOTALES
A L E J A M I E N T O S L A T I T U D E SLADOS RUM BOS DISTANCIAS
( )
( )
2 MN'NN'N
MN' senN'=
323
F IGURA N° 18.10 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DISTANCIA N’N DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO
m) De la ecuación, para calcular NN’, solo requerimos conocer el
valor del ángulo N’ que corresponde al pequeño triángulo
MNN’, por lo que procedemos calcularlo, basándonos en la
siguiente figura:
FIGURA N° 18.11 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ÁNGULO N’ DEL
FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO
( )( )'senN'MN
N'MNN'N
2=
S 6.036318° E
6.036318°
' o o o oN 90 6.036318 1.507002 85.470684= − + =
( )( )
( )( )
22 27.518.989m2 MN'NN'N 26.601m
MN' senN' 2,075.481m sen85.470684= = =
°
324
n) Ahora sumamos la distancia de NN’, de 26.6012 m, a los
o) 500.000 m estimados y comprobamos si efectivamente se ha
logrado fraccionar el predio en dos subpredios de igual área,
así:
CUADRO N° 18.39. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL PRIMER
PREDIO DEL SISTEMA COMBINADO
CUADRO N° 18.40. COORDENADAS Y ÁREA DEL PRIMER PREDIO DEL SISTEMA
COMBINADO
ESTE OESTE NORTE SUR
A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000
M N N 87.760235 E 2073.550 2071.966 0.000 81.037 0.000
N D S 6.036318 E 526.601 55.377 0.000 0.000 523.681
D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231
5179.169 2127.343 2127.343 566.913 566.913
0.000 0.000
TOTALES
A L E J A M I E N T O S L A T I T U D E SLADOS RUM BOS DISTANCIAS
ALEJAM IENTOS LATITUDES ESTE NORTE
A M -35.978 485.876 0.000 0.000 0.0000
M N 2071.966 81.037 -35.978 485.876 -20,396.5740
N D 55.377 -523.681 2035.988 566.913 -901,218.5683
D A -2091.365 -43.231 2091.365 43.231 -1,185,621.3091
0.000 0.000 0.000 0.000 -2,107,236.4514
ÁREA 1,053,618.2257
ÁREA M EDIA 1,053,618.2257
DIFERENCIA 0.0000
DOBLES ÁREASCOORDENADASCOM PENSACIONES
LADOS
325
18.3. 18.3. 18.3. 18.3. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono
de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;
2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;
4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las
coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas
del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio
mostrado.
MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SISTEMA
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
GRAD MIN GRAD MIN GRAD MIN
1 47 28 9 44 14 21 41 14
2 48 24 10 37 16 22 36 32
3 43 10 11 43 32 23 47 24
4 41 42 12 41 36 24 57 36
5 52 12 13 42 24 25 59 24
6 41 32 14 49 14 26 62 48
7 38 24 15 48 48 27 64 32
8 47 18 16 53 8 28 53 36
29 56 28
30 60 18
MEDIDAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA
LADOS R U M B O S DISTANCIAS
M A N 45.523600º O 182.640 m
P B N 38.526400º E 280.160 m
R C S 74.725400º E 307.390 m
U D S 45.124500º O 187.410 m
326
2. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono
de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;
2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;
4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las
coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas
del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio
mostrado.
MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SISTEMA
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
GRAD MIN GRAD MIN GRAD MIN
1 46 32 9 43 42 21 45 12
2 49 14 10 37 16 22 34 15
3 43 28 11 44 42 23 46 32
4 42 12 12 41 42 24 58 12
5 51 48 13 42 36 25 55 24
6 41 12 14 50 14 26 58 8
7 38 38 15 47 48 27 61 46
327
8 47 10 16 52 8 28 64 15
29 57 12
30 59 16
MEDIDAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA
LADOS R U M B O S DISTANCIAS
M A S 20.523600º E 142.310 m
P B S 53.526400º O 206.640 m
R C N 47.725400º O 311.760 m
U D N 65.124500º E 167.670 m
3. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono
de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;
2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;
4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las
coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas
LÍNEA BASE = 725.360 m
328
del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio
mostrado.
MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SISTEMA
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
GRAD MIN GRAD MIN GRAD MIN
1 46 54 9 43 24 21 44 12
2 48 32 10 38 14 22 43 32
3 43 24 11 43 24 23 41 14
4 42 28 12 41 32 24 64 48
5 51 18 13 43 22 25 55 24
6 41 24 14 48 16 26 55 12
7 38 45 15 48 38 27 74 45
8 47 12 16 53 12 28 44 42
29 57 8
30 59 15
MEDIDAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA
LADOS R U M B O S DISTANCIAS
M A S 30.252400º E 120.990 m
P B S 48.526400º O 170.180 m
R C N 67.725400º O 165.190 m
U D N 22.124500º E 125.410 m
329
4. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono
de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;
2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;
4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las
coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas
del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio
mostrado.
MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SISTEMA
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
GRAD MIN GRAD MIN GRAD MIN
1 46 18 9 36 20 21 37 12
2 40 8 10 44 8 22 39 15
3 42 15 11 53 15 23 54 18
330
4 51 12 12 47 24 24 59 32
5 43 24 13 50 18 25 52 24
6 43 15 14 42 14 26 62 42
7 47 28 15 41 24 27 62 52
8 46 12 16 45 8 28 63 12
29 63 12
30 45 10
MEDIDAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA
LADOS R U M B O S DISTANCIAS
M A S 20.123600º O 115.890 m
N B N 52.526400º O 122.060 m
Q C N 34.725400º E 207.530 m
S D S 67.124500º E 190.170 m
5. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono
de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;
A
D
C
B
18 7
6
5
4
16
15
14
13
12
11
10
9
20
19
18
17
RUMBO DE PARTIDA: MN = N 2,658500° W
32
U
O
N
M
LÍNEA BASE, MO = 722,590 m
V
W
21
22
23
2425
26
27
28
29
30
31
32 33
34
35
T
S
R
Q
P
331
2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;
4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las
coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas
del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio
mostrado.
MEDI DAS DE LO S ÁNGU LOS INT ERNO S DEL S ISTEMA
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
GRAD MIN GRAD MIN
1 51 18 9 42 16
2 53 24 10 56 14
3 37 34 11 38 12
4 37 54 12 42 46
5 47 44 13 61 14
6 57 10 14 37 24
7 41 24 15 39 32
8 33 28 16 42 30
MEDI DAS DE LA S L IGAS DEL SI STEMA
LADOS R U M B O S DISTANCIAS
M A S 37.252400 W 236.640
N B N 61.526400 W 229.940
P C N 53.725400 E 411.270
Q D S 52.124500 E 277.420
332
6. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono
de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;
2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;
4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las
coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas
del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio
mostrado.
MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SISTEMA
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
GRAD MIN GRAD MIN
1 33 28 9 9 56
2 41 24 10 10 42
3 57 32 11 11 42
4 47 42 12 12 39
5 37 42 13 13 37
RU
MB
OD
EP
AR
TI D
A:
MN
= N
2.3
53
50
0°
E
333
6 37 16 14 14 61
7 53 24 15 15 42
8 51 28 16 16 38
MEDIDAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA
LADOS R U M B O S DISTANCIAS
M A N 41.252400 W 147.820
O B N 49.526400 E 160.740
P C S 58.725400 E 255.590
R D S 54.124500 W 206.810
7. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono
de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;
2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;
4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las
coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas
A
B
C
D
81
23
45
11
12
13
15
9
10
14
67
R
M
LÍNEA BASE, MQ = 828.580 m
O
P
16
N
Q
RUMBO DE PARTIDA: MN = N 88.353500° E
334
del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio
mostrado.
MEDI DAS DE LO S ÁNGU LOS INT ERNO S DEL S ISTEMA
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
GRAD MIN GRAD MIN
1 42 28 9 57 28
2 39 18 10 47 42
3 37 24 11 37 54
4 61 18 12 37 34
5 42 48 13 53 24
6 38 10 14 51 16
7 56 14 15 33 28
8 42 16 16 41 24
MEDI DAS DE LA S L IGAS DEL SI STEMA
LADOS R U M B O S DISTANCIAS
R A N 40.252400 W 237.590
N B N 45.526400 E 272.040
O C S 56.725400 E 413.770
Q D S 58.124500 W 234.430
335
8. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono
de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;
2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;
4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las
coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas
del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio
mostrado.
MEDI DAS DE LO S ÁNGU LOS INT ERNO S DEL S ISTEMA
NUM.
ÁNGULO
NUM.
ÁNGULO
GRAD MIN GRAD MIN
1 51 28 9 42 38
2 53 14 10 56 12
3 37 24 11 38 16
4 37 44 12 42 32
5 47 36 13 61 32
6 57 32 14 37 22
7 41 22 15 39 24
8 33 28 16 42 14
336
MEDI DAS DE LA S L IGAS DEL SI STEMA
LADOS R U M B O S DISTANCIAS
M A S 40.252400 W 137.700
N B N 56.526400 W 135.020
P C N 58.725400 E 237.310
Q D S 40.124500 E 151.130
RU
MB
OD
EP
AR
TID
A:M
N =
N 6
. 35
3500
° E
337
CAPÍTULO XIX
CURVAS DE SUPERFICIECURVAS DE SUPERFICIECURVAS DE SUPERFICIECURVAS DE SUPERFICIE
11119999.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN
Las curvas de superficie pueden ser horizontales y vert icales. Las
curvas horizontales pueden ser simples, compuestas, inversas o
espirales. Las curvas compuestas e inversas se e estudian como
una combinación de dos o más curvas simples, mientras que la
curva espiral resul ta de radios variables.
Las curvas que t ienen radios cortos (generalmente menores que la
longitud de una cinta), pueden trazarse en campo sosteniendo un
extremo de la cinta en el centro del circulo y describiendo un arco
con la misma, al tiempo que se marcan en el terreno tantos puntos
como se desee. A medida que la longitud de la curva se
incrementa, la cinta ya no es práctica para el trazo y el ingeniero
topógrafo debe usar otros métodos para estos trabajos, como
efectuar la medición de ángulos y distancias sobre líneas rectas
por medio de los cuales pueden ubicarse putos selectos llamados
estaciones, local izados sobre la circunferencia del arco.
11119999.2. .2. .2. .2. TIPOS DE CURVAS HORIZONTALESTIPOS DE CURVAS HORIZONTALESTIPOS DE CURVAS HORIZONTALESTIPOS DE CURVAS HORIZONTALES
A continuación se describen brevemente los cuatro tipos de curvas
horizontales:
1. CURVA SIMPLE. Es un arco de cí rculo. La radio del círculo
determina lo cerrado o abierto de la curva. A mayor radio, la
curva es más abierta. Este es el t ipo de curva más util izado.
338
FIGURA N° 19.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA CURVA SIMPLE
2. CURVA COMPUESTA. Frecuentemente se necesita adaptar al
terreno una curva compuesta. Consta generalmente de dos
curvas simples unidas, del mismo sentido.
F IGURA N° 19.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA CURVA
COMPUESTA
339
3. CURVA INVERSA. Consiste en dos curvas simples juntas, de
diferente sentido. Por razones de seguridad este tipo de
curva se usa muy poco en carreteras, ya que provoca que un
automóvi l tienda a salirse del camino.
4. CURVA ESPIRAL. Es una curva cuyo radio varía en forma
continua. Se usa en ferrocarriles y en algunas carreteas
modernas. Su propósito es proporcionar una transición de la
tangente a una curva simple o entre las curvas simples que
forman una curva compuesta.
11119999.3. .3. .3. .3. ELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLEELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLEELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLEELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLE
A continuación se mencionan los elementos principales de una
curva simple.
1. PUNTO DE INTERSECCIÓN. El punto de Intersección (PI) es el
punto donde se intersectan la tangente de atrás o de entrada y
la tangente de adelante o de sal ida. Es una de las estaciones
correspondientes a la poligonal prel iminar.
2. ANGULO DE INTERSECCIÓN. El ángulo de intersección (I ) es el
ángulo de deflexión en el PI. Su valor se calcula a partir de los
ángulos de estación de la poligonal prel iminar, o bien, se mide
en el campo.
3. RADIO. El radio (R), es el radio del círculo del cual la curva es
un arco.
4. PRINCIPIO DE CURVA. Es un punto donde comienza la curva.
La tangente de atrás es tangente a la curva en este punto (PC).
5. PRINCIO DE TANGENTE. El PT marca el f inal de la curva. La
tangente de adelante es tangente a la curva en este punto.
6. LONGITUD DE CURVA. La longitud de curva (L) es la distancia
entre el PC y el PT, medida sobre la curva.
7. SUBTANGENTE. La subtangente (ST) es la dis tancia, medida
sobre a tangente, del PI al PC o al PT. Estas distancias son
iguales en una curva simple.
340
F IGURA N° 19.3. ELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLE
L
G
G
d1 d2
G
Io
R
C
C
C
C 2C1
STST
PII
CUERDA
SUBCUERDA
TANGENTEDEATRÁS
ODEENTRADA T
ANGENTEDE
ADELA
NTEODESALIDA
PTPC
M
ELEMENTOS DE UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE
8. ANGULO CENTRAL. El ángulo central (∆), es el ángulo que se
forma entre dos radios que unen el centro del círculo (O) con el
PC y el PT. El ángulo central es igual en valor al ángulo de
intersección o deflexión de las tangentes (∆ = I).
9. CUERDA LARGA. La cuerda larga (CL) es la cuerda que une el
PC con el PT.
10. EXTERNA. La externa € es la distancia que hay del PI al punto
central de la curva. La externa biseca el ángulo interior PI.
11. ORDENADA MEDIA. La ordenada media (M) es la dis tancia del
punto central de la curva al punto local izado a la mitad de la
curva larga. La prolongación de la ordenada media biseca al
ángulo central.
341
12. GRADO DE CURVATURA. El grado de curvatura (G) define si la
curva es cerrada o abierta. Hay dos definiciones comunes para
el grado de curvatura: definición de cuerda y definición de arco.
F IGURA N° 19.4. GRADO DE CURVATURA DE UNA CURVA SIMPLE
R R
13. ANGULOS DE DEFLEXIÓN. Los ángulos de deflexión son los
ángulos que se forman entre la tangente y los extremos de las
cuerdas, con el PC como vért ice. Se usan para determinar la
dirección en la que se trazan las cuerdas. La suma de los
ángulos de deflexión es igual a la mitad del ángulo de
intersección de las tangentes (��I ). esta suma sirve de
comprobación de los ángulos de deflexión calculados.
11119999.4. .4. .4. .4. FORMULAS DE LA CURVA SIMPLEFORMULAS DE LA CURVA SIMPLEFORMULAS DE LA CURVA SIMPLEFORMULAS DE LA CURVA SIMPLE
Para el cálculo de una curva simple se uti l izan las siguientes
formulas, las cuales se apl ican tanto para las definiciones de arco
como para las de cuerda, con excepción de aquellas que tengan
una nota al respecto.
342
FÓRMULA N° 19.1. CÁLCULO DEL RADIO DE UNA CURVA SIMPLE
202�� = �°
360°
� = 1145.62�
(Definición de 20 m de arco)
� = 10��� 1
2 �
(Definición de 20 m de cuerda)
FÓRMULA N° 19.2. CÁLCULO DE LA SUBTANGENTE DE UNA CURVA
SIMPLE
�� = �. ��� 12 �
FÓRMULA N° 19.3. CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA CURVA
SIMPLE
� = 20 ��
Donde L = longitud de arco (exacta) para la definición de arco y es
la distancia aproximada sobre la cuerda, para la definición de
cuerda.
FÓRMULA N° 19.4. CÁLCULO DEL PUNTO DE INICIO DE UNA CURVA S IMPLE
�� = �� − ��
FÓRMULA N° 19.5. CÁLCULO DEL PUNTO FINAL DE UNA CURVA SIMPLE
�� = �� − �
FÓRMULA N° 19.6. CÁLCULO DE LA EXTERNA DE UNA CURVA SIMPLE
� = ���� 1
2 . �− �
343
� = �. ���� 12 . �
FÓRMULA N° 19.7. CÁLCULO DE LA ORDENADA MEDIA DE UNA CURVA SIMPLE
! = �. ���"�# 12 . �
Ángulos de deflexión
FÓRMULA N° 19.8. CÁLCULO DEL ÁNGULO DE DEFLEXIÓN DE UNA CURVA SIMPLE
$ = �2 % �
20&
Dónde:
d = Angulo de deflexión en minutos
C = Longitud de la cuerda en m
G = Grado de curvatura
11119999.5. .5. .5. .5. SOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLESOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLESOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLESOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLE
Para resolver una curva s imple deben conocerse tres elementos: el
punto de intersección (PT), el ángulo de intersección o de deflexión
de las tangentes I y el grado de curvatura. Este últ imo es un dato
de las especificaciones del proyecto, o bien, se calcula a part ir de
alguno de los elementos que haya sido l imitado por el terreno. El Pi
e I se determinan generalmente a part ir de la pol igonal del trazo
prel iminar del cambio o del proyecto que se estudie, aunque
pueden determinarse por tr iangulación cuando PI es inaccesible.
344
EJEMPLO.
Supóngase que se conocen los siguientes datos de una curva: PI =
18 + 00, I = 75° y G = 15°.
F IGURA N° 19.5. SOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLE
ST
345
a) resolución de la curva apl icando la definición de arco.
� = 1145.62� = 1145.62
15 = 76.37 (
�� = �. ��� 12 � = 76.37)0.767327* = 58.60(
�� = �� − ��
P I= 18+00.00
-ST = -(0+58.60)
PC = 17+41.40
� = 20 �� = 20 75°
15° = 100(
�� = �� − � PC = 17+41.40
L = +(1+00.00)
PT = 18+41.40
� = �. ���� 12 . � = )76.37*)0.260472* = 19.89(
! = �. ���"�# 12 . � = )76.37*)0.206647* = 15.78(
�� = 2�. ���. � = 2)76.37*)0.608761* = 92.99(
b) Resolución de la curva apl icando la definición de cuerda.
� = 10��� 1
2 �= 10
0.130526 = 76.61 (
−�� = �. ��� 12 � = 76.61)0.767327* = 58.79(
�� = �� − ��
346
PI = 18+00.00
ST = -(0+58.79)
PC = 17+41.21
� = 20 �� = 20 75°
15° = 100(
�� = �� − � PC = 17+41.21
L = +(1+00.00)
PT = 18+41.21
� = �. ���� 12 . � = )76.61*)0.260472* = 19.96(
! = �. ���"�# 12 . � = )76.61*)0.206647* = 15.83(
�� = 2�. ���. � = 2)76.61*)0.608761* = 93.28(
19.6. 19.6. 19.6. 19.6. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
a) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los
s iguientes datos: PI = 22 + 00, I = 45° y G = 12°.
b) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los
s iguientes datos: PI = 324 + 00, I = 55° y G = 11°.
c) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los
s iguientes datos: PI = 00 + 00, I = 66° y G = 15°.
d) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los
s iguientes datos: PI = 125 + 00, I = 32° y G = 20°.
e) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los
s iguientes datos: PI = 420 + 00, I = 56° y G = 18°.
347
CAP ÍTULO XX
CURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVEL
20.1. 20.1. 20.1. 20.1. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
El siguiente trabajo trata sobre curvas de nivel, trazadas en el
terreno, util izando para ello distintos procedimientos y
herramientas respectivamente. Pudiéndose encontrar diversas
formas y maneras de realizar las mediciones ya sea por métodos
milenarios o modernos; con el objeto de real izar curvas de nivel , a
f in de mejorar las condiciones fís icas y químicas del terreno; para
obtener de esta manera un mejor aprovechamiento y rendimiento
del suelo. Así podremos apuntar a una mejor producción ya sea
piscícola, agrícola o forestal.
20.2. 20.2. 20.2. 20.2. CURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVEL
Se denominan curvas de nivel a las l íneas que marcadas sobre el
terreno desarrollan una trayectoria que es horizontal. Por lo tanto
podemos definir que una l ínea de nivel representa la intersección
de una superf icie de nivel con el terreno. En un plano las curvas de
nivel se dibujan para representar intervalos de altura que son
equidistantes sobre un plano de referencia. Esta diferencia de
altura entre curvas recibe la denominación de “equidistancia”
De la definición de las curvas podemos citar las siguientes
características:
1. Las curvas de nivel no se cruzan entre sí.
2. Deben ser líneas cerradas, aunque esto no suceda dentro de
las líneas del dibujo.
3. Cuando se acercan entre si indican un decl ive más pronunciado
y viceversa.
4. La dirección de máxima pendiente del terreno queda en el
ángulo recto con la curva de nivel
348
FIGURA N° 20.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS DE NIVEL
20.3. 20.3. 20.3. 20.3. TIPOS DE CURVA DE NIVELTIPOS DE CURVA DE NIVELTIPOS DE CURVA DE NIVELTIPOS DE CURVA DE NIVEL
1. CCCCURVA CLINOGRÁFICAURVA CLINOGRÁFICAURVA CLINOGRÁFICAURVA CLINOGRÁFICA: Diagrama de curvas que representa el
valor medio de las pendientes en los diferentes puntos de un
terreno en función de las alturas correspondientes.
2. CCCCURVA DE CONFIGURACIÓURVA DE CONFIGURACIÓURVA DE CONFIGURACIÓURVA DE CONFIGURACIÓNNNN : Cada una de las l íneas util izadas
para dar una idea aproximada de las formas del relieve sin
indicación numérica de alti tud ya que no tienen el soporte de
las medidas precisas.
3. CCCCURVA DE DEPRESIÓNURVA DE DEPRESIÓNURVA DE DEPRESIÓNURVA DE DEPRESIÓN : Curva de nivel que mediante líneas
discontinuas o pequeñas normales es uti l izada para señalar las
áreas de depresión topográfica.
4. CCCCURVA DE NIVELURVA DE NIVELURVA DE NIVELURVA DE NIVEL : Línea que, en un mapa o plano, une todos los
puntos de igual distancia vert ical, alti tud o cota. Sinónimo:
isohipsa.
300
310
320
330
340
349
5. CCCCURVA DE PENDIENTE GEURVA DE PENDIENTE GEURVA DE PENDIENTE GEURVA DE PENDIENTE GENERALNERALNERALNERAL : Diagrama de curvas que
representa la incl inación de un terreno a parti r de las distancias
entre las curvas de nivel.
6. CCCCURVA HIPSOMÉTRICAURVA HIPSOMÉTRICAURVA HIPSOMÉTRICAURVA HIPSOMÉTRICA : Diagrama de curvas util i zado para indicar
la proporción de superf icie con relación a la alti tud. Sinónimo
complementario: curva hipsográfica. Nota: El eje vert ical
representa las alti tudes y el eje horizontal las superf icies o sus
porcentajes de superficie.
7. CCCCURVA URVA URVA URVA INTERCALADAINTERCALADAINTERCALADAINTERCALADA : Curva de nivel que se añade entre dos
curvas de nivel normal cuando la separación entre éstas es muy
grande para una representación cartográfica clara. Nota: Se
suele representar con una línea más f ina o discontinua.
8. CCCCURVA MAESTRAURVA MAESTRAURVA MAESTRAURVA MAESTRA: Curva de nivel en la que las cotas de la misma
son múltiples de la equidistancia.
20.4. 20.4. 20.4. 20.4. MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELMARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELMARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELMARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL
El relieve de la superficie terrestre se suele representar
métricamente sobre un plano a través de las curvas de nivel, unas
isolíneas que unen puntos situados a la misma al ti tud y que se
trazan generalmente con un intervalo determinado y equidistante
para todo el terreno a cartografiar. Una de cada cuatro o cinco
curvas se dibuja con un mayor grosor y se rotula su alti tud
correspondiente; son las llamadas curvas maestras y, entre ellas,
se describen las curvas de nivel intermedias. Actualmente, las
curvas se trazan a parti r de las fotografías aéreas, consiguiendo
una precisión mucho mayor que cuando tenían que delinearse en
el campo con la ayuda de una red de cotas. A pesar de que las
curvas de nivel no proporcionan una imagen visual del rel ieve tan
clara como la técnica del sombreado, su anál is is facil i ta tal
cantidad de información que hace que sea el método más útil de
representación del rel ieve en los mapas topográficos.
Curvas de nivel, líneas que, en un mapa, unen puntos de la misma
alt i tud, por encima o por debajo de una superf icie de referencia,
350
que generalmente coincide con la línea del nivel del mar, y t iene el
f in de mostrar el rel ieve de un terreno. Las curvas de nivel son uno
de los variados métodos que se util izan para reflejar la forma
tridimensional de la superficie terrestre en un mapa bidimensional.
En los modernos mapas topográficos es muy frecuente su
util ización, ya que proporcionan información cuanti tativa sobre el
rel ieve. Sin embargo, a menudo se combinan con métodos más
cuali tativos como el colorear zonas o sombrear colinas para
faci li tar la lectura del mapa. El espaciado de las curvas de nivel
depende del intervalo de curvas de nivel seleccionado y de la
pendiente del terreno: cuanto más empinada sea la pendiente,
más próximas entre sí aparecerán las curvas de nivel en cualquier
intervalo de curvas o escala del mapa. De este modo, los mapas
con curvas de nivel proporcionan una impresión gráfica de la
forma, incl inación y alt i tud del terreno. Las curvas de nivel pueden
construirse interpolando una serie de puntos de alti tud conocida o
a parti r de la medición en el terreno, uti l izando la técnica de la
nivelación. Sin embargo, los mapas de curvas de nivel más
modernos se real izan uti l izando la fotogrametría aérea, la ciencia
con la que se pueden obtener mediciones a part ir de pares
estereoscópicos de fotografías aéreas. El término isolíneas puede
util izarse cuando el principio de las curvas de nivel se apl ica a la
real ización de mapas de otros tipos de datos cuanti tat ivos,
distribuidos de forma continua, pero, en estos casos, suele
preferirse util i zar términos más especializados con el prefi jo iso-
(que signif ica igual), como isobatas para curvas de nivel
submarinas, o isobaras para las líneas que unen puntos que tienen
la misma presión atmosférica.
El operador comienza a nivelar part iendo de una cota conocida,
efectuando una nivelación compuesta, desde la estación de
arranque debe marcar los puntos del terreno que t ienen igual
lectura de mira. Cuando cambia la estación tomara como
diferencia el últ imo punto de la estación anterior y efectuada la
lectura de mira se procede a buscar sobre el terreno puntos de
igual cota que proporcionen la misma lectura y así hasta terminar
351
con esa curva. De esta manera se marca sobre el terreno una l ínea
de nivel, es decir que no sube ni baja, para esto se van colocando
estacas de madera las que demarcan su trayectoria.
FIGURA N° 20.2. MARCACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL
20.5. 20.5. 20.5. 20.5. DESARROLLODESARROLLODESARROLLODESARROLLO DE LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELDE LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELDE LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELDE LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL
El trazado de una curva de nivel en el terreno, se puede real izar
con un nivel óptico, un teodoli to, con una manguera, etc. Nosotros
tomaremos el caso del nivel óptico, ya que con él, hemos realizado
las prácticas con el profesor.
Para emplear el nivel necesitamos una “mira parlante”, sobre la
cual realizaremos la lectura. El nivel se afirmará sobre el terreno,
sobre un tr ípode el cual tiene en la parte superior un t ipo de rosca
para que el nivel sea ajustado. El nivel t iene dos burbujas, una en
la parte superior y otra en el costado, las cuales sirven para que el
nivel esté nivelado con respecto al suelo.
300
310
320
330
340
352
También tiene una lente a través de la cual realizaremos la lectura
de mira. Tiene una peri l la al costado que aclara la imagen que
tendremos de la mira parlante. Una peri lla permite acercar o alejar
la imagen que tengamos. En la parte inferior del nivel, hay una
especie de rosca para girar el nivel hacia una dirección
determinada, la cual nos permite medir ángulos, para encuadrar
una plantación. El operador tendrá que tener en cuenta que los
números de la mira parlante están al revés, ya que al mirar por la
lente del nivel se invert irán los mismos. Los niveles ópticos sirven
para dist intos fines como por ejemplo: La marcación para una
plantación determinada, para encuadrarla y determinar así sus
ángulos etc.
360
350
340
330
320
310
PASOS A SEGUIR PARA LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL
Para hacer la marcación de una curva de nivel, se procede:
1º Se debe determinar la zona de desagüe.
353
2º Se elige la zona de mayor pendiente, debido a que este lugar
es el de mayor deterioro, por la acción directa de las l luvias y
se saca la pendiente promedio, para el lo9 se recurre a una
tabla de intervalos vert icales y horizontales. El intervalo vert ical
es la diferencia de nivel que existe entre una curva y otra. El
intervalo horizontal es la distancia que existe entre una curva y
otra.
3º Se real iza la tabla de intervalos verticales y horizontales.
4º Se hace la marcación de arranque, que es el lugar donde nace
la curva de nivel, cuya marcación se realiza por el lado opuesto
de la zona de desagüe.
5º Se realiza la primer lectura para saber en qué lugar estamos,
operando a este valor se le suma 3cm la que comúnmente se
denomina pendiente del 3x mil y se desplaza 10m cortando la
pendiente y así sucesivamente.
6º Suavización de las curvas y se hace para que la curva sea más
o menos proporcional .
7º Es la construcción de camellones. La curva de nivel evita que
los suelos se deterioren y de esta forma se pueden aprovechar
los terrenos con mucha pendiente.
20.6. PROBLEMAS PROPUESTOS20.6. PROBLEMAS PROPUESTOS20.6. PROBLEMAS PROPUESTOS20.6. PROBLEMAS PROPUESTOS
a) Representar gráficamente las curvas de nivel 200, 202, 204,
206 y 208; cuya marcación se muestra en la siguiente figura.
354
b) Representar gráficamente las curvas de nivel 200, 202, 204,
206 y 208; cuya marcación se muestra en la siguiente figura.
355
c) Representar gráficamente las curvas de nivel 400, 402, 404,
406 y 408; cuya marcación se muestra en la siguiente figura.
356
CAPÍTULO XXI
LEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOSLEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOSLEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOSLEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOS
21.1.21.1.21.1.21.1. GGGGENERAL IDADESENERAL IDADESENERAL IDADESENERAL IDADES
Un levantamiento hidrográfico t iene como principal f inal idad
recabar información relativa a las característ icas fís icas de área
cubiertas por agua. La información es esencial para la elaboración
de cartas náuticas modernas, que muestran profundidades
disponibles, canales mejorados, rompeolas, muelles, ayudas a la
navegación, decl inaciones magnéticas, rutas de navegación y otros
detalles de interés para los marinos e ingenieros pesqueros.
Un levantamiento hidrográfico podría referirse a varios otros tipos
de investigaciones subacuáticas que se realizan con el fin de
obtener la información necesaria para la construcción, desarrollo y
mejoramiento de ins talaciones portuarias y pesqueras; para el
proyecto de muelles y otras estructuras subacuáticas; para
determinar la pérdida de capacidad de lagos o presas debida a la
azolvez2; y para calcular la cantidades de material dragado.
Los principios fundamentales de ejecución de los levantamientos
hidrográficos de un puerto o lago interior, son básicamente los
mismos que se emplean para ejecutar el levantamiento completo
de un gran estero o para sondear una vasta zona oceánica, pero
existen marcadas diferencias en las embarcaciones, en el equipo y
en las técnicas de medición. Esta sección del texto universitario se
refiere a los procedimientos básicos para ejecutar levantamientos
hidrográficos de alcance limitado, relativos a la práctica de la
ingeniería civi l y pesquera en aspectos tales como mejoramiento
de las vías acuáticas, construcción de diques y puertos, control de
erosión en playas y disposición de residuos de drenaje. 2 azolvar v tr 1111 Tapar u obstruir lodo o basura algún conducto o cana l, de modo que impide el paso del agua 2222 Depositar las corr ientes mar inas o f luvia les arena y otros mater ia les en el fondo, disminuyendo su profundidad.
357
21.2.21.2.21.2.21.2. CCCCARACTERÍSTICAS DEL LARACTERÍSTICAS DEL LARACTERÍSTICAS DEL LARACTERÍSTICAS DEL LEVANTAMIENTO EVANTAMIENTO EVANTAMIENTO EVANTAMIENTO HHHH IDROGRÁFICOIDROGRÁFICOIDROGRÁFICOIDROGRÁFICO
Los levantamientos hidrográficos se caracterizan por las
mediciones y observaciones que se l levan a cabo para determinar
y, posteriormente, representar la topografía submarina y
subacuática, as í como para local izar diversos rasgos marítimos de
interés para el navegante. A continuación se mencionan las
principales características de un levantamiento hidrográfico:
1. RECONOCIMIENTO. Aunque la principal f inal idad del levantamiento
hidrográfico es la obtención de la hidrografía o la real ización de
sondeos, no puede
l levarse a cabo hasta que
se hayan efectuado
ciertas actividades
prel iminares. La primera
de ellas es el cuidadoso
reconocimiento del área
con el fin de seleccionar
la forma más expedita de
real izar el levantamiento y planear todas las operaciones para
que los trabajos se ejecuten satisfactoriamente, conforme a las
ins trucciones generales y especif icaciones que los rigen. El uso
de fotografías áreas puede ser de gran uti l idad es este estudio
prel iminar.
2. CONTROL HORIZONTAL. Es la siguiente etapa y consiste en el
establecimiento del control horizontal, o sea, el marco de
referencia mediante el cual los rasgos terres tres y marinos se
representan en su verdadera posición relativa. El control
horizontal se proporciona comúnmente por tr iangulación y, en
menor grado, por pol igonación. No es posible definir, en forma
general, la precisión de dicho control.
358
En levantamientos originales de grandes cuerpos de agua,
podría requeri rse una triangulación de segundo o tercer orden.
Para levantamientos aislados de presas pequeñas o alejadas,
podría resultar satisfactorio un sis tema de control combinando
métodos de estadia y de tr iangulación gráfica con plancheta.
El control f i jado previamente es una ventaja muy importante en
cualquier levantamiento hidrográfico. Deben obtenerse y
util i zarse los datos de levantamientos anteriores del área. A
veces se podría localizar un número suficiente de estaciones
para satisfacer los requerimientos de un estudio de
actualización, y no será necesario establecer un nuevo control
horizontal.
3. CONTROL VERTICAL antes de iniciar los trabajos de sondeos, es
esencial ejecutar el control vert ical , a f in de conocer la elevación
del área cuando se hagan los sondeos. Tales datos de control
también se requieren para la poca topografía que muestran
todas las cartas náuticas. Cuando se trabaja en cuerpos de agua
sujetos a mareas, cuyo nivel de marea baja no se conoce, es
necesario establecer una estación de mareógrafo y observar las
f luctuaciones de la marea, a fin de definir un plano de referencia
359
para los sondeos. Luego se l iga este datum3 a una o más bancos
de nivel cercanos, mediante nivelación.
4. LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO . Se levanta la franja costera que
aparecerá en el plano o carta. Como el único interés del
navegante está en los rasgos prominentes del terreno que
pudieran exist ir en el área, sólo se muestra una franja de
topografía relativamente estrecha.
5. H IDROGRAFÍA. La medición de tirantes de gua es la operación
más importante en la cartografía náutica y en los estudios
hidrográficos de ingeniería.
6. ELABORACIÓN DEL PLANO HIDROGRÁFICO O CARTA NÁUTICA. Este
consti tuye usualmente el producto f inal del levantamiento
hidrográfico. En el caso de levantamientos subacuáticos para
f ines de ingeniería, el producto final podría ser el cálculo de
cantidades de sedimento dragado, o el dibujo de los perf iles
necesarios para la construcción bajo el agua.
22221111.3. .3. .3. .3. LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOSLEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOSLEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOSLEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS Y DE COSTASY DE COSTASY DE COSTASY DE COSTAS
Aunque en una carta náutica los datos más importantes son las
profundidades del agua, los rasgos topográficos de la costa marina
o de un lago son indispensables para orientar al marino y mejorar
la apariencia del plano. Los levantamientos topográficos
3 En geodesia un datum es un conjunto de puntos de referencia en la
superf ic ie terrest re en base a los cuales las medidas de la pos ición son tomadas y un modelo asociado de la forma de la t ierra (e l ipso ide de referenc ia) para def in ir el s istema de coordenadas geográfico. Datums horizontales son ut i l izados para descr ib ir un punto sobre la superf ic ie terrestre. Datums vert icales miden elevaciones o profundidades. En ingeniería y draft ing, un datum es un punto de referencia, superf ic ie o ejes sobre un objeto con los cua les las medidas son tomadas.
Un datum de referencia (modelo matemático) es una superf ic ie constante y conocida ut il izada para describ ir la local ización de puntos sobre la tierra. Dado que diferentes datums t ienen diferentes rad ios y puntos centrales, un punto medido con diferentes datums puede tener coordenadas diferentes. Existen cientos de datums de referenc ia desarro l lados para referenciar puntos en determinadas áreas convenientes para esa área. Datums contemporáneos están diseñados para cubrir áreas más grandes.
360
suministran esta información. En el pasado, la mayoría de esos
trabajos se hacía con plancheta y, a veces, con estadia. Pero en la
actualidad, tales métodos de topografía terrestre se util izan solo en
estudios hidrográficos de l imitada extensión, o para obtener la
información necesaria para actualizar periódicamente los rasgos
culturales del área costera representada en una carta o plano.
En los estudios hidrográficos recientes de cierta magnitud, el
método aerofotogramétrico ha desplazado a los procedimientos
cartográficos terrestres, por las notables economía en tiempo y en
costo que ha producido su apl icación. Asimismo, ha faci li tado la
detección de arreci fes y bancos de arena, mediante el examen de
fotografía áreas por parte de un experto en fotointerpretación.
22221111.4. .4. .4. .4. EQUIPO PARA HIDROGRAFÍAEQUIPO PARA HIDROGRAFÍAEQUIPO PARA HIDROGRAFÍAEQUIPO PARA HIDROGRAFÍA
Los modernos barcos son plantas cartográficas móvi les,
completamente autosuficientes. Llevan cons igo el equipo y
personal necesarios para efectuar la misión de cartografía
hidrográfica, incluyendo la obtención de fotografías áreas, la
ejecución de control horizontal y vert ical, el desarrol lo de la
hidrografía y la reproducción de los planos terminados. En los
siguientes párrafos nos limitaremos a describir brevemente los
t ipos de equipos que se requerirían para real izar operaciones de
sondeo en un lago, presa o puerto, con un pequeño bote o lancha,
y no los usuales en un barco d estudios hidrográficos que suelen
operar a varios kilómetros de la costa.
LANCHAS. Se util izan varios tipos de lanchas y botes pequeños. La
mayoría de las embarcaciones de peca o de trabajo resultan
satisfactorias por su buenas condiciones de flotación,
comportamiento confiable del motor a bajas velocidades, y porque
pueden adaptarse a las diversas operaciones inherentes a los
estudios hidrográficos. Para levantamientos limitados a áreas
protegidas pueden usarse botes pequeños, como los salvavidas.
361
Estos t ienen fondo redondeado y suficiente qui l la para mantener un
curso di recto. Pueden accionarse con motores fuera de borda.
BALIZA DE SONDEAR. En profundidades de agua hasta de 3,50
metros, los sondeos pueden efectuarse fáci lmente con una bal iza
de sondear. Esta puede hacerse con una vara de madera
redondeada, de 4 centímetros de diámetro y de 4,50 metros de
largo, con graduaciones pintadas a intervalos de un metro y 1º
centímetros, y con una pata de metal en cada extremo, para poder
hundirla con rapidez.
Sondaleza. Consis te en una cuerda de buena cal idad y longitud
adecuada, en cuyo extremo se coloca una pesa o plomo de
sondear. La sondaleza puede estar graduada en brazas o metros,
de varios modos, para que no se dificulte leer el nivel del agua. En
los trabajos de sondeo, se aja la pesa hasta que toca el fondo, y
una vez que la cuerda este vert ical y tensa, se determina la
profundidad mediante su graduación.
Incluso una cuerda bien templada cambiara de longitud como
resultado del uso normal . Por tanto, habrá que veri f icar su longitud
a intervalos regulares, comparándola con una cinta de acero y, si
es necesario, deberán aplicarse las correcciones apropiadas a las
profundidades observadas.
ECOSONDA. En estudios hidrográficos modernos de cierta
importancia, las mediciones de la profundidad del agua se
efectúan con un instrumento denominado ecosonda. El ecosondeo
es un método para determinar profundidades de agua midiendo el
t iempo que requieren las ondas de sonido viajar de un punto
cercano a la superf icie del agua hasta el fondo, y de regreso. La
ecosonda está diseñada para generar una señal, transmitir la hacia
abajo, recibir y amplif icar el eco, medir el intervalo de tiempo
transcurrido y convert ir automáticamente este intervalo en metros o
brazas de profundidad. La ecosonda puede indicar la profundidad
en forma digital o graficarla en un rol lo de papel especial. En él
cada l ínea de ecosondeo proporciona un perf il dl fondo del lago o
puerto bajo el curso de la lancha, aun cuando esta avance a toda
362
velocidad. Las profundidades del agua pueden medirse a escala
en la gráfica resultante.
FIGURA N° 21.1. REPRESENTACIÓN DE LA OPERACIÓN DE SONDEO
22221111.5. .5. .5. .5. OPERACIONES DE SONDEOOPERACIONES DE SONDEOOPERACIONES DE SONDEOOPERACIONES DE SONDEO
Los trabajos de sondeo consti tuyen el elemento básico del
levantamiento hidrográfico. Sin embargo, la determinación de la
profundidad resultará inúti l a menos que se obtenga
simultáneamente la posición horizontal del punto de medición.
Aunque puede recurrirse a una gran diversidad de métodos para
localizar los sondeos, solo se mencionaran aquí a tres de los
principales.
363
1. Por alineación y un ángulo desde la costa. La figura adjunta
esquematiza un método común para local izar sondeos en
lagunas. La embarcación se mantiene sobre una línea, dir igida
por señales desde la costa, y se obtienen lecturas a intervalos
regulares en los mismos instantes en que la proa del bote o
cualquier otra parte adecuada de éste sea ”cortada” por una
visual de teodoli to desde la estación costera, A.
FIGURA N° 21.2. LOCALIZACIÓN DE SONDEOS POR ALINEACIÓN Y ÁNGULO DESDE LA COSTA
Es preciso que el operador del teodol i to y la brigada de la lancha
sincronicen sus relojes antes de iniciar los trabajos, y que
observen y registren la hora de cada lectura. Solo así podrá
identi ficarse la posición de cada sondeo cuando vayan a
anotarse las profundidades en la libreta del teodoli to.
364
2. Por dos ángulos desde la costa. Donde es di fícil establecer
direcciones porque la costa presenta fuerte pendiente
transversal o es muy boscosa, o donde las corrientes del r ío
dif iculten mantener la ancha en una l ínea, la pos iciones de
los sondeos puede determinarse mediante ángulos leídos
simultáneamente desde dos estaciones de teodol i to, en la
costa. A una señal conveniente de la brigada de la lancha,
ambos operadores de teodol ito visan algún objeto definido
sobre la embarcación –al operador de la sonda por ejemplo-
y leen cada uno el ángulo horizontal.
3. Por dos ángulos desde la lancha. Un método importante y
muy usual para localizar la posición de ondeos, es el que se
conoce como intersección de los tres putos con sextante.
Este procedimiento implica la medición simultánea, a bordo
de la lancha de sondeo, de dos ángulos horizontales entre
tres señales de posiciones conocidas, ubicadas en la costa.
Los ángulos se miden con sextantes en el mismo momento
en que se mide la profundidad. En seguida se determinan la
posición de la embarcación con un transportador de tres
brazos que resuelve gráficamente el problema de los tres
puntos. La ventaja de este método radican en que todas las
operaciones dl levantamiento hidrográfico se realizan aborde
de la lancha; la frecuencia de las lecturas y su cubrimiento de
áreas son fáci lmente definibles, y la lancha puede ser dirigida
a aquel los puntos del lago, rio o puerto en que parezca
necesario un trabajo hidrográfico adicional.
365
FIGURA N° 21.3. LOCALIZACIÓN DE SONDEOS POR DOS ÁNGULOS DESDE UNA LANCHA
22221111....6666. . . . PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOS
a) Representar gráficamente las curvas batimétricas, cuyas
medidas se muestran en la figura
366
b) Representar gráficamente las curvas batimétricas, cuyas
medidas se muestran en la figura
B
R4 R6R8
R10
A
R9R7R5R3
121.25
123.36
125.63
124.35
122.34
121.15
123.02
125.43
123.35
121.84
121.56
123.12
125.96
124.12
122.25
121.85
123.85
125.98
124.63
121.25
121.25
123.36
125.63
124.35
122.34
121.15
123.02
125.43
123.35
121.84
121.56
123.12
125.96
124.12
122.25
121.85
123.85
125.98
124.63
121.25
367
CAP ÍTULO XXII
CURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICASCURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICASCURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICASCURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICAS
22222222.1..1..1..1. IIIINTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓN
Al elaborar un plano hidrográfico, se pueden t razar las curvas de
nivel s i se conocen la pos ición horizontal y la elevación de
algunos puntos del fondo marino convenientemente escogidos. La
manera de obtener los datos necesarios es la base para definir
cuatro sistemas de puntos para el trazo de curvas. Son las
siguientes:
22222222.2..2..2..2. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA A.A.A.A.
Este sistema cons iste en una cuadricula estacada en el fondo
acuático. Se determinan las elevaciones de las esquinas para
formar un sis tema de puntos de coordenadas a part i r de los
cuales pueden dibujarse las curvas de nivel.
368
F IGURA N° 22.1. CUADRÍCULAS ESTACADAS PARA EL SISTEMA A
F IGURA N° 22.2. CURVAS BATIMÉTRICAS TIPO SISTEMA A
900
902 904
906
908
369
22222222.3..3..3..3. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA B.B.B.B.
Si se local iza en el terreno o fondo acuático una serie de puntos
con la misma elevación y se dibujan en un plano, la l ínea que los
une será una curva de nivel. Por lo tanto, s i se dibuja una serie de
puntos que tienen que t ienen la elevación, por ejemplo, 914
metros, la curva de nivel 914 se determina uniendo los puntos con
una l ínea continua.
F IGURA N° 22.3. CUADRÍCULAS ESTACADAS PARA EL SISTEMA B
910
910
910
912
912
912
912
912
912
914
914
914
914
914
914
914
370
F IGURA N° 22.4. CURVAS BATIMÉTRICAS TIPO SISTEMA B
22.4.22.4.22.4.22.4. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA C.C.C.C.
Aunque el s istema B proporciona curvas de nivel muy precisas,
requiere de la localización de muchos puntos. Si no se necesita
tanta precisión puede emplearse un método más rápido
consistente en local izar algunos puntos de control, y después
interpolar las curvas para representar la superf icie del terreno.
Tales puntos corresponden a cimas, depresiones, cambios de
pendiente, y especialmente puntos a lo largo de causes y
parteaguas.
371
22.5.22.5.22.5.22.5. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA D.D.D.D.
En este sistema primero se traza una pol igonal de tránsito,
clavando trompos a cada 20 metros sobre los que se efectúan
nivelaciones de perfi l . En estos puntos se levantan secciones
transversales para local izar los puntos para la configuración, los
fondos de los escurrideros, etc. A part ir de este sistema de puntos
ya es posible dibujar las curvas de nivel.
22.6.22.6.22.6.22.6. IIIINTERPOLACIÓN DE NTERPOLACIÓN DE NTERPOLACIÓN DE NTERPOLACIÓN DE CCCCURVAS URVAS URVAS URVAS DE DE DE DE NNNN IVELIVELIVELIVEL
En los sis temas A y C, es necesario interpolar entre los puntos
dibujados para local izar las posiciones de las curvas. Esta
interpolación puede hacerse por estimación, por cálculo o por
métodos gráficos.
a)a)a)a) Por Estimación. Por Estimación. Por Estimación. Por Estimación. Se uti l iza este método cuando no se requiere
exacti tud, cuando las formas del terreno son bastante
regulares, y cuando la escala del plano es intermedia o
pequeña.
b)b)b)b) Por cálculoPor cálculoPor cálculoPor cálculo. Se util iza este método cuando se requiere obtener
gran exacti tud, y cuando la escala del plano es intermedia o
grande.
c)c)c)c) Por el método gráfico. Por el método gráfico. Por el método gráfico. Por el método gráfico. Se van a hacer muchas interpolaciones y
se pretende obtener una exacti tud relativamente alta, resul tará
más rápido y conveniente usar una escala proporcional
mediante la cual pueden interpolarse los pasos de las curvas.
372
Esta escala se constituye en tela o papel transparente,
marcando en ella l íneas paralelas (a cualquier escala
adecuada) para representar el intervalo requerido entre curvas
de nivel.
F IGURA N° 22.5. ESCALA PARA INTERPOLACIÓN DE CURVAS DE NIVEL
373
22.22.22.22.7777.... PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS PROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOS
a) Representar gráficamente las curvas cuyas cuadriculas se
muestran en la figura.
374
b) Representar gráficamente las curvas cuyas cuadriculas se
muestran en la figura.
910
910
910
912
912
912912
912
912
914
914
914
914
914
914
914
375
Capítulo XIII
LEVANTAMIENTOLEVANTAMIENTOLEVANTAMIENTOLEVANTAMIENTO PARA OBRAS Y PARA OBRAS Y PARA OBRAS Y PARA OBRAS Y
CONSTRUCCIONESCONSTRUCCIONESCONSTRUCCIONESCONSTRUCCIONES
22223333.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN
Los trabajos topográficos para obras y construcciones incluyen
generalmente: 1) un levantamiento topográfico del lugar, para
util izarse en la preparación de los planos de las estructuras; 2) el
establecimiento en el terreno de un sistema de estacas o de otras
marcas, tanto en planta como en elevaciones, de las cuales se
pueden tomar medidas para las terracerías y para las estructuras
por el personal encargado de la construcción; 3) dar l ínea y niveles
según sea necesario, para reponer las estacas movidas por la
construcción o para local izar puntos adicionales en la misma
estructura; y 4) hacer las medidas necesarias para comprobar la
posición de las partes de la estructura y para determinar el
volumen de trabajo ejecutado a una fecha determinada
(generalmente cada mes), como una base para el pago al
contratis ta.
En conexión con la construcción, a menudo es necesario hacer
levantamientos de los l inderos como base para la adquis ición de
terrenos o derechos de vía. Los métodos detallados que se
emplean en los levantamientos para la construcción varían mucho
con el t ipo, si tuación, y tamaño de la estructura y con la
preferencia que tengan las organizaciones de ingeniería y de
construcción. Mucho depende de la pericia del topógrafo con el
objeto de que se dé la información correcta sin confusión ni
esfuerzo innecesarios. El levantamiento topográfico del lugar de la
estructura debe incluir terrenos adyacentes que tengan la
probabil idad de uti l izarse para la planta de construcción, caminos,
o estructuras auxiliares. Las fotografías aéreas son auxi liares útiles
para la planeación de la construcción.
376
22223333....2222. ALINEAMIENTO. ALINEAMIENTO. ALINEAMIENTO. ALINEAMIENTO
Generalmente se clavan estacas y otras marcas temporales en los
vért ices de la estructura propuesta, como una guía aproximada
para empezar la excavación. Fuera de los l ímites de la misma, o
de donde se puedan mover, pero lo suficientemente cerca para
que resulten cómodas, se colocan estaciones permanentes bien
referidas. Pueden ponerse señales permanentes o marcas para
orientar cómodamente el tránsito en las l íneas principales de la
estructura y para visar a lo largo de esas líneas a ojo. Se colocan
estacas u otras señales en todas las l íneas importantes para
marcar con claridad los límites de la obra. En muchos casos, la
l ínea y la rasante se dan más cómodamente en tablas clavadas en
estacas que con estacas. Esas tablas son, generalmente, de 2.5 X
15 cm clavadas en unos postes fuertes (generalmente, con una
sección de 5 X 10 cm) con la tabla horizontal estando su canto
superior a un número entero de metros arriba o debajo de la
rasante. El alineamiento se fi ja clavando un clavo en el canto
superior de la tabla. Entre cada dos de estas tablas se estira una
cuerda fuerte o alambre para marcar la l ínea y la rasante. A
menudo, no es pos ible establecer señales permanentes en la l ínea
de la estructura. En este caso, la l ínea del levantamiento se traza
paralela a la de la es tructura, tan cerca como sea posible a una
distancia que sea un número entero de metros.
22223333.3. RASANTE.3. RASANTE.3. RASANTE.3. RASANTE
Se establece un sis tema de bancos de nivel cerca de la estructura,
en lugares favorables, que probablemente no estén sujetos a
cambiarse. Se tomaran todos los cuidados posibles para conservar
los bancos de nivel de los levantamientos estatales o federales, si
durante la construcción es necesario quitar esos bancos se deberá
notif icar a la dependencia correspondiente y los bancos se
cambiaran de acuerdo con sus instrucción. Las diferentes rasantes
377
y elevaciones se definen en el terreno por medio de trompos y de
tablas clavadas en postes, como guías para los trabajadores. Los
trompos que marcan las rasantes pueden o no ser los mismos que
sirvan para dar l ínea. Cuando se usan estacas, se pueden tomar
las medidas verticales de la cabeza de la estaca, de una marca de
crayón o de un clavo puesto de un costado de la estaca, o (para
excavación) de la superf icie del terreno donde se encuentra la
estaca; para evitar equivocaciones, solamente se empleará un
sistema de puntos de referencia para las medidas en cada clase
de trabajo. Cuando se uti l izan tablas clavadas en postes las
medidas vert icales se toman del canto superior de la tabla, cuando
es horizontal. Las estacas o las tablas se pueden colocar a la
rasante. Cuando se va a clavar una estaca de manera que su
cabeza quede a una elevación dada, el es tadalero comienza a
clavarla y luego coloca el estadal sobre la estaca. El nivelador lee
el estándar y, dice la distancia en que debe encajarse la estaca
para que l legue a la rasante. El estadalero clava la estaca la
cantidad deseada, y se toma una segunda lectura de estadal;
continuando de esta manera el proceso hasta que la lectura del
estadal sea igual a la diferencia entre la altura de instrumento y la
elevación deseada. Se puede util izar una marca o un clavo en uno
de los costados de la estaca en vez de la cabeza de la misma. En
algunos casos, se corta con un serrote a la elevación deseada. Si
la elevación de la rasante está a corta distancia de la elevación del
terreno, a menudo se hace un hoyo en el terreno para colocar la
estaca a la rasante.
378
22223333.4. TRAZO.4. TRAZO.4. TRAZO.4. TRAZO DE EDIFICIOSDE EDIFICIOSDE EDIFICIOSDE EDIFICIOS
Al empezar la excavación, se marcan las esquinas del edificio con
estacas, que por cierto se perderán al proseguir la excavación. Se
pondrán l íneas de referencia en cada uno de los lados del
perímetro de construcción y en las l íneas de las columnas, de
preferencia en la línea que pase por el centro de las paredes o
columnas.
En cada extremo de los lados del perímetro de construcción se
pondrá una tabla clavada en postes aproximadamente a un metro
de la ori lla de la excavación. Si el terreno lo permite, los cantos
superiores de todas las tablas se pondrán a la misma elevación; en
cualquier caso, las tablas que van en los extremos opuestos de
una l ínea dad (o porción de la misma) se colocan a la misma
elevación de manera que una cuerda tendida entre ellas quede a
nivel. Las elevaciones se el igen en un número entero de metros
arriba del fondo de la excavación, generalmente del piso, en vez
del desplante de los cimientos. Cuando se ha clavado la tabla a los
postes, se clava un clavo en le canto superior de la tabla siguiendo
la l ínea de construcción, que se obtiene con el tránsi to. Hi los
tendidos entre tablas opuestas definen tanto la l ínea como la
pendiente, y los trabajadores pueden tomar medidas
cómodamente para la excavación, para colocar moldes, y para
al inear la mampostería o las estructuras.
379
FIGURA N° 23.1. LÍNEAS BASE PARA EL TRAZADO DE UN EDIFICIO
Si el espacio alrededor del edi ficio está obstruido de manera que
no es posible poner tablas clavadas en postes, se recurre a otros
medios para afrontar la si tuación. Cuando se termina la
excavación, se dan los niveles para las zapatas de los muros y de
las columnas con trompos clavados a la elevación requerida ya
sea para la corona de las zapatas o para la parte superior del piso.
Las bases de las columnas y para los muros las pone a su nivel
directamente el nivelador. Las bases de las columnas y para los
muros las pone a su nivel directamente el nivelador.
BASE AUXILIAR MIRA
REFERENCIA
380
FIGURA N° 23.2. OTRO TRAZADO DE LÍNEAS BASE DE UN EDIFICIO
22223333.5. ALCANTARILLAS.5. ALCANTARILLAS.5. ALCANTARILLAS.5. ALCANTARILLAS
En la intersección del eje de la alcantaril la con la línea local izada,
se mide el ángulo de intersección, y la l ínea que define la dirección
de la alcantaril la se traza una línea que defina la boquil la y se
refiere. Si es necesario hacer canalizaciones en el cauce, se
LÍNEA BASE AUXILIAR
PERÍMETRO
DEL EDIFICIO
381
estaca de manera semejante a la de un corte de terracería. Se
ponen bancos de nivel cerca, y puntos de l iga para nivelar con
comodidad la alcantari lla. Se dan líneas y niveles según lo requiera
el t ipo de estructura de que se trate.
22223333.6. LAS.6. LAS.6. LAS.6. LAS CALLESCALLESCALLESCALLES
Para la construcción de cal les el procedimiento topográfico es
semejante que se util iza para las carreteras. Ordinariamente se
construye primero la guarnición. La l ínea y la rasante de la parte
superior de cada guarnición se indica por medio de trompos
clavados junto a la l ínea exterior de la guarnición, generalmente, a
intervalos de 10 m. luego se marca el nivel de la oril la del
pavimento en la cara de la guarnición terminada. Se clavan
trompos en el terreno en la l ínea central del pavimento, ya sea al
nivel de la subrasante terminada o con el corte o terraplén
indicados en el trompo sobre una estaca adyacente. Cuando la
cal le es ancha, se puede trazar una hi lera intermedia de trompos
entre la l ínea central y la guarnición. Generalmente, es necesario
retrazar los trompos después de que se ha hecho la terracería de
la cal le. Cuando no es posible clavar estacas por exist ir pavimento
o terreno duro, se pueden clavar clavos o pijas o se pueden labrar
o pintar marcas en su superf icie. Los levantamientos para trazar o
construir cal les deben determinar la si tuación de todas las
instalaciones superficiales y subterráneas que puedan afectar el
proyecto, y se noti f icaran los cambios necesarios con la debida
anticipación.
22223333.7. SISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍA.7. SISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍA.7. SISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍA.7. SISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍASSSS
La línea central de una alcantaril la propuesta se local iza en el
terreno con estacas u otras marcas colocadas generalmente a
intervalos de 10 m donde las pendientes son uni formes, y hasta 5
m en las curvas vert icales. A un lado de esta l ínea, a una distancia
382
suficiente para que no se mueva durante la construcción, se traza
una línea paralela de estacas. Se pone un testigo al lado de cada
trompo, con cara escrita hacia la línea; en el lado más lejano de la
l ínea se marca el número de la estación y la distancia, y en el lado
más cercano a la l ínea se marca el corte. En las calles
pavimentadas o en los caminos duros donde es imposible clavar
estacas y trompos, la l ínea y la rasante se marcan con pijas
(encajadas hasta quedar al ras), marcas con cincel , o de pintura.
Cuando se ha excavado la cepa, se colocan tablas transversales
clavadas en postes a los intervalos que se emplean en el
cadenamiento.
El canto superior de la tabla se coloca a un número completo de
metros arriba de la cubeta de la alcantaril la (la superficie interior
del fondo de la alcantaril la); y se prepara un bastón de la misma
longitud. Se clava un clavo en el canto superior de cada tabla para
definir la l ínea. Al ir construyendo la alcantaril la, se esti ra una
cuerda entre estos clavos, y el extremo libre de cada tubo se pone
a la distancia correcta determinada por la medida del bastón. Si la
cepa se va a excavar a mano, se pueden omitir los trompos
laterales, y las tablas clavadas en postes se colocan al principio de
la excavación. Para las tuberías, el procedimiento es semejante
que para las alcantari llas, pero el intervalo entre los trompos para
dar niveles puede ser mayor, y se necesita menos cuidado para
colocar el tubo exactamente a la rasante. Tanto para alcantari llas
como tuberías, el volumen de excavación en tierra y en roca se
mide en la cepa, y se calculan los volúmenes de cada clase de
excavación como base de pago para el contratista. Los registros
de los levantamientos deben incluir la ubicación de las
instalaciones subterráneas, cruzadas, o adyacentes a la cepa.
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