UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

FLUXURI PARAMETRICE ŞI FLUXURI MULTICRITERIALE ÎN REŢELE

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

PARAMETRIC AND MULTICRITERIA FLOWS IN NETWORKS

ABSTRACT OF THE PH.D.THESIS

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC AUTOR PROF. DR. ELEONOR CIUREA MIRCEA PARPALEA

2012

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

BRAŞOV, B-DUL EROILOR NR. 29. 500036, TEL.0040-268-413000, FAX 0040-268-410525 RECTORAT

COMPONENŢA comisiei de doctorat

numită prin ordinul Rectorului Universităţii ,,Transilvania” din Braşov nr.5134/02.04.2012

PREŞEDINTE: Prof. Univ. Dr. Radu Păltănea Universitatea Transilvania din Braşov COND. ŞTIINŢIFIC: Prof. Univ. Dr. Eleonor Ciurea Universitatea Transilvania din Braşov REFERENŢI: Prof. Univ. Dr. Ioan Tomescu Universitatea din Bucureşti

Prof. Univ. Dr. Cornelius Croitoru Universitatea Al. I. Cuza din Iaşi

Conf. Univ. Dr. Adrian Deaconu Universitatea Transilvania din Braşov

Data, ora şi locul susţinerii publice a tezei de doctorat: 4 mai 2012, ora 11, Corp P, Sala P III 1 , Universitatea ,,Transilvania” din Braşov. Eventualele aprecieri sau observaţii, asupra conţinutului lucrării, vă rugăm să le transmiteţi în timp util pe adresa Universităţii Transilvania” din Braşov, Secretariat Doctorate, sau la adresa de mail parpalea@gmail.com

CUPRINS PREFAŢĂ 11. FLUXURI ÎN REŢELE 3 1.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE 3 1.2. FLUXURI MAXIME 4 1.2.1 Noţiuni generale 4 1.2.2 Algoritmi cu drumuri de mărire a fluxului 5 1.2.3 Algoritmi cu prefluxuri 6 1.3. FLUXURI MINIME 7 1.3.1 Noţiuni generale 7 1.3.2 Algoritmi cu drumuri de micşorare a fluxului 8 1.3.3 Algoritmi cu prefluxuri 9 1.3.4 Algoritmi pentru fluxul maxim aplicaţi de la nodul stoc la nodul sursă 10 1.4. FLUXURI DE COST MINIM 10 1.4.1 Problema fluxului de cost minim 10 1.4.2 Condiţii de optimalitate 11 1.4.3 Dualitatea pentru problema fluxului de cost minim 11 1.4.4 Legătura dintre fluxurile de cost minim şi potenţialele optime 12 1.5. FLUXURI DINAMICE 13 1.5.1 Problema fluxului dinamic 13 1.5.2 Reţeaua expandată 14 1.5.3 Reţeaua reziduală dinamică 14 1.5.4 Fluxuri dinamice staţionare 152. FLUXURI PARAMETRICE ÎN REŢELE 16 2.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE 16 2.2. FLUXURI PARAMETRICE MAXIME 16 2.2.1 Problema fluxului parametric maxim 16 2.2.2 Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric maxim 18 2.3. FLUXURI PARAMETRICE MINIME 21 2.3.1 Problema fluxului parametric minim 21 2.3.2 Algoritmul drumului cel mai scurt pentru problema fluxului parametric minim 22 2.3.3 Algoritmul secvenţial pentru problema fluxului parametric minim 27 2.3.4 Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric minim 30 2.3.5 Rezolvarea problemei fluxului parametric minim în reţele bipartite 32 2.3.6 Algoritmul parametric MINMAX pentru problema fluxului parametric minim 373. FLUXURI MULTICRITERIALE ÎN REŢELE 38 3.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE 38 3.2. FLUXURI BICRITERIALE ÎN REŢELE DINAMICE 42 3.2.1 Problema fluxului bicriterial în reţele dinamice 42 3.2.2 Algoritmul simplex pentru problema fluxului dinamic staţionar bicriterial de cost minim 43 3.2.3 Algoritmul drumurilor minime succesive pentru problema fluxului dinamic maxim bicriterial 45 3.2.4 O abordare parametrică a problemei fluxului dinamic bicriterial de cost minim 504. CONCLUZII 55 4.1. COMENTARII ASUPRA LUCRĂRII 55 4.2. COMPARAREA ALGORITMILOR ŞI DIRECŢII DE CERCETARE 55BIBLIOGRAFIE 57

CONTENTS FOREWORD 11. FLOWS IN NETWORKS 3 1.1. FUNDAMENTALS 3 1.2. MAXIMUM FLOWS 4 1.2.1 General terms 4 1.2.2 Flow augmenting paths algorithms 5 1.2.3 Preflow algorithms 6 1.3. MINIMUM FLOWS 7 1.3.1 General terms 7 1.3.2 Flow decreasing paths algorithms 8 1.3.3 Preflow algorithms 9 1.3.4 Maximum flow algorithms applied from the stock node to the source node 10 1.4. MINIMUM COST FLOWS 10 1.4.1 The problem of the minimum cost flow 10 1.4.2 Optimality conditions 11 1.4.3 Duality for the minimum cost flow problem 11 1.4.4 The connection between the minimum cost flows and the optimal potentials 12 1.5. DYNAMIC FLOWS 13 1.5.1 The problem of the dynamic flow 13 1.5.2 Expanded network 14 1.5.3 The dynamic residual network 14 1.5.4 Stationary dynamic flows 152. PARAMETRIC FLOWS IN NETWORKS 16 2.1. FUNDAMENTALS 16 2.2. PARAMETRIC MAXIMUM FLOWS 16 2.2.1 The parametric maximum flow problem 16 2.2.2 The partitioning algorithm for parametric maximum flow problem 18 2.3. PARAMETRIC MINIMUM FLOWS 21 2.3.1 The parametric minimum flow problem 21 2.3.2 Shortest path algorithm for the parametric minimum flow problem 22 2.3.3 Sequential algorithm for the parametric minimum flow problem 27 2.3.4 Partitioning algorithm for parametric minimum flow problem 30 2.3.5 Solving the parametric minimum flow problem in bipartite networks 32 2.3.6 Parametric MINMAX algorithm for the parametric minimum flow problem 373. MULTICRITERIA FLOWS IN NETWORKS 38 3.1. FUNDAMENTALS 38 3.2. BICRITERIA FLOWS IN DYNAMIC NETWORKS 42 3.2.1 The bicriteria flow problem in dynamic networks 42 3.2.2 Network simplex algorithm for the static dynamic minimum cost flow problem 43 3.2.3 Successive shortest paths algorithm for the bicriteria maximum dynamic flow problem 45 3.2.4 A parametric approach to the bicriteria minimum cost dynamic flow problem 504. CONCLUSIONS 55 4.1. COMMENTS ON THE THESIS 55 4.2. COMPARISON OF ALGORITHMS AND FUTURE RESEARCH DIRECTIONS 55REFERENCES 57

PREFAŢĂ Algoritmica fluxurilor în reţele reprezintă un domeniu care a cunoscut în ultimul timp o dezvoltare puternică nu numai datorită numeroaselor aplicaţii directe în rezolvarea problemelor din viaţa reală dar şi pentru că algoritmii eficienţi care au fost dezvoltaţi pot fi utilizaţi pentru rezolvarea unor sub-probleme ale altor probleme mai generale din domeniul algoritmicii grafurilor sau al cercetării operaţionale. O generalizare firească a problemelor clasice de fluxuri în reţele poate fi obţinută prin înlocuirea capacităţilor constante sau a marginilor inferioare constante ale unor arce ale reţelelor cu funcţii care depind linear de un parametru.

Modelul fluxurilor în reţele statice a reprezentat un instrument valoros pentru descrierea şi rezolvarea a numeroase probleme concrete şi, ca urmare, au fost dezvoltaţi algoritmi eficienţi pentru rezolvarea acestor probleme. Totuşi, modelul static nu surprinde proprietatea dinamică de evoluţie în timp a problemelor din viaţa reală. În mod incontestabil, problemele de flux în reţele dinamice au complexitate mai mare în comparaţie cu cele statice. Pe de altă parte, în numeroase probleme de optimizare, în alegerea soluţiei optime se iau în considerare mai multe criterii care pot fi conflictuale şi pentru care nu există o singură soluţie care să le optimizeze simultan. Îmbinând cele două aspecte prezentate, se obţine problema fluxurilor multicriteriale în reţele dinamice. Lucrarea de faţă abordează problemele fluxurilor în reţele parametrice şi a fluxurilor multicriteriale în reţele dinamice.

În primul capitol sunt prezentate noţiunile şi problemele necesare abordării temelor din lucrare. Următoarele două capitole prezintă algoritmi pentru rezolvarea problemelor fluxurilor parametrice în reţele şi a problemelor fluxurilor bicriteriale în reţele dinamice. Fiecare algoritm prezentat este însoţit de un exemplu concret, sugestiv şi original în care este ilustrat modul de execuţie a algoritmului într-o reţea dată. Ultimul capitol al lucrării cuprinde comentarii asupra contribuţiilor originale ale autorului precum şi elemente de comparare a algoritmilor prezentaţi în lucrare şi posibile direcţii de cercetare.

Primul capitol al lucrării, Fluxuri în reţele, descrie în prima secţiune noţiunile fundamentale necesare în următoarele secţiuni. În secţiunea 1.2 se prezintă problema fluxului maxim în reţele şi algoritmii pentru rezolvarea acestei probleme, atât în varianta algoritmilor cu drumuri de mărire a fluxului (paragraful 1.2.2), cât şi în varianta algoritmilor cu prefluxuri (paragraful 1.2.3). Secţiunea 1.3 prezintă algoritmii pentru determinarea fluxului minim în reţele: algoritmi cu drumuri de micşorare a fluxului (paragraful 1.3.2), algoritmi cu prefluxuri (paragraful 1.3.3) şi algoritmi pentru fluxul maxim aplicaţi de la nodul stoc t la nodul sursă (paragraful 1.3.4). Secţiunea 1.4 este dedicată problemei fluxurilor de cost minim în reţele, prezentând condiţiile de optimalitate (paragraful 1.4.2), dualitatea pentru problema fluxului de cost minim (paragraful 1.4.3) şi trecând în revistă principalii algoritmi pentru obţinerea fluxurilor de cost minim (paragraful 1.4.4). În ultima secţiune a primului capitol, secţiunea 1.4, este prezentată problema fluxului în reţele dinamice (paragraful 1.5.1), descriindu-se reţeaua expandată (paragraful 1.5.2), reţeaua reziduală dinamică (paragraful 1.5.3) şi cazul fluxului dinamic staţionar (paragraful 1.5.4).

s

Capitolul al doilea, Fluxuri parametrice în reţele, prezintă în prima secţiune terminologia şi problematica generală a fluxurilor parametrice, trecând în revistă contribuţia altor cercetători şi stadiul actual al problemei fluxului parametric maxim, cazul fluxului parametric minim nefiind abordat de alţi cercetători. Secţiunile următoare, 2.2 şi 2.3 conţin rezultate originale şi abordează

1

problema fluxurilor parametrice maxime şi respectiv a fluxurilor parametrice minime. Pentru problema fluxului parametric în reţele a fost propusă o abordare originală de partiţionare care constă în determinarea la fiecare iteraţie a unei îmbunătăţiri a fluxului numai pentru un subinterval al valorilor parametrului, generat prin partiţionarea indusă de punctele de frângere ale funcţiei capacitate reziduală parametrică a drumului de mărire (micşorare) condiţională din reţeaua reziduală parametrică. Principalul avantaj constă în faptul că algoritmul operează cu funcţii lineare în reţele reziduale definite pe subintervale ale intervalului de valori ale parametrului ceea ce conduce la simplificarea modului de determinare a drumurilor de mărire (micşorare) a fluxului şi în consecinţă la micşorarea complexităţii. Lucrarea prezintă atât algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric maxim (paragraful 2.2.2) cât şi algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric minim (paragraful 2.3.4). Algoritmii au fost descrişi în lucrările [31] şi [83]. Pentru rezolvarea problemei fluxului parametric minim, problemă care nu a mai fost abordată în literatura de specialitate, a fost propusă o extindere la cazul parametric a algoritmului drumului cel mai scurt (paragraful 2.3.2), algoritm publicat în lucrarea [32] şi a algoritmului secvenţial (paragraful 2.3.3) publicat în lucrarea [30]. Paragraful 2.3.6 prezintă dezvoltarea metodei minmax de determinare a fluxurilor parametrice minime pe baza algoritmilor de flux parametric maxim aplicaţi de la nodul stoc t la nodul sursă , publicată în lucrarea [81]. Algoritmul propus pentru cazul fluxurilor parametrice minime în reţele bipartite (paragraful 2.3.5) se bazează pe metoda drumului cel mai scurt şi a fost publicat în volumul conferinţei internaţionale [33] şi în lucrarea [34].

s

Capitolul al treilea, Fluxuri multicriteriale în reţele, după ce prezintă stadiul actual al problemei, propune trei algoritmi pentru cazul fluxurilor bicriteriale de cost minim în reţele dinamice. Algoritmul de determinare a unui flux de cost minim pe baza metodei simplex în reţele reprezintă conţinutul articolului publicat în lucrarea [82]. Primul algoritm al capitolului al treilea (paragraful 3.2.2) constituie o extindere originală a metodei simplex multicriteriale la cazul reţelelor dinamice şi a fost publicat în lucrarea [80]. Al doilea algoritm, descris în paragraful 3.2.3 reprezintă o adaptare a metodei drumurilor minime succesive la problema fluxului dinamic maxim bicriterial şi a fost publicat în volumul conferinţei internaţionale [84] şi în lucrarea [85]. În fine, al treilea algoritm (paragraful 3.2.4) propune o abordare parametrică originală de rezolvare a problemei fluxurilor bicriteriale de cost minim în reţele pe baza drumurilor minime determinate printr-o etichetare parametrică. Algoritmul înlocuieşte cele două funcţii cost cu o singură funcţie cost dinamic parametric şi determină drumurile parametrice minime pentru subintervale succesive ale valorilor parametrului. Algoritmul a fost publicat în lucrarea [79].

Ultimul capitol, Concluzii, trece în revistă elementele de noutate prezentate în lucrare şi descrie succint contribuţiile originale ale autorului la problematica abordată. Eficientizarea algoritmilor de determinare a fluxurilor parametrice în reţele prin metoda implementării paralele a fost publicată în volumul conferinţei internaţionale [95] şi în lucrarea [96]. Secţiunea 4.2 analizează comparativ algoritmii descrişi în lucrare şi menţionează totodată posibile direcţii de cercetare.

Autorul aduce mulţumiri cu acest prilej conducătorului ştiinţific, Domnul Prof. Dr. Eleonor Ciurea, pentru sprijinul constant acordat în activitatea ştiinţifică şi în alcătuirea lucrării.

2

1. FLUXURI ÎN REŢELE 1.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE

Definiţia 1.1 Se numeşte graf orientat un triplet ),,( gANG = format dintr-o mulţime N de elemente numite noduri (vârfuri) ale grafului, o mulţime de elemente numite arce ale grafului şi o aplicaţie

ANNAg ×→: numită funcţie de incidenţă, prin care fiecărui element Aa∈ i se

asociază o pereche ordonată cu NNji ×∈),( ji ≠ .

Definiţia 1.2 Într-un graf orientat , se numeşte lanţ de la nodul la nodul o secvenţă unde

),,( gANG = 1i 1+Ki),,,,,,( 1211 += KKK iaiiaiL K Nik ∈ , 1,,1 += Kk K şi , , cu

proprietatea că fiecare arc este de forma sau . Aak ∈ Kk ,,1 K=

ka ),( 1+kk ii ),( 1 kk ii +

Definiţia 1.3 Un lanţ ),,,,,,( 1211 += KKK iaiiaiL K al grafului orientat ),,( gANG = în care fiecare arc , este arc direct se numeşte lanţ orientat sau drum şi se notează cu . Un lanţ orientat pentru care

ka Kk ,,1 K= P

11 iiK =+ se numeşte ciclu orientat sau circuit şi se notează cu . o

P

Fie un digraf cu şi ),( ANG = },,{ nN K1= },,{ mA K1= . Se consideră funcţia valoare ℜ→Ab : şi funcţia capacitate care asociază fiecărui arc +ℜ→Au : Aa∈ un număr real numit valoarea arcului şi un număr real nenegativ numit capacitate (margine superioară) a arcului . Valoarea arcului poate fi interpretată ca lungime, cost etc.

)(aba )(au a

aSe notează şi }),(|),({ Ajijibmax ∈=b }),(|),({ Ajijiumax ∈=u .

Definiţia 1.4 Un digraf pe care au fost definite funcţiile sau/şi se numeşte reţea orientată şi se notează cu ,

),( ANG = b u),,( bANG = ),,( uANG = sau respectiv cu ),,,( ubANG = .

Pentru un digraf definit prin mulţimea de noduri cu ),( ANG = N nN =|| şi mulţimea de arce cu , se definesc următoarele funcţii: funcţia margine superioară (capacitate) , funcţia margine inferioară şi funcţia valoare

AmA =|| +ℜ→Au :

+ℜ→A:l ℜ→Nv : . Marginea superioară (capacitatea) a arcului desemnează cantitatea maximă care poate traversa arcul, marginea inferioară a arcului

),( jiu Aji ∈),(),( jil Aji ∈),( desemnează cantitatea minimă care poate traversa

arcul iar numărul desemnează valoarea nodului . )(iv i

Definiţia 1.5 Un flux admisibil în reţeaua ),,,( uANG l= este o funcţie care verifică următoarele constrângeri:

+ℜ→Af :

NiivijfjifAijjAjij

∈∀=− ∑∑∈∈

),(),(),(),(|),(|

(1.1.a)

.),(),,(),(),( Ajijiujifji ∈∀≤≤l (1.1.b)

unde ∑ . ∈

=Niiv 0)(

Constrângerile (1.1.a) se numesc constrângeri de conservare a fluxului. Primul termen al relaţiei (1.1.a) reprezintă fluxul total care părăseşte nodul iar al doilea termen reprezintă fluxul total care intră în nodul . Nodurile pentru care se numesc noduri sursă iar nodurile i pentru care

se numesc noduri stoc. Dacă

ii i 0>)(iv

0<)(iv 0=)(iv atunci nodul este nod de transfer. Constrângerile (1.1.b) se numesc constrângeri de mărginire a fluxului.

i

Fie mulţimea nodurilor sursă şi }0)(,|{ >∈= ivNiiS }0)(,|{ <∈= ivNiiT mulţimea nodurilor stoc.

3

1.2. FLUXURI MAXIME

1.2.1. Noţiuni generale În reţeaua problema fluxului maxim de la nodul sursă la nodul stoc ),,,,,( tsuANG l= s t constă în a determina funcţia flux care verifică următoarele constrângeri: +ℜ→Af :

maximizează (1.2.a) v

tidacătsidacă

sidacă

v

vijfjif

AijjAjij =≠=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=− ∑∑

∈∈

,,,0,

),(),(),(|),(|

(1.2.b)

.),(),,(),(),( Ajijiujifji ∈∀≤≤l (1.2.c) În acest caz s-a considerat că şi vsv =)( vtv −=)( . Definiţia 1.6 Fiind dat un flux admisibil f în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= , capacitatea reziduală pentru problema fluxului maxim a oricărui arc Aji ∈),( reprezintă fluxul adiţional maxim care poate fi trimis de la nodul la nodul i j utilizând arcele şi . Capacitatea reziduală a arcului pentru problema fluxului maxim se notează cu .

),( ji ),( ijAji ∈),( ),(~ jir

Definiţia 1.7 Fiind dat un flux admisibil f în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= , reţeaua notată sau , cu , alcătuită numai din arcele cu capacitate reziduală pozitivă se numeşte reţea reziduală în raport cu fluxul

)~,~,()(~ rANfG =

)~,()(~ ANfG = }0),(~,),(|),{(~ >∈= jirAjijiAf pentru problema fluxului maxim.

Definiţia 1.8 Într-o reţea reziduală o funcţie )~,()(~ ANfG = ℵ→Nd :~ se numeşte funcţie distanţă.

Definiţia 1.9 Funcţia distanţă este validă dacă satisface condiţiile : şi , . 0=)(~ td 1+≤ )(~)(~ jdid Aji ~),( ∈

Definiţia 1.10 Un arc din reţeaua reziduală se numeşte arc admisibil dacă el satisface condiţia: ; altfel arcul se numeşte arc inadmisibil.

),( ji )(~ fG1+= )(~)(~ jdid

Definiţia 1.11 O tăietură se defineşte ca o partiţionare a mulţimii nodurilor unei reţele în două submulţimi disjuncte, nevide NX ⊂ şi XNX −⊂ , şi se notează cu ],[ XX .

Un arc cu ),( ji Xi∈ şi Xj∈ se numeşte arc direct în tăietură iar un arc cu ),( ji Xi∈ şi Xj∈ se numeşte arc invers în tăietură. Mulţimea arcelor directe în tăietură se notează cu ),( XX iar mulţimea arcelor inverse în tăietură se notează cu ),( XX .

Definiţia 1.12 O tăietură ],[ XX cu Xs∈ şi Xt∈ se numeşte tăietură ts − şi se notează . ],[ TS

Definiţia 1.13 Capacitatea a unei tăieturi ],[~ TSc ts − este definită pentru problema fluxului maxim ca diferenţa dintre suma capacităţilor arcelor directe ale tăieturii şi suma marginilor inferioare ale arcelor inverse ale tăieturii: ).,(),(],[~ STTSuTSc l−=

Definiţia 1.14 Tăietura ts − a cărei capacitate este minimă între toate tăieturile se numeşte tăietură minimă şi se notează cu .

ts −ts − ]~,~[ TS

Teorema 1.1 (Teorema fluxului maxim şi tăieturii minime) Valoarea fluxului maxim de la nodul sursă la nodul stoc într-o reţea

f~

s t ),,,,,( tsuANG l= este egală cu capacitatea tăieturii ts − minime , adică . ]~,~[ TS ]~,~[~]~,~[~~ TScTSfv ==

Teorema 1.2 (Teorema admisibilităţii fluxului) Într-o reţea ),,,,,( tsuANG l= există un flux admisibil dacă şi numai dacă pentru orice mulţime NX ⊂ cu Xts ∈, sau Xts ∈, este verificată condiţia: ).,(),( XXuXX ≤l

4

1.2.2. Algoritmi cu drumuri de mărire a fluxului

Definiţia 1.15 Un lanţ de la nodul sursă la nodul stoc L s t se numeşte lanţ de mărire a fluxului în raport cu fluxul f dacă pentru oricare arc şi pentru oricare arc .

),(),( jiujif < +∈Lji ),( ),(),( ijijf l>−∈Lij ),(

Definiţia 1.16 Un drum de la nodul sursă la nodul stoc s t în reţeaua reziduală este un drum de mărire a fluxului şi este notat cu .

)(~ fGP~

Definiţia 1.17 Capacitatea reziduală a unui drum de mărire a fluxului, notată cu , este definită ca .

)~(~ Pr}~),(|),(~{)~(~ PjijirminPr ∈=

(1) PROGRAM GENERIC DMF-FM; (2) BEGIN (3) 0ff =: ; (4) se determină reţeaua reziduală ; )(~ fG(5) WHILE conţine DMF DO )(~ fG(6) BEGIN (7) se identifică un DMF în ; )(~ fG(8) se determină ; }~),(),(~{)~(~ Pji|jirminPr ∈=(9) se execută mărirea de flux;

(10) se actualizează reţeaua ; )(~ fG(11) END; (12) END.

Figura 1.1 Algoritmul generic cu drumuri de mărire a fluxului (GENERIC DMF-FM)

Teorema 1.3 (Teorema drumului de mărire a fluxului) Un flux este un flux maxim dacă şi numai dacă reţeaua reziduală nu conţine un drum de mărire a fluxului.

f~

)(~ fG

Teorema 1.4 (Teorema de complexitate) Dacă fluxul admisibil iniţial 0f , marginea superioară şi marginea inferioară au valori întregi atunci algoritmul generic cu drumuri de mărire a fluxului are complexitatea .

ul

)( unmO

Algoritmul Complexitatea Caracteristici

Algoritmul Ford-Fulkerson de etichetare )( unmO 1. Menţine un flux admisibil şi măreşte fluxul de-a lun-gul drumurilor din reţeaua reziduală de la nodul s la nodul t.

2. Uşor de implementat şi foarte flexibil. 3. Algoritm pseudopolinomial; nu este eficient în practică.

Algoritmul Gabow al scalării bit a capacităţii )log( unmO Algoritmul Ahuja-Orlin al scalării maxime a capacităţii )log( unmO

1. Implementare specială a algoritmului de etichetare. 2. Măresc fluxul de-a lungul drumurilor de la nodul s la

nodul t cu capacitate reziduală minimă, respectivsuficient de mare.

3. Nu sunt foarte eficienţi în practică. Algoritmul Edmonds-Karp al drumului cel mai scurt )( 2nmO 1. Implementare specială a algoritmului de etichetare.

2. Măreşte fluxul de-a lungul celor mai scurte drumuri de la nodul s la nodul t din reţeaua reziduală.

Algoritmul Ahuja-Orlin al drumului cel mai scurt )( mnO 2 Algoritmul Dinic al reţelelor stratificate )( mnO 2 Algoritmul Ahuja-Orlin al reţelelor stratificate )( mnO 2

1. Utilizează etichete distanţă pentru a identifica cele mai scurte drumuri de la nodul s la nodul t.

2. Relativ uşor de implementat şi foarte eficienţi în practică.

Tabelul 1.1. Algoritmi cu drumuri de mărire a fluxului pentru fluxul maxim.

5

1.2.3. Algoritmi cu prefluxuri

Definiţia 1.18 Un preflux în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= este o funcţie care verifică următoarele constrângeri:

+ℜ→Af :

,),(),(),(|),(|

0≥− ∑∑∈∈ AjijAijj

jifijf pentru },{ tsNi −∈ (1.3.a)

),,(),(),( jiujifji ≤≤l pentru Aji ∈),( . (1.3.b) Pentru un preflux dat f , reţeaua reziduală şi capacitatea reziduală se definesc analog ca pentru fluxuri (definiţiile 1.6 şi 1.7).

)(~ fG r~

Definiţia 1.19 Pentru un preflux f, excesul oricărui nod Ni∈ este definit prin relaţia: . ∑∑

∈∈

−=AjijAijj

jifijfie),(|),(|

),(),()(~

Definiţia 1.20 Un nod Ni∈ se numeşte nod activ dacă sunt îndeplinite condiţiile: şi . 0>)(~ id 0>)(~ ieDacă este îndeplinită condiţia pentru toate nodurile 0=)(~ ie },{ tsNi −∈ atunci un preflux f este un flux. (1) PROGRAM GENERIC PREFLUX-FM; (2) BEGIN (3) INIŢIALIZARE; (4) WHILE conţine nod activ DO )(~ fG(5) BEGIN (6) se selectează un nod activ i ; (7) ÎNAINTARE/REETICHETARE ; )(i(8) END; (9) END.

Figura 1.2 Algoritmul generic cu preflux pentru fluxul maxim (GENERIC PREFLUX-FM) (1) PROCEDURA INIŢIALIZARE; (2) BEGIN (3) 0ff =: ; (4) se determină reţeaua reziduală ; )(~ fG(5) se calculează etichetele distanţă exacte în ; )(~ id )(~ fG(6) se înaintează unităţi de flux pe fiecare arc ; ),(~ jsrδ = )(),( sEjs +∈(7) nsd =:)(~ ; (8) END;

Figura 1.3 Procedura INIŢIALIZARE pentru algoritmul GENERIC PREFLUX-FM (1) PROCEDURA ÎNAINTARE/REETICHETARE ; )(i(2) BEGIN (3) IF reţeaua conţine arc admisibil )(~ fG ),( ji(4) THEN se înaintează )},(~),(~{ jiriemin=δ unităţi de flux de la la i j (5) ELSE ; }),(~),(),(|)(~{:)(~ 01 >∈+= + jiriEjijdminid(6) END;

Figura 1.4 Procedura ÎNAINTARE/REETICHETARE pentru algoritmul GENERIC PREFLUX-FM

Dacă ),(~ jir=δ atunci înaintarea pe arcul este numită înaintare saturată iar dacă ),( ji )(~ ie=δ atunci înaintarea pe arcul este numită înaintare nesaturată. O înaintare saturată micşorează capacitatea reziduală la zero, eliminând arcul din reţeaua reziduală. O înaintare nesaturată micşorează excesul al nodului la zero, eliminând nodul din lista nodurilor active.

),( ji),(~ jir ),( ji

)(~ ie i iTeorema 1.5 (Teorema de corectitudine) Algoritmul generic cu preflux determină un flux maxim în reţeaua . ),,,,,( tsuANG l=

Teorema 1.6 (Teorema de complexitate) Algoritmul generic cu preflux are complexitatea . )( mnO 2

6

Algoritmul Complexitatea Caracteristici

Algoritmul FIFO cu preflux )( 3nO 1. Implementare specială a algoritmului generic cu preflux. 2. Examinează nodurile active în ordinea FIFO. 3. Foarte eficient în practică.

Algoritmul preflux cu eticheta cea mai mare )( mnO 2 1. Implementare specială a algoritmului generic cu preflux. 2. Examinează nodurile active cu cea mai mare etichetă dis-tanţă.3. Cel mai eficient algoritm pentru fluxul maxim.

Algoritmul de scalare a excesului )log( u2nnmO + 1. Implementare specială a algoritmului generic cu preflux. 2. Efectuează operaţii de înaintare/reetichetare la nodurile cu un

exces suficient de mare şi selectează dintre acestea nodul cu cea mai mică etichetă distanţă.

3. Realizează un timp de execuţie foarte bun dacă nu sunt utilizate structuri complicate de date.

Tabelul 1.2. Algoritmi cu prefluxuri pentru fluxul maxim. 1.3. FLUXURI MINIME

1.3.1. Noţiuni generale În reţeaua problema fluxului minim de la nodul sursă la nodul stoc t constă în a determina funcţia flux care verifică următoarele constrângeri:

),,,,,( tsuANG l= s+ℜ→Af :

minimizează (1.4.a) v

tidacătsidacă

sidacă

v

vijfjif

AijjAjij =≠=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=− ∑∑

∈∈

,,,0,

),(),(),(|),(|

(1.4.b)

.),(),,(),(),( Ajijiujifji ∈∀≤≤l (1.4.c)

Definiţia 1.21 Fiind dat un flux admisibil f în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= , capacitatea reziduală pentru problema fluxului minim, a oricărui arc Aji ∈),( reprezintă cantitatea maximă cu care se poate micşora fluxul de la nodul i la nodul j utilizând arcele şi . ),( ji ),( ij

Definiţia 1.22 Fiind dat un flux admisibil f în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= , reţeaua notată sau , cu , alcătuită numai din arcele cu capacitate reziduală pozitivă se numeşte reţea reziduală în raport cu fluxul

)ˆ,ˆ,()(ˆ rANfG =

)ˆ,()(ˆ ANfG = }),(ˆ,),(|),{(ˆ 0>∈= jirAjijiAf , pentru problema fluxului minim.

Definiţia 1.23 Într-o reţea reziduală o funcţie )ˆ,()(ˆ ANfG = ℵ→Nd :ˆ se numeşte funcţie distanţă.

Definiţia 1.24 Funcţia distanţă este validă dacă satisface condiţiile: şi , . 0=)(ˆ sd 1+≤ )(ˆ)(ˆ idjd Aji ˆ),( ∈

Definiţia 1.25 Un arc din reţeaua reziduală se numeşte arc admisibil dacă el satisface condiţia: ; altfel arcul se numeşte arc inadmisibil.

),( ji )(ˆ fG1+= )(ˆ)(ˆ idjd

Definiţia 1.26 Capacitatea a unei tăieturi ],[ˆ TSc ts − este definită pentru problema fluxului minim ca diferenţa dintre suma marginilor inferioare ale arcelor directe ale tăieturii şi suma capacităţilor arcelor inverse ale tăieturii: ).,(),(],[ˆ STuTSTSc −= l

Definiţia 1.27 Tăietura ts − a cărei capacitate este maximă între toate tăieturile ts − se numeşte tăietură maximă şi se notează cu . ts − ]ˆ,ˆ[ TS

Teorema 1.7 (Teorema fluxului minim şi tăieturii maxime) Dacă există un flux admisibil în reţeaua , atunci valoarea fluxului minim de la nodul sursă s la nodul stoc ),,,,,( tsuANG l= t este egală cu capacitatea tăieturii maxime , adică . ts − ]ˆ,ˆ[ TS ]~,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ TScTSfv ==

7

Abordări în rezolvarea problemei fluxului minim: (a1) algoritmi cu drumuri de micşorare a fluxului, (a2) algoritmi cu prefluxuri şi (a3) determinarea unui flux maxim de la nodul soc t la nodul sursă

în reţeaua reziduală pentru fluxul maxim, care este un flux minim de la s la s )(~ fG t în reţeaua . G

1.3.2. Algoritmi cu drumuri de micşorare a fluxului Definiţia 1.28 Un lanţ de la nodul sursă la nodul stoc L s t se numeşte lanţ de micşorare a fluxului în raport cu fluxul f dacă pentru oricare arc şi ),(),( jijif l> +∈Lji ),( ),(),( ijuijf < pentru oricare arc . −∈Lij ),(

Definiţia 1.29 Un drum de la nodul sursă la nodul stoc s t în reţeaua reziduală este un drum de micşorare a fluxului şi este notat cu .

)(ˆ fGP

Definiţia 1.30 Capacitatea reziduală a unui drum de micşorare a fluxului, notată cu , este definită ca .

)ˆ(ˆ Pr}ˆ),(|),(ˆ{)ˆ(ˆ PjijirminPr ∈=

(1) PROGRAM GENERIC DmF-Fm; (2) BEGIN (3) fie f un flux admisibil în ; G(4) se determină reţeaua reziduală ; )(ˆ fG(5) WHILE conţine DmF DO )(ˆ fG(6) BEGIN (7) se identifică un DmF în ; )(ˆ fG(8) se determină ; }ˆ),(|),(ˆ{)ˆ(ˆ PjijirminPr ∈=(9) se execută micşorarea de flux;

(10) se actualizează reţeaua ; )(ˆ fG(11) END; (12)

END.

Figura 1.5 Algoritmul generic cu drumuri de micşorare a fluxului (GENERIC DmF-Fm)

Teorema 1.8 (Teorema drumului de micşorare a fluxului) Un flux este un flux minim dacă şi numai dacă reţeaua reziduală nu conţine un drum de micşorare a fluxului.

f)(ˆ fG

Teorema 1.9 (Teorema de complexitate) Dacă fluxul admisibil iniţial 0f , funcţia margine superioară şi funcţia margine inferioară sunt cu valori întregi atunci algoritmul generic cu drumuri de micşorare a fluxului pentru fluxul minim are complexitatea .

u l

)( unmO

Algoritmul Complexitatea Caracteristici Algoritmul Ford-Fulkerson de etichetare )( unmO 1. Menţine un flux admisibil şi micşorează fluxul de-a lungul

drumurilor din reţeaua reziduală de la s la t. 2. Uşor de implementat şi foarte flexibil. 3. Algoritm pseudopolinomial; nu este eficient în practică.

Algoritmul Gabow al scalării bit a capacităţii )log( unmO Algoritmul Ahuja-Orlin al scalării maxime a capacităţii )log( unmO

1. Implementare specială a algoritmului de etichetare. 2. Micşorează fluxul de-a lungul drumurilor de la nodul s la

nodul t cu capacitate reziduală minimă, respectiv suficient de mare.

3. Nu sunt foarte eficienţi în practică. Algoritmul Edmonds-Karp al drumului cel mai scurt )( 2nmO 1. Implementare specială a algoritmului de etichetare.

2. Micşorează fluxul de-a lungul celor mai scurte dru-muri de la nodul s la nodul t din reţeaua reziduală.

Algoritmul Ahuja-Orlin al drumului cel mai scurt )( mnO 2 Algoritmul Dinic al reţelelor stratificate )( mnO 2 Algoritmul Ahuja-Orlin al reţelelor stratificate )( mnO 2

1. Utilizează etichete distanţă pentru a identifica cele mai scurte drumuri de la nodul s la nodul t.

2. Relativ uşor de implementat şi foarte eficienţi în practică.

Tabelul 1.3. Algoritmi cu drumuri de micşorare a fluxului pentru fluxul minim.

8

1.3.3. Algoritmi cu prefluxuri

Definiţia 1.31 Un preflux în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= este o funcţie care verifică următoarele constrângeri:

+ℜ→Af :

,),(),(),(|),(|

0≤− ∑∑∈∈ AijjAjij

ijfjif pentru },{ tsNi −∈ (1.5.a)

),,(),(),( jiujifji ≤≤l pentru Aji ∈),( . (1.5.b)

Definiţia 1.32 Fie f Pentru un preflux f, deficitul oricărui nod Ni∈ este definit prin relaţia: ∑∑

∈∈

−=AijjAjij

ijfjifie),(|),(|

),(),()(ˆ .

Definiţia 1.33 Fie f un preflux în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= . Un nod },{ tsNi −∈ se numeşte nod activ dacă . Prin convenţie, nodurile şi 0<)(ˆ ie s t nu sunt niciodată noduri active. (1) PROGRAM GENERIC PREFLUX-Fm; (2) BEGIN (3) fie f un flux admisibil în ; G(4) se determină reţeaua reziduală ; )(ˆ fG(5) se calculează etichetele distanţă exacte în ; )(ˆ id )(ˆ fG(6) IF t nu este etichetat (7) THEN f este un flux minim (8) ELSE (9) BEGIN

(10) FOR DO )(),( tEti +∈(11) ),(:),( titif l= ; (12) ntd =:)(ˆ ; (13) WHILE reţeaua reziduală conţine nod activ DO (14) BEGIN (15) se selectează un nod activ j ; (16) IF t nu este etichetat (17) THEN se retrag )},(ˆ),(ˆ{: jirjemin −=δ unităţi de flux de la j la i (18) ELSE ; }ˆ),(|)(ˆ{:)(ˆ Ajiidminjd ∈+= 1(19) END; (20) END; (21) END.

Figura 1.6 Algoritmul generic cu preflux pentru fluxul minim (GENERIC PREFLUX-Fm) Teorema 1.10 (Teorema de corectitudine) Algoritmul generic cu preflux pentru fluxul minim determină un flux minim în reţeaua . ),,,,,( tsuANG l=

Teorema 1.11 (Teorema de complexitate) Algoritmul generic cu preflux pentru fluxul minim are complexitatea . )( mnO 2

Definiţia 1.34 O retragere de flux de la nodul j la nodul pe arcul se numeşte retragere saturată dacă duce la eliminarea arcului din reţeaua reziduală , (

i ),( ji),( ji )(ˆ fG ),(ˆ jir=δ ); în caz

contrar retragerea de flux se numeşte nesaturată.

9

Algoritmul Complexitatea Caracteristici Algoritmul FIFO cu preflux )( 3nO 1. Implementare specială a algoritmului generic cu preflux.

2. Examinează nodurile active în ordinea FIFO. 3. Foarte eficient în practică.

Algoritmul preflux cu eticheta cea mai mare )( mnO 2 1. Implementare specială a algoritmului generic cu preflux. 2. Examinează nodurile active cu cea mai mare etichetă distanţă. 3. Cel mai eficient algoritm pentru fluxul maxim.

Algoritmul de scalare a deficitului )log( u2nnmO + 1. Implementare specială a algoritmului generic cu preflux. 2. Efectuează operaţii de retragere/reetichetare la nodurile cu un

deficit suficient de mare. 3. Realizează un timp de execuţie foarte bun dacă nu sunt utili-zate

structuri complicate de date.

Tabelul 1.4. Algoritmi cu prefluxuri pentru fluxul minim.

1.3.4. Algoritmi pentru fluxul maxim aplicaţi de la nodul stoc la nodul sursă Problema fluxului minim de la nodul sursă la nodul stoc s t în reţeaua oarecare poate fi rezolvată prin aplicarea unui algoritm de flux maxim de la nodul t la nodul în reţeaua reziduală .

),,,,,( tsuANG l=

s)(~ fG

(1) PROGRAM MINIMAX; (2) BEGIN (3) fie f un flux admisibil în reţeaua ; G(4) se determină reţeaua reziduală ; )(~ fG(5) se determină un flux maxim de la f t la în ; s )(~ fG(6) f este un flux minim de la s la în G ; t(7) END.

Figura 1.7 Algoritmul MINIMAX pentru fluxul minim Teorema 1.12 (Teorema de corectitudine) Algoritmul MINIMAX determină un flux minim de la nodul s la nodul în reţeaua . t ),,,,,( tsuANG l=

Teorema 1.13 (Teorema de complexitate) Complexitatea algoritmului MINIMAX este egală cu complexitatea algoritmului folosit pentru determinarea fluxului maxim de la nodul stoc la nodul sursă.

1.4. FLUXURI DE COST MINIM

1.4.1. Problema fluxului de cost minim Fie un digraf definit prin mulţimea ),( ANG = N cu noduri şi mulţimea cu arce. Se definesc funcţiile capacitate , cost

n A m+ℜ→Au : ℜ→Ab : şi cerere/ofertă ℜ→Nv : . Capacitatea

reprezintă cantitatea maximă de flux care poate traversa arcul , costul reprezintă costul transportului unei unităţi de flux de la nodul la nodul

),( jiu ),( ji ),( jibi j pe arcul , iar reprezintă

cererea nodului i , dacă sau oferta nodului în cazul . Se notează: cu ,

),( ji )(iv0<)(iv i 0>)(iv },{ 11 uvu max=

}),(i|),({ Ajjiumax ∈=1u }|)({ Niivmax ∈=1v şi }),(|),({ Ajijibmax ∈=b . Problema fluxului de cost minim în reţeaua ),,,( buANG = constă în a determina un flux f care verifică constrângerile următoare.

minimizează (1.6.a) ∑∈

⋅=Aji

jifjibfy),(

),(),()(

10

NiivijfjifAijjAjij

∈=− ∑∑∈∈

),(),(),(),(|),(|

(1.6.b)

Ajijiujif ∈≤≤ ),(),,(),(0 (1.6.c)

1.4.2. Condiţii de optimalitate

În reţeaua reziduală corespunzătoare fluxului )(~ fG f , obţinută prin înlocuirea fiecărui arc Aji ∈),( cu două arce şi , arcul are costul şi capacitatea reziduală

, iar arcul are costul ),( ji ),( ij ),( ji ),( jib

),(),(),( jifjiujir −= ),( ij ),( jib− şi capacitatea reziduală ),(),( jifijr = . Reţeaua reziduală este formată doar din arcele cu capacitatea reziduală strict pozitivă. )(~ fG

Teorema 1.14 (Condiţiile de optimalitate cu circuite de cost negativ) Un flux este un flux de cost minim dacă şi numai dacă reţeaua reziduală nu conţine circuite de cost negativ.

∗f)(~ ∗fG

Definiţia 1.35 Fie un număr real asociat fiecărui nod )(ip Ni∈ , numit potenţialul nodului . Costul redus al arcului este definit de relaţia: .

i),( ji )()(),(),( jpipjibjibp +−=

Teorema 1.15 (Condiţiile de optimalitate cu costuri reduse) Un flux este un flux de cost minim dacă şi numai dacă există potenţialele

∗fp astfel încât: pentru toate arcele din

reţeaua reziduală . 0≥),( jibp ),( ji

)(~ ∗fG

Definiţia 1.36 Pentru un flux , potenţialele ∗f p care îndeplinesc condiţia , pentru toate arcele din reţeaua reziduală , se numesc potenţiale optime.

0≥),( jibp

),( ji )(~ ∗fG

Teorema 1.16 (Condiţiile de optimalitate cu ecarturi complementare) Un flux este un flux de cost minim dacă şi numai dacă există potenţialele

∗fp astfel încât pentru orice arc avem: Aji ∈),(

Dacă atunci . (1.7.a) 0>),( jibp 0=∗ ),( jif

Dacă atunci . (1.7.b) ),(),( jiujif << ∗0 0=),( jibp

Dacă atunci . (1.7.c) 0<),( jibp ),(),( jiujif =∗

1.4.3. Dualitatea pentru problema fluxului de cost minim Pentru problema fluxului de cost minim (1.6), se asociază variabila cu constrângerea de conservare a fluxului corespunzătoare nodului şi variabila cu constrângerea de mărginire superioară a fluxului pe arcul . Duala problemei fluxului de cost minim este următoarea:

)(ipi ),( jiq

),( ji

maximizează ∑∑∈∈

⋅−⋅=AjiNi

jiqjiuipivqpz),(

),(),()()(),( (1.8.a)

Ajijibjiqjpip ∈≤−− ),(),,(),()()( (1.8.b)

Ajijiq ∈≥ ),(,),( 0 (1.8.c)

Teorema 1.17 (Teorema slabă de dualitate) Fie valoarea funcţiei obiectiv a problemei fluxului de cost minim pentru un flux admisibil

)( fyf şi fie valoarea funcţiei obiectiv a

problemei duale pentru o soluţie admisibilă . Atunci ),( qpz

),( qp )(),( fyqpz ≤ .

Teorema 1.18 (Teorema tare de dualitate) Dacă pentru problema fluxului de cost minim există un flux admisibil, atunci există un flux optim pentru problema fluxului de cost minim şi există o soluţie

∗fp pentru problema duală astfel încât . )()( pzfy =∗

11

1.4.4. Legătura dintre fluxurile de cost minim şi potenţialele optime Fiind dat un flux de cost minim , se pot determina potenţiale optime rezolvând o problemă de drum minim. Fiind dat un vector

∗fp de potenţiale optime, se poate determina un flux de cost minim

rezolvând o problemă de flux maxim. Se împart arcele din în trei categorii, în funcţie de costurile reduse:

∗f A

1. Dacă atunci pentru a îndeplini condiţia de optimalitate (1.7.a) se efectuează atribuirea şi se elimină arcul .

0>),( jibp

0=∗ ),( jif ),( ji2. Dacă atunci pentru a îndeplini condiţia de optimalitate (1.7.c) se atribuie

; se micşorează cu , se măreşte cu şi se elimină arcul . 0<),( jibp

),(),( jiujif =∗ )(iv ),( jiu )( jv ),( jiu ),( ji3. Dacă atunci poate avea orice valoare cuprinsă între 0 şi . 0=),( jibp ),( jif ),( jiu

Fie reţeaua astfel obţinută şi ofertele/cererile nodurilor modificate. Pentru a obţine un flux de cost minim în trebuie să se determine un flux admisibil în , problemă care se reduce la o problemă de flux maxim.

)',(' ANG = 'vG 'G

Algoritmul Complexitate Caracteristici

Algoritmul Klein de eliminare a circuitelor de cost negativ

)( bu2nmO 1. Menţine la fiecare iteraţie un flux admisibil şi măreşte fluxul de-a lungul circuitelor de cost negativ în reţeaua reziduală.

2. La fiecare iteraţie rezolvă o problemă de drum minim pentru identificareaunui circuit de cost negativ.

3. Foarte flexibil: anumite reguli de selectare a circuitelor de cost negativconduc la obţinerea de algoritmi polinomiali.

Algoritmul Busaker-Gowen al drumurilor minime succesive

)),(( mnDnO ⋅u 1. Menţine un pseudo-flux care satisface condiţiile de optimalitate şi măreşte fluxul de-a lungul drumurilor cele mai scurte de la nodurile cu exces la nodurile cu deficit in reţeaua reziduală.

2. La fiecare iteraţie rezolvă o problemă de drum minim pentru arce cu costuri nenegative.

3. Foarte flexibil: prin selectarea atentă a măririlor de flux se pot obţine algoritmi polinomiali.

Algoritmul primal-dual Ford-Fulkerson

⋅},{( bu nnminO+⋅ ),(( mnD))),,( umnF+

1. Menţine un pseudo-flux care satisface condiţiile de optimalitate. Rezolvă o problemă de drum minim pentru actualizarea potenţialelor nodurilor şi măreşte fluxul pe toate drumurile minime prin rezolvarea unei probleme de flux maxim.

2. La fiecare iteraţie rezolvă atât o problemă de drum minim pentru arce cucosturi nenegative cât şi o problemă de flux maxim.

3. Strâns legat de algoritmul drumurilor minime succesive: în loc să trimită flux pe un drum minim, trimite flux pe toate drumurile minime.

Algoritmul nonconform Minty-Fulkerson

)),(( mnDmO ⋅u 1. Menţine la fiecare iteraţie un flux admisibil şi încearcă să satisfacă condiţiilede optimalitate prin mărirea fluxului de-a lungul drumurilor minime.

2. La fiecare iteraţie rezolvă o problemă de drum minim pentru arce cu costurinenegative.

3. Poate fi generalizat pentru rezolvarea situaţiilor în care fluxul menţinut dealgoritm nu respectă constrângerile de mărginire pe arce.

Algoritmul Bertsekas-Tseng al relaxării

)( 23bunmO 1. Diferit faţă de ceilalţi algoritmi pentru problema fluxului de cost minim. 2. Menţine un pseudoflux care satisface condiţiile de optimalitate şi modifică

fluxul pe arce şi potenţialele nodurilor. Se bazează pe tehnica relaxării lagrangeanului, utilizată la rezolvarea problemelor de programare întreagă.

3. Foarte eficient în practică, se dovedeşte a fi cel mai rapid algoritm disponibilpentru anumite clase ale problemei fluxului de cost minim.

Tabelul 1.5. Algoritmi pseudopolinomiali pentru problema fluxului de cost minim.

12

În Tabelul 1.5., este complexitatea algoritmului de determinare a drumului minim de la un nod dat la celelalte noduri într-o reţea cu lungimile arcelor pozitive şi este complexitatea algoritmului de determinare a fluxului maxim.

),( mnD),,( umnF

Algoritmul Complexitate Caracteristici Algoritmul Orlin al scalării capacităţii

))log)(log(( nnmmO +u 1. Cel mai simplu algoritm polinomial pentru problema fluxului de cost minim.

2. Este o versiune îmbunătăţită a algoritmului drumurilor minimesuccesive în care mărirea fluxului se realizează pe drumuri cu capacitate reziduală suficient de mare.

Algoritmul Goldberg-Tarjan al scalării costului

))log(( bnnO 3 1. Menţine fluxuri ε-optimale pentru valori din ce în ce mai mici pentru ε. 2. La fiecare iteraţie îmbunătăţeşte aproximarea prin transformarea unui

flux ε-optimal într-un flux ε/2-optimal. Algoritmul Ahuja-Goldberg-Orlin-Tarjan (AGOT) al scalării duble

))log(log( bu nnmO 1. Asemănător cu algoritmul scalării costului, cu diferenţa că utilizează ovariantă diferită a procedurii de îmbunătăţire a aproximării.

2. Procedura de îmbunătăţire a aproximării măreşte fluxul de-a lungul drumurilor cu capacitate reziduală suficient de mare.

3. În cadrul fiecărei faze de scalare a costului se realizează un număr defaze de scalare a capacităţii.

Algoritmul Sokkalingam-Ahuja-Orlin

)log( nmnO 32 1. Reprezintă o implementare specială a algoritmului de eliminare a circuitelor de cost negativ.

2. Măreşte fluxul de-a lungul circuitelor de cost negativ cu capacitate reziduală suficient de mare.

3. Nu utilizează explicit tehnica de scalare. Algoritmul Goldberg-Tardos-Tarjan al scalării repetate a capacităţii

)log)(log(( nnmnmO +2 1. Este o versiune îmbunătăţită a algoritmului scalării capacităţii. 2. Determină mai întâi potenţialele optime ale nodurilor şi apoi, pornind

de la acestea, calculează un flux de cost minim. Algoritmul Orlin al scalării intensive a capacităţii

)log)(log(( nnmnmO + 1. Este o versiune îmbunătăţită a algoritmului scalării capacităţii. 2. Utilizează o variantă îmbunătăţită a scalării repetate a capacităţii în

care după realizarea contractării unui arc nu este necesară reluarea de la început a procedurii ci continuarea operaţiilor.

Tabelul 1.6. Algoritmi polinomiali pentru problema fluxului de cost minim.

1.5. FLUXURI DINAMICE 1.5.1. Problema fluxului dinamic O reţea dinamică este un digraf definit prin mulţimea de noduri ),,( TANG = N cu nN =|| , mulţimea de arce cu şi mulţimea perioadelor de timp A mA =|| },,,{ TH K10= . Se definesc funcţiile capacitate dinamică , timp dinamic de traversare +ℜ→× },,,{: TAu K10 ℵ→× },,,{: TAh K10 , cost dinamic şi cerere/ofertă dinamică +ℜ→× },,,{: TAb K10 ℜ→× },,,{: TNv K10 . Capacitatea dinamică );,( θjiu a unui arc reprezintă cantitatea maximă de flux care poate intra în arcul

la momentul ),( ji

),( ji θ , costul dinamic );,( θjib reprezintă costul transportului pe arcul al unei unităţi de flux care a intrat în arcul la momentul

),( ji),( ji θ iar timpul dinamic de traversare );,( θjih

reprezintă timpul necesar traversării arcului de către un flux care a intrat în arc la momentul ),( ji θ . Funcţia cerere/ofertă dinamică );( θiv reprezintă cererea nodului Ni∈ la momentul },,,{ TK10∈θ , dacă 0<);( θiv sau oferta nodului la momentul i },,,{ TK10∈θ , dacă 0>);( θiv . Reţeaua dinamică are două noduri speciale: un nod sursă cu proprietatea că s 0≥);( θsv pentru },,,{ TK10∈θ şi există cel puţin un moment },,,{ TK100 ∈θ astfel încât 0);( 0 >θsv ; şi un nod stoc t cu proprietatea că

0≤);( θtv pentru },,,{ TK10∈θ şi există cel puţin un moment },,1,0{1 TK∈θ astfel încât 0);( 1 <θtv .

Definiţia 1.37 Un flux dinamic admisibil în reţeaua ),,,,,( TbhuANG = cu orizontul de timp T este o funcţie care verifică următoarele constrângeri: +ℜ→× },,,{: TAf K10

13

),;());,(;,();,();,(

),(|),(|

θθθθθθ

ivijhijfjifijhAijjAjij

=−− ∑∑≥−

∈∈0

;},,,,{ NiT ∈∀∈∀ K10θ (1.9.a)

;),(},,,,{),;,();,( AjiTjiujif ∈∀∈∀≤≤ K100 θθθ (1.9.b)

TjihTAjijif ,);,(,),(,);,( 10 +−∈∈∀= θθθ . (1.9.c)

Relaţiile (1.9.a) se numesc restricţii de conservare a fluxului dinamic. Restricţiile de mărginire a fluxului (1.9.b) reflectă faptul că pentru un flux dinamic );,( θjif , cantitatea maximă de flux care poate intra în arcul la momentul ),( ji θ este );,( θjiu . În conformitate cu restricţiile (1.9.c), fluxul nu va intra în arcul

la momentul ),( ji θ dacă momentul la care el ar părăsi arcul se situează după orizontul de timp T .

Definiţia 1.38 O reţea dinamică este numită reţea dinamică staţionară dacă funcţiile capacitate, cost şi timp de traversare ale tuturor arcelor

),,,,,( TbhuANG =

Aji ∈),( sunt independente de timp: ),();,( jiujiu =θ , ),();,( jihjih =θ , ),();,( jibjib =θ , Aji ∈∀ ),( , },,,{ TK10∈∀θ .

1.5.2. Reţeaua expandată Definiţia 1.39 Într-o reţea dinamică ),,,,,( TbhuANG = , o pereche nod-timp (PNT), );( θi este o pereche ordonată care asociază fiecărui nod Ni∈ câte un moment de timp },,,{ TK10∈θ :

},,,{);( TNi K10×∈θ .

Definiţia 1.40 Reţeaua expandată asociată unei reţele dinamice este definită în modul următor:

),,,( TTTTT buANG = ),,,,,( TbhuANG=

}},,,{,|);{(: TNiiNT K10∈∈= θθ ; (1.10.a) )};,(,),(|)));,(;(),;(({: θθθθθθ jihTAjijihjiaAT −≤≤∈+== 0 ; (1.10.b)

TT Aapentruauau ∈= θθ θ );(:)( ; (1.10.c) TT Aapentruabab ∈= θθ θ );(:)( . (1.10.d)

Definiţia 1.41 Unui flux );( θaf din reţeaua dinamică ),,,,,( TbhuANG = , îi corespunde un flux în reţeaua expandată definit în modul următor: . )( θaf T TG TT Aaafaf ∈∀= θθ θ ),;()(

Teorema 1.19 Dacă f este un flux în reţeaua dinamică ),,,,,( TbhuANG = şi este fluxul corespunzător din reţeaua expandată , atunci . Mai mult, fiecărui flux de cost minim în reţeaua dinamică îi corespunde un flux de cost minim în reţeaua statică astfel încât şi vice-versa.

TfTG )()( TfBfB =

∗f G Tf ∗ TG)()( TfBfB ∗∗ =

Definiţia 1.42 În reţeaua expandată , un drum ),,,( TTTTT buANG = ));(),;(( 1111 ++ KKiiP θθ de la perechea nod-timp );( 11 θi la perechea nod-timp );( 11 ++ KKi θ cu , este definit ca o succesiune de perechi nod-timp distincte, legate consecutiv prin arce directe:

Tkk Ni ∈);( θ 1,,1 += Kk K

));(,),;(),;((:));(),;(( 1122111111 ++++ = KKKK iiiiiP θθθθθ K , (1.11) cu proprietatea că fiecare arc , T

kkkk Aii ∈++ ));(),;(( 11 θθ Kk ,,K1= .

1.5.3. Reţeaua reziduală dinamică

Definiţia 1.43 Fiind dat un flux admisibil f în reţeaua dinamică ),,,,,( TbhuANG= , reţeaua reziduală dinamică în raport cu fluxul f este definită ca ))(,(:)( fANfG = , cu: unde )()(:)( fAfAfA −+= U

});,();,();,(,),(|),{(:)( 0>−−≤∃∈=+ θθθθ jifjiucujihTAjijifA ,

});,();,(,),(|),{(:)( 0>−≤∃∈=− θθθ ijfcuijhTAijjifA .

14

Definiţia 1.44 Un drum )));(;(,)),;,(;(),;(()));(;(),;(( θθθθθθθθ PhiiihiiPhiiP KK ++=+ ++ 1212111 K de la perechea nod-timp );( θ1i la perechea nod-timp ));(;( θθ PhiK ++1 în reţeaua reziduală dinamică

este numit drum dinamic de mărire a fluxului dacă )( fG 01 >+ );,( kkk iir θ cu θθ =1 şi );,( kkkkk iih θθθ 11 ++ += , Kk ,,K1= .

1.5.4. Fluxuri dinamice staţionare Fie reţeaua dinamică ),,,,( ThuANG = . Un flux dinamic se numeşte flux dinamic staţionar dacă funcţiile capacitate şi timp de traversare ale arcelor reţelei dinamice G sunt constante în timp. Problema fluxului dinamic staţionar pentru perioade de timp în reţeaua dinamică

este echivalentă cu problema fluxului static în reţeaua statică (expandată) .

T),,,,( ThuANG=),,( TTTT uANG =

Algoritmul care determină un flux dinamic staţionar maxim utilizează ca procedură algoritmul fluxului de timp minim, reprezentat de oricare din algoritmii prezentaţi în Tabelul 1.5 sau Tabelul 1.6 în care funcţia cost este funcţia timp de traversare . b h (1) PROGRAM FDSM; (2) BEGIN (3) PROCEDURA FTM( fG , ); (4) PROCEDURA DF( RPfG ,,, ); (5) PROCEDURA RF( ); TGRP ,,(6) END.

Figura 1.8 Algoritmul fluxului dinamic staţionar maxim (FDSM) Procedura FTM determină un flux static de timp minim f în reţeaua dinamică . Procedura DF descompune fluxul

Gf în fluxuri de drum; fie },,{ rPPP K1= mulţimea drumurilor de la nodul sursă s la

nodul stoc t care au flux nenul şi mulţimea valorilor fluxurilor drum. Evident că , . Procedura RF repetă fluxurile drum în reţeaua pentru perioadele de

timp

)}(,),({ rPrPrR K1=TPh k ≤)( rk ,,K1=∀ )( kPg

TG)(,, kPhT −= K1θ , unde este timpul de parcurs al drumului , )( kPh kP rk ,,K1= . Datorită acestei

repetări, fluxul dinamic determinat de algoritmul FDSM se numeşte flux dinamic repetat în timp.

Teorema 1.20 (Teorema de corectitudine) Fluxul static de timp minim f , cu valoarea , generează un flux dinamic maxim repetat în timp pentru T perioade de timp şi are valoarea:

v

∑ ∈⋅−⋅+=

AjijifjihvTPv

),(),(),()()( 1 .

Teorema 1.21 (Teorema de complexitate a algoritmului) Algoritmul FDSM are complexitatea procedurii FTM.

15

2. FLUXURI PARAMETRICE ÎN REŢELE 2.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE

Definiţia 2.1 O reţea orientată pentru care marginea inferioară , capacitatea şi/sau costul ale unor arce sunt funcţii de un parametru real se numeşte reţea

parametrică şi se notează cu

),,,,( buANG l= l

u b Aji ∈),( λ),,,,( buANG l= .

Pentru o reţea parametrică G definită prin mulţimea de noduri N cu nN =|| şi mulţimea de arce cu , se definesc următoarele funcţii: funcţia margine inferioară parametrică

AmA =||

++ ℜ→ℜ×A: l , funcţia margine superioară (capacitate) parametrică ++ ℜ→ℜ×Au : şi funcţia cost parametric ℜ→ℜ× +Ab : care asociază fiecărui arc Aji ∈),( câte un număr real )λ;,( jil ,

)λ;,( jiu şi )λ;,( jib numite marginea inferioară, marginea superioară (capacitatea), şi respectiv costul arcului pentru fiecare valoare a parametrului dintr-un interval . ),( ji λ ][0,ΛFuncţia valoare parametrică ℜ→ℜ× +Nv : asociază fiecărui nod Ni∈ câte un număr real

λ);(iv numit valoarea nodului pentru fiecare valoare a parametrului . i λ

Definiţia 2.2 Un flux admisibil în reţeaua parametrică ),,,( uANG l= , numit flux parametric este o funcţie ++ ℜ→ℜ×Af : care verifică următoarele constrângeri:

][0,λ,),λ;()λ;,()λ;,(),(|),(|

Λ∈∀∈∀=− ∑∑∈∈

NiivijfjifAijjAjij

, (2.1.a)

),λ;,()λ;,()λ;,( jiujifji ≤≤l ][0,λ,),( Λ∈∀∈∀ Aji , (2.1.b)

unde ∑∈=

Niiv 0)λ;( , ][0,λ Λ∈∀ .

Teorema 2.1 În reţeaua parametrică )( ,s,tuN,A,G = în care funcţia u este funcţie lineară de un parametru , fluxul parametric λ f şi valoarea v a fluxului parametric sunt funcţii parametrice lineare. Pentru două puncte de frângere consecutive 1λλ +< kk , o soluţie optimală f este optimală pentru întregul interval închis . ]λ,[λ 1+kk

Definiţia 2.3 Fie F mulţimea funcţiilor if lineare, cu ℜ→Λ],[: 0if pentru Ffi ∈∀ . Pe mulţimea F se defineşte o relaţie de ordine: )λ()λ( 2121 ffff ≤⇔≤ , ][0,λ Λ∈∀ .

2.2. FLUXURI PARAMETRICE MAXIME

2.2.1. Problema fluxului parametric maxim Fie reţeaua parametrică ),,,,,( tsuANG l= cu nodul sursă , nodul stoc s t şi cu margini inferioare constante. Funcţia margine superioară (capacitate) parametrică ++ℜ ℜ→×A: u este definită prin relaţia următoare:

),(λ),()λ;,( jiUjiujiu ⋅+= 0 , ],[λ Λ∈ 0 , (2.2)

unde ℜ→AU : este o funcţie reală care asociază fiecărui arc Aji ∈),( un număr real numit partea parametrică a marginii superioare a arcului iar numărul pozitiv reprezintă marginea superioară a arcului pentru valoarea parametrului

),( jiU),( ji ),( jiu0

),( ji 0=λ . Pentru ca problema să fie corect formulată este necesar ca funcţia margine superioară a oricărui arc să respecte restricţia

Aji ∈),()λ;,(),( jiuji ≤l ],[λ Λ∈∀ 0 : Λ−≥ /)),(),(),( jiujijiU 0(l , Aji ∈∀ ),( .

16

Problema fluxului parametric maxim constă în a calcula fluxurile maxime pentru toate valorile parametrului : ],[λ Λ∈ 0

λ)(vămaximizeaz (2.3.a)

tidacătsidacă

sidacă

v

vijfjif

AijjAjij =≠=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=− ∑∑

∈∈

,,λ)(,,λ)(

)λ;,()λ;,(),(|),(|

0 (2.3.b)

),λ;,(λ;,),( jiujifji ≤)(≤l Aji ∈∀ ),( . (2.3.c)

Proprietatea 2.1 Pentru problema fluxului parametric maxim, se pot defini subintervalele , ale valorilor parametrului cu proprietatea că o tăietură minimă

pentru reţeaua neparametrică , cu ]λ,λ[ 1+= kkkJ Kk ,,K0= λ ts −

),,,,,( tsuANG kk l= )λ;,(),( kk jiujiu = , rămâne o tăietură ts − minimă pentru toate valorile parametrului din subintervalul . λ ]λ,λ[ 1+kk

Definiţia 2.4 O tăietură parametrică este definită ca o mulţime finită de tăieturi , împreună cu o partiţionare a intervalului

ts − ],[ kk TSKk ,,K0= ],[ Λ0 în subintervale kJ , , astfel

încât . O tăietură Kk ,,K0=

],[... Λ00 =KJJ UU ts − parametrică se va nota , ][ kk JS ; Kk ,,K0= .

Definiţia 2.5 Pentru problema fluxului parametric maxim, capacitatea unei tăieturi ts − parametrice ][~

kk JSc ; este o funcţie lineară pe fiecare subinterval kJ , Kk ,,K0= , definită pentru toate valorile parametrului în modul următor: λ ∑∑

∈∈

−=),(),(),(),(

),()λ;,(][~kkkk STjiTSji

kk jijiuJSc l ; , . Kk ,,K0=

Definiţia 2.6 O tăietură ts− parametrică pentru care subintervalele ][ kk JS ; kJ au proprietatea că fiecare tăietură ts− este o tăietură minimă pentru toate valorile parametrului din subintervalul este numită tăietură

],[ kk TS ]~~[ kk TS , λ]λ,λ[ 1+kk ts− parametrică minimă şi se notează cu , ]~[ kk JS ; Kk ,,K0= .

În consecinţă, o tăietură parametrică minimă este constituită dintr-o mulţime finită de tăieturi minime şi este respectată relaţia:

ts −]~~[ kk TS , ]~~[~]~[~

kkkk TScJSc ,; = pentru toate valorile parametrului din fiecare subinterval

λ

kJ , . Ca o consecinţă a modului în care a fost definită, capacitatea tăieturii parametrice minime este o funcţie lineară pe fiecare din subintervalele

Kk ,,K0=ts − kJ ale parametrului .

Pentru o valoare vom nota tăietura neparametrică minimă corespunzătoare cu . λ

∗= λλ ∗]~,~[ TS

Teorema 2.2 (Teorema fluxului parametric maxim şi tăieturii parametrice minime [81]) Dacă există un flux admisibil în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= cu capacităţi parametrice, valoarea v~ a fluxului parametric maxim f

~ de la nodul sursă la nodul stoc t este egală cu capacitatea s c~ a

tăieturii ts − parametrice minime , ]~[ kk JS ; Kk ,,K0= .

Definiţia 2.7 Pentru problema fluxului parametric maxim, capacitatea reziduală parametrică )λ;,(~ jir a unui arc în raport cu un flux parametric admisibil Aji ∈),( f , reprezintă fluxul adiţional maxim care poate fi trimis de la nodul la nodul i j utilizând arcele şi şi se calculează conform relaţiei: ),( ji ),( ij

),(~λ),(~),()λ;,()λ;,()λ;,()λ;,(~ jijiijijfjifjiujir βα ⋅+=−+−= l , kJ∈λ , . Kk ,,K0= (2.4)

Subintervalele în interiorul cărora este posibilă mărirea fluxului ][),(~ Λ0,⊆jiI )λ;,( jif pe arcul sunt definite prin relaţia următoare: ),( ji AjipentrujirjiI ∈>= ),(})λ;,(~|λ{),(~ 0 .

Definiţia 2.8 Fiind dat un flux parametric admisibil f în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= , reţeaua notată ))(~,()(

~fANfG = , cu mulţimea }),(~,),(|),{()(~ φ≠∈= jiIAjijifA alcătuită numai din arcele

cu capacitate reziduală parametrică pozitivă se numeşte reţea reziduală parametrică în raport cu fluxul f , pentru problema fluxului parametric maxim.

17

Definiţia 2.9 Un drum de mărire condiţională a fluxului se notează cu P~

şi este un drum de la nodul sursă la nodul stoc , în reţeaua reziduală parametrică

P~

s t )(~fG , pentru care este respectată

restricţia: φ≠=∈

),(~)~

(~~

),(jiIPI

PjiI .

Definiţia 2.10 Capacitatea reziduală parametrică a unui drum P~

de mărire condiţională a fluxului este definită prin relaţia: }),(|)λ;,(~{)λ;(~

)~

(~λPjijirPr

PI∈=

∈min

~~.

Teorema 2.3 (Teorema drumului de mărire condiţională a fluxului [81]) Un flux f~

este un flux parametric maxim dacă şi numai dacă reţeaua reziduală parametrică )( fG

~~ nu conţine niciun drum

de mărire condiţională a fluxului.

Dacă reţeaua reziduală parametrică )~

(~fG nu conţine niciun drum de mărire condiţională a fluxului

de la nodul sursă la nodul stoc, atunci fluxul parametric maxim în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= poate fi calculat pe baza capacităţilor reziduale parametrice utilizând următoarele relaţii:

+= ),()λ;,(~

jijif l }),,()λ;,(~)λ;,({ 0jijirjiu l−−max , ],[λ Λ∈∀ 0 . 2.2.2. Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric maxim Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric maxim calculează la fiecare iteraţie o îmbunătăţire a fluxului realizată pentru un subinterval al valorilor parametrului generat prin partiţionarea indusă de primul (în ordine crescătoare a valorilor parametrului ) punct de frângere al funcţiei capacitate reziduală parametrică a unui drum de mărire condiţională

λP~

din reţeaua reziduală parametrică [31]. Punctele de frângere ale capacităţii reziduale parametrice )λ;

~(~ Pr introduc, în timpul

execuţiei algoritmului, puncte de frângere pentru capacităţile reziduale parametrice )λ;,(~ jir , Pji~

),( ∈ . Cu scopul de a evita utilizarea funcţiilor lineare cu puncte de frângere, algoritmul lucrează în reţele reziduale parametrice definite numai pentru subintervale ale valorilor parametrului pentru care capacităţile reziduale parametrice ale tuturor arcelor au pante constante. Reţeaua reziduală parametrică

λ

)(~fG definită pentru un subinterval kJ al valorilor parametrului , cu λ ]λ,[λ 1+= kkkJ este notată cu

)(~

fGk . Fiecare drum de mărire a fluxului din reţeaua reziduală parametrică P~ )(~

fGk este un drum P~

de mărire condiţională a fluxului în )(

~fG , cel puţin pentru subintervalul ]λ,[λ 1+= kkkJ pentru care a fost

definită reţeaua reziduală parametrică )(~

fGk , adică kJPI =)~

(~ . Prima etapă a obţinerii unui flux parametric maxim constă în stabilirea unui flux admisibil, dacă el există, în reţeaua neparametrică obţinută prin înlocuirea marginilor superioare parametrice ),,',,,(' tsuANG l=

)λ;,( jiu ale arcelor din reţeaua parametrică iniţială ),,,,,( tsuANG l= cu capacităţile constante: }][0,λ|)λ;,({),(' Λ∈= jiuminjiu , adică ),(),(' jiujiu 0= pentru şi 0≥),( jiU ),(),(),(' jiUjiujiu ⋅+= Λ0

pentru . Pe parcursul iteraţiilor, algoritmul menţine o listă ordonată 0<),( jiU }λ,,λ,λ{ 10 Λ=== +10 KB K a valorilor parametrului pentru care se realizează partiţionarea reţelei parametrice. Lista este iniţializată ca şi este actualizată, în fiecare etapă a algoritmului în care reziduală parametrică

λ B}{: 0=B

)(~

fGk nu mai conţine niciun drum de mărire condiţională a fluxului, prin adăugarea celei mai mici valori a parametrului pentru care funcţia capacitate reziduală parametrică a unui drum de mărire condiţională a fluxului prezintă un punct de frângere. Pentru reţeaua reziduală parametrică

kλλ >)(

~fGk ,

valoarea , corespunzătoare acestui nou punct de frângere, reprezintă noua limită superioară a subintervalului valorilor parametrului pentru care este definită reţeaua reziduală parametrică

1+kλ)(

~fGk şi, în

consecinţă, algoritmul va continua să evolueze pe noul subinterval . Când reţeaua reziduală parametrică

]λ,[λ 1+kk

)(~

fGk nu conţine niciun drum de mărire condiţională a fluxului, se calculează fluxul kf~

,

18

obţinut ca un flux parametric maxim pentru subintervalul iar algoritmul trece la o nouă serie de iteraţii în următorul subinterval al valorilor parametrului până la atingerea valorii .

]λ,[λ 1+kk

λ Λ=+1Kλ (1) PROGRAM AP-FPM; (2) BEGIN (3) se determină un flux admisibil 0f în reţeaua ; 'G(4) se determină reţeaua reziduală parametrică )(

~0fG ;

(5) }{: 0=B ; ; ; 0=:k 0=:λ k(6) REPEAT (7) DMCF( ); Bk, k ,λ(8) 1+= kk : ; (9) UNTIL ( ); Λ=kλ

(10) END.

Figura 2.1 Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric maxim (AP-FPM) Pe parcursul iteraţiilor, pe baza algoritmului Ahuja-Orlin al drumului cel mai scurt, în reţeaua reziduală parametrică )(

~fGk , procedura DMCF păstrează un drum parţial )(

~iP de mărire condiţională a fluxului,

memorat în vectorul predecesor π iniţializat ca ),,,(: nnn K=π , şi execută operaţii de avansare şi înapoiere de la nodul curent până când se atinge nodul stoc i t . Aceste operaţii se execută până când drumul parţial de mărire condiţională a fluxului este transformat într-un drum P

~ de mărire condiţională a fluxului.

(1) PROCEDURA AVANSARE ( ; ), ji

ij =:)((2) BEGIN (3) π ;

(4) ji =:

)i

; (5) END;

Figura 2.2 Procedura AVANSARE

(1) PROCEDURA ÎNAPOIERE ( ; (2) BEGIN (3) )}(~),()(~{:)(~ fAji|jdminid k∈+= 1

si;

(4) IF ≠ THEN i )(: iπ= ; (5) END;

Figura 2.3 Procedura ÎNAPOIERE Procedura CRPDMC calculează capacitatea reziduală parametrică )λ;

~(~ Prk a drumului P

~ de mărire

condiţională a fluxului şi modifică valorile ),( jikα şi ),( jikβ ale capacităţii reziduale parametrice ale arcelor care compun drumul P

~ de mărire condiţională a fluxului astfel încât să reflecte o mărirea de

flux în reţeaua iniţială. Deîndată ce reţeaua reziduală parametrică )(~

fGk nu mai conţine drumuri de mărire condiţională a fluxului de la nodul sursă la nodul stoc, procedura DMCF determină fluxul parametric maxim kf

~ pentru subintervalul al valorilor parametrului , adaugă valoarea

la lista şi îşi încetează execuţia. ]λ,[λ 1+kk λ

1+kλ B (1) PROCEDURA DMCF( ); Bk, k ,λ(2) BEGIN (3) se determină reţeaua reziduală parametrică )(

~0fGk ;

(4) se stabilesc etichetele distanţă exacte în )(~ ⋅d )(~

0fGk ; (5) )(: ,nn,n,K=π ; 0=:)

~(Pkα ; 0=:)

~(Pkβ ; Λ=+ :λ 1k ;

(6) si =: ; (7) WHILE DO nsd <)(~

(8) IF (există un arc admisibil ) THEN ),( ji(9) BEGIN

(10) AVANSARE ; ),( ji(11) IF THEN )( ti =

19

(12) BEGIN (13) CRPDMC ( )

~(),

~(,,λ PPB, kkk βαπ 1+ );

(14) si: = ; (15) END;

(16) THEN END (17) ELSE ÎNAPOIERE ; )(i(18) se calculează fluxul parametric maxim kf

~;

(19) se adaugă la lista ; 1+kλ B(20) END;

Figura 2.4 Procedura „Drumuri de mărire condiţională a fluxului” (DMCF) Teorema 2.4 ([31]) Procedura „Drumuri de mărire condiţională a fluxului” (DMCF) determină corect un flux parametric maxim în reţeaua parametrică ),,,,,( tsuANG l= pentru valorile parametrului cuprinse în subintervalul . λ ]λ,[λ 1+kk (1) PROCEDURA CRPDMC( )

~(),

~(,,λ PPB, kkk βαπ 1+ );

(2) BEGIN (3) se determină un drum P

~ de mărire a fluxului pe baza vectorului predecesor π ;

(4) }~

),(|),({:)~

( PjijiminP kk ∈= αα ; (5) )}

~(),(

~),(|),({:)

~( PjişiPjijiminP kkkk ααββ =∈= ;

(6) ti =: ; (7) WHILE DO; si ≠(8) BEGIN (9) IF ( )

~()),(( Pii kk βπβ < ) THEN

(10) BEGIN (11) ))),(()

~(/())

~()),(((λ:λ iiPPii kkkkk πββαπα −−+=∗ ;

(12) IF ( ) THEN ; 1+∗ < kλλ ∗

+ = λ:λ 1k

(13) END; (14) )

~()),((:)),(( Piiii kkk απαπα −= ; )

~()),((:)),(( Piiii kkk βπβπβ −= ;

(15) )~

())(,(:))(,( Piiii kkk απαπα += ; )~

())(,(:))(,( Piiii kkk βπβπβ += ; (16) )(: ii π= ; (17) END; (18) END;

Figura 2.5 Procedura „Capacitate reziduală parametrică a drumului de mărire condiţională” CRPDMC Teorema 2.5 ([31]) Procedura CRPDMC determină corect funcţia capacitate reziduală parametrică )λ;

~(~ Prk a unui drum P

~ de mărire condiţională a fluxului în reţeaua reziduală

parametrică )(~

fGk pentru toate valorile parametrului cuprinse în subintervalul . λ ]λ,[λ 1+kk

Teorema 2.6 (Teorema de corectitudine [31]) Dacă există un flux admisibil în reţeaua parametrică ),,,,,( tsuANG l= , atunci algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric maxim (AP-FPM) determină corect un flux parametric maxim pentru . ],[λ Λ∈ 0

Teorema 2.7 (Teorema de complexitate [31]) Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric maxim (AP-FPM) are complexitatea , unde )( mKnO 2 1+K este numărul valorilor parametrului conţinute în mulţimea obţinută la terminarea execuţiei algoritmului. λ B

20

2.3. FLUXURI PARAMETRICE MINIME

2.3.1. Problema fluxului parametric minim Fie reţeaua parametrică ),,,,,( tsuANG l= cu nodul sursă , nodul stoc s t şi cu margini superioare (capacităţi) constante. Funcţia margine inferioară parametrică ++ ℜ→ℜ×A: l este definită prin relaţia:

),(λ),()λ;,( jiLjiji ⋅−= 0ll , ]0, Λ∈[λ , (2.5) unde este o funcţie reală care asociază fiecărui arc ℜ→AL : Aji ∈),( un număr real numit partea parametrică a marginii inferioare a arcului iar numărul pozitiv reprezintă marginea inferioară a arcului pentru valoarea parametrului

),( jiL),( ji ),(0 jil

),( ji 0=λ . Pentru ca problema să fie corect formulată este necesar ca funcţia margine inferioară a oricărui arc să respecte restricţia

Aji ∈),(),()λ;,( jiuji ≤l ],[λ Λ∈∀ 0 : Λ≤≤Λ− /),(),(/)),(),( 00 jijiLjiuji ll( , . Aji ∈∀ ),(

Problema fluxului parametric minim constă în a calcula fluxurile minime pentru toate valorile parametrului : ],[λ Λ∈ 0

λ)(văminimizeaz (2.6.a)

tidacătsidacă

sidacă

v

vijfjif

AijjAjij =≠=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=− ∑∑

∈∈

,,λ)(,,λ)(

)λ;,()λ;,(),(|),(|

0 (2.6.b)

),(;,);,( λλ jiujifji ≤)(≤l Aji ∈∀ ),( . (2.6.c)

Proprietatea 2.2 Pentru problema fluxului parametric minim, se pot defini subintervalele , ale valorilor parametrului λ cu proprietatea că o tăietură ]λ,λ[ 1+= kkkJ Kk ,,K0= ts − maximă

pentru reţeaua neparametrică , cu ),,,,,( tsuANG kk l= )λ;,(),( kk jiji ll = , rămâne o tăietură ts − maximă pentru toate valorile parametrului din subintervalul . λ ]λ,λ[ 1+kk

Definiţia 2.11 Pentru problema fluxului parametric minim, capacitatea unei tăieturi ts − parametrice ][ˆ

kk JSc ; este o funcţie lineară pe fiecare subinterval kJ , Kk ,,K0= , definită pentru toate valorile parametrului în modul următor: λ ∑∑

∈∈

−=),(),(),(),(

),()λ;,(][ˆkkkk STjiTSji

kk jiujiJSc l ; , . Kk ,,K0=

Definiţia 2.12 O tăietură parametrică pentru care subintervalele ts − ][ kk JS ; kJ au proprietatea că fiecare tăietură ts− este o tăietură maximă pentru toate valorile parametrului din subintervalul ] este numită tăietură

],[ kk TS ]ˆˆ[ kk TS , λλ,λ[ 1+kk ts− parametrică maximă şi se notează cu , ]ˆ[ kk JS ; Kk ,,K0= .

O tăietură parametrică maximă este constituită dintr-o mulţime finită de tăieturi maxime şi este respectată relaţia:

ts − ]ˆˆ[ kk TS ,]ˆˆ[ˆ]ˆ[ˆ kkkk TScJSc ,; = pentru toate valorile parametrului din fiecare

subinterval λ

kJ , . Ca o consecinţă a modului în care a fost definită, capacitatea tăieturii Kk ,,K0= ts − parametrice maxime este o funcţie lineară pe fiecare din subintervalele kJ ale parametrului . Pentru o valoare a parametrului vom nota tăietura neparametrică maximă corespunzătoare cu .

λ∗= λλ ∗]ˆˆ[ kk TS ,

Teorema 2.8 (Teorema fluxului parametric minim şi tăieturii parametrice maxime [81]) Dacă există un flux admisibil în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= cu margini inferioare parametrice, valoarea v a fluxului parametric minim f de la nodul sursă la nodul stoc este egală cu capacitate s t c a tăieturii ts − parametrice maxime , ]ˆ[ kk JS ; Kk ,,K0= .

Definiţia 2.13 Pentru problema fluxului parametric minim, capacitatea reziduală parametrică )λ;,(ˆ jir a unui arc Aji ∈),( , în raport cu un flux parametric admisibil f , reprezintă cantitatea

maximă cu care se poate micşora fluxul de la nodul i la nodul j utilizând arcele şi . ),( ji ),( ij

),(ˆλ),(ˆ)λ;,()λ;,()λ;,(),()λ;,(ˆ jijijijifijfijujir βα ⋅+=−+−= l , kJ∈λ , . Kk ,,K0= (2.7)

21

Subintervalele în interiorul cărora este posibilă micşorarea fluxului ][),(ˆ Λ0,⊆jiI )λ;,( jif pe arcul sunt definite prin relaţia următoare: ),( ji AjipentrujirjiI ∈>= ),(})λ;,(ˆ|λ{),(ˆ 0 .

Definiţia 2.14 Fiind dat un flux parametric admisibil f în reţeaua ),,,,,( tsuANG l= , reţeaua notată ))(ˆ,()(ˆ fANfG = , cu mulţimea }),(ˆ,),(|),{()(ˆ φ≠∈= jiIAjijifA alcătuită numai din arcele cu capacitate reziduală parametrică pozitivă se numeşte reţea reziduală parametrică în raport cu fluxul f , pentru problema fluxului parametric minim.

Definiţia 2.15 Un drum de micşorare condiţională a fluxului se notează cu P şi este un drum de la nodul sursă la nodul stoc în reţeaua reziduală parametrică

Ps t )(ˆ fG , pentru care este

respectată restricţia: φ≠=∈

),(ˆ)ˆ(ˆˆ),(

jiIPIPji

I .

Definiţia 2.16 Capacitatea reziduală parametrică a unui drum P de micşorare condiţională a fluxului este definită prin relaţia: }ˆ),(|)λ;,(ˆ{)λ;ˆ(ˆ

)ˆ(ˆλPjijirPr

PI∈=

∈min .

Teorema 2.9 (Teorema drumului de micşorare condiţională a fluxului [81]) Un flux f este un flux parametric minim dacă şi numai dacă reţeaua reziduală parametrică )ˆ(ˆ fG nu conţine niciun drum de micşorare condiţională a fluxului. Dacă reţeaua reziduală parametrică )ˆ(ˆ fG nu conţine niciun drum de micşorare condiţională a fluxului de la nodul sursă la nodul stoc, atunci fluxul parametric minim în reţeaua

),,,,,( tsuANG l= poate fi calculat pe baza capacităţilor reziduale parametrice utilizând următoarele relaţii: += )λ;,()λ;,(ˆ jijif l }),λ;,(),()λ;,(ˆ{ 0ijijujir l+−max , . ],[λ Λ∈∀ 0

2.3.2. Algoritmul drumului cel mai scurt pentru problema fluxului parametric minim Algoritmul drumului cel mai scurt pentru problema fluxului parametric minim calculează la fiecare iteraţie o îmbunătăţire a fluxului pentru un subinterval al valorilor parametrului, corespunzător unui cel mai scurt drum de micşorare condiţională a fluxului în reţeaua reziduală parametrică ([32]). Prima etapă a obţinerii unui flux parametric minim constă în stabilirea unui flux admisibil, dacă el există, în reţeaua neparametrică obţinută din reţeaua parametrică iniţială ),,,",,(" tsuANG l=

),,,,,( tsuANG l= prin înlocuirea marginilor inferioare parametrice )λ;,( jil ale arcelor Aji ∈),( cu valorile: }][0,λ|)λ;,({),(" Λ∈= jimaxji ll .

Lungimea minimă a unui drum de micşorare condiţională a fluxului Fie mulţimea nodurilor reţelei parametrice },,,,{ 1210 −= nN K ),,,,,( tsuANG l= unde nodul sursă este iar nodul stoc este 0=s 1−=nt . Pentru fiecare nod }{0−∈Nj din reţeaua reziduală parametrică

)(ˆ fG , se definesc subintervalele })(ˆ)(ˆ|λ{:ˆ arceexact hcufGjPI hj ∈∃=' ale valorilor parametrului pentru care este posibilă o micşorare a fluxului de-a lungul unui drum parţial )(ˆ jP de micşorare condiţională a fluxului de la nodul sursă la nodul s j . Determinarea subintervalelor se realizează în mod recursiv, în ordine crescătoare a numărului de arce

hjI 'ˆ

121 −= nh ,,, K , pe baza relaţiei: )),(ˆˆ(ˆ

)(ˆ),(|jiIII hi

fAjiihj IU 1'' −

∈= , 11 −= nj ,,K ; 11 −= nh ,,K ,cu şi , ],[ˆ Λ= 0'00I φ=0' jI 11 −=∀ nj ,,K .

Calculul recursiv porneşte cu şi se opreşte la prima valoare a lui pentru care se obţine un element . Dacă la finele calculului recursiv se obţin subintervalele ,

, reţeaua reziduală parametrică nu conţine niciun drum de micşorare condiţională a fluxului iar fluxul curent este un flux parametric minim.

)()(]ˆ[:ˆ11'' −×−== nnhjII φ h

φ≠− hnI 1'ˆ φ=− hnI 1'ˆ

121 −=∀ nh ,,, K

22

(1) PROCEDURA LmD( ); ChI ,,ˆ'(2) BEGIN (3) ; }{: 0=L φ=:'L ; (4) WHILE 0=C DO; (5) BEGIN (6) WHILE φ≠L DO; (7) BEGIN (8) se elimină un nod i din L ; (9) FOR toate nodurile j cu )(ˆ),( fAji ∈ DO

(10) BEGIN (11) )),(ˆˆ(ˆ:ˆ jiIIII h-ihjhj IU 1''' = ; (12) IF THEN se adaugă nodul φ≠hjI 'ˆ j la ; 'L(13) END; (14) END; (15) IF ( ) THEN φ≠hn-I 1'ˆ 1=:C (16) ELSE IF ( 1−< nh ) THEN BEGIN 1+= hh : ; 'LL =: ; φ=:'L ; END; (17) ELSE 2=:C ; (18) END; (19) END;

Figura 2.6 Procedura LmD pentru determinarea lungimii minime a unui drum de micşorare condiţională a fluxului Teorema 2.10 ([32]) Dacă procedura LmD se încheie cu , φ≠− hnI 1'ˆ 1−≤nh atunci este lungimea unui cel mai scurt drum de micşorare condiţională a fluxului în reţeaua reziduală parametrică

h)(ˆ fG .

Determinarea unui drum de micşorare condiţională a fluxului Procedura DmCF determină drumul P de micşorare condiţională a fluxului şi memorat în vectorul predecesor ))(,),(),(( 110 −= nππππ K . (1) PROCEDURA DmCF( ); π,,ˆ hI '(2) BEGIN (3) 2'' 11 /})ˆλ|λ{}ˆλ|λ{(:λ hn-hn- IminImax ∈+∈=∗ ; (4) 1−= nj : ; ; }{: jNN −=∗

(5) FOR DOWN TO DO 1−= hk : 0(6) BEGIN (7) se selectează un nod ; )},(ˆˆλ|{ jiIINi ki I'∈∈ ∗∗

(8) ij =:)(π ; ; }{: iNN −= ∗∗ ij =: ; (9) END;

(10)

END;

Figura 2.7 Procedura DmCF pentru determinarea celui mai scurt drum P de micşorare condiţională a fluxului Teorema 2.11 ([32]) Procedura DmCF determină corect un cel mai scurt drum de micşorare condiţională a fluxului compus din h arce în reţeaua reziduală parametrică )(ˆ fG .

Micşorarea fluxului de-a lungul unui drum de micşorare condiţională a fluxului Procedura CRP determină capacitatea reziduală parametrică )λ;ˆ(ˆ Pr a unui drum P de micşorare condiţională a fluxului ca înfăşurătoarea interioară a capacităţilor reziduale parametrice )λ;(ˆ ar ale tuturor arcelor care aparţin drumului a P . Capacităţile reziduale parametrice )λ;(ˆ ar ale arcelor drumului P se analizează în ordinea întâlnirii lor la parcurgerea inversă a drumului P , începând cu nodul stoc. La începutul execuţiei procedurii CRP se execută atribuirile aBPB =:)ˆ( şi aRPR =:)ˆ( , adică se iniţializează )λ;ˆ(ˆ Pr cu )λ;(ˆ ar , unde este ultimul arc al drumului a P de micşorare condiţională a

23

fluxului de la nodul sursă la nodul stoc. Pentru fiecare din următoarele arce Pa ˆ∈ , capacitatea reziduală parametrică )λ;ˆ(ˆ Pr este stabilită ca înfăşurătoarea interioară a funcţiilor capacitate reziduală parametrică curentă )λ;ˆ(ˆ Pr şi capacitate reziduală parametrică )λ;(ˆ ar a arcului Pa ˆ∈ .

(1) PROCEDURA CRP( )ˆ(),ˆ(,ˆ,ˆ, PRPBRBπ ); (2) BEGIN (3) )(: 1−= ni π ; ; ),(: 1−= nia aBPB =:)ˆ( ; aRPR =:)ˆ( ; (4) WHILE ( ) DO si ≠(5) BEGIN (6) )),((: iia π= ; ; aBB =∗ : 0=:λ l ; (7) WHILE ( ) DO φ≠∗B(8) BEGIN (9) }λ|λ{:λ ∗∗ ∈= Bmin ;

(10) IF )ˆ(λ PB∉∗ THEN PF( )ˆ(),ˆ(,λ PRPB∗ ); (11) elimină din lista ; ∗λ ∗B(12) END; (13) REPEAT (14) BEGIN (15) }λλ),ˆ(λ|λ{:λ l>∈= PBminr ; (16) IF THEN PF( ); ar B∉λ aar RB ,,λ(17) IF 0<−⋅− )]λ;ˆ(ˆ)λ;(ˆ[)]λ;ˆ(ˆ)λ;(ˆ[ rr PrarPrar ll THEN (18) BEGIN

(19) )λ;ˆ(ˆ)λ;(ˆ)λ;(ˆ)λ;ˆ(ˆ

)]λ;ˆ(ˆ)λ;(ˆ[λ)]λ;(ˆ)λ;ˆ(ˆ[λ:λll

lll

PrararPr

PrararPr

rr

rrrmid

−+−

−⋅+−⋅= ;

(20) PF( )ˆ(),ˆ(,λ PRPBmid ); (21) PF( ); aamid RB ,,λ(22) END; (23) )}λ;ˆ(ˆ),λ;(ˆ{:)λ;ˆ(ˆ lll PrarminPr = ; (24) rλ:λ =l ; (25) END; (26) UNTIL ( Λ=lλ ); (27) )};ˆ(ˆ),;(ˆ{:);ˆ(ˆ ΛΛ=Λ PrarminPr ; )(: ii π= ; (28) END; (29) END;

Figura 2.8 Procedura CRP pentru determinarea capacităţii reziduale parametrice )λ;ˆ(ˆ Pr (1) PROCEDURA PF( ); )(),(,λ PRPB∗

(2) BEGIN (3) se adaugă la lista ; ∗λ )(PB(4) }λλ),(λ|λ{:λ' ∗<∈= PBmax ; ; }λλ),(λ|λ{:λ" ∗>∈= PBmin

(5) λ'λ"

)]λ';(ˆ)λ";(ˆ[)λ'λ()λ';(ˆ:)λ;(ˆ−

−⋅−+=

∗∗ PrPrPrPr ;

(6) se adaugă )λ;(ˆ ∗Pr la lista ; )(PR(7) END;

Figura 2.9 Procedura PF de adăugare a unui nou punct de frângere la funcţia capacitate reziduală parametrică )λ;(ˆ Pr

24

(1) PROCEDURA AFP( )ˆ(),ˆ(,ˆ,ˆ, PRPBRBπ ); (2) BEGIN (3) ; 1−= ni : }λ),ˆ(λ|λ{:λ 0>∈=∗ PBmin ; (4) WHILE DO si ≠(5) BEGIN (6) REPEAT (7) IF ( ) THEN PF( ); )),((λ iiB π∉∗ )),(()),(( ,,λ iiii RB ππ

∗

(8) IF ( ) THEN PF( ); ))(,(λ iiB π∉∗ ))(,())(,( ,,λ iiii RB ππ∗

(9) }λλ),ˆ(λ|λ{:λ ∗∗ >∈= PBmin ; (10) UNTIL ( ) Λ=∗λ(11) )(: ii π= ; (12) END (13) ; 1−= ni :(14) WHILE DO si ≠(15) BEGIN (16) ; 0' =:λ(17) )λ;ˆ(ˆ)λ);),(((ˆ:)λ);),(((ˆ ''' Priiriir −= ππ ; )λ;ˆ(ˆ)λ));(,((ˆ:)λ));(,((ˆ ''' Priiriir += ππ ; (18) WHILE ( ) DO Λ<'λ(19) BEGIN

(20) }λλ),ˆ(λ|λ{:λ '" >∈= PBmin ; (21) )λ;ˆ(ˆ)λ);),(((ˆ:)λ);),(((ˆ """ Priiriir −= ππ ; )λ;ˆ(ˆ)λ));(,((ˆ:)λ));(,((ˆ """ Priiriir += ππ ; (22) IF ( 0"' =+ )λ);),(((ˆ)λ);),(((ˆ iiriir ππ ) THEN ; ]λ,λ[))),(((ˆ:))),(((ˆ "'−= iiIiiI ππ(23) IF ( 0"' ≠+ )λ));(,((ˆ)λ));(,((ˆ iiriir ππ ) THEN (24) IF ( 0' =)λ));(,((ˆ iir π ) THEN ]λ,λ()))(,((ˆ:)))(,((ˆ "'+= iiIiiI ππ(25) ELSE IF ( 0" =)λ));(,((ˆ iir π ) THEN )λ,λ[)))(,((ˆ:)))(,((ˆ "'+= iiIiiI ππ

(26) ELSE ; ]λ,λ[)))(,((ˆ:)))(,((ˆ "'+= iiIiiI ππ

(27) "' λ:λ = ; (28) END; (29) )(: ii π= ; (30) END (31) END;

Figura 2.10 Procedura AFP de actualizare a reţelei reziduale parametrice )(ˆ fG Procedura PF (punct de frângere), prezentată în Figura 2.13 şi apelată cu parametrii generici ( ), adaugă valoarea a parametrului la lista şi calculează valoarea în punctul a funcţiei memorate în lista după care adaugă valoarea calculată la lista . Parametrul poate fi un drum

)(),(,λ PRPB∗ ∗λ )(PB ∗λ)(PR )(PR P

P de micşorare condiţională a fluxului sau un singur arc Pa ˆ∈ , Apelul PF( )ˆ(),ˆ(,λ PRPBmid ) adaugă valoarea la lista midλ )ˆ(PB şi calculează valoarea )λ;ˆ(ˆ midPr pe care o adaugă la lista )ˆ(PR . În mod analog, apelul PF( ) adaugă valoarea la lista şi calculează valoarea

aamid RB ,,λ midλ aB)λ;(ˆ

midar pe care o adaugă la lista . aRProcedura AFP micşorează fluxul de-a lungul drumului corespunzător în reţeaua parametrică G , ceea ce se reflectă în actualizarea reţelei reziduale parametrice )(ˆ fG .

25

Algoritmul drumului cel mai scurt pentru problema fluxului parametric minim După etapa de determinare a fluxului admisibil 0f , algoritmul drumului cel mai scurt pentru problema fluxului parametric minim (ADm-FPm) efectuează în mod repetat următoarele operaţii:

- se apelează procedura LmD care calculează lungimea minimă a unui drum de micşorare condiţională a fluxului;

h

- se apelează procedura DmCF care construieşte drumul P de micşorare condiţională a fluxului, memorat în vectorul predecesor π ; - se apelează procedura CRP care determină capacitatea reziduală parametrică )λ;ˆ(ˆ Pr a drumului P , memorată în listele )ˆ(PB şi )ˆ(PR ; - se apelează procedura AFP care actualizează reţeaua reziduală parametrică (reflectată în actualizarea mulţimilor B şi ) în conformitate cu micşorarea fluxului în reţeaua parametrică originară. ˆ R

Atunci când în reţeaua reziduală parametrică nu există niciun drum de micşorare condiţională a fluxului, se calculează fluxul parametric minim f pe baza capacităţilor reziduale parametrice memorate în listele )ˆ(PB şi )ˆ(PR şi algoritmul se încheie. (1) PROGRAM ADm-FPm; (2) BEGIN (3) φ=:B ; ; ; φ=:R ],[:ˆ Λ= 0' 00I(4) FOR 1=:j TO 1−n DO ; φ=:ˆ 0' jI(5) se determină un flux admisibil 0f în reţeaua ; "G(6) FOR toate arcele Aa∈ DO (7) BEGIN (8) se calculează );(ˆ 0ar şi );(ˆ Λar ; (9) },{: Λ= 0aB ; )};(ˆ),;(ˆ{: Λ= ararRa 0 ;

(10) IF ( 00 ≠Λ+ );(ˆ);(ˆ arar ) THEN ; ],[:)(ˆ Λ= 0aI(11) ELSE ; φ=:)(ˆ aI(12) aBBB Uˆ:ˆ = ; ; aRRR Uˆ:ˆ =(13) END; (14) REPEAT (15) 0=:C ; ; 1=:h(16) LmD( ); ChI ,,ˆ'(17) IF ( 1=C ) THEN (18) BEGIN (19) ),,,(: nnn K=π ; φ=:)ˆ(PB ; φ=:)ˆ(PR ; (20) DmCF( ); π,,ˆ hI '(21) CRP( )ˆ(),ˆ(,ˆ,ˆ, PRPBRBπ ); (22) AFP( )ˆ(),ˆ(,ˆ,ˆ, PRPBRBπ ); (23) END; (24) UNTIL ( 2=C ); (25) se calculează fluxul parametric minim f ; (26) END.

Figura 2.11 Algoritmul drumului cel mai scurt pentru problema fluxului parametric minim (ADm-FPm)

26

Teorema 2.12 (Teorema de corectitudine [32]) Dacă există un flux admisibil în reţeaua parametrică ),,,,,( tsuANG l= , atunci algoritmul celui mai scurt drum de micşorare condiţională a fluxului (ADm-FPm) determină corect un flux parametric minim.

Teorema 2.13 (Teorema de complexitate [32]) Complexitatea algoritmului celui mai scurt drum de micşorare condiţională a fluxului (ADm-FPm) este , unde )( 22 nmKKnmO + 1+K este numărul de subintervale kJ .

2.3.3. Algoritmul secvenţial pentru problema fluxului parametric minim Algoritmul secvenţial pentru problema fluxului parametric minim se bazează pe rezolvarea în mod repetat a următoarelor două subprobleme: a) calcularea unui flux neparametric maxim care poate fi scăzut dintr-un flux admisibil pentru a-l transforma într-un flux parametric minim şi b) determinarea intervalului maxim al valorilor parametrului pentru care fluxul calculat este un flux parametric minim [30]. Prima etapă a algoritmului constă în stabilirea unui flux admisibil

∗kf

~

0f şi a unui flux minim iniţial , în reţeaua neparametrică 0f ),,),(,,( tsuANG 00 l= cu marginile inferioare constante ),();,( jiji 00 ll = , calculate pentru valoarea 0=λ a parametrului.

Restricţii de micşorare a fluxului Se notează cu kf vectorul flux parametric minim f pentru kλλ = şi cu kl vectorul margine inferioară parametrică l pentru . Reţeaua neparametrică notată cu kλλ = kG este reţeaua parametrică ),,,,,( tsuANG kl= pentru kλλ = . Presupunând că fluxul parametric minim f şi tăietura ts − parametrică maximă , ],ˆ[ xx JS ]λ ,(λ 1+= xxxJ , 10 −= kx ,,K sunt cunoscute pentru valorile ale parametrului, cu 1−≤ kλλ Λ<kλ , o iteraţie a celei de-a doua etape constă în a calcula lungimea maximă

k

kδ a intervalului valorilor parametrului pentru care tăietura maximă rămâne tăietură maximă pentru toate valorile

ts − ]ˆ,ˆ[ kk TS]λ,λ(λ kkk δ+∈ , până la atingerea limitei Λ . La

fiecare iteraţie, se caută un flux maxim pentru care funcţia ∗kf

~ ∗⋅−= kkk fff ~)λ-λ(ˆ:ˆ să fie un flux parametric minim pentru toate valorile ]λ,λ(λ kkk δ+∈ ale parametrului. Trebuie menţionat faptul că este un flux maxim special pentru care sunt acceptate şi valori negative .

∗kf

~

0<∗ ),(~ jif kFluxul maxim trebuie să respecte următoarele restricţii pentru toate arcele şi pentru toate valorile parametrului din intervalul

∗kf

~ Aji ∈),(λ ]λ,λ( kkk δ+ :

),(~)λλ(),(ˆ)λλ(),(),( jifjifjiLji kkkkk∗⋅−−≤−⋅−l

),(),(~)λλ(),(ˆ jiujifjif kkk ≤⋅−− ∗ Pentru cazul în care , singura restricţie derivă din condiţia ca fluxul parametric minim 0≥∗ ),(~ jifk

)λ;,(ˆ jif pe fiecare arc să nu fie mai mic decât este marginea inferioară ),( ji )λ;,( jil a arcului. Valoarea maximă a parametrului kk δ+=λλ , pentru care restricţia mai este respectată respectă restricţia ),( jiQk 1≤δ , unde )),(),(~/()),(),(ˆ(),( jiLjifjijifjiQ kkk −−= ∗l1 . Pentru cazul în care , restricţiile derivă din condiţia ca fluxul parametric minim 0<∗ ),(~ jifk )λ;,(ˆ jif pe fiecare arc să nu fie mai mic decât este marginea inferioară ),( ji )λ;,( jil a arcului şi să nu depăşească marginea superioară ),( jiu a arcului.

Dacă , se obţine restricţia ),(),(~ jiLjifk ≤∗ ),( jiQk 2≤δ , cu ),(~/)),(),(ˆ(),( jifjiujifjiQ kk∗−=2 .

Dacă se obţine restricţia ),(),(~ jiLjifk >∗ )},(),,({ jiQjiQmink 21≤δ .

27

Determinarea fluxului neparametric maxim ∗kf

~

În vederea determinării fluxului neparametric maxim şi a lungimii maxime ∗kf

~kδ a intervalului

]λ,λ( kkk δ+ al valorilor parametrului , astfel încât fluxul λ ∗⋅−= kkk fff ~)λ-λ(ˆ:ˆ să fie un flux parametric minim în intervalul ]λ,λ( kkk δ+ , se construieşte reţeaua derivată pornind de la următoarele considerente:

),,,,,( tsuANG kkk∗∗∗ = l

- dacă ),(),(ˆ jiujif k = , atunci fluxul pe arcul poate fi micşorat cu un fluxul special de o valoare oricât de mare;

),( ji0≥∗ ),(~ jifk

- dacă ),(),(ˆ jijif kk l= , atunci fluxul pe arcul poate fi micşorat cu fluxul special care respectă constrângerea .

),( ji ),(~ jifk∗

),(),(~ jiLjif k ≤∗

Pentru un număr pozitiv suficient de mare 0>>M , funcţiile margine inferioară şi margine superioară definite pentru reţeaua derivată sunt următoarele:

ℜ→∗ Ak :l

ℜ→∗ Auk : ),,,,,( tsuANG kkk∗∗∗ = l

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

==∗

),(),(ˆ),(),(ˆ

),(jiujifpentruMjiujifpentruji

k

kk

0l şi

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

==∗

),(),(ˆ),(),(ˆ),(

),(jijifpentruM

jijifpentrujiLjiu

k

kkk

l

l

În reţeaua derivată , se rezolvă următoarea subproblemă neparametrică: ),,,,,( tsuANG kkk∗∗∗ = l

∗kvămaximizeaz (2.8.a)

tidacătsidacă

sidacă

v

vijfjif

k

k

Aijjk

Ajijk

=≠=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

∗

∗

∈

∗

∈

∗ ∑∑ ,,,,

),(),(),(|),(|

0 (2.8.b)

Ajijiujifji kkk ∈∀≤≤ ∗∗∗ ),(),(),(),(l (2.8.c)

Fie o soluţie a problemei (2.8). Pentru determinarea lungimii maxime ∗kf

~kδ a subintervalului

valorilor parametrului pentru care fluxul ∗⋅−= kkk fff ~)λ-λ(ˆ:ˆ este un flux parametric minim, mulţimea a arcelor reţelei derivate este împărţită în următoarele patru submulţimi

disjuncte A ),,,,,( tsuANG kkk

∗∗∗ = l

qA , 41 ,,K=q :

)},(),(~),(~|),{(: jiLjifşijifAjiA kk >≥∈= ∗∗ 01

)},(),(~),(~|),{(: jiLjifşijifAjiA kk ≤<∈= ∗∗ 02

)},(),(~),(~|),{(: jiLjifşijifAjiA kk ><∈= ∗∗ 03

)},(),(~),(~|),{(: jiLjifşijifAjiA kk ≤≥∈= ∗∗ 04 .

Pentru submulţimile , şi , valoarea 1A 2A 3A kδ este determinată în funcţie următoarele valori:

)),(),(~/()),(),(ˆ(),( jiLjifjijifjiQ kkk −−= ∗l1 1Ajipentru ∈),(

),(~/)),(),(ˆ(),( jifjiujifjiQ kk∗−=2 2Ajipentru ∈),( )},(),,({),( jiQjiQminjiQ 213 = 3Ajipentru ∈),( .

Fie pentru }),(|),({)(qq

qk AjijiQmin ∈=δ 321 ,,=q şi . },,,λ{ )()()( 321

kkkkk min δδδδ −Λ=

Teorema 2.14 ([30]) Dacă este valoarea unui flux maxim în reţeaua , atunci are loc expresia: .

∗ kv~ ),,,,,( tsuANG kkk∗∗∗ = l

∑ ∈

∗ =kTSjik jiLv

)~,~(),(),(~

Teorema 2.15 ([30]) O tăietură minimă în reţeaua este totodată o tăietură maximă în reţeaua

kTS ]~,~[ ),,,,,( tsuANG kkk∗∗∗ = l

kTS ]ˆ,ˆ[ ),,,,,( tsuANG kk l= .

28

Teorema 2.16 ([30]) Dacă kv este valoarea fluxului minim în reţeaua ),,,,,( tsuANG kk l= pentru valoarea şi dacă este valoarea fluxului maxim în reţeaua , atunci: Λ<kλ

∗ kv~ ),,,,,( tsuANG kkk∗∗∗ = l

∗⋅−= kkk vvv ~)λ-λ(ˆ:ˆ pentru toate valorile kkk δ+≤≤ λλλ ale parametrului , cu .

λ},,,λ{ )()()( 321

kkkkk min δδδδ −Λ= (1) PROGRAM AS-FPm; (2) BEGIN (3) se determină un flux admisibil 0f în reţeaua 0G ; (4) 0=:k ; ; 0=:λ k(5) A-Fm( fG ,0 ); ff k =:ˆ ; (6) WHILE ( ) DO Λ<kλ(7) BEGIN (8) FOR 1=:q TO DO ; 3 Λ=:)(qδ(9) se determină reţeaua derivată ; ∗

kG(10) A-FM( ); ; fGk ,

∗ ffk =∗ :~

(11) se construiesc mulţimile , şi ; 1A 2A 3A(12) FOR 1=:q TO DO 3 }),(|),({: qqq AjijiQQ ∈= ; (13) FOR 1=:q TO DO IF (3 φ≠qQ ) THEN ; }),(),({:)(

qqq Aji|jiQmin ∈=δ

(14) },,,λ{: )()()( 321 δδδδ −Λ=mink ; (15) FOR toate arcele DO Aji ∈),((16) BEGIN (17) ),(~),(ˆ:),(ˆ jifjifjif kkkk

∗+ ⋅−= δ1 ;

(18) ),(),(:),( jiLjiji kkk ⋅−=+ δll 1 ; (19) END; (20) kkk δ+= ++ 11 λλ : ; (21) 1+= kk : ; (22) END; (23) END.

Figura 2.12 Algoritmul secvenţial pentru problema fluxului parametric minim (AS-FPm) Teorema 2.17 (Teorema de corectitudine [30]) Dacă există un flux admisibil în reţeaua neparametrică ),,,,,( tsuANG 00 l= , atunci algoritmul secvenţial (AS-FPm) determină corect un flux parametric minim.

Dacă se notează cu o funcţie polinomială de şi , atunci desemnează complexitatea algoritmului de determinare a unui flux maxim, invocat de procedura A-FM.

),( mnF n m )),(( mnFO

Teorema 2.18 (Teorema de complexitate [30]) Complexitatea algoritmului secvenţial pentru problema fluxului parametric minim (AS-FPm) este )),(( mnFOK ⋅ , unde este numărul de subintervale

1+K

kJ şi este o funcţie polinomială de n şi m . ),( mnF

29

2.3.4. Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric minim Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric minim [83] calculează la fiecare iteraţie o îmbunătăţire a fluxului pe câte un subinterval al valorilor parametrului, în ordine crescătoare a punctelor de frângere ale capacităţii reziduale parametrice r ale unui drum P de micşorare condiţională a fluxului din reţeaua reziduală parametrică )(ˆ fG . Punctele de frângere ale capacităţii reziduale parametrice )λ;ˆ(ˆ Pr introduc, în timpul execuţiei algoritmului, puncte de frângere pentru capacităţile reziduale parametrice )λ;,(ˆ jir , Pji ˆ),( ∈ . Algoritmul lucrează în reţele reziduale parametrice )(ˆ fGk definite pentru subintervalele , ]λ,[λ 1+= kkkJ Kk ,, K21= ale valorilor parametrului pentru care capacităţile reziduale parametrice ale tuturor arcelor rămân funcţii lineare fără puncte de frângere în interiorul subintervalelor.

λ

Prima etapă a algoritmului constă în stabilirea unui flux admisibil 0 f , dacă el există, în reţeau "G . Ca şi în cazul algoritmului prezentat în secţiunea 2.3.2, reţeaua neparame ),,, tsu se obţine din reţeaua parametrică

atrică ANG l=

iniţială

",,("

),,,, tsuA l prin înlocuirea marginilor inferioare rice

,(NG =

paramet )λ;,( jil lor Aji ∈),( cu valorile: |) ale arce λ;,({),(" Λ∈ }][0,λ= jimaxji ll . Algoritmul menţine o listă ordonată }λ,,λ,λ{ 10 Λ=== +10 KB K a valorilor parametrului pentru care se realizează partiţionarea reţelei parametrice. Lista este iniţializată ca

λB }{: 0=B şi se actualizează în

fiecare etapă a algoritmului în care reziduală parametrică )(ˆ fGk nu mai conţine niciun drum de micşorare condiţională a fluxului, prin adăugarea celei mai mici valori a parametrului pentru care funcţia capacitate reziduală parametrică a unui drum de micşorare condiţională a fluxului prezintă un punct de frângere. Dacă reţeaua reziduală parametrică

kλλ >

)(ˆ fGk nu conţine niciun drum de micşorare condiţională a fluxului, se calculează fluxul parametric minim kf pentru subintervalul şi algoritmul trece la o nouă serie de iteraţii în următorul subinterval, până la atingerea valorii .

]λ,[λ 1+kk

Λ=+1Kλ (1) PROGRAM AP-FPm; (2) BEGIN (3) se determină un flux admisibil 0f în reţeaua ; "G(4) se determină reţeaua reziduală parametrică )(ˆ

0fG ; (5) }{: 0=B ; ; ; 0=:k 0=:λ k(6) REPEAT (7) DmCF( ); Bk, k ,λ(8) 1+= kk : ; (9) UNTIL ( ); Λ=kλ

(10) END.

Figura 2. 13 Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric minim (AP-FPm) Pe parcursul iteraţiilor, pe baza algoritmului Ahuja-Orlin al drumului cel mai scurt, în reţeaua reziduală parametrică )(ˆ fGk , procedura DmCF păstrează un drum parţial )(ˆ jP de micşorare condiţională a fluxului, memorat în vectorul succesor σ şi execută operaţii de avansare şi înapoiere de la nodul curent j până când se atinge nodul sursă . s

(1) PROCEDURA AVANSARE ( ; ), ji

ji =:)((2) BEGIN (3) σ ; (4) ij =:

)j

; (5) END;

Figura 2.14 Procedura VANSARE A

(1) PROCEDURA ÎNAPOIERE ( ; (2) BEGIN (3) )}(ˆ)()(ˆ{:)(ˆ fAi,j|idminjd k∈+= 1 ; (4) IF tj ≠ )(: jj σ= THEN ; (5) END;

Figura 2.15 Procedura ÎNAPOIERE

30

(1) PROCEDURA DmCF( ); Bk, k ,λ(2) BEGIN (3) se determină reţeaua reziduală parametrică )(ˆ

0fGk ; (4) se stabilesc etichetele distanţă exacte în )(ˆ ⋅d )(ˆ

0fGk ; (5) )(: ,nn,n,K=σ ; 0=:)ˆ(Pkα ; 0=:)ˆ(Pkβ ; Λ=+ :λ 1k ; (6) tj =: ; (7) WHILE DO ntd <)(ˆ

(8) IF (există un arc admisibil ) THEN ),( ji(9) BEGIN

(10) AVANSARE ; ),( ji(11) IF THEN )( sj =(12) BEGIN (13) CRPDmC ( )ˆ(),ˆ(,,λ PPB, kkk βασ 1+ ); (14) tj =: ; (15) END;

(16) END (17) ELSE ÎNAPOIERE ; )( j(18) se calculează fluxul parametric minim kf ; (19) se adaugă la lista ; 1+kλ B(20) END;

Figura 2.16 Procedura „Drumuri de micşorare condiţională a fluxului” (DmCF) Teorema 2.19 ([83]) Procedura „Drumuri de micşorare condiţională a fluxului” (DmCF) determină corect un flux parametric minim în reţeaua parametrică ),,,,,( tsuANG l= pentru valorile parametrului cuprinse în subintervalul . λ ]λ,[λ 1+kk

(1) PROCEDURA CRPDmC( )ˆ(),ˆ(,,λ PPB, kkk βασ 1+ ); (2) BEGIN (3) se determină un drum P de micşorare a fluxului pe baza vectorului succesor σ ; (4) }ˆ),(|),({:)ˆ( PjijiminP kk ∈= αα ; (5) )}ˆ(),(ˆ),(|),({:)ˆ( PjişiPjijiminP kkkk ααββ =∈= ; (6) si =: ; (7) WHILE ti ≠ DO; (8) BEGIN (9) IF ( )ˆ()),(( Pii kk βπβ < ) THEN

(10) BEGIN (11) )))(,()ˆ(/())ˆ())(,((λ:λ iiPPii kkkkk σββασα −−+=∗ ; (12) IF ( ) THEN ; 1+

∗ < kλλ ∗+ = λ:λ 1k

(13) END; (14) )ˆ())(,(:))(,( Piiii kkk ασασα −= ; )ˆ())(,(:))(,( Piiii kkk βσβσβ −= ; (15) )ˆ()),((:)),(( Piiii kkk ασασα += ; )ˆ()),((:)),(( Piiii kkk βσβσβ += ; (16) )(: ii σ= ; (17) END; (18) END;

Figura 2.17 Procedura „Capacitate reziduală parametrică a drumului de micşorare condiţională” CRPDmC

31

Procedura CRPDmC calculează capacitatea reziduală parametrică )λ;ˆ(ˆ Prk a drumului P de micşorare condiţională a fluxului şi modifică valorile ),( jikα şi ),( jikβ ale capacităţii reziduale parametrice ale arcelor care compun drumul P de micşorare condiţională a fluxului astfel încât să reflecte micşorarea fluxului în reţeaua iniţială. Deîndată ce reţeaua reziduală parametrică )(ˆ fGk nu mai conţine drumuri de micşorare condiţională a fluxului de la nodul sursă la nodul stoc, procedura DmCF determină fluxul parametric minim kf pentru subintervalul al valorilor parametrului

, adaugă valoarea la lista B şi îşi încetează execuţia. ]λ,[λ 1+kk

λ 1+kλ

Teorema 2.20 ([83]) Procedura CRPDmC determină corect funcţia capacitate reziduală parametrică )ˆ(ˆ Prk a unui drum P de micşorare condiţională a fluxului în reţeaua reziduală parametrică )(ˆ fGk pentru toate valorile parametrului cuprinse în subintervalul . λ ]λ,[λ 1+kk

Teorema 2.21 (Teorema de corectitudine [83]) Dacă există un flux admisibil în reţeaua parametrică ),,,,,( tsuANG l= , atunci algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric minim (AP-FPm) determină corect un flux parametric minim pentru . ],[λ Λ∈ 0

Teorema 2.22 (Teorema de complexitate [83]) Algoritmul de partiţionare pentru problema fluxului parametric minim (AP-FPm) are complexitatea , unde este numărul valorilor parametrului conţinute în mulţimea obţinută la terminarea execuţiei algoritmului.

)( mKnO 2 1+Kλ B

2.3.5. Rezolvarea problemei fluxului parametric minim în reţele bipartite

Reţele parametrice bipartite speciale O reţea este numită reţea bipartită dacă mulţimea a nodurilor sale poate fi partiţionată în două submulţimi şi astfel încât fiecare arc al reţelei să aibă o extremitate în

şi cealaltă extremitate . Fie şi

),,,,,( tsuANG l= N

1N 2N

1N 2N || 11 Nn = || 22 Nn = . O reţea bipartită este reprezentată adesea cu ajutorul notaţiei ),,,,,( 21 tsuANNG lU= . Considerând că 2Ns∈ şi 1Nt∈ , fie reţeaua parametrică bipartită ),,,,,( tsuANNG lU 21= care conţine câte un arc de la nodul sursă la fiecare nod , cu şi care conţine câte un arc de la fiecare nod la nodul stoc

s}{tNi −∈ 1 φ=∈∀ }|),{( 1Nisi }{sNj −∈ 2

t , cu φ=∈∀ }|),{( 2Njjt . Marginile inferioare ale arcelor sunt funcţii lineare descrescătoare de parametrul real , marginile inferioare ale arcelor sunt funcţii lineare crescătoare de iar marginile inferioare ale celorlalte arce sunt constante:

),( isλ ),( tj

λ),(λ),()λ;,( isLisis ⋅−= 0ll cu Λ≤≤ /),(),( isisL 00 l , , (2.9.a) Ais ∈∀ ),(

),(λ),()λ;,( tjLtjtj ⋅−= 0ll cu 0( 0 ≤≤Λ− ),(/)),(),( tjLtjutjl , . (2.9.b) Atj ∈∀ ),(

Micşorarea fluxului Ideea de bază a algoritmului este de a determina un flux parametric minim corespunzător unei tăieturi parametrice maxime , ];ˆ[ kk JS Kk ,,K1= , obţinute ca o succesiune de tăieturi ,

în ordinea crescătoare a valorilor parametrului . Pentru fiecare tăietură maximă , fluxul pe arcele directe ale tăieturii are valoarea minimă

]ˆ,ˆ[ kk TS]λ,λ[ 1+= kkkJ λ

]ˆ,ˆ[ kk TS )ˆ,ˆ(),( kk TSji ∈ )λ;,()λ;,(ˆ jijif l= , iar fluxul pe arcele inverse ale tăieturii are valoarea maximă kJ∈∀ λ )ˆ,ˆ(),( kk STji ∈

),()λ;,(ˆ jiujif = , . kJ∈∀ λPentru un pas de micşorare a fluxului, fluxul admisibil în reţeaua parametrică este notat cu k kf . Fiecărui nod i se asociază o valoare , definită ca valoarea maximă a parametrului pentru care, în pasul , fluxul

}{tNi −∈ 1kiλ λ

k )λ;,( isf k pe arcul rămâne egal cu marginea inferioară ),( is )λ;,( isl a arcului: }λ);,(ˆ|λ{:λ 0== isrk

i max . În consecinţă, fluxul λ);,( isfk pe arcul este minim pentru ),( is

32

toate valorile parametrului . În mod echivalent, fiecărui nod i se asociază o valoare

kiλλ ≤≤0 }{sNj −∈ 2

}λ);,(ˆ|λ{:λ 0== tjrkj min , reprezentând valoarea minimă a parametrului pentru care

fluxul λ

λ);,(λ);,( tjtjf k l= pe arcul este minim. Dată fiind o valoare asociată nodului , fluxul pe arcul poate fi micşorat numai pentru valorile parametrului λ cuprinse în intervalul

deoarece marginile inferioare ale arcelor ce părăsesc nodul sursă sunt funcţii descrescătoare de . Totodată, arcul este un arc direct în toate tăieturile pentru care . Echivalent, pentru o valoare asociată nodului

),( tj kiλ i

),( is],λ( Λk

i

λ ),( is ]ˆ,ˆ[ kk TS kik λλ ≤+1

kjλ j , fluxul pe arcul poate fi micşorat numai

pentru valorile parametrului cuprinse în intervalul deoarece marginile inferioare ale arcelor care ajung la nodul stoc sunt funcţii crescătoare de . Deci, arcul este un arc direct în toate tăieturile pentru care . Ca urmare, de-a lungul unui drum

),( tjλ )λ,[ k

j0λ ),( tj

]ˆ,ˆ[ kk TS kjk λλ ≥ ),,,(ˆ tjisP = de

micşorare condiţională a fluxului care conţine arcele şi fluxul poate fi micşorat numai dacă este respectată condiţia , adică . Fie o tăietură

),( is ),( tjφ≠Λ],λ()λ,[ k

ikj I0 k

jki λλ < ],[ kk TS ts − definită

pentru o valoare a parametrului, cu şi . kλ }{}λλ|{}λλ|{: sjiS kkjk

kik UU ≤≤= kk SNT −=:

a) Se consideră arcul direct în tăietura , pentru care . Dacă , atunci fluxul

),(),( kk TSji ∈ ],[ kk TS kj

ki λλ < 0>),(ˆ jir

)λ;,( jif k poate fi micşorat în intervalul . Fie valoarea parametrului obţinută ca soluţie a ecuaţiei

)λ,(λ kj

ki

∗λ);,(ˆ);,(ˆ λλ tjrisr = şi fie ∗r valoarea );,(ˆ);,(ˆˆ λλ ∗∗∗ == tjrisrr .

Dacă atunci, după micşorarea fluxului cu unităţi, noile valori şi sunt mai apropiate una faţă de cealaltă conducând la reducerea intervalului pentru care fluxul va putea fi micşorat în iteraţiile următoare.

∗< rjir ˆ),(ˆ ),(ˆ jir 1+kiλ

1+kjλ

Dacă atunci, după micşorarea fluxului cu ∗≥ rjir ˆ),(ˆ ∗r unităţi, noile valori şi devin egale cu iar capacitatea reziduală a arcului nu se mai anulează. Oricum, deoarece

arcul nu va mai aparţine niciunei tăieturi. Se poate observa că arcul este un arc direct în toate tăieturile pentru care şi arcul este un arc direct în toate tăieturile pentru care , acoperind din nou întregul interval .

1+kiλ

1+kjλ

∗λ ),( ji∗++ == λλλ 11 k

jki ),( ji ),( is

]ˆ,ˆ[ kk TS ∗+ ≤ λλ 1k ),( tj

]ˆ,ˆ[ kk TS kλλ ≤∗ ],[ Λ0

b) Se consideră arcul direct în tăietura , pentru care . Dacă atunci fluxul

),(),( kk TSij ∈ ],[ kk TS kj

ki λλ > 0>),(ˆ ijr

)λ;,( ijf k poate fi micşorat prin retragerea unui flux convenabil de la nodul i la nodul j pe arcul , ceea ce este echivalent cu mărirea fluxului de la nodul i la nodul ),( ij j pe arcul . ),( ji

Dacă atunci, după retragerea a unităţi pe drumul |ˆ|),(ˆ ∗< rijr ),(ˆ ijr ),,,(ˆ sijtPr = , valorile şi se apropie una faţă de cealaltă iar capacitatea reziduală se anulează pe intervalul

şi deci fluxul

1+kjλ 1+k

iλ ),(ˆ ijr)λ,(λ 11 ++ k

ikj ),(),(ˆ ijijf k l= .

Dacă atunci, după retragerea a unităţi de la nodul sursă la nodul stoc |ˆ|),(ˆ ∗≥ rijr |ˆ| ∗r s t , noile valori şi devin egale cu iar capacitatea reziduală a arcului nu se mai anulează. Arcul însă nu mai face parte din nicio tăietură deoarece .

1+kiλ

1+kjλ ∗λ ),( ij

),( ij ]ˆ,ˆ[ kk TS ∗++ == λλλ 11 kj

ki

Definiţia 2.17 Un drum de forma ),,,(ˆ tjisP = ,respectiv de forma ),,,(ˆ sijtPr = în reţeaua reziduală ))(ˆ,()(ˆ

kk fANfG = este drum rezidual simplu dacă respectă condiţia: a) 0>< ),(ˆλλ jirşik

jki pentru toate valorile parametrului , respectiv )λ,λ(λ k

jki∈

b) 0>> ),(ˆλλ ijrşikj

ki pentru toate valorile parametrului . )λ,λ(λ k

ijk∈

Valorile şi ale parametrului la sfârşitul unui pas de micşorare a fluxului, se găsesc în următoarele relaţii faţă de valorile şi ale parametrului de la începutul pasului :

1+kiλ

1+kjλ k

kiλ

kjλ k

a) dacă , atunci şi kj

ki λλ < k

jkj

ki

ki λλλλ <≤< ++ 11

b) dacă , atunci . kj

ki λλ > k

jkj

ki

ki λλλλ >≥> ++ 11

33

La încheierea fiecărui pas de micşorare a fluxului, fie capacitatea reziduală a unui arc devine nulă, fie cele două valori şi ale parametrului devin egale. Un singur pas de micşorare a fluxului nu poate inversa ordinea celor două valori ale parametrului, chiar dacă această ordine poate fi inversată în urma unor operaţii ulterioare.

),( ji1+k

iλ1+k

jλ

Algoritmul pentru rezolvarea problemei fluxului parametric minim în reţele bipartite Algoritmul pentru problema fluxului parametric minim în reţele bipartite (A-FPmB) parcurge următoarele etape: (i) Se determină un flux admisibil în reţeaua parametrică bipartită ),,,,,( tsuANNG lU 21= ; (ii) Se determină valorile , kλ Kk ,,K1= ale parametrului corespunzătoare setului complet de tăieturi maxime pentru subintervalele ]ˆ,ˆ[ kk TS ]λ,λ[ 1+= kkkJ ; (iii) Se construieşte tăietura parametrică maximă , ];ˆ[ kk JS Kk ,,K1= în ordinea crescătoare a valorilor , kλ Kk ,,K1= ale parametrului; (iv) Pentru fiecare valoare , a parametrului se rezolvă o problemă de flux minim neparametric, obţinând fluxul minim

kλ Kk ,,K1=

kf pentru valoarea a parametrului. kλPrima etapă a algoritmului constă în stabilirea unui flux admisibil 0f , dacă el există, în reţeaua bipartită . Ca şi în cazul algoritmului prezentat în secţiunea 2.3.2, reţeaua neparametrică

se obţine din reţeaua parametrică iniţială "G

),,,",,(" tsuANG l= ),,,,,( tsuANG l= prin înlocuirea marginilor inferioare parametrice )λ;,( isl cu valorile: ),(),(" isis 0ll = şi prin înlocuirea marginilor inferioare parametrice )λ;,( tjl cu valorile: , cu . ),(),(),(" tjLtjtj −= 0ll 0≤),( tjLDupă determinarea fluxului admisibil 0f , în a doua etapă se construieşte reţeaua parametrică reziduală )(ˆ fG în care se iniţializează valorile 0=:λ i pentru toate nodurile }{}{ tsNi −∈ U1 şi

pentru toate nodurile . Pentru fiecare arc al reţelei Λ=:λj }{}{ stNj −∈ U2 ),( ji )(ˆ fG se analizează capacitatea reziduală parametrică )λ;,(ˆ jir numai pentru valorile parametrului din intervalul

. Algoritmul păstrează o listă organizată ca o coadă care conţine nodurile ]λ,[λλ ji∈ £ }{sNj −∈ 2 . Nodurile sunt extrase pe rând din lista şi pentru fiecare nod £ j extras se analizează toate nodurile

. Dacă există arce sau care aparţin unor drumuri reziduale simple }{tNi −∈ 1 ),( ji ),( ij P sau rP , atunci se calculează noile valori şi ale parametrului şi se actualizează , iλ jλ ),(ˆ jir ),(ˆ isr şi ),(ˆ tjr corespunzător noului subinterval . Când lista devine vidă, ea este reiniţializată ca

. Algoritmul se încheie atunci când nu mai poate fi identificat niciun drum rezidual simplu, adică atunci când o parcurgere integrală a listei nu produce nicio modificare a reţelei reziduale parametrice. La încheierea acestei etape a algoritmului, se apelează procedura TPM care determină tăietura

]λ,[λ ji £}{sN −= 2£

ts − parametrică maximă , ];ˆ[ kk JS Kk ,,K1= , ca o succesiune de tăieturi maxime în ordinea crescătoare a valorilor ale parametrului. În ultima etapă a algoritmului, pentru

fiecare valoare a parametrului determinată anterior, se determină fluxul minim ]ˆ,ˆ[ kk TS kλ

kλ kf în reţeaua neparametrică ),,,,,( tsuANG kk l= , cu )λ;,(),( kk jiji ll = , pornind de la fluxurile minime determinate pe arcele care aparţin tăieturii maxime . În reţeaua ]ˆ,ˆ[ kk TS kG , fluxul pe fiecare arc este stabilit la valoarea

)ˆ,ˆ(),( kk TSji ∈

),(),( jijif kk l= , fluxul pe fiecare arc este stabilit la valoarea )ˆ,ˆ(),( kk STji ∈

),(),( jiujif k = iar fluxul pe toate celelalte arce este ),(),( jifjif k 0= . Deoarece constrângerile de conservare a fluxului nu sunt respectate pentru toate nodurile },{ tsNi −∈ , kf este un preflux minim care este transformat în fluxul minim kf [23].

34

(1) PROGRAM A-FPmB; (2) BEGIN (3) se determină un flux admisibil 0f în reţeaua ; "G(4) se determină reţeaua reziduală parametrică )(ˆ

0fG ; (5) FOR TO 0=:k 11 −n DO ; 0=:λ k φ=:0£ ; (6) FOR TO 1nk =: 1−n DO BEGIN Λ=:λ k ; }{: kU00 ££ = ; END; (7) ; ; 0££ =: Λ=:λn 0=:C ; ; }{: 0=B 2=:K ; (8) WHILE ( φ≠£ ) DO (9) BEGIN

(10) se extrage primul nod j din lista ; £(11) FOR TO DO 1=:i 11 −n(12) IF (( ) AND ( )) THEN 0>),(ˆ jir ji λλ <(13) BEGIN (14) se calculează , ∗λ ∗r , şi ; iλ jλ(15) se actualizează )(ˆ fG ; 1=:C ; (16) END (17) ELSE IF (( ) AND ( )) THEN 0>),(ˆ ijr ji λλ >(18) BEGIN (19) se calculează , ∗λ ∗r , şi ; iλ jλ(20) se actualizează )(ˆ fG ; 1=:C ; (21) END; (22) IF (( φ=£ ) AND ( )) THEN BEGIN 1=C 0££ =: ; 0=:C ; END; (23) END; (24) TPM( KB, ); (25) FOR TO K DO 1=:k(26) BEGIN (27) se extrage prima valoare din lista kλ B ; (28) se determină reţeaua kG ; (29) AP-Fm( kG ); (30) END; (31) END.

Figura 2.18 Algoritmul pentru rezolvarea problemei fluxului parametric minim în reţele bipartite (A-FPmB) Deoarece fluxul parametric minim )λ;,(ˆ jif pe fiecare arc este o funcţie lineară pe fiecare interval , el poate fi calculat cu ajutorul relaţiilor următoare:

),( ji]λ,[λ 1+kk

)λ-λ/()),(ˆ),(ˆ()λ-λ(),(ˆ)λ;,(ˆkkkkkk jifjifjifjif 11 ++ −⋅+= , ]λ,λ(λ 1+∈∀ kk , Kk ,,, K10= . (2.10)

Fie reţeaua bipartită cu 1+n noduri },,,,,,,{ nnnnN 1110 11 −−= KK , },,,{ nnN 11 11 −= K cu nt = şi cu . Reamintim faptul că dacă şi atunci se

consideră că cu },,,,{ 110 112 −+= nnnN K 0=s Aji ∈),( Aij ∉),(

Aij ∈),( 0== ),(),( ijuijl . Procedura AP-Fm apelează oricare dintre algoritmii cu prefluxuri pentru determinarea unui flux minim în reţeaua ),,,,,( tsuANG kk l= .

Determinarea tăieturii parametrice maxime Pe baza reţelei reziduale parametrice )(ˆ fG obţinute la încheierea etapei a doua a algoritmului FPmB, se construieşte tăietura ts − parametrică maximă , ];ˆ[ kk JS Kk ,,K1= , în ordinea crescătoare a valorilor parametrului , printr-o singură parcurgere a nodurilor. Mulţimea a nodurilor reţelei este partiţionată succesiv în următoarele submulţimi disjuncte :

λ N],[ kk TS

}λλ|{}λλ|{}{: kjkik jisS <<= UU şi kk SNT −= , Kk ,,K1= .

35

(1) PROCEDURA TPM( ); KB,(2) BEGIN (3) }{: sNN −= ; ; ; 2=:k 01 =:λ }{: sS =1 ; (4) REPEAT; (5) }|λ{:λ Nimin ik ∈= ; (6) ]λ,λ[: kkkJ 11 −− = ; (7) }λλ|{: kik NiN =∈= ; kNNN −=: ; (8) kkk NSS U1−=: ; (9) }λ{: kBB U= ; ; kK =:

(10) 1+= kk : ; (11) UNTIL ( φ=N ); (12) END;

Figura 2.19 Procedura de determinare a tăieturii ts − parametrice maxime (TPM) Procedura de determinare a tăieturii ts − parametrice maxime , se încheie cu subintervalele

];ˆ[ kk JS Kk ,,K1=

kJ ale valorilor parametrului pentru care submulţimile şi determină tăietura maximă . Ca urmare a faptului că tăieturile maxime sunt imbricate, fiecare arc este analizat de două ori, prima dată când una din extremităţile sale trece din submulţimea în submulţimea şi a doua oară când cealaltă extremitate a sa suferă această modificare. Fie mulţimea nodurilor care trec din submulţimea în submulţimea la trecerea de la tăietura parametrică la . Deoarece

kS kk SNT −=

]ˆ,ˆ[ kk TS

kT

1+kS kX

kT 1+kS];[ kk JS ];[ 11 ++ kk JS kkk XSS U=+1 şi kkk XTT \=+1 , rezultă că:

),(\),(),(),(),(),( kkkkkkkkkkkk XSTXTSTXTSTS 11111 +++++ == UU şi

),(\),(),(),(),(),( kkkkkkkkkkkk SXXTSTXTSTST 11111 +++++ == UU .

În consecinţă, capacitatea tăieturii parametrice maxime, care este o funcţia lineară, se calculează recursiv cu ajutorul următoarei relaţii:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∑∑∑∑

++ ∈∈∈∈++

),ˆ(),()ˆ,(),()ˆ,(),(),ˆ(),(

),()λ;,(),()λ;,(]ˆˆ[ˆ]ˆ[ˆkkkkkkkk XTjiTXjiSXjiXSji

kkkk jiujijiujiJScJSc11

; ; 11 ll .

Teorema 2.23 (Teorema de corectitudine [34]) Dacă există un flux admisibil în reţeaua parametrică bipartită ),,,,,( tsuANNG lU 21= , atunci algoritmul pentru problema fluxului parametric minim în reţele bipartite (A-FPmB) determină corect un flux parametric minim.

În cazul general, în absenţa unei condiţii suplimentare de oprire, algoritmul poate reitera la nesfârşit deoarece pentru un arc , pe parcursul iteraţiilor, valoarea asociată nodului i poate deveni succesiv mai mică respectiv mai mare decât valoarea asociată nodului

),( ji iλjλ j . Acest lucru conduce la

o nouă serie de iteraţii pe parcursul cărora valorile se pot inversa din nou, ş.a.m.d. La fiecare iteraţie, însă, lungimea intervalului se micşorează. Din acest motiv, se poate introduce condiţia ca algoritmul să se oprească din execuţie atunci când valorile parametrului asociate extremităţilor i şi ale unui arc din reţeaua reziduală să respecte relaţia:

)λ,(λ ji

λj ε≤− |λλ| ij .

Dacă se notează cu o funcţie polinomială de şi , atunci desemnează complexitatea algoritmului de determinare a unui flux minim, invocat de procedura AP-Fm.

),( mnF n m )),(( mnFO

Teorema 2.24 (Teorema de complexitate [34]) Algoritmul pentru rezolvarea problemei fluxului parametric minim în reţele bipartite (A-FPmB) are complexitatea . ))),(()log()/log(( mnFOnnnnnO ⋅++Λ⋅ ε21

36

2.3.6. Algoritmul parametric MINMAX pentru fluxul parametric minim

În concordanţă cu abordarea prezentată în secţiunea 1.3.4 pentru fluxurile neparametrice, problema fluxului parametric minim de la nodul sursă la nodul stoc s t într-o reţea parametrică oarecare poate fi rezolvată prin aplicarea unui algoritm de flux parametric maxim de la nodul t la nodul în reţeaua reziduală

s)(

~fG definită pentru problema fluxului parametric maxim [81].

(1) PROGRAM AP-MINMAX; (2) BEGIN (3) se determină un flux admisibil f în reţeaua G ; (4) se determină reţeaua reziduală parametrică )(

~fG ;

(5) se determină un flux parametric maxim ∗f~

de la t la în s )(~fG ;

(6) ∗f~

este un flux parametric minim de la s la t , ∗= ff :ˆ ~;

(7) END.

Figura 2.20 Algoritmul AP-MINMAX pentru rezolvarea problemei fluxului parametric minim Teorema 2.25 (Teorema de corectitudine [81]) Dacă există un flux admisibil într-o reţea parametrică, atunci algoritmul parametric minmax (AP-MINMAX) determină corect un flux parametric minim de la nodul sursă s la nodul stoc t în reţeaua parametrică .

Teorema 2.26 (Teorema de complexitate [81]) Complexitatea algoritmului parametric minmax (AP-MINMAX) este egală cu complexitatea algoritmului folosit pentru determinarea fluxului parametric maxim de la nodul stoc la nodul sursă.

37

3. FLUXURI MULTICRITERIALE ÎN REŢELE 3.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE

Fie o reţea orientată pentru care se definesc K funcţii cost cu ),,,( uANG l= ℜ→Abk : Kk K,1= , unde funcţia cost reprezintă costul transportului unei unităţi de flux de la nodul i la nodul ),( jibk j pe arcul , în raport cu funcţia obiectiv . Problema fluxului multicriterial de cost minim în reţeaua constă în a determina funcţia flux

),( ji k),,,,,,( KbbuANG Kl 1= f care verifică următoarele

constrângeri: minimizează ∑

∈

⋅=Ajikk jifjibfy

),(

),(),()( , Kk K,1= (3.1.a)

NiivijfjifAijjAjij

∈=− ∑∑∈∈

),(),(),(),(|),(|

(3.1.b)

Ajijiujifji ∈≤≤ ),(),,(),(),(l (3.1.c)

Ajiîntregjif ∈),(),( , (3.1.d) Orice vector flux f care respectă constrângerile (3.1.b) şi (3.1.c) reprezintă o soluţie admisibilă a problemei fluxului multicriterial de cost minim (FMCm). Definiţia 3.1 Mulţimea F a soluţiilor admisibile ale problemei fluxului multicriterial de cost minim este numită spaţiu decizie. Imaginea mulţimii F prin intermediul funcţiilor obiectiv reprezintă spaţiul obiectiv pe care îl notăm }|))(,),({()( FffyfyFY K ∈= K1 . Oricărui vector flux f din spaţiul decizie F îi corespunde un punct , numit imaginea fluxului

))(,),(( fyfy KK1

f prin intermediul funcţiilor obiectiv, în spaţiul obiectiv . Dacă problemei fluxului multicriterial de cost minim i se adaugă restricţia suplimentară (3.1.d), un vector flux

)(FYf

care respectă constrângerile (3.1.b), (3.1.c) şi (3.1.d) reprezintă o soluţie admisibilă a problemei fluxului cu valori întregi multicriterial de cost minim (FIMCm). In general, nu există o soluţie admisibilă pentru problema FMCm, respecitv (FIMCm), care să minimizeze simultan toate funcţiile obiectiv, adică să reprezinte o soluţie global optimală. În programarea matematică există mai multe abordări pentru determinarea unei soluţii admisibile care verifică (3.1.a). În continuare considerăm abordarea în care f aparţine unei mulţimi de soluţii eficiente. Definiţia 3.2 O soluţie admisibilă Ff ∈ a problemei fluxului multicriterial de cost minim este numită soluţie eficientă dacă şi numai dacă nu există nicio altă soluţie admisibilă Ff ∈' astfel încât pentru toate valorile lui şi )()'( fyfy kk ≤ k )()'( fyfy kk < pentru cel puţin o valoare a lui . kDefiniţia 3.3 Un punct din spaţiul obiectiv este numit punct nedominat dacă şi numai dacă nu există niciun alt punct astfel încât pentru toate valorile lui k şi pentru cel puţin o valoare a lui .

))(,),(( fyfy KK1 )(FY)())'(,),'(( FYfyfy K ∈K1 )()'( fyfy kk ≤

)()'( fyfy kk < k

Un punct nedominat din spaţiul obiectiv se notează cu ))(,),(()( fyfyfy KK1= . Mulţimea soluţiilor eficiente din spaţiul decizie F se notează cu iar, prin extensie, mulţimea punctelor nedominate din spaţiul obiectiv se notează cu . În lucrarea [68] este prezentată următoarea proprietate.

][FE)(FY )]([ FYE

Proprietatea 3.1 Imaginea mulţimii soluţiilor eficiente prin intermediul funcţiilor obiectiv reprezintă mulţimea punctelor nedominate .

][FE)]([ FYE

Pentru problema fluxului multicriterial de cost minim (FMCm), mulţimea punctelor nedominate este numită frontieră eficientă. Pentru problema fluxului cu valori întregi multicriterial de cost minim (FIMCm), mulţimea punctelor nedominate nu defineşte o frontieră eficientă, noţiunea de frontieră eficientă păstrându-şi semnificaţia din cazul problemei valori reale FMCm.

38

Definiţia 3.4 Pentru problema fluxului cu valori întregi multicriterial de cost minim (FIMCm), dacă un punct nedominat din spaţiului obiectiv (vector obiectiv nedominat) se găseşte pe frontiera eficientă atunci el se numeşte vector obiectiv nedominat acceptat. În caz contrar el se numeşte vector obiectiv nedominat neacceptat. Soluţiile din spaţiul decizie, corespunzătoare punctelor nedominate din spaţiului obiectiv, se numesc soluţii eficiente acceptate, respectiv soluţii eficiente neacceptate.

)( fy

Proprietatea 3.2 Pentru problema fluxului bicriterial de cost minim (FBiCm), mulţimea punctelor nedominate (frontiera eficientă) este o curbă lineară pe porţiuni şi convexă. )]([ FYE

Definiţia 3.5 Pentru problema fluxului bicriterial de cost minim (FBiCm), punctele de frângere ale frontierei eficiente se numesc puncte nedominate extreme. Punctele nedominate extreme reprezintă imaginile soluţiilor eficiente extreme din spaţiul decizie. Mulţimea soluţiilor eficiente extreme din spaţiul decizie F se notează cu iar mulţimea punctelor nedominate extreme din spaţiul obiectiv se notează cu .

][FEex)(FY )]([ FYEex

Problema FMCm (cazul continuu) Metodele exacte propuse pentru rezolvarea problemei fluxului multicriterial de cost minim (FMCm) urmăresc obţinerea tuturor soluţiilor eficiente. Lee şi Pulat [68] şi Pulat, Huarng şi Lee [87] pornesc de la ideea propusă de Gass şi Saaty [45] conform căreia problema FBiCm poate fi formulată ca următoarea problemă de programare lineară : )λ(P

minimizează fbbfy ⋅⋅+= )λ()( 21 , (3.2.a)

cu (3.2.b) λ, <∈ 0Ff

şi, utilizând diverse generalizări ale metodei arcului de blocare pentru rezolvarea problemei FBiCm, construiesc frontiera eficientă pornind de la minimul lexicografic pentru primul obiectiv ( 1=k ). Toate soluţiile optime ale problemei sunt soluţii eficiente ale problemei FBiCm şi reciproc, toate soluţiile eficiente ale problemei FBiCm sunt soluţii optime ale unor probleme . (vezi [45])

)λ(P)λ(P

Generalizând abordarea programării parametrice la o gamă mai largă de probleme bicriteriale, Geoffrion [46] formulează următoarea problemă de programare parametrică:

)(λ)()(λ)( fyfyfyăminimizeaz 21 1 ⋅−+⋅= (3.3.a)

Ff ∈ , , (3.3.b) 1λ ≤≤0

cu funcţiile 1y şi 2y pozitive şi convexe iar mulţimea F a soluţiilor admisibile compactă şi convexă. Proprietatea 3.3 Dacă 0f este o soluţie eficientă a problemei bicriteriale, atunci există un scalar în intervalul [0,1] astfel încât

0λ

0f este soluţie optimală a problemei de programare parametrică (3.3.a-b).

)λ( 0P

Teorema 3.1 Mulţimea tuturor soluţiilor eficiente extreme ale problemei fluxului bicriterial de cost minim (3.1.a-c) poate fi obţinută în urma rezolvării problemei parametrice asociate (3.3.a-b) pentru toate valorile parametrului din intervalul [0,1]. λ

Proprietatea 3.4 Pentru fiecare valoare a parametrului din intervalul (0,1), soluţia optimală a problemei parametrice (3.3.a-b) este fie un singur punct, fie un segment compact din spaţiul obiectiv. Dacă şi sunt capetele unui segment linear din spaţiul obiectiv, atunci

λ

))(),(()( 12111 fyfyfy = ))(),(()( 22212 fyfyfy =)()t()(t))t(t( 2121 11 fyfyffy ⋅−+⋅=⋅−+⋅ pentru toate valorile . ,t 10 ≤≤ t

Algoritmii propuşi pentru rezolvarea problemei fluxului multicriterial de cost minim se bazează pe aplicarea metodei simplex în reţele. Metoda menţine un arbore parţial (o bază admisibilă) şi prin înlocuirea repetată a câte unui arc al bazei cu un arc din afara bazei construieşte o soluţie optimală. La fiecare iteraţie, mulţimea arcelor este împărţită în trei submulţimi: mulţimea a arcelor arborelui parţial, mulţimea a B L

39

arcelor pentru care fluxul este egal cu marginea inferioară a arcului şi mulţimea U a arcelor pentru care fluxul este egal cu marginea superioară a arcului. O structură de arbore parţial este optimală atunci când costurile reduse ale tuturor arcelor sunt pozitive şi costurile reduse ale tuturor arcelor

sunt negative (Rashidi şi Tsang, [89]). Prin adăugarea unui arc din afara bazei la arborele parţial se formează un ciclu unic de-a lungul căruia se trimit

),,( ULBLji ∈),(

Uji ∈),( ),( lkB W }),(|),({, Wjijirminlk ∈=δ unităţi de

flux, unde lk ,δ reprezintă capacitatea reziduală a ciclului . Datorită modificării fluxului, cel puţin unul din arcele ale ciclului

W),( ji W devine arc de blocare, lkjir ,),( δ= şi este eliminat din mulţimea .

Operaţia de transformare a unei structuri arbore parţial în alta este numită operaţie pivot. Dacă în urma unei operaţii pivot se obţin două fluxuri admisibile de bază adiacente care sunt eficiente atunci orice combinaţie convexă a lor este de asemenea o soluţie eficientă. Oricare dintre aceste soluţii eficiente poate fi obţinută prin trimiterea unui flux convenabil

B

lkf ,δ<<0 de-a lungul ciclului . Mărirea fluxului W f de la la 0 lk ,δ corespunde unei deplasări a punctului nedominat corespunzător soluţiei eficiente în lungul segmentului din spaţiul obiectiv care uneşte punctele nedominate extreme (muchie a frontierei eficiente) corespunzătoare cele două fluxuri admisibile de bază (Lee şi Pulat [68]). Pentru selectarea arcului care părăseşte baza au fost propuse diverse strategii (Kelly şi O’Neill [63], Rashidi şi Tsang [89], Sokkalingam, Sharma şi Ahuja [101]) care influenţează complexitatea algoritmilor. O structură arbore parţial este numită tare admisibilă dacă de la fiecare nod al arborelui parţial poate fi trimis un flux pozitiv spre nodul rădăcină fără a viola restricţiile de mărginire. Dacă în cadrul unei operaţii pivot există mai multe arce de blocare, tehnica bazei tare admisibile (Cunningham [36]) reduce numărul operaţiilor pivot degenerate, adică a operaţiilor pivot care nu conduc la modificarea fluxului (

),,( ULB

0=lk ,δ ), prin eliminarea ultimului arc de blocare întâlnit în parcurgerea ciclului pornind de la vârful acestuia. Proprietatea 3.5 Prin aplicarea tehnicii Cunningham, se păstrează o bază tare admisibilă pentru întreaga evoluţie a algoritmului. Teorema 3.2 Tehnica bazei tare admisibile asigură obţinerea unei soluţii optimale după un număr finit de operaţii pivot. Teorema 3.3 Complexitatea unei operaţii pivot într-o reţea cu noduri şi arce este n m )( nmO + .

Metodele de aproximare propuse pentru rezolvarea problemei fluxului multicriterial de cost minim (FMCm) pot fi împărţite în două categorii. Prima categorie, care grupează lucrările autorilor Calvete şi Mateo [13], Nikolova [75] şi Hamacher, Pedersen şi Ruzika [54], propune calcularea unui număr restrâns de puncte eficiente care să conducă la o soluţie finală acceptabilă într-un timp de execuţie rezonabil. Toate abordările din a doua categorie, care propune aproximarea întregii frontiere eficiente cu o precizie suficient de bună, sunt aplicabile numai în cazul problemei FBiCm şi utilizează două funcţii lineare pe porţiuni: (low) şi U (up) pentru aproximarea frontierei eficiente. LPentru o funcţie convexă , se admite că oricare ar fi ℜ→],[: bag ],[ bat∈ , există derivatele la stânga şi la dreapta , respectiv . Fie )(tg− )(tg+ bttta n =<<<= K21 o partiţie finită a intervalului unde punctele

],[ ba

it , cu , reprezintă punctele de frângere ale funcţiilor lineare pe porţiuni şi care aproximează funcţia ca aproximare superioară, respectiv aproximare inferioară:

ni ,,, K21= )(tU)(tL )(tg

)()()()(:)( iii

iii tt

tttgtgtgt −

−−

+=+

+

1

1U (3.4.a)

)}()()(),()()({:)( 111 ++−

++ −⋅+−⋅+= iiiiii tttgtgtttgtgmaxtL (3.4.b)

cu 1+<< ii ttt , 121 −= ni ,,, K . În orice etapă a algoritmului, funcţiile şi respectă relaţia pentru toate valorile

)(tU )(tL)()()( ttgt UL ≤≤ ],[ bat∈ .

Eroarea aproximării curente poate fi exprimată ca . Fie ]},[|)()({ batttmax ∈−LU st şi dt două puncte de frângere consecutive în partiţia curentă, care verifică relaţia , unde ],[ ds ttt ∈∗

40

]},[|)()({arg batttmaxt ∈−=∗ LU . Astfel definit, reprezintă intervalul cu cea mai mare eroare de aproximare. În vederea îmbunătăţirii aproximării, se adaugă la partiţia curentă a intervalului

un nou punct de frângere , pentru care se obţine valoarea şi se actualizează funcţiile de aproximare şi . Pentru alegerea noului punct de frângere au fost propuse diferite reguli (Hamacher, Pedersen şi Ruzika [54], Ruhe [93]): regula bisectoarei intervalului, regula coardei, regula bisectoarei unghiului şi regula valorii medii a pantei.

],[ ds tt

],[ ba ),( dsnou ttt ∈ )( noutg)(tU )(tL

Problema FIMCm (cazul discret) Metodele exacte pentru obţinerea tuturor soluţiilor eficiente ale problemei fluxului cu valori întregi multicriterial de cost minim (FIMCm) se referă numai la numai cazul problemei FIBiCm şi conţin următoarele două faze:

(i) găsirea tuturor fluxurilor eficiente întregi acceptate, (ii) găsirea tuturor fluxurilor eficiente întregi neacceptate.

Algoritmii pentru determinarea tuturor punctelor eficiente întregi de pe frontiera eficientă (prima fază) reprezintă o extindere a metodei determinării tuturor soluţiilor eficiente extreme din spaţiul decizie din cazul continuu al problemei FBiCm. O deplasare în lungul segmentului din spaţiul obiectiv care uneşte punctele nedominate extreme şi corespunzătoare soluţiilor eficiente extreme adiacente şi , corespunde trimiterii a

)( )(tfy )( )( 1+tfy)(tf )( 1+tf lk ,δ unităţi de flux pe arcele ciclului

unic obţinut prin adăugarea arcului din afara bazei la arborele parţial . Corespunzător trimiterii a numai

W ),( lk B11 −= lk ,,, δα K unităţi de flux pe arcele ciclului W , se obţin cele 1−lk ,δ puncte

nedominate acceptate , )(tyα 11 −= lk ,,, δα K de pe segmentul al frontierei eficiente, determinate conform relaţiei:

))(),(( )()( 1+tt fyfy

lk

tttt fyfyfyy

,

)()()()( )()()(

δαα

−⋅+=

+1

, cu 11 −= lk ,,, δα K . (3.5)

În implementarea celei de-a doua faze, în literatura de specialitate (Calvete şi Mateo [13], Lee şi Pulat [69], Raith şi Ehrgott [88], Sedeño-Noda şi González-Martín [97]) sunt utilizate următoarele idei generale:

a) Orice flux eficient cu valori întregi poate fi obţinut ca o soluţie eficientă extremă a problemei fluxului cu valori întregi bicriterial de cost minim (FIBiCm) în raport cu marginile inferioare sau marginile superioare modificate pentru anumite arce.

b) Aria de căutare a soluţiilor poate fi restrânsă pe baza observaţiei că soluţiile nedominate acceptate consecutive de pe frontiera eficientă definesc anumite triunghiuri de interes în interiorul cărora se află toate soluţiile nedominate neacceptate. Prin generalizarea acestor observaţii pentru cazul modificării cu mai multe unităţi a marginii inferioare a unui arc din afara bazei, Lee şi Pulat [69] au arătat că orice flux eficient cu valori întregi poate fi obţinut ca o soluţie eficientă extremă pentru problema FIBiCm modificată prin creşterea marginilor inferioare sau micşorarea marginilor superioare ale unor arce iar Raith şi Ehrgott [88] au generalizat aceste rezultate pentru cazul problemei FIMCm cu mai multe funcţii obiectiv.

),( jil ),( ji

Metodele de aproximare a mulţimii soluţiilor problemei fluxului cu valori întregi multicriterial de cost minim (FIMCm) urmează următoarele două tendinţe generale: 1) calcularea mulţimii tuturor punctelor eficiente întregi de pe frontiera eficientă (Hamacher, Pedersen şi Ruzika [54], Lee şi Pulat [69], Ruhe [93]) şi 2) calcularea unui număr restrâns de soluţii de compromis (Calvete şi Mateo [13], Nikolova [75]). Pentru calcularea unei soluţii de compromis, în literatura de specialitate există mai multe abordări. Calvete şi Mateo [13] au propus o abordare secvenţială pentru rezolvarea problemei lexicografice a fluxului multicriterial de cost minim. În prima etapă a algoritmului se

41

rezolvă problema fluxului de cost minim pentru funcţia obiectiv cu cea mai mare prioritate şi se fixează la valoarea obţinută toate fluxurile pe arcele cu costuri reduse nenule. Apoi se rezolvă o nouă problemă a fluxului de cost minim pentru funcţia obiectiv cu prioritatea următoare etc. Abordarea propusă de Nikolova [75] urmăreşte obţinerea unei soluţii de compromis pe baza unor restricţii impuse iniţial de factorul de decizie şi care sunt reevaluate în timpul execuţiei algoritmului pentru obţinerea unei soluţii admisibile. 3.2. FLUXURI BICRITERIALE ÎN REŢELE DINAMICE

3.2.1. Problema fluxului bicriterial în reţele dinamice Fie o reţea dinamică cu ),,( TANG = ||Nn = noduri, ||Am = arce şi un orizont de timp T cu mulţimea perioadelor de timp . Fără a micşora generalitatea problemei, se consideră că nodul sursă nu este extremitatea finală a niciunui arc, respectiv nodul stoc

},,,{ TH K10=

s t nu este extremitatea iniţială a niciunui arc. Considerând funcţiile capacitate dinamică ,

, timp de traversare dinamic );, ji( θu

+ℜ→× },,,{: TAu K10 );,( θjih , ℵ→× },,,{: TAh K10 , şi costuri dinamice );,( θjibk , cu +ℜ→× },,,{: TAbk K10 2,1=k , problema fluxului dinamic bicriterial de cost minim (FDBiCm) constă în a determina un flux dinamic admisibil care să minimizeze simultan două funcţii obiectiv. Problema FDBiCm poate fi formulată în modul următor:

+ℜ→× },,,{: TAf K10

,);,();,()(),(

∑ ∑= ∈

⋅=T

Aji

jifjibfyăminimizeaz0

11θ

θθ (3.6.a)

,);,();,()(),(

∑ ∑= ∈

⋅=T

Aji

jifjibfyăminimizeaz0

22θ

θθ (3.6.b)

vtifT

Ati tih=∑ ∑ ∑

= ∈ =+0 ),( );,(|);,(

θ θϑϑϑ

ϑ (3.6.c)

},{,0);,();,(),(| );,(|),(|

tsNiijfjifAijj ijhAjij

−∈∀=− ∑ ∑∑∈ =+∈ θϑϑϑ

ϑθ (3.6.d)

AjiTjiujif ∈∀∈∀≤≤ ),(},,,,{),;,();,( K100 θθθ , (3.6.e) unde valoarea fluxului dinamic pentru orizontul de timp T a fost notată cu . Un vector flux v f care respectă constrângerile (3.6.c), restricţiile de conservare a fluxului (3.6.d) şi restricţiile de mărginire a fluxului (3.6.e) este o soluţie admisibilă a problemei fluxului dinamic bicriterial de cost minim. Una dintre metodele de rezolvare a problemei FDBiCm constă în reducerea ei la o problemă statică FBiCm în reţeaua expandată asociată reţelei dinamice . Avantajul principal al acestei abordări constă în obţinerea unui flux dinamic bicriterial de cost minim cu ajutorul metodelor cunoscute pentru rezolvarea problemei bicriteriale statice.

),,,,( TTTTTT bbuANG 21= ),,,,,,( TbbhuANG 21=

Deoarece în construcţia reţelei expandate se generează 1+T copii ale fiecărui nod al reţelei dinamice, reţeaua expandată va avea noduri sursă şi noduri stoc TG θs θt multiple. Pentru simplificarea gestionării acestor noduri, reţeaua expandată este modificată în modul următor: se adaugă mulţimii două noduri speciale, nodul supersursă şi nodul superstoc TN ∗s ∗t , şi se adaugă mulţimii arcele şi având caracteristicile , , şi respectiv , , pentru

TA ),( θss∗ ),( ∗ttθ 0=∗ ),( θssh ∞=∗ ),( θssu 0=∗ ),( θssbk0=∗ ),( tth θ ∞=∗ ),( ttu θ 0=∗ ),( ttbk θ 21,=k . Utilizând noua reţea expandată

notată , problema fluxului dinamic bicriterial de cost minim în reţeaua astfel obţinută, care este o reţea statică cu un singur nod sursă şi un singur nod stoc

),,,,,,( ∗∗= tsbbuANG TTTTTT21

∗s ∗t , poate fi formulată în modul următor:

42

∑∈

⋅=TAji

T jifjibfyăminimizeaz),(

),(),()( 11 , (3.7.a)

∑∈

⋅=TAji

T jifjibfyăminimizeaz),(

),(),()( 22 , (3.7.b)

∗

∗∗

∗

∈∈ =−∈

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=− ∑∑

tidacătsNidacă

sidacă

v

vijfjif T

AijjAjij TT

},{,,,

),(),(),(|),(|

0 (3.7.c)

;),(),,(),( TAjijiujif ∈∀≤≤0 (3.7.d) 3.2.2. Algoritmul simplex pentru problema fluxului dinamic staţionar bicriterial de cost minim Algoritmul calculează într-o primă etapă fluxul eficient extrem f în raport cu primul obiectiv (3.7.a) şi determină apoi mulţimea fluxurilor eficiente extreme printr-o succesiune de operaţii pivot, alegând din mulţimea arcelor candidat arcul pentru care raportul dintre îmbunătăţirea valorii funcţiei obiectiv 2y şi deteriorarea valorii funcţiei obiectiv 1y este maxim. (1) PROCEDURA SIMPLEX( ); ),,(,,,, ULBpfbG(2) BEGIN (3) se determină o structură arbore admisibilă iniţială ; ),,( ULB(4) fie f fluxul şi p vectorul potenţial corespunzător acestei structuri; (5) WHILE există arc candidat eligibil DO (6) BEGIN (7) se selectează un arc care nu verifică condiţiile de optimalitate; ULlk U∈),((8) se determină ciclul ; ),( lkBW U∈(9) se actualizează fluxul f pe ciclul ; W

(10) se determină arcul de ieşire; (11) se actualizează structura arbore ; ),,( ULB(12) se actualizează vectorul potenţial p ; (13) END; (14) END;

Figura 3.1 Procedura SIMPLEX pentru fluxuri

Teorema 3.4 Complexitatea procedurii simplex pentru determinarea fluxului de cost minim într-o reţea cu noduri şi arce este . ||Nn = ||Am = ))(( ub ⋅⋅⋅⋅+ 22nmnmO

Calculând costurile reduse ale tuturor arcelor conform relaţiilor , structura arbore parţial respectă următoarele condiţii de optimalitate în raport cu primul obiectiv :

TAji ∈),( )()(),(),( jpipjibjibp 1111 +−=),,( ULB

),(),( jiujif ≤≤0 şi 01 =),( jibp ,),( Bji ∈∀ (3.8.a) 0=),( jif şi 01 ≥),( jibp ,),( Lji ∈∀ (3.8.b)

),(),( jiujif = şi 01 ≤),( jibp .),( Uji ∈∀ (3.8.c) Potenţialele nodurilor în raport cu al doilea obiectiv se calculează rezolvând sistemul de ecuaţii: )(ip2

,)()(),(),( 02222 =+−= jpipjibjibp , cu . (3.9) Bji ∈∀ ),( 02 =∗ )(sp

După calcularea fluxului eficient extrem iniţial f (şi a punctului nedominat extrem din spaţiul obiectiv, corespunzător fluxului

)( fyf ), se caută următorul punct eficient extrem din spaţiul decizie,

adiacent punctului f . Un arc candidat, adică un arc LUji U∈),( din afara bazei, este eligibil dacă şi sau dacă şi . Pentru arcele candidat eligibile se calculează

valoarea , cu: Uji ∈),( 02 >),( jibp Lji ∈),( 02 <),( jibp

}λ,λ{λ 21min=

43

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈<= Ljijibjibjibmin p

p

p

),(,),(|),(),(λ1 02

1

2 şi ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈>= Ujijibjibjibmin p

p

p

),(,),(|),(),(λ2 02

1

2 . (3.10)

Fie S mulţimea arcelor candidat eligibile pentru care se obţine valoarea . Prin adăugarea unui arc la arborele parţial se formează ciclul pivot având orientarea arcului dacă şi orientarea contrară arcului dacă

λSji ∈),( B W ),( jiLji ∈),( ),( ji Uji ∈),( . Fie +W mulţimea arcelor directe şi −W

mulţimea arcelor inverse în ciclul pivot W . Capacitatea reziduală a ciclului pivot este dată de relaţia: , unde sunt capacităţile reziduale ale arcelor care compun ciclul.

}),(|),({)( WjijirminWr ∈= ),( jir

(1) PROGRAM AS-FDSBiCm; (2) BEGIN (3) se construieşte reţeaua expandată ; TG(4) SIMPLEX( ); ),,(,,, ULBpf,bGT

11

(5) se calculează 2p ; φ=:R ; φ=:][FEex ; φ=:)]([ FYEex ; (6) FOR DO BEGIN ; ; END; TAji ∈),( )()(),(:),( jpipjibjibp 1111 +−= )()(),(:),( jpipjibjibp 2222 +−=(7) adaugă la lista ; )},,(,,,{ ULBppf 21 R(8) WHILE ( φ≠R ) DO (9) BEGIN

(10) )},,(,,,{: ULBppfRR 21−= ; }{][:][ fFEFE exex U= ; (11) ∑ ∈

⋅= TAjijifjibfy

),(),(),(:)( 11 ; ∑ ∈

⋅= TAjijifjibfy

),(),(),(:)( 22 ;

(12) ))(),((:)( fyfyfy 21= ; )}({)]([:)]([ fyFYEFYE exex U= (13) 0=:Q ; (14) }),(|),{(: 02 <∈= jibLjiS p

L ; ; }),(|),{(: 02 >∈= jibUjiS pU

(15) ⎭⎬

⎩⎨ ∈== ULp SSji

jibjibi,jmin U),(|),(),()λ(λ

1

2:'⎫⎧ p

;

(16) }λ)λ(|),{(:S '=∈= i,jSSji UL U ; (17) IF ( φ≠S ) THEN ; 1=:Q(18) WHILE ( φ≠S ) DO (19) BEGIN (20) se elimină arcul din S ; ),( ji(21) PIVOT( RULBppfji ,,,),,,(,,,),,( ωηπ21 ); (22) END; (23) IF ( ) THEN adaugă la lista ; 1=Q )},,(,,,{ ULBppf 21 R(24) END; (25) END.

Figura 3.2 Algoritmul simplex pentru problema fluxului dinamic staţionar bicriterial de cost minim (AS-FDSBiCm) Trecerea de la o soluţie eficientă extremă la soluţia eficientă extremă adiacentă corespunde unei modificări a fluxului pe arcele unui ciclu pivot cu unităţi. Pe parcursul algoritmului, ultima soluţie eficientă extremă obţinută este memorată în lista .

),( jif W )(WrR

Procedura PIVOT, prezentată în Figura 3.4, identifică toate soluţiile eficiente accesibile de la soluţia eficientă extremă curentă. Procedura se termină atunci când mulţimea arcelor candidat eligibile devine vidă şi structura arbore parţial obţinută corespunde următoarei soluţii eficiente extreme care este adăugată la lista . În continuare, algoritmul AS-FDSBiCm reiterează pornind de la noua soluţie din lista până la determinarea tuturor punctelor de pe frontiera eficientă.

),,( ULBR

R

44

(1) PROCEDURA PIVOT( ); RULBppfji ,,,),,,(,,,),,( ωηπ21

(2) BEGIN (3) IF ( ) THEN se elimină arcul din mulţimea U ; ),(),( jiujif = ),( ji(4) ELSE IF ( 0=),( jif ) THEN se elimină arcul din mulţimea ; ),( ji L(5) se adaugă arcul la mulţimea ; ),( ji B(6) se determină ciclul pivot în mulţimea ; W ),( jiBU(7) se calculează })()({)( Wi,j|i,jrminWr ∈= ; (8) IF ( ) THEN se actualizează pentru toate arcele ; 0>)(Wr ),( jif Wji ∈),((9) se determină arcul de ieşire }),(),{(),( 0=∈∈ jir|Wjiji '' ;

(10) se elimină arcul din mulţimea ; ),( '' ji B(11) IF ( ) THEN se adaugă arcul la mulţimea U ; ),(),( '''' jiujif = ),( '' ji(12) ELSE IF ( 0=),( '' jif )THEN se adaugă arcul la mulţimea ; ),( '' ji L(13) se actualizează vectorii ; ωηπ ,,,,,, pp bbpp 2121

(14) END;

Figura 3.3 Procedura PIVOT Teorema 3.5 (Teorema de corectitudine [80]) Algoritmul AS-FDSBiCm determină corect un flux dinamic staţionar bicriterial de cost minim în reţeaua dinamică ),,,,,,( TbbhuANG 21= . Teorema 3.6 (Teorema de complexitate [80]) Complexitatea algoritmului simplex pentru rezolvarea problemei fluxului dinamic staţionar bicriterial de cost minim (AS-FDSBiCm) într-o reţea cu ||Nn = noduri şi arce este . ||Am = ))(( 422 TnmnmO ⋅⋅⋅⋅⋅+ ub

3.2.3. Algoritmul drumurilor minime succesive pentru problema fluxului dinamic maxim bicriterial Algoritmul propus pentru rezolvarea problemei fluxului dinamic maxim bicriterial constă în a determina succesiv punctele nedominate extreme din spaţiul obiectiv prin rezolvarea unei succesiuni de probleme de flux dinamic maxim de cost minim cu o singură funcţie obiectiv calculată ca o funcţie sinteză.

Problema fluxului dinamic maxim bicriterial Fie o reţea dinamică cu ),,( TANG = ||Nn = noduri, ||Am = arce şi un orizont de timp T cu mulţimea perioadelor de timp . Considerând funcţiile capacitate dinamică },,,{ TH K10= );,( θjiu ,

, timp de traversare dinamic , , şi cost dinamic +ℜ→× },,,{: TAu K10 );,( θjih ℵ→× },,,{: TAh K10);,( θjib , , problema fluxului dinamic maxim bicriterial (FDMBiCm) constă în a

determina un flux dinamic maxim care să minimizeze simultan două funcţii obiectiv. Alegând ca funcţii obiectiv minimizarea timpului total de traversare a reţelei, respectiv a costului total de traversare a reţelei, problema fluxului dinamic maxim bicriterial poate fi formulată în modul următor:

+ℜ→× },,,{: TAb K10

∑ ∑ ∑= ∈ =+

=T

Ati tih

tifvămaximizeaz0θ θϑϑϑ

ϑ),( );,(|

);,( (3.11.a)

∑ ∑= ∈

⋅=T

Ajib jifjibfyăminimizeaz

0θ

θθ),(

);,();,()( (3.11.b)

∑ ∑= ∈

⋅=T

Ajih jifjihfyăminimizeaz

0θ

θθ),(

);,();,()( (3.11.c)

},{);,();,(),(| );,(|),(|

tsNiijfjifAijj ijhAjij

−∈∀=− ∑ ∑∑∈ =+∈

0θϑϑϑ

ϑθ (3.11.d)

.),(},,,,{),;,();,( AjiTjiujif ∈∀∈∀≤≤ K100 θθθ (3.11.e)

45

Orice vector flux f care respectă constrângerile de conservare a fluxului (3.11.d) şi constrângerile de mărginire a fluxului (3.11.e) reprezintă o soluţie admisibilă a problemei fluxului dinamic maxim bicriterial (FDMBiCm).

Determinarea unui drum dinamic de cost minim Principala diferenţă faţă de cazul static o reprezintă rezolvarea problemei drumului cel mai scurt în reţeaua reziduală dinamică. Într-o reţea reziduală dinamică ))(,()( fANfG = , mulţimea arcelor poate fi împărţită în două submulţimi: submulţimea arcelor directe , având valori pozitive pentru timpul de traversare dinamic şi costul dinamic,

)( fA)( fA+

0>);,( θjih , 0>);,( θjib , şi submulţimea arcelor inverse cu valori negative pentru timpul de traversare dinamic şi costul dinamic, , , ∀ . În lucrarea [12] se prezintă următorul rezultat.

∀ )(),( fAji +∈

)( fA−

0<);,( θjih 0<);,( θjib )(),( fAji −∈

Proprietatea 3.6 Pentru o reţea reziduală dinamică ))(,()( fANfG = , subreţelele şi compuse din submulţimile de arce directe, respectiv inverse sunt fără circuite.

))(,()( fANfG ++ =

))(,()( fANfG −− = (1) PROCEDURA DDCm( bBπ, min ,,θ ); (2) BEGIN (3) FOR toate valorile },,,{ TK10∈θ DO (4) BEGIN (5) 0=:);( θsb ; (6) FOR toate nodurile DO ; }{sNi −∈ ∞=:);( θib(7) END; (8) ∞=:)(tminb ; ; },,,|);{(: TsL K10== θθ(9) WHILE ( φ≠L ) DO

(10) BEGIN (11) se selectează perechea );( θi din cu eticheta minimă ; L );( θib )};{( θiLL −= ; (12) FOR toate nodurile cu )(iAj +∈ 0>);,( θjir DO (13) BEGIN (14) );,(: θθϑ jih+= ; (15) IF ( )( T≤ϑ AND ) THEN ));();,();(( ϑθθ jjibi bb <+(16) BEGIN (17) );,();(:);( θθϑ jibij +=bb ; ; );(:);( θϑπ ij =(18) IF ( Lj ∉);( ϑ ) THEN )};{(: ϑjLL U= ; (19) END; (20) END; (21) FOR toate nodurile DO )(iAj −∈(22) FOR toate valorile ϑ cu );,( ϑϑθ ijh+= AND );,();,( ϑϑ ijuijr < DO (23) IF ( ) THEN );();,();( ϑϑθ jijbi bb <−(24) BEGIN (25) );,();(:);( ϑθϑ ijbij −=bb ; );(:);( θϑπ ij = ; (26) IF ( ) THEN ; Lj ∉);( ϑ )};{(: ϑjLL U=(27) END; (28) END; (29) )};({)( },,,{ θθ tmint Tmin bb K10∈= ; ; )}();(|{ ttmin minmin bb == θθθ(30) IF ( ) THEN ; ∞=)(tminb 0=:B(31) END;

Figura 3.4 Procedura pentru determinarea unui drum dinamic de cost minim (DDCm) Procedura (DDCm) pentru determinarea unui drum dinamic de cost minim utilizează etichetele cost minim , iniţializate ca , );( θib ∞=:);( θib },,,{ TK10∈∀θ pentru toate nodurile , cu excepţia }{sNi −∈

46

nodului sursă pentru care , s 0=:);( θsb },,,{ TK10∈∀θ . Pe durata execuţiei algoritmului se păstrează o listă ordonată care conţine perechile nod-timp L );( θi în ordinea crescătoare a valorilor etichetelor

, la care sunt adăugate toate perechile nod-timp pentru care se modifică etichetele cost minim. Pentru fiecare pereche nod-timp

);( θib),( θi extrasă din lista L , sunt investigate toate arcele )),(),,(( ϑθ ji

pentru care Tjih ≤+=< );,( θθϑ0 dacă arcul sau )()),(),,(( fAji +∈ϑθ Tijh ≤−=≤ );,( ϑθϑ0 dacă arcul , se evaluează etichetele cost minim şi, în cazul în care acestea au fost

modificate, perechile nod-timp )()),(),,(( fAji −∈ϑθ );( ϑjb

),( ϑj sunt adăugate la lista L . La terminarea procedurii, adică atunci când lista L devine vidă, costul drumului cel mai scurt (drumului de cost minim) de la nodul sursă la nodul stoc este determinat de relaţia . )};({)( },,,{ θθ tmint Tmin bb K10∈=

Teorema 3.7 (Teorema de complexitate [85]) Complexitatea procedurii pentru determinarea unui drum dinamic de cost minim de la nodul sursă la nodul stoc (DDCm) este . )( 22TnO

Procedura drumurilor minime succesive pentru problema fluxului dinamic maxim de cost minim Procedura drumurilor minime succesive pentru problema fluxului dinamic maxim de cost minim efectuează în mod iterativ următoarele operaţii:

(i) Se determină un drum dinamic de cost minim de la nodul sursă la nodul stoc în reţeaua reziduală dinamică;

P

(ii) Se determină capacitatea reziduală );( θPr a drumului dinamic de cost minim; (iii) Se execută mărirea de flux de-a lungul drumului dinamic de cost minim şi se actualizează

reţeaua reziduală dinamică. (1) PROCEDURA Dm-FDMCm( fb, ); (2) BEGIN (3) FOR toate valorile DO },,,{ TK10∈θ(4) BEGIN (5) 0=:);( θπ s ; (6) FOR toate arcele DO ; Aji ∈),( );,(:);,( θθ jiujir =(7) FOR toate nodurile DO }{sNi −∈ 1−=:);( θπ i ; (8) END; (9) 1=:B ;

(10) DDCm( bBπ, min ,,θ ); (11) WHILE ( ) DO 1=B(12) BEGIN (13) se construieşte drumul pe baza vectorului predecesor P π ; (14) ACTUALIZARE( minπ,θ ); (15) FOR toate valorile DO },,,{ TK10∈θ(16) BEGIN (17) 0=:);( θπ s ; (18) FOR toate nodurile }{sNi −∈ DO 1−=:);( θπ i ; (19) END; (20) DDCm( bBπ, min ,,θ ); (21) END; (22) se calculează fluxul f ; (23) END;

Figura 3.5 Procedura drumurilor minime succesive (Dm-FDMCm) pentru problema fluxului dinamic maxim de cost minim

47

(1) PROCEDURA ACTUALIZARE( minπ,θ ); (2) BEGIN (3) );(:);( mintj θϑ = ; );(:);( ϑπθ ji = ; (4) );,(:)( θjirPr = ; (5) WHILE ( ) DO si ≠(6) BEGIN (7) );(:);( θϑ ij = ; ; );(:);( ϑπθ ji =(8) )};,(),({:)( θjirPrminPr = ; (9) END;

(10) );(:);( mintj θϑ = ; (11) WHILE ( sj ≠ ) DO (12) BEGIN (13) );(:);( ϑπθ ji = ; (14) IF ( θϑ > ) (15) THEN )();,(:);,( Prjirjir −= θθ (16) ELSE ; )();,(:);,( Prijrijr += ϑϑ(17) );(:);( θϑ ij = ; (18) END; (19) END;

Figura 3.6 Procedura de ACTUALIZARE a capacităţilor reziduale dinamice pentru arcele drumului dinamic de mărire a fluxului

Procedura se încheie atunci când niciuna din perechile nod-timp stoc ),( θt , },,,{ TK10∈∀θ nu mai este accesibilă de la niciuna dinte perechile nod-timp sursă ),( θs , , indicând că nu există niciun drum dinamic de mărire a fluxului de la la

},,,{ TK10∈∀θs t .

Teorema 3.8 (Teorema de corectitudine [85]) Procedura drumurilor minime succesive (Dm-FDMCm) determină corect un flux dinamic maxim de cost minim în reţeaua dinamică . ),,( TANG =

Teorema 3.9 (Teorema de complexitate [85]) Complexitatea procedurii drumurilor minime succesive pentru problema fluxului dinamic maxim de cost minim (Dm-FDMCm) este . )( 33 TnO u

Algoritmul drumurilor minime succesive pentru problema fluxului dinamic maxim bicriterial Algoritmul pentru rezolvarea problemei fluxului dinamic maxim bicriterial se bazează pe metoda propusă de Aneja şi Nair [7] pentru problema bicriterială de transport. Fie şi două puncte nedominate extreme în spaţiul obiectiv , corespunzătoare soluţiilor eficiente şi ale problemelor de flux dinamic maxim de cost minim cu funcţiile obiectiv (cost dinamic minim), respectiv (timp de traversare dinamic minim). Cu ajutorul valorilor şi , panta segmentului din spaţiul obiectiv care uneşte punctele nedominate extreme şi este

)~( 1fy )~( 2fy )(FY

1f~

2f~

)~( fymin b )~( fymin h

)~()~(: 12 fyfy bb −=α )~()~(: 21 fyfy hh −=β)~( 1fy )~( 2fy αβ /λ −= . Pentru fiecare arc

al reţelei dinamice se construiesc costurile artificiale ));,();,(:);,( θαθβθ jihjibjib ⋅+⋅=' şi se rezolvă o nouă problemă de flux dinamic maxim de cost minim cu funcţia obiectiv:

∑ ∑= ∈

⋅=T

Aji

jifjibfyăminimizeaz0θ

θθ),(

);,();,()( ' . (3.12)

Algoritmul utilizează mulţimile şi care păstrează perechile de indici ai punctelor nedominate extreme şi din spaţiul obiectiv între care ar putea exista alte puncte nedominate extreme. Fără a restrânge generalitatea problemei, se consideră că pentru oricare pereche de indici

Q R ),( rl)~( lfy )~( rfy

)~()~( rbb fyfy <l

Qr ∈),(l . Se apelează procedura Dm-FDMCm cu costurile artificiale care rezolvă problema de flux dinamic maxim de cost minim cu costurile arcelor 'b

48

);,( θjib' , obţinând soluţia eficientă şi punctul nedominat corespunzător din spaţiul obiectiv. Dacă punctul coincide cu sau cu , atunci nu există niciun alt punct nedominat extrem între şi în spaţiul obiectiv iar perechea de indici este transferată în mulţimea indicând faptul că segmentul care uneşte punctele sau cu este o muchie a frontierei eficiente. În caz contrar, se adaugă punctul la mulţimea a punctelor nedominate extreme şi în mulţimea se înlocuieşte perechea de indici cu perechile şi

, indicând faptul că ar putea exista alte puncte nedominate extreme între şi , respective între şi . Algoritmul se încheie atunci când mulţimea Q devine vidă.

kf~ )~( kfy

)~( kfy )~( lfy )~( rfy)~( lfy )~( rfy ),( rl

R )~( lfy )~( rfy)~( kfy )]([ FYEex

Q ),( rl ),( kl),( rk )~( lfy )~( kfy

)~( kfy )~( rfy (1) PROGRAM ADm-FDMBiCm; (2) BEGIN (3) Dm-FDMCm( fb, ); ; ; ff =:~

1 ))~(),~((:)~( 111 fyfyfy hb=(4) Dm-FDMCm( fh, ); ; ; ff =:~

2 ))~(),~((:)~( 222 fyfyfy hb=(5) }~,~{:][ 21 ffFEex = ; ; )}~(),~({:)]([ 21 fyfyFYEex = 2=:k ; (6) φ=:R ; φ=:Q ; (7) IF ( ) THEN ; )~()~( 21 fyfy ≠ )},{(: 21=Q(8) WHILE ( φ≠Q ) DO (9) BEGIN

(10) se selectează perechea de indici Qr ∈),(l ; (11) )~()~(: lfyfy brb −=α ; ; )~()~(: rhh fyfy −= lβ(12) ));,();,(:);,( θαθβθ jihjibjib ⋅+⋅=' ; (13) Dm-FDMCm( fb ,' ); ; ; ff =:~' ))~(),~((:)~( ''' fyfyfy hb=(14) IF ( ) OR ( ) )~()~( 'fyfy =l )~()~( 'fyfy r =(15) THEN BEGIN (16) )},{(: rQQ l−= ; (17) )},{(: rRR l+= ; (18) END (19) ELSE BEGIN (20) 1+= kk : ; (21) 'ff k

~:~ = ; ; }~{][:][ kexex fFEFE U=(22) )~()~( 'fyfy k = ; ; )}~({)]([:)]([ kexex fyFYEFYE U=(23) )},{()},(),,{(: rrkkQQ ll −+= ; (24) END; (25) END; (26) END;

Figura 3.7 Algoritmul drumurilor minime succesive (ADm-FDMBiCm) pentru problema fluxului dinamic maxim bicriterial Corectitudinea algoritmului rezultă din faptul că el se încheie atunci când mulţimea , care conţine perechile de indici ale punctelor nedominate extreme între care ar putea exista noi puncte nedominate extreme, este vidă, indicând faptul că algoritmul a determinat toate puncte nedominate extreme.

Q

Teorema 3.10 (Teorema de complexitate [85]) Complexitatea algoritmul drumurilor minime succesive pentru problema fluxului dinamic maxim bicriterial (ADm-FDMBiCm) este , unde K este numărul punctelor nedominate extreme din spaţiul obiectiv.

)( 33 TnKO u⋅

49

3.2.4. O abordare parametrică a problemei fluxului dinamic bicriterial de cost minim Abordarea parametrică a problemei fluxului dinamic bicriterial de cost minim constă în transformarea acestei probleme într-o problemă echivalentă de flux dinamic de cost parametric minim prin construirea unei funcţii obiectiv parametrice. Algoritmul propus pentru rezolvarea acestei probleme determină soluţiile eficiente extreme din spaţiul decizie prin rezolvarea succesivă a unor probleme de flux dinamic de cost minim pentru costuri ale arcelor calculate pentru toate valorile parametrului pentru care se obţin cel puţin două drumuri dinamice minime de mărire a fluxului având acelaşi cost.

λ

Problema fluxului dinamic de cost parametric minim Fie o reţea dinamică cu ),,( TANG = ||Nn = noduri, ||Am = arce şi un orizont de timp T cu mulţimea perioadelor de timp , pentru care au fost definite funcţiile cost dinamic

şi . Pentru fiecare arc },,,{ TH K10=

+ℜ→× },,,{: TAb K101+ℜ→× },,,{: TAb K102 Aji ∈),( al reţelei , costurile

dinamice G

);,( θjib1 şi );,( θjib2 pot fi înlocuite cu câte un singur cost dinamic parametric )λ;;,( θjib , definit în funcţie de un parametru , în modul următor: 1][0,λ∈

);,(λ);,(λ)()λ;;,( θθθ jibjibjib 211 ⋅+⋅−= , 1][0,λ∈ . (3.13)

După cum se poate observa cu uşurinţă, pentru valoarea parametrului valorile costurilor dinamice parametrice

0=0λ)λ;;,( 0θjib devin egale cu costurile dinamice );,( θjib1 , iar pentru valoarea

parametrului valorile costurilor dinamice parametrice 1=1λ )λ;;,( 1θjib devin egale cu costurile dinamice . În general, faţă de o valoare oarecare a parametrului, cu , costurile dinamice parametrice

);,( θjib2 kλ 1][0,λ ∈k)λ;;,( θjib pot fi exprimate prin următoarele relaţii lineare:

);,()λ-λ();,()λ;;,( θβθαθ jijijib kk ⋅+= , , (3.14) 1],[λλ k∈

în care coeficienţii ));,();,((λ);,();,( θθθθα jibjibjibji kk 121 −⋅+= sunt valorile costurilor parametrice )λ;;,( θjib pentru valoarea a parametrului şi reprezintă panta funcţiilor cost parametric pentru valorile parametrului .

kλ );,();,();,( θθθβ jibjibji 12 −=

kλλ ≥În mod asemănător, costul parametric )λ);;(( θqPb al unui drum dinamic de mărire a fluxului );( θqP de la nodul sursă la nodul s q poate fi exprimat prin relaţia:

);()λ-λ();()λ);;(( (( θθθ βα qqqPb )kk

)k bb ⋅+= , 1],[λλ k∈ , (3.15)

în care este valoarea costului parametric ∑ ∈=

)(),(( );,();(

qPji k)

k jiq θαθαb )λ);;(( θqPb pentru valoarea

a parametrului şi reprezintă panta funcţiei cost parametric al

drumului dinamic de mărire a fluxului kλ ∑ ∈

=)(),(

( );,();(qPji

)k jiq θβθβb

);( θqP pentru valorile parametrului . kλλ ≥

Teorema 3.11 ([79]) Mulţimea tuturor soluţiilor eficiente extreme ale problemei fluxului bicriterial de cost minim (3.1.a-c) poate fi obţinută în urma rezolvării succesive a unor probleme de flux de cost minim pentru care costurile sunt valorile funcţiei cost dinamic parametric (3.13) pentru valori consecutive ale parametrului . 1][0,λ ∈k λ

Determinarea drumurilor dinamice de cost parametric minim Pentru fiecare pereche nod-timp ),( θi , eticheta cost dinamic parametric )λ);;(( θib este memorată ca perechea de etichete cost neparametrice, unde eticheta poate avea fie valoarea , indicând faptul că nu a fost găsit niciun drum dinamic de mărire a fluxului de la o pereche nod-timp sursă la

));(),;(( )()( θθ βα ii bb );()( θα ib∞

);( θi , fie valoarea costului celui mai scurt drum dinamic de mărire a fluxului de la perechea nod-timp sursă la );( θi . În orice etapă a algoritmului, etichetele cost sunt împărţite în două categorii: etichete permanente şi etichete temporare. Eticheta devine permanentă atunci când ea reprezintă costul celui mai scurt drum dinamic de mărire a fluxului de la

);()( θα ib

50

perechea nod-timp sursă la );( θi , altfel ea este temporară. Pe durata execuţiei algoritmului se păstrează o listă a perechilor nod-timp candidat, care conţine iniţial doar perechile nod-timp sursă L

);( θs , },,,{ TK10∈∀θ , şi în care sunt adăugate la fiecare iteraţie toate perechile nod-timp vizitate, cu etichete temporare. La fiecare iteraţie, procedura pentru determinarea unui drum dinamic de cost parametric minim (DDCPm) selectează din lista perechea L );( θi cu cea mai mică valoare a etichetei temporare pe care o transformă în etichetă permanentă, verifică condiţiile de optimalitate şi actualizează etichetele. Pentru o valoare a parametrului, etichetele distanţă sunt egale cu (lungimea) costul celui mai scurt drum dinamic de mărire a fluxului de la perechea nod-timp sursă la perechea nod-timp

kλ );()( θα jb

);( θj dacă sunt respectate următoarele condiţii de optimalitate:

a) dacă );,();,();,(,),( ϑϑθϑϑ jihşijiujifAji +=<∈∀

(i) , sau );,();();( )()( ϑαϑθ αα jiij k+<bb

(ii) );,();();();,();();( )()()()( ϑβϑθϑαϑθ ββαα jiijşijiij k +≤+= bbbb

b) dacă 0>∈∀ );,(,),( θijfAij

(i) , sau );,());,(;();( )()( θαθθθ αα ijijhij k−+<bb

(ii) . );,());,(;();();,());,(;();( )()()()( θβθθθθαθθθ ββαα ijijhijşiijijhij k −+≤−+= bbbb

La fiecare pas de etichetare efectuat pentru o valoare a parametrului se calculează valoarea până la care noile etichete distanţă rămân minime.

kλ 1+kλ

);()( ϑα jb (1) PROCEDURA DDCPm( Bπ, kkmin ,λ,λ, 1+θ ); (2) BEGIN (3) FOR toate valorile DO },,,{ TK10∈θ(4) BEGIN (5) 0=:);()( θα sb ; ; 0=:);()( θβ sb(6) FOR toate nodurile DO BEGIN ; ; END; }{sNi −∈ ∞=:);()( θα ib ∞=:);()( θβ ib(7) END; (8) ∞=:)()( tmin

αb ; ; ∞=:)()( tminβb },,,|);{(: TsL K10== θθ ;

(9) WHILE ( φ≠L ) DO (10) BEGIN (11) se selectează );( θi din cu eticheta minimă ; L );()( θα ib )};{( θiLL −= ; (12) FOR toate nodurile cu DO )(iAj +∈ 0>);,( θjir(13) IF ( Tjih ≤+ );,( θθ ) THEN (14) BEGIN (15) );,(: θθϑ jih+= ; (16) LAMBDA( ); 1+++ kjiijjiij λ),;,();(),;(),;,();(),;( )()()()( θβθϑθαθϑ ββαα bbbb

(17) IF ( OR );();,();( )()( ϑθαθ αα jjii bb <+( AND )) THEN );();,();( )()( ϑθαθ αα jjii bb =+ );();,();( )()( ϑθβθ ββ jjii bb <+

(18) BEGIN (19) );,();(:);( )()( θαθϑ αα jiij +=bb ; ; );,();(:);( )()( θβθϑ ββ jiij +=bb(20) );(:);( θϑπ ij = ; (21) IF ( Lj ∉);( ϑ ) THEN )};{(: ϑjLL U= ; (22) END; (23) END; (24) FOR toate nodurile DO )(iAj −∈(25) FOR toate valorile ϑ cu );,( ϑϑθ ijh+= AND );,();,( ϑϑ ijuijr < DO (26) BEGIN (27) LAMBDA( ); 1+−− kijijijij λ),;,();(),;(),;,();(),;( )()()()( ϑβθϑϑαθϑ ββαα bbbb(28) IF ( OR );();,();( )()( ϑϑαθ αα jiji bb <−

51

( AND )) THEN );();,();( )()( ϑϑαθ αα jiji bb =− );();,();( )()( ϑϑβθ ββ jiji bb <−(29) BEGIN (30) );,();(:);( )()( ϑαθϑ αα ijij −=bb ; ; );,();(:);( )()( ϑβθϑ ββ ijij −=bb(31) );(:);( θϑπ ij = ; (32) IF ( Lj ∉);( ϑ ) THEN )};{(: ϑjLL U= ; (33) END; (34) END; (35) END; (36) )};({)( )(

},,,{)( θα

θα tmint Tmin bb K10∈= ; ; )}();(|);({)( )()()(

},,,{)( tttmint minTmin

ααβθ

β θθ bbbb == ∈ K10

(37) )}();(|{ )()( ttmin minminαα θθθ bb == ;

(38) IF ( ) THEN ; ∞=)()( tminαb 0=:B

(39) ELSE FOR toate valorile },,,{ TK10∈θ DO (40) LAMBDA( ); 1+kminmin tttt λ),;(),(),;(),( )()()()( θθ ββαα bbbb(41) END;

Figura 3.8 Procedura pentru determinarea unui drum dinamic de cost parametric minim (DDCPm) Costul drumului dinamic de cost parametric minim este cu

iar drumul dinamic de cost parametric minim se determină pe baza vectorului predecesor

)};({)( )(},,,{

)( θαθ

α tmint Tmin bb K10∈=

)}();(|);({)( )()()(},,,{

)( tttmint minTminααβ

θβ θθ bbbb == ∈ K10

π , de la perechea nod-timp stoc );( mint θ cu . )}();(|{ )()( ttmin minmin

αα θθθ bb ==

(1) PROCEDURA LAMBDA( ); 12121 +k

)))) λ,,,, (((( ββαα bbbb(2) BEGIN (3) IF ( ) THEN BEGIN 012 ≠− )) ββ (( bb(4) )/()(λλ (((( ))))

kββαα

1221 bbbb −−+=' ; (5) IF (( ) AND (kλλ >' 1+< kλλ' )) THEN ; 'λ:λ =+1k

(6) END; (7) END;

Figura 3.9 Procedura LAMBDA La fiecare pas de etichetare, procedura LAMBDA determină valoarea maximă a parametrului

până la care una dintre cele două funcţii cost dinamic parametric comparate rămâne minimă. Pentru două funcţii cost dinamic parametric oarecare, notate generic prin şi

, valoarea se calculează conform expresiei:

1+kλ

λ)

k) βα (( )λ-λ( 11 bb ⋅+

)k

) βα (( )λ-λ( 22 bb ⋅+ 1+kλ

)/()(λλ (((( ))))kk

ββαα12211 bbbb −−+=+ . (3.16)

Teorema 3.12 (Teorema de complexitate [79]) Complexitatea procedurii pentru determinarea unui drum dinamic de cost parametric minim de la nodul sursă la nodul stoc (DDCPm) este . )( 22TnO

Algoritmul drumurilor dinamice de cost parametric minim succesive pentru problema fluxului dinamic bicriterial de cost minim Algoritmul drumurilor dinamice de cost parametric minim succesive pentru problema fluxului dinamic bicriterial de cost minim efectuează iterativ următoarele operaţii: (i) Se determină un drum dinamic de cost parametric minim de la nodul sursă la nodul stoc în reţeaua reziduală dinamică;

52

(ii) Se determină valoarea maximă a parametrului până la care drumul dinamic de cost parametric minim rămâne drum dinamic minim;

λ

(iii) Se determină capacitatea reziduală a drumului dinamic minim, se execută mărirea de flux de-a lungul drumului dinamic minim şi se actualizează reţeaua reziduală dinamică.

)(Pr

(1) PROGRAM ADDCPm-FDBiCm( ); v(2) BEGIN (3) 0=:k ; ; 0=:λ k φ=:][FEex ; φ=:)]([ FYEex ; (4) FOR toate valorile DO },,,{ TK10∈θ(5) FOR toate arcele DO Aji ∈),( );,();,(:);,( θθθβ jibjibji 12 −= ; (6) WHILE ( ) DO 1<kλ(7) BEGIN (8) 11 =+ :λk ; vv =:' ; (9) FOR toate valorile DO },,,{ TK10∈θ

(10) FOR toate arcele DO Aji ∈),((11) BEGIN (12) );,(:);,( θθ jiujir = ; ; ));,();,((λ);,(:);,( θθθθα jibjibjibji kk 121 −⋅+=(13) END; (14) WHILE ( ) DO 0>'v(15) BEGIN (16) 1=:B ; (17) FOR toate valorile },,,{ TK10∈θ DO (18) BEGIN (19) 0=:);( θπ s ; (20) FOR toate nodurile }{sNi −∈ DO 1−=:);( θπ i ; (21) END; (22) DDCPm( Bπ, kkmin ,λ,λ, 1+θ ); (23) IF ( 0=B ) THEN STOP (nu există drumuri dinamice de la s la t) (24) ELESE (25) BEGIN (26) se construieşte drumul P pe baza vectorului predecesor π ; (27) ACTUALIZARE( ',vπ minθ, ); (28) END; (29) END; (30) se calculează fluxul kf ; ; }{][:][ kexex fFEFE U=(31) ))(),((:)( kkk fyfyfy 21= ; ; )}({)]([:)]([ kexex fyFYEFYE U=(32) 1+= kk : ; (33) END; (34) END;

Figura 3.10 Algoritmul drumurilor dinamice de cost parametric minim succesive pentru problema fluxului dinamic bicriterial de cost minim (ADDCPm-FDBiCm ) Fluxul obţinut pentru fiecare valoare a parametrului reprezintă soluţia eficientă extremă din spaţiul decizie pentru funcţia obiectiv:

kλ

∑ ∑= ∈

⋅=T

Ajikk jifjibfyăminimizeaz

0θ

θθ),(

);,()λ;;,()( . (3.17)

Apoi algoritmul este reluat pentru următoarea valoare a parametrului, obţinându-se următoarea soluţie eficientă extremă din spaţiul decizie, până când valoarea parametrului devine .

1+kλ1λmax =

53

(1) PROCEDURA ACTUALIZARE( minπ,θ ); (2) BEGIN (3) );(:);( mintj θϑ = ; );(:);( ϑπθ ji = ; (4) );,(:)( θjirPr = ; (5) WHILE ( ) DO si ≠(6) BEGIN (7) );(:);( θϑ ij = ; ; );(:);( ϑπθ ji =(8) )};,(),({:)( θjirPrminPr = ; (9) )}(,min{: Prv'=δ ; δ−= '' vv : ;

(10) END; (11) );(:);( mintj θϑ = ; (12) WHILE ( sj ≠ ) DO (13) BEGIN (14) );(:);( ϑπθ ji = ; (15) IF ( θϑ > ) (16) THEN δθθ −= );,(:);,( jirjir(17) ELSE δϑϑ += );,(:);,( ijrijr ; (18) );(:);( θϑ ij = ; (19) END; (20) END;

Figura 3.11 Procedura de ACTUALIZARE a capacităţilor reziduale dinamice pentru arcele drumului dinamic de mărire a fluxului

Teorema 3.13 (Teorema de corectitudine [79]) Algoritmul drumurilor dinamice de cost parametric minim (ADDCPm) succesive determină corect un flux dinamic bicriterial de cost minim pentru un orizont de timp T .

Teorema 3.14 (Teorema de complexitate [79]) Algoritmul drumurilor dinamice de cost parametric minim pentru problema fluxului dinamic bicriterial de cost minim (ADDCPm-FDBiCm) are complexitatea unde este numărul muchiilor frontierei eficiente din spaţiul decizie iar este valoarea fluxului dinamic pentru orizontul de timp T .

))(( TvTnmKO ⋅+⋅ 2 Kv

54

4. CONCLUZII 4.1 COMENTARII ASUPRA LUCRĂRII Lucrarea se axează pe contribuţiile originale ale autorului în domeniul fluxurilor parametrice şi al fluxurilor multicriteriale în reţele. În fiecare dintre capitolele 2 şi 3, au fost trecute în revistă principalele rezultate din literatura de specialitate cu privire la problemele abordate, după care au fost prezentate contribuţiile originale ale autorului. Fiecare dintre algoritmii propuşi este prezentat detaliat în pseudocod şi execuţia lui este ilustrată pe câte un exemplu sugestiv şi original care a fost elaborat de autor. În capitolul 2 au fost prezentate următoarele contribuţii originale legate de problema fluxurilor parametrice în reţele:

- o nouă abordare în rezolvarea problemei fluxurilor parametrice în reţele, aplicată atât pentru cazul fluxurilor parametrice maxime, introdusă în lucrarea [31] şi descrisă în secţiunea 2.2.2, cât şi pentru cazul fluxurilor parametrice minime, introdusă în lucrarea [83] şi descrisă în secţiunea 2.3.4; - algoritmul drumului cel mai scurt pentru rezolvarea problemei fluxurilor parametrice minime, publicat în lucrarea [32] şi descris în secţiunea 2.3.2; - algoritmul secvenţial pentru rezolvarea problemei fluxurilor parametrice minime, publicat în lucrarea [30] şi descris în secţiunea 2.3.3; - dezvoltarea metodei MINMAX, de determinare a fluxurilor minime pe baza algoritmilor de flux maxim aplicaţi de la nodul stoc la nodul sursă, pentru cazul fluxurilor parametrice în reţele. Metoda este descrisă în secţiunea 2.3.6, a fost publicată în lucrarea [81] şi a fost citată de autorii Deepika Sareen, Deepak Garg, Parametric maximum flow problem: techniques and algorithms, International Journal of Computer Science and Communication, Vol.2, No.2, 2011, 439-443 şi Chintan Jain, Deepak Garg, Improved Edmond Karps Algorithm for Network Flow Problem, International Journal of Computer Applications (0975 – 8887), Volume 37– No.1, 2012, 48-53. - algoritmul drumului cel mai scurt pentru rezolvarea problemei fluxurilor parametrice minime în reţele bipartite, descris în secţiunea 2.3.5. Algoritmul a fost publicat în volumul conferinţei internaţionale [33] şi dezvoltat în lucrarea [34].

Eficientizarea algoritmilor de partiţionare pentru determinarea fluxurilor parametrice în reţele prin metoda implementării paralele a fost publicată în volumul conferinţei internaţionale [95] şi în lucrarea [96]. Capitolul 3 extinde problema fluxurilor multicriteriale la cazul reţelelor dinamice, prezentând următoarele abordări originale:

- aplicarea metodei simplex la determinarea unui flux de cost minim în reţele, publicată în lucrarea [82]; - algoritmul simplex pentru fluxuri multicriteriale în reţele dinamice, publicat în lucrarea [80] şi descris în secţiunea 3.2.2; - algoritmul drumurilor minime succesive pentru rezolvarea problemei fluxului dinamic maxim bicriterial, descris în secţiunea 3.2.3. Algoritmul a fost publicat în volumul conferinţei internaţionale [84] şi dezvoltat în lucrarea [85]; - algoritmul de etichetare parametrică pentru rezolvarea problemei fluxurilor dinamice bicriteriale de cost minim. Metoda este descrisă în secţiunea 3.2.4 şi a fost publicată în lucrarea [79].

Cele 14 articole specificate în bibliografie la care sunt singur autor sau coautor şi care conţin contribuţiile originale ale prezentei lucrări pot fi clasificate în modul următor:

- 4 articole publicate sau în curs de publicare în reviste cotate ISI ([30], [31], [32], [83]); - 4 articole publicate în volumele unor conferinţe internaţionale cotate ISI ([33], [84], [95], [96]); - 6 articole publicate în reviste BDI ([34], [79], [80], [81], [82], [85]);

4.2. COMPARAREA ALGORITMILOR ŞI DIRECŢII DE CERCETARE Fluxuri parametrice în reţele Deşi algoritmul drumului cel mai scurt pentru rezolvarea problemei fluxurilor parametrice minime, prezentat în secţiunea 2.3.2, este cel mai simplu din punct de vedere conceptual, faptul că el operează cu funcţii lineare pe porţiuni definite pentru întregul interval de valori ale parametrului conduce la o complexitatea mare a algoritmului: , unde )( 222 nmKKmnO + 1−K este numărul punctelor de frângere ale funcţiei lineare pe porţiuni, valoare a fluxului parametric minim. Complexitatea este îmbunătăţită în cazul algoritmului

55

secvenţial, prezentat în secţiunea 2.3.3, a cărui complexitate este . Acest al doilea algoritm a fost elaborat după ce primul algoritm a fost trimis pentru publicare.

)( mKnO 2

Algoritmii de partiţionare pentru rezolvarea problemelor fluxurilor parametrice maxime (secţiunea 2.2.2) sau minime (secţiunea 2.3.4) prezintă două avantaje majore faţă de ceilalţi algoritmi:

- faţă algoritmul drumului cel mai scurt pentru rezolvarea problemei fluxurilor parametrice minime, prezentat în secţiunea 2.3.2 , avantajul constă în faptul că, în loc să opereze cu funcţii lineare pe porţiuni, algoritmul operează cu funcţii lineare în reţele reziduale definite pe subintervale ale intervalului de valori ale parametrului ceea ce conduce la simplificarea modului de determinare a drumurilor de mărire (micşorare) a fluxului şi în consecinţă la micşorarea complexităţii la valoarea . )( mKnO 2

- faţă de algoritmului secvenţial, prezentat în secţiunea 2.3.3, avantajul constă în faptul că, algoritmul rămâne valabil şi în cazul în care se iau în considerare reţele având simultan atât margini superioare cât şi margini inferioare funcţii parametrice lineare, cu modificările cuvenite în calcularea capacităţilor reziduale parametrice care rămân funcţii lineare.

Mai mult, metoda de partiţionare pentru rezolvarea problemei fluxurilor parametrice maxime (sau minime) permite reducerea complexităţii algoritmilor la valoarea complexităţii algoritmilor pentru cazul neparametric prin posibila implementare paralelă. La fiecare scindare a intervalului de valori ale parametrului, fiecărui subinterval i se poate asocia câte un fir de execuţie iar algoritmul evoluează în mod independent, în paralel pentru fiecare subinterval. Astfel, complexitatea algoritmului se reduce la valoarea complexităţii algoritmului pentru cazul neparametric deoarece în interiorul fiecărui subinterval poate fi aplicat un algoritm de flux maxim (sau minim) neparametric. Raţionamentul implementării paralele a fost publicat în volumul conferinţei internaţionale [95] şi în lucrarea [96]. O posibilă direcţie de cercetare o poate constitui rezolvarea problemei fluxurilor parametrice considerând simultan cele două margini (inferioară şi superioară) funcţii lineare de un parametru . λ

Fluxuri multicriteriale în reţele Atât algoritmul drumurilor minime succesive pentru problema fluxului dinamic maxim bicriterial cât şi algoritmul de etichetare parametrică pentru rezolvarea problemei fluxurilor dinamice bicriteriale de cost minim determină mulţimea completă a soluţiilor eficiente extreme pentru problemele fluxurilor bicriteriale în reţele dinamice pe baza drumurilor minime succesive. În timp ce algoritmul prezentat în secţiunea 3.2.3 construieşte soluţiile eficiente extreme pe baza punctelor nedominate extreme din spaţiul obiectiv, algoritmul prezentat în secţiunea 3.2.4 construieşte soluţii eficiente extreme direct în spaţiul decizie. Deşi algoritmul propus în paragraful 3.2.3. este simplu din punct de vedere conceptual, el nu furnizează intervalele parametrului corespunzătoare fiecărei soluţii eficiente, lucru care este rezolvat de algoritmul prezentat în secţiunea 3.2.4.

λ

Dacă algoritmul prezentat în secţiunea 3.2.2 şi algoritmul prezentat în secţiunea 3.2.4 pentru rezolvarea problemei fluxurilor de cost minim în reţele dinamice abordează determinarea iterativă a soluţiilor eficiente extreme în spaţiul decizie construind frontiera eficientă într-o manieră „de la stânga la dreapta”, algoritmul prezentat în secţiunea 3.2.4 determină punctele nedominate extreme din spaţiul obiectiv construind frontiera eficientă într-o manieră recursivă.

Fluxurile dinamice au numeroase aplicaţii în diverse domenii ale lumii reale, cum ar fi controlul traficului, planificarea evacuării spaţiilor publice, sistemele de producţie, reţelele de comunicaţii (de exemplu, Internetul), fluxurile financiare, etc. Având în vedere că pentru majoritatea dintre aceste aplicaţii soluţiile problemelor sunt cu valori întregi iar toate abordările propuse în prezenta lucrare pentru rezolvarea problemei fluxurilor bicriteriale de cost minim în reţelele dinamice se referă la cazul continuu, în care fluxul este cu valori reale, o posibilă direcţie de cercetare o constituie rezolvarea restricţiei problemei fluxurilor bicriteriale de cost minim în reţele dinamice la cazul fluxurilor cu valori întregi. O altă posibilă direcţie de cercetare o poate constitui extinderea problemei fluxurilor de cost minim în reţele dinamice la cazul multicriterial cu mai mult de două funcţii obiectiv.

56

BIBLIOGRAFIE

[1] Ahuja,R., Magnanti,T., Orlin,J. (1993): Network Flows. Theory, algorithms and applications. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.

[2] Ahuja,R., Magnanti,T., Orlin,J., Reddy,M. (1994): Applications of Network Optimization. Chapter 1 of the Handbooks in Operations Research and Management Science, Volume 7: Network Models, Elsevier, North Holland, pp.1-84.

[3] Ahuja,R., Orlin,J. (1989): A Fast and Simple Algorithm for the Maximum Flow Problem. Operations Research, vol. 37, no. 5, pp.748-759.

[4] Ahuja,R., Orlin,J. (1990): Distance-Directed Augmenting Path Algorithms for Maximum Flow and Parametric Maximum Flow Problems. Naval Research Logistics, 38, pp.413-430.

[5] Ahuja,R., Orlin,J. (1992): The scaling network simplex algorithm. Operations 40 (1), S5-S13. [6] Ahuja,R., Orlin,J., Stein,C., Tarjan,R.E. (1994): Improved algorithms for bipartite network flow.

SIAM Journal on Computing, 23(5), pp.906-933. [7] Aneja,Y.P., Nair,K.P. (1979): Bicriteria transportation problem. Management Science, 25(1). [8] Babenko,M.A., Goldberg,A.V. (2006): Experimental Evaluation of a Parametric Flow Algorithm.

Microsoft Research, Redmond, WA 98052, Technical Report MSR-TR-2006-77. [9] Babenko,M.A., Derryberry,J., Goldberg,A.V., Tarjan,R.E., Zhou,Y. (2007): Experimental

Evaluation of Parametric Max-Flow Algorithms. Experimental Algorithms, 6th International Workshop WEA, Lecture Notes in Computer Science, Springer 4525, pp.256-269.

[10] Bang-Jensen,J., Gutin,G. (2001): Digraph: Theory, Algorithms and Applications. Springer-Verlag, London.

[11] Bazaraa,M.S., Jarvis,J.J., Sherali,H.D. (2005): Linear Programming and Network Flows (third edition). Wiley, New York.

[12] Cai,X., Sha,D., Wong,C. (2007): Time-varying Network Optimization. Springer [13] Calvete,H.I., Mateo,P.M. (1995): An approach for the network flow problem with multiple objectives.

Computers and Operations Research, 22(9), pp.971-983. [14] Chabini,I., Abou-Zeid,M. (2003): The Minimum Cost Flow Problem in Capacitated Dynamic

Networks. Annual Meeting of the Transportation Research Board, Washington, D.C. [15] Chabini,I., Ganugapati,S. (2002): Parallel algorithms for dynamic shortest path problems.

International Transactions in Operational Research. 9, pp.279–302. [16] Chang-Rui,Yu, Yan,Luo. (2008): An Improved Nested Partitions Algorithm Based on Simulated Annealing

in Complex Decision Problem Optimization. WSEAS Transactions on Computers, 3(7), pp.75-82. [17] Charstensen,P. (1983): Complexity of some parametric integer and network programming problems.

Mathematical Programming, 26, pp.64-75. [18] Chen,W.K. (1990): Theory of Nets: Flows in Networks. Wiley, New York. [19] Ciupală,L. (2009): About flow problems in networks with node capacities. WSEAS Transactions on

Computer Research, 8(8), pp.1266-1275. [20] Ciurea,E. (1997): Counterexamples in maximal dynamic flows. Annual Congress of the American

Romanian Academy of Arts and Sciences, Libertas Mathematica, vol.XVII, pp.77-97 [21] Ciurea,E., Ciupală,L. (2001): Algorithms for minimum flows. Computer Science Journal of Moldova,

vol.9, no. 3(27), pp.275-290. [22] Ciurea,E., Ciupală,L. (2004): Sequential and parallel algorithms for minimum flows. Journal of

Applied Mathematics and Computing, 15 (1-2), pp.53-75. [23] Ciurea,E., Ciupală,L. (2006): ALGORITMI Introducere în algoritmica fluxurilor în reţele. Ed.

MATRIX ROM. Bucureşti. [24] Ciurea,E., Ciupală,L. (2007): A Highest-Label Preflow Algorithm for the Minimum Flow Problem. 11

WSEAS International Conference on Computers, Crete Island, Greece, pp.168-171. [25] Ciurea,E., Ciupală,L. (2008): A Parallel Algorithm for the minimum flow problem in bipartite

networks.12 WSEAS International Conference on Computers, Heraklion, Grece, pp.203-207. [26] Ciurea,E., Ciupală,L. (2008): About preflow algorithms for the minimum flow problem. WSEAS

Transactions on Computer Research, Issue 1, vol.3, pp.35-42.

57

[27] Ciurea,E., Ciupală,L. (2008): Decreasing path algorithm for the minimum flows. Dynamic tree implementations. 12 WSEAS International Conference on Computers, Heraklion, Grece, pp.235-240.

[28] Ciurea,E., Ciupală,L. (2008): Sequential and Parallel Deficit Scaling Algorithms for Minimum Flow in Bipartite Networks. WSEAS Transactions on Computers, 10(7), pp.1545-1554.

[29] Ciurea,E., Iolu,M.,S. (2009): The max-min algorithm for the maximum flow. Scientific Studies and Research, vol.19, no.2, pp.151-162.

[30] Ciurea,E., Parpalea,M. (2012): A sequential algorithm for finding the solution of the parametric minimum flow problem. Carpathian Journal of Mathematics, vol.28, no.1, pp.47-58.

[31] Ciurea,E., Parpalea,M. (2012): Partitioning algorithm for the parametric maximum flow problem. Mathematical Methods of Operations Research. (sub recenzie)

[32] Ciurea,E., Parpalea,M. (2012): Shortest conditional decreasing path algorithm for the parametric minimum flow problem. Bulletin Mathematique de la Societe des Sciences Mathematiques de Roumanie, vol.55 (103), no.4.

[33] Ciurea,E., Parpalea,M. (2010): Balancing Algorithm for the Minimum Flow Problem in Parametric Bipartite Networks. 14 WSEAS International Conference on Computers, pp.226-231.

[34] Ciurea,E., Parpalea,M. (2010): Minimum Flow in Monotone Parametric Bipartite Networks. International Journal of Computers, 4(4), pp.124-135.

[35] Croitoru,C. (1992): Tehnici de bază în optimizarea combinatorie. Editura Universităţii Al.I.Cuza, Iaşi. [36] Cunningham,W.H. (1976): A network simplex method. Mathematical Programming, 11, pp.105-106. [37] Demange,M., Ekim,T., De Werra,D. (2009): A tutorial on the use of graph coloring for some problems

in robotics. European Journal of Operational Research, 192(1), pp.41-55. [38] Eisner,M.J., Severance,D.G. (1976): Mathematical Techniques for Efficient Record Segmentation in

Large Shared Databases. Journal of the ACM, 23(4), pp. 619-635. [39] Fleischer,L., Skutella,M. (2003): Minimum Cost Flows Over Time Without Intermediate Storage.

Proceedings of the fourteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, pp.66–75. [40] Fonoberova,M. (2007): Optimal Flows in Dynamic Networks and Algorithms for their Finding. Institute

of Mathematics and Computer Science, Academy of Sciences of Moldova. [41] Fonoberova,M., Lozovanu,D. (2007): Minimum cost multicommodity flows in dynamic networks and

algorithms for their finding. Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova. Matematica, Number 1(53), pp.107–119.

[42] Ford,L.R., Fulkerson,D.R. (1958): Constructing maximal dynamic flows from static flows. Operations Research, vol.6, pp.419–433.

[43] Ford,L.R., Fulkerson,D.R. (1962): Flows in Networks. Princeton University Press, Princeton, N. J. [44] Gallo,G., Grigoriadis,M.D., Tarjan,R.E. (1989): A fast parametric maximum flow algorithm and

applications. SIAM Journal on Computing 18, pp.30-55. [45] Gass,S., Saaty,T. (1955): The computational algorithm for the parametric objective function. Naval

Research Logistics Quarterly 2, pp.39-45. [46] Geoffrion,A.M. (1967): Solving bicriterion mathematical programs. Operations Research 15, pp.39-54. [47] Gibbons,A. (1994): Algorithmic Graphs Theory. Cambridge University Press. [48] Goldberg,A.V., Tarjan,R.E. (1988): A New Approach to the Maximum Flow Problem. Journal of the

ACM, vol.35, issue 4, pp.921-940. [49] Goldberg,A.V., Grigoriadis,M.D., Tarjan,R.E. (1991): Use of dynamic trees in a network simplex algorithm

for the maximum flow problem. Mathematical Programming (A) 50(3), North-Holland, pp.277-290. [50] Goldberg,A.V., Grigoriadis,M.D., Tarjan,R.E. (1989): Efficiency of the Network Simplex Algorithm for the

Maximum Flow Problem. Report No. STAN-G-89-1248, Stanford University, pp.1-17. [51] Goldfarb,D., Yin,W. (2009): Parametric Maximum Flow Algorithms For Fast Total Variation

Minimization. SIAM Journal on Scientific Computing 31 (5), pp.3712-3743. [52] Graves,S.C., Orlin,J.B. (1985): A minimum concave-cost dynamic network flow problem with an

application to lot-sizing. Networks, 15 (1), pp.59-71. [53] Gross,J., Yellen,J. (1999): Graph Theory and its Applications. CRC Press, New York. [54] Hamacher,H.W., Pedersen,C.R., Ruzika,S. (2005): Multiple Objective Minimum Cost Flow Problems:

A Review. Department of Operations Research, University of Aarhus, Denmark. [55] Hamacher,H.W., Ruzika,S., Tjandra,S.A. (2006): Algorithms for time-dependent bicriteria shortest

path problems. Discrete Optimization, 3, pp.238–254.

58

[56] Hamacher,H.W., Tjandra,S.A. (2001): Mathematical modelling of evacuation problems: A State of Art. Berichte des Fraunhofer ITWM, Nr. 24.

[57] Hamacher,H.W., Foulds,L.R. (1989): Algorithms for Flows with Parametric Capacities. ZOR - Methods and Models of Operations Research, Volume 33, pp.21-37.

[58] Hao,J., Orlin,J. (1994): A Faster Algorithm for Finding the Minimum Cut in a Directed Graph. Journal of Algorithms 17, pp.424-446.

[59] Herer,Z.T., Tzur,M. (2001): The Dynamic Transshipment Problem. Naval Research Logistics, Vol. 48, pp.386-408.

[60] Hoppe,B.E. (1995): Efficient dynamic network flow algorithms. Dissertation to Cornell University, New York

[61] Jungnickel,D. (1999): Graphs, Networks and Algorithms. Springer, Berlin. [62] Karp,R., Orlin,J. (1981): Parametric Shortest Path algorithms with an Application to Cyclic Staffing.

Discrete Applied Mathematics 3, pp.37-45. North-Holland Publishing Company [63] Kelly,D.J., O’Neill,G.M. (1991): The minimum cost flow problem and the network simplex solution

method. Dissertation to University College, Dublin [64] Klinz,B., Woeginger,G. (1995): Minimum cost dynamic flows: The series-parallel case. Integer

Programming and Combinatorial Optimization, vol. 920, Lecture Notes in Computer Science, Springer, pp.329–343.

[65] Kolmogorov,V., Boykov,Y., Rother,C. (2007): Applications of parametric maxflow in computer vision. IEEE 11th International Conference on In Computer Vision, pp.1-8.

[66] Kostreva,M., Wiecek,M. (1993): Time Dependency in Multiple Objective Dynamic programming. Mathematical Analysis and Applications, 173(1), pp.289-307.

[67] Leurent,F., Aguiléra,V. (2009): An atomic Dijkstra algorithm for dynamic shortest paths in traffic assignment. Advanced OR and AI Methods in Transportation, Proc. 10th Euro Working Group on Transportation, Poznan, Poland, pp.462-469

[68] Lee,H., Pulat,S. (1991): Bicriteria network flow problems: Continuous case. European Journal of Operational Research, 51, pp.119-126.

[69] Lee,H., Pulat,S. (1993): Bicriteria network flow problems: Integer case. European Journal of Operational Research, 66, pp.148-157.

[70] Lu,Ch., Chen,Y. (2006): Using Multi-Thread Technology Realize Most Short-Path Parallel Algorithm. World Academy of Science, Engineering and Technology 15, pp.11-13

[71] Miller-Hooks,E., Patterson,S.S. (2004): On solving quickest time problems in time-dependent, dynamic networks. Journal of Mathematical Modelling and Algorithms, 3, pp.39–71.

[72] Murty,K. (1980): Computational complexity of parametric programming. Mathematical Programming, 19, pp.213-219.

[73] Nasrabadi,E. (2009): Dynamic flows in time-varying networks, Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universität Berlin.

[74] Nasrabadi,E., Hashemi,S.M. (2010): Minimum cost time-varying network flow problems., Optimization Methods and Software, 25(3), pp.429-447.

[75] Nikolova,M. (2003): A classification based approach for finding Pareto optimal solutions of the multicriteria network flow. Cybernetics and Information Technologies, 3(1), pp.11-17.

[76] Orlin,J.B. (1984): Minimum convex cost dynamic network flows. Mathematics of Operations Research, 9(2), pp.190-207.

[77] Orlin,J.B., Ahuja,R.K. (1987): New Distance-Directed Algorithms for Maximum Flow and Parametric Maximum Flow Problems. Sloan, W.P. No. 1908-87, Sloan School of Management, MIT (Cambridge, MA, 1987).

[78] Parbery,I. (1987): Parallel Complexity Theory. Pitman Publishing, London.

[79] Parpalea,M. (2011): A parametric approach to the bi-criteria minimum cost dynamic flow problem. Open Journal of Discrete Mathematics, Vol.1, No.3, pp.116-126.

[80] Parpalea,M. (2011): Network Simplex Algorithm for the Bi-criteria Minimum Cost Flow Over Time

Problem. Bulletin of the Transilvania University of Braşov, Series III: Mathematics, Informatics, Physics, Vol 4(53), No.1, pp.117–128.

59

[81] Parpalea,M. (2010): Min-Max Algorithm for the Parametric Flow Problem. Bulletin of the Transilvania University of Braşov, Series III: Mathematics, Informatics, Physics, Vol 3(52), pp.191-198.

[82] Parpalea,M. (2009): Interactive Tool for the Successive Shortest Paths Algorithm in Solving the Minimum Cost Flow Problem. Bulletin of the Transilvania University of Braşov, Series III: Mathematics, Informatics, Physics, Vol 2(51), pp.255-262.

[83] Parpalea,M., Ciurea,E. (2012): Successive partitioning algorithm for the parametric minimum flow problem. Annals of Operations Research.

λ(acceptat pentru publicare)

[84] Parpalea,M., Ciurea,E. (2011): Maximum Flow of Minimum Bi-criteria Cost in Dynamic Networks. Proceedings of the 15 WSEAS International Conference on Computers, pp.118-123.

[85] Parpalea,M., Ciurea,E. (2011): The quickest maximum dynamic flow of minimum cost. International Journal of Applied Mathematics and Informatics, Issue 3, volume 5, pp.266-274.

[86] Pascoal,M.B., Captivo,M.E., Clímaco,J.C. (2005): An algorithm for ranking quickest simple paths. Computers & Operations Research 32, pp.509–520.

[87] Pulat,P., Huarng,F., Lee,H. (1992): Efficient solutions for the bicriteria network flow problem. Computers and Operations Research, 19(7), pp.649-655.

[88] Raith,A., Ehrgott,M. (2009): A comparison of solution strategies for biobjective shortest path problems. Computers & Operations Research, 36, pp.1299 – 1331.

[89] Rashidi,H., Tsang,E.P. (2009): An Efficient Extension of Network Simplex Algorithm. Journal of Industrial Engineering, 2, pp.1-9.

[90] Ruhe,G. (1985): Characterization of all optimal solutions and parametric maximal flows in networks. Optimization, vol.16, Issue 1, pp.51-61.

[91] Ruhe,G. (1988): Complexity Results for Multicriterial and Parametric Network Flows Using a Pathological Graph of Zadeh. Zeitschrift für Operations Research, vol.32. pp.9-27.

[92] Ruhe,G. (1988): Parametric Maximal Flows in Generalized Networks–Complexity and Algorithms. Optimization, A Journal of Mathematical Programming and Operations Research, vol.19, Issue 2, pp.235–251.

[93] Ruhe,G. (1991): Algorithmic Aspects of Flows in Networks. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands.

[94] Sângeorzan,L., Parpalea,M., Podasca,C., Tuba,M. (2009): Multi-objective Optimization Technique for Simulated Active Body Control with Frictional Contacts. 11 WSEAS International Conference on Mathematical Methods & Computational Techniques in Electrical Engineering, [MMACTEE ‘09], Vouliagmeni, Athens, Greece, 2009, pp.594-598.

[95] Sângeorzan,L., Parpalea,M., Parpalea,M.M. (2010): Partitioning Preflow-pull Algorithm for the Parametric Network Flow Problem – a Linguistic Rule-based Constraints Optimisation Approach. 11 WSEAS International Conference on Neural Networks (NN’10), Iasi, Romania, 2010, pp.111-116.

[96] Sângeorzan,L., Parpalea,M., Parpalea,M.M. (2010): Highest Label Preflow Algorithm for the Parametric Minimum Flow Problem - A Linguistic Rule-Based Network Partitioning Approach. COMPUTERS and SIMULATION in MODERN SCIENCE, Chapter 4, Volume IV, WSEAS Press, pp.45-55.

[97] Sedeño-Noda,A., González-Martín,C. (2001): An algorithm for the biobjective integer minimum cost flow problem. Computers and Operations Research, 28, pp.139-156.

[98] Skriver,A. (2000): A Classification of Bicriterion Shortest Path (BSP) Algorithms. Asia-Pacific Journal of Operational Research, 17, pp.199-212.

[99] Skutellà,M.G. (2007): A note on the parametric maximum flow problem and some related reoptimization issues. Annals of Operations Research. Combinatorial Optimization and Application, 150, pp.231–244.

[100] Skutella,M.G. (2008): An Introduction to Network Flows Over Time. Research Trends in Combinatorial Optimization, Springer, pp.451-482.

[101] Sokkalingam,P.T., Sharma,P., Ahuja,R.K. (1997): A new pivot selection rule for the network simplex algorithm. Mathematical Programming 78, 149-158

[102] Tarapata,Z. (2007): Selected multicriteria shortest path problems: An analysis of complexity, models

and adaptation of standard algorithms. Int. Journal of Applied Mathematics and Computer Science, Vol. 17, No. 2, pp.269–287.

60

[103] Tarjan,R.E., Ward,J., Zhang,B., Zhou,Y., Mao,J. (2006): Balancing Applied to Maximum Network Flow Problems. Algorithms – ESA, Springer 4168/2006, pp.612-623.

[104] Tjandra,S.A. (2003): Dynamic Network Optimization with Application to the Evacuation Problem. Shaker, 1. edition, 2003.

[105] Toadere,T. (2002): Grafe. Teorie, algoritmi şi aplicaţii. Editura Albatros, Cluj-Napoca. [106] Tomescu,I. (1981): Probleme de combinatorică şi teoria grafurilor. Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti. [107] Yong Chen, Chang-le Lu. (2006): Using Multi-Thread Technology Realize Most Short-Path Parallel

Algorithm. World Academy of Science, Engineering and Technology, No.15, pp.11-13. [108] Zhang,B. (2007): A New Balancing Method for Solving Parametric Maximum Flow Problems. Stanford

EE Computer Systems Colloquium. [109] Zhang,B., Ward,J., Feng,Q. (2004): A Simultaneous Parametric Maximum-Flow Algorithm for Finding

the Complete Chain of Solutions. Technical Report HPL-2004-189, HP Laboratories, Palo Alto. [110] Zhang,B., Ward,J., Feng,Q. (2005): A Simultaneous Parametric Maximum-Flow Algorithm with Vertex

Balancing. Technical Report HPL-2005-121, HP Laboratories, Palo Alto.

61

PhD Thesis PARAMETRIC FLOWS AND MULTICRITERIA FLOWS IN NETWORKS Author Mircea Parpalea

Abstract

PARAMETRIC FLOWS IN NETWORKS Given a capacitated directed network with nonnegative capacities and lower bounds, a natural generalization of the minimum flow problem is obtained by making the lower or upper bounds for some of the network arcs linear functions of a single, nonnegative, real parameter . The parametric maximum (minimum) flow problem is to compute all maximum (minimum) flows for every possible value of the parameter. The problem looks like a classic minimum flow problem with the decisive difference that the flow variables of this problem are piecewise linear functions instead of real numbers and that the upper (lower) bounds are linear functions instead of constants.

λ

The thesis presents in details different approaches for solving the parametric flows problem, giving several corresponding algorithms which are presented in pseudo code.

The “Partitioning algorithm” for the parametric maximum (minimum) flow problem represents an original approach of the directed paths type algorithms. The first phase of the algorithm consists in establishing a feasible flow, if one exists in the parametric network. In the second phase, on each of its iterations, the algorithm finds an augmenting (decreasing) directed path from the source node to the sink node in a parametric residual network defined for only a subinterval of the parameter values, improves the flow along the corresponding paths in the original parametric network and splits the interval of the parameter values in subintervals generated by the breakpoints of the piecewise linear parametric residual capacity function of the augmenting (decreasing) directed path. Further on, the algorithm reiterates for every generated subinterval in increasing order of the parameter values.

The “Shortest conditional decreasing path algorithm” for the parametric minimum flow problem determines in each of the iterations an improvement of the flow over the subinterval of the parameter values given by a shortest conditional decreasing directed path in the parametric residual network. In the first phase, the algorithm establishes a feasible flow, if one exists in the parametric network. In the second phase, the algorithm repeatedly searches a shortest conditional decreasing directed path and, when one is found, the flow is decreased along the corresponding paths in the original parametric network and the parametric residual network is updated. As soon as the sink node cannot be reached the algorithm stops and the obtained flow is a parametric minimum flow.

The “Sequential algorithm” for the parametric minimum flow problem is based on a ”piece-by-piece” approach which seeks, in each of its steps, a maximum improvement of the flow and the next maximum interval of the parameter ensuring the computed flow to be a parametric minimum flow. Assuming that the minimum flow is known for a given value of the parameter the following two sub-problems are to be solved: computing the maximum amount to be subtracted from the current flow in order to preserve its optimality for greater parameter values; computing the maximum value of the parameter for which the newly computed flow remains optimal. The algorithm consists in applying a non parametric maximum flow algorithm for a sequence of parameter values in increasing order. An initial minimum flow is computed for a given value of the parameter and then the algorithm repeatedly finds a maximum amount by which the flow can be decreased over the next interval of the parameter values so that the maximum cut not to change. This maximum amount of flow is computed as a maximum flow a derived network with properly set lower and upper bounds. On each of the iterations, the algorithm computes a new breakpoint of the piecewise linear minimum flow value function and the corresponding parametric minimum flow.

A parametric bipartite network is called monotone if the lower bounds of the out of the source arcs are non-increasing functions of a parameter , the lower bounds of the arcs into the sink are non-decreasing functions of , while the lower bounds of the remaining arcs are constants. The “Balancing algorithm” for the minimum flow problem in monotone parametric bipartite networks decreases the flow over simple decreasing directed paths. The algorithm does not work directly in the original network but in the parametric

λλ

residual network and finds a particular state of the residual network from which the minimum flow and the maximum cut for any of the parameter values are obtained. The approach implements a round-robin algorithm looping over a list of nodes until an entire pass ends without any change of the flow.

Given a feasible flow, a minimum flow from the source node to the sink node can be determined by establishing a maximum flow from the sink node to the source node in the residual network defined as for the parametric maximum flow problem. The “Parametric min-max algorithm” solves the minimum flow problem in a parametric network with linear lower bound functions by computing a parametric maximum flow from the sink node to the source node. The algorithm does not work directly in the original parametric network but in the parametric residual network defined as for the parametric maximum flow problem. MULTICRITERIA FLOWS IN NETWORKS Dynamic flows are widely used to model different network-structured, decision-making problems over time, but because of their complexity, dynamic flow models have not been investigated as much as classical flow models. The time is an essential component, either because the flows take time to pass from one location to another, or because the structure of the network changes over time. The dynamic minimum cost flow problem is to determine how a given amount of flow that minimizes the total shipment cost should be sent from a source node to a sink node within the time horizon T, subject to the capacity limits on the arcs of the network. On the other hand, in many combinatorial optimization problems, the selection of the optimum solution takes into account more than one criterion. Often, these criteria are in conflict and for this reason, a multi-objective network flow formulation of the problem is necessary. The bi-criteria minimum cost flow over time problem is to determine a flow over time which simultaneously minimizes two cost functions. The thesis presents three different approaches for solving the bi-criteria minimum cost flow over time problem in dynamic networks.

For the case of a static dynamic network, where the flow variables take constant time to pass from one location to another, the “Bi-criteria simplex network” approach consists is a time-expanded network-based algorithm which finds the efficient boundary in the objective space. The method used to obtain the efficient boundary of the objective space starts with the efficient extreme point in the objective space which results when only the first objective is considered and finds the remaining efficient points by a finite sequence of pivot operations, always choosing a basis entering arc with the least ratio between the improvement of the second criteria and the worsening of the first one. The procedure generates extreme non-dominated solutions moving in a left-to-right fashion.

For the case of a dynamic dynamic network, where both the time taken to pass from one location to another and the structure of the network discretely change over time, the case of discrete dynamic maximum flow of bi-criteria cost problem is considered where the two criteria consist in minimizing the travelling time (quickest flow) and the travelling cost (minimum cost flow) for a maximum possible flow which can be sent from a source to a sink within a time horizon T. The “Successive shortest path algorithm for dynamic maximum flow of minimum cost” is actually based on generating efficient extreme points in the objective space by iteratively solving a series of maximum flow problems with different single objective functions. Each time, the dynamic flow is augmented along a cheapest (minimum cost) path from the source node to the sink node in the time-space network avoiding the explicit time expansion of the network.

A totally different approach for solving the bi-criteria minimum cost dynamic flow problem with continuous flow variables is to transform the bi-criteria problem into a parametric one, by building a single parametric cost function as a linear combination of the two initial costs. The “Successive parametric shortest path algorithm” consecutively finds the efficient extreme points in the decision space by solving a series of minimum parametric cost flow problems with different objective functions. Using a successive dynamic shortest augmenting path algorithm based on a linear parametric label setting procedure, the flow is repeatedly augmented along cheapest paths from the source node to the sink node in the time-space network. In each of the iterations, the value of the parameter up to which the parametric shortest dynamic path remains minimal is computed and, when for the current value of the parameter an efficient extreme point is found, the algorithm reiterates with the computed new value of the parameter.

CURRICULUM VITAE

Informaţii personale: Nume PARPALEA Prenume MIRCEA NORU Data şi locul naşterii 1 mai 1957, Braşov Naţionalitate română E-mail parpalea@gmail.com

Studii:

2007-2012 Doctorand, Universitatea Transilvania din Braşov, Facultatea de Matematică şi informatică

1999-2002 Diplomă de specializare postuniversitară în informatică, Universitatea Transilvania din Braşov, Facultatea de Matematică şi informatică

1977-1981 Diplomă de licenţă în fizică, Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Fizică

Activitate didactică:

1990-prezent Profesor titular, Colegiul Naţional „Andrei Şaguna” Braşov, catedra de fizică

1981-1990 Profesor titular, Liceul Industrial nr.1 Sfântu Gheorghe, Covasna, catedra de fizică

Limbi străine: Limba engleză scris,vorbit - nivel C1 Limba franceză scris,vorbit - nivel B1

CURRICULUM VITAE

Personal information: Name PARPALEA First Name MIRCEA NORU Date and place of birth 1 mai 1957, Braşov Nationality Romanian E-mail parpalea@gmail.com

Education:

2007-2012 PhD student, Transilvania University of Braşov, Faculty of Mathematics an Informatics

1999-2002 MSc, Postgraduate courses in Informatics, Transilvania University of Braşov, Faculty of Mathematics an Informatics

1977-1981 BSc, Graduate in Physics, University of Bucharest, Faculty of Physics

Academic Activity:

1990-to date Professor, National College „Andrei Şaguna” Braşov, Department of physics

1981-1990 Professor, Nr.1 Industrial High School, Sfântu Gheorghe, Covasna, Department of physics

Foreign Languages: English writing, reading - level C1 French writing, reading - level B1