GEOPLANO Y FRMULA DE PICKQu es un geoplano?El geoplano, inventado por el italiano Caleb Gattegno (1911-1988), es una plancha de caucho o de madera en la que se disponen regularmente una serie de clavos o puntillas. Existen distintos tipos de geoplanos, dependiendo de la posicin de dichos clavos o puntillas:a) Geoplano cuadrado u ortomtrico b) Geoplano triangular o isomtrico c) Geoplano circular

Actualmente existen en internet geoplanos virtuales e interactivos, que tendremos ocasin de utilizar en la realizacin de esta actividad.En el geoplano se pueden construir figuras utilizando gomas elsticas. En matemticas es empleado, entre otras cosas, para construir figuras geomtricas, para establecer semejanzas, establecer las diferencias entre paralelismo y perpendicularidad, y como veremos aqu, para calcular rea de polgonos.CONCEPTO DE REAUtilizando copias de un mismo cuadrado podemos cubrir el plano sin dejar huecos ni provocar solapamientos.Es una buena razn para que se exprese el rea de una superficie plana en unidades cuadradas (cm2, m2, Km2,...).Esta es la estructura geomtrica de un geoplano cuadrado u ortonomtrico.El rea de algunas regiones no se puede obtener mediante un procedimiento de medida directa, es necesario buscar tcnicas indirectasCon un geoplano ortomtrico puede llevarse a cabo una actividad que permite deducir el rea de un polgono, cncavo o convexo, mediante un resultado matemtico debido a George Pick*.*Quin fue George Pick?George Pick estuvo a punto de pasar totalmente desapercibido, as como la frmula que ahora lleva su nombre. Fue Hugo Steinhauss quien en su libro "Mathematical Snopshots" recuper el trabajo de Pick que estaba publicado en 1899 en una revista local checa Zeitschrift Vereines Lotos en un artculo cuyo ttulo es "Geometrishes zur Zahlenlehee." George Pick naci en Viena en 1859 y no se sabe con seguridad cuando muri.No fue una estrella de las matemticas, sin embargo fue un matemtico razonable, serio, trabajador y con cierta dosis de originalidad en su forma de pensar. Recibi en 1880 su doctorado y tuvo varios trabajos antes de llegar en 1892 a la Universidad Alemana de Praga. Su rea de investigacin fue el anlisis y sus trabajos en funciones abelianas ecuaciones diferenciales y mapeos conformes slo significaron un pequeo grano de arena en el desarrollo matemtico. Un episodio interesante de su vida fue cuando en 1911, Einstein lleg a su Universidad a pasar seis meses. Einstein era 20 aos ms joven que Pick y sin embargo, hicieron gran amistad y compartieron adems de las matemticas, el inters por la msica. En esa poca Alberto Einstein empezaba a formular sus ideas sobre la gravitacin (relatividad general). Pick le sugiri que usara el nuevo clculo diferencial absoluto, desarrollado recientemente por Levi-Civita, lo que en efecto,le sirvi a Einstein.De 1929 a 1938 Pick vivi en Viena y luego regres a Praga. Poco despus la armada alemana ocup la ciudad y Pick a los 80 aos fue confinado al campo de concentracin de Theresienstadt donde muri hacia 1943.Finalmente podemos decir que Pick fue un gran matemtico.CLCULO DE REAS DE FIGURAS PLANA EN EL GEOPLANOANTES DE COMENZARLos polgonos de la figura tienen todos un permetro de 8 unidades. Tienen tambin igual rea?

Ahora los polgonos tienen un rea de 4 u2, tienen tambin el mismo permetro?

Qu conclusin sacas de todo esto?El resultado que acabas de descubrir recibe el nombre de Principio de conservacin de la cantidad y no la forma.CONSIDERACIONES PREVIAS:En el geoplano cuadrado consideramos que la distancia, horizontal y vertical, entre dos puntos consecutivos es la UNIDAD.En un polgono diremos que: UN PUNTO ESTA EN LNEA si pertenece a la lnea poligonal UN PUNTO ES INTERIOR si est dentro del polgono Ejemplo:

Una tcnica til para calcular la superficie del polgono es la siguiente:1. Calculamos el rea del rectngulo que lo enmarca 2. Calculamos el rea de los tringulos rectngulos exteriores al polgono (tambin podrn aparecer cuadrados o rectngulos cuyas reas son fciles de calcular) 3. Restamos al rea del rectngulo el rea de los tringulos (y del resto de figuras exteriores) PRACTICA UN POCO.Observa las figuras y completa la tabla siguiente:

CUESTIONES:1. Si el nmero de puntos interiores es 0 y aumentamos en una unidad el nmero de puntos en lnea Qu sucede con el rea? 2. Si el nmero de puntos interiores es 1 y aumentamos en una unidad el nmero de puntos en lnea Qu sucede con el rea? 3. Podras sacar una regla general? Si mantenemos constante el nmero de puntos interiores y aumentamos en una unidad el de puntos en lnea 4. Fjate en cualquier fila, en las que se mantiene constante el nmero de puntos en lnea. Qu sucede con el rea al aumentar en una unidad el nmero de puntos interiores? VAMOS EXTRAYENDO CONCLUSIONESPodemos deducir algo:EL REA DE UN POLGONO lo calculamos con dos sumandos: EL PRIMER SUMANDO EST RELACIONADO CON EL SEGUNDO SUMANDO EST RELACIONADO CON EL PRIMER SUMANDO ES. DE .. EL SEGUNDO SUMANDO ES Si c es el nmero de puntos en LNEA (en el contorno) e i el de puntos INTERIORES. Podras escribir una frmula que nos permita calcular el rea de un polgono?REA =ENHORABUENA!!! Acabas de deducir la FRMULA DE PICK