estadistica i variables aleatorias estadistica i modulo iii : variables aleatorias discretas y...

ESTADISTICA I ESTADISTICA I Variables aleatoriasVariables aleatorias

ESTADISTICA IESTADISTICA IModulo IIIModulo III : : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Ing. Manuel Campuzano HIng. Manuel Campuzano H

CORPORACION UNIFICADA DE LA COSTACORPORACION UNIFICADA DE LA COSTAPROGRAMA DE ADMINISTRACION DE EMPRESASPROGRAMA DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS

SEMESTRE I DE 2012SEMESTRE I DE 2012

CONTROL Y GESTIÓNCONTROL Y GESTIÓNINTEGRAL DE LA CALIDADINTEGRAL DE LA CALIDAD Variables aleatoriasVariables aleatorias

Concepto de Variable aleatoriaConcepto de Variable aleatoria

DefiniciónDefinición

Una Una Variable aleatoriaVariable aleatoria es una función que asigna un numero real es una función que asigna un numero reala cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio.a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio.


Una Una Variable aleatoriaVariable aleatoria es una función que asigna un numero real es una función que asigna un numero reala cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio.a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio.

ESTADISTICA I ESTADISTICA I


Para un espacio muestral S dado de algún experimento, unaPara un espacio muestral S dado de algún experimento, unaVariable aleatoria Variable aleatoria es cualquier regla que asocia un numero con cada es cualquier regla que asocia un numero con cada

resultado de Sresultado de S


Para un espacio muestral S dado de algún experimento, unaPara un espacio muestral S dado de algún experimento, unaVariable aleatoria Variable aleatoria es cualquier regla que asocia un numero con cada es cualquier regla que asocia un numero con cada

resultado de Sresultado de S


Variables aleatoriasVariables aleatorias

En general, el resultado de cada experimento se puede relacionar En general, el resultado de cada experimento se puede relacionar con un numero si se especifica una regla de asociación con un numero si se especifica una regla de asociación

(por ejemplo, el numero dentro de una muestra de 10 componentes (por ejemplo, el numero dentro de una muestra de 10 componentes que fallaron durante 1000 horas de servicio o el peso total del que fallaron durante 1000 horas de servicio o el peso total del equipaje para una muestra de 25 pasajeros de una línea aérea )equipaje para una muestra de 25 pasajeros de una línea aérea )

En general, el resultado de cada experimento se puede relacionar En general, el resultado de cada experimento se puede relacionar con un numero si se especifica una regla de asociación con un numero si se especifica una regla de asociación

(por ejemplo, el numero dentro de una muestra de 10 componentes (por ejemplo, el numero dentro de una muestra de 10 componentes que fallaron durante 1000 horas de servicio o el peso total del que fallaron durante 1000 horas de servicio o el peso total del equipaje para una muestra de 25 pasajeros de una línea aérea )equipaje para una muestra de 25 pasajeros de una línea aérea )


Se utilizará Se utilizará vava en lugar de variable aleatoria, las mayúsculas X o Y en lugar de variable aleatoria, las mayúsculas X o YSe utilizaran para denotar variables aleatorias. La notación:Se utilizaran para denotar variables aleatorias. La notación:

X(s)=x quiere decir que x es el numero asociado con el resultado sX(s)=x quiere decir que x es el numero asociado con el resultado sPor la Por la vava X. X.

Se utilizará Se utilizará vava en lugar de variable aleatoria, las mayúsculas X o Y en lugar de variable aleatoria, las mayúsculas X o YSe utilizaran para denotar variables aleatorias. La notación:Se utilizaran para denotar variables aleatorias. La notación:

X(s)=x quiere decir que x es el numero asociado con el resultado sX(s)=x quiere decir que x es el numero asociado con el resultado sPor la Por la vava X. X.


Concepto de Variable aleatoriaConcepto de Variable aleatoria


Una Una Variable aleatoria discretaVariable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango es una variable aleatoria con un rango finito finito


Una Una Variable aleatoria discretaVariable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango es una variable aleatoria con un rango finito finito



Una Una Variable aleatoria continuaVariable aleatoria continua es una variable aleatoria que tiene es una variable aleatoria que tieneComo rango un intervalo de números reales. Como rango un intervalo de números reales.


Una Una Variable aleatoria continuaVariable aleatoria continua es una variable aleatoria que tiene es una variable aleatoria que tieneComo rango un intervalo de números reales. Como rango un intervalo de números reales.


EjemplosEjemplos

Ejemplos de variables aleatoria Ejemplos de variables aleatoria continuascontinuas: corriente eléctrica, : corriente eléctrica, Longitud, presión, temperatura, tiempo, voltaje, peso.Longitud, presión, temperatura, tiempo, voltaje, peso.

Ejemplos de variables aleatorias Ejemplos de variables aleatorias discretadiscreta: numero de rayaduras: numero de rayadurasen una superficie, proporción de partes defectuosas entre 1000,en una superficie, proporción de partes defectuosas entre 1000,

Numero de bits trasmitidos recibidos con error.Numero de bits trasmitidos recibidos con error.

Ejemplos de variables aleatoria Ejemplos de variables aleatoria continuascontinuas: corriente eléctrica, : corriente eléctrica, Longitud, presión, temperatura, tiempo, voltaje, peso.Longitud, presión, temperatura, tiempo, voltaje, peso.

Ejemplos de variables aleatorias Ejemplos de variables aleatorias discretadiscreta: numero de rayaduras: numero de rayadurasen una superficie, proporción de partes defectuosas entre 1000,en una superficie, proporción de partes defectuosas entre 1000,

Numero de bits trasmitidos recibidos con error.Numero de bits trasmitidos recibidos con error.


Para estudiar propiedades básicas de va discretas, solo se requieren Para estudiar propiedades básicas de va discretas, solo se requieren herramientas de matemáticas discretas (sumas, restas). El estudioherramientas de matemáticas discretas (sumas, restas). El estudiode va continuas requieren las matemáticas continuas del calculode va continuas requieren las matemáticas continuas del calculoIntegrales y derivadas. Esta es la razón para hacer las distinción Integrales y derivadas. Esta es la razón para hacer las distinción

Entre los dos tipos de variable.Entre los dos tipos de variable.

Para estudiar propiedades básicas de va discretas, solo se requieren Para estudiar propiedades básicas de va discretas, solo se requieren herramientas de matemáticas discretas (sumas, restas). El estudioherramientas de matemáticas discretas (sumas, restas). El estudiode va continuas requieren las matemáticas continuas del calculode va continuas requieren las matemáticas continuas del calculoIntegrales y derivadas. Esta es la razón para hacer las distinción Integrales y derivadas. Esta es la razón para hacer las distinción

Entre los dos tipos de variable.Entre los dos tipos de variable.

CONTROL Y GESTIÓNCONTROL Y GESTIÓNINTEGRAL DE LA CALIDADINTEGRAL DE LA CALIDAD Variables aleatoriasVariables aleatoriasESTADISTICA I ESTADISTICA I

EjemplosEjemplos

a.a.El tiempo hasta que un proyectil regresa a la tierra.El tiempo hasta que un proyectil regresa a la tierra.b.b.El numero de veces que un transistor en una memoria de computadora El numero de veces que un transistor en una memoria de computadora cambia de estado en una operación.cambia de estado en una operación.c.c.El volumen de gasolina que se pierde por evaporación durante el llenado El volumen de gasolina que se pierde por evaporación durante el llenado de un tanque de combustible.de un tanque de combustible.d.d.El diámetro exterior de una flecha maquinada.El diámetro exterior de una flecha maquinada.e.e.El numero de grietas que exceden media pulgada en 10 millas de una El numero de grietas que exceden media pulgada en 10 millas de una carretera interestatal.carretera interestatal.f.f.El peso de una pieza de plástico moldeada por inyección.El peso de una pieza de plástico moldeada por inyección.g.g.El numero de moléculas en una muestra de gasEl numero de moléculas en una muestra de gash.h.La concentración de la salida de un reactor.La concentración de la salida de un reactor.i.i.La corriente en un circuito electronico.La corriente en un circuito electronico.


Ejemplo 1Ejemplo 1

Cuando un estudiante intenta utilizar una computadora conectada a un Cuando un estudiante intenta utilizar una computadora conectada a un sistema de tiempo compartido, todos los puertos podrían estar ocupados sistema de tiempo compartido, todos los puertos podrían estar ocupados (F), en cuyo caso el estudiante no tendría acceso, o habrá por lo menos un (F), en cuyo caso el estudiante no tendría acceso, o habrá por lo menos un puerto libre (E), en cuyo caso el estudiante tendrá éxito en tener acceso al puerto libre (E), en cuyo caso el estudiante tendrá éxito en tener acceso al sistema. sistema.

S={E,F}S={E,F}Definimos con una Definimos con una vava X mediante X medianteX(E)=1, X(F)=0X(E)=1, X(F)=0

Ejemplo 2Ejemplo 2

Considere el experimento en el que se marca un numero telefónico de cierta Considere el experimento en el que se marca un numero telefónico de cierta clave de área por medio de un marcador de números aleatorios. Defina una clave de área por medio de un marcador de números aleatorios. Defina una vava Y Y


Variables aleatorias discretasVariables aleatorias discretas



Cualquier Cualquier Variable aleatoriaVariable aleatoria cuyos únicos valores posibles son dos, éxito cuyos únicos valores posibles son dos, éxito o fracaso, recibe el nombre de variable aleatoria de o fracaso, recibe el nombre de variable aleatoria de Bernoulli.Bernoulli.


Cualquier Cualquier Variable aleatoriaVariable aleatoria cuyos únicos valores posibles son dos, éxito cuyos únicos valores posibles son dos, éxito o fracaso, recibe el nombre de variable aleatoria de o fracaso, recibe el nombre de variable aleatoria de Bernoulli.Bernoulli.


Ejercicio 1Ejercicio 1

Tres automóviles seleccionan al azar, y cada uno se clasifica como equipado Tres automóviles seleccionan al azar, y cada uno se clasifica como equipado con motor diesel (E) y no equipado con motor diesel. Si X=el numero de con motor diesel (E) y no equipado con motor diesel. Si X=el numero de automóviles entre los tres con motor diesel, enumere cada resultado en S y automóviles entre los tres con motor diesel, enumere cada resultado en S y su valor X asociado.su valor X asociado.


En un proceso de fabricación de semiconductores, se prueban dos obleas de En un proceso de fabricación de semiconductores, se prueban dos obleas de un lote, cada oblea se clasifica como pasa o falla. Suponga que la un lote, cada oblea se clasifica como pasa o falla. Suponga que la probabilidad de que una oblea pase la prueba es de 0,8 y que las obleas son probabilidad de que una oblea pase la prueba es de 0,8 y que las obleas son independientes. Defina las probabilidades que cada uno de los posible independientes. Defina las probabilidades que cada uno de los posible eventos y la eventos y la vava X X



Un lote de 500 piezas maquinadas contiene 10 que no cumplen con las Un lote de 500 piezas maquinadas contiene 10 que no cumplen con las especificaciones. Si se seleccionan piezas sucesivamente, sin remplazo, especificaciones. Si se seleccionan piezas sucesivamente, sin remplazo, hasta que se obtiene una pieza que no cumple. La hasta que se obtiene una pieza que no cumple. La va va es el numero de es el numero de piezas seleccionada.piezas seleccionada.

Ejercicio 4Ejercicio 4La va es el numero de imperfecciones superficiales en una lamina de acero La va es el numero de imperfecciones superficiales en una lamina de acero galvanizado.galvanizado.

Ejercicio 5Ejercicio 5En el pedido de un automóvil puede seleccionarse el modelo básico o En el pedido de un automóvil puede seleccionarse el modelo básico o agregar cualquier numero de 15 opciones. La va es el numero de opciones agregar cualquier numero de 15 opciones. La va es el numero de opciones seleccionadas en un pedido. seleccionadas en un pedido.

CONTROL Y GESTIÓNCONTROL Y GESTIÓNINTEGRAL DE LA CALIDADINTEGRAL DE LA CALIDAD DistribuciónDistribución y y FunciónFunción

DistribuciónDistribución y y funciónfunción de masa de de masa de probabilidadprobabilidad


Muchas veces el interés se centra en la probabilidad que una vaMuchas veces el interés se centra en la probabilidad que una vaasuma un valor en particular, la asuma un valor en particular, la distribución de probabilidad distribución de probabilidad dede

una va X es una descripción de las probabilidades asociadas con los una va X es una descripción de las probabilidades asociadas con los valores posibles de Xvalores posibles de X

Muchas veces el interés se centra en la probabilidad que una vaMuchas veces el interés se centra en la probabilidad que una vaasuma un valor en particular, la asuma un valor en particular, la distribución de probabilidad distribución de probabilidad dede

una va X es una descripción de las probabilidades asociadas con los una va X es una descripción de las probabilidades asociadas con los valores posibles de Xvalores posibles de X

Para una variable aleatoria discreta, es común especificar la Para una variable aleatoria discreta, es común especificar la Distribución con una lista de los valores posibles junto con la Distribución con una lista de los valores posibles junto con la

probabilidad de cada uno. probabilidad de cada uno.

Para una variable aleatoria discreta, es común especificar la Para una variable aleatoria discreta, es común especificar la Distribución con una lista de los valores posibles junto con la Distribución con una lista de los valores posibles junto con la

probabilidad de cada uno. probabilidad de cada uno.

CONTROL Y GESTIÓNCONTROL Y GESTIÓNINTEGRAL DE LA CALIDADINTEGRAL DE LA CALIDAD va va DiscretasDiscretas



Ejemplo 4Ejemplo 4

Existe la posibilidad de que un bit transmitido através de un canal de Existe la posibilidad de que un bit transmitido através de un canal de transmisión digital se reciba con error. Sea X igual al numero de bits con transmisión digital se reciba con error. Sea X igual al numero de bits con error en los cuatro siguientes bits transmitidos. Los valores posibles de X error en los cuatro siguientes bits transmitidos. Los valores posibles de X son: {0,1,2,3,4}. Con base en un modelo para los errores que se presentan son: {0,1,2,3,4}. Con base en un modelo para los errores que se presentan en la siguiente sección, se determinaran las probabilidades de estos valores. en la siguiente sección, se determinaran las probabilidades de estos valores.

Suponga que las probabilidades son: Suponga que las probabilidades son:

P(X=0)=0.6561P(X=0)=0.6561P(X=1)=0.2916 P(X=1)=0.2916 P(X=2)=0.0486P(X=2)=0.0486P(X=3)=0.0036P(X=3)=0.0036P(X=4)=0.0001 P(X=4)=0.0001





Para una variable aleatoria discreta X con valores posibles x1, x2,..,Xn,Para una variable aleatoria discreta X con valores posibles x1, x2,..,Xn,La función de masa de probabilidad es:La función de masa de probabilidad es:

f(xi)=P(X=xi)f(xi)=P(X=xi)


Para una variable aleatoria discreta X con valores posibles x1, x2,..,Xn,Para una variable aleatoria discreta X con valores posibles x1, x2,..,Xn,La función de masa de probabilidad es:La función de masa de probabilidad es:

f(xi)=P(X=xi)f(xi)=P(X=xi)




Ejemplo 5Ejemplo 5

Sea que la va X denote el numero de obleas de semiconductores que es Sea que la va X denote el numero de obleas de semiconductores que es necesario analizar a fin de detectar una partícula grande de contaminación. necesario analizar a fin de detectar una partícula grande de contaminación. Supóngase que la probabilidad de que una oblea contenga una partícula Supóngase que la probabilidad de que una oblea contenga una partícula grande es de 0.01 y que las obleas son independientes.grande es de 0.01 y que las obleas son independientes.

Determine la función de probabilidad de X Determine la función de probabilidad de X

CONTROL Y GESTIÓNCONTROL Y GESTIÓNINTEGRAL DE LA CALIDADINTEGRAL DE LA CALIDAD vava DiscretasDiscretas




Estudios de mercado estiman que un nuevo instrumento para el análisis de Estudios de mercado estiman que un nuevo instrumento para el análisis de muestras de suelo será de gran éxito, con probabilidades 0,3, 0,6 y 0,1, muestras de suelo será de gran éxito, con probabilidades 0,3, 0,6 y 0,1, respectivamente. Los ingresos anuales asociados con un producto de gran respectivamente. Los ingresos anuales asociados con un producto de gran éxito, con éxito moderado o sin éxito son de 10, 5 y 1 millón, éxito, con éxito moderado o sin éxito son de 10, 5 y 1 millón, respectivamente. Sea que la va X denote los ingresos anuales del producto. respectivamente. Sea que la va X denote los ingresos anuales del producto. Determinar la función de masa de probabilidad de X Determinar la función de masa de probabilidad de X


Funciones de distribución acumuladaFunciones de distribución acumulada



La función de distribución acumulada de una va discreta X denotada La función de distribución acumulada de una va discreta X denotada como F(x)=P(X<=x)= como F(x)=P(X<=x)=


La función de distribución acumulada de una va discreta X denotada La función de distribución acumulada de una va discreta X denotada como F(x)=P(X<=x)= como F(x)=P(X<=x)=


Media y Varianza de una variable aleatoria discretaMedia y Varianza de una variable aleatoria discreta



La media o valor esperado de la va discreta X, denotada como µ o E(X):La media o valor esperado de la va discreta X, denotada como µ o E(X):µ=E(X)=µ=E(X)=


La media o valor esperado de la va discreta X, denotada como µ o E(X):La media o valor esperado de la va discreta X, denotada como µ o E(X):µ=E(X)=µ=E(X)=


La varianza de X, denotada como La varianza de X, denotada como σσ22 o V(X) o V(X)


La varianza de X, denotada como La varianza de X, denotada como σσ22 o V(X) o V(X)

CONTROL Y GESTIÓNCONTROL Y GESTIÓNINTEGRAL DE LA CALIDADINTEGRAL DE LA CALIDAD ProbabilidadProbabilidadESTADISTICA I ESTADISTICA I

..

GRACIASGRACIAS

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