variables aleatorias (1) (2)
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8/17/2019 Variables Aleatorias (1) (2)
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
VICE-RECTORADO BARQUISIMETO
DIRECCION DE INVESTIGACION Y POSTGRADO
MAESTRIA EN INGENIERIA INDUSTRIAL
Ing. Herling Sira Meléndez
ESTADISTICA
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Introducciòn
En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para sutratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne
un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento.
De este modo se establece una relación funcional entre elementos
del espacio muestral asociado al experimento y números reales.
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Experimento:Es toda acción o proceso que produce resultados bien definidos.
xperimento Resultado
Lanzar una moneda Cara o Sello
Seleccionar una parte para inspeccionarla Defectuosa o no defectuosa
Lanzar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6
Jugar un partido de f útbol Ganar, perder, empatar
Introducciòn
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Variables Aleatorias
En probabilidad y estadística, una variable aleatoria o variableestocástica, es una variable cuyos valores se obtienen de mediciones en
algún tipo de experimento aleatorio.
Una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los
posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) anúmeros reales (p.e., su suma).
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Los valores posibles de una variable aleatoria puedenrepresentar los posibles resultados de un experimento aun no
realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor
actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de
medición incompleta o imprecisa).
Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse
como una cantidad cuyo valor no es fijo, es decir, puede
tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se
usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes
valores.
Variables Aleatorias
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Distribuciòn de Probabilidad
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es
una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria
la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de
probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de
valores de la variable aleatoria.
Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los
números reales, la distribución de probabilidad está completamente
especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la
probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x .
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Definición de Función de Distribución
Dada una variable aleatoria todos son puntos X , su función
de distribución, , es
Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele
omitirse el subíndice y se escribe, simplemente, .
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Tipos de distribuciones de Probabilidad
Discretas: Se denomina distribución de variable
discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo
toma valores positivos en un conjunto de valores
de X finito o infinito numerable
Continuas: Se denomina variable continua a aquella que
puede tomar cualquiera de los infinitos valores
existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable
continua la distribución de probabilidad es la integral dela función de densidad
Distribución
de
Probabilidad
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Distribuciones de probabilidad con variable aleatoria continua
Función de Distribución y Función de Densidad.
Si la variable aleatoria es continua hay infinitos valores posibles de la
variable y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores más.
En estas condiciones, no es posible deducir la probabilidad de un valor
puntual de la variable, como se puede hacer en el caso de variables
aleatorias discretas.
Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto
valor ( función de distribución), para luego analizar como cambia la
probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son
probabilidades sino otro concepto que se denomina densidad de probabilidad .
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EjemploSea X la v.a. que describe la duración de los neumáticos de una
determinada marca y modelo.
Los valores de una variable estadística continua siempre se
consideran agrupados en intervalos de clase, luego no tiene sentido
plantearse la probabilidad de resultados "aislados" (como, por ejemplo, laprobabilidad de que un neumático dure, exactamente, 56.000 km , 235 m ,
47 cm y 6 mm).
En todo caso, esas probabilidades deben valer cero. Pero sí podemos
preguntarnos, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que un neumático
dure menos de 50.000 km? o ¿cuál es la probabilidad de que unneumático dure entre 60.000 y 70.000 km?.
Distribuciones de probabilidad con variable aleatoria continua
Función de Distribución y Función de Densidad.
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Función de Densidad y Función de Distribución
Una función de densidad de probabilidad (FDP) es una función
matemática que caracteriza el comportamiento probable de una
población.
Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua si
existe una función no negativa f (x), definida en todo el conjunto R de los
reales tal que si A es un intervalo, entonces
La función f (x) se llama función de densidad de probabilidad de X.
La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función dedensidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito
de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento,
en relación al resultado del suceso.
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Función de Densidad (FDP) y Función de Distribución
La FDP es la derivada de la función de distribución de probabilidad F(x), o
de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función
de densidad:
La función de densidad de una v.a. determina la concentración de
probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.
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Propiedades de la Función de Densidad
Si X es una variable aleatoria de distribución continua entonces
P(X = x) = 0 si x es un valor particular. Por esta razón, una función de
densidad se puede redefinir en un numero finito de puntos de un intervalo
sin alterar el valor de la integral sobre dicho intervalo, es decir, sin
modificar las probabilidades referidas a la variable X.
En otras palabras, una variable aleatoria continua tiene una
probabilidad cero de asumir cualquiera de sus valores exactamente.
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Propiedades de la Función de Densidad
En este sentido la función de densidad asociada a unavariable X no es única; de aquí que, preferiblemente, se utilizan
funciones de densidad continuas.
Las propiedades que debe satisfacer una función de
densidad f (x) son,
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Función de distribución de Probabilidad
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es
una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria
la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de
probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de
valores de la variable aleatoria. La función de distribución F(x) de una
variable aleatoria X es una función F : R → [0, 1] definida por:
Esta definición es común a las variables aleatorias discretas y continuas.
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En general, la función de distribución de una variable aleatoriacontinua X es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas
que se espera obtener para X, y debe cumplir, evidentemente, estas
propiedades:
• Ser creciente
• Tomar valores de 0 a 1
Si X es una variable aleatoria
continua con valores en un intervalo
[a, b], entonces F(x) será la
probabilidad de que la variable X tomevalores entre a y x .
F(x)=P(a ≤ X ≤ x)
Función de distribución de Probabilidad
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Cálculo de probabilidades con F(x).
Para el calculo de probabilidades con F(x) se utilizan las
siguientes propiedades:
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Parámetros de una Variable Aleatoria.
Esperanza y Varianza de una variable aleatoria
La esperanza matemática (también llamada esperanza, valor
esperado, media poblacional o media) de una variable
aleatoria X , es el número que formaliza la idea de valor
medio de un fenómeno aleatorio.
La esperanza matemática de una v.a. es la suma del producto
de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho
suceso.
Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza esla media aritmética.
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Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula
mediante la integral de todos los valores y la función de
densidad . Se denota
La varianza es una medida de la dispersión de una variablealeatoria respecto a su esperanza.
o
Asì se definen la esperanza matemática o media µ , la varianza
σ² y la desviación típica σ de una variable aleatoria continua
de la siguiente forma :
Parámetros de una Variable Aleatoria.
Esperanza y Varianza de una variable aleatoria
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Parámetros de una Variable Aleatoria.
Esperanza y Varianza de una variable aleatoria
σ² = E (X²) - µ²
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Teorema de Chebyshev
La Desigualdad de Chebyshev es un resultado que ofrece una cota inferior
a la probabilidad de que el valor de una variable
aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza
matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático
ruso Pafnuti Chebyshov.
Una consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y
desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán
en el intervalo (μ-√2 σ , μ+√2 σ).
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En casos concretos el teorema proporciona cotas poco precisas. Elteorema puede ser útil a pesar de las cotas imprecisas porque se aplica a
una amplia gama de variables que incluye las que están muy alejadas de
la distribución normal, y porque las cotas son fáciles de calcular. Se puede
decir, que los resultados son generalmente débiles, ya el valor que el
teorema proporciona es solo un limite inferior.
Si X es una variable aleatoria de media μ y varianza finita σ², entonces,
para todo número real k > 0,
Teorema de Chebyshev
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La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un
valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al
menos 1 – 1 / κ2. Es decir
P (µ - κ σ < X < µ + κ σ) ≥ 1 – 1/κ².
media μ
varianza finita σ²
Teorema de Chebyshev
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Distribuciones de variable continua más importantes
Distribución uniforme (continua)
Distribución normal
Distribución Gamma
Distribución Beta
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_(continua)http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Gammahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Betahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Betahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Gammahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_(continua)
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En teoría de probabilidad y estadística, la distribución uniformecontinua es una familia de distribuciones de probabilidad para
variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia,
todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son
igualmente probables. El dominio está definido por dos
parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. Ladistribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a,b).
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
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DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
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Distribución Normal
Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución
gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable
continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y essimétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce
como campana de Gauss.
La distribución normal también es importante por su relación con laestimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación
más simples y antiguos.
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Función de densidad: Se dice que una variable aleatoria continua X
sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si
su función de densidad está dada por:
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ 2 es
la varianza).
Distribución Normal
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Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que susparámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de
densidad tiene la siguiente expresión:
Estandarización de variables aleatorias normales
Es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la
distribución normal estándar. Si X ~ N(μ,σ2), entonces
es una variable aleatoria normal estándar: Z ~ N(0,1).
Distribución Normal
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Propiedades de la Distribución Normal
Algunas propiedades de la distribución normal son:
Es simétrica respecto de su media, μ;
Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución
N( μ, σ ).
La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ .
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Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
– en el intervalo [ μ - σ , μ + σ ] se encuentra comprendida,aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
– en el intervalo [ μ - 2σ , μ + 2σ ] se encuentra, aproximadamente, el
95,44% de la distribución;
– en el intervalo [ μ -3σ , μ + 3σ ] se encuentra comprendida,
aproximadamente, el 99,74% de la distribución.
Propiedades de la Distribución Normal
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Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento
de intervalos de confianza.
Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la
distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica
los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
Propiedades de la Distribución Normal
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La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con
dos parámetros k y λ cuya función de densidad para valores x > 0 es
Aquí e es el número e y Γ es la función gamma.
Para valores es Γ(k ) = (k − 1)! (el factorial de k − 1).
Distribución Gamma
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Distribuciòn Gamma
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Distribución Beta
En teoría de las probabilidades y estadística, la distribución beta es unafamilia de distribuciones continuas de probabilidad definidas en el
intervalo [0, 1] con dos parámetros, uno de forma y de escala, denotado
típicamente por α y β.
Se utiliza frecuentemente como modelo para fracciones, tal como la
proporción de impurezas en un producto químico o la fracción de tiempo
que una maquina está en reparación, asi como, para estudiar las
variaciones, a través de varias muestras, de un porcentaje que representa
algún fenómeno, por ejemplo, el tiempo diario que la gente dedica a mirartelevisión.
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Distribución Beta
Γ(k ) = (k − 1)!
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