tema 2: variables aleatorias unidimensionales

Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua

Características de las variables aleatorias

Variables aleatorias unidimensionales

Estadística II

Universidad de Salamanca

Curso 2011/2012




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1 Variable aleatoria

2 Variable aleatoria discretaFunción de probabilidadFunción de distribución

3 Variable aleatoria continuaFunción de densidadFunción de distribución

4 Características de las variables aleatoriasEsperanzaVarianza




Variable aleatoria

DefiniciónLas variables aleatorias son funciones cuyos valores dependendel resultado de un experimento aleatorio

X : E −→ Rei −→ X (ei) ∈ R

TiposVariables aleatorias discretasVariables aleatorias continuas




Función de probabilidadFunción de distribución

Variable aleatoria discreta

DefinitionSon aquellas variables aleatorias que sólo pueden tomar unnúmero de valores finito o infinito numerable

X : E −→ Nei −→ X (ei) ∈ N





Variable aleatoria discreta

NotaEstas variables se representan por letras mayúsculas ypueden tomar n posibles valores

X = {x1, . . . , xn}

Las variables aleatorias discretas están caracterizadas porla función de probabilidad y la función de distribución





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Función de probabilidad

DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad y X una variablealeatoria discreta. Se llama función de probabilidad, f (X ), a lafunción que indica la probabilidad de cada posible valor de lavariable aleatoria discreta:

f : N −→ [0,1]xi −→ f (xi) = P(X = xi), i = 1, . . . ,n

y que verifica:0 ≤ f (xi) ≤ 1∑n

i=1 f (xi) = 1






GráficamenteLa función de probabilidad se representa mediante undiagrama de barras similar al de distribución de frecuenciasrelativas para variables discretas





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Función de distribución

DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad, X una variablealeatoria discreta y f (X ) su función de probabilidad. Se llamafunción de distribución (acumulativa) de la variable aleatoriadiscreta X , F (X ), a la probabilidad de que X sea menor o igualque x :

F : N −→ [0,1]xi −→ F (xi) = P(X ≤ xi)

F (xi) = P(X ≤ xi) =∑xj≤xi

f (xj)






Propiedades

F (−∞) = 0F (xmin) = f (x1)

F (xmax) = 1F (∞) = 1F es monótona no decreciente, es decir, si xi ≤ xjentonces F (xi) ≤ F (xj)

F es continua por la derecha, tiene límites por la izquierday es constante en [xi−1, . . . , xi), donde toma el valor∑

k≤i f (xk )

P(X > x) = 1− P(X ≤ x) = 1− F (x)(xi ≤ X ≤ xj) = F (xj)− F (xi)






GráficamenteLa función de distribución se representa mediante una escalera




Función de densidadFunción de distribución

Variable aleatoria continua

DefinitionSon aquellas variables aleatorias que se definen sobreespacios muestrales infinitos y no numerables, es decir, tomanun número de valores infinito

X : E −→ Rei −→ X (ei) ∈ R





Variable aleatoria continua

NotaEstas variables se representan por letras mayúsculas ypueden tomar∞ posibles valores

X = {x1, . . . , xn, . . .}

Las variables aleatorias continuas están caracterizadaspor la función de densidad y la función de distribución





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Función de densidad

DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad y X una variablealeatoria continua. Se llama función de densidad, f (X ), a lafunción real no negativa, tal que que, ∀a,b ∈ R, con−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞:

P(a ≤ X ≤ b) =∫ b

af (x)dx

y que verifica:f (x) ≤ 0∫∞−∞ f (x)dx = 1






GráficamenteLa función de densidad se representa mediante una curva.

�

�

��

��

Δ

h(x) �

�

��

��

Δ2

h(x)

�

�

��

��

��

��Δ4

h(x) �

�X

f(x)

Figura 5.2: Obtencion esquematica de la funcion de densidad.





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DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad, X una variablealeatoria continua y f (X ) su función de densidad. Se llamafunción de distribución (acumulativa) de la variable aleatoriadiscreta X , F (X ), a la probabilidad de que X sea menor o igualque x :

F (x) = P(X ≤ x) =∫ x

−∞f (x)dx






Propiedades

F (−∞) = 0F (∞) = 1F es monótona no decreciente, es decir, si xi ≤ xjentonces F (xi) ≤ F (xj)

F es continuaSi f (x) es continua, entonces F (x) es derivable:

dF (x)dx

= f (x)

(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a) =∫ b

a f (x)dx






Gráficamente




EsperanzaVarianza

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EsperanzaVarianza

Esperanza

DefiniciónValor esperado de la variable (valor medio), es un valor fijo, nouna función

V. A. discretas:

E(X ) =n∑

i=1

xi f (xi)

V. A. continuas:

E(X ) =

∫ ∞−∞

x f (x)dx




EsperanzaVarianza

Esperanza

Propiedades

Si C es una constante −→ E(C) = CE(aX + b) = a E(X ) + b, ∀a,b ∈ RSi g(X ) es una función de X , entonces:

E [g(X )] =n∑

i=1

g(xi)f (xi)

E [g(X )] =

∫ ∞−∞

g(x)f (x)dx




EsperanzaVarianza

Esperanza

Propiedades

Si g(X ) y h(X ) son funciones de X , entonces:

E [g(X ) + h(X )] = E [g(X )] + E [h(X )]

Si g(X ) es una función de X , entonces:

|E [g(X )]| ≤ E [|g(X )|]




EsperanzaVarianza

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EsperanzaVarianza

Varianza

DefiniciónMide la dispersion de la variable aleatoria con respecto a sumedia

V. A. discretas:

Var(X ) = σ2 =n∑

i=1

(xi − E(X ))2

V. A. continuas:

Var(X ) = σ2 =

∫ ∞−∞

(x − E(X ))2 f (x)dx




EsperanzaVarianza

Varianza

Definición

Var(X ) = σ2 = E(

X 2)− (E(X ))2




EsperanzaVarianza

Varianza

Propiedades

Si C es una constante −→ Var(C) = 0Var(aX + b) = a2 Var(X ), ∀a,b ∈ R


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