esquemas numericos semi-discretos para´ analise de ... · ribeiro, lindomar miranda, 1973-...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA

INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS

PROGRAMA DE DOUTORADO EM MATEMATICA

Esquemas Numericos Semi-discretos paraAnalise de Observabilidade em Sistemas

de Timoshenko

Lindomar Miranda Ribeiro

Belem

2015

http://www.portal.ufpa.br/

Department or School Web Site URL Here (include http://)

http://www.pdm.ufpa.br

Lindomar Miranda Ribeiro

Esquemas Numericos Semi-discretos para Analise deObservabilidade em Sistemas de Timoshenko

Tese submetida ao corpo docentedo Programa de Doutorado em Ma-tematica - UFPA, como parte dos re-quisitos necessarios para a obtencao dograu de Doutor em Matematica.

Area de Concentracao: Equacoes Diferenciais Parciais

Orientador: Prof. Dr. Dilberto da Silva Almeida Junior

Belem2015

Ribeiro, Lindomar Miranda, 1973- Esquemas numéricos semi-discretos para análise deobservabilidade em sistemas de timoshenko / LindomarMiranda Ribeiro. - 2015.

Orientador: Dilberto da Silva AlmeidaJunior. Tese (Doutorado) - Universidade Federal doPará, Instituto de Ciências Exatas e Naturais,Programa de Pós-Graduação em Matemática(Doutorado), Belém, 2015.

1. Sistemas de Timoshenko. 2. Diferençasfinitas. 3. Desigualdades (Matemática). 4. Método dos elementos finitos. Esquema-theta. I. Título.

CDD 22. ed. 518.25

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)Sistema de Bibliotecas da UFPA

A Matematica possui uma forca mara-vilhosa capaz de nos fazer compreendermuitos misterios de nossa fe.

(Sao Jeronimo)

Agradecimentos

Eu quero expressar a minha gratidao a

? A Deus todo poderoso, que me deu o dom da vida e, por intermedio de seu filho Jesus Cristo

com o Espırito Santo, concedeu-me a sabedoria e inspiracao necessarias para chegar ao final

deste trabalho.

? Aos meus pais Maria do Rosario Miranda Ribeiro e Raimundo Francisco Ribeiro, voces sao

os verdadeiros doutores desta historia, sem voces este momento nao seria possıvel.

? Aos meus irmaos e irmas que compartilharam muitos momentos de aflicao e hoje se alegram

com esta conquista.

? A minha querida esposa Yonara de Souza Delgado, que soube administrar a vida em casa

durante os instantes em que estive “ausente”, e que teve a paciencia de esperar por este tao so-

nhado momento, para vivermos mais esta alegria.

? Aos filhos que Deus me deu Gabriel Gomes Ribeiro, Lyara Delgado Ribeiro e Ana Laura

Delgado Ribeiro, meu amor e carinho.

? Ao meu orientador e amigo Dilberto, que teve toda a tranquilidade e paciencia necessarias,

desempenhando com humildade e simplicidade o seu papel, para que hoje eu seja premiado

com esta conquista.

? Aos meus colegas de curso que dividiram comigo todas as lutas e marcas durante esta cami-

nhada.

iii


ResumoInstituto de Ciencias Exatas e Naturais

Programa de Doutorado em Matematica

Esquemas Numericos Semi-discretos para Analise de Observabilidade em Sistemas deTimoshenko

por Lindomar Miranda Ribeiro

Neste trabalho, estudamos um problema conservativo de Timoshenko com condicoes de fron-

teira do tipo de Dirichlet e condicoes iniciais em um domınio limitado. Buscamos uma desigual-

dade de observabilidade, que seja uniforme em um intervalo de tempo finito, tanto no aspecto

contınuo quanto no aspecto semidiscreto quando o parametro de malha h → 0. Para isto,

utilizaremos metodos e tecnicas ja consolidadas na literatura como tecnicas multipllicativas,

propostas por Lions em 1986, metodo da energia e tecnica de filtragem, proposta por Glowinski

em 1989. Provaremos que existe uma perda de observabilidade uniforme, diferentemente do

caso contınuo, das solucoes numericas semidiscretizadas pelos esquemas em diferencas finitas,

e em elementos finitos, no qual para este ultimo, utilizamos um estencil de configuracao. A par-

tir da analise espectral, identificamos um autovalor λJ/2 que gera o “blow-up” na constante de

observabilidade dos autovetores, e que se transfere para as solucoes do problema semidiscreto.

Neste sentido, nosso resultado principal consiste em provar a contrapartida para esta perda de

observabilidade uniforme. Para isto, construiremos um subespaco de solucoes geradas por bai-

xas frequencias, que sao observaveis. Alem disso, dentro dessa abordagem da desigualdade de

observabilidade uniforme, com o auxılio de uma combinacao linear e convexa parametrizada

por θ, θ ∈ [0, 1/4), chamada esquema-θ, aplicada nos termos de aceleracao das equacoes do

sistema semidiscreto, conseguimos generalizar os casos estudados anteriormente em diferencas

finitas e elementos finitos.

Palavras-Chave: Sistema de Timoshenko, Desigualdade de Observabilidade, Diferencas Fini-

tas, Elementos Finitos, Esquema- θ.

iv



http://www.pdm.ufpa.br)


AbstractInstituto de Ciencias Exatas e Naturais

Programa de Doutorado em Matematica

Observability of Semi-Discrete Solutions for a Timoshenko Beam Model

by Lindomar Miranda Ribeiro

In this work we study the problem of the Timoshenko conservative system in a bounded interval

with homogeneous boundary conditions of Dirichlet type and initial conditions. We investigate

an inequality observability wich brings known data about system being taken of entire domain

and of the boundary too. We can prove that there exists a lack of uniform observability to

solutions like in finite difference or standard finite element. It one is characterized by “blow-

up” that the constant of observability present as net-spacing h goes to zero. In this sense, our

main aim consist to proof the numerical contourpart for this lack of uniform observability. In

which we construct by filtering process, a subspace of generated solutions by the low frequency

oscillations that it is observable. Furthemore, in this approach, with the aid of linear convex

combination parametrized for θ, θ ∈ [0, 1/4), named θ-sheme, we can generalize the previous

cases in diferences finite and element finite.

Palavras-Chave: Timoshenko System, Observability Inequality, Finite Differences, Finite Ele-

ments, θ-Scheme.

v



http://www.pdm.ufpa.br)

Sumario

Resumo iv

Abstract v

1 Introducao 11.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Analise de Observabilidade 72.1 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Analise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Desigualdade de Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Analise de Observabilidade em Diferencas Finitas 213.1 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Analise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Perda de Observabilidade das Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Observabilidade de Solucoes Filtradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Semidiscretizacao em Elementos Finitos 554.1 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Analise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Perda de Observabilidade das Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Observabilidade das Solucoes Filtradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

vi

Contents vii

5 Semi-discretizacao via Esquema-θ 935.1 Fenomeno do Trancamento do Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3 Analise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4 Perda de Observabilidade das Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.5 Observabilidade das Solucoes Filtradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Conclusao 1396.1 Semidiscretizacoes e Observabilidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2 Esquema-θ na Analise de Sobrestimacao no Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3 Questoes em Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Referencias Bibliograficas 145

vii

CAPITULO 1

Introducao

1.1 Motivacao

O estudo de sistemas matematicos mecanicos constituıdos por elementos flexıveis ou elasticos

acoplados como cordas, vigas, membranas ou placas, tem ganhado destaque no campo da Ma-

tematica. A partir de modelos matematicos formados, em geral, por equacoes diferenciais parci-

ais, conciliados com uma abordagem numerica assistida dos recursos do computador, e possıvel

constatar a eficacia do modelo. Uma das vertentes desse estudo e a Teoria de Controle introdu-

zida por R.E. Kalman [1], em 1960. O estudo da controlabilidade de sistemas dinamicos tem

um importante papel na sociedade. Por meio deste e possıvel nao apenas descrever o funcio-

namento de sistemas como tambem modifica-lo, a fim de melhorar a qualidade de vida do ser

humano. E neste ponto que entra a teoria de controle.

O problema de controlabilidade pode ser considerado em varios graus de precisao de acordo

com o objetivo proposto. Os mais comuns sao, a controlabilidade exata, quando o conjunto de

estados alcancaveis coincide com o espaco dos dados iniciais e, a controlabilidade aproximada,

quando o conjunto de estados alcancaveis e um subconjunto denso do espaco dos dados inici-

ais. Nosso trabalho esta dentro do contexto da controlabilidade exata de Equacoes Diferenciais

Parciais (E.D.P’s.).

1

1.1. Motivacao 2

O modelo matematico que tomamos como base de estudo e o conhecido modelo de vigas de

Timoshenko [2] descrito, de modo geral, pelas equacoes unidimensionais

ρAϕtt(x, t) = Qx(x, t), (1.1)

ρIψtt(x, t) = Mx(x, t) +Q(x, t), (1.2)

em que t e o tempo, x e a distancia ao longo da linha central da viga, ϕ(x, t) e o deslocamento

transversal, ψ(x, t) e a rotacao nas secoes transversais, ρ e a densidade de massa do material

do qual a viga e composta, M e o momento fletor, Q e o esforco cortante, A e a area da secao

transversal e I e o momento de inercia da secao transversal.

As relacoes de flexao-esforco para o comportamento elastico da viga sao dadas por:

M(x, t) = EIψx(x, t), (1.3)

Q(x, t) = kAG(ϕx(x, t)− ψ(x, t)

), (1.4)

em que E e o modulo de elasticidade de Young, G e o modulo de rigidez do cortante, κ e o fator

de correcao do cortante e EI e a rigidez a flexao.

Dessa forma, substituindo as relacoes (1.3) e (1.4) nas equacoes que regem o modelo pro-

posto, chegamos ao sistema acoplado:

ρAϕtt −(kAG

(ϕx − ψ

))x

= 0, em (0, L)× (0, T ), (1.5)

ρIψtt −(EIψx

)x− kAG

(ϕx − ψ

)= 0, em (0, L)× (0, T ). (1.6)

Dentro da literatura de analise numerica para E.D.P’s., destacamos os trabalhos que con-

tribuıram fortemente para o desenvolvimento do nosso estudo. R. Glowinski et al.[3, 4, 5, 6

]foram os pioneiros em apresentar resultados sobre a controlabilidade na fronteira para a equacao

da onda usando o metodo HUM. Nos quais, os autores levantaram indıcios quanto a presenca de

uma anomalia numerica que afetava esquemas numericos elementares no problema de controle

numerico.

Hoje, sabe-se que esta anomalia e gerada por oscilacoes numericas espurias em altas frequen-

cias presentes nos esquemas numericos de diferencas finitas e elementos finitos, comprome-

tendo o carater uniforme da observabilidade numerica, com respeito ao parametro de discretiza-

cao espacial. Fato este que nao aparece dentro da abordagem no contınuo.

Ribeiro, L. M. PDM - UFPA

Capıtulo 1. Introducao 3

Nesta questao da observabilidade uniforme para problemas da equacao da onda, muitos

trabalhos foram realizados nos ultimos anos, com grande avanco, como por exemplo, o de

Glowinski, Li e Lions [5]. Quanto a presenca de uma anomalia numerica proveniente do

esquema numerico proposto em Glowinski e Lions[7, 3, 4

], os autores desenvolveram dois

metodos para tratar este fato. O primeiro e o procedimento de regularizacao de Tychonoff, para

minimizar o funcional quadratico que calcula os controles. O segundo e a tecnica de filtragem

que elimina as oscilacoes espurias de solucoes do sistema semi-discreto.

Em 1999, J.A. Infante e E. Zuazua [8] consideraram a equacao da onda unidimensional com

condicoes de fronteira do tipo Dirichlet homogeneas, conforme o problema abaixo,

utt − uxx = 0, 0 < x < L, 0 < t < T, (1.7)

u(0, t) = u(L, t) = 0, 0 < t < T, (1.8)

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), 0 < x < L. (1.9)

O sistema (1.7)-(1.9) e bem posto na classe u ∈ C(

[0, T ];H10 (0, L)

)∩C

([0, T ];L2(0, L)

).

A energia total de solucoes e dada por

E(t) :=1

2

L∫0

u2tdx+

1

2

L∫0

u2xdx,

e satisfaz a propriedade de conservacao de energia, isto e,

E(t) = E(0), ∀t ∈ [0, T ].

Os autores mostraram que a desigualdade

E(0) 6 C(T )

T∫0

|ux(L, t)|2dt, (1.10)

vale para T > 2L em que a constante positivaC(T ) independe dos dados iniciais (u0, u1). A de-

sigualdade acima e conhecida como desigualdade de observabilidade na fronteira das solucoes

de (1.7)-(1.9). A constante C(T ) e chamada de constante de observabilidade.


1.1. Motivacao 4

No aspecto numerico, analisaram as versoes semi-discretas do problema 1.7-1.9 usando o

esquema em diferencas finitas dado por

u′′j (t) =uj+1(t) + uj−1(t)− 2uj(t)

h2, 0 < t < T, j = 1, . . . , N (1.11)

u0(t) = uN+1 = 0, 0 < t < T, (1.12)

uj(0) = u0j , u

′j(0) = u1

j , j = 0, . . . , N + 1, (1.13)

e por elementos finitos dado por

u′′j (t) + 4u′′j (t) + u′′j−1(t)

6=uj+1(t) + uj−1(t)− 2uj(t)

h2, 0 < t < T, j = 1, . . . , N (1.14)

u0(t) = uN+1 = 0, 0 < t < T, (1.15)

uj(0) = u0j , u

′j(0) = u1

j , j = 0, . . . , N + 1. (1.16)

Em ambos os casos, tem-se que uj(t) ≈ u(xj, t), em que u satisfaz o sistema (1.7)-(1.9). Para

os dois esquemas numericos propostos, os autores verificaram o problema da perda de obser-

vabilidade numerica. Particularmente, por meio da analise espectral do esquema em diferencas

finitas, os autores analisaram a versao semi-discreta de (1.10) dada por

Eh(0) 6 C(T )

T∫0

∣∣∣uJ(t)

h

∣∣∣2dt, (1.17)

em que

Eh(t) =h

2

J∑j=0

∣∣u′j∣∣2 +h

2

J∑j=0

∣∣∣uj+1 − ujh

∣∣∣2 (1.18)

e a energia do sistema (1.11)-(1.13). De acordo com o resultado apresentado pelo Teorema (1.1)

em [8], tem-se

supuj solucao de (1.11)−(1.13)

Eh(0)T∫

0

∣∣∣uJ(t)

h

∣∣∣2dt→∞, (1.19)

quando h→ 0. Os autores resolveram esta falta de observabilidade uniforme, pela primeira vez

na literatura, ao levar em conta a classe de solucoes obtida por meio da tecnica de filtragem.


Capıtulo 1. Introducao 5

Outro metodo eficiente e o metodo two-grid proposto por Glowinski et al. [5], no contexto

da discretizacao em diferencas finitas e elementos finitos em 2-D. Loreti e Mehrenberger [9]

mostraram a observabilidade uniforme via metodo two-grid para semi-discretizacao da equacao

de onda 1-D, para um tempo otimo T > 2√

2, melhorando o trabalho de Negreanu and Zuazua

[10].

Outra abordagem numerica para a analise de observabilidade uniforme e apresentada por

S. Micu [11]. Em que, o autor considerou o problema (1.7)-(1.9), e provou que a constante

de observabilidade explode exponencialmente, por meio da analise de sequencias biortogonais

para a famılia de exponenciais dada por{ei√λjt}j=1,...,N

quando h→ 0. Por outro lado, Castro

e Micu [11] obtiveram uma observabilidade uniforme usando o metodo de elementos finitos

misto.

Outro importante esquema numerico utilizado na semi-discretizacao de E.D.P. e o conhecido

esquema-θ, que foi utilizado em tres oportunidades na analise de observabilidade, por Munch

[12] e por Loreti e Mehrenberger[9, 13

]. Em ambos os casos, os autores trabalharam com

a equacao da onda. Em 2014, D. Almeida Jr. [14], analisou as propriedades de positividade

e de conservacao da energia, utilizando o esquema-θ para uma semidiscretizacao espacial das

equacoes do sistema conservativo de Timoshenko.

1.2 Objetivo

Nesta tese, estabelecemos uma desigualdade de observabilidade para o sistema conservativo de

vigas de Timoshenko e analisamos a contrapartida numerica para os metodos semi-discretos

usuais. Baseando-se nas tecnicas numericas desenvolvidas no trabalho de Infante e Zuazua

[8], mostramos para todos os metodos propostos que exite perda de observabilidade numerica

quando o parametro de malha h tende para zero.

1.3 Estrutura

No Capıtulo 2, dentro do aspecto contınuo, apresentamos o problema objeto de estudo da tese

que e o modelo de vigas de Timoshenko composto por um sistema de equacoes diferenciais

parciais acopladas com condicoes de fronteira do tipo Dirichlet homogeneas. Provamos que

a energia do sistema e conservativa ao longo do tempo. Fazemos um estudo da solucao do


1.3. Estrutura 6

problema em serie de Fourier, atraves do problema de autovalor, o que permite encontrar uma

desigualdade de observabilidade uniforme.

No Capıtulo 3, iniciamos a abordagem semi-discreta do problema tratado no caso contınuo

por meio do esquema numerico em diferencas finitas. Detectamos a perda de observabilidade

uniforme das solucoes numericas do problema semi-discreto, a partir da analise dos autovetores,

e apresentamos uma contrapartida para este fato atraves da tecnica de filtragem das solucoes

numericas. No Capıtulo 4, seguindo a mesma linha de raciocınio desenvolvida no capıtulo 3,

utilizamos o esquema numerico em elementos finitos, e mostramos a perda de observabilidade

numerica, bem como a contrapartida para este fato em um subespaco de solucoes filtradas.

Por fim, no Capıtulo 5, fazemos uma generalizacao dos esquemas numericos abordados nos

capıtulos 3 e 4, utilizando um importante esquema numerico conhecido como esquema-θ, com

θ compreendido entre [0, 1/4) aplicado nos termos de aceleracao das equacoes do sistema se-

midiscreto espacial (3.1)-(3.4).


CAPITULO 2

Analise de Observabilidade

2.1 Formulacao do Problema

Quando submetidas a carregamentos estaticos ou dinamicos, as vigas se deformam. Geralmente,

essa deformacao e do tipo cisalhamento, e provoca a deflexao e rotacao na viga. No modelo pro-

posto por Euler-Bernoulli a parcela da rotacao sofrida com a deformacao e desprezada, isto e

evidenciado pela hipotese de que a secao transversal e perpendicular a linha neutra da viga em

todos os pontos durante a flexao. Vamos considerar a contribuicao da rotacao devida ao cisalha-

mento. Consequentemente, as secoes transversais nao sao necessariamente perpendiculares ao

eixo da barra apos a deformacao.

Estamos falando do modelo de vigas proposto por Timoshenko [2] em 1921, composto pelo

sistema de equacoes:

ρ1ϕtt(x, t)− κ(ϕx + ψ)x(x, t) = 0, (0, L)× (0, T ) (2.1)

ρ2ψtt(x, t)− bψxx(x, t) + κ(ϕx + ψ)(x, t) = 0, (0, L)× (0, T ) (2.2)

cuja solucao e a funcao ϕ que denota o deslocamento vertical da viga em relacao a linha central

e a funcao ψ que denota a rotacao das fibras da viga. Em que t denota a variavel temporal, x

7

2.1. Formulacao do Problema 8

denota a variavel espacial em relacao a linha central da viga em equilıbrio; tendo em conta as

equacoes (1.5)-(1.6) escrevemos ρ1 = ρA, κ = kGA, ρ2 = ρI e b = EI .

Adicionando-se ao sistema (2.1)-(2.2) as condicoes de fronteira do tipo Dirichlet homogeneas:

ϕ(0, t) = ϕ(L, t) = 0; ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0, ∀t ≥ 0, (2.3)

e as condicoes iniciais:

ϕ(·, 0) = ϕ0, ϕt(·, 0) = ϕ1; ψ(·, 0) = ψ0, ψt(·, 0) = ψ1, ∀x ∈ (0, L), (2.4)

determinamos o problema objeto de estudo desta tese.

Um importante funcional nao-linear relacionado com as equacoes do problema (2.1)-(2.4) e

o funcional energia definido por

E(t) :=1

2

L∫0

[ρ1|ϕt|2 + ρ2|ψt|2 + b|ψx|2 + κ|ϕx + ψ|2

]dx, (2.5)

para todo o tempo t, satisfazendo a propriedade de conservacao da energia

d

dtE(t) = 0, ∀t ∈ (0, T ). (2.6)

De fato, multiplicando a equacao (2.1) por ϕt, e integrando por partes em (0, L), obtemos

ρ1

L∫0

ϕttϕt dx− κL∫

0

(ϕx + ψ

)xϕt dx = 0, (2.7)

ρ1

2

d

dt

L∫0

ϕ2t dx− κ(ϕx + ψ)ϕt

∣∣∣L0

+ κ

L∫0

(ϕx + ψ)ϕtx dx = 0. (2.8)

Analogamente, multiplicando a equacao (2.2) por ψt, e integrando por partes em (0, L),

obtemos

ρ2

2

d

dt

L∫0

ψ2t dx− bψxψt

∣∣∣L0

+b

2

d

dt

L∫0

ψ2x dx+ κ

L∫0

(ϕx + ψ)ψt dx = 0. (2.9)


Capıtulo 2. Analise de Observabilidade 9

Notando que

κ

L∫0

(ϕx + ψ)ϕtx dx+ κ

L∫0

(ϕx + ψ)ψt dx = κ

L∫0

(ϕx + ψ

)(ϕx + ψ

)tdx =

κ

2

L∫0

d

dt

∣∣ϕx + ψ∣∣2dx,

somamos os resultados (2.8) e (2.9), a fim de obtermos

d

dt

1

2

L∫0

[ρ1ϕ

2t + ρ2ψ

2t + bψ2

x + κ|ϕx + ψ|2]dx− bψxψt

∣∣∣L0− κ(ϕx + ψ)ϕt

∣∣∣L0

= 0. (2.10)

E, observando as condicoes de fronteira (2.3) e a definicao da energia em (2.5), chegamos a

d

dtE(t) = 0,

que resulta

E(t) =1

2

L∫0

[ρ1|ϕ1|2 + ρ2|ψ1|2 + b|ψ0x|2 + κ|ϕ0x + ψ0|2

]dx = E(0). (2.11)

2.2 Analise Espectral

O principal objetivo desta secao e resolver o problema espectral associado com (2.1)-(2.4). A

partir daı, poderemos garantir que resultados obtidos dentro desta abordagem, tambem serao

validos para as solucoes do problema original.

Lema 2.1. Consideremos o problema de autovalor associado ao sistema (2.1)-(2.3):

λρ1u+ κ(ux + v)x = 0, em (0, L) (2.12)

λρ2v + bvxx − κ(ux + v) = 0, em (0, L) (2.13)

u(0) = u(L) = 0, v(0) = v(L) = 0, (2.14)

em que λ e o autovalor associado aos autovetores u(x), v(x).

Existe solucao nao trivial para o problema de autovalor 2.12-2.14 da forma

(u(x), v(x)

)=

(An sin(θnx), Bn

[1− cos(θnx)

])(2.15)


2.2. Analise Espectral 10

se, e somente se,

κ

ρ1

+b

ρ2

=b

ρ1

θ2n, (2.16)

para quaisquer que sejam as constantes An, Bn ∈ IR∗ e n ∈ N, satisfazendo

Bn/An =κ

bθ−1n com θn =

2nπ

L. (2.17)

Observacao 2.2. A paridade do argumento θn provem da necessidade de u(x) e v(x) cumprirem

a condicao de fronteira x = L. De fato, ∀m ∈ N,

u(L) = An sin(mπL

L

)= An sin(mπ) = 0, entao m e par ou ımpar

v(L) = Bn

[1− cos

(mπLL

)]= Bn

[1− cos(mπ)

]= 0, entao m e par

⇒ m e par.

Prova: (⇒) Aplicando as autofuncoes na equacao (2.12), temos

ρ1λAn sin(θnx)− κAnθ2n sin(θnx) + κBnθn sin(θnx) = 0,

e, ao dividir a ultima equacao por ρ1An, obtemos

λ =κ

ρ1

θ2n −

κ

ρ1

Bn

Anθn. (2.18)

Novamente, aplicando as autofuncoes na equacao (2.13):

(ρ2λ− κ)Bn

[1− cos(θnx)

]+ bBnθ

2n cos(θnx)− κAnθn cos(θnx) = 0, (2.19)

A fim de garantirmos as relacoes de compatibilidade entre os termos ρ1, ρ2, κ, b, An, Bn, θn,

necessarias para a obtencao de solucao do problema de autovalor, consideramos

ρ2λ− κ = 0 ⇒ λ =κ

ρ2

; (2.20)

bBnθ2n − κAnθn = 0 ⇒ Bn

An=κ

bθ−1n . (2.21)



Agora, combinando os valores de λ dados em (2.18) e (2.20) e, em seguida, com o valor de

Bn/An dado em (2.21), obtemos

κ

ρ1

+b

ρ2

=b

ρ1

θ2n. (2.22)

Observacao 2.3. A forma explıcita dos autovalores λn e obtida quando combinamos os valores

de Bn/An nas relacoes (2.18) e (2.21) e, em seguida com (2.20):

λn = θ2n

(ρ1

κ+ρ2

b

)−1

. (2.23)

(⇐) Usando a relacao (2.20) na equacao (2.13), obtemos

bvxx − κux = 0. (2.24)

Escolhendo, u(x) = An sin(θnx), adequadamente, deduzimos

v(x) =−κAnbθn

cos(θnx) + c1x+ c2, (c1, c2 ∈ IR),

e, obrigando v(x) a cumprir as condicoes de contorno em (2.14), encontramos c1 = 0 e

Bn := c2 =κAnbθn

, que resulta

v(x) = Bn

[1− cos(θnx)

].

Teorema 2.4 (Solucao em Serie de Fourier). O problema (2.1)-(2.4) tem solucao por via daserie de Fourier:

ϕ(x, t) =

∞∑n=1

[an cos

(√(ρ1

κ+ρ2

b

)−1t

)+ bn sin

(√(ρ1

κ+ρ2

b

)−1t

)]u(x),

ψ(x, t) =∞∑n=1

[an cos

(√(ρ1

κ+ρ2

b

)−1t

)+ bn sin

(√(ρ1

κ+ρ2

b

)−1t

)]v(x).

com an e bn os coeficientes de Fourier das funcoes ϕ(x, t) e ψ(x, t); u(x) e v(x) sao autovetores

associados ao autovalor λ =(ρ1/κ+ ρ2/b

)−1.


2.3. Desigualdade de Observabilidade 12

Prova: Assumimos a separacao de variaveis para as solucoes ϕ(x, t) e ψ(x, t) de (2.1)-(2.4):

ϕ(x, t) = T (t)u(x), ψ(x, t) = T (t)v(x), ∀t ∈ [0, T ], x ∈ [0, L].

Daı, obtemos:

T ′′

T=κ(ux + v)x

ρ1u= −λ, (2.25)

T ′′

T=bvxx − κ(ux + v)

ρ2v= −λ, (2.26)

em que devemos ter λ > 0 para solucao nao-trivial. Desta abordagem, tiramos duas assercoes.

A primeira, e a Equacao Diferencial Ordinaria (E.D.O.):

T ′′(t) + λT (t) = 0,

cuja solucao geral e da forma

Tn(t) = an cos(√λt) + bn sin(

√λt),

∀t > 0, an, bn ∈ IR e n ∈ N. A segunda, e o problema de autovalor (2.12)-(2.14), cuja solucao

segue da demonstracao do lema 2.1. O que conclui a prova do teorema 2.4.

2.3 Desigualdade de Observabilidade

O principal objetivo desta secao e estabelecer uma desigualdade de observabilidade uniforme

para as solucoes do sistema (2.1)-(2.4). A seguir, provaremos uma sequencia de resultados para

as autofuncoes, e que se estenderao para as solucoes do problema (2.1)-(2.4), em virtude do

teorema 2.4.

Lema 2.5. Para toda solucao (ϕ, ψ) de (2.1)-(2.4) temos

ρ1

L∫0

|ϕ|2 dx+ ρ2

L∫0

|ψ|2 dx =b

λ

L∫0

|ψx|2 dx+κ

λ

L∫0

|ϕx + ψ|2 dx,

em que λ e tomado como em (2.23).



Prova. Multiplicando a equacao (2.12) por u, e integrando em (0, L), temos

ρ1λ

L∫0

∣∣u∣∣2 dx+ κ

L∫0

(ux + v)xu dx = 0,

e, tendo em conta a condicao de contorno, obtemos

λρ1

L∫0

∣∣u∣∣2 dx− κ L∫0

(ux + v)ux dx = 0. (2.27)

Analogamente, multiplicando a equacao (2.13) por v e integrando em (0, L), obtemos

ρ2λ

L∫0

∣∣v∣∣2 dx− b L∫0

∣∣vx∣∣2 dx− κ L∫0

(ux + v)v dx = 0. (2.28)

Somando as equacoes (2.27) e (2.28), resulta

ρ1

L∫0

∣∣u∣∣2dx+ ρ2

L∫0

∣∣v∣∣2dx =b

λ

L∫0

∣∣vx∣∣2dx+κ

λ

L∫0

∣∣ux + v∣∣2dx. (2.29)

Tendo em conta que ϕ(x, t) = u(x)T (t) e ψ(x, t) = v(x)T (t), o resultado segue bastando

multiplicar a identidade acima por |T (t)|2.

Corolario 2.6. Para toda solucao (ϕ, ψ) de 2.1-2.4 temos

ρ1

L∫0

|ϕx|2dx 6p(λ)b

λ

L∫0

|ψx|2dx+p(λ)κ

λ

L∫0

|ϕx + ψ|2dx,

comp(λ)

λ=ρ1

κ+ρ2

b.

Prova: Vejamos o que acontece ao aplicar a forma explıcita da autofuncao v na equacao 2.12:

λρ1u+ κuxx + κBn

[1− cos(θnx)

]x

= 0,

λρ1u+ κBnθn sin(θnx) + κuxx = 0. (2.30)



Sabe-se do teorema 2.1 que a autofuncao u(x) e da forma u(x) = An sin(θnx), sin(θnx) 6=0. Assim, da equacao (2.30) deduzimos( λρ1

κ+BnθnAn︸︷︷︸

:=p(λ)

)u = −uxx.

Levando em conta as identidades (2.20) e (2.21), obtemos:

p(λ)

λ=ρ1

κ+ρ2

b.

Temos um problema similar ao tratado por Infante & Zuazua [8]:

p(λ)u+ uxx = 0, x ∈ (0, L), (2.31)

u(0) = u(L) = 0, (2.32)

em que p(λ) e o autovalor associado a autofuncao u.

Ao multiplicar a equacao (2.31) por u e integrar em (0, L), levando em conta as condicoes

de contorno, obtemos

p(λ)

L∫0

|u|2 dx =

L∫0

|ux|2 dx,

consequentemente, do teorema 2.4 escrevemos:

p(λ)

L∫0

|ϕ|2 dx =

L∫0

|ϕx|2 dx.

Finalmente, combinando a ultima identidade com o resultado do lema 2.5, chegamos a

ρ1

L∫0

|ϕx|2 dx 6p(λ)b

λ

L∫0

|ψx|2 dx+p(λ)κ

λ

L∫0

|ϕx + ψ|2 dx,

o que conclui a prova do corolario 2.6.



O proximo lema mostra os resultados sobre uma estimativa para os termos cruzados, que

aparecerao no desenvolvimento da prova do teorema principal desta secao.

Lema 2.7. Para toda solucao (ϕ, ψ) do sistema (2.1)-(2.4), vale

[ρ1

L∫0

ϕtϕxxdx+ ρ2

L∫0

ψtψxxdx+ ρ2

L∫0

ψtψdx

]T0

> −2LME(0)

em que

M = max

{1, 1 +

1

L,p(λ)

λ+

1

λL,ρ2

b+p(λ)

λ+

1

λL

}<∞. (2.33)

Prova: Usando a desigualdade de Young (ver [15]):

∣∣∣∣ρ1

L∫0

ϕtϕxx dx+ ρ2

L∫0

ψtψxx dx+ ρ2

L∫0

ψtψdx

∣∣∣∣ 6 ρ1L

2

L∫0

|ϕt|2 dx+ρ1L

2

L∫0

|ϕx|2dx

+ρ2L

2

L∫0

|ψt|2dx+ρ2L

2

L∫0

|ψx|2dx+ρ2

2

L∫0

|ψt|2dx+ρ2

2

L∫0

|ψ|2dx.

Tendo em vista os termos da energia, aplicamos o lema 2.5 e o corolario 2.6 nos termos em|ψ|2 e |ϕx|2 do lado direito da desigualdade acima, respectivamente:

∣∣∣∣ρ1

L∫0

ϕtϕxx dx+ ρ2

L∫0

ψtψxx dx+ ρ2

L∫0

ψtψ dx

∣∣∣∣ 6 ρ1L

2

L∫0

|ϕt|2dx+(

1 +1

L

)ρ2L

2

L∫0

|ψt|2dx

+(ρ2

b+p(λ)

λ+

1

λL

)bL2

L∫0

|ψx|2dx+(p(λ)

λ+

1

λL

)κL2

L∫0

|ϕx + ψ|2dx.

Escolhendo

M = max

{1, 1 +

1

L,p(λ)

λ+

1

λL,ρ2

b+p(λ)

λ+

1

λL

}<∞,



obtemos

∣∣∣∣ρ1

L∫0

ϕtϕxx dx+ ρ2

L∫0

ψtψxx dx+ ρ2

L∫0

ψtψ dx

∣∣∣∣ 6 LME(t),

ou

−LME(t) 6 ρ1

L∫0

ϕtϕxx dx+ ρ2

L∫0

ψtψxx dx+ ρ2

L∫0

ψtψ dx 6 LME(t).

Assim, escrevemos

[ρ1

L∫0

ϕtϕxxdx+ ρ2

L∫0

ψtψxxdx+ ρ2

L∫0

ψtψdx︸︷︷︸:=Z(t)

]T0

= Z(T )− Z(0)

> −LME(0)− LME(0)︸︷︷︸=−2LME(0)

,

o que conclui a prova do lema.

Tendo em mente as condicoes de contorno (2.3), provaremos o principal resultado deste

capıtulo. Para isto, usaremos as tecnicas multiplicativas propostas por Lions [7], e assumire-

mos os multiplicadores xϕx na primeira equacao do problema (2.1)-(2.4); xψx e ψ na segunda

equacao.

Teorema 2.8 (Desigualdade de Observabilidade). Para todo T > 2LM, existe uma constante

positiva C = C(T ), tal que

E(ϕ, ψ, 0) 6 C(T )

κL2T∫

0

ϕ2x(L, t) dt+ ρ2

T∫0

L∫0

ψ2t dx dt

, (2.34)

qualquer que seja a solucao do sistema (2.1)-(2.4), em queC(T ) = 1/(T−2LM) e a constante

de observabilidade.



Prova: Vamos multiplicar a equacao (2.1) por xϕx e integrar em (0, L)× (0, T ):

T∫0

L∫0

ρ1ϕtt xϕx dx dt =

T∫0

L∫0

κ(ϕx + ψ)x xϕx dx dt. (2.35)

Vamos calcular o primeiro membro de (2.35):

T∫0

L∫0

ρ1ϕtt xϕx dx dt = Xϕ(t)∣∣∣T0− ρ1

T∫0

L∫0

ϕt xϕxt dx dt

= Xϕ(t)∣∣∣T0−

[ρ1

T∫0

∣∣ϕt∣∣2x dt]L0

+ ρ1

T∫0

L∫0

ϕt

[ϕt + xϕtx

]dx dt

= Xϕ(t)∣∣∣T0− Lρ1

2

T∫0

∣∣ϕt(L, t)∣∣2dt+ρ1

2

T∫0

L∫0

∣∣ϕt∣∣2dx dt,que resulta

T∫0

L∫0

ρ1ϕtt xϕx dx dt = Xϕ(t)∣∣∣T0

+ρ1

2

T∫0

L∫0

∣∣ϕt∣∣2dx dt, (2.36)

em que

Xϕ(t) :=

L∫0

ρ1xϕtϕx dx.

Usando o resultado (2.36) em (2.35):

Xϕ(t)∣∣∣T0

+ρ1

2

T∫0

L∫0

∣∣ϕt∣∣2dx dt =

T∫0

L∫0

κ(ϕx + ψ)x xϕx dx dt. (2.37)

Analogamente, vamos multiplicar a equacao 2.2 por xψx e integrar em (0, L)× (0, T ):

T∫0

L∫0

ρ2ψtt xψx dx dt =

T∫0

L∫0

bψxx xψx dx dt−T∫

0

L∫0

κ(ϕx + ψ

)xψx dx dt. (2.38)



Calculando o primeiro membro da equacao (2.38):

T∫0

L∫0

ρ2ψtt xψx dx dt = Xψ(t)∣∣∣T0−

T∫0

L∫0

ρ2ψtxψxt dx dt

= Xψ(t)∣∣∣T0−[ρ2

T∫0

|ψt|2x dt]L

0

+ ρ2

T∫0

L∫0

ψt(ψt + xψtx)

= Xψ(t)∣∣∣T0

+ρ2

2

T∫0

L∫0

∣∣ψt∣∣2 dx dt− ρ2L

2

T∫0

∣∣ψt(L, t)∣∣2 dt, (2.39)

que resulta

T∫0

L∫0

ρ2ψtt xψx dx dt = Xψ(t)∣∣∣T0

+ρ2

2

T∫0

L∫0

∣∣ψt∣∣2 dx dt, (2.40)

em que

Xψ(t) :=

L∫0

ρ2xψtψx dx.

Calculando o segundo membro de (2.38):

b

T∫0

x∣∣ψx∣∣2dt

L0

− bT∫

0

L∫0

∣∣ψx∣∣2dx dt− b T∫0

L∫0

xψxψxx dx dt

−

[ T∫0

κ(ϕx + ψ

)xψ dt

]L0

+ κ

T∫0

L∫0

ψ[(ϕx + ψ

)+ x(ϕx + ψ

)x

]dx dt

=bL

2

T∫0

∣∣ψx(L, t)∣∣2dt− b

2

T∫0

L∫0

∣∣ψx∣∣2dx dt− κL T∫0

(ϕx + ψ

)(L, t)ψ(L, t)dt

+κ

T∫0

L∫0

ψ(ϕx + ψ

)dx dt+ κ

T∫0

L∫0

(ϕx + ψ

)xxψ dx dt,



que resulta

T∫0

L∫0

bψxx xψx dx dt−T∫

0

L∫0

κ(ϕx + ψ

)xψx dx dt =

bL

2

T∫0

∣∣ψx(L, t)∣∣2dt− b

2

T∫0

L∫0

∣∣ψx∣∣2dx dt+ κ

T∫0

L∫0

ψ(ϕx + ψ

)dx dt+ κ

T∫0

L∫0

(ϕx + ψ

)xxψ dx dt. (2.41)

Com esses resultados reescrevemos a identidade (2.38),

Xψ(t)∣∣∣T0

+ρ2

2

T∫0

L∫0

∣∣ψt∣∣2 dx dt =bL

2

T∫0

∣∣ψx(L, t)∣∣2dt− b

2

T∫0

L∫0

∣∣ψx∣∣2dx dt+ κ

T∫0

L∫0

ψ(ϕx + ψ

)dx dt+ κ

T∫0

L∫0

(ϕx + ψ

)xxψ dx dt. (2.42)

Por ultimo, multiplicamos a equacao 2.2 por ψ e integramos em (0, L)× (0, T ):

T∫0

L∫0

ρ2ψttψ dx dt = b

T∫0

L∫0

ψxxψ dx dt− κT∫

0

L∫0

(ϕx + ψ)ψ dx dt. (2.43)

Isto e,

Yψ(t)∣∣∣T0− ρ2

T∫0

L∫0

∣∣ψt∣∣2 dx dt =

[b

T∫0

ψxψ dt

]L0

− bT∫

0

L∫0

∣∣ψx∣∣2 dx dt− κ T∫0

L∫0

(ϕx + ψ

)ψ dx dt,

que resulta

Yψ(t)∣∣∣T0− ρ2

T∫0

L∫0

∣∣ψt∣∣2 dx dt = −bT∫

0

L∫0

∣∣ψx∣∣2 dx dt− κ T∫0

L∫0

(ϕx + ψ

)ψ dx dt, (2.44)

em que

Yψ(t) := ρ2

L∫0

ψtψ dx.



Somando, correspondentemente os membros das igualdades em (2.37), (2.42) e (2.44), ob-

temos

Z(t)∣∣∣T0

+ρ1

2

T∫0

L∫0

∣∣ϕt∣∣2dx dt+ρ2

2

T∫0

L∫0

∣∣ψt∣∣2dx dt− ρ2

T∫0

L∫0

∣∣ψt∣∣2dx dt=bL

2

T∫0

∣∣ψx(L, t)∣∣2dt− b

2

T∫0

L∫0

∣∣ψx∣∣2dx dt− b T∫0

L∫0

∣∣ψx∣∣2dx dt+κ

2

T∫0

L∫0

xd

dx

(ϕx + ψ

)2,

em que

Z(t) = Xϕ(t) + Xψ(t) + Yψ(t).

Tendo em vista os termos da energia E(t) em (2.5), chegamos a

Z(t)∣∣∣T0

+

T∫0

E(t) dt+ b

T∫0

L∫0

|ψx|2 dx dt =κL

2

T∫0

|ϕx(L, t)|2 dt+bL

2

T∫0

|ψx(L, t)|2 dt

+ ρ2

T∫0

L∫0

|ψt|2 dx dt. (2.45)

Agora, notemos que da solucao ψ(x, t) dada em serie de Fourier, deduzimos que ψx(L, t) =

0. E, usando a estimativa do lema 2.7 e a propriedade de conservacao da energia (2.6), encon-

tramos:

(T − 2LM

)E(0) 6

κL

2

T∫0

ϕ2x(L, t) dt+ ρ2

T∫0

L∫0

ψ2t dx dt.

De modo que, para T > 2LM escolhemos C(T ) = 1/(T − 2LM), o que prova a desigual-

dade acima e uniforme para toda solucao do problema (2.1)-(2.4).


CAPITULO 3

Analise de Observabilidade em Diferencas Finitas

Neste capıtulo, provaremos uma desigualdade de observabilidade que seja uniforme dentro da

dinamica numerica semidiscreta em diferencas finitas associada ao problema (2.1)-(2.4). Fa-

remos isto, combinando a tecnica multiplicativa proposta por Lions em [7] com a tecnica de

filtragem proposta por Glowinski e Lions em[7, 3, 4

]. Mostraremos que a energia do sis-

tema (4.1)-(4.4) e uma semidiscretizacao da energia encontrada no aspecto contınuo e, que se

conserva ao longo do tempo ∀ 0 < t < T . Exibiremos uma classe de solucoes do problema

(2.1)-(2.4) dada por via da serie de Fourier. Para isso, resolveremos o problema de autovalor.

Identificaremos um autovalor λJ/2 (J/2 ∈ Z), que gera a perda de observabilidade uniforme

dos autovetores. Mostraremos que esta falta de observabilidade uniforme dos autovetores sera

transferida para a solucao do problema semidiscreto (4.1)-(4.4). Por fim, escreveremos uma

classe de solucoes filtradas formada por solucoes dadas em series de Fourier tais que os auto-

vetores estejam associados a autovalores que nao causam a falta de observabilidade uniforme

dos autovetores. E a partir daı, provamos uma desigualdade de observabilidade uniforme para a

solucao do problema semi-discreto (4.1)-(4.4).

21



Neste capıtulo, introduzimos a dinamica numerica semidiscreta em diferencas finitas associada

ao sistema (2.1)-(2.4). Definimos a malha de trabalho obedecendo os seguintes parametros:

seja J um inteiro nao-negativo e h = L/(J + 1) uma subdivisao do intervalo (0, L) dada por

0 = x0 < x1 < . . . < xJ < xJ+1 = L, com xj = jh cada no da malha. Assumimos a seguinte

semi-discretizacao espacial nao-usual1 em diferencas finitas, com condicoes de fronteira do tipo

Dirichlet mais as condicoes iniciais:

ρ1ϕ′′j − κ

ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2− κψj+1 − ψj−1

2h= 0, (3.1)

j = 1, 2, . . . , J, 0 < t < T ,

ρ2ψ′′j − b

ψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2+ κ

ϕj+1 − ϕj−1

2h+ κ

ψj+1 + 2ψj + ψj−1

4= 0, (3.2)

j = 1, 2, . . . , J, 0 < t < T ,

ϕ0 = ϕJ+1 = 0; ψ0 = ψJ+1 = 0, 0 < t < T , (3.3)

ϕj(0) = ϕ0j , ϕ

′j(0) = ϕ1

j ; ψj(0) = ψ0j , ψ

′j(0) = ψ1

j , j = 0, 1, . . . , J + 1. (3.4)

Aqui, ϕj = ϕj(t) e ψj = ψj(t) denotam os valores aproximados de ϕ(jh, t) e ψ(jh, t),

respectivamente. O sistema (3.1)-(3.4) e formado de 2J-equacoes diferenciais por 2J-funcoes

desconhecidas ϕ1, ϕ2, . . . , ϕJ , ψ1, ψ2, . . . , ψJ .

A energia de solucoes de (3.1)-(3.4), dada abaixo:

Eh(t) :=h

2

J∑j=0

{ρ1|ϕ′j|2 + ρ2|ψ′j|2 + b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 + κ

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2} (3.5)

e uma semidiscretizacao da energia E(t), dada em (2.5) no aspecto contınuo. Observemos que

Eh(t) e livre de sobrestimacao, e obedece a propriedade de conservacao da energia conforme

veremos no lema a seguir.

1O termo “nao-usual” esta associado com a configuracao do esquema numerico semi-discreto que esta livredo fenomeno de trancamento no cortante, que gera a sobrestimacao na rigidez, e que sera melhor justificado nacapıtulo 5.


Capıtulo 3. Analise de Observabilidade em Diferencas Finitas 23

Lema 3.1. Para qualquer h > 0 e (ϕj, ψj) solucao de (3.1)-(3.4), a energia definida como em

(3.5), cumpre a relacao

Eh(t) = Eh(0), ∀t ∈ [0, T ].

Prova: Ao multiplicar a equacao (3.1) por hϕ′j(t) e somar com j = 1, . . . , J , obtemos

ρ1h

2

d

dt

J∑j=1

|ϕ′j|2 = κhJ∑j=1

[ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ψj+1 − ψj−1

2h

]ϕ′j. (3.6)

Escrevendo adequadamente o segundo membro da equacao (3.6), temos

κhJ∑j=1

[ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ψj+1 − ψj−1

2h

]ϕ′j

= κhJ∑j=1

[ϕj+1 − ϕj −(ϕj − ϕj−1

)h2

+ψj+1 + ψj −

(ψj + ψj−1

)2h

]ϕ′j

= κhJ∑j=1

[ϕj+1 − ϕjh2

+ψj+1 + ψj

2h

]ϕ′j − κh

J∑j=1

[ϕj − ϕj−1

h2+ψj + ψj−1

2h

]ϕ′j

= κhJ∑j=1

[ϕj+1 − ϕjh2

+ψj+1 + ψj

2h

]ϕ′j − κh

J−1∑j=0

[ϕj+1 − ϕjh2

+ψj+1 + ψj

2h

]ϕ′j+1.

Vale a pena justificar a identidade entre os dois somatorios correspondentes das duas ultimas

identidades acima, como:

J∑j=1

yj−1 = y0 +J∑j=1

yj+1 − yJ+1

= y0 +J−1∑j=1

yj+1 + yJ+1 − yJ+1 =J−1∑j=0

yj+1.



Assim, expandindo os somatorios seguimos com a igualdade

= κhJ∑j=0

[ϕj+1 − ϕjh2

+ψj+1 + ψj

2h

]ϕ′j − κh

[ϕ1 − ϕ0

h2+ψ1 + ψ0

2h

]ϕ′0

−κhJ∑j=0

[ϕj+1 − ϕjh2

+ψj+1 + ψj

2h

]ϕ′j+1 + κh

[ϕJ+1 − ϕJh2

+ψJ+1 + ψJ

2h

]ϕ′J+1.

Tendo em mente as condicoes de contorno, resulta que o segundo membro

κh

J∑j=1

[ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ψj+1 − ψj−1

2h

]ϕ′j

= −κ2

d

dth

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 − κh J∑j=0

ψj+1 + ψj2

ϕ′j+1 − ϕ′jh

. (3.7)

Assim, combinando os resultados (3.7) e (3.6) encontramos

ρ1h

2

d

dt

J∑j=0

|ϕ′j|2 = −κ2

d

dth

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 − κh J∑j=0

ψj+1 + ψj2


. (3.8)

Analogamente, ao multiplicar a equacao (3.2) por hψ′j , somar com j = 1, . . . , J , tendo em

mente as condicoes de contorno, obtemos

ρ2h

2

d

dt

J∑j=0

|ψ′j|2 = − b2

d

dth

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 − κ

2

d

dth

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2−κh

J∑j=0

ϕj+1 − ϕjh

ψ′j+1 + ψ′j2

. (3.9)

Correspondentemente, somando os membros das igualdades (3.8) e (3.9), deduzimos

d

dtEh(t) = 0, (3.10)

de onde segue Eh(t) = Eh(0), ∀t ∈ [0, T ], mostrando que o sistema (3.1)-(3.4) e conservativo,

em concordancia com a propriedade (2.6).




Em comparacao com o caso contınuo, esta analise ganha uma importancia maior porque per-

mite realizar, atraves das solucoes numericas dadas em series de Fourier, o truncamento, para

encontrar a classe de solucoes numericas observaveis.

Lema 3.2 (Problema de Autovalor). Consideremos o problema de autovalor associado ao sis-

tema (2.12)-(2.14):

λ(h)ρ1uj + κuj+1 − 2uj + uj−1

h2+ κ

vj+1 − vj−1

2h= 0, (3.11)

λ(h)ρ2vj + bvj+1 − 2vj + vj−1

h2− κuj+1 − uj−1

2h− κvj+1 + 2vj + vj−1

4= 0, (3.12)

u0 = uJ+1 = 0; v0 = vJ+1 = 0, (3.13)

com j = 1, . . . , J e, cujos λ1(h), λ2(h), . . . , λJ(h) sao os J-autovalores associados aos auto-

vetores uj e vj .

Existe solucao nao-trivial para o problema (3.11)-(3.13), da forma

(uj, vj) =(An sin(θnxj), Bn

(1− cos(θnxj)

)), (3.14)

se, e somente se,

κ

ρ1

σ(h) +b

ρ2

=b

ρ1

4

h2sin2

(θnh2

), σ(h) =

4b cos2( θnh2

)

4b− κh2, κh2 6= 4b. (3.15)

para quaisquer que sejam as constantes positivas An, Bn ∈ IR∗ e n ∈ N, satisfazendo

Bn/An =κh sin(θnh)

(4b− κh2) sin2( θnh2

)e θn =

2nπ

L. (3.16)

Prova: Assumiremos os multiplicadores semi-discretos associados aqueles do teorema 2.1.

(⇒) Das autofuncoes uj = An sin(θnxj) e vj = Bn

[1 − cos(θnxj)

], usando as identidades



trigonometricas, calculamos:

uj+1 − 2uj + uj−1 = 2An sin(θnxj)[

cos(θnh)− 1]; (3.17)

vj+1 − vj−1 = 2Bn sin(θnxj) sin(θnh); (3.18)

vj+1 − 2vj + vj−1 = 2Bn cos(θnxj)[1− cos(θnh)

]; (3.19)

uj+1 − uj−1 = 2An cos(θnxj) sin(θnh); (3.20)

vj+1 + 2vj + vj+1 = 4Bn − 2Bn cos(θnxj)[1 + cos(θnh)

]. (3.21)

Usando livremente as formulas (3.17)-(3.21) na equacao (3.11), obtemos:

λn(h)ρ1An sin(θnxj) +2κAnh2

sin(θnxj)(

cos(θnh)− 1)

+κBn

AnhAn sin(θnxj) sin(θnh) = 0.

Dividindo -se toda a equacao acima por ρ1An sin(θnxj) 6= 0, obtemos

λn(h) =κ

ρ1

4

h2sin2

(θnh2

)− κ

ρ1

Bn

Anhsin(θnh). (3.22)

Por outro lado, na equacao (3.12), somando e subtraindo o termo κvj/2, chegamos a

(ρ2λn(h)− κ

)vj +

( bh2− κ

4

)(vj+1 − 2vj + vj−1

)− κuj+1 − uj−1

2h= 0. (3.23)

E, aplicando novamente as formulas (3.17)-(3.20), obtemos

(ρ2λn(h)− κ

)Bn

[1− cos(θnxj)

]+

{( 2b

h2− κ

2

)Bn

[1− cos(θnh)

]− κAn

hsin(θnh)

}cos(θnxj) = 0.

Considerando que cos(θnxj) 6= 0 ou 1, tiramos as relacoes:

λn(h) = κ/ρ2; (3.24)

Bn

An=

κh sin(θnh)

(4b− κh2) sin2( θnh2

). (3.25)

Observacao 3.3. Ao aplicar o limite fundamental da trigonometria2, podemos ver que Bn/An

converge paraκ

bθ−1n no limite h→ 0 ∀n, em concordancia com o caso contınuo (2.17).

2ver livro Calculo Avancado, Vol. 1, pg. 17, Wilfred Kaplan.



Como os autovetores (un,j, vn,j) estao associados com o mesmo autovalor λn(h), combinamos

(3.22) e (3.24), em seguida combinamos com (3.25):

b

ρ2

+κ

ρ1

σ(h) =b

ρ1

4

h2sin2

(θnh2

),

em que

σ(h) =4b cos2( θnh

2)

4b− κh2.

(⇐) A funcao uj = An sin(θnxj) satisfaz a condicao de contorno nos extremos 0 e L, isto e,

uj(0) = uj(L) = 0. E, ao aplicar uj na equacao (3.23), tendo em conta (3.24), obtemos

vj+1 − 2vj + vj−1 =4κhAn

4b− κh2cos(θnxj) sin(θnh).

Combinando An, extraıdo da relacao (3.25), com a ultima identidade, chegamos a

vj+1 − 2vj + vj−1 = 2Bn

[1− cos(θnh)

]cos(θnxj).

Daı, usando livremente (3.17)-(3.21) na ultima equacao, encontramos

vj = Bn −Bn cos(θnxj).

Observacao 3.4. Verifica-se que σ(h)→ 1, h→ 0. Consequentemente,

b

ρ2

+κ

ρ1

σ(h)→ b

ρ2

+κ

ρ1

, h→ 0,

em conformidade com o caso contınuo (2.22).

Observacao 3.5 (Autovalor discretizado). Ao combinar as relacoes (3.22) e (3.25), em seguida

com (3.24), deduzimos

λn(h) =4

h2sin2

(θnh2

)(ρ1

κ+ρ2

bσ(h)

)−1

→ λn, h→ 0.

O que conclui a prova do lema 3.2.



Teorema 3.6 (Solucao em Serie de Fourier). A solucao(ϕ(xj, t), ψ(xj, t)

)do sistema (3.1)-

(3.4) e dada em serie de Fourier, da seguinte forma:

ϕ(xj, t) =∞∑n=1

[an cos

(√λn(h)t

)+ bn sin

(√λn(h)t

)]un,j,

ψ(xj, t) =∞∑n=1

[an cos

(√λn(h)t

)+ bn sin

(√λn(h)t

)]vn,j,

em que os autovalores λn sao dados por

λn(h) =4

h2sin2

(θnh2

)(ρ1

κ+ρ2

bσ(h)

)−1

, σ(h) =4b

4b− κh2cos2

(θnh2

),

os numeros reais an, bn sao os coeficientes de Fourier de ϕ, ψ. Os autovetores associados a

λn(h) sao un =(un,1, . . . , un,J

)e vn =

(vn,1, . . . , vn,J

).

Prova: Assumimos a seguinte separacao de variaveis para as solucoes ϕj(t) e ψj(t) de 3.1-3.4:

ϕ(xj, t) = S(t)uj, ψ(xj, t) = S(t)vj, ∀t > 0, ∀j = 1, 2, . . . , J.

Daı, obtemos:

S ′′(t)

S(t)=[κuj+1 − 2uj + uj−1

h2+ κ

vj+1 − vj−1

2h

] 1

ρ1uj= −λn(h),

S ′′(t)

S(t)=[bvj+1 − 2vj + vj−1

h2− κuj+1 − uj−1

2h− κvj+1 + 2vj + vj−1

4

] 1

ρ2vj= −λn(h),

em que para solucao nao-trivial devemos ter λn(h) > 0. Desta abordagem, tiramos duas

assercoes fundamentais para o desenvolvimento do nosso trabalho. A primeira, consiste na

E.D.O.:

S ′′(t) + λn(h)S(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ],

cuja solucao geral e

Sn(t) = an sin(√

λn(h)t)

+ bn cos(√

λn(h)t), n = 1, . . . , J, ∀t > 0,

com an e bn sao os coeficientes de Fourier. A segunda e o problema de autovalor (3.11)-(3.13),

cuja solucao segue da demonstracao do lema 3.2. E, isto conclui a prova do teorema 3.6.



Observacao 3.7. Para efeito de simplificacao da escrita, denotaremos o autovalor λ(h) por λ.

Lema 3.8. Para qualquer solucao (uj, vj) do problema de autovalor (3.11)-(3.13), vale a iden-tidade:

λρ1hJ∑j=0

∣∣uj∣∣2 + λρ2hJ∑j=0

∣∣vj∣∣2 = bhJ∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 .Prova. Vamos multiplicar a equacao (3.11) por huj , e somar com j = 1, . . . , J :

ρ1λh

J∑j=1

|uj|2 = −κhJ∑j=1

[uj+1 − 2uj + uj−1

h2+vj+1 − vj−1

2h

]uj. (3.26)

Reescrevemos, adequadamente, o segundo membro da ultima igualdade:

− κhJ∑j=1

[uj+1 − 2uj + uj−1

h2+vj+1 − vj−1

2h

]uj

= −κhJ∑j=1

[uj+1 − uj −

(uj − uj−1

)h2

+vj+1 + vj −

(vj + vj−1

)2h

]uj

= −κhJ∑j=1

[uj+1 − uj

h2+vj+1 + vj

2h

]uj + κh

J∑j=1

[uj − uj−1

h2+vj + vj−1

2h

]uj

= −κhJ∑j=1

[uj+1 − uj

h2+vj+1 + vj

2h

]uj + κh

J−1∑j=0

[uj+1 − uj

h2+vj+1 + vj−1

2h

]uj+1,

expandindo os dois ultimos somatorios, tendo em mente as condicoes de contorno, isto e,

= −κhJ∑j=0

[uj+1 − uj

h2+vj+1 + vj

2h

]uj + κh

[u1 − u0

h2+v1 + v0

2h

]

+ κhJ∑j=1

[uj+1 − uj

h2+vj+1 + vj

2h

]uj+1 − κh

[uJ+1 − uJ

h2+vJ+1 + vJ

2h

]uJ+1,



resulta

−κhJ∑j=1

[uj+1 − 2uj + uj−1

h2+vj+1 − vj−1

2h

]uj =

κh

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

uj+1 − ujh

vj+1 + vj2

. (3.27)

Assim, usando (3.27), reescrevemos (3.26) como

λρ1hJ∑j=0

∣∣uj∣∣2 = κh

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

uj+1 − ujh

vj+1 + vj2

. (3.28)

Analogamente, multiplicando a equacao 3.12 por hvj , somando com j = 1, . . . , J , tendo em

mente as condicoes de contorno, obtemos

λρ2hJ∑j=0

∣∣vj∣∣2 = bhJ∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣ vj+1 + vj2

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

uj+1 − ujh

vj+1 + vj2

.

(3.29)

Finalmente, somando de modo correspondente os membros das igualdades 3.28 e 3.29, chega-

mos a prova do Lema 3.8.

Observacao 3.9. Chegamos a um dos pontos cruciais do nosso trabalho, no qual identificamos

uma caracterıstica propria do esquema numerico, que nao aparece no aspecto contınuo, cha-

mado termo de blow-up “explosao”, gerado por manipulacoes algebricas inerentes ao metodo

numerico, que sera apresentado no lema seguinte.

Lema 3.10 (Blow-Up). Para qualquer solucao (uj, vj) do problema de autovalor 3.11-3.13,vale

bh

J∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κh

J∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 =2κL

4− p(λ)h2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + λρ2

(1− κ

bσ(h)

).

Alem disso, existe λJ/2, J/2 ∈ Z, tal que

2κL

4− p(λJ/2)h2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + λρ2

(1− κ

bσ(h)

)→∞, quando p(λJ/2)h2 → 4, h→ 0.



Prova. Na equacao 3.11, tendo em mente a identidade 3.18, obtemos[ρ1λ

κ+Bn

An

1

hsin(θnh)]uj = − uj+1 − 2uj + uj−1

h2. (3.30)

Vamos definir p(λ):

p(λ) :=ρ1λ

κ+Bn

An

1

hsin(θnh). (3.31)

Assim, reescrevemos o problema 3.30 na forma:

− uj+1 − 2uj + uj−1

h2= p(λ)uj, (3.32)

u0 = uJ+1 = 0. (3.33)

Observacao 3.11. Podemos entender o sistema 3.32-3.33 como uma adaptacao do problema de

autovalor da equacao de onda tratado por Infante e Zuazua [8]. Por isso, adequadamente, herda

os resultados analogos, por exemplo, de acordo com o Lema 1.1 e Lema 2.1 de [8], deduzimos

p(λ) =2L

4− p(λ)h2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2. (3.34)

Assim, ao substituir a relacao Bn/An obtida em 3.25 na equacao 3.31, encontramos tambem:

p(λ) = λ(ρ1

κ+ρ2

bσ(h)

)=

4

h2sin2

(θnh2

), (3.35)

em que σ(h) e dado como no Teorema 3.2. De 3.34 e 3.35, deduzimos

λρ1 =2κL

4− p(λ)h2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 − λρ2κ

bσ(h).

Portanto, no Lema 3.8, ao considerar as normas unitariasJ∑j=0

|uj|2 =J∑j=0

|vj|2 = 1, em seguida,

combinar com a ultima identidade, chegamos a

bhJ∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 =2κL

4− p(λ)h2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + λρ2

(1− κ

bσ(h)

).


3.3. Perda de Observabilidade das Solucoes 32

Isto prova a primeira parte do lema. Em seguida, para provar a segunda parte, notemos de 3.35

que

p(λ)h2 < 4, ∀h > 0,

e, para a particular escolha de n = J/2 existe um autovalor λJ/2, tal que

p(λJ/2)h2 = 4 sin2(Jπh

2L

)= 4 sin2

((L− h)π

2L

)= 4 sin2

(π

2− hπ

2L

)= 4 cos2

(hπ2L

)→ 4, h→ 0,

(3.36)

e, tambem, λJ/2ρ2

(1− κ

bσJ/2(h)

)→ λJ/2ρ2, h→ 0. Assim,

2κL

4− p(λJ/2)h2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 →∞, λJ/2ρ2

(1− κ

bσ(h)

)<∞,

que conclui a prova do lema.

3.3 Perda de Observabilidade das Solucoes

O principal objetivo desta secao e analisar a seguinte versao discreta de 2.34:

Eh(0) 6 Ch(T )

[κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt

],

no sentido de mostrar que a constante Ch(T ) e um limitante nao-uniforme. Para isto, provare-

mos que o teorema seguinte, e uma consequencia imediata do Lema 3.10.

Teorema 3.12 (Perda de observabilidade das solucoes discretas). Para qualquer T > 0, temos

sup(ϕj ,ψj) solucao de 3.1−3.4

Eh(0)

κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j |2dt

→∞, h→ 0.



Prova: Consideremos a solucao do sistema 3.1-3.4 associada ao N -esimo autovalor:

ϕ = ei√λN (h)tuJ , ψ = ei

√λN (h)tvJ , N = J/2, N ∈ Z.

Daı, analisamos o termo consequente da razao acima:

κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt =TκL

2

∣∣∣ uJ,Jh

∣∣∣2 + TλN(h)ρ2h

J∑j=0

|vj|2. (3.37)

Substituindo o primeiro termo do segundo membro da ultima equacao, por aquele do Lema

3.10, escrevemos:

κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt =

T (4− p(λN(h))h2)

4h

J∑j=0

[b∣∣∣ vJ,j+1 − vJ,j

h

∣∣∣2 + κ∣∣∣ uJ,j+1 − uJ,j

h+vJ,j+1 − vJ,j

2

∣∣∣2]

− T (4− p(λN(h))h2)

4λN(h)ρ2

(1− κ

bσ(h)

)+ TλN(h)ρ2h

J∑j=0

|vj|2. (3.38)

Ao considerar ϕ′j = λ(h)uj e ψ′j = λ(h)vj na relacao 3.5, escrevemos

Eh(0) =h

2

J∑j=0

[λN(h)ρ1|uJ,j|2 + λN(h)ρ2|vJ,j|2 + b

∣∣∣ vJ,j+1 − vJ,jh

∣∣∣2+κ∣∣∣ uJ,j+1 − uJ,j

h+vJ,j+1 + vJ,j

2

∣∣∣2],e, combinando com o Lema 3.8, obtemos

Eh(0) = h

J∑j=0

[b∣∣∣ vJ,j+1 − vJ,j

h

∣∣∣2 + κ∣∣∣ uJ,j+1 − uJ,j

h+vJ,j+1 + vJ,j

2

∣∣∣2].


3.4. Observabilidade de Solucoes Filtradas 34

Depois, substituindo Eh(0) obtido da ultima identidade, na equacao 3.38, deduzimos

Eh(0)

κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j |2dt

=

1−

TbL

2

∣∣∣ vJ,Jh

∣∣∣2 + TλN (h)ρ2hJ∑j=0

|vJ,j |2

κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j |2dt

4

T(

4− p(λN (h))h2)

+λN (h)ρ2

κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j |2dt

(1− κ

bσ(h)

). (3.39)

E, ao levar em conta a identidade 3.37, tendo em mente a norma unitaria hJ∑j=0

|vJ,j|2 = 1,

obtemos

Eh(0)

κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j |2dt

=

κL

2

∣∣∣ uJ,Jh

∣∣∣2κL

2

∣∣∣ uJ,Jh

∣∣∣2 + λN (h)ρ2

4

T(

4− p(λN )h2)

+h2λN (h)ρ2

TκL

2|uJ,J |2 + h2TλN (h)ρ2

(1− κ

bσ(h)

).

Finalmente, notando a presenca do termo de blow-up no segundo membro da ultima equacao,

consequentemente, de 3.36, concluımos a prova do teorema.

3.4 Observabilidade de Solucoes Filtradas

O principal objetivo desta secao e provar uma compensacao numerica para a perda de observabi-

lidade encontrada no Teorema 3.12. Isto e, obter uma classe de solucoes numericas observaveis.

Para isto, faremos uma filtragem das solucoes de 3.1-3.4, que significa considerar uma classe

adequada de solucoes de 3.1-3.4 gerada pelos autovetores de baixas frequencias de 3.1-3.4 as-

sociados com os autovalores p(λ(h)), tais que p(λ(h))h2 6 γ. Dado qualquer 0 < γ < 4,



introduzimos a classe de solucoes filtradas do sistema 3.1-3.4, que sera denotada por Gh(γ).

Esta denominacao e devida a tecnica de filtragem utilizada no processo (ver Glowinski [3]).

Isto e,

Gh(γ) :=

ϕh =∑

p(λn(h))<γh−2

[an cos(

√λn(h)t) + bn sin(

√λn(h)t)

]un,

ψh =∑

p(λn(h))<γh−2

[an cos(


√λn(h)t)

]vn

,

onde an, bn ∈ IR, λn(h) = p(λ(h))(ρ1κ

+ ρ2bσ(h)

)−1

e σ(h) =4b

4b− κh2cos2

(θnh2

).

Teorema 3.13. Para todo γ, 0 < γ < 4, existe T (γ) > 2LM(γ) e uma constante positiva

C(T, γ), T > T (γ), tal que e valida a estimativa abaixo, quando h→ 0:

Eh(0) 6 C(T, γ)

[κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJ(t)

h

∣∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|2], (3.40)

qualquer que seja o par de solucao de 3.1-3.3 na classe das solucoes numericas filtradas Gh(γ).Alem disso, as seguintes assercoes sao verdadeiras:

(a) T (γ)↗∞ quando γ ↗ 4, M(γ)↘M quando γ ↘ 0 e T (γ)↘ 2LM quando γ ↘ 0;

(b) C(T, γ)↘ 1

T − 2LMquando γ ↘ 0, eM tomado como em 2.33.

Observacao 3.14. O Teorema 3.13 garante que o esquema semidiscreto 3.1-3.4 e uniforme-

mente observavel quando h → 0, desde que as suas solucoes em altas frequencias sejam filtra-

das, isto e, estejam na classe Gh(γ) dado T suficientemente grande. Para a prova deste teorema,

construiremos um conjunto de resultados atraves da tecnica multiplicativa com multiplicadores

semidiscretos.

Lema 3.15. Para toda solucao (ϕj, ψj) de 3.1-3.3, temos

ρ1hJ∑j=0

|ϕj |2 + ρ2hJ∑j=0

|ψj |2 =b

λ(h)h

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +κ

λ(h)h

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 .Prova: Considerando (ϕj, ψj) = S(t)(uj, vj), segue de maneira imediata do Lema 3.8 .



Corolario 3.16. Para toda solucao (ϕj, ψj) de 3.1-3.3, temos

ρ1hJ∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣∣2 6p(λ(h))

λ(h)bh

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +p(λ(h))

λ(h)κh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 ,(3.41)

em que p(λ(h))λ(h)

=(ρ1κ

+ ρ2bσ(h)

).

Prova: Ao considerar o problema 3.32-3.33, tendo em mente o Lema 2.1 de [8], escrevemos

h

J∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣∣2 = p(λ(h))hJ∑j=0

|uj|2. (3.42)

Consequentemente, vale

hJ∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣∣2 = p(λ(h))hJ∑j=0

|ϕj|2. (3.43)

Finalmente, ao substituir, adequadamente, o termo no segundo membro da ultima equacao,

naquele do Lema 3.15, chegamos no resultado esperado.

Lema 3.17. Para qualquer (ϕj, ψj) solucao de 3.1-3.4, temos

h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

[ϕ′jϕ

′j+1 −

∣∣ϕ′j∣∣2] dt+h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

[ψ′jψ

′j+1 −

∣∣ψ′j∣∣2] dt+

T∫0

Eh(t) dt

+Xϕj(t)∣∣∣T0

+Xψj(t)∣∣∣T0

+ Yψj(t)∣∣∣T06 ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt,em que

Xϕj (t) = ρ1h

J∑j=0

jϕ′j

(ϕj+1 − ϕj−12

);Xψj (t) = ρ2h

J∑j=0

jψ′j

(ψj+1 − ψj−12

);Yψj (t) = ρ2h

J∑j=0

ψ′jψj ,

(3.44)



Observacao 3.18. Notemos a presenca dos termos espurios

(I) :h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

[ϕ′jϕ

′j+1 −

∣∣ϕ′j∣∣2] dt;(II) :

h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

[ψ′jψ

′j+1 −

∣∣ψ′j∣∣2] dt,gerados pela manipulacao algebrica do metodo numerico, que contamina a observabilidade das

solucoes do esquema semidiscreto. Mais adiante, com o Lema 3.22, receberao o tratamento

adequado por via da tecnica de filtragem.

Prova do Lema 3.17: Utilizaremos a tecnica multiplicativa com tres multiplicadores semidis-

cretos, correspondentes aos seus semelhantes no modo contınuo: xϕx, {xψx, ψ}; respectiva-

mente, a primeira e segunda equacoes do esquema semidiscreto. Sempre tendo em mente as

condicoes de contorno 3.3.

Multiplicando a equacao 3.1 por j(ϕj+1 − ϕj−1)/2, somando com j = 1, . . . , J e integrando

em [0, T ], obtemos

ρ1hJ∑j=1

T∫0

jϕ′′j

(ϕj+1 − ϕj−1

2

)dt

= κhJ∑j=1

T∫0

[ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ψj+1 − ψj−1

2h

]jϕj+1 − ϕj−1

2dt. (3.45)

Integramos o primeiro membro da equacao acima:

ρ1hJ∑j=1

jϕ′j

(ϕj+1 − ϕj−1

2

)∣∣∣T0− ρ1h

J∑j=1

T∫0

jϕ′j

(ϕ′j+1 − ϕ′j−1

2

)dt

= Xϕ(t)∣∣∣T0− ρ1h

2

J∑j=1

T∫0

jϕ′jϕ′j+1 dt+

ρ1h

2

J−1∑j=0

T∫0

(j + 1)ϕ′jϕ′j+1 dt,

em que

Xϕj(t) = ρ1h

J∑j=1

jϕ′j

(ϕj+1 − ϕj−1

2

).



Expandindo os dois ultimos somatorios na penultima expressao, temos

Xϕ(t)∣∣∣T0− ρ1h

2

J∑j=0

T∫0

jϕ′jϕ′j+1 dt+

ρ1h

2

J∑j=0

T∫0

(j + 1)ϕ′jϕ′j+1 dt−

ρ1h

2

T∫0

(J + 1)ϕ′Jϕ′J+1 dt,

que resulta

ρ1hJ∑j=1

T∫0

jϕ′′j

(ϕj+1 − ϕj−1

2

)dt = Xϕ(t)

∣∣∣T0

+ρ1h

2

J∑j=0

T∫0

ϕ′jϕ′j+1 dt. (3.46)

Por outro lado, tendo em vista os termos da energia Eh(t), reescrevemos o segundo membro daidentidade 3.45 como

κh

J∑j=1

T∫0

[ϕj+1 − ϕj −

(ϕj − ϕj−1

)h2

+ψj+1 + ψj −

(ψj + ψj−1

)2h

]jϕj+1 − ϕj +

(ϕj − ϕj−1

)2

=κh

2

J∑j=1

T∫0

j∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt− κh

2

J∑j=1

T∫0

j∣∣∣ϕj − ϕj−1

h

∣∣∣2dt+κh

2

J∑j=1

T∫0

jϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt− κh

2

J∑j=1

T∫0

jϕj − ϕj−1

h

ψj + ψj−1

2dt

−κh2

J∑j=1

T∫0

jϕj+1 − ϕj

h

ψj + ψj−1

2dt+

κh

2

J∑j=1

T∫0

jϕj − ϕj−1

h

ψj+1 + ψj2

dt

︸︷︷︸:=κLh(ϕj ,ψj)

=κh

2

J∑j=1

T∫0

j∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt− κh

2

J−1∑j=0

T∫0

(j + 1)∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt+κh

2

J∑j=1

T∫0

jϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt− κh

2

J−1∑j=0

T∫0

(j + 1)ϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt+ κLh(ϕj , ψj).

Em que

κLh(ϕj , ψj) := −κh2

J∑j=1

T∫0

jϕj+1 − ϕj

h

ψj + ψj−12

dt+κh

2

J∑j=1

T∫0

jϕj − ϕj−1

h

ψj+1 + ψj2

dt. (3.47)



Expandindo os somatorios no ultimo resultado, obtemos

κhJ∑j=1

T∫0

[ϕj+1 − ϕj −

(ϕj − ϕj−1

)h2

+ψj+1 + ψj −

(ψj + ψj−1

)2h

]jϕj+1 − ϕj +

(ϕj − ϕj−1

)2

=κh

2

J∑j=0

T∫0

j∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt− κh

2

J∑j=0

T∫0

(j + 1)∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt+κh

2

T∫0

(J + 1)∣∣∣ϕJ+1 − ϕJ

h

∣∣∣2dt+κh

2

J∑j=1

T∫0

jϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt− κh

2

J∑j=0

T∫0

(j + 1)ϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt

+κh

2

T∫0

(J + 1)ϕJ+1 − ϕJ

h

ψJ+1 + ψJ2

dt+ κLh(ϕj , ψj).

Tendo em mente as condicoes de contorno, deduzimos da ultima equacao:

κh

J∑j=1

T∫0

[ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ψj+1 − ψj−1

2h

]jϕj+1 − ϕj−1

2dt

= −κh2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt− κh

2

J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt

−κL2

T∫0

ψJ2

ϕJhdt+ Lh(ϕj , ψj). (3.48)

Combinando os resultados 3.46 e 3.48, reescrevemos 3.45 como:

Xϕ(t)∣∣∣T0

+ρ1h

2

J∑j=0

T∫0

ϕ′jϕ′j+1 dt =

−κh2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt− κh

2

J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt

−κL2

T∫0

ψJ2

ϕJhdt+ κLh(ϕj, ψj). (3.49)



Por outro lado, multiplicando a equacao 3.2 por j(ψj+1 − ψj−1

2

), somando com j = 1, . . . , J

e integrando em[0, T

], obtemos:

ρ2h

J∑j=1

T∫0

jψ′′j

(ψj+1 − ψj−1

2

)dt = h

J∑j=1

T∫0

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h

−κψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]jψj+1 − ψj−1

2dt. (3.50)

Analogamente como realizado para a obtencao de 3.46, obtemos

ρ2h

J∑j=1

T∫0

jψ′′j

(ψj+1 − ψj−1

2

)dt = Xψ(t)

∣∣∣T0

+ρ2h

2

J∑j=0

T∫0

ψ′jψ′j+1 dt (3.51)

em que

Xψ(t) = ρ2hJ∑j=1

jψ′j

(ψj+1 − ψj−1

2

). (3.52)

Enquanto,

h

J∑j=1

T∫0

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h− κψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]jψj+1 − ψj−1

2dt

= −bh2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 dt+bL

2

T∫0

∣∣∣ψJh

∣∣∣2dt+κh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣∣2 dt− κL

2

T∫0

∣∣∣ψJ2

∣∣∣2dt+κh

2

J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt+κL

2

T∫0

ϕJh

ψJ2dt− κLh(ϕ,ψ).

(3.53)



Combinando os resultados 3.51 e 3.53, reescrevemos 3.50 desta forma

Xψ(t)∣∣∣T0

+ρ2h

2

J∑j=0

T∫0

ψ′jψ′j+1 dt = −bh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 dt+( b

2− κh2

8

)L

T∫0

∣∣∣ψJh

∣∣∣2dt+κh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣∣2 dt+κh

2

J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt+κL

2

T∫0

ϕJh

ψJ2dt− κLh(ϕ,ψ).

(3.54)

Somando, correspondentemente, os membros das equacoes 3.49 e 3.54, obtemos

ρ1h

2

J∑j=0

T∫0

ϕ′jϕ′j+1 dt+

ρ2h

2

J∑j=0

T∫0

ψ′jψ′j+1 dt

+Xϕ(t)∣∣∣T0

+ Xψ(t)∣∣∣T0

+κh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2dt+bh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 dt−κh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣∣2 dt =κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+( b

2− κh2

8

)L

T∫0

∣∣∣ψJh

∣∣∣2dt. (3.55)

Por fim, analogamente, ao multiplicar a equacao 3.2 por hψj , somando com j = 1, . . . , J e

integrando em[0, T

], obtemos:

ρ2hJ∑j=1

ψ′jψj

∣∣∣T0− h

J∑j=1

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣2dt= h

J∑j=1

T∫0

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h− κψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]ψj. (3.56)

Do segundo membro da ultima equacao resulta,

−hJ∑j=0

T∫0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt− hJ∑j=0

T∫0

κ∣∣∣ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2dt.(3.57)



Combinando 3.56 e 3.57, obtemos

Yψj(t)∣∣∣T0

+ hJ∑j=0

T∫0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2dt+h

J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt+ hJ∑j=0

T∫0

κ∣∣∣ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2dt = hJ∑j=1

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣2dt,(3.58)

onde

Yψj(t) = ρ2h

J∑j=1

ψ′jψj. (3.59)

Somando, correspondentemente os membros das equacoes 3.55 e 3.58, obtemos

ρ1h

2

J∑j=0

T∫0

ϕ′jϕ′j+1 dt+

ρ2h

2

J∑j=0

T∫0

ψ′jψ′j+1 dt

+Xϕj(t)∣∣∣T0

+ Xψj(t)∣∣∣T0

+ Yψj(t)∣∣∣T0

+ bhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2dt+κh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2dt+bh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 dt+ κhJ∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt

=κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+( b

2− κh2

8

)L

T∫0

∣∣∣ψJh

∣∣∣2dt+ hJ∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣2dt.(3.60)

Finalmente acima, no primeiro membro completando com os termos da energia Eh(t) e, no

segundo membro tomando

( b2− κh2

8

)6 0,

chegamos ao resultado do Lema 3.17.



Lema 3.19 (Equiparticao da Energia). Para qualquer h > 0 e (ϕj, ψj) solucao de 3.1-3.4,

temos

ρ1hJ∑j=0

T∫0

|ϕ′j|2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt

= Yϕ(t)∣∣∣T0

+ Yψ(t)∣∣∣T0

+ h

J∑j=0

T∫0

[b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 + κ

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]dt,

onde Yϕj(t) := ρ1hJ∑j=0

ϕ′jϕj e Yψj(t) := ρ2hJ∑j=0

ψ′jψj .

Prova: Multiplicando a equacao 3.1 por hϕj , somando com j = 1, . . . , J , depois integrando

em [0, T ], obtemos

ρ1hJ∑j=1

T∫0

ϕ′′jϕj dt = hJ∑j=1

T∫0

κ

[ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ψj+1 − ψj−1

2h

]ϕj dt. (3.61)

Tendo em mente as condicoes de contorno, resolvemos inicialmente o primeiro membro da

equacao acima:

ρ1hJ∑j=1

ϕ′jϕj︸︷︷︸:=Yϕj (t)

∣∣∣T0− ρ1h

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j∣∣2dt. (3.62)



Enquanto que, organizando adequadamente os termos no segundo membro, obtemos

hJ∑j=1

T∫0

κ

[ϕj+1 − ϕj − (ϕj − ϕj−1)

h2+ψj+1 + ψj − (ψj + ψj−1)

2h

]ϕj dt

= h

J∑j=1

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h2ϕj dt− h

J−1∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h2ϕj+1 dt

+hJ∑j=1

T∫0

κψj+1 + ψj

2

ϕjhdt− h

J−1∑j=0

T∫0

κψj+1 + ψj

2

ϕj+1

hdt

= −hJ∑j=0

T∫0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 − ψj2

dt. (3.63)

Combinando 3.62 e 3.63, reescrevemos 3.61:

ρ1hJ∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j∣∣2dt = Yϕj(t)∣∣∣T0

+ hJ∑j=0

T∫0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt+ hJ∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 − ψj2

dt.

(3.64)

Analogamente, multiplicando a equacao 3.2 por hψj , integrando em [0, T ] obtemos:

ρ2hJ∑j=1

T∫0

ψ′′jψj dt = bhJ∑j=1

T∫0

ψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2ψj dt

−κhJ∑j=1

T∫0

[ϕj+1 − ϕj−1

2h+ψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]ψj dt. (3.65)

Resolvendo o primeiro membro da equacao acima, temos:

ρ2h

J∑j=0

ψ′jψj︸︷︷︸:=Yψj (t)

∣∣∣T0− ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψj|2dt. (3.66)



Enquanto que, para o segundo membro:

bhJ∑j=1

T∫0

ψj+1 − ψj − (ψj + ψj−1)

h2ψj dt

−κhJ∑j=1

T∫0

[ϕj+1 − ϕj + (ϕj − ϕj−1)

2h+ψj+1 + ψj + (ψj + ψj−1)

4

]ψj dt

= −bhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2dt− κh J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt− κhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2dt.(3.67)


ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψj|2dt = Yψj(t)∣∣∣T0

+ bhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2

+κhJ∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt+ κhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2dt. (3.68)

Finalmente, somando correspondentemente os membros das equacoes 3.64 e 3.68, chegamos

ao resultado esperado.

Corolario 3.20. Para qualquer h > 0 e (ϕj, ψj) solucao de 3.1-3.4, temos

ρ1hJ∑j=0

T∫0

|ϕ′j|2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt = TEh(t) +Yϕ(t)

2

∣∣∣T0

+Yψ(t)

2

∣∣∣T0,

Prova: E imediato, ao compor os termos da energia no Lema 3.19.

Observacao 3.21. O lema seguinte mostra o truncamento realizado adequadamente, por via

do desenvolvimento das solucoes do problema semidiscreto 3.1-3.4, em serie de Fourier. Isto

garante-nos eleger uma classe de solucoes gerada pelos autovetores de baixa frequencia de 3.1-

3.4.



Lema 3.22. Para qualquer h > 0, t compreendido entre 0 6 t < T e (ϕj, ψj) solucao de

3.1-3.4, temos as seguintes estimativas:

hJ∑j=0

|ϕ′j+1 − ϕ′j|2 6 p(Λ)h3

J∑j=0

|ϕ′j|2, hJ∑j=0

|ψ′j+1 − ψ′j|2 6 p(Λ)h3

J∑j=0

|ψ′j|2

em que p(Λ) = p(λJ/2) e um autovalor de entrada no desenvolvimento da serie de Fourier.

Prova: Consideremos as solucoes do problema 3.1-3.4, associadas com os seus respectivos

autovetores:

ϕj(t) =∑

|p(µn)|≤√p(Λ)

aneip(µn)tun,j, ψj(t) =

∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

aneip(µn)tvn,j

com p(µn) =√p(λn) para n > 0, p(µ−n) = −p(µn) e, un,j, vn,j e θn como no teorema 3.2.

Notemos:

ϕ′j(t) =∑

|p(µn)|≤√p(Λ)

anp(µn)ieip(µn)tun,j, ψ′j(t) =

∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

anp(µn)ieip(µn)tvn,j. (3.69)

Daı,

h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 = h

J∑j=0

∣∣∣∣ ∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

anp(µn)ieip(µn)t(un,j+1 − un,j

)∣∣∣∣2

= hJ∑j=0

[ ∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

|an|2|p(µn)|2∣∣∣un,j+1 − un,j

∣∣∣2+

∑|p(µn)|6=|p(µl)|≤

√p(Λ)

analp(µn)p(µl)e(p(µn)+p(µl))t

(un,j+1 − un,j

)(ul,j+1 − ul,j

)].

Da ortogonalidade dos autovetores un e ul, para p(µn) 6= p(µl) temos

∑|p(µn)|6=|p(µl)|≤

√p(Λ)

(un,j+1 − un,j

)(ul,j+1 − ul,j

)= 0.



Portanto,

hJ∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 = h

J∑j=0

∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

|an|2|p(µn)|2∣∣∣un,j+1 − un,j

∣∣∣2

Considerando as condicoes de contorno e a identidade 3.42, temos

hJ∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 = h

J∑j=0

∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

|an|2|p(µn)|2(p(λ)h2|un,j|2

),

onde p(λ) e o autovalor associado ao autovetor un. Daı,

hJ∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 = h

J∑j=0

∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

|an|2|p(µn)|2p(λ)h2|un,j|2.

Agora, tomando p(Λ) suficientemente grande, tal que p(λ) ≤ p(Λ), obtemos

hJ∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 6 p(Λ)h3

J∑j=0

∣∣ϕ′(xj, t)∣∣2.E, como ϕ′(xj, t) ≡ ϕ′j , segue-se

hJ∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣∣2 6 p(Λ)h3

J∑j=0

|ϕ′j|2.

Afirmamos que a desigualdade abaixo e valida:

hJ∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣∣2 6 p(Λ)h3

J∑j=0

|ψ′j|2.

De fato, temos que

J∑j=1

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2 =

J∑j=1

[|ψ′j+1|2 + |ψ′j|2 − 2ψ′jψ

′j+1

],



usando as condicoes de contorno e a desigualdade de Young, obtemos

J∑j=1

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2 6 4

J∑j=1

|ψ′j|2. (3.70)

Suponhamos que

h

J∑j=1

|ψ′j+1 − ψ′j|2 > p(Λ)h3

J∑j=1

|ψ′j|2,

mas p(Λ)h2 → 4, quando h→ 0, entao

limh→0

hJ∑j=1

|ψ′j+1 − ψ′j|2 > limh→0

p(Λ)h2hJ∑j=1

|ψ′j|2 (3.71)

> 4hJ∑j=1

|ψ′j|2, (3.72)

o que contradiz o resultado 3.70.

Lema 3.23. Para qualquer h > 0 , t compreendido entre 0 ≤ t ≤ T e (ϕj, ψj) solucao de

3.1-3.4, temos

|Zϕ(t)| 6

√L2 − p(Λ)h4

16+

3p(Λ)h2

16p(λ)

[ρ1

2h

J∑j=0

|ϕ′j|2 +p(λ)b

2λh

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2

+p(λ)κ

2λh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2], (3.73)

|Zψ(t)| 6

√L2 − p(Λ)h4

16+

3p(Λ)h2b

16λρ2

[ρ2h

2

J∑j=0

|ψ′j|2 +ρ2h

2

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2]

+

√3p(Λ)h2

16λ

[ρ2h

2

J∑j=0

|ψ′j|2 +κh

2

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2]

+ρ2h

2

J∑j=0

|ψ′j|2 +bh

2λ

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +κ

2λh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2. (3.74)



em que

Zϕ(t) = ρ1hJ∑j=1

ϕ′j

[j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

], (3.75)

Zψ(t) = ρ2h

J∑j=1

ψ′j

[j(ψj+1 − ψj−1

2

)+ (1 + η)ψj

]. (3.76)

com η = −p(Λ)h2/8 e λ = p(λ)(ρ1κ

+ ρ2bσ(h)

)−1

.

Notemos, primeiramente, de η = −p(Λ)h2

8, segue-se

|η| = p(Λ)h2

8, (3.77)

e, como p(Λ)h2 < 4, temos ainda

|η| < 1

2. (3.78)

Alem disso, temos

η2 + |η| = |η|2 + |η| = |η|(|η|+ 1

). (3.79)

Nesta ultima identidade, usando adequadamente os resultados 3.77 e 3.78, obtemos

η2 + |η| < 3p(Λ)h2

16. (3.80)

Prova do Lema 3.23:Demonstraremos, primeiramente, a estimativa 3.73.

A partir da identidade 3.75, segue-se

|Zϕ(t)| ≤ ρ1h

J∑j=1

∣∣∣ϕ′j[j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

]∣∣∣. (3.81)

Aplicando a desigualdade de Holder (ver [16]), na desigualdade acima, temos

|Zϕ(t)| ≤ ρ1

(h

J∑j=1

|ϕ′j|2)1/2

(h

J∑j=1

∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣2)1/2

. (3.82)



Vamos avaliar o ultimo termo dentro dos parenteses, na desigualdade anterior 3.82:

hJ∑j=1

∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣2 = hJ∑j=1

[j2

4|ϕj+1 − ϕj−1|2 + η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]

= h

J∑j=1

[j2

4

∣∣∣(ϕj+1 − ϕj) + (ϕj − ϕj−1)∣∣∣2 + η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]

= hJ∑j=1

[j2

4

[|ϕj+1 − ϕj |2 + 2(ϕj+1 − ϕj)(ϕj − ϕj−1) + |ϕj − ϕj−1|2

]+ η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]≤ h

J∑j=1

[j2

4

[2|ϕj+1 − ϕj |2 + 2|ϕj − ϕj−1|2

]+ η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]

= h

J∑j=1

[j2

2|ϕj+1 − ϕj |2 +

j2

2|ϕj − ϕj−1|2

]+ η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]

≤ hJ∑j=0

[j2

2|ϕj+1 − ϕj |2 +

(j + 1)2

2|ϕj+1 − ϕj |2 + η2|ϕj |2 + ηjϕjϕj+1 − η(j + 1)ϕjϕj+1

]

= hJ∑j=0

[j2

2|ϕj+1 − ϕj |2 +

(j + 1)2

2|ϕj+1 − ϕj |2 + η2|ϕj |2 − ηϕjϕj+1

]

= hJ∑j=0

[j2

2|ϕj+1 − ϕj |2 +

(j + 1)2

2|ϕj+1 − ϕj |2 + η2|ϕj |2 + |η||ϕj |2 − |η||ϕj |2 − ηϕjϕj+1

].

Como j2h2 ≤ (j + 1)2h2 ≤ (J + 1)2h2 = L2, temos

h

J∑j=1

∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−12

)+ ηuj

∣∣∣2 ≤ L2h

J∑j=1

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 − |η|h J∑j=1

(|ϕj |2 − ϕjϕj+1) + (η2 + |η|)hJ∑j=1

|ϕj |2,

e devido as condicoes de contorno 3.3, escrevemos

hJ∑j=0

(|ϕj|2 − ϕjϕj+1

)=h

2

J∑j=0

(ϕj+1 − ϕj)2. (3.83)

Daı,

h

J∑j=1

∣∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣∣2 ≤ (L2 − |η|h2

2

)h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 + (η2 + |η|)hJ∑j=1

|ϕj|2.



Aplicando a identidade 3.43, para alguma constante p(λ) > 0, obtemos

hJ∑j=1

∣∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣∣2 ≤ [L2 − |η|h2

2+η2 + |η|p(λ)

]h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2. (3.84)

Combinando as desigualdades 3.82 e 3.84, obtemos

|Zϕ(t)| ≤

√L2 − |η|h

2

2+η2 + |η|p(λ)

ρ1

(h

J∑j=0

|ϕ′j|2)1/2

(h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2)1/2

(3.85)

Aplicando a desigualdade de Young com a =( J∑j=0

|ϕ′j|2)1/2

e b =( J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2)1/2

temos

|Zϕ(t)| 6 1

2

√L2 − |η|h

2

2+η2 + |η|p(λ)

hJ∑j=0

[ρ1|ϕ′j|2 + ρ1

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2]. (3.86)

Combinando o ultimo resultado com o do Corolario 3.16, obtemos

|Zϕ(t)| 6

√L2 − |η|h

2

2+η2 + |η|p(λ)

[ρ1h

2

J∑j=0

|ϕ′j|2 +p(λ)b

2λh

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2

+p(λ)κ

2λh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 ]. (3.87)

E, usando 3.77 e 3.80, chegamos no resultado esperado 3.73. Agora, procedendo analogamente,temos

|Zψ(t)| 6[ρ2h

J∑j=0

|ψ′j |2]1/2[

ρ2hJ∑j=0

∣∣∣j ψj+1 − ψj2

+ ηψj

∣∣∣2]1/2 +[ρ2h

J∑j=0

|ψ′j |2]1/2[

ρ2h

J∑j=0

|ψj |2]1/2

.

(3.88)

E,

ρ2h

J∑j=1

∣∣∣j(ψj+1 − ψj−1

2

)+ ηψj

∣∣∣2 6 ρ2

(L2 − |η|h

2

2

)h

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2+ρ2(η2 + |η|)h

J∑j=0

|ψj|2.



Levando em conta o Lema 3.15 , obtemos

ρ2hJ∑j=0

∣∣∣jψj+1 − ψj2

+ ηψj

∣∣∣2 6 (L2 − |η|h2

2+

(η2 + |η|)bλρ2

)ρ2h

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2+

(η2 + |η|)κλ

h

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 . (3.89)

Combinando este ultimo resultado com 3.88, obtemos

|Zψ(t)| 6

√L2 − |η|h

2

2+

(η2 + |η|)bλρ2

[ρ2h

J∑j=0

|ψ′j|2]1/2[

ρ2h

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2]1/2

+

√η2 + |η|

λ

[ρ2h

J∑j=0

|ψ′j|2]1/2[κh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 ]1/2

+[ρ2h

J∑j=0

|ψ′j|2]1/2[

ρ2hJ∑j=0

|ψj|2]1/2

. (3.90)

Usando novamente o Lema 3.15, 3.77 e 3.80, chegamos ao resultado 3.74. O que conclui a

prova do Lema 3.23.

Prova do Teorema 3.13: Tendo em mente as condicoes de contorno 3.3, observamos que

h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

[ϕ′jϕ

′j+1 −

∣∣ϕ′j∣∣2] dt = −ρ1

4h

J∑j=0

T∫0

|ϕ′j+1 − ϕ′j|2 dt,

h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

[ψ′jψ

′j+1 −

∣∣ψ′j∣∣2] dt = −ρ2

4h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j+1 − ψ′j|2 dt.

Assim, podemos escrever o Lema 3.17 como:

T∫0

Eh(t) dt−ρ1

4h

J∑j=0

T∫0

|ϕ′j+1 − ϕ′j|2dt−ρ2

4h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j+1 − ψ′j|2dt

+Xϕ(t)∣∣∣T0

+ Xψ(t)∣∣∣T0

+ Yψ(t)∣∣∣T06 ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt. (3.91)



Usando o Lema 3.22, em seguida o Corolario 3.20 na ultima desigualdade, obtemos

T∫0

Eh(t)dt−p(Λ)h2

4TEh(t) + Zϕj(t)

∣∣∣T0

+ Zψj(t)∣∣∣T06 ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt.em que

Zϕj(t) = Xϕj(t)−p(Λ)h2

8Yϕj(t) e Zψj(t) = Xψj(t)−

p(Λ)h2

8Yψj(t) + Yψj(t).

Ao considerar

H(γ) := max

{γ

p(λ(h)),

γb

λ(h)ρ2

}, γ = p(Λ)h2, (3.92)

tendo em mente os lemas 3.1 e 3.23, obtemos

T(

1− γ

4

)Eh(0)− 2

√L2 − γh2

16+

3

16H(γ)

[ρ1h

2

J∑j=0

|ϕ′j|2 + A(γ)ρ2h

2

J∑j=0

|ψ′j|2

+B(γ)bh

2

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 + C(γ)κh

2

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]

6 ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j|2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt,em que

A(γ) := 1 +

√3γ16λ√

L2 − γh2

16+ 3

16H(γ)

+1√

L2 − γh2

16+ 3

16H(γ)

,

B(γ) :=ρ2

b+p(λ)

λ+

1

λ√L2 − γh2

16+ 3

16H(γ)

,

C(γ) :=p(λ)

λ+

√3γ16λ√

L2 − γh2

16+ 3

16H(γ)

+1

λ√L2 − γh2

16+ 3

16H(γ)

.



EscolhendoM(γ) = max{1, A(γ), B(γ), C(γ)}, encontramos a desigualdade de observabili-

dade uniforme:

Eh(0) 6 C(T, γ)

[κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψj|2dt],

onde a constante C(T, γ) e dada por

C(T, γ) =1

T (1− γ/4)− 2M(γ)√L2 − γ

16h2 + 3

16H(γ)

.

Notemos que C(T, γ) > 0, desde que

T > T (γ) =2M(γ)

√L2 − γ

16h2 + 3

16H(γ)

1− γ/4,

o que nos permite verificar as assercoes (a) e (b), provando assim o teorema 3.13.


CAPITULO 4

Semidiscretizacao em Elementos Finitos

Neste capıtulo, provaremos uma desigualdade de observabilidade numerica dentro da dinamica

semidiscreta em elementos finitos. Ressaltamos que, consideraremos um estencil de elementos

finitos como ponto de partida, sem mencionarmos os pormenores do metodo. De forma abstrata,

como o objetivo e identico ao caso em diferencas finitas, seguiremos o mesmo roteiro utilizado

no capıtulo 3.


Vamos considerar um estencil do esquema semidiscreto em Elementos Finitos aplicada ao sis-tema 2.1-2.4. Em que J e um inteiro nao-negativo e h = L/(J+1) uma subdivisao do intervalo(0, L) dada por 0 = x0 < x1 < . . . < xJ < xJ+1 = L, com xj = jh cada no da malha. Assu-mimos a seguinte semidiscretizacao espacial nao-usual1 associada a 2.1-2.2:

ρ1ϕ′′j+1 + 4ϕ′′j + ϕ′′j−1

6− κϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2− κψj+1 − ψj−1

2h= 0, (4.1)

j = 1, . . . , J, 0 < t < T ;

ρ2ψ′′j+1 + 4ψ′′j + ψ′′j−1

6− bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2+ κ

ϕj+1 − ϕj−12h

+ κψj+1 + 2ψj + ψj−1

4= 0, (4.2)

j = 1, . . . , J, 0 < t < T ;

1A justificativa para esta abordagem e a mesma usada no caso semidiscreto em diferencas finitas no capıtulo 3.

55


com condicoes de fronteira do tipo Dirichlet mais condicoes iniciais:

ϕ0(t) = ϕJ+1(t) = 0; ψ0(t) = ψJ+1(t) = 0, 0 < t < T ; (4.3)

ϕj(0) = ϕ0j , ϕ

′j(0) = ϕ1

j , ψj(0) = ψ0j , ψ

′j(0) = ψ1

j , j = 0, . . . , J + 1. (4.4)

Consideramos ϕj = ϕj(t) e ψj = ψj(t) como os valores aproximados de ϕ(xj, t) e ψj(xj, t),

respectivamente. A energia do sistema 4.1-4.4, abaixo

Fh(t) :=h

2

J∑j=0

[ρ1

3|ϕ′j|2 +

ρ1

6|ϕ′j+1 + ϕ′j|2 +

ρ2

3|ψ′j|2 +

ρ2

6|ψ′j+1 + ψ′j|2 + b

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2+ κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2], (4.5)

e uma semidiscretizacao da energia E(t) no modo contınuo. Notemos que Fh(t) e livre de

sobrestimacao e, obedece a propriedade de conservacao da energia como veremos no lema

seguinte.

Lema 4.1. Para qualquer h > 0 e (ϕj, ψj) solucao de 4.1-4.4, a energia e dada como em 4.5

e, satisfaz a relacao:

Fh(t) = Fh(0), ∀t ∈ [0, T ]. (4.6)

Prova: Vamos multiplicar a equacao 4.1 por hϕ′j e somar com j = 1, . . . , J :

ρ1hJ∑j=1

ϕ′′j+1 + 4ϕ′′j + ϕ′′j−1

6ϕ′j =

[κh

J∑j=1

ϕj+1 − 2ϕj − ϕj−1

h2+ κh

J∑j=1

ψj+1 − ψj−1

2h

]ϕ′j . (4.7)

Notando que:

ρ1h

J∑j=1

ϕ′′j+1 + 4ϕ′′j + ϕ′′j−1

6ϕ′j =

2ρ1

6h

J∑j=1

ϕ′′jϕ′j + ρ1h

J∑j=1

ϕ′′j+1 + 2ϕ′′j + ϕ′′j−1

6ϕ′j


Capıtulo 4. Semidiscretizacao em Elementos Finitos 57

e, tendo em mente a condicao de contorno 4.3, segue-se:

2ρ1

6h

J∑j=1

ϕ′′jϕ′j + ρ1h

J∑j=1

ϕ′′j+1 + 2ϕ′′j + ϕ′′j−1

6ϕ′j

=d

dth

J∑j=0

ρ1

6|ϕ′j|2 + ρ1h

J∑j=1

(ϕ′′j+1 + ϕ′′j )ϕ′j + (ϕ′′j + ϕ′′j−1)ϕ′j

6

=d

dth

J∑j=0

ρ1

6|ϕ′j|2 + ρ1h

J∑j=0

(ϕ′′j+1 + ϕ′′j )(ϕ′j+1 + ϕ′j)

6

=d

dth

J∑j=0

ρ1

6|ϕ′j|2 +

d

dth

J∑j=0

ρ1

12|ϕ′j+1 + ϕ′j|2. (4.8)

Enquanto que, para o segundo membro de 4.7, segue o mesmo resultado de 3.7:

d

dth

J∑j=0

κ

2

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

ψj+1 + ψj2


. (4.9)

Assim, combinando 4.8 e 4.9 em 4.7, obtemos:

d

dth

J∑j=0

[ρ1

6|ϕ′j |2 +

ρ1

12|ϕ′j+1 + ϕ′j |2

]=

d

dt

J∑j=0

κ

2

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

ψj+1 + ψj2


.

(4.10)

Por outro lado, vamos multiplicar a equacao 4.2 por hψ′j e somar com j = 1, . . . , J :

ρ2h

J∑j=1

ψ′′j+1 + 4ψ′′j + ψ′′j−1

6ψ′j =

[bh

J∑j=1

ψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κh

J∑j=1

ϕj+1 − ϕj−1

2h− κh

J∑j=1

ψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]ψ′j. (4.11)

Analogamente, como para a obtencao de 4.10, encontramos:

ρ2hJ∑j=1

ψ′′j+1 + 4ψ′′j + ψ′′j−1

6ψ′j =

d

dth

J∑j=0

ρ2

6|ψ′j|2 +

d

dth

J∑j=0

ρ2

12|ψ′j+1 + ψ′j|2, (4.12)



e,

[bh

J∑j=1

ψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κh

J∑j=1

ϕj+1 − ϕj−1

2h− κh

J∑j=1

ψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]ψ′j

=d

dth

J∑j=0

[b

2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +κ

2

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2]+ κhJ∑j=0

ϕj+1 − ϕjh

ψ′j+1 + ψ′j2

. (4.13)

Assim, combinando 4.12 e 4.13, encontramos:

d

dth

J∑j=0

ρ2

6|ψ′j|2 +

d

dth

J∑j=0

ρ2

12|ψ′j+1 + ψ′j|2 =

d

dth

J∑j=0

[b

2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +κ

2

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2]+ κhJ∑j=0

ϕj+1 − ϕjh

ψ′j+1 + ψ′j2

. (4.14)

Finalmente, somando correspondentemente os membros das equacoes 4.10 e 4.14, chegamos a:

d

dth

J∑j=0

[ρ1

6|ϕ′j|2 +

ρ1

12|ϕ′j+1 + ϕ′j|2 +

ρ2

6|ψ′j|2 +

ρ2

12|ψ′j+1 + ψ′j|2 +

b

2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2+κ

2

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2] = 0.

Tendo em mente 4.5, deduzimos

d

dtFh(t) = 0, (4.15)

de onde segue que Fh(t) = Fh(0), ∀t ∈ [0, T ]. Mostrando que o sistema 4.1-4.4 e conservativo,

em concordancia com a mesma propriedade observada em 2.6 no aspecto contınuo .


Novamente, em comparacao com o caso contınuo, esta abordagem se faz necessaria pelos mo-

tivos que expomos para o esquema numerico diferencas finitas no capıtulo anterior.



Lema 4.2 (Problema de autovalor). Consideremos o problema de autovalor semidiscreto asso-ciado a 4.16-4.18:

ρ1λuj+1 + 4uj + uj−1

6+ κ

uj+1 − 2uj + uj−1

h2+ κ

vj+1 − vj−1

2h= 0, (4.16)

j = 1, . . . , J,

ρ2λvj+1 + 4vj + vj−1

6+ b

vj+1 − 2vj + vj−1

h2− κuj+1 − uj−1

2h− κvj+1 + 2vj + vj−1

4= 0, (4.17)

j = 1, . . . , J,

u0 = uJ+1 = 0; v0 = vJ+1 = 0. (4.18)

Em que, denotemos por λ1(h), λ2(h), . . . , λJ(h), os J autovalores associados aos autovetores

uj e vj . Existe solucao nao-trivial para o problema 4.16-4.18 da forma

(un,j, vn,j) =(An sin(θnxj), Bn

(1− cos(θnxj)

)), (4.19)

se, e somente se,

κ

ρ1

σ(h) +b

ρ2

=b

ρ1

4

h2sin2

(θnh2

), σ(h) =

4b cos2( θnh2

)

4b− κh2, h2 6= 4b/κ. (4.20)

para quaisquer que sejam as constantes An, Bn ∈ IR∗ e n ∈ N, com

Bn/An =κh sin

(θnh)(

4b− κh2)

sin2(θnh/2

) e θn =2nπ

L,

Prova: Analoga a prova desenvolvida no Teorema 3.2, Capıtulo 3.

(⇒) A partir das autofuncoes un,j = An sin(θnxj) e vn,j = Bn

[1− cos(θnxj)

], encontramos:

uj+1 + 4uj + uj−1

6= An sin(θnxj)

[2 + cos(θnh)

3

]; (4.21)

vj+1 + 4vj + vj+1

6= Bn −Bn cos(θnxj)

[2 + cos(θnh)

3

]. (4.22)

Usando adequadamente as formulas 4.21-4.22, na equacao 4.16, obtemos:

ρ1λn(h)

[2 + cos(θnh)

3

]uj +

2κ

h2

[cos(θnh)− 1

]uj +

κBn

Anhsin(θnh)uj = 0,



com uj 6= 0,∀j = 1, . . . , J . Daı, deduzimos:

λn(h) =

[κ

ρ1

4

h2sin2

(θnh2

)− κ

ρ1

Bn

Anhsin(θnh)

][2 + cos(θnh)

3

]−1

. (4.23)

Novamente, aplicando 4.21-4.22 na equacao 4.17, chegamos a

(λρ2 − κ

)Bn +

[κBn − λρ2Bn

(2 + cos(θnh)

3

)]cos(θnxj)

+

{(2b

h2− κ

2

)Bn

[1− cos(θnh)

]− κAn

hsin(θnh)

}cos(θnxj) = 0, (4.24)

com cos(θnxj) 6= 0, ∀j = 1, . . . , J . Assumindo os coeficientes iguais a zero, segue-se:

λn(h) =κ

ρ2

; (4.25)

λn(h) =κ

ρ2

[2 + cos(θnh)

3

]−1

; (4.26)

Bn/An =κh sin

(θnh)(

4b− κh2)

sin2(θnh/2

) → κ

bθ−1n , h→ 0,∀n. (4.27)

Observando que, as autofuncoes sao associadas com os mesmos autovalores, combinamos 4.23

e 4.26, em seguida com 4.27:

b

ρ2

+κ

ρ1

σ(h) =b

ρ1

4

h2sin2

(θnh2

),

em que

σ(h) =4b cos2( θnh

2)

4b− κh2→ 1, h→ 0.

(⇐) Analogamente a prova de “(⇐)” no lema 3.2. Com isto conclui-se a prova do lema 4.2.

Observacao 4.3 (Autovalor discretizado). Tendo em mente a observacao 3.4, ao combinar as

relacoes 4.23 e 4.27, em seguida com 4.26, encontramos a seguinte formula para os autovalores:

λn(h) =4

h2sin2

(θnh2

)(ρ1

κ+ρ2

bσ(h)

)−1(

2 + cos(θnh)

3

)−1

, θn =2nπ

L(4.28)



em conformidade com o caso contınuo 2.23. Isto e,

λn(h)→ λn, h→ 0.

Teorema 4.4 (Solucao em Serie de Fourier). A solucao(ϕ(xj, t), ψ(xj, t)

)do sistema 4.1-4.4

e dada em serie de Fourier por

ϕ(xj, t) =∞∑n=1

[an cos(


√λn(h)t)

]unj ,

ψ(xj, t) =∞∑n=1

[an cos(


√λn(h)t)

]vnj ,

em que os autovalores sao dados por

λn(h) =4

h2sin2

(θnh2

)(ρ1

κ+ρ2

bσ(h)

)−1(2 + cos(θnh)

3

)−1

, com σ(h) =4b cos2( θnh

2)

4b− κh2;

an, bn sao os coeficientes de Fourier; un =(un,1, . . . , un,J

), vn =

(vn,1, . . . , vn,J

)sao os

autovetores associados a λn(h).

Prova: Procuramos solucoes do problema semidiscreto da forma:

ϕj(t) = Q(t)uj, ψj(t) = Q(t)vj, ∀t > 0, ∀j = 1, 2, . . . , J,

em vista disso, obtemos

Q′′(t)

Q(t)=[κuj+1 − 2uj + uj−1

h2+ κ

vj+1 − vj−1

2h

] 6

ρ1(uj+1 + 4uj + uj−1)= −λ(h),

Q′′(t)

Q(t)=[bvj+1 − 2vj + vj−1

h2− κuj+1 − uj−1

2h− κvj+1 + 2vj + vj−1

4

] 6

ρ2(vj+1 + 4vj + vj−1)= −λ(h),

em que, para solucao nao-trivial devemos ter λ(h) > 0. Desta abordagem, tiramos as duas

assercoes que servem de base para o nosso trabalho. A primeira e a E.D.O.:

Q′′(t) + λ(h)Q(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ], (4.29)



cuja solucao geral e da forma

Qn(t) = an sin(√λn(h)t) + bn cos(

√λn(h)t), n = 1, . . . , J, ∀t > 0, (4.30)

onde an e bn sao os coeficientes de Fourier. E a segunda, e o problema de autovalor 4.16-4.18,

cuja solucao ja provamos no lema 4.2. Com isto, conclumos a demonstrac ao do teorema 4.4.

Observacao 4.5. Para simplificar a escrita usaremos para o autovalor a notacao λ em vez de

λn(h).

Lema 4.6. Para qualquer solucao (uj, vj) do problema de autovalor 4.16-4.18, vale a identi-

dade:

bhJ∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣2 =

hJ∑j=0

λρ1

3|uj|2 + h

J∑j=0

λρ1

6|uj+1 + uj|2 + h

J∑j=0

λρ2

3|vj|2 + h

J∑j=0

λρ2

6|vj+1 + vj|2

Prova: Multiplicando a equacao 4.16 por huj e somando com j = 1, . . . , J , obtemos:

λρ1hJ∑j=1

uj+1 + 4uj + uj−1

6uj =

[− κh

J∑j=1

uj+1 − 2uj + uj−1

h2− κh

J∑j=1

vj+1 − vj−1

2h

]uj

(4.31)

Fazendo calculos analogos aos realizados para provar o Lema 4.1, encontramos

λρ1hJ∑j=1

uj+1 + 4uj + uj−1

6uj = h

J∑j=0

λρ1

3|uj|2 + h

J∑j=0

λρ1

6|uj+1 + uj|2 (4.32)

e

[− κh

J∑j=1

uj+1 − 2uj + uj−1

h2− κh

J∑j=1

vj+1 − vj−1

2h

]uj = κh

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2+κh

J∑j=0

vj+1 + vj2

uj+1 − ujh

(4.33)



Usando os resultados 4.32 e 4.33, reescrevemos 4.31 como

hJ∑j=0

λρ1

3|uj|2 + h

J∑j=0

λρ1

6|uj+1 + uj|2 = κh

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + κh

J∑j=0

vj+1 + vj2

uj+1 − ujh

(4.34)

Por outro lado, multiplicando a equacao 4.17 por hvj , e somando com j = 1, . . . , J , obtemos:

λρ2h

J∑j=1

vj+1 + 4vj + vj−1

6vj =

[− bh

J∑j=1

vj+1 − 2vj + vj−1

h2+ κh

J∑j=1

uj+1 − uj−1

2h+ κh

J∑j=1

vj+1 + 2vj + vj−1

4

]vj.

E, de forma analoga com os calculos feitos na obtencao de 4.34, encontramos

hJ∑j=0

λρ2

3|vj|2 + h

J∑j=0

λρ2

6|vj+1 + vj|2 = bh

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣ vj+1 + vj2

∣∣∣2+κh

J∑j=0

uj+1 − ujh

vj+1 + vj2

(4.35)

Finalmente, somando correspondente os membros das equacoes 4.34 e 4.35, chegamos no re-

sultado esperado.

Lema 4.7 (Blow-up). Para qualquer solucao (uj, vj) do problema de autovalor 4.16-4.18, vale

bhJ∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 = κL

[6 + q(λ)h2

12− q(λ)h2

]∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + τ(h),

em que

τ(h) = hJ∑j=0

λρ2

3|vj|2 + h

J∑j=0

λρ2

6|vj+1 + vj|2

−κBn sin(θnh)

Anh

[3

2 + cos(θnh)

][h

J∑j=0

|uj|2

3+ h

J∑j=0

|uj + uj+1|2

6

]. (4.36)




bhJ∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 → +∞, quando q(λJ/2)h→ 0.

Prova. Aproveitando, e substituindo o termo sin(θnxj) da formula 3.18 do capıtulo anterior,

por aquele de 4.21, obtemos:

κvj+1 − vj−1

2h=κBn sin(θnh)

Anh

[3

cos(θnh) + 2

]uj+1 + 4uj + uj−1

6, (4.37)

em seguida, combinamos com a equacao 4.16:[ρ1λ

κ+Bn sin(θnh)

Anh

3

2 + cos(θnh)

]uj+1 + 4uj + uj−1

6= − uj+1 − 2uj + uj−1

h2. (4.38)

Definindo q(λ) como

q(λ) :=ρ1λ

κ+Bn sin(θnh)

Anh

(3

2 + cos(θnh)

), (4.39)

reescrevemos o problema 4.38 da forma

− uj+1 − 2uj + uj−1

h2= q(λ)

uj+1 + 4uj + uj−1

6, (4.40)

u0 = uJ+1 = 0. (4.41)

Novamente, temos uma reformulacao do problema de autovalor da equacao de onda tratado por

Infante e Zuazua em [8].

De 4.39, obtemos o seguinte:

q(λ)

[2 + cos(θnh)

3

]=λρ1

κ

[2 + cos(θnh)

3

]+Bn sin(θnh)

Anh4.23=

4

h2sin2

(θnh2

). (4.42)

Multiplicando a equacao 4.40 por huj e somando com j = 1, . . . , J ,

q(λ)hJ∑j=1

uj+1 + 4uj + uj−1

6uj = −h

J∑j=1

uj+1 − 2uj + uj−1

h2uj, (4.43)



resulta

h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 = q(λ)hJ∑j=0

[|uj|2

3+|uj+1 + uj|2

6

]=q(λ)

3h

J∑j=0

[2|uj|2 + ujuj+1

].

(4.44)

Notemos, atraves de completamento de quadrados:

h

J∑j=0

[2|uj|2 + ujuj+1

]= h

J∑j=0

[|uj+1|2 + |uj|2 − 2ujuj+1 + 3ujuj+1

]= h

J∑j=0

[|uj+1 − uj|2 + 3ujuj+1

]=

3

2h

J∑j=0

[2

3|uj+1 − uj|2 + 2ujuj+1 − 2|uj|2 + 2|uj|2

]=

3

2h

J∑j=0

[2

3|uj+1 − uj|2 − |uj+1 − uj|2 + 2|uj|2

]=

3

2h

J∑j=0

[− 1

3|uj+1 − uj|2 + 2|uj|2

]= −h

2

J∑j=0

|uj+1 − uj|2 + 3hJ∑j=0

|uj|2

Combinando este ultimo resultado com a identidade 4.44, obtemos

hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 =6q(λ)

6 + q(λ)h2h

J∑j=0

|uj|2.

Tomamos r(λn(h)) =6q(λ)

6 + q(λ)h2. De acordo com o Lema 1.1 de [6], obtemos:

hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 =2L

4− rh2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2.E, como

2L

4− rh2=

2L

4− 6q(λ)h2

6+q(λ)h2

=6 + q(λ)h2

12− q(λ)h2L,



seque que,

hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 =6 + q(λ)h2

12− q(λ)h2L∣∣∣ uJh

∣∣∣2. (4.45)

E, desenvolvendo o termo quadratico no primeiro membro da equacao acima, tendo em mente

a norma hJ∑j=0

|uj|2 = 1, tiramos que

hJ∑j=0

ujuj+1 = 1− h2 6 + q(λ)h2

12− q(λ)h2

L

2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2. (4.46)

Notemos ainda, combinando 4.44 e 4.45:

q(λ)hJ∑j=0

[|uj|2

3+|uj+1 + uj|2

6

]=

6 + q(λ)h2

12− q(λ)h2L∣∣∣ uJh

∣∣∣2. (4.47)

Observando a identidade em 4.42, temos que

λρ1

[2 + cos(θnh)

3

]=

4κ

h2sin2

(θnh2

)− κBn sin(θnh)

Anh,

λρ1

[2 + cos(θnh)

3

]= κq(λ)

[2 + cos(θnh)

3

]− κBn sin(θnh)

Anh,

λρ1 = κq(λ)− κBn sin(θnh)

Anh

[3

2 + cos(θnh)

], (4.48)

Do Lema 4.6, usando 4.48 obtemos

bhJ∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + κh

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + v

2

∣∣∣2 =

κ

[h

J∑j=0

q(λ)

3|uj|2 + h

J∑j=0

q(λ)

6|uj+1 + uj|2

]+ h

J∑j=0

λρ2

3|vj|2 + h

J∑j=0

λρ2

6|vj+1 + vj|2

−κBn sin(θnh)

Anh

[3

2 + cos(θnh)

][h

J∑j=0

|uj|2

3+ h

J∑j=0

|uj + uj+1|2

6

],



em seguida, usando a identidade 4.47, encontramos:

bhJ∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + v

2

∣∣∣2 = κL6 + q(λ)h2

12− q(λ)h2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + τ(h),

em que

τ(h) = h

J∑j=0

λρ2|vj |2

3+ h

J∑j=0

λρ2|vj+1 + vj |2

6− κBn sin(θnh)

Anh

[3

2 + cos(θnh)

][h

J∑j=0

|uj |2

3+ h

J∑j=0

|uj + uj+1|2

6

].

Tendo em vista a convergencia Bn/An em 4.27, obtemos:

κBn sin(θnh)

Anh

3

2 + cos(θnh)→ κ2/b, h→ 0 ∀n,

mostrando que τ(h) < ∞. O que prova a primeira parte do lema. Em seguida, para provar asegunda parte, notemos de 4.42 que

q(λ)h2 =3

2 + cos(θnh)4 sin2

(θnh2

)< 12, ∀h > 0,

e, para a particular escolha de n = J/2 existe um autovalor λJ/2, tal que

2 + cos(θnh)

3q(λJ/2)h2 = 4 sin2

(Jπh2L

)= 4 sin2

((L− h)π

2L

)= 4 sin2

(π

2− hπ

2L

),

de onde observamos:

q(λJ/2)h2 =3

2 + cos(θJ/2h)︸︷︷︸↘−1

4 cos2(hπ

2L

)→ 12, h→ 0. (4.49)

Em virtude de 4.49, segue que,

bhJ∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + κh

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + v

2

∣∣∣2 →∞.E, concluımos a prova do lema.




Teorema 4.8. Para qualquer T > 0, e qualquer solucao (ϕj, ψj) de 4.1-4.4, o supremo doquociente

Fh(0)

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ (t)

h

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕJ (t)∣∣2

6

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψJ (t)∣∣2

6dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt

→∞ quando h→ 0.

Consideremos a solucao de 4.1-4.4 associada ao N -esimo autovalor:

ϕ = ei√λN tuJ , ψ = ei

√λN tvJ , N = J/2, i2 = −1. (4.50)

Daı, podemos escrever:

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ(t)

h

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕJ(t)∣∣2

6

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψJ(t)∣∣2

6dt

+ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt =TLκ

2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 +Tρ1Lh

2

12

∣∣∣ uJh

∣∣∣2

+TLb

2

∣∣∣ vJh

∣∣∣2 +TLρ2

12

∣∣vJ ∣∣2 + Tλρ2h

J∑j=0

T∫0

[∣∣vj∣∣23

+

∣∣vj + vj+1

∣∣26

]dt. (4.51)

Usando o Lema 4.7, na ultima identidade, segue-se

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ(t)

h

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕJ(t)∣∣2

6

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψJ(t)∣∣2

6dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt =

(TLκ2

+Tρ1Lh

2

12

)[bh

J∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κh

J∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 ] 12− q(λ)h2

κL(

6 + q(λ)h2)

−τ(h)(TLκ

2+Tρ1Lh

2

12

)+TLb

2

∣∣∣ vJh

∣∣∣2 +TLρ2

12

∣∣vJ ∣∣2 + Tλρ2h

J∑j=0

T∫0

[∣∣vj∣∣23

+

∣∣vj + vj+1

∣∣26

]dt,



em seguida, o Lema 4.6:

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ(t)

h

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕJ(t)∣∣2

6

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψJ(t)∣∣2

6dt

+ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt =(TLκ

2+Tρ1Lh

2

12

) 12− q(λ)h2

κL(

6 + q(λ)h2)Fh(0)

−τ(h)(TLκ

2+Tρ1Lh

2

12

)+TLb

2

∣∣∣ vJh

∣∣∣2 +TLρ2

12

∣∣vJ ∣∣2 + Tλρ2hJ∑j=0

T∫0

[∣∣vj∣∣23

+

∣∣vj + vj+1

∣∣26

]dt,

obtemos,

Fh(0)

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ (t)

h

∣∣∣2 +ρ1

6

∣∣ϕJ (t)∣∣2]dt+

L

2

T∫0

ρ2

6

∣∣ψJ (t)∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt=

1−

TLb

2

∣∣∣ vJh

∣∣∣2 +TLρ2

12

∣∣vJ ∣∣2 + Tλρ2h

J∑j=0

T∫0

[ ∣∣vj∣∣23

+

∣∣vj + vj+1

∣∣26

]dt

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ (t)

h

∣∣∣2 +ρ1

6

∣∣ϕJ (t)∣∣2]dt+

L

2

T∫0

ρ2

6

∣∣ψJ (t)∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt

×κL(6 + q(λ)h2)

12− q(λ)h212(

6TκL+ Tρ1Lh2)

+

τ(h)

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ (t)

h

∣∣∣2 +ρ1

6

∣∣ϕJ (t)∣∣2]dt+

L

2

T∫0

ρ2

6

∣∣ψJ (t)∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt

×κL(6 + q(λ)h2)

12− q(λ)h2

Ou melhor, usando 4.51:

Fh(0)

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ (t)

h

∣∣∣2 +ρ1

6

∣∣ϕJ (t)∣∣2]dt+

L

2

T∫0

ρ2

6

∣∣ψJ (t)∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt=


4.4. Observabilidade das Solucoes Filtradas 70

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + τ(h)

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJ (t)

h

∣∣∣2 +ρ1

6

∣∣ϕJ (t)∣∣2]dt+

L

2

T∫0

ρ2

6

∣∣ψJ (t)∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|23

+

∣∣ψ′j(t) + ψ′j+1(t)∣∣∣2

6

dt

×κL(6 + q(λ)h2)

12− q(λ)h2.

Em virtude da convergencia em 4.49, segue a prova do Teorema 4.8.

4.4 Observabilidade das Solucoes Filtradas

Comparativamente com a secao 3.4, do capıtulo 3, o principal objetivo desta secao e provar uma

compensacao numerica por via de elementos finitos, para a perda de observabilidade apresen-

tada no Teorema 4.8, dentro de uma classe de solucoes numericas observaveis. Abordaremos,

novamente, a tecnica de filtragem, em que elegeremos uma classe adequada de solucoes de

4.1-4.4 gerada pelos autovetores de baixas frequencias de 4.1-4.4 associados com os autovalo-

res q(λ(h)), tais que q(λ(h))h2 6 γ. Dado qualquer 0 < γ < 12, introduzimos a classe de

solucoes filtradas do sistema 4.1-4.4, que sera denotada por Fh(γ):

Fh(γ) :=

ϕh =∑

q(λn(h))<γh−2

[an cos(


√λn(h)t)

]un,

ψh =∑

q(λn(h))<γh−2

[an cos(


√λn(h)t)

]vn

,

em que an, bn ∈ IR, λn(h) = q(λ(h))(ρ1κ

+ ρ2bσ(h)

)−1

e σ(h) =4b

4b− κh2cos2

(θnh2

).

Teorema 4.9. Para todo γ, 0 < γ < 12, existe T (γ) > 2LM(γ) e uma constante positivaC(T, γ), T > T (γ) tal que e valida a estimativa abaixo, quando h→ 0:

Fh(0) 6 C(T, γ)

[L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣26

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψ′J ∣∣26

]dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]dt

],



para qualquer solucao de 4.1-4.4 na classe Fh(γ) de solucoes numericas filtradas. Alem disso,

as seguintes assercoes sao verdadeiras:

(a) T (γ) ↗ ∞ quando γ ↗ 12; M(γ) ↘ M quando γ ↘ 0 e T (γ) ↘ 2LM quando

γ ↘ 0;

(b) C(T, γ)↘ 1

T − 2LMquando γ ↘ 0, eM e tomado em 2.33.


h

J∑j=0

ρ1|ϕj|2

3+ h

J∑j=0

ρ1|ϕj+1 + ϕj|2

6+ h

J∑j=0

ρ2|ψj|2

3+ h

J∑j=0

ρ2|ψj+1 + ψj|2

6=

b

λh

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +κ

λh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2

Prova: Segue imediatamente do Lema 4.6 e a solucao da forma (ϕj, ψj) = S(t)(uj, vj).

Corolario 4.11. Para qualquer solucao de 4.1-4.4, h > 0, temos

ρ1hJ∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 6 q(λ)b

λh

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +q(λ)κ

λh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2.Prova: De 4.44, temos

h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 = q(λ)hJ∑j=0

[∣∣uj∣∣23

+

∣∣uj + uj+1

∣∣26

].

Consequentemente,

h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 = q(λ)hJ∑j=0

[∣∣ϕj∣∣23

+

∣∣ϕj + ϕj+1

∣∣26

]. (4.52)

Daı, combinando com o Lema 4.10, chegamos ao resultado

ρ1hJ∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 6 q(λ)b

λh

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +q(λ)κ

λh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2,Ribeiro, L. M. PDM - UFPA


o que prova o Corolario 4.11.

Lema 4.12. Para qualquer solucao de 4.1-4.4 e qualquer h > 0, e valida a seguinte identidade:

TFh(0) + bh

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2dt− ρ1h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2dt− ρ2h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2dt

+Yψ(t)∣∣∣T0

+ Xϕ(t)∣∣∣T0

+ Xψ(t)∣∣∣T0

=

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 +ρ1

6

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+ L

T∫0

[( b2− κh2

8

)∣∣∣ψJh

∣∣∣2 +ρ2

12

∣∣ψ′J ∣∣2]dt,em que

Yψj (t) = h

J∑j=1

ψj

[ρ2

6ψ′j+1 +

ρ2

6ψ′j−1 +

2ρ2

3ψ′j

];

Xϕj (t) = hJ∑j=0

j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)[ρ1

6ϕ′j+1 +

ρ1

6ϕ′j−1 +

2ρ1

3ϕ′j

];

Xψj (t) =

J∑j=0

j(ψj+1 − ψj−1

2

)[ρ2

6ψ′j+1 +

ρ2

6ψ′j−1 +

2ρ2

3ψ′j

].

Prova: Multiplicando a equacao 4.1 por jϕj+1 − ϕj−1

2, somando com j = 1, . . . , J e inte-

grando em [0, L]× [0, T ], temos

hJ∑j=1

L∫0

ρ1

ϕ′′j+1 + 4ϕ′′j + ϕ′′j−1

6jϕj+1 − ϕj−1

2dt

︸︷︷︸I1

=

hJ∑j=1

T∫0

[κϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ κ

ψj+1 − ϕj−1

2h

]jϕj+1 − ϕj−1

2dt

︸︷︷︸I2

(4.53)

I2 = −κh2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt− κh

2

J∑j=0

T∫0

ψj+1 + ψj2

ϕj+1 − ϕjh

dt



Para o primeiro membro, temos o seguinte:

ρ1h

12

J∑j=1

T∫0

j(ϕ′′j+1 + ϕ′′j−1

)(ϕj+1 − ϕj−1

)dt+

ρ1h

3

J∑j=1

T∫0

jϕ′′j(ϕj+1 − ϕj−1

)dt =

ρ1h

12

J∑j=1

[j(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)(ϕj+1 − ϕj−1

)]∣∣∣T0− ρ1h

12

J∑j=1

T∫0

j(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)(ϕ′j+1 − ϕ′j−1

)dt

+ρ1h

3

J∑j=1

[jϕ′j(ϕj+1 − ϕj−1

)]∣∣∣T0− ρ1h

3

J∑j=1

T∫0

jϕ′j(ϕ′j+1 − ϕ′j−1

)dt

de onde segue

I1 =ρ1h

6

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j∣∣2dt− ρ1L

12

T∫0

∣∣ϕ′J ∣∣2dt+ρ1h

3

J∑j=0

T∫0

ϕ′jϕ′j+1 dt

+hJ∑j=1

j(ϕj+1 − ϕj−1

)[ρ1

12ϕ′j+1 +

ρ1

12ϕ′j−1 +

ρ1

3ϕ′j

]∣∣∣T0.

Somando e subtraindo o termoρ1h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣2dt acima, obtemos

I1 =ρ1h

6

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j∣∣2dt+ρ1h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣2dt− ρ1L

12

T∫0

∣∣ϕ′J ∣∣2dt+ρ1h

3

J∑j=0

T∫0

[ϕ′jϕ

′j+1 −

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣24

]dt

+hJ∑j=1

j(ϕj+1 − ϕj−1

)[ρ1

12ϕ′j+1 +

ρ1

12ϕ′j−1 +

ρ1

3ϕ′j

]∣∣∣T0.

Notando que

ρ1h

3

J∑j=0

T∫0

[ϕ′jϕ

′j+1 −

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣24

]= −ρ1h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2dt,



chegamos, na expressao final para I1,

I1 =ρ1h

6

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j∣∣2dt+ρ1h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣2dt− ρ1L

12

T∫0

∣∣ϕ′J ∣∣2dt−ρ1h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2dt+ h

J∑j=1

j(ϕj+1 − ϕj−1

)[ρ1

12ϕ′j+1 +

ρ1

12ϕ′j−1 +

ρ1

3ϕ′j

]︸︷︷︸

:=Xϕj (t)

∣∣∣T0.

Por outro lado, multiplicando a equacao 4.2 por jψj+1 − ψj−1

2, somando com j = 1, . . . , J e

integrando em [0, L]× [0, T ], temos

hJ∑j=1

L∫0

ρ2

ψ′′j+1 + 4ψ′′j + ψ′′j−1

6jψj+1 − ψj−1

2dt

︸︷︷︸I3

=

hJ∑j=1

T∫0

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h− κψj+1 + 2ψj + ψj+1

4

]jψj+1 − ψj−1

2dt

︸︷︷︸I4

.

(4.54)

Fazendo calculos analogos aos realizados na obtencao de 4.53, encontramos:

I3 =ρ2h

6

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt+ρ2h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣2dt− ρ2L

12

T∫0

∣∣ψ′J ∣∣2dt−ρ2h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2dt+ h

J∑j=1

j(ψj+1 − ψj−1

)[ρ2

12ψ′j+1 +

ρ2

12ψ′j−1 +

ρ2

3ψ′j

]︸︷︷︸

:=Xψj (t)

∣∣∣T0,

I4 = −bh2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2dt+bL

2

T∫0

∣∣∣ψJh

∣∣∣2dt+κh

2

J∑j=0

T∫0

ψj+1 + ψj2

ϕj+1 − ϕjh

+κh

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2dt− κL

2

T∫0

∣∣∣ψJ2

∣∣∣2dt.



Alem disso, fazendo a multiplicacao de 4.2 por ψj , da mesma maneira, temos

h

J∑j=1

T∫0

ρ2ψ′′j+1 + 4ψ′′j + ψ′′j−1

6ψj dt︸︷︷︸

I5

=

h

J∑j=1

T∫0

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h− κψj+1 + 2ψj + ψj+1

4

]ψj dt︸︷︷︸

I6

, (4.55)

e encontramos

I5 = −ρ2h

3

J∑j=0

T∫0

ψ′jψ′j+1 dt−

2ρ2h

3

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt+ hJ∑j=0

ψj

[ρ2

6ψ′j+1 +

ρ2

6ψ′j−1 +

2ρ2

3ψ′j

]∣∣∣T0,

= −ρ2h

3

J∑j=0

T∫0

|ψ′j+1 + ψ′j|2dt+ hJ∑j=0

ψj

[ρ2

6ψ′j+1 +

ρ2

6ψ′j−1 +

2ρ2

3ψ′j

]︸︷︷︸

:=Yψj (t)

∣∣∣T0,

I6 = −bhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 − κh J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt− κhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2.Com as expressoes de Ik, k = 1, 2, . . . , 6, obedecendo a identidade,

I1 + I3 + I5 = I2 + I4 + I6,

tendo em mente a propriedade de conservacao da energia, chegamos no resultado esperado

TFh(0) + bhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2dt− ρ1h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2dt− ρ2h

12

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2dt

+Xϕj (t)∣∣∣T0

+ Xψj (t)∣∣∣T0

+ Yψj (t)∣∣∣T0

=

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 +ρ1

6

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+ L

T∫0

[( b2− κh2

8

)∣∣∣ψJh

∣∣∣2 +ρ2

12

∣∣ψ′J ∣∣2]dt+ρ2h

J∑j=0

T∫0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]dt,



o que conclui a prova do lema 4.12.

Lema 4.13. (Equiparticao da energia). Para qualquer solucao de 4.1-4.4, h > 0 temos

hJ∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣ϕ′j∣∣23

dt+ hJ∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

dt+ hJ∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

dt+ hJ∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

dt

= bhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2dt+ κhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2dt+ Yϕ(t)∣∣∣T0

+ Yψ(t)∣∣∣T0,

onde

Yϕj(t) = hJ∑j=0

ϕj

[ρ1

6ϕ′j+1 +

ρ1

6ϕ′j−1 +

2ρ1

3ϕ′j

];

Yψj(t) = hJ∑j=0

ψj

[ρ2

6ψ′j+1 +

ρ2

6ψ′j−1 +

2ρ1

3ψ′j

].

Prova: Multiplicando a equacao 4.1 por hϕj , somando com j = 1, . . . , J , e integrando em[0, T ], obtemos:

ρ1h

J∑j=1

T∫0

ϕ′′j+1 + 4ϕ′′j + ϕ′′j−1

6ϕj dt

=

[κh

J∑j=1

T∫0

ϕj+1 − 2ϕj − ϕj−1

h2dt+ κh

J∑j=1

T∫0

ψj+1 − ψj−1

2hdt

]ϕj . (4.56)

Resolvemos o primeiro membro da ultima equacao:

2ρ1

6h

J∑j=1

T∫0

ϕ′′jϕj dt+ ρ1hJ∑j=1

T∫0

ϕ′′j+1 + 2ϕ′′j + ϕ′′j−1

6ϕj dt

=ρ1h

3

J∑j=1

ϕ′jϕj

∣∣∣T0− ρ1h

J∑j=0

T∫0

|ϕ′j|2dt+ρ1h

6

J∑j=1

(ϕ′j+1 + 2ϕ′j + ϕ′j−1)ϕj

∣∣∣T0

−ρ1h

6

J∑j=1

T∫0

(ϕ′j+1 + 2ϕ′j + ϕ′j−1)ϕ′j dt,



daı, deduzimos

ρ1h

J∑j=1

T∫0

ϕ′′j+1 + 4ϕ′′j + ϕ′′j−1

6ϕj dt = Yϕj (t)

∣∣∣T0− h

J∑j=0

T∫0

ρ1

|ϕ′j |2

3dt− h

J∑j=0

T∫0

ρ1

|ϕ′j+1 + ϕ′j |2

6dt,

(4.57)

onde

Yϕj(t) = h

J∑j=1

ρ1ϕj

[ϕ′j+1

6+ϕ′j−1

6+ϕ′j3

].

Multiplicando a equacao 4.2 por hψj , somando com j = 1, . . . , J e integrando em [0, T ], obte-mos:

ρ2hJ∑j=1

T∫0

ψ′′j+1 + 4ψ′′j + ψ′′j−1

6ψj dt =

[bh

J∑j=1

T∫0

ψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2dt− κh

J∑j=1

T∫0

ϕj+1 − ϕj−1

2hdt− κh

J∑j=1

T∫0

ψj+1 + 2ψj + ψj−1

4dt

]ψj .

(4.58)

Analogamente ao calculo realizado na obtencao de 4.57, obtemos:

ρ2hJ∑j=1

T∫0

ψ′′j+1 + 4ψ′′j + ψ′′j−1

6ψj dt = Yψj (t)

∣∣∣T0− h

J∑0

T∫0

ρ2

|ψ′j |2

3dt− h

J∑j=0

T∫0

ρ2

|ψ′j+1 + ψ′j |2

6dt,

(4.59)

onde

Yψj(t) = hJ∑j=1

ρ2ψj

[ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+ψ′j3

].

Enquanto que, para os segundos membros de 4.56 e 4.58, ja temos do Lema 3.19, no Capıtulo

3:

−hJ∑j=0

T∫0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 − ψj2

dt



e

−bhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2dt− κh J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt− κhJ∑j=0

T∫0

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2dt,respectivamente. Assim, somando correspondentemente os membros (resultados) de 4.56 e

4.58, chegamos na prova do lema.

Corolario 4.14. Para qualquer solucao de 4.1-4.4 e h > 0, temos

hJ∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣ϕ′j∣∣23

dt+ hJ∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

dt+ hJ∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

dt+ hJ∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

dt

= TFh(t) +Yϕ(t)

2

∣∣∣∣T0

+Yψ(t)

2

∣∣∣∣T0

,

onde Fh(t) e a energia dada em 4.5.

Prova: Imediatamente quando completamos a energia no ultimo Lema.

Lema 4.15. Para qualquer solucao de 4.1-4.4, h > 0, 0 < t < T , temos as seguintes estimati-

vas:

h

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 6 q(Λ)h3

J∑j=0

[∣∣ϕ′j∣∣23

+

∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j∣∣2

6

], (4.60)

hJ∑j=0

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2 6 q(Λ)h3

J∑j=0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j+1 + ψ′j∣∣2

6

], (4.61)

onde q(Λ) = q(λJ/2) e um autovalor no desenvolvimento na serie de Fourier.

Prova: Consideremos as solucoes do problema 4.1-4.4, associadas aos seus respectivos autove-

tores,

ϕ(xj, t) =∑

|q(µn)|≤√q(Λ)

aneiq(µn)tun,j e ψ(xj, t) =

∑|q(µn)|≤

√q(Λ)

aneiq(µn)tvn,j (4.62)



com un,j = A sin(θnxj

)e vn,j = B

[1 − cos

(θnxj

)], θn = (2nπ)/L. Vamos demonstrar

apenas primeira desigualdade, tendo em vista que a outra desigualdade segue analogamente.

Assim,

ϕj(t) =∑

|q(µn)|≤√q(Λ)

aneiq(µn)tun,j, ϕ

′j(t) = q(µn)i

∑|q(µn)|≤

√q(Λ)

aneiq(µn)tun,j. (4.63)

com q(µn) =√q(λn) para n > 0 e q(µ−n) = −q(µn). Daı,

h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 = h

J∑j=0

∣∣∣∣ ∑|q(µn)|≤

√q(Λ)

anq(µn)ieiq(µn)t(un,j+1 − un,j

)∣∣∣∣2

= hJ∑j=0

[ ∑|q(µn)|≤

√q(Λ)

|an|2|q(µn)|2∣∣∣un,j+1 − un,j

∣∣∣2+

∑|q(µn)|6=|q(µl)|≤

√q(Λ)

analq(µn)q(µl)e(q(µn)+q(µl))t

(un,j+1 − un,j

)(ul,j+1 − ul,j

)].

Da ortogonalidade dos autovetores un e ul, para q(µn) 6= q(µl) temos

∑|q(µn)|6=|q(µl)|≤

√q(Λ)

(un,j+1 − un,j

)(ul,j+1 − ul,j

)= 0.

Portanto,

h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 = h

J∑j=0

∑|p(µn)|≤

√q(Λ)

|an|2|q(µn)|2∣∣∣un,j+1 − un,j

∣∣∣2

Considerando as condicoes de fronteira e a identidade 4.44, obtemos

hJ∑j=0

∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣2 = h

J∑j=0

∑|q(µn)|≤

√q(Λ)

|an|2|q(µn)|2q(λ)h2

(∣∣un,j∣∣23

+

∣∣uj + uj+1

∣∣26

).

Daı,

h

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣2 = h

J∑j=0

∑n≥1

|an|2|q(µn)|2q(λ)h2

(∣∣un,j∣∣23

+

∣∣uj + uj+1

∣∣26

).



Agora, tomando q(Λ) suficientemente grande, tal que q(λ) 6 q(Λ), obtemos

hJ∑j=0

∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣2 6 q(Λ)h3

J∑j=0

[|ϕ′(xj, t)|2

3+

∣∣ϕ′(xj, t) + ϕ′(xj+1, t)∣∣2

6

].

E, como ϕ′(xj, t) ≡ ϕ′j , segue-se

h

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 6 q(Λ)h3

J∑j=0

[ |ϕ′j|23

+

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

].

Por outro lado, afirmamos que:

hJ∑j=0

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2 6 q(Λ)h3

J∑j=0

[ |ψ′j|23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

].

De fato,

J∑j=0

|ψ′j+1 − ψ′j|2 =J∑j=0

[|ψ′j+1|2 + |ψ′j|2 − 2ψ′jψ

′j+1

].

Usando a desigualdade de Young e a condicao de contorno, obtemos

J∑j=0

|ψ′j+1 − ψ′j|2 6 4J∑j=0

|ψ′j|2

6 12J∑j=0

[ |ψ′j|23

+|ψ′j + ψ′j+1|2

6

]. (4.64)

Suponhamos que

h

J∑j=0

|ψ′j+1 − ψ′j|2 > q(Λ)h3

J∑j=0

[ |ψ′j|23

+|ψ′j + ψ′j+1|2

6

],



mas p(Λ)h2 → 12, h→ 0, entao

limh→0

hJ∑j=0

|ψ′j+1 − ψ′j|2 > limh→0

q(Λ)h3

J∑j=0

[ |ψ′j|23

+|ψ′j + ψ′j+1|2

6

]> 12h

J∑j=0

[ |ψ′j|23

+|ψ′j + ψ′j+1|2

6

],

o que contradiz 4.64.

Lema 4.16. Para qualquer solucao de 4.1-4.4, h > 0, 0 6 t 6 T , temos

∣∣Zϕ(t)∣∣ 6√L2 − q(Λ)h4

48+

3q(Λ)h2

16q(λ)

h

2

J∑j=0

[ρ1

∣∣ϕ′j∣∣23

+ρ1

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

+q(λ)

λb∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +q(λ)

λκ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2], (4.65)

∣∣Zψ(t)∣∣ =

√L2 − q(Λ)h4

48+

3q(Λ)h2

16

b

λρ2

[h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+ ρ2

h

2

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2]

+

√3q(Λ)h2

16

1

λ

[h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+κh

2

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]+h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+( 1

λ+ρ2h

2

6b

)h

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +1

λh

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2(4.66)

em que

Zϕ(t) = ρ1h

J∑j=1

[ϕ′j+1

6+ϕ′j−1

6+

2ϕ′j3

][j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

], (4.67)

Zψ(t) = ρ2hJ∑j=1

[ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

][j(ψj+1 − ψj−1

2

)+(1 + η

)ψj

], (4.68)

η = −q(Λ)h2/24, λn(h) = q(λ)(ρ1κ

+ ρ2bσ(h)

)−1

e σ(h) = 4b4b−κh2 cos2( θnh

2).



Prova: Notemos que η = −q(Λ)h2

24implica

|η| = q(Λ)h2

24(4.69)

e, sendo q(Λ) < 12, temos

|η| < 1

2. (4.70)

Alem disso,

η2 + |η| = |η|2 + |η| = |η|(|η|+ 1

), (4.71)

e, usando adequadamente os resultados 4.69 e 4.70, deduzimos que

η2 + |η| < 3q(Λ)h2

48. (4.72)

Vamos provar a primeira estimativa 4.65. Temos de 4.67,

∣∣Zϕ(t)∣∣ 6 ρ1h

J∑j=1

∣∣∣∣[ϕ′j+1

6+ϕ′j−1

6+

2ϕ′j3

][j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

]∣∣∣∣. (4.73)

Aplicando a desigualdade de Holder,

∣∣Zϕ(t)∣∣ 6 ρ1

[h

J∑j=1

∣∣∣∣ϕ′j+1

6+ϕ′j−1

6+

2ϕ′j3

∣∣∣∣2]1/2[h

J∑j=1

∣∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣∣2]1/2

. (4.74)

Usando a expansao de Taylor:

ϕ′j+1 = ϕ′(xj + h) = ϕ′(xj) + hϕ′′(xj)

ϕ′j−1 = ϕ′(xj − h) = ϕ′(xj)− hϕ′′(xj)

⇒ ϕ′j+1 + ϕ′j−1 = 2ϕ′j, (4.75)

deduzimos

ϕ′j+1

6+ϕ′j−1

6+

2ϕ′j3

= ϕ′j.



O que nos permite reescrever

∣∣Zϕ(t)∣∣ 6 ρ1

[h

J∑j=1

∣∣∣∣(ϕ′j+1

6+ϕ′j−1

6+

2ϕ′j3

)ϕ′j

∣∣∣∣]1/2[h

J∑j=1

∣∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣∣2]1/2

.

(4.76)

Tendo em mente a condicao de contorno, vamos avaliar o termo dentro da primeira raiz qua-

drada, acima:

hJ∑j=1

(ϕ′j+1

6+ϕ′j−1

6+

2ϕ′j3

)ϕ′j =

1

6h

J∑j=1

ϕ′j+1ϕ′j +

1

6hJ−1∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 +

2

3h

J∑j=1

∣∣ϕ′j∣∣2=

1

6h

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 +

1

6h

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 −

1

6hϕ′Jϕ

′J+1 +

2

3h

J∑j=0

∣∣ϕ′j∣∣2=

2

6h

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 +

4

6h

J∑j=0

|ϕ′j|2.

De onde deduzimos:

h

J∑j=1

(ϕ′j+1

6+ϕ′j−1

6+

2ϕ′j3

)ϕ′j = h

J∑j=0

[∣∣ϕ′j∣∣23

+

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

]. (4.77)



Enquanto que,

hJ∑j=1

∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣2 = hJ∑j=1

[j2

4|ϕj+1 − ϕj−1|2 + η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]

= h

J∑j=1

[j2

4

∣∣∣(ϕj+1 − ϕj) + (ϕj − ϕj−1)∣∣∣2 + η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]

= hJ∑j=1

[j2

4

[|ϕj+1 − ϕj |2 + 2(ϕj+1 − ϕj)(ϕj − ϕj−1) + |ϕj − ϕj−1|2

]+ η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]≤ h

J∑j=1

[j2

4

[2|ϕj+1 − ϕj |2 + 2|ϕj − ϕj−1|2

]+ η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]

= h

J∑j=1

[j2

2|ϕj+1 − ϕj |2 +

j2

2|ϕj − ϕj−1|2

]+ η2|ϕj |2 + ηj(ϕj+1 − ϕj−1)ϕj

]

≤ hJ∑j=0

[j2

2|ϕj+1 − ϕj |2 +

(j + 1)2

2|ϕj+1 − ϕj |2 + η2|ϕj |2 + ηjϕjϕj+1 − η(j + 1)ϕjϕj+1

]

= hJ∑j=0

[j2

2|ϕj+1 − ϕj |2 +

(j + 1)2

2|ϕj+1 − ϕj |2 + η2|ϕj |2 − ηϕjϕj+1

]

= hJ∑j=0

[j2

2|ϕj+1 − ϕj |2 +

(j + 1)2

2|ϕj+1 − ϕj |2 + η2|ϕj |2 + |η||ϕj |2 − |η||ϕj |2 − ηϕjϕj+1

].

Como j2h2 ≤ (j + 1)2h2 ≤ (J + 1)2h2 = L2, temos

hJ∑j=1

∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηuj

∣∣∣2 ≤ L2hJ∑j=1

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 − |η|h J∑j=1

(|ϕj|2 − ϕjϕj+1)

+(η2 + |η|)hJ∑j=1

|ϕj|2,

Adaptando o termo quadratico, escrevemos

h

J∑j=1

∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηuj

∣∣∣2 ≤ L2h

J∑j=1

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 − |η|2h

J∑j=1

∣∣ϕj+1 − ϕj∣∣2

+(η2 + |η|)hJ∑j=1

|ϕj|2,



de onde segue

hJ∑j=1

∣∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣∣2 ≤ (L2 − |η|h2

2

)h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 + (η2 + |η|)hJ∑j=1

|ϕj|2.

(4.78)

Da identidade 4.52 tiramos que

h

J∑j=0

∣∣ϕj∣∣2 ≤ 3

q(λ)h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2. (4.79)

Logo,

hJ∑j=1

∣∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣∣2 6(L2 − |η|h

2

2+

3(η2 + |η|

)q(λ)

)h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2.E, combinando com o Corolario 4.11, obtemos

hJ∑j=1

∣∣∣∣j(ϕj+1 − ϕj−1

2

)+ ηϕj

∣∣∣∣2 6(L2 − |η|h

2

2+

3(η2 + |η|

)q(λ)

)[q(λ)b

λρ1

hJ∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2+q(λ)κ

λρ1

hJ∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2].(4.80)

Combinando 4.77 e 4.80 com 4.76, obtemos

∣∣Zϕ(t)∣∣ 6 (L2 − |η|h

2

2+

3(η2 + |η|

)q(λ)

)1/2 [h

2

J∑j=0

(ρ1

∣∣ϕ′j∣∣23

+ρ1

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

)+q(λ)

λbh

2

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +q(λ)

λκh

2

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]. (4.81)

E, usando 4.69 e 4.72, chegamos em

∣∣Zϕ(t)∣∣ 6√L2 − q(Λ)h4

48+

3q(Λ)h2

16q(λ)

h

2

J∑j=0

[ρ1

∣∣ϕ′j∣∣23

+ρ1

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

+q(λ)

λb∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +q(λ)

λκ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2], (4.82)



o que prova o resultado 4.65. Por outro lado, de 4.66, temos

∣∣Zψ(t)∣∣ 6 ρ2h

J∑j=1

∣∣∣∣[ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

][j(ψj+1 − ψj−1

2

)+ ηψj

]∣∣∣∣+ρ2h

J∑j=1

∣∣∣∣[ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

]ψj

∣∣∣∣. (4.83)

Aplicando a desigualdade de Holder,

∣∣Zψ(t)∣∣ 6 ρ2

[h

J∑j=1

∣∣∣∣ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

∣∣∣∣2]1/2[h

J∑j=1

∣∣∣∣j(ψj+1 − ψj−1

2

)+ ηψj

∣∣∣∣2]1/2

+ρ2

[h

J∑j=1

∣∣∣∣ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

∣∣∣∣2]1/2[h

J∑j=1

∣∣ψj∣∣2]1/2

.

Observando 4.75, analogamente, deduzimos

ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

= ψ′j,

e reescrevemos

∣∣Zψ(t)∣∣ 6 ρ2

[h

J∑j=1

∣∣∣∣(ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

)ψ′j

∣∣∣∣]1/2[h

J∑j=1

∣∣∣∣j(ψj+1 − ψj−1

2

)+ ηψj

∣∣∣∣2]1/2

+ρ2

[h

J∑j=1

∣∣∣∣(ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

)ψ′j

∣∣∣∣]1/2[h

J∑j=1

∣∣ψj∣∣2]1/2

.

(4.84)

Fazendo, analogamente, como para encontrar os resultados em 4.77 e 4.78, obtemos

h

J∑j=1

(ψ′j+1

6+ψ′j−1

6+

2ψ′j3

)ψ′j = h

J∑j=0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

](4.85)

e

h

J∑j=1

∣∣∣∣j(ψj+1 − ψj−1

2

)+ ηψj

∣∣∣∣2 ≤ (L2 − |η|h2

2

)h

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 + (η2 + |η|)hJ∑j=1

|ψj|2.

(4.86)



Assim, reescrevemos

∣∣Zψ(t)∣∣ 6 [h J∑

j=0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]1/2[(L2 − |η|h

2

2

)ρ2h

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2+(η2 + |η|

)ρ2h

J∑j=0

∣∣ψj∣∣2]1/2

+

[h

J∑j=0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]1/2[ρ2h

J∑j=0

∣∣ψj∣∣2]1/2

Notando que

ρ2hJ∑j=0

|ψj|2 = ρ2h

J∑j=0

(|ψj|2

3+|ψj + ψj+1|2

6

)+ ρ2h

J∑j=0

|ψj+1 − ψj|2

6,

usando o Lema 4.10, segue-se

∣∣Zψ(t)∣∣ 6 [h J∑

j=0

(ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)]1/2[(L2 − |η|h

2

2

)ρ2h

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2+(η2 + |η|

)ρ2

(3

λρ2

bhJ∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +3

λρ2

κhJ∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2)]1/2

+

[h

J∑j=0

(ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)]1/2

×

[(1

λ+ρ2h

2

6b

)bh

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +1

λκh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]1/2

,

(4.87)



agrupando os dois primeiros termos dentro da segunda raiz quadrada:

∣∣Zψ(t)∣∣ 6[

h

J∑j=0

(ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)]1/2[(L2 − |η|h

2

2+ 3(η2 + |η|

) b

λρ2

)ρ2h

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2+3(η2 + |η|

)1

λκh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2)]1/2

+

[h

J∑j=0

(ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)]1/2

×

[(1

λ+ρ2h

2

6b

)bh

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +1

λκh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]1/2

,

em seguida, usando a desigualdade elementar√A+B 6

√A+√B, A,B ∈ IR > 0:

∣∣Zψ(t)∣∣ 6√

L2 − |η|h2

2+(η2 + |η|

) 3b

λρ2

[h

J∑j=0

ρ2

( |ϕ′j |23

+|ϕ′j + ϕ′j+1|2

6

)]1/2[ρ2h

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2]1/2

+

√(η2 + |η|

) 3

λ

[h

J∑j=0

(ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)]1/2[κh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]1/2

+

[h

J∑j=0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]1/2

×

[( 1

λ+ρ2h

2

6b

)bh

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +1

λκh

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]1/2

.

Aplicando a desigualdade de Young, obtemos

∣∣Zψ(t)∣∣ 6√L2 − |η|h

2

2+(η2 + |η|

) 3b

λρ2

[h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+ ρ2

h

2

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2]

+

√(η2 + |η|

) 3

λ

[h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]

+h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+( 1

λ+ρ2h

2

6b

)bh

2

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +1

λκh

2

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2.



E, novamente usando 4.69 e 4.72, chegamos no resultado 4.66:

∣∣Zψ(t)∣∣ 6√L2 − q(Λ)h4

48+

3q(Λ)h2

16

b

λρ2

[h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+ ρ2

h

2

J∑j=0

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2]

+

√3q(Λ)h2

16

1

λ

[h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]

+h

2

J∑j=0

(ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+( 1

λ+ρ2h

2

6b

)h2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +1

λ

h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2,e concluımos a prova do Lema 4.16.

Prova do Lema 4.9: Do Lema 4.12, em vista da correspondencia da desigualdade de observa-bilidade com o caso contınuo, vamos considerar b/2− κh2/8 < 0, daı segue-se

TFh(0)− ρ112h

J∑j=0

T∫0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2dt− ρ2

12h

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2dt+ Yψ(t)

∣∣∣T0

+ Xϕ(t)∣∣∣T0

+ Xψ(t)∣∣∣T0

6L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣26

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψ′J ∣∣26

dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]dt,

em que

Xϕ(t) = hJ∑j=0

j

(ϕj+1 − ϕj−1

2

)[ρ1

ϕ′j+1

6+ ρ1

ϕ′j−1

6+

2ρ1

3ϕ′j

];

Xψ(t) = h

J∑j=0

j

(ψj+1 − ψj−1

2

)[ρ2

ψ′j+1

6+ ρ2

ψ′j−1

6+

2ρ2

3ψ′j

];

Yϕ(t) = hJ∑j=0

ϕj

[ρ1

ϕ′j+1

6+ ρ1

ϕ′j−1

6+

2ρ1

3ϕ′j

];

Yψ(t) = h

J∑j=0

ψj

[ρ1

ψ′j+1

6+ ρ2

ψ′j−1

6+

2ρ2

3ψ′j

]. (4.88)



Aplicando o Lema 4.15, escrevemos

TFh(0)− q(Λ)h2

12h

[J∑j=0

T∫0

[ρ1∣∣ϕ′j∣∣23

+ρ1∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

]dt+ h

J∑j=0

T∫0

[ρ2∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]]dt

+Yψ(t)∣∣∣T0

+ Xϕ(t)∣∣∣T0

+ Xψ(t)∣∣∣T0

6L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣26

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψ′J ∣∣26

dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]dt.

Aplicando o Corolario 4.14, obtemos

TFh(0)− q(Λ)h2

12

[TFh(0) +

Yϕ(t)

2

∣∣∣∣T0

+Yψ(t)

2

∣∣∣∣T0

]+ Yψ(t)

∣∣∣T0

+ Xϕ(t)∣∣∣T0

+ Xψ(t)∣∣∣T0

6L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣26

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψ′J ∣∣26

dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]dt,

e, agrupando os termos em ϕ e ψ, chegamos em

(1− q(Λ)h2

12

)TFh(0) + Zϕ(t)

∣∣∣T0

+ Zψ(t)∣∣∣T06L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣26

]dt

+L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψ′J ∣∣26

dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]dt,

onde

Zϕ(t) = Xϕ(t)− q(Λ)h2

24Yϕ(t);

Zψ(t) = Xψ(t)− q(Λ)h2

24Yψ(t).

Combinando a ultima desigualdade com os lemas 4.1 e 4.16, definindo

H(γ) := max

{γ

q(λ),γb

λρ2

}, com γ = q(Λ)h2, (4.89)



segue-se

T(1− γ/12

)Fh(0)− 2

√L2 − γh2

48+

3H(γ)

16

[h

2

J∑j=0

(ρ1

∣∣ϕ′j∣∣23

+ρ1

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣26

)

+A(γ)h

2

J∑j=0

(ρ2

∣∣ψ′j∣∣23

+ρ2

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

)+ B(γ)

h

2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2

+C(γ)h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2] 6L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣26

]dt

+L

2

T∫0

[b∣∣∣ψJh

∣∣∣2 + ρ2

∣∣ψ′J ∣∣26

]dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]dt,

em que

A(γ) = 1 +

√3γ16λ√

L2 − γh2

48+ 3H(γ)

16

+1√

L2 − γh2

48+ 3H(γ)

16

;

B(γ) =ρ2

b+q(λ)

λ+

1λ

+ ρ2h2

6b√L2 − γh2

48+ 3H(γ)

16

;

C(γ) =q(λ)

λ+

√3γ16λ√

L2 − γh2

48+ 3H(γ)

16

+1

λ√L2 − γh2

48+ 3H(γ)

16

.

EscolhendoM = max{

1,A(γ),B(γ),C(γ)}

, obtemos

Fh(0) 6 C(T, γ

){L2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣26

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψ′J ∣∣26

dt

+ρ2hJ∑j=0

T∫0

[∣∣ψ′j∣∣23

+

∣∣ψ′j + ψ′j+1

∣∣26

]dt

},

em que

C(T, γ

)=

1

T(1− γ/12

)− 2M(γ)

√L2 − γh2

48+ 3H(γ)

16

.



Logo, para

T > T (γ) =2M(γ)

√L2 − γh2

48+ 3H(γ)

16

1− γ/12,

o que nos permite verificar as assercoes (a) e (b), e assim concluir a prova do teorema 4.9.


CAPITULO 5

Semi-discretizacao via Esquema-θ

Neste capıtulo, veremos uma combinacao linear convexa parametrizada por θ, θ ∈ [0, 1/4), so-

bre os termos de aceleracao nas equacoes do sistema semidiscretizado de Timoshenko, que per-

mite generalizar as propriedades de observabilidade uniforme numericas estudadas em diferencas

finitas, no capıtulo 3 e, em elementos finitos, no capıtulo 4. No sentido de encontrarmos uma

desigualdade de observabilidade que seja uniforme. Para alcancar o nosso objetivo, seguiremos

a mesmo roteiro utilizado naqueles referidos captıtulos.

Mas, antes de buscarmos uma tal de desigualdade e necessario analisarmos a questao de sobres-

timacao na rigidez que e uma evidencia da presenca do fenomeno de trancamento no cortante1

que interfere na consistencia da solucao numerica em relacao a solucao real.

5.1 Fenomeno do Trancamento do Cortante

Em 2014, Almeida, D.S. [14] mostrou que a energia de solucoes do problema semidiscretizadoem diferencas finitas com uma combinacao linear convexa no angulo de rotacao, parametrizada

1Ver [14]

93

5.1. Fenomeno do Trancamento do Cortante 94

por θ ∈ [0, 1/4) conforme configuracao abaixo:

ρ1ϕ′′j − κ

ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2− κψj+1 − ψj−1

2h= 0, (5.1)

j = 1, . . . , J, 0 < t < T,

ρ2ψ′′j − b

ψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2+ κ

ϕj+1 − ϕj−1

2h+ κ[θψj+1 +

(1− 2θ

)ψj + θψj−1

]= 0, (5.2)

j = 1, . . . , J, 0 < t < T,

ϕ0 = ϕJ+1 = 0; ψ0 = ψJ+1 = 0, 0 < t < T, (5.3)

ϕj(0) = ϕ0j , ϕ

′j(0) = ϕ1

j , ψj(0) = ψ0j , ψ

′j(0) = ψ1

j , j = 0, . . . , J + 1 (5.4)

e dada por

Eθh(t) :=h

2

J∑j=0

[ρ1

∣∣ϕ′j∣∣2 + ρ2

∣∣ψ′j∣∣2 + bθh

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 + κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 − ψj

2

∣∣∣2],com

bθh = b[1 +

κh2

b

(1/4− θ

)]. (5.5)

Para uma viga plana de geometria retangular de comprimento a e espessura ε, temos A = aε e

I = aε3/12, de modo que

bθh = EI[1 +

κ′G

E

A

Ih2(1/4− θ

)](5.6)

e, comoA

I=

aε

aε3/12=

12

ε2. (5.7)

Combinando 5.7 e 5.6, podemos ver o trancamento na forca de cisalhamento:

bθh = b[1 +

12κ′G

E(1/4− θ)(h/ε)2

]→∞, ε→ 0. (h fixo)

A grosso modo, podemos dizer que ha um aumento incontrolavel da resistencia do material da

viga em sofrer a deflexao. Podemos evitar este fenomeno fazendo h → 0, mas ha um grande

custo computacional. O mais sensato e tomar o valor de θ = 1/4, que o esquema ficara livre

da sobrestimacao na rigidez. Isto justifica o uso da configuracao semidiscreta para o angulo

de rotacao da forma ψj+1+2ψj+ψj−1

4em vez de ψj no esquema em diferencas finitas 3.1-3.4, no

capıtulo 3 e, se aplica tambem para elementos finitos 4.1-4.4, no capıtulo 4.


Capıtulo 5. Semi-discretizacao via Esquema-θ 95


Consideremos a seguinte famılia de semidiscretizacao numerica do sistema 2.1-2.4, parametri-zada por θ ∈ [0, 1/4):

ρ1(θϕ′′j+1 + (1− 2θ)ϕ′′j + θϕ′′j−1

)= κ

ϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1h2

+ κψj+1 − ψj−1

2h, (5.8)

j = 1, . . . , J, 0 < t < T,

ρ2(θψ′′j+1 + (1− 2θ)ψ′′j + θψ′′j−1

)= b

ψj+1 − 2ψj + ψj−1h2

− κϕj+1 − ϕj−12h

− κψj+1 + 2ψj + ψj−14

, (5.9)

j = 1, . . . , J, 0 < t < T,

ϕ0 = ϕJ+1 = 0; ψ0 = ψJ+1 = 0, 0 < t < T, (5.10)

ϕj(0) = ϕ0j , ϕ

′j(0) = ϕ1

j , ψj(0) = ψ0j , ψ

′j(0) = ψ1

j , j = 0, . . . , J + 1. (5.11)

Lema 5.1. Para qualquer solucao (ϕ, ψ) de 5.8-5.11, a energia de solucoes e dada por

Eθh(t) :=

(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2+(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2+h

2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2, (5.12)

satisfazendo a propriedade de conservacao da energia

Eθh(t) = Eθ

h(0). (5.13)

Prova: Multiplicando a equacao 5.8 por hϕ′j , a equacao 5.11, somando com j = 1, . . . , J ,temos

ρ1hJ∑j=1

[θ(ϕ′′j+1 + ϕ′′j−1

)+ (1− 2θ)ϕ′′j

]ϕ′j = h

J∑j=1

[κϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ κ

ψj+1 − ψj−1

2h

]ϕ′j .

(5.14)



Dos calculos anteriores, temos

hJ∑j=1

[κϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ κ

ψj+1 − ψj−1

2h

]ϕ′j =

−h2

d

dt

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣∣2 − h J∑j=0

ψj+1 + ψj2


. (5.15)

Enquanto,

h

J∑j=1

(θϕ′′j+1 + (1− 2θ)ϕ′′j + θϕ′′j−1

)ϕ′j =

hJ∑j=1

(θϕ′′j+1 +

1− 2θ

2ϕ′′j

)ϕ′j︸︷︷︸

:=I1h(t)

+hJ∑j=1

(1− 2θ

2ϕ′′j + θϕ′′j−1

)ϕ′j︸︷︷︸

:=I2h(t)

. (5.16)

Tendo em mente as condicoes de contorno,

I1h(t) = hJ∑j=1

[(1− 2θ

2− θ)ϕ′′j + θ

(ϕ′′j + ϕ′′j+1

)]ϕ′j

= hJ∑j=1

[1− 4θ

2ϕ′′j + θ

(ϕ′′j+1 + ϕ′j

)]ϕ′j

=d

dt

h

2

J∑j=0

(1− 4θ

2

)∣∣ϕ′j∣∣2 + hJ∑j=0

θ(ϕ′′j+1 + ϕ′′j

)ϕ′j. (5.17)

Analogamente,

I2h(t) = hJ∑j=1

[1− 4θ

2ϕ′′j + θ

(ϕ′′j + ϕ′′j−1

)]ϕ′j

=d

dt

h

2

J∑j=0

(1− 4θ

2

)∣∣ϕ′j+1

∣∣2 + hJ∑j=0

θ(ϕ′′j+1 + ϕ′′j

)ϕ′j+1. (5.18)



Tomando a soma

2∑k=1

Ikh(t) =(1− 4θ

2

) ddt

h

2

J∑j=0

[∣∣ϕ′j+1

∣∣2 +∣∣ϕ′j∣∣2]+

d

dt

h

2

J∑j=0

θ(ϕ′j+1 + ϕ′j

)2

=(1− 4θ

2

) ddt

h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 + 2

(1− 4θ

2

) ddt

h

2

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1

+d

dt

h

2

J∑j=0

θ(ϕ′j+1 + ϕ′j

)2 − d

dt

h

2

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2 +d

dt

h

2

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2, (5.19)

deduzimos

2∑k=1

Ikh(t) =(1− 4θ

4

) ddt

h3

2

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 +d

dt

h

2

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2. (5.20)

Combinando 5.20 e 5.15, reescrevemos 5.14

(1− 4θ

4

) ddt

h3

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 +d

dt

h

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2 =

− d

dt

h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2 − h J∑j=0

κψj+1 + ψj

2


. (5.21)

Analogamente, multiplicando 5.9 por hψ′j , somando com j = 1, . . . , J , temos

ρ2hJ∑j=1

[θ(ψ′′j+1 + ψ′′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′′j

]ψ′j = h

J∑j=1

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h

−κψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]ψ′j . (5.22)

Dos calculos anteriores, temos que

hJ∑j=1

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h

−κψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]ψ′j = − d

dt

h

2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 − d

dt

h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2−h

J∑j=0

κψ′j+1 + ψ′j

2

ϕj+1 − ϕjh

. (5.23)



Enquanto,

ρ2hJ∑j=1

[θ(ψ′′j+1 + ψ′′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′′j

]ψ′j =

(1− 4θ

4

) ddt

h3

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +d

dt

h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2. (5.24)

Combinando 5.23 e 5.24, reescrevemos 5.22,

(1− 4θ

4

) ddt

h3

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +d

dt

h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2= − d

dt

h

2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 − d

dt

h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2 − h J∑j=0

κψ′j+1 + ψ′j

2

ϕj+1 − ϕjh

.

(5.25)

Somando 5.21 e 5.25, obtemos

d

dt

[(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2+(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2+h

2

J∑j=0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

κ

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2]

= 0. (5.26)

Em que, definimos

Eθh(t) :=

(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2+(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2+h

2

J∑j=0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

κ

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2. (5.27)



Integrando em [0, T ] a equacao 5.26, deduzimos

Eθh(t) = Eθ

h(0). (5.28)


Lema 5.2 (Problema de Autovalor). Consideremos o problema de autovalor semidiscreto asso-ciado a 5.8-5.11:

λρ1(θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

)+ κ

uj+1 − 2uj + uj−1

h2+ κ

vj+1 − vj−1

2h= 0, (5.29)

j = 1, . . . , J

λρ2(θvj+1 + (1− 2θ)vj + θvj−1

)+ b

vj+1 − 2vj + vj−1

h2− κ

uj+1 − uj−1

2h− κ

vj+1 + 2vj + vj−1

4= 0, (5.30)

j = 1, . . . , J

u0 = uJ+1 = 0; v0 = vJ+1 = 0, (5.31)

com λ1(h), λ2(h), . . . , λJ(h), sendo os J autovalores associados aos autovetores uj e vj . Existe

solucao nao trivial para o problema de autovalor 5.29-5.31, da forma

(un,j, vn,j

)=(An sin(ξnxj), Bn

(1− cos(ξnxj)

)), ξn =

2nπ

L

(n ∈ N

)se e, somente se,

b

ρ2+

κ

ρ1σθ(h) =

bρ1

4h2 sin2

(ξnh2

)1− 4θ sin2

(ξnh2

) , σθ(h) =4b cos2

(ξnh2

)(4b− 4

(1/4− θ

)κh2

)[1− 4θ sin2

(ξnh2

)] , (1− 4θ)h2 6= 4b/κ,

para quaisquer que sejam as constantes An, Bn ∈ IR∗, n ∈ N, satisfazendo

Bn/An =κh sin(ξnh)(

4b− 4(

14− θ)κh2)

sin2(ξnh

2

) ,Prova: (⇒) Na equacao 5.29, notando que

θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1 = θ(uj+1 − 2uj + uj−1) + uj

usamos as identidades 3.17 e 3.18, deduzimos:

λn(h)ρ1

[1− 4θ sin2

(ξnh2

)]uj − κ

4

h2sin2

(ξnh2

)uj +

κBn

Anhsin(ξnh)uj = 0.



Daı,

λn(h) =

κ

ρ1

4

h2sin2

(ξnh2

)+κ

ρ1

Bn

Anhsin(ξnh)

1− 4θ sin2(ξnh

2

) . (5.32)

Analogamente, na equacao 5.30, usando o mesmo raciocınio que 3.12 e as identidades 3.19-

3.21, obtemos(λn(h)ρ2θ +

b

h2− κ

4

)4Bn sin2

(ξnh2

)cos(ξnxj) + (λn(h)ρ2 − κ)vj −

κAnh

sin(ξnh) cos(ξnxj) = 0,

conseguentemente, obtemos(λn(h)ρ2θ +

b

h2− κ

4

)4Bn sin2

(ξnh2

)+ (λn(h)ρ2 − κ)− κAn

hsin(ξnh) = 0.

e, deduzimos:

λn(h) =κ

ρ2

; (5.33)

Bn

An=

κh sin(ξnh)(4b− 4

(14− θ)κh2)

sin2(ξnh

2

) . (5.34)

Substituindo Bn/An de 5.34 em 5.32, encontramos:

λn(h)(

1− 4θ sin2(ξnh/2))

=κ

ρ1

4

h2sin2(ξnh/2)− κ/ρ1κ sin2(ξnh)[

4b− 4(1/4− θ)κh2]

sin2(ξnh/2).

(5.35)

Substituindo λn(h) da ultima equacao por aquele de 5.33, escrevemos:

κ

ρ2

(1− 4θ sin2(ξnh/2)

)=

κ

ρ1

4

h2sin2(ξnh/2)− κ/ρ1κ sin2(ξnh)[

4b− 4(1/4− θ)κh2]

sin2(ξnh/2).



Multiplicando a ultima equacao porb

κ, obtemos:

b

ρ2

(1− 4θ sin2(ξnh/2)

)=

b

ρ1

4

h2sin2(ξnh/2)− κ/ρ1b sin2(ξnh)[

4b− 4(1/4− θ)κh2]

sin2(ξnh/2)

b

ρ2

+κ

ρ1

4b cos2(ξnh/2)[1− 4θ sin2(ξnh/2)

][4b− 4(1/4− θ)κh2

] =b

ρ1

4h2

sin2(ξnh/2)

1− 4θ sin2(ξnh/2).

Definimos

σθ(h) :=4b cos2(ξnh/2)[

1− 4θ sin2(ξnh/2)][

4b− 4(1/4− θ)κh2] . (5.36)

Ou, multiplicando a ultima equacao porρ1

κ

ρ2

b, podemos escrever:

[ρ1

κ+ρ2

bσθ(h)

]λn(h) =

4h2

sin2(ξnh/2)

1− 4θ sin2(ξnh/2),

de onde segue,

λn(h) =4h2

sin2(ξnh/2)

1− 4θ sin2(ξnh/2)

[ρ1

κ+ρ2

bσθ(h)

]−1

. (5.37)

Observacao 5.3. Quando θ = 0, resgatamos as expressoes obtidas para σ(h) e B/A, (no trato

em diferencas finitas). Bem como, quando θ = 1/6, encontramos aquelas expressoes em ele-

mentos finitos. Alem disso, λn(h) → λn, h → 0, mostrando a concordancia com o caso

contınuo.

(⇐) Analogamente como na prova de “(⇐)”no lema 3.2.

Teorema 5.4 (Solucao em serie de Fourier). A solucao (ϕj, ψj) do sistema 5.8-5.11 e dada em

serie de Fourier com

ϕ(xj, t) =∞∑n=1

[an cos

(√λn(h)t

)+ bn sin

(√λn(h)t

)]un, (5.38)

ψ(xj, t) =∞∑n=1

[an cos

(√λn(h)t

)+ bn sin

(√λn(h)t

)]vn, (5.39)



em que λn(h) =

4h2

sin2(ξnh

2

)(ρ1κ

+ ρ2bσθ(h)

)−1

1− 4θ sin2(ξnh

2

) e σθ(h) =4b cos2

(ξnh2

)(4b− 4

(1/4− θ

)κh2

)[1− 4θ sin2

(ξnh2

)] .

Os valores an, bn sao os coeficientes de Fourier. un = (un,1, . . . , un,J) e vn = (vn,1, . . . , vn,J)

sao os autovetores associados a λn(h).

Prova: Assumimos a separacao de variaveis para as solucoes do problema semidiscreto:

ϕj(t) = Q(t)uj, ψj(t) = Q(t)vj, ∀t > 0, ∀j = 1, 2, . . . , J,

em seguida, aplicando-as em 5.8-5.9, obtemos

Q′′(t)

Q(t)=[κuj+1 − 2uj + uj−1

h2+ κ

vj+1 − vj−1

2h

] 1

ρ1(θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1)= −λn(h),

Q′′(t)

Q(t)=[bvj+1 − 2vj + vj−1

h2− κ

uj+1 − uj−1

2h− κ

vj+1 + 2vj + vj−1

4

] 1

ρ2(θvj+1 + (1− 2θ)vj + θvj−1)= −λn(h),

em que para uma solucao nao-trivial devemos ter λ = λn(h) > 0. Desta abordagem, tiramos

as duas assercoes fundamentais para o desenvolvimento do nosso trabalho. A primeira, diz

respeito a E.D.O.:

Q′′(t) + λQ(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ], (5.40)

cuja solucao e da forma

Qn(t) = an sin(√λn(h)t) + bn cos(

√λn(h)t), n = 1, . . . , J, ∀t > 0, (5.41)

onde an e bn sao os coeficientes de Fourier. A segunda, refere-se ao problema de autovalor

5.29-5.31, cuja solucao havemos demonstrado no lema 5.2. Com isto, prova-se o teorema 5.4.

Observacao 5.5. Nos resultados abaixo, para simplificar a notacao escreveremos os autovalores

como sendo λ em vez de λn(h).



Lema 5.6. Para qualquer solucao (uj, vj) do problema de autovalor 5.29-5.31 vale a identidade

(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

λρ1

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣∣2 + h

J∑j=0

λρ1

∣∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣∣2

+(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

λρ2

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + hJ∑j=0

λρ2

∣∣∣∣ vj+1 + vj2

∣∣∣∣2

= bh

J∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κh

J∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2

Prova: Multiplicando a equacao 5.29 por huj , somando com j = 1, . . . , J , obtemos

λρ1h

J∑j=1

(θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

)uj = −h

J∑j=1

[κuj+1 − 2uj + uj−1

h2+ κ

vj+1 − vj−1

2h

]uj .

(5.42)

Omitindo o fator λρ1, trabalhamos no primeiro membro da ultima equacao:

hJ∑j=1

(θuj+1 +

1− 2θ

2uj

)uj + h

J∑j=1

(1− 2θ

2uj + θuj−1

)uj

= h

J∑j=1

[(1− 2θ

2− θ)uj + θ(uj+1 + uj)

]uj + h

J∑j=1

[(1− 2θ

2− θ)uj + θ(uj−1 + uj)

]uj

= h

J∑j=0

1− 4θ

2|uj |2 + θh

J∑j=0

(uj+1 + uj)uj + hJ∑j=0

1− 4θ

2|uj+1|2 + θh

J∑j=0

(uj+1 + uj)uj+1

=1− 4θ

2h

J∑j=0

(|uj+1 − uj |2 + 2uj uj+1

)+ θh

J∑j=0

|uj+1 + uj |2.



Realizaremos alguns calculos no ultimo resultado, da seguinte maneira:

1− 4θ

2h

J∑j=0

(|uj+1 − uj|2 + 2ujuj+1

)+ θh

J∑j=0

|uj+1 + uj|2 − hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2+h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2=

1− 4θ

2h

J∑j=0

|uj+1 − uj|2 +1− 4θ

4h

J∑j=0

4ujuj+1 − (1/4− θ)hJ∑j=0

|uj+1 + uj|2

+hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2=

1− 4θ

2h

J∑j=0

|uj+1 − uj|2 −1− 4θ

4h

J∑j=0

|uj+1 − uj|2 + hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2=

1− 4θ

4h

J∑j=0

|uj+1 − uj|2 + hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2.Portanto, deduzimos que

λρ1h

J∑j=1

(θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

)uj =

1− 4θ

4h3

J∑j=0

λρ1

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

λρ1

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2.(5.43)

E, temos:

−hJ∑j=1

[κuj+1 − 2uj + uj−1

h2+ κ

vj+1 − vj−1

2h

]uj =

hJ∑j=0

κ∣∣∣ uj+1 − uj

h

∣∣∣2 + hJ∑j=0

κuj+1 − uj

h

vj+1 + vj2

. (5.44)


λρ1

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2]

= hJ∑j=0

κ∣∣∣ uj+1 − uj

h

∣∣∣2 + h

J∑j=0

κuj+1 − uj

h

vj+1 + vj2

. (5.45)



Por outro lado, multiplicando-se a equacao 5.30 por hvj , temos

λρ2hJ∑j=1

(θvj+1 + (1− 2θ)vj + θvj−1

)vj =

h

J∑j=1

[− b vj+1 − 2vj + vj−1

h2+ κ

uj+1 − uj−1

2h+ κ

vj+1 + 2vj + vj−1

4

]vj (5.46)

Temos, analogamente

λρ2h

J∑j=1

(θvj+1 + (1− 2θ)vj + θvj−1

)vj =

λρ2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 + vj2

∣∣∣2] (5.47)

e,

hJ∑j=1

[− b vj+1 − 2vj + vj−1

h2+ κ

uj+1 − uj−1

2h+ κ

vj+1 + 2vj + vj−1

4

]vj =

hJ∑j=0

b∣∣∣ vj+1 − vj

h

∣∣∣2 + hJ∑j=0

κuj+1 − uj

h

vj+1 + vj2

+ hJ∑j=0

κ∣∣∣ vj+1 + vj

2

∣∣∣2. (5.48)

E tambem, combinando 5.47 e 5.48, reescrevemos 5.46 como

λρ2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 + vj2

∣∣∣2] =

hJ∑j=0

b∣∣∣ vj+1 − vj

h

∣∣∣2 + h

J∑j=0

κuj+1 − uj

h

vj+1 + vj2

+ hJ∑j=0

κ∣∣∣ vj+1 + vj

2

∣∣∣2. (5.49)

Somando correspondentemente, os membros das equacoes 5.45 e 5.49, chegamos no resultado

esperado.



Lema 5.7 (Blow-up). Para qualquer solucao (uj, vj) do problema de autovalor 5.29-??, vale

bhJ∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 =

(1 + p(λ)h2θ

)2κ

2 + 2p(λ)h2(θ − 1

4

)[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣∣2]L∣∣∣ uJh

∣∣∣2+

λρ2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 − κ

bσ(h)

((1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2)].


bhJ∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κhJ∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 → +∞, h2p(λJ/2)(h)→ 4

1− 4θ.

Prova: Tendo em mente os operadores em 3.17 e 3.18, deduzimos:

θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1 =[1− 4θ sin2

(ξnh2

)]uj, (5.50)

daı, reescrevemos a equacao 5.29 como

[λρ1

(1− 4θ sin2

(ξnh

2

))κ

+Bn

Anhsin(ξnh)]uj = − uj+1 − 2uj + uj−1

h2. (5.51)

Substituindo uj de 5.50 naquele de 5.51, obtemos[λρ1

κ+

Bn sin(ξnh)

Anh(

1− 4θ sin2(ξnh

2

))](θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

)= − uj+1 − 2uj + uj−1

h2.

(5.52)

Definimos

p(λ) :=λρ1

κ+

Bn sin(ξnh)

Anh(1− 4θ sin2

(ξnh

2

)) . (5.53)

e, utilizando a razao Bn/An dada em 5.34,

p(λ) :=λρ1

κ+κ

b

4b cos2(ξnh

2

)(4b− 4

(14− θ)κh2)(

1− 4θ sin2(ξnh

2

)) (5.54)



ou,

p(λ) := λ[ρ1

κ+ρ2

bσθ(h)

]5.37=

4

h2sin2

(ξnh2

) 1

1− 4θ sin2(ξnh

2

) , (5.55)

onde σ(h) e o mesmo dado em 5.36.

Assim, reescrevemos 5.52 como

− uj+1 − 2uj + uj−1

h2= p(λ)

[θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

], (5.56)

u0 = uJ+1 = 0.

Multiplicando a equacao 5.56 por huj , somando com j = 1, . . . , J , obtemos

−hJ∑j=1

uj+1 − 2uj + uj−1

h2uj = p(λ)h

J∑j=1

[θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

]uj. (5.57)

Dos calculos anteriores sabemos,

hJ∑j=1

uj+1 − 2uj + uj−1

h2uj = −

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2. (5.58)

Enquanto,

p(λ)hJ∑j=1

[θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

]uj = p(λ)(1− 2θ)h

J∑j=1

∣∣uj∣∣2 + 2p(λ)θhJ∑j=1

ujuj+1

= −p(λ)θhJ∑j=0

∣∣uj+1 − uj∣∣2 + p(λ)h

J∑j=1

∣∣uj∣∣2.(5.59)

Ou, por 5.43, deduzimos:

−p(λ)θhJ∑j=0

∣∣uj+1 − uj∣∣2 + p(λ)h

J∑j=1

∣∣uj∣∣2=(1− 4θ

4

)p(λ)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + p(λ)hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2. (5.60)




hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 = −p(λ)θhJ∑j=0

∣∣uj+1 − uj∣∣2 + p(λ)h

J∑j=1

∣∣uj∣∣2. (5.61)

Ou,

hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 =(1− 4θ

4

)p(λ)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + p(λ)hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2. (5.62)

De 5.61, obtemos

p(λ)hJ∑j=1

∣∣uj∣∣2 =(

1 + p(λ)h2θ)h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2, (5.63)

tomando a norma unitaria hJ∑j=1

∣∣uj∣∣2 = 1, acima:

p(λ) =(1 + p(λ)h2θ

)h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2. (5.64)

Tendo em mente a condicao de contorno, desenvolvemos o ultimo termo quadratico no segundo

membro de 5.63:

p(λ)hJ∑j=1

∣∣uj∣∣2 = 2( 1

h2+ p(λ)θ

)h

J∑j=0

∣∣uj∣∣2 − 2( 1

h2+ p(λ)θ

)h

J∑j=0

ujuj+1. (5.65)

Novamente, tomando a norma unitaria na ultima equacao, resulta

h

J∑j=0

ujuj+1 =1 + p(λ)h2

(θ − 1

2

)1 + p(λ)h2θ

. (5.66)

Agora, multiplicando 5.56 por hjuj+1 − uj−1

2, somando com j = 1, . . . , J obtemos

−hJ∑j=1

uj+1 − 2uj + uj−1

h2juj+1 − uj−1

2= p(λ)h

J∑j=1

[θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

]juj+1 − uj−1

2.

(5.67)



Dos calculos anteriores sabemos,

hJ∑j=1

uj+1 − 2uj + uj−1

h2juj+1 − uj−1

2= −h

J∑j=1

∣∣∣ ujh

∣∣∣2 +L

2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + h

J∑j=1

ujuj+1

h2. (5.68)

Enquanto,

p(λ)hJ∑j=1

[θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

]juj+1 − uj−1

2

= −p(λ)(1− 2θ

2

)h

J∑j=1

ujuj+1 − p(λ)θhJ∑j=1

∣∣uj∣∣2 + p(λ)θL

2

∣∣uJ ∣∣2. (5.69)

Combinando 5.68 e 5.69, reescrevemos 5.67 como segue

h

J∑j=1

∣∣∣ ujh

∣∣∣2 − L

2

∣∣∣ uJh

∣∣∣2 − h J∑j=1

uj uj+1

h2= −p(λ)

(1− 2θ

2

)h

J∑j=1

uj uj+1 − p(λ)θh

J∑j=1

∣∣uj∣∣2 + p(λ)θL

2

∣∣uJ ∣∣2,L

2

(1 + p(λ)h2θ

)∣∣∣ uJh

∣∣∣2 =1

2

(1 + p(λ)h2θ

)h

J∑j=1

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 +p(λ)

2h

J∑j=1

uj uj+1

(5.70)

Substituindo 5.66 em 5.70, obtemos

L∣∣∣ uJh

∣∣∣2 = hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 +p(λ)

1 + p(λ)h2θ

1 + p(λ)h2(θ − 1

2

)1 + p(λ)h2θ

,

e combinando o primeiro termo do segundo membro da ultima equacao com 5.64, obtemos

L∣∣∣ uJh

∣∣∣2 =p(λ)

1 + p(λ)h2θ+

p(λ)

1 + p(λ)h2θ

1 + p(λ)h2(θ − 1

2

)1 + p(λ)h2θ

,

=p(λ)

1 + p(λ)h2θ

[2 + 2p(λ)h2

(θ − 1/4

)1 + p(λ)h2θ

].

De onde deduzimos:

p(λ) =

[1 + p(λ)h2θ

]2

2 + 2p(λ)h2(θ − 1/4

)L∣∣∣ uJh

∣∣∣2. (5.71)



A partir de 5.55, tiramos

λρ1 =

[1 + p(λ)h2θ

]2

κ

2 + 2p(λ)h2(θ − 1/4

)L∣∣∣ uJh

∣∣∣2 − λρ2κ

bσ(h), (5.72)

e combinando com o resultado do Lema 5.6, chegamos na prova da primeira parte do lema. Para

mostrar o blow-up, escolhemos n = J/2 em 5.55:

h2p(λJ/2)(h) =4 sin2

(Jhπ2L

)1− 4θ sin2

(Jhπ2L

) =4 sin2

((L−h)π

2L

)1− 4θ sin2

((L−h)π

2L

)=

4 sin2(π2− πh

2L

)1− 4θ sin2

(π2− πh

2L

) =4 cos2

(πh2L

)1− 4θ cos2

(πh2L

) → 4

1− 4θ, h→ 0. (5.73)

Daı, para 0 6 θ < 1/4:

h2p(λJ/2)(h)(θ − 1/4)→ 4

1− 4θ

4θ − 1

4→ −1, h→ 0. (5.74)

Ou seja,

2 + 2p(λ)h2(θ − 1/4

)→ 0, h→ 0. (5.75)

Consequentemente, λρ1 →∞, h→ 0. Portanto,

bh

J∑j=0

∣∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣∣2 + κh

J∑j=0

∣∣∣∣ uj+1 − ujh

+vj+1 + vj

2

∣∣∣∣2 → +∞, h2p(λJ/2)(h)→ 4

1− 4θ.

O que conclui a prova do lema.




Teorema 5.8. Para qualquer T > 0, temos

sup(ϕj ,ψj) sol. 5.8−5.11

Eθh(0)

L

2

T∫0

[κ∣∣ϕJh

∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0

θρ2∣∣ψ′J ∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt

→∞

quando h→ 0.

Prova: Consideremos a solucao particular do sistema 5.8-5.11 associada ao N-esimo autovalor:

ϕJ(t) = ei√λN tuJ , ψJ = ei

√λN tvJ , N = J/2, N ∈ Z.

De modo que, aplicando-as no termo consequente da expressao acima:

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+L

2

T∫0

θρ2

∣∣ψ′J ∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt=TL

2

[κ∣∣∣ uJ,Jh

∣∣∣2 + θλρ1

∣∣uJ,J ∣∣2]+TL

2θλρ2

∣∣vJ,J ∣∣2 + Tλρ2hJ∑j=0

∣∣vj∣∣2=TL

2

(κ+ θh2λρ1

)∣∣∣ uJh

∣∣∣2 +TL

2θλρ2

∣∣vJ ∣∣2 + Tλρ2hJ∑j=0

∣∣vj∣∣2, (5.76)



combinando∣∣∣ uJh

∣∣∣2 do Lema 5.7 com a identidade acima, continuamos com a igualdade

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0


=

T(κ+ θh2λρ1

)[2 + 2h2p(λ)(θ − 1/4)

][h

J∑j=0

b∣∣∣ vj+1 − vj

h

∣∣∣2 + hJ∑j=0

κ∣∣∣ uj+1 − uj

h+vj+1 + vj

2

∣∣∣2]

2κ[1 + θh2p(λ)

]2[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2]

−T(κ+ θh2λρ1

)[2 + 2h2p(λ)(θ − 1/4)

]2κ[1 + θh2p(λ)

]2[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2]×

λρ2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ vj+1 + vj

2

∣∣∣2 − κ

bσ(h)

((1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2)]

+TL

2θλρ2

∣∣vJ ∣∣2]+ Tλρ2h

J∑j=0

∣∣vj∣∣2.(5.77)

Ao considerar ϕ′j = λ(h)uj e ψ′j = λ(h)vj na relacao 5.27, escrevemos:

Eθh(0) =

(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

λρ1

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

λρ1

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2+(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

λρ2

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

λρ2

∣∣∣ vj+1 + vj2

∣∣∣2+h

2

J∑j=0

b∣∣∣ vj+1 − vj

h

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ uj+1 − uj

h+vj+1 + vj

2

∣∣∣2.E, combinando com o Lema 5.6, obtemos

Eθh(0) = h

J∑j=0

b∣∣∣ vj+1 − vj

h

∣∣∣2 + h

J∑j=0

κ∣∣∣ uj+1 − uj

h+vj+1 + vj

2

∣∣∣2.



Usando este ultimo resultado em 5.77, chegamos a

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt =

T(κ+ θh2λρ1

)[2 + 2h2p(λ)(θ − 1/4)

]2κ[1 + θh2p(λ)

]2[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2]Eθh(0)

−T(κ+ θh2λρ1

)[2 + 2h2p(λ)(θ − 1/4)

]2κ[1 + θh2p(λ)

]2[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2]×

λρ2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 + vj

2

∣∣∣2 − κ

bσ(h)

((1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2)]

+TL

2θλρ2

∣∣vJ ∣∣2 + Tλρ2hJ∑j=0

∣∣vj∣∣2.Daı,

Eθh(0)

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt=

1−

TL

2θλρ2

∣∣vJ ∣∣2 + Tλρ2hJ∑j=0

∣∣vj∣∣2L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0


×

2κ[1 + θh2p(λ)

]2[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2]T(κ+ θh2λρ1

)[2 + 2h2p(λ)(θ − 1/4)

]

+

λρ2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 + vj

2

∣∣∣2 − κ

bσ(h)

((1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2)]

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt.



Ou, usando a identidade 5.76,

Eθh(0)

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt=

L

2

[κ∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + θλρ1∣∣uJ ∣∣2]

L

2

[κ∣∣∣ uJh

∣∣∣2 + θλρ1∣∣uJ ∣∣2]+

L

2θλρ2

∣∣vJ ∣∣2 + λρ2h

J∑j=0

∣∣vj∣∣2

×

2κ[1 + θh2p(λ)

]2[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2]T(κ+ θh2λρ1

)[2 + 2h2p(λ)(θ − 1/4)

]

+

h2λρ2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 − vjh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ vj+1 + vj

2

∣∣∣2 − κ

bσ(h)

((1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj

2

∣∣∣2)]

TL

2

[κ∣∣∣uJ ∣∣∣2 + h2θλρ1

∣∣uJ ∣∣2]+TL

2h2θλρ2

∣∣vJ ∣∣2 + h2Tλρ2h

J∑j=0

∣∣vj∣∣2.

Ao observar o termo de blow-up 5.75, segue-se

Eθh(0)

L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt→∞,

o que conclui a prova do lema.

5.5 Observabilidade das Solucoes Filtradas

O espaco de solucoes filtradas denotado por G, e a contrapartida do Teorema 5.9. Esta deno-

minacao e devida a tecnica de filtragem utilizada para gerar subclasses adequadas de solucoes

numericamente observaveis. Essas solucoes numericas sao solucoes filtradas geradas pelo pro-

blema de autovalor satisfazendo p(λ)h2 6 γ. Isto e, dado qualquer 0 < γ < 4 introduzimos a



seguinte classe de solucoes filtradas para o sistema 5.8-5.10:

Gh(γθ) :=

ϕh =∑

p(λn(h))<γh−2

[an cos(


√λn(h)t)

]un,

ψh =∑

p(λn(h))<γh−2

[an cos(


√λn(h)t)

]vn

,

em que an, bn ∈ IR, λn(h) = p(λ)[ρ1κ

+ ρ2bσθ(h)

]−1

e σθ(h) =4b cos2( ξnh

2)

4b− 4(1/4− θ

)κh2

.

Teorema 5.9. Seja 0 < γθ < 4. Entao, existe T (γθ) > 2LM(γθ) e, consequentemente, umaconstante positivaC(T, γθ), tal que para qualquer T > T (γθ) e verdadeira a estimativa quandoh→ 0:

Eθ,h(0) 6 C(T, γθ)

[L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0

[b∣∣∣ψJh

∣∣∣2 + θρ2∣∣ψ′J ∣∣2]dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt],

para qualquer solucao de 5.8-5.11 na classe Gh(γθ) de solucoes numericas filtradas. Alemdisso,

(a) T (γθ)↗∞ quando γθ ↗ 4;M(γθ)↘M quando γθ ↘ 0 e T (γθ)↘ 2LM quando γθ ↘ 0;

(b) C(T, γθ)↘1

T − 2LMquando γθ ↘ 0.

(M tomado em 2.33

)


(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕj+1 + ϕj2

∣∣∣2+(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

ρ2

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2=b

λh

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +κ

λh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 .Prova: Segue imediatemente do Lema 5.6, quando consideramos a solucao (ϕj, ψj) da forma

(ϕj, ψj) = S(t)(uj, vj).



Corolario 5.11. Para toda solucao (ϕj, ψj) de 5.8-5.10, temos

ρ1hJ∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 6p(λ)

λbh

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +p(λ)

λκh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 .Em que p(λ)

λ= ρ1

κ+ ρ2

bσ(h).

Prova: Temos de 5.63 que

hJ∑j=1

∣∣uj∣∣2 =1 + θh2p(λ)

p(λ)h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2. (5.78)

Notando que

(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

λρ1

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

λρ1

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2= λρ1h

J∑j=1

∣∣uj∣∣2 − θλρ1h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2, (5.79)

combinando com 5.78, obtemos

(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

λρ1

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

λρ1

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2 =λρ1

p(λ)h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2.Considerando a solucao (ϕj, ψj) = S(t)(uj, vj), consequentemente, obtemos

(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕj+1 + ϕj2

∣∣∣2 =ρ1

p(λ)h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2,e usando a ultima identidade no Lema 5.10, deduzimos a prova.



Lema 5.12. Para qualquer solucao(ϕj, ψj

)de 5.8-5.10, temos

Xϕθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Xψθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Yψθ,h(t)

∣∣∣T0

+

h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

[ϕ′jϕ

′j+1 + θh2

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2]dt+h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

[ψ′jψ

′j+1 + θh2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2]dt+h

2

J∑j=0

T∫0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2dt+h

2

J∑j=0

T∫0

κ

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2dt+ h

J∑j=0

T∫0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2dt+θh3

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt=L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+L

2

T∫0

[(b− κh2/4

)∣∣∣ψJh

∣∣∣2 + θρ2

∣∣ψ′J ∣∣2]dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt,onde

Xϕθ,h(t) := ρ1h

J∑j=0

[θ(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)+(1− 2θ

)ϕ′j

]jϕj+1 − ϕj−1

2, (5.80)

Xψθ,h(t) := ρ2h

J∑j=0

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+(1− 2θ

)ψ′j

]jψj+1 − ψj−1

2, (5.81)

Yψθ,h(t) := ρ2h

J∑j=0

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+(1− 2θ

)ψ′j

]ψj. (5.82)

Prova: Multiplicando a equacao 5.8 por hjϕj+1 − ϕj−1

2, somando com j = 1, . . . , J e, inte-

grando em [0, T ], temos

ρ1hJ∑j=1

T∫0

[θ(ϕ′′j+1 + ϕ′′j−1

)+(1− 2θ

)ϕ′′j

]jϕj+1 − ϕj−1

2dt =

h

J∑j=1

T∫0

[κϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ κ

ψj+1 − ψj−1

2h

]jϕj+1 − ϕj−1

2dt. (5.83)



Realizando alguns calculos elementares no primeiro membro da equacao 5.83, temos

ρ1hJ∑j=1

T∫0

[θ(ϕ′′j+1 + ϕ′′j−1

)+(1− 2θ

)ϕ′′j

]jϕj+1 − ϕj−1

2dt

= ρ1h

J∑j=1

[θ(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)+(1− 2θ

)ϕ′j

]jϕj+1 − ϕj−1

2

∣∣∣∣T0

−ρ1hJ∑j=1

T∫0

[θ(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)+(1− 2θ

)ϕ′j

]jϕ′j+1 − ϕ′j−1

2dt. (5.84)

Definimos

Xϕθ,h(t) := ρ1h

J∑j=1

[θ(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)+(1− 2θ

)ϕ′j

]jϕj+1 − ϕj−1

2. (5.85)

Notemos que,

hJ∑j=1

[θ(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)+(1− 2θ

)ϕ′j

]jϕ′j+1 − ϕ′j−1

2=

h

2

J∑j=1

[(θ − 1

)ϕ′j+1 +

(− 1− 2θ

)ϕ′j +

(θ − 1

)ϕ′j−1

]j(ϕ′j+1 − ϕ′j−1

)+h

2

J∑j=1

[ϕ′j+1 + 2ϕ′j + ϕ′j−1

]j(ϕ′j+1 − ϕ′j−1

)=h

2

J∑j=1

j(θ − 1

)(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)(ϕ′j+1 − ϕ′j−1

)−(1 + 2θ

)h2

J∑j=1

jϕ′j(ϕ′j+1 − ϕ′j−1

)−h

2

J∑j=1

∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j∣∣2 +

L

2

∣∣ϕ′J ∣∣2=(θ − 1

)h2

J∑j=1

j∣∣ϕ′j+1

∣∣2 − (θ − 1)h

2

J∑j=1

j∣∣ϕ′j−1

∣∣2 − (1 + 2θ)h

2

J∑j=1

jϕ′jϕ′j+1

+(1 + 2θ

)h2

J∑j=1

jϕ′j−1ϕ′j −

h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j∣∣2 +

L

2

∣∣ϕ′J ∣∣2.



Tendo em mente as condicoes de contorno 5.10, continuamos com a igualdade:

= (θ − 1)h

2

J+1∑j=1

(j − 1)∣∣ϕ′j∣∣2 − (θ − 1)

h

2

J−1∑j=0

(j + 1)∣∣ϕ′j∣∣2 − (1 + 2θ)

h

2

J∑j=1

jϕ′jϕ′j+1

+(1 + 2θ)h

2

J−1∑j=0

(j + 1)ϕ′jϕ′j+1 −

h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣2 +L

2

∣∣ϕ′J ∣∣2= (θ − 1)

h

2

J∑j=1

(j − 1)∣∣ϕ′j∣∣2 − (θ − 1)

h

2

J∑j=1

(j + 1)∣∣ϕ′j∣∣2 + (θ − 1)

L

2

∣∣ϕ′J ∣∣2−(1 + 2θ)

h

2

J∑j=0

jϕ′jϕ′j+1 + (1 + 2θ)

h

2

J∑j=0

(j + 1)ϕ′jϕ′j+1 −

h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j∣∣2 +

L

2

∣∣ϕ′J ∣∣2= −2(θ − 1)

h

2

J∑j=1

∣∣ϕ′j∣∣2 + (1 + 2θ)h

2

J∑j=0

ϕ′ϕ′j+1 −h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣2 +θL

2

∣∣ϕ′J ∣∣2.Somando e subtraindo o termo 2(θ − 1)

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 na ultima linha, temos

= −(θ − 1)h

2

J∑j=1

∣∣ϕ′j∣∣2 − 2(θ − 1)h

2

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 − (θ − 1)

h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1

∣∣2+(1 + 2θ)

h

2

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 + 2(θ − 1)

h

2

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 −

h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣2 +θL

2

∣∣ϕ′J ∣∣2= −(θ − 1)

h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣2 + (4θ − 1)h

2

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 −

h

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j + ϕ′j+1

∣∣2 +θL

2

∣∣ϕ′J ∣∣2= −θh

2

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 − h

2

J∑j=0

ϕ′jϕ′j+1 +

θL

2

∣∣ϕ′J ∣∣2.De modo que, reescrevemos a equacao 5.84 como

Xϕθ,h

∣∣∣T0

+h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

[ϕ′jϕ

′j+1 + θh2

∣∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣∣2]dt− θL

2

T∫0

ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2dt. (5.86)



De calculos anteriores temos que

hJ∑j=1

T∫0

[κϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ κ

ψj+1 − ψj−1

2h

]jϕj+1 − ϕj−1

2dt

= −h2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣∣2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt− κh

2

J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt

−κL2

T∫0

ψJ2

ϕJhdt+ κLh. (5.87)

Em que, κLh e definido como em 3.47. Combinando 5.86 e 5.87 com 5.83, obtemos

Xϕθ,h

∣∣∣T0

+h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

[ϕ′jϕ

′j+1 + θh2

∣∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣∣2]dt− θL

2

T∫0

ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2dt= −h

2

J∑j=0

T∫0

κ

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣∣2dt+κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJh

∣∣∣2dt− κh

2

J∑j=0

T∫0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

dt

−κL2

T∫0

ψJ2

ϕJhdt+ κLh. (5.88)

Analogamente, para a equacao 5.9,

Xψθ,h(t)

∣∣∣T0

+h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

[ψ′jψ

′j+1 + θh2

∣∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣∣2]dt− θL

2

T∫0

ρ2

∣∣ψ′J ∣∣2dt= −h

2

J∑j=0

T∫0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2dt+bL

2

T∫0

∣∣∣ψJh

∣∣∣2dt+h

2

J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt− κLh

+L

2

T∫0

κϕJh

ψJ2dt+

h

2

J∑j=0

T∫0

κ

∣∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣∣2dt− κL

2

J∑j=0

T∫0

∣∣∣ψJ2

∣∣∣2dt,(5.89)

onde

Xψθ,h(t) = ρ1h

J∑j=1

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+(1− 2θ

)ψ′j

]jψj+1 − ψj−1

2. (5.90)



E, por fim, multiplicando 5.9 por hψj , somando com j = 1, . . . , J e integrando de [0, T ], temos

ρ2hJ∑j=1

T∫0

[θ(ψ′′j+1 + ψ′′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′′j

]ψj dt =

hJ∑j=1

T∫0

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h− κψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]ψj dt. (5.91)

Do primeiro membro resulta,

ρ2h

J∑j=1

T∫0

[θ(ψ′′j+1 + ψ′′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′′j

]ψj dt =

ρ2hJ∑j=1

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′j

]ψj

∣∣∣T0

−ρ2hJ∑j=1

T∫0

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′j

]ψ′j dt. (5.92)

Definimos

Yψθ,h(t) := ρ2h

J∑j=1

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′j

]ψj. (5.93)

Notemos, tendo em mente as condicoes de contorno,

hJ∑j=1

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′j

]ψ′j = −θh3

J∑j=0

∣∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣ψ′j∣∣2. (5.94)

De modo que,

ρ2h

J∑j=1

T∫0

[θ(ψ′′j+1 + ψ′′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′′j

]ψj dt =

Yψθ,h(t)

∣∣∣T0

+ θh3

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣∣ψj+1 − ψ′jh

∣∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣2dt. (5.95)



Enquanto, de calculos anteriores, temos

hJ∑j=1

T∫0

[bψj+1 − 2ψj + ψj−1

h2− κϕj+1 − ϕj−1

2h− κψj+1 + 2ψj + ψj−1

4

]ψj dt

= −hJ∑j=0

T∫0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt− hJ∑j=0

T∫0

κ

∣∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣∣2dt(5.96)


Yψθ,h(t)

∣∣∣T0

+ θh3

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣ψ′j∣∣2dt= −h

J∑j=0

T∫0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt− hJ∑j=0

T∫0

κ

∣∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣∣2dt.(5.97)

Finalmente, somando os membros das igualdades 5.88, 5.89 e 5.97, obtemos

Xϕθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Xψθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Yψθ,h(t)

∣∣∣T0

+

h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

[ϕ′jϕ

′j+1 + θh2

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2]dt+h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

[ψ′jψ

′j+1 + θh2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2]dt+h

2

J∑j=0

T∫0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2dt+h

2

J∑j=0

T∫0

κ

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2dt+θh3

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt+ hJ∑j=0

T∫0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2dt=L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+L

2

T∫0

[(b− κh2/4

)∣∣∣ψJh

∣∣∣2 + θρ2

∣∣ψ′J ∣∣2]dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt.O que conclui a prova do lema 5.12.



Lema 5.13 (Equiparticao da energia). Para h > 0 e (ϕ, ψ) solucao de 5.8-5.11, temos

ρ1hJ∑j=0

T∫0

[(1− 4θ

4

)h2∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j

h

∣∣∣2 − ∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2] dt+ρ2h

J∑j=0

T∫0

[(1− 4θ

4

)h2∣∣∣ψ′j+1 − ψ′j

h

∣∣∣2 − ∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2] dt= h

J∑j=0

T∫0

b

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2dt+ hJ∑j=0

T∫0

κ

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2dt+ Yϕθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Yψθ,h(t)

∣∣∣,0

onde

Yϕθ,h(t) := ρ1h

J∑j=1

[θ(ϕ′j+1 + ϕ′j−1

)+ (1− 2θ)ϕ′j

]ϕj,

Yψθ,h(t) := ρ2h

J∑j=1

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′j

]ψj.

Prova: Multiplicando-se a equacao 5.8 por hϕj , somando com j = 1, . . . , J , integrando em

[0, T ], temos

hJ∑j=1

T∫0

ρ1

(θϕ′′j+1 + (1− 2θ)ϕ′′j + θϕ′′j−1

)ϕj dt

= hJ∑j=1

T∫0

[κϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ κ

ψj+1 − ψj−1

2h

]ϕj dt. (5.98)

Definindo

Yϕθ,h(t) := h

J∑j=1

(θϕ′j+1 + (1− 2θ)ϕ′j + θϕ′j−1

)ϕj,

notemos

h

J∑j=1

T∫0

(θϕ′′j+1 + (1− 2θ)ϕ′′j + θϕ′′j−1

)ϕj dt = Yϕ

θ,h(t)∣∣∣T0− h

J∑j=1

T∫0

(θϕ′j+1 + (1− 2θ)ϕ′j + θϕ′j−1

)ϕ′j dt.



Vamos resolver o ultimo termo no segundo membro:

h

J∑j=1

(θϕ′j+1 + (1− 2θ)ϕ′j + θϕ′j−1

)ϕ′j = h

J∑j=1

(θϕ′j+1 +

1− 2θ

2ϕ′j

)ϕ′j︸︷︷︸

:=I1h(t)

+h

J∑j=1

(θϕ′j +

1− 2θ

2ϕ′j−1

)ϕ′j︸︷︷︸

:=I2h(t)

.

Daı, tendo em mente as condicoes de contorno, temos

I1h(t) = h

J∑j=1

[(1− 2θ

2− θ)ϕ′j + θ

(ϕ′j+1 + ϕ′j

)]ϕ′j = h

J∑j=0

(1− 4θ

2

)∣∣ϕ′j∣∣2 + θh

J∑j=0

(ϕ′j+1 + ϕ′j

)ϕ′j

e, analogamente,

I2h(t) = h

J∑j=1

[(1− 2θ

2− θ)ϕ′j + θ

(ϕ′j + ϕ′j−1

)]ϕ′j = h

J∑j=0

(1− 4θ

2

)∣∣ϕ′j+1

∣∣2 + θh

J∑j=0

(ϕ′j+1 + ϕ′j

)ϕ′j+1,

de modo que,

2∑k=1

Ikh(t) =(1− 4θ

2

)h

J∑j=0

(∣∣ϕ′j∣∣2 +∣∣ϕ′j+1

∣∣2)+ θhJ∑j=0

∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j∣∣2.

Ou,

2∑k=1

Ikh(t) =(1− 4θ

2

)h

J∑j=0

(∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 + 2ϕ′jϕ

′j+1

)+ θh

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j∣∣2 − h J∑

j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2+ h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2=(1− 4θ

2

)h

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 +

(1− 4θ

4

)h

J∑j=0

4ϕ′jϕ′j+1 −

(1− 4θ

4

)h

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j∣∣2

+ h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2=(1− 4θ

2

)h

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 − (1− 4θ

4

)h

J∑j=0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2=(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2. (5.99)



Enquanto,

h

J∑j=1

[κϕj+1 − 2ϕj + ϕj−1

h2+ κ

ψj+1 − ψj−12

]ϕj = −h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 − h J∑j=0

ϕj+1 − ϕjh

ψj+1 + ψj2

(5.100)


−(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2dt+ Yϕθ,h(t)

∣∣T0

=

−hJ∑j=0

T∫0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h

∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt. (5.101)

Analogamente, multiplicando a equacao 5.9 por hψj , somando com j = 1, . . . , J , integrando

em [0, T ], obtemos

−(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2dt+ Yψθ,h(t)

∣∣T0

=

−hJ∑j=0

T∫0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 − h J∑j=0

T∫0

κϕj+1 − ϕj

h

ψj+1 + ψj2

dt− hJ∑j=0

T∫0

κ∣∣∣ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2dt,(5.102)

onde

Yψθ,h(t) := ρ2h

J∑j=1

[θ(ψ′j+1 + ψ′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′j

]ψj.



Somando correspondentemente os membros das igualdades 5.101 e 5.102, chegamos em

(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2dt+(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt− h J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2dt+ Yϕθ,h(t)

∣∣T0

+ Yψθ,h(t)

∣∣T0

= hJ∑j=0

T∫0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 + h

J∑j=0

T∫0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2dt.O que conclui a prova do lema.

Corolario 5.14. Para qualquer h > 0, 0 6 t < T e (ϕ, ψ) solucao de 5.8-5.11, temos

hJ∑j=0

T∫0

{ρ1

[(1− 4θ

4

)h2∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j

h

∣∣∣2 +J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2]

+ρ2

[(1− 4θ

4

)h2∣∣∣ψ′j+1 − ψ′j

h

∣∣∣2 +J∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2]} = TEθ,h(t) +Yϕθ,h(t)

∣∣T0

2+

Yψθ,h(t)

∣∣T0

2,

com Yϕθ,h(t) e Yψ

θ,h(t) como no Lema 5.13.

Prova: Segue imediatamente do Lema 5.13.

Lema 5.15. Para qualquer h > 0, 0 6 t < T e (ϕ, ψ) solucao de 5.8-5.11, temos as seguintes

estimativas:

hJ∑j=0

∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j∣∣2 6 p(Λ)h3

J∑j=0

[(1− 4θ

4

)h2∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′j

h

∣∣∣2 +∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j

2

∣∣∣2],h

J∑j=0

∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣2 6 p(Λ)h3

J∑j=0

[(1− 4θ

4

)h2∣∣∣ψ′j+1 − ψ′j

h

∣∣∣2 +∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j

2

∣∣∣2],onde p(Λ) = p(λJ/2) e um autovalor de entrada no desenvolvimento da serie de Fourier.



Prova: Sejam as solucoes do problema 5.8-5.11, associadas, correspondentemente, aos seus

autovetores, com i2 − 1, da forma:

ϕ(xj, t) =∑

|p(µn)|6√p(Λ)

aneip(µn)tun,j e ψ(xj, t) =

∑|p(µn)|6

√p(Λ)

aneip(µn)tvn,j,

com un,j = A sin(ξnxj) e vn,j = B[1−cos(ξnxj)

], ξn = 2nπ/L.Vamos demonstrar a primeira

desigualdade do lema. A partir da funcao ϕ(xj, t), obtemos

ϕ′(xj, t) = ϕ′j(t) = p(µn)i∑

|p(µn)|6√p(Λ)

aneip(µn)tun,j,

com p(µn) =√p(λn) para n > 0 e p(µ−n) = −p(µn). Daı,

hJ∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 = h

J∑j=0

∣∣∣∣ ∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

anp(µn)ieip(µn)t(un,j+1 − un,j

)∣∣∣∣2

= hJ∑j=0

[ ∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

|an|2|p(µn)|2∣∣∣un,j+1 − un,j

∣∣∣2+

∑|p(µn)|6=|p(µl)|≤

√p(Λ)

analp(µn)p(µl)e(p(µn)+p(µl))t

(un,j+1 − un,j

)(ul,j+1 − ul,j

)].

Da ortogonalidade dos autovetores un e ul, para p(µn) 6= p(µl) temos

∑|p(µn)|6=|p(µl)|≤

√p(Λ)

(un,j+1 − un,j

)(ul,j+1 − ul,j

)= 0.

Portanto,

hJ∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 = h

J∑j=0

∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

|an|2|p(µn)|2∣∣∣un,j+1 − un,j

∣∣∣2.



De 5.62 reescrevemos a ultima identidade:

h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 =

∑|p(µn)|≤

√p(Λ)

|an|2|p(µn)|2h2p(λ)

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 − ujh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ uj+1 + uj2

∣∣∣2].Daı, deduzimos

h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1(t)− ϕ′j(t)∣∣∣2 6 p(Λ)h2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2],o que conclui a primeira parte da prova. A seguir, afirmamos ser valida a estimativa:

hJ∑j=0

∣∣∣ψ′j+1(t)− ψ′j(t)∣∣∣2 6 p(Λ)h2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2].De fato, notemos que

hJ∑j=0

|ψ′j+1 − ψ′j|2 64

1− 4θh

J∑j=0

[1− 4θ

4h2

J∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +J∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2].(5.103)

Suponhamos que

hJ∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′j∣∣∣2 > p(Λ)h2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2],mas p(Λ)h2 → 4

1−4θ, quando h→ 0, entao

limh→0

J∑j=0

|ψ′j+1 − ψ′j|2 > limh→0

p(Λ)h2

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2],>

4

1− 4θ

[(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2],o que contradiz 5.103.



Lema 5.16. Para qualquer h > 0, , 0 6 t 6 T e (ϕ, ψ) solucao de 5.8-5.11, temos

∣∣Zϕθh(t)

∣∣ 6√L2 −

(1/4− θ

)p(Λ)h4

4+

3p(Λ)h2(1/4− θ

)(1 + θh2p(λ)

)4p(λ)

×[(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2+

p(λ)

λ

h

2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +p(λ)

λ

h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2], (5.104)

|Zψθ,h(t)| 6

√L2 −

p(Λ)h4(1/4− θ

)4

+3p(Λ)h2

(1/4− θ

)(b+ θλh2

)4λρ2

×[1− 4θ

4

h3

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2]

+

√3p(Λ)h2

(1/4− θ

)4λ

[1− 4θ

4

h3

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2+h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]

+1− 4θ

4

h3

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2b+ θλh2

λb

h

2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +1

λ

h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2], (5.105)

onde

Zϕθh(t) = ρ1h

J∑j=1

[θ(ϕ′j+1 − ϕ′j−1) + (1− 2θ)ϕ′j

][jϕj+1 − ϕj−1

2+ ηθϕj

], (5.106)

Zψθh(t) = ρ2h

J∑j=1

[θ(ψ′j+1 − ψ′j−1) + (1− 2θ)ψ′j

][jψj+1 − ψj−1

2+ (1 + ηθ)ψj

], (5.107)

com

ηθ = −(1/4− θ

)p(Λ)h2

2, θ ∈

[0, 1/4

). (5.108)



Primeiramente, notemos que

|ηθ| =(1/4− θ

)p(Λ)h2

2, (5.109)

e, em virtude de 5.73 temos p(Λ)h2(1/4− θ

)< 1, o que resulta

|ηθ| < 1/2. (5.110)

Alem disso,

η2θ + |ηθ| = |ηθ|2 + |ηθ| = |ηθ|

(|ηθ|+ 1

)<

3

2

p(Λ)h2

2

(1/4− θ)︸︷︷︸

=|ηθ|

. (5.111)

Prova: Vamos em busca de uma estimativa para Zϕθh(t). Para isso, procedendo analogamente

como no Lema 3.7 em [6], temos

Zϕθ,h(t) = h

J∑j=1

ρ1

[θϕ′j+1 + (1− 2θ)ϕ′j + θϕ′j−1

][jϕj+1 − ϕj−1

2+ ηθϕj

]= ρ1h

J∑i,j=1

mθ,ijaθibj,

(5.112)

onde

aθi = iϕi+1 − ϕi−1

2+ ηθϕi, bi = ϕ′i, (5.113)

em que mθij sao as entradas da matriz Mθ dada por

Mθ =

1− 2θ θ 0 0

θ. . . . . . 0

0. . . . . . θ

0 0 θ 1− 2θ

J×J

. (5.114)

Temos que

|Zϕθ,h| 6

(ρ1h

J∑i,j=1

mθ,ijaθiaθj

)1/2(ρ1h

J∑i,j=1

mθ,ijbθibθj

)1/2

. (5.115)



Observemos que

hJ∑

i,j=1

mθ,ijbθibθj = h

J∑j=1

[θ(ϕ′j+1 + ϕ′j−1)ϕ′j + (1− 2θ)|ϕ′j|2

]= I1h + I2h, (5.116)

onde Iih, i = 1, 2 sao os mesmos funcionais do Lema 5.13 (equiparticao da energia). Entao,

temos

ρ1hJ∑

i,j=1

mθ,ijbθibθj =1− 4θ

4h3

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2. (5.117)

Enquanto,

hJ∑

i,j=1

mθ,ijaθiaθj 6 hJ∑j=1

|aθi|2. (5.118)

Dos calculos anteriores (ver 4.78, na prova do Lema 4.16), temos que

hJ∑j=1

|aθi|2 = hJ∑j=1

∣∣∣jϕj+1 − ϕj−1

2+ ηθϕj

∣∣∣2 6(L2 − |ηθ|h

2

2

)h

J∑j=0

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2 +(η2θ + |ηθ|

)h

J∑j=0

|ϕj|2, (5.119)

e, tendo em vista o ultimo termo da desigualdade acima, considerando (ϕj, ψj) = S(t)(uj, vj)

em 5.78, reescrevemos:

ρ1h

J∑j=1

∣∣∣jϕj+1 − ϕj−1

2+ ηθϕj

∣∣∣2 6(L2 − |ηθ|h

2

2+

(η2θ + |ηθ|

)(1 + θh2p(λ)

)p(λ)

)h

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

∣∣∣2. (5.120)



Por ultimo, combinando com 5.11, chegamos em

ρ1hJ∑

i,j=1

mθ,ijaθiaθj 6

(L2 − |ηθ|h

2

2+

(η2θ + |ηθ|

)(1 + θh2p(λ)

)p(λ)

)×

p(λ)

λbh

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +p(λ)

λκh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 . (5.121)

Portanto, combinando 5.117 e 5.121 com 5.115, obtemos

|Zϕθ,h(t)| 6

√L2 − |ηθ|h

2

2+

(η2θ + |ηθ|

)(1 + θh2p(λ)

)p(λ)

×[1− 4θ

4h3

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2]1/2

×

[p(λ)

λh

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +p(λ)

λh

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]1/2

.

Aplicando a desigualdade de Young,

|Zϕθ,h(t)| 6

√L2 − |ηθ|h

2

2+

(η2θ + |ηθ|

)(1 + θh2p(λ)

)p(λ)

×[1− 4θ

4

h3

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2+

p(λ)

λ

h

2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2 +p(λ)

λh

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]. (5.122)

Usando as expressoes 5.109 e 5.111 na ultima desigualdade, chegamos no resultado.

Agora, analogamente, como em 5.112-5.119, deduzimos

Zψθ,h(t) = h

J∑j=1

ρ2

[θψ′j+1 + (1− 2θ)ψ′j + θψ′j−1

][jψj+1 − ψj−1

2+ (1 + ηθ)ψj

]= ρ2h

J∑i,j=1

mθ,ijaθibj + ρ2h

J∑i,j=1

mθ,ijbjcj, (5.123)



onde aθi, bj e mθ,ij sao analogos a 5.113 e 5.114, respectivamente, e ci = ψi. De modo que,

|Zψθ,h| 6

(ρ2h

J∑i,j=1

mθ,ijaθiaθj

)1/2(ρ2h

J∑i,j=1

mθ,ijbibj

)1/2

+

(ρ2h

J∑i,j=1

mθ,ijbibj

)1/2(ρ2h

J∑i,j=1

mθ,ijcicj

)1/2

. (5.124)

E, portanto

[1− 4θ

4h3

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2]1/2

×

[(L2 − |ηθ|h

2

2

)h

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 +(η2θ + |ηθ|

)h

J∑j=0

ρ2|ψj|2]1/2

+

[1− 4θ

4h3

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2]1/2

×[h

J∑j=0

ρ2|ψj|2]1/2

. (5.125)

Fazendo alguns calculos, notamos

(1− 4θ

4

)h3

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

ρ2

∣∣∣ψj+1 + ψj2

∣∣∣2 = hJ∑j=1

ρ2|ψj |2 − θh3J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2,e, usando esta ultima identidade no Lema 5.10, obtemos

ρ2h

J∑j=1

|ψj|2 6b+ θλρ2h

2

λh

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +κ

λh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2 .(5.126)



Combinando 5.126 com 5.125, obtemos

|Zψθ,h(t)| 6

√L2 − |ηθ|h

2

2+

(η2θ + |ηθ|

)(b+ θλρ2h2)

λρ2×[

1− 4θ

4h3

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2]1/2[h

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣2]1/2

+

√η2θ + |ηθ|λ

×

[1− 4θ

4h3

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + hJ∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2]1/2

×

[h

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]1/2

+

[1− 4θ

4h3

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 + h

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2]1/2

×

[b+ θλh2

λh

J∑j=0

∣∣∣∣ψj+1 − ψjh

∣∣∣∣2 +κ

λh

J∑j=0

∣∣∣∣ϕj+1 − ϕjh

+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣∣2]1/2

. (5.127)

E, usando na ultima expressao a desigualdade de Young, as relacoes 5.109 e 5.111, agrupando

os termos comuns, chegamos no resultado.



Prova do Teorema 5.9. Completando os termos da energia no resultado do Lema 5.12, obtemos

T∫0

Eθh(t) dt+ Xϕ

θ,h(t)∣∣∣T0

+ Xψθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Yψθ,h(t)

∣∣∣T0

+h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

[ϕ′jϕ

′j+1 + θh2

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2]dt+h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

[ψ′jψ

′j+1 + θh2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2]dt−(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2dt− h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2dt−(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt− h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2dt+θh3

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt+ hJ∑j=0

T∫0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2dt=L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+L

2

T∫0

[(b− κh2/4

)∣∣∣ψJh

∣∣∣2 + θρ2

∣∣ψ′J ∣∣2]dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt.(5.128)

Desenvolvendo calculos elementares nos termos da ultima expressao acima, como segue,

h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1ϕ′jϕ′j+1 + θ

h3

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2dt−(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2dt− h

2

J∑j=0

T∫0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2dt= −

(1/4− θ

)h

J∑j=0

ρ1

(ϕ′j+1 − ϕ′j

)2



e

h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2ψ′jψ′j+1 + θ

h3

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt−(1− 4θ

4

)h3

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt− h

2

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2dt= −

(1/4− θ

)h

J∑j=0

ρ2

(ψ′j+1 − ψ′j

)2.

E, considerando b− κh2/4 < 0 em 5.128, deduzimos

T∫0

Eθh(t) dt+ Xϕ

θ,h(t)∣∣∣T0

+ Xψθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Yψθ,h(t)

∣∣∣T0−(1/4− θ

)h

J∑j=0

ρ1

(ϕ′j+1 − ϕ′j

)2

−(1/4− θ

)h

J∑j=0

ρ2

(ψ′j+1 − ψ′j

)2+ θh3

J∑j=0

T∫0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2dt+ hJ∑j=0

T∫0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2dt6L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+L

2

T∫0

θρ2

∣∣ψ′J ∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt.Agora, usando na ultima expressao o Lema 5.15 e, depois o Corolario 5.14, obtemos

TEθh(t)−

(1/4− θ

)p(Λ)h2TEθ,h(t)−

(1/4− θ

)p(Λ)h2

2Yϕθ,h(t)

∣∣∣T0

−(1/4− θ

)p(Λ)h2

2Yψθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Xϕθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Xψθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Yψθ,h(t)

∣∣∣T0

6L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+L

2

T∫0

θρ2

∣∣ψ′J ∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt.Arrumando melhor,

T[1−

(1/4− θ

)p(Λ)h2

]Eθ,h(t) + Zϕθ,h(t)

∣∣∣T0

+ Zψθ,h(t)∣∣∣T0

6L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+L

2

T∫0

θρ2

∣∣ψ′J ∣∣2dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt,



onde

Zϕθ,h(t) = Xϕθ,h(t)−

(1/4− θ

)p(Λ)h2

2Yϕθ,h(t),

Zψθ,h(t) = Xψθ,h(t)−

(1/4− θ

)p(Λ)h2

2Yψθ,h(t) + Yψ

θ,h(t).

Tendo em mente as identidades 5.80, 5.81 e 5.82, reescrevemos

Zϕθ,h(t) = ρ1hJ∑j=1

[θ(ϕ′j+1 − ϕ′j−1

)+ (1− 2θ)ϕ′j

][jϕj+1 − ϕj−1

2+ ηθϕj

]e,

Zψθ,h(t) = ρ2hJ∑j=1

[θ(ψ′j+1 − ψ′j−1

)+ (1− 2θ)ψ′j

][jψj+1 − ψj−1

2+ (1 + ηθ)ψj

],

onde

ηθ = −(1/4− θ

)p(Λ)h2

2.

Assim, combinando-se os lemas 5.1 e 5.16, levando em conta

H(γθ) := max

{γθ(1 + θh2p(λ)

)p(λ)

,γθ(b+ θλh2ρ2

)λρ2

}, γθ =

(1− 4θ

)p(Λ)h2,

temos

T (1− γθ/4)Eθ,h(0)− 2

√L2 − γθh2

2+

3

2H(γθ)

[(1− 4θ

4

)h32

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 − ϕ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ1

∣∣∣ϕ′j+1 + ϕ′j2

∣∣∣2+A(γθ)

((1− 4θ

4

)h32

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 − ψ′jh

∣∣∣2 +h

2

J∑j=0

ρ2

∣∣∣ψ′j+1 + ψ′j2

∣∣∣2)+ B(γθ)h

2

J∑j=0

b∣∣∣ψj+1 − ψj

h

∣∣∣2+C(γθ)

h

2

J∑j=0

κ∣∣∣ϕj+1 − ϕj

h+ψj+1 + ψj

2

∣∣∣2]

6L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt,



onde

A(γθ) = 1 +

√3γθ2λ√

L2 − γθh2

2+ 3H(γθ)

2

+1√

L2 − γθh2

2+ 3H(γθ)

2

,

B(γθ) =ρ2

b+p(λ)

λ+

b+ θλh2ρ2

bλ√L2 − γθh2

2+ 3H(γθ)

2

,

C(γθ) =p(λ)

λ+

√3γθ2λ√

L2 − γh2

2+ 3H(γθ)

2

+1

λ√L2 − γθh2

2+ 3H(γθ)

2

.

A partir daı, escolhendoM(γθ) = max{

1,A(γθ),B(γθ),C(γθ)}

, chegamos no resultado

Eθ,h(0) 6 C(T, γθ)

[L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+

L

2

T∫0


J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt],

em que

C(T, γθ) =1

T (1− γθ/4)− 2M(γθ)√L2 − γθh2

2+ 3H(γθ)

2

(5.129)

Notemos que C(T, γθ) > 0, desde que

T > T (γθ) =2M(γθ)

√L2 − γθh2

2+ 3H(γθ)

2

1− γθ/4, (5.130)

concluindo assim a prova do teorema.


CAPITULO 6

Conclusao

6.1 Semidiscretizacoes e Observabilidade Uniforme

O objeto de estudo desta tese foi o sistema de Timoshenko conservativo com condicoes de

fronteira do tipo Dirichlet mais condicoes iniciais, conforme 2.1-2.4. Em que, os resultados

apresentados sao importantes do ponto de vista da analise numerica teorica. Nao nos preocu-

pamos com a questao da convergencia dos esquemas semidiscretos estudados neste trabalho.

Exibimos uma desigualdade de observabilidade numerica uniforme nos esquemas semidiscre-

tos em diferencas finitas e elementos finitos, em que para este ultimo utilizamos um estencil de

configuracao. Atraves de uma combinacao linear e convexa, parametrizada por θ, θ ∈ [0, 1/4),

aplicada nos termos de aceleracao das equacoes de deslocamento e de rotacao do sistema 2.1-

2.4, generalizamos os casos estudados em diferencas finitas e elementos finitos. Como parte da

tecnica de filtragem, introduzimos uma subclasse de solucoes filtradas, Ch(γ), dadas em serie

de Fourier que levaram em conta autovetores da forma:

uj(x) = A sin(2nπ

Lxj); vj(x) = B

[1− cos

(2nπ

Lxj)], n ∈ N, j = 0, 1, . . . , J + 1. (6.1)

Ressaltamos que a paridade do modo de vibracao e par porque permite as solucoes satisfazerem

a condicao de contorno do tipo Dirichlet.

139

6.1. Semidiscretizacoes e Observabilidade Uniforme 140

Em todas as configuracoes numericas semidiscretas, foi feito um desacoplamento na primeira

equacao do problema de autovalor, resgatando um problema similar ao problema espectral tra-

tado para a equacao da onda na secao 2.1, em [8]:

Diferencas Finitas:[λρ1

κ+Bn sin

(ζnh)

Anh

]︸︷︷︸

:=p(λ)

uj = − uj+1 − 2uj + uj−1

h2

Elementos Finitos:[λρ1

κ+Bn sin(ζnh)

Anh

3

2 + cos(ζnh)

]︸︷︷︸

:=q(λ)

uj+1 + 4uj + uj−1

6= − uj+1 − 2uj + uj−1

h2

Esquema-θ no termo de aceleracao:[λρ1

κ+

Bn sin(ζnh)

Anh(

1− 4θ sin2(ζnh

2

))]

︸︷︷︸:=pθ(λ)

(θuj+1 + (1− 2θ)uj + θuj−1

)= − uj+1 − 2uj + uj−1

h2.

Isto permitiu alcancar os resultados de observabilidade dos autovetores e, estender para a obser-

vabilidade das solucoes dos correspondentes problemas semidiscretos:

Observabilidade das solucoes - Diferencas Finitas:

Eh(0) 6 C(T, γ)

[κL

2

T∫0

∣∣∣ϕJ(t)

h

∣∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

|ψ′j(t)|2], (6.2)

Observabilidade das solucoes - Elementos Finitos:

Fh(0) 6 C(T, γ)

[L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + ρ1

∣∣ϕ′J ∣∣26

]dt+

L

2

T∫0

ρ2

∣∣ψ′J ∣∣26

dt+ ρ2h

J∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt],

(6.3)


Capıtulo 6. Conclusao 141

Observabilidade das solucoes - Metodo-θ no termo de aceleracao:

Eθ,h(0) 6 C(T, γθ)

[L

2

T∫0

[κ∣∣∣ϕJh

∣∣∣2 + θρ1

∣∣ϕ′J ∣∣2]dt+L

2

T∫0

θρ2

∣∣ψ′J ∣∣2dt+ ρ2hJ∑j=0

T∫0

∣∣ψ′j∣∣2dt],

(6.4)

Com o esquema-θ aplicado nos termos de aceleracao do sistema semidiscreto de timoshenko,

pudemos generalizar os resultados para a observabilidade de solucoes numericas do problema

2.1-2.4, bastando variar o parametro θ entre [0, 1/4). Em particular, a partir de 6.4, analisamos

a observabilidade dos seguintes casos:

• para θ = 0: caso 6.2.

pθ(λ) = p(λ); γθ = γ; C(T, γθ) = C(T, γ).

• para θ = 1/6: caso 6.3

pθ(λ) = q(λ); γθ = γ/3; C(T, γθ) = C(T, γ).

6.2 Esquema-θ na Analise de Sobrestimacao no Rigidez

Com o auxılio do esquema-θ, apresentamos uma justificativa da utilizacao da forma nao usual

para a semidiscretizacao do angulo de rotacao encontrada nas configuracoes dos esquemas

numericos presentes no trabalho. Analisamos a questao da sobrestimacao na rigidez, no qual

verificamos que o parametro θ = 1/4, livra o esquema do fenomeno de trancamento no cor-

tante, bem como, o esquema-θ aplicado nos termos de aceleracao das equacoes do sistema se-

midiscreto de Timoshenko preserva a observabilidade uniforme para uma subclasse de solucoes

filtradas. Isto e, a partir de bθh,

bθh = b[1 +

κh2

b

(1/4− θ

)],

temos o seguinte:

• Para θ = 1/4, bθh = b. (O esquema e livre da sobrestimacao);

• Para θ ∈ [0, 1/4[, bθh = αb, α > 1. (O esquema gera anomalia numerica).


6.3. Questoes em Aberto 142

6.3 Questoes em Aberto

Observabilidade dos Autovetores. Como comentamos acima, em todas as configuracoes

numericas semidiscretas tratadas nesta tese, foi realizado o desacoplamento das autofuncoes

u(x) e v(x), na primeira equacao dos correspondentes Problemas de Autovalor. Outra alterna-

tiva seria avaliar a desigualdade de observabilidade sem a necessidade de desacoplamento.

Autovetores. A primeira opcao de escolha das candidatas a solucao do Problema de Autovalor

foi a de satisfazer nossa condicao de contorno do tipo Dirichlet. Assim, podemos escolher como

outras candidatas o par de funcoes:

(u(x), v(x)) =(An sin

(nπ/Lx

), Bn sin

(nπ/Lx

)), ∀n ∈ N

e, buscar condicoes de compatibilidade que as torne solucao do Problema de Autovalor.

Condicoes de Contorno. Dentro da abordagem da observabilidade uniforme, outro ponto seria

estudar o sistema de Timoshenko dissipado, com condicoes de fronteira nos termos de tensao

como segue:

ρ1ϕtt − κ(ϕx + ψ)x = 0, em (0, L)× (0, T ) (6.5)

ρ2ψtt − bψxx + κ(ϕx + ψ) = 0, em (0, L)× (0, T ) (6.6)

com dissipacao na fronteira L para os termos de tensao:

ϕ(0, t) = ψ(0, t) = 0,∀t ≥ 0, (6.7)

bψx(L, t) = −β2ψt(L, t),∀t ≥ 0 (6.8)

κ(ϕx + ψ)(L, t) = −β1ϕt(L, t), ∀t ≥ 0, (6.9)

mais as condicoes iniciais:

ϕ(·, 0) = ϕ0, ϕt(·, 0) = ϕ1, ψ(·, 0) = ψ0, ψt(·, 0) = ψ1,∀x ∈ (0, L). (6.10)


Capıtulo 6. Conclusao 143

A energia de solucoes do sistema 6.5-6.10 e dada por

E(t) :=1

2

L∫0

{ρ1|ϕt|2dx+ ρ2|ψt|2dx+ b|ψx|2dx+ κ|ϕx + ψ|2

}dx, ∀t ≥ 0 (6.11)

e, obedece a lei de dissipacao:

d

dtE(t) = −β2|ψt(L, t)|2 − β1|ϕt(L, t)|2, ∀t ∈ (0, T ), (6.12)

mostrando que a energia de cada solucao decresce quando o tempo cresce.

O decaimento exponencial da energia de solucoes do sistema 6.5-6.10 e um passo importante

a ser estudado. Kim e Renardy [17], provaram que a energia de solucoes do sistema 6.5-6.10

satisfaz a estimativa:

E(t) ≤ME(0)e−ωt, ∀t ∈ (0, T ), (6.13)

para algum M > 0 e ω > 0 independentes da solucao mas dependendo dos coeficientes e do

coeficiente de dissipacao. Por outro lado, sabemos que a desigualdade de observabilidade tem

um importante papel no decaimento exponencial. E o caso da equacao de onda com dissipacao

na fronteira em que o decaimento exponencial e equivalente a desigualdade de observabilidade

para o sistema conservativo correspondente (Bardos [18]). Temos provado resultado similar, isto

e, a propriedade de decaimento exponencial de solucoes 6.11 e equivalente a uma desigualdade

de observabilidade do sistema conservativo associado:

ρ1ϕtt − κ(ϕx + ψ)x = 0, em (0, L)× (0, T ) (6.14)

ρ2ψtt − bψxx + κ(ϕx + ψ) = 0, em (0, L)× (0, T ) (6.15)

ϕ(0, t) = ψ(0, t) = 0,∀t ≥ 0, (6.16)

bψx(L, t) = 0; κ(ϕx + ψ)(L, t) = 0,∀t ≥ 0, (6.17)

ϕ(·, 0) = ϕ0, ϕt(·, 0) = ϕ1, ψ(·, 0) = ψ0, ψt(·, 0) = ψ1,∀x ∈ (0, L). (6.18)

Mais precisamente, podemos usar a lei de dissipacao da energia 6.12 e propriedade de semi-

grupo para mostrar que o decaimento uniforme 6.13 e equivalente a uma desigualdade do tipo:

E(ϕ,ψ)(0) ≤ C(T )

ρ1L

2

T∫0

ϕ2t (L, t)dt+

ρ2L

2

T∫0

ψ2t (L, t)dt+ ρ2

T∫0

L∫0

ψ2t dxdt

. (6.19)


6.3. Questoes em Aberto 144

para toda solucao (ϕ, ψ) de 6.5-6.10 (ver Apendice ??). A estimativa 6.19 e conhecida como

Problema de observabilidade (ou, Desigualdade de Observabilidade/Desigualdade Inversa), e a

melhor constante C da desigualdade acima e chamada Constante de observabilidade. Para uma

analise mais detalhada da equivalencia entre controlabilidade e observabilidade, referimo-nos

a Lions [7] e Komornik [19]. Por meio do argumento de decomposicao, a observabilidade 6.19

vale para as solucoes do sistema dissipativo 6.5-6.10 se, e somente se, a mesma e verdadeira

para as solucoes do sistema conservativo 6.14-6.18. Em virtude de algumas dificuldades como:

1) Desacoplamento do sistema 6.5-6.6; 2) Aplicabilidade das condicoes de contorno; etc., a

analise semidiscreta de todas essas questoes ainda estao em aberto.


Referencias Bibliograficas

[1] R.E. Kalman. Contributions to the theory of optimal control. Boletin de la Sociedad

Matematica Mexicana., 5:102–119, 1960.

[2] Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse

vibrations of prismatic bars. Philosophical Magazine, 6:744–746, 1921.

[3] R. Glowinski. Ensuring well-posedness by analogy; stokes problem and boundary control

for the wave equation. Journal of Comput. Physics, 103:189–221, 1992.

[4] R. Glowinski and J. L. Lions. Exact and approximate controllability for distributed para-

meter system. Journal of Comput. Physics, 103:159–333, 1996.

[5] R. Glowinski, C. H. Li, and J. L. Lions. A numerical approach to the exact boundary

controllability of the wave equation. (i) dirichlet controls: Description of the numerical

methods. Jap. J. Appl. Math., 103:1–76, 1990.

[6] E. Zuazua. Propagation, observation, control and numerical approximations of waves.

SIAM., Rev. 47:197–243, 2005.

[7] Lions J. Exact controllability, stabilizability and perturbations for distributed systems.

SIAM, 30:1–68, 1986.

[8] Infate J. & Zuazua E. Boundary observability for the space semi-discretizations of the 1-d

wave equation. Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 33:407–438, 1999.

145

Bibliography 146

[9] P. Loreti and Mehrenberger M. Observabilite uniform de l´equation des ondes 1d. ESAIM.,

Proceedings 25:68–79, 2008.

[10] M. Negreanu and Zuazua E. Convergence of a multigrid method for the controllability of

a 1-d wave equation. C. R. Acad. Sci. Paris., Se. I 388:413–418, 2004.

[11] Castro C. and Micu S. Boundary controllability of a linear semi-discrete 1-d wave equati-

ons derived a mixed finite element method. Numerische Mathematik., 102:413–462, 2006.

[12] Munch M. Family of implicit and controllable schemes for 1-d wave equation. C. R. Acad.

Paris., Ser. I 339:733–738, 2004.

[13] P. Loreti and Mehrenberger M. An ingham type proof for a two-grid observability theorem.

ESAIM., 14:604–631, 2008.

[14] D. S. Almeida Junior. Conservative semidiscrete difference schemes for timoshenko sys-

tems. Journal of Applied Mathematics, 14:7–14, April 2014.

[15] E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley Classics Library,

New York, 1978.

[16] H. Brezis. Analyse Fonctionelle, Theorie et Applications. Springer-Verlag, Masson, 1992.

[17] Kim & Renardy. Boundary control of the timoshenko beam. SIAM, 25:249–263, 1987.

[18] Bardos B. Lebeau G. and Rauch J. Sharp sufficiente conditions for the observations,

control and stabilization fron the boundary. SIAM J. Control Opt., 30:1024–1065, 1992.

[19] Komornik V. Exact controllability and stabilization. the multiplier method. SIAM, 301:

443–446, 1994.


esquemas numericos semi-discretos para´ analise de ... · ribeiro, lindomar miranda, 1973-...

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