electronic lecture 2

8/20/2019 Electronic Lecture 2

1/23

2

.

Κρυσταλλική

και Ηλεκτρονική δομή

-

Ι

I


2/23

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣΤΜΗΜΑ ΗΜΜΥ, Εργ. Ηλεκτρονικής

Κατά τον de Broglie (Ντε Βρέιγ) για όλα τα σωμάτια του μικρόκοσμου υπάρχειένα συνδεδεμένο κύμα ενέργειας: Ε=hv και ορμής p=E/c (Ε=mc2 ή p=mc=E/c) καιτελικά (λόγω Ε=h ν & c=λv ) p=h/λ (2.1). Το de Broglie μήκος κύματος ενός πχελεύθερου ηλεκτρονίου ορμής p είναι: λ=h/p

Ορίζουμε τον κυματάριθμο ενός κύματος το κ=2π/λ (2.2), το οποίο εκφράζει την χωρική συχνότητα ήτοι: «πόσα μήκη κύματος (κύκλοι) χωρούν σε 2π. Η

ποσότητα αυτή έχει ανάλογη σημασία με την χρονική συχνότητα όπου μιλάμε γιααριθμό κύκλων το δευτερόλεπτο. Ορίζοντας την ελαττωμένη h ως

και αντικαθιστώντας στον συνδυασμό των 2.1&2.2 η ορμή γράφεται επίσης ως:

Με βάση λοιπόν τις παραπάνω σχέσεις, όσο αυξάνει η ενέργεια και η ορμή του

ηλεκτρονίου τόσο μειώνεται το μήκος κύματος και αυξάνει ο κυματάριθμος. Άσκηση:

Υπολογίστε το μήκος κύματος για ένα ηλεκτρόνιο ενέργειας 2 eV . Εξηγήστε γιατί έναηλεκτρονικό μικροσκόπιο που λειτουργεί με ηλεκτρόνια ενέργειας 2 eV θα έχει

μεγαλύτερη διακριτική ικανότητα από ένα οπτικό μικροσκόπιο.

2

2.1 Σωμάτια ως κύματα: η αρχή του δυισμού ( duality

principle )

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι© Κωνσταντίνος Μπάλας

k hk h p 2//

2/h


3/23


2.2 Θεωρία ενεργειακών ζωνών: Ημι-κλασική προσέγγιση

3ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι

© Κωνσταντίνος Μπάλας

i. το άτομο του πυριτίουii. ενεργειακά επίπεδα στο δυναμικό

Coulomb του πυρήναiii. Δυναμική ενέργεια ενόςηλεκτρονίου σε περιοδική δομήθετικών ιόντων (κρύσταλλος)

Ηλεκτρόνια σε περιοδική κρυσταλλική δομή


4/23


Με βάσει την θεωρία του δυϊσμού τα σωμάτια του μικρόκοσμου

έχουν ταυτόχρονα σωματιδιακά και κυματικά χαρακτηριστικά. Αναφορικά με τα τελευταία το «κύμα» ηλεκτρονίων εμφανίζειφαινόμενα της συμβολής, της περίθλασης, της ανάκλασης κλπ.

Λόγω της αλληλεπίδρασης του κύματος ηλεκτρονίων με ταάτομα του κρυσταλλικού πλέγματος λαμβάνει χώρα ενισχυτικήή καταστρεπτική συμβολή. Ενισχυτική συμβολή (constructiveinterference) έχουμε όταν η διαφορά των δρόμων που διανύουνδύο σχεδόν παράλληλες δέσμες είναι ίση με ακέραιοπολλαπλάσιο μηκών κύματος. Τότε τα κύματα συμβάλουν με

την ίδια φάση και το συνιστάμενο πλάτος είναι μέγιστο. Στηνκατεύθυνση αυτή έχουμε ανάκλαση. Αντίθετα, όταν η διαφοράδρόμων είναι ίση με ημι-ακαίραιο πολλαπλάσιο μηκών κύματοςη συμβολή γίνεται με αντίθετες φάσεις και έχουμε απόσβεση.

4

2.2.1 ο νόμος του Bragg


Χρώματα της ίριδας από περίθλαση φωτόςστις χαραγές του δίσκου. Για διαφορετικές γωνίες παρατήρησης συμβάλουν ενισχυτικάδιαφορετικά μήκη κύματος.

..2,1,sin

nn

k

Χρησιμοποιώντας τον κυμματάριθμο η συνθήκη ανάκλασης γράφεται ως(d=α):


5/23


Συνθήκη ανάκλασης ηλεκτρονίου στα άτομα του πλέγματος

(ανάκλαση Bragg):

Συνθήκη ανάκλασης ηλεκτρονίου στον άξονα χ: κ χ =nπ/α

Ηλεκτρόνια με μικρά Ε και κ (-π/α


6/23


Η πρώτη ζώνη Brillouin είναι ο μικρότερος

όγκος ο οποίος περιβάλλεται από τιμές ±π/a,όπου a η σταθερά πλέγματος. Τα ηλεκτρόνιαεντός του όγκου αυτού είναι μικρού k και άραενέργειας και ως τέτοια κινούνται σχεδόνελεύθερα.

Η δεύτερη ζώνη Brillouin αντιστοιχεί σε

σημεία του περιβάλλοντος στερεού, το οποίοτέμνει τους k άξονες στα σημεία ±2π/a, ταοποία (σημεία) δεν ανήκουν στην πρώτη ζώνηBrillouin (τέσσερα λευκά τρίγωνα). Τατρίγωνα αυτά περιέχουν ηλεκτρόνια με kτιμές μεταξύ ±π/a και ±2π/a. Όπως φαίνεταιαπό το σχήμα το εύρος των τιμών των kστενεύει στις θέσεις κοντά στις διαγώνιεςδιευθύνσεις κίνησης




7/23


Η ενέργεια του ελεύθερου ηλεκτρονίου είναι: E=[ p2/2m]=[ħ2k2/2m] (2.2.3-1)

Για ηλεκτρόνιο με κ


8/23


Καθώς το k προσεγγίζει το π /a, η Eαυξάνει πιο αργά απ’ ότι η ℏ2k 2/2m,(ενέργεια ελεύθερου ηλεκτρόνιου) Ότανγίνει k = π /a, η E αποκτά δύο τιμές μετην χαμηλότερη να ανήκει στην πρώτηζώνη Brillouin και την μεγαλύτερη στηνδεύτερη ζώνη. Δημιουργείται έτσι μια

μη επιτρεπτή περιοχή ενεργειών μεταξύτων ζωνών αυτών, η οποία αντιστοιχείστην απαγορευμένη ζώνη. Ανάλογαισχύουν και για ακόμη μεγαλύτερεςενέργειες όπου δημιουργούνταιμεγαλύτερης τάξης.

Η ενεργειακή ασυνέχεια στα όρια τωνζωνών Brillouin είναι συνέπεια τωνστάσιμων κυμάτων τα οποίααναπτύσσονται λόγω της (οπισθο-)ανάκλασης των κυμάτων ηλεκτρονίωνμε Ε που αντιστοιχεί σε k=±nπ/a




9/23


2.3 Θεωρία ενεργειακών ζωνών: Κβαντική προσέγγιση

2.3.1 Αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg

Η κυματική αναπαράσταση ενός σωματίου γίνεται μεκυματοπάκετα (wave packets) τα οποία μπορούν να

δημιουργηθούν με την υπέρθεση πολλαπλώνμεμονωμένων κυμάτων με διαφορετικά πλάτη καισυχνότητες.

Τα κύματα αυτά αλληλοαναιρούνται στον χώρο με καταστρεπτική συμβολή εκτός από μια εντοπισμένη περιοχή όπου η πιθανότητα να βρίσκεται το σωμάτιο είναι μεγάλη.

Η πιθανότητα εύρεσης του σωματίου μεγιστοποιείται στο μέσο του κυματοπακέτου, όπου x=0,μπορεί όμως με μικρότερη πιθανότητα να ευρίσκεται οπουδήποτε εντός της περιοχής Δx.

Μπορεί δειχθεί με ανάλυση Fourier ότι για την επίτευξη μικρού Δx (καλύτερος εντοπισμός)απαιτείται η συμβολή πολλών κυμάτων των οποίων τα μήκη κύματος μεταβάλλονται σε μια ευρεία κλίμακα .

Επειδή όμως ισχύει P=h/λ είναι φανερό ότι μεγάλο εύρος Δλ συνεπάγεται μεγάλη αβεβαιότητα στονπροσδιορισμό της ορμής Δp του σωματίου. Συνεπώς όσο καλύτερος είναι ο εντοπισμός του σωματίου (μικρό Δ x) τόσο μεγαλύτερη είναι

η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ορμής του.



Ποια είναι τα χαρακτηριστικά του κύματος με τα οποία

συνδέεται το σωμάτιο; Ένα εντοπισμένο σωμάτιο δεν μπορεί να περιγραφεί απότην γνωστή κυματική εξίσωση

φ)κx-ωtcos(εt)ε(x, 0 επειδή αυτή εκτείνεται στο άπειρο.


10/23


Οι διαπιστώσεις αυτές μας εισάγουν στην θεμελιώδη αρχή της αβεβαιότητας (uncertainty principle) του Heisenberg ηοποία διατυπώνεται ως εξής :

Αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg

Σε κάθε μέτρηση της θέσης και της ορμής ενός σωματιδίου οι αβεβαιότητες των μετρούμενων αυτών ποσοτήτωνσχετίζονται ως εξής:

Ανάλογα, η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ενέργειας σχετίζεται με την αβεβαιότητα στη μέτρηση του χρόνου εντόςτου οποίου έγινε η μέτρηση ως έξης:

Συνέπειες της αρχής του Heisenberg. Τα ηλεκτρόνια παραμένουν στην θεμελιώδη στάθμη για άπειρο χρόνο Δt→∞. Λόγω του γεγονότος αυτού το

ενεργειακό εύρος της είναι ΔΕ=0.

Το ατομικό μοντέλο του Bohr τίθεται υπό αμφισβήτηση μιας και δεν υπάρχουν σαφώς καθορισμένες τροχιές πάνωστις οποίες τα ηλεκτρόνια κινούνται γύρω από τον πυρήνα. Μιλάμε πλέον για ηλεκτρονικό νέφος με κατανομήηλεκτρονικών πυκνοτήτων συσχετιζόμενη με την πυκνότητα πιθανότηταs να ευρίσκεται το ηλεκτρόνιο σε κάθεσημείο του χώρου.



Όπου ħ =h/2π και h η σταθερά του Planck

Με αλλά λόγια η αρχή του Heisenberg εκφράζει την πιθανοκρατική φύση των γεγονότων στον μικρόκοσμο σε αντίθεση μετον ντετερμινισμό που χαρακτηρίζει τον δικό μας (μακροσκοπικό) κόσμο. Φυσικά η σταθερά του Planck έχει πολύ μικρή τιμή

(6,63*10-34 Js) και για το λόγο αυτό η αρχή του Heisenberg αφορά στον μικρόκοσμο, όπου οι διαστάσεις είναι συγκρίσιμες μετην τιμή αυτή.

Στην ουσία μιλάμε για την πιθανότητα να βρίσκεται το σωμάτιο σε μια δεδομένη θέση , γεγονός το οποίο εκφράζεται με τηνσυνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας P(x). Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα η πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου στοδιάστημα {x, x+dx} είναι P(x)dx και γενικά η πιθανότητα να βρίσκεται “κάπου” είναι μονάδα δηλαδή :

P(x) 1dx

P(x): κανονικοποιημένη συνάρτηση

)Δp)((Δ x x

ΔtΔE


11/23


11

2.3.2 Η κυματική εξίσωση του Schrödinger


Μέσω αυτής υπολογίζεται η πιθανότητα εύρεσης ενός ηλεκτρονίου σε συγκεκριμένη

θέση κάτω από την επίδραση πεδίου. Στη συνέχεια καταστρώνουμε την εξίσωση αυτή.

Είναι γνωστή η κυματική εξίσωση:

Με δεδομένο ότι για τον μικρόκοσμο ισχύει E=hv και λ=h/p, η 1 γράφεται :

Η φυσική σημασία του ψ είναι ότι το |ψ|2 σχετίζεται με την πιθανότητα εύρεσης τουσωματίου μέσα στον στοιχειώδη όγκο dV(=dx*dy*dz) δηλ.

Αν γράψουμε την ολική ενέργεια με τη μορφή της συνάρτησης Hamilton και τηνπολλαπλασιάσουμε επί ψ παίρνουμε

T)tλ xπi(2

0EE

e

dV dV 2

t)z,y,(x, p

Ε V p2

1 2

m

Κινητική ενέργεια + δυναμική ενέργεια = ολική ενέργεια

2πi(P X x-Et)/hΨ=Α e


12/23




Αντικαθιστώντας τις τιμές Εολ Ψ και P2

x Ψ στην 4 και παίρνουμε

Η εξίσωση αυτή είναι η χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση του Schrödinger.

Στην περίπτωση κατά την οποία η δυναμική ενέργεια εξαρτάται μόνο από την θέση και όχι απότην χρόνο και η ολική ενέργεια είναι σταθερή τότε μπορούμε να γράψουμε την Ψ(x,t) ωςΨ(x)·Ψ(t). Τότε η 5 γίνεται

Η οποία είναι η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση του Schrödinger.

t2π

hiV

x

Ψ

8π

h

2

2

2

2

m

0(x)V(x)-Em2dx(x)d 222

Παραγωγίζοντας την 2 ως προς x και t παίρνουμε :

2

22

2

2 p

π

4 x h

x

και

t

h

Eπi2


13/23


Είναι αρκετά δύσκολο να προσδιοριστούν λύσεις της εξίσωσης Schrödinger σε

πολύπλοκα ατομικά συστήματα. Υπάρχουν όμως πολλές περιπτώσεις όπως αυτή τουηλεκτρονίου το οποίο βρίσκεται εντός του δυναμικού του πλέγματος μετάλλου ή ημιαγωγούοι οποίες μπορούν να προσεγγιστούν με ένα απεριόριστα βαθύ μονοδιάστατο πηγάδιδυναμικού. Την περίπτωση αυτή αναπαριστά το σχήμα όπου για απλότητα V(x)=0οπουδήποτε εκτός από τα όρια του πηγαδιού όπου V(x)→∞

13

2.3.3 Πηγάδι δυναμικού ( Potential well)


Συνεπώς οι συνοριακές συνθήκες είναι:

V(x)=0 0


14/23


Οι μόνες αποδεκτές τιμές της Ψ στα τοιχώματα του πηγαδιού είναι μηδέν. Αλλιώς θα μπορούσε ναυπάρξει ένα μη μηδενικό |Ψ|2 έξω από το πηγάδι οποίο φυσικά δεν είναι αποδεκτό. Συνεπώς Ψ(x)=0 στοx=0 και sinκx=0 στο x=L. Με αλλά λόγια το κL πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π : κL=nπ ή

κ=nπ/L, n=1,2,3.. Συνδυάζοντας αυτό με την προηγούμενη έκφραση του κ έχουμε:



Συνεπώς η ενέργεια είναι κβαντισμένη (λόγω τουn) και το n λέγεται κβαντικός αριθμός.

Το πλάτος Α της Ψ(x)=Α sinκx βρίσκεται από τονορισμό της πυκνότητας πιθανότητας για την ΨL:

από όπου και τελικά

Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται ιδιοσυναρτήσεις (eigenvalues) και περιγράφουν την κβαντικήκατάσταση του σωματίου. Η μορφή των Ψn(x) και η πυκνότητα πιθανότητας |Ψn(x)|2 φαίνονται στοσχήμα. Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται η βασική (n=1) και οι πρώτες δυο διεγερμένες καταστάσεις καθώς καιοι αντίστοιχες πυκνότητες πιθανότητας και ενέργειες.

L

nπnEm2 21

2

2

22

L8m

hnn

12

LAx)

L

nπsin(Α|| 22

0

22

dxdx

L

L

2A x

L

nπsin

L

2n

ή


15/23


Στην περίπτωση κατά την οποία έχουμε ένα πηγάδι δυναμικού με τοιχώματα (δυναμικό)

πεπερασμένων διαστάσεων σε ύψος και πάχος τότε παρατηρείται το φαινόμενο σήραγγας όπου τοηλεκτρόνιο μπορεί διέρχεται από το τοίχωμα του πηγαδιού. Το ενδιαφέρον είναι ότι συμβαίνει για ενέργειες ηλεκτρονίου μικρότερες του φραγμού δυναμικού (τοιχώματος). Αυτό οδηγεί σε μη μηδενική|Ψ|2 εκτός του πηγαδιού το οποίο είναι καθαρά κβαντικό χαρακτηριστικό.

15

2.3.4 Φαινόμενο σήραγγας ( tunneling effect)


Η ερμηνεία του βρίσκεται στην αρχήτης αβεβαιότητας του Heisenberg.Συγκεκριμένα αν το πάχος του φράγματος

δυναμικού είναι μικρό τότε δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι το σωμάτιουπάρχει μόνο στην αριστερή του πλευρά .Παρ’ όλα αυτά είναι φανερό από το σχήμα ότι η Ψ ελαττώνεται σημαντικά εντός τουφραγμού δυναμικού.

Το φαινόμενο σήραγγας παίζει σε

αρκετές περιπτώσεις σημαντικό ρόλο σταφαινόμενα αγωγής ηλεκτρονίων σε στέρεα.


16/23




Η σχέση δηλώνει ότι οι φορείς δεν μπορούν να έχουν οποιαδήποτε ενέργεια στις ζώνες

αγωγιμότητας και σθένους.

Αντίθετα, εντός των ζωνών αυτών υπάρχουν διακεκριμένες υποστάθμες. Ειδικότερα όπως φαίνεται στοσχήμα της προηγούμενης σελίδας η ο αριθμός των καταστάσεων με μεγάλη πυκνότητα πιθανότητας|Ψn(x)|2 αυξάνει με την ενέργεια. Αναμένουμε συνεπώς να έχουμε μεγαλύτερο αριθμό από υποστάθμεςστην ζώνη αγωγιμότητας από ότι στην ζώνη σθένους, όπως φαίνεται στο σχήμα

2

22

L8m

hnn

Λόγω της ύπαρξης κβαντισμένων ενεργειακών καταστάσεων εντός των ζωνώνσθένους και αγωγιμότητας μπορούν να γίνουν μεταβάσεις από την μια ζώνηστην άλλη με διαφορά ενέργειας μεγαλύτερη από αυτήν του ενεργειακού

χάσματος.Ενώ η εξίσωση του Schrödinger μας λέει ποιες καταστάσεις είναι

διαθέσιμες σε ένα κβαντικό σύστημα (π.χ. άτομο), η κατάληψη τωνκαταστάσεων αυτών από ηλεκτρόνια καθορίζεται από την απαγορευτικήαρχή του Pauli (exclusion principle).Σύμφωνα με αυτήν στο ίδιο κβαντικόσύστημα δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν δύο ή περισσότερα ηλεκτρόνια με τηνίδια τετράδα κβαντικών αριθμών.

Η πιθανότητα κατάληψης των διαθέσιμων ενεργειακών καταστάσεωνκαθορίζεται από την συνάρτηση κατανομής Fermi-Dirac η οποία μας δίνει το ποσοστό των ενεργειακών καταστάσεων που είναι κατειλημμένες σεμια δεδομένη θερμοκρασία (θα αναλυθεί σε επόμενες διαφάνειες) . Απόαυτήν προσδιορίζουμε την συγκέντρωση των φορέων και κατ’ επέκτασητην αγωγιμότητα των ημιαγωγών

2.3.5 Σχηματισμός διακριτών ενεργειακών καταστάσεων


17/23


17

2.4 Ενεργειακή κατανομή ηλεκτρονίων-συγκέντρωση φορέων


Η συγκέντρωση φορέων καθορίζει σε μεγάλο βαθμό τις ιδιότητες των ημιαγωγών. Ειδικότερα, για τον

προσδιορισμό της αγωγιμότητας ημιαγωγών είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των συγκεντρώσεων τωνφορέων. Αυτό μπορεί να γίνει με βάση την κατανομή Fermi-Dirac. Αυτή προσδιορίζει το ποσοστό τωνενεργειακών καταστάσεων οι οποίες καταλαμβάνονται από τα ηλεκτρόνια σε μια δεδομένη θερμοκρασία Τ. Η κατανομή F-D δίνεται από την σχέση:

όπου k η σταθερά του Boltzmann (= 1.3806503 × 10-23 m2 kg s-2 K-1) και ΕF η ενέργεια ή στάθμη Fermi. Η

τελευταία ταυτίζεται με την ενεργειακή κατάσταση με 50% πιθανότητα πλήρωσης σε οποιαδήποτεθερμοκρασία . Αυτό προκύπτει από την f(Ε) για Ε=ΕF. Στο γράφημα f(E) Vs E-EF φαίνεται ότι για Τ=0 δύοδυνατότητες υπάρχουν:

1) Ε>ΕF οπότε ο εκθετικός όρος απειρίζεται και f(E)=0 και

2) Ε


18/23




Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στην ζώνη αγωγιμότητας μπορεί να υπολογιστεί από τοολοκλήρωμα :

dE E f E g n

C E

)()(

όπου g(Ε)=γΕ1/2=σταθ. είναι η πυκνότητα των ηλεκτρονικών καταστάσεων στην ζώνη αγωγιμότητας

(αριθμός καταστάσεων / e V m3) και η οποία προσδιορίζεται από την εξίσωση Schrödinger

Για Ε>=Εg, E-EF >>ΚΤ και η f(E) γίνεται

Όπως θα δειχθεί στην συνέχεια,στους ενδογενείς ημιαγωγούς ηστάθμη Fermi βρίσκεται στο μέσοντου ενεργειακού χάσματος. Στην

θερμοκρασία δωματίου Τ=3000

ΚΤ=0.40eV μερικά ηλεκτρόνια αποκτούν αρκετή ενέργεια για να υπερνικήσουν το ενεργειακό χάσμα και να μεταβούν στην βάση της ζώνηςαγωγιμότητας όπως φαίνεται στοσχήμα .

KT E E F e E f /)()(

dE en KT E E

E

c

F

C

/)(

2/1

)(

και με g(Ε)= γ(Ε-ΕC)1/2 αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα το οποίο γίνεται:


19/23




kT

EEexp Nn FCC

είναι η ενεργός πυκνότητα καταστάσεων (effective density of states) στην ζώνη αγωγιμότητας η οποία εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία .

Αν για παράδειγμα η πιθανότητα να είναι μια ενεργειακή στάθμη κατειλημμένη από ηλεκτρόνιο είναι0.2 τότε η πιθανότητα να είναι άδεια ή κατειλημμένη από οπή είναι 1-0.2=0.8 Συνεπώς για τηνπερίπτωση των οπών έχουμε:

Οι υπολογισμοί οδηγούν στην σχέση:

2

3

2

e

C

h

kTπm22 Ν

Όπου

KT E E

KT E E

KT E E

F

F

F

ee

e E f /)(

/)(

/)(

1)(1

και ανάλογοι υπολογισμοί με την περίπτωση των ηλεκτρονίων οδηγούν στην σχέση

kT

EEexp N p VFv

Οι δείκτες C και V αναφέρονται στην ζώνη αγωγιμότητας και σθένους αντίστοιχα . Ενδεικτικά αναφέρεται ότι στην θερμοκρασία δωματίου το η για έναν ενδογενή ημιαγωγό είναι 1.61 Χ 1016 m-3

ενώ για ένα μέταλλο το η είναι 1029 m-3


20/23


20

2.4.1 Μεταβολή συγκέντρωσης φορέων με την θερμοκρασία

του ημιαγωγού



21/23


21





22/23


22





23/23

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣΤΜΗΜΑ ΗΜΜΥ Εργ Ηλεκτρονικής

23




electronic lecture 2

Documents