ResistenciadeMaterialesIRes umenesyProblemasdeClaseDepartamentodeMec anicaEstructural yConstruccionesIndustriales U.D.deResistenciadeMaterialesEscuelaTecnicaSuperiordeIngenierosIndustrialesdeMadrid Curso2007-08AnotacionesPresentaci onEstas notas se han concebido como material de apoyo didactico para la asignatura de Re-sistencia de Materiales I, asignatura semestral que imparte el Departamento de Mecanica Es-tructural yConstrucciones Industrialesde laETSdeIngenieros IndustrialesdeMadrid. Sepretendedaral alumnolaposibilidaddecontrastar conellassusapuntesdeclasey, deestamanera, ayudarle a comprender mejor las ideas transmitidas por el profesor.Deacuerdoconlosobjetivos delaasignatura, seproporcionaprimerounaintroduccionala teora dela elasticidad lineal, para luego particularizar los conceptosbasicos deesta teoraen el estudio del solido prismatico, objeto de la resistencia de materiales clasica. La resistenciademateriales se presenta as como un caso particular dela teora dela elasticidad, cuando seasumen determinadas hipotesis cinematicas sobre el movimiento de las secciones transversales delsolido prismatico. Siguiendo el temario de la asignatura, en esta segunda parte, tras introducirel concepto de esfuerzo, se analiza unicamente el estado de traccion-compresion. El analisis dela torsion, la cortadura, la exion y las solicitaciones combinadas se deja para la asignatura deResistencia de Materiales II.El contenidodeestasnotassehadivididoen25lecciones, correspondientesalospuntosincluidos en el temario de la asignatura. Al nal de cada leccion se incluyen problemas resueltos,cuyo objeto es ilustrar los conceptos mas importantes.No se trata de remplazar los muchos libros de texto que, desde diferentes opticas, abordan lateora de la elasticidad y la resistencia de materiales. Por el contrario, la idea ha sido componerun resumen introductorio, escrito en un lenguaje asequible, que sirva de punto de partida parala consulta de esos libros. As, para facilitar esta labor, en las paginas nales se incluye una listade referencias bibliogracas donde el alumno interesado puede ampliar los conceptos expuestos.Francisco BeltranMadrid, septiembre de 2007Estanuevaedicionqueahorasepresentarespondealacorrecciondeerratasdetectadasdurante el cuatrimestre febrero-junio de 2008, sin que se haya a nadido ning un contenido nuevo.Francisco BeltranMadrid, julio de 2008IIIIndice1. Equilibrio Interno.Vector tension. 11.1. El solido elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Acciones exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Equilibrio estatico y elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Vector tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Componentes intrnsecas del vector tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.1. Obtener componentes intrnsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Matrizdetensiones 92.1. Tensiones sobre planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Estado tensional en el entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1. Calculo de matriz de tensiones y vector tension. . . . . . . . . . . . . . . 153. Ecuacionesdeequilibrio 193.1. Ecuaciones de equilibrio interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de supercie a partir del equilibrio . . . . . 224. Tensiones principales 254.1. Tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Invariantes de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3. Sistema de referencia principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4. Elipsoide de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5.1. Calculo de tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . 295. Crculos deMohr 315.1. Crculos de Mohr en tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. Representacion de tensiones en los crculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.1. Componentes intrnsecas del vector tension . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.2. Calculo de la orientacion del vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38III5.3.1. Planos que contienen al primer eje principal. . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3.2. Planos que contienen al segundo eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.3. Planos que contienen al tercer eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4. Tensiones maximas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5. Estados tensionales cilndrico y esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.1. Estado cilndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.2. Estado esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.6.1. Representacion de un estado tensional en el diagrama de Mohr . . . . . . 445.6.2. Obtencion de tensiones principales con el diagrama de Mohr . . . . . . . . 466. Conceptodedeformacion 496.1. Vector desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2. Matrices de giro y deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.1. Calculo de la matriz de deformacion y el giro en el entorno de un punto . 537. Deformacioneslongitudinales ytransversales 557.1. Ecuaciones cinematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2. Signicado de los terminos de la matriz de deformacion . . . . . . . . . . . . . . 567.3. Deformacion seg un una direccion: galgas extensometricas . . . . . . . . . . . . . 587.4. Distorsion de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.5.1. Calculo de variaciones de longitud y de angulos. . . . . . . . . . . . . . . 608. Deformacionesprincipales. Deformacionvolumetrica 658.1. Deformaciones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.2. Invariantes de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3. Variacion unitaria de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4. Deformacion volumetrica y desviadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.5.1. Galgas extensometricas y deformaciones principales . . . . . . . . . . . . 689. Comportamientoelastico.Constanteselasticas. 719.1. Ensayo de traccion simple. Ley de Hooke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.2. Deformacion en sentido transversal. Coeciente de Poisson. . . . . . . . . . . . . 759.3. Comportamiento elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.LeyesdeHookegeneralizadas.EcuacionesdeLame. 7910.1. Leyes de Hooke generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.1.1. Sistema de referencia principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.1.2. Sistema de referencia general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.2. Modulo de elasticidad transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.3. Modulo de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.4. Deformaciones y tensiones de origen termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.5. Ecuaciones de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IV10.6.1. Deformacion con restricciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.6.2. Determinacion de constantes elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610.6.3. Tensiones debidas a deformaciones impuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.6.4. Tensiones debidas a aumento de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.Elproblemaelastico.Principio deSaint-Venant. 8911.1. Planteamiento general del problema elastico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.2. Principio de superposicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9211.3. Principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9211.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.4.1. Aplicacion del principio de Saint-Venant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.Estadoselasticosplanos 9712.1. Estados elasticos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.1.1. Deformacion plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.1.2. Tension plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.2. Direcciones y tensiones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.3.1. Suma de estados tensionales planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.3.2. Orientacion del corte de una chapa con defectos . . . . . . . . . . . . . . . 10412.3.3. Comparacion entre estados tensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10613.Trabajodelasfuerzasaplicadas.Energaelastica 10913.1. Concepto de energa de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.2. Coecientes de inuencia y de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.2.1. Coecientes de inuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.2.2. Coecientes de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.3. Calculo de la energa de deformacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.3.1. Calculo en funcion de las fuerzas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.3.2. Calculo en funcion de los desplazamientos ecaces . . . . . . . . . . . . . 11213.3.3. Calculo en funcion de las matrices de tension y deformacion. . . . . . . . 11313.3.4. Unicidad de la energa de deformacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.4.1. Matriz de inuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.4.2. Ciclos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.Principio delostrabajosvirtuales 11914.1. Tensiones y fuerzas estaticamente admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.2. Desplazamientos cinematicamente admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.3. Ecuacion de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.4. Principio de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12214.5. Principio de las fuerzas virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123V15.Teoremasenergeticos 12515.1. Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12515.2. Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12615.3. Teorema de Menabrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12715.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12815.4.1. Calculo de reacciones hiperestaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12815.4.2. Aplicacion del teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13016.Deformacionanelasticayrotura 13116.1. Finalizacion del comportamiento elastico: materiales d uctiles y materiales fragiles 13116.2. Tension equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13216.3. Coeciente de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13417.Criterios deuencia 13517.1. Criterios de uencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13517.1.1. Tension tangencial maxima (Tresca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13517.1.2. Energa de distorsion maxima (von Mises). . . . . . . . . . . . . . . . . . 13617.1.3. Criterio simplicado de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13717.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13817.2.1. Plasticacion de una placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13818.Criterios deroturafragil 14118.1. Criterios de rotura fragil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14118.1.1. Tension principal maxima (Rankine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14118.1.2. Criterio simplicado de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14218.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14218.2.1. Coecientes de seguridad seg un el criterio de Mohr. . . . . . . . . . . . . 14218.2.2. Tensiones de rotura requeridas para coeciente de seguridad dado . . . . 14419.Hipotesis delaResistenciadeMateriales 14719.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14719.2. Denicion de solido prismatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14719.3. Hipotesis generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14920.Conceptodeesfuerzo. Diagramas. 15120.1. Concepto de esfuerzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15120.2. Esfuerzos normal y cortante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15120.3. Momentos de exion y torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15320.4. Diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15520.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15520.5.1. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . 15521.Condicionesdesustentacionyenlace 15921.1. Reacciones en las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15921.2. Tipos de apoyos y enlaces internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15921.2.1. Tipos de apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15921.2.2. Tipos de enlaces internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162VI21.3. Sistemas isostaticos e hiperestaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16321.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16421.4.1. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (1) . . . . . . . . . . . . . 16421.4.2. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (2) . . . . . . . . . . . . . 16621.4.3. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (3) . . . . . . . . . . . . . 16922.Traccionycompresion. Tensionesydesplazamientos. 17722.1. Denicion de estado de traccion-compresion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17722.2. Estado de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17722.3. Estado de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17922.4. Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17923.Esfuerzonormalvariable. Peso yfuerzacentrfuga. 18123.1. Ecuacion de equilibrio bajo esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18123.2. Esfuerzos normales de peso propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18223.3. Esfuerzos normales por fuerza centrfuga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18423.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18523.4.1. Esfuerzo normal variable en un pilote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18524.Esfuerzonormal. Sustentacionhiperestatica. 18924.1. Potencial interno asociado al esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18924.2. Traccion-compresion hiperestatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19024.2.1. Aplicacion del teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19024.2.2. Aplicacion de la compatibilidad de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . 19124.3. Tensiones ocasionadas por defectos de montaje o cambios de temperatura . . . . 19224.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19424.4.1. Barra rgida sujeta mediante tirantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19424.4.2. Esfuerzos normales en una union roscada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19625.Anillos, cablesyarcosfuniculares 20125.1. Anillos circulares sometidos a fuerzas radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20125.1.1. Fuerzas centrfugas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20225.1.2. Presion interior. Vasijas de pared delgada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20325.2. Equilibrio de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20425.2.1. Ecuaciones de equilibrio de un elemento de cable . . . . . . . . . . . . . . 20425.2.2. Ecuacion fundamental de la estatica de cables . . . . . . . . . . . . . . . . 20625.2.3. Recticacion del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20825.2.4. Formula de Stevenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21025.3. Arcos funiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21225.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21325.4.1. Tensiones termicas en un anillo bimetalico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21325.4.2. Cable para teleferico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Bibliografa 216VIIALeccion1EquilibrioInterno.Vectortension.1.1. ElsolidoelasticoLa Mecanica del Solido Rgido se ocupa de predecir las condiciones de reposo o movimientode los solidos rgidos bajo la accion de fuerzas exteriores. Un solido rgido es aquel en el que lasdistancias entre sus puntos no sufren variacion durante la aplicacion de las fuerzas exteriores.En las aplicaciones de la ingeniera mecanica y estructural se requiere vericar la seguridad delos componentes mediante la comparacion de las fuerzas internas a que se ven sometidos durantesu trabajo con las propiedades resistentes de los materiales de construccion. La determinacionde dichas fuerzas internas no puedehacerse, en un caso general, si se mantiene la hipotesis dequelos componentesse comportan como solidos rgidos. Debesuponersequelos componentesson solidos deformables, es decir, que las distancias entre sus puntos no permanecen constantesal aplicar un sistema de fuerzas exteriores.La Teora de la Elasticidad es una primera aproximacion al estudio de los solidos deformables.Esta teora se ocupa de calcular el estado de deformacion, o desplazamiento relativo, dentro decuerpos solidos sometidos a sistemas de fuerzas en equilibrio. El estado de deformacion permite,atraves delaspropiedadesdelmaterial, obtenerlasfuerzasinternasaquesevesometidoelsolido.La Teora de la Elasticidad trabaja sobre una idealizacion de los cuerpos solidos reales quellamaremossolidoelastico. El solidoelasticoesunsolidodeformablequerecuperasuformainicial al retirar las fuerzas aplicadas.Enloscaptulosquesiguensupondremosqueel solidoelasticoocupaunvolumenV delespacio tridimensional R3y que tiene una supercie exterior S (gura 1.1). Supondremos ademasque el solido elastico esta constituido por un material:Homogeneo: El material tiene las mismas propiedades en todos sus puntos.Isotropo: En cada punto, las propiedades del material son las mismas en cualquier direccion.Continuo: En el material no existen distancias intersticiales, es decir, no existen huecosen el material por peque no que sea el volumen del mismo que se tome.Lashipotesis anteriores, aunqueson unicamenteunaaproximacion a los materiales reales,simplican mucho el tratamiento matematico y en la mayora de los casos proporcionan resul-tados sucientemente aproximados desde el punto de vista ingenieril.12 LECCION1. EQUILIBRIOINTERNO.VECTORTENSION.VZXYSFigura 1.1: Solido elastico1.2. AccionesexterioresConsideraremos dos clases de acciones sobre el solido elastico:1. Fuerzas de supercie: Son fuerzas por unidad de supercie aplicadas sobre la supercieSdel solido. Constituyen un campo vectorial denido enS:

fs=

XYZ

Unejemplotpicodeestaclasedefuerzaseslapresiondeunuidoactuandosobrelasupercie del solido.2. Fuerzas de volumen:Sonfuerzasporunidaddevolumenaplicadas sobrela materia queforma el solido. Constituyen un campo vectorial denido enV :

fv=

XYZ

Ejemplosdeestaclasedefuerzas sonlasfuerzas gravitatorias(peso)ylasfuerzasdeinercia.1.3. EQUILIBRIOESTATICOYELASTICO 3Las fuerzas puntuales, esto es, actuando sobre puntos del solido, son idealizaciones que cor-responden a fuerzas de supercie o de volumen actuando sobre una supercie o un volumen muypeque no, respectivamente. Se trata entonces de fuerzas concentradas, que puedenconsiderarsecomo casos particulares delos dostipos deaccionesanteriores. Enefecto, unafuerzapuntual

Faplicada en el puntoPdel solido se puedeentender como un campo

fvdenido enVde laforma siguiente:

fv=

FPdondePes la distribucion de Dirac en el puntoP. De este modo, la resultante del campo

fvactuando sobre el solido es la fuerza concentrada

Faplicada enP:

V

fv dV =

F

VPdV =

F enP1.3. EquilibrioestaticoyelasticoCuandosobre elsolido elastico act uanlas accionesexteriores

fsy

fv, el equilibrioestaticodel solido exige que se cumplan las condiciones:1. Resultante nula de fuerzas: La resultante de las fuerzas aplicadas debe ser nula:

S

fsdS+

V

fv dV=02. Resultante nula de momentos: La resultante de los momentos de las fuerzas aplicadas conrespectoacualquier puntodel espacio (porejemplo,elorigen decoordenadas) debesernula: Sr

fsdS+

Vr

fv dV=0donde r es el vector de posicion (gura 1.2).Si no se cumplen las condiciones de equilibrio estatico, la aplicacion de las acciones accionesexteriores da lugar al movimiento del solido. Dicho movimiento puedeestudiarse con bastanteaproximacion mediante las ecuaciones de la Mecanica del Solido Rgido.Sin embargo, nosotros estaremos interesados en estudiar la deformacion del solido elastico enlos casos en que se cumplen las condiciones de equilibrio estatico y, por tanto, no hay movimientode solido rgido.Al aplicaralsolidoelasticounsistemadeaccionesexteriores,aparecenfuerzasinterioresdentro del volumen del solido. Como se ha dicho, obtener y caracterizar estas fuerzas interioreses imprescindible si se quiere evaluar la capacidad del solido para resistir con seguridad el sistemade acciones exteriores.Paraanalizarestasfuerzas interioressepuededaruncorteimaginarioal solidoelasticomediante una supercie que lo divida en dos partesA yB(gura 1.3). El equilibrio de cadauna de estas dos partes implica que, a traves de la supercie de corte, una parte ejerce sobre laotra fuerzas que equilibran las acciones exteriores aplicadas sobre ella.Es importante darse cuenta de que, por el principio de accion-reaccion, las fuerzas de A sobreBa traves de la superciede corte son iguales y de signo contrario a las fuerzas queejerceBsobreA a traves de la misma supercie.4 LECCION1. EQUILIBRIOINTERNO.VECTORTENSION.ZXYrFigura 1.2: Vector de posicion en el equilibrio estaticoCualquieraquesealasupercieimaginariaqueseutilice, lasdospartesenquequedadividido el solido elastico debenestar en equilibrio, con las acciones exteriores aplicadas sobreellas y las fuerzas internas que le transmite la otra parte a traves de la supercie de corte. Estoesloqueseconocecomo equilibrioelastico: las accionesexteriores estanenequilibrio conlasfuerzas internas que aparecen en el solido por aplicacion de las mismas. Es decir, cualquier partedel solido, por peque na que sea esta, debe estar en equilibrio estatico si se tienen en cuenta lasacciones externas y las fuerzas internas.1.4. Vectortensi onSobreunafracciondelasuperciedecortealrededordel puntoP, laparteBdelsolido ejerce una fuerza

f(fuerza interna) sobre la parteA (gura 1.4).Se dene el vector tension en el puntoPasociado a la supercie de corte como:= lm0

f=d

fd1.4. VECTORTENSION 5CorteimaginarioBAAtravsdeestasuperficielaparteBestactuandosobrelaparte AFigura 1.3: Equilibrio elastico6 LECCION1. EQUILIBRIOINTERNO.VECTORTENSION.AfPFigura 1.4: Fuerza interna ejercida en el entorno del puntoPSetratadeunamagnitudvectorialcuyascomponentestienendimensionesdefuerzaporunidad de supercie. Hay que tener en cuenta los puntos siguientes:Elvector tensionestaasociadoal puntoP. Para unamisma superciedecorte,elvector tension cambia de un punto a otro de la supercie.En cada puntoP,el vector tensionesta asociado a la superciedecorte ; para otrasupercie de corte el vector tension enPadoptara otro valor.Altomar lmites, elvectortensionestaasociado realmenteala orientaciondelplanotangente a la supercie de corte en el puntoP.Haciendoabstraccion,encadapuntoPdelsolidoelastico, setieneunvectortensionpara cada orientacion n=( , , ) de los planos que pasan porP, siendo,y loscosenos directores de la direccion normal al plano n:=(P, n)=(P, , , )La direccion normal al plano n se entiende que tiene el sentido hacia afuera del material,es decir, apuntando hacia la parte del solido que ha sido eliminada por el corte imaginario(parte Ben las guras 1.3 y 1.4) y que, por tanto, ejerce la fuerza

fsobre la parte quepermanece (parte A en las guras 1.3 y 1.4).En el Sistema Internacional, la unidad de tension es el Pascal (Pa):1 Pa=1 N1 m2En la practica se trabaja con tensiones mucho mas grandes que 1 Pa y se utiliza el megapascal(MPa), unidad un millon de veces superior al Pascal. Un megapascal equivale a una fuerza de 1N distribuida sobre una supercie de 1 mm2.1.5. COMPONENTESINTRINSECASDELVECTORTENSION 7PnnFigura 1.5: Componentes intrnsecas del vector tension1.5. Componentesintrnsecasdelvectortensi onEl vector tension asociado a un punto P y al plano , puede proyectarse en la direccion de lanormal al plano n y sobre el plano (gura 1.5). Estas dos proyecciones, n y , respectivamente,son conocidas como componentes intrnsecas del vector tension.Las componentes intrnsecas del vector tension se obtienen de la manera siguiente:1. Componente normal:n (, , ) (vector unitario, sentido hacia afuera del material)n= n (producto escalar)n= nn2. Componente tangencial: = n1.6. Ejerciciosresueltos1.6.1. ObtenercomponentesintrnsecasObtener las componentes intrnsecas del vector tension:=

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MPadenido en un puntoP, con respecto al plano dado por la ecuacionx y=0.Solucion:8 LECCION1. EQUILIBRIOINTERNO.VECTORTENSION.XYZnFigura 1.6: Ejercicio resuelto: sentido elegido de la normal al planoEl plano es el plano bisector del primer octante (gura 1.6). Se puede tomar:n=

12120

o n=

12120

Tomamos el primero de estos dos vectores, asumiendo entonces queel vector tension dadoact ua sobre el material situado enx y