訊號與系統 - kun shan...
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
訊號與系統
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
『訊號與系統』課程目錄第一章訊號與系統簡介
第二章連續時間訊號在時域的表示
第三章連續時間系統之時域分析
第四章連續時間週期訊號之頻域分析－傅立葉級數
第五章連續時間訊號之頻域分析－傅立葉轉換
第六章連續時間系統之頻域分析與應用
第七章取樣理論
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
第四章 連續時間週期訊號之頻域分析－傅立葉級數
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
本章綱要4.1 訊號的不同表示方式
－訊號分解
－時域與頻域
4.2 訊號頻譜－單邊頻譜
－雙邊頻譜
－訊號頻寬
4.3 三角傅立葉級數－三角傅立葉級數的係數
－三角傅立葉級數第二式
－三角傅立葉級數的特性
4.4 指數傅立葉級數－指數傅立葉級數的係數
－指數傅立葉級數係數的對稱性
－指數傅立葉級數係數的變換
第四章 傅立葉級數 4
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
本章綱要4.5 週期訊號的功率分析
4.6 指數傅立葉級數的數值運算
4.7非週期訊號與傅立葉級數
第四章 傅立葉級數 5
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
本章綱要4.1 訊號的不同表示方式
－訊號分解
－時域與頻域
4.2 訊號頻譜－單邊頻譜
－雙邊頻譜
－訊號頻寬
4.3 三角傅立葉級數－三角傅立葉級數的係數
－三角傅立葉級數第二式
－三角傅立葉級數的特性
4.4 指數傅立葉級數－指數傅立葉級數的係數
－指數傅立葉級數係數的對稱性
－指數傅立葉級數係數的變換
第四章 傅立葉級數 6
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
本章綱要4.5 週期訊號的功率分析
4.6 指數傅立葉級數的數值運算
4.7非週期訊號與傅立葉級數
第四章 傅立葉級數 7
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
線性系統對輸入訊號的響應滿足重疊原理。
計算線性系統對任意輸入訊號 的響應：
(1)將輸入訊號 分解成
(2)分別求出系統對 之響應
第四章 傅立葉級數
訊號分解
)(tx)(tx
)()()()( 21 txtxtxtx n+++=
)(,),(),( 21 txtxtx n )(,),(),( 21 tytyty n
)( )( 11 tytx LTI
)( )( 22 tytx LTI
)( )( tytx nn LTI
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
(3)系統的輸出 。)()()()( 21 tytytyty n+++=
此外，訊號的分解可將訊號表示成個别具有重要特性之子訊號的和。
LTI)()()()( 21 txtxtxtx n+++= )()()()( 21 tytytyty n+++=
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訊號分解(續)
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.1
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©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
由上圖， 。其中(a) 為 的平均值(b) 為非零部分的斜率。
)()()( 21 twtwtw += )(1 tw )(tw )(2 tw )( tw
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
時域v.s.頻域訊號
上圖為 之時域表示，圖中橫軸表示時間
]3
)2(2cos[75.0]4
)1(2cos[2)( ππππ −+−= tttv
)(tv
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©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
時域v.s.頻域(續)觀察式子
可知，此訊號將由底下六個參數完全決定：
故訊號 可由 A(f) 及Ph(f) 兩個頻率( f )的函數來表示，此 A(f)及Ph(f) 即為 在頻域的表示。
]3
)2(2cos[75.0]4
)1(2cos[2)( ππππ −+−= tttv
頻率(frequency) f 1Hz 2Hz
振幅(amplitude)(恆正) A(f) 2 0.75
相角(phase) Ph(f) 4π
−3π
−
)(tv)(tv
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
時域v.s.頻域(續)由 的頻域表示可知，訊號 只在1Hz及2Hz的頻域上有能量。此一資訊無法直接由 的時域表示中獲得。
相反的，由 的時域表示中可知訊號的最大值與最小值。
但由頻域表示中不容易獲得此一資訊。
總之，無論是時域或頻域的表示法均可完全決定一個訊號。然不同的表示法會突顯出訊號不同之特性。唯有熟悉此兩種不同表示法才可有效率的對訊號做處理。
)(tv)(tv
)(tv
)(tv
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
本章綱要4.1 訊號的不同表示方式
－訊號分解
－時域與頻域
4.2 訊號頻譜－單邊頻譜
－雙邊頻譜
－訊號頻寬
4.3 三角傅立葉級數－三角傅立葉級數的係數
－三角傅立葉級數第二式
－三角傅立葉級數的特性
4.4 指數傅立葉級數－指數傅立葉級數的係數
－指數傅立葉級數係數的對稱性
－指數傅立葉級數係數的變換
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
本章綱要4.5 週期訊號的功率分析
4.6 指數傅立葉級數的數值運算
4.7非週期訊號與傅立葉級數
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
訊號頻譜(spectrum)頻譜：訊號在頻域的表示稱為頻譜。分為振幅頻譜(amplitude spectrum) A(f)
與相位頻譜(phase spectrum) Ph(f)兩部份。
)]3()10(2cos[3)( ππ −= ttx
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©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
訊號頻譜(spectrum)(續)線頻譜(line spectra) ：
當A(f) 與Ph(f) 為離散頻率(discrete-frequency)函數時，此類頻譜稱為線頻譜。(如上頁圖例) 。
單邊頻譜(single-sided spectra) ：當A(f) 與Ph(f)兩頻譜只存在 f >0的部份。稱為單邊頻譜。(如上頁圖例)。
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.2請繪出弦波訊號 的單邊頻譜。
【解】此訊號之振幅大小為3、頻率為1000Hz相位為 。)6/2000cos(3)( ππ += t tx
6/π
弦波訊號的單邊頻譜
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©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.3請繪出弦波訊號 的單邊頻譜。
【解】(1)訊號的振幅大小要為正值，因此將訊號表示式改寫成：
或
)6/2000cos(3)( ππ +−= t tx
)6/72000cos(3)6/2000cos(3
)6/2000cos(3)(
πππππ
ππ
+=++=
+−=
tt
t tx
)6/52000cos(3)6/2000cos(3
)6/2000cos(3)(
πππππ
ππ
−=−+=
+−=
tt
t tx
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.3(續)(2)訊號 之振幅大小為3、頻率為1000Hz以及相位為 或 ，
下圖顯示這兩種頻譜。
6/7π 6/5π−)(tx
弦波訊號的單邊頻譜
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©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。
注意：此兩種表示其數學上完全相等
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.4請繪出下列訊號的單邊頻譜。
【解】改寫訊號表示式
訊號由三個餘弦訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、 與 。
)4/4000cos(4)3000sin(2)2000cos(3)( ππππ +++= ttt tx
)4/4000cos(4)2/3000( 2)2000cos(3)4/4000cos(4)3000sin(2)2000cos(3)(
πππππππππ
++−+=+++=
tttttt tx
2/π− 4/π
cos
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.4(續)
訊號的單邊頻譜
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©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.5請繪出訊號 單邊頻譜。
【解】訊號可改寫成 ，表示成由二個餘弦訊號組合而成，但其頻率皆為1000 Hz，因此必須合併。注意到 為非線性函數，二個餘弦的振幅大小與相位無法直接相加，因此將訊號表示式改寫成：
)2000sin(4)2000cos(3)( tt tx ππ +=
)2/2000cos(4)2000cos(3)( πππ −+= tt tx
)cos(⋅
34tan ),2000cos(5
]sin)2000sin(cos)2000[cos(5
]43
4)2000sin(43
3)2000[cos(43
)2000sin(4)2000cos(3)(
1
2222
22
−=−=
+=+
++
+=
+=
φφπ
φπφπ
ππ
ππ
t
tt
tt
tt tx
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.5(續)
訊號的單邊頻譜
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©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.6請繪出以下訊號的單邊頻譜
【解】(1)可將訊號表示式改寫成
)6000sin()6000cos()4/4000cos(4)3000sin(2)1000cos(3)(
ttttt tx
ππππππ
−++−−=
)4/6000cos(2
)4/54000cos(4)2/3000cos(2)1000cos(3)6000sin()6000cos(
)4/4000cos(4)3000sin(2)1000cos(3)(
ππ
πππππππ
ππππ
++
++++=−+
+−−=
t
ttttt
ttttx
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教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.6(續)(2)由改寫後的訊號表示式可知是由4個餘弦訊號組合而成，其振幅大小分別
為3、2、4與 ；而其頻率分別為500、1500、2000 Hz與3000 Hz；以及其相位分別為0、 、 與 。
22/π 4/5π 4/π
訊號的單邊頻譜
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©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。