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EDUC 6390: Estadstica aplicada en la educacinJulio E. Rodrguez TorresConferencia 12Muestras y la distribucin muestralBosquejoI. Muestras .......................................................................................................................1

A. Representatividad ...................................................................................................1B. Muestras probabilsticas y no probabilsticas ..........................................................2

C. Tipos de muestras ..................................................................................................21. Muestra aleatoria simple ...................................................................................2a. Con reposicin ..................................................................................................2b. Sin reposicin ...................................................................................................2Inconvenientes .....................................................................................................32. Muestra aleatoria sistemtica ...........................................................................33. Muestra de conglomerado (cluster) ..................................................................3Inconvenientes .....................................................................................................34. Muestra aleatoria estratificada ..........................................................................3

II. La distribucin muestral de la media (sampling distribution) ........................................4A. Concepto .................................................................................................................4B. Ejemplo ...................................................................................................................4

C. Propiedades de la media ........................................................................................51. Insesgada (unbiased) .......................................................................................52. Eficiente ............................................................................................................53. Consistente ......................................................................................................5

D. Error estndar de la media ......................................................................................51. Definicin ..........................................................................................................52. Notacin ...........................................................................................................5

3. Relacin entre " x " y X

........................................................................5E. Teorema Central del Lmite .....................................................................................6

III. Clarificacin de conceptos por medio de ejemplos......................................................7

I. Muestras

A. Representatividad

Hay dos formas bsicas de obtener informacin sobre una poblacin: A travs de un censo, dondese recoge informacin sobre toda la poblacin. A travs de una muestra, donde se recogeinformacin sobre una muestra y se sacan conclusiones sobre la poblacin.

Para hacer estas inferencias de la muestra a la poblacin es imprescindible que la muestra searepresentativa de la poblacin. La muestra debe tener las mismas caractersticas de la poblacin

que se quiere estudiar.

B. Muestras probabilsticas y no probabilsticas

Hay dos tipos de muestras que se utilizan en los estudios: muestras probabilsticas y noprobabilsticas. Las no-probabilsticas se basan principalmente en el juicio de expertos y se estudianen cursos especiales de muestreo. De las probabilsticas hay 4 tipos y se basan en la seleccinaleatoria.

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Para llevar a cabo una seleccin aleatoria se pueden utilizar varios instrumentos que garanticen quela seleccin sea al azar. Puede ser: tirar una moneda al aire; sacar nombres de una urna; utilizaruna tabla de nmeros aleatorios; utilizar un programa computadorizado para hacer la seleccin.

La caracterstica ms importante de las muestras probabilsticas es que ellas garantizan que sepuedan usar las tcnicas de la estadstica inferencial. Pero el hecho de que una muestra seaprobabilstica no garantiza que sea representativa de la poblacin, el azar puede jugar malaspasadas. Sin embargo, s se garantiza que la falta de representatividad, de haberla, no esintencional.

C. Tipos de muestras

1. Muestra aleatoria simple

La muestra aleatoria simple es el tipo ms sencillo de muestra aleatoria, pero es la base de todaslas dems. Su funcin principal es que todos los miembros de la poblacin de la que se toma lamuestra tengan la misma probabilidad de ser seleccionados para formar parte de la muestra. Haydos tipos de muestras aleatorias simples, con reposicin y sin reposicin

a. Con reposicin

Cuando se selecciona un miembro ste se devuelve a la poblacin antes de seleccionar al prximo,de forma que la misma persona puede ser seleccionada en varias ocasiones. Ejemplo: Tomar unacarta de un paquete de 52 y devolverla antes de seleccionar la prxima. As cada carta en unamuestra de 5 tiene 1/52 probabilidad de ser seleccionada.

b. Sin reposicin

Cuando se selecciona un miembro de la poblacin no se devuelve de manera que una persona uobjeto puede ser seleccionado una sola vez. Sucede entonces que la probabilidad de seleccin esms pequea a medida que se va construyendo la muestra.

Ejemplo:

Si no se devuelve la carta, la segunda tiene 1/51 probabilidad de ser seleccionada. La tercera 1/50etc. En las ciencias sociales se utiliza principalmente este mtodo de seleccin aleatoria, pues nose puede utilizar el mismo individuo ms de una vez en las muestras. En este caso se logra quetodas las posibles muestras del mismo tamao tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas.La diferencia en trminos de probabilidad entre la muestra con y sin reposicin es insignificantecuando la poblacin es grande.

Ejemplo: En una poblacin de 500 personas no hay mucha diferencia entre 1/500 = 0.002 y 1/499 =0.002004008

Sin embargo, muy a menudo se encuentran investigaciones sociales y educacionales en que no seusan muestras aleatorias a pesar de que parezcan serlo. Un ejemplo interesante y muy frecuentees el de los estudios en que se envan cuestionarios a una muestra aleatoria de sujetos. Sinembargo, el estudio no resulta ser aleatorio, pues slo los voluntarios responden al cuestionario.

Inconvenientes

Las muestras aleatorias no son adecuadas cuando hay dentro de la poblacin bajo estudio seencuentran subpoblaciones de las que se quiere tener informacin. Cuando esto ocurre lainformacin que se obtiene concierne a la poblacin, pero no dice gran cosa sobre lassubpoblaciones que la componen.

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Las muestras aleatorias no son prcticas cuando los miembros de la poblacin estn alejadosgeogrficamente unos de otros. En estos casos se hace casi imposible para los investigadoresacceder a todos los sujetos de la muestra.

2. Muestra aleatoria sistemtica

La muestra aleatoria sistemtica se utiliza generalmente cuando existe una lista de la poblacinpreparada previamente. Esta lista puede ser la gua telefnica, una lista de miembros de un club,etc.

En estos casos el procedimiento que se lleva a cabo es el siguiente.

1. Se determina la fraccin de muestreo. Se divide el tamao de la muestra entre el tamao de lapoblacin. Si la poblacin es de 15000 sujetos y la muestra es de 300 sujetos la fraccin demuestreo es (300/15000 = 1/50)

2. Se selecciona aleatoriamente un sujeto que est en la primera fraccin del grupo de la lista .(Supongamos que el sujeto seleccionado entre los primeros 50 haya sido el nmero 23).

3. Se seleccionan los dems sujetos como mltiplos de la fraccin. (Se seleccionan los sujetos 73

[ 23 + 50]; 123 [23 + 100]; 173 [23 +150] etc.

4. Es importante asegurarse de que la lista no est hecha siguiendo algn patrn cclico queeventualmente haga que la seleccin no sea representativa.

3. Muestra de conglomerado (cluster)

En este tipo de muestra, la unidad bajo investigacin no es el individuo sino el grupo. Se utilizaprincipalmente cuando los miembros de la poblacin estn muy separados geogrficamente. Unavez se selecciona un grupo, se utilizan todos los individuos que forman ese grupo.

Ejemplo:

Una muestra de conglomerado es aquella en que se seleccionan escuelas aleatoriamente en undistrito y entonces todos los maestros de las escuelas seleccionadas participan.

Inconvenientes

El problema con la muestra de conglomerado es que generalmente los grupos son mshomogneos en su interior que la poblacin y entonces cada grupo no representa adecuadamentela poblacin. Este es el caso de la seleccin de escuelas para hacer un estudio sobre los maestros.Dentro de cada escuela el grupo de maestros es ms homogneo en trminos socioeconmicos.Sin embargo, este problema se puede reducir si se seleccionan muchos conglomerados.

4. Muestra aleatoria estratificada

La muestra aleatoria estratificada se utiliza cuando en la poblacin hay subgrupos de los cuales sequiere obtener informacin.

En estos casos el procedimiento que se lleva a cabo es el siguiente.

1. Se determina el porcentaje que representa cada subgrupo dentro de la poblacin.

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2. Se seleccionan aleatoriamente, de cada subgrupo, tantos sujetos como sean necesarios paraque en la muestra total haya el mismo porcentaje de cada subgrupo que hay en la poblacin

3. Esto se llama una alocacin proporcional

II. La distribucin muestral de la media (sampling distribution)

A. Concepto

Para obtener informacin sobre una poblacin por lo general slo tenemos la informacin que nosprovee una muestra. Pero esta muestra, por muy aleatoria que sea slo provee informacin sobreparte de la poblacin.

El error que se genera al estimar un parmetro partiendo de una estadstica es lo que se llama elerror de muestreo. La nica forma cientfica de poder hacer una inferencia de la muestra a lapoblacin requiere que se construya la distribucin muestral de la media. Esto se logra por mediodel siguiente proceso:

1. Se seleccionan en una poblacin todas las muestras posibles (de un tamao dado)

2. Se halla la media de cada muestra.

3. Se construye una nueva distribucin con todas las medias obtenidas.

4. Esta nueva distribucin de medias se llama la distribucin muestral (sampling distribution)

B. Ejemplo

Dada una poblacin de slo 3 personas A tiene $20; B tiene $15 y C tiene $10. Construye ladistribucin muestral de la media de dos personas (la distribucin formada por las medias de todaslas muestras de dos personas):

media de A y B = 17.5

media de A y C = 15

media de B y C = 12.5

La distribucin muestral de la media es {17.5, 15, 12.5}

Notacin:

Xes la media de una de las muestras

x es la media de la poblacin

X

es la media de la distribucin muestral de la media (la media de todas las medias)

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C. Propiedades de la media

1. Insesgada (unbiased)

Se dice que la media es insesgada porque la media de todas las medias de todas las muestras deun tamao dado es igual a la media de la poblacin

XX =

Ejemplo:

Dada una poblacin de slo 3 personas donde A tiene $20; B tiene $15 y C tiene $10. La media dela poblacin es $15. La media de la distribucin muestral de la media de dos personas es(17.5+15+12.5)/3 = 15

2. Eficiente

La media es la medida de tendencia central que menos cambia de muestra en muestra. Hay msdiferencias entre las modas o entre las medianas de las diversas muestras.

3. Consistente

A medida que el tamao de la muestra aumenta la media de las muestras se acerca ms a la mediade la poblacin.

D. Error estndar de la media

1. Definicin

La distribucin muestral de la media tiene tambin una desviacin estndar que representa lavariabilidad de las medias de todas las muestras de un tamao dado. Esta desviacin estndar sellama error estndar de la media y se representa con el siguiente smbolo.

X

2. Notacin

El smbolo "s" representa la desviacin estndar de una muestra.

El smbolo " x " representa la desviacin estndar de la poblacin.

El smbolo X

representa la desviacin estndar de la distribucin muestral de la media (Ladesviacin estndar de todas las medias)

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3. Relacin entre " x " y X

Hay mucha ms variabilidad en la poblacin que en la distribucin muestral. Esto se debe a que alcalcular x es necesario incluir el valor mnimo y el mximo de la poblacin. Sin embargo, estosvalores mximos y mnimos no se tienen que incluir en el clculo de la distribucin muestral ni en eldel error estndar de la media.

Ejemplo:

Dada una poblacin de slo 3 personas donde A tiene $20; B tiene $15 y C tiene $10. Ladistribucin muestral de la media de dos personas (las medias de todas las muestras de dospersonas) es {17.5, 15, 12.5}

media de A y B = 17.5

media de A y C = 15

media de B y C = 12.5

041.2=X

x = 4.082

Hay dos frmulas para relacionar x y X

Cuando el muestreo es aleatorio sin reposicin:

nN

nN

X

1=

Cuando el muestreo es aleatorio con reposicin o la poblacin es infinita entonces:

n

X

X

=

Esta ltima frmula se usa tambin cuando la muestra es pequea comparada con la poblacin.Como ste es generalmente el caso en ciencias sociales, por lo general se usa esta frmula.

E. Teorema Central del Lmite

Si la poblacin subyacente es normal con media x, desviacin estndar X y el muestreo esaleatorio con reposicin entonces la distribucin muestral de la media para cualquier tamao demuestra es normal y

n

X

X

=

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8/9

3

25

15===

n

X

X

Como la distribucin de la poblacin es normal es posible hacer preguntas sobre cada cajaindividualmente o sobre cada muestra de 25 cajas. En el primer caso se utilizara la distribucin dela poblacin subyacente y en el otro la distribucin muestral.

Ejemplo 1: Cul es la probabilidad que la media de una caja se encuentre entre 365 y 368gramos?

En este caso se habla de una sola caja, por lo tanto se utiliza la desviacin estndar de la poblacinpara obtener el valor de z que se va a utilizar en las tablas para la distribucin normal.

z = [365-368] = -3/15 = -0.215

P( 365 < x < 368) = P( -0.2 < z < 0) = 0.0793

Por lo tanto se puede decir que la probabilidad de que la media de una caja se encuentre entre 365y 368 gramos es 0.0793.

Tambin se puede decir que el 7.93 % de las cajas tiene una media entre 365 y 368 gramos.

Sin embargo algo muy diferente sucede si examinamos cada muestra de 25 cajas.

Ejemplo 2: Cul es la probabilidad que la media de una muestra de 25 cajas se encuentre entre365 y 368 gramos?

En este caso se habla de una muestra de 25 cajas, por lo tanto se utiliza la desviacin estndar dela distribucin muestral (15/25 = 3) para obtener el valor de z que se va a utilizar en las tablas para

la distribucin normal.

z = [365-368] = -3/3 = -13

P( 365 < x < 368) = P( -1 < z < 0) = 0.3413

Por lo tanto se puede decir que la probabilidad de que la media de una muestra de 25 cajas seencuentre entre 365 y 368 gramos es 0.3413.

Tambin se puede decir que el 34.13 % de las cajas tiene una media entre 365 y 368 gramos.

El problema ms importante va a ser hallar el intervalo dentro del cual el 90% o el 95% de lasmedias de las muestras de 25 cajas deben caer para estar seguros de que la mquina estfuncionando bien.

Ejemplo 3: Halla el intervalo dentro del cual el 95% de las medias de la distribucin muestral debeestar si la media de la poblacin es 368. Visualmente se busca el rea bajo la curva que contiene el95% del rea total. En otras palabras se desea obtener un rea igual al 47.5% de cada lado de lamedia y determinar la z que corresponde a dicha rea.

8/3/2019 EDUC 6390 Conf 12

9/9

El rea de 0.4750 bajo la curva corresponde en la tabla a z = 1.96. Por lo tanto

z = 1.96 y z = -1.96

1.96 = (x -368)/3

5.88 = x - 368

x = 373.88

-1.96 = (x -368)/3

-5.88 = x - 368

x = 362.12

Por lo tanto es posible decir que el 95% de las medias de las muestras de 25 cajas deben estarentre 362.12 y 373.88 gramos.

Lectura:

Hinkle captulo 7 pp.171-184

Actividades:

Hinkle pp. 184 ej. 15,16,17,18

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