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FACTORIZACION FACTORIZACION LU LU

JULIAN GUTIERREZ NORAIMA ZARATE GARCIA FREDY ANDRES REYES SANCHEZ JUAN CAMILO DIAZ FERNANDO ANDRES FUENTES NATALIA GRAJALES GARCIA OSCAR MENDIVELSO

MÉTODOS NÚMERICOSMÉTODOS NÚMERICOS

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En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.

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Inversión de una matriz [A], aplicando el procedimiento de descomposición LU

[A]= [L] [U]

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[U], es la matriz triangular superior obtenida por el procedimiento de eliminación de Gauss sin tener en cuenta el vector de términos independientes.

[L], es la matriz triangular inferior donde su diagonal contiene elementos con valor uno. Esta matriz esta matriz se puede obtener por el procedimiento de Gauss y se forma con los factores F generados en la eliminación hacia adelante.

[L]{D}={B}, es el sistema de ecuaciones generado con [L]. {D} vector de incógnitas que se obtiene por sustitución hacia adelante. {B}, es un vector unitario de términos independientes, donde cada elemento vale cero a excepción de uno de los renglones. Para i=1, el elemento del renglón uno es igual a 1 y el resto de los renglones es cero etc.

[U]{x}i= {D}, es el sistema de ecuaciones generado con [U], {x}, es el vector resultante que equivale a la columna i de la matriz inversa. Este vector se obtiene por sustitución hacia atrás. Los vectores {x}1,………., {x}n , generan las columnas 1, …n, de la matriz inversa [a]^ -1.

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Obtener la inversa de la matriz[A]

Paso 1: aplicar eliminación de Gauss y obtener [u] y [L]

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Paso 2: Obtener el vector de incógnitas {D} del siguiente sistema [L]{D}={B1}, aplicando sustitución hacia adelante

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Se resuelve el siguiente sistema [U]{x1}={D}, utilizando sustitución hacia atrás.

Paso 3: obtener el vector de incógnitas {D} del siguiente sistema [L]{D}={B}2, aplicando sustitución hacia adelante

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Se resuelve el siguiente sistema [U]{x2}={D}, utilizando sustitución hacia atrás.

Paso 4: obtener el vector de incógnitas {D} del siguiente sistema [L]{D}={B}3, aplicando sustitución hacia adelante

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Se resuelve el siguiente sistema [U]{x3}={D}, utilizando sustitución hacia atrás.

La matriz inversa [A]^ -1 es:

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http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU

http://www.youtube.com/watch?v=T0Ozfp-k3Us http://www.uv.es/diaz/mn/node28.html


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