download
TRANSCRIPT
Chương 3 : Bể chứa nổi (phần 2/3 tiếp theo)
(Floating Production, Storage and Offloading Systems – FPSOs)
4. Tác động của các yếu tố môi trường lên hệ thống FPSO
Các nội dung chính trong phần này: Đầu tiên là giới thiệu các phương trình tổng quát của bài toán thủy động học.
Sau đó đi sâu vào nghiên cứu các bài toán nhiễu xạ- bức xạ bậc nhất và bậc hai, xác định hàm truyền RAO của phản ứng đầu ra của kết cấu. Hai bài toán này được xây dựng dựa trên lý thuyết của hàm thế.
Tiếp đến là các công thức tính lực thủy động học bậc nhất và bậc hai tác động lên kết cấu nổi đối với sóng tiền định và sóng ngẫu nhiên. Đặc biệt đi sâu vào xác định hàm truyền bậc hai (QTF - Quadratic Transfer Function) theo lý thuyết và các phương pháp gần đúng, để tính toán lực thủy động bậc hai tần số thấp, mà trường hợp đặc biệt là lực trôi dạt chậm của tàu FPSO có neo giữ, được tính toán theo 3 công thức : trường xa, trường gần, và trường trung gian (phương pháp mới). Bên cạnh nghiên cứu chủ yếu và phức tạp nhất về lực thủy động do sóng bậc nhất và bậc hai gây ra, tải trọng dòng chảy và gió cũng được tính đến ở đây.
Phần cuối là tổng kết các bước tính toán các loại tải trọng tác động lên kết cấu nổi FPSO và hệ thống neo FPSO. 4.0. Phương trình cơ bản tính các loại tải trọng môi trường tác dụng lên hệ thống FPSO:
Chúng bao gồm các lực thủy động học của sóng (bậc 1 và trôi dạt bậc 2), và các tác động khác của môi trường, tạo nên các chuyển động ngang của hệ theo trục x, y và mô men xoay quanh trục z, chúng được xác định bằng công thức tổng quát sau:
++++++=
++++++=++++++=
ψψψψψψψψ OCWDBMHO
OyCyWyDyByMyHyy
OxCxWxDxBxMxHxx
MMMMMMMMFFFFFFFFFFFFFFFF
/ (4.0) Với các chỉ số có ý nghĩa sau: H : các lực thủy động học của sóng ; M : các lực neo ; B : các lực cản;
D : các lực trôi dạt chậm (sóng bậc 2); W : các lực gió; C : các lực dòng chảy;
O các lực từ các nguyên nhân khác: lực đẩy (cánh quạt tàu)… Trong đó quan trọng và chiếm đa số là lực thủy động học của sóng (bậc 1 và trôi dạt bậc 2) mà ta sẽ nghiên cứu chi tiết trong các mục từ 4.1 đến 4.4 sau đây, tiếp đến là lực gió và dòng chảy trong mục 4.6. Lực neo được cho trước trong từng bài toán thiết kế, lực cản được tính trong mục 4.5.
Tổ hợp tải trọng tính toán:
Tính cho 2 tổ hợp cơ bản: - khi FPSO đầy tải (full load): Mớn nước đầy nhất, tàu chứa đầy dầu - khi FPSO trong điều kiện dằn nước (ballast): khi đó mớn nước là ít nhất, tàu đã rót hết dầu, nước dằn được bơm vào để giữ ổn định tối thiểu cho tàu.
4.1. Các phương trình tổng quát của bài toàn thủy động học
4.1.1 Các giả thiết
Giả thiết liên quan đến chất lỏng
Chất lỏng xung quanh vật thể được giả thiết là chất lỏng lí tưởng : liên tục, không nhớt, không nén được, không xoay được, vì thế hoàn toàn áp dụng được lý thuyết thế năng. Bề mặt tự do của chất lỏng được giả thiết kéo dài đến vô hạn theo phương ngang. Bỏ qua sức căng bề mặt so với lực quán tính. Áp suất khí quyển là không đổi trên bề mặt thoáng.
Giả thiết liên quan đến vật thể nổi và chuyển động của vật thể Vật thể nổi được giả thiết là không biến dạng và kín khít. Vật thể nổi thực hiện các dao động biên độ thấp xung quanh vị trí cân bằng cố định so với mốc tuyệt đối.
4.1.2 Phương trình tổng quát của bài toàn thủy động học Cho một hàm thế của vận tốc dòng chảy Φ(M, t) :
),( grad),( tMtMV Φ= (4.1)
có 2 thành phần : Φ = ΦI + ΦP (4.2) • ΦI là hàm thế của vận tốc sóng tới, khi chưa có vật thể. Giả thiết là sóng này lan truyền
trên đại dương vô hạn với độ sâu hằng số (h). • ΦP là hàm thế của dòng chảy nhiễu.
4.1.2.1 Phương trình liên tục
0),( div =tMV (4.3) => 0),(2 =Φ∇ tM (4.4)
4.1.2.2 Phương trình Lagrange
Chất lỏng đặt dưới lực trọng trường, phương trình Euler được viết :
VV grad21 grad1 2
tkgp
∂∂
−−−=ρ
(4.5)
0)(21 grad 2 =
Φ
∂∂
+Φ∇++t
gzpρ
(4.6)
=> )()(21 2 tF
tgzp
=Φ∂∂
+Φ∇++ρ
Phương trình Lagrange (4.7)
F(t) là một hàm bất kỳ phụ thuộc thời gian.
4.1.2.3 Điều kiện giới hạn
• Điều kiện trượt trên vật thể Vận tốc tương đối pháp tuyến với SC bằng 0 tại điểm M:
0) ( =⋅− nVV E (4.8)
Từ đó có: nVtMn
E ⋅=Φ∂∂
∈Sc M
),( (4.9)
• Điều kiện trượt ở đáy
Đáy biển được giả thiết là bằng phẳng, nằm ngang : z= -h Tương tự phần trước, ta có :
0)0 ( =⋅− nV (4.10)
0),(h- Z
=Φ∂∂
=
tMz
(4.11)
• Điều kiện của bề mặt tự do
Phương trình của bề mặt tự do: ),,( tyxz η= (4.12)
Áp lực P phải cân bằng với áp suất khí quyển P (x,y,z,t) = 0
Trên bề mặt tự do SL : 0dtdP
=⋅+∂∂
==ηz
PgradVtP r
(4.13)
Bằng cách thay P từ phương trình Lagrange (4.7), ta có:
)(21 2 tF
tVg
z
=Φ∂∂
++=η
η (4.14)
•
=
=∂∂
+⋅+∂Φ∂
+∂
Φ∂ )(² 21
²² 2 tFV
tVgradV
zg
t z η
(4.15)
)(2
²1- tFg
Vtg
+−∂Φ∂
⋅=η (4.16)
• Điều kiện ở vô cùng Hàm thế tổng cộng là sự chồng của nhiều hàm thế thành phần. Với ΦI(M,t) là hàm thế của vận tốc sóng tới, Điều kiện ở vô cùng là như sau :
[ ] 0),(),(lim²²
=Φ−Φ∞→+
tMtM Iyx
(4.17)
Ý nghĩa vật lý là sự có mặt của vật thể không làm thay đổi dòng chảy ở vô cùng, nhiễu loạn gây bởi sự có mặt của vật thể sẽ không còn ảnh hưởng ở vô cùng. Tương tự, với độ sâu nước là vô hạn :
[ ] 0),(),(lim =Φ−Φ−∞→
tMtM Iz
(4.18)
4.1.3. Tổng kết các phương trình thủy động học
Lời giải của bài toán nhiễu xạ -bức xạ được suy ra từ việc tìm ra một hàm thế vận tốc Φ, thỏa mãn các phương trình (4.4), (4.9), (4.11), (4.15), (4.17), được tổng kết dưới đây :
[ ]
∞→+=ΦΦ
∈∀=∂Φ∂
∈∀⋅=∂Φ∂
∈∀=∂Φ∇∂
+Φ∇⋅Φ∇+∂Φ∂
+∂
Φ∂
∈∀=Φ∇•
y² x² 0- lim
)(S M 0
)(S M
)(S M )()()( 21
²²
(D) M 0),(
I
F
C
L
22
2
z
nVn
tFt
gradz
gt
tM
E (4.19)
Ta có nhận xét là tính phi tuyến của bài toán gắn liền chủ yếuvới điều kiện ở bề mặt tự do. Các phương trình còn lại khác là tuyến tính.
4.2. Bài toán nhiễu xạ- bức xạ bậc nhất và bậc hai Phản ứng của kết cấu nổi trước tác động của sóng trước tiên được nghiên cứu bằng lý thuyết tuyến tính. Trạng thái biển được giả thiết là dừng, được đặc trưng bởi hàm mật độ phổ năng lượng của sóng S(ω,β). Chúng ta phải xác định được hàm truyền phức fX(ω,β) (RAO) của phản ứng X nghiên cứu (chuyển vị, lực sóng,..). Từ lý thuyết sóng Stokes, một kỹ thuật đã được áp dụng để tìm lời giải dưới dạng khai triển chuỗi của một tiểu thông số ε, được đặc trưng cho độ cong của sóng (ε =a/λ) :
Φ (M,t)= Φ(0) (x,y,z)+ ε Φ(1)
(M,t)+ ε² Φ(2) (M,t)+ … (4.20)
Số hạng bậc 0 Φ(0) tương ứng với dòng không có sóng, tức là dòng chảy, hoặc vận tốc của tàu đang chạy. Đối với FPSO, giả thiết là không có Φ(0)≡ η(0) ≡ 0. Vào năm 1840, Stokes đã phát triển (4.20) cho tới bậc 5 trong trường hợp sóng tiền định. Bài toán tuyến tính (bậc nhất) của nhiễu xạ cho một sóng đều tác động lên một vật thể hình trụ đã được giải (Havellock, 1940). Sau đó, mới đây người ta đã phát triển tới bậc 2 và đang phát triển bậc 3 cho lời giải của bài toán nhiễu xạ. Bằng cách dùng khai triển chuỗi Taylor trong phương trình (4.19), ta có thể chia bài
toán thành một chuổi các bậc liên tiếp, nếu ta đặt giả thiết là F(t) và )(F t•
trong phương trình
(4.14 et 4.15) là bằng không.
4.2.1 Xấp xỉ bậc nhất của bài toán nhiễu xạ- bức xạ
4.2.1.1. Đặt bài toán nhiễu xạ- bức xạ bậc nhất Thế năng Φ(1)(M,t) thỏa mãn hệ phương trình sau :
[ ]
∂Φ∂
⋅=
=ΦΦ
=∂Φ∂
⋅=∂Φ∂
=∂Φ∂
+∂Φ∂
=Φ∇
∞→+
−=
g1-
0-lim
0
0²
² 0),(
(1))1(
(1)I
)1(
y²x²
hz
)1(
0)1(
Sco
)1(
)1()1(
)1(2
t
z
nVn
zg
t
tM
E
η
(4.21)
Hàm thế bậc nhất được chia thành các thành phần sau :
Φ(1) = ΦI(1)
+ ΦP(1) = ΦI
(1) + ΦD
(1) + ΦR
(1) (4.22)
Hàm thế vận tốc được hợp thành bởi: - Một hàm thế của sóng tới ΦI thể hiện trạng thái biển cách xa vật thể ; - Một hàm thế nhiễu xạ ΦD thể hiện dòng chảy thế xung quanh vật thể được giữ cố định trong môi trường sóng tới; - Một hàm thế bức xạ ΦR thể hiện dòng chảy sinh ra bởi chuyển động của vật thể trong môi trường nước lặng, không có sóng tới.
4.2.1.2. Hàm thế bậc nhất của sóng tới ΦI(1) :
Để giải bài toán (4.21), cần bắt đầu bằng việc xác định sóng tới mà hàm thế ΦI(1)(M,t)
của nó phải thỏa mãn hệ phương trình sau :
=∂Φ∂
=∂Φ∂
+∂Φ∂
=Φ∇
−=
0
0²
²
0),(
hz
(1)I
(1)I
(1)I
(1)I
2
z
zg
t
tM
(4.23)
a) Đối với sóng đơn sắc (còn gọi là sóng tiền định, sóng đều) Một con sóng tiền định (đơn sắc) bậc nhất được biểu diễn bằng một hàm điều hòa hình sin (sóng Airy). Hàm thế của sóng tới được giả thiết là điều hòa, phụ thuộc thời gian, dưới dạng tổng quát sau :
[ ]tyxkchkh
hzchkzxtzx ωββω
φ ω −+⋅+
⋅⋅
=⋅ℜ=Φ )sincos(sin)(gae ),( ),,( ti-(1)I
(1)I (4.24)
Và phương trình của bề mặt tự do : [ ]tyxka ωββη −+⋅= )sincos(cos)1( (4.25)
Trong đó β là góc tới của sóng so với trục Ox. Bài toán là tuyến tính, chỉ càn phải giải trong trường hợp đặc biệt của sóng tới, với β = 0:
ti-(1)I
(1)I e ),( )sin()(ga),,( ωφω
ωzxtkx
chkhhzchktzx ℜ=−⋅
+⋅
⋅=Φ (4.26)
và )cos(),()1( tkxatx ωη −⋅= (4.27)
Trong đó k là số sóng, liên hệ với tần số sóng ω bởi : ) tanh(² khgk=ω (4.28)
b) Đối với sóng song sắc (sóng không đều)
Ta coi đó là sự chồng của hai sóng có các biên độ a1, a2 và các tần số sóng ω1 et ω2 , hàm thế bậc nhất của sóng được viết như sau :
[ ]
[ ]tyxkhchk
hzchkga
tyxkhchk
hzchkga
22222
2
2
2
11111
1
1
1ti-(1)I2
ti-(1)I1
(1)I
)sincos(sin)(
)sincos(sin)(e e 21
ωββω
ωββω
φφ ωω
−+⋅+
⋅+
+−+⋅+
⋅=⋅ℜ+⋅ℜ=Φ
(4.29)
Phương trình của bề mặt tự do : ( ) ( )tyxkatyxka 2222211111
)1( )sincos(cos)sincos(cos ωββωββη −+⋅+−+⋅= (4.30)
Phương trình của bề mặt tự do nếu β = 0 :
( ) ( )txkatxkaI 222111)1( coscos ωωη −⋅+−⋅= (4.31)
c) Đối với sóng ngẫu nhiên :
Đối với xấp xỉ bậc nhất, ta biểu diễn một sóng ngẫu nhiên (không đều) bởi sự chồng của một tập hợp các sóng Airy thành phần. Phương trình của bề mặt tự do :
( )∑∞
=
+−+⋅=1
)1( sincoscos),,(j
jjjjjjj tykxkatyx θωββη (4.32)
Và biên độ aj được suy ra từ phổ năng lượng của sóng bởi phương trình : jjjjj Sa δβδωβωηη ⋅= ),(22 (4.33)
Với θj là pha ngẫu nhiên thuộc khoảng [0, 2π], Sηη(ω,β) là phổ có hướng của sóng ngẫu nhiên . Hàm thế của sóng tới được đưa ra bởi một chuỗi các hàm thế cấu thành :
[ ]∑∑∞
=
∞
=
+−+⋅+
⋅=⋅ℜ=Φ11
ti-(1)Ij
(1)I )sincos(sin
)(e
jjjjjj
j
j
j
j
jtyxk
hchkhzchkga
j θωββω
φ ω (4.34)
4.2.1.3 Hàm thế nhiễu loạn bậc nhất ΦP(1)
φP(1)(M) hàm biên độ phức của hàm thế, là một hàm dừng điều hòa, có dạng :
t-ie )( ),( (1)P
(1)R
(1)D
(1)P
ωφ ⋅ℜ=Φ+Φ=Φ MtM (4.35)
Trong đó, hàm thế bức xạ còn được phân chia bởi sự chồng tuyến tính của 6 hàm thế, tương ứng với 6 bậc tự do của chuyển động của vật thể :
∑∑==
⋅⋅−ℜ=Φ=Φ6
1
(1)Rj
6
1
(1)Rj
(1)R
ti-e j
jj
xi ωφω (4.36)
Trong đó xj là thành phần thứ j của chuyển động xr của vật thể. Lời giải cho bài toán này suy ra từ việc tìm ra hàm thế của vận tốc φP (M), thỏa mãn các điều kiện sau :
=∂
∂
=∂
∂
=∂
∂+−
=∇
−=
0
0²
0
hz
)1(
)1(
Sco
)1(
)1()1(
)1(2
z
fn
zg
P
PP
PP
P
φ
φ
φφω
φ
(4.37)
Với :
==
=∂
∂−
= xa.buc 6,...,2,1j pour N
nhiêu xa. pour
(1)Rj
(1)Pj
(1)D
(1)P
)1(
)1(
φφ
φφφnfI
P (4.38)
Nj là thành phần thứ j của vecto pháp tuyến tổng quát. Tại vô cùng, điều kiện bức xạ được viết dưới dạng Sommerfeld:
0 ilim)1(
)1( =
∂
∂−⋅
∞→ rkr P
Pr
φφ (4.39)
Có thể được giải thích là, ở xa vô cùng, các sóng nhiễu loạn được lan truyền theo hướng bán kính r = ²² yx + .
4.2.1.4 Lời giải số cho bài toán nhiễu xạ -bức xạ bậc nhất:
Trong luận án tiến sĩ của Xiao-Bo CHEN (Đăng kiểm Pháp) trình bày rất rõ cách giải các phương trình của bài toán nhiễu xạ-bức xạ bậc nhất, bằng cách sử dụng «phương pháp kỳ dị » và sử dụng hàm Green. Đồng thời từ đó tác giả này cũng xây dựng được thuật toán ứng dụng trong chương trình tính Hydrostar, để tính toán lực tác động của sóng, dòng chảy lên công trình biển nổi và tính toán dịch chuyển của công trình.
Trong khoảng 20 năm trở lại đây, nhiều mô hình số để giải bài toán nhiễu xạ -bức xạ đã được nghiên cứu và đưa vào sử dụng, trở thành công cụ cho các kỹ sư thiết kế công trình biển. Kết quả của các phần mềm tính này là Hàm truyền của các thông số phục vụ cho tính toán thiết kế các công trình biển như : lực sóng bậc nhất và bậc hai, chuyển vị của kết cấu, áp lực lên vỏ tàu, khối lượng nước kèm,… Các chương trình tính đó là : WAMIT, AQUADYN, DIODORE, HYDROSTAR.
Trong phạm vi của nghiên cứu này không đi sâu phân tích các cách giải này mà chỉ kế thừa các kết quả của nó. Phần ứng dụng số của chuyên đề sẽ xử dụng phần mềm tính toán HYDROSTAR của Đăng kiểm Pháp.
4.2.2 Xấp xỉ bậc hai của bài toán nhiễu xạ -bức xạ
Chúng ta nghiên cứu ở đây số hạng Φ(2) của chuỗi (4.20). Lợi ích của bài toán xấp xỉ bậc hai là làm xuất hiện lực trong phạm vi tần số mở rộng, trong đó có thể tìm thấy tần số dao động riêng của hệ thống cần nghiên cứu.
4.2.2.1. Bài toán nhiễu xạ -bức xạ bậc hai
Trong luận án tiến sĩ của X-B CHEN, bài toán nhiễu xạ -bức xạ bậc hai của sóng được định nghĩa bằng việc giải hàm thế bậc 2 Φ(2) thỏa mãn hệ phương trình sau :
( )
[ ]( )
Φ∇∂∂
Φ∂⋅
∂Φ∂
⋅+∂Φ∂
⋅=
=ΦΦ
=∂Φ∂
⋅
Φ∇⋅
∇⋅−⋅⋅
Φ∇−+⋅=
∂Φ∂
∂Φ∂
+∂Φ∂
∂∂
⋅∂Φ∂
⋅+∂Φ∇∂
−=∂Φ∂
+∂Φ∂
=Φ∇
∞→+
−=
=
2
-²²
1g1-
0-lim
0
nMoMnR VnV
²
²1²
²
0),(
2(1))1()1((2))2(
(2)I
)2(
y²x²
hz
)2(
Sco0
)1()1(0
(1)(1)(1)E0
(2)E
Sco
)2(
0z
)1((1))1(2(1))2()2(
)2(2
gzttgt
z
n
zg
tztgtzg
t
tM
η
(4.40)
Hệ phương trình (4.40) tương tự như ở bài toán bậc nhất (4.21) trừ điều kiện ở bề mặt tự do là khác không.
Chúng ta cũng có thể phân chia hàm thế bậc 2 :
tiRDIRDIPI
mpe ,)()()()()()()()()( )(ω
φφφ−
⋅++ℜ=Φ+Φ+Φ=Φ+Φ=Φ 222222222 (4.41)
Trong đó : ωp,m = (ω1 ± ω2) là các tần số cao (+) hoặc thấp (-) của bài toán bậc 2 ; ω1, ω2 là các tần số của bài toán bậc nhất của sóng song sắc. Sau đây ta sẽ nghiên cứu lần lượt từng hàm thế trong phương trình (4.41).
4.2.2.2. Hàm thế bậc hai của sóng tới ΦI(2)
ΦI(2)(M,t) thỏa mãn hệ phương trình sau :
( )
=∂Φ∂
∂Φ∂
+∂Φ∂
∂∂
⋅∂Φ∂
⋅+∂Φ∇∂
−=∂Φ∂
+∂Φ∂
=Φ∇
−=
=
0
²
²1²
²
0),(
hz
(2)I
0z
(1)I
(1)I
(1)I
2(1)I
(2)I
(2)I
(2)I
2
z
zg
tztgtzg
t
tM
(4.42)
Hàm thế bậc hai của sóng tới được coi là điều hòa phụ thuộc thời gian, có dạng tổng quát sau:
⋅ℜ=Φ ∑=
2
0
(2)nI
(2)I
tin-e n
ωφ (4.43)
Hàm thế bậc hai được viết dưới dạng:
t-i2e (2)2I
(2)0I
(2)I
ωφφ ⋅ℜ+ℜ=Φ (4.44)
Từ điều kiện bề mặt tự do ta có :
0(2)0I =Φ (4.45)
Phần hàm thế không nhiễu động được giả thiết bằng 0. Hàm thế tần số đúp (2ω) như sau :
)sincos(24
(2)2I
)(2²83 ββω yxkie
khshhzkchai +⋅
+⋅⋅=Φ (4.46)
Tương tự, dao động của bề mặt tự do được viết như sau :
t-i2e(2)2I
(2)0I
(2)I
ωηηη ⋅ℜ+ℜ= (4.47)
Trong đó : khsh
ka22²(2)
0I −=η
(4.48)
và )sincos(2(2)2I ³2
²32² ββη yxkie
khthkhthka +⋅
⋅−
⋅−= (4.49)
do đó ta có : [ ]khsh
katyxkkhthkhthka
22²)sincos(2cos
³2²3
2²(2)
I −−+⋅
⋅−
⋅−= ωββη (4.50)
Trong trường hợp độ sâu nước vô hạn (h→∞), bề mặt tự do được viết như sau :
[ ]tyxkkaωββη −+⋅−= )sincos(2cos
2²(2)
I (4.51)
Đối với sóng ngẫu nhiên, ta thay thế các tần số sóng bằng ω1 ± ω2. Lực bậc 2 tìm được sẽ bao trùm một miền tần số mở rộng hơn, trong đó ta có thể tìm thấy tần số nguy hiểm (trùng với tần số dao đong riêng) của hệ nghiên cứu. Ví dụ :chuyển động trôi dạt chậm dưới tác dụng của các lực bậc 2 tần số thấp (ω1-ω2) của các FPSO mà tần số dao động riêng của hệ FPSO lại rơi vào khoảng một vài phút, dễ gây cộng hưởng . Ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn ở phần sau.
Trường hợp khác : phản ứng dao động tần số cao theo phương thẳng đứng « springing » của dàn khoan neo đứng (TLP) gây ra bởi các lực bậc 2 có tần số cao (ω1+ω2), có khả năng gây cộng hưởng. Đối với sóng song sắc, có 5 thành phần trong số hạng hàm thế của sóng tơi bậc 2 : hàm thế không đổi, hàm thế tần số đúp 2ω1, hàm thế tần số đúp 2ω2 (như bậc 1), và các hàm thế của tổng hoặc hiệu 2 tần số :
t)21-i((2)I
(2)I e ωωφ ±±± ⋅ℜ=Φ (4.52)
Dạng tổng (ω1 + ω2):
xkki
p
p
pp
eAhchk
hzchkhthkgk
gaia rrr⋅+++ ⋅⋅
+⋅
+−=Φ )(
21
21(2)I
21)(
)²(²
ωω (4.53)
Dạng hiệu (ω1 - ω2):
xkki
m
m
mm
eAhchk
hzchkhthkgk
gaia rrr⋅−− ⋅⋅
+⋅
−−=Φ )(
21
21(2)I
21)(
)²(²-
ωω (4.54)
Trong đó : [ ]
±⋅+−⋅
±=±
hkchk
hkchkhthkhthkkkA
22
22
11
21
21212121
21
²²21)cos(
ωωββ
ωωωω
mm
(4.55)
và : )cos(2 212122
21, ββ −⋅±+= kkkkk mp (kp lấy dấu + ; km dấu - ) (4.56)
Trong trường hợp sóng đẳng hướng (β1 = β2) => kp= k1+ k2 và km= k1- k2
4.2.2.3 Hàm thế nhiễu loạn bậc hai ΦP(2)
Đối với sóng tiền định (sóng đều), ΦP(2) được chia làm 2 thành phần : 1 phần không
phụ thuộc vào thời gian t, không cần nghiên cứu, và 1 thành phần nhiễu, dao động với tần số đúp:
t-2ie )()(),( (2)P
(2)P0
(2)P
ωφφ ⋅ℜ+=Φ MMtM (4.57)
ΦP(2) (M,t) = ΦD
(2) + ΦR
(2) (4.58)
Trong đó : (2)RΦ là hàm thế bức xạ bậc 2, phải thỏa mãn hệ phương trình tương tự như
trường hợp bậc 1, chỉ có tần số là khác.
ΦD(2)(M,t) hàm thế nhiễu xạ bậc 2, phải thỏa mãn hệ phương trình :
=
∂
∂−⋅
=∂
∂
+∂
∂−=
∂∂
=∂
∂+−
=∇
±
∞→
−=
(e) 0 ilim
(d) 0
(c) a
(b)
(a) 0
)2()2(
hz
)2(
(2)c
)2(
Sco
)2(
)2()2(
)2(2,
)2(2
rkr
z
nn
az
g
DDr
D
ID
LDD
Dmp
D
φφ
φ
φφ
φφω
φ
(4.59)
• Trong pt (4.59b) – điều kiện của bề mặt thoáng của bài toán nhiễu xạ, aLD là thành phần không đồng nhất, được tạo thành từ kết quả nhân vô hướng của các hàm thế bậc nhất ΦD
(1) và ΦI(1)
:
t)21-i(e ωω ±± ⋅ℜ= LDLD aA (4.60)
Trong đó : ( )[ ]
( )
( )
∂
∂+
∂∂
⋅−Φ+
∂
∂+
∂∂
⋅−+−
∂
∂+
∂∂
⋅−+
∂
∂+
∂∂
⋅−+−
∇⋅∇+∇⋅∇+∇+=+
t²²
t²²
2gi
t²²
t²²
2gi
)(
(1)I1
(1)I12
1(1)P2
(1)P1
(1)P12
1(1)P2
(1)I2
2
(1)I2
(1)I22
2(1)P1
(1)P2
(1)P22
2(1)P1
(1)I1
1
(1)I2
(1)P1
(1)P2
(1)P1
(1)I121
φφω
φφωφφ
ω
φφωφ
φφωφφ
ω
φφφφφωω
gz
gz
gz
gz
iaLD
(4.61)
Và:
( )[ ]( )
( )
∂
∂+
∂∂
⋅−+
∂
∂+
∂∂
⋅−++
∂
∂+
∂∂
⋅−+
∂
∂+
∂∂
⋅−+−
∇⋅∇+∇⋅∇+∇−=
∗∗∗
∗⋅∗∗∗
∗∗−
t²²
t²²
2gi
t²²
t²²
2gi
)(
(1)I1
(1)I12
1(1)
P2
(1)P1
(1)P12
1(1)
P2(1)
I22
(1) I2
(1) I22
2(1)P1
(1) P2
(1) P22
2(1)P1
(1)I1
1
(1) I2
(1)P1
(1) P2
(1)P1
(1)I121
φφωφ
φφωφφ
ω
φφωφ
φφωφφ
ω
φφφφφωω
gz
gz
gz
gz
iaLD
(4.62)
• Trong pt (4.59c), ac
(2) là thành phần không đồng nhất trong điều kiện trượt trên bề mặt vật thể, được viết dưới dạng hiệu (trong trường hợp tần số thấp) và dạng tổng (tần số cao) như sau:
0)1(
1
)1(2
)1(2
)1(1
)1(1
)1(2
)1(2
)1(2
)1(1
)1(1 )()()()( nMoMMoMRVRVa EEc
rrr
∇∇⋅−∇∇⋅−∇−+∇−=
∗∗∗∗∗− φφφφ
(4.63)
0)1(
1
)1(2
)1(2
)1(1
)1(1
)1(2
)1(2
)1(2
)1(1
)1(1 )()()()( nMoMMoMRVRVa EEc
rrr
∇∇⋅−∇∇⋅−∇−+∇−=+ φφφφ (4.64)
• Trong điều kiện ở vô cùng (4.59e), số sóng ±k được định nghĩa như sau: hthkgkmp
±± ⋅=2,ω (4.65)
Hàm thế nhiễu xạ bậc 2 được phân tích thành 2 thành phần : (2)DF
(2)DL
(2)D Φ+Φ=Φ (4.66)
(2)DLΦ - Hàm thế liên quan trực tiếp đến bài toán bậc 1, đáp ứng điều kiện không đồng nhất
trên bề mặt tự do ; (2)DFΦ - Hàm thế tự do, đáp ứng điều kiện đồng nhất trên bề mặt tự do.
• Tóm lại, để xác định được ΦP(2) cần phải giải 2 bài toán sau :
- bài toán hàm thế nhiễu xạ có liên quan (2)DLΦ :
=
∂
∂−⋅
=∂
∂
=∂
∂+−
=∇
±
∞→
=
=
(d) 0 ilim
(c) 0
(b)
(a) 0
)2()2(
-hz
)2(
)2(
0
)2()2(2
,
)2(2
rkr
n
az
g
DLDLr
DL
LDz
DLDLmp
DL
φφ
φ
φφω
φ
(4.67)
- bài toán hàm thế nhiễu xạ tự do (2)DFΦ và hàm thế bức xạ (2)
RΦ :
=
∂
∂−⋅
=∂
∂
=∂
∂
=∂
∂+−
=∇
±
∞→
−=
=
(e) 0 ilim
(d) 0
(c) f
(b) 0
(a) 0
)2()2(
hz
)2(
(2)P
Sco
)2(
0
)2()2(2
,
)2(2
rkr
z
n
zg
PPr
P
P
z
PPmp
P
φφ
φ
φ
φφω
φ
(4.68)
Với :
=
=+∂
∂−
∂∂
−=
pour N
pour a f
(2)Rj
(2)Pj
(2)DF
(2)P
(2)c
)2()2(
(2)P
φφ
φφφφ
nnDLI
(4.69)
Pt (4.68) và (4.69) có cùng dạng với các phương trình tương ứng bậc 1 pt (4.37) và (4.38), trừ thành phần ac (xác định theo pt (4.63), (4.64)) và (2)
DLφ .
4.2.2.4. Nhận xét về lời giải cho bài toán bậc 2 Nếu tìm được lời giải của hàm thế nhiễu xạ có liên quan ( (2)
DLφ ) thì bài toán bậc 2 sẽ
có thể giải được bằng cách tương tự như bài toán bậc 1. So với bài toán bậc 1, sự phức tạp đến từ thành phần này. Chỉ từ năm 1979, khó khăn này mới được giải quyết bởi Molin [2.42]. Các phương pháp nửa giải tích đã được nghiên cứu thành công bởi Newman (1996) cho các vật thể đơn giản. Cần lưu ý rằng, thành phần sóng bậc 2 không là nguyên nhân gây ra sóng bậc 1, nhưng nó thêm vào các sóng có thể gây cộng hưởng. Hiện nay có các phần mềm tính toán bằng số cho phép xác định các lực tác dụng bậc hai lên công trình (xem § 4.2.1.4).
4.3. LỰC THỦY ĐỘNG BẬC NHẤT
4.3.1 Lực thủy động tác động lên kết cấu :
Một kết cấu nổi như FPSO được đặt dưới tác dụng của các ngoại lực sau : - Véctơ lực trọng trường Fm - Véctơ lực neo giữ - Véctơ lực gây ra do áp lực của môi trường Fp : gồm lực thủy tĩnh FS và lực thủy động FH. Véctơ lực quán tính phải cân bằng với véctơ của các ngoại lực. Giả thiết dịch chuyển của vật thể quanh vị trí cân bằng là nhỏ cho phép ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để đặt lực tác động dưới dạng một chuỗi liên tiếp của thông số ε (ε = a/λ).
...)()()()()()(
+++= tFtFtFtF S2211 εε (4.70)
Trong đó )(tF S : lực thủy tĩnh ứng với trạng thái nghỉ ;
)( và)()2(2)1(1 tFtF εε : Các thành phần bậc nhất và bậc 2 của lực thủy động.
Sau đây chúng ta tập chung nghiên cứu các lực thủy động FH này. Ta có thế biểu diễn lực thủy động dưới dạng ma trận như sau:
[ ] [ ] [ ] [ ] )()( 221HH
ScHH FFdSNPF εε +=⋅−= ∫∫ (4.71)
Trong đó PH là áp lực của lực thủy động ; [ ] )1(
HF là ma trận của lực thủy động bậc nhất; et [ ] )2(
HF là ma trận của lực thủy động hai.
4.3.2 Lực thủy động bậc nhất tác động lên kết cấu
Lực thủy động bậc nhất được tính như sau:
[ ] [ ]dSt
FH N)1(
)1( ⋅∂Φ∂
= ∫∫ρ (4.72)
Lực này bao gồm các lực gây ra bởi sóng tới (lực Froude – Krilov) [FHI], các lực nhiễu xạ [FHD] và lực bức xạ [FR], như trong lý thuyết thế năng đã nghiên cứu trong mục trước:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )1()1()1()1()1()1(RexRHDHIH FFFFFF +=++= (4.73)
4.3.2.1 Lực Froude - Krilov
Các lực Froude - Krilov [ ] )1(HIF được tính bởi :
[ ] [ ]∫∫ ⋅∂
∂=
Sco
IHI dS
tF N
11
)()( φ
ρ (4.74)
Từ pt (4.74) ta thấy [ ] )1(HIF phụ thuộc vào hàm thế )(1
Iφ , tức là chỉ phụ thuộc vào sóng tới.
Từ phương trình (4.24) ta có:
[ ] [ ]∫∫ ⋅⋅+
⋅⋅= +
ScoHI dSe
chkhhzchkgaF yxik N)( )sincos()1( ββρ (4.75)
4.3.2.2 Lực nhiễu xạ [ ] )1(HDF
- Lực nhiễu xạ bậc nhất [ ] )1(HDF được tính như sau:
[ ] [ ] [ ]∫∫ ⋅∂
∂=⋅ℜ= −
Sco
DiwtHDHD dS
teFF N
111
)()()(
φρ (4.76)
- Tổng lực tác động bậc nhất lên kết cấu :
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]∫∫∫∫ ⋅+⋅⋅+
=
+=
+
ScoD
Sco
HDHIex
dSwidSechkh
hzchkagi
FFF
yxik N N 1
111
)(
)()()(
)sincos()(φρρ ββ (4.77)
4.3.2.3 Lực bức xạ [ ] )1(RF
- Từ phương trình (4.36) ta suy ra [ ] )1(RF như sau :
[ ] [ ] [ ] 6)1(i ²N6
1
6
1
)1()1(
)1( ÷==
⋅⋅ℜ=⋅∂
∂= ∑∑ ∫∫∫∫
==
−
jij
j Sco
tiRjj
Sco
RR FdSNexdS
tF ωφωρ
φρ (4.78)
( ) ( )txdSNtxdSNF jSco
iRjjSco
iRjij ωωφωρωωφρ sin)(cos²)( )1()1( −⋅ℑ⋅−⋅ℜ= ∫∫∫∫ (4.79)
Trong đó )( )1(Rjφℜ và )( )1(
Rjφℑ là các phần thực và phần ảo của hàm thế φRj.
Ta có thế viết lực bức xạ dưới dạng khác :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xBimxBxmF aaR ⋅−−=⋅+⋅= 111 ωω²)()()( &&& (4.80)
Trong đó :
[ ] ∫∫ ⋅ℜ−==Sco
iRjija dSNmm )( )(1φρ : ma trận khối lượng nước kèm (i,j=1÷6) (4.81)
và [ ] ∫∫ ⋅ℑ−==Sco
iRjij dSNBB )( )(1φρω : ma trận cản (i,j=1÷6) = Bw (4.82)
- Tóm lại, ta có công thức tính lực thủy động bậc nhất như sau :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )()()()( 1111 xBxmFF aexH &&& ⋅+⋅+= (4.83)
với [Fex](1) trong pt (4.77), [ma] và [B] trong các pt (4.81) và (4.82).
4.4. LỰC THỦY ĐỘNG BẬC HAI
• Phạm vi ứng dụng của lực thủy động bậc hai
- Với dạng tổng (ω1+ω2) (hay dạng Tần số cao): ứng dụng đối với hệ cứng. VD : Cộng hưởng của dao động thẳng đứng của dàn khoan neo đứng Tension Leg Platforme TLP (hiệu ứng « spinging »), hoặc rung động của vỏ tàu thủy, sự uốn của dàn khoan trọng lự bê tông cốt thép… - Với dạng hiệu (ω1−ω2) (hay dạng Tần số thấp): ứng dụng rộng rãi hơn : VD : chuyển động dịch chuyển ngang của các kết cấu nổi có neo (lực trôi dạt chậm của FPSO) trong đó chu kỳ dao động riêng của nó tính bằng phút ; hay chuyển động thẳng đứng của kết cấu nổi có độ cứng thủy tĩnh nhỏ (dàn bán chìm, SPAR,…)
4.4.1 Lực thủy động bậc hai gây ra bởi sóng song sắc (bichromatic)
Lực thủy động bậc hai được tính như sau: [ ] [ ] [ ] [ ] )2()2(
2)2(
1)2(
RexexH FFFF ++= (4.84)
- Phần thứ nhất của lực tác động bậc hai [ ] )2(1exF :
[ ] )2(1exF là phần thứ nhất của lực tác động bậc hai, chỉ phụ thuộc vào hàm thế bậc nhất:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )2(14
)2(13
)2(12
)2(11
)2(1 FFFFFex +++= (4.85)
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]
[ ] [ ] )1()1()1()1(
2)1(2
0
)1()1()2(1
21ζ
21
I
CoS
CoSex
FRdSNt
MoM
dSNdNgF
+∂Φ∂∇
+
Φ∇+Γ−−=
∫∫
∫∫∫Γ
ρ
ρηρ
(4.86)
Trong đó : η là mớn nước của bề mặt tự do, ζ là dịch chuyển thẳng đứng của vật thể, Γ0 là mớn nước trung bình của vật thể ; SCo là diện tích bề mặt của vật thể ; R là dịch chuyển xoay của vật thể, [FI] là lực quán tính bậc nhất. Cách giải : Sử dụng phương pháp « kỳ dị », ta đạt được sự phân bố của nguồn, nó cho phép ta tính toán được trường vận tốc xung quanh vật thể và tính được lực bậc hai => bài toán nhiễu xạ-bức xạ được giải.
- Phần thứ hai của lực tác động bậc hai [ ] )2(2exF :
[ ] )2(2exF là phần thứ hai của lực tác động bậc hai, phụ thuộc vào hàm thế bậc hai của
sóng tới và của sóng nhiễu xạ:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] )2()2(21
)2()2()2(
2
D
CoS
D
CoS
Iex
FF
dSNt
dSNt
F
+=
⋅∂
∂+⋅
∂∂
= ∫∫∫∫φ
ρφ
ρ (4.87)
Lực Froude-Krilov [ ] )2(
21F dễ dàng tính được vì đã xác định được hàm thế của sóng
tới bậc 2. Vì vậy chỉ còn cần xác định lực nhiễu xạ. Hàm thế bậc 2 được giả thiết là hàm điều hòa (xem (4.59)), ta có thể viết lực nhiễu xạ như sau :
[ ] [ ]dSNiFCoS
DmpD ∫∫ ⋅−= )2(,
)2( φρω (4.88)
Vì việc giải hàm thế bậc 2 khó khăn nên vào năm 1979, B.Molin [2.42] đã đề xuất một cách tính khác bằng việc phân tích một cách tiệm cận bài toán bậc 2 ở xa vật thể. Bằng việc sử dụng liên hệ Haskind và thêm vào 6 thành phần hàm thế bức xạ. Hàm thế nhiễu xạ nhờ thế được viết bởi 2 tích phân của Haskind : trên bề mặt tự do và trên bề mặt vật thể. Khi đó, lực nhiễu xạ bậc 2 được viết thành :
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]±±
±±±±
+=
⋅+⋅
−
∂∂
= ∫∫∫∫=
2322
,
)2(
,)2(
FF
0
dSag
idSan
iFz
LDmpCI
mpD
CoSψ
ρωψ
φρω
(4.89)
Trong đó : [ ]±Ψ là các thành phần hàm thế thêm vào ; ±LDa là thành phần không đồng nhất trong điều kiện của bề mặt tự do, có dạng tổng hoặc hiệu
theo tần số (xem pt(4.61), (4.62)) ; ±Ca là thành phần không đồng nhất trong điều kiện trượt trên bề mặt vật thể của bài toán
nhiễu xạ bậc 2 (xem pt (4.63), (4.64)). Tóm lại ta có biểu thức tính phần thứ hai của lực tác động bậc hai :
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] dSag
idSan
idSNi
F
zLDmpC
Imp
CoSImp
ex
CoS
±±±±
±±±
∫∫∫∫∫∫=
⋅+⋅
−
∂∂
+⋅=
++=
ψρ
ωψφ
ρωφρω0
-
FFF
,
)2(
,)2(
,
232221)2(
2
(4.90)
- Lực bức xạ bậc hai [ ] )2(RF :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xBimxBxmFR ⋅±−±−=⋅+⋅= )()²( 2121)2()2()2( ωωωω&&& (4.91)
Trong đó [ ]m và [ ]B tương ứng là các ma trận khối lượng nước kèm và ma trận cản tính theo
pt (4.81) và (4.82).
4.4.1.3 Tổng lực tác động bậc hai
Đối với sóng song sắc, tổng lực tác động bậc hai được viết: [ ] [ ] [ ]
−ℜ+
−ℜ+
ℜ+
ℜ+
−ℜ+
ℜ=
+=
∗∗
−−
−−∗
+−
22221111
222222
122111
)21(2121
)21(2121
)2(ex2
)2(ex1
)2(
),(21),(
21
),(21),(
21
),(
),(
FF
aaTaaT
eaTeaT
eaaT
eaaT
F
FF
tiF
tiF
tiF
tiF
ex
ωωωω
ωωωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
(4.92)
Trong đó : a1, a2 ( ∗2a là liên hợp phức của a2) : thể hiện tương ứng biên độ của ω1, ω2 ;
),( 21 ωω ±FT là hàm truyền bậc 2 (Quadratic Transfer Function – QTF) của các lực bậc 2 ;
QTF được phân thành 2 thành phần: ),(),(),( 21221121 ωωωωωω ±+±=± FFF TTT (4.93)
§ ),( 211 ωω ±FT chỉ phụ thuộc vào các thông số bậc 1, được tính trực tiếp sau khi giải
được bài toán bậc 1 ; § ),( 212 ωω ±FT phụ thuộc vào lời giải của bài toán bậc 2, phức tạp hơn.
4.4.2. Lực bậc 2 của sóng tần số thấp – (xác định hàm truyền bậc 2QTF)
Lực tần số thấp bậc 2 được xem là nguyên nhân chủ yếu gây cộng hưởng của kết cấu nổi có dây neo dạng FPSO do tác động của lực trôi dạt chậm, do đó lực này được xem xét kỹ dưới đây.
4.4.2.1 Lực tần số thấp bậc 2 tính theo lý thuyết
Lực này là hàm bậc 2 của hàm thế của sóng tới và sóng nhiễu xạ-bức xạ, với tần số sóng là dạng hiệu của 2 tần số ∆ω =ω1−ω2.
Lực này đạt được bởi việc tích phân của áp lực thủy động bậc 2 trên phần ngập nước của vật thể.
Tổng lực tác động bậc hai tần số thấp như sau:
),(),(),( avec ),(
),( (t)
21)2(221
)2(121
)2()21(21
)2(21
)21(2121
)2(
ωωωωωωωω
ωωωω
ωω
exexti
tiFex
eaa
eaaT
FFFF
F
+=⋅ℜ=
−ℜ=−−∗
−−∗
(4.94)
với TF = F(2) là hàm truyền bậc 2 (QTF) của lực tần số thấp bậc 2. Để tính QTF cần phải giải bài toán bậc 2, trừ trường hợp đặc biệt tính lực trôi dạt
trung bình (là các thành phần thuộc đường chéo của ma trận lực) thì có thể đạt được trực tiếp từ kết quả của bài toán bậc 1.
Lực tần số thấp bậc 2 dạng đầy đủ bao gồm 2 phần : Phần thứ 1 chỉ phụ thuộc vào các thông số bậc 1, Phần thứ 2 phụ thuộc vào hàm thế vận tốc bậc 2.
- Phần thứ 1 của lực tần số thấp bậc 2 :
Từ pt (4.86) phát triển ra, ta có phần thứ 1 của lực tần số thấp bậc 2 đối với sóng song sắc như sau:
[ ] [ ]
[ ] )(21)(
2
21 )()(
21
)1(1
)1(*2
)1(*2
)1(1
)1(11
*)1(2
*)1(22
)1(1
)1(*2
)1(1
)1(*2
)1(*2
0
)1(1
)1(1
)2(1
InIn
CoS
CoSex
FRFRdSNMoMMoMi
dSNdNg
⋅+⋅+∇−∇+
∇⋅∇+Γ−−−=
∫∫
∫∫∫Γ
φωφωρ
φφρζηζηρF
(4.95)
Trong đó chỉ số 1 , 2 biểu diễn các thông số bậc 1 tương ứng với các tần số sóng ω1, ω2 ; dấu * thể hiện liên hợp phức.
- Nhắc lại, thế năng của vận tốc bậc 2 với dạng hiệu 2 tần số : ti
DI eaatM )21()2()2(21
)2( )( ),( ωωφφ −−∗ ⋅+ℜ=Φ (4.96)
Trong đó + φI(2) với dạng hiệu 2 tần số được xác định như sau:
)sincos()(
21
21
2121
21(2)I
21)(
²),(² ββ
ωωω
φ yxkkiehkkch
hzkkchhkkthkkg
Aig +⋅−⋅−
+−⋅
∆−−−= (4.97)
với A(ω1,ω2) là A- trong biểu thức (4.55) và ∆ω=ω1−ω2
+ φD(2)
là hàm thế nhiễu xạ bậc 2, được xác định trong mục trước (4.2.2.3), với dạng hiệu số.
- Phần thứ 2 của lực tần số thấp bậc 2 :
Từ pt(4.90), phần thứ 2 của lực tác động bậc 2 với dạng hiệu số của các tần số được viết là :
[ ]
[ ] dSψ agρiΔ
FFFF
0zLD
−−−− ∫∫∫∫∫∫
∫∫
=
⋅+⋅
−
∂∂
∆+⋅∆=
=++=⋅+∆=
ωψφ
ωρφωρ
φφωρ
-
)( -
)2()2(
232221)2()2()2(
2
dSan
idSNi
dSNi
CoSC
I
CoSI
CoSDIex
(4.98)
Biểu thức này bao gồm các lực của sóng tới Froude-Krilov và 2 tích phân của Haskind trên bề mặt tự do và trên bề mặt vật thể. - Nhận xét:
Nhờ có việc phân tích thành 2 tích phân này (Molin [2.42]), ta có thể tính toán được các lực bậc 2 mà không phải giải chính xác bài toán nhiễu xạ bậc 2.
Tuy nhiên, việc tính toán số tích phân trên bề mặt thoáng (z=0) của Haskind cũng không đơn giản vì nó bao hàm đạo hàm bậc 2 của hàm thế vận tốc bậc 1 (xem biểuu thức tính a-
LD ở pt (4.80)) Các thuật toán hiệu quả đã được Xiao-Bo CHEN [2.16] nghiên cứu để tính được lực bậc 2 dạng đầy đủ cho vật thể có hình dạng bất kỳ. Tuy vậy tích phân trên bề mặt thoáng vẫn hội tụ chậm và thời gian tính toán khá lâu. Do đó, trong thực hành, người ta sử dụng các dạng tính xấp xỉ sau đây để tính lực bậc hai :
4.4.2.2 Các công thức tính gần đúng lực bậc hai tần số thấp
Lực bậc hai tần số thấp được biểu diễn nhờ khai triển chuỗi Taylor cho dạng hiệu số của tần số sóng ∆ω =ω1−ω2:
...2
)()( )(),(),( 2
(2)2
(2)1
(2)0
)2(21
(2) +∆
⋅+∆⋅+=∆=ω
ωωωωωωωω FFFFF (4.99)
a) Công thức tính gần đúngcủa Newman và Pinkster
- Công thức tính gần đúng của Newman (1974) [2.43] :
Chỉ lấy số hạng đầu tiên F0(2) của chuỗi (4.99) khi ω2 tiến đến ω1
)(),( 21(2)
21-(2) ωωωω =≈ dFF lực trôi dạt chậm (4.100)
- Công thức tính gần đúng của Pinkster (1975) :
)2
(),( 21(2)21
-(2) ωωωω
+≈ dFF (4.101)
- Công thức tính gần đúng khác của Newman:
)()()(),( 2121-(2)
ddd FsigneFFF ⋅⋅≈ ωωωω (4.102)
Nhận xét: Công thức tính gần đúng của Newman (4.102) được dùng khá phổ biến
b) Công thức tính gần đúng của Bureau Veritas
Chen X-B (Bureau Veritas) [2.11] đã tìm ra được một công thức tính gần đúng mới của lực bậc hai tần số thấp dạng đầy đủ (full QTF). Đầu tiên, lực bậc hai tần số thấp được viết như sau:
),( (2)23
(2)22
(2)21
(2)ex121
(2) FFFFF +++=ωω (4.103)
Sử dụng khai triển Taylor cho mỗi số hạng của biểu thức trên cho ∆ω, tức là mỗi thành phần của pt (4.103) được biểu diễn dưới dạng pt (4.99).
- Kết luận : Ta có thể đạt được dạng gần đúng bậc nhất bằng cách tính tất cả các thành phần của lực bậc hai tần số thấp, trừ thành phần tích phân trên bề mặt tự do của Haskind vì nó là bậc 2 của ∆ω. Vì thế dạng xấp xỉ bậc 1 của lực bậc hai tần số thấp là:
)()()(21
(2)1
(2)021
2 ωωωω −⋅+≈− FFF (4.136)
4.4.3 Lực trôi dạt chậm tác dụng lên kết cấu nổi neo giữ (FPSO)
Lực này xảy ra đối với các công trình FPSO, xà lan, dàn bán chìm,…Việc tính toán lực trôi dạt có ý nghĩa quan trọng trong việc thiết kế công trình để đảm bảo độ an toàn khi khai thác. Có 3 lý thuyết tính toán lực trôi dạt như sau : Lý thuyết trường gần của Pinkster (near field method), Lý thuyết trường xa của Maruo-Newman (far field method), Lý thuyết trường trung gian của X.B. Chen (middle-field method)
4.4.3.1 Lý thuyết trường gần của Pinkster (near field method)
Pinkster đã đề nghị biểu thức tính gần đúng QTF thông qua tích phân của áp suất [2.51], gọi là phương pháp trường gần. So với công thức gần đúng của Maruo-Newman, thì nó ít chính xác hơn. Lực trôi dạt tính theo lý thuyết trường gần của Pinkster:
( )
( )
Φ∇⋅+Φ∇−+
Φ−∧+Γ−=
∫∫
∫ ∫ ∫∫Γ
0
00
0)1()1(
02)1(
00
)1()1(0
)1()1()1(
21
ζ2211
C
C
S t
T
S td
dSnPP
dSnAdngdtT
F
r
rrrr
ρ
ρηηρ
(4.104)
Trong đó ζ(1) dịch chuyển thẳng đứng của kết cấu so với đường nước Γ0 ; )1(Ar
: chuyển vị góc,
)1(
0PP : chuyển vị của điểm P gắn với vật thể, 0nr véctơ pháp tuyến hướng vào phía trong
vật thể ; Φ(1) là hàm thế tổng cộng của dòng chất lỏng. Vỏ tàu được giả thiết là thẳng đứng với bề mặt thoáng. - Ưu điểm: + Dạng thức có 6 thành phần lực theo các hướng chuyển động. +Có thể áp dụng cho trường hợp tương tác nhiều vật thể (VD : trong trường hợp có tàu dầu cập và tàu FPSO để lấy dầu) - Nhược điểm : + Độ chính xác không cao ; + Độ hội tụ của kết quả chậm.
4.4.3.2 Lý thuyết trường xa của Maruo-Newman (far field method)
Áp dụng nguyên lý bảo toàn chuyển động của thể tích chất lỏng được giới hạn bởi bề mặt vật thể và một bề mặt kiểm tra S∞, ta có dạng thức tính lực trôi dạt chậm trong miền trường xa, thiết lập bởi Maruo (1960):
( )
∂Φ∂
Φ∇−Φ∇
+Γ−= ∫∫∫ ∫∞
∞ΓS
T
d dSn
ndngdtT
F)1(
)1(2)1(
0
2)1(
21
211 rrr
ρηρ (4.105)
Trong đó Γ0 là giao diện giữa S∞ và bề mặt tự do - Các thành phần lực ngang :
θθβθβ
θθρπ
πdHH
khkh
kga
FF
dy
dx
−−
×
+=
∫ ∗
sinsincoscos
)()(2sh
21121
2
0
2 (4.106)
- Phát triển của Newman (1967) [2.44], biểu thức tương tự cho mô men:
′+′ℑ×
+= ∫ ∗∗ θθθ
πβρ
πdHHH
khkh
kgaM dz
2
022 )()(1)(2
2sh 211
21 (4.107)
Trong đó H (θ) là hàm Kochin. - Ưu điểm của phương pháp trường xa: + Có thể lùi xa tới vô cùng bề mặt kiểm tra để thực hiện cách tính giải tích. + Phương pháp này cho độ chính xác số cao, hội tụ nhanh, độ ổn định cao hơn so với phương pháp trường gần, do đó được ứng dụng rrộng rãi hơn. + Đây là phương pháp tính lực trôi dạt chậm trong chương trình Hydrostar mà kết quả được sử dụng trong chương trình tính ARIANE3D xác định phản ứng động của hệ dây neo FPSO. - Nhược điểm : + Chỉ tính được 3 thành phần lực trôi dạt ngang ;
+ Không tính được lực bậc 2 tần số thấp dạng đầy đủ full QTF cho sóng không đều (sóng song sắc), mà lực này là quan trọng đối với vùng nước nông. + Không tính được trường hợp lực trôi dạt cho từng vật thể riêng biệt, đối với trường hợp nhiều vật thể cùng tương tác. Xuất phát từ cùng một lý thuyết, 2 phương pháp này cho kết quả khá gần nhau trong một số trường hợp, nhưng tương đối khác nhau trong 1 số trường hợp khác, nhất là khi bề mặt vật cản không vuông góc với bề mặt tự do.
4.4.3.3 Lý thuyết trường trung gian của X.B. Chen (middle-field method)
Xuất phát từ dạng thức trường gần, một phương pháp mới (X.B. Chen, 2004) để tình lực trôi dạt và QTF đã được phát triển. Biểu thức mới này được nghiên cứu trong [2.5] gọi là phương pháp trường trung gian, được định nghĩa trong một bề mặt kiểm tra xung quanh vật thể nổi, cách một khoảng xác định từ vật thể. - Ưu điểm của phương pháp trường trung gian: Khắc phục được nhược điểm của 2 phương pháp trên: + Giống các ưu điểm của phương pháp trường xa : hội tụ nhanh, độ chính xác cao trong các tính toán số ;
+ Tính được lực đối với từng vật thể riêng rẽ khi có nhiều vật thể nổi cùng tương tác ; + Phương pháp này tính được cả 6 thành phần của lực trôi dạt
+ Áp dụng cho cả trường hợp vật thể thẳng đứng hoặc không thẳng đứng với bề mặt tự do ; + Dạng của bề mặt kiểm tra thườnng là bất kỳ, nó có thể được sinh lưới phân tử một cách tự động. Công thức trường trung gian được viết như sau :
( )[ ]nn
kkF
Φ∇⋅Φ∇−Φ∇Φ++
Φ∇⋅Φ∇+Φ+Ξ=
∫∫∫
∫∫∫
Γ
Γ
2 ds2
² 2g
)2/ ( 2g-
C
Fd
n
zt
ηdl
dsdl
ρρ
ηρρ
(4.108)
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )[ ]nrrnr
krkrM
∧Φ∇⋅Φ∇−Φ∇∧Φ+∧+
∧Φ∇⋅Φ∇+Φ+∧Ξ=
∫∫∫
∫∫∫
Γ
Γ
2 ds2
² 2g
)2/ ( 2g-
C
Fd
n
zt
ηdl
dsdl
c
ρρ
ηρρ
(4.109)
Trong đó : ký hệu ⋅ là trung bình của của giá trị đó trong chu kỳ T ; Áp suất : ( )gzP t +Φ∇⋅Φ∇+Φ−= 2/ ρ (4.110) γcos/)0,,()0,,( 2121 nnnn ==n (4.111)
( ) ( )nX ⋅−−=Ξ ηγηζη 2cos/2² 33 n (4.112)
Trong đó X= (ζ1,ζ2,ζ3) biểu diễn các véctơ chuyển động ngang và xoay của vật thể, γ là góc giữa pháp tuyến n và mặt phẳng ngang. Các công thức (4.108), (4.109) để tính lực bậc 2 theo phương thẳng đứng và các mô men quanh các trục nằm ngang. Các thành phần còn lại được tính theo công thức sau :
[ ]1C12
d)2/ (
2g ndsndl η xnc
x Φ∇⋅Φ∇−ΦΦ+= ∫∫∫Γρ
ρF (4.113)
[ ]2C22
d)2/ (
2g ndsndl η ync
y Φ∇⋅Φ∇−ΦΦ+= ∫∫∫Γρ
ρF (4.114)
[ ] 600C62
d)2/ ( )( )(
2g nyyxxdsndl η xync
z Φ∇⋅Φ∇−Φ−−Φ−Φ+= ∫∫∫Γρ
ρM (4.115)
Mỗi vật thể nổi được bao xung quanh bởi một bề mặt kiểm tra C cách một khoảng so với vật thể. Γc là giao diện của các mặt cắt.
Hình 1.Chia lưới một FPSO và bề mặt kiểm tra xung quanh nó
Phương pháp này đã được tính toán thực hành cho nhiều ví dụ (hình 1) và kết quả của nó đã được kiểm chứng qua các thí nghiệm đánh giá độ chính xác cao.
4.4.4 Lực bậc hai tần số thấp đối với sóng ngẫu nhiên
Lực này được B. Molin giới thiệu trong [2.38] đối với sóng ngẫu nhiên, giả thiết là đẳng hướng. Mực nước của sóng bậc 1 được biểu diễn như sau:
ℜ= ∑ +−+
i
itiyikxikiieatyx )sincos()1( ),,( θωββη (4.116)
Lực bậc hai tần số thấp được biểu diễn như sau:
ℜ= ∑∑
−+−−
−−i j
jitjii
jiji efaaθθωω
βωω)()()( ),,(F 22 (4.117)
với ),,()( βωω jif 2− là QTF cảu lực sóng bậc hai tần số thấp.
Áp dụng công thức (4.102) vào pt(4.117) ta có một biểu thức tiết kiệm thời gian tính nhất :
))(()sin(),()cos(),()()( βθωβωθωβω dkiiidki
iiiidki
ik ftfatfatF sign 22
2
+−+
+−= ∑∑−
(4.118)
• Các phổ của các thông số lực bậc 2
Giá trị trung bình của lực bậc hai tần số thấp :
ωωωωωω d ),( )S(2 ),( )2(
0
)2(2)2(−
∞
−− ∑ ∫== FFai
iiiF (4.119)
Phổ của F-(2) được viết là ωβωβωωω d),( ),( )S( )S(8)(S )2()2(
0
)2( Ω+Ω+=Ω −−
∞
∫−FFF
(4.120)
Giả thiết với một sóng phổ dải hẹp, có hàm truyền bậc 2 QTF đủ phẳng để coi như hằng số khi ω thay đổi, từ pt (4.118) ta có :
)(8
d )S()(2 )2(2
0
)2()2( βωωβ dS
d FHF ≅≅ ∫∞
−F (4.121)
Trong đó )2(dF là giá trị trung bình của lực trôi dạt. Khi đó sóng ngẫu nhiên tương đương với
sóng tiền định với biên độ )22/( SH .
4.5. TÍNH TOÁN LỰC CẢN TRÒNG TRÀNH CỦA FPSO (anti-roll)
Các FPSO có chu kỳ dao động riêng theo các phương chuyển động dọc và quay quanh các trục x, y, z. Nếu chu kỳ sóng trùng với chu kỳ dao động riêng thì gây cộng hưởng.
Đối với FPSO, dao động quanh trục x (roll) là trội nên hiệu ứng nhớt của chất lỏng không thể bỏ qua. Vì thế khi thiết kế tàu, người ta bố trí các sườn dọc theo sống ở đáy ngoài tàu để tạo lực cản chống lại chuyển động tròng trành này. Có nhiều cách xác định lực cản này, dưới đây trình bày 2 phương pháp phổ biến nhất, được ứng dụng trong chương trình tính Hydrostar.
4.5.1. Phương pháp nửa kinh nghiệm (ITH) Phương pháp này được tìm ra bởi các nhà khoa học Nhật bản: Ikeda, Tanaka, Himeno (Phương pháp ITH) [2.46], chỉ áp dụng đối với vật thể nổi dạng tàu. Trong phương pháp này người ta chia ra nhiều nguồn gây ra lực cản với chuyển động tròng trành, đặc biệt là kể đến các sườn ngoài đáy tàu (bilge keels), lực cản này được tính như sau :
B = BF + BE + BL + BW + BBKN + BBKH + BBKW (4.122)
BF (the frictional damping) lực cản gây ra bởi các hiệu ứng ma sát trên bề mặt vật thể, có ảnh hưởng của các sườn chống tròng trành của tàu ; BE (the eddy marking damping) đến từ hiệu ứng phân dòng giữa đáy và thành tàu; BL (the lift damping) đến từ hiệu ứng lực nâng của tàu khi tàu có vận tốc; BW (the wave radiation damping) lực cản gây ra bởi bức xạ của sóng, tính toán trong mô đun Hsrdf (Hydrostar); BBKN là lực cản gây ra bởi lực dọc tác dụng lên các sườn chống tròng trành của tàu (lực nâng); BBKH đến từ sự thay đổi áp suất lên vỏ tàu gây ra bởi các sườn chống tròng trành ; BBKW tính đến sự bức xạ của sóng gây ra bởi các sườn chống tròng trành Đây là phương pháp tính tin cậy nhất, chính xác nhất, lực cản tròng trành của tàu.
4.5.2. Tính gần đúng lực cản đối với dạng tàu : Đối với vật cản dạng tàu, nếu không có các số liệu về kích thước bộ phận chống tròng trành của tàu (anti-roll) ta có thể sử dụng công thức gần đúng sau để tính lực cản tuyến tính theo tỉ lệ % so với lực cản tới hạn :
Bl = c. Bcr (4.123) - Với tàu dầu, FPSO, tàu chở hàng : Bl = (4% - 8%) Bcr ; - Với tàu LNG: Bl = (5% - 8%) Bcr ; - Với tàu contener: Bl = (3% - 5%) Bcr ; Trong đó, Bcr là lực cản tới hạn theo hướng xoay quanh trục x (tròng trành) :
44444422 KmIKmMB aacr )()( +=+= (4.124) Tần số dao động tròng trành : )/(/ 444444 aroll mIKMK +==ω (4.125)
Với M, ma, K tương ứng là ma trận khối lượng, ma trận nước kèm và ma trận đô cứng của tàu. Phương pháp này được dùng phổ biến vì đơn giản.
4.6. LỰC TÁC ĐỘNG CỦA GIÓ VÀ DÒNG CHẢY
Lực gió, dòng chảy: thông thường được xác định trước bằng các mẫu thí nghiệm, hoặc được tính theo các công thức tỉ lệ với bình phương vận tốc.
4.6.1. Các đặc trưng của gió Có 2 loại vận tốc gió : V gió trung bình và V gió nhiễu loạn
a) V trung bình : Vận tốc gió trung bình VW tỉ lệ với vận tốc gió tiêu chuẩn đo ở cao độ 10m trong 1h (V1):
10z α
VV β
1
W
=
(4.126) α : hệ số giật của gió ; β : hệ số mũ của hàm thời gian T. α và β được lấy theo quy
phạm API . Trong tính toàn với ARIANE, sử dụng quy phạm BV, Vận tốc gió trung bình được
lấy trong10’. b) Gió nhiễu loạn : Thành phần nhiễu loạn của gió được biểu diễn bằng các phổ gió giật, ví dụ : phổ Harris:
f. S(f) = 4Cd V12 (4.127)
với: + S(f) : hàm mật độ phổ gió ; + f : tần số (Hz) ; + f~ = f.L/V1 : tần số không thứ nguyên; + L : chiều dài qui chiếu (thông thường là 1800 m) ; + Cd : hệ số ma sát (0,0020 – biển khắc nghiệt ; 0,0015 – ôn hòa) ; + V1 : vận tốc gió tiêu chuẩn đo ở cao độ 10m trong 1h. Tùy thuộc vị trí địa lý ta sử dụng các phổ gió khác nhau. Vì tỉ lệ lực gió là nhỏ so với
lực sóng nên khi tính toán lực gió, ta có thể coi như vận tốc gió là trung bình.
4.6.2. Tính lực gió
Các lực và mô men của gió tác dụng lên tàu nổi FPSO được tính bởi các công thức sau :
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
LACVMACVFACVF
LWWZWaWZ
LWWYWaWY
TWWXWaWX
)(/)(/)(/
αρ
αρ
αρ
2
2
2
2121
21 (4.128)
Sóng
Gió
Dòng chảy
6522 /)~(
~
ff
+
Hình 2. Các hướng quy định của các thong số môi trường so với tàu Trong đó: + ρa : mật độ không khí (ρa = 0.1225 kg/m³) + Vw : Vận tốc gió trung bình trong khoảng thời gian T ở độ cao Z (pt (4.126)) + AT, AL : hình chiếu thẳng góc với hướng gió của bề mặt ngang và dọc tàu; + L : chiều dài tính toán Lpp của tàu ; + CWX , CWY , CWZ : các hệ số khí động học theo các hướng X, Y và quay quanh Z, phụ thuộc vào các góc của gió αW, (αW = βW - ψ) (hình 2)
4.6.3. Các đặc trưng của dòng chảy Dòng chảy biển là sự chồng của các dòng thông thường của các biển cộng với dòng
chảy do gió và do thủy triều. Sự thay đổi của profil dòng chảy theo độ sâu: ta có số liệu dòng chảy mặt và dòng
chảy đáy biển, có thể giả thiết sự thay đổi của vận tốc dòng chảy là tuyến tính theo độ sâu để tính nội suy vận tốc dòng chảy tại độ sâu z bất kỳ.
Khi tính toán phản ứng của hệ FPSO với phương pháp tựa động, ta không tính đến tác động của dòng chảy lên các dây neo, mà chỉ tính đến tác động của dòng chảy lên tàu. Khi đó chỉ dùng vận tốc dòng chảy mặt để tính lực dòng chảy. Còn khi tính phản ứng của hệ bằng phương pháp động của dây neo, có kể đến ảnh hưởng của dòng chảy lên dây, ta tính nội suy vận tốc dòng chảy bằng cách như trên.
4.6.4. Lực tác dụng của dòng chảy
Các lực và mô men của dòng chảy tác dụng lên tàu nổi FPSO được tính bởi các công thức sau :
+⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
Molin/oC22
2
2
M2121
21
ψαρ
αρ
αρ
TLCUMTLCUFTLCUF
CCZCWCZ
CCYCWCY
CCXCWCX
)(/)(/)(/
(4.129)
Où : + ρw : mật độ nước biển + Uc : vận tốc tương đương của dòng chảy UC² = u’² + v’² ; u’= u + VC cos (βC - ψ)
v’= v + VC sin (βC - ψ) (4.130)
u, v là các thành phần của Vc (vận tốc tuyệt đối của dòng chảy ) βC : góc tác động của dòng chảy ; ψ : hướng của tàu + L: chiều dài tính toán Lpp của tàu; T : mớn nước ;
+ CCX, CCY, CCZ : các hệ số thủy động học theo các hướng X, Y và quay quanh Z, phụ thuộc vào góc tương đương của dòng chảy αC (ou αC = βC - ψ)
+ MCψMolin/O : mô men phụ thêm theo hướng quay quanh trục Z so với gốc tọa độ O của hệ tọa độ của tàu, phụ thuộc vào hệ số CMolin lấy theo quy phạm của BV [3.15].
Các hệ số thủy khí học và thủy động học lấy theo các kết quả của các mô hình thí nghiệm với mỗi dạng cơ bản của tàu.
Đối với nghiên cứu này, ta sử dụng các kết quả các hệ số đưa ra bởi OCIMF 1994 cho các tàu có trọng tải lớn (từ 150 đến 500 KDWT) [3.48].
5. Phản ứng của FPSO chịu tác động của môi trường (chủ yếu theo mô hình tiền định)
Các nội dung chính:
Đầu tiên là giới thiệu phương trình chuyển động của bể chứa nổi dạng tàu FPSO dưới tác động của các lực thủy động và cách xác định từng thành phần trong phương trình chuyển động.
Từ đó, xác định hàm truyền RAO của phản ứng đầu ra (dao động, chuyển vị) của bể chứa nổi FPSO dưới tác dụng của sóng tiền định và ngẫu nhiên .
5.1. Phương trình chuyển động của bể chứa nổi dạng tàu FPSO
Áp dụng luật thứ 2 của Newton để mô tả chuyển động của các vật thể nổi neo giữ, ta có phương trình chuyển động của hệ được trình bày như sau :
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] exca FUKUBUmM =+++ &&& (5.1)
Trong đó : [ ]M là ma trận khối lượng (ma trận quán tính) của hệ, được trình bày chi tiết ở phần tiếp
theo ; [ ]am là ma trận khối lượng nước kèm , được xác định từ lời giải của bài toán bức xạ của
sóng bậc nhất, trình bày ở chuyên đề 5.2, pt (4.81); [ ]B là ma trận cản, được xác định từ nhiều nguồn khác nhau:
1- từ lời giải của bài toán bức xạ của sóng bậc nhất tìm ra Bw , trình bày ở chuyên đề 5.2, pt (4.82), được tính trong HydroStar với mô đun Hsrdf,
2- lực cản thêm vào, tức là các lực cản được tính từ các hiệu ứng mà không được kể đến bởi lý thuyết hàm thế. Các lực cản này được nghiên cứu chi tiết ở chuyên đề 5.2, mục §4.5.
[ ]K là ma trận độ cứng của hệ, được xác định từ các đặc trưng thủy tĩnh của vật thể (KS)
(được tính toán trong HydroStar). Ngoài ra còn có độ cứng phụ thêm của hệ neo (KA ) và của nước dằn (Kb);
U, U& , U&& tương ứng là các véc tơ chuyển động, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của chuyển động của bể chứa nổi ;
Fexc là các lực tác động cưỡng bức đến từ sóng tới (lực Froude-Krylov) và từ sóng nhiễu xạ (lời giải của bài toán nhiễu xạ và lực F-K đã nghiên cứu ở chuyên đề 5.2).
Ø Cách xác định ma trận quán tính [M] :
Mục đích của phần này là trình bày cách xác định ma trận quán tính chính xác của bể chứa nổi dạng tàu, phụ thuộc vào sự bố trí tải của nó trên boong tàu. Hệ trục tọa độ được lấy như trong qui định của chương trình tính HydroStar (hình 1).
Hình 1. Hệ tọa độ quy chiếu của bể chứa nổi dạng tàu FPSO trong Hydrostar
Đầu tiên, có 2 cách biểu diễn ma trận quán tính của tàu FPSO : ♦ Cách thứ nhất là cho khối lượng (M) và 6 thành phần bán kính của chuyển động quay
(R1,2,...,6) so với trọng tâm của tàu (Xcdg , Ycdg , Zcdg). Các tọa độ của trọng tâm, biểu diễn trong hệ trục tọa độ tổng thể, được xác định bằng sự phân bố khối lượng trên tàu.
♦ Cách thứ hai dựa vào việc đưa ra ma trận quán tính đầy đủ (6x6), được tính toán so với một điểm tính toán định nghĩa bởi (Xcal , Ycal , Zcal), biểu diễn trong hệ trục tọa độ tổng thể. Trong trường hợp này, các số hạng trong ma trận được xác định bởi :
M M Zg M YgM M Zg M Xg
M M Yg M XgM Zg M Yg I I I
M Zg M Xg I I IM Yg M Xg I I I
0 0 00 0 00 0 00
00
44 45 46
54 55 56
64 65 66
. .. .
. .. .
. .. .
−−
−−
−−
(5.2)
Trong đó: ZcalZcdgZgYcalYcdgYgXcalXcdgXg −=−=−= (5.3)
và M = tổng khối lượng của bể chứa nổi.
Tiếp theo, càc thành phần quán tính được xác định như sau : ( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
I y Ycal z Zcal dm I x Xcal y Ycal dm I
I z Zcal x Xcal dm I z Zcal x Xcal dm I
I x Xcal y Ycal dm I y Ycal z Zcal dm I
M M
M M
M M
442 2
45 54
552 2
46 64
662 2
56 65
= − + − = − − − =
= − + − = − − − =
= − + − = − − − =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
(5.4)
Đồng thời, ta xác định on définit 6 thành phần bán kính của chuyển động quay như sau:
( ) ( ) ( )
R IM R I
M R IM
R sign I IM R sign I I
M R sign I IM
144
255
366
4 4545
5 4646
6 5656
= = =
= = =
(5.5)
Trong đó, các thành phần quán tính được tính toán tại trọng tâm của tàu (tức là điểm tính toán).
Trong nghiên cứu này, lời giải của phương trình chuyển động (5.1) sẽ được thực hiện bởi mô đun HSmec trong phần mềm tính lực thủy động HydroStar. Kết quả của phần tính này cho ta các hàm truyền bậc nhất RAO của sáu thành phần chuyển động của bể chứa dạng tàu nổi FPSO, dưới tác dụng của sóng.
5.2. Mô hình tiền định : Phản ứng tuyến tính của bể chứa FPSO dưới tác dụng của sóng đều
Trở lại bài toán hàm thế của chuyển động nhiễu loạn bậc nhất được xác định trong phương trình (4.35) ở Chuyên đề 5.2, một khi mà tìm được hàm thế ΦP
(1) này, ta tìm được hàm thế nhiễu xạ ΦD
(1) và bức xạ ΦR(1) tác động lên tàu.
Sau đó ta tính được các lực bậc nhất, ma trận khối lượng nước kèm và ma trận cản, như đã trình bày ở mục 4.
Cuối cùng, nhờ các kết quả đó, ta xác định được 6 thành phần chuyển động xr của tàu FPSO bằng phương trình sau :
[ ]
( )[ ] N
N
o
o
Sc
Sc
∫∫
∫∫
+=++−+−
=+
dSixi
dSixi
DI
R
rr
rr
)(KK)(B²)(mM
)(B²)(m
ASa
a
φφρωωωωω
ρωφωωωω
(5.6)
Đối với sóng bậc 1 : KS là ma trận độ cứng thủy tĩnh ; KA biểu diễn ma trận độ cứng (6x6) của hệ neo giữ, xr là các véc tơ chuyển động của tàu ; Nr
là véc tơ pháp tuyến tổng quát, B là ma trận cản, M và ma là ma trận khối lượng vàma trận khối lượng nước kèm.
Trong trường hợp lý thuyết tuyến tính, phản ứng X của một kết cấu (bể chứa FPSO) dưới tác dụng của sóng tiền định (đều), đơn sắc được biểu dễn như sau :
titi efaextX Xωω βω −− ⋅ℜ=ℜ= ),( )( (5.7)
),( βωXf là Hàm truyền (phức) của phản ứng X của kết cấu (RAO : Response Amplitude
Operator).
5.4. Tuyến tính hóa phương trình chuyển động của bể chứa FPSO
5.4.1. Mô hình tiền định: Tuyến tính hóa phương trình chuyển động của FPSO dưới tác dụng của sóng đều
5.4.1.1. Xác định tổng lực cản của chuyển động tròng trành của FPSO :
Dưới tác động của một sóng điều hòa, để tuyến tính hóa lực cản của chuyển động, ta coi là năng lượng của lực cản bậc 2 được phóng ra trong một chu kỳ là bằng năng lượng của lực cản tuyến tính tương đương. Vì thế, ta tìm được lực cản tuyến tính tương đương như sau :
max38
ωθπ Qeq BB = (5.12)
Trong đó, θ là biên độ của chuyển động tròng trành quanh trục x (roll). Từ đó có được tổng lực cản của chuyển động roll :
Ql BBB max38
ωθπ
+= (5.13)
Trong đó : Bl là lực cản tuyến tính, BQ là lực cản bậc 2.
5.4.1.2. Tuyến tính hóa phương trình chuyển động:
Phương trình chuyển động sau khi được tuyến tính hóa trở thành :
)(max ωθωθπ
ωω aFKBBiM Ql =
+
+−−
382 (5.14)
Kết quả của phương trình này rất phụ thuộc vào việc lựa chọn biên độ a của sóng tới. Đó là lí do tại sao phương pháp tuyến tính hóa phương trình chuyển động đối với sóng ngẫu nhiên lại được dùng phổ biến hơn.
5.5. Thảo luận về các phương pháp số để giải phương trình chuyển động
Các cách giải tổng quát đã tạo nên khó khăn trong việc lập thuật toán số một cách hiệu quả để giải bài toán chuyển động của hệ tuyến tính. Các mô hình số được ứng dụng từ khoảng hơn 20 năm nay cho phép giải bài toán nhiễu xạ -bức xạ, trở thành công cụ cho các kỹ sư thiết kế công trình biển. Kết quả của các phần mềm tính này là Hàm truyền RAO ),( βωXf của các thông số phục vụ cho tính toán
thiết kế các công trình biển, trong đó có chuyển vị của kết cấu nổi FPSO. Các chương trình tính đó là : WAMIT, AQUADYN, DIODORE, HYDROSTAR. Phần ứng dụng số của chuyên đề sẽ xử dụng phần mềm tính toán HYDROSTAR của Đăng kiểm Pháp Bureau Veritas.