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Analisis Espectral 1 / 33

ESTIMACION ESPECTRAL


IntroducciónRecordemos la definición de la DEP; entonces dado un proceso aleatorio ESA x[k] , la DEP esta dada por:

Recordemos ahora el teorema de Wiener-Khinchine:


El problema de la estimación de la DEP

1. Ambas ecuaciones anteriores involucran un promedio del ensamble pero en la practica solo obtenemos una realización del ensamble.

2. Ambas ecuaciones usan una Transformada de Fourier de longitud infinita, pero en la practica solo tenemos un numero finito de muestras.

(Nota: Un # finito de muestras solo permiten calcular un # finito de valores de autocorrelación)

Hay 2 aproximaciones para obtener la DEP:

1. Calcular la TFD de la señal y de alguna forma promediarla.

2. Calculo y estimación de la autocorrelación usando alguna forma de promedio y posteriormente calcular la TFD.

Ambas aproximaciones son llamadas Aproximaciones No-Paramétricas “Clásicas”, las cuales tratan de hacer lo mejor posible con los datos disponibles haciendo o sin hacer ninguna asumsion, solo la de que el proceso es Estacionario en Sentido Amplio (ESA).


La aproximación Paramétrica Moderna

Hay una aproximación llamada “Moderna” para la estimación de la DEP la cual intenta resolver el problema de tener únicamente un # finito de muestras:

Asume un modelo recursivo para la Autocorrelación

Permite una extensión recurrente de la autocorrelación usando los valores conocidos.

Ejemplo de un Modelo recursivo:

Más adelante veremos que para esta aproximación, todo lo que necesitamos hacer es estimar los parámetros del modelo {ai} y usarlos para obtener una estimación de la DEP. Por lo tanto esta estimación es llamada “Paramétrica”.


Repaso de Estadísticas Antes de que empecemos a estudiar el problema de estimar la DEP, necesitamos repasar algunos detalles estadísticos.

Que necesitamos para realizar la estimación de la DEP?

Dado: Un numero finito de muestras de una realización

Obtenemos: Algo que se “parece a” la DEP del proceso.


Repaso de Estadísticas (cont.)Por lo tanto, debemos de ver la estimación de la DEP como un Proceso Aleatorio.

Necesitamos caracterizar su media y su varianza:

• Queremos que la media de la estimación de la DEP = realmente la DEP

• Queremos que la varianza de la estimación de la DEP = “pequeña”

Para comprender mejor el problema, usaremos un problema ligeramente diferente para ilustrar los detalles. Consideremos el proceso:

Dado un conjunto finito de muestras x[0],. . . ., x[N-1]. Deseamos estimar A

Una estimación lógica es: “media de las muestras”

Para cada realización de x[n], obtenemos un valor diferente para la estimación de A.


Ejemplo: Filtro de Promedio Móvil

• Promedio Móvil de M puntos:

• Usada en suavizar variaciones aleatorias de datos.

• Una aplicación puede ser:

x[n] = s[n] + d[n],

• donde s[n] es la señal contaminada con ruido d[n]


Ejemplo: Filtro de Promedio Móvil% Suavizado de la senal por un filtro de

promedio movil

R = 50;

d = rand(R,1)-0.5;

m = 0:1:R-1;

s = 2*m.*(0.9.^m);

x = s + d';

plot(m,d,'k-',m,s,'b--',m,x,'r:')

xlabel('indice de tiempo n','FontSize',14);

ylabel('Amplitud','FontSize',14)

legend('d[n]','s[n]','x[n]');

pause

M = input('Numero de muestras de entrada = ');

b = ones(M,1)/M;

y = filter(b,1,x);

figure

plot(m,s,'r-',m,y,'b--')

legend('s[n]','y[n]');

xlabel ('indice de tiempo n','FontSize',14);

ylabel('Amplitud','FontSize',14)


Repaso de Estadísticas (cont.)Queremos que ocurran dos cosas durante la estimación:

1. Queremos que nuestra estimación sea “correcta en el promedio:

Si esto es verdadero, decimos que la estimación es sin desplazamiento(unbiased).

Si no es verdad, entonces decimos que la estimación es desviada (biased)

Si no es verdad, pero

decimos entonces que la estimación es asintóticamente sin desplazamiento.

2. Queremos pequeñas fluctuaciones de estimación a estimación:

También nos gustaría que


Estimación Espectral No-Paramétrica

Familia de Métodos No-Paramétricos


Familia de Métodos Clásicos


El PeriodogramaEsta basado en la ecuación:

En forma practica tenemos un conjunto de datos de duraciónfinita, por lo que tenemos los siguientes problemas:

1) No podemos obtener el valor esperado

2) No podemos aplicar el limite

Sin embargo, el Periodograma es un método que ignora ambosproblemas.

En la practica podemos obtener esta estimación usando la TF discreta en tiempo.


Cálculo del PeriodogramaEn la practica, calculamos la estimación del periodograma usando la TF discreta (FFT) (normalmente rellenamos con ceros).


% Ejemplo del Periodograma de Ruido Blanco

x=randn(1,32);

% Genera 32 muestras de ruido blanco Gaussiano con varianza unitaria

% x=2*rand(1,100)-1; % Genera 100 muestras de ruido blanco con media cero que es uniformemente distribuida sobre % el intervalo [-1,1].

t=0:31;

stem (t,x)

legend('32 muestras de ruido blanco con varianza unitaria');

% Calculo de la autocorrelacion estimada

r=xcorr(x);

t1=-31:31;

figure

stem (t1,r)

legend('Estimacion de la autocorrelacion');

% Estimacion de la DEP con el periodograma

n1=1;

n2=31;

DEP=abs(fft(x(1:31),1024)).^2/(n2-n1-1);

P=20*log10(DEP+eps);

figure

plot(1:1024,P)

legend('Espectro');

ylabel('Magnitud (dB)');


El periodograma como un banco de filtros

A pesar de que el Periodograma es implementado con la TFD, es útil interpretarla como un banco de filtros.

Definamos la respuesta al impulso de un filtro FIR como:

La respuesta en frecuencia de este filtro es:



La magnitud de la respuesta en frecuencia del filtro pasa banda usado en la interpretación de bancos de filtros del periodograma.



Ahora la salida del i-ésimo filtro es:

Ahora la estimación de la potencia a la salida del filtro es: Para cualquier valor de n. Escogiendo n=N-1 nos resulta en el periodograma



El Periodograma puede ser visto como la DEP estimada que es obtenida usando un banco de filtros pasa banda


Tarea

• Obtenga la DEP para la siguiente señal usando el método del Periodograma


SoluciónN=300;

M=1024;

P=1; %numero de realizaciones

x=zeros(N,P);

for i=1:P,

x(:,i)=cos(0.2*pi*[0:N-1]'+2*pi*(rand(1,1)-0.5))+randn(N,1);

end

S=abs(fft(x,M)).^2/N;

figure

subplot(211);

plot(x);

title ('señal coseno + ruido blanco');

grid on;

subplot(212)

plot(linspace(0,1,512),10*log10(S(1:512)));

grid on;

title ('Estimacion con Periodograma');

ylabel('Densidad Espectral de Potencia (dB)')

xlabel('frecuencia');


Funcionamiento del PeriodogramaPara una buena estimación de la DEP, nos gustaría tener (por lo menos):

Tiene estas características, el Periodograma?

Vamos a averiguarlo!!!


Funcionamiento del Periodograma: Desplazamiento (Bias)

Propiedad #1: El Periodograma es desviado (biased)

Propiedad #2: Pero. . el Periodograma es asintóticamente sin desplazamiento

Demostración: Tomamos el valor esperado del periodograma


Funcionamiento del Periodograma: Desplazamiento (Bias)

Continuación de la demostración: La demostración anterior nos demuestra que el Periodograma es desviado.

La desviación ocurre por el efecto suavizador de la ventana de Bartlett.

(el efecto de suavizado reduce la resolución de las características espectrales agudas.

Pero cuando N la ventana Bartlett tiende a la función delta en el dominio de la frecuencia, o equivalentemente la ventana Bartlett tiende a 1 en el dominio del tiempo.

Por lo tanto el Periodograma es asintóticamente sin desplazamiento


Funcionamiento del Periodograma: Varianza

Propiedad #3: La varianza del Periodograma no tiende (en general) a cero conforme N .

Demostración: Es difícil de demostrar para el caso general, así que usaremos una asumsion para realizar la demostración: Proceso Gausiano Blanco, con media cero y varianza

Con esta asumsion, la verdadera DEP y Autocorrelación son:

La varianza es lo que deseamos analizar y esta dada por:


Funcionamiento del Periodograma: Varianza (cont.)

De nuestro anterior análisis de la desviación (bias) ( y las asumsiones asumidas para el proceso), encontramos que el segundo término es:

De tal forma que la varianza del periodograma es ahora:



Este término puede ser visto como:

Agrupando estos términos:



Ahora, Cual es el Valor Esperado??? Bien… desde que asumimos que el proceso es Gausiano, podemos usar un resultado estándar para variables Gausianas complejas:

Ahora usamos este resultado en conjunto con la asumsion de tener un proceso Gausiano blanco:

Remplazando este resultado en , obtenemos:



Ahora la TF de la ventana Bartlett es:

Remplazándola en la ecuación anterior obtenemos:



Para encontrar el primer término en la expresión de la varianza , debemos hacer que w=w1=w2 en la ecuación anterior de tal forma que obtenemos:

Usando este resultado en la ecuación para la varianza obtenemos

. . . La cual no tiende a 0 conforme N


Funcionamiento del Periodograma: Covarianza

Propiedad #4: Incrementar N nos conduce a periodogramas de rápida fluctuación (aun cuando la verdadera DEP es suave).

Demostración: Usando los resultados anteriores, la covarianza del periodograma esta dada por:

La covarianza es una medida de cómo dos VA’s están correlacionadas Por lo tanto, cov(X,Y)=0 indica que hay una alta probabilidad de que X & Y sean muy diferentes. Ahora la ecuación anterior indica que hay pares de frecuencia (w1,w2) para los cuales la covarianza del periodograma es cero.

El periodograma fluctúa rápidamente de frec. en frec.


Funcionamiento del Periodograma para un PA no blanco

El análisis anterior fue realizado considerando un ruido blanco. Para el caso que tengamos un proceso no blanco tenemos que:


•FIN

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