1anÁlise das aproximaÇÕes de alta ordem por meio da interpolaÇÃo espectral aplicadas ao mec...

CILAMCE 2013 Proceedings of the XXXIV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering

Z.J.G.N Del Prado (Editor), ABMEC, Pirenópolis, GO, Brazil, November 10-13, 2013

EQUATION CHAPTER 1 SECTION 1ANÁLISE DAS APROXIMAÇÕES DE ALTA ORDEM POR MEIO DA INTERPOLAÇÃO ESPECTRAL

APLICADAS AO MEC POTENCIAL

Fabio Carlos da Rocha

Aref Kalilo Lima Kzam

[email protected]

[email protected]

Departamento de Engenharia de Estruturas. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.

Av. Trabalhador Sãocarlense, 400, 13566-590, São Carlos, SP, Brasil

Humberto Breves Coda

[email protected]

Departamento de Engenharia de Estruturas. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.

Av. Trabalhador Sãocarlense, 400, 13566-590, São Carlos, SP, Brasil

Resumo. Na formulação direta do método dos elementos de contorno podem ocorrer erros

numéricos significativos ao se tentar reproduzir uma geometria complexa com grande

precisão. A depender do polinômio interpolador e da ordem das aproximações empregadas,

esses erros afetam a solução física do problema. Neste trabalho apresenta-se um estudo

comparativo entre a aproximação com nós equidistantes e a base espectral aplicados na

análise de problemas bidimensionais de fluxo de calor via método dos elementos de contorno.

Utilizam-se aproximações de alta ordem para verificar o condicionamento do método. Com

base na avaliação da constante de Lebesgue procede-se uma análise de convergência por

meio da quantificação do fenômeno provocado pelo emprego dos polinômios de alta ordem,

denominado fenômeno Runge. Exemplos são avaliados onde se constatam a melhora dos

resultados ao se empregar a interpolação espectral.

Palavras-Chaves: MEC potencial, Base equidistante, Base de Lobatto, Fenômeno Runge,

Constante de Lebesgue.

Análise das aproximações de alta ordem aplicada ao MEC potencial

CILAMCE 2013

Proceedings of the XXXIV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering


1 INTRODUÇÃO

O método dos elementos de contorno (MEC) é, em geral, empregado usando aproximações com elementos de baixa ordem, sendo a solução da equação integral aproximada por funções constantes, lineares ou quadráticas, sobre cada elemento (Brebbia, 1978; Brebbia e Walker, 1980; Pozrikidis, 1992). Uma diferença importante do MEC em relação ao método dos elementos finitos (MEF) é que a solução não necessita de continuidade

0C , independente da ordem da equação diferencial. No entanto, a implementação de aproximações de alta ordem utilizando as mesmas idéias do MEF, tais com refinamento P é dificultada seja ela por caráter teórico ou computacional (Karniadakis e Sherwin, 1999). O mais importante é assegurar a convergência uniforme, o que em termos gerais, necessita da aplicação das expansões espectrais onde os nós de colocação são posicionados cuidadosamente sobre os elementos tomados individualmente.

Como critério para verificar o desempenho de dois conjuntos de base nodais ao longo de uma curva é utilizada a constante de Lebesgue, a qual é definida como a soma dos valores máximos absolutos das funções de interpolação sobre todos os nós (Blyth e Pozrikidis, 2005). Esta constante é importante para limitar o erro da interpolação, pois, de acordo com o teorema de Weistrass (Piskunov, 1974) qualquer função contínua pode ser consistentemente aproximada por uma função polinomial, porém, cuidados devem ser tomados quando utiliza-se a interpolação polinomial de alta ordem. Este cuidado é devido à presença de oscilações em torno das extremidades do intervalo interpolado, caracterizado como fenômeno Runge e quantificado pelo valor da constante de Lebesgue ilimitada (Chen et al., 2013).

Neste trabalho, o emprega-se o MEC potencial bidimensional, em que os pontos de colocação são aplicados nos zeros dos polinômios de Lobatto e os resultados são comparados com os pontos de colocação convencional (equidistantes) para verificar a convergência dos resultados à medida que o grau da aproximação é elevado.

Este artigo esta dividido da seguinte forma. O item 2 apresenta a formulação integral do problema potencial. Na secção 3 são apresentadas as interpolações de ordem superior, no item 3.1 apresenta a interpolação polinomial geral, no item 3.1.1 mostra a base nodal equidistante, e nos itens 3.2 e 3.2.1 é apresentada a interpolação espectral e a base nodal de Lobatto, respectivamente. Na secção 3.3 são feitos comentários sobre o erro na interpolação, através de um estudo da convergência e da constante de Lebesgue. Nos itens seguintes é aplica-se as estratégias de interpolação ao modelo do MEC. Por fim, exemplos são apresentados para ilustrar os resultados dos métodos.

2 FORMULAÇÃO INTEGRAL DO PROBLEMA POTENCIAL

Inúmeros sistemas físicos são modelados por meio de equações diferenciais parciais elíticas. Uma dessas equações, também conhecida como equação de Laplace, representa uma série de problemas de engenharia, como por exemplo, o da condução térmica em sólidos, que pode ser escrita da seguinte maneira:

( ), ' 0iiu x = (1)

Hipóteses simplificadoras que satisfazem a Eq. 1 restringe a solução analítica dessa equação a alguns casos particulares. Essas limitações constituem o ponto de partida para utilização de técnicas numéricas mais gerais, como é o caso do método dos elementos de

F. C. da Rocha, A. K. L. Kzam, H. B. Coda



contorno. Nesta seção emprega-se o método dos resíduos ponderados para obter a representação integral da equação de Laplace para, em seguida, se introduzir o método.

Inicia-se a formulação considerando-se u um campo escalar definido no domínio Ω e limitado pela curva fechada Γ , conforme ilustrado na Fig. 1. Ao sólido bidimensional, associam-se as condições de contorno de Dirichelet e Neumman, ou condições de contorno essenciais e naturais, respectivamente. Essa abordagem caracteriza um problema potencial de valor de contorno, sendo o vetor n , mostrado na figura, normal à superfície 1 2Γ = Γ + Γ e

exterior a Ω , que define a direção do fluxo do campo vetorial q .

, 0iiu =

Ω

1Γ 2Γ

u u= uq q

n

∂= =

∂

Γn

Dirichelet Neumman

'x

Figura 1. Equação diferencial parcial com valor de contorno

Como comentado anteriormente a Eq. 1 não apresenta solução analítica imediata. Por essa razão, admite-se uma solução aproximada escrita em termos de uma combinação linear entre os parâmetros ia e as funções base iϕ linearmente independente.

i iu a ϕ=ɶ (2)

Na formulação isoparamétrica o grau da aproximação usado para descrever as variáveis define também a aproximação da geometria do problema. Esse assunto constitui o principal objetivo deste trabalho, dedicando-se uma seção para a análise dessa assertiva. Nela serão apresentadas as diferentes metodologias empregadas na obtenção dos parâmetros ia e funções

base iϕ , também chamadas de funções de forma.

Ao se substituir a solução aproximada na equação diferencial do problema, haverá um resíduo não nulo que deverá ser minimizado procedendo-se o seguinte o produto interno:

( ) *, ' 0iiu x u d

Ω

Ω =∫ (3)

Sendo *u uma função ponderadora escolhida adequadamente com o intuito de reduzir ou eliminar o termo de domínio da Eq. 1. Essa função é denominada de solução fundamental e consiste em uma solução analítica particular da equação diferencial. Neste caso, essa solução é obtida considerando-se um domínio infinito *

∞Ω , o qual preserva as mesmas características

do sólido Ω considerado no problema original.

Com o auxílio do teorema da divergência e das propriedades da distribuição delta de Dirac, determina-se a equação integral do problema potencial empregando-se a segunda identidade de Green (Brebbia, 1978), que resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *' ' ', ',C x u x u x x q x d q x x u x dΓ Γ

= Γ − Γ∫ ∫ (4)


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A Eq. 4 é a base para a formulação algébrica do método dos elementos de contorno,

sendo, * 1ln

2u r

π= − e * 1

2

rq

r nπ∂

= −∂

as soluções fundamentais do problema potencial

bidimensional, 'x o ponto fonte e x o ponto campo.

Os valores do termo livre são determinados a partir da posição de 'x em relação ao

interior, exterior, e contorno do domínio, dado respectivamente por ( ) 1' 1, ,0

2C x

=

.

2.1 O método dos elementos de contorno

O método numérico consiste em particionar o contorno do sólido bidimensional em um número finito de elementos unidimensionais, n . Para representa-los com maior generalidade são adotadas duas técnicas de aproximação, uma com os polinômios gerados a partir de uma base com pontos igualmente espaçados e outra a partir das raízes do polinômio de Lobatto.

A discretização da Eq. 4 passa a ser representada da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *' ' ', ',n n

n nC x u x u x x q x d q x x u x dΓ Γ

= Γ − Γ∫ ∫ (5)

Na formulação isoparamétrica, a geometria: i m imx xϕ= , o potencial: m mu uϕ= e o fluxo

normal a superfície: m mq qϕ= , são escritos em termos das funções base, sendo m o número

de nós sobre o elemento, definido de acordo com o grau da aproximação adotada.

Com o intuito de facilitar a geração das funções de forma e aplica-las em regras de quadratura numérica e se proceder a integração, é conveniente definir o elemento de contorno por meio da coordenada adimensional do espaço de Gauss [ ]1,1ξ ∈ − .

A partir do método da colocação, a representação algébrica das integrais de contorno expressa na Eq. 5, para ( )' ' 0x C x∉ Ω ∪ Γ → = , escreve-se:

mn m mn mH u G q= (6)

Desse modo, os núcleos integrais, avaliados por meio da quadratura de Gauss-Legendre, passam a ser calculados como:

( ) ( ) ( )* ',mn k m k n k k

k

H q Jξ ξ ϕ ξ ξ ω= ∑ , e

( ) ( ) ( )* ',mn k m k n k k

k

G u Jξ ξ ϕ ξ ξ ω= ∑

Sendo k os pontos de integração de Gauss e J , o Jacobiano da transformação, dado por:

( ) ( ) ( ) , ,n m im m imn

J x xξ ξξ ϕ ξ ϕ ξ = ⋅ (7)

Após as prescrições das condições de contorno essenciais e naturais, o sistema de equações é resolvido fazendo-se

AX B= (8)




3 INTERPOLAÇÕES DE ORDEM SUPERIOR

Nesta seção são apresentadas as estratégias de interpolação obtidas por meio de polinômios de alta ordem e utilizando com pontos igualmente espaçados, assim como, formados por zeros de polinômios ortogonais. Nos subitens a seguir apresentam-se com mais detalhes a geração das bases utilizadas nas duas estratégias descritas. Posteriormente realiza-se a análise de convergência comparando ambas as metodologias na aproximação de geometrias.

3.1 Interpolação polinomial

Com o intuito de demonstrar a estratégia de geração dos polinômios de alta ordem apresentam-se neste item, as funções de forma para os elementos unidimensionais que serão utilizados para descrever o contorno dos sólidos analisados com o MEC.

Adotam-se os polinômios interpoladores gerados a partir do critério da partição da unidade e da matriz de coeficientes de Vandermonde. Emprega-se esse procedimento por ser de imediata generalização, inclusive para a geração das funções de forma de elementos bi e tridimensionais de ordem qualquer, conforme apresentado em (Pozrikidis, 2005).

Por hipótese, admite-se uma base do espaço adimensional de coordenadas, gerado a partir de um conjunto de pontos ; 1 1k kξ ξ∈ − ≤ ≤ +ℝ e dependentes do grau da aproximação n

adotada.

O termo geral do polinômio interpolador é calculado da seguinte maneira:

( ) 0 10

...n

j n

i ij i i in

j

a a a aϕ ξ ξ ξ ξ=

= = + + +∑ (9)

Ao impor as propriedades da partição da unidade, a Eq. 9 fica escrita como:

( ) 0 1 ... n

i k i i k in k ika a aϕ ξ ξ ξ ξ δ= = + + + = (10)

Sendo iϕ , as funções de forma avaliada nos pontos ( )1,..., 1i n= + ; ija os coeficientes

dos polinômios interpoladores e ikδ , o delta de Kronecker.

Escrevendo a Eq. 11 em notação matricial, tem-se:

10 11 1

20 21 2 1 2

0 1 1 2

1 1 1 1 0 0

0 1 0

0 0 0

n

n k

n n n

k k kn k

a a a

a a a

a a a

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

=

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

(11)

Cuja representação simbólica fica:

MV I= . (12)

A matriz com as potências das coordenadas adimensionais, V , da Eq. 13 é denominada matriz de Vandermonde, e os valores dos coeficientes são obtidos diretamente após o cálculo de sua inversa, ou seja:

1M V −= . (13)


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Calculado os valores dos coeficientes, as funções de forma num ponto de coordenadas adimensional qualquer, pξ podem ser calculados a partir da Eq. 10

( ) 0 1 ... n

i p i i p in pa a aϕ ξ ξ ξ= + + + . (14)

Após a obtenção das funções de forma. A derivada da Eq. 10 em relação ao parâmetro adimensional é obtida pelo termo geral:

( ) 1 1 11 2

1

0 2 ...n

j niij i i in

j

ja a a naϕ

ξ ξ ξ ξξ

− −

=

∂= = + + + +

∂ ∑ (15)

Sendo os valores dos coeficientes e das potências das coordenadas adimensionais conhecidos, basta, portanto, aplicar a expressão geral para o cálculo da derivada no ponto:

( ) 1 11 20 2 ... ni

p i i p in pa a naϕ

ξ ξ ξξ

−∂= + + + +

∂ (16)

Para ilustrar a aplicabilidade do método, demonstra-se um exemplo analítico de obtenção dessas funções e suas derivadas.

3.1.1 Base nodal igualmente espaçada

Para a obtenção do polinômio interpolador, utilizou-se como base do espaço adimensional, o conjunto de pontos igualmente espaçados ; 1 1k kξ ξ∈ − ≤ ≤ +ℝ e

dependentes do grau da aproximação adotada. O conjunto é obtido a partir do seguinte termo geral da progressão aritmética:

( )1 1k k rξ ξ= + − , (17)

Sendo ( )1,..., 1k n= + , a partição do intervalo, com n o grau da aproximação; 1 1ξ = − , o

ponto inicial do conjunto e 2

rn

= a razão da progressão.

Para ilustrar o desenvolvimento do polinômio interpolador obtido na Eq. 10, e gerado a partir da nodal da Eq.17, apresenta-se, a seguir, um algoritmo de geração dessas funções.

Primeiro passo: Determinação dos pontos que formam a base do espaço adimensional.

1,2,3k = , para 2n = .

1 1ξ = − , visto que [ ]1, 1ξ ∈ − + , comumente empregado nas quadraturas numéricas.

21

2r = = , razão da progressão aritmética para os pontos igualmente espaçados.

( ) ( )1 1 1 1, 0 1k kξ = − + − = − + , pontos do espaço adimensional.

Segundo passo: Cálculo da matriz de Vandermonde e matriz dos coeficientes.

- Matriz de Vandermonde.

( ) 1, i

kV i k ξ −= , com 1,2,3i = , para 2n = .




0 0 01 2 3

1 1 11 2 3

2 2 21 2 3

1 1 1

1 0 1

1 0 1

V

ξ ξ ξξ ξ ξξ ξ ξ

= = −

.

- Matriz dos coeficientes.

10 11 121

20 21 22

30 31 32

1 10

2 21 0 1

1 10

2 2

a a a

M V a a a

a a a

−

− = = = −

.

Terceiro passo: Cálculo das funções de forma

( ) ( )21 10 11 12

11

2a a aϕ ξ ξ ξ ξ ξ= + + = −

( ) 2 22 20 21 22 1a a aϕ ξ ξ ξ ξ= + + = −

( ) ( )23 30 31 32

11

2a a aϕ ξ ξ ξ ξ ξ= + + = +

Quarto passo: Cálculo das primeiras derivadas

( )1, 11 12

10 2

2a aξϕ ξ ξ ξ= + + = − +

( )2, 21 220 2 2a aξϕ ξ ξ ξ= + + = −

( )3, 31 32

10 2

2a aξϕ ξ ξ ξ= + + = +

Este procedimento equivale a determinar as funções interpoladoras por meio dos polinômios de Lagrange, pois as mesmas propriedades são satisfeitas. Como comentado anteriormente, o procedimento apresentado acima é geral e se adequa a descrição de elementos triangulares e quadrilaterais, assim como elementos tetraédricos e hexaédricos.

Outra característica importante refere-se a disposição dos pontos no espaço adimensional. Verifica-se que essa disposição atende a uma progressão aritmética onde os pontos, por essa razão, são igualmente espaçados. Ao se utilizar os polinômios de alta ordem verifica-se que essa característica é decisiva na precisão dos resultados, dada a ocorrência do fenômeno Runge, que será quantificada a partir da constante de Lebesgue e apresentada neste trabalho.

Na próxima seção apresentam-se a metodologia de geração das funções de forma por meio da interpolação espectral. Em seguida, demonstrarem-se através de exemplos as perturbações que ocorrem na representação de geometrias complexas quando se utilizam polinômios de alta ordem.

3.2 Interpolação espectral

Nesta item é apresentada uma sequência de pontos de interpolação, os quais são cada vez mais refinados sobre curvas, com o objetivo de alcançar convergência uniforme e permitir alta precisão na interpolação. Há duas principais estratégias de aumentar a precisão. A primeira é


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diminuindo o tamanho do elemento, h , enquanto mantém a ordem polinomial fixada sendo esta classificada como um refinamento – h . Geralmente, o erro diminui com a potência de

( )O hα , onde o expoente é determinado pela ordem polinomial e pela suavidade da solução. Por outro lado, uma forma alternativa de melhorar a precisão é através do aumento da ordem do polinômio, n , para um número fixo de elemento da discretização, sendo esta forma classificada como refinamento – n , geralmente associado com a convergência espectral. A terminologia “espectral” significa que o erro numérico diminui mais rápido do que qualquer potência 1/ n , onde n é a ordem da expansão polinomial (Pozrikidis, 2005).

Na prática, o objetivo é usar expansões de baixa ordem em regiões onde a solução tem comportamento suave e usar expansões de alta ordem em regiões onde a solução sofre rápidas variações. Além do mais, objetiva-se alcançar a melhor precisão possível para um determinado número de nós de interpolação.

A análise teórica do erro de interpolação mostra que, dado o número de nós de interpolação a ser distribuída ao longo do elemento, a maior precisão de interpolação é conseguido quando os nós interiores são distribuídos nas posições correspondentes aos zeros de certas famílias de polinômios ortogonais. Quando isto é feito, obtém-se uma expansão do elemento espectral e associa-se, assim, ao método do elemento espectral.

Diante do relatado, o desenvolvimento teórico da interpolação espectral está fortemente associada à teoria de interpolação de polinômios ortogonais. Assim, este trabalho aborda a utilização do polinômio ortogonal de Lobatto como base para a aproximação.

3.2.1 Base nodal de Lobatto

Tomado a decisão de aproximar a solução sobre o elemento ℓ por um polinômio de grau n , definido pelos 1n+ nós de interpolação do elemento, incluindo os dois nós geométricos das extremidades e 1n− nós interior de interpolação. Em seguida é apresentada a base nodal de Lobatto.

Usando a teoria de interpolação polinomial em conjunto com a teoria de polinômios ortogonais, pode-se construir 1n− nós intermediários que são distribuídos nos zeros do polinômio de Lobatto de grau 1n− ,

10 ( )m

L ξ−

. Os primeiros termos dos polinômios de Lobatto

são apresentados na tabela 1, assim como, a sua fórmula de geração.

Tabla 1. Primeiros componentes da família do polinômio de Lobatto definido no intervalo [-1,1]

00 ( ) 1L ξ = 5

4 20

1( ) (693 630 105)8

L ξ ξ ξ ξ= − +

10 ( ) 3L ξ ξ= 6

6 4 20

1( ) (3003 3465 945 35)16

L ξ ξ ξ ξ= − + −

2

20

3( ) (5 1)2

L ξ ξ= − ⋮

3

20

5( ) (7 3)2

L ξ ξ= −

4

4 20

15( ) (21 14 1)8

L ξ ξ ξ= − + ( )2 12

0 1 2 1(2( 1))!1( ) 1

2 ( 1)! 2 ( 1)!i

i i i

i i i

i idLi d i

ξ ξ ξξ

+ +

+ + ++= − =

+ +

Por construção, o polinômio de Lobatto satisfaz a propriedade de ortogonalidade:




( ) ( )( )1 20 01

2( 1)( 2)1

2 3i j ij

i iL L d

iξ ξ ξ ξ δ

−

+ +− =

+∫ . (18)

onde ijδ é o delta de Kronecker.

A principal razão da escolha dos zeros dos polinômios de Lobatto é que as correspondentes funções de interpolação nodal são garantida variar no intervalo [ 1,1]− , independente da ordem da aproximação polinomial, n , isto é, a Eq. 10 torna-se limitada

( ) 1iϕ ξ ≤ . (19)

com a igualdade segurada apenas quando iξ ξ= . Devido esta propriedade, a oscilação Runge

são suprimidas e a taxa de convergência da interpolação com respeito a n é espectral, isto é, mais rápido que qualquer potencia de 1/ n .

Com a base nodal da interpolação de Lobatto, os nós de interpolação 1n+ do elemento são distribuídos da forma

1

2 1 3 2 1

1

1,

, , ,

1,m m

m

t t t

ξ

ξ ξ ξ

ξ−

+

= −

= = =

= −

⋯ . (20)

onde os 1 2 1, , , mt t t −… são os zeros do polinômio de Lobatto de grau 1n− . Os 1n− nós de

interpolação são as raízes do polinômio completo de Lobatto de grau 1n+ , definido como

( ) ( ) ( )1 1

20 01

m m

cL t t L t+ −

≡ − , (21)

onde o sobrescrito “c” significa polinômio “completado”.

A seguir, para demonstrar as vantagens da distribuição dos nós de Lobatto será verificada sua precisão nas aproximações de função que possuem o comportamento Runge frente à base nodal igualmente espaçado apresentada no item anterior. Para tanto, faz-se necessário definir a norma do cálculo do erro da aproximação.

3.3 Erro na interpolação, convergência e constante de Lebesgue

Para iniciar a análise do erro da interpolação, considere uma função ( )f x a qual é

interpolada por polinômios, ( )nP x , de grau igual ou menor a n . A diferença entre a

aproximação e o valor exato é o erro da interpolação,

( ) ( ) ( )Ne x P x f x= − . (22)

A condição de interpolação garante que nos pontos de interpolação ix

( ) 0ie x = , (23)

Para 1, 2, , 1i n= +… , isto é, a função ( )e x tem no mínimo 1n+ zeros no domínio de

interpolação. Contudo, em geral, ( ) 0e x ≠ quando ix x≠ .

Diante desta diferença existente na região entre os pontos de interpolação e considerando a função suficientemente suave ( )f x , o erro ocorrido pela interpolação polinomial é dado por (Davis, 1975)


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( 1)

1 2 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

( 1)!

N

N N

fe x x x x x x x x x

N

ξ+

+= − − − − −+

… , (24)

Antes de analisar a convergência e definir a constante de Lebesgue, faz-se necessário definir uma medida de quantificação da magnitude do erro. Neste trabalho, a medida do erro será realizada através da norma máxima. Defini-se a norma máxima de uma função ( )f x ,

denotado por ( )f x , como o valor absoluto máximo de ( )f x sobre um determinado intervalo

de interpolação. De acordo com a Eq. 24, percebe-se que a norma do erro de interpolação, ( )e x , dependerá da localização dos pontos de interpolação. Definida a norma, agora é

possível obter, dentre todas as aproximações por polinômios de grau n da função ( )f x , um

polinômio ótimo, designado de ( )otinP x , que exibe o erro mínimo para ( )e x , chamado de erro

minimax e denotado por [ ( )]np f x . É importante observar que este polinômio ótimo não

necessariamente é um polinômio de interpolação da função ( )f x .

Para calcular ( )e x , considere o conjunto de todas as funções ( )f x com a norma máxima

unitária, ( ) 1f x = . Tem-se que a correspondente norma do erro de interpolação é

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]

oti oti

n n n n

oti oti oti

n n n n n n

e x P x f x P x P x P x f x

P x P x P x f x P x P x p f x

≡ − = − + −

≤ − + − = − +, (25)

para enfatizar que o polinômio ( )nP x aproxima a função ( )f x , é utilizado como notação

( , )nP x f . Em seguida é aplicado o lema de Lebesgue (Karniadakis e Sherwin, 1999), e

desenvolve a desiguladade:

( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )oti oti oti

n n n n n n nP x f P x P x f P x P P f x P x− = − ≤ ⋅ − , (26)

Onde

( )( )( )n nP Max P f x≡ , (27)

e o máximo é calculado sobre todas as funções admissíveis, ( )f x . Assim,

( )( ) 1 [ ( )]n ne x P p f x≤ + . (28)

Para obter um limite para a norma nP , o polinômio interpolante é expresso em termos

dos polinômios da Eq. 10. Lembrando a condição que ( ) 1f x = , pode escrever

( )1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n i i i i n

i i

P Max f x x Max f x x Max xϕ ϕ+ +

= =

≡ ≤ ≤ ℑ

∑ ∑ , (29)

Onde

1

1

( ) ( )n

n i

i

x xϕ+

=

ℑ ≡ ∑ (30)

é a função de Lebesgue. O máximo valor da função de Lebesgue é a constante de Lebesgue,

( )( )n nMax xΛ ≡ ℑ . (31)




Combinando esta definição com a Eq. 28, tem-se

( )( ) 1 [ ( )]n ne x p f x≤ + Λ , (32)

a qual mostra que as propriedades de convergência da interpolação dependem do erro minimax e da constante de Lebesgue na ordem polinomial.

O comportamento do erro minimax é analisado através do primeiro e segundo teorema de Jackson. O primeiro teorema de Jackson coloca um limite superior para o erro minimax,

[ ( )]np f x . Quando é imposta uma interpolação para a função contínua ( )f x dentro do

intervalo canônico [ 1,1]− , o teorema afirma que:

2 1[ ( )] 1

2np f xn

πω

≤ +

, (33)

Onde ( )ω δ é o módulo de continuidade de ( )f x , definido de acordo com (Davis, 1975),

como:

( )1 2 1 2( ) ( )

x xMax f x f xδω δ − ≤≡ − , (34)

Para uma função que satisfaz a condição de Lipschitz:

1 2 1 2( ) ( )f x f x A x xα

− ≤ − , (35)

Onde 0α> , A é uma constante positiva, 1 21 , 1x x− ≤ ≤ , ( ) A αω δ ≤ δ , e assim:

2 1[ ( )] 1

2Np f x Anα

πω

≤ +

. (36)

O segundo teorema de Jackson afirma que, se a função ( )f x tem derivada de ordem k no intervalo [ 1,1]− , isto é, a derivada de ordem k não torna infinita em [ 1,1]− , então (Rivlin, 1969)

12 1 1[ ( )] 1

2 (1 )

kk

n k

ep f x

k n n k

πω

+ ≤ + + −

, (37)

Para n k> .

É conhecido que a constante de Lebesgue possui o comportamento crescente à medida que n tende ao infinito. O teorema de Erdös coloca um limite inferior para o crescimento possível da constante (Rivlin, 1969)

2ln 1n n c

πΛ > + − , (38)

Onde c é uma constante positiva. Assim, a constante de Lebesgue cresce no mínimo tão rápido quanto ln n .

Quando os pontos de interpolação são igualmente espaçados sobre um intervalo específico, a constante de Lebesgue é conhecida crescer rapidamente com n , exibindo o comportamento assintótico (Hesthaven e Teng, 2000)


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2

log

n

nn n

Λ ∼ . (39)

Este rápido crescimento dos pontos igualmente espaçados é o responsável pela ocorrência do efeito Runge.

É possível provar que quando os nós de interpolação são colocados nos zeros dos polinômios ortogonais a constante de Lebesgue, nΛ , cresce muito lentamente à quase taxa

logarítmica ideal (Fejér, 1932a; Fejér, 1932b). De fato, para interpolação de Lobatto, a análise numérica revela o limite (Bos, 1983; Hesthaven e Teng, 2000)

( )2ln 1 0,685N n

πΛ ≤ + + , (40)

a qual conduz a convergência uniforme da interpolação.

Para ilustrar a taxa de convergência da interpolação considerando base nodal igualmente espaçada e base nodal nos zeros do polinômio de Lobato, considere a função a qual deve ser aproximada:

( ) 2

1

1 25f x

x=

+. (41)

A figura 2 mostra os diversos polinômios de interpolação de ordem crescente para as distribuições das bases nodais em análise. A linha contínua representa a função analítica, a linha pontilhada equivale a interpolação com nós equidistantes e a série de círculos representa a interpolação com a base de Lobatto. É possível perceber na “Fig. 2” que a aproximação considerando base nodal igualmente espaçado se deteriora rapidamente, quando comparado com a base de Lobatto, à medida que o grau de interpoação aumenta. A quantificação desta deterioração pode ser vista na “Fig. 3”, na qual é plotada a constante de Lebesgue versus o grau do polinômio interpolador, considerando os valores da constante obtida pela base equidistante, base de Lobato e por fim, a constante obtida pela “Eq. 40”. Percebe-se na “Fig. 3” o quão rápido esta constante torna-se ilimitada à medida que se eleva o grau da aproximação com a base equidistante. No entanto, para a base de Lobatto a constante de Lebesgue cresce muito lentamente o que torna o erro limitado, ver “Eq. 32”. A tabela 2 apresenta de forma quantitativa os valores da constante de Lebesgue, e pode-se notar que para uma aproximação de grau 30, a base equidistante possui uma constante com valor na ordem

de grandeza de 66,6 10⋅ , enquanto que para base de Lobatto, neste mesmo grau de aproximação, é obtido um valor de 2,8 .




Figura 2. Efeito da distribuição da base na interpolação polinomial

Figura 3. Gráfico da constante de Lebesgue para as bases nodais


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Tabla 2. Valores da constante de Lebesgue para a aproximação f(x) considerando as bases nodais.

n Base equidistante Base de Lobatto Analítico (Eq. 40)

2 1,24995 1,24995 1,384398

5 3,10448 1,77607 1,82567

10 29,76959 2,17562 2,211548

15 512,09331 2,42371 2,450085

20 10893,95470 2,60586 2,623203

30 6589495,63235 2,84175 2,871144

4 APLICAÇÕES

Nesta seção são aplicadas as estratégias de interpolação apresentadas nas seções anteriores com o intuito de avaliar a influência das bases nodais na representação de um problema físico de condução térmica em sólidos bidimensionais através do MEC.

Na figura 4 é apresentado o desenho geométrico de uma engrenagem mecânica, juntamente com o elemento representativo empregado na análise do projeto de condução térmica.

Figura 4. Engrenagem e o elemento representativo do dente

Nesse exemplo, modela-se a engrenagem com um diâmetro interno de 32 mm e diâmetro externo de 34 mm. Sendo essa engrenagem composta de 25 dentes igualmente espaçados com distância máxima até o centro da circunferência de 41,37mm. No lado esquerdo e direito do contorno do dente dessa engrenagem (detalhe da Fig.4) é aplicado um potencial (temperatura) de 300ºC e 0ºC, respectivamente. Já na parte superior e inferior do contorno do dente foram adotadas condições adiabáticas (fluxo nulo)

Para a análise numérica pelo MEC são utilizados quatro elementos de ordem elevada. Neste trabalho foram adotado elementos de grau de aproximação de ordem 5, 10, 15 e 20, os quais foram comparados considerando base nodal igualmente espaçada e a base nodal de Lobatto. A figura 5 ilustra a evolução da aproximação destas bases nodais à medida que o grau da aproximação é elevado. Nota-se, ainda, (Fig 5) que a base equidistante apresentam severas perturbações nas extremidades do elemento curvo a partir do grau 10, entretanto, a base nodal de Lobatto se comporta perfeitamente bem para elevado grau, apresentando convergência com a geometria à medida que a ordem da aproximação é aumenta.




Figura 5. Representação da geometria do dente empregando-se polinômios de alta ordem

Em seguida é avaliada a precisão do cálculo do potencial (temperatura) e do fluxo (fluxo de calor) em relação a uma solução de referência. Para a obtenção da solução de referência foi utilizado 60 elementos quadráticos de contorno, uma vez que este mostraram semelhantes resultados aos obtidos a partir do modelo de elementos finitos com 1350 elementos triangulares gerados a partir do software Abaqus, como pode ser visto nas Fig. 6 e 7.


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Abaqus MEC

Figura 6. Distribuição de temperatura no dente da engrenagem

Abaqus MEC

Figura 7. Representação da magnitude do fluxo no dente da engrenagem

Para avaliar o efeito das estratégias de interpolação aplicada ao MEC são apresentados nas Fig. 8 e 9 os resultados obtidos nos pontos que compõem a malha do contorno do problema. Para este estudo foi imposta uma discretização com 4 elementos de contorno e com grau de aproximação variando de 5, 10, 15 e 20, tendo seus resultados comparados com o modelo de referência. Percebe-se que a interpolação utilizando a base nodal de Lobatto é significativamente superior à base equidistante, tanto para o potencial (temperatura) quanto para o fluxo. Observando as Fig. 8 e 9, é possível ver uma piora dos resultados do fluxo mais rápido do que o do potencial à medida que a ordem da aproximação é elevada.




Figura 8. Potencial (temperatura) dos nós do contorno com o aumento do grau

Figura 9. Fluxo de calor nos nós do contorno com o aumento do grau


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5 CONCLUSÕES

Com base nos dados apresentados verifica-se que a determinação da base de pontos usada para descrever o espaço adimensional é decisiva na geração das funções interpoladoras. Verificou-se que está é sensível e dependente da distribuição de pontos, como foi possível notar ao se estudar a interpolação numérica com pontos equidistantes e os gerados a partir dos zeros dos polinômios de Lobatto. Além de se notar também a forte influência dessas interpolações ao se descrever uma geometria complexa, e consequentemente as variáveis físicas do método dos elementos de contorno.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) e a FAPESP (Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo suporte financeiro.

REFERÊNCIAS

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Brebbia, C. A., Walker, S., 1980. Boundary element techniques in engineering. London: Newness-Butterworths.

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Journal of Applied Mathematics Advance, vol. 71, n. 1, pp. 153–169.

Bos, L., 1983. Bounding the Lebesgue function for Lagrange interpolation in a simplex. J.

Approx. Theory, vol. 38, pp. 43-59.

Chen, Y. J., He, H. Y., Zhang, S. L., 2013. A new algebra interpolation polynomial without Runge phenomenon. Applied Mechanics and Materilas, n. 303-306, pp. 1085-1088.

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Fejér, L., 1932a. Lagrangesche interpolation und die zugehöringen konjugierten punkte. Mathematische Annalen., vol. 106, pp. 1-55.

Fejér, L., 1932b. Bestimmung derjenigen abszissen eines intervalles für welche die quadratsumme der grundfunktionen der Lagrangeschen interpolation. Ann. Scuila Norm. Sup.

Pisa Sci. Fis. Mt. Ser. II., vol. 1, pp. 263-273.

Hesthaven, J. S., 1998. From electrostatics to almost optimal nodal sets for polynomial interpolation in a simplex. SIAM J. Numer. Anal., vol. 35, pp. 655-676.

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Piskunov, N. 1974. Differential and Integral Calculus, Vol. I, II, Moscow: Mir Publishers.

Pozrikidis, C. 1992. Boundary integral and singularity methods for linearized viscous flow. Cambridge: Cambridge University Press.

Pozrikidis, C., 2005. Introduction to Finite and Spectral Element Method using MATLAB.

Chapman & Hall/CRC.

Rivlin, T. J., 1969. An introduction to the approximation of functions. Dover.

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