dinamiČki model (simetriČnog) dinamika.rev3.pdf · referentni q-d-0 -sistem koji može imati...

DINAMIČKI MODEL (SIMETRIČNOG)

TROFAZNOG ASINHRONOG MOTORA

ar

as

bs

cscr

asbs

br br

cr

ar

ascs

br

bs

cr

arcs

Paul C. Krause

Purdue University

School of Electrical and

Computer Engineering

Naponska jednačina:

abcs s abcs abcs

abcr r abcr abcr

u it

u it

R

R

r rr

r rr

T

s srabcs abcs

abcr abcrsr r

i

i

L L

L L

rr

rr

U prethodnim jednačinama koristi se:

T

? ? ? ?abc a b cf f f fr

s sR R I r rR R I

Matrice induktivnosti: 0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

s s s s

s s s s s

s s s s

M M M

M M M

M M M

L

Ako uvedemo smenu: 2

3

Matrica međusobne induktivnosti statora i rotora:

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

sr srL

L

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

r r r r

r r r r r

r r r r

M M M

M M M

M M M

L

Svođenje rotorskih veličina na stator

/

/

/

abcr r s abcr

abcr s r abcr

abcr s r abcr

i N N i

u N N u

N N

r r

r r

r r

Na osnovu analogije sa magnetno spregnutim kolima

/s s r srM N N L

Može se napisati:

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

ssr sr s

r

NM

N

L L

Ponovo na osnovu analogije sa magnetno spregnutim kolima, može se

napisati:

Ako se uzme:

dobija se:

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

r s s s

s r s s

s s r s

M M M

M M M

M M M

Lr

gde je:

2

r r s sN N M M

2

r s r rN N L L

2

r s r rN N

Posle svođenja "rotora na stator" jednačine za fluks i naponske jednačina su:

T

s srabcs abcs

abcr abcrsr r

i

i

L L

L L

rr

rr

T

s s srabcs abcs

abcr abcrsr r r

p pu i

u ip p

R L L

L R L

rr

rr

Pri čemu važi relacija:

pt

- operator diferenciranja

2

r s r rN N R R

Na osnovu relacija koje važe za elektro-mehaničku konverziju energije može se

napisati izraz za električnu energiju koja se pretvara u mehaničku:

T T T1 1

2 2e abcs s s abcs abcs sr abcr abcr r r abcrW i i i i i i L I L L I

r r r r r r

Mehanička snaga motora može se izraziti preko elektromagnetnog momenta i

brzine obrtanja:

e e mW mt t

m - stvarni mehanički položaj rotora.

mP

- položaj rotora izražen u el.rad/s.

e eW m Pt t

JEDNAČINA MOMENTA

Elektromagnetni moment motora je:

Te

e abcs sr abcrW

m P P i i

L

r r

1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

sin

3cos

2

as ar br cr bs ar br cr cs ar br cr

e s

as br cr bs cr ar cs ar br

i i i i i i i i i i i i

m P M

i i i i i i i i i

Dobijeni izraz je veoma komplikovan i

praktično neupotrebljiv.

TRASFORMACIJA

KOORDINATA • U cilju uprošćenja analize uvodi se novi

REFERENTNI q-d-0 -sistem koji može

imati proizvoljnu brzinu. Prelazak iz

realnog abc - sistema u qd0 - sistem

vrši se pomoću matrice transformacije K.

• Izborom brzine referentnog sistema

postižu se jednostavnije analize prelaznih

procesa.

Izbor referentnog sistema

• Stacionarni referentni sistem

obezbeđuje rasprezanje namotaja

mašine, čime se pojednostavljuje matrica

induktivnosti.

• Sinhrono rotirajući referentni sistem

pored rasprezanja koordinata, oslobađa

matricu induktivnosti zavisnosti od ugla

rotora, odnosno vremena

• Referentni sistem vezan za rotor

pruža pogodnosti analize mašina sa

dvostranim napajanjem.

rs s

0rs

rs

U slučaju simetričnog sistema, nulta komponenta je nula,

u svim referentnim sistemima.

0

T

T

0 0

qd s s abcs

abcs as bs cs

qd s qs ds s

f f

f f f f

f f f f

Kr r

r

r

Transformacije statorskih

veličina

as

bs

cs

asbs

ascs

bs

cs

q

d

rs

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

rs rs rs

s rs rs rs

K

0

( ) (0)

t

rs rs rst d

1

cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

rs rs

s rs rs

rs rs

K

Matrice transformacije

rsr rs

Trenutni položaj rotora u

odnosu na referentni sistem.

0

T

T

0 0

qd r abcr

abcr ar br cr

qd r qr dr r

f f

f f f f

f f f f

r r

r

r

rK

Transformacije rotorskih veličina

ar

as

cr

br

q

d

rsrsr

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

rsr rsr rsr

r rsr rsr rsr

K

1

cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

rsr rsr

r rsr rsr

rsr rsr

K

Matrice transformacije

0 0

( ) (0) ( ) (0)

t t

rs rs rst d t d

rs - trenutni položaj referentnog sistema,

- trenutni položaj rotora motora,

rs - brzina referentnog sistema,

- brzina motora,

s - sinhrona brzina.

2

3

Korišćene oznake

Stacionarni koordinatni sistem

Kada je rs=0, rs (0) = 0 i 2

,3

0

0 0 0,

t

rs rsd

2 2cos0 cos 0 cos 0

3 3

2 2 2sin 0 sin 0 sin 0

3 3 3

0,5 0,5 0,5

s

K

Edith Clarke

1883 - 1959

Stacionarni koordinatni sistem Matrice transformacije statorskih veličina

1 0,5 0,5

2 3 30

3 2 2

0,5 0,5 0,5

s

K

1

1 0 1

30,5 1

2

30,5 1

2

s

K

Stacionarni koordinatni sistem Matrice transformacije rotorskih veličina

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

r

K

1

cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

r

K

Primer simetričnog trofaznog sistema koji ima konstantnu učestanost:

max

max

max

cos 0

cos 0

cos 0

as s s s

bs s s s

cs s s s

f f t

f f t

f f t

posle transformacije se dobija:

max

max

0

cos 0

sin 0

0 const.

qs s s s

ds s s s

s

f f t

f f t

f

Umesto trofaznog naizmeničnog sistema dobijamo dvofazni sistem.

2 2max s qs dsf f f

Šta se postiže ovom transformacijom?

Statorske veličine

Statorske veličine rs=0

0 5 102

1

0

1

2

fas t( )

fbs t( )

fcs t( )

t

0 5 100.1

0.05

0

0.05

0.1

f0s t( )

t

0 5 102

1

0

1

2

fqs t( )

fds t( )

t

Na graficima

s=1

max

max

max

cos 0

cos 0

cos 0

ar r s r

br r s r

cr r s r

f f t

f f t

f f t

posle transformacije dobija se:

max

max

0

cos 0

sin 0

0

qr r s r

dr r s r

r

f f t

f f t

f

Kada je rs=0, rs (0) = 0 i rsr= 0 – = – za simetričan rotorski

sistem:


Rotorske veličine

Rotorske veličine rs=0

0 5 102

1

0

1

2

far t( )

fbr t( )

fcr t( )

t

0 5 100.1

0.05

0

0.05

0.1

f0r t( )

t

0 5 102

1

0

1

2

fqr t( )

fdr t( )

t

Sinhrono rotirajući koordinatni

sistem

Kada je rs= s, rs (0) = 0, s (0) = 0 i 2

,3

0

( ) 0

t

rs s s sd

2 2cos cos cos

3 3

2 2 2sin sin sin

3 3 3

0,5 0,5 0,5

s s s

s s s s

K

Robert H. Park

1902-1994


sistem Matrice transformacije statorskih veličina

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

s s s

s s s s

K

1

cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

s s

s s s

s s

K


sistem Matrice transformacije rotorskih veličina

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

s s s

r s s s

K

1

cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

s s

r s s

s s

K

Primer simetričnog trofaznog sistema koji ima konstantnu učestanost:

max

max

max

cos 0

cos 0

cos 0

as s s s

bs s s s

cs s s s

f f t

f f t

f f t

posle transformacije se dobija:

max

max

0

cos 0

sin 0

0 const.

qs s s

ds s s

s

f f

f f

f

Umesto trofaznog naizmeničnog sistema dobijamo dvofazni sistem.

Transformisane veličine se ne menjaju u vremenu.

2 2max s qs dsf f f


Statorske veličine

Statorske veličine rs= s

0 5 102

1

0

1

2

fas t( )

fbs t( )

fcs t( )

t

0 5 100.1

0.05

0

0.05

0.1

f0s t( )

t

0 5 100.5

0

0.5

1

1.5

fqs t( )

fds t( )

t

Na graficima

s=1

max

max

max

cos 0

cos 0

cos 0

ar r s r

br r s r

cr r s r

f f t

f f t

f f t

posle transformacije dobija se:

max

max

0

cos 0

sin 0

0

qr r r

dr r r

r

f f

f f

f

Kada je rs=s =const, s (0) = 0 i rsr= r = s –, za simetričan rotorski sistem:


Rotorske veličine

Rotorske veličine rs= s

0 5 102

1

0

1

2

far t( )

fbr t( )

fcr t( )

t

0 5 100.1

0.05

0

0.05

0.1

f0r t( )

t

0 5 100.5

0

0.5

1

1.5

fqr t( )

fdr t( )

t

Prvi karakterističan slučaj: abc abcu i Rrr

Množeći ovu jednačinu sa desne strane sa K dobija se:

1

0 0qd abc abc qdu u i i

K K R K R Kr rr r

TRANSFORMACIJE NAPONSKIH

JEDNAČINA ASINHRONOG MOTORA

Kod simetričnih sistema je:

1 1

R R

K R K K I K I R

Prema tome dobija se: 0 0qd qdu i Rrr

Drugi karakterističan slučaj: abc abcd

udtrr

Posle množenja sa K dobija se:

10 0

1 10 0

qd abc qd

qd qd

du u

dt

d d

dt dt

K K K

K K K

rr r

r rK

ako je rs = rs .t, sledi:

1

sin cos 0

sin cos 0

sin cos 0

rs rs

rs rs rs

rs rs

d

dt

K

1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

rs rsd

dt

K K W

Konačno je:

0 0

0

d

qd rs q qdd

udt

rr

Da bi bilo jasnije, prethodna

jednačina se može razbiti na:

0 0

q rs d q

d rs q d

du

dt

du

dt

du

dt

0 0

0 0

0 0

0 0

qd s qd ss

rqd r qd r

rs qd s qd s

rs qd r qd r

u i

u i

d

dt

R 0

0 R

W 0

0 W

rr

rr

r r

r r

0 - kvadratna (33) nula matrica.

Izvedene relacije primenjene na naponske

jednačine asinhronog motora:

1 10 0

1 10 0

qd s qd ss s s s sr r

qd r qd rr sr s r r r

i

i

K L K K L K

K L K K L K

rr

rr

1

0 0

0 0

0 0

s

s s s s

s

M

M

M

K L Κ

3

2sM M

TRANSFORMACIJE JEDNAČINA FLUKSA

ASINHRONOG MOTORA

1

0 0

0 0

0 0

r

r r r r

r

M

M

M

K L K

11

0 0

0 0

0 0 0

s sr r r sr s

M

M

K L K K L K

U slučaju simetričnog sistema, nulta komponenta je nula

u svim referentnim sistemima.

U tom slučaju

naponska

jednačina

asinhronog

motora je:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

p 0 0

p 0 0

0 0 p

0 0 p

qs qss

ds dss

qr qrr

rdr dr

qsrs

rs ds

rs qr

rs dr

u iR

u iR

u iR

Ru i

Veza između flukseva i struja je:

0 0

0 0

0 0

0 0

qs qss

ds dss

qr qrr

rdr dr

iM M

iM M

iM M

M M i

Ekvivalentna šema asinhronog motora

po q osi

sR s r rR

qsi qri

qsu M

rs dr rs ds

qru

Ekvivalentna šema asinhronog motora

po d osi

sR s r rR

dsi

dsu M

rs qr rs qs

dru

dri

Obratiti pažnju na smerove u

generatorima “elektromotorne sile”.

Ako se pođe od jednačine za moment (strana 8):

T

1 10 0e s qd s sr r qd rm P i i

K L Kr r

mogu se dobiti sledeći izrazi:

3

2

3

2

3

2

3

2

3 1

2

e qs dr ds qr

e qr dr dr qr

e qs ds ds qs

e qs dr ds qrr

e qr dr dr qrb

Pm M i i i i

Pm i i

Pm i i

P Mm i i

L

Pm i i

itd.

3

2e s s

Pm i

r r

JEDNAČINE MOMENTA

qs s qs qs rs dsu R i p (1)

ds s ds ds rs qsu R i p

0 ( )r qr qr rs drR i p

0 ( )r dr dr rs qrR i p

qs s qs qrL i M i

ds s ds drL i M i

qr r qr qsL i M i

dr r dr dsL i M i

3( )

2e qs dr ds qr

r

Mm P i i

L

Dinamički model kaveznog asinhronog motora Sinhrono rotirajući referentni sistem

rs s d

pdt

(4)

(3)

(8)

(5)

(6)

(7)

(2)

(9)

s sL M

r rL M

Potrebno je na već poznate bazne vrednosti dodati:

max

max

2

2

3 / 2

qdb s fazno b

qdb s fazno b

b qdb qdb

qdbb

b

U U U

I I I

P U I

U

Može se uvesti i normalizacija vremena bb

tt

T

Zbog toga se modifikuje operator diferenciranja

pb t

Sve ostalo je kao što je već pokazano.

NORMALIZACIJA

Prelazni procesi Start motora u praznom hodu, promene opterećenja

• Vremenski dijagrami momenta i brzine

• Vremenski dijagrami promene faznih struja

statora i rotora

• Mehanička karakteristika (me())

• Vremenski dijagram promene qd-komponenti

statorskih i rotorskih struja i flukseva

• Dijagrami prostornih vektora statorske i

rotorske struje, statorskog i rotorskog fluksa

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Vremenski dijagram brzine i momenta

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.62

1

0

1

2

3

4

Brz

ina [r.j.]

Mom

ent [r.j.]

Vreme [s]

me

mm

Statička karakteristika i dijagram me()

Brzina [r.j.]

Mom

ent [r.j.]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.62

1

0

1

2

3

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.12

1

0

1

2

3

4

Statička karakteristika i dijagram me()

Brzina [r.j.]

Mom

ent [r.j.]

0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.11

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vremenski dijagrami statorskih struja

Vreme [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

[r.j.]2

asi

[r.j.]2

bsi

[r.j.]2

csi

Vremenski dijagrami

statorskog faznog napona i struje

Vreme [s]

[r.j.]2

asu

[r.j.]2

asi

0.38 0.39 0.4 0.41 0.421.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.68 0.69 0.7 0.71 0.721.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.08 1.09 1.1 1.11 1.121.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Vremenski dijagrami

statorskog faznog napona i struje

Vreme [s]

[r.j.]2

asu

[r.j.]2

asi

Vremenski dijagrami statorskog faznog napona i struje

Vreme [s]

[r.j.]2

asu

[r.j.]2

asi

0.94 0.951 0.963 0.974 0.985 0.996 1.008 1.019 1.03 1.041 1.053 1.064 1.075 1.086 1.098 1.109 1.121.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Napon

Struja

0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 11.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.08 1.085 1.09 1.095 1.1 1.105 1.11 1.115 1.121.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Vremenski dijagrami q i d komponente

statorske struje

Vreme [s]

[r.j.]qsi

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.61

0

1

2

3

4

5

[r.j.]dsi


statorskog fluksa

Vreme [s]

[r.j.]qs

[r.j.]ds

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.60.5

0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

Vremenski dijagrami rotorskih struja

Vreme [s]

[r.j.]2

ari

[r.j.]2

bri

[r.j.]2

cri

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6


rotorske struje

Vreme [s]

[r.j.]qri

[r.j.]dri

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.64

3

2

1

0

1


rotorskog fluksa

Vreme [s]

[r.j.]qr

[r.j.]dr

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.61

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vremenski dijagram statorske i rotorske struje

Vreme [s]

[r.j.]2

ari

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

[r.j.]2

asi

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

Dijagrami prostornih vektora statorske i rotorske struje

d

[r.j.]sir

[r.j.]rir

q

0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dijagrami prostornih vektora statorskog i rotorskog fluksa

d

[r.j.]sr

[r.j.]rr

q

dinamiČki model (simetriČnog) dinamika.rev3.pdf · referentni q-d-0 -sistem koji može imati...

Documents