dinamica de la particula 2
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FÍSICA I
GRADO EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALESESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES Y CIVILES - ULPGC
TEMA
6
DINDINÁÁMICA DE LA PARTMICA DE LA PARTÍÍCULA II.CULA II.Trabajo y energTrabajo y energíía. Leyes dea. Leyes deconservaciconservacióónn
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TemaTema 6 :6 : DinDináámicamica de lade la partpartíículacula 22Ni n t h
E d i t i on
Introducción
13 - 2
• Anteriormente, los problemas relacionados con el movimiento de
las partículas se resolvieron a través de la ecuación fundamental
del movimiento, El capítulo actual presenta dos métodos
de análisis adicionales.
.am F
=
• Método de trabajo y la energía: se relaciona directamente confuerza, masa, velocidad y desplazamiento.
• Método del impulso y la cantidad de movimiento:
relacionado con fuerza, masa, velocidad y tiempo
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TemaTema 6 :6 : DinDináámicamica de lade la partpartíículacula 22Ni n t h
E d i t i on
Trabajo de una fuerza
13 - 3
• Sea una partícula que sufre un desplazamiento
infinitesimal. r d
• El trabajo de la fuerza se define:
cos
x y z
dW F dr Fds
Fdx F dy Fdz
α = • =
= + +
• El trabajo es una magnitud escalar
• Dimensiones del trabajo son:
( ) ( ) ( )1 J 1 N 1 m joule =
F
[ ] [ ]2 2 2
W MLT L ML T −
= =
Siendo el Julio su unidad en el Sistema Internacional de Unidades
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TemaTema 6 :6 : DinDináámicamica de lade la partpartíículacula 22Ni n t h
E d i t i on
Trabajo de una fuerza
13 - 4
• Trabajo de una fuerza en un desplazamiento finito,
( )
( )
2
1
2 2
1 1
2
1
1 2
cos
A
A
s s
t
s s
A
x y z
A
W F dr
F ds F ds
F dx F dy F dz
α
→ = •
= =
= + +
• El trabajo se puede calcular como el área
bajo la curva de la componente tangencial
de la fuerza F t frente a s.
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Trabajo de una fuerza
13 - 5
• Trabajo de una fuerza constante en un
movimiento rectilíneo;,
( )1 2 cosW F xα →
= ∆
• Trabajo de la fuerza de gravedad
( )
2
1
1 2
2 1
x y z
y
y
dW F dx F dy F dz
mg dy
W mg dy
mg y y mg y
→
= + +
= −
= −
= − − = − ∆
• El trabajo del peso es igual al producto del
peso mg y el desplazamiento vertical. ∆ y.
• El trabajo del peso es positivo cuando ∆ y <
0, i.e., cuando el peso se mueve hacia abajo
mg
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TemaTema 6 :6 : DinDináámicamica de lade la partpartíículacula 22Ni n t h
E d i t i on
Ejemplo: dependencia del trabajo respecto a la trayectoria
O A
BC (2,4)
2(2 ) 4 F x y i x j k = − + −
Calcular el trabajo realizado
por la fuerza a lo largo de
las siguientes trayectorias:a)O A B
b)O C B
c) Recta de ecuación :
d) Parábola
F
2 y x=
2 y x=
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TemaTema 6 :6 : DinDináámicamica de lade la partpartíículacula 22Ni n t h
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Un anillo de cierta masa resbala a lo largo de un arco metálico ABC muy
pulido que es un arco de circunferencia de dos metros de radio (R = 2 m).
Sobre el anillo actúan dos fuerzas y, cuyos módulos son 40 N y 150 N
respectivamente. La fuerza es siempre tangente a la circunferencia.
La actúa en dirección constante formando un ángulo de 30º con la
horizontal.Calcular el trabajo total efectuado por el sistema de fuerzas sobre
al anillo al moverse de A a B y de A a C.
A
B
C
30º
1 F
2 F
1 F 2 F
1 F
2 F
(2 , 0)(-2 , 0)
(0 , 2)
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E d i t i on
Trabajo realizado por la fuerza elástica
13 - 8
• La magnitud de la fuerza ejercida por el resorte es
proporcional a la deformación (ley de Hooke),
( )constante del resorte N/m
F kx
k
=
=
• El trabajo de la fuerza ejercida por el
resorte es:
2
1
2 21 11 2 1 22 2
x
x
dW F dx kx dx
W kx dx kx kx→
= − = −
= − = −
• Que será positivo cuando x1>x2.
• El trabajo de la fuerza ejercida por el resorte es
igual al área bajo la curva de F frente a x ,
cambiada de signo
( )11 2 1 22
W F F x→
= − + ∆
Resorte sin deformar
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Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria
13 - 9
Trabajo de una fuerza gravitacional (Se supone que la
partícula M ocupa una posición fija en O, mientras que la
partícula m sigue el camino que se muestra ),
2
1
2 2
1 2 2
2 1
r
r
r
m MmdW F dr G u dr G d
r r
Mm Mm MmW G dr G G
r r r →
= − = − = −
= − = −
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E d i t i on
Energía cinética de una partícula. Teorema del trabajo
y la energía cinética.
13 - 10
dvmvds F
ds
dvmv
dt
ds
ds
dvm
dt
dvmma F
t
t t
=
==
==
• Vamos a considerar la partícula m bajo la acción de
una fuerza resultante F
• Integrando desde A1 hasta A2 ,
2 2
1 1
2 21 12 12 2
211 2 ,2 ,1 2
s v
t
s v
c c c
F ds m vdv mv mv
W E E E mv energía cinética→
= = −
= − = =
• El trabajo total realizado por todas las fuerzas
que actuan sobre una partícula es igual a la
variación de su energía cinética.
• Las unidades del trabajo y la energía son iguales:
Jm Nms
mkg
s
mkg
2
22
21 =⋅=
=
== mvT
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Potencia y rendimiento (eficiencia)
13 - 11
• rapidez con la cual una fuerza realiza trabajo. Potencia
dW F dr
dt dt
F v
=
•= =
= •
• Dimensiones de la potencia son trabajo dividido entre
tiempo o fuerza por velocidad Las unidades de la potencia
son:.J m
1 W (vatio) 1 1 N or 1 CV 735Ws s
= = ⋅ =
• rendimientotrabajo de salida
trabajo de entrada
potencia de salida
potencia de entrada
η =
=
=
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E d i t i on
Energía potencial gravitatoria cerca de la superficie
13 - 12
1 2 2 1( )W mg y mg y→
= − −
• Trabajo de la fuerza de gravedad ,
• El trabajo es independiente de la trayectori, sólo
depende de la menos diferencia entre el punto
final y el inicial de la función : mgy
p E mgy= Energía potencial gravitatoria
( ) ( )1 2 , ,2 1. p g p g W E E
→ = − −
• Las unidades del trabajo y la energía potencial
son iguales N m J
pg E mgy= = ⋅ =
• La elección del origen para medir la posición es
arbitraria.
mg
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Energía potencial gravitatoria
13 - 13
a expresión anterior para la energía potencial
gravitatoria de un cuerpo válida cuando el peso del
cuerpo se puede suponer constante.
• Para un vehículo espacial, la variación de la fuerza
de la gravedad con la distancia al centro de la
tierra debe ser considerado
• Trabajo de la fuerza gravitatoria,
1 2
2 1
GMm GMmW
r r
→
= − − − −
• La energía potencial, cuando la variación de la
fuerza de gravedad no es despreciable viene
dada por:,
, p g
GMm E
r = −
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Energía potencial elástica
13 - 14
• El trabajo realizado por la fuerza elástica, sólo
depende del punto final y del punto inicial,
2 21 11 2 2 12 2
W kx kx→
= − −
• La energía potencial elástica viene dada por:,
( ) ( )
21. 2
1 2 . .1 2
p e
p e p ee
E kx
W E E →
=
= − −
• Hay que hacer notar que la x de la expresión
anterior indica la deformación del resorte, esto
es el origen se toma desde la posición del
resorte sin deformar.
Resorte sin deformar
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Fuerzas conservativas
13 - 15
• Concepto de energía potencial se puede aplicar si el
trabajo de la fuerza es independiente de la
trayectoria seguida por su punto de aplicación .
( ) ( )( )1 2 2 2 2 1 1 1, , , ,
p pW E x y z E x y z
→ = − −
Estas fuerzas se denominan fuerzas conservativas
• Cuando una fuerza es conservativa, el trabajo a lo
largo de cualquier camino cerrado es cero.
0=• r d F
• El trabajo infinitesimal entre dos puntos muy
próximos viende dado por:
( ) ( )( )( )
, , , ,
, ,
p p
p
dW E x dx y dy z dz E x y z
dE x y z
= − + + + −
= −
p p p
x y z
p p p
p
E E E F dx F dy F dz dx dy dz
x y z
E E E F i j k E
x y z
∂ ∂ ∂ + + = − + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ = − + + = −
∂ ∂ ∂ grad
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Teorema de conservación de la energía
13 - 16
• Cuando una fuerza es conservativa ( ) ( )( )1 2 2 1 p p pW E E E →
= − − = −∆
• Teorema del trabajo y la energía cinética, ( ) ( )1 2 2 1c c cW E E E
→ = − = ∆
• Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas la
energía mecánica permanece constante.
• Las fuerzas de rozamiento no son conservativas. La energía mecánica de un
sistema que tiene rozamiento disminuye .
• La energía mecánica se disipa en forma de energía térmica. La energía total es
constante.
• Se deduce que p c E E −∆ = ∆
( ) ( )( ) ( ) ( )2 12 1 ; constante p p c c m c p E E E E E E E − − = − = + =
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E d i t i on
Curvas de energía potencial
13 - 17
Puntos de retroceso
Barrera de Potencial
Pozo de Potencial
E(1)
E(2)
E(4)
Ep
x A B DC E
F
F
F
F
Ep
E
c E
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E d i t i on
La función21
2 p E kx=
representa una parábola cuyo vértice está
en el origen, que tiene un mínimo (punto
de equilibrio estable) en x=0 cuyo valor
es Ep= 0
La región donde se puede mover la partícula está determinada por la
condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E c>=0. En
otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía
potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E , la partícula
solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A,
E
c E
p E
El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la
recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre
la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la
izquierda.
pdE F
dx= −
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E d i t i on
Principio del impulso y del momento
13 - 19
• De la segunda ley de Newton
,( ) == vmvm
dt
d F
Momento lineal
• El momento final de la partícula se puede
obtener mediante la adición vectorial a su
momento inicial el impulso de la fuerza
durante el intervalo de tiempo .
( )
12
2
1
vmvmdt F
vmd dt F
t
t
−=
=
• Las dimensiones del impuso
de una fuerza son
fuerza*tiempo
• Y las unidades del impulso:
smkgssmkgs N 2⋅=⋅⋅=⋅
2211
21 impuso2
1
vmvm
F dt F t
t
=+
==
→
→
Imp
Imp de la fuerza
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E d i t i on
Movimiento impulsivo
13 - 20
• Una fuerza que actúa sobre una partícula en
un intervalo de tiempo muy corto y que sea lo
suficientemente grande para causar un
cambio significativo en el momento de la
partícula, se llama una fuerza impulsiva .
• Cuando actúan fuerzas impusivas
21 vmt F vm
=∆+ • Cuando una pelota de béisbol es golpeada
por un bate, el contacto se produce en un
intervalo de tiempo muy corto, pero la fuerza
es lo suficientemente grande como para
cambiar el sentido del movimiento de la bola.
• Las fuerzas no impulsivas se pueden
considerar despreciables frente a las
impulsivas
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Choques
13 - 21
• Choque: Colisión entre dos cuerpos que se
produce durante un intervalo de tiempo pequeño y
durante el cual los cuerpos ejercen grandes
fuerzas el uno al otro.
• Línea de Impacto: normal común a las superficies
en contacto durante el choque.
• Choque Central : Es cuando los centros de masa
de los cuerpos que chocan se ubican en la linea de
impacto.
Choque central
directo
• Choque central directo: Choque en el cual las
velocidades de los dos cuerpos se dirigen a lolargo de la línea de impacto.
Choque central oblicuo
• Choque oblicuo: Se produce cuando uno o ambos
de los cuerpos se mueven a lo largo de una línea
distinta a la línea de impacto
L í n e a
d e
i m p a
c t o
L í n e
a d e
i m p a
c t o
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Choque central directo
13 - 22
• Cuerpos que se mueven en la misma línea
recta v A > v B .
• Por el choque las dos partículas se
deformarán y tendrán la misma velocidad .
• Después de un tiempo de restitución las
partículas recobrarán su forma original o
permanecerán permanentemente defor-
madas.
Se pretende determinar las velocidades finales
de los dos cuerpos. La cantidad de
movimiento total del sistema de los dos
cuerpos se conserva,
B B A A vmvmvmvm ′+′=+
• Se necesita una segunda relación entre las
velocidades finales.
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Choque elástico , y totalmente inelástico
13 - 23
A B
A B
v ve
v v
′ ′−= −
−
En un choque la cantidad de movimiento antes es igual a la cantidad de
movimiento después:
A A B B A A B Bm v m v m v m v′ ′+ = +
Si además la energía cinética antes del choque es igual a la energía
cinética después, se dice que el choque es elásti co . Entonces:
2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2 B A B A A B A Bm v m v m v m v′ ′+ = +
Si después del choque los dos cuerpos permanecen unidos, se trata
de un choque totalmente inelástico. En este caso
B Av v′ ′=
Para cualquier tipo de choque se define el coeficiente de restitución
como:Es fácil demostrar que para un choque
elásti co y para el choque
totalmente inelástico
1e =
0e =
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E d i t i on
14ms− 13ms−
1 3m kg = 26m kg =
Choque elástico
13 4 6 3 30 Antes P i i kg ms i−= + = ⋅
1 23 6 Despues P V i V i= +
2 21 13 4 6 3 51
2 2 Antesc E J = + = 2 2
1 2
1 13 6
2 2 Despuesc E V V = +
1 2 1 230 3 6 ; 10 2V V V V = + = +
2 2 2 2
1 2 1 2
1 151 3 6 ; 102 3 6
2 2V V V V = + = +
1 1
1 2
1 1
1 2
8 11;
3 3
4 ; 3
V ms V ms
V ms V ms
− −
− −
= =
= =
Solución:
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E d i t i on
12 g =10,4 cm
2 kg
V ?
0,012 Antes P Vi=
f 2,012v Despues P i=
0,012v 0,006
2,012 f V V = =
12,012
2( )
20,006 2,012V = 9,8 0,104
2
2 9,8 0,104238 /
0,006V m s= =