El enunciado de Paulos es falso.Extrado de Ms all de los nmeros, John Allen Paulos, Tusquets, Barcelona, 1991.

Qu significa formal? Si la palabra no se interpreta correctamente, el enunciado es falso.Extrado de Las matemticas del siglo XX, varios autrores, compilacin de Antonio Martinn, Nivola, Espaa, 2000.

Aristteles: infinito potencial o actual.Infinito potencial: una cantidad siempre finita que crece indefinidamente.Infinito actual: cantidad, de hecho, infinita.El infinito siempre es en potencia, nunca en acto.

Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo completo, lo que en matemticas nunca se permite. El infinito es simplemente una forma de hablar, el significado real es un lmite con ciertos rangos de aproximacin indefinidamente cercanos, mientras que otros se les permite incrementarseGauss, en una carta a Schumacher en 1831.

En la dcada de 1870 Georg Cantor comienza a introducir la Teora de Conjuntos.La cita siguiente es de Fundamentos para una teora general de conjuntos, Cantor, 1883.

En pocos aos la Teora de Conjuntos de Cantor se transforma en el fundamento de las Matemticas.Todos los conceptos matemticos (nmero, operacin, funcin, etc.) se definen a partir de nociones conjuntistas.

Gottlob Frege dedica muchos aos al trabajo de fundamentar rigurosamente la Aritmtica a partir de la Teora de Conjuntos.En 1893 publica el primer tomo de Fundamentos de la Aritmtica, la obra que rene todo este trabajo.

En 1902, cuando el segundo tomo de Fundamentos de la Aritmtica est en la imprenta Frege recibe una carta de Bertrand Russell.

La carta de Bertrand Russell a Gottlob Frege que desencadena la Crisis de los Fundamentos.Extrada de From Frege to Gdel, compilacin de Jean van Heijenoort; Harvard University Press, 1967.

La carta plantea por primera vez la llamada Paradoja de Russell.Axioma de comprensin: a toda propiedad le corresponde un conjunto.Russell dice: sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de s mismos.Ese conjunto es contradictorio.

Extrado de Experiencia Matemtica; P.J. Davis, R. Hersh; Ed. Labor, Barcelona, 1989.

Reacciones a la Crisis de los Fundamentos: Logicismo (Bertrand Russell).Constructivismo o Intuicionismo (L.E.J. Brouwer, Arendt Heyting).

Intuicionismo o constructivismo:El infinito en acto no existe.Toda la teora de Cantor es un sinsentido.Un objeto matemtico slo existe si se lo puede construir algortmicamente en una cantidad finita de pasos (a partir del 1 y la nocin de sucesor).

Hacia 1920 el Intuicionismo comienza a adquirir una gran influencia.Extrado de Las matemticas del siglo XX, varios autrores, compilacin de Antonio Martinn, Nivola, Espaa, 2000.

David Hilbert: Del Paraso que Cantor cre para nosotros nadie podr expulsarnos.Hilbert propone una alternativa al Intuicionismo. Una propuesta que admita a la Teora de Cantor y que a la vez los intuicionistas puedan aceptar.

Extrado de Del sentimiento trgico de la vida, Miguel de Unamuno, Sarpe, Madrid, 1983.

Entre 1920 y 1930 Hilbert presenta su programa formalista.La base de la Matemtica es la Aritmtica (la teora de los enteros positivos, su suma y su producto). Hay que dar axiomas para la Aritmtica de modo tal que todas las verdades de la teora sean demostrables a partir de ellos.

La correccin de los razonamientos debe ser verificable algortmicamente (mecnicamente, en una cantidad finita de pasos).La consistencia de los axiomas debe ser verificable de la misma manera.Hilbert lleva la exigencia de finitud de los objetos a los razonamientos matemticos.

Knigsberg, domingo 7 de septiembre de 1930: Hilbert triunfa.Hilbert triunfa?...Kurt Gdel, hasta ese momento casi un desconocido, levanta tmidamente la mano

Si la correccin de los razonamientos debe ser verificable algortmicamente entonces, dado cualquier sistema de axiomas para la Aritmtica, siempre habr afirmaciones verdaderas que no son demostrables a partir de ellos.(No todos los razonamientos usados en Matemtica son verificables algortmicamente.)

Concepto sintctico: se refiere a los smbolos, independientemente de su posible significado. Concepto semntico: depende del significado.En la oracin Vannakzldkutya. hay 15 letras. (Concepto sintctico.)La oracin Vannakzldkutya. es verdadera. (Concepto semntico.)

Los mtodos semnticos son riesgosos.Todos los mtodos semnticos deben ser verificables sintcticamente.Metamatemtica: ciencia sintctica que verifica la correccin de la Matemtica.Gdel enuncia y demuestra su teorema usando solamente conceptos sintcticos.

Si la correccin de los razonamientos debe ser verificable algortmicamente entonces, dado cualquier sistema de axiomas para la Aritmtica, siempre habr enunciados verdaderos que no son demostrables a partir de ellos.ste, todava, no es el enunciado de Gdel.

Extrado de Breve historia de la paradoja,Roy Sorensen, Tusquets, Barcelona, 2003.

La presentacin puede descargarse de: http://godelparatodos.blogspot.com.ar/Lecturas sugeridas: "Acerca del Infinito" y "La fundamentacin de la teora elemental de nmeros, de David Hilbert (pueden descargarse desde el mismo blog).Actividad sugerida: buscar ejemplos donde el infinito sea presentado de modo potencial y ejemplos donde sea presentado de modo actual.

Lo que sigue es la introduccin del paper original de Kurt Gdel, publicado en sus obras completas, con un estudio preliminar de Jess Mostern (compilador de la obra).