cophys international physics workshop 2006 - ukf · cophys international physics workshop 2006 (for...

CoPhysInternational Physics

Workshop 2006

(for Departments of Physics of European UniversitiesCollaborating in Science)

PUBLISHED BY THE CONSTANTINE THE PHILOSOPHERUNIVERSITY

CONSTANTINE THE PHILOSOPHERUNIVERSITY

Tr. a. Hlinku 1SK-949 74 NitraSlovakiahttp://www.ukf.sk

Published with the help from Constantine the Philosopher University,project no. CGA 4/V/2004 andfrom Ministry of Education of Slovak Republic,project no. KEGA 03/3182/05© A. Teleki 2007

No part of this publication may be reproduced by any mechanical, photographic, or elec-tronic process, or in the form of a photographic recording, nor may be it stored in a retrievalsystem, transmitted, or otherwise copied for public or private use without the written per-mission of the publisher.

First published 2007

TypefaceTimes 11/13pt.SystemLATEX

ISBN 978-80-8094-084-3

Edited by Kluvanec Daniel, Medved’ Igor, Teleki Aba

Edition Prírodovedec No. 235 – Nitra – 2007

http://www.ukf.sk

CoPhysInternational Physics

Workshop 2006(for Departments of Physics of European Universities

Collaborating in Science)

Edition Prírodovedec – Nitra – 2007

Constantine the Philosopher University

Authors (in alphabetical order):AHMED Mustafa M. Abdalla (Brno University of Technology, Czech Republic)AUBRECHT Vladimír (Brno University of Technology, Czech Republic)BARTLOVÁ Milada (Brno University of Technology, Czech Republic)BŁASIAK Władysław (Pedagogical University of Cracow, Poland)FARKAS Zsuzsa (University of Szeged, Hungary)HAVEL Václav (University of West Bohemia in Pilsen, Czech Republic)HOLUBOVÁ Renata (Palacky University, Czech Republic)HORVÁTH Zoltán (University of Szeged, Hungary)HORVÁTHOVÁ Daniela (Constantine the Philosopher University, Slovakia)KAINZOVÁ Veronika (Palacky University, Czech Republic)KECSKÉS Arpád (Constantine the Philosopher University, Slovakia)KEKULE Martina (Charles University, Czech Republic)KHEILOVÁ Milena (Brno University of Technology, Czech Republic)KLUVANEC Daniel (Constantine the Philosopher University, Slovakia)LACSNÝ Boris (Constantine the Philosopher University, Slovakia)MEDVED Igor (Constantine the Philosopher University, Slovakia)NÁNAI László (University of Szeged, Hungary)RAKOVSKÁ Mária (Constantine the Philosopher University, Slovakia)SZENTESI Dániel (University of Szeged, Hungary)TAFT Greg J. ( University of Wisconsin-Stevens Point, U.S.A.)TELEKI Aba (Constantine the Philosopher University, Slovakia)TOMÁNEK Pavel (Brno University of Technology, Czech Republic)TÓTH Gábor (Constantine the Philosopher University, Slovakia)VALOVI COVÁ L’ubomíra ( Constantine the Philosopher University, Slovakia)VOZÁR Libor (Constantine the Philosopher University, Slovakia)ZELENICKÝ L’ubomír (Constantine the Philosopher University, Slovakia)ŠTUBNA Igor (Constantine the Philosopher University, Slovakia)ŽÁK Vojt ech (Charles University, Czech Republic)

Scientific Editors:KLUVANEC DanielMEDVED IgorNÁNIA LászlóTELEKI Aba

All articles was reviewed in this publication.

Contents

Contents 3

Preface 9

TELEKI A BA

Špeciálna teória relativity - Kolácový paradox 111 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Kolácový paradox s trojicami kolácov . . . . . . . . . . . . . . . 133 Zostrojenie tabuliek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Konkrétny postup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Galileiho transformácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Uváženie dilatáciecasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.1 Uváženie dilatáciecasu a kontrakcie dlžky . . . . . . . . 206 Kolácový paradox so šesticami kolácov . . . . . . . . . . . . . . 237 Relatívnost’ súcasnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Kvantifikácia relativity súcasnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.1 Paradox dvojciat z pohl’adu kolácového paradoxu . . . . . 289 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

LACSNÝ BORIS

Relativistické scítanie rýchlosti v Loedelových diagramoch 33

TÓTH GÁBOR

Geometrický konštrukcný program ako nástroj ucitel’a fyziky 391 Program Euklides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.1 Simsonova priamka v programe Euklides . . . . . . . . . 402 Fyzikálne aplikácie programu Euklides . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1 Geometrická optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Harmonický oscilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Geometrické riešenia príkladov z jadrovej fyziky . . . . .43

3

4 OBSAH

2.4 Ukážky z fyziky mikrosveta . . . . . . . . . . . . . . . . 46

MEDVED IGOR

Phase transitions—some rigorous results and applications 491 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 A rigorous theory of finite-size effects . . . . . . . . . . . . . . . 513 Applications in chemical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1 Underpotential deposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Comparison with experiments . . . . . . . . . . . . . . . 53

AHMED M USTAFA M. A BDALLA , TOMÁNEK PAVEL

Local investigation on alternating current ZnS:Mnthin-film electroluminescent devices 591 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Phosphor layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1 Photoluminescence (PL) spectrum . . . . . . . . . . . . . 654.2 Luminance-voltage characterization . . . . . . . . . . . . 654.3 Efficiency-voltage characterization . . . . . . . . . . . . . 664.4 Transient brightness analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

AUBRECHT VLADIMÍR , BARTLOVÁ M ILADA

Radiative Heat Transfer in Thermal Plasma 711 Coefficients of absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 Method of partial characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

FARKAS ZSUZSA, HORVÁTH ZOLTÁN

Investigation of Coupled Pendulums with V-scope System 791 Theoretical background of V-scope . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 The operation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 The movement of coupled pendulums . . . . . . . . . . . . . . . 824 Self-frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 The mathematical description of coupled oscillations . . .. . . . 84

5.1 In phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2 Opposite phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3 Beat oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 The measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

COPHYS 2006 5

7 Measurement results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

HAVEL VÁCLAV

Riemannova koule a spin elektronu 931 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932 Gaussova rovina, Riemannova koule a stereografická projekce . . 933 Užití Riemannovy koule k nalezení pozice spinu . . . . . . . . . .954 Dukaz správnosti výsledku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

HOLUBOVÁ RENATA

Recruitment and Professional Development of Physics Teachers 1011 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012 Project Nr. 1 - Media emphasis of recruitment of science . . .. . 1023 Project Nr. 2 - Research of new methods of competitions . . . .. 1044 Project Nr.3 - Qualitative development . . . . . . . . . . . . . . . 1085 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

HORVÁTHOVÁ DANIELA , RAKOVSKÁ M ÁRIA ,ZELENICKÝ L’ UBOMÍR

K vyucovaniu školskej fyziky prostredníctvominteraktívnych apletov 1111 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112 Aplet ako interaktívny prvok vo vyucovaní fyziky . . . . . . . . . 1123 Fyzikálne aplety vo forme pracovného listu a metodika . . . .. . 1134 Vyhodnotenie dotazníka prínosu použitia apletov . . . . . . .. . 1225 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

KAINZOVÁ V ERONIKA

Statistical Research of Pupils Pre-conceptsat Basic Schools in the Czech Republic 1251 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252 The statistical research results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

KECSKÉS ARPÁD

Niekol’ko poznámok k výsledkom projektu KEGAzameraného na celoživotné vzdelávaniea samostatné získavanie vedomostí 1451 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452 Príprava foriem realizovania d’alšieho vzdelávania v našom projekte 146

6 OBSAH

3 Niektoré spracované témy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.1 Kvantové princípy - lekárske aplikácie . . . . . . . . . . . 1483.2 Štandardný model, elementárnecastice a kvarky . . . . . 1493.3 Význam fyziky v našom živote . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4 Dalšie možné zameranie aktivít študentov . . . . . . . . . 149

4 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

KEKULE M ARTINA

Interpretace grafu v kinematice ve výuce fyziky 1551 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552 Metoda a rozsah výzkumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563 Vybrané základní dovednosti žáku pri získávání informací z grafu 1564 Úlohy overující základní dovednosti žáku a úspešnost jejichrešení 1575 Rozbor žákovskýchrešení úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

ŠTUBNA I GOR, VOZÁR L IBOR

Linear Thermal Expansion of the Two-Phase Solids 1651 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652 Mathematical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

TOMÁNEK PAVEL

Introductory interactive course of Nanotechnologyfor Electrical Engineering curriculum 1711 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712 Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.1 Course objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.2 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.3 Educational goals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.4 Interactive character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

VALOVI COVÁ L’ UBOMÍRA

Vytváranie empirického poznávacieho postupu s prvkami tvorivosti 1791 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792 Tvorivost’ a fyzika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793 Postup empirického poznávania s prvkami tvorivosti . . . . .. . 180

3.1 Motivácia poznávania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.2 Formulovanie problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

COPHYS 2006 7

3.3 Tvorba hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.4 Myšlienkový experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

VALOVI COVÁ L’ UBOMÍRA

Aké to je byt’ u citel’om fyziky? 1851 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852 Výber tematického celku a jeho rozdelenie . . . . . . . . . . . . . 1853 Zadel’ovanie jednotlivých hodín . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.1 Cas medzi zadelením a vyucovaním jednotlivých hodín . . 1873.2 Žiacke vyucovacie hodiny . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4 Úloha ucitel’a a hodnotenie hodín . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

KLUVANEC DANIEL

Fyzikálna úloha — cielený model reality 1891 Niekol’ko slov z histórie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902 Fyzikálna úloha — postoj ucitel’ov a žiakov . . . . . . . . . . . . 1923 Riešenie fyzikálnej úlohy — malá vedeckácinnost’ žiakov . . . . 1944 Taxonómia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945 Fyzikálna úloha — model skutocnosti . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.1 Terminologické otázky fyziky . . . . . . . . . . . . . . . 1975.2 Možnosti kreativity formulovania modelov školskej fyziky 198

SZENTESI DÁNIEL , KECSKÉS ÁRPÁD, TAFT GREG J.,NÁNAI L ÁSZLÓ

Dynamic Changes in Solids Due to Ultrashort Laser Pulses 2031 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2032 Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2064 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

KHEILOVÁ M ILENA

The time derivative of the statistical entropyof nonequilibrium phase space contracting systems 2111 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112 The Liouville equation for volume non-preserving systems. . . . 2133 The Gauss thermostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144 The rate of change of the Gibbs entropy . . . . . . . . . . . . . . 2165 The Gibbs Entropy and entropy production . . . . . . . . . . . . 217

8 OBSAH

6 The generalized entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197 Irreversibility from reversible dynamics . . . . . . . . . . . . .. 2228 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

ŽÁK V OJTECH

Parametry kvality výuky fyziky a jejich napl nování v praxi 2271 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2272 Expertní šetrení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2283 Prehled parametru kvality výuky obecne a kvality výuky fyziky . . 2284 Výzkum výuky fyziky 10 ucitelu na gymnáziu . . . . . . . . . . . 2325 Obecné závery týkající se kvality zkoumaných hodin fyziky . . . 2326 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

BŁASIAK W ŁADYSŁAW

Fizyka w nauczaniu przyrody — Physics in Science Teaching 2351 Fizyka w nauczaniu przyrody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

1.1 Trudnosci w nauczaniu i uczeniu sie fizyki . . . . . . . . 2351.2 o Nauczyciele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

2 Co to znaczy zrozumiec przyrode [1], [2] . . . . . . . . . . . . . 2373 Uczymy dla zrozumienia nieznanej przyszłosci . . . . . . . . . . 2414 Kluczowe umiejetnosci kształtowane przez elementy fizyki . . . . 2415 Uczyc i WYMAGAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

TELEKI A BA

Príspevok k teoretickému vysvetleniu normálnehokvantového Hallovho javu 247Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2471 Historický úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

1.1 Kvantový Hallov jav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2491.2 Dvojrozmerný elektrónový plyn . . . . . . . . . . . . . . 2501.3 Dvojrozmerný elektrónový plyn v silnom magnetickom poli 252

2 Experimentálne zistené vlastnosti kvantového Hallovho javu . . . 2582.1 Závislost’ vlastností na magnetickej indukcii . . . . . . .2582.2 Závislost’ vlastností na vel’kosti prúduI . . . . . . . . . . 2592.3 Hallovo napätie na priecnom reze vzorky . . . . . . . . . 2602.4 Závislost’ na hustote nosicov elektrického náboja . . . . . 2612.5 Lokalizované a nelokalizované stavy . . . . . . . . . . . . 262

3 Modelovanie kvantového Hallovho javu . . . . . . . . . . . . . . 2633.1 Riešenie problému podl’a Hansena . . . . . . . . . . . . . 2653.2 Korektné riešenie problému na Laughlinovom páse . . . . 272

4 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Preface

Central European countries are gradually improving their areas of research andscience, as well as the application of science in technological development and theireconomies. Universities play a fundamental role in this process. Different changeshave been taking place at our universities for almost two decades now, with theaim of becoming the institutions that will guarantee an effective development ofscience as a part of the global effort to ensure sustainable development in differentcountries of the world. European Commission supports the opinion that science andeducation are the source of sustainable development and poverty reduction all overthe world (EUA and AUNP conferences, Oct. 2004, Kuala Lumpur, Malaysia).

Universities, the initiative of the European University Association (EUA), aswell as the World Association of the Universities, play an irreplaceable role insuch a development. EUA unites almost 700 European universities and many non-European universities that are in the position of an observer. Essential documentswere drafted and gradually implemented after the adoption of the Bologna decla-ration in 1999. Prior to this, in 1988,Magna Charta Universitatumwas adopted.Many universities follow the Bologna process, which is still developing. The mainfocus of the Bologna declaration is wide support of scientific and educational acti-vities which arise from the experience of the best European and world universities.The daily programme and the criteria depend on the quality ofthe university activi-ties. University programmes such “Europe Based on the Education”, “Education asthe Priority of the Priorities” and later “Science across border” were set up by theEUA in 2000. After the Lisbon’s Convention for proposal, countries accepted theprogramme “Economy Based on the Science” (sciential economy). Not only ana-lysts from the field of education, science or economy but alsopeople who perceivechanges generally, as well as those perceive them from the point of view of thequality of their lives, confirm positive development trendsin EU countries and newmember countries. Economic results of Central European countries expressed interms of GDP per year, social status and inflation rate, achieve the level of the opti-mistic prognoses of the specialists. The NovemberEuropean Week of the Scienceis a part of the initiative of EUA and the European Commission’s section of scienceand education, where workplaces of the big country—European Union—have theopportunity to present their scientific results, as well as to prepare new programmesand projects in cooperation with foreign partners.

Scientists all over the world know that the principal progress in the society,

9

10 COPHYS INTERNATIONAL PHYSICS WORKSHOP2006

technology, economy, standard of living, etc. (if we do not take into considerationthe world wars) is achieved “hand in hand” with new results inscience and techno-logy. The 19th century was based on the cognition of Carnot cycle and motorsbasedon the use of steam. The following century, part of which we have actively lived,was based on technology, electronics and microelectronicsmostly (today we canspeak about nanotechnology or nanoscience in general). It is impossible to achieveinteresting scientific results in natural sciences and technology without approachesand applications arising out of nanotechnology (nanoscience). Quantum physicsbecame the standard working method of science and research in natural sciences.Other working methods in science, e.g. the affirmation of macro-quantities in theexperiments, are gradually becoming a historical category.

We will host and look forward to the annual November meetingsof our re-search workers with colleagues from Slovak and foreign scientific institutions anduniversities, which will take place at Constantine the Philosopher University inNitra. These meetings could become an efficient platform notonly for a summari-sation of recent scientific results but also for the formation of a scientific strategy,as well as for preparation of scientific projects for the forthcoming period.

D. KluvanecA. TelekiI. Medved’

Nitra, SlovakiaMay, 2007

TELEKI Aba

Špeciálna teória relativity - Kolácový paradoxConstantine the Philosopher University

Faculty of Natural Sciences, Department of PhysicsTr. A. Hlinku 1, SK-949 74 Nitra, Slovakia,e-mail:[email protected]

Abstract: Our aim is to show that the crucial point of most, if not all, paradoxes in specialrelativity is the simultaneity—more precisely, the relativity of the simultaneity. A statementsuch as “The observer who stays in the same inertial frame all the timeis right.” is arough and not always a sufficient “explanation” of the paradoxes. The “coke paradox”,published for the first time, by the author of this paper, is a very simple paradox, whereobservers (“dwarfs”) standing in two different inertial frames do not leave their frames.The phenomenon of dwarfs juggling with cokes is objectivelya difficult or even impossibleone to explaine, if only the relativistic time dilation and length contraction are used in theexplanation. A very simple formula is given to quantifythe relativity of the simultaneity.The author was very surprised at the fact, that he had not find this or a similar paradoxin former publications. This article contains detailed guidelines for teachers on “how topresent” the paradox to students at high schools and colleges. The coke paradox also makesthe explanation of the twin paradox easier.

Súhrn: Našim ciel’om bolo poukázat’, že zásadným momentom väcšiny, ak nie všetkých,paradoxov je relatívnost’ súcasnosti. Výrok typu „Pravdu má pozorovatel’, ktorý zostávav tej istej inerciálnej sústave“ je len hrubým a nie vždy uspokojivým „vysvetlením“ para-doxov. Tzv. „kolácový paradox“, publikovaný prvý krát (autorom tohotoclánku) je vel’mijednoduchý paradox, kde pozorovatelia („trpaslíci“) zostávajú vo svojich vlastných iner-ciálnych sústavách po celú dobu, neopúšt’ajú ich. Jav trpaslíkov žongl’ujúcich s kolácmije t’ažko vysvetlitel’ný, ak vôbec vysvetlitel’ný je, len pomocou dilatáciecasu a kontrak-cie dlžok. V práci je daná aj jednoduchá formula, ktorá kvantifikuje relatívnost’ súcasnosti.Autor bol vel’mi prekvapený, že v staršej literatúre nenašiel kolácový, alebo jemu podobnýparadox.Clánok obsahuje návod pre ucitel’ov „ako predviest’“ tento paradox študentomstredných, alebo vysokých škôl. Kolácový paradox výrazne zjednodušuje aj vysvetlenieparadoxu dvojciat.

Keywords: special theory of relativity, simultaneity, time dilation, length contraction, pa-radoxes

K¿úèové slová:špeciálna teória relativity, súcasnost’, dilatáciacasu, kontrakcia dlžky, pa-radoxy

1 Úvod

V ucebných textoch urcených pre stredné školy (ale aj vysoké školy), venujúcichsa výkladu špeciálnej teórie relativity, je množstvo tzv.paradoxov. Jedným z naj-známejších jeparadox dvojciat. Po obsahovej stránke by sme t’ažko mohli k tejtotéme nieco pridat’, aj ked’ po stránke zrozumitel’nosti vysvetlenia môžeme pripo-jit’ svoje vlastné postrehy. Pravdou je, že podstatou vysvetlenia paradoxu je rela-tívnost’ súcasnosti, a skutocnost’, že dvojcatá nie sú si v rovnocennom postavení.

11

[email protected]


Jeden z nich je po celú dobu v tej istej inerciálnej sústave, druhý nie.1

Pri prechode cestujúceho z jednej inerciálnej sústavy do druhej, vstupuje dovysvetlenia paradoxurelatívnost’ súcasnosti. Tento jav je vel’mi názorne vykla-daný pomocou pohybujúceho sa vlaku a svetla šíriaceho sa z lampy. Lampa je vstrede vlaku a z pohl’adu pozorovatel’a vo vagóne jeho svetlo dopadá na prednú ajzadnú stenu vagónu súcasne. Princíp nezávislosti šírenia sa svetla na pohybovomstave zdroja (lampy) mení situáciu pre pozorovatel’a stojaceho vedl’a trate, na kto-rej sa vagón pohybuje. Podl’a tohoto pozorovatel’a svetlo lampy dopadne najskôrna zadnú stenu vagónu, až potom na prednú (zadná stena sa pohybuje naproti sve-telnému signálu, predná pred ním uchádza). Je to dobre pochopitel’né kvalitatívnetvrdenie.

Relatívnost’ súcasnosti vystupuje v paradoxe dvojciat, akoby v novom svetle.Akoby sa jednal o nový jav. Vstupuje do hry kvantitatívna stránka relativity sú-casnosti. Moje osobné skúsenosti mi ukazujú, že študentom (na vysokej škole —budúcim ucitel’om) robí mimoriadny problém pochopit’ ako relatívnost’ súcasnosti— pri prechode cestujúceho z jednej inerciálnej sústavy do druhej — rieši paradoxdvojciat. Chýba schopnost’ kvantitatívne vyjadrit’ relatívnost’ súcasnosti. Uceb-nice sa o vysvetlenie pokúšajú, ale v prípade paradoxu dvojciat to vyžaduje prácus Lorentozovou transformáciou medzi trojicou inerciálnych sústav.

Práca s Lorentzovou transformáciou je už sama o sebe neobvyklá pre klasickémyslenie. Trojica inerciálnych sústav2 robí vysvetlenie prakticky nestrávitel’ným.

Treba podotknút’ aj to, že kým relatívnost’ súcasnosti zostáva pri výklade nakvalitatívnej úrovni, vzniká mylný dojem, že dilatáciacasu a kontrakcia dlžky vy-stihujú špeciálnu teóriu relativity. Dilatáciacasu

∆t =∆t0

√

1−β2(1)

a kontrakcia dlžkyl = l0

√

1−β2, (2)

kde β = v/c, sú kvantitatívne vyjadrené javy3. Pokial’ relatívnost’ súcasnosti zo-stane na kvalitatívnej úrovni, obávam sa, že bude pretrvávat’ dojem, že predstavuje

1Mylne sa mnohí autori domnievajú, že práve nesymetrické postavenie dvojciat je postacujúcimvysvetlením paradoxu.

2sústava, v ktorej necestujúci dvojca zostáva po celú dobu v pokoji, sústava, v ktorej cestujúcedvojca opúšt’a svojho brata a sústava, v ktorej sa k nemu vracia;

3Používané oznacenie je naprosto štandardné.∆t0 je doba, ktorá uplynie medzi dvomi udalos-t’ami, ktoré sa odohrali na tom istom mieste jednej sústavy,kým ∆t je doba medzi tými istýmiudalost’ami v sústave, ktorá sa voci predchádzajúcej pohybovala rýchlost’ouv = βc. Podobne,l0 jedlžka tyce v pokoji al je dlžka tej istej tyce v sústave, ktorá sa pohybuje pozdlž tyce rýchlost’ouv = βc.

TELEKI A. — KOLÁCOVÝ PARADOX 13

síce kuriózum, ale z hl’adiska uplatnovania špeciálnej teórie relativity nemá pod-statný význam.

Pre úplnost’ poznamenávam, že existuje geometrický prístup k riešeniu úloha paradoxov v špeciálnej teórii relativity. Jedny z najznámejších sú Minkowskéhodiagramy. Zmienujú sa o nich aj mnohé ucebnice, ale nie sú príliš názorné. Pred-stavujú jednu pravouhlú a jednu kosouhlú sústavucasopriestorových súradníc. Po-užívajú sa v podstate na zdôvodnenie tvaru Lorentzovej transformácie. Podstatnemenej známe sú Loedelove diagramy, kde sa pracuje dvomi vzájomne pootoce-nými vhodne zvolenými pravouhlýmicasopriestorovými súradnými sústavami (po-zri [1]). Pomocou Loedelových diagramov je možné riešit’ nie len otázku algeb-raického tvaru Lorentzovej transformácie, ale tiež väcšinu známych (i menej zná-mych) úloh a paradoxov (pozri [2, 3, 4]). Aj odvodenie Lorentzovej transformácieje výrazne jednoduchšie, než v prípade Minkowského diagramov (pozri [2])

Našim ciel’om v tejto práci bude ukázat’, že preco nemožno bez výhrad prijat’nesymetrické postavenie pozorovatel’ov ako vysvetlenie paradoxu dvojciat.

Nasledujúce odstavce sú podrobným návrhom ako postupovat’pri výklade ur-cených študentov. Tento postup bol odskúšaný v priebehu rokov 2000 až 2006.Citatel’ovi dobre oboznámenému so špeciálnou teóriou relativity zrejme postacíletmo preletiet’ text, aby pochopil, že poslaním je dostat’relatívnost’ súcasnosti dostredu pozornosti študentov.

2 Kolácový paradox s trojicami kolácov

V roku 2000 som študentom predostrel paradox, ktorý som nazval kolácový. Malzjavne ukázat’, že dilatáciacasu a kontrakcia dlžky nevysvetl’ujú relativistickéefekty v postacujúcej miere. Paradox aj v tomto prípade využíva možnost’ ob-jektívneho porovnávania (ako aj dvojcatá môžu svoj vekový rozdiel posúdit’ ob-jektívne pri záverecnom stretnutí). Paradox využíva len dve inerciálne sústavy anekoná sa žiadny prechod medzi sústavami. Každý pozorovatel’ zotrváva v jedneja tej istej sústave po celú dobu. V paradoxe sú štyria aktéri.Traja sú rovnomernerozostúpení v neciarkovanej sústave (v modrej sústave) pozdlž osi v smere kto-rej sa pohybuje štvrtý aktér (jeho sústava jeciarkovaná,cervená)4. Z praktickýchdôvodov je vhodné zvolit’ vzájomnú rýchlost’ sústav za

β =

√

34

, (3)

4Pokial’ je to možné, odporúcam skôr farebné rozlíšenie medzi sústavami, než pomocou pomoc-ných indexov (ciarok). Pri slovnom prejave je rozdiel výraznejší, než hovorit’ ciarkovaná, neciarko-vaná.


lebo potom

γ ≡ 1√

1−β2= 2. (4)

Každý aktér je vybavený trojicou kolácov a všetky koláce (celkom 12) sú odlišné.Každý aktér ponúka okoloidúcim jeden z kolácov. Každý aktér koláce pravidelnestrieda pocaseT. Dobu T urcuje podl’a svojich vlastných hodín (vlastnýcas).Oznacme modrých aktérovB1, B2 a B3, cerveného aktéraR (od pociatocnýchpísmen slovblue a red). Urobme si tabul’ku, kto aký kolác ponúka a kedy (dovymýšl’ania druhov kolácov je dobré zapojit’ študentov), napr.

t B1 B2 B3 t ′ R

0 makový tvarohový marhul’ový 0 mrkvovýT orechový syrový slivkový T hráškový2T orieškový bryndzový jablkový 2T šošovicový3T makový tvarohový marhul’ový 3T mrkvový

4T...

...... 4T

...

Tabul’ka 1: Druhy kolácov a ichcasovanie

Je praktické si zvolit’ vzdialenost’ medzi modrými aktérmiza

l0 = 4vT = 4βcT. (5)

Konkrétne, ak chceme použit’ súradnú sústavu na urcenie ich polohy oznacme os,po ktorej sú rozostúpení modrí aktéri akox.

Cervený aktérR prelieta postupne popri aktérochB1, B2 aB3.Súradnice modrých aktérovB v modrej sústave môžeme zvolit’ teda nasle-

dovne:

Aktér xB1 0B2 4vTB3 8vT

Aktér x′

R 0

Tabul’ka 2: súradnica polohy aktérov voci vlastnej súradnej sústave, v ktorej sú v po-koji

Cervený aktér je vcervenej sústave samozrejme nehybný a jeho súradnicu mô-žem oznacit’ za 0 (zaciatok cervenej súradnej sústavy).

Posledný údaj, ktorý potrebujeme povedat’ je, že v okamihu,ked’ sa stretávacervený aktérR s modrým aktéromB1, obidvom ukazujú hodinkycas 0, tj. modrý


aktérB1 ponúka makový kolác a cervený aktérR mrkvový. Každý aktér si vedieevidenciu, že aký kolác mu bol ponúkaný (každý ochutná) a aký on sám ponúkal,z ktorého bolo tiež uždibnutý kúsok okolo letiacim aktérom.Výsledky sa zhrnú dotabul’ky.

3 Zostrojenie tabuliek

Celá procedúra zaberie aj s vysvetlením jednu vyucovaciu hodinu (45 minút). Tes-tujú sa rôzne možnosti:

1. Galileiho transformácia, ked’t = t ′ v každom okamihu (absolútnycas),

2. ked’ sa uvažuje len dilatáciacasu (1),co vedie k rozporu;

3. ked’ k dilatáciicasu sa priberie aj kontrakcia dlžok (vzdialeností medzi mod-rými aktérmi z pohl’aducerveného aktéra).

Galileiho transformácia nevedie k rozporu, ale vieme, že Galileiho transformá-cia umožnuje l’ubovol’nú rýchlost’, co odporuje princípu existencie maximálnejrýchlosti šírenia sa signálov (pozri napríklad [4]). Galileiho transformáciu možnochápat’, ako limitný prípad špeciálnej teórie relativity snekonecnou maximálnourýchlost’ou (c = ∞), preto je logické, že rozpor nenastane.

Uváženiecisto dilatáciecasu (1) vedie k rozporu, ktorý si ukážeme pri vyplno-vaní tabuliek nižšie.

Prekvapivé je, že uvážením aj kontrakcie dlžky (2) už žiadny rozpor nenastane.Na prvý pohl’ad to protirecí nášmu tvrdeniu, že dilatáciacasu a kontrakcia dlžkynevystihuje relativitu úplne. V skutocnosti sa jedná o náhodnú zhodu, ktorá spô-sobí, že nenastáva rozpor. V d’alšom kroku však zmeníme pocet kolácov u každéhoaktéra na 6 rôznych druhov (budeme mat’ celkom 24 rôznych druhov kolácov —to už chce trošku fantázie aj od prítomných študentov, väcšinou sa zacnú používat’pizze). Zopakuje sa vyplnanie tabuliek5. Tento krát nastáva rozpor aj v prípade sú-casného použitia dilatáciecasu (1) a kontrakcie dlžky (2). Je nutné uvážit’ relativitusúcasnosti. Použije sa Lorentzova transformácia

ct′ = γct−βγx, (6a)

x′ = −βγct+ γx. (6b)

na kvantitatívne vyjadrenie relativity súcasnosti.

5Galileiho transformácia sa preskakuje, lebo evidentne nepovedie k rozporu vd’aka absolútnemucasu;


4. Použije sa dilatáciacasu a kontrakcia dlžky, plus Lorentzova transformáciana správne urcenie toho, kto aké koláce drží v ruke z pohl’aducervenéhoaktéraR .

4 Konkrétny postup

Na príklade Galileiho transformácie ukážeme vyplnenie tabul’ky. Tabul’ka popisujeto, co budú registrovat’ jednotliví aktéri.

4.1 Galileiho transformácia

V prípade Galileiho transformácie plyniecas pre každého aktéra rovnako,co savyjadrí tým, že

t ′ = t, (7a)

x′ = x. (7b)

Najprv popíšeme situáciu z pohl’adu aktéraR . Z tabul’ky c.1 vidíme, že v oka-mihu, ked’ aktérR sa stretáva s aktéromB1, drží mrkvovýkolác. Zapíšeme tútoskutocnost’ do tabul’ky

ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 mrkvový R

Pokial’ predpokladáme, že Galileiho transformácia popisuje prírodu, potom o dila-tácii casu a kontrakcii dlžky neuvažujeme (co je vyjadrené vzt’ahom (7)). Vzdiale-nost’ medzi aktérmiB1 aB2 je podl’aR rovný 4vT a k stretnutiu sB2 dôjde za 4T.Podl’a tabul’kyc.1R bude v tomto okamihu držat’ v rukehráškovýkolác.


B2 hráškový R

K stretnutiu sB3 dôjde o d’alších 4T aR vtedy drží v ruke (ako to ukazuje tabul’kac.1)šošovicovýkolác. Celková situácia vyzerá nasledovne.


B2 hráškový R

B3 šošovicový R


Zrovna tak, ako aktérR ponúka koláce, ponúkajú ho aj modrí aktériB , a cervenýaktérR si z nich berie na ochutnanie (za letu). V okamihu, ked’ sa stretáva s akté-romB1, ten z pohl’aduR (je tu absolútnycas) držímakovýkolác. AktérR si tedaodB1 beriemakovýkolác a poznamenáva si to do svojej (cervenejcasti tabul’ky)

ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 mrkvový makový R

B2 hráškový R

B3 šošovicový R

Až sa stretne s aktéromB2 ten bude držat’ v rukesyrovýkolác aR si ho berie naochutnávku.


B2 hráškový syrový R

B3 šošovicový R

Analogicky, vd’aka absolútnemucasu, drží z pohl’aduR v rukeB3 pri ich vzájom-nom stretnutíjablkový kolác aR si berie ochutnávku z jablkového koláca, co sizaznamená do svojejcasti tabul’ky



B3 šošovicový jablkový R

Dalším krokom je, že celú situáciu popíšeme z pohl’adu modrých aktérov.B1 držív ruke pri stretnutí sR makovýkolác, teda do kolonky „ponúkam“ napíše makový

ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 makový mrkvový makový R



Pri stretnutíB2 s R , poznamenáva modrý aktér, žeR k nemu dorazil za dobu 4Ta práve držal v rukesyrovýkolác, ked’ hoR minul a zobral si zo syrového kolcavzorku.


B2 syrový hráškový syrový R



Modrý aktérB3 poznamenáva, že k nemu dorazilR v okamihut = 8T, ked’ on sámdržal v rukejablkovýkolác, z ktoréhoR si zobral vzorku na ochutnávku. Celkovásituácia je zatial’ zaznamenaná v nasledujúcej tabul’ke


B2 syrový hráškový syrový R

B3 jablkový šošovicový jablkový R

Posledný prázdny stlpec tabul’ky vyplníme obdobným spôsobom. Vd’aka absolút-nemucasu a priestoru v klasickej fyzike, dostaneme, že z pohl’adu B1 držalcervenýaktér pri ich stretnutímrkvovýkolác. B1 ochutnal a bol mrkvový.B2 hlási, že pristretnutí sR držalcervený aktér v rukehráškovýkolác, B2 ho ochutnal a bol hráš-kový.B3 hlási, že tiež ochutnal kolác, ktorýcervený aktér držal vo svojej ruke, ked’sa s ním stretol a bolšošovicový. Výsledná tabul’ka teda je nasledovná

ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 makový mrkvový mrkvový makový R

B2 syrový syrový hráškový syrový R

B3 jablkový jablkový šošovicový jablkový R

Tabul’ka 3: Harmonogram striedania kolácov z pohl’adu oboch sústav pri Galileihotransformácii.

Jasne vidíme, že pri žiadnom zo stretnutí nedochádza k rozporu medzi tým,co hovoria o stretnutí modrí aktéri acervený aktér. Podl’a Galileiho transformáciíak cervený ponúka mrkvový, tak modrý to vníma tiež ako mrkvový aked’ modrýponúka makový, takcervený to vníma ako makový. Problém s Galileiho transfor-máciou je, že nepopisuje prírodu správne pri vysokých rýchlostiach.

Pristúpime k vyplneniu tabul’ky s uvážením relativistických efektov. Pripomí-name, že našim ciel’om je ilustrovat’ tvrdenie „dilatácia casu a kontrakcia dlžkynevystihujú úplne relativistickú fyziku“. Pritom relativistická fyzika podáva správnypopis prírody pri malých aj pri vysokých rýchlostiach.

5 Uváženie dilatáciecasu

Ak z relativistických efektov uvážime len dilatáciucasu vyjadrenú vzt’ahom (1),priebeh celej udalosti so vzájomným ochutnávaním dopadne inak. Každý aktér re-gistruje dilatáciu u toho druhého, ktorý sa voci nemu pohybuje. Modrí ucerveného,a cervený u modrých. Prvý stlpec, tj. ponuka modrých aktérov z ich pohl’adu, sanemení.


Popíšeme udalosti najprv z pohl’adu modrých aktérov.Cervení aktérR letí rýchlost’ouv a musí prekonat’ vzdialenost’ medzi nimi,

ktorá je medzi susedným modrými aktérmi vždy 4vT. Kým R preletí odB1 k B2

uplynú štyri jednotkycasu (4T) a modrýB2 privíta cerveného sosyrovýmkolácom.Podobne to prebieha aj d’alej aB3 privíta R s jablkovýmkolácom, ako to ukazujenasledujúca tabul’ka

ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 makový R

B2 syrový R

B3 jablkový R

Co by ale mal ponúkat’cervenýR z pohl’adu modrých aktérov. Pri stretnutí sB1

samozrejme držímrkvový. To je východiskový bod, na ktorom sa zhodnú vždy.

ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 makový mrkvový R

B2 syrový R

B3 jablkový R

Modrí však teraz uvažujú o dilatáciicasu. Vedia, že v modrej sústave trvá let odB1 k B2 štyri jednotkycasu (4T), ale vedia aj to, že fyzikálne procesy vcervenejsústave bežia z pohl’adu modrej sústavy polovicnou rýchlost’ou. KýmR dorazí kB2, cervený aktérR si prehodí len dva koláce — tak káže vzt’ah (1). Pri stretnutí sB2 musíR držat’ v rukešošovicovýkolác.


B2 syrový šošovicový R

B3 jablkový R

Z pohl’adu modrých prehodícervený aktér pocas preletu odB2 k B3 znova lendva koláce a pri stretnutí sB3 musí držat’ v rukehráškovýkolác. Kompletný popisocakávaní modrých aktérov je v tabul’ke



B3 jablkový hráškový R

Z pohl’adu cerveného aktéra môžeme stlpec „ponúkam“ prebrat’ napr. z tabul’kyc.3, lebo kontrakciu dlžky neuplatnujeme. Vzdialenosti medzi aktérmiB zostávajúako pri Galileiho transformácii. Dostávame teda


ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 makový mrkvový mrkvový R

B2 syrový šošovicový hráškový R

B3 jablkový hráškový šošovicový R

Okamžite vidíme, že uvažovat’ len o dilatáciicasu, ale nie o kontrakcii dlžky vediek sporu.B2 tvrdí, že ked’ okolo nehoR preletel, tak mu ponúkalšošovicovýkolác,dokonca aj ochutnal.Cervený aktérR však tvrdí, že ponúkalhráškovýkolác aB2 siuždibol z hraškového koláca (nie zo šošovicového). Vzájomný pohyb aktérov sícemôže spôsobit’, že vidia urcité fyzikálne veliciny a procesy iným spôsobom, aleodporuje zdravému rozumu, že by vzájomný pohyb mohol menit’hráškovýkolácnašošovicový, alebo akýkol’vek iný.

Budeme musiet’ uvážit’ aj iné relativistické efekty, nie len dilatáciucasu. Preúplnost’ uvedieme kompletné vyplnenie tabul’ky, ked’ uvažujeme len o dilatáciicasu (možno zadat’ na domácu úlohu).


B2 syrový šošovicový hráškový bryndzový RB3 jablkový hráškový šošovicový slivkový R

Tabul’ka 4: Harmonogram striedania kolácov z pohl’adu oboch pozorovatel’ov uvá-žením dilatáciecasu, ale neuvážením kontrakcie dlžky.

5.1 Uváženie dilatáciecasu a kontrakcie dlžky

Nakol’ko máme len jednéhocerveného aktéra a modrí aktéri žiadne vzdialenosti vcervenej sústave nemerajú, modrúcast’ tabul’ky môžeme bezpecne prevziat’ naprí-klad z tabul’kyc.4




Nic sa nezmení ani na tom, ako vidí situáciucervený aktérR pri stretnutí s modrýmB1 (kolonky ponúkamaberiem sisú rovnaké).





Zásadne sa mení situácia, ked’R prehlasujeco ponúka pri stretnutí sB2. R hovorí:„Ked’ som stretolB1, tak B2 držal v ruketvarohovýkolác. B1 mi to hodil

na palubu napísané na kúsku papieru. Stálo tamcierne na bielom: práve terazB2

drží tvarohovýkolác. Modrí aktéri sa voci mne pohybujú rýchlost’ouv a pretovzdialenost’ medziB1 aB2 bude len 2vT, polovicka toho,co merajú medzi seboumodrí aktéri. Kým dorazím kB2, ja si prehodím len dva koláce a budem držat’v rukešošovicovýkolác. ModrýB2 si šošovicový kolác bude môct’ ochutnat’.“


B2 syrový šošovicový šošovicový R


Cervený pokracuje vo svojej úvahe a urcí co bude ponúkat’ preB3 až ho stretne.Znova si prehodí len dva koláce a bude držat’ v rukehráškovýkolác. Cervenýhovorí:

„Modrý B3 si bude môct’ ochutnat’ môj hráškový kolác.“


B2 syrový šošovicový šošovicový R

B3 jablkový hráškový hráškový R

Zostáva urcit’ aké koláce ponúkajú pri stretnutí modrí aktériB2 a B3 z pohl’aducerveného aktéraR . Cervený aktérR hovorí:

„Všetky fyzikálne procesy v modrej sústave plynú z môjho pohl’adu dvakráttak pomaly. Kým dorazím odB1 k B2 u mna uplynú dve jednotkycasu (2T), alev modrej sústave plyniecas dvakrát tak pomaly než u mna, lebo sa voci mne po-hybujú.B2 si prehodí len jeden kolác. Ponúkne mi preto,syrový. Budem si môct’syrový kolác ochutnat’.“

Touto logikou dospeje aj k názoru, že až stretneB3, ten mu ponúknejablkový.(B3 sa k nemu tiež blíži rýchlost’ouv a rozostup medziB2 aB3 je rovnaký aký bolmedziB1 aB2). Výsledok je zhrnutý v tabul’ke 5

Vidíme, že niet rozporu medzi tým,co registrujú modrí aktéri aco registrujecervený aktér. Situácia je iná, než pri Galileiho transformácii, ale je tiež bez roz-poru.

Tento stav dost’ verne odráža uvažovanie študentov na úrovni stredných škôl.Každý aktér vystupuje v rovnocennej úlohe, používajú voci pohybujúcemu sa ak-térovi/aktérom tie isté pravidlá (dilatáciucasu a kontrakciu dlžky zo svojho po-hl’adu). Modrí sa pozerajú na seba ako na aktérov v pokoji a nacerveného ako naaktéra v pohybe. Zrovna takcervený sa pozerá na seba ako na aktéra v pokoji a



B2 syrový šošovicový šošovicový syrový R

B3 jablkový hráškový hráškový jablkový R

Tabul’ka 5: Harmonogram striedania kolácov z pohl’adu oboch pozorovatel’ov sosúcasným uvážením dilatáciecasu a kontrakcie dlžok. Je zrejmé, že k rozporu nedo-chádza. Alebo predsa?

na modrých ako aktérov v pohybu. Napriek tomu, vzorce (1) a (2) vedú k súladumedzi tým,co vidia modrí aco vidí cervený aktér.

Zdá sa byt’ potvrdená aj argumentácia používaná pri strucnom „vysvetlení“ pa-radoxu dvojcat, tj. že „pravdu má ten, kto zostáva po celú dobu v tej istejinerciálnejsústave“. V kolácovom paradoxe zostávali všetci vo svojej inerciálnej sústave a zdása, že majú pravdu obidve strany (modrí aktéri ajcervený aktér) — vidia udalostizhodne.Napriek tomu, že výsledok je správny, z hl’adiska princípu vysvetle-nia, je nesprávny!


6 Kolácový paradox so šesticami kolácov

Môžeme povedat’, že predstavenie malo taký úspech, že aktéri sa rozhodli rozší-rit’ sortiment svojich kolácov. Každý aktér bude „žonglovat’“ so šesticou rôznychkolácov (tj. budeme mat’ 24 rôznych kolácov — pri ich vymýšl’aní je už skutocnevhodné zapojit’ aj študentov). Zhrnme rozšírenú ponuku do novej tabul’ky:

t B1 B2 B3 t ′ R

0 makový tvarohový marhul’ový 0 mrkvovýT orechový syrový slivkový T hráškový2T orieškový bryndzový jablkový 2T šošovicový3T sójový smotanový brosdkynový 3T tekvicový4T kokosový kakový hruškový 4T brokolicový5T mandl’ový cokoládový banánový 5T uhorkový6T makový tvarohový marhul’ový 6T mrkvový

7T...

...... 7T

...

Tabul’ka 6: Druhy kolácov a ichcasovanie v prípade, že každý žongl’uje so šiestimirôznymi kolácmi.

Z relativistického prístupu nemá význam skúmat’ postup bezkontrakcie dlžky.Ten viedol k rozporu už pri použití trojice kolácov. Situácia sa nemôže napravit’ po-užitím väcšieho poctu kolácov. Budeme skúmat’ len náš „stredoškolsky úspešný“model s dilatácioucasu a s kontrakciou dlžky. Najprv vyplníme stlpec ponúkamz pohl’adu modrých pozorovatel’ov. Výsledok bude nasledovný

ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 makový R

B2 kakaový R

B3 jablkový R

Co podl’a modrých aktérov ponúka pri stretnutiachcervený aktér (modrý stlpecberiem si)? Z ich pohl’adu hrá úlohu len dilatáciacasu, hodinycerveného aktéraR idú dvakrát tak pomaly. Vzdialenost’ medzi susednými modrými aktérmi trváv modrej sústave štyri jednotkycasu (4T), ale v dôsledku dilatáciecasucervenýprehadzuje koláce vždy len dvakrát: pri ceste odB1 k B2 prehadzuje zmrkvovéhonašošovicový(2T) a pocas cesty odB2 k B3 zošošovicovéhonabrokolicový(2T).Stav je zhrnutý v nasledujúcej tabul’ke



B2 kakaový šošovicový R

B3 jablkový brokolicový R

Ako situáciu vidícervený aktérR (vyplníme jehocast’ tabul’ky, najprv stlpecpo-núkam)? Hovorí (opakujeme predchádzajúci „úspešný“ postup s trojicami kolá-cov):

„Modrí aktéri sa voci mne pohybujú rýchlost’ouv a v dôsledku kontrakciedlžky je medzi nimi z môjho pohl’adu vzdialenost’ 2vT. V okamihu, ked’ sa stretá-vam sB1 držímmrkvovýkolác a než ku mne doletíB2 budem držat’ užšošovicový.“

Je to správna úvaha. Kontrakciu dlžky používa na vzdialenost’ vystupujúcumedzi pohybujúcimi sa aktérmi. Obdobne dospeje k tomu, že ažstretne modréhoaktéraB3, bude tomuto aktérovi ponúkat’brokolicovýkolác. Tabul’ka teda vypadánasledovne.

ponúkam beriem si ponúkam beriem siB1 makový mrkvový mrkvový R

B2 kakaový šošovicový šošovicový R

B3 jablkový brokolicový brokolicový R

Co za koláce si ale bude môct’ ochutnat’ z ponuky modrých aktérov? Ako to vidícervenýR ? Použijeme rovnakú úvahu, ako v prípade trojíc kolácov. CervenýRhovorí:

„Ked’ som stretol modrého aktéraB1, ponúkal mimakovýkolác a hodil mi napalubu papierik, žeB2 drží momentálnetvarohovýkolác (pozri tabul’ku 6).B2 sablíži ku mne rýchlost’ouv a vzdialenost’ medziB1 a B2 je 2vT — dôsledok kon-trakcie dlžky, ako sme to už povedali. Ku mne dorazí podl’a mojich hodín o dvejednotky casu (2T). On sa voci mne pohybuje rýchlost’ouv, pri ktorej jeho fyzi-kálne pochody sú voci mojim dvakrát spomalené. Kým u mna uplynú dve jednotkycasu (2T), jemu uplynie jediná jednotkacasu (T) — tak, ako hovorí vzt’ah (1). Ažsa s ním stretnem, bude držat’ v ruke syrový kolác.“

Tabul’ka potom vypadá nasledovne


B2 kakaový šošovicový šošovicový syrový R


Rozpor je na svete. Pokial’ by to bolo správne, tak situácia by znamenala, že pohy-bujúci sa kakový kolác chutná ako syrový (kakový kolác je voci B2 v pokoji, voci


R sa pohybuje rýchlost’ouv). Dokoncime tabul’ku, než sa pustíme do pátrania poprícine tohoto rozporu.

Cervený usudzuje, že ked’ modrýB2 drží v rukesyrovýkolác, B3 drží v rukeslivkový. Blíži sa kcervenémuR rýchlost’ouv. Z pohl’aducerveného k nemu do-razí za dve jednotkycasu (2T), ale je dvojnásobne spomalený, a až sa stretnú budedržat’ v ruke jablkový kolác, ktorý si cervený bude môct’ ochutnat’. Kompletnátabul’ka vyzerá nasledovne.


B2 kakaový šošovicový šošovicový syrový R

B3 jablkový brokolicový brokolicový jablkový R

Riešenie tohoto rozporu, ako naprostej väcšiny paradoxov v špeciálnej teórii rela-tivity, spocíva v relatívnosti súcasnosti.

7 Relatívnost’ súcasnosti

V predchádzajúcom paragrafe sme predviedli ignorovanie relatívnosti súcasnosti:Cervený aktérR hovorí:

„Ked’ som stretol modrého aktéraB1, ponúkal mimakovýkolác a hodil mi napalubu papierik, že momentálne držíB2 tvarohovýkolác.“

Nakol’ko s relativitou súcasnosti sa stretneme v stredoškolských ucebniciachlen kvalitatívne (pohybujúci sa vagón, resp. garážový paradox), vyššie uvedenéprehláseniecerveného aktéra vôbec nepríde podozrivé. V tabul’kec.1 ac.6 smeuvádzali od zaciatku zvlášt’ modrý (neciarkovaný) acervený (ciarkovaný)cas prestriedanie kolácov. Bolo to nutné, nakol’ko sme vedeli o dilatáciicasu. Pre modrýchaktérov sme ale uvádzalicas spolocný. Ich hodiny sú totiž zosynchronizované. Akmodrý aktérB1 povedal:

„B2 drží momentálnetvarohovýkolác“,bolo to v súlade so synchronizáciou medzi modrými aktérmi.B1 podávalcerve-nému aktérovi (papierik prehodený na palubu) pravdivú informáciu. Pravdivú zosvojho pohl’adu!

Relatívnost’ súcasnosti ale znamená presne to,co hovorí jeho pomenovanie.Relatívnost’.

Ak z pohl’adu modrého aktéraB1 drží momentálne (v tomto okamihu) B2

tvarohovýkolác, tak z pohl’aducerveného aktéra tonie je momentálne(v tomtookamihu). Slovomomentálneznamená v danej inerciálnej sústave dohodu. Dohodukedy má držat’ urcitý kolác v ruke každý aktér. Túto dohodu sme ukotvili v tabul’kec.1 a neskôr v tabul’kec.6. Tá dohoda jesynchronizáciou hodín.


V Galileiho sústave sa dá urobit’ synchronizácia hodín nie len v uzavretej spo-locnosti aktérov tej istej inerciálnej sústavy, ale aj medzi aktérmi rôznych inerciál-nych sústav. V špeciálnej teórii relativity tomu tak nie je.Tam sa dá urobit’ synch-ronizácia len medzi uzavretou spolocnost’ou aktérov tej istej inerciálnej sústavy (tj.aktérov, ktorý sa vzájomne nepohybujú). Akýkol’vek vzt’ahmedzi aktérmi rôznychinerciálnych sústav sa riadi Lorentzovou transformáciou (6). Lorentzova transfor-mácia kvantifikuje aj „rozladenost’ hodín“ medzi dvomi inerciálnymi sústavami.Ako?

Majme dve udalosti, dajme tomuA a B. Pre pozorovatel’ov z jednej iner-ciálnej sústavy sa udalosti odohrajú scasovým odstupom∆t a vo vzdialenosti∆xod seba, kým pre pozorovatel’a inerciálnej sústavy scasovým odstupom∆t ′ a vovzájomnej vzdialenosti∆x′. Vyjadrené algebraicky

∆t = tA − tB, ∆t ′ = t ′A − t ′B (8a)

∆x = xA −xB, ∆x′ = x′A −x′B. (8b)

Uvažujeme o dvojici inerciálnych sústav, ktoré sú spojené Lorentzovou transfor-máciou (6), potom z (8) plynie, že veliciny ∆t ′,∆x′ s∆t,∆x spája tá istá Lorentzovatransformácia, teda

c∆t ′ = γc∆t −βγ∆x (9a)

∆x′ = −βγc∆t + γ∆x (9b)

Pripomenme, že domovom modrých aktérov je neciarkovaná inerciálna sústava,kým domovomcerveného aktéra jeciarkovaná inerciálna sústava6. Ked’ B1 pove-dal „B2 drží momentálnetvarohovýkolác“, mal tým na mysli dvojicu udalostí7,pre ktoré platilo∆t = 0. Z (9a) však vidíme, že precerveného aktéraR (ktorý bolpráve na úrovniB1) to nebolomomentálne. Dosadením do (9a) zistíme, že

c∆t ′ = γc∆t −βγ∆x = −βγ∆x = −βγ(4vT) = −4β2γcT = −6cT (10)

a preto∆t ′ = −6T.

Povedané slovami: z pohl’aduR okamih, ked’B2 držal tvarohovýkolác, sa užodohral pred šiestimi jednotkamicasu (−6T).8

6aktériB1, B2 a B3 tvoria osx a polohaB3 voci B1 urcuje orientáciux-ovej osi v oboch iner-ciálnych sústavách;R sa pohybuje v kladnom smere osix (od B1 k B3) — tomu zodpovedajú ajznamienka v (6) a (9)

7prvá udalost’ je „ja,B1 hovorím“; druhá udalost’ je „B2 drží tvarohový kolác“;8Treba zdôraznit’, že v (8) má význam poradie udalostí. V tomto zmysle znamená v našej situácii

∆t < 0, že už to bolo.


Cerveného aktéra však prakticky nezaujíma kedy modrý aktérB2 držal v ruketvarohový kolác. Jeho zaujíma,co drží v ruke v tomto okamihu (z pohl’aducerve-ného aktéraR ).

Precerveného aktéraR znamenáv tomto okamihu∆t ′ = 0. Využitím (9a) do-stáva odpoved’

0 = γc∆t −βγ∆x,

odkial’ vyjadríme∆t po krátení sγ

c∆t = β∆x = β(4vT) = 4β2cT = +3cT, teda ∆t = +3T.

Momentálne cerveného znamená, žeB2 nedrží tvarohovýkolác, ale odvtedy siuž prehodil tri koláce a držísmotanovýkolác.9 Zbytok jeho úvahy bol správny(skrátene):

„Modrí aktéri sa ku mne blížia rýchlost’ouv, vzdialenost’ medzi nimi je 2vT.Ked’ som minulB1, držal v rukeB2 smotanovýkolác. Dostane sa ku mne zacas2T, ale jeho procesy sú v dôsledku dilatáciecasu spomalené na polovicu a prehodísi len jediný kolác. Až sa stretneme, bude držat’ v rukekakaovýkolác, ktorý sibudem môct’ ochutnat’.“

Tabul’ka teda vypadá nasledovne


B2 kakaový šošovicový šošovicový kakaový R


Podobne vyplnícervený aj zostávajúcu kolonku. V okamihu, ked’ prelieta okoloB1, z pohl’adu modrých držíB3 v rukehruškovýkolác. Cervený aktérR však musízobrat’ do úvahy relatívnost’ súcasnosti. Z jeho pohl’adu v tom okamihu držíB3 vrukeslivkovýkolác. Z Lorentzovej transformácie totiž

momentálneB3 drží= momentálneB3 drží+3T(tri prehodenia)

a to jeslivkovýkolác. Kým dorazíB3 k R , B3 si prehodí v dôsledku kontrakcievzdialenosti medziB2 a B3 a dilatáciecasu len jeden kolác a bude držat’ v rukejablkovýkolác — stále z pohl’aducervenéhoR . Žiadny rozpor už nie je. Situáciaje rovnaká precerveného aktéra, ako aj pre modrých aktérov (kompletné vyplnenieje v tab.c. 7).

9Nech nikoho nemýli to, že rozdiel medzi „dvomi súcasnost’ami“ najprv vyšiel∆t ′ = −6T a potom∆t = +3T. Obidva údaje zodpovedajú tomu istému z pohl’aducerveného aktéraR , ale raz vyjadrený údajmicervenéhoR pozorovatel’a a druhý krát údajmi modrých pozorovate-l’ov B . Jasne rozpoznat’ dilatáciucasu. Odlišnost’ znamienok je tiež zákonitý presne z toho istéhodôvodu.



B2 kakaový šošovicový šošovicový kakaový R

B3 jablkový brokolicový brokolicový jablkový R

Tabul’ka 7: Harmonogram striedania kolácov z pohl’adu oboch sústav je uváženímvšetkých relativistických efektov (relatívnosti súcasnosti, dilatáciecasu a kontrakciedlžok) bez rozporu. Možno sa o tom presvedcit’ pre l’ubovol’ný pocet kolácov.

8 Kvantifikácia relativity sú casnosti

Kolácový paradox nám ukázal nutnost’ kvantifikovat’ relatívnost’ súcasnosti. Je tozáklad (kvantitatívneho) riešenia každého paradoxu. Základom je samozrejme Lo-rentzova transformácia (6), alebo ešte lepšie (9), ktorá hovorí o vzt’ahu dvojiceudalostí. Udalosti, ktoré sú v jednej inerciálnej sústave súcasné (∆t ′ = 0), v inejinerciálnej sústave po sebe nasledujú s urcitým odstupomcasu (∆t 6= 0). Táto rozla-denost’, relatívnost’ súcasnosti, sa dá pomocou Lorentzovej transformácie vyjadrit’nasledovne (pozri (9a))

∆t ′ = 0 ⇒ 0 = γc∆t −βγ∆x ⇒ c∆t = β∆x. (11)

Je samozrejme praktickejšie, aby tútocasovú rozladenost’ciarkovaný pozoro-vatel’ vyjadril pomocou svojich vlastných premenných — teda nebude používat’vzdialenosti merané v inej sústave, ale vzdialenosti merané vo vlastnej sústave.Nakol’ko ∆x′ = ∆x/γ, dostávame vzt’ah

∆t = βγ∆x′ (12)

V kolácovom paradoxe sme vzdialenost’ medzi dvomi susednými modrými ak-térmi definovali pomocou rýchlostiv, ktorou letí voci modrým aktéromcervenýaktérR , a casuT, ktorý urcoval dobu, ktorá uplynula medzi výmenou kolácov(rýchlost’ fyzikálnych procesov — svojim spôsobom hodiny). Pri zvolených para-metroch sme obdržali

∆t ′ = 0 ⇒ ∆t = βγ(2vT)

c= 2β2γT = 3T.

8.1 Paradox dvojciat z pohl’adu kolácového paradoxu

Vzt’ah (12) sa dá použit’ aj pri vysvetlení paradoxu dvojciat. Pre jednoduchost’predpokladajme, že rýchlost’ cestovania je aj v tomto prípade

β =

√

34

.


Nech cesta na vzdialenú planétu trvá z pohl’adu súrodenca naZemi 10 rokov(T = 10rokov). O kol’ko zostárol dvojca na Zemi z pohl’adu cestujúceho, kýmon dorazil k vzdialenej planéte? (Pohl’ad z pohl’adu súrodenca na Zemi nemusímediskutovat’. Ten sa riadicisto dilatácioucasu. Súrodenec sleduje dilatovanýcascestujúceho kozmonauta.)

Z pohl’adu cestujúceho bola vzdialenost’ medzi Zemou a vzdialenou planétouv dôsledku kontrakcie vzdialenosti len (γ = 2)

12

βcT

a planéta sa k nemu blížila rýchlost’ouβc a preto cesta trvala 5 rokov. Jeho sú-rodenec na Zemi sa voci nemu pohyboval rovnako rýchlo ako planéta a Zem av dôsledku dilatáciecasu zostárol len o 2,5 roka. Na otázku, ktorú položí dispe-cerovi na vzdialenej planéte: „O kol’ko zostárol môj brat naZemi?“ ten odpovie„O 10 rokov.“ A je to správna odpoved’ aj z pohl’adu cestujúceho, lebo musí zo-brat’ do úvahy, že rastúcou vzdialenost’ou sa zväcšuje „rozladenost’“ medzi tým,co je súcasné pre neho aco je súcasné pre dispecera, okolo ktorého prelieta. Tútorozladenost’ znova vyjadruje vzt’ah (11)

c∆t = β∆x = β(vT) = β(βcT) = β2cT =34

cT.

Z toho dostávame, že

∆t =34

T = 7,5roka.

Tento údaj musí cestujúci súrodenec pripocítat’ k 2,5 roku, ktorý vyplynul z kon-trakcie vzdialenosti a dilatáciecasu. Aj podl’a cestujúceho súrodenca zostárol tedajeho dvojca o 10 rokov. Cesta naspät’ sa rieši obdobne a paradox je vysvetlený.

Pre úplnost’ uvedieme, že d’alší známy paradox uvádzaný v ucebniciach jeparadox auta a garáže (garážový paradox). Nachádzame tu podobnost’ v tom, žev kolácovom aj v garážovom paradoxe sa používajú k vytvoreniu paradoxu lendve inerciálne sústavy. Tu však podobnost’ aj koncí. V garážovom paradoxe jeformulácia problému a taktiež sledovanie jeho riešenia komplikovanejšie vd’akadvom podstatným okamihom.

Za prvé, v garážovom paradoxe sledujeme svetociaru štvoricu bodov, z ktorýchdve sú v pokoji v jednej a dve v druhej sústave.

Za druhé, z charakteru zadania sa dostávajú dopredu skôr nerovnosti, než rov-nosti (auto je kratšia ako garáž, garáž je kratšie ako auto).Sledovanie algebraickéhoriešenia sa stáva obtiažnym. Pravda, geometrické riešeniepomocou Loedelovýchdiagramov je dostatocne názorné (pozri [2]). Z uvedených dôvodov považujemekolácový paradox pre algebraické vysvetlenie podstatne jednoduchším.


9 Záver

Našim ciel’om bolo ukázat’, že dilatáciacasu a kontrakcia dlžok plne nevystihujúrelativistické efekty. Kombinácia týchto dvoch efektov scastým mylným tvrdením,že „pravdu má ten pozorovatel’, ktorý svoju inerciálnu sústavu neopustí“ paradoxyneriešia vo svojej podstate. V kolácovom paradoxe žiaden pozorovatel’ svoju iner-ciálnu sústavu neopustil, predsa došlo k paradoxu, pokial’sa uvažovali len efektydilatáciecasu a kontrakcie dlžok. Skutocným zdrojom paradoxu je vždy relatív-nost’ súcasnosti. Tá síce úzko súvisí s dilatácioucasu aj s kontrakciou dlžok, nieje však s nimi ekvivalentná. Relatívnost’ súcasnosti sa dá kvantifikovat’ vzt’ahom(12), ktorý plynie z Lorentzovej transformácie (dá sa odvodit’ tiež z invariantnéhointervalu). Vzt’ah je jednoduchý, jeho používanie je však obtiažne, kýmclovek sineosvojí význam relativity súcasnosti dôkladne. K tomu slúžia paradoxy. Veríme,že kolácový paradox so vzt’ahom (12) môže poslúžit’ ucitel’om, a tiež budúcimucitel’om, ako jednoduchý a úcinný nástroj pri vysvetl’ovaní paradoxov študentom,ktorí sa neuspokoja len s kvalitatívnym vysvetlením.

Pod’akovanie

Táto práca by nemohla byt’ prezentovaná v uvedenej podobe bez financnej podporyprojektov CGA 4/V/2004 a KEGA 03/3182/05, zaco patrí naše pod’akovanie.


Literatúra

[1] B. Lacsný. Špeciálna teória relativity pomocou loedelových diagramov 1.OMFI, 35(1):32–36, 2006.



[4] B. Lacsný. Relativistické scítanie rýchlosti v loedelových diagramoch. In Te-leki A. Kluvanec D., Medved’ I., editor,CoPhys International Physics Works-hop 2006 (for Departments of Physics of European Universities Collaboratingin Science), volume 1, Nitra, 2007. ISBN.

LACSNÝ Boris

Relativistické scítanie rýchlosti v Loedelových diagramochConstantine the Philosopher University


Abstract: Our aim in this article is to infer the relativistic additionruleuv≡ u+v for ve-locities. The non-relativistic addition rule has significant implications for astronomical ob-servations of binary stars. Astronomical observations of binary stars may determine whet-her Einstein’s theory of relativity or Ritz’s theory of light is valid. The observed images ofbinary stars—predicted by the above mentioned theories—are spectacularly different andthat makes them a very useful tool in teaching relativity.

Súhrn: V clánku sa venujeme odvodeniu vzt’ahu pre relativistické skladanie rýchlostí.Nerelativistické skladanie rýchlostiu v ≡ u+ v má závažné dôsledky pre pozorovaniedvojhviezd. Astronomické pozorovania dvojhviezd môžu rozhodnút’ medzi správnost’ouEinsteinovej teórie relativity a Ritzovou teóriou svetla.Popis obrazu dvojhviezd je v spomí-naných teóriach natol’ko odlišný, že sa stáva užitocnou pomôckou pri vyucovaní špeciálnejteórie relativity.

Relativistické scítanie rýchlosti v Loedelových diagramoch

Loedelove diagramy [1] ako geometrický nástroj používaný na zobrazovanie v špe-ciálnej teórii relativity [2] sa ukázal byt’ vel’mi efektívny pri modelovaní a odvo-dení Lorentzových transformácii [3], kontrakcie dlžky a dilatáciecasu. Loedelovediagramy sú názorné aj pri riešení paradoxou, ktoré plynú z relatívnosti súcasnosti,ako je paradox auta a garáže [3] alebo paradox dvojciat.

V tomto clánku by sme chceli ukázat’ d’alšie použitie tohto silnéhonástroja naodvodenie vzt’ahu pre relativistické scítanie rýchlosti.

Z princípu relativity a konštantnej rýchlosti svetla [4] vyplýva, že v skutocnostisa rýchlosti nebudú skladat’ tak, ako to poznáme z našej každodennej skúsenosti.Aj ked’ pri našich malých rýchlostiach je to nepatrný rozdiel.

Ak sa tank pohybuje rýchlost’ouv a vystrelí strelu v smere pohybu rýchlost’ouv′, pre rýchlost’ strely nebude platit’ klasické scítanie rýchlostiu = v+v′. Toto tvr-denie je zvláštne a t’ažko predstavitel’né, ale je skutocne správne. Rýchlost’, akousa strela bude pohybovat’ je daná Einsteinovým vzorcom pre skladanie rýchlosti

u =v+v′

1+ v.v′c2

. (1)

Ukážeme si to v Loedelových diagramoch (obrázokc. 1).

33

[email protected]


ct

x

ct'

x'a

a

a

a

ct

x

ct'

x'

ct'sina

x'sina

Obrázok 1: Relativistické skladanierýchlosti.

Neciarkovaná sústava nech je povrchZeme, po ktorej sa pohybuje tank rých-lost’ou v. Ciarkovaná sústava je tank av tejto sústave je vystrelená strela rých-lost’ou v′ v smere pohybu tanku. Rých-lost’ strely voci ciarkovanej sústave jedaná vzt’ahomv′ = x′

t ′ . Rýchlost’ strelyvoci neciarkovanej sústave je potomu= x

t . Z Loedelovho diagramu vyplýva,že

x =x′ +ct′ sinα

cosα,

ct =ct′ +x′ sinα

cosα.

Potom pre rýchlost’ strely dostávame

u =x′ +ct′ sinαt ′ + x′

c sinα. (2)

Ak výjmeme zcitatel’a aj z menovatel’at ′, obdržíme

u =t ′(x′

t ′ +csinα)

t ′(1+ x′ct′ sinα)

=v′ +v

1+ v.v′c2

, (3)

kde sinα = vc.

Aj ked’ v našom každodennom živote je takéto scítane viac menej zbytocné,dáva nám však presnejší obraz o našom svete, ktorého sme súcast’ou.

Tu je na mieste povedat’, že existujú aj teórie, ktoré tvrdia, že rýchlost’ svetlaje závislá od rýchlosti zdroja a scítanie rýchlosti je správne v klasickej fyzike. Prí-kladom takých teórii je Ritzova teória, balistická teória alebo teória zdrojov, ktorámá stále vel’a priaznivcov. W.DE SITTER spochybnuje práve tieto teórie na prí-klade najjednoduchšej dvojhviezdy, ktorá obieha spolocné t’ažisko po kružnicovejdráhe. W. de Sitter uvádza, že ak platí Ritzova teória, tak jenemožné zosúladit’pozorovania s Keplerovými zákonmi. Predstavme si, že by platila Ritzova teória arýchlost’ svetla by závisela od rýchtosti zdroja tak, že výsledná rýchlost’ je rovnásúctu rýchlosti svetla a rýchlosti zdroja. Tu je na mieste otázka, aký obraz spomína-nej dvojhviezdy by sme pozorovali z dostatocne vel’kej vzdialenosti? Rozobermesi podrobnejšie tento príklad. Pozeráme sa na dvojhviezdu,ktorá obieha okolo t’a-žiska v rovine, ktorá zviera s pozorovatel’om uholα (obrázokc. 2). Pre zjednodu-šenie nechajme jednu z týchto dvojhviezd vyhasnút’. Tým smesa však nedopustili

LACSNÝ B. — RELATIVISTICKÉ SCÍTANIE RÝCHLOSTI . . . 35

a

Obrázok 2: Dvojhviezda.

nicoho zlého, pretože takétodvojhviezdy reálne existujú.Podl’a Einsteinovej teórie re-lativity by sme pozorovali jed-nu hviezdu, ktorá sa pohybujepo kružnicovej trajektórii.

Podl’a Ritzovej teórie by obraz závisel od uhlovej rýchlosti, vzdialenosti hviezda vzdialenosti dvojhviezdy od pozorovatel’a. Ak by sme bolidostatocne vzdia-lený od takejto dvojhviezdy, pozorovali by sme znásobenie obrazu v urcitom bode.V bode, ked’ sa k nám hviezda blíži by sme pozorovali vznik obrazu, ktorý by sa

1 2

3 4

Obrázok 3: Pozorovanie dvoj-hviezdy podl’a Ritzovej teórie.

rozdvojil a jeden z nich by sa pohybovalproti smere pohybu a druhý v smere po-hybu pôvodnej hviezdy (obrázokc. 4). Postrete obrazu, ktorý sa pohybuje v proti-smere a pôvodnej hviezdy by zanikli a po-zorovali by sme len jednu hviezdu, ktorása pohybuje v smere pohybu, až kým sanedostane do bodu, kde sa znova roztrojí.

Ked’že predpokladáme, že každá desiata hviezda našej galaxie je dvojhviezda, ta-kýto efekt by mohol byt’ pozorovatel’ný. Avšak, zatial’ nieje známe, že by bol ta-kýto efekt pozorovaný. Za posledných 100 rokov overovania teórie relativity mámedôkazy, že teória relativity a druhý postulát konštantnej rýchlosti svetla by mali byt’správne.

Pod’akovanie

Tentoclánok vznikol za podpory projektov KEGA 3/3182/05 aGAM XV/2006/FPV.


1 2

3 4

5

Obrázok 4: Pozorovanie dvojhviezdy podl’a Ritzovej teórie: Fiktívneroztrojenie ob-razu hviezdy.

LACSNÝ B. — RELATIVISTICKÉ SCÍTANIE RÝCHLOSTI . . . 37

Literatúra

[1] A. Shadowitz.Special Relativity.New York : Dover Publications, Inc„ 1988.

[2] Mgr. Boris Lacsný. Špeciálna teória relativity pomocouloedelových diagra-mov 1. OMFI, 35(1):32–36, 2006.



TÓTH Gábor

Geometrický konštrukcný program ako nástroj ucitel’afyziky

Constantine the Philosopher UniversityFaculty of Natural Sciences, Department of Physics

Tr. A. Hlinku 1, SK-949 74 Nitra, Slovakia,e-mail:[email protected]

Abstract: In this paper an atypical instrument of the physics teacher is presented. It isabout a dynamic geometrical program called Euklides, whichwas designed to facilitatethe teaching of geometry. Such programs are popular of course among the teachers of mat-hematics; lots of them regularly use these programs on the lessons of geometry.Euklides is introduced very briefly in the first part. Second part is dedicated to some of thephysical applications of the program. Not only the trivial constructions from the geomet-rical optics are shown, but some interactive illustrationsare traced to some effects frommicrophysics, too (such as cardioid of the Compton scattering, Rutherford scattering).

Súhrn: V tomto príspevku je predstavený netriviálny nástroj ucitel’a fyziky. Jedná sa okoštrukcný program Euklides, ktorý bol vytvorený s úcelom ul’ahcit’ vyucovanie geomet-rických konštrukcií. Takéto programy sú populárne a rozšírené medzi ucitel’mi matema-tiky; viacerí ich využívajú na hodinách geometrie.V prvej casti príspevku je vel’mi strucne predstavený pocítacový program Euklides. Druhácast’ príspevku sa zaoberá s niektorými fyzikálnymi aplikáciami programu. Ukážeme nie-len triviálne konštrukcie z geometrickej optiky, ale nacrtneme aj interaktívne ilustrácie kniektorým javom z fyziky mikrosveta (napr. srdcovku Comptonovho rozptylu a Rutherfor-dov rozptyl).

1 Program Euklides

Euklides je interaktívny program na geometrické konštrukcie, ktorý papier, ce-ruzku, pravítko a kružidlo nahradí plochou obrazovky a myšou. Domovská stránkaproduktu je na adresehttp://www.euklides.hu . Z tejto adresy je možné bez-platne stiahnut’ prvú verziu programu a prehliadac, ktorý otvorí aj súbory EUKvytvorené v najnovšej verzii programu.1

Tento program sa vel’mi podobá na populárny editor Cabri, jevšak ovel’amenší, jednoduchší. Jedná sa o efektívnu aplikáciu, ktorá je navyše aj didaktickyladená. Polohu tzv. „bázových bodov“, tj. základných bodov, ktoré sú l’ubovol’nezvolitel’né, môžeme zmenit’ aj po ukoncení konštrukcie,co vedie k inému vý-sledku. Výstupy tiež môžeme animovat’. Navyše Euklides — oproti programuCabri — dovol’uje lencisté euklidovské konštrukcie,cím núti užívatel’a kcistým,geometrickým metódam (napr. na priamke si nemôžeme l’ubovol’ne vyznacit’ bod,

1V súšasnosti táto adresa je nefunkcná. Inštalacné súbory sú ale dostupné na stránkach Ka-tedry matematiky Fakulty výchovy ucitel’ov Gyulu Juhásza Segedínskej Univerzity v Szegedehttp://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/euk lides/index.html .

39

[email protected]

http://www.euklides.hu

http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/euklides/index.html


lebo to nie je euklidovská konštrukcia. Ak tak chceme urobit’, musíme si zvolit’bod v rovine a tento bod premietnut’ na priamku).

Fungovanie programu predstavíme na konštrukcii Simsonovej priamky.

1.1 Simsonova priamka v programe Euklides

Na kružnici opísanej trojuholníkuABC leží bodM. Ked’ bod M kolmo premiet-neme na priamkyAB, BC a AC, obdržíme tri nové bodyA′, B′ aC′. Tieto sú koli-neárne aA′B′C′ sa nazývaSimsonova priamkapreM2.

V okne programu vyznacíme bodyA, B aC, spojíme ich a nakreslíme kružnicuopísanú trojuholníkuABC. Vyznacíme l’ubovol’ný bod roviny, nazveme hoP apremietneme ho na kružnicu. Z tohoto priemetuM nakreslíme kolmice na priamkyAB, BCaAC. Priesecníky týchto kolmíc a troch priamok nazvemeA′, B′ aC′. BodyA′, B′ aC′ spojíme, a zistíme, že ležia na jednej priamke — Simsonovej.Ak bodP posunieme do l’ubovol’nejcasti roviny, zmení sa aj poloha bodovM, A′, B′ aC′,aleA′, B′ aC′ zostanú kolineárne.

Obrázok 1: Obal Simsonových priamok—deltoid.

Výsledok môžeme animovat’ tak, že bodP necháme bežat’ po kružnici. Taktomôžeme skúmat’ zmenu polohy Simsonovej priamky. Ak animáciu nastavíme tak,aby sa ukázali všetky fázy animácie, obdržíme podobný útvar, aký znázornuje ob-rázok 1 . Je to obal Simsonových priamok. Táto krivka, ktorá je invariantná v otá-caní o 120°, sa nazývadeltoid, nakol’ko jeho tvar sa podobá na grécke písmeno

2Alebo Wallaceova priamka— tejto priamke bol nesprávne pridelený dlhé roky názov Wallace-ova, nakol’ko bola publikovaná Wallaceom v r. 1799

TÓTH G. — GEOMETRICKÝ KONŠTRUKCNÝ PROGRAM . . . 41

∆.

2 Fyzikálne aplikácie programu Euklides

2.1 Geometrická optika

Napriek tomu, že program vznikol pre podporu vyucovania geometrie, má aj svojefyzikálne aplikácie. Triviálnym príkladom pre takúto aplikáciu môžu byt’ zobraze-nia šošovkami z tematiky geometrickej optiky. V tom istom súboru môžeme napr.nakreslit’ všetky špeciálne prípady vzniku obrazu pomocouspojky a v d’alšom po-mocou rozptylky. Totiž ak už máme hotovú grafiku pre jeden konkrétny prípad,posunutím predmetu alebo zmenou ohniskovej vzdialenosti šošoviek dostaneme ajiné prípady (obrázok 2).

(a) (b)

Obrázok 2: Zobrazovanie pomocou spojky (a) a rozptylky (b)

Vel’mi podobné konštrukcie môžeme spravit’ aj na ilustráciu zobrazovania gu-l’ovými zrkadlami (obrázok 3a). Nehovoriac o tom, že pomocou animovanéhovýstupu môžeme ukázat’ aj gul’ovú vadu gul’ového zrkadla (obrázok 3b). Alebomôžeme skonštruovat’ také zrkadlo, v ktorom táto vada je odstránená, a ukázat’, žesa jedná o parabolu (obrázok 3c).3

3Postup konštrukcie je podl’a literatúry [1].


(a) (b)

(c)

Obrázok 3: (a) Zobrazovanie pomocou gul’ového zrkadla (b) Gul’ová vada (c) Para-bolické zrkadlo


2.2 Harmonický oscilátor

Tým, že výstup programu môže byt’ animovaný, vel’mi pekne sadá znázornit’ sú-vislost’ medzi rovnomerným pohybom po kružnici a netlmenýmharmonickým os-cilátorom (obrázok 4). Vektory~y,~va~aharmonického oscilátora v každom okamihupredstavujú priemety polohového vektora, vektora rýchlosti a vektora dostredivéhozrýchlenia rovnomerne sa pohybujúceho bodu po kružnici.

Obrázok 4: Súvislost’ medzi rovnomerným pohybom po kružnici a netlmeným har-monickým oscilátorom

Hore uvedené konštrukcie sú triviálne príklady používaniaprogramu Euklidesna hodinách fyziky, ale bez väcších problémov zvládneme aj nácrt niektorých javovz modernej fyziky.

2.3 Geometrické riešenia príkladov z jadrovej fyziky

Nasledovné príkady smecerpali z literatúry [2] . Vyriešili sme ich pomocou prog-ramu Euklides.

Príklad 1. V oblasti vymedzenej rovnobežnými rovinamiσ1 a σ2 je statické ho-mogénne magnetické pole s indukciou~B, ktorého indukcné ciary sú rovnobežnés rovinami. Do oblasti vletí elektrón rýchlost’ou~v pod uhlomα (meranej od nor-mály rovín), kolmo k magnetickým indukcnýmciaram. Urcte rýchlost’~v′ elektrónupo tom,co opustí danú oblast’ s magnetickým pol’om. Vzdialenost’ medzi rovinamiσ1 a σ2 je h.


Obrázok 5: Geometrické riešenie problému.

RieŽenie. Nakreslíme všetky objekty, ktoré vystupujú v úlohe (dlžku h a uholα zvlášt’). Skonštruujeme trajektóriucastice pre jeden konkrétny prípad. Zmenouvel’kostí h a α dostaneme d’alšie riešenia. (obrázok 5)

Príklad 2. Protón letí pozdlž osi y rýchlost’ou~v = [0,v,0]. V bode [0,0,0] vstúpido oblasti so statickým homogénnym magnetickým pol’om, ktorého indukcia~Bmá smer osiz (osi xyz tvoria pravotocivú sústavu). Hranica oblasti s nenulovýmmagnetickým pol’om je v rovinexyurcená krivkouy= f (x). Urcte túto krivku, abykaždý protón nezávisle na vel’kosti rýchlostivbol magnetickým pol’om usmernenýdo boduP so súradnicami [R,0,0]. O vel’kosti rýchlosti protónu predpokladajte, žev < eBR/m, kdem je hmotnosot’ protónu.

Obrázok 6: Geometrické riešenie problému. Zelená krivka predstavujetrajektóriukonkrétneho protónu,cervená krivka je hranica medzi oblast’ou s magnetickou in-dukciou~B (nad krivkou) a vákuom.

RieŽenie.Zvolíme si súradnicovú sústavu a bodP. Skonštruujeme trajektóriu pro-


tónu pre jeden konkrétny prípad podl’a nasledovného postupu (obrázok 6):

1. polkružnica, ktorej dotycnicou je priamka predstavujúca smer letu protónu,

2. z boduP nakreslíme d’alšiu dotycnicu ku kružnici; dotycný bodT predsta-vuje jeden bod hl’adanej krivky,

3. pomocou programu necháme nakreslit’ „trajektóriu“ boduT v závislosti odpolomeru kružnice. Táto trajektória predstavuje hl’adanúkrivku.

Príklad 3. Navrhnite úlohu, kde filter zmení smer letucastíc o konštantný uhol,nezávisle od ich rýchlosti.

Obrázok 7: Geometrické riešenie problému. Vel’mi podobný postup, akona obrázku6. Zelená krivka aj tu predstavuje trajektóriu konkrétnejcastice, kýmcervená priamkaje hranica medzi dvomi oblast’ami.

RieŽenie. Riešenie je v mnohýchcrtoch analogické s predošlým príkladom. Kon-štrukciou nájdeme jeden konkrétny bod hl’adanej krivky, a nakreslíme „trajektóriu“tohoto bodu v závislosti od vel’kosti úsecky, predstavujúcej vel’kost’ rýchlosti pro-tónu (obrázok 7).


2.4 Ukážky z fyziky mikrosveta

K riešeniu nasledujúcich preoblémov musíme poznat’ geometrické scítanie a náso-benie. Jedná sa o pomerne jednoduché operácie, ktoré sú znázornené na obrázku 8.

(a) (b)

Obrázok 8: Súcet a súcin v geometrii.

Pomocou týchto operácií pomerne jednoducho vieme skonštruovat’ graf srd-covky (polárnej funkcie rozdielu vlnových dlžok pôvodného a rozptýleného fo-tónu od smeru rozptýleného fotónu) Comptonovho rozptylu (obrázok 9a) alebozávislost’ tvaru trajektórieα-castice od rázového parametra pri Rutherfordovomrozptyle (obrázok 9b). Postup konštrukcií týchto javov tu nebudeme rozoberat’;všetky hore uvedené súbory sú publikované na adresehttp://www.fpv.ukf.sk/kf/pracovnici/toth/euklides/i ndex.html .

http://www.fpv.ukf.sk/kf/pracovnici/toth/euklides/index.html


(a) (b)

Obrázok 9: a Srdcovka Comptonovho rozptylub Rutherfordov rozptyl

Pri týchto konštrukciách však fakt, že Euklides používa leneuklidovské kon-štrukcie, má svoje následky. Jednak nemôžeme od seba oddelit’ tie výstupy, ktorémajú fyzikálny význam od tých, ktoré takýto význam nemajú. Síce v niektorýchprípadoch aj tieto nefyzikálne riešenia môžu prezradit’ vel’a o skrytých súvislos-tiach modelovaných javov. Napr. v prípade Rutherfordovho rozptylu program vy-kreslí obidve vetvy hyperboly, ktorej prvá vetva znázornuje trajektóriuα-castice,druhá by patrila trajektóriiα-castice so záporným nábojom.

Euklides nepoužíva metriku, teda ani výsledné súbory neprezradia vel’a o kvan-titatívnych súvislostiach modelovaných javov. Ak sa však uspokojíme s nácrtmi,ktoré vystihujú podstatné kvalitatívne vlastnosti, Euklides nás nesklame.

Týmito konštrukciami žiaci jednak lepšie pochopia súvislosti v problémoch,ved’ interaktívne môžu zmenit’ niektoré parametre modelovaných javov. Na dru-hej strane sa zosilnia aj interdisciplinárne vzt’ahy, ved’vedomosti z geometrie saaplikujú na hodine fyziky. Podobné súbory môžeme vytvorit’aj pomocou inýchkonštrukcných programov (napr. Cabri), ktoré teraz nepredstavíme podrobne. Fun-gujú na podobných princípoch ako Euklides a vedia k vel’mi podobným výstupom.


Literatúra

[1] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands. Feynmanovyprednášky z fyziky s rešenými príklady 1. Fragment, 2001.

[2] Teleki Aba, Kecskés Árpád, and L’ubomír Zelenický.Jadrová fyzika. Num-ber 83 in Edícia prírodovedec. Proton, 2001.

MEDVE D Igor

Phase transitions—some rigorous results and applicationsConstantine the Philosopher University

Faculty of Natural Sciences, Department of PhysicsTr. A. Hlinku 1, SK-949 74 Nitra, Slovakia,e-mail: [email protected]

Abstract: We informally discuss the rigorous theory of Borgs and Kotecký on the finite-size effects near first-order phase transitions. The theorycan be applied to give a statis-tical mechanical description of current spikes that are experimentally measured duringfirst-order phase transitions at electrode-electolyte surfaces. Several specific experimentalexamples are considered.

Keywords: First-order phase transition; finite-size effects; lattice model; voltammogram.

1 Introduction

A phase transition means a discontinuity in a thermodynamicpotential (like thefree energy) as a function of a driving parameter (like the temperature or an externalmagnetic field). If it is the discontinuity in the first derivative of the thermodynamicpotential, i.e., in physical observables such as the internal energy or magnetization,then one speaks of afirst-order phase transition(see Fig. 1). An example is a gas-liquid, liquid-solid, or gas-solid state change, when the discontinuity appears in thedensity and the driving parameter is the temperature or pressure.

p0

p

F

(a)

p0

p

-F+¢

-F-¢

-dFdp

(b)

Figure 1: If the first derivative− dFdp of a thermodynamic potentialF shows, as a

function of a driving parameterp, a discontinuity at a pointp= p0, a first-order phasetransition is said to occur atp0 asp is varied.

Strictly speaking, a true discontinuity can appear only in the thermodynamiclimit (V → ∞). However, in real, finite systems the the discontinuity is smoothedout, and a continuous, although possibly very steep transition occurs (see Fig. 2).

49

[email protected]


Similarly, the second derivative of the thermodynamic potential that has a singu-larity of theδ-function type in an infinite system exhibits a sharp spike ina finitevolume. Moreover, in general, the positions of the transition in a finite and in aninfinite volume are mutually shifted. These phenomena are commonly referred toas thefinite-size effects(near first-order phase transitions). It is important to real-ize that whenever one considers a finite system, the interaction of the system withits surroundings, i.e., the boundary conditions must be taken into account. As amatter of fact, the boundary conditions are crucial to determine the behavior offinite-volume observables.

p0pV

p

FV²

FV¢

F¢

Figure 2: A sketch of the first (thick gray line) and the second (black line) derivativeof a thermodynamic potentialFV in a finite volume. The dashed curve corresponds tothe first derivative of the potentialF in an infinite volume. The pointsp0 and pV ofthe transition in an infinite and a finite volume are in generalmutually shifted.

The study of phase transitions, including the finite-size effects poses an in-triguing problem for statistical mechanics. Borgs and Kotecký have developed arigorous theory [1, 2] that in detail describes the finite-size effects near first-orderphase transitions for a large class of statistical mechanical models. Their theoryreveals, in particular, that the behavior of macroscopic observables is strikinglyuniversal. In Section 2 we give a short overview of some results following fromthis theory.

In Section 3 we demonstrate that the Borgs-Kotecký theory can be successfullyused to analyze problems in chemical physics. Namely, to obtain sharp currentspikes that are associated with first-order phase transitions occurring during under-potential deposition. The latter is a deposition of a metal ion from an electrolyteon aforeignmetal electrode at electric potentials at which bulk deposition will nottake place. As an illustration, we consider the underpotential deposition of copper

MEDVED I. — PHASE TRANSITIONS 51

on the (111) and (100) surfaces of a platinum electrode.

2 A rigorous theory of finite-size effects

In this section we give a short informal account of some results of the Borgs-Kotecký theory from Ref. [2].

The Borgs-Kotecký theory is a perturbation theory based on low-temperatureexpansions. It is applicable to a wide range of statistical mechanical models whosemicroscopic configurations can be expressed as regions of ground states mutuallyseparated by sufficiently large energetic barriers (see Fig. 3). Generally speaking,it is applicable to all models that are treatable by the Pirogov-Sinai theory [3, 4]of first-order phase transitions. Typical examples are the standard Ising and Pottsmodels and, more generally, classical lattice models with atranslation invariantinteraction potential of a finite range (no symmetry of the model’s Hamiltonian isneeded).

Figure 3: A sketch of a microscopic configuration of a Pirogov-Sinai model in asquare volume. The thick gray lines represent energetic barriers, while the white partscorrespond to the regions of (possibly different) ground states.

The main assumptions of the theory are rather simple:

– the studied system islarge and of acubic-likeshape in the dimensiond ≥ 2,

– the temperature is sufficientlylow,

– there is afinite number of phases in the system that may coexist, and

– boundary conditions are “weak” (the ones that do not “strongly” prefer anyof the coexisting phases along the boundary of the system).


h0hV

h

m-

m+

mVHhL

1VΧVHhL

mHhL

~1L

~1V

Figure 4: The dependence of the specific magnetization and susceptibility accordingto the Borgs-Kotecký theory.

Instead of considering a general situation, let us consideronly a specific simplecase of the coexistence of two phases in a magnetic system (for instance, the stan-dard Ising ferromagnet), where the driving parameter is an external magnetic fieldh. Moreover, let the system be enclosed in ad-dimensional cube of sideL so thatits volumeV = Ld. Then the macroscopic observables of interest are thespecificmagnetization mV(h) and thesusceptibilityχV(h) in the volumeV (correspondingto the first and the second derivative of the thermodynamic potential, respectively).The results of the Borgs-Kotecký theory applied to this system may be describedas follows (see Fig. 4).

1. The susceptibilityχV(h) attains a single maximum at a pointh = hV whoseshift with respect to the (infinite-volume) transition point h0 is |hV −h0| ∝ 1

L .

2. In the 1L -neighborhood ofh0 the specific magnetizationmV(h) is described

by the function tanh and the sharp spike of the susceptibility χV(h) by thefunction cosh−2 (we will not provide explicit formulas here). In addition,the rounding of the phase transition aroundhV has the width proportional to1V ≪ 1

L .

3. Farther away fromh0 bothmV(h) andχV(h) are very well described by their


infinite-volume limits.

4. The boundary conditions essentially determine the position of the pointhV ,but not the profile of the functionsmV(h) andχV(h). Thus, a different choiceof weak boundary conditions leads to functions that are mutually shifted butof basically identical shape.

5. The correction terms are of the order1L (the surface vs. the volume).

3 Applications in chemical physics

Let us now discuss how the results of the Borgs-Kotecký theory can be applied tocertain experimental problems in chemical physics.

3.1 Underpotential deposition

The deposition from a solution of a given metal ionM+z onto an electrode sur-face consisting of atoms of the same metalM occurs at the thermodynamicallyreversible potentialψrev. The deposition ofM+z (e.g., Cu, Ag) on a foreign metalsubstrateS 6= M (e.g., Au, Pt) may occur at a more positive potentialψ > ψrev. Thelatter phenomenon is calledunderpotential deposition.

Basically, the cause for underpotential deposition to occur is that the interac-tion between the solution metalM and the electrode metalS is thermodynamicallymore advantageous than that betweenM andM. Consequently, only a monolayeror a sub-monolayer is usually deposited, and no bulk deposition takes place (seeFigs. 5(a) and 5(b)) simply because it is thermodynamicallydisadvantageous forψ > ψrev to depositM on itself. Finally, often ordered two-dimensional phases areobserved during the deposition process, and these phases are commensurate withthe geometrical order of the substrate atoms (see Fig. 5(c)).

The production of a monolayer or a sub-monolayer on the electrode surface ata small change of the external electric potentialψ can be interpreted as a phasetransition. The associated voltammogram (the current density versus electric po-tential plot) then shows a sharp spike. These experiments are suitable for the studyof phase transitions with the help of two-dimensional lattice gas models.

3.2 Comparison with experiments

Using the Borgs-Kotecký theory, we have developed a statistical mechanical meth-od [5, 6, 7] from which voltammogram spikes corresponding tofirst-order phasetransitions can be obtained. Voltammogram spikes are interpreted as a consequence


(a) (b)

(c)

Figure 5: Bulk deposition (a) versus underpotential deposition (b).The structure ofthe deposited atoms (black disks) usually reflects the geometrical order of the sub-strate atoms (white disks).

of the finite-size effects and are modeled by two-dimensional lattice gases. Themethod allows one to relate experimental data (such as the area, maximum position,and the width of the spike) to microscopic parameters of the lattice gas (such as theinteraction energies between the atoms of the metalsM andS).

We will not discuss technical details of the method. Rather,we just use concreteunderpotential deposition processes to show how theoretically obtained spikes fitthe experimentally measured ones. Namely, the underpotential deposition of Cu onPt(111) and on Pt(100) (see Figs. 6 and 7, respectively). As the figures show, thereis very good agreement between the experimentally and theoretically obtained vol-tammogram spikes.

Microscopically, we modeled the three deposition processes by the standardone component lattice gas (the Ising model). The corresponding values of the inter-action energies between the Cu atoms as determined from experimental data are−446.3 meV for Pt(111) and−575.3 meV and−579.2 meV for Pt(100).


0.30 0.35 0.40Ψ @VD

5

10

15

20

JHΨ L @ΜA cm-2D

Figure 6: The underpotential deposition of Cu on Pt(111) from Ref. [8], Fig. 3(a).The dashed curve is obtained from experiment, the gray one from theory. The electricpotential change rateν = 1.0 mV.s−1.

Acknowledgments

This research was supported by the Robert A. Welch Foundation, Grant P-0446,and by Grant VEGA 1/3031/06 and Grant CGA V/4/2005.


0.67 0.70 0.73Ψ @VD

50

100

150

JHΨ L @ΜA cm-2D

(a)

0.550 0.585 0.620Ψ @VD

50

100

JHΨ L @ΜA cm-2D

(b)

Figure 7: The underpotential deposition of Cu on Pt(100) from: (a) Ref. [9], Fig. 1(a);(b) Ref. [10], Fig 3(c). The dashed curves are obtained from experiment, the gray onesfrom theory. The electric potential change rateν = 20.0 mV.s−1 andν = 10.0 mV.s−1,respectively.

Bibliography

[1] C. Borgs and R. Kotecký. A rigorous theory of finite-size scaling at first-orderphase transitions.J. Stat. Phys., 61:79–119, 1990.

[2] C. Borgs and R. Kotecký. Surface-induced finite-size effects for the first-order phase transitions.J. Stat. Phys., 79:43–116, 1995.

[3] M. Zahradník. An alternate version of Pirogov-Sinai theory. Commun. Math.Phys., 93:559–581, 1984.

[4] C. Borgs and J. Z. Imbrie. A unified approach to phase diagrams in fieldtheory and statistical mechanics.Commun. Math. Phys., 123:305–328, 1989.

[5] D. A. Huckaby and I. Medved’. Shapes of voltammogram spikes explainedas resulting from the effects of finite electrode crystal size. J. Chem. Phys.,117:2914–2922, 2002.

[6] I. Medved’ and D. A. Huckaby. Voltammogram spikes interpreted as envel-opes of spikes resulting from electrode crystals of varioussizes: Applicationto the UPD of Cu on Au(111).J. Chem. Phys., 118:11147–11159, 2003.


[7] I. Medved’ and D. A. Huckaby. A statistical mechanical study of currentspikes due to phase transitions at electrode-electrolyte interfaces. J. Stat.Phys., 2007. In press.

[8] J. H. White and H. D. Abruña. Coadsorption of copper with anions on plati-num (111): the role of surface redox chemistry in determining the stability ofa metal monolayer.J. Chem. Phys., 94:894–900, 1990.

[9] A. M. Bittner, J. Wintterlin, and G. Ertl. Strain relief during metal-on-metalelectrodeposition: a scanning tunneling microscopy studyof copper growthon Pt(100).Surface Science, 376:267–278, 1997.

[10] D. M. Kolb. The initial stages of metal deposition: An atomistic view, volume2:5–35 ofSchering Lectures. Schering Research Foundation, Berlin, 1991.

AHMED Mustafa M. Abdalla , TOMÁNEK Pavel

Local investigation on alternating current ZnS:Mnthin-film electroluminescent devices

Brno University of TechnologyFaculty of Electrical Engineering and Communication, Department of Physics

Technická 8, CZ-616 00 Brno, Czech RepublicTOMÁNEK Pavel†, e-mail: [email protected]

AHMED Mustafa M. Abdalla,e-mail:[email protected]

† Corresponding author

Abstract: The advancement of ACTFEL technology is dependent on the development ofnew processing techniques and new phosphor materials. The short description of materialrequirements for the constituent layers of ACTFEL devices and of luminescent impuritiescommonly used in ACTFEL devices and their local electroluminescent measurement ispresented.

Keywords: ZnS:Mn phosphor, alternating-current thin-film electroluminescent, electrolu-minescence, photoluminescence, Scanning near-field optical microscopy

1 Introduction

An introduction to alternating-current thin-film electroluminescent (ACTFEL) de-vice technology began with the discovery of the category of materials that lumi-nesce, known as phosphors. Luminescence is the non-thermalconversion of energyfrom some excitation source into light. The phenomenon of luminescence [1] is ob-servable in many forms, such as bioluminescence from the biochemical reactions ofluciferin in freies, triboluminescence from the mechanical energy imparted whilecrushing sugar, and cathodoluminescence occurring in an operating television.

An ACTFEL device has the structure of a metal-insulator-semiconductor-in-sulator-metal (MISIM) thin-film stack. The standard ACTFELdevice structure,shown in Fig.1, employs a transparent substrate, typicallyglass, coated with atransparent conducting layer, which serves as the bottom electrode. The bottominsulator, phosphor, and top insulator layers reside between the bottom transparentconductor and a top conducting layer, which is opaque. The top conducting layerserves both as an electrical contact and as a reflector to direct light generated in thephosphor layer out through the glass substrate [2] .

The operation of an ACTFEL device is dependent on the performance of all ofthe constituent layers. Especially important are the properties of the phosphor and

59

[email protected]

[email protected]


(a) (b)

Figure 1: Fig.6.1(a) shows the standard ACTFEL device structure. Fig.6.1(b) Showsan energy band diagram of an ideal ACTFEL device under applied voltage, illustratingthe primary physical properties involved in its operation.

insulator layers. This paper describes ACTFEL device thin-film layer requirementsand discusses properties of commonly employed materials.

2 Phosphor layer

There are many material systems available for use as phosphors; however, onlycertain phosphors satisfy the requirements necessary for use as ACTFEL devicephosphors. Because of high field operation and the need for energetic electrons inthe phosphor conduction band, many phosphor materials are not suitable for ACT-FEL applications. Currently, the only two ACTFEL phosphorswith the luminance,efficiency, and stability satisfactory for use commercially are ZnS:Mn and SrS:Ce.

The first requirement of an ACTFEL phosphor host material is that the band-gap be large enough to emit visible light from the luminescent centers withoutabsorption. If the bandgap is too small, optical absorptionof emitted photons inthe phosphor layer prevents emitted light from reaching theviewer. Also, a phos-phor material with a bandgap that is too large generally has relatively deep interfacestates that do not emit a sufficient number of electrons at fields reached with reason-able applied voltages (< 300 V). These limits put the range of bandgaps suitablefor ACTFEL phosphor applications at 3 to 4.5 eV. It is also useful to know thetransition type of the bandgap and the effective masses of the principal conductionbands, because of their influence on interface carrier injection. The emission ratedue to pure tunneling from a coulombic interfacial trap is exponentially dependenton the square root of the effective mass of the lowest lying conduction band. [3]

AHMED M.M.A., TOMÁNEK P. — LOCAL INVESTIGATION ON . . . 61

The second ACTFEL phosphor material requirement is that thedielectric pro-perties be such that an electric field large enough for electron injection can be achie-ved and that the injected electrons are efficiently transported in the phosphor layer.The applied voltage is dropped across both the insulator layers and the phosphorlayer.

The field in the phosphor layer is then given by [4]

fp =Cins

Cins+Cph

Vappl

tph(1)

whereCins is the capacity of insulator andCph of phosphor layer,Vappl is thevoltage applied to the device andtph is the thickness of the phosphor layer. Theapplied voltage at which injection occurs and the purely capacitive behavior of thephosphor layer is no longer present is the threshold voltage, Vth. When a voltageis applied across the device with a magnitude greater thanVth, charge is transfer-red across the phosphor layer and light emission is observed, if the carriers exciteluminescent impurities.

The equation reveals that the conditionCph ≪ Cins will ensure a larger phos-phor field. Therefore, the dielectric constant of the phosphor should be as small aspossible relative to the insulator, so that most of the applied voltage drops acrossthe phosphor layer rather than across the insulator.

One final restriction on the phosphor material of an ACTFEL device is im-posed by the use of glass as a substrate. The best ACTFEL devices are made whenthe phosphor layer achieves a high degree of crystallinity and a large grain size[5]. Delocalized carrier transport through the phosphor, which is necessary for ahot electron distribution that will efficiently excite luminescent centers, increasesdramatically with higher crystallinity. Electron transport in amorphous or poorlycrystallized material is via hopping rather than normal, extended state band trans-port; hopping conduction is a much less efficient means of electron transport thandelocalized band state conduction. Improving the crystallinity of the phosphor willenhance the transport of electrons at high fields. It has beenproposed that polycrys-talline grain growth begins at temperatures roughly half ofthe melting temperatureof a material. This implies that phosphor materials with melting temperatures above∼ 1300 °C will not produce high quality ACTFEL devices on substrates that can-not tolerate temperatures above 650 °C. This limit is relaxed with the use of postdeposition rapid thermal annealing, where temperatures inexcess of the substratemelting temperature can be reached for short periods of time. Higher temperaturesubstrates are also available, but are generally expensive.

The phosphor material should be chemically stable. The ACTFEL phosphormust remain stable throughout the lifetime of the device in order to maintain con-stant performance. Current ACTFEL phosphor host materialsare limited by these


Host material β−ZnS CaS SrS BaSBandgap (eV) 3.6 4.4 4.3 3.8Transition type direct indirect indirect indirectCrystal structure zinc blende rock salt rock salt rock saltLattice constant (Å) 5.409 5.697 6.019 6.384Cation radius (pm) 74 114 132 149Dielectric constant 8.3 9.3 9.4 11.3Melting point (°C) 1700 2400 > 2000 1200

Table 1: Properties of phosphor host materials used in ACTFEL devices.

requirements to alkaline-earth sulfides, MS, ZnS, and the ternary alkaline-earththiogallates, MGa2S4 (M: Ca, Sr, Ba). Oxide materials are generally quite refrac-tory and possess bandgaps too large for ACTFEL applications, although some ter-nary oxide materials, such as Zn2SiO4, Zn2GeO4, ZnGa2O4, etc., may be suitablehosts. The sulfide phosphors also exhibit excellent charge injection properties, es-pecially ZnS and SrS. Several relevant physical propertiesfor ZnS and the MSphosphor hosts are summarized in Table 1.

Phosphors generally consist of a host material and a light-emitting dopant,known as an activator or a luminescent impurity. The luminescent impurity ordina-rily replaces the cation of the host material. Matching of the cation and dopant ionicradii is desirable for crystallinity and stability reasons, but several bright and effi-cient ACTFEL phosphors are known where the ionic radii are not closely matched.Another critical parameter is the valence of the activator and whether it matchesthat of the cation. If the formation of Schottky defects, also known as vacancies, isnot desired, then the valence of the cation and activator should match, unless otherdopants are utilized to extrinsically compensate the valence mismatch. The ionicproperties of several luminescent impurities are given in Table 2.

The most extensively studied ACTFEL phosphor is Mn2+doped ZnS, orZnS:Mn. ZnS:Mn emits an amber colored light with a broad emission spectrumpeaked at approx. 585 nm. Most current commercial ACTFEL products are basedon ZnS:Mn phosphors.

Producing a full-color ACTFEL display may be accomplished by the color-by-white approach or the patterned phosphor approach. The color-by-white approachuses a white phosphor and color filters to produce the primarycolors red, green,and blue. The patterned phosphor approach produces full color by patterning pixelsof phosphors that emit the three primary colors. The target luminance, efficiency,and CIE color coordinates for the three primary colors to produce a high qualityfull-color ACTFEL display are listed in Table 3, whereL40 andη40 are the lumi-


nance and efficiency at 40 volts aboveVth, respectively. ZnS:Mn and SrS:Ce arecurrently the most developed ACTFEL phosphors, but neitheremits a saturatedprimary color.

Ion Ion radius Emission Lifetime Emission(pm) orbital (s) structure

Me2+ 80 3d5 ∼ 10−3 broadbandCe3+ 115 5d −→ 4 f 10−7−10−8 broadbandCu 91 3d94s1 −→ 6d10 10−6 broadband

Eu2+ 131 4f65d−→ 4f7 10−5−10−6 broadbandEu3+ 108.7 4f6 −→ 4f6 10−3 sharp linesTb3+ 106.3 4f6 −→ 4f6 10−3 sharp lines

Table 2: Properties of luminescent impurities.

Color L40 (cd/m2) η20 (lm/W) CIE x CIE zgreen 310 2.0–3.0 0.30 0.60red 155 1.0–1.5 0.65 0.35blue 52 0.3–0.5 0.15 0.10

Table 3: Get luminance, efficiency, and CIE coordinates (50 Hz) for a high-luminancefull-color ACTFEL display.


3 Experimental

The most important properties of an ACTFEL device are

• the intensity of the light output,

• the power required to generate that light, and

• the color of the light.

As a result of this, the most commonly performed characterization experimentsmeasure the luminance, the luminous efficiency, and the color spectrum of an ACT-FEL device.

To locally investigate both the nanocrystal and bulk samples, Scanning near-field optical microscope in illumination-refection mode was used in two differentways: [6]

1. For PL measurement an external illumination of ZnS:Mn samples in cryostat(T = 77 K) by N2 laser (λ = 337 nm, beam diameter 2µm on the sample)was used, PL spectrum was then collected via tapered single-mode opticalfiber and analysed by fiber spectrophotometer.

2. For EL measurement a light emmited from ACTFEL device surface undera voltage above threshold was collected by a tapered single-mode opticalfiber and analysed by fiber spectrophotometer. This measurement has beendone at room temperature (T = 295 K). Piezoelectric tuning fork, appliedin a shear-force detector, controls the tip-sample distance (typically 10 nm).Sample was scanned (10× 10 µm) under the tip by using XYZ piezo andscanner unit.

Measurable quantities of interest include luminance, luminous efficiency, emis-sion spectrum, latent image, and defects. The luminance (orluminous intensity) ofan ACTFEL displays is a function of the peak voltage and frequency of the drivewaveform, the intrinsic efficiency of the insulator-phosphor-insulator stack, andthe operating history (aging). The luminous efficiency is a function of the drivewaveform shape and frequency as well as various device parameters. The emissionspectrum is primarily determined by the phosphor host material and activators, al-though it is also affected by the deposition and annealed conditions and in somecases by the drive voltage and frequency [4] .


4 Results

4.1 Photoluminescence (PL) spectrum

The spatially resolved PL spectrum has been studied using a reflection scanningnear-field optical microscope (SNOM). In the SNOM images of nanostructuredsample, some bright spots (200−250 nm diameter) on the luminous sample sur-face were observed, while the bulk sample shown the luminance of the surfacealmost homogeneous. The PL spectrum at each bright spot is broad and is not sen-sitive to the monitored positions. Moreover, the broad SNOM-PL spectrum at eachspot is very similar to the macroscopic PL spectrum measuredby conventionaloptics.

Emission measurements demonstrate the effects of doping the ZnS with Mn.The emission peaks of material are at 585− 595 nm, which is due to the lumi-nescence of Mn2+ in ZnS. The energy transferring from ZnS to Mn2+ results inthe luminescence of Mn2+. The excitation bandgap of ZnS forms exitons, andthese excitons get the center of Mn2+ through nonradiation dominates, by meansof transition of4T1− 6A1 luminescence. This spectrum is evidence that Mn2+ hasbeen incorporated into the ZnS nanoparticles. In addition,the emission spectrum ofmaterials shows the red shift with respect to bulk ZnS, however this shift is slight.The red shift o peak position is thought to be a result of electron-hole localizationin the quantum-confined particles lifting the degeracy of the 4T1 and6A1 levels andthereby shifting the transition to lower energy level.

4.2 Luminance-voltage characterization

The L−V curve is dependent on several factors, and it is necessary tospecifysome of them when reporting results. [7] The measured luminance is dependenton the type of driving waveform, the shape of the waveform, and the frequencyof the waveform. The fraction of time that the driving waveform spends above theturn-on voltage determines the luminance of the device. Thus, a driving waveformwith a higher frequency or a shape such that the time above turn-on is greater willcause a higher luminance. TheL−V curve is also dependent on the ambient tem-perature, the dopant concentration, and the thickness of the phosphor layer. Whenthe temperature is increased, the probability of de-excitation through non-radiativerecombination is significantly increased, which leads to reduced light output. Tem-perature also may affect the threshold voltage in anL−V curve since interfaceemission and space charge generation mechanisms are dependent on temperature


Figure 2: Near-field PL spectra for different Mn concentrations (T = 77 K).1 - 0.05 wt %,2 - 0.1 wt %,3 - 0.5 wt %,4 - 1.0 wt %

[8] . Luminance increases with luminescent impurity dopantlevel for low concen-trations. Increasing the density of luminescent centers raises the probability of anelectron undergoing a collision with a luminescent center.This trend holds as longas the impurity concentration is low enough that phosphor crystallinity is maintai-ned and concentration quenching does not occur.

Increasing the phosphor layer thickness also increases theprobability of elect-ron impact excitation with an impurity. The threshold voltage is also affected bythe phosphor thickness, since a higher voltage is required to achieve the thresholdelectric field in a thicker device.

4.3 Efficiency-voltage characterization

Another ACTFEL characterization procedure of interest is the efficiency-voltage(η−V) measurement. Theη−V measurement determines the luminous intensityof an ACTEL device per unit power consumed, or luminous efficiency,η, whichhas units of lumens per Watt (lm/W). The luminous efficiency is found from

η = πLP

(2)


whereL is the measured luminance in cd/m2 andP is the applied power density inW/m2. The luminous intensity is found by assuming the luminance isconstant in alldirections and integrating over all viewable angles. The power density is measuredat the same time as the luminance and is found from

P =1Aτ

∫ t+τ

tν(t ′)i(t ′)dt, (3)

whereA is the device area,τ is the period of the driving waveform, andν(t ′) andi(t ′) are the applied voltage and current waveforms, respectively. Figure 4 showsanν−V curve for an ALE ZnS:Mn device [9] .

Figure 3: An efficiency-voltage (η−V) curve for an ALE ZnS:Mn ACTFEL devicedriven by a 50 Hz bipolar trapezoidal waveform.

Since the luminous efficiency is dependent on the luminance,it is influenced bymost of the same factors. When contemplating the influences on the efficiency, it isuseful to consider the interactions an electron may undergoin an ACTFEL deviceand the conditions required for the interactions to take place. Once an electron isin the phosphor, in order for electroluminescence to occur,an electron must impactexcite a luminescent impurity, so the luminous efficiency isproportional to theexcitation efficiency,ηexc= σNd, whereσ is the impact excitation cross section,N


the dopant concentration, andd the phosphor layer thickness. This assumes that thefield is large enough everywhere in the entire thickness d of the phosphor that theelectrons have enough energy to impact excite the luminescent center. This is notthe case if there is positive space charge present in the phosphor. The thickness ofthe active region, where there is a sufficient field for impactexcitation, is reduced ifspace charge is present, which reducesηexc and therefore the luminous efficiencyη [10] .

In addition to the luminance, the luminous efficiency also depends on the powerinput to the ACTFEL device. Thus if a factor that increases the brightness alsoincreases the power consumption, such as the frequency of the driving waveform,then the efficiency is not increased. The change in luminancecaused by a changein the driving frequency coincides with an increase in the power consumed, sothe luminous efficiency does not increase with frequency. Luminous efficiency isaffected in a similar way by the device thickness. Thicker phosphor layers enhancethe luminance, but also cause the threshold voltage to increase. This would requirea higher operating voltage, which causes the power to increase, as evident fromequation (3).

4.4 Transient brightness analysis

A less common optical ACTFEL characterization experiment is the transient bright-ness, orb(t), measurement. In ab(t) measurement, the optical output of an ACT-FEL device is measured as the output current of a photomultiplier tube over theduration of an applied voltage pulse. In ab(t) measurement, photon emission isobserved as a function of time, so that it can be correlated with the applied voltagewaveform, which yields information about various aspects of the operation of anACTFEL device.

The observed two peaks are identified with the correspondingportion of theapplied voltage waveform,νa(t). The first peak in the transient brightness curve istermed leading edge (LE) luminescence, while the peak at theend of the appliedvoltage pulse is known as trailing edge (TE) luminescence. LE luminescence isdue to the radiative decay process back to the ground state ofluminescent centersexcited by impact excitation with electrons as they transitthe phosphor after beingemitted from the cathodic phosphor/insulator interface.

Some of the electrons in the excited state do not decay to the ground state butinstead are further excited to the conduction band by the high electric field. Theseelectrons, as well as the electrons injected from the cathodic phosphor/insulator


Figure 4: Transient brightness curve for a sputtered SrS:Cu ACTFEL device.[6]

interface, are swept to the anodic interface where they accumulate in traps at thephosphor/insulator interface. As the magnitude of the applied voltage is reduced,these electrons drift back across the phosphor toward the cathodic interface by aninternal electric field. Radiative recombination of these electrons with the ionizedluminescent centers is observed as TE emission.

5 Conclusion

This paper reviews issues relevant to the development of ACTFEL materials anddevices. The chapter begins with a discussion of the requisite properties of the ma-terials employed to build ACTFEL devices. Finally, the essentials of luminescentimpurities commonly found in ACTFEL research are presented.

A study of the electro-optical characteristics of ZnS:Mn ACTFEL devices ispresented. Although the electro-optic performance of these devices is rather good,the luminous efficiency is currently not sufficient to justify commercialization ofthis phosphor. Future efforts to improve the luminous efficiency of this phosphorshould focus on alternatives to field-ionization of impact-excited Mn2+ lumines-cent impurities as a means of introducing space charge into the phosphor; perhapsthis could be accomplished via codoping or the use of alternative annealing pro-cedures. Also, the use of luminescent impurities with shorter lifetimes could be


advantageous since this would minimize transient luminance annihilation.Though the topographic resolution of SNOM is not its best feature and it is not

as high as that of scanning force microscopy, its usefulnesshas been clearly de-monstrated. In some cases, it offers a unique perspective that simply cannot be ob-tained by any other characterization process. SNOM techniques have shown to beextremely important characterization tools for nanostructured materials, not onlyfor engineered semiconductor materials but for molecular-based nanostructures aswell.

Acknowledgment

The research has been supported by the Czech Ministry of Education under Re-search program MSM 0021630503 MIKROSYN: New Trends in MicroelectronicSystem and Nanotechnology.

Bibliography

[1] T. et al Inoguchi. InDigest 1974 SlD International Symposium, page 84, LosAngeles, 1974.

[2] Y.A. Ono. Electroluminescent display. World Scientific, Singapore, 1995.

[3] Keir P. D. Wager J. F. Shih, S.-P.J. Appl. Phys., 78:5775, 1995.

[4] Tomanek P. Ahmed, M. M. A. InProc. EDS’04, page 76. VUT Brno, 2004.

[5] P. et al Tománek.Phys. Low-Dim. Struct., (1-2):47, 2004.

[6] P. et al Tománek.Mater. Sci. Forum, 482(1):151, 2005.

[7] P. et al Dobis. InProc. 10th Electronic Devices and Systems Conf., page 287.VUT Brno, 2003.

[8] M.M.A. Ahmed. In New trends in Physics, Brno. ISBN: 80-7355-024-5.

[9] M.M.A. Ahmed. Transaction VŠB-TU Ostrava, 51(2):1, 2005.

[10] Tománek P. Ahmed, M. M.A. InProc. SPIE, volume 6018, page 61, 2006.

AUBRECHT Vladimír, BARTLOVÁ Milada

Radiative Heat Transfer in Thermal PlasmaBrno University of Technology

Faculty of Electrical Engineering and Communication, Department of PhysicsTechnická 8, CZ-616 00 Brno, Czech Republic

BARTLOVÁ Milada†, e-mail:[email protected] Vladimír,e-mail:[email protected]


Abstract: Radiation emission and absorption in thermal arc plasmas are important energytransfer processes. Exact calculations, though possible in principle, are usually impossiblein practice because of the need to treat a large number of spectral lines and also the conti-nuum radiation in the whole spectrum range. So far, we have used an approximate methodof partial characteristics to evaluate the radiation intensities, radiation fluxes and the diver-gence of radiation fluxes for arc plasmas of SF6, PTFE, Ar, H2O, and their mixtures. Inthis paper, we have extended our calculations to arc plasma of air at the plasma tempera-tures in the range of 300−35000 K and pressures from 1 to 10 bars. We have calculatedthe coefficients of absorption for air plasmas at different temperatures, and have used thesecoefficients to calculate the partial characteristics. Both the continuum and the line spectraof atoms, together with molecular band contributions have been included in calculations.The method of partial characteristics has been applied to 3Dcalculations of radiative heattransfer for cylindrical arc plasma in simplified temperature profiles. Conclusions havebeen made concerning validity and utilization of the methodof partial characteristics ingeneral gas dynamics problems.

1 Coefficients of absorption

Prediction of both radiation emission and absorption spectra requires data of thecontinuum and the line spectra, respectively. The spectralcoefficients of absorptionneed to be calculated as a function of radiation frequency inthe whole spectralrange, from the infrared to the far ultraviolet region.

Absorptivity is proportional to the concentration of the chemical species oc-curring in the plasma. In the present paper, the dry air was assumed US standardatmosphere from sea level [1] consisting of N2, O2, Ar and CO2. An equilibriumcomposition of the air plasma was computed using Tmdgas code[2]. We assumeatoms and up to the triple ions of N, O, Ar, C elements, respectively, and diatomicmolecules O2, N2, N+

2 , NO, NO+.

Both line and continuum radiations were considered in calculations of ab-sorption coefficients. Photo-recombination radiation and’bremsstrahlung’ radia-tion contribute to the continuous spectrum. Semi-empirical formulae described inmore detail in [3] were used for calculation of the continuumabsorption coeffi-cients.

71

[email protected]

[email protected]


The absorptivity for each spectral line depends on the line shape. The fine mul-tiplet structure and the lines overlapping should also be taken into account. Ourcalculations of line broadening account for Stark and Doppler half-widths, andline shifts, and for resonance half-widths. Theoretical formulae are given in [3].We have taken into consideration more then 600 energy levelsand almost 2000spectral lines of the above mentioned atoms and ions. Due to the structure of thelines, very fine integrations step has to be chosen in all considered computationswhich lead to the enormous computation times.

The calculated radiation absorption coefficients as a function of radiation fre-quency for plasma temperature 9000 K and pressure of 1 bar is shown in Fig. 1.

Figure 1: Absorption coefficient of continuum and line radiation of air arc plasma.

Molecular band contributions to the total absorption must be taken into accountfor plasma when the temperature is below 8000 K. The molecular spectra are morecomplicated; energy levels in a molecule are given respectively by the whole mole-cule rotation (rotation levels), by a vibration of consisting atoms (vibration levels)and due to changes in its electron configuration (electron levels). The main con-tributions to the radiative heat transfer give the transitions between electron levelswhich lead to molecular band systems.

In the calculation of absorption coefficients for the molecular band system wehave used the Franck-Condon principle. For approximate calculation of radiative

AUBRECHT V., BARTLOVÁ M. — RADIATIVE HEAT TRANSFER IN . . . 73

properties, it is useful to use the absorption coefficient averaged through the ro-tational spectrum, and also partially smeared through the vibration structure [4].An example of calculation of photo absorption cross sectionfor molecule N+

2 isshown in Fig. 2 as a function of radiation wavenumber. Comparison is made withthe results published in Ref. [4].

Figure 2: Photoabsorption cross section of molecule N+2 as a function of radiation

wavenumber for temperature 8000 K.

Calculated total spectral coefficients of absorption (continuum, lines and mo-lecular bands) at various plasma temperatures are presented in Fig. 3. From theFig. 3, it can be seen quite large contribution of molecular species to the absorptionof the visible and ultraviolet radiation at low temperatures. For the temperaturesabove 10000 K, the effect of molecules to the radiative transfer is negligible.

2 Method of partial characteristics

Typical radiation quantities of interest: radiation intensity, radiation flux and diver-gence of radiation flux are calculated from integrals over the radiation frequency


(a) (b)

Figure 3: Spectral absorption coefficients of radiation in air plasmaat various tempe-ratures as a function of radiation frequency at the plasma pressure of 1 bar.

for various line segments and solid angles of the plasma volume. Values of radia-tion quantities at a given point of the plasma volume depend on the temperaturedistribution of the entire volume of the plasma.

To account for emission and absorption of radiation energy,integrations needto be made to account for radiation for all elements along anyparticular directionsimultaneously with integrations over all solid angles. Usually direct frequencyintegration of the spectral characteristics of the radiation field in solving gas dy-namics problems is impossible in practice, even with moderncomputers, due to thelarge computation times that are required, so that some approximation have to beused.

Several approximate methods of accounting for radiative transfer in the arcplasmas have been developed. A computationally convenientmethod is the use ofnet emission coefficients of radiation defined by Lowke [5]. Application of thismethod for the prediction of temperature profiles gives goodresults for central arctemperatures, but it very roughly predicts temperature profiles at the low temper-atures near the edge of the arc, because of the absorption of ultra violet radiationemitted at the centre of the arc at high temperatures.

The re-absorbing of radiation can be taken into account moreprecisely by


using other approximate method of partial characteristics(MPC), formulated bySevast’yanenko [6]. The possibilities of MPC are discussedworldwide, especiallywith intent on using the method in complex CFD problems of switchgear mode-ling. Beside of our work [7, 8], large scale of contributionshas also been made byUniversity of Toulouse under supervision of Dr. Gleizes [9].

The principle of the method of partial characteristics is that integrals over radia-tion frequencies in equations for radiation quantities canbe performed in advanceto form the functions, called partial characteristics. Theses functions are stored indata tables according to several parameters, such as plasmapressure, temperatureand geometrical dimensions. Computation of the tables of partial characteristics isvery time demanding, but they are computed only once and thenit is possible touse them repeatedly in different kinds of gas dynamics problems.

3 Results

Up to now we have been preparing tables of partial characteristics for followingarc plasmas: SF6 at pressures from 0.1 to 6 MPa, different mixtures of SF6 andPTFE at pressures 0.5 to 5 MPa, mixtures of SF6 with Cu at pressure 0.5 MPa,Ar at pressures 0.1 to 1 MPa, H2O at pressure 0.1 MPa, and air at pressures 0.05to 0.5 MPa. In all cases the plasma temperatures cover the range from 300 K to40000 K with geometrical distance from 0.0001 to 1 m.

Calculated radiation fluxes and divergence of fluxes (net emission) for arcplasma of air at pressures of 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, and 1 MPa aregiven in Figs. 7.4(a)and 7.4(b). Parabolic temperature distribution was assumed in both cases. Result-ing curves correspond to the middle of the plasma cylinder with the height of 4 cmand radius of 0.5 cm. It can be seen that the role of the radiation in the arc plasmaenergy balance increases rapidly with the plasma pressure.

It has been found that the method of partial characteristicsis a very good math-ematical tool for prediction of radiative heat transfer in the arc plasmas. If thetables of partial characteristics are used, the calculations of radiation quantities arenot so time demanding and yield a good agreement with exact calculations. Usingsimple programme routines, it is possible to include radiative heat transfer intomore complex codes for gas dynamics problems solution.


(a) (b)

Figure 4: Figure 7.4(a) shows calculated radiation flux in the air plasma cylinderwith the height of 4 cm. Figure 7.4(b) shows calculated net emission (divergence ofradiation flux) in the air plasma cylinder with the height of 4cm.

Acknowledgment

Authors gratefully acknowledge support from Grant Agency of Czech Republicunder project GA 102/04/2090 and from Ministry of Educationunder project MSM0021630503.


References

[1] D. R. Lide (Editor in Chief), editor. Handbook of Chemistry and Physics.Bocca Raton: CRC Press, 80th edition 1999 - 2000 edition, 2000.

[2] O. Coufal. Acta Technica CSAV, 37:209, 1992.

[3] J.J. Lowke R.W. Liebermann.J. Quant. Spectrosc. Radist. Transfer, 16:253,1976.

[4] A.Ch. Mnacakanjan.TVT, 6:236, 1968.

[5] J. J. Lowke.J. Quant. Spectrosc. Radist. Transfer, 14:111, 1974.

[6] V. G. Sevast’yanenko.J. Eng. Phys., 36:138, 1979.

[7] V. Aubrecht and J. J. Lowke.J. Phys. D: Appl. Phys., 27:2066, 1994.

[8] V. Aubrecht and M. Bartlova.IEEE Trans. On Plasma Sci., 25:815, 1997.

[9] G. Raynal and A. Gleizes.Plasma Sources, Sci. Technol., 4:152, 1995.

FARKAS Zsuzsa, HORVÁTH Zoltán

Investigation of Coupled Pendulums with V-scope System

FARKAS Zsuzsa†, University of SzegedJuhász Gyula Teacher Training Faculty, Department of Physics

Boldogasszony sgt. 6, H-6725 Szeged, Hungary,e-mail:[email protected]

HORVÁTH Zoltán, University of SzegedFaculty of Natural Sciences, Department of Optics and Quantum Electronics

Szeged Dom ter 9, H-6701 Szeged, Hungary,e-mail:[email protected]


Abstract: When presenting quantitative experiments in the teaching of kinematics, wehave to measure position, velocity and acceleration. The available possibilities are verylimited, and the methods are difficult. However, there is a kind of equipment that enableseasy quantitative measurements is of great help for both student and teacher, it simplifiesthe lengthy and tiring evaluation, and moreover it also gives an immediate representationof the examined motion.

When presenting quantitative experiments in the teaching of kinematics, wehave to measure position, velocity and acceleration. The available possibilities arevery limited, and the methods are difficult. However, there is a kind of equipmentthat enables easy quantitative measurements is of great help for both student andteacher, it simplifies the lengthy and tiring evaluation, and moreover it also givesan immediate representation of the examined motion.

This equipment is the V-scope (vector-scope), which won thegold medal at the1990 Didactic World Exhibition.

The V-scope makes possible to follow motion not only in one dimension, butalso in two and three dimensions. It is a system based on a PC, which can simulta-neously measure, record and analyze the movement in space ofseveral (maximumfour) bodies. The basis of the system is distance measurement - the position of theexamined bodies is established using infrared and ultrasonic detection. From theposition data obtained, the PC establishes the functions velocity versus time, andacceleration versus time. It is also possible to define otherphysical quantities forexample momentum and kinetic energy.

The main advantage of the system is that the motion of bodies and the changesof the derived quantities can be followed on the PC screen. Itis also possible toprint the relevant graphs. We can replay the experiments, save our data and exportthem into different Windows applications.

During the Experimental Physics Courses of the University of Szeged, it hasbeen possible for more than ten years to demonstrate different motions: uniform

79

[email protected]

[email protected]


The Vector-scope system

motion, uniform motion with constant acceleration and uniform motion with chang-ing acceleration, for example simple harmonic motion usingV-scope.

In the past years a laboratory practical class has been developed, where weuse V-scope to examine coupled oscillation motion. With thehelp of the system,position versus time graphs, beat graphs can be drawn easilyand quickly, and ontheir basis we can establish normal frequencies, normal period times and beat time.Using these data, the so-called coupling constant of coupled pendulums can beobtained easily. Since the coupling constant depends on geometrical parameters(spring-constant, length of the coupling, length of the pendulum, mass of the pen-dulum), it can be determined from these data as well.

The aim of the article is to present the V-scope system, the theoretical back-ground of coupled pendulums, the system under investigation. First I am goingto demonstrate how the beat frequencies can be determined from measuring self-oscillations and how the coupling constant changes with coupling parameters andI show the measurement results at a given arrangement also.

These measurements carried out in the laboratory practicalclass have the fol-lowing goals:

• Knowing the V-scope system

• Application of the V-scope system to solve a mechanical problem: behaviour

FARKAS ZS., HORVÁTH Z. — INVESTIGATION OF COUPLED PENDULUMS . . . 81

of coupled pendulums

• Investigation of self-oscillation and beat frequency

• Calculation of coupled constant

1 Theoretical background of V-scope

The V-scope system follows the traces of moving bodies through measuring theircoordinates (max. four bodies) in 1, 2, or 3 dimensions. Representing these data infunction of time, we could get the trajectories

R(t) = [x(t),y(t),z(t)].

The method gives the immediate representation of the motioninvestigated on thePC screen simultaneously drawing the position-, velocity-, and acceleration vec-tors versus time. The basic components of the V-scope are thefollowing: buttons,towers and the PC.

• A battery-operatedbutton is attached to each movable body; each buttonincorporates an infrared receiver and a synchronized ultrasonic transmitter.The button is essentially the body which is tracked by the V-scope, and thecentre of its ultrasonic transducer is the exact point whoseposition is mea-sured.

• The tower communicates with the buttons: The tower incorporates an in-frared transmitter and an ultrasonic receiver. The system consists of threetowers giving a possibility to do measurements in three dimensions. As themovement of the coupled pendulums is in one dimension, we useone tower.

• A microcomputer controls the operation of the tower, initiates outgoingsignals, processes incoming signals and calculates the position of the buttonsrelative to the tower, transfers the position of the buttonsrelative to the tower,and transfers the data to the personal computer.

2 The operation method

At the beginning an electric signal from the PC activates thetower which emits asynchronized IR signal. This signal activates the ultrasonic transmitters of buttonswhich respond with selected signals.


The tower receives responder signals, transforms them intoan electric pulsethen forwards it to the PC. The response signal arrives to thetower with a delaydepending on the tower-button distance. The PC multiplies these delays with thesound speed in the air for each tower-button pair respectively, getting the actualdistance of the buttons from the buttons from the towers. These data are transfer-red into the PC memory, and the operations are repeated periodically. These dis-tances determine the functions[x(t),y(t),z(t)] describing the bodies’ movements.The sampling period may be fixed between 10−100 ms. The temperature sensorslocated in the towers allow the correction of sound speed variation with tempera-ture.

Using more moving bodies, we have to use more buttons selected by their col-ours (red, yellow, green, blue), whereas the PC distinguishes them by their code.The buttons are scanned periodically by the PC programme. Using more buttons,the sampling period may be chosen as a multiplication of the basic sampling periodwith the number of buttons.

Possible perturbations:As usual in experiments, we can meet the noise character of measured data in

the case of VS too. Possible reasons:

• The infrared detector function is perturbed by sunshine orother IR sourcesfrom outdoors.

• The ultrasonic detection is perturbed by other ultrasonicsources such as theair table.

Elimination of perturbations:

• Take out sound and light reflection elements

• Keep the temperature and pressure constant

• Avoid direct IR and ultrasonic beam touch of buttons

3 The movement of coupled pendulums

Coupled pendulums with the same periodicity coupled with elements such as springor little mass - as it can be seen on Fig.1.

The activation of pendulum A causes the swing of pendulum. While the am-plitude of pendulum A is decreasing, the amplitude of pendulum B is increasing.When pendulum A stops, the amplitude of pendulum B is at maximum. The pro-cess is repeated with periodic changing of the role of pendulums. so the energy


Figure 1

between the two pendulums also changes periodically. The process is called beat-oscillation.

The deflection time function of both pendulums is the so-called beat-function,therefore both pendulums take beating oscillations. Depending on the strength ofcoupling, the energy changes are quicker (in the case of stronger coupling) soenergy change takes place during shorter period. It means the beat frequency (ν)is increasing, and the period time is decreasing. The relationship between the beatand self- frequency is:νbeat= |ν1 − ν2|, whereν1 and ν2 are the so-called self-frequencies described as follows.

4 Self-frequencies

In PhaseStarting the movement of both pendulums with the deflection in the same di-

rection, we do not have beat oscillations. The pendulums take similar oscillationswith the same frequency, whereν0 is one of the self-frequencies of the pendulum.The coupling does not take any role in that case.Opposite phase

Starting the movement of the pendulum with the same deflection in oppositedirection, we do not have any beat oscillations, the pendulums are oscillating withthe frequencyν > ν0 because the coupling increases the retarding force. See Fig.3.

The frequencies belonging to the in-phase and opposite phase oscillations arethe so-called normal or self-frequencies of the system. Theoscillations of thecoupled-pendulum system including the beat oscillations may be composed as su-


Figure 2

perposition of self-oscillations.

5 The mathematical description of coupled oscillations

Torques momentum of a physical pendulum related to the fixed point P1 andP2 (orresultant of torques) is the following

M = Θβ = Θd2ϕdt2 ,

whereΘ is the inertial momentum of the pendulum related to the fixed point, ϕ isthe angle deviation related to the position of rest,β is the angle acceleration. On thebasis of Fig.4, for the pendulum on the left-hand side, the resultant torque relativeto pointP1

Θd2ϕ1

dt2 = Θϕ1 = M1 = −mgLsinϕ1−Dl2(sinϕ1−sinϕ2), (1)

where for the optional value ofϕ1 is the angle deviation related to the rest position,−mgLsinϕ1 is the gravitational force torque acting on the pendulum,−Dl2(sinϕ1−sinϕ2) is the torque related to the coupling.Using the notation of Fig.4,L is the length of pendulum,l is the position of the

coupling,D is the spring constant,m is the mass of the pendulum. In the same wayfor pendulum 2, at the optionalϕ2 angle deviation

Θϕ2 = M2 = −mgLsinϕ2−Dl2(sinϕ2−sinϕ1). (2)


Figure 3

If ϕ1 andϕ2 are small, then sinϕ1 ≈ ϕ1, sinϕ2 ≈ ϕ2 and equations (1) and (2) yield

Θϕ1 = M1 = −mgLϕ1−Dl2(ϕ1−ϕ2),

Θϕ2 = M2 = −mgLϕ2−Dl2(ϕ2−ϕ1).

Introducing the notations

ω20 =

mgLΘ

,

Ω2 =Dl2

Θ,

we get the following equations

ϕ1 = −ω20ϕ1−Ω2(ϕ1−ϕ2) = −ω2

0ϕ1 + Ω2(ϕ2−ϕ1),

ϕ2 = −ω20ϕ2−Ω2(ϕ2−ϕ1).

Introducing new coordinates

x1 = ϕ1−ϕ2, (3)

x2 = ϕ1+ ϕ2, (4)

coupling is eliminated, and calculations become simpler

x1 = ϕ1− ϕ2 = −ω20ϕ1 + Ω2(ϕ2−ϕ1)+ ω2

0ϕ2+ Ω2(ϕ2−ϕ1)

= −ω20(ϕ1−ϕ2)+2Ω2(ϕ2−ϕ1) = −ω2

0(ϕ1−ϕ2)−2Ω2(ϕ1−ϕ2)

= −(ω20 +2Ω2)(ϕ1−ϕ2) = −(ω2

0 +2Ω2)x1,

x2 = = −ω20ϕ1+ Ω2(ϕ2−ϕ1)−ω2

0ϕ2 + Ω2(ϕ2−ϕ1)

= −ω20(ϕ1 + ϕ2) = −ω2

0x2,


L L

m m

l l

D

+ +1j

2j

P1 P2

Figure 4

that is

x1 = −(ω20 +2Ω2)x1,

x2 = −ω20x2.

These equations represent the different equations of harmonic oscillation, thereforex1 andx2 will be

x1 = a1 cosωt +b1 sinωt, (5)

x2 = a2 cosωt +b2 sinωt, (6)

where

ω =√

ω20 + Ω2.

The constantsa1, a2, b1, b2 can be determined from the initial conditions in thefollowing way: We are going to examine separately, in phase and in opposite phase,and the beat oscillations of pendulum behaviour.

5.1 In phase

At the momentt = 0, both of the pendulums begin to move with the same volumeand direction angle that is:ϕ1 = ϕ2. We denoteϕA the maximum angle deviationϕ1 = ϕ2 = ϕA.


At the t = 0ϕ1 = ϕ2 = ϕA = 0.

Using the initial conditions

ϕ1 =2ϕAcosω0t

2= ϕAcosω0t

ϕ2 =2ϕAcosω0t

2= ϕAcosω0t

⇒ ϕ1 = ϕ2.

We can see that the pendulums take harmonic oscillations with frequencyω0 whichis one of the self-frequency — the angle deviation, the speeddirections and thevolumes are the same during the whole oscillation.

5.2 Opposite phase

At the timet = 0 we start the movement of pendulums with the same but oppositedeviationϕ1 = −ϕ2, and in the followingϕA

ϕ1 = −ϕ2 = ϕA.

At the timet = 0ϕ1 = ϕ2 = ϕA = 0.

The solution of the movement equation

ϕ1 =2ϕAcosωt

2= ϕAcosω0t

ϕ2 =−2ϕAcosωt

2= −ϕAcosω0t

⇒ ϕ1 = −ϕ2.

where

ω =√

ω20 + Ω2.

Here we can see that both of the pendulums take harmonic oscillation with fre-quencyω whereω is the other self-frequency; the angle deviation and the speedare the same in every moment, but their directions are opposite.

5.3 Beat oscillation

At the timet = 0 one of the pendulums is started to move with angleϕA, the otherpendulum is kept in the rest position, thenϕ1 = ϕA, ϕ2 = 0.


At the timet = 0ϕ1 = 0, ϕ2 = 0.

Introducing new coordinates and calculating the constant,we get the followingsolution

ϕ1 = ϕAcos(ω+ ω0)t

2cos

(ω−ω0)t2

ϕ2 = −ϕAsin(ω+ ω0)t

2sin

(ω−ω0)t2

.

We can see that at soft coupling (ifω−ω0 ≪ ω + ω0) the system takes indeedbeat oscillations, during the motion, amplitude is changing slowly betweenϕA and0 with cyclic frequency(ω−ω0)/2. The beat oscillation frequency as known isωbeat= ω−ω0.

As the self-frequencies are determined by

ω20 =

mgLΘ

, Ω2 =Dl2

Θ

for every coupled oscillation the process is determined by geometrical factors, suchas the mass of the pendulum (m), the length of the pendulum (L), the spring con-stant (D), and the beat length (l ).

As defined in the literature, the so-called coupling constant is

K =Dl2

mgL+Dl2 . (7)

After some manipulations and using the Eq. (7) we get

K =

Dl2

ΘmgL

Θ+

Dl2

Θ

=Ω2

ω20 + Ω2

(8)

Transforming Eq.(8) the coupling constant can finally be expressed by self-frequencies

K =

ω2−ω20

2

ω20 +

ω2−ω20

2

⇒ K =ω2−ω2

0

ω2 + ω20

=T2

0 −T2

T20 +T2 (9)

In the Eq. (8) and (9), we can show that the coupling constant is determined by thegeometrical factor and also by the moment of self-frequency.


6 The measurements

During the measurements, we are using the v-scope in one dimension because atsmall deviation the pendulum takes harmonic oscillations,and the movement isdone along one line. First we change the coupling length and then the length of thependulum.

We determine the period of the self-vibrations (in phase:T0, in opposite phase:T). MeasuringT andT0, the beating period Tbeat can be calculated, which canbe measured with v-scope too. The coupling factor can be calculated from thegeometrical data and fromT andT0 on the basis of Eq. (9) and theTbeat can becalculated fromT andT0 too, as shown in Eq. (10).

νbeat = ν−ν0 ⇒ 1Tbeat

=1T

− 1T0

=T0−TTT0

, and

T(calc)beat =

T0TT0−T

. (10)

7 Measurement results

Figure 5-7 show the immediate measurement results at a givenarrangement as youcan see them on the PC monitor attached to the V-scope. The parameters and resultsof the measurement (the measured and calculated physical quantities) are shown intable I and II.


Figure 5: Fig.5. shows the amplitude versus time graph in phase atl = 15 cm beat-length. (Length of the pendulum (mass-center position)L = 62.3 cm, the mass of eachpendulum with buttons 1.692 kg, the mass of the bar is 0.139 kg, the spring constantD = 53.30 N/m.)

Figure 6: Fig.6. shows the amplitude versus time graph in opposite phase atl = 15 cmbeat-length. (Length of the pendulum (mass-center position) L = 62.3 cm, the massof each pendulum with buttons 1.692 kg, the mass of the bar is 0.139 kg, the springconstantD = 53.30 N/m.)


Figure 7: Fig.7. shows the amplitude versus time graph in beat oscillation atl = 15 cm beat-length. (Length of the pendulum (mass-center position) L = 62.3 cm,the mass of each pendulum with buttons 1.692 kg, the mass of the bar is 0.139 kg,the spring constantD = 53.30 N/m.)

D l L T0 T T(calc)beat T(meas)

beat ∆Tb./Tb.m.

(N/m) (m) (m) (s) (s) (s) (s) (%)

15 1.4382 16.178 15.820 2.353.30 20 0.623 1.5794 1.3534 9.450 9.500 0.5

25 1.2710 6.508 6.404 1.6

Table 1

D l L T0 T Kcalc Kmeas ∆K/Km.

(N/m) (m) (m) (s) (s) (%)

15 1.4382 0.0966 0.0921 4.753.30 20 0.623 1.5794 1.3534 0.1598 0.1533 4.2

25 1.2710 0.2289 0.2155 6.2

Table 2

8 Conclusion

Table 2 shows that the data for theK coupling constant of the system calculatedfrom beating period and from the geometrical data are approximately the same,approving the validity of the applied formulas and the method.


References

[1] Budó Ágoston. Experimental Physics I. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest,1997.

[2] Budó Ágoston.Mechanics. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.

[3] H. J. Pain.The Physics of Vibrations and Waves. John Wiley and Sons LTD,London, 1970.

[4] Eshed Robotec Ltd. V-scope system user’s manual, 1995.

[5] University laboratory experiments-physics. PHYWE series of publications.

[6] Aharon Lipman Miky Ronen. The v-scope.Fizikai Szemle, 11, 1995.

HAVEL Václav

Riemannova koule a spin elektronuUniversity of West Bohemia in Pilsen

Faculty of Education, Department of Physics,Klatovská 51, CZ-306 14 Plzen, Czech Republic,e-mail:[email protected]

Abstract: The article is about the connection between elektron spin inrandon stereometricposition and its image on Riemann sphere. The independent verification of accuracy ofachieved results is included.

Súhrn: Clánek se zabývá souvislostí spinu elektronu v libovolném prostorovém postavenía jeho obrazem na Riemannove kouli. Je proveden nezávislý dukaz správnosti dosaženýchvýsledku.

1 Úvod

Již témer osmdesát let se vyucuje kvantová mechanika velice podobným zpuso-bem. Vyšla celárada vysokoškolských ucebnic a mnohé z nich napsali významnífyzikové, kterí se osobne podíleli na utvárení této teorie. Protoctenáre zaujme,když se objeví nový postup, který z jiného úhlu ukazuje veci známé a zažité. To semi prihodilo pri cetbe knihy Rogera Penrose [1]. V této knize Penrose jako ukázkuduležitosti komplexníchcísel v kvantové mechanice uvádí konstrukci prumetuspinu do libovolného smeru pomocí Riemannovy koule. Tento postup mne zaujal aprotože v této populární knize nejsou presné odkazy ani výpocty, rozhodl jsem sepostup propocítat a matematicky dokázat.

2 Gaussova rovina, Riemannova koule a stereografickáprojekce

Vetšine absolventu stredních škol je Gaussova rovina známa jako útvar, v nemžje každému bodua1,a2 prirazeno komplexnícíslo a1 + a2i, kde i je imaginárníjednotka. Užívání Gaussovy roviny usnadnuje pochopení aritmetických operací skomplexnímicísly. Podobným zpusobem souvisí s komplexnímicísly i Rieman-nova koule. Riemannovou koulí budeme rozumet kouli o jednotkovém polomeru,jejímuž každému bodu je prirazeno práve jedno komplexnícíslo. Toto prirazení jevzájemne jednoznacné [2]. Naskýtá se otázka, zda existuje geometrické zobrazenímezi Gaussovou rovinou a Riemannovou koulí. Také zde je odpoved’ nasnade. Hle-daným zobrazením je stereografická projekce. Jde o zobrazení, které bodu na koulijednoznacne prirazuje bod v rovine. Nejlépe pochopíme podstatu tohoto zobrazeníz obrázku 1.

93

[email protected]


y

O

B

P

B‘

q

x

z

j

Obrázek 1

V kartézské soustave souradnic je rovinaxy Gaussovou rovinou, v níž je osaxreálnou a osay imaginární osou. Stred jednotkové Reimannovy koule je v pocátkusouradnic. Stred projekceP leží na prusecíku Reimannovy koule a osyz. Bod Bna Riemannove kouli spojíme se stredem projekceP poloprímkou PB. Tato po-loprímka protne Gaussovu rovinu v bode B′, který je reprezentován komplexnímcíslemu. Bod B′ je obrazem boduB ve stereografické projekci se stredem vP.Totéž komplexníu císlo priradíme boduB. Vektor

−→OB je urcen polárními úhlyϕ

a θ. Souradnice boduB jsouB≡ [sinθcosϕ;sinθsinϕ;cosθ]. Vektor−→PB bude mít

souradnice −→PB≡ [sinθcosϕ;sinθsinϕ;1+cosθ].

Parametrické vyjádrení prímky PBdostaneme ve tvaru (t je parametr)

x = t sinθcosϕ (1a)

y = t sinθsinϕ (1b)

z = −1+ t(1+cosθ) (1c)

Prusecík B′ prímky PBs rovinouxy (z= 0) odpovídá hodnote parametru

t =1

1+cosθ=

1

2cos2θ2

.

HAVEL V. — RIEMANNOVA KOULE A SPIN ELEKTRONU 95

Po dosazení do (1) obdržíme souradnice boduB′

x =sin

θ2

cosθ2

cosϕ, y =sin

θ2

cosθ2

sinϕ.

Bod o techto souradnicích je reprezentován komplexnímcíslem

u = x+ iy =sin

θ2

cosθ2

(cosϕ+ i sinϕ) =sin

θ2

cosθ2

eiϕ.

Po symetrizaci, kterou provedeme rozšírením posledního výrazucleneme−i ϕ2 , do-

stáváme

u =sin

θ2

ei ϕ2

cosθ2

e−i ϕ2

(2)

Spin elektronu v libovolné pozici mužeme vyjádrit jako lineární kombinaci dvouzákladních „ket“ vektoru ve tvaru

|~s〉 = c1| ↑〉+c2| ↓〉. (3)

Pakliže vektory báze| ↑〉, | ↓〉 spadají do osyz, hovoríme o „z reprezentaci“ spinu.Císla jsou obecne komplexnímicísly a jejich moduly splnují normovací podmínku|c1|2 + |c2|2 = 1. V tomto prípade tyto moduly predstavují pravdepodobnost nale-zení spinu „nahoru“ nebo „dolu“ ve smeru osyz, když se spin nachází v obecnémstavu. Vydelíme vztah (3) tím zcíselc1,c2, které má vetší modul. (Predpokládáme,že je tocísloc2.) Potom je stavový vektor spinu urcen jediným komplexnímcíslem

u =c1

c2.

(Stavový vektor není již normován.)

3 Užití Riemannovy koule k nalezení pozice spinu

Úloha se rozpadá na dva problémy.

a. Je dán spin v „z reprezentaci“ a máme urcit polohu vektoru spinu v pros-toru. V tomto prípade postupujeme následovne:


(1) urcíme komplexnícíslou, které získáme výše popsaným. zpusobem;

(2) Nalezneme obrazcíslau v Gaussove rovine.

(3) Sestrojíme vzor tohoto bodu na Riemannove kouli. To je bodB z ob-rázku 1. Smer spinu je dán vektorem

−→OB, který je na obrázku vyznacen

šedivou šipkou.

(4) 4. Výpocet sférických úhlu je zrejmý z téhož obrázku

ϕ = arctanℑuℜu , θ = 2arctan|u|. (4)

b. Je známa poloha spinu v prostoru a je treba vypocíst koeficientyc1,c2

v „ z reprezentaci“.

(1) komplexnícíslo

u =c′1c′2

je zároven dáno vztahem (2). Proto lze psát, že

c′1 = ksinθ2

ei ϕ2 , c′2 = kcos

θ2

e−i ϕ2 .

Zdek je dosud neurcenécíslo, které se dá zjistit z normovací podmínky.Dostaneme, žek2 = 1 a odtudk = ±1. Vzhledem k vlastnostem elek-tronu pri operaci výmeny volíme znaménko minus.

(2) 2. Spin v pozici udané sférickými úhly lze napsat jako

|~s〉 = −sinθ2

ei ϕ2 | ↑〉−cos

θ2

e−i ϕ2 | ↓〉.

Použijeme-li zrejmých relací−| ↑〉 = | ↓〉 a−| ↓〉 = | ↑〉, dostáváme

|~s〉 = cosθ2

e−i ϕ2 | ↑〉+sin

θ2

ei ϕ2 | ↓〉. (5)

To jsou hodnoty ve shode napr. s údajem v [3].

4 Dukaz správnosti výsledku

Zdálo by se, že souhlas vypoctených výsledku s hodnotami uvádenými ve Feyn-manových prednáškách o fyzice [3], dává oprávnení soudit, že postup s užitím Rie-mannovy koule je správný. Presto uvádím ješte jeden postup, který vede k overenízískaných vztahu. Podstatou tohoto postupu je nalezení vlastních funkcí prumetuoperátoru spinu. Celý výpocet provedeme v nekolika krocích.


1. Pauliho vektor — operátor promítneme do smeru urceném jednotkovým vek-torem~n =

−→OB, takže bude

σn =

(

cosϑ sinϑe−iϕ

sinϑeiϕ −cosϑ

)

2. Stavový vektor spinu v „z reprezentaci“ napíšeme jako sloupcovou matici

c1

(

10

)

+c2

(

01

)

=

(

c1

c2

)

3. Sestavíme rovnici pro nalezení vlastních funkcí a vlastních hodnotc1,c2, pri-cemž vlastními hodnotami musí býtcísla±1. Rešenému problému odpovídákladná vlastní hodnota. Tak získáme vztah

(

cosϑ sinϑe−iϕ

sinϑeiϕ −cosϑ

)

·(

c1

c2

)

=

(

c1

c2

)

4. Vznikne soustava dvou lineárních, homogenních rovnic pro dve neznáméc1,c2.

c1(cosϑ−1)+c2e−iϕ sinϑ = 0,

c1eiϕ sinϑ−c2(cosϑ+1) = 0.

Determinant soustavy je nulový, proto mužeme užít pouze jednu z rovnic(volíme druhou).

5. Jedno z nekonecne mnoharešení soustavy bude

c1 = 1+cosϑ,

c2 = eiϕ sinϑ.

6. Normování získaných koeficientu provedeme tak, aby opet byl splnen vztah

|c1|2 + |c2|2 = 1.

To dáva podmínku

|c1|2 + |c2|2 = (1+cosϑ)2 +sin2ϑ = 4cos2(

ϑ2

)

.


7. Po provedení normování a úprave dostaneme

c1 = cos

(

ϑ2

)

, c2 = eiϕ sin

(

ϑ2

)

.

Amplitudy pravdepodobnosti nezmení svuj význam, když je vynásobíme vý-razemeiδ, kdeδ je reálnécíslo. V našem prípade k dosažení symetrie budemenásobitcíslem

e−ϕ2 .

Potom dostáváme konecnou hodnotu koeficientu ve tvaru

c′1 = e−i ϕ2 cos

(

ϑ2

)

, c′2 = ei ϕ2 sin

(

ϑ2

)

. (6)

To je opet v souladu s koeficienty získanými pomocí aplikace Riemannovykoule (5).

5 Záver

Cílem tohotoclánku je ukázat, jak lze elementárními prostredky rešit jednu zezávažných úloh kvantové mechaniky. Užitý postup nevyžaduje znalostí transfor-macních vztahu, jakých je užito v [3], ani vlastností Paulihospinového operátoru,který byl aplikován v dukazu správnosti výsledku. Predložený postup predpokládájen základní znalosti analytické geometrie a definici Riemannovy koule.


Literatura

[1] R. Penrose.Makrosvet, mikrosvet a lidská mysl. Mladá fronta, Praha, 1999.

[2] K. Knapp. Elemente der Funktiontheorie. Gruyter Co, Berlin, 1963.

[3] Feynman R. a kol.The Feynman lectures on physics. A.-W. Pubblishing, 1965,1965.

HOLUBOVÁ Renata

Recruitment and Professional Development of PhysicsTeachers

Palacky UniversityFaculty of Science, Department of Experimental Physics, Division of Methodology of Physics

17. listopadu 50, CZ-771 46 Olomouc, Czech Republic,e-mail:[email protected]

Abstract: Institutions preparing teachers and scientists are searching now different pat-hways for recruitment programs and ways how to improve the interest in physics and tech-nics. At our department we started a recruitment program with the aid of projects of theMinistry of Education and The European Social Fund - Human resources development. Inthis paper the three projects are presented , examples of main activities are shown.

1 Introduction

So as other countries the Czech Republic faces lack of interest for science, physicsand research. At Universities we see only a small number of physics and sciencestudents, in teaching qualification were graduating only six or seven students dur-ing the last three years. In some regions the shortage of physics teachers beginand the situation will be getting worse. Interested people are concerned about apotential decline in the number of scientists.

We can see some aspects in the society that influence the lack of interest inscience and the teacher profession. It is the low social status, the teacher career islow paid, stressful, it is necessary to work with disruptivepupils. Teachers com-plain of lack of support and respect from students and parents. To work as a physicsor science teacher is very sofisticated. Science teachers need to understand both themain topic - physics or science , the structure and the natureof their discipline andthe methodology, psychology and human biology too.

Improving students performance in physics requires qualified competent teach-ers in every classroom that are able to demonstrate the importace of science, phy-sics and motivate students to become a researcher or physicsteacher. Most impor-tant for the recruitment of students is the secondary school.

Institutions preparing teachers and scientists are searching now different path-ways for recruitment programs and ways how to improve the interest in physicsand technics. Many students and current teachers jump physics and research aftertaking the degree or during the first few years of their career.

Attracting young students to scientific research, physics,technics is a topic of agreat importance. At our department we started a recruitment program with the aidof projects of the Ministry of Education and The European Social Fund - Humanresources development.

101

[email protected]


2 Project Nr. 1 - Media emphasis of recruitment of science

The first recruitment project at the Faculty ofScience in Olomouc is the task “Media emphasis ofreqruitment of science and perspective of scientificbranch studies”.

The main invention is the findings that there isnot sufficient knowledge of the population about the importace of science and re-search. High school students prefere economy and humanity oriented universitystudies where the future job will have more prestige and higher salary. The aim ofthis project is a closer cooperation with media - TV, newspaper - more informa-tion about science and activities in the field of teaching, methodology, perspectiveand future trends in technics and technology. The other way is an open university- the university will open its´ doors to the public and organizes various activitiesfor young and old - open doors, excursions, presentations ofresearch success. Ourmain activities are

• Physics, chemistry and mathematics fairhttp://ach.upol.cz/jarmark/

• Kids´ university

• Physical caleidoscopehttp://kaleidoskop.upol.cz/

Lectures: Astronomy, Optical ilussions, Over the frontierof school experi-ments, Nanotechnology in practice, Plants and stress, Non-traditional physical expe-

HOLUBOVÁ R. — RECRUITMENT AND PROFESSIONALDEVELOPMENT . . . 103

riments. Field trips are organised too - you can visit the optics laboratory, the rese-arch laboratory of quantum optics, the laboratory of laser and holography, electro-nics, biophysics and the nanotechnology centre.

For in practice teachers seminars were prepared, for example Interactive phy-sics, Mathematica Calc Centre (www.ictphysics.upol.cz.)

• Academia filmhttp://www.afo.cz/.

• Cooperation with Debruillards groups.

Students’ motivation plays a key part in innovations of educational strategiesand methods. We can apply many motivational approaches during science teachingand cognitive motivational teaching methods have an important status among them.An application of school experiments, especially simple experiments, is one of themost important motivational methods.

An experiment has the principal function for research in experimental and the-oretical science. Science experiment is an artificial natural phenomenon in control-lable conditions with an objective to recognise a natural law, not discovered yet,what the natural phenomenon is followed by.

Students’ activity during simple experimenting is the nextbasic characteristicsof a simple experiment. Simple experiments should be realised and demonstratedby students themselves. From the view of constructivism, there is a need to usestudents’ preconceptions, created by an independent spontaneous experimenting.Simple experiments therefore have to be easily realisable.Philosophy of youngdebrouillardshttp://kdf.mff.cuni.cz/Heureka/en/index.php

The basis of the Young Debrouillards concept: a set of simpleand entertainingexperiences to fascinate the youth. In the way they learn to develop unconsciouslytheir analytic mind and their intelectuall skills.

Three common axes:

1. use of scientific process

2. leader guided creativity

3. use of cheap and non - sophisticated materials.

To allow the development of the child´s autonomy, to proposeentertaining ac-tivities to the child and stimulate the child exposure to thescientific phenomenait meets in the every day environment, to develop the child curiosity and analyticmind, to have training effects on the family, scholar and social scales.

The project is concentrated on physics education for the agegroup 12-15. Itstarted ’from bottom up’: from teachers at schools. Now it isa common project.


It lasts for more than 12 years - the project started about year 1991 - and fromthe activity of just a few people it expanded to the project including several tensof active participants. Its´ aim is to cultivate not only teaching of physics but alsointeractions of teachers and pupils in general.

The title (which, in English, means Eureka) resembles heuristic method ofteaching. But it does not mean that Heuréka is limited to an old one ’learning bydiscovering’ approach (that one criticised for, e.g., ignoring pupils’ preconcepts,context of learning etc.). The main idea of the Heuréka project is based on cons-tructivism. These trends we can see in Western countries educational programmestoo.

The need to improve teaching of physics is in the centre of interest and is veryintensive in the last years. Some research studies were done. But Heuréka is only asmall part of inovative activities in our schools.

The participants try to let pupils discover physical principles and phenomenaby themselves. Our task is to make them active during the learning process. Wedon’t want to teach passive consumers of information passedon by the teacher.

The teacher´s position and role in the classroom were revised - the teacher isnot the leader and the source of information, but more a moderato. He should gentlysteer the course of the lesson, lead the pupils to their discoveries and discussions.The teaching process starts with a problem - it can be a question, an experiment,excercise and students are let to discuss what they have seen, ask questions, presenthypothesis. They will find ways how to refuse they suggestions, they must formu-late their results and answer the questions. A very important aid is that making amistake is a step in the process of finding results. The educational process is closerto childrens´ life. They develop competences for communication, discussion, hand-ling skills, living in the society. The class environment copy the real situations.

A significant part of the education process is the homework. It can be a nu-merical problem or the solving of the problem needs to do an experiment or tocunstruct a simple appliance.When doing the homework, the children can consultthe problems with their parents or grandparents, friends etc. Sometimes it happensthat the whole family is discussing an interesting physicalproblem.

For the participants of the project written materials are prepared, also the de-tailed methodology of education was developed - there existlessons scenarios. [1]

3 Project Nr. 2 - Research of new methods of competitionsin creativity of youth

The second project at the Faculty of Science in Olomouc is theproject “Researchof new methods of competitions in creativity of youth aimed for motivation in


research in science, expecially in physics, mathematics and chemistry”. The aimof this project is a research and development of new forms of competitions, so thatstudents of all ages will be motivated to take an active part in research and otheractivities at university departments. Students will practice methods and processesof research workers. To recruite students , there will be more activity, creativity,so we need new competitions. One task is to develop a way to communicate withteachers. In our program we have courses for teachers in practice. We teach themhow to make physics fun for all students, how to conduct new programs into theclassroom. At all levels we are speaking positively about teaching , our recruitmentprogram includes so as summer teaching schools, invitationto university days etc.We are traying to develop a closer high school - university partnership and provideprofessional development opportunities.

The main activities target high school students are:

• School projectsFor example: Do you like to take photos? Physics simulations- programming

http://isouteze.upol.cz

• Technical kangaroo

• Correspondence seminar in physics OlFyshttp://isouteze.upol.cz/index.html

• Chemistry project Labyrint


• Fermi questions and Inventorhttp://isouteze.upol.cz/fermi/index.html

Fermi questions - a competition for secondary and high school students.Some questions that were solved:

1. How many hairs are on your head?

2. What is the mass of a fully loaded Boeing 747?

3. How many minutes will be spent on the phone by middle schoolstu-dents in your town?

4. How many 100 W light bulb have the same energy as the Sun?

5. How many jelly beans fill a one-litre jar?

6. What is the mass in kilograms of the students bodies in yourschool ?

Evaluation: accuracy of estimation, number of suplementary steps in the re-solution of the problem (number of other questions and answers),originality,the way of the presentation of the work.

• Research scientisthttp://www.badatel.upol.cz/The project Researcher is a part of the initiative Network ofYouth Excel-lence, sponsored by UNESCO. The network will offer a possibility for ex-change of experiences among various initiatives worldwide. In this Networktake part for example


– Badatel (Czech Republic)

– Barcelona Science Park (Spain)

– Comenius University (Slovak Republic)

– Educational Center for Gifted Youth(Lithuania)

– Estonian Academy of Young Scientist (Estonia)

– Hands-on Science (Network)

– Irish Centre for Talented Youth (Ireland)

– Latest Information on Nature and Science using InformationCommu-nication Technologie /LIONS-ICTS/ (Nigeria)

– World Academy of Young Scientists (Network)

The main idea is to give research experience for students of secondaryschools. In that adolescent age students explore the live and the opportu-nity make research at the university give them a chance find a place in a newsocial environment.

Major aims and objectives of the Network (www.nyex.info)

Full Members of the Network agree on a Memorandum of Understandingthat describes the composition and operation of the Networkof Youth Excel-lence and sets out its main objectives. Members pledge to:

– Promote cooperation between existing scientific research training pro-jects for students until the age 21 and their teachers in a wide array ofscientific areas

– Promote research collaborations between students and teachers of dif-ferent programs and countries

– Facilitate the collaboration with international organizations of youngscientists such as the World Academy of Young Scientists (WAYS)

– Better the existing projects by exchanging their experiences and outli-ning successful organizational and fundraising tactics

– Help the initiation of scientific research training projects in countrieswhere they currently do not exist


– Initiate international joint scientific student/teacher projects

– Promote the participation of students in the organization of researchtraining programs

– Encourage an inter- and multidisciplinary dialog on the ethical and re-sponsible conduct of research and use of scientific knowledge as wellas on social aspects of scientific research

– Draw the attention of policy makers and the media to the importanceto start the recruitment to scientific research at a very early age.

In our part Badatel the students take part in research projects in the fieldof biophysics, chemistry, applied physics, nanotechnology and mathematics(http://www.badatel.cz)

4 Project Nr. 3 - Qualitative development of physicsteachers programme (http://exfyz.upol.cz/oprlz)

In connection with these projects the EU project “Qualitative development of phy-sics teachers programme” at the Department of ExperimentalPhysics must be men-tioned. The content of the pregraduated education programme is changing - newsubjects are included and new methods are taught, based on constructivism andcooperative learning. In all parts of education the application of physics in com-mon life, technics, technology is emphasised. New subject are for axample Physics,technics and nature, Simple hands on experiments, Environmental physics, Com-puter based experiments.

New educational materials and tutorials are prepared, seminars for teachers areorganised. They will learn about new ways of recruitment, teaching methods andabout the initiatives of our university.

5 Conclusion

Teaching is not only a profession, it´s a mission. We must think of teaching as ahigher goal, a prestige job, not everybody can do it. Our prospective teachers andresearchers must have a experience with good teachers, who show them applicabi-lity of Physics to everyday life. Themselves they must be interested in physics andscience. They don´t see only the advantage of two month holiday.

Our opinion is that students are motivated by curiosity and wonder during thelessons. A good understanding of the problem can be also a wayhow to motivatechildren for the study. With untraditional and out door activities we can show that


science can be fun and understandable. The aim is to bring theschool environmentand activities closer to students experience and the problems of practical life, tech-nics, work, employment. It is necessary to show the application of knowledge intechnics because technic, technology and physics are not the same but they cannotexist without each other. The fundamental way out is the students activity. But notonly asking and answering their own questions but the practical activities by takingthe things in hand, and also part int the research programme of the University andresearch centres.

Similar problem with low level of positive attitude to science appears also inall society. Therefore science education needs powerful innovations of strategiesand teaching-learning technologies.

The paper was created and supported within the projectCZ.04.1.03/3.2.15.1./0165.

References

[1] Dvorák L. Koudelková J. Jak se snažíme ucit fyziku v projektu heuréka.Mo-derní vyucování, pages 8–9, duben 2004.

[2] Holubová R. Competence for an atttractive school environment. InRWL 4, 4th International Conference on Researching Work and Learning, page 87,Sydney Australia, 12.-14.12.2005 2005. University of Technology.

[3] Holubová R. Environmental physics - is this the way how tomotivate students.In 54th NSTA /ICASE Conference, volume I of143, Anaheim, CA, USA, 2006.

[4] Trna J. Motivation and hands-on experiments. InProceedings of the In-ternational Conference Hands-on Science in a Changing Education, volumeHSci2005, pages 169–174, Rethymno, Greece, 2005. University of Crete.

[5] Trna J. Science experiment in science teacher training.In Proceedings ofthe International Conference Science and Technology Education in New Mil-lennium. 3-rd IOSTE Symposium for Central and East EuropeanCountries,pages 201–206, Prague, 2000. PERES Publishers.

[6] Trnova E. Trna J. Motivation in science teacher training. In Proceedings ofthe International Conference Science and Technology Education for a DiverseWord - Dilemmas, Needs and Partnership, 11th IOSTE Symposium for Centraland East European Countries, pages 223–224, Lublin, Poland, 2004. M. Curie-Sklodovska university press.

HORVÁTHOVÁ Daniela, RAKOVSKÁ Mária,ZELENICKÝ L’ubomír

K vyucovaniu školskej fyziky prostredníctvominteraktívnych apletov


Tr. A. Hlinku 1, SK-949 74 Nitra, Slovakia,HORVÁTHOVÁ Daniela,e-mail:[email protected]

RAKOVSKÁ Mária,e-mail:[email protected]Ý L’ubomír,e-mail: [email protected]

Abstract: The modern information technologies enter onto interpersonal communicationand they become intermediators of thoughts. Their task is toaccelerate and form the cog-nitive process of man and to move the cognitive process towards higher level. In pedagogicprofession the knowledge of various forms of communicationis significantly important,especially the specialistic one, because the transmissionof knowledge between the teacherand pupils is realized through the communication. In the contribution are present the mo-dern ways and means of information gaining into physics education by means of Internet,especially by means of applets. Besides advantages and disadvantages of implementationICT to education this article deals with their arrangement in physics education, too.

1 Úvod

Modernizáciu môžeme v ostatnomcase pozorovat’ vo všetkých oblastiachcinnosticloveka. Ani oblast’ školstva sa nevyhla týmto procesom. Vovyucovacom procesesa hl’adajú stále nové formy, metódy a prostriedky vyucovania, ktoré by skvalit-nili a zefektívnili tento proces. Pod zefektívnením rozumieme zefektívnit’ prácuucitel’a a prácu žiaka, ktorí tvoria základné zložky vyucovacieho procesu. V súcas-nosti významne ovplyvnujú vyucovací proces informacno - komunikacné techno-lógie (IKT), celosvetovým trendom je zavádzanie internetudo všetkých typov škôl,budujú sa multimediálne ucebne a konajú sa rôzne školenia pre ucitel’ov. Žiaci súvedení, aby pri spracovávaní svojich projektov využívali internet., ktorý je jednýmz najdôležitejších zdrojov informácií pre študentov a žiakov, hoci mnohokrát nere-cenzovaných. Ucitelia na všetkých typoch škôl už zacínajú systematicky zarad’o-vat’ IKT do vyucovacieho procesu a možno konštatovat’, že IKT patria k úcinnýmprostriedkom komunikácie medzi ucitel’om a žiakom. Na internete existuje mnohoucebných programov rôznej didaktickej kvality, vhodných pre školy. Ich využi-tie vo vyucovaní i mimo neho je mnohostranné, významné sú najmä také, ktoréumožnujú interakciu : žiak- pocítac - ucitel’, pricom pocítac môže byt’ v spojení sexperimentom (môže zastupovat’ experiment ako motivacná zložka, kvantitatívnyexperiment, alebo pri overovaní reálneho experimentu). Dôležitú funkciu vo vy-ucovaní fyziky, najmä pre svoju interaktívnost’ majú apletyumiestnené na internete

111

[email protected]

[email protected]

[email protected]


alebo na CD-ROM-e.Ciel’om príspevku jeciastocne prezentovat’ výsledky projektu CGAFyzikálne

aplety v poznávacom procese žiakova niekol’ko spôsobov zaradenia fyzikálnychapletov do vyucovacieho procesu na gymnáziu.

2 Aplet ako interaktívny prvok vo vyu covaní fyziky

Využitie multimediálnych aplikácií vo vyucovaní prináša väcšiu názornost’ a inter-aktivitu, ktorá pomáha pri upevnovaní poznatkov získanýchci už v rámci vyucova-nia alebo individuálnou skúsenost’ou. V rámci vyucovania je možné výhodne vy-užit’ rôzne fyzikálne www stránky, nachádzajúce sa na internete, medzi ktorými jenespocetné množstvo takých, ktoré obsahujú interaktívne aplikácie napísané v ja-zyku Java, tzv. aplety.

Použitiefyzikálnych apletov vo vyucovaní môže priniest’ väcšiu názornost’,ktorá pomáha pri upevnovaní poznatkov získaných v rámci výucby. Aplety spolus vytvorenými pracovnými listami môžu aktivizovat’ žiakovk samostatnému skú-maniu, pretože môžu aktívne zasahovat’ do namodelovanej simulácie a sledovat’zmeny bez toho, aby museli analyzovat’ matematické vzt’ahyfyzikálnych javov.

Prínos fyzikálnych apletov spocíva hlavne v tom, že:

a. poskytujú zaujímavý zážitok v poznávacom procese,

b. ul’ahcujú vytváranie myšlienkových modelov fyzikálnych javov,

c. pomáhajú žiakom získat’ zrucnost’ pri prezentácii fyzikálneho jav.

Umne vybrané aplety môžu byt’ vhodným doplnkom vyucovania fyziky, alenie každý aplet je svojou povahou vhodný na univerzálne použitie v rámci výucby.Je vždy nevyhnutné v predstihu odskúšat’fyzikálnu funk cnost’ apletu a urcit’,akú funkciu bude vo vyucovaní plnit’,ci sa využije ako motivacný, pracovný alebodiagnostický nástroj. V druhom a tret’om prípade je dobré pre žiakov vypracovat’pracovné listy, ktoré by mali obsahovat’:

• strucnú teóriu skúmaného fyzikálneho javu, prípadne odkaz na zopakovanieuž prebratej ucebnej látky,

• obrázok apletu s internetovou adresou,

• možnosti práce s apletom a návod na vládanie apletu.

Tažiskom pracovného listu by mali byt’zadania úloh(výpoctových alebo experi-mentálnych) riešených prostredníctvom apletu azáver — fyzikálny poznatok.

HORVÁTHOVÁ D. A KOL . — K VYU COVANIU ŠKOLSKEJ FYZIKY . . . 113

Aplety umiestnené na internete majú aj svoje „slabé“ stránky a z metodickéhohl’adiska je potrebné skontrolovat’ logické umiestnenie nových fyzikálnych poj-mov na aplete, správnost’ fyzikálnej terminológie (najmä pri apletoch v slovenskejmutácii), správnost’ použitia doporucených jednotiek SI a pod. Z hl’adiska použitiaapletov vo vyucovaní fyziky by bolo najlepším riešením, keby bol každý ucitel’ fy-ziky rovnako dobre zdatný vo fyzike aj v informatike, aby mohol tvorit’ didaktickysprávne, originálne aplety aj s riešením úloh a experimentov.

3 Fyzikálne aplety vo forme pracovného listu a metodikaich zaradenia do vyucovacieho procesu

V ostatných rokoch sa na KF FPV UKF v rámci predmetov didaktiky fyziky inten-zívne zaoberáme zarad’ovaním rôznych foriem IKT do prípravy budúcich ucitel’ov.V rámci projektu CGAFyzikálne aplety v poznávacom procese budúcich ucite-l’ov, sme v spolupráci so študentmi a doktorandmi vypracovali viacero spôsobovzaradenia fyzikálnych apletov do vyucovacieho procesu. V rámci výskumu ale izáverecných prác (diplomových a rigoróznych) boli spracované a v školskej praxi(ZŠ, Gymnázium)ciastocne overené metodiky zaradenia apletov do vyucovaniafyziky a pracovné materiály (16 pre ZŠ a 5 pre Gymnázium) vo forme motivac-ných a demonštracných materiálov pre ucitel’ov, pracovných listov s riešenímúloh, a laboratórnych meraní urcených pre žiakov.Spracované aplety formoupracovných materiálov sú prezentované v tabul’ke 1.

V príspevku prezentujeme metodiku a príklad zaradenia interaktívnych apletovdo vyucovania fyziky v ôsmom rocníku základnej školy,cast’ Zákony elektric-kého prúdu v obvodoch, formou žiackeho pracovného listu.

Metodika zaradenia žiackeho pracovného listuMeranie elektrického prúdua elektrického napätiado vyucovacieho procesu.

Interaktívne aplety umne zaradené do vyucovania fyziky základnej školy môžubyt’ vhodne vybraným doplnkom uciva, avšak nemožno prostredníctvom nich na-hradit’ reálny experiment. Ten je vo vyucovaní fyziky vel’mi dôležitý a nemal bychýbat’. Pokial’ má škola dostatok ucebných pomôcok z fyziky, tak žiaci by mohlinajskôr vyskúšat’ zapájanie elektrických prvkov do obvodupomocou apletu a po-tom v reálnom experimente.

Prostredníctvom apletov uvedených v tomto pracovnom listemožno žiakov na-ucit’ správne zapojit’ do elektrického obvodu ampérmeter a voltmeter, merat’ elek-trický prúd a napätie, odcítavat’ ich namerané hodnoty z digitálneho multimetra a


Fyzika základnej školy prostredníctvom apletov

Rocník Tematický celok Aplety vo forme pracovného listu

7. rocník 1. Pohyb telesa Skúmanie pohybov

8. rocník 2.Elektrický náboj.Elektrické pole Elektrický náboj

Silociary elektrického pol’a2. Zákony elektrickéhoprúdu v obvodoch

Meranie elektrického prúdua elektrického napätia

Elektrický odpor. Ohmov zákon

Sériové zapojenie rezistorov

Paralelné zapojenie rezistorov

Reostat a potenciometer

9. rocník 1. Optika Odraz svetla na gul’ových zrkadlách

Dierková komora

Zobrazovanie gul’ovými zrkadlami

Lom svetla na dvochoptických prostrediach

Odraz a lom svetla hranolom

Zobrazovanie šošovkami

Dúha

Skladanie farieb

Fyzika gymnázia prostredníctvom apletov

Rocník Tematický celok Aplety vo forme pracovného listu

4. rocník2. Optické sústavya optické zobrazenia

Overenie zobrazovacej rovnicegul’ového zrkadla

Overenie zobrazovacej rovnice šošovky

6. Základy fyzikymikrosveta Zákonitosti fotoelektrického javu

2. Zákony elektrickéhoprúdu v obvodoch Stanovenie Planckovej konštanty

Overenie Einsteinovej rovnicepre fotoelektrický jav

Tabul’ka 1: Prehl’ad vypracovaných pracovných materiálov s využitím fyzikálnychapletov.


menit’ rozsah ich stupnice. Žiaci môžu získat’ aj základné zrucnosti pri zapájaníelektrických obvodov a pri práci s IKT.

Zaradenie pracovného listuje vhodné pri upevnovaní poznatkov z ucivaMe-ranie elektrického prúdu a elektrického napätia.

Ciel’om pracovného listu je naucit’ žiakov:

• správne zapájat’ do elektrického obvodu ampérmeter a voltmeter,

• odcítavat’ namerané hodnoty z digitálneho multimetra

• pracovat’ s ozsahom stupníc multimetra,

• merat’ elektrický prúd a napätie.

Použité fyzikálne aplety:http://btpdx1.phy.uni-bayreuth.de/VirtuelleExperime nte/elek/source/t_multi.swfhttp://btpdx1.phy.uni-bayreuth.de/VirtuelleExperime nte/elek/source/rserie.swf2

Pracovný list Meranie elektrického prúdu a elektrickéhonapätia

(žiacky pracovný list)S pojmom elektrický prúd a elektrické napätie ste sa už stretli na predchádza-

júcich hodinách fyziky, takže viete bez problémov povedat’ako ich urcíme.Elek-trický prúd je celkový elektrický nábojcastíc, ktoré prejdú pri pohybe prierezomvodica za jednu sekundu, teda

I =Qt

a meriame hoampérmetrom.Elektrické napätie zdroja je urcené prácou, ktorú vykoná elektrické pole zdroja

pri prenosecastíc s celkovým nábojom jeden coulomb z jedného pólu zdroja nadruhý, teda

U =WQ

.

Na meranie elektrického napätia medzi pólmi zdroja používamevoltmeter.

http://btpdx1.phy.uni-bayreuth.de/VirtuelleExperimente/elek

/source/t_multi.swf


/source/rserie.swf2


Pri práci s apletom bude vašou úlohou:

1. Zoznámit’ sa s multimetrom.

2. Merat’ elektrický prúd a napätie.

1. Ako na to?

Otvorte si stránku.http://btpdx1.phy.uni-bayreuth.de/VirtuelleExperime nte/elek/source/t_multi.swf

Na obrázkoch apletu vidíte dva druhy multimetrov. Jeden je digitálny a druhýanalógový. Postupným klikaním na šípku v hornej lište apletu budete krok za krok-om prechádzat’ programom, pomocou ktorého naucíte merat’ elektrický prúd a na-pätie multimetrom.

1. krok: Zoznámte sa s jednotlivými cast’ami multimetra.

Ak ukazovat’el’om kliknetecervené znacky, ktoré vidíte na obrázkoch, objaví savám popis funkcie jednotlivýchcastí multimetra.

Digitálny ukazovatel’ – zobrazí nameranú hodnotu veliciny vo formecísla a d’alšie dôležité informácie k meraniu.

Meracie funkcie a rozsahy prístroja– zobrazené sú všetky funkcie prí-stroja (voltmeter, ampérmeter, ohmmeter,. . . ). Výber funkcie dosiahnetepootocením stredného otocného prepínaca so šípkou.

Otocný prepínac – volíme ním funkcie a meracie rozsahy.

Špeciálny konektor– v závislosti od typov modelov sa môžu vyskytnút’konektory, ktoré umožnujú meranie kapacity, teploty.

Pripájanie vodicov.

Obrázok 1: Multimeter


/source/t_multi.swf


10 A, mA — volitel’né plusové póly urcené na meranie prúdu (závislé od roz-sahu). Nikdy nesmiete prekrocit’ maximálnu hodnotu!

com — mínusový pól urcený na meranie napätia, prúdu a odporu

V(Ω) — plusový pól urcený na meranie napätia a odporu

Analógový multimeter sa líši od digitálneho v tom, že nameraná hodnota ve-li ciny sa na stupnici odcíta pomocou vychýlenej rucicky prístroja pri nastavenomrozsahu prístroja.

Obrázok 2: Stupnica analógového multimetra.

Ako odcítat’ nameranú hodnotu veliciny? Nameranú hodnotu veliciny odcí-tame správne vtedy, ked’ sa na vychýlenú rucicku pozeráme kolmo vzhl’adom kstupnici prístroja, to zn. ked’ rucicka prekrýva svoj zrkadlový obraz.

2. a 3. krok: Ako zapájat’ multimeter do elektrického obvodu?

Multimetrom môžeme merat’ elektrický prúd aj napätie. Do elektrického obvoduho zapájame bud’ ako ampérmeter (sériovo) alebo voltmeter (paralelne). Vel’midobre si všimnite nasledujúce zapojenia a ich schémy.


ampérmeter schémaObrázok 3: Schéma zapojenia ampérmetra do elektrického obvodu.

voltmeter schémaObrázok 4: Schéma zapojenia voltmetra do elektrického obvodu.

4. a 5. krok: zapájanie ampérmetra a voltmetra do elektrického obvodu

Vašou úlohou je:

a. Zapojit’ multimeter do elektrického obvodu tak, aby ste odmerali napätie nažiarovke.

Obrázok 5

O správnom zapojení meracieho prístroja do elektrického obvodu sa pre-svedcíte kliknutím na „OK“ v dolnejcasti apletu.

b. b) Zapojit’ multimeter do elektrického obvodu tak, aby ste odmerali prúd,ktorý preteká cez svietiacu diódu.


Obrázok 6

O správnom zapojení meracieho prístroja do elektrického obvodu sa pre-svedcíte kliknutím na „OK“ v dolnejcasti apletu.

c. Zapojit’ multimeter do elektrického obvodu tak, aby ste odmerali:

• prúd prechádzajúci rezistormiR2 aR3,

• napätie na žiarovkeL2,

• napätie v rezistoreR5.

Obrázok 7

O správnom zapojení meracích prístrojov do elektrického obvodu sa pre-svedcíte kliknutím na „OK“ v dolnejcasti apletu.

2. Ako na to?

V 1. casti ste sa oboznámili s multimetrom a naucili sa ho zapájat’ do elektrickéhoobvodu ako ampérmeter a voltmeter. V tejtocasti bude vašou úlohou merat’ hod-noty elektrického prúdu a napätia. Otvorte si stránku:http://btpdx1.phy.uni-bayreuth.de/VirtuelleExperime nte/elek/source/rserie.swf


Obrázok 8

Na obr. 8 je zobrazený elektrický obvod, v ktorom je zapojenýzdroj elektrickéhonapätia, dva rezistory, ampérmeter a voltmeter. Vedl’a obvodu sa nachádza:

• schéma obvodu

• sada rezistorov usporiadaných podl’a vel’kosti odporu

• pero s atramentom, pomocou ktorého zapisujeme údaje na pracovný list

Úloha

1. Zapojte do elektrického obvodu rezistory, ktorých hodnoty sú uvedené v ta-bul’ke a nastavte vel’kost’ napätia na zdroji. Potomco najpresnejšie odme-rajte elektrické napätie na rezistoroch a prúd, ktorý prechádza obvodom.Údaje zapíšte do tabul’ky 2


U0

VIA

R1

ΩU1

VR2

ΩU2

V

5,0 1200 1005,6 18000 336,0 24 430006,6 3600 117,0 27000 398,0 1000 20000

Tabul’ka 2

Doplnujúce otázky

Precvicili ste si meranie ampérmetrom a voltmetrom. Získali ste nové vedomosti,ktoré využijete pri zodpovedaní na nasledujúce otázky:

a. Ako sa zapája v elektrickom obvode ampérmeter a spotrebic?

b. Ako sa zapája spotrebic a voltmeter, ktorým chcete odmerat’ napätie medzisvorkami spotrebica?

c. Záleží pri zapájaním meracích prístrojov do elektrického obvodu na polariteich svoriek?

d. Môžete prekrocit’ merací rozsah meracieho prístroja?

Ak vás zaujalo zapájanie elektrických obvodov, pozrite sa na nasledu-júce stránky:

http://cripe03.rug.ac.be/circuit/circuitbuilder.htm lhttp://didaktik.phy.uni-bayreuth.de/VirtuelleExperi mente/elek/source/rpara.swfhttp://nzip.rsnz.org/es/applets/series.htmhttp://jersey.uoregon.edu/vlab/circuit/Circuit_plug in.html


4 Vyhodnotenie dotazníka prínosu použitia apletov vo vy-ucovaní fyziky

V školskom roku 2004/05 - 2005/06 sme v rámci overovania zaradenia apletovdo vyucovacieho procesu v školskej praxi, uskutocnili na viacerých gymnáziachmedzi žiakmi dotazníkový prieskum, ktorým sme chceli zistit’ ako pôsobí na žia-kov použitie apletov vo vyucovaní fyziky. Sledovali sme,ci sa záujem o fyzikuzvýši, ako chápu preberanú ucebnú látku,ci by privítali vyucovanie prostredníc-tvom apletov aj na iných vyucovacích hodinách a pod (Balážiová, S. 2006, CzakóA. 2006). Z výsledkov dotazníkového prieskumu možno konštatovat’, že žiakovspôsob vyucovania pomocou fyzikálnych apletov zaujal a ich zaradeniedo vyuco-vania uvítali. Tento poznatok je pre nás nádejou do budúcnosti, že záujem o fyzikuby mohol vhodným zaradením IKT do vyucovacieho procesu v blízkej budúcnostinarást’.

5 Záver

Interaktivita a aktívne poznávanie je nutnou podmienkou skutocného pochopeniazákladných pojmov fyziky a spôsobov vedeckej práce, pricom sa rozvíjajú schop-nosti súvisiace so samostatným fyzikálnym myslením, tvorivost’ou žiakov a ichzrucnost’ami. Dotazníkový prieskum zistenia záujmu o vyucovanie prostredníc-tvom apletov u žiakov potvrdil skutocnost’, že je potrebné i nad’alej vhodne zara-d’ovat’ IKT s interaktívnymi vlastnost’ami do vyucovania prírodovedných predme-tov. Takýmto spôsobom sa ciel’avedome formujú schopnosti používat’ pocítac akoprostriedok odbornej komunikácie a možno tiež zvyšovat’ záujem o fyziku.


Literatúra

[1] Balážiová S. Niektoré možnosti použitia internetu v predmete fyzika na zá-kladnej škole. Diplomová práca na KF FPV UKF v Nitre, 2006.

[2] Czakó A. Tvorba pracovných listov k fyzikálnym apletom aich overenie v zŠ.Rigorózna práca na KF FPV UKF v Nitre, 2006.

[3] Rakovská M. Horváthová D. The ability of communication in physics bymeans of computer. InSympozjum Computer v edukacji, pages 66–70, Krakow,AP, 2004. ISBN 83-7271-283-2.

[4] Rakovská M. Horváthová D. Applet ako interaktívny prvokvo vyucovaní fy-ziky. MFI, (7):430–440, 2004.

[5] Rakovská M. Zelenický L’., Horváthová D. Graf funkcie vofyzikálnom vzde-lávaní. FPV UKF v Nitre, 2005.

[6] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/fotoelec trico/fotoelectrico.htm .

[7] http://www.elearn.ukf.sk/course/view.php?id=107 .

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/fotoelectrico

/fotoelectrico.htm

http://www.elearn.ukf.sk/course/view.php?id=107

KAINZOVÁ Veronika

Statistical Research of Pupils Pre-conceptsat Basic Schools in the Czech Republic

Palacky UniversityFaculty of Science, Department of Experimental Physics, Division of Methodology of Physics

17. listopadu 50, CZ-771 46 Olomouc, Czech Republice-mail:[email protected]

Abstract: We present the results of our statistical research on students pre-concept thattook place at selected elementary schools in the Czech Republic at the end of the school-year 2005/2006. The statistical research was a part of the project developing constructiveapproach to the theory of education in physics, chemistry and biology. Having analyzed thestudents’ answers a significant influence of exogenous and endogenous factors was found.The aim of the statistical research resides in the effort to break the most frequent errors inthe pre-concept organization, and the mistaken transcendental images evolved in teachersand pupils awareness.

1 Introduction

A statistical research on pupils pre-concepts (transcendental images) took placeat selected basic schools in the Czech Republic at the end of the school year2005/2006.

The questionnaires were modified to the current form on the basis realizedpreliminary research which took place in Olomouc (basic schools Holeckova andHálkova - a school with extensive education of foreign languages). Approximately75 informants (42 boys and 33 girls) took part in this preliminary research.

The whole research was realized within the GA CR project entitled “Construc-tivism and his Application in Integrated Conception of the Science Education”.The project was proposed by the team of professional physicists, chemists andbiologists (engaged in didactics) at the Faculty of Science(Palacky University inOlomouc) and the Faculty of Education (University in HradecKrálové and TomášBat’a University in Zlín). The basic aim of this project is todevelop the constructi-vistic approach to the theory of physical, chemical and biological education.

Partial objectives of the project:

• Cross-disciplinary conception of science (interconnection of the science sec-tions);

• Creation of the didactic model - integrated physical, biological and chemicaleducation at a primary school;

• Specifications of the aims, contents, methods and forms of the education andevaluation;

125

[email protected]


• The definition of the database of the basic terms in science teaching;

• Statistical research on pupils pre-concepts at basic schools.

418 responders (196 boys, 222 girls) have taken part in the countrywide re-search of pre-concepts so far. Roughly double the number of questionnaires hasbeen sent out. The remaining questionnaires will be included to the evaluation.Pupils had an hour for filling out the questionnaire.

2 The statistical research results

Method of valuation:Every question was rated — spectrum 1, 2, . . . , 5 (1 = the best, .. . , 5 = the worst).If there are questions type „correct - bad answer”, was mark 1(correct) or 5 (bad).

Statistical processing was carried out in MATLAB.[1em]

KAINZOVÁ V. — STATISTICAL RESEARCH OFPUPILS . . . 127

Question issue 1

Divide the wordselephant, flint, brick, water, granite, fly agaric, rock, lime tree,television, ant, pin, needle, air, car, into the groups and write them down into thetable.

Group Title Live productof nature

Lifeless productof nature

Human product

Choice words

Evaluation of question issue 1

Boys Girls

Classification mark 1 57 % Classification mark 1 50 %Classification mark 2 36 % Classification mark 2 33 %Classification mark 3 5 % Classification mark 3 11 %Classification mark 4, 5 2 % Classification mark 4, 5 6 %


< 5000 habitants 5000−20000habitants > 20000 habitantsmark 1, 2 77 % mark 1, 2 91 % mark 1, 2 95 %mark 3, 4, 5 23 % mark 3, 4, 5 9 % mark 3, 4, 5 5 %


Question issue 2

Find out the words that have a common feature - the same state or contain the samematerial. Write down the words into the chart.Water, iron, wood, paper, ice cream, milk, apple, car, sea, snow, bench, book, rain,tree, stone, air, fog, book.

State

Solid Liquid Gas


Boys Girls



Question issue 3

Imagine that you have got a small cup filled with water and you are heating itwith a flame of a candle. Water starts to boil (you know that boiling water has atemperature of 100 oC). What happens, when you use two candles? Choose theright answer.

a. Water will boil at temperature of 200 °C.

b. Water will boil at temperature of 100 °C.

c. Water will boil at temperature of 50 °C.

d. I don’t know.


Boys Girls

Classification mark 1 48 % Classification mark 1 26 %Classification mark 5 52 % Classification mark 5 74 %


< 5000 habitants 5000−20000habitants > 20000 habitantsmark 1 20 % mark 1 45 % mark 1 43 %mark 5 80 % mark 5 55 % mark 5 57 %


Question issue 4

A jacket can pleasantly warm you in winter. What happens to a scoop of ice cream,when you wrap it into the fur coat? (circle the correct answer)

a. Ice cream will melt slower.

b. Ice cream will melt earlier.

c. Ice cream will melt in the same way, as lay freely on the table.

d. Ice cream will not melt.

e. I don’t know.


Boys Girls

Classification mark 1 15 % Classification mark 1 12 %Classification mark 5 85 % Classification mark 5 88 %


< 5000 habitants 5000−20000habitants > 20000 habitantsmark 1 17 % mark 1 15 % mark 1 6 %mark 5 83 % mark 5 85 % mark 5 94 %


Question issue 6

Label the correct answers (circle YES or NO):

a. Glow-worm radiate luminous energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . YES — NO

b. Snow melts faster around snowdrops (because they give out/ radiate heat)YES — NO

c. Whale exhales water vapor in the water . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .YES — NO

d. Walls of a fermenting vessel (where fermentation is taking place at the mo-ment) warm up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . YES — NO

e. Your body radiates warmth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . YES — NO


Boys Girls



Question issue 7

Label, (circle) floating subjects and matters in the water.

• ferrous bullet • polystyrene• bullet from wood • potato• bullet from glass • petrol• cork • oil


Boys Girls



Question issue 8

Label (circle) the material or subject withhigher density (in each couple).

• water— • syrup • wood— • water• wood— • iron • water— • air• water— • iron • oil — • water


Boys Girls



Question issue 9

Choose and circle what all living organisms need.

a. water

b. energy

c. air

d. ice

e. movement


Boys Girls




3 Conclusion

It is perceptible from this research that the best-answeredquestions, in case of boysand girls too, are the question number1 (live, lifeless product of nature, humanproduct), the question number2 (solid, liquid, gas) and the question number9 -biology field. Wrongly-answered questions were the question number3, only 26 %girls answered correctly, most frequent mistaken answer was a water will boil attemperature200 °C. Further, it was the question number4 (over 80 % boys andgirls gave the wrong answer —b Ice cream will melt earlier.Only 15 % girls and3 % boys was successful in the question number6 (biology area). Correct answerwas „YES” for each item. Most frequent mistaken answerback was in cases a, b, d.

As to the geographical evaluation, the question number3 was problematic forvillages with 5000 inhabitants (and less), where 80 % pupilsanswered wrong.Contrary villages with 5000 inhabitants (and less) was relatively more successfulcompared to the rest of cities in questions No.6. As well that was in questions No.8 (physics field).

The most successful schools are from municipality: Horní Cerekev, Vyškovand Praha on average. The bad anwers were at schools in Mladá Boleslav, Mikulovand Cheb.

Within the framework of this statistical research, the questionnaires that theschools had sent back have been analysed so far. The rest of the questionnaires will


be included into the overall evaluation after we obtain them.In conclusion, it is necessary to point out that the pre-concepts are an indi-

vidual characteristic of each learning person. Pre-concepts are formed by variousinfluences (school, home, native country,. . . ) and the experiences. Quite a numberof aspects are important at their forming. These are partly exogenous factors (so-cial, economics, ethnical, cultural etc.), and endogenousfactors. They stem frompsychological and psychosocial characteristics of each ofpupil. Every individualhas constructed transcendental images on the basis of the different experiences- past schooling, family background, hobbies, medial resources (internet, televi-sion . . . ). Permanency and resistance to the changes are typical characteristics oftranscendental images. The aim of these statistical researches resides in the pur-suit of “breaking” the mistaken transcendental images and,of course, in teachersand pupils awareness of the most frequent errors in the pre-concepts organization.Pre-concepts researches and the concepts changes are the basis of the constructivistconception of the scientific education.

I’d like to thank to the involved schools for their cooperation and of coursethank to the whole didactic team which has taken part in formation of the question-naires.

Bibliography

[1] Kainzova V. Konstruktivismus a jeho aplikace v integrovaném pojetí prírodo-vedného vzdelávání. Úvodní studie. Olomouc, Univerzita Palackého v Olo-mouci, 2006.

KECSKÉS Arpád

Niekol’ko poznámok k výsledkom projektu KEGAzameraného na celoživotné vzdelávaniea samostatné získavanie vedomostí



Abstract: We consider the further training of physics teachers to be very topical and neces-sary since the social acceptation of physics has significantly decreased in the recent years.This fyct supported by various home and foreign surveys which indicate that physics belo-ngs to the group of leasat favorite subjects, togezther withchemistry. So these subjects arethe most effort in order to ensure the popularity of physics among young people. Reachingof this aim is conditioned by permanent training of physics teachers on hogh professionaland methodological level. In 2002 the EU worked out the qualitative requirements for all-life education, based on which it will be possible to comparethe results of the respectivecountries. According to the abovementioned facts and the indication of solution of thisproblem in 1 we had worked out a grant project KEGA.This project was approved in 2005-In terms of this project KEGA No 3/3182/05:" New knowledge inthe subject of physics atthe beginning of the 3rd millenium for the needs of LLL (Lifelong Learning)" we started atour department to realize activities and prepare materialswhich we consider to be suitableand necessary in pedagogical practice.

Súhrn: Permanentné d’alšie vzdelávanie ucitel’ov fyziky považujeme v súcasnosti zavel’mi aktuálne a potrebné aj z toho dôvodu, že spolocenské hodnotenie predmetu fyzikavel’mi pokleslo. Svedcia o tom rôzne domáce ale aj zahranicné prieskumy, ktoré pouka-zujú na to, že fyzika patrí do skupiny predmetov spolu s chémiou, ktorú študenti najmenejobl’ubujú, teda patria do najproblematickejšej oblasti prírodovedného vzdelania. Je pretonutné vyvinút’ maximálne úsilie s ciel’om zabezpecit’ obl’úbenost’ fyziky medzi mladýmil’ud’mi, k comu, ale neodpustitel’nou podmienkou je celoživotné vzdelávanie ucitel’ov navysokej odbornej a didaktickej úrovni, ako je to zakotvené aj v materiáloch Európskej ko-misie. Je známe, že EU v roku 2002 vypracovala kvalitatívne požiadavky celoživotnéhovzdelávania na základe ktorých bude možné porovnávat’ výkony jednotlivých štátov.Vzhl’adom na vyššie uvedené skutocnosti a nacrtnutie potreby riešenia tohto problému vpríspevku [1] sme vypracovali grantový projekt KEGA, ktorýbol v roku 2005 pre KF FPVUKF v Nitre schválený. V rámci schváleného grantového projektu KEGA c. 3/3182/05Nové poznatky v ucive fyziky na zaciatku 3. milénia pre potreby LLL (Lifelog Learning-u) sme zacali na katedre realizovat’ aktivity a pripravovat’ materiály, ktoré považujeme zavhodné na využívanie v pedagogickej praxi.

1 Úvod

Dokument EU definuje pre výchovno-vzdelávacie inštitúty kl’úcové kompetencie,nakol’ko strategickým ciel’om Lisabonského procesu je „Rozvíjat’ kl’ú cové kom-petencie v spolocnosti založenej na vedomostiach“. Kompetencie pri tom nemajúlen vedomostný charakter, ale vyžadujú aj isté zrucnosti a postoje,cím sa prenášat’ažisko vzdelávania, od tohoco má škola poskytnút’ žiakovi, na výstupné aspekty

145

[email protected]


vzdelávacieho programu -co má žiak vediet’. Kompetencie považujeme teda zavýstupné charakteristiky absolventa, ktorými v rôznej miere disponuje.

V súlade s prijatými závermi EU obcania v 21. storocí potrebujú také vedo-mosti, vzdelanie a odborné poznatky, s ktorými aktívne - s využívaním pre svoje ajspolocenské potreby - sa môžu zúcastnovat’ na budovaní dynamicky meniaceho sasveta, na pracovisku práve tak ako aj v spolocenskom živote.

Bohatstvo získané na báze vedomostí predpokladá nové zrucnosti a schopnosti,ako napr., informacno-komunikacná zrucnost’, schopnost’ podnikania, atd’., ale ajtradicné kl’úcové kompetencie. Istým problémom môže byt’ absencia nových kom-petencií (informatické, sociálne zrucnosti, nové metódy získavania vedomostí, ja-zykové znalosti, atd’.) u istejcasti populácie.

2 Príprava foriem realizovania d’alšieho vzdelávania v na-šom projekte

Neustály rast vedeckých poznatkov a zmena požiadaviek praxe v súcasnosti takmerpermanentne vyžadujú doplnovanie a rozširovanie odborných poznatkov ucitel’ov,co v plnej miere platí aj pre oblast’ didaktiky príslušného odborného predmetu. Ni-kto z ucitel’ov sa nemôže vyhýbat’ novým poznatkom, ak chce vychovávat’ žiakovpre dynamicky sa vyvíjajúcu spolocnost’ a pre plnenie jej požiadaviek. Ucitel’ musíkaždodenne rozvíjat’ svoje odborné a metodické poznatky a musí vediet’ odovzdá-vat’ výsledok tejto dynamickej syntézy svojim žiakom, ak sachce úspešne uplatnit’v trhovom mechanizme i v obsadzovaní ucitel’ských miest na rôznych stupnoch atypoch škôl.

Ucitel’ musí mat’ na zreteli, že štruktúra spolocnosti, jej organizácia, ekono-mika i adresát, pre ktorého škola vychováva sa neustále mení. Mení sa aj obsah arozsah poznatkov, ktoré je potrebné žiakom prezentovat’ a zdokonal’ujú sa aj me-todické prístupy k žiakom. Život v škole vyžaduje, aby ucitel’ bol dynamický, se-bakritický, odborne nárocný voci sebe, pripravený na ocakávané zmeny a ochotnýtieto zmeny realizovat’ v prospech svojich žiakov, teda do centra pozornosti posta-vit’ študenta (žiaka).

Je známe, že základnou myšlienkou väcšiny moderných koncepcií fyzikálnehovzdelávania je viest’ žiaka k poznávacím aktivitám, samostatnosti v riešení úloh ak tímovej práci pri získavaní a využívaní poznatkov, od pasívneho prijímania in-formácií k aktívnemu objavovaniu. Najcennejšou súcast’ou l’udského vzdelávaniav súcasnosti už nie je znalost’ faktov (v zmysle doterajšieho nazerania), ale schop-nost’ pracovat’ s informáciou - žiak sa má naucit’ získat’ novú informáciu analýzoua syntézou poznatkov, tvorit’ hypotézy a overovat’ ich, spracovat’ informáciu a for-mulovat’ poznatok

KECSKÉSA. — N IEKOL’KO POZNÁMOK K VÝSLEDKOM PROJEKTU KEGA . . . 147

S predložením a vyžadovaním spracovania problémov, ktoré zaujmú väcšinuštudentov možno docielit’, že sa zvýši aj záujem o daný predmet, teda aj o fyziku.Pri riešení vhodne volených problémov študenti okrem toho,že sa priblížia k lep-šiemu pochopeniu fyzikálnych poznatkov, môžu sa oboznámit’ aj s takými metó-dami práce a získat’ také zrucnosti, ktoré môžu neskôr vo svojej životnej praxi vdospelosti úspešne používat’. Môžu sa oboznámit’ s metódami analýzy problém-ov, môžu sa naucit’ dôsledky svojich rozhodnutí vopred premysliet’, analyzovat’,atd’. Koncepcia výucby fyziky u nás v súcasnosti týmto predstavám nevyhovuje,nevyucujeme fyziku „relevantnú“ pre každého študenta. Výucba fyziky je dost’silne vedecky orientovaná a zameraná na riešenie príkladov. Ucebnice obsahujúpomerne vel’a šablónovitých príkladov a zbierky úloh len výnimocne obsahujúúlohy viazané na konkrétne problémové situácie a vyžadujúce ich riešenie.

Pri hl’adaní východísk z uvedenej situácie sa pokúšame v našom projekte vy-užit’ možnosti dané perspektívou d’alšieho celoživotnéhovzdelávania ucitel’ov. Pririešení otázok d’alšieho vzdelávania je vel’mi dôležité uvážit’ jeho obsahové zame-ranie, ktoré je potrebné urcit’ vel’mi dôsledne a premyslene. Z viac možností, ktorésú vhodné sme sa zamerali na spracovanie problémov, ktoré vyucovanie viac pri-blížia k reálnemu svetu a môžu mat’ úcinnejší motivacný charakter. Do vyucovaniapovažujeme preto za potrebné zaradit’ témy súvisiace s otázkami zaco všetko mô-žeme d’akovat’ fyzike v každodennom živote. Strucná a ani nie prehnaná odpoved’by bola - náš život by bol v podstate úplne iný, ak by sme nemohli využívat’ zaria-denia a postupy, ktoré sú viazané na fyzikálne objavy a poznatky. Môžeme sa pretoobmedzit’ len na niektoré aplikácie hlavne z objavov fyziky20. storocia bez nárokuna úplnost’ riešenia vybraného problému. Bez uvedenia podrobností možno jedno-znacne konštatovat’, že nielen v predchádzajúcich storociach, ale aj v poslednýchpár desat’rociach sa menil náš každodenný život práve vd’aka praktickýmapliká-ciám nových fyzikálnych objavov. Ak si dnes predstavíme našu kuchynu (chlad-nicka, mraznicka, mikrovlnka, infrapekác, . . . ), kanceláriu a informacný styk (po-cítac, e-mail, xerox, fax, mobilný telefón, . . . ), zábavu a vol’ný cas (TV, video,magnetofón, CD-prehrávac, DVD, . . . ), alebo dokonca aj moderné diagnostické aterapeutické metódy používané v medicíne (digitálny merac tlaku krvi, ultrazvuk-sono, CT, NMR, PET, rádioterapia, . . . ) máme k dispozícii rukolapné dôkazy.

Vzhl’adom na vyššie uvedené skutocnosti sa domnievame, že d’alšie vzdelá-vanie by ucitelia mali chápat’ ako neustálu potrebu a súhlasit’ pocas svojej celo-životnej pedagogickej praxe s permanentným absolvovaním takéhoto štúdia aspon2-3-krát, alebo aj viackrát.

Pokial’ ide o možné formy organizovania d’alšieho vzdelávania považovalisme za vhodné zamerat’ sa na modernejšiu, ktorú nám umožnujú realizovat’ v sú-casnosti informacno- komunikacné technológie (e-learning, dištancné formy, . . . )vzdelávania. Pokúsime sa pripravit’ pre rok 2007 aj klasickú formu jedno-, až viac-


dnovej, prázdninovej (letnej) školy. Ako prvý pokus sme pri príležitosti Európ-skeho týždna vedy (20.-25.11.2006) usporiadali na KF FPV UKF v Nitre s pod-porou nášho projektu KEGAMedzinárodný fyzikálny workshop, na ktorom smeprezentovali aj doterajšie výsledky dosiahnuté pri riešení nášho projektu.

V našom projekte sme zacali vychádzat’ z uciva, ktoré je úzko späté s oblast’oumodernej fyziky 20. st., nakol’ko pocit’ujeme, že táto najviac absentuje v ucivefyziky preferujúc také komplexnejšie problémy, ktoré vyžadujú rôzne prístupy arozhodne nemajú jednoznacné riešenia. V predloženom príspevku pre ilustráciuuvedieme niektoré z našich tematických okruhov, ktoré sme považovali ako vhodnéa potrebné na individuálne, resp. skupinové spracovanie a majú už aj písomnú aelektronickú formu.

3 Niektoré spracované témy

Pre ilustráciu uvedieme niektoré z našich tematických okruhov, ktoré sme považo-vali ako vhodné a potrebné na individuálne, resp. skupinovéspracovanie a majú užaj písomnú a elektronickú formu:

Prvý pokus sme urobili zaradením výberového predmetu pre 4.roc. pod náz-vom Fyzika 20. st. a jej úloha pri vytváraní fyzikálneho obrazu sveta v rozsahu1P+2S [2]. Vychádzali sme zo skutocnosti, že výsledky fyzikálneho výskumu malia majú svoj permanentný odraz aj v procese formovania modernej civilizácie. Naprahu 21. storocia je evidentné, že aj nad’alej bude príspevok fyziky k vývoju inýchvedných disciplín podstatný pri úspešnom riešení aj takýchglobálnych problémovako je napr. výroba energie, ochrana životného prostredia av neposlednej miere ajdiagnostická a terapeutická báza zdravotníctva.

3.1 Kvantové princípy - lekárske aplikácie

Ciel’om tohto doplnkového študijného materiálu popri fyzikálnom obsahu je ajsnaha poukázat’ v tomto kontexte na význam, spolocenskú hodnotu a využitie fy-zikálnych objavov pre náš každodenný život.

K tejto téme bol spracovaný súhrnný materiál v písomnej aj elektronickej formea publikovaný vcasopise Obzory matematiky, fyziky a informatiky [3]., bola pre-zentovaná na vyhodnotení 47. roc. FO v Nitrianskom kraji (2006) a na medziná-rodnej konferencii :XXIX. Dni lekárskej biofyzikykonanej v máji 2006 v Bratislave[4].

Tematicky so zameraním na princípcinnosti PET je už aj v poslednom pre-pracovanom vydaní ucebnice fyziky pre 4. roc. gymnázia uvedená stat’PET ako


ukážka modernej fyzikys odporúcaním na úvodnécítanie na seminári k tematic-kému celkuZáklady fyziky mikrosveta[5].

3.2 Štandardný model, elementárnecastice a kvarky

V písomnom materiály k tejto téme je prezentovaný súcasný fyzikálny obraz mik-rosveta v zrkadle najnovších poznatkov. Hlavný dôraz je kladený na priblíženie aanalýzu štandardného modelu, ako aj klasifikáciu elementárnych castíc pomocoutohto modelu. V nadväznosti na základe štandardného modeluje prezentovaný ajsúcasný obraz štruktúry látky na stupnici od makrotelies až posúcasné najmenšiestavebnécastice látky - kvarky.Dalej je strucne naznacená súcasná situácia a per-spektívy d’alšieho výskumu v oblasti elementárnychcastíc a snažení cielených nahl’adanie modelov zjednocujúcich všetky štyri známe interakcie. Táto tematika máuž písomnú aj elektronickú formu spracovania a bola uverejnená v metodickomcasopise MŠ SR Obzory matematiky fyziky a informatiky.

Dalšou alternatívou v tejto tematickej oblasti bolo vypracovanie slovenskej mu-tácie internetovej stránkyThe Particle Adventure, ktorá sa realizovala formou dip-lomovej práce [6] v spolupráci s Lawrence Berkeley NationalLaboratory za pod-pory Fermi National Laboratory a projektu KEGA 3/3182/05. Vol’bu tejto témypovažujeme za aktuálnu, vzhl’adom na skutocnost’, že inovácia výucby vyžadujepotrebu spracovania aj niektorých netradicnýchcastí uciva, ktoré vhodnou formouprezentujeme pre študentov i ked’ len v niektorých mimo vyucovacích aktivitách.Prezentácia tejto problematiky môže byt’ aj vhodnou motivacnou zložkou pri hl’a-daní možností ako získavat’ záujemcov pre štúdium fyziky.

3.3 Význam fyziky v našom živote

Každodenný život je prepletený poznaniami a technológiami, ktorých bázou je fy-zika a fyzikálne poznanie rozvinuté l’udským poznaním za posledných sto rokov.Používanie týchto technológií je tak prirodzené, že l’udská spolocnost’ nie v pl-nej miere si uvedomuje prepojenie s fyzikou. Študijný materiál poukazuje na totoprepojenie vyzdvihnutím nových technológií, ktoré majú riešit’ problémy, ktorézásadne ovplyvnujú vývoj l’udstva v nastávajúcom storocí na zaciatku tretieho mi-lénia. Sú vyzdvihnuté tri vel’mi podstatné smery: energetika, kvantové technológiea nové materiály.

Táto tematika má tiež už písomnú aj elektronickú formu spracovania a bolaprezentovaná na vyhodnotení 46. roc. FO v Nitrianskom kraji a na medzinárod-nej konferenciiVýskum a vyucovanie na katedrách fyziky v kontexte univerzitnéhovzdelávaniaporiadanej KF MF SPU Nitra, v júni 2005 [7].


3.4 Dalšie možné zameranie aktivít študentov

Zaradením uvedeného predmetu sme sa pokúsili overit’ to, ako je možné ucivospracovat’ nad rámec povinnej výucby a popri spôsoboch na aké sme frontálneprispôsobení a zvyknutí. Uvedomili sme si, že pri rôznych kolektívnych formáchpráce sa rozvíjajú osobné charakteristiky (kompetencie) študentov v ovel’a širšomrozsahu. V prípade ked’ sa študent oboznamuje s niecím novým samostatne musíštudovat’ literatúru, pripravovat’ poznámky, nácrty, samostatne vykonávat’ niektoréexperimenty, surfovat’ na internete, atd’. Po spracovaní danej témy sa samozrejmevyžaduje aj referovat’ o dosiahnutých výsledkoch svojej práce.

Pri tejto práci študenti prechádzajú pozitívnym vývojom, nakol’ko si osvojujúvedomosti vlastnou samostatnou prácou a nie sprostredkovane od prednášatel’a.Táto skutocnost’ má prioritný význam z hl’adiska celoživotného vzdelávania a sa-mostatného získavania vedomostí. Pozitívny výsledok môžeme v tomto smere do-cielit’ len v tých prípadoch, ak študentov vystavujeme takýmto situáciám.

Uvedenú formu prístupu k získavaniu vedomostí študenti na vysokej škole simôžu vyskúšat’, overit’, oboznámit’ sa s jej metodikou a po absolvovaní štúdia apli-kovat’ v praxi na stredných a základných školách,ciže môže byt’ pre nich metodic-kým návodom pri použití iných foriem práce, rozdielnych od tradicne zaužívanýchv bežnej pedagogickej práci.

Je potrebné v tejto súvislosti poznamenat’, že takútocinnost’ nie je možné po-važovat’ za zbytocnú stratucasu, mysliac na to, že ucitel’ by bol schopný v ovel’akratšomcase ucivo vysvetlit’ a mohol by prebrat’ ovel’a viac uciva. Študent samôže aj pri samostatnejcinnosti vel’a naucit’ ale nie každý v rovnakej miere. Jejasné ale, že ucivo, ktoré študent sám naštuduje, objaví, formuluje pocas experi-mentovania, štúdia v knižnici, surfovania na internete, vyhotovovaním poznámok,atd’., bude mat’ pre neho ovel’a trvanlivejší charakter a môže sa stat’ aj súcast’oujeho svetonázoru.

Prirodzene sa nemôže každé ucivo spracovávat’ takouto formou. V prípade zá-kladného uciva, ked’ sa študent musí oboznámit’ s novými celými teoretickýmitematickými celkami nemôžeme požadovat’ aby si to samostatne naštudoval a vy-tvoril si myšlienkový sled a pochopenie daného tematickéhocelku, napr., obrazcasticovej povahy látky, predstavu korpuskulárno-vlnového dualizmu, Newtonov-ský popis pohybových zákonov, atd’.

V prípade ak študenti majú základné informácie osvojené právom môžeme oca-kávat’, že pri prehlbovaní uciva a jeho praktických aplikácií sa uvedená forma prácemôže úspešne uplatnit’. Avšak ani v tomto prípade nemôžeme nechat’ študenta od-kázaného na seba samého, ale ucitel’ tu už má inú pozíciu, nakol’ko nie je jedinýmzdrojom informácií, ale skôr plní funkciu poradcu.

V d’alšom sa pokúsime navrhnút’ niekol’ko tém na možnú aplikáciu takejto


formy práce a v nasledujúcom období ich budeme realizovat’ pri vypracovávanídiplomových a rigoróznych prác. Za hlavný ciel’ považujemeaby študenti tvori-vým spôsobom využili poznatky získané vo fyzike pri riešeníproblémov z každo-denného života. Vieme napr., že v súcasnosti je otázka spotreby elektrickej energiev domácnosti vel’mi aktuálna a súvisia snou isté problémy. Považujeme preto zavhodné a potrebné zadat’ napr., študentom na vypracovanie projekt:

3.4.1 „Úcet za mesacnú spotrebu elektrickej energie vo Vašej domácnosti“

Návrh realizácieCiel’om spracovania tejto témy je aby žiaci tvorivým spôsobom využili svoje po-znatky získané vo fyzike na riešenie v súcasnosti vel’mi aktuálneho problémuz každodenného života. Celý projekt je vhodné rozclenit’ na niekol’ko krokov:

• formulovanie problému v spolupráci so žiakmi,

• samostatný zber potrebných informácií žiakmi,

• skupinové prediskutovanie riešenia daného problému,

• diferenciálne úlohy pre tých, ktorí už ukoncili spolocne stanovené úlohy,

• formulovanie záverov z informácií získaných pri spracovaní témy.

Pred zacatím samotnej práce žiakov na projekte je potrebné predložit’ im popissituácie. Tento popis sa môže týkat’ napr., jednej štvorclennej rodiny, ktorá žijev dvojizbovom byte, obaja rodicia sú zamestnaní a deti navštevujú školu. Na vy-kurovanie bytu, zabezpecenie teplej úžitkovej vody a na varenie používajú zemnýplyn.

Algoritmus denného režimu v rodine (dost’ ideálny) je asi nasledovný: ráno o6,00 hod. stávajú a o 7,00 hod. opúšt’ajú byt. V kuchyni majú dva svetelné zdroje,jeden s príkonom 75 W osvetl’ujúci pracovnú plochu kuchynskej linky a druhýs príkonom 60 W osvetl’uje stôl na stravovanie. V izbách rodicov a detí sú po dve60 W osvetl’ovacie telesá, ktoré sa používajú v prípadoch ked’ sa neucia a nepra-cujú. Na pracovných stoloch detí sú dve stolové lampy so žiarovkami s príkonom60 W. Cez týžden clenovia rodiny prichádzajú domov o 16,30 hod. Rodicia ná-sledne v kuchyni pripravujú veceru a deti sa vo svojej izbe aspon 1 hod. pripravujúna vyucovanie na druhý den. Vecer rodina spolocne pozerá TV, alebo deti pracujús pocítacom. Cez víkend saclenovia rodiny zdržujú doma, upratujú, perú, . . .

Na základe takéhoto globálneho opisu žiaci po spolocnej diskusii môžu napr.,navrhnút’ tabul’ku do ktorej zapisujú údaje o jednotlivýchspotrebicoch v domác-nosti:


Názovspotrebica Príkon

Kol’ko hod.pracujedenne

Aká je spotreba energie denne

P [kW] t [h] ∆E [kWh] ∆E [kWh] ∆E [kWh]

K vyplneniu tabul’ky si žiaci premyslia aké spotrebice majú v domácnosti,ktoré sa používajú denne (svietenie, TV, pocítac, . . . ), ktoré sporadicky (vysávac,sušicka vlasov, video, . . . ) a ako dlho sú v prevádzke. Musia sa zamysliet’ aj nadtým, že napr. chladnicka, mraznicka, ktorá zapína a vypína viackrát denne v sku-tocnosti aký dlhýcas pracuje denne.Dalej museli získat’ údaje o príkone všetkýchspotrebicov.

Bolo potrebné aj to aby získali informácie o výške mesacnej platby za spotrebuelektrickej energie v rodine, o cenách elektrickej energie, DPH aby na záver privyhodnotení mohli posúdit’ reálnost’ svojho odhadu o spotrebe.

3.4.2 Úcinky ionizacných žiarení

Návrh realizácieSpracujte problematiku, zameranú na to, že zo známych rôznych druhov ionizac-ných žiarení ( , , , neutrón, protón, rôzne štiepne produkty), ktoré akou formouvstupujú do interakcie s atómovou štruktúrou látky, ktoré znich má a aký úcinokz hl’adiska života aci sa dajú nejakou formou aj využívat’?)

V triede sa vytvoria skupiny a za každúciastkovú tému sa urcí zodpovednývedúci, ktorý bude „expertom“ na túto tému v danej skupine (triede). Títo expertiz jednotlivých skupín na spolocnom stretnutí spracujú danú tému a následne jubudú prezentovat’ vo svojej materskej skupine.

3.4.3 „Vytvorenie pojmu energia a jej zachovania v históriivedy“

Napíšte populárny príspevok na túto tému.

3.4.4 „Aké modely atómov existujú, resp. existovali v histórii“

Porovnajte modely atómnov.


3.4.5 „Nájdite v dennej tlaci príspevky s fyzikálnym obsahom a urobte ichanalýzu“

(napr. Pravda 05.05.2006Energetici: SR môže chýbat’ elektrina, Pravda 20.04.2006Napodobnili zrážku ciernych dier).

V budúcnosti uvažujeme o spracovaní d’alších zaujímavých moderných tém:Nanofyzika v popredí, Naše perspektívy pre 3. tisícrocie, Fyzika životného pro-stredia, Zdroje energie v budúcnosti,Clovek a žiarenie, Fyzika v biológii, atd’.

4 Záver

Predložený príspevok prezentuje:

• ciastocné výsledky, ktoré sme pri riešení projektu KEGA dosiahli apouka-zuje

• na širokú škálu možných aplikácií a interpretácií s podciarknutím skutoc-nosti, že vypracované doplnkové študijné materiály popri fyzikálnom obsahumajú význam aj z hl’adiska ich spolocenskej hodnoty a využitia fyzikálnychobjavov pre náš každodenný život s možnost’ou požitia v pedagogickej praxi.


Bibliography

[1] Vida J. Kecskés A. Comments on further education of physics teachers inhungary and slovakia.Obzory matematiky, fyziky a informatiky, 34(1):33–41,2005.

[2] Informácie o štúdiu pre akad. rok 2005/2006. FPV UKF Nitra, 2005. p. 113.

[3] Teleki A. Kecskés A. Metódy získavania a spracovania snímkov v medicíne.Obzory matematiky, fyziky a informatiky, 34(4):30–45, 2005.

[4] Teleki A. Kecskés A. Physical principles of some scanning methods used inmedicine.Bratislava Medical Journal, (4):153, 2006.

[5] Pišút J. a kol.Fyzika pre 4. roc. gymnázia. SPN, Bratislava, 2003.

[6] Frágnerová O. Interaktívne získavanie vedomostí - elementárnecastice. Dip-lomová práca, FPV UKF v Nitre, Nitra, 2006.

[7] Teleki A. Kecskés A. Význam fyziky v našom živote (importance of the phy-sics in our life). InVýskum a vyucovanie na katedrách fyziky v kontexte uni-verzitného vzdelávania, pages 181–194, Nitra, 2005. SPU Nitra. Zborník zmedzinárodnej vedeckej konferencie (elektronická forma).

KEKULE Martina

Interpretace grafu v kinematice ve výuce fyziky

Charles UniversityFaculty of Mathematics and Physics, Department of Physics Education

V Holešovickách 2, CZ-180 00 Praha 8,e-mail:[email protected]

Abstract: The paper informs about a project which is concerned with graphs in physicseducation. There are didactic tests described there. Some tasks focused on basic graphingskills are presented. And then there are some students’ problems with solving the tasksmentioned .

1 Úvod

Rámcové vzdelávací programy v nové školské reforme v CR kladou mimo jinéduraz na komunikativní kompetence. Duraz je opodstatnený, uvedomíme-li si, žekomunikace je pro fungování spolecnosti nezbytná. V prubehucasu se zpusoby ko-munikace neustále mení. V dnešní dobe se stálecasteji stává nositelem informacegraf. A to predevším kvuli zkracující se dobe, jež je potrebná k vytvorení kvalit-ního grafu. Pomocí grafu sdelují nejruznejší informace média - predevším tisk atelevize, prezentace dat formou grafu je samozrejmostí na obchodních jednáních,pri reklamních prezentacích apod.

Z výše uvedeného je zrejmé, že grafy mají ve výuce - a to nejen prírodoved-ných predmetu - své místo. Žáci se s nimi budou setkávat nejen ve svém povolání,ale i v bežném živote. Behem základního vzdelávání by tedy zcela jiste meli žácizískat také „grafickou gramotnost“. Jak žáci základních a stredních škol zvládajírešit úlohy vyžadující základní dovednosti práce s grafy bylo predmetem výzkumupodporeného grantem Fondu rozvoje vysokých škol.

Výzkum byl zameren predevším na oblast grafu, se kterými se žáci setkávajív rámci uciva z kinematiky. Tato oblast byla zvolena zámerne, a to predevším z ná-sledujícího duvodu: Jak ukazují nekteré studie ([1, 2, 3]) práve zobrazení pohybupomocí grafu závislostí kinematických velicin (dráha, velikost rychlosti, velikostzrychlení) nacaseciní žákum velké potíže.Casto u nich dochází k zámene krivkygrafu za krivku trajektorie a tomu pak odpovídají i uvádenárešení. V príspevkunejprve strucne zmíním metodu a rozsah výzkumu. Poté bude uveden soupis vybra-ných základních dovedností žáku pri práci s grafy a následne budou analyzovánažákovskárešení jednotlivých úloh zadaných v rámci výzkumu.

155

[email protected]


2 Metoda a rozsah výzkumu

Pro zjištení základních dovedností žáku pri práci s grafy byly vytvoreny didaktickétesty ve trech úrovních: jedna pro základní školu a další dve pro gymnázia. Testyse sestávaly ze dvou zadaných grafu a k nim se vztahujícího sledu krátce formulo-vaných otevrených úloh. Grafy zobrazovaly závislost dráhy a velikostirychlosti nacase pro úroven ZŠ a první úroven SŠ a závislost velikosti rychlosti a zrychlení nacase pro druhou úroven SŠ. Úlohy byly v testu serazeny od tech nejjednoduššíchaž po úlohy, které vyžadují k úspešnému vyrešení použití více jednodušších doved-ností.Cást úloh byla v nekterých úrovních zcela identická, toho pak bylo možnévyužít pro srovnání, zda se u studentucasem nekteré dovednosti zlepšují. Testybyly žákum a studentum zadávány nezávisle na probíraném ucivu, rešili je behemjedné vyucovací hodiny. Testování se úcastnilo celkem 708 studentu. Podrobnejšístatistické charakteristiky testu byly prezentovány na [4].

3 Vybrané základní dovednosti žáku pri získávání infor-mací z grafu v kinematice na úrovni základní a stredníškoly

Základní dovednosti se týkajíctení grafu závislostí dráhy, velikosti rychlosti a ve-likosti zrychlení nacase. Pro obecnou formulaci uvažujeme graf dané závislostiveliciny y na velicine x.

Žák z grafu závislosti veliciny y na velicine x dovede:

1. urcit, závislost jakých velicin je vynesena do grafu

2. k dané hodnote x najít jednoznacne odpovídající hodnotuy a naopak

3. urcit jaká zmenay odpovídá zmene x a naopak

4. urcit, v kterých intervalech závislosty nax roste, klesá, je konstantní

5. rychlosti zmeny veliciny y priradit fyzikální význam

6. kvalitativne porovnat, jak rychle roste nebo klesá závislosty nax v jednotli-vých cástech krivky grafu

7. urcit prumernou rychlost zmeny veliciny y v závislosti nax

8. urcit okamžitou rychlost zmeny veliciny y v závislosti nax

KEKULE M. — I NTERPRETACE GRAFU V KINEMATICE VE VÝUCE FYZIKY 157

9. na daném intervalu porovnat rychlosti zmen ruzných promennýchyi závis-lých nax vynesených do grafu se stejným merítkem

10. interpretovat velikost plochy pod grafemy = f (x) jako velikost velicinyo rozmerech[x] · [y] a v prípade, kdy je takto vymezená plocha jednoduchýmgeometrickým útvarem, urcit velikost obsahu této plochy

11. interpolovat bod uvnitr intervalu, pokud mezi krajními body tohoto intervalupredpokládáme lineární závislo

Úplný seznam dovednostícítající 32 položek je uveden napr. v [5]. Podobnévymezení dovedností uvádí napr. i [6].

4 Úlohy overující základní dovednosti žáku a úspešnostjejich rešení

Tato cást príspevku bude zamerena na prezentaci úloh, u kterých ke správnémuvyrešení potrebují mít žáci osvojené základní dovednosti uvedené výše.Úlohy bylykonstruovány tak, aby bylo možné nejen overit základní dovednosti studentu pripráci s grafy, ale také provést následující srovnání:

1. mezi ruznými vekovými skupinamirešících studentu

2. mezi úspešnostírešení úloh vyžadujících stejné dovednosti, ale týkajících sejiného tvaru závislosti

3. mezi úspešnostírešení úloh vyžadujících stejné dovednosti, ale týkajících sezávislostí rozdílných velicin

4. mezi úspešnostírešení úloh vyžadujících stejné dovednosti, ale týkající segrafu zobrazujících i jiné než fyzikální závislosti. Pro posledne zminovanésrovnání byly vytvoreny testy podobné testum s grafy závislostí kinematic-kých velicin nacase, ale do grafu byly vyneseny závislosti výšky chlapcua devcat na jejich veku.

Každá varianta zadávaného testu obsahovala 23 – 27 otevrených úloh se širo-kou odpovedí. U nekterých velmi jednoduchých úloh meli žáci problém formulovatpostuprešení, proto byly u techto úloh jako správnérešení uznány i odpovedi bezpostupurešení. Nekteré úlohy byly také zamerené na použití dovedností porovná-vání dvou závislostí vynesených do jednoho grafu se stejnýmmerítkem.


Dále jsou pro ilustraci uvedeny nekteré vybrané úlohy ze všech trí úrovní vy-tvorených testu. Vzhledem k tomu, že úlohy byly zadávány nezávisle na probíra-ném ucivu, charakter zadání byl zvolen méne formální, aby byli žáci více motivo-váni pro práci s temito úlohami.

Graf c. 1: Závislost dráhy kocoura Alfonse nacase.

Následující graf znázornuje závislost dráhy bežícího kocoura Al-fonse nacase. Alfons bežel po prímé rovné silnici. Podél této silnicebylo položeno mericí pásmo.

Duležitá poznámka:hodnoty nacasové ose udávají vždykonecdanésekundy.Napr. hodnota 4⇒ konec 4. sekundy

3. sekunda⇒ interval hodnot (2,3)

1. Jakou dráhu mel Alfons ubehnutou na konci 8. sekundy?

2. Kdy Alfons dobehl práve ke znacce 36 m?

3. Jakou dráhu mel Alfons ubehnutou vcase 8,5 s?

4. Kdy Alfons dobehl práve ke znacce 32 m?

5. Urcete dráhu, kterou Alfons ubehl behem 8. sekundy.


6. Jak dlouho trvalo Alfonsovi než ubehl dráhu mezi znackou 36 m a znackou55 m?

7. Jakou rychlostí bežel Alfons behem 1. sekundy?

8. Jakou rychlostí bežel Alfons behem 12. sekundy?

9. Jakou rychlostí bežel Alfons od konce 6. do konce 8. sekundy?

10. Jakou prumernou rychlostí bežel Alfons od konce 9. do konce 12. sekundy?

11. Jak rychle bežel Alfons na konci 7. sekundy?

12. Jakou prumernou rychlostí bežel Alfons behem prvních trí sekund?

13. Urcete prumernýcas, který Alfons potreboval k tomu, aby ubehl práve 1 m.

14. Urcete jedencasový interval, behem kterého se Alfons nepohyboval.

15. Alfons bežel rovnomerne (tedy s konstantní rychlostí).

16. Alfons zrychloval.

17. Alfons zpomaloval. Pokud takové intervaly neexistují, uved’te jakorešeníNeexistují.

Graf c. 2: Závislost velikosti rychlosti Boríka na case.

Následující graf znázornuje závislost rychlosti bežícího psa Boríkanacase. Borík bežel po prímé rovné silnici.

Duležitá poznámka:hodnoty nacasové ose udávají vždykonecdanésekundy.Napr. hodnota 4⇒ konec 4. sekundy

3. sekunda⇒ interval hodnot (2,3)


18. Jak rychle bežel Borík 6. sekundu?

19. Urcete, jakou dráhu ubehl Borík mezi koncem 5. a koncem 7. sekundy.

20. Urcete, jakou dráhu ubehl Borík behem 1. sekundy.

21. Urcete, jakou dráhu ubehl Borík behem prvních trí sekund.

22. Na konci 5. sekundy mel Borík ubehnuto 12,5 m. Jak dlouho mu trvalo nežz 12,5 m dobehl ke znacce 17,5 m?

23. Urcete jedencasový interval, behem kterého se Borík nepohyboval.

24. Borík bežel rovnomerne (tedy s rychlostí, jež je scasem konstantní).

25. Borík zrychloval.

26. Borík zpomaloval. Pokud takové intervaly neexistují, uved’te jakorešení Ne-existují.

27. Urcete, s jakým zrychlením se Borík pohyboval behem 6. sekundy.

28. Urcete, s jakým zrychlením se Borík pohyboval behem 2. sekundy.

29. Urcete, s jakým prumerným zrychlením se Borík pohyboval od konce 1. dokonce 3. sekund


Graf c. 3: Závislost velikosti zrychlení Hopa a Buldoka nacase.

Následující graf znázornuje závislost zrychlení bežícíchpsu nacase. Hop i Buldok beželi po prímé rovné silnici.

— Urcete, jaké rychlosti dosáhl Buldok:

30. na konci 1. sekundy.

31. na konci 2. sekundy.

5 Rozbor žákovskýchrešení úloh

Jak studentirešili výše uvedené úlohy shrnuje následující Tabulka 1. Pro urcení ob-tížnosti úlohy byla zjišt’ována nejen relativnícetnost studentu, kterí danou úlohuvyrešili zcela správne, ale také 95 % interval spolehlivosti pro tuto relativnícet-nost. Pro lepší prehlednost v není tento interval v Tabulce 1 uváden. Pri rozborutýkajícího se srovnávání úspešnostirešení úloh je brán v úvahu.


C.úlohy

Doved-nost1

Závis-lost2

Úroven ZŠ Úroven SŠ-1 Úroven SŠ-2

Úspeš-nostv %3

Nerešiliv %4

Úspeš-nostv %

Nerešiliv %

Úspeš-nostv %

Nerešiliv %

1. 2. s(t) 86 02. 2. s(t) 97 13. 11. s(t) 55 3 54 04. 11. s(t) 29 9 42 55. 3. s(t) 45 4 64 26. 3. s(t) 82 1 92 17. 7. s(t) 75 88. 7. s(t) 41 7 62 19. 7. s(t) 48 12 80 310. 7. s(t) 70 411. 8. s(t) 40 612. 7. s(t) 79 413. 7. s(t) 45 1814. 6. s(t) 69 14 77 415. 6. s(t) 51 16 78 416. 6. s(t) 57 517. 6. s(t) 33 618. 2. s(t) 89 3 98 019. 10. v(t) 50 12 65 16 93 020. 10. v(t) 14 7 30 17 46 321. 10. v(t) 25 19 37 522. 10. v(t) 27 31 46 31 56 1123. 4. v(t) 70 12 93 424. 4. v(t) 72 12 90 425. 4. v(t) 94 426. 4. v(t) 95 427. 7. v(t) 76 528. 7. v(t) 53 29 60 829. 7. v(t) 36 1630. 10. a(t) 8 2431. 10. a(t) 3 25

Tabulka 1


Z Tabulky 1 lze snadno nahlédnout cíle konstrukce úloh, jak jsou zmíneny nazacátku predchozího odstavce.

Srovnáme-li úspešnostirešení jednotlivých úloh mezi ruznými vekovými kate-goriemi, snadno nahlédneme, že vetšinu výše uvedených úlohrešili lépe žáci starší.Pouze úlohyc. 3,c.14 ac. 28 mají témer stejné procento úspešnosti. V prvním prí-pade meli žáci nejvetší potíže s matematickým výpoctem, v druhém prípade bylanejcastejší chybou nepozornost pri ctení z grafu. Úlohac. 28 v testu pro 1. úrovenSŠ byla zadána na konci testu, což se také promítlo do relativního poctu studentu,kterí na tuto úlohu neodpovídali. Z tohoto duvodu není možné provést relevantnísrovnání.

Úlohy zamerené na nekteré dovednosti se, jak lze videt z Tabulky 1, opako-valy v testu nekolikrát. Tyto úlohy sice požadovaly krešení užít pokaždé stejnoudovednost predevším spocítat prumernou rychlost zmeny veliciny (7.) a velikostplochy pod grafem (10.), ale pro jiný tvar zadané závislosti. Podrobný rozbor stra-tegie rešení úloh zamerených na výpocet prumerné a okamžité rychlosti z grafuzávislosti dráhy nacase je uveden v [4]. Obecne nelzeríci, že by výpocet pro neli-neární závislost vedl k menší úspešnostirešení než výpocet pro závislost lineární.Úspešnost spíše závisí na tom, zda daná závislost procházíci neprochází pocát-kem soustavy souradnic. Podíváme-li se na úlohy, které vyžadovaly kvalitativneporovnat rychlost rustu dráhy nacase, dle ocekávání bylo pro žáky nejtežší urcit,kdy bežící zvíre zpomalovalo. V prípade výpoctu plochy pod grafem lze ucinitzáver, že vetšina žáku nemá tuto dovednost osvojenu. U úlohy 19. je úspešnostre-šení ješte vcelku vysoká - také zde stací ke správnémurešení umet užít vzoreceks= vt. U dalších úloh však úspešnost rychle klesá, nejcastejší chybou bývá opetužití predešlého vzorce, kde za v žáci dosazují obvykle maximální hodnotu veli-kosti rychlosti na danémcasovém intervalu. Povšimneme si ješte úspešnostirešeníúloh 19. a 22. Tyto dve úlohy jsou ve své podstate témer totožné, presto má úlohac. 22 mnohem menší úspešnostrešení a oproti predchozím úlohám ji nerešilo vícestudentu. Domnívám se, že je to zpusobeno neobvyklým zadáním úlohy, jenž nek-teré studenty odradilo od toho, aby se nad úlohou pokusili zamyslet. K tvrzení, žestudenti nemají dostatecne osvojenu dovednost týkající se interpretace plochy podgrafem, prispívá i velmi malá úspešnostrešení úloh 30. a 31.

1Císlem je oznacena dovednost z výše uvedeného seznamu, kterou je treba predevším použít kesprávnému vyrešení dané úlohy.

2Je užito obvyklého znacení velicin tj. s−dráha,v−velikost rychlosti,a−velikost zrychlenía t−cas.

3Relativnícetnost žáku, kterí danou úlohu vyrešili zcela správne.4Relativnícetnost žáku, kterí danou úlohu nerešili.


6 Záver

Základní dovednosti žáku a studentu vymezené v tomto príspevku se s vekem stu-dentu zlepšují. Velké procento studentu umí však tyto dovednosti použít v prípadenejaké typové úlohy, která bývá obvykle procvicována pri výuce fyziky. V prí-pade neobvykléhoci obecnejšího zadání se procento studentu, kterí úlohu vyrešísprávne, snižuje. Z toho vyplývá, že nekterí studenti nemají tyto základní doved-nosti pri práci s grafy dostatecne prohloubeny a zobecneny.

Bibliography

[1] Beichner R. esting student interpretation of kinematics graphs.Am. J. Phys.,62:750–762, 1994.

[2] Fenclová J. Fyzikální vedomosti našich studentu, volume 5 ofStudieCSAV.Academia, Praha, 1980.

[3] Grondilová M. Práce s grafy ve výuce fyziky. Diplomová práce,MFF UKPraha, Praha, 2004.

[4] FPV UKF. Konference Didfyz 2006, Rackova dolina, 11.-14. 10. 2006. UKF.

[5] Grondilová M. Dovednosti studentu pri práci s grafy. InAktuální problémypedagogiky ve výzkumech studentu DSP, pages 151–155, Olomouc, 14. 12.2005.

[6] Rakovská M. Zelenický L., Horváthová D. Graf funkcie vo fyzikálnom vzde-lávaní. FPV UKF, Nitra, 2005.

ŠTUBNA Igor, VOZÁR Libor

Linear Thermal Expansion of the Two-Phase SolidsConstantine the Philosopher University

Faculty of Natural Sciences, Department of PhysicsTr. A. Hlinku 1, SK-949 74 Nitra, SlovakiaŠTUBNA Igor,e-mail: [email protected]ÁR Libor,e-mail: [email protected]

Abstract: Two-phase solid is considered as the two concentric spheresmodel. The innersphere, the core and the outer sphere, the cladding, have radii R1, R2 and material parame-ters areE1, E2 (Young’s moduli),µ1,µ2 (Poisson’s ratios) andα1,α2 (coefficients of thelinear thermal expansion). The expansion of this model during its heating can be solvedas a thermoelasticity problem. If the material parameters are constant in the consideredtemperature region and ifE1 ≈ E2, µ1 ≈ µ2 and α1 6= α2, the final coefficient of linearthermal expansion of the two phase solid depends only on the volume ratio of the core andthe cladding. A formulaα f = να1 +(1−ν)α2 (whereν is a part of the core, i.e., phase 1,in the material andα f is the coefficient of the linear thermal expansion of the compoundmaterial) is derived.

Keywords: thermal expansion, two-phase solid

1 Introduction

The simplest model of the two-phase solid represents a sample of the uniformcross-sectionS consisting of two parts. Assume that the phase 1 is carried totheone part of the sample and the phase 2 is carried to the other part of the sample.Thus, one part is made of the phase 1 having a volumeV1 with linear thermalexpansion coefficient (LTEC)α1 and the other part is made of the phase 2 whichhas a volumeV2 and LTECα2. If the sample is heated from initial temperaturet0 to t without restraint on the size changes, then the length of thesample at thetemperaturet is

l =V1

S(1+ α1∆t)+

V −V1

S(1+ α2∆t),

where∆t = (t − t0) andV = V1 +V2. For the sample made of the fictive materialhaving LTECα f , with the same initial length and cross-section, the length afterheating is

lVS

(1+ α f ∆t).

Both samples are equivalent if they possess the same final length l at the tempera-turet. Then

α f = να1 +(1−ν)α2, (1)

whereν = V1/V is a part of the phase 1 in a whole volume of the sample.

165

[email protected]

[email protected]


This model implicitly assumes the equality of Young’s moduli and Poisson’sratios of both phases, i.e.,E1 = E2, µ1 = µ2. The assumption thatE1 = E2 andα1 6= α2 is not physically correct. Both parameters, Young’s modulus and LTECdepend on interatomic distancesr. It can be found from the simple model of twoatoms with the potential energy concerning anharmonicity of thermal vibration ofthe atoms. As it follows from theory, the relationship between LTEC and Young’smodulus isα ∼= 1/E (see e.g. in [1, 2]). Consequently, LTEC and Young’s modulusare not mutually independent.

Despite the physical incorrectness of the assumptionE1 ≈ E2 andα1 6= α2 theformula (1) is generally accepted, e.g. in [3]. Eq. (1) is also known as a mixturerule. And, the model described above is also far from the truestructure of the two-phase solid.

A derivation of the formula (1) based on more realistic modelwith the assump-tion E1 ≈ E2, µ1 ≈ µ2 andα1 6= α2 is shown in this contribution.

2 Mathematical model

Two-phase isotropic solid, e.g. approximately spherical grains dispersed in a mat-rix, can be dealt as two concentric spheres model. The inner sphere, the core andthe outer sphere, the cladding, have radiiR1,R2 and there material parameters areE1 ≈E2 = E (Young’s moduli),µ1 ≈ µ2 = µ (Poisson’s ratios) andα1 6= α2 (LTEC).The material parameters are assumed constant in the considered temperature re-gion.

It follows from the assumptions described above, that the displacement vec-tor u has only a radial componentur . Deformations in a simple sphere along thespherical coordinates are [4] and [5] (p. 702)

εr =∂ur

∂r, εϑ =

1r

ur , εϕ =1r

ur

and azimuthal deformation is

εrϑ =12r

∂ur

∂ϑ= 0,

because the radial displacementur does not change along the azimuthal direction. Itmay be observed that deformations are only in the radial and azimuthal directions.These facts were applied for a compound sphere [6]. The radial stress in the innersphere is

σr1(r) =Ec11

1−2µ− 2Ec12

1+µ1r3 − 2E

1−µ1r3

∫ r

0ε1r2dr

for 0 < r < R1 (2)

ŠTUBNA I., VOZÁR L. — L INEAR THERMAL EXPANSION OF THE. . . 167

and azimuthal stress is

σϑ1(r) =Ec11

1−2µ− 2c12

1+µ1r3 − Eε1

1−µ+ f E1−µ

1r3

∫ r

0ε1r2dr

for 0 < r < R1 (3)

and radial component of the displacement vector is

ur1(r) = c11r +c121r2 +

1+µ1−µ

1r2

∫ r

0ε1r2dr for 0 < r < R1. (4)

The valueε1 is a free deformation during the temperature change. This deformationcan be calculated using the equation

ε1 =∫ t

t0α1dt,

thus integral in Eqs. (2), (3), (4) can be written as

∫ r

0

∫ t

t0α1r2drdt = α1

r3

3∆t,

where∆t = t − t0 is a temperature difference between initial temperaturet0 andactual temperaturet.

For the outer sphere we have forR1 < r ≤ R2

σr2(r) =Ec21

1−2µ− 2Ec22

1+µ1r3 − 2E

1−µ1r3

∫ r

R1

ε2r2dr, (5)

σϑ2(r) =Ec21

1−2µ− Ec22

1+µ1r3 − Eε2

1−µ+

E1−µ

1r3

∫ r

R1

ε2r2dr, (6)

ur2(r) = c21r +c221r2 +

1+µ1−µ

1r2

∫ r

R1

ε2r2dr, (7)

and the integral in Eqs. (5), (6), (7) is

∫ r

R1

∫ t

t0α2r2drdt = α2

r3−R31

3∆t.

Constantsc11,c12,c21,c22 can be calculated from the boundary conditions. Theboundary conditions on the surface between the inner sphereand outer sphere(r = R1) and on the surface of the outer sphere (r = R2) are

ur1(0) = 0, er1(R1) = ur2(R1), σr1(R1) = σr2(R1), σr2(R2) = 0. (8)


Using abbreviated designations

A =E

1−2µ, B =

E1+µ

, D =E

1−µ

and substituting Eqs. (2), (4), (5) and (7) into the boundaryconditions (8) fourequations are obtained

limr−→0

[

c11r +c121r2 +

DB

α∆t3

r

]

= 0, (9)

c11R1+DR1

Bα1∆t

3= c21R1+

c22

R21

, (10)

Ac11−2Dα1∆t

3= Ac11−

2B

R31

c22, (11)

Ac21−2B

R32

c22−R3

2−R31

R32

α2∆t3

2D = 0. (12)

By solving these equations we obtain the constants

c11 = c21 =2D3A

∆t[

να1 +(1−ν)α2]

, (13)

c12 = 0, (14)

c22 =D3B

α2∆tR32, (15)

where the quantityν = R31/R3

2 represents part of the core in the whole model vol-ume.

The radial displacement ur in the core (following from Eqs. (4), (13) and (15))is

ur1(r) =D∆t3A

r

[

A+2BνB

α1−2(1−ν)α2

]

(16)

and the radial displacement in the cladding is

ur2(r) =D∆t3A

[

(

2rνA

+R3

1

Br2

)

α1

+

(

2r(1−ν)

A+

r3−R−13

Br3

)

α2

]

(17)

as it follows from Eqs. (7), (13) and (15).Now, let us change the model described above with a homogeneous sphere

made of fictive material with LTECα f and its Young’s modulus and Poisson’sratio areE andµ. The size of this fictive sphere at the temperaturet0 is the same as

ŠTUBNA I., VOZÁR L. — L INEAR THERMAL EXPANSION OF THE. . . 169

the composite sphere, that is, its radius isR2. Both spheres, composite and fictive,are equivalent if their radial displacements are equal at the temperaturet

[

ur1(R1)+ur2(R2)]

comp.sphere=[

ur(R2)]

fict.sphere, (18)

where[

ur(R2)]

fict.spherecan be derived from the equation similar to the Eq. (4) andboundary conditionsur f (0) = 0, σr f (R2) = 0. From Eqs. (16), (17) is obtaineda left side of Eq. (18) and after mathematical modifications Eq. (18) obtains a form

D

[(

2νA

+νB

)

α1 +

(

2A

(1−ν)+1B

(1−ν)

)

α2

]

∆t3

= 2D

(

1A

+1

2B

)

α f∆t3

. (19)

Finally, from Eq. (19) there is a mixture rule, that is, Eq. (1)

α f = να1 +(1−ν)α2. (20)

It may be concluded that in the simple case when material parameters of the coreand the cladding are the same except for the LTEC, the final LTEC depends onlyon the volume ratio of the core and the cladding. We make a notethat Eq. (20)satisfies the extreme cases: ifv = 1 (model contents only the core) it follows fromEq. (20) thatα f = α1 and if v = 0 (model contents only the cladding) it followsα f = α2.

3 Conclusion

Derivation of the mixture rule for LTEC based on the model represented by twoconcentric spheres with the assumptionE1 ≈ E2, µ1 ≈ µ2 andα1 6= α2 was iden-tified and shown. This model is suitable for grains with approximately sphericalshape dispersed in the matrix. It may be assumed that the solution of the compound-sphere problem is far more complex than solution of the simplest two-phase modelbut it is closer to reality.

Acknowledgement

This work was supported by grants of the Slovak Agency for Science VEGA1/2117/05 and VEGA 1/3179/06.


References

[1] Postnikov V.S. Physics and chemistry of solid state. Metallurgia, Moskva,1978. (in Russian).

[2] Lakhad S.C. Temperature dependence of the elastic constants.J. Appl. Phys.,42:4277–4281, 1971.

[3] Taylor R. E et al.Thermal Expansion of Solids. ASM International, MaterialsPark, 1998.

[4] Goodier J. N. Timoshenko S. P.Theory of Elasticity. McGraw-Hill Co., NewYork, 1970.

[5] Sopko B. Brdicka M., Samek L.Mechanika kontinua. Academia, Praha, se-cond edition, 2000.

[6] Scherer G. W. Viscoelastic analysis of thermal stress ina composite sphere.J. Amer. Ceram. Soc., 66(N3):59–65, 1983.

TOMÁNEK Pavel

Introductory interactive course of Nanotechnologyfor Electrical Engineering curriculum


Technická 8, CZ-616 00 Brno, Czech Republic,e-mail: [email protected]

Abstract: The fundamental objective of Nanotechnology is to model, simulate, design andmanufacture nanostructures and nanodevices with extraordinary properties and assemblethem economically into a working system with revolutionaryfunctional abilities. The un-derstanding of novel physical, chemical, biological, optical, electronic, magnetic and otherphenomena and material properties will bring an interdisciplinary approach to the science.Therefore, the industrial and academic will need people whothink, measure, engineer onthe nanometer scale, and who must possess strong multidisciplinary skills. The main targetof presented new course on Nanotechnology is to convey the basic concepts of Nanoscienceto Electrical Engineering students with almost no background in quantum mechanics andstatistical mechanics. The paper describes an experience obtained in the organization ofsuch course during last two academic years with 80 students.

Keywords: Nanoscience, nanotechnology, education, interactive course

1 Introduction

The recent worldwide buildup of the nanotechnology field hasbroadly and pro-foundly influenced the global knowledge-based economy. To successfully estab-lish a nanotechnology industry requires a prior cultivation of skilled workers inthis enabling field. In addition, a workforce with an in-depth nanotechnology kno-wledge is believed to provide a country with unequal competitive edges in thiscentury. Learning from the biotechnology experience of the1980s, consensus alsoexists among the leaderships that broadening and expandinggeneral public’s un-derstanding of nanotechnology and inviting both industries and citizens to join thisexciting field early will sure to prevent any potential negative impacts of this excit-ing technology [1].

Nanoscience research, starting from physics, chemistry and biology, is ex-pected to lead to a better understanding of nature. Technologies that could benefitfrom the nanoscale are various. They are situated in electronics, biotechnology,pharmaceuticals, and energy related disciplines (Fig.1).Thus, nanoscience and na-notechnology are interdisciplinary and multidisciplinary fields of discovery [2].

Unfortunately, scientists working in physics, chemistry,biology, engineering,information technology, metrology, and other fields don’t typically work together.People trained in these different fields speak different technical languages and lookfor different problems to solve. Universities generally set the example. Depart-

171

[email protected]


ments and publications revolve around traditional fields and only few academicsget full credit for achievements in cross-disciplinary fields.

Figure 1: Interdisciplinary character of Nanotechnology [3]

The development of nanotechnology has made it possible to engineer materialand devices on a length scale as small as several nanometers (atomic distancesare 0.1 nm). The properties of such nanostructures cannot be described in termsof macroscopic parameters like mobility or diffusion coefficient and a microscopicor atomistic viewpoint is called for. The purpose of this course is to convey theconceptual framework that underlies this microscopic viewpoint using examplesrelated to the emerging fields of nanotechnology as nanophotonics and nanoelec-tronics.

2 Methodology

Five years ago, we answered to Electrical Engineering students’ question: Are youready to teach Nanotechnology? At the same time, many other questions came inmind:

• How should nanotechnology be taught in the undergraduate as well post-graduate levels?

• Should we establish a new degree specialized in nanotechnology or just in-tegrating the knowledge of nanotechnology into the currentcurriculum wit-hin each academic department’s area?

• Should we introduce nanotechnology to secondary school students?

TOMÁNEK P. — INTRODUCTORY INTERACTIVE COURSE OFNANO. . . 173

• What is the best mode of current practice in terms of nanotechnology en-gineering education? Any successful or unsuccessful attempts on educatingstudents of all levels as well as the general public are eagerly sought after soas to share the invaluable experience gained.

• Will academic circles change their interaction mode of interactions with in-dustries in nanotechnolog

These are only some of questions which Universities (and Technical Universities)deal with at present state-of-the-art.

Since 2000 we started to prepare a new optional course called“Introductionto Nanoscience”. We checked up its level and validity every year with several vo-lunteers of 2nd year of Bachelor degree study. Unfortunately, these students werenot yet sufficiently prepared for it therefore two years ago,with a new attestationof the Faculty of Electrical Engineering program, this course was officially recog-nized by Faculty as “Nanotechnology” and finally scheduled for students of 1styear of Master undergraduate degree level (former 4th year of study).

Since then, 80 students took part in this optional interactive introductory one-term course (13 weeks) - 4 hours per week (lecture 2 hours, computer problemsolving exercise 0.5 hour, project 0.5 hour, and seminar 1 hour). Naturally, as Na-notechnology progresses, the course constantly follows this trend, too.

2.1 Course objectives

The course will cover nanoscale processes and devices and their applications formanipulating light on the nanoscale. The following topics will be covered:

• Fundamentals, Maxwell’s equations, light-matter interaction, dispersion, etc.

• Fundamental nanostructures and their electromagnetic properties

• Near-field interaction (force, optical, electric, magnetic, thermal, and others)

• Photonic crystals

• Photonic crystal fibers

• Manipulating light with plasmonic nanostructures

• Detection and localization of nanostructures

• Nanoelectronics

• Molecular electronics.


2.2 Aim

The course has two principal goals: first - to give an overviewof the current deve-lopment in Nanoscience-Nanoscale science and technology,and to give an intro-duction to applications in Quantum mechanics, Condensed matter physics, Statis-tical physics and Computer physics.

2.3 Educational goals

Therefore, in order for our students to face the challenges presented by nanotech-nology, the following educational goals should be applied:

• Provide understanding, characterization and measurements of nanostructureproperties

• Provide ability for synthesis, processing and manufacturing of nanocompo-nents and nanosystems

• Provide ability for design, analysis and simulation of nanostructures and na-nodevices

• Prepare students to conduct research and development of economically fea-sible and innovative applications of nanodevices in all spheres of our dailylife.

2.4 Interactive character

The interactive character of the course is mainly evident outside the lectures. TheComputer Assisted Engineering making considerable use of Educational tools ofwww.nanohub.org [4] contributes to the simulation of the phenomena and moreactive involvement of individual work of each student to theeducation process wasreached.

During these computer problem solving exercises, each student individuallyadvances on his own speed, communicates with the computer Matlab programand simulates different near-field interactions, studies basic characteristics of nano-structures, nanophotonic and nanoelectronic components and devices. These com-puter assisted sessions exhaust in simple homeworks.

An important part of the educational process is a literaturepresentation. Wehave been partially inspired by experience of Purdue University [5], where somerecommended textbooks are listed on. For the presentation goal students have tochoose an article on nanophotonics or nanoelectronics published recently in scien-tific journals or on the Internet, and make a 10-15 minutes presentation with its


critical review of paper to other students. In the presentation students should sum-marize major observations described in the article. The presentation is followed byapprox. 5 minute discussion in the class. The presentation could be in Czech orEnglish - the latter benefits higher mark. The presentation is important (30-35

If we compare two different students’ level, the students ofMaster degree likethis kind of education more than students of Bachelor degree. The individual workbrings them more satisfaction, because they understand better the lecture.

3 Conclusion

Nanotechnology is really interdisciplinary. An interdisciplinary curriculum that en-compasses a broad understanding of basic sciences intertwined with engineeringsciences and information sciences pertinent to nanotechnology is essential.

Nanotechnology should be taught by creating both knowledge-centered andlearning-centered environments inside and outside the classroom because the tech-nology is advancing so fast, activities that encourage creative thinking, critical thin-king and life-long learning should be given the highest priority.

Other suggestions for teaching strategies include [6, 7]:

• Introductory nanotechnology courses should be taught more from the per-spectives of concept development and qualitative analysisrather than mathe-matical derivations.

• Every effort should be made to convey the big picture and howdifferentlearning exercises fit together to achieve course objectives.

• Each course should be taught at the appropriate level with required pre-requisites.

• Junior and senior design courses, specifically the capstone design courses,should integrate modeling, simulation, control and optimization of nanode-vices and nanosystems into the course objectives.

• Every effort should be made to integrate concepts related to nanotechnologyinto all design courses.

Interactive learning should be the center of nanotechnology education. Technologycan play a powerful role in facilitating interactive learning both inside and outsidethe classroom.

Moreover, students can participate in nanotechnology research developmentprojects and laboratory experiments all over the world via the Internet. Students


should be given opportunities to work directly with established nanotechnology re-search centers (local, regional, national, international) to gain hands-on experience.University faculty members must collaborate with industryin order to educate andtrain students in the field of nanotechnology. Utilizing a team of faculty membersspecializing in appropriate disciplines to teach nanotechnology courses is highlydesirable. The inclusion of guest speakers from industry and research centers en-hances the quality of available courses.

Nanotechnology education should be integrated into mainstream undergradu-ate engineering curricula. Government, industry and university bodies should fostercollaboration among themselves in order to educate students in nanotechnology.

Students of nanotechnology should know how to:

• design, analyze and manufacture nanocomponents and nanosystems,

• create nanodevices for economically feasible, innovative applications of na-notechnology in all spheres of our daily life.

Acknowledgments

This research has been supported by the Czech Ministry of Education in the frameof Research Intention MSM-21630503 MIKROSYN “New Trends inMicroelec-tronic Systems and Nanotechnology” and project FRVS IS 743.


References

[1] Encyclopedia of Nanoscience and Nanotechnology, volume Vol. 2. AmericanScience Publ., Stevenson Ranch, Ca., USA, 2004.

[2] National Science Foundation’s National Nanotechnology Initiative.http://www.nsf.gov/home/crssprgm/nano/start.htm ,(accessed Aug 01, 2001).

[3] Tománek P. Nanoscience and nanotechnology in engineering education. InEPS Conference abstracts,, volume 29G, 2005.

[4] http://www.nanohub.org .

[5] Shalaev V.http://shay.ecn.purdue.edu/~ece695s2 .

[6] Grmela L. Ožvoldová M. Tománek P., Uhdeová N. Nanoscience and measu-rements — new chalenge for engineering students. In Ruprecht R. Melezi-nek A., editor,Unique and Excellent Ingenieurausbildung im 21. Jahrhundert,volume 44, pages 282–285, 2000.

[7] Tománek P. Nanotechnology and nanophotonics interactive course for elect-rical engineering undergraduate students. InProceedings of Symposium onPhotonics Technologies for Framework Programme 7- Opera 2015, pages 374– 377, Wroclaw, Poland, 2006. Wroclaw University of Technology.

http://www.nsf.gov/home/crssprgm/nano/start.htm

http://www.nanohub.org

http://shay.ecn.purdue.edu/~ece695s2

VALOVI COVÁ L’ubomíra

Vytváranie empirického poznávacieho postupu s prvkamitvorivosti


Tr. A. Hlinku 1, SK-949 74 Nitra, Slovakia,e-mail: [email protected]

Abstract: Solving of problematic tasks and the experimental activities are most approp-riate for the development of creativity in physics. For students, there should be more expe-rimental tasks without the solution, which would support their creativity and imagination.According to these methods physics would become more attractive and easier to work with.

Súhrn: Najvhodnejším spôsobom rozvíjania kreativity vo fyzike jeriešenie problémovýchúloh a experimentálna aktivita. Existuje viac experimentálnych úloh bez jednoznacnéhoriešenia, ktoré môžu podporit’ kreatívnu predstavivost’ študentov. Vd’aka metóde, ktorá ta-kéto experimenty využíva, fyzika sa môže pre študentov stat’ prít’ažlivejšou a práca s nimije tiež jednoduchšia.

1 Úvod

Pri vytvorení postupu empirického poznávania sme vychádzali z potrieb, ktorév súcasnosti rezonujú vo vyucovaní fyziky. Ide o problematiku zvyšovania podielusamostatnej aktívnej práce žiaka, jeho motiváciu a hlavne charakter získaných po-znatkov a spôsob ich získavania.

2 Tvorivost’ a fyzika

Tvorivost’ je univerzálnym javom v tom zmysle, že sa prejavuje v širokom spektrel’udskej cinnosti, ktorej množstvo a rozmanitost’ je prakticky neobmedzená. Sa-motní psychológovia sa na tvorivost’ dívajú z viacerých hl’adísk, ocom svedcí ajzozbierané množstvo definícii tvorivosti [1].

Tvorivost’ a tvorivé myslenie by malo byt’ základom každodennej ucebnejcin-nosti, procesu sprístupnovania nového uciva a jeho osvojenia, používania metód,foriem a logických postupov. Prostriedky rozvoja tvorivosti sú organizacné formy,metódy a materiálne prostriedky (ucebné pomôcky, didaktická technika, priestory),ktoré sa musia orientovat’ na subjekt - individualitu osobnosti, u ktorej chcemerozvíjat’ tvorivé schopnosti. Musia umožnit’ rozvojfluencie, flexibility, origina-lity, senzitivity, redefinovania, elaboráciemyslenia prostredníctvom hl’adania, ob-javovania, kritických postojov pri neustálej motivácií, samostatnosti, aktivite. Prerozvoj tvorivosti je dôležitá aj atmosféra. Tá by mala umožnit’ cloveku prejavit’ sabez obáv z dôsledkov a výsmechu.

179

[email protected]


Vo fyzike ale môže mat’ novost’ rôzne formy: novost’ môže byt’ obsiahnutáv nápade, myšlienke, v novom pohl’ade na známy jav, v postuperiešenia, vo vy-myslení novej metódy, v použití nového princípu, vo vymyslení experimentu a iné.Možných tvorivýchcinností vo fyzike je tol’ko, že nemá zmysel ich všetky tu vy-menovávat’.

Taktiež nie je možné vo fyzike presne zadefinovat’co budeme považovat’ zatvorivé, a to hlavne z dôvodu, že fyzika je veda „objavitel’ská“. Keby sme sa snažilinejako zadefinovat’ tvorivost’ vo fyzike urcite by sacasom našiel problém nového,dovtedy neznámeho typu, ktorý by v tejto definícii nebol obsiahnutý.

3 Postup empirického poznávania s prvkami tvorivosti

Na hodinách fyziky žiaci experimentovaním väcšinou overujú platnost’ urcitýchkonkrétnych fyzikálnych zákonov. Chýba používanie empirických postupov a me-tód, pri ktorých experiment tvorí prostriedok, prostredníctvom ktorého žiaci zís-kavajú nové poznatky a zrucnosti. Preto sme sa na základe analýzy štruktúry fy-zikálneho experimentu, tvorivého riešenia problému, úlohstimulujúcich tvorivéschopnosti a metodík tvorivého vyucovania pokúsili navrhnút’ také zmeny v štruk-turálnych prvkoch empirického poznávania, ktoré by viedlik rozvoju tvorivýchschopností žiakov.

Východiskom pre analýzu experimentálnejcinnosti bol model empirického po-znávacieho procesu prezentovaného Koubekom [2]. Tieto zmeny sa týkajú hlavnemyšlienkovej prípravy poznávania, ktorá ucitel’ovi poskytuje vel’ký priestor narozvíjanie tvorivých schopností žiakov.

3.1 Motivácia poznávania

Motivácia poznávania proces poznávania „naštartuje“. Od motivácie závisí do akejmiery bude žiak ochotný a schopný tvorivo rozmýšl’at’ o obsahu a štruktúre po-znávania. Ako uvádza Zelina [3], motivácia je z urcitého pohl’adu dôležitejšiaako schopnosti. Pokial’clovek nemá chut’ tvorit’, nemá vnútornú motiváciu niecozlepšit’, obohatit’, rozvinút’, tak v tom prípade jeho schopnosti sú len možnost’ou,akoby „mrtvou pôdou“. Urcitým nedostatkom motivácie je prehnaný dôraz na von-kajšie motívycinnosti (dôraz sa kladie najmä na výsledokcinnosti, nie na jej prie-beh). Pre tvorivú poznávaciucinnost’ je potrebné previest’ vonkajšiu motiváciu navnútornú, ktorá by u žiaka evokovala potrebu objavovat’ a tvorit’.

Táto fáza je vel’mi dôležitá, pretože podl’a toho, ako daná motivácia zaujmežiakov, sa budú zaujímat’ o formulovaný problém.

VALOVI COVÁ L’. — V YTVÁRANIE EMPIRICKÉHO POZNÁVACIEHO POSTUPU. . . 181

3.2 Formulovanie problému

Vo fáze motivácie poznávania sa snažíme zaujat’ žiakov pre riešenie nejakéhoproblému. Slovné formulovanie problému je jednoznacne prejavom pochopeniapodstatných súvislostí skúmaného javu a predpokladom pre generovanie možnýchd’alších postupov a riešení. Táto vhodne volená formuláciaproblému by mala do-nútit’ žiakov tvorit’. Žiaci by v tejto formulácií mali vidiet’ možnost’ vžit’ sa donavodenej situácie. Vo formulácií problému by mali nachádzat’ možnost’ riešit’danú situáciu zo svojho pohl’adu. Ak má formulácia problémunabádat’ žiakov kugenerovaniu riešení, mala by obsahovat’ napríklad výrazco najviac. Formuláciev oblasti experimentálnejcinnosti navrhujeme, vychádzajúc z prác Jurcovej a Pi-šúta [4]Didaktika fyziky - Rozvíjanie tvorivosti žiakov a študentov:

• navrhniteco najviac metód na meranie . . . ,

• navrhniteco najviac jednoduchých zariadení na meranie . . . ,

• navrhniteco najviac pokusov, ktoré . . .

Príklad problému: Pri riešení problému Vel’kého tresku smeformulovali prob-lém nasledovne: Navrhniteco najviac spôsobov, ktorými by ste nepravidelné telesorozdelili na dvecasti o rovnakom objeme.

3.3 Tvorba hypotéz

Z hl’adiska tvorivého riešenia problému by mal ucitel’ pomocou vhodne volenýchotázok vzbudit’ záujem žiakov o tvorenie riešení. Dané otázky by mali stimulovat’u žiakov fluenciu. Myslíme si, že experimentovanie predstavuje cyklický proces,a práve preto tvorivé riešenie problémov nemôže byt’ ohranicené len jednou vyuco-vacou hodinou. Podl’a nás je žiadúce tento cyklus rozdelit’na viaceré vyucovaciehodiny.

Z hl’adiska generovania nápadov zohráva dôležitú úlohu to,aby žiak prestalvedome mysliet’ na experiment, tak povediac, ?odpútal sa? od neho. Ucitel’ takumožní žiakovi možnost’ inkubácie problému a následneponechá tvorbu nápadovžiakom na domácu úlohu. Pri domácom riešení dochádza ku generovaniu väcšiehopoctu rozmanitých riešení.Tvorba rozmanitých riešení je podporená tým, že žiacisa môžu inšpirovat’ „nápadmi“ iných osôb (vekovo neohraniˇcených) alebo litera-túrou, ktorá je vzdialená danej problematike.

3.4 Myšlienkový experiment

Myšlienkový experiment sacastokrát oznacuje aj ako logická analýza úlohovejsituácie. Jeho obsahom sú úvahy, ktoré treba vykonat’ predtým, ako pripravíme


logickú štruktúru experimentu. Z hl’adiska tvorivosti je dôležité poskytnút’ žiakomdostatocný cas na inkubáciu riešenia. Nechat’ žiakom možnost’ prezentovat’ ichnápady.

Použijeme metódu brainstormingu:Necháme žiakov prezentovat’ svoje rie-šenia. Pri zapisovaní riešení sa zachováva „anonymita tvorcu“ (ucitel’ zapisujevšetky riešenia žiakov na tabul’u, pricom to isté riešenie môže pochádzat’ od via-cerých žiakov, ale zapíše sa len raz). Riešenia nepodrobujúkritike.

Pri prezentácii riešení ešte raz môžeme položit’ otázku stimulujúcu fluenciu -napr. „ked’ vidíte tieto riešenia, nenapadajú ešte niekohod’alšie riešenia¿‘.Tátootázka je nutná preto, že žiakov môžu inšpirovat’ riešenia spolužiakov a môže dôjst’k vygenerovaniu d’alších riešení (t.j. niekto môže na základe zapísaných riešenídostat’ inšpiráciu a vytvorit’ nové riešenie). Po zapísanívšetkých riešení je vhodnéžiakov spojit’ do skupín, v ktorých môže dochádzat’ ku konfrontácii riešení medzinimi. Ucitel’ so žiakmi podrobia riešenia kritike. Žiaci sa na základe ucitel’ovýchotázok zacnú objektívnejšie dívat’ na jednotlivé riešenia. Túto fázu kritiky sme sirozdelili na jednotlivécasti:

a. V prvej casti žiaci vyradia zo všetkých možných riešení tie, ktoré sú nere-álne alebo „rozprávkové“ (kritérium = nereálnost’). (Ucitel’ove otázky typu:Skúste porozmýšl’at’, ktoré nápady by mohli nastat’ len vtedy, ak by sme saocitli v nejakom rozprávkovom svete? Porozmýšl’ajte, ktoré nápady považu-jete za nereálne a skúste aj vysvetlit’ preco!)

b. V druhej casti žiaci vyradia zo zostávajúcich tie, pri ktorých nevedia, akoby nápady realizovali (pri diskusii žiaci prišli k záveru, že tieto nápady súzlé - neúplné, lebo hovoria už o tom,cím sa bude nápad realizovat’), alebo„diskusné“ (napr. pri experimente Vel’ký tresk: tie, pri ktorých sa zmenil cel-kový objem telesa). (Ucitel’ove otázky typu:Pokúste sa porozmýšl’at’, ktorénápady by sme museli vyškrtnút’ vzhl’adom na to, že pri nich došlo k zmenezadaného problému? Skúste porozmýšl’at’, ako by sa dal danýproblém rea-lizovat’ pomocou nápadov, ktoré ostali.)

Na základe otázok a konfrontácií medzi žiakmi môže takáto redukcia rie-šení pôsobit’ na niektorých žiakov ako zrada ich riešení. Tumusí dat’ ucitel’pozor, aby žiak stratou svojich riešení nestratil záujem o riešenie problému.

Po týchto dvochcastiach kritiky zostanú riešenia, ktoré sa žiakom zdajú re-álne na dopracovanie.Ucitel’ sa má snažit’ vhodnými otázkami motivovat’žiakov, aby riešenia myšlienkovo dopracovali. V otázkach by sa mali vysky-tovat’ slová ako napr.: pokúste sa dopracovat’, dotiahnut’, dorobit’. (Slová,ktoré by sa mali vyskytnút’ v otázkach vychádzajú z prác Jurcovej a Pišúta[4])

VALOVI COVÁ L’. — V YTVÁRANIE EMPIRICKÉHO POZNÁVACIEHO POSTUPU. . . 183

c. V tretej casti by malo nastat’ dôsledné prehodnotenie zostávajúcich riešení,z ktorých žiaci vyselektujú tie, ktoré sa im nedajú dopracovat’.

d. Žiakom sa zostávajúce nápady zdajú reálne. Ucitel’ požiada žiakov, aby sikaždá skupina vybrala jeden nápad a pokúsili sa navrhnút’ vhodný postup narealizáciu.

Domnievame sa, že pri riešení takto zostavených experimentov sa u žiakov roz-vinú tvorivé schopnosti. Pri prvých experimentoch sa budú žiaci bát’ prezentovat’svoje riešenia. Postupne po „zvyknutí“ si na nový spôsob, žiaci budú schopní pre-zentovat’ viac riešení a zároven sa budú snažit’ o to, aby práve ich riešenie bolorealizované na hodinách. Žiaci sa pri hl’adaní riešenia problému budú cítit’ akovedci. Budú mat’ pocit, akoby ich riešenie bolo prínosom prespolocnost’, a to ichpodnieti k opätovnej reflexii o probléme a d’alších možných riešeniach.

V tretej fáze nastane dôsledné prehodnotenie zostávajúcich riešení, z ktorýchžiaci vyselektujú tie, pri ktorých nevedia nájst’ metódu, ktorou by to uskutocnili.Jednoducho dané riešenia sa im nedali dopracovat’. Žiakom sa zostávajúce nápadyzdajú reálne. Ak ucitel’ zistí, že žiaci majú podl’a neho ako reálny oznacený aj ná-pad, ktorý je podl’a neho nereálny, úplne ho nezamietne, alezacne onom so žiakmidiskutovat’. Podl’a vysvetlenia žiakov bud’ svoj názor poopraví alebo vysvetlí žia-kom, preco tento nápad nepatrí medzi reálne.

Potom ucitel’ požiada žiakov, aby si v skupine vybrali jeden nápad apokúsili sanavrhnút’ vhodný postup na realizáciu. Žiaci po vypracovaní postupu riešenia odo-vzdajú ucitel’ovi svoj zoznam pomôcok. Ten zistí,ci tieto pomôcky môže do budú-cej hodiny žiakom zabezpecit’. Ak sa medzi pomôckami nachádzajú také, ktoré nieje možné zabezpecit’, ucitel’ spolu so žiakmi hl’adá možnost’, ako tieto pomôckynahradit’ inými, alebo ako by sa dal navrhovaný postup realizovat’ inak. Tým, žeucitel’ získa zoznam pomôcok potrebných pre realizáciu laboratórnej práce, ukoncísa druhácast’ laboratórnej práce.

Tretia etapa laboratórnej práce prebieha na d’alšej vyucovacej hodine fyziky.Žiaci na nej realizujú navrhovaný postup riešenia. Po zistení priemernej rýchlostiucitel’ vyzve žiakov, aby napísali „protokol“ laboratórnejpráce. Ucitel’ vysvetlížiakom, že „protokol“ by mal obsahovat’: názov, pomôcky, postup realizácie, rie-šenie alebo výpocty (ak sú potrebné) a záver, ale netrvá na ich presnom dodržaní.

4 Záver

Nami vytvorený postup empirického poznávacieho sme overovali v rámci projektuCGA V/5/2004 Laboratórne práce z fyziky rozvíjajúce tvorivé schopnosti žiakov.


Pri ich riešení sme sa snažili v triede utvorit’ atmosféru, pri ktorej sa žiaci ne-báli prezentovat’ svoje návrhy riešení. Z tohto hl’adiska môžeme povedat’, že sanám pri riešení laboratórnych prác osvedcila skupinová metóda práce žiakov. Pritakejto práci žiaci okrem iného rozvíjali svoje komunikacné schopnosti a spolu-prácu medzi sebou. Prínos laboratórnych prác s prvkami tvorivosti vidíme v tom,že do práce na laboratórnej úlohe sa zapája celá skupina.

Na záver uvediem pár postrehov z hodín laboratórnych prác. Pocas celéhonášho výskumu sa nám nestalo, že by sa niektorýclen skupiny pri práci na la-boratórnej úlohe „zviezol“. Každý žiak v skupine prezentoval svoje návrhy rieše-nia celej skupine a diskutoval s nimi o ich možnej realizácii. Žiaci sa tak aktívnezapájali už od návrhu realizácie danej laboratórnej úlohy až po jej samotnú rea-lizáciu. V rámci diskusie si žiaci medzi sebou mali možnost’vysvetlit’ postup amožnost’ realizácie, ale aj preco danú laboratórnu úlohu realizujú. Tým, že žiaci sisami navrhovali postup svojho riešenia, vopred nevedeli presne stanovit’ výsledokmerania, a preto chceli zistit’, aké výsledky pomocou ich metódy dosiahnú.

Literatúra

[1] Lokša J. Lokšová I.Teória a prax tvorivého vyucovania. ManaCon, Prešov,2001.

[2] Koubek V. a kol.Školské pokusy z fyziky. SPN, Bratislava, 1992.

[3] Zelina M. Stratégie a metódy rozvoja osobnosti diet’at’a. Iris, 1996.

[4] Pišút J. Jurcová M., Dohnanská J. Didaktika fyziky - Rozvíjanie tvorivostižiakov a študentov. MFF UK Bratislava, Bratislava, 2000.

VALOVI COVÁ L’ubomíra

Aké to je byt’ u citel’om fyziky?Constantine the Philosopher University

Faculty of Natural Sciences, Department of PhysicsTr. A. Hlinku 1, SK-949 74 Nitra, Slovakia,e-mail: [email protected]

Abstract: A concrete example of teaching of the thematic unit “Meteorology” with thehelp of appropriate motivation is given. The teaching is conducted in such a way that stu-dents have the opportunity to play the role of a teacher. The students may better acquire thecommand of the subject matter through such classes and improve their attitude to physicsin a spontaneous fashion.

Súhrn: V clánku popisujeme konkrétny príklad výucby tematického celku „Meteoroló-gia” pomocou vhodnej motivácie. Výucba je vedená takým spôsobom, aby študenti malimožnost’ zahrat’ úlohu ucitel’a. Vzniká možnost’ prejavit’ sa roli vyucujúceho predmetukaždému študentovi v triede,co zlepšuje ich postoj k fyzike spontánnym spôsobom.

1 Úvod

Dôležitým faktorom pre vytváranie postoja žiakov k fyzike je motivácia. Pre dobrúmotiváciu je nevyhnutné, aby fyzika žiakov bavila, aby malireálnu šancu jej ro-zumiet’ a pochopit’ ju. Ak žiaci nemôžu byt’ pri nadobúdaní poznatkov aktívni,strácajú záujem o lepšie pochopenie fyziky a vel’micasto sa uchýlia k memorova-niu poznatkov.

Z tohto dôvodu sme sa snažili nájst’ vhodnú formu motivácie,ktorá by žiakovzaujala. Takouto formou motivácie sa nám zdalo nechat’ žiakov zažit’ si úlohuucitel’a.

2 Výber tematického celku a jeho rozdelenie

Pri výbere vhodného uciva na vyskúšanie si, aké to je byt’ ucitel’om sme si zvo-lili tematický celok Meteorológia. Meteorológia je téma, ktorá sa dá rozdelit’ nasamostatnécasti, ktoré nemusia mat’ na seba vel’kú náväznost’ ako pri iných tema-tických celkoch. Je tiež dôležité, že k téme meteorológia môžu žiaci nájst’ dostatokmateriálov v podobe rôznych kníh, ktoré sa zaoberajú meteorológiou, ako aj množ-stvom internetových stránok venujúcich sa meteorológii. Žiaci tak mali možnost’cerpat’ informácie z rôznych zdrojov. Tematický celok Meteorológia je vhodný ajz toho dôvodu, že danému celku sa ucitel’ môže venovat’ okolo mesiaca,ciže mátak možnost’ nechat’ prejavit’ sa skoro celej triede .

Pri tvorbe tém jednotlivých hodín sme vychádzali z vyucovacích osnov pre 7.rocník základnej školy:

185

[email protected]


1. hodina: Základné pojmy meteorológie. Podnebie a pocasie.2. hodina: Vrstvy atmosféry3. hodina: Skvapalnenie vodných pár4. hodina: Vlhkost’ vzduchu5. hodina: Oblaky a zrážky6. hodina: Vietor a smere vetra7. hodina: Meteorologická mapa8. hodina: Meteorologická stanica9. hodina: Znecist’ovanie ovzdušia10. hodina: Rôzne katastrofy zaprícinené pocasím

3 Zadel’ovanie jednotlivých hodín

Ucitel’ môže zvolit’ pri zadel’ovaní dva spôsoby.

1. spôsob: Ucitel’ vytvorí dve osudia s lístockami. V prvom osudí budú mená žia-kov a v druhom názvy jednotlivých hodín. Potom sa ucitel’ môže zahrat’na losovanie Ligy majstrov alebo iné športové zlosovanie. Zprvého osudiavyberie dvoch alebo troch žiakov a z druhého osudia názov hodiny.

2. spôsob: Ucitel’ nechá žiakov, aby vytvorili skupinky, a potom ich nechá „dra-žit’“ jednotlivé hodiny. Ucitel’ vyhlási názov prvej hodiny. Skupina, ktorámá o hodinu záujem, sa prihlási. Ked’ má záujem viac skupín, môže prebeh-nút’ medzi skupinami duel o danú hodinu. Žiaci v dueli budú odpovedat’ naotázky ucitel’a, ktoré budú zostavené s uciva, ktoré práve preberaj

Po zadelení hodín ucitel’ každej skupine žiakov dá lístok s názvom hodiny a s otáz-kami, na ktoré ostatní žiaci po prebratí uciva budú vediet’ odpovedat’.

Lístky:

1. hodina: Pocasie a Podnebie(Vysvetlit’ ostatnýmco je to pocasie.Co všetkosa pod týmto slovom skrýva.Co je podnebie a s akými druhmi podnebia samôžeme stretnút’.)

2. hodina: Vrstvy atmosféry zeme(Vysvetlit’ jednotlivé vrstvy atmosféry — mô-žete o nich zistit’ aj nieco zaujímavé.)

3. hodina: Vlhkost’ vzduchu(Co je vlhkost’ vzduchu?Cím meriame vlhkost’ vzdu-chu? Vysvetlit’ pojmy rosný bod, absolútna vlhkost’ vzduchu, relatívna vlh-kost’ vzduchu.)

4. hodina: Skvapalnenie vodných pár(Ako vzniká oblak.Co je to oblacnost’?)

VALOVI COVÁ L’. — A KÉ TO JE BYT UCITEL’OM FYZIKY ? 187

5. hodina: Oblaky a zrážky(Spomente nejaké základné druhy oblakov.Co je rosaa hmla?Co sú zrážky a ako vznikajú?Cím sa merajú zrážky?)

6. hodina: Zmeny atmosferického tlaku. Vietor(Ako vznikajú zmeny tlaku - tzv.tlaková výš (V), tlaková níž (N)?.Co je vietor a ako vzniká?Co je smervetra?Co je rýchlost’ vetra?)

7. hodina: Meteorologická stanica(Naco slúžia meteorologické stanice?Co všetkosa nachádza v meteorologickej stanici?)

8. hodina: Meteorologická mapa a predpoved’ pocasia(Co je meteorologickámapa - fronty (teplý a studený).Co je predpoved’ pocasia?)

9. hodina: Znecistenie ovzdušia(Prírodné a umelé znecistenie ovzdušia. (sklení-kový efekt, ozónová diera)

10. hodina: Rôzne katastrofy zaprícinené pocasím(Spomente nejaké prírodnékatastrofy - hurikány, tornáda, snehové kalamity, záplav

Po rozdelení jednotlivých hodín žiakom ucitel’ môže žiakom na tabul’u napísat’adresy rôznych internetových stránok, na ktorých môžu nájst’ materiály k zadanýmhodinám. Je nutné zadat’ tie adresy, ktoré ucitel’ pozná, aby mohol potom l’ahšiekontrolovat’ žiakov. Kontrola spocíva v tom, aby žiaci neodpísali všetko z jednejstránky, ale využili viaceré. Ak ostane na hodinecas, môže ucitel’ odpovedat’ naotázky žiakov.

3.1 Cas medzi zadelením a vyucovaním jednotlivých hodín

V období medzi zadelením a vyucovaním jednotlivých hodín by mal ucitel’ vypí-sat’ konzultacné hodiny alebo iným spôsobom spolupracovat’ so žiakmi na prípravejednotlivých hodín. Žiaci by mali v tomto období ukázat’ ucitel’ovi prípravy svo-jich hodín. Ucitel’ by ich mal upozornit’ na to, aby nezabudli na opakovanie (môžeim navrhnút’ nech si pripravia tajnicky, osemsmerovky a pod.). Vhodné je aj žia-kov nabádat’ k tomu, aby pripravili pre spolužiakov poznámky, v ktorých by bolozhrnutie hodiny, a upozornit’ žiakov na to, aby sa ich ucenie nezvrtlo na diktovaniepoznámok.

3.2 Žiacke vyucovacie hodiny

Je vel’mi dôležité, aby si ucitel’ uvedomil, že je žiak a musí sa podl’a toho aj sprá-vat’.

Na hodine, ktorú vedú žiaci si ucitel’ sadne do zadnej lavice a pozoruje hodinu.Pre lepšiu atmosféru v triede sa správa ako žiak. Píše si poznámky, hlási sa na


odpovede, prípadne môže aj vyrušovat’. (Najvhodnejšie je správat’ sa presne takisto ako sa správa daný žiak na hodine ucitel’ovi. Ak žiak vyrušuje, potom vyrušujeaj ucitel’ a pod.) Žiaci si tak na vlastnej koži vyskúšajú, aké jeto nepríjemné a akot’ažko je niekedy žiakov nieco naucit’. Ucitel’ nemusí zasahovat’, ak pri výkladeuciva sa žiaci bavia, samozrejme nesmie to prekrocit’ urcitú mieru (aby sa dalov okolitých triedach ucit’).

Ucitel’ by si mal písat’ poznámky aj preto, aby vedelco žiaci prebrali aco tamchýbalo.

4 Úloha ucitel’a a hodnotenie hodín

Jediná úloha ucitel’a na hodine je v tom, aby na konci hodiny zhodnotil danúho-dinu.

Ucitel’ by mal hodnotit’:

1. ci žiaci obsiahli celé ucivo,

2. ci v rámci svojho ucenia urobili nieco navyše (dali riešit’ tajnicky, osemsme-rovky ...),

3. ci pri vyucovaní ukázali nejaký pokus alebo nejaký obrázkový materiál,

4. ci žiaci vytvorili pre spolužiakov poznámky,

5. ci si vedeli udržat’ poriadok v triede,

6. ci pristupovali zodpovedne k príprave.

Vhodné je po prebratí celého tematického celku dat’ opakovaciu písomku, abyžiaci pochopili, že po nich už nik iný dané ucivo nebude vysvetl’ovat’ a musia sasnažit’ to vysvetlit’ tak, aby väcšina žiakov ucivo pochopila. Ucitel’ po prebratívšetkých ucív môže žiakom dat’ strucný prehl’ad.

5 Záver

Na základe získaných pozitívnych skúsenosti si dovol’ujeme tvrdit’, že takáto mo-tivácia a výucba je pre žiakov zaujímavá . Daná výucba môže mat’ širšie uplatneniea môže byt’ použitá aj v d’alších predmetoch.

KLUVANEC Daniel

Fyzikálna úloha — cielený model realityConstantine the Philosopher University


Abstract: Physical Task as a Target-Oriented Model of the RealitySolving the physical tasks belongs to the effective practices of teaching physics. It assiststo deepen the scholar’s knowledge of physics. It contributes to the forming scholar’s phy-sical thinking. However, the physical tasks have to be well-elaborated as a target-oriented,professional and methodical accomplished system, which would be accepted by both si-des, as by the teachers, as well as by the scholars. Solving the physical tasks demandsthe extraordinary performance of the scholars, exceeding their standard activity frame. Itpresuppose the scholar’s stand-alone creative work.Physical tasks belong to the popular and frequent themes chosen for bachelor, diploma,doctoral and academic dissertations. It happens, too, thatthey become the major refe-rence in obtaining the highest scientific and pedagogical university degree — professor.One of the most distinguishing activities of the Departmentof Physics, Faculty of Natu-ral Sciences, Constantine the Philosopher University in Nitra, Slovakia, is the “Theory ofTeaching Physics” (generally speaking: “Theory of Teaching” focused on physics). Manystudents are working on the themes in this area. There are several teachers, assistants, doc-toral candidates, tutors and professors involved. Remarkable results have been achieved bythe group, which is dealing with a system of implementation of the differentiation prin-ciple in creating physical tasks. They develop and deepen the methodologies based on thetaxonomies of B. S. Bloom, D. Tollingerova, V. Chytilova. Within the framework of the“Physical Tasks Taxonomy” — their work and also in cooperation with the creative teamsof the authors of the physical textbooks and of the Physics Olympiad task, there was deve-loped a Model of the Merit and Creative Characteristics and Indexes (quantifiers), whichwas successfully adopted in the pedagogical praxis.Sensitive and qualified approach to the solving physical tasks is determined by its frequ-ently usage as a favoured teacher’s tool on one side and by thesophisticated activity — a“little scientific work” not popular enough among the scholars on the other side. Physicaltasks have to model the real occasions and processes. It is not very good habit to constructthe tasks, which would not happen in the reality. Indeed, there are still such a tasks often tobe found among the present textbooks, which are per declaration or per result very distantfrom the real world.Resuming this it could be concluded that there has been established a scientific school ofTheory of Teaching specialized on Physical Tasks Taxonomy in the Department of Physics,Constantine the Philosopher University, Nitra, Slovakia.

189

[email protected]


Súhrn: Riešenie fyzikálnych úloh patrí medzi úcinné a efektívne postupy vo vyucovanífyziky. Pomáha pri prehlbovaní a osvojovaní si vedomostí žiakov vo fyzike. Prispieva kformovaniu a rozvíjaniu fyzikálneho myslenia žiakov. Fyzikálne úlohy majú byt’ všakvypracované ako ciel’avedomý, odborne a metodicky dokonalý systém, ktorý akceptujúnielen ucitelia, ale aj žiaci. Riešenie fyzikálnych úloh predstavuje pre žiakov nárocný vý-kon, ktorý prekracuje rámec ich bežnej, štandardnejcinnosti. Táto práca vyžaduje od žiakasamostatnost’ a kreativitu. Fyzikálne úlohy patria medzi obl’úbené acasto opakujúce satémy bakalárskych, diplomových, ale aj rigoróznych, dizertacných a habilitacných prác.Stáva sa, že sú aj hlavnou oporou pre potvrdenie vedeckejcinnosti v inauguracných kona-niach na získanie najvyššieho vedecko-pedagogického titulu na univerzitách, titulu profe-sor. Jedna z profilujúcichcinností na Katedre fyziky Fakulty prírodných vied UniverzityKonštantína Filozofa v Nitre jeTeória vyucovania fyziky(všeobecneTeória vyucovaniapredmetov: TVP, špecializácia fyzika). Desiatky študentov pri ukoncovaní štúdia pracujúna témach, ktoré patria do oblasti TVP. Na týchto témach pracujú aj viacerí doktorandi,ucitelia, asistenti, docenti a profesori. Pozoruhodné výsledky dosiahla skupina, ktorá dl-hodobo pracuje na systéme uplatnenia princípu diferencie vkreovaní systému fyzikálnychúloh. Rozvíjajú a prehlbujú postupy vychádzajúce z taxonómie B. S. Blooma, D. Tollinge-rovej, V. Chytilovej. Tento kolektív v taxonómii fyzikálnych úloh (TFÚ) bol prepojený natvorivé tímy autorov ucebníc a autorov a zostavovatel’ov úloh fyzikálnej olympiády. Vy-pracoval a overil model výkonovo-kreatívnych charakteristík a indexov (kvantifikátorov),ktorý uspel aj v pedagogickej praxi. Citlivý a kvalifikovanýprístup k problematike riešeniafyzikálnych úloh je determinovaný skutocnost’ou, že na jednej strane riešenie úloh jecastopoužívaný a osvedcený nástroj v práci ucitel’ov, na druhej strane pre väcšinu žiakov pred-stavuje nárocnú prácu, „malú vedeckúcinnost’“, ktorú nie vždy obl’ubujú. Fyzikálne úlohymusia byt’ modelom reálnych javov a procesov. Témou úloh nemajú byt’ také javy, ktorésa nemôžu reálne uskutocnit’. Medzi ucebnými úlohamicasto nachádzame také, ktoré užv zadaní alebo vo výsledkoch sú rádovo vzdialené od reality.Možno konštatovat’, že naKatedre fyziky UKF v Nitre sa etablovala v TVP vedecká škola zameraná na TFÚ.

1 Niekol’ko slov z histórie

Metodika tvorby a riešenia fyzikálnych úloh, ako aj ich použitie na zvyšovanieefektívnosti vyucovania zo strany ucitel’a (príklady) alebo žiaka (domáce a školskéúlohy) sú pravdepodobne najcastejšou témou odborných diskusií alebo publikova-ných prác v metodických zborníkoch,casopisoch a kvalifikacných prác v rámci vy-sokoškolského štúdia a získavania titulov (PaedDr.) alebovedecko-pedagogickýchpostupov zamestnancov vysokých škôl (3. stupen VŠ štúdia, habilitácie a inaugu-rácia v rámci vedného odboruTeória vyucovania fyziky).

Poznamenávam, že takýto otvorený priestor pre odbornú a vedeckú cinnost’v TVP a možnosti kvalifikacných postupov, ako aj získavania rôznych titulov, jecharakteristický pre sústavu študijných a vedných odborovna Slovensku. A tovo vyucovaní všetkých predmetov, nielen vo fyzike alebo v prírodných vedách.Výrazná kvalitatívna zmena vo vnímaní TVP ako študijného odboru (Ucitel’stvopredmetov všeobecnovzdelávacej a odbornej povahy) a vedného odboru (Teóriavyucovania predmetov všeobecnovzdelávacej a odbornej povahy), nastala po roku1990, najskôr na základe iniciatívy akreditacnej komisie (z mnohých protagonistov

KLUVANEC D. — FYZIKÁLNA ÚLOHA — CIELENÝ MODEL REALITY 191

tejto myšlienky by som uviedol prof. O. Tomecka, prof. Š. Vašeka, prof. L. Bu-kovského), neskôr iniciatívy Slovenskej rektorskej konferencie, ktoré nielen plneakceptovali teóriu vyucovania predmetov ako vedný odbor, ale prispeli k jej za-kotveniu aj v systéme študijných odborov, študijných programov a odborov prebakalárske, diplomové, doktorandské práce i ako odbory prezískanie vedecko-pedagogických titulov docent a profesor (Zákon o vysokých školáchc, 132 s plat-nost’ou od 1. apr. 2002, Vyhláška MŠ o sústave študijných odborov v SR). V sused-ných štátoch, v porovnaní s našim modelom, je akceptácia samostatnosti Teórie vy-ucovania predmetov, ako študijného,ci vedného odboru znacne zúžená. Dôkazomtohto faktu je skutocnost’, že celý rad pracovníkov zo susedných krajín Pol’ska,Mad’arska iCeska v ostatných rokoch absolvuje doktorandské štúdium, habilitá-ciu, ci inauguráciu v TVP na slovenských vysokých školách, ktorék tomu získalipotrebnú spôsobilost’ v zmysle zákona.

Pochopitel’ne, k tomuto pozitívnemu trendu vývoja v TVP na Slovensku pri-spela aj skutocnost’, že plnohodnotné a samostatné vysokoškolské štúdium ucitel’-stva pre základné a stredné školy má na Slovensku viac ako polstorocnú tradíciu,cobolo vel’mi progresívne rozhodnutie vtedajších zákonodarných orgánov v pät’de-siatych rokoch minulého storocia. Zákon o prestavbeceskoslovenskej výchovno-vzdelávacej sústavy r. 1976 zjednotil vysokoškolskú prípravu ucitel’ov všeobecno-vzdelávacích predmetov pre základné a stredné školy.

Sporadicky, už pred rokom 1990, bol vydaný súhlas MŠ ku konaniu vedeckejvýchovy (ašpirantúr) v TVP na niektorých vysokých školách.

Medzi pracoviská, ktoré v badatel’nej miere prispievali k upevnovaniu TVP,ako riadnej súcasti systému vedných a študijných odborov, patrila už predr. 1990 ajPedagogická fakulta v Nitre, ktorá získala právo na konanievedeckej výchovy (aš-pirantúry) vo fyzike i matematike. Napr. vedeckú ašpirantúru v TVP — matematikeúspešne ukoncilo na PF v Nitre do roku 1990 13 absolventov. Za celé obdobie, nonajmä v desat’rociach na prelome 90-tych rokov, bolo potrebné obhajovat’ pozíciuTVP, lebo sa sústavne objavovali aj kompetentné názory, že TVP má byt’ zahrnutádo jednotlivých klasických odborov a nie je potrebné ich definovat’ samostatnévedné odbory. Napokon, aj súcasné zaradenie TVP nie je konzistentné, lebo TVPmatematiky, fyziky a informatiky sú zahrnuté v matematicko-fyzikálnych vedách,TVP ostatných predmetov v pedagogických vedách. Po roku 1990 UKF v Nitreprispievala k formovaniu TVP ako vedného odboru a študijného odboru. Celý radpracovísk UKF získal potrebnú spôsobilost’ pre 3. stupen štúdia v TVP, právo ha-bilitovat’ docentov a vymenúvat’ profesorov vo vednom odbore TVP.

Ak vychádzame z Rocnej správy o vedeckej a vzdelávacejcinnosti UKF zarok 2005 ([1]), pocet akreditácií študijných programov pracovísk UKF na 3. stupenštúdia v študijnom odbore jeTVP 5 z celkového poctu 20, pocet úspešných habili-tácií so zameraním na TVP v hodnotenom roku na UKF bol 16, pocet úspešných


inaugurácií so zameraním na TVP 9. I ked’ zastúpenie iných vedných odborov,cištudijných programov v systéme štúdia a udel’ovania titulov na UKF v Nitre sapostupne mení v prospech „nepedagogických“, je nesporné, že TVP bola v najvyš-ších vzdelávacích,ci vedeckých spôsobilostiach v ostatných desat’rociach na UKFdominantná a bola hlavnýmcinitel’om upevnenia pozície UKF v systéme univer-zít na Slovensku i medzinárodnom meradle. Niektoré pracoviská na UKF (katedry,ústavy) sa svedomitou a dlhorocnou prácou vo vednom odbore TVP vypracovalina vysokú úroven a získali neformálne uznanie nielen na Slovensku, ale aj v zahra-nicí. Takmer na každej netechnickej univerzite na Slovensku pôsobia PhD. (CSc.)docenti a profesori, ktorí získali kvalifikáciu napr. vo vednom odbore TV matema-tiky a fyziky na UKF v Nitre. UKF v Nitre v oblasti matematiky afyziky prispela kformovaniu, rozvoju, etablovaniu a upevnovaniu pozície vedného odboru TV ma-tematiky a fyziky v systéme vedy na Slovensku i medzinárodnom meradle. Na o-bidvoch pracoviskách, ktoré sú nositel’om tohto rozvoja, na Katedre matematiky aKatedre fyziky, zásluhou niekol’kých vynikajúcich ucitel’ov a vedeckých pracov-níkov, sa sformovali v TVP vedecké školy. V hodnotení treba vidiet’ predovšetkýmtri skutocnosti:

• TVP sa formovala dlhdobo ako profilová vedeckácinnost’, tzn., že nešlo leno doplnkovú, sporadickú alebo okrajovúcinnost’.

• Dlhodobé a systematické zameranie na fyzikálne úlohy a rozvoj fyzikálnehomyslenia žiakov.

• Aplikácie (formovanie a rozvoj fyzikálnej olympiády vCesko-Slovensku,tvorba niekol’ko stoviek úloh fyzikálnej olympiády, vedecké podujatia, napr.DIDFYZ, vedecké publikácie, napr. OMFI).

Treba venovat’ sústredenú pozornost’cinnostiam, na ktorých boli a sú založenéuvedené úspechy, aby sa nestratil získaný kredit. Prostredie, v ktorom budeme pra-covat’, bude v budúcich rokoch nárocnejšie. Na Slovensku i v zahranicí vyrástlijednotlivci i kolektívy, ktoré v oblasti TVP dosahujú vynikajúce výsledky (aj s na-šim príspevkom).

2 Fyzikálna úloha — postoj ucitel’ov a žiakov

Riešenie fyzikálnych úloh takmer vždy patrilo na jednej strane medzi obl’úbenémetódy práce ucitel’a, a na druhej strane, medzi menej obl’úbenécinnosti žiakov.Co je prícinou tejto protichodnosti vo vnímaní fyzikálnych úloh zo strany ucitel’ova žiakov?


Ucitelia v riešení fyzikálnych úloh vidia osvedcený prostriedok na hodnoteniežiakov (testovanie, skúšanie, domáce práce), ale aj vhodnýprostriedok na priblíže-nie témy uciva v rámci výkladu a osvojovanie si uciva. Hodnotenie žiakov vo väc-šine predmetov je založené na reprodukcii textov obsiahnutých v ucebniciach.

Na druhej strane, riešenie úloh predstavuje pre žiakov novúsituáciu v porov-naní s bežným vyucovacím procesom. Pri riešení úloh sa od žiakov vyžaduje sa-mostatnost’, istý stupen kreativity, mobilizácia vedomosti z istého okruhu ucivajedného alebo i viacerých predmetov. Stáva sa, že žiaci nie sú na túto špecifickúcinnost’ primerane pripravení, aby úspešne zvládali riešenie menej nárocné aleboviac nárocné úlohy. Nárocnost’ úloh je taká, že ich úspešné riešenie vyžaduje odžiaka minimálne použitie známych postupov v zmenených podmienkach. Ak je fy-zikálna úloha kvalitná, jej riešenie predstavuje znacný intelektový výkon, založenýnielen na schéme známej pre žiaka, ale aj jeho kreativity, hl’adania a nájdenia súvis-lostí medzi poznatkami z rôznych oblastí predmetu (príp. viacerých vyucovacíchpredmetov) a dopracovanie sa k novému poznaniu (pre žiaka k novým poznatkom).Z pedagogického hl’adiska ide o nárocný proces s vyššou alebo vysokou úrovnoupožiadaviek na vedomosti a zrucnosti žiakov. Ide o tzv. operatívne poznanie žiakov,tzn. hlboko osvojené poznatky, s ktorými žiak s primeranou l’ahkost’ou operuje pririešení novej a relatívne neznámej situácie. Prirodzene, že v mnohých prípadochsa prekrocia hranice pripravenosti a schopností žiakov, najmä v týchprípadoch, akv tejto cinnosti nie sú kvalifikovane a pravidelne trénovaní. V tom sú korene ne-obl’úbenosti riešenia ucebných úloh zo strany mnohých žiakov. Menej je žiakov,ktorí dosahujú vyšší stupen schopností a zrucností úspešne riešit’ fyzikálne úlohya prináša im to aj vnútorné uspokojenie (úcastníci Fyzikálnej olympiády, Turnajamladých fyzikov, korešpondencných seminárov a pod.).

Napriek tomu, že v TVP sa tvorí vel’a prác (napr. diplomové práce absolventovucitel’ského štúdia, ale aj dizertacné a habilitacné), možno poukázat’ na ich znacnútematickú roztrieštenost’, nekoordinovanost’, po niekol’kých rokoch sa riešia rov-naké témy a možno aj nižšej úrovni, ich prienik na pedagogickú prax je malý,požadované publikácie nie vždy prekracujú rámec úcelovo splnit’ podmienky (?)na udelenie príslušného titulu alebo kvalifikácie. S TVP akovedným odborom samnohí stretávajú jednorázovo, nie sú k tomu dostatocne pripravení a tomu zodpo-vedajú aj výsledky, ktoré majú nízku hodnotu.

Na Katedre fyziky UKF v Nitre, ako bolo vyššie uvedené, sa riešili mnohéprojekty, výskumné úlohy a témy diplomových,ci dizertacných prác, zameranéna metódy rozvoja fyzikálneho myslenia žiakov, prevažne naproblematiku fyzi-kálnych úloh.

V rámci pripomenutia a zhrnutia niektorých výsledkov výskumu, ktoré sú ak-tuálne aj v súcasnej dobe (v dobe, v ktorej nielen úroven a efektívnost’ , ale aj po-pularita fyziky ako ucebného predmetu na základných a stredných školách vytrvale


klesá [2, 3]), chcem uviest’ niektoré zaujímavé a podstatnépoznatky prezentovanév uvedených prácach.

3 Riešenie fyzikálnej úlohy — malá vedeckácinnost’ žia-kov

Fyzikálna úloha jemodel reálneho javu alebo procesu, pozorovaného v prírodealebo v laboratóriu. Riešenie úlohy vyžaduje vysvetlit’ alebo kvantitatívne urcit’neznáme charakteristiky javov a procesov, na základe popisom uvedených alebopozorovaných charakteristík.

Riešenie fyzikálnej úlohy predstavuje pre žiaka z jeho pohl’aduvedeckú prácu.Nesporné je, že žiak používa vedecké poznatky (ktoré získalv rámci vyucovaniaalebo samostatného štúdia), vedecké nástroje poznávania (analyzuje, fyzikálne po-pisuje situáciu, stanovuje okrajové a zaciatocné podmienky, hl’adá súvislosti me-dzi jednotlivými charakteristikami, kvalitatívne a kvantitatívne oznacuje súvislosti,zamýšl’a sa nad alternatívnymi postupmi — hl’adá divergenciu, zovšeobecnuje a o-veruje výsledky zmenami vstupných parametrov), na úrovni aprimerane k obsahua ciel’om vyucovania na príslušnom stupni školy, ako aj svojim schopnostiam,zrucnostiam a poznatkom.

Riešenie úlohy, okrem štandardných poznatkov a postupov, sktorými žiak dis-ponuje, navyše požaduje od žiaka vyššie kognitívne postupy, co by sa dalo po-rovnat’ so schopnost’ou vedecky pracovat’. Tzn., po dokonalej analýze, vediet’ sistanovit’ jednu alebo viac hypotéz riešenia, predikovat’ strucný algoritmus riešenia,zvládnut’ kvalitatívne a kvantitatívne okruh pozorovaných alebo slovne deklarova-ných vlastností (charakteristík) dejov a procesov. Ciel’om je, vypracovat’ model,ktorý je správnou a úspešnou odpoved’ou žiaka na otázky, bud’ priamo formulo-vané v texte úlohy (štandardné teoretické úlohy), alebo na otázky, ktoré si formu-luje samotný žiak, aby v dostatocnej hlbke a šírke osvetlil riešený problém. To jejadromcinnosti, ktorú nazývameoperatívne poznávanie, založené na operatívnomsystéme poznatkov (vyšší stupen fyzikálneho myslenia). Tieto poznámky smeru-jeme nielen na vyucovanie fyziky, ale minimálne na vyucovanie prírodovednýchpredmetov (chémia, biológia), matematiky, a v menšej miereaj niektorých huma-nitných predmetov

4 Taxonómia

Každá taxonómia predstavuje diferencovanýsystém didaktického cielenia intelek-tových cinnostížiaka, aby žiak dosiahol predpokladaný stupen poznania. Taxonó-


mia je „alfou a omegou“ nielen vo vedeckej práci, ale aj štandardnej práci uci-tel’a. Je potrebné, aby každý, kto vstupuje do vyucovacieho procesu, na každomvzdelávacom stupni, túto skutocnost’ nielen poznal, ale aj aktívne a ciel’avedomevo svojej pedagogickejcinnosti uplatnoval. Najvyššia kvalifikácia sa vyžaduje odtvorcov vzdelávacej sústavy, pedagogickej dokumentácie (ucebné osnovy a ucebnéplány), didaktických prostriedkov (ucebnice, ucebné pomôcky, metodické mate-riály, najmä metodické prírucky). Taxonómiu, ako nástroj diferencovaného vyuco-vania, uplatnujú ucitelia vo svojej každodennej práci. Základom je Bloomova ta-xonómia so svojimi šiestimi stupnami ([4]), ale aj každé jej rozpracovanie, predov-šetkým naplnenie pre špecifické úcely, cinnosti alebo jednotlivé predmety (Tollin-gerová, Skalková, Chytilová, ([5])) je pozitívnym krokom vteórii s praktickýmvýznamom a dosahom. Ciel’om taxonómie je objektivizovat’ diferencovaný prí-stup vo vyucovaní, hoci šírka a hlbka jej rozpracovania (stupen objektivizovania)je ohranicená ocakávanou subjektivitou ucitel’a. Dôležité však je, pracovat’ s týmtonástrojom a mat’ ho v pedagogickejcinnosti na pamäti. V tejto oblasti nebudepravdepodobne možné vypracovat’ teóriu s plnou objektivizáciou, ako softwarovýprogram, ktorý by celkom vylúcil subjektivizmus ucitel’a.

Tieto otázky s aplikáciou na fyziku boli teoreticky riešenév dizertacných prá-cach A.Capistráka ([6]), L’. Dežerického ([7, 8]), v práci ŠVOC J. Madolu a M.Svitaca ([9]), ako aj v niekol’kých publikáciách D. Kluvanca ([10, 11]).

TémaVýkonové a kreatívne charakteristiky a indexy fyzikálnychúloh patrí dooblasti pedagogickej taxonómie. Pretože princípy tohto nástroja boli už detailnepublikované, nebudeme ich v tejto práci znova podrobne uvádzat’. Podstata jev tom, že aj tvorba fyzikálnych úloh má svoje princípy, ktoréje vhodné ovládat’ aciel’avedome používat’. Tieto princípy sú vhodným nástrojom a efektívnou pomôc-kou pre prácu ucitel’a. Kým Bloom, Tollingrová sa zaoberali taxonómiou ucebnýchúloh (Educational Objectives), Chytilová M., Kluvanec, D.používali oznacenie ta-xonómia fyzikálnych úloh (TFÚ).

Hlavné poznávacie elementy TFÚ sú šírka tematickej oblasti, ocakávaná diver-zifikácia riešenia (divergencia, konvergencia), stupen abstrakcie, nárocnost’ mate-matického modelu, úroven kreativity. Fyzikálna úloha (najmä systém úloh urcenýpre istý typ a stupen školy) sa netvorí náhodne (napr. hl’adaním prieniku a súvis-lostí fyzikálnych vzorcov), ale cielenou kompozíciou v podstate jednoduchých ja-vov z analyzovaného tematického okruhu predmetu. Predmetom žiackej fyzikálnejúlohy má byt’ skutocnost’, realita, ako to uvádza vo svojich prácach I. Volf ([12]).Ide o neustále opakovanú požiadavku, aby fyzika bola spojená s reálnym životom.V práci ([10]) D. Kluvanec uvádza príklad známy pod názvom skok na gumo-vom lane (mládež skôr pozná anglický názov Bungee Jump), vybraný ako vhodnátéma úlohy na prehlbovanie a osvojovanie si uciva na ZŠ a SŠ v rámci tematic-kého celkov kinematika, dynamika pohybov telies. Ide o 12 námetov, od vel’mi


jednoduchých po nárocnejšie, v ktorých ciel’avedome aplikujeme nástroj TFÚ —Výkonové a kreatívne charakteristiky. Autor — tvorca pritom sleduje, aká je úro-ven požadovaného matematického modelu riešenia úlohy, aby zotrvala v cielenomrámci. Tzn., že jednoduché a náhodné hodnotenie autora „nenárocná“, „nárocná“a „vel’mi nárocná“ úloha sa nahradzuje v TFÚ objektívnejším kvantifikátorom,ktorým nazývame indexy výkonu a kreativity.

Záverom uvádzame, že princípy TFÚ — výkonové a kreatívne charakteristikysa neoverovali len v rámci diplomových prác, prác ŠVOC, resp. dizertacných prác,ale uplatnuje ich mnoho rokov aj tím tvorcov sút’ažných úloh fyzikálnej olym-piády. Komisia pre tvorbu úloh FO (20 až 30 skúsených a vel’mikvalifikovanýchucitel’ov fyziky z celej Cesko-slovenskej republiky a neskôr dva tímyCR a SR)zaviedla d’alší prvok, ktorý sa osvedcil a s úspechom sa používa dodnes, napriektomu, že v Komisii už došlo k úplnej personálnej obmene. Každá úloha FO másvoj strucný a výstižný názov,co žiakovi poskytuje už prvotnú informáciu o témeúlohy, ale má to aj motivacný význam, niekedy aj hlbší informacný význam prežiaka. Jednoznacne pomenovanie úlohy odporúcali a prijali aj samotní sút’ažiaciFO. Znacný význam má zrozumitel’nost’ textu. Jazyk úlohy nikdy nemá byt’ ne-zrozumitel’ný a ekvilibristicky formulovaný text, aby žiak mal problémy vypátrat’„o co ide“ a „co sa od neho požaduje“. To znamená, že definovanie úlohy má byt’jasné, prehl’adné, nezahmlené, a podl’a nás aj nezahustenénepotrebnými informá-ciami, ktoré by mali ciel’ žiaka dezorientovat’.

5 Fyzikálna úloha — model skutocnosti

Obl’úbenou témou kvalifikacných prác na vysokých školách (bakalárske, diplo-mové, rigorózne, dizertacné, habilitacné) sú „netradicné fyzikálne úlohy“. Pravda,tým je nastolená aj otázka,co sú tonetradicné fyzikálne úlohy(myslia sa týmBloomom oznacenéEducational Objectives), ci vôbec takýto názov je opodstat-nený. Skutocne, podl’a nášho názoru, TVP vytvára širokú platformu pre tvorivúcinnost’ ucitel’ov, autorov, vedeckých pracovníkov ([13, 14, 15, 16]). Od každéhonávrhu, nápadu, nemožno ocakávat’, že nájde široké uplatnenie, nebodaj „vojde dohistórie“ didaktiky,ci vyucovania fyziky. Úspechom je aj to, ak autor úspešne mo-difikuje svoju výucbu a obohacuje ju o nové prvky, možno povedat’ „malickosti“,ktoré mu prinesú vo výucbeciastkové badatel’né výsledky. Napr. tvorbou vlastnéhosystému fyzikálnych úloh, zaujímavých a netradicných experimentov, príkladov aúloh „zo života“ a pod. Na Katedre fyziky FPV UKF v Nitre bol vypracovaný obsahdvoch nových predmetov, Netradicná fyzika a Netradicné fyzikálne úlohy, ktoré súzaradené do študijných programov pre ucitel’ské štúdium fyziky ([17], s. 113).

Na druhej strane treba uviest’, že samotné vyucovanie fyziky po metodickej


stránke, vyžaduje vel’mi kvalifikovanú prácu zo strany ucitel’ov. Táto skutocnost’sa vel’akrát prehliada. Existujú krajné názory, že kvalifikovane vyucovat’ môžeakýkol’vek absolvent vysokej školy, bez ohl’adu na to,ci je alebo nie je na tútoprácu metodicky pripravený. Žial’, zo skúseností vyplýva,že tento nivelizujúci prí-stup má tendenciu rozširovat’ sa. Nezhoršuje sa len jazyková kultúra v slovencine,ale aj jazyková kultúra ucitel’ov a žiakov vo vyucovaní fyziky. Fyzika bola a zo-stáva ako vedný odbor, ale aj vyucovací predmet , vel’mi závislá na presnej ter-minológii a precizovaných textoch. Ucitelia fyziky boli vždy známi presnost’ouvyjadrovania a formulovania myšlienok. Dokonca aj v súkromnom živote. Nemô-žeme si dovolit’ opustit’ od tejto striktnej požiadavky. Uvediem niekol’ko súvis-lostí, ktoré sme už publikovali.

5.1 Terminologické otázky fyziky

Nie výnimocne sa stáva, že sa používajú spojenia „elektrický prúd tecie“, „energiasa prenáša“, „vel’ké (malé) elektrické napätie“, „hmota telesa“, „vysoká,ci nízkarýchlost’ (zrýchlenie)“, všeobecne sa stotožnuje vel’kost’ veliciny so samotnou ve-li cinou (vektorové veliciny) a pod.

Terminologickúcistotu a sledovanie súladu s medzinárodnými normami (ISO)v minulom období mala na svojom programe Komisia pre tvorbu úloh FO. Možnokonštatovat’, že práve na pôde tejto komisie sa ujasnovali a precizovali mnohé ter-minologické otázky fyziky. Znacnú zásluhu na tejto práci mali predsedovia ko-misie, ale aj mnohí vynikajúci vedci, odborníci a ucitelia (I. Náter, M. Simerský,V. Chytilová, M. Bednarík, I. Volf, R. Baník, D. Kluvanec). Druhá platforma, ktoráprispievala k ujasnovaniu a precizovaniu terminológie bola autorská skupinapretvorbu ucebníc fyziky pre ZŠ i SŠ, ktoré boli vymenované na základe spoloc-ného rozhodnutia ministrov školstvaCR a SR. K vyššie uvedeným pridávame d’al-šie mená R. Kolarová, J. Vachek, O. Lepil, J. Janovic, V. Koubek, M. Rakovská,E. Svoboda, J. Pišút. Na pôde JCMF sa sformovala odborná skupina pod vedenímR. Kolarovej, ktorá pracovala na vynikajúcom dieleSlovník školské fyziky(([18])a Názvy a znacky školskej fyziky([19]). Slovník školské fyziky vyšiel len vCR,Názvy a znacky školskej fyziky v preklade aj na Slovensku. Nemožno opomenút’,že na Slovensku pracovala iniciatívna skupina JSMF pod vedením J. Garaja ([20]),neskôr a v súcasnom období pod vedením I.Cervena, ktorý vytrvale a kvalifikovanesa venuje terminologickým otázkam. Normy ISO uverejnil v OMFI ([21]), v ob-medzenom náklade vydal v autorskej spolupráci s A. Chalupkovou ([22]). Kvalitnápráca uvedených tímov prinášala ovocie v kvalitných ucebniciach, napr. fyziky preZŠ, ktoré vychádzajú v opakovanom náklade s miernymi úpravami už takmer v10 vydaniach vceskom, slovenskom, pol’skom a mad’arskom jazyku. Napriekvy-daniu alternatívnych ucebníc v konkurencii jednoznacne obstáli ucebnice tvorené


v tíme V. Chytilovej ([23, 24]).

5.2 Možnosti kreativity formulovania modelov školskej fyziky nie súvycerpané

Rozruch medzi ucitel’mi vyvolal inovovaný prístup ku vnímaniu a vyucovaniuvcelku jednoduchej témy — naklonená rovina, ako ho spracoval tím autorov uceb-nice a metodických materiálov pre 8. rocník ZŠ ([23, 24]). Táto metodická úpravav podstate súvisí s interpretáciou 2. Newtonovho zákona v inerciálnych sústavách.Ide len o malú zmenu, namiesto silyF na l’avej strane známeho výrazuF = maje súcet ∑F i, tedaF i = ma. Samozrejme k tomu je potrebné náležité slovné vy-svetlenie.∑F i predstavuje súcet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na teleso.Vo väcšine prípadov na teleso nepôsobí len jedna sila, ale viacero síl. A tak aj vprípade naklonenej roviny na teleso pôsobia štandardne trivonkajšie sily: tiažováFg, tlakováFp a sila šmykového treniaF t.

Mohli by sme uvádzat’ aj niekol’ko málo d’alších príkladov,napr. bezosporusprávnu formuláciu matematického vyjadrenia pre silu šmykového treniaFt ≤ Fn,co si žiaci môžu osvojit’ pri riešení fyzikálnych úloh ([15,25, 26]).


Literatúra

[1] Univerzita konštantína filozofa v nitre 2005. Výrocná správa. UKF v Nitre,2006. s. 216.

[2] Hrobár P. Kecskés A. Názory študentov gymnázia na vyucovanie fyziky —1. cast’. Obzory matematiky, fyziky a informatiky, 30(4):39–46, 2001. JSMFa PROTONIT, s.r.o., Bratislava.

[3] Hrobár P. Kecskés A. Názory študentov gymnázia na vyucovanie fyziky —2. cast’. Obzory matematiky, fyziky a informatiky, 31(1):39–49, 2002. JSMFa PROTONIT, s.r.o., Bratislava.

[4] Bloom B.S. Taxonomy of Educational Objectives. Handbook I: CognitivieDomain. David McKay Comp., New York, 1956.

[5] Tollingerová D. Taxonómia ucebních úloh. In Malach A., editor,Tvorbaprogramu, volume 5 ofKnihovna programátora, pages 16–17, Brno, 1972.SVUMP.

[6] Capistrák A.Fyzikálne úlohy definované reálnym experimentom a ich význampre rozvoj kognitívnych schopností žiakov. Dizertacná práca, UKF Nitra,Nitra, 2002. s. 120.

[7] Dežerický L’. Hodnotenie fyzikálnych úloh z hl’adiska výkonu žiaka. Dizer-tacná práca, UKF Nitra, Nitra, 2002.

[8] Dežerický L’. Overovanie modelu hodnotenia fyzikálnych úloh. Rigoróznapráca, UKF Nitra, Nitra, 2001. s. 75.

[9] Svitac M. Madola J. Výkonovo - kreatívne charakteristiky fyzikálnych úloh.Práce ŠvoC, UKF Nitra, Nitra, 1996.

[10] Kluvanec D. Kreatívno-výkonové charakteristiky fyzikálnych úloh.Obzorymatematiky, fyziky a informatiky., 49:43–49, 1997.

[11] Kluvanec D. Kreatívno - výkonové charakteristiky fyzikálnych úloh. InDIDFYZ ´96. Zborník Prírodovedné vzdelanie pre 21. storocie., pages 75–80, Nitra, 1997. UKF Nitra. ISBN 80-8050-087-8.

[12] Volf I. Fyzikální úloha ako model skutecnosti. Inauguracná prednáška, UMBBanská Bystrica, Banská Bystrica, 2001.

[13] Dežerický L’.Capistrák A. Fyzikálne úlohy dané zaujímavým experimentom.In DIDFYZ ´98, pages 193 – 198. UKF Nitra, 1998.


[14] Dežerický L’. Capistrák A. Rozvíjanie tvorivosti v netradicných fyzikálnychúlohách definovaných reálnym experimentom. InCeloslovenský seminár uci-tel’ov fyziky, Rejdová, 1999.

[15] Volf I. Kluvanec D. Netradicne o klasickej téme „Šmykové trenie“.Obzorymatematiky, fyziky a informatiky., 43:57–64, 1995.

[16] Zieleniecová P.Tradicní a netradicní fyzikální úlohy na strední škole. Kan-didátska dizertacní práce, MFF UK Praha, Praha, 1986.

[17] Informácia o štúdiu akademický rok 2005/2006. Študijný program FPV UKFv Nitre 2005/2006., UKF v Nitre, 2005. s. 200.

[18] Kolektív (odborná skupina FPS JCSMF). Slovník školské fyziky. SPN Praha,Praha, 1988. s. 292.

[19] Kolektív (odborná skupina FPS JCSMF).Názvy a znacky školskej fyziky. SPNBratislava, Bratislava, 1979. s. 149.

[20] Garaj J. a kol. Fyzikálna terminológia. SPN Bratislava, Bratislava, 1987.s. 150.

[21] Cerven I. Stn, iso.Obzory matematiky, fyziky a informatiky., (55-58), 1999.

[22] Chalupková A.Cerven I. Fyzikálne veliciny a jednotky. Informácia o súborenoriem STN ISO 31. MFF UK, JSMF Bratislava, Bratislava, 2000. s. 37.

[23] Kluvanec D. Žampa K. Janovic J. Kolárová R., Chytilová M.Fyzika pre 8.rocník základnej školy, volume študijnácast’ A. SPN - Mladé letá, s.r.o.,Bratislava, 2004. s. 141.

[24] Kluvanec D. Žampa K. Janovic J. Kolárová R., Chytilová M.Fyzika pre 8.rocník základnej školy, volume študijnácast’ B. SPN - Mladé letá, s.r.o.,Bratislava, 2004. s. 111.

[25] Lunde Jerstad Ogrim, Ormestad.Rom, stoff, tid 2 Fy. Fysikk for den videre-gaende skole. Bokmal. Cappelenes Forlag, Ny utgave, 1985.

[26] Lunde Jerstad Ogrim, Ormestad.Rom, stoff, tid 3 Fy. Fysikk for den videre-gaende skole. Bokmal. Cappelenes Forlag, Ny utgave, 1985.

[27] L’. Rakovská M., Dežerický. Vzt’ah stredoškolákov k fyzikálnym úlohám. InZborník DIDFYZ ´2000, pages s. 245 – 250, Nitra, 2000. UKF v Nitre.


[28] Rakovská M. Dežerický, L’. Hodnotenie fyzikálnych úloh z hl’adiska vý-konu žiaka. InZborník z 2. konferencie doktorandov na FPV UKF v Nitre,volume 2, Nitra, 2001. UKF Nitra.

[29] Capistrák A. Kluvanec D. Formal knowledge, operative knowledge, eleganceof models in physics.Obzory matematiky, fyziky a informatiky, 33(3):32–41,2004. JSMF a PROTONIT, s.r.o., Bratislava.

[30] Kluvanec D. Teacher´s preparation for activities withgifted pupils in physics.In Science Teacher Trainig 2000, pages p. 139 – 145, Banská Bystrica, 1998.UMB Banská Bystrica.

SZENTESI Dániel, KECSKÉS Árpád, TAFT Greg J.,NÁNAI László

Dynamic Changes in Solids Due to Ultrashort Laser Pulses

SZENTESI† Dániel, University of SzegedFaculty of Natural Sciences, Department of Experimental Physics

Dom ter 9., H-6720 Szeged, Hungary,e-mail:[email protected]

KECSKÉS Árpád, Constantine the Philosopher UniversityFaculty of Natural Sciences, Department of Physics

Tr. A. Hlinku 1, SK-949 74 Nitra, Slovakia,e-mail:akecské[email protected]

TAFT Greg J., University of Wisconsin-Stevens PointDepartment of Physics & Astronomy,

Stevens Point WI 54481, USA,e-mail:[email protected]

NÁNAI L., University of SzegedJuhasz Gyula Teacher Training College Division, Department of Physics

Boldogasszony sgt 6, H-6725 Szeged, Hungary,e-mail:[email protected]


Abstract: The discipline of laser-solid interaction has undergone a huge development withthe advent of higher laser intensities and shorter pulses. The femtosecond time-resolvedinvestigation of the dielectric function provides a great wealth of information on carrierand lattice dynamics in photo excited solids. The time scaleof dynamical events in electronand phonon subsystem interaction is over a ps. Therefore to distinguish the difference inthe behavior of electron and phonon parts we had to have dynamical resolution in rangeabout 0.1 ps. We have developed a method for reflectivity measurements called pump-and-probe measurements which was able to detect reflectivity signal changes of specimenwith resolution better than 10 fs. We fixed the reflectivity function of vanadium-pentoxide(V2O5) and tellurium-dioxide (TeO2). We have studied the optical behavior of vanadium-pentoxide (V2O5) and paratellurite (TeO2) under the influence of ultra-short laser pulsesfrom a Ti:sapphire laser. Applying this technique we can extract information about theexcited phonon structure of solids. The laser pulses exciteacoustic vibrations at differentwavenumbers. The amplitudes of the oscillations depend on the angle between the crystalaxes and the polarization of the pulses. Oscillations with different wavenumbers dominatein different time scales after the arrival of the pump pulse.A detailed analysis of the datareveals many insights into the lattice dynamics in both dielectrics and semiconductors athigh excitation.

1 Introduction

The interaction of solids with laser pulses plays an important role in many fieldsof applications, such as laser processing and pulsed laser deposition, etc. Ultrafastprocesses in materials could lead to higher speed electro-optical devices. Vanadiumpentoxide has a wide range of applications such as batteries, gas sensors and high-speed electronics and therefore studied extensively [1, 2,3]. Tellurium dioxide

203

[email protected]

[email protected]

[email protected]

[email protected]


(TeO2) is commonly used in acousto-optical devices because of their high acousto-optic figure of merit. As will be shown in this paper, both vanadium pentoxide andtellurium dioxide exhibit ultrafast dynamics. Femtosecond laser pulses can excitemolecular vibrations in materials if the duration of the laser pulse is shorter thanthe vibrational period [4]. The effect of a pump pulse on the sample can be analy-zed either by measuring the probe pulse characteristics or by monitoring the effectscreated by the probe pulse in the presence and absence of the pump pulse. In bothtechniques, the excited states created by the pump pulse canbe directly inspected,e.g., via a spectral analysis. In our measurements, a higherenergy „pump“ pulse isused to stimulate the vibrations, and a lower energy „probe“pulse is reflected fromthe excited sample after a controllable time delay. In addition, by varying the delaytime of the probe pulse, a time-resolved spectrum of the excited sample is obtained,which in turn tracks the specific ultrafast process that characterizes the relaxationof the system. Changes in the optical properties of a material provide a window onthe electron and lattice dynamics because optical properties depend on the struc-ture (e.g. crystalline or amorphous) and electronic configuration (e.g. the numberof valence electrons per ion and the number of excited electrons). Structure deter-mines the allowed electron energy states, and the electronic configuration describeswhich levels are occupied. The linear and nonlinear opticalproperties arise fromelectronic transitions between occupied and unoccupied energy levels[5, 6, 7, 8].

Mathematically, one can derive the dielectric function andother propertiesfrom the sum of transition matrix elements between occupiedand unoccupiedstates. Therefore by measuring the changes of the reflectivity (by measuring changesin the probe light reflected from the sample) under an external influence as a func-tion of the time delay between the pump and probe pulses, we can extract informa-tion about the vibrational dynamics of the sample and the changes in the electronconfiguration can be concluded. The dynamic reflectivity yields not only the vib-rational frequencies, but also characterizes how the amplitudes of the vibrationsevoluting with time. We report on dynamic reflectivity measurements of vanadiumpentoxide and tellurium dioxide crystals.

2 Experimental

A common pump and probe system consists of a laser source, a beam splitter, aretro-reflector (for variable delay) and of mirrors and lenses certainly. The sche-matic model of our pump and probe system is shown inFig.1. The laser pulsesfor the dynamic reflectivity measurements were generated bya self-mode-lockedTi:sapphire laser (KMLabs model TS) pumped with a solid-state green laser (Co-herent 5W Verdi). The center wavelength of the pump and probepulses was 810

SZENTESI D. ET AL . — DYNAMIC CHANGES IN SOLIDS . . . 205

nm with 40 nm bandwidth (FWHM).A pair of prisms was used to pre-compensate the group velocity dispersion cau-

sed by the optical elements used in the path and by the long propagation distancefrom the laser to the sample. The noise reduction was a crucial problem of the mea-surements, because the system had to be able to detect changes in the reflectivityat the level of about one part in a million. To reduce noise we used an acousto-optic modulator (AOM) (IntraAction model AOM-602N) in the pump beam pathto act as a high-speed optical chopper. We used a slow response Si diode to de-tect the reflected probe pulses, and implemented a SRS (modelSR560) low noisepreamplifier and a lock-in amplifier, which was used to detectonly the reflectedprobe light oscillating at the frequency of the chopped pumpbeam, so thus it waspossible to eliminate the most of the unwanted electronic noises. A SRS (modelDS345) 30 MHz function generator was used to modulate the AOMand the lock-in amplifier also.

Fig.1. Schematic diagram of dynamic reflectivity measuring system

The polarization of the probe beam was set to be orthogonal tothe polarization ofthe pump beam by using a half-waveplate. A linear polarizer was placed in frontof the detecting diode to reject the scattered pump light. There is no way to rejectthe entire scattered pump light for the detector because cross polarization effectoccurs when such a pulse is focused. A retro-reflector mirroron a stepper-motor-controlled translation stage was used to vary the optical path length of the probepath, thus, to vary the time delay between the pump and probe pulses.

The durations of the pump and probe pulses at the sample location were mea-sured to be 25 fs by frequency-resolved-optical-gating (FROG) technique [9]. The


power of the pump and probe beams was set to 25 mW and 2.5 mW (by linearlyvariable ND filters), respectively. The focal spot sizes (Gaussian beam waist) ofthe pump and probe beams were 30µm and 15µm, respectively. The fluence ofthe pump pulses was below the damage threshold so the sample was not observedto undergo irreversible changes. The chopping frequency ofthe AOM was set to25 kHz. The samples were placed to a rotational mount, thus the samples could berotated about the crystal-axis perpendicular to the plane of the mount.

3 Results

The dynamic reflectivity of the V2O5 and TeO2 sample is shown inFig.2. Theorientation angles of the samples are defined between the a-axis of the V2O5 crys-tals and the pump beam polarization and for TeO2 it is defined between thec-axisand the pump beam polarization.

Fig.2. Dynamic reflectivity of V2O5 and TeO2 at 45° orientation

The main change in the reflectivity is induced directly by thearriving pumppulse and is attributed to excitations of the electrons in the sample. The quick riseand fall — which is about100 fs (FWHM) for V2O5 and 50 fs for TeO2 — ofthe initial peak is followed by smaller amplitude reflectivity oscillations of V2O5persisting for approximately 10 ps.

Fig. 3 shows the dynamic reflectivity of the vanadium-pentoxide sample atdifferent orientations of the a-axis of the crystal.


Fig.3. Dynamic reflectivity of V2O5 at different sample orientation

At 0° sample orientation neither oscillations nor initial peak changes can beobserved. At the orientation of 15° a small initial peak occurs, but oscillations can-not be noticed. At 90° sample orientation there was a large initial peak followed byvery small amplitude oscillations in the range of noise. At the orientation of 75° theamplitude of the initial peak is smaller than at 90°, but the oscillations are becom-ing distinguishable from noise. The 45° orientation yieldsthe largest oscillations;nevertheless, the oscillations are well observable at 30° and 60° orientation. All ofthe scans were taken using multiple spots and samples under similar conditions.

The difference between the 0° and 90° orientation can be explained by thepolarization-dependent absorption spectra of the sample.The largest absorptionwas measured at 90° and the smallest at 0° orientation.

We can extract information about the evolution of the dynamic reflectivity bycalculating the Fourier transform of the reflectivity scansfor different time win-dows.Fig.4 shows the Fourier transform of the 45° scan for two time window.

The first time window starts at 500 fs immediately after the initial peak andcloses at 4 ps. The second interval is defined between 4 ps and 8ps. It can beeseen inFig.4 that the only oscillation following the main peak in the first4 ps cor-responds to a wavenumber of 145± 5 cm−1. The amplitude of this oscillation isdecreasing with time meanwhile a second oscillation corresponding to a wavenum-ber of 103± 3 cm−1 occurs. InFig.4 the Fourier transform of the latter segmentof the scan was multiplied by a factor of 10, to increase the visibility of the peaks.These results lead us to conclude that the larger wavenumberoscillations are in-duced directly by the laser pulses, while the 103±3 cm−1 is subsequently poweredby a coupling with the larger wavenumber mode.


Fig.4. Fourier transforms of two different segments of the dynamicreflectivity scan for the45° orientation of the V2O5.

The bottom plot is multiplied by a factor of 10.The dynamic reflectivity of the tellurium dioxide is shown onFig. 5(left) at

different sample orientations.

Fig.5. Dynamic reflectivity scans of TeO2 for crystal orientations between 0° and 90°(left), magnified oscillations of TeO2 for crystal orientations between 0° and 90° (right).

The initial peak of reflectivity curve increases with the orientation angle, cor-responding to the polarization-dependent absorption of the TeO2. The rapid riseand fall of the main change in the reflectivity is so that it is intrinsically limited bythe duration of the laser pulses. The following oscillations of the reflectivity havedifferent relaxation times depending on the sample orientation. At the orientationof 0° and 90° the relaxation times are 8 ps, at 30° and 60° orientation the oscilla-tions persist no longer than 28 ps. The reflectivity change has the longest relaxationtime at 45° orientation. To improve the visibility of the oscillations, the maximumreflectivity changes at zero time delay are not shown onFig.5(right).

Fig.6 shows the Fourier transform of the dynamic reflectivity of TeO2 at 60°orientation. Three different time windows are defined to study the temporal evo-lution of the oscillations. The first time window starts at 500 fs and ends at 4 ps.


Three different oscillations is induced directly by the laser pulses with a wavenum-ber of 149± 3 cm−1, 133± 3 cm−1, 62± 2 cm−1. Immediately after the fall ofthe initial peak the largest wavenumber oscillation dominates, and the oscillationcorresponds to 133 cm−1 wavenumber has the smallest amplitude. The amplitudeof the 149 cm−1 wavenumber oscillation decreases, while the amplitude of the62 cm−1 wavenumber oscillation increases with time. AsFig. 6 shows, the energyflows from the larger wavenumber oscillations to the smallerwavenumber oneswith time. The structures of the oscillations at different sample orientation are verysimilar to each other. All of the periodic reflectivity change consists of the sameoscillations; the only difference is the amplitude of each oscillation. These oscil-lations also behaving the same way at different sample orientation, the amplituderatio of the smaller and larger wavenumber oscillations initially shows the domi-nance of the large wavenumber ones, but the dominance decreases with time besidethe relative increase of the amplitude of the small wavenumber oscillation, whichvanishes the larger wavenumber oscillation.

Fig.6. Fourier Transforms of three different segments of the dynamic reflectivity scan forthe 60° orientation of the TeO2.

4 Conclusion

Femtosecond laser pulses can induce ultrafast changes in optical properties ofV2O5 and TeO2. We have studied the optical behavior of V2O5 and TeO2 underthe influence of such an ultra-short laser pulses generated by a Ti:sapphire laser.The laser pulses excite acoustic vibrations at different wavenumbers. The ampli-tudes and the relaxation time of the oscillations strongly depend on the angle bet-ween the crystal axes and the polarization of the pulses. Oscillations with differentwavenumbers dominate in different time scales after the arrival of the pump pulse.


References

[1] A. Gorenstein A. Khelfa I. Ivanov J. Matter C. Julien, J.P. Guesdon.J. Matter.Sci. Lett., 14:934, 1995.

[2] M. P. Hanias A. N. Anagnostopoulos J. Spyridelis Ch. Karakotsou, J. A. Kal-miros. Phys. Rev. B, 45:11627, 1992.

[3] G. Bruno E. Tondello M. Losurdo, D. Barreca.Thin Solid Films, 384:58, 2001.

[4] K. A. Nelson Y. Yan.J. Chem. Phys., 87:6240, 1987.

[5] E. Mazur. Interaction of ultrashort laser pulses with solids. In B.Di BartoloNato ASI ser., editor,Spectoscopy and Dynamics of Collective Excitation inSolids, 1996.

[6] J. Bialkowski D. Von der Linde, K. Sokolwski-Tinten.Appl. Surf. Sci., 109-110:1, 1997.

[7] Cs. Beleznai-J. Remes S. Leppavouri T.F. George L. Nanai, R. Vajtai. Journalof Material Res., 3(7):1808–1811, 1998.

[8] Solis J Bonse J, Wiggins SM.Appl. Phys. A-Materials Science & Processing,80(2):243–248, Feb 2005.

[9] R. Trebin. Frequency-Resolved Optical Gating: The Measurement of Ultras-hort Laser Pulses. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands,2002.

KHEILOVÁ Milena

The time derivative of the statistical entropyof nonequilibrium phase space contracting systems


Technicka 8, CZ-616 00 Brno, Czech Republic,e-mail:[email protected]

Abstract: The aim of this paper is two-fold: the determination of the rate of change ofthe Gibbs entropy and of the Tsallis entropy for specific class of systems - phase spacevolume non-preserving systems is reviewed and discussed, and the rate of change of theRenyi entropy is newly calculated. The rate of change of the Gibbs entropy previouslyexamined for phase space contracting systems applying the Liouville compressible phasespace flow theorem and the equations of motion correspondingto the Gauss thermostat isrecalled. The important connection of the time derivative of the Gibbs entropy with theirreversible thermodynamics entropy production is discussed. Recently, the rate of changeof the Tsallis entropy was determined for the phase space volume non-preserving systems.The result obtained in this paper for the time derivative of the Renyi entropy is differentfrom that concerning the Tsallis entropy: the time derivative of the Renyi entropy doesnot depend on theq-parameter, whereas the time derivative of the Tsallis entropy is q-dependent.

Keywords: Gibbs entropy, Liouville´s equation, Gauss´ thermostat, entropy production,Tsallis entropy, Renyi entropy

1 Introduction

Whereas the equilibrium statistical mechanics is well developed theory, the at-tempts to establish the nonequilibrium statistical mechanics, except the statisticalmechanics of dilute atomic gases (kinetic theory), meet with severe difficulties.

To study nonequilibrium processes in open systems Boltzmann´s and Gibbsequilibrium phase space theory was extended by Green and Kubo for nonequilib-rium systems not too far from equilibrium. The statistical approach to nonequilib-rium systems that goes beyond Green and Kubo´s linear response theory presentsfar greater difficulties than those faced in the theory of equilibrium systems: thesingular character of nonequilibrium distributions makesthem hard for theoreticaltreatment. To describe and subsequently to clarify the behaviour of a wide va-riety of far from equilibrium systems make possible computer simulations. Newinput came from the dynamical systems theory. As a consequence of this approachsome relations between fundamental quantities of statistical mechanics and dyna-mical systems theory were obtained. Two basic approaches evolved over the pasttwenty years to describe the steady states of nonequilibrium systems by employingmethods of dynamical systems theory [1]: i) the Hamiltoniandynamical systemsapproach to nonequilibrium steady states, ii) the thermostated dynamical systems

211

[email protected]


approach to nonequilibrium steady states. The Hamiltoniandynamical systems pre-serve the phase space volumes, whereas the thermostated dynamical systems arethe phase space volume contracting ones. In context of the thermostated systems,the Gauss thermostat or Nosé-Hoover thermostat namely [1, 2, 3, 4, 5, 5], the veryinteresting problem of the Gibbs entropy relation to the physical entropy has beentreated. This paper is devoted to the study of the time evolution of the statisticalentropy of these volume contracting systems. Firstly we shall consider the rate ofchange of the Gibbs entropy. The form of the Liouville equation (LiE) for the vol-ume non-preserving systems [6] is recalled in Section 2. Theequations of motionof the Gauss thermostat are presented in Section 3. The time derivative of the Gibbsentropy is devoted Section 4: the sign of the rate of change ofthe Gibbs entropy isfound. Moreover, the connection between this quantity and the quantities of the dy-namical systems theory are briefly recalled. The interconnections with irreversiblethermodynamics and statistical mechanics are studied in Section 5.

Within the statistical mechanics an alternative approach based on the infor-mation theory emerged in the past approximately forty years. The informationalentropy, introduced by Shannon, has the role of a generatingfunctional for thederivation of probability distributions. The modified forms of the informationalentropies were introduced, leading to the development of socalled UnconventionalStatistics [7]. During the past twenty years a wealth of papers were presented de-veloping so called Nonextensive Statistical Mechanics (orGeneralized StatisticalMechanics), the fundamental quantity of which is one of the generalized informa-tional entropies, the Tsallis q-entropy namely [8]. The Unconventional StatisticalMechanics has been recently built within the scope of the variational method basedon the maximization of the Renyi entropy [7]. The time evolution of the Tsallisentropy and the Renyi entropy of probability distribution function associated withthe statistical description of dynamical phase space not preserving systems is ex-amined in Section 6.

Considerable literature has been devoted to the well known paradox: the mic-roscopic laws of dynamics and the LiE are reversible, i.e. they are time-symmetric,whereas the macroscopic laws exhibit irreversible - the time asymmetric behaviourrepresented by the Second Law of Thermodynamics (SLT) [9, 10, 11]. The ques-tion of how to reconcile the irreversible processes at the macroscopic level with thetime reversibility of the microscopic equations of motion of the Gauss thermostatis discussed in Section 7.

KHEILOVÁ M — THE TIME DERIVATIVE OF THE STATISTICAL ENTROPY OF. . . 213

2 The Liouville equation for volume non-preserving sys-tems and the Gibbs entropy

Let us consider the dynamical systems that are used to model the evolution ofmany-particle systems subjected to the action of the external dissipative forces.These external fields (or gradients of temperature etc.) pump energy into a system.To prevent a system from heating up there must be some thermalreservoir thatis able to absorb energy. In the framework of the nonequilibrium molecular dy-namics computer simulations, the models of thermal reservoirs were proposed inform of Gauss, Nosé and Nosé-Hoover thermostat [2, 3, 4, 5]. The motion equa-tions are non-Hamiltonian, but time reversible. A statistical ensemble of copies ofthe system was considered with the assumption that the corresponding distribu-tion function (probability density) exists. This probability density f (Γ, t) evolvesin time according to the LiE. The motion equations imply in this case nonzero ne-gative compression factor. Consequently the Gibbs entropydefined in terms of thetime dependent nonequilibrium distribution function has an unpleasant feature —the Gibbs entropy of a steady state system diverges to negative infinity for t −→ ∞.This result, seeming paradoxical, was first derived by Evans1985 [12]. The start-ing point for Evans, Morriss, Hoover at al. was the LiE, that was proved (in accordwith the Liouville original work [1, 6]) without reference to the equations of mo-tion [5, 12, 3]. Only two conditions were considered: ensemble members cannotbe created or destroyed and the distribution function is sufficiently smooth. TheLiouville equation can be written either in the Eulerian form

∂ f∂t

= − f∂

∂Γ·Γ− Γ·∂ f

∂Γ= − ∂

∂Γ·(Γ f ) (1)

or in the Lagrangian form

d fdt

=∂ f∂t

+ Γ·∂ f∂Γ

= − f∂

∂Γ·Γ. (2)

HereΓ ≡ q, p = (q1, . . . ,q3N, p1, . . . ,q3N) is the point in phase space. Equation (2)implies the relation for the phase space compression factorΛ(Γ)

Λ(Γ) ≡ ∂∂Γ

= − ddt

ln f (Γ, t). (3)

If the motion equations are generated from the Hamiltonian,the phase space com-pression factor is zero

Λ(Γ) = 0,


the phase space is incompressible and the LiE takes on its well known form

d fdt

= 0.

The name „compressible“ [3] or irregularly „generalized form“ of LiE for the equa-tions (1) and (2) is sometimes used [1].

The concept of the Gibbs ensemble permits to write for the Gibbs entropy therelation

SG(t) = −kB

∫

dΓ f (Γ, t) ln f (Γ, t), (4)

wherekB is the Boltzmann constant [5, 12]. An initial ensemble is oneof the equi-librium ensembles of statistical mechanics.

The LiE admits to express the rate of the Gibbs entropy changeas the averagedphase space compression factor multiplied by the Boltzmannconstant [1, 12, 5]

SG = kB

∫

dΓ f (Γ, t)∂

∂Γ·Γ = kB〈Λ〉. (5)

By the derivation of the equation (5) it was assumed [5] that all the boundary termsarising from integration by parts, vanish. To calculate thevalue of the rate of theGibbs entropy change the equations of motion for system particles are needed.

3 The Gauss thermostat

If an external force field acts on the system moving it away from equilibrium, itdoes work on the system. This work is converted to heat and must be removed inorder to achieve a steady state. There are different methodsof accomplishing this.About twenty years ago Hoover and coworkers 1982 and Evans 1983 independent-ly proposed finite-dimensional, deterministically thermostated non-Hamiltoniandynamical systems. This method uses fictitious, time reversible, deterministic ther-mostats, that can operate homogeneously throughout the system (global thermo-stat) or they can operate within boundary walls (local thermostat) [5]. The new ideato deal with nonequilibrium thermostated systems in steadystates was the introduc-ing a friction coefficient in the equations of motion. The thermostat appears as afriction coefficient which depends upon the phase space point of the particles, notas a source of a current of particles, momentum or energy at the system bounda-ries. These thermostated systems generate steady nonequilibrium flows. In the caseof the Hoover isokinetic molecular dynamics the form of the motion equations ischosen such that the kinetic energy is kept to a constant value [2], whereas theEvans isoenergetic dynamics [5, 13] keeps the internal energy constant. Holding


the total kinetic energy fixed is equivalent to holding the temperatureT fixed, withdefinition

K =3NkT

2. (6)

The Gauss thermostat equations of motion can be derived fromthe Gauss varia-tional principle of least constraint — hence the name the Gauss thermostat. Ac-cording to this principle the phase space trajectories of a system subjected to con-straints are these that follow the unthermostated trajectories most closely (in a leastsquares sense [12]). The time reversible equations of motion for a particle i of thehomogeneous Gauss thermostat can be written in the following form

qi =pi

m, (7)

pi = F i(q)+FCi (q, p), (8)

whereqi, pi are the position and momentum vectors of particlei; here it is assumedthat all particles have equal massm. The symbolsq andp without indexi stand forthe positions and momenta of all particles, the forceF i(q) is the sum of two terms

F i(q) = −∂Φ(q)

∂qi+Fe,

where

Φ =12 ∑

i∑

j

Φi j

is the potential energy, withΦi j the pair interaction energy,Fe is the external forcedriving the system away from equilibrium. In the following text we will supposeFe is time independent.

The constraint force term

FCi (q, p) = −αpi (9)

describes the action of heat reservoir: , the friction coefficient simulates the in-teraction of the system with a heat bath. It can be chosen, as already mentioned,such, that the internal energy is kept to a constant value (isoenergetic thermostat).It holds

α =∑N

i=1 pi·Fe

∑Ni=1 pi·pi

. (10)

The equations (7) and (8) are invariant under reversing the direction ofpand chang-ing the sign of the time. However, they are no longer area preserving (λ 6= 0).

Another model of non-Hamiltonian thermostat, the Nosé-Hoover thermostathas been proposed [14] by including of the thermostat variable as an independent


variable into the motion equations [2]. We note that it is sometimes desirable tointroduce two or more friction coefficients as independent variables [3]. Equationsof motion can guarantee the control of the properly chosen dynamical quantities.

4 The rate of change of the Gibbs entropy

Now it is possible to express the rate of change of the Gibbs entropy by the frictioncoefficient. It was found [12] for aN-particle system with motion equations (7) and(8), assuming thatN is large, the relation

SG = kB〈Λ〉 = −3NkB〈α(t)〉, (11)

where〈α(t)〉 is ensemble average of the friction coefficientα. In accord with SLTthe ensemble averaged value of the friction coefficient is assumed to be positive atall times after the external field is applied. Thus it holds

SG < 0. (12)

We shall see in Section 4 that the rate of change of the Gibbs entropy converges forlargeN and larget to a negative constant value. Consequently in a steady statetheGibbs entropy is not constant [5], it diverges to−∞ ast −→ ∞ [5, 12, 13].

The equation (12) can be seen from a different aspect using the tools of thedynamical systems theory. The equation (5) and the relationbetween the compres-sion factorΛ and the sum of all the Lyapunov exponents (LEs) permit to expressthe time derivative of the Gibbs entropy in terms of LEs. Assuming ergodicity [5]it can be written

limt−→∞

〈Λ〉 =6N

∑i=1

λi .

Thus it holds

limt−→∞

SG = kB

6N

∑i=1

λi . (13)

For equilibrium system,Fe = 0, α = 0, the system is Hamiltonian, the Lyapunovspectrum is symmetric, the pairing rule

6N

∑i=1

λi = 0

holds. Away from equilibrium this symmetry is broken. The sum of the LEs be-comes negative,

6N

∑i=1

λi < 0


indicating that the Gibbs entropy is decreasing function oftime. An arbitrary vol-ume in phase space develops into a fractal object in a steady state [2] — a strangeattractor namely. The dimension of this attractor is less than that of the initial equi-librium phase space, in which attractor is embedded in the nonequilibrium steadystate. The volume, which is accessible to nonequilibrium steady states as measuredfrom the full ostensible phase space, is zero. The distribution has no density, it issingular [5]. In order to calculate the dimension of the steady state attractor theLyapunov dimension estimated according to the Kaplan-Yorke dimension is used,e.g. in [2]. We note that it estimates the dimension of that subset of the phase space,whose volume does not decrease with time [5]. This raises thequestion whether thefinite value of entropy in a steady state would not be receivedby integrating overthe accessible phase space only. Evans and Morriss pointed out that the determina-tion of the topology of the accessible phase space is exceedingly complex and theynoted also further difficulties [12]. Evans suggested [5, 12] a method for compu-ting the „reduced entropy“ that could represent the physical entropy of a particlesystem in near equilibrium steady state. The starting pointwas the Green expan-sion for the entropy. The Gibbs entropy was expressed as a series involving them-particle reduced distribution functions [15]

fm(Γ1,Γ2, . . . ,Γm, t) =∫

dΓNdΓN−1 . . .dΓm+1 f (Γ, t), m= 1, . . . ,N. (14)

The expansion includes a series of finite terms until the dimension of the partialdistribution function exceeds the dimension of the accessible phase space. The di-vergence of entropy would arise only from the terms involving integrals whose di-mension is higher than (approximately) the Kaplan-Yorke dimension of the steadystate attractor. The lower order terms are finite.

It should be stressed that the computing of the probability distribution in highdimensional spaces is not easy. The idea of the reduced entropy was only supportedusing Poincaré map [5].

5 The Gibbs Entropy and entropy production

In the framework of irreversible thermodynamics there is nogenerally accepted de-finition of thermodynamic entropy [16, 1] of nonequilibriumsystems. Analogouslyto equilibrium thermodynamics [16] it is assumed within Classical (linear) Irre-versible Thermodynamics that outside equilibrium there exists an extensive quan-tity, entropyS, that is a sole function of state variables. The balance equation forthe entropy can be expressed in the form

dSdt

= −∫

∂VJS·dΣ+

∫

VσdV, (15)


where∂V denotes a boundary of a volumeV, JS is the entropy current,σ is refferedto as the entropy production density [16, 17] or entropy source strength [5, 18].

Though in Extended Irreversible Thermodynamics (EIT) is the space of inde-pendent variables (corresponding to equilibrium thermodynamics) enlarged throughthe introduction of nonequilibrium variables, the dissipative fluxes [16], the ba-lance equation (15) is also valid within EIT. For the statistical interpretation of thebalance equation is the entropy notion important. Some researches prefer as thenotion of the statistical entropy the Boltzmann entropy, orother forms of coarse-grained [13, 18, 19, 20] entropies. In spite of the fact that the Gibbs entropy isconnected with a number of problems, it is also considered tobe a suitable can-didate for nonequilibrium thermodynamics. The balance equation for the Gibbsentropy following from the LiE has the form [18]

dSG

dt= −

∫

∂MJSG·dA+

∫

MσGdΓ, (16)

where denotes the phase space volume,JSG is the Gibbs entropy current,σG theGibbs entropy production density

JSG= −( f ln f )G, σG = f∂∂x

·G≡ f ∇·G, (17)

where the equations of motion are now written in the form

x = G(x). (18)

The authors of [5, 13] made an attempt to find the links betweenthe above men-tioned statistical quantities and the quantities of the irreversible thermodynamics.Starting from the isoenergetic dynamics, they defined a quantity Σ(t), the rate ofabsorption of entropy by the thermostat, by the following relation

∑(t) ≡ 2KαT

= 3NkBα(t). (19)

They derived that the ensemble average of this quantity is equal to the entropyproduction expressed by the product of the thermodynamic force Fe/T and ther-modynamic fluxJ [13]

〈σ(t)〉 =J·Fe

TV, (20)

whereV is the volume of the system.This continuous entropy production (i.e. generation) in the dissipative system

results in the entropy flowing into the thermostat in which itis absorbed. Compar-ing (19), (11), and (12) we have

〈σ(t)〉 = −SG(t) > 0. (21)


The ensemble averaged entropy absorbed by the thermostat per unit time 〈Σ(t)〉,identified as the entropy production, is equal and opposite to the rate of change ofthe Gibbs entropy and is positive in accord with SLT. Consequently, after the decayof initial transients the rate of change of the Gibbs entropyconverges to a negativeconstant value, the Gibbs entropy is not constant, it decreases in time to negativeinfinity.

According the authors of [5] it can be written for an ensembleof constantinternal energy systems the relation

SG(t)+∫ t

0〈Σ(s)〉ds= Seq(0). (22)

Here Seq is initial equilibrium Gibbs entropy — the system is at equilibrium att = 0. This equation resembles the definition of a nonequilibrium entropy in EIT[16] with one exception: the initial state in [16] is a steadystate and the final stateis equilibrium state. The second term on left hand side of (22) would correspond tothe entropy production.

We end this Section with some notes.Firstly, the non-existence of clear identification of a positive entropy produc-

tion within system, and not within the thermostat was criticized in [19].Secondly, accepting the idea that−SG equals to irreversible entropy production

of a thermostated system, does not justify the direct connection of theSG which di-verges to−∞ with the entropy of this system. The problem of the nonequilibriumentropy definition is only shifted away to the entropy production. As if the funda-mental quantity were the entropy production, not the entropy as such. A similaridea can be found, for irreversible process leading to equilibrium, in [21].

Thirdly, it is worth outlining that some models were proposed [22, 1]for whichthe rate of the Gibbs entropy change and the rate of phase space contraction are notconnected, and steady states without phase space contraction can exist.

6 The generalized entropies

The generalized nonextensive (in fact nonadditive)q-entropy, first defined by Ha-vrda and Charvat, was newly introduced by Tsallis (1988) to treat systems withfractal phase spaces and to establish a statistical mechanics for these systems [23].The Renyi entropy is considered as particularly convenientfor dealing with fractalsystems as well [8]. It plays a distinguished role in nonlinear dynamics [24]. TheTsallisq-entropy (TE) and the Renyi entropy (RE) are dependent on parametersq— entropic indices. The past two decades witnessed an explosion of papers treatingthe Tsallis entropy. The maximization of this entropy functional makes possible to


receive the power-law distribution that agrees with the experimentally obtainedone. RE is a monotonous function of TE and consequently they both yield thesame form of power-law distribution. On the other hand, theyexhibit fundamentaldifferences. The most important one concerns additivity. The TE is not additive, onthe contrary, RE is always additive. We will show in this section another differenceconcerning the rate of change of the Tsallis and Renyi entropies.

Theq-Tsallis entropy of a continuous probability distributionis defined by [25]

Sq =k

q−1

(

1−∫

f qdx

)

, (23)

wherek is a positive constant (from here on set equal to 1).The mean values computed with escort distributions [24, 25]have the form

〈A〉q =

∫

f qAdx∫

f qdx. (24)

The relation for the time derivative of the quantity

Iq =∫

f qdx (25)

has been derived in [25] for a classical dynamical system with equations of motionin form (18) and with distribution describing the ensemble of systems evolvingaccording to (18), given by LiE (1)

dIqdt

= (1−q)Iq〈∇·G〉q. (26)

Because of the relation betweenSq andIq

Sq =1

q−1(1− Iq) (27)

the equation for the rate ofSq change is

dSq

dt=

11−q

dIqdt

= Iq〈∇·G〉q =

∫

f q(∇·G)dx, (28)

dSq

dt= [1+(1−q)Sq] 〈∇·Sq〉. (29)

Generally, nothing can be said on the sign of the dSq/dt. It is of interest to considerthe case when∇·G assumes a constant value throughout phase space:∇·G = const. = C [25]. Then〈∇·G〉q = ∇·G = C. Thus

dSq

dt= [1+(1−q)Sq]C. (30)


Consequently,

Sq =1

q−1

(

1−Dexp

(1−q)Ct)

, (31)

withD = 1− (q−1)Sq(t = 0).

The time dependence ofSq is exponential forq 6= 1, while in the limit caseq−→ 1is linear. It should be mention, that the Gibbs entropy received in the limit caseq−→ 1 fulfills the equation

dSG

dt=

dS1

dt= 〈∇·G〉.

For volume-preserving systems, i.e. for〈∇·G〉 = 0 the well known relationdS1/dt = 0 is obtained. Let us supplement the latter consideration onthe Gibbsentropy about the case

∇·G = const. = C < 0.

We obtain for the time evolution of the Gibbs entropy

SG = SG(t = 0)+Ct.

Next considerations will consern the Renyi entropy. The Renyi entropy takes theform [26]

SR =1

1−qln∫

f qdx, (32)

provided the integral on the right hand side exists.It should be noted that it is also used [24] to define the RE as the corresponding

generalization of the Kolmogorov-Sinai entropy.In an analogous way as was done for TE we obtain the following equations

dSR

dt=

11−q

1Iq

dIqdt

= 〈∇·G〉q. (33)

The same result can be obtained from the relation between theRE and the TE [27]

SR =ln[

1+(1−q)Sq]

1−q.

Now, let us consider the case∇·G = conts. = C. We receive different result thanthat for the Tsallis entropy

SR = SR(t = 0)+Ct. (34)


The time dependence ofSR is linear independently on the value ofq.

This observation is in accord with the result of [26] for a particular case ofanomalous diffusion: the time derivative of RE is independent of q. SupposingC < 0 we conclude that RE diverges to−∞ ast −→ ∞ (independently onq).

In contrast to Tsallis entropy the rate of change ofSR does not depend on thevalue ofq.

7 Irreversibility from reversible dynamics

The reconciling time reversible mechanics with the approach to equilibrium isbased on the Hamiltonian differential equations and on the emphasized initial con-ditions: microscopic origins of irreversible macroscopicbehaviour were discus-sed and found as arising naturally from time-symmetric microscopic laws e.g. in[9, 11]. The fundamental ingredients in the explanation of the irreversibility are i)the great disparity between microscopic and macroscopic scales, ii) the determina-tion of events not only by the differential equations, but also by initial conditions,iii) the use of probabilistic reasoning: not every microstate of a macroscopic sys-tem evolves accordingly the SLT, but only the majority of states [9]. Bricmont [11]emphasised also for the irreversibilty explanation the initial conditions and dealingwith systems with many degrees of freedom. In contradiction, Prigogine [10] for-mulated dynamics in such a way that time symmetry breaking was included in themicroscopic description.

The motion equations associated with the thermostated systems - Gauss orNosé-Hoover thermostats, are time reversible: the equations of motion after thetime reversal transformationt −→ −t,q −→ q, p −→ −p remain unchanged. Atfirst sight the coexistensce of microscopic time reversibility with macroscopic ther-modynamic irreversible behaviour seems paradoxical. The resolution of this para-dox can be expressed by notions of the Lyapunov instability of the time reversedmotion. From the analysis and computer simulations it follows i) that the phasespace density collapses onto an attracting fractal subspace - a strange attractor. ii)A time-reversal transformation transforms stable attractors into unstable repellors.(The dynamics on the attractor is unstable in the sense that the two nearby pointstend to separate exponentially fast in time, but it is stablein the sense that the flowcontracts on average [28]). The repellor states have the same LEs, except for sign[29]. The time reversed trajectory is less stable than the forward trajectory. Thephase space states which could violate the SLT (if they were observed) span a zerovolume, so that the probability of observing such a violation of the SLT is zero[29].

In the considerations on the SLT for thermostated systems two approaches oc-


cur:

i. the term , the friction coefficient, which acts in a way to remove the heatgenerated in the system has in accordance with the SLT its average value atall times [5]. Thus the SLT validity is supposed and serves for the sign ofdetermination.

ii. Another approach can be found in [3]. It was derived the relation for theinfinitesimal phase space volume eleme⊗ = ∏dqdp

−dln⊗dt

=dln f

dt.

It follows from (3) and (11) that positive〈α〉 leads to decreasing〈ln⊗〉 ofthe with increasingt. Negative friction would lead to divergence of〈ln⊗〉.Only the decreasing⊗ is consistent with a bounded phase space volume.This result was comprehended as the „mechanical analogue“ of the SLT.

8 Conclusion

In this paper it is shown how the two theories, the statistical mechanics and the dy-namical systems theory, make possible to treat the rate of change of the statisticalentropy. The phase space volume contracting systems were analysed. We concen-trate on the interesting works [5, 13, 2, 3]. The starting point of the statistical appro-ach is LiE, the Liouville compressible phase space flow theorem namely. The iden-tity between the rate of change of the Gibbs entropy and the averaged phase spacecompression factor is found. Studying the Gibbs entropy time evolution, the equ-ations of motion of the Gauss thermostat are considered. A nonequilibrium steadystate is obtained by applying a homogeneous, deterministicfictitious, time rever-sible thermostat, based on introducing in the equations of motion a momentum-dependent friction coefficient. The analysis of the LiE and the motion equationscorresponding to the Gauss thermostat lead to a striking fact that the Gibbs entropyis not constant in a steady state and that it diverges to−∞ for t −→ ∞. By applyingthe viewpoint of the dynamical systems theory, the time derivative of the Gibbsentropy is expressed in the terms of the LEs. The sum of the LEsis negative. Anarbitrary volume in phase space centered on a trajectory develops into a fractal ob-ject — a strange attractor, with dimension less than that of the initial equilibriumphase space in which attractor is embedded.

An important result of [5, 13] is the derivation of the relation between the timederivative of the Gibbs entropy and the entropy production:the rate of change ofthe Gibbs entropy is equal to the negative entropy production. This interpretation


of the time derivative of the Gibbs entropy does not mean thatthe physical entropyof the system should be connected with the Gibbs entropy.

The next part of this paper deals with the TE and the RE. The derivation ofthe rate of change of theq-Tsallis entropy following from the LiE is recalled [25],the time derivative of the RE is newly performed. Without a knowledge of theq-parameter, the sign of the rate of change both of the entropies can not be predicted.In the special case when the divergence of the phase space flowassumes a constantvalue throughout phase space we conclude that the rate of change of the RE doesnot depend on theq-parameter, whereas the same quantity of TE isq-dependent.

The dynamical systems theory is once more applied to providean explanationof the coexistence of irreversible macroscopic behaviour with time reversible mic-roscopic laws — the equations of motion of the Gauss thermostat: the notion of theLyapunov instability of the time reversed motion is used.

This work was supported by the grant 102/04/0469 (Grant Agency of the CzechRepublic).


References

[1] R.Klages. Microscopic chaos and transport in thermostated dynamicalsys-tems., 2003. arXiv:nlin.CD/0309069 v1.

[2] W.G.Hoover H.A.Posch.Phys. Rev. A, 38:473, 1988.

[3] Wm.G.Hoover.J.Chem.Phys., 109:4164, 1998.

[4] Wm.G.Hoover K.Rateitschak, R.Klages.J.Stat.Phys., 101:61, 2000.

[5] L.Rondoni D.J. Evans.J.Stat.Phys., 109:895, 2002.

[6] L.Andrey. Phys Lett., 111 A:45, 1985. 114 A (1986) 183.

[7] J.G. Ramos R.Luzzi, A.R. Vasconcellos. cond-mat/0306217/, 2004.

[8] C.Tsallis. In S.Abe and Y. Okamoto, editors,Nonextensive Statistical Mecha-nics and Its Applications, Series Lecture Notes in Physics, page 3. Springer,Berlin, 2001.

[9] J.L.Lebowitz.Physica A, 263:516, 1999.

[10] G.Ordonez I.Prigogine, T.Petrosky.Adv.Chem.Phys., 99:1, 1997.

[11] J.Bricmont. Science of chaos or chaos in science. In M.W.Lewis R Gross,N.Levitt, editor,Annals of the New York Academy of Sciences, volume 775,page 132, New York, 1996.

[12] G.P.Morriss D.J. Evans.Statistical Mechanics of Nonequilibrium Liquids.Academic Press, London, 1990.

[13] E.G.D.Cohen L.Rondoni.Nonlinearity, 13:1905, 2000.

[14] C.G.Hoover Wm.G. Hoover.Molec.Phys., 101:1559, 2003.

[15] R.Balescu.Statistical Dynamics, Matter out of Equilibrium. Imperial CollegePress, London, 2000.

[16] G.Lebon D.Jou, J.Casas-Vázquez.Extended Irreversible Thermodynamics.Springer, Berlin, 1996.

[17] I.Prigogine D.Kondepudi. Modern Thermodynamics. Wiley, Chichester,1998.


[18] P.Gaspard.Chaos, Scattering and Statistical Mechanics. Cambridge univer-sity Press, Cambridge, 1998.

[19] J.R.Dorfman T.Gilbert.J.Stat.Phys., 96:225, 1999.

[20] E.Olbrich H.Kantz.Physica A, 280:34, 2000.

[21] W.Ebeling.Physica A, 182:108, 1992.

[22] J.R. Dorfman H.Beijeren.Physica A, 279:21, 2000.

[23] C.Tsallis.J.Stat.Phys., 182:108, 1992.

[24] F.Schlögl C.Beck.Thermodynamics of chaotic systems. Cambridge Univer-sity Press, Cambridge, 1993.

[25] A.Plastino M.Casas A.R.Plastino, C.Giordano.Physica A, 336:376, 2004.

[26] A Franz K.H.Hoffmann Ch.Essex, Ch.Schulzky.Physica A, 284:299, 2000.

[27] U.Tirnakli R.S.Johal.Physica A, 331:487, 2004.

[28] C.G.Hoover Wm.G.Hoover.Condens. Matter. Phys, 8:1, 2005.

[29] H.A.Posch B.L..Holian, W.G.Hoover.Phys.Rev.Lett, 59:10, 1987.

ŽÁK Vojt ech

Parametry kvality výuky fyziky a jejich napl nování v praxiCharles University

Faculty of Mathematics and Physics, Department of Physics EducationV Holešovickách 2, CZ-180 00 Praha 8, Czech Republic,e-mail:[email protected]

Abstract: This paper deals with parameters of quality teaching in general and parametersof quality teaching of physics at grammar schools. In order to establish opinions concer-ning the quality of teaching physics an expert investgationwas carried out among experts.Teaching conducted by ten investigated teachers can be generally characterized by the fol-lowing remarks: Lack of experimenting, little use of aids, little work with a text, little use ofa heuristic method, lack of inspiring interest in physics asa branch, few connections withother subjects, few alternative forms of evaluation; on thecontrary, ample use of mathema-tical means, predominance of exposition, ample utilization of students’ interest, success inpreventing students from behaving improperly.

Súhrn: Tento príspevek se zabývá parametry kvality výuky obecne a parametry kvalityvýuky fyziky na gymnáziích. K získání názoru ohledne kvality výuky bylo provedenoexpertní šetrení mezi odborníky. Vyucování deseti zkoumaných ucitelu je možné charakte-rizovat následujícími znaky: Málo se experimentovalo, málo se využívaly pomucky, málose pracovalo s textem, málo se používala heuristická metoda, málo se probouzel zájem ofyziku jako obor, málo souvislostí s ostatními predmety, málo alternativních forem hodno-cení - a naopak - hojne se využívalo matematických prostredku, dominoval výklad, hojnese využívalo zájmu studentu, darilo se zabranovat nevhodnému chování studentu.

Keywords: parameters of quality teaching in general, parameters of quality teaching ofphysics, expert investigation

K¿úèové slová:parametry kvality výuky obecne, parametry kvality výuky fyziky, expertníšetrení

1 Úvod

Hodnocení kvality výuky (obecne i fyziky) závisí na výberu zkoumaných para-metru, na charakteru techto parametru, na ohodnocení jejich významu a míre jejichnaplnení. Hodnocení kvality výuky je jednoznacne komplexní záležitostí. Obdobnejako je mnohorozmerný popis toho, co vytvárí vysokou kvalitu výuky, tak neexis-tuje jednoduchý predpisci návod k jejímu dosažení. Do výchovne-vzdelávacíhoprocesu vstupuje totiž mnoho faktoru, které vzájemne interagují. Podle meziná-rodní zprávy Schools and Quality [1] to jsou zejména:

• studenti a jejich zázemí,

• škola, její struktura a étos,

• pedagogický sbor a jeho dovednosti,

• kurikulární dokumenty,

227

[email protected]


• sociální ocekávání.

2 Expertní šetrení

Jednou z možností, jak zjistit, jaké jsou parametry kvalityvýuky fyziky, je provéstexpertní šetrení mezi odborníky z oblastí pedagogiky, obecné didaktiky, didaktikyfyziky a fyziky.

Toto šetrení bylo provedeno s celkem 15 odborníky. S deseti z nich byly ve-deny strukturované rozhovory a dalším peti byly rozeslány dotazníky. Zjištené ná-zory potom posloužily jako východisko pro tvorbu vlastní pozorovací a posuzovacítechniky kvality výuky fyziky [2].

3 Prehled parametru kvality výuky obecne a kvality vý-uky fyziky

V následujícím seznamu jsou uvedeny heslovite parametry kvality výuky o-becnea parametry kvality výuky fyzikyna gymnáziu, které vyplynuly ze strukturova-ných rozhovoru a z dotazníku. (Fialovou jsou vyznaceny parametry kvalitní výukyobecne, tedy nejen fyziky.)

Velmi podobné odpovedi byly sdruženy do níže uvedených 58 bodu (para-metru). Jednotlivé parametry jsou uvedeny v poradí s klesajícími absolutnímicet-nostmi výskytu v odpovedích respondentu.

Je treba zduraznit, že parametry vyjadrují puvodní predstavy odborníku o kva-lit e výuky (fyziky), se kterými prišli oni sami. Respondentum nebyly kladeny su-gestivní otázky typu: „Považujete provádení fyzikálních experimentu za prínos kezvýšení kvality výuky fyziky?“ Z toho tedy nevyplývá, že by napr. casté provádenífyzikálních experimentu, jejich rozbor a vysvetlení (viz parametr 1.) považovalo zaprínosné práve 12 z 15 respondentu a 3 naopak. Poradí níže uvedených parametruje tedy pouze orientacní a nelze ho v žádném prípade absolutizovat.

A. parametr s absolutnícetností 12

(1) Casté provádení fyzikálních experimentu, jejich rozbor a vysvetlení.

B. 2. - 10. parametr s absolutnícetností 10

(2) Vyucující jezapálenpro fyziku (pro daný vyucovací predmet) a uci-telství.

(3) Vyucující pružne reagujev ruzných (i necekaných) situacích.

ŽÁK V — PARAMETRY KVALITY VÝUKY FYZIKY . . . 229

(4) Vyucující jeodborne na výši, co se týkáfyziky (daného vyucovacíhopredmetu).

(5) Vyucující má bohatoupedagogickou praxi.

(6) Vyucující má schopnostvysvetlovat.

(7) Vyucující umožnuje studentumproniknout do podstatných problému,kteréreší fyzika, a to i za cenu zmenšení objemu uciva a za cenu zjed-nodušování fyzikálních problému.

(8) Vyucující podchytí, udrží avyužije zájmu studentu.

(9) Vyucující vzbuzuje zájem o okolní svet, umí zaujmout studenty.

(10) Vyucující propojuje obsah výuky s praxí, s bežným životem,reší seaplikacní úlohy.

C. 11.parametr s absolutnícetností 8

(11) Vyucující podporuje pozitivnícitový vztah studentu (k danému pred-metu)k fyzice (jakožto soucásti kulturního dedictví).

D. 12. - 14. parametr s absolutnícetností 7

(12) Vyucující nechá studenty tvorit vlastní verbální vyjádrení, docházík jejich zlepšování a zpresnování, necasté diktování poznámek stu-dentum.

(13) Vhodné strídání metod, a to i behem jedné hodiny, ne stereotypníformy práce.

(14) Využití výuky fyziky k rozvoji intelektu , duraz na logicnost, analy-tické a syntetické postupy, rozvoj kritického a divergentního myšlenístudentu.

E. 15.- 26. parametr s absolutnícetností 6

(15) Výchova studenta jako dobrého obcana,kultivace jehovztahu k sobe,k ostatním lidem, ke svetu.

(16) Vyucující prim erene využívá nejednotvárnéhovýkladu a prednášek.

(17) Vytvárenístruktury fyzikálních poznatku a pojmu, komplexnost úloh,zduraznení vazeb a souvislostí.

(18) Propojení fyziky (daného predmetu) s ostatními predmety a s ostat-ními rocníky studia.

(19) Vyucující umožnuje všem studentumpoznat zákonitosti prírody.


(20) Pri vyucování panujeatmosféra duvery a úcty.

(21) Vyucující je schopenpripustit svou chybu a neznalost.

(22) Humor .

(23) Vyucující klade na studentyprim erené nároky, které jsoudiferenco-vanépodle nadání, zájmu a veku.

(24) Pestováníabstraktní predstavivosti.

(25) Práce vprim ereném matematickém modelu.

(26) Studentiaktivn e a vecne zasahujído výuky, diskutují mezi sebou o té-matu.

F. 27. -33. parametr s absolutnícetností 5

(27) Využívání pomucek, se kterými mohou pracovat i studenti.

(28) Využíváníheuristické metody.

(29) Aktivní u cení, vzrustající zapojování studentu do výuky.

(30) Rozvojzodpovednostistudentuza vlastní vzdelávání.

(31) Humanizace fyziky, historické poznámky.

(32) Odkazy napopulární literaturu .

(33) Trp elivost a vstrícnost vyucujícího.

G. 34. - 41. parametr s absolutnícetností 4

(34) Strídání intervalu intenzivního pracovníhosoustredení a uvolnení.

(35) Vyucující ocenuje nápady a vecné otázky studentu.

(36) Studenti se s úspechem zúcastnují olympiád a korespondencních se-mináru.

(37) Studenti provádejí laboratorní práce a zpracovávají výsledky merení.

(38) Výuka jenázorná, vyucující využívá prímeru, ilustrací, snaha o budo-vání obrazných predstav u studentu.

(39) Vyucující podporujedomácí práci studentu(jednoduché experimenty,cetba, studium).

(40) Úcelné využitívýpocetní technikya jejích aplikací.

(41) Úcelné využitívideoporadu a filmu .

H. 42. - 46. parametr s absolutnícetností 3

(42) Vyucující komunikujesrozumitelne a usporádane.


(43) Vyucující využívá hodnocení k motivacistudentu.

(44) Rozvíjení fyzikálníchdovednostístudentu, jejich zautomatizování.

(45) Studentiprezentují vlastní práci, mají referáty pred trídou.

(46) Využívá sekvalitních ucebnic a literatury.

I. 47. - 50. parametr s absolutnícetností 2

(47) Predávání užitecnýchpoznatku všem studentum.

(48) Vyucující kladeduraz na vlastníproces hledáníodpovedí na otázkystudentu.

(49) Vyucující získáváprub ežnou zpetnou vazbuod studentu.

(50) Vyucující vhodne reaguje nakritické poznámkystudentu.

J. 51. - 58. parametr s absolutnícetností 1

(51) Duslednápríprava vyucujícího na hodiny.

(52) Naplnení cílu výuky.

(53) Studenti jsou dobre pripravováni ke studiu na vysokých školách.

(54) Studentise tešína hodiny.

(55) Dostupnostspecializované ucebnyfyziky .

(56) Podpora prim erené souteživostimezi studenty.

(57) Utvárenízdravého sebevedomístudentu.

(58) Vzájemnáspolupráce vyucujících.

Ve výše uvedeném seznamu se objevují jak parametry kvalitního vyucování,tedy cinnosti ucitele (napr. 6., 9., 35.), tak parametry kvalitního ucení se studentu(napr. 26., 29., 45.). Prece jenom je ale patrné, že vetšina z uvedených parametrukvality výuky se týká prímo kvality vyucování, což lze interpretovat tak, že dotazo-vaní odborníci považují ucitele za klícovou osobu ve výukovém procesu a pricítajíjehorídicí roli zásadní podíl na kvalite výuky.

Nekteré parametry jsou velmi obecné a široké (napr. 16., 47., 52.), a tudíž hureposuzovatelné, jiné jsou konkrétnejší (napr. 13., 20., 38.). Nekteré parametry setýkají kvality výuky obecne (žlute podbarvené), jiné jsou specifické pro kvalituvýuky fyziky (nepodbarvené).


4 Výzkum výuky fyziky 10 ucitelu na gymnáziu

Behem školního roku 2004/2005 bylo pozorováno a posuzováno celkem 75 vy-ucovacích hodin fyziky deseti ucitelu na sedmi pražských gymnáziích. Je nutnépoznamenat, že ucitelé se do výzkumu zapojili dobrovolne, zcehož vyplývá, že je-jich výber nebyl reprezenataivní a že výsledky výzkumu nelze širocezobecnovat.

Pozorování a posuzování vyucovacích hodin fyziky probíhalo podle technikyvyvinuté autorem v rámci disertacní práce dokoncené v roce 2006 na Matematicko-fyzikální fakulte Univerzity Karlovy v Praze [2]. V této práci jsou také mimo jinéuvedeny podrobné informace o použitých výzkumných metodách.

5 Obecné závery týkající se kvality zkoumaných hodin fy-ziky

Ceho bylo málo?

Málo se experimentovalo.

Zhruba ve dvou tretinách hodin se neexperimentovalo. Pritom práve casté expe-rimentování bylo uvádeno odborníky (pri strukturovaných rozhovorech) nejcastejijako jeden z parametru kvalitní výuky fyziky. Na druhou stranu je treba zvážit, žeexistují témata (napr. speciální teorie relativity, kvantová fyzika apod.), která prílišpríležitostí k experimentování nedávají. Tato témata ovšemnebyla ve zkoumanýchhodinách probírána. Také je treba mít na pameti, zda ucitel nesoustred’oval expe-rimenty do urcitých hodin, které nebyly sledovány. Takovou informaci nám potvr-dil pouze jeden ucitel. Je tedy opodstatnené konstatovat, že bylo provádeno máloexperimentu.

Málo se využívaly pomucky.

Ve více než polovine pozorovaných hodin nepoužil ucitel žádné pomucky. Souvisíto zrejme se skutecností, že se v hodinách málo experimentuje (viz výše).

Málo se pracovalo s textem.

Asi ve trechctvrtinách hodin studenti vubec nepracovali s žádným textem, to zna-mená ani s ucebnicí ne. Je ovšem pravda, že „využití kvalitních ucebnic a litera-tury“ nebylo príliš frekventovaným parametrem kvalitní výuky uvádeným experty.Práce studentu s textem ovšem souvisí s jejichctenárskou gramotností. Vectenár-ské gramotnosti dopadají bohuželceští studenti v porovnání s dalšími vyspelými


zememi podprumerne. Je tedy otázkou do diskuze, jak, v hodinách jakých pred-metu a v jaké míre zapojovat studenty do práce s textem.

Málo se používala heuristická metoda

Vectyrech petinách sledovaných hodin nebyla použita heuristická metoda. Zatímcovýklad byl velmi pozitivne hodnocen ve tretine hodin, použití heuristické metodyani ne v desetine všech vyucovacích hodin. Heuristická metoda pritom jiste samav sobe nese potenciál vhodný k oživení a zatraktivnení vyucování fyzice.

Málo se probouzel zájem o fyziku jako obor.

Ve více než polovine vyucovacích hodin ucitel neprobouzel zájem studentu o fy-ziku jako obor lidského zkoumání. Na druhou stranu je v této souvislosti pozitivníalespon ta skutecnost, že ve více než osmi desetinách sledovaných hodin se ucitelidarilo probouzet a udržovat zájem studentu o dané fyzikální téma.

Málo souvislostí s ostatními predmety.

Zhruba vectyrech petinách vyucovacích hodin se nepodarilo probíranou látku spo-jit s obsahem jiných predmetu (krome bežné matematiky). Mezipredmetové pro-pojení není asi možné realizovat úplne každou vyucovací hodinu, na druhou stranuje ne zcela dostacující, pokud se objeví jen asi každou pátou vyucovací hodinu.

Málo alternativních forem hodnocení.

Jen asi v jedné desetine vyucovacích hodin kladli ucitelé duraz na hodnocení po-kroku jednotlivých studentu a hodnotili je nejen známkami, ale i slovne a oceno-vali jejich vecné nápady a zájem. Asi ve dvou tretinách hodin pristupovali ucitelék hodnocenní príliš rutinne nebo chladne.

Ceho bylo hojne?

Hojne se využívalo matematických prostredku.

Ve více nežctyrech petinách hodin se používaly matematické prostredky a v polo-vine hodin dokonce velmi efektivne.


Dominoval výklad.

Zhruba ve trech ctvrtinách hodin se objevil alespon nekolikaminutový výklad.Ve dvou tretinách všech hodin byl posuzovateli hodnocen kladne.

Hojne se využívalo zájmu studentu.

Ve více než osmi desetinách sledovaných hodin se uciteli alespon cástecne podariloprobouzet a udržovat zájem studentu o dané téma.

Darilo se zabranovat nevhodnému chování studentu.

Zhruba v devíti desetinách vyucovacích hodin se uciteli darilo aspon cástecne za-bránit zopakování nevhodného chování studentu. Témer v polovine všech vyucova-cích hodin zjednal ucitel nápravu primerenými prostredky a studenti se dále chovalik sobe navzájem a k uciteli slušne.

6 Záver

Zjištení z pozorování a posuzování 75 vyucovacích hodin vedených 10 uciteli nelzeširoce zobecnovat. Netvorí totiž reprezentativní výber ucitelu fyziky na gymnáziícha také pocet sledovaných hodin nebyl pro obecnejší závery dostatecný.

Na druhé strane sledovaní ucitelé se do výzkumu prihlásili, dobrovolne a mu-žeme tedy predpokládat, že jsme meli možnost sledovat v akci v jistém smyslu„nadprumerné“ ci chcete-li „lepší“, v každém prípade ale sebevedomejší ucitele.

Obecné závery týkající se kvality zkoumaných hodin fyziky jsou následující:Málo se experimentovalo, málo se využívaly pomucky, málo se pracovalo s tex-tem, málo se používala heuristická metoda, málo se probouzel zájem o fyziku jakoobor, málo souvislostí s ostatními predmety, málo alternativních forem hodnocení— a naopak — hojne se využívalo matematických prostredku, dominoval výklad,hojne se využívalo zájmu studentu, darilo se zabranovat nevhodnému chování stu-dentu.

Literatura

[1] OECD. School and quality - an international report. Paris: OECD, 1989.

[2] Žák V. Zjišt’ování parametru kvality výuky fyziky. Disertacní práce, MFF UKPraha, 2006.

BŁASIAK Władysław

Fizyka w nauczaniu przyrody — Physics in ScienceTeaching

Pedagogical University of CracowFaculty of Pedagody, Department of Physics Education

ul. Podchorazych 2, PL-30-084 Kraków, Polande-mail:[email protected]

Abstract: Difficulties with science teaching. What’s the meaning of „science understan-ding“? How to teach science for an unknown future? Basics skills in science teaching.

1 Fizyka w nauczaniu przyrody

W ocenach najwiekszych osiagniec ludzkosci, posród 100 wybitnych postaci, któ-rych dzieła wpłyneły najmocniej nazycie ludzi, wskazuje sie najwiecej fizyków(Newton, Einstein, Galileusz, Faraday, Maxwell, Heisenberg, Rutherford, Planck,Röentgen, Fermi, Euler). Posród najbardziej wpływowych na losyswiata postaciznalazły sie tylko nazwiska dwóch pisarzy (Szekspir i Homer) [3]. Historia wysokodocenia znaczenie fizyki dla społeczenstwa.

W zintegrowanym nauczaniu przyrody tresci z zakresu fizyki uwazane sa po-wszechnie za trudne [4, 5]. Skad biora sie te trudnosci? Jak je łagodzic? Jaka rolewinna pełnic fizyka w nauczaniu przyrody? Czy rozumienie w biologii ma taki samsens jak rozumienie w geografii, chemii, czy fizyce?

1.1 Trudnosci w nauczaniu i uczeniu sie fizyki

W nauczaniu fizyki mozna wskazac kilka przyczyn trudnosci, z których jednetkwia w istocie fizyki, inne w barierach poznawczych uczniów, a jeszcze innew pracy nauczycieli.

1.1.1 Fizyka

Istota fizyki jest budowanie modeli rzeczywistosci oraz ich doswiadczalne wery-fikowanie. Stosowany powszechnie jezyk matematyki ułatwia przewidywanie zja-wisk fizycznych oraz projektowanie nowoczesnych urzadzen technicznych, którediametralnie zmieniaja naszezycie.

1.1.2 Uczniowie

Nasi uczniowie przechodza w czasie kursu przyrody od fazy myslenia konkretnegodo stadium operacji formalnych, dlatego w pierwszych dwóchlatach kursu nalezy

235

[email protected]


zrezygnowac z precyzyjnych definicji oraz z wprowadzania terminów naukowych.Nie zwalnia to jednak nas od obowiazku dbania o jasnosc wypowiadanych sadów.

Istotna bariere w nauczaniu przyrody stanowi wiedza potoczna [6], bedaca wy-nikiem dotychczasowych doswiadczen dziecka. Doswiadczeniezyciowe pomagadzieciom wytworzyc cos, co nazywany „zdrowym rozsadkiem“, wiedza potocznalub spontaniczna. Ta spontaniczna wiedza okazuje sie niestety byc bardzo trwała ibardzo odporna na zabiegi edukacyjne nauczyciela.

Biorac to pod uwage musimy zwrócic szczególna uwage na niebezpieczenstwopozornego nauczania przyrody. Czesto bywa tak,ze uczen akceptuje na lekcjachnaukowy obrazswiata, uzyskuje pozytywne wyniki sprawdzianów wiedzy, zasw praktycznych działaniach preferuje swoje dawne zdroworozsadkowe przyzwyc-zajenia, które okazuja sie byc trwalsze niz efekty pospiesznego szkolnego naucza-nia.

W krajach, które wczesniej od nas wprowadziły do swoich programów zinteg-rowane nauczanie przyrody (science), zwraca sie baczna uwage na naiwne wierze-nia dzieci oraz błedne koncepcje rzeczywistosci przyrodniczej. W literaturze an-gielskiej stosuje sie wiele nazw na okreslenie wiedzy potocznej, np.:

• preconceptions - z góry wyrobione sady,

• everyday concepts - pojecia codzienne,

• misconceptions - błedne zrozumienie.

• children’s science - wiedza dziecieca,

• naive beliefs - wierzenia naiwne,

• Aristotelian ideas - idee arystotelesowskie,

• spontaneous reasoning - rozumowanie spontaniczne,

• intuitive knowledge - wiedza intuicyjna.

Nizej podajemy kilka typowych przykładów wiedzy spontanicznej z zakresu fizyki,spotykanych u uczniów rozpoczynajacych nauczanie przedmiotów przyrodniczychw róznych krajachswiata.

• Przeswiadczenie o tym,ze promienieswietlne wychodza z oka człowieka.Dzieci czesto sadza,ze oko wysyła promienie, które po odbiciu od oglada-nego przedmiotu wracaja, przynoszac informacje o tym przedmiocie (mówisie,ze: „rzucany na kogos spojrzenie“ lub „rzucamy okiem“).

BŁASIAK W — FIZYKA W NAUCZANIU PRZYRODY 237

• Przekonanie o tym,ze do podtrzymania ruchu potrzebne jest jakies działaniez zewnatrz.

• Utozsamianie topnienia z rozpuszczaniem.

• Przeswiadczenie o tym,ze ciała w prózni nic nie waza.

• Przekonanie o tym,ze w polu grawitacyjnym ciała ciezsze spadaja szybciejod ciał lekkich.

• Przekonanie,ze na ciała o wiekszej szybkosci musi działac wieksza siła.

• Utozsamianie energii z siła.

• Utozsamianie ogrzewania ciała (dostarczania ciepła) z podwyzszaniem tem-peratury.

• Przekonanie o tym,ze futro grzeje.

Skutecznosc nauczania przyrody bedzie istotnie lepsza, jesli bedziemy miec dobrerozeznanie o wiedzy potocznej uczniów oraz błedach najcz˛esciej przez nich po-pełnianych [7]. Powinnismy czesto rozmawiac z nimi na temat ich zainteresowanoraz uwaznie monitorowac osiagniecia.

1.2 o Nauczyciele

Ogromna wiekszosc nauczycieli przyrody W Polsce jest z wykształcenia biolo-gami lub geografami. Aby realizowac idee zintegrowanego nauczania, nie tylkow obszarze tresci, ale takze metodyki nauczania, warto zadbac o wymiane do-swiadczen i pogladów dydaktycznych, miedzy grupa biologów i geografów orazfizyków i chemików. Mozna wykorzystac do tego takie czasopisma, jak „Biologiaw szkole“, „Geografia w szkole“, Fizyka w szkole, „Chemia w szkole“, czy „Aura“[8, 9, 10, 11, 12].

2 Co to znaczy zrozumiec przyrode [1], [2]

W podstawie programowej, w programach nauczania przedmiotów przyrodnic-zych, standardach i wymaganiach edukacyjnych, czy planachwynikowych — „zro-zumienie“ odmieniane jest przez wszystkie mozliwe przypadki.

Nie ulega watpliwosci, ze jednym z najwazniejszych zadan nauczyciela przy-rody jest inspirowanie uczniów do podejmowania truduzrozumienia przyrody.Na tym etapie panuje powszechna zgodnosc. W praktyce bywa jednak róznie. Oka-zuje sie,ze kazdy z nas nieco inaczej pojmuje „rozumienie“ przyrody.


Dla mnie istota rozumienia przyrody sprowadza sie do umiejetnosciopisuorazumiejetnosci wyjasnieniawybranych aspektów rzeczywistosci przyrodniczej.

Pierwszym etapem poznawania przyrody jestopisywanie.Opis sprowadza sie do szukania odpowiedzi na pytania typu „jak jest?“ lub

„w jaki sposób cos sie dzieje¿‘. Zazwyczaj polega to na poczynieniu obserwacji lubwykonaniu odpowiednich eksperymentów, a nastepnie uporzadkowaniu i przed-stawieniu ich wyników.

• Jak zbudowane jest ludzkie oko?

• Jak zmienia sie z czasem masa ciała dorastajacego człowieka?

• Jakie sa charakterystyczne cechy motyli?

• W jaki sposób mozna uporzadkowac zywe organizmy?

• W jaki sposób zmienia sie objetosc ciała pod wpływem zmiany temperatury?

• Jak zachowuje sie ludzka zrenica pod wpływemswiatła?

• W jaki sposób rozmnazaja sie rosliny?

• Jakie sa podstawowe funkcje układu krwionosnego?

• W jaki sposób zmienia sie z upływem czasu droga przebyta przez spadajacakrople wody?

• W jaki sposób ułozone sa barwy w teczy na niebie?

Opisywanie przyrody wymaga umiejetnosci odrózniania istotnych cech obiektówi zjawisk od tych, które nie sa istotne. Trafny wybór odpowiednich parametrównastrecza wiele trudnosci, nie tylko uczniom, ale takze profesjonalnym przyrodni-kom.

Drugi etap poznawania przyrody towyjasnienie. Jest ono najczesciej odpo-wiedzia na pytanie typu: „dlaczego tak jest?“.

• Dlaczego utrzymujemy równowage podczas jazdy na rowerze?Uczen musi wiedziec co to jest siła odsrodkowa i w jaki sposób ona działaw układzie nieinercjalnym.

• Dlaczego ryby nie tona?Uczen musi znac prawo Archimedesa, prawo grawitacji orazumiec dodawacsiły.


• Dlaczego ptaki lataja?Do wyjasnienia trzeba znac III zasade dynamiki Newtona,oraz prawa prze-pływu dla gazów.

• Dlaczego woda jest mokra?Wyjasnienie wymaga znajomosci sił wzajemnego oddziaływania róznych ro-dzajów czasteczek.

• Dlaczego dzieci sa zazwyczaj podobne do swoich rodziców?Potrzebna jest wiedza na temat mechanizmów dziedziczenia.

• Dlaczego pioruny uderzaja najczesciej w wysokie budynki i drzewa [9].Nalezy znac sposoby elektryzowania ciał oraz prawa elektrostatyki.

• Dlaczego tecza ma kształt łuku?Nalezy znac prawa optyki geometrycznej.

Dzieci uwielbiaja zadawac takie pytania. One oczekuja prostych, zrozumiałychwyjasnien. Nasze wyjasnienia musza jednak byc dostosowane do ich mozliwoscipercepcyjnych. To wymaga elementaryzacji wiedzy.

Wyjasnianie jest znacznie trudniejsze od opisywania. Wymaga konstruowaniamodeli rzeczywistosci opartych na uniwersalnych prawach przyrody. Do takichmozna zaliczyc mikroskopowy model budowy materii, model układu planetarnego,model centralnego układu nerwowego, model ludzkiego serca, oka i wiele innych[6].

Wyjasnianie nigdy nie jest pełne i nigdy nie jest ostateczne. Historia wszystkichnauk przyrodniczych pokazuje,ze zawsze mozna wyjasnic cos głebiej, wszech-stronniej, pełniej. Wskazanie przyczyny wywołuje chec szukania kolejnej przy-czyny ciagu zdarzen. Stare, proste modele zastepowane sa nowymi, bardziej do-skonałymi.Rozumienie nie ma konca.

• Model zjawiska teczy wykreowany przez Arystotelesa został zastapiony mo-delem Kartezjusza bazujacym na prawach optyki geometrycznej, a nastepniefalowym modelem Airy’ego.

• Model atomu Thomsona został zastapiony modelem Rutherforda, potemBohra, a ten został wyparty przez model mechaniki kwantowejHeisenbergai Schroedingera.

• Geocentryczny model układu planetarnego Ptolomeusza został zastapionyprzez heliocentryczny model Kopernika.


• Prosty model gazu doskonałego został udoskonalony przez model van derWaals’a, a potem kolejne, coraz lepsze modele.

• Model mechaniki klasycznej stworzony przez genialnego Newtona zostałwchłoniety przez teorie relatywistyczna Einsteina.

Znów sie zepsułes i wiem co zrobieZamienie Ciebie na lepszy model. . .

Fragment piosenki Katarzyny Klich

Kiedy stary model mozna zastapic lepszym, nowym modelem? Co to znaczy,ze model jest lepszy? Kiedy jedno wyjasnienie jest lepsze od drugiego?

W naukach przyrodniczych kryterium jest proste. Lepsze sate modele, któredaja wyniki bardziej zgodne z faktami doswiadczalnymi.

Opisywanie przyrody zwiazane jest najczesciej z obserwacja i eksperymentem,a wyjasnianie z budowaniem modeli rzeczywistosci przyrodniczej. To rozróznienienie jest jednak ostre, poniewaz obserwacje i eksperymenty bazuja na naszych wy-obrazeniach (modelach) oswiecie realnym, a te wywieraja wpływ na planowanie,przeprowadzanie i interpretacje wyników kolejnych obserwacji i eksperymentów.

Najwyzszym „stopniem wtajemniczenia“ przyrodnika, nagroda zarozumienie,jestumiejetnosc przewidywania przebiegu zjawisk przyrodniczych.

Potrafimy np. przewidziec:

• pogode (na kilka najblizszych godzin);

• czas podrózy na Marsa;

• połozenia ciał niebieskich (planet, planetoid, ksiezyców, komet i satelitów);

• własciwosci materii w okreslonych warunkach;

• przemiany energetyczne, które zajda w olbrzymich gwiazdach oraz malen-kich komórkachzywych organizmów.

Staramy sie coraz głebiej poznawac uniwersalne prawa przyrody, bo mamy na-dzieje,ze pozwoli to nam na bardziej precyzyjne przewidywanie zjawisk atmosfe-rycznych, ruchów skorupy ziemskiej, skutków działalnosci przemysłowej, efektówleczenia groznych chorób, zachowan istot zywych i wielu innych czynników waz-nych dlazycia na Ziemi

Przyrody uczymy po to, aby dac młodym ludziom szanse lepszego jutra. Przysz-łosc bedzie dla nich zdecydowanie bardziej przyjazna, jesli wyposazymy ich w umie-jetnosc rozumienia, czyliopisywania, wyjasniania orazprzewidywania nowychsytuacji, które przynosizycie.


Ambicja wiekszosci młodych ludzi jest rozumieniaswiata. Jeden chce zrozu-miec jak działa radioodbiornik, inny chce zrozumiec, dlaczego słon ma grube nogi,dlaczego sól jest słona, dla kogo kwitna kwiaty, dlaczego tecza jest kolorowa? Listapodobnych pytan stawianych przez młodych ludzi na lekcjach przyrody nie mako-nca. Doswiadczenie uczy niestety,ze po paru latach nauczania uczniowie przestajazadawac trudne pytania. Aby ich naturalne zaciekawienieswiatem przyrody prze-rodziło sie z czasem w stabilne zainteresowanie nalezy ich odpowiednio motywo-wac [13, 14, 15, 16].

Rozumienie ma wiele znaczen. U naukowca pełni ono funkcje poznawcza, zasw przypadku nauczania słuzy rozwojowi dziecka. Bez rozumienia przyrodnika niema rozwoju nauk przyrodniczych, bez rozumienia w nauczaniuprzyrody rozwójdziecka moze ulec powaznym zahamowaniom.

3 Uczymy dla zrozumienia nieznanej przyszłosci

Budujac fundamenty pod dom wiemy juz, jaki ma byc jego finalny kształt. Uczacprzyrody jestesmy w trudniejszej sytuacji, poniewaz kształt gmachu praw przyrodynie jest jeszcze znany. Nie potrafimy przewidziec jakie beda najwieksze wyzwa-nia i potrzeby ludzkosci w czasie, w którym nasi uczniowie zajma nasze miejsca.Nasi nauczyciele takze nie byli w stanie przewidziec burzliwego rozwoju kompu-teryzacji, telefonii komórkowej, zagrozen energetycznych, ery terroryzmu i wieluinnych zjawisk.

W sytuacji, w której nie wiadomo jakie tresci szczególnie nalezy eksponowacw programach nauczania, powinnismy skoncentrowac sie na kształtowaniu kluc-zowych umiejetnosci, które pozwola uczniom pokonywac czekajace ich, nieznanewyzwania.

4 Kluczowe umiejetnosci kształtowane przez elementy fi-zyki w programie nauczania przyrody

Lista umiejetnosci kluczowych kształtowanych przez fizyke jest bardzo długa. U-miejetnosc czytania ze zrozumieniem (jezyk fizyki nie jest łatwy), umiejetnoscobserwowania, umiejetnosc stawiania pytan i weryfikowania hipotez, umiejetnoscplanowania obserwacji i doswiadczen, umiejetnosc sprawnego poszukiwania infor-macji, umiejetnosc jasnego prezentowania argumentów, w tym takze umiejetnoscprzedstawiania informacji w postaci graficznej, umiejetnosc krytycznej oceny orazumiejetnosc samooceny, umiejetnosc rozwiazywania zadan i problemów w twórczysposób.


Łamy tej pracy nie pozwalaja na szczegółowe ich omawianie.Zainteresowaneosoby odsyłam do literatury [16, 6]. Wskaze tylko jedna z interesujacych mozli-wosci wczesnego kształtowania umiejetnosci twórczego myslenia w tzw. zada-niach typu Fermiego [2], Nizej podajemy klika przykładów.

• Ile kg chleba zjesz w swoimzyciu?

• Jaka jest liczba włosów na głowie kolegi?

• Jak długo podrózowałbys na Słonce poruszajac sie z szybkoscia samochodu?

• Jak długo kopałbys tunel przechodzacy przezsrodek Ziemi, gdybys dziennieposuwał sie o 1 m?

• Ile kilometrów drogi przebedziesz w drodze do szkoły w czasie tego rokuszkolnego?

• Ile kg wody jest w Twoim ciele?

• Wyznacz zawartosc wody w reczniku.

• Ile atomów jest w szklance wody?

• Ile zarówek elektrycznych mozna zasilic energia słoneczna padajaca na po-wierzchnie dachu domu, w którym mieszkasz?

• Ile razy w ciagu swojegozycia bedziesz musiał przekrecic klucz w zamkuswojego mieszkania.

W zadaniach tego typu uczen sam musi doprecyzowac warunki zadania, dob-rac „dane“ i „szukane“, wybrac własciwy sposób postepowania. To bardzo duzywysiłek intelektualny. Rozwiazywanie tego typu problemów czyni nauczanie bar-dziej wiarygodnym. Nauczanie ma przeciez przygotowac młodych ludzi dozycia,a zyciu nikt nam nie wypisuje wszystkich wartosci danych i szukanych.

5 Uczyc i WYMAGA C

Chcesz byc czyms w zyciu, to sie ucz,

Abys nie zginał w tłumie;

Nauka - to potegi klucz,

W tym moc, co wiecej umie

Ignacy Balinski


Wyniki współczesnych badan psychologicznych wskazuja na to,ze do osiag-niecia mistrzostwa w kazdej dziedzinie prowadziciezka systematyczna praca,pod uwaznym okiem dobrego nauczyciela. Nie ma innej królewskiej drogi. Doefektywnego rozwoju liczy sie wytezona nauka, wymagajaca bezustannego zma-gania z wyzwaniami lezacymi na granicy zasiegu aktualnych mozliwosci uczacegosie. Pójscie na łatwizne jest zła maniera oswiaty.

Nawet cudowne dzieci, takie jak Newton (fizyka), Gauss (matematyka), Mo-zart (muzyka), Fischer (szachy), musiały wykonac ogromna prace, wieksza nizinni, zaczynajac wczesniej. Do osiagniecia sukcesu nie jest koniecznie potrzebnywrodzony talent, lecz solidna praca. [17].

Ciezka, systematyczna praca wymaga oczywiscie bardzo silnejmotywacji [18,19]. Bez niej trudno o dydaktyczny sukces. W racjonalnej integracji fizyki z biolo-gia, geografia oraz chemia, upatruje szanse wzbudzania fascynacji młodych ludzizjawiskami przyrodniczymi [6].


Literatura

[1] G. Białkowski. Co to znaczy rozumiec w fizyce.Delta, (4), 1981.

[2] M. Sawicki. "rozumienie" w nauczaniu fizyki.Fizyka w szkole, (1), 2005.

[3] Michael H. Hart. 100 postaci, które miały najwiekszy wpływ na dzieje ludz-kosci. Swiat Ksiazki, Warszawa, 1996.

[4] W. Błasiak. Co z ta fizyka.Konspekt, (2), 2005. Kraków.

[5] W. Błasiak. O odpowiedzialnosci polskich fizyków za katastrofalny stan na-uczania fizyki. InMateriały XXX Zjazdu Fizyków Polskich, Katowice, 1997.

[6] W. Błasiak. Przyroda. Program nauczania. Oficyna Edukacyjna* KrzysztofPazdro Sp. z o.o., Warszawa, 2005.

[7] D. Turkiewicz W. Błasiak. Na tropach błedów w nauczaniufizyki. Fizykaw Szkole, (5), 1998.

[8] W. Błasiak. Fizyka w przyrodzie.Biologia w Szkole, (4), 2005.

[9] W. Błasiak. Nauczanie przyrody.Fizyka w Szkole, (2/3), 2000.

[10] W. Błasiak. Prawa fizyki, azycie w przyrodzie.Biologia w Szkole, (5), 2005.

[11] W. Błasiak. Problemy jezykowe w nauczaniu przedmiotów przyrodniczych.Fizyka w Szkole, (1), 1997.

[12] W. Błasiak. Wiosenne burze z piorunami.Biologia w Szkole, (3), 2006.

[13] W. Błasiak. ak zainteresowac uczniów przyroda? Edukacja Przyrodnicza,zeszyt pierwszy, Warszawa - Wrocław, grudzien 2000.

[14] W. Błasiak. Problemy studiów nauczycielskich. Number 20 in Nauczanieprzyrody. Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków, 1999.

[15] W. Błasiak. Przygoda z przyroda. Poradnik dla nauczyciela - klasa IV. Ofi-cyna Edukacyjna* Krzysztof Pazdro Sp. z o.o., Warszawa, 2005.

[16] W. Błasiak.Przygoda z przyroda. Poradnik dla nauczyciela - klasa V. OficynaEdukacyjna* Krzysztof Pazdro Sp. z o.o., Warszawa, 2006.

[17] P. Ross.Umysł mistrza. Swiat Nauki, wrzesien 2006.


[18] A.L. McGinnis. Sztuka motywacji. Oficyna Wydawnicza „Vocatio“, Wars-zawa, 1992.

[19] J. Tatarkiewicz Ł. Turski. Czy fizyka moze byc społecznie uzyteczna.Wiedzai Zycie, (1-2), 1990.

TELEKI Aba

Príspevok k teoretickému vysvetleniu normálnehokvantového Hallovho javu



Abstract: The main goal of this paper is to find the proper one-particle states of a normalquantum Hall effect (NQHE) in a real experimental set-up. Itis well known, that the Ha-miltonian of any quantum mechanical system must be a self-adjoint operator. Therefore,it is surprising, that in a great number of articles the self-adjointness of Hamiltonian—describing samples with finite dimensions—was not explored(and was not fulfilled) at all.Consequently, Landau-levels with degenerated spectra were obtained there. The construc-tion of self-adjoint Hamiltonian is possible and the construction is shown here. The spectraof Landau-levels are not degenerated as follows from the exact solution of the Schrödingerequation. The width of the sample determines the spectral structure of any Landau-level.The proper one-particle solution of NQHE gives deep insightinto the mechanism produ-cing the specificρxx−B dependence in the case of a real experimental set-up. The properone-particle states are necessary for proper many-particle modeling of the NQHE in realexperimental set-up also.

Súhrn: Ciel’om tejto práce bolo nájst’ správne jednocasticové stavy normálneho kvanto-vého Hallovho javu (NQHE) v reálnom experimentálnom usporiadaní. Je dobre známe, žeHamiltonián každého kvantovo-mechanického systému musí byt’ samozdružený operátor.Je preto prekvapujúce, že vo vel’kom pocte clánkov sa samozdruženost’ nevyšetrovala (atiež nesplnila) vôbec. Tým sa obdržali landauovské hladinys degenerovaným spektrom.Konštrukcia samozdruženého Hamiltoniánu je možná a taká konštrukcia je ukázaná v tejtopráci. Tak, ako to vyplýva z exaktného riešenia Schrödingerovej rovnice, spektrum lan-dauovských hladín nie je degenerovaný. Šírka vzorky urcuje spektrálnu štruktúru landau-ovských hladín. Správne jednocasticové riešenie NQHE dáva v prípade reálneho experi-mentálneho usporiadania správnu predstavu o mechanizme v závislostiρxx−B. Správnejednocasticové riešenia sú tiež nevyhnutné pre správne viaccasticové modelovanie NQHEv reálnom experimentálnom usporiadaní.

Keywords: Normal quantum Hall effect, Landau-levels, exact solution, finite samples

K¿úèové slová:normálny kvantový Hallov jav, Landauove hladiny, exaktné riešenie, ko-necné vzorky

Úvod

Pozorovanie kvantového Hallovo javu je umožnené realizáciou dvojrozmernéhoelektrónového plynu na rozhraní polovodica a izolantu v silnom magnetickom polikolmého na povrch rozhrania. Energia dvojrozmerného elektrónového plynu v uve-denom usporiadaní je úplne kvantované a z toho plynú vlastnosti kvantového Hal-lovho javu, ktoré možno do urcitej miery modelovat’ na úrovni plynu neintera-gujúcich elektrónov. Tieto modely založené na jednoelektrónovom systéme tvorili

247

[email protected]


zaujímavú oblast’ teoretickej fyziky hned’ od prvých úspešných vysvetlení kvan-tovaných vlastností Hallovho javu pri nízkej teplote a silnom magnetickom poli(ANDO, AOKI [1], L AUGHLIN [2] a HALPERIN [3]). Jednocasticové modely savyužívajú pri vysvetlení nových experimentálnych vlastností celocíselné kvanto-vého Hallovho javu dodnes (pozri – WEITZ [4], M CCORMICK [5]).

Prvé publikované práce v tomto smere kládli dôraz na vysvetlenie kvantova-nosti Hallovho odporu pri špecifických usporiadaniach systému, ktoré sa líšilo odskutocného experimentálneho usporiadania. Reálna geometria systému predstavujekvalitatívne zložitejší problém, zrovna tak, ako formulácia, ktorá je v súlade so zá-kladnými princípmi kvantovej teórie a môžeme považovat’ zakorektné.

Reálna geometria experimentu vedie k modelom (na úrovni jednocasticovýchmodelov), kde do popredia sa dostáva štúdium spojitého spektra Hamiltoniánu,ktoré oproti systémom scistým bodovým spektrom predstavujú menej prebádanúoblast’.

Reálne modelovanie experimentu vyžaduje štúdium garantovane samozdruže-ného Hamiltoniánu, prípadne iného samodruženého operátoru, ako matematickejreprezentácie pozorovatel’nej fyzikálnej veliciny. Pri tomto štúdiu nie je možnéurcitost’ou sa vyhnút’ možnosti štúdia prípadného spojitéhospektra daného samo-združeného operátoru.

Z tohoto uhla pohl’adu sme predkladanú prácuclenili do troch hlavných kapi-tol.

V prvej kapitole sa venujeme historickému úvodu, v ktorej podávame strucnýprehl’ad vysvetlenia celocíselného kvantového Hallovho javu s dôrazom na expe-rimentálne zistenia vlastností kvantového Hallovho javu.

V druhej kapitole sa venujeme rôznym experimentálne zisteným závislostiamna parametroch experimentu. Jedná sa o vlastnosti, ktoré dobrý model by mal ve-diet’ reprodukovat’, alebo dat’ aspon kvalitatívny podklad na vysvetlenie jeho pô-vodu.

V prvej casti tretej kapitoly sa venujeme jednocasticovým modelom, v rámciktorých boli vysvetlený pôvod kvantovaných hodnôt Hallovho odporu. Tieto mo-deli mali za ciel’ základné vysvetlenie a z hl’adiska základných princípov kvantovejteórie trpia urcitými nedostatkami.

V druhej casti tretej kapitole sa venujeme matematickému modelovaniu kvan-tového Hallovho javu na tzv. Laughlinovom páse. v tejto kapitole ukážeme spôsob,ktorým je možné nedostatky zhrnuté v prvejcasti kapitoly preklenút’ a dat’ modeldo súladu so základnými princípmi kvantovej teórie.

Súcast’ou kapitoly je analýza vlastností systému a porovnanie výsledkov s mo-delmi, ktorécasto kombinujú pomocou fyzikálnych predstáv riešenia z geomet-ricky (priestorovo) neobmedzených systémov s obmedzenou geometrickou kon-figuráciou reálnych experimentov. Ukážeme, že miniaturizácia experimentálnych

TELEKI A. — PRÍSPEVOK K TEORETICKÉMU VYSVETLENIU. . . 249

vzoriek prináša potrebu korektnej modelovej konštrukcie.V poslednej, štvrtej kapitole, v závere zhrnieme hlavné výsledky našej analýzy.Za posledných desat’ rokov síli úsilie o korektné modelovanie celocíselného

kvantového Hallovho javu (aj na úrovni jednocasticového modelu) a urcité vý-sledky boli dosiahnuté pri poloobmedzených geometriách (napr. modelovaním napolorovineR×R

+), alebo Laughlinovom páse vytváranej pomocou potenciálnychbariér (tj. S1 ×R – tiež neobmedzená geometria). Kvantový Hallov jav sa stávadobrým prostriedkom modelovania aj pre štúdium spojitého spektra Hamiltoniánu.v prípade Laughlinovho pásu (definovaného na konecnom podpriestore) sme uká-zali, že operátor rýchlosti resp. operátor hustoty toku je definovatel’ný korektne, tj.ako samozdružený operátor a nemá bodové spektrum.

Ukazuje sa, že pre existenciu širokej triedy približných teoretických výsledkovi pocetne bohatých experimentálnych výsledkov, je celocíselný kvantový Hallovjav stále témou, ktorá prit’ahuje pozornost’ so snahou o vytvorenie lepších mode-lov, resp. so snahou testovat’ menej obvyklé matematické aparáty kvantovej teórie.

1 Historický úvod

1.1 Kvantový Hallov jav

Hallov jav objavený EDWINOM HALLOM v roku 1879 je dôsledkom silového pô-sobenia magnetického pol’a na pohybujúci sa náboj. Vo vodici, ktorým prechádzaprúd a na ktorý pôsobí vonkajšie magnetické pole, vznikáHallovo napätie. PomerprúduI tecúceho vo vodici k Hallovmu napätiuUH vznikajúceho vo vodici priecnenazývameHallovym odporom RH (pozri obr. 1.1).

Magnetické pole s indukciouB pôsobí na pohybujúce sa elektróny vytvárajúci vovodici prúd I Lorentzovu silou. Elektróny sú „tlacené“ k jednej z bocných hránvzorky (v závislosti od orientácie ich rýchlosti a orientácie magnetického pol’a),cím sa ich hustota zvýši oproti hustote elektrónov na druhejhrane vzorky. HallovodporRH rastie intenzitou magnetického pol’a a klesá hustotou elektrónov vytvá-rajúcich prúd tecúci vzorkou podl’a vzt’ahu

RH =Bne

, (1)

kde n je hustota vol’ných elektrónov. HALL zistil, že RH nezávisí od hmotnostielektrónov, materiálových vlastností vodica, tvaru vzorky a nie je ovplyvnený anidierami vyvrtanými vo vnútri vzorky. Vd’aka týmto vlastnostiam sa Hallov javzacal používat’ pre urcenie hustoty nosicov náboja vo vodicoch.


UUHV

V

B

B

R= UI

RH = UHI

I

1

2

3

Obrázok 1: Hallovo usporiadanie experimentu na meranie Hallovho napätia

Do roku 1980 sa nepredpokladalo, že by Hallov jav mohol byt’ kvantovaný,pricom aby tento jav závisel výhradne na univerzálnych fyzikálnych konštantách,neovplyvnený poruchami v polovodicoch, ako sú necistoty, alebo tvar vodica, ciiné okrajové podmienky.

Priekopnícka práca FOWLERA, FANGA A HOWARDA [6] ukázala, že kvantovéjavy sa prejavujú aj vo vodicoch, pokial’ sa prúd obmedzí na vrstvu menšiu ako10 nm. Ich objav otvorilo pole pre výskum dvojrozmerných elektrónových systé-mov. Dvojrozmerný elektrónový plyn je nevyhnutný pre pozorovaniekvantovéhoHallovho javu. v prípade kvantového javu spojeného elektrónmi obmedzenými nadvojrozmernú vodivú vrstvu sa prejaví d’alšie kvantovanieza prítomnosti silnéhovonkajšieho magnetického pol’a – Landauovým kvantovaním pohybu elektrónov,ktoré je podstatné pre vysvetlenie kvantového Hallovho javu.

1.2 Dvojrozmerný elektrónový plyn

Základné vlastnosti kvantového Hallovho javu sú dôsledkomskutocnosti, že ener-getické spektrum systémov skúmaných v experimentoch je diskrétne (KLITZING

[7]). Energia elektrónov v polovodici je vo väcšine prípadov kvázi spojitá a jemožné ju stotožnit’ s kinetickou energiouE vol’ného elektrónu s efektívnou hmot-nost’oum∗ s vlnovým vektoromk = (k1,k2,k3), teda

E =~

2

2m∗ (k21 +k2

2 +k23). (2)


Ak je pohyb elektrónov v jednom smere (dajme tomu v smere osix3) obmedzenýobdržíme kvázi dvojrozmerný elektrónový plyn. Aplikácia silného magnetickéhopol’a na tento dvojrozmerný elektrónový plyn vedie k úplnému kvantovaniu ener-getického spektra systému, ktorý je potrebný k pozorovaniukvantového Hallovhojavu.

Dvojrozmerný elektrónový plyn sa môže realizovat’ na povrchu polovodica(napr. Si, alebo Ga As), ktorý je v kontakte s izolátorom (napr. SiO2). Elektrónysú udržiavané na povrchu polovodica (sú viazané v smere normály vodivej plo-chy) pomocou elektrostatického pol’a. Toto elektrostatické pole pochádza v prí-pade Si z pôsobenia nabitej kovovej vrstvy na druhej strane izolantu SiO2 (pozriobr. 24.2(a)). Zmenou hradlového napätia je možné menit’ hustotu elektrónov narozhraní.

V prípade modulovane dopovaných polovodicov je mechanizmus odlišný. Nahrubší základ GaAs (s hrúbkou niekol’ko milimetrov) sa nanesie tenká vrstvaAlGaAs (s hrúbkou okolo 0,5 µm). Mriežková konštanta týchto polovodicov jeprakticky rovnaká, preto rozhranie medzi nimi je podstatnemenej zat’ažené poru-chami, ako rozhranie medzi kremíkom a izolantom. ŠtruktúraAlGaAs je vo vzdia-lenosti približne 0,1 µ m dopovaný kremíkom, ktorý má o jeden valencný elek-trón viac ako Ga, ktorý nahrádza v kryštalickej štruktúre. Tento elektrón l’ahkostráca. Elektrón zacne okupovat’ energeticky najvýhodnejšie miesto, ktoré sana-chádza na rozhraní GaAs a AlGaAs. Elektrónová affinita GaAs je totiž približneo 300 meV vyššia ako AlGaAs, preto vol’né elektróny smerujú do tejto oblasti. Nadruhú stranu, vo vrstve GaAs sú prit’ahované spät’ k oblastiAlGaAs, kde zostaliv mriežke zabudované kladné ióny Si dopantov (približne 0,1 µm od rozhrania).

Ak šírka potenciálnej jamy je malá v porovnaní de Broglieho vlnovou dlžkouelektrónov, energia nosicov nadobúda kvantované hodnotyE(3)

i pre pohyb v smere

x3 (normály k povrchu) so základnou energiouE(3)1 , kde

E(3)j =

~2

2m∗

(

πL3

)2

j2, j = 1,2, · · ·

Pri nízkych teplotách (T < 4 K) a nízkej hustote nosicov prúdu je nosicmiprúdu obsadená v podstate len základná energetická hladina(Fermiho energiaEF

je blízka k základnej energiiE(3)1 a EF −E(3)

1 je menšia ako energetický rozdiel

E(3)2 −E(3)

1 ). Takéto usporiadanie vedie k striktne dvojrozmernému plynu nosicovs energetickým spektrom

E = E(3)1 +

~2k2

‖2m∗ , (3)

kdek‖ je zložka vlnového vektoru rovnobežná s vodivou dvojrozmernou vrstvou.


kov

SiO2

Si

kontakt

2D plyn e−

(a) MOSFET

kontakt

2D plyn e−

AlGaAs

GaAs

(b) MOSFET – modulovane dopovaný

Obrázok 2: Cast’ (a) obrázku je schematickým nácrtom kremíkového MOSFET-u.Dvojrozmerný (2D) elektrónový plyn sa vytvára medzi kremíkom (Si) a izolantom(SiO2) pôsobením elektrostatického pol’a kovovej vrstvy hradla. Cast’ (b) je schema-tickým nácrtom modulovane dopovaného rozhrania medzi GaAs a AlGaAs.Elektrónyokupujú rozhranie medzi GaAs a AlGaAs, pricom sú prit’ahované k AlGaAs kladnýmnábojom kremíkového dopantu v AlGeAs.

1.3 Dvojrozmerný elektrónový plyn v silnom vonkajšom magnetic-kom poli

Silné vonkajšie magnetické poleB s normálovou zložkouB3 = B kolmou k povr-chu spôsobuje, že elektróny v dvojrozmernom elektrónovom plyne sa pohybujú pocyklotrónových trajektóriach vo vodivej dvojrozmernej vrstve (KLITZING [7]). 1

V dôsledku kvantovania trajektórií môžeme kvantované energetické hladiny (Lan-dauove hladiny) písat’ schematicky v tvare

En,s = E(3)1 +

(

n+12

)

~ωc +gsµBB, n = 0,1,2, . . . , (4)

kde

~ωc =~eBm∗ (5)

je cyklotrónová energia,s= ±1/2 je spinové kvantovécíslo,g je Landého gyro-magnetický faktor aµB je Bohrov magneton.

Vlnová funkcia elektrónu v dvojrozmernom elektrónovom plyne pod vplyvomsilného magnetického pol’a je (pozri [2])

ψ = eik1x1Φn(x2−x20), (6)

1poloklasický popis predstavuje urcité praktické zjednodušenie v chápaní mechanizmu kvanto-vého Hallovho javu. V jednocasticovom modeli (plyn neinteragujúcich elektrónov) môžeme skúmat’tento mechanizmus aj pri exaktnom modelovaní úlohy, bez jemných matematických nepresností po-loklasického prístupu.


kdex2 súradnicax20 stredu cyklotrónovej trajektórie je dobré kvantovécíslo aΦn

je riešením rovnice pre harmonický oscilátor

12m∗

[

p22 +(eB)2x2

2

]

φn = Ecnφn, (7)

kde Ecn = (n+ 1

2 )~ωc je cyklotrónová energia. Poloha stredux20 cyklotrónovejtrajektórie je spojená s vlnovýmcíslomk1 prostredníctvom relácie

x20 =~k1

eB. (8)

Násobnost’ degenerácie Landauových hladín je daná poctom centierx20 vo vzorke.Pre vzorku s rozmermiL1,L2 je vzdialenost’∆x20 medzi dvomi centrami

∆x20 =~

eB∆k1 =

~

eB2πL1

=h

eBL1(9)

a stupen degenerovanosti jeN0 = L2/∆x20,

co v tomto prípade dávaN0 = L1L2eB/h, pocet kvánt magnetického toku cez vzorku.Stupen degenerovanosti na jednotkovú plochu je preto

N =N0

L1L2=

eBh

. (10)

Je treba poznamenat’, že tento stupen degenerovanosti Landauových hladín je ne-závislý od parametrov polovodica, ako napríklad efektívna hmotnost’ nosica ná-boja.

R. KUBO, S.J. MIYAKE A N. HASHITSUME ukázali (pozri [8]) pomocou ko-mutacných relácií, že komutátor súradníc stredu cyklotrónových trajektórií

[x10,x20] = i~/eB

nie je nulový,co je ekvivalentné tvrdeniu, že každý stav zaberá v reálnom priestoreplochuS0 = h/eB, teda takú plochuS0, že magnetický tokS0B odpovedá kvantumagnetického tokuh/e.

Klasický výraz pre Hallovo napätieUH v dvojrozmernom plyne nosicov s po-vrchovou hustotou nosicov n j je

UH =BIenj

, (11)

kde I je vel’kost’ prúdu tecúceho cez vzorku.


V rámci experimentu sa zist’ujú vlastnosti kvantového Hallovho javu v zá-vislosti na rôznych fyzikálnych parametroch, napr. zložkytenzora rezistivityρ namagnetickej indukciiB, hradlovom napätí (hustote nosicov nábojan j ) a podobne.

V prípade stacionárneho prúdu meranie tenzora rezistivity

ραβ = aεαβ +bδαβ (12)

je umožnené reláciou medzi elektrickým pol’omE a hustotou elektrického tokuj

Eα = ραβ jβ (13)

Tvar tenzora rezistivity (12) je dôsledkom predpokladu lokálnej izotropie systému.V experimentoch je typické Hallovo usporiadanie (pozri obr. 1.1). V tomto

prípade jej2 = 0 a dostávame

E1 = ρ11 j1 ⇒ ρ11 =UI

L2

L1, (14)

E2 = ρ21 j1 ⇒ ρ12 =UH

I=

Bn je

=hje2 , j = 1,2,3, . . . (15)

Posledná z rovností hovorí tiež, žej Landauových hladín je plne obsadených(n j = jN). Pod Hallovym odporomRH teda rozumieme velicinu

RH =B

jNe=

hje2 , j = 1,2,3, . . . . (16)

Kvantový Hallov jav sa prejavuje v závislosti hodnoty Hallovho odporu

RH = ρ12

na vel’kosti magnetickej indukcie2.Skutocnost’, kvantované hodnotyρ12 nezávisia od materiálových vlastností

prostredia vedie k záveru, že tieto hodnoty musia byt’ dôsledkom všeobecnéhofyzikálneho princípu

Elementσ11 tenzoru vodivostiσ definovaného akoρ−1 je možné urcit’ z (12)ako

σ11 =ρ11

(ρ11)2 +(ρ21)2 . (17)

Pri reálnom usporiadaní experimentu (schematický nácrt pozri obr.3) tecie vzorkoustabilizovaný prúdI pricom medzi definovanými bodmi sa meria napätieU .

2Táto závislost’ ukazuje schodovitý charakter – pozri obr. 6na strane 259


U

UH

L1

L2

I

A

V

V

B

Obrázok 3: Schematický nácrt reálneho usporiadania. Pri reálnom usporiadaní vovzorke vzniká prúd v dôsledku priloženého napätia.

Poznámka1. Pri modelovaní experimentu v rôznych usporiadaniach sacasto po-užíva supravodivý režim, v ktorom pri podmienke (16) môže nastat’ aj prípadσ11 = 0 (pozri napr. Laughlinov pás riešený HANSENOM a kol. [9]).

Správny výraz (16) pre kvantovaný Hallov jav (pri celých obsadzovacíchcí-siel Landauových hladín) obdržíme aj jednoelektrónovým popisom Hallovho javuv dvojrozmernom systéme.

Jeden z prvých modelov kvantového Hallovho javu pre konecné rozmery vzorkypublikoval KAWAJI a spol. (pozri [10]). V rámci tohoto modelu je teoretická pred-poved’ hodnoty kvantovaného Hallovho odporu úplne správnapreσ11 = 0, z cohoKLITZING usúdil (pozri [7]), že znalost’ mikroskopických podmienokpre výpocetkvantovaných hodnôt nie je potrebný.3

LAUGHLIN podal vysvetlenie existencie kvantovaných výsledkov na základekalibracnej invariancie (pozri [11]). Pri svojich úvahách predpokladal usporiada-nie ako ukazuje obr. 4. Pás dvojrozmerného systému je ohnutýdo slucky a je podvplyvom vonkajšieho magnetického pol’aB, ktorý je v každom bode kolmý na po-vrch ohnutého pásu. Hallovo napätieUH vzniká medzi hranami prstenca vznikléhoohnutím pásu.

Pri podmienke nulovej zložky vodivostiσ11 (disipácia energie sa neuvažuje),energia sa zachováva a Faradayov zákon indukcie môžeme zapísat’ v tvare

I =∂E∂Φ

, (18)

3V experimentoch zložkaσ11 tenzoru vodivosti nikdy nie je nulová, ale pre vel’mi silné magne-tické pole a vel’mi nízku teplotu sa stáva nemeratel’ne malou.


I

B

Φ

UH

Obrázok 4: Model dvojrozmerného vodivého pása ohnutého do prstenca, navrhnutýLAUGHLINOM na vysvetlenie kvantového Hallovho odporu pomocou kalibracnej in-variancie.

kde prúdI tecúci sluckou je vyjadrený pomocou adiabatickej derivácie celkovejenergie systémuE podl’a úplného magnetického toku prechádzajúceho sluckou.

Ak sa magnetický tokΦ zmení o hodnotuΦ0 = h/e, fáza vlnovej funkcie sazmení o fázový faktor 2π, co zodpovedá presunutiu stavu s vlnovým vektoromk1,do susedného stavu s vlnovým vektoromk1 + 2π/L1, kde L1 je obvod prstenca.Zmena úplnej energie systému zodpovedá prenosu stavu z jednej hrany prstencana druhú, teda

∆E = jeUH . (19)

V modeli vol’ných elektrónov korešponduje celécíslo j s poctom zaplnenýchLandauových hladín, ale v princípe môže byt’ pozitívnym aj negatívnym celýmcíslom.Existuje viac teoretických prác ([12], [1], [13], [14]), ktoré analyzujú vplyvlokalizovaných stavov na kvantový Hallov jav.

Existenciulokalizovaných stavovspájajú poruchami vo vodivej vrstve, v dô-sledku coho vo vodici existujú oblasti s nižším potenciálom schopných viazat’elektróny, ktoré v tomto stave neprispievajú do prúdu. Tieto lokality s nižším po-tenciálom môžu súcasne slúžit’, ako „zásobárne“ elektrónov schopných sa vypráz-dnovat’ alebo naplnat’ pod vplyvom vonkajších polí (napríklad zmene magnetickejindukcie B). Výsledným efektom je, že špecifická (kvantová) hodnota HallovhoodporuRH , ktorá je urcená vzt’ahom (16) zostáva nezmenená aj v širšom okolíšpecifických hodnôtB j vytvárajúcplató v závislostiRH(B) – pozri obr.6 na strane259. Podl’a vyjadrenia STÖRMERA (pozri [15], str. 305) vedie malá miera nedoko-nalosti vzorky k efektu celocíselného kvantového Hallovho javu a umožnuje tentojav využit’ k štandardizácii ohmického odporu.4 Šírka plató, podl’a zistenia v mo-deli KAWAJI a spol. (pozri [10]) neovplyvnuje hodnotu Hallovho odporuRH na

4 Treba poznamenat’, že efekt podobný tomu,co spôsobujú náhodné nedokonalosti, môže spôso-bit’ aj konecný rozmer vzorky, alebo ako poznamenávajú FUKUYAMA [16], [17] a TSUKADA [18] ajelektrón-elektrónová interakcia


tomto plató.Dalšie teoretické práce ukazujú, že lokalizované stavy sú od nelokalizovaných

stavov Landauových hladín oddelené hranou mobility ([19],[20], [21], [22]).Jedným z hlavných zistení v roku 1980 už citovanej teoretickej práce KAWAJI a

spol. ([10]), kde sa modelovala vzorka šírkyW a dlžky L bolo, že hodnota Hallovhoodporu v oblasti plató nie je ovplyvnený s šírkou tohoto plató, z coho vyvodilizáver, že tvar vzorky nevplýva na hodnotu Hallovho kvantovaného odporu.56

Ich výsledky sa líšia od experimentálnych hodnôt a sú od nichväcšie,co mô-žeme písat’ v tvare

RexpH = GRteor

H , G < 1, (20)

kde faktorG sa blíži k 1 pre Hallov uholθH → π2 . Hallov uholθH je definovaný

relácioutanθH =

σ12

σ11. (21)

V ich modeli sa ukazuje, že geometrické rozmeryW×L vplýva na hodnotu faktoruG, ale táto závislost’ vymizne priθH → π

2 (tj. napr. v supravodivom režime priσ11 = 0) – výsledky numerických výpoctov pozri na obr.5.

Hallove plató sú výraznejšie v experimentoch využívajúce heteroštruktúrys AlGaAs, nakol’ko v dôsledku malej efektívnej hmotnostim∗ elektrónov v GaAs7

je energetický rozdiel medzi jednotlivými Landauovými hladinami vel’ký. Súcasnevysoká kvalita rozhrania GaAs-AlxGa1−xAs zabezpecuje vysokú pohyblivost’µnosicov a podmienkaµB > 1 je pre Landauovu kvantizáciu splnená už pri rela-tívne nízkej intenzite magnetického pol’a.

Kým Hallov odporRH = ρ12 sa pri zvyšovaní intenzity magnetického pol’amení skoro skokom medzi jednotlivými plató,ρ11 má píky v tejto oblasti vymizne,ked’ ρ12 nadobudne hodnotu príslušného plató. KLITZING (pozri [7] str.328, odvo-lávajúc sa na [24]), že z šírky píkρ11 je možné ukázat’, že v tomto režime je väcšinaelektrónov Landauovej hladiny lokalizovaná. Pomer poctu nelokalizovaných elek-trónov k lokalizovaným na jedinej Landauovej hladine klesárastúcou intenzitoumagnetického pol’a (pozri obr. 2.5), kým absolútny pocet nelokalizovaných elek-trónov na každej hladine zostáva približne konštantná (degenerácia Landauovejhladiny rastie úmerne intenzite magnetického pol’a).

5prísne vzato pomer šírky a dlžky obdlžníkovej vzorky nevystupuje vo výsledku6Podl’a JOHNSTONA a SCHWEITZERA [23] takéto delenie stavov nalokalizovanéa „nelokali-

zované“, by sa muselo prejavit’ na meratel’nej závislosti šírky plató na rozmeru vzorky. Naviac byexistovali kritické oblasti kde by sa prejavila univerzálna fluktuácia vodivostσ21 vel’kosti e2/h -vzorka od vzorky,co sa experimentálne nepozoruje.

7m∗(Si)/m∗(GaAs) > 3


Obrázok 5: Obrázok ukazuje graf závislosti odchýlky faktoruG odchýlky jednéhoz prvých teoretických výpoctov Hallovho odporuRH v závislosti na Hallovom uhle(21) a na geometrických rozmeroch vzorky. Obrázok bol prevzatý z [7].

Experiment preukázal (pozri [25]) spojitost’ medzi minimálnou resistivitouρmin

11 pri celých obsadzovacíchcíslach a strmost’ou Hallovho plató. Plochost’ platórastie (strmost’ klesá) znižovaním rezistivity,co znamená znížením teploty alebozvýšením intenzity magnetického pol’a.

Kvantový Hallov jav vymizne, ak intenzita Hallovho pol’a (pri B= 5 T) vzras-tie nad hodnotuEH = 60 V/cm. To zodpovedá klasickej rýchlosti driftuvD = EH/B ≈ 1200 m/s. Pri kritickej intenzite Hallovho pol’aEH (alebo hustoteprúdu j) sa rezistivita rázom zvýši o niekol’ko rádov a Hallovo plató zmizne. Tentojav bol objavený viacerými autormi v experimentoch konaných na rôznych vzor-kách (pozri [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33]).

2 Experimentálne zistené vlastnosti kvantovéhoHallovho javu

2.1 Závislost’ vlastností na magnetickej indukcii

Závislost’ tenzora rezistivity na magnetickej indukcii jeznázornená na obrázku. Pritomto usporiadaní sa hradlové napätie udržiava konštantné, preto hustota nosicovnáboja je konštantná. Zvyšovaním magnetickej indukcieB, rastie pocet stavov pri-slúchajúcich Landauovej hladine vo vzorke, preto zaplnenost’ Landauových hladínklesá, až je zaplnená len základná Landauova hladina (j = 1). Je dobre vidiet’, žeHallov odporRH = ρ12 nadobúda hodnotu urcenú vzt’ahom (16) nie len pri kri-


(a) (b)

Obrázok 6: Na casti (a) obrázku je znázornená závislost’ρ11(B) (dolná krivka) aρ12(B) horná krivka, kde sa jedná o jedno z prvých meraní na MOSFET-ovej vzorkeSi2O – prevzaté z [7]. Poradovícísla jednotlivých plató rastie z prava dol’ava. Nacasti(b) obrázku vidíme výsledky merania rovnakej závislosti namodulovane dopovanejMOSFET-ovej vzorke GaAs-AlGaAs – prevzaté z [34].

tickej hodnoteB j , pri ktorej je j-tá Landauova hladina presne obsadená vol’nýmielektrónmi, ale vo vel’mi širokej oblastiB. Tieto plató sú v podstate prerušené lens plató inej Landauovej hladiny. V tomto smere nie je vidiet’výrazný rozdiel v zá-kladných rysoch medzi MOSFET-ovou vzorkou Si2O a modulovane dopovanouMOSFET-ovou vzorkou GaAs-AlGaAs.

2.2 Závislost’ vlastností na vel’kosti prúduI

Pri danej hustote nosicov náboja je možné vzorkou zvýšit’ prúd,co sa prejavína šírke plató, ktoré sa zúži a súcasne na šírke píkρ11(B) – pozri obrázok 7.Experiment bol prevedený v miniaturizovanom Hallovom usporiadaní, kde pri kon-štantnom prúdeI sa merala závislost’ρ11(B) s opakovaním pre rôzne hodnotyI .Výsledky merania ukázali, že zvyšovaním hodnoty prúdu sa píky ρ11(B) rozširujúa súcasne sa zužuje plató závislostiρ12(B). Citovaná skupina experimentálne pre-ukázala aj závislost’ šírky platóρ11(B) zodpovedajúcej druhej Landauovej hladinyna šírke vzorkyu, pri konštantnej teploteT – pozri obr. 9. Zrovna tak preukázalazávislost’ šírky plató na teplote pri pevnej šírkeu vzorky. V oboch prípadoch sajasne ukazuje, že plató pri danej teplote a šírke vzorky prestane pre urcitý kri-tický prúd Icr existovat’. Teplotná závislost’ pri pevnej šírke vzorky ukazuje, že privyšších hodnotách prúdu sa rozdiely medzi vzorkami s rôznouteplotou sa zmazá-vajú a plató zaniká pri rovnakom kritickom prúdeIcr (v rámci presnosti merania).Merania pri konštantnej teplote pre rôzne šírky vzorky ukazujú, že pre užšie vzorkyje kritický prúdIcr nižší, kým pri malých hodnotách prúdu sa rozdiely medzi šírkou


(a) (b)

Obrázok 7: Nacasti (a) obrázku je znázornená závislost’ρ11(B), kdeu je šírka vzorky(10 µm). Výrazné rozšírenie pík je dôsledkom relatívne vel’kéhoprúduI = 1µA, ktorýtecie vzorkou. Nacasti (b) obrázku vidíme zúženie nulovej oblastiρ11(B) pri vyššíchhodnotách prúduI . Obrázky boli prevzaté z [35]

Obrázok 8: Miniaturizované prevedenie experimentu v Hallovom usporiadaní podl’aKAWAJI a kol. [35].

plató pre rôzne široké vzorky majú tendenciu zmenšovat’. Všetky tieto merania jed-noznacne poukazujú na závislost’ niektorých vlastností kvantového Hallovho javujednak od vel’kosti prúdu tecúceho vzorkou, ale tiež na rozmeroch vzorky.

Skupina tiež preukázala približne lineárnu závislost’ kritického prúduIcr našírke vzorky, ako to ukazuje obr. 24.10(a)

2.3 Hallovo napätie na priecnom reze vzorky

Meraním napätia nie len medzi krajmi vzorky, ale aj medzi jedným z krajov avnútorným bodom vzorky dáva predstavu, že priebeh Hallovhopol’a EH vo vnútrivzorky nezodpovedá predstave hommogénneho pol’a, ktoré satak casto používa namodelovanie Hallovho napätiaUH v kvantovomechanických systémoch.

Výsledky merania jednoznacne ukazujú, že Hallovo pole môže mat’ vo vnútrivzorky zložitý priebeh.

Neskoršie merania zamerané na zmapovanie priebehu Hallovho pol’aEH v zá-


(a) (b)

Obrázok 9: Na casti (a) obrázku je znázornená závislost’ šírky∆B platóρ11(B), prerôzne teploty v závislosti na prúdeI , ktorý tecie vzorkou. Nacasti (b) obrázku ukazujezávislost’∆B pre rôzne šírkyu vzorky v závislosti na prúdeI Obrázky boli prevziatez [35]

vislosti na vzdialenosti od jedného z krajov vzorky využiliskenovaciu technikuatomového silového mikroskopu (AFM) (pozri [5] a [4]).

Priebeh Hallovho lokálneho potenciálu (rozumieme tým potenciálny rozdielmedzi jedným krajom vzorky a vnútorným bodom vzorky,cím autori testovali Hal-lovo pole) ukazuje, že nie je lineárny, Hallovo poleEH nie je homogénne. Charak-ter Hallovho pol’a závisí od toho, v akom režime sa systém nachádza. Konkrétnemerania sa uskutocnili pre pevne zvolené hodnoty magnetickej indukcieB, ako toukazujú grafy na obrázku 2.3. V oboch prípadoch je zretel’né, že v prípade sa-turácie Landauovej hladiny a v jeho blízke okolie je priebehHallovho pol’a vovnútri vzorky komplikované. K urcitej linearizácii Hallovho pol’a vo vnútri vzorkydochádza v oblasti prechodu medzi dvomi plató, ale v tomto prípade je chovanieHallovho pol’a komplikované v blízkosti krajov vzorky.

2.4 Vlastnosti Hallovho javu v závislosti na hustote nosicov elektric-kého náboja

Z historického hl’adiska bola ako prvá študovaná závislost’ vodivosti na hustotenosicov elektrického náboja, kde prvýkrát bol pozorovaný kvantový charakter Hal-lovho javu dvojrozmerného elektrónového plynu (FOWLER, FANG, HOWARD aSTILES - pozri [6]).

Na obrázku obr.2.4 je dobre vidiet’, že poloha miním zložkyσ11 tenzora vodi-vosti sa posúvajú úmerne zvýšeniu magnetickej indukcieB, co je v súlade s pred-stavou, že pri zvýšení magnetickej indukcie sa zvýši degenerácia Landauových


(a) (b)

Obrázok 10: Na casti (a) obrázku je znázornená závislost’ kritického prúdu Icr, priktorom kvantový Hallov jav zaniká na šírke vzorky, kým nacasti (b) vidíme tútozávislost’ pre rôzne intenzívne magnetické polia. Obrázkyboli prevziate z [35]

Obrázok 11: Na obrázku je znázornený priebeh Hallovho napätiaUH a napätia vnú-torného bodu bodu voci krajnému bodu vzorky v závislosti na magnetickej indukcii.Obrázky boli prevziate z [7]

hladín.Kvantovaná hodnota Hallovho napätia nezávisí od hustoty nosicov elektric-

kého náboja. V prípade silného konštantného magnetického pol’a ukazuje priebehHallovho odporuRH(VG) v závislosti na hradlovom napätíV(G) schodovitý prie-beh pozri obr. 2.4.

2.5 Lokalizované a nelokalizované stavy

Pre vysvetlenie existencie plató v rôznych závislostiach Hallovho odporu, na kto-rom je Hallov odpor konštantný (a rovný kvantovanej hodnoteh/ je2, kdej = 1,2,3, · · · ) sa zavádza pojem lokalizovaných a nelokalizovaných stavov. Lo-kalizované stavy podl’a týchto predstáv fungujú ako „zásobárne“ elektrónov, ktorézvyšujú, alebo znižujú hustotu mobilných elektrónov,cím Hallov odporRH udr-


(a) (b)

Obrázok 12:Grafy ukazujú priebeh potenciáluV(x) v závislosti na vzdialenosti hrotuatomového silového mikroskopu od kraja vzorky, pre rôzne hodnoty magnetickej in-dukcieB. Na casti (a) obrázku sú údaje MCCORMICKOM a kol. z [5], ktorí meranieuskutocnili v okolí saturovania pre Landauovej hladinyj = 6. Miera zaplenia Lan-dauovej hladiny bola riadená zmenou magnetickej indukcieB. Na casti (b) obrázkuje graf výsledku obdobného merania WEITZA a kol. prevzatého z [4], ktorí meraniauskutocnili v okolí saturovania Landauovej hladinyj = 2.

žiava svoju kvantovanú hodnotu nie len pri špecifickej hodnote magnetickej induk-cieB, pri ktorej príslušný Landauova hladina je saturovaná, aleaj v urcitom širšomokolí hodnôt (plató).

3 Modelovanie kvantového Hallovho javu

Modelovania v systéme neinteragujúcich elektrónov vychádzajú väcšinou z jednejz trojice ranejších prác (ANDO a AOKI [1], L AUGHLIN [2] a HALPERIN [3]). V zá-sade sa pritom využíva výsledok štúdia Landauových hladín od KUBO a kol. [8],kde problém sa rieši pomocou komutacných relácií.

Na základe fyzikálnych úvah za zjednodušuje riešenie problému spôsobom,ktorý vo svojej detailnosti vyniká u HANSENA a kol. (pozri [9]). V rámci riešeniasa hladí na systém ako neohranicený (tj. neberie sa do úvahy konecný rozmer prikvantovej formulácii) a ohranicenost’ vzorky sa doplna fyzikálnymi úvahami.

A. HANSEN, E.H. HAUGE, J. HOVE A F.A. MAAØ (pozri [9]) odvodili podl’apostupu KUBO a kol. (pozri [8]) energiu viazaných stavov pomocou komutacnýchrelácií a následne riešením Schrödingerovej rovnice aj vlnovú funkciu príslušnýchstavov pre konštantné magnetické pole pôsobiaci na dvojrozmerný vodivý (neob-


Obrázok 13: Graf ukazuje závislost’σxx tenzora vodivosti od hradlového napätiaVg,ktorého zvýšením sa zvýši hustota nosicov elektrického náboja vo vzorke. Graf zá-vislosti dobre ukazuje, že zvýšením magnetickej indukcieB sa minimáσxx posúvajúk vyšším hodnotám hradlového napätia, tj. vyšším hodnotám hustoty nosicov elek-trického náboja. Obrázok bol prevzatý z [7].

(a) (b)

Obrázok 14: Obrázok ukazuje schodovitý charakter závislosti HallovhoodporuRH

na hradlovom napätíVG a tým aj na hustote nosicov elektrického náboja. Kým šírkapríslušných plató je závislé na geometrii vzorky (pomer šírky a dlžky (W/L) - grafv casti (a) obrázku), resp. na magnetickej indukciiB (graf v casti (b) obrázku), sa-motná kvantovaná hodnotaRH vyjadrená vzt’ahom (16) závislá nie je.


Obrázok 15: Obrázok ukazuje graf závislosti pomeru poctu nelokalizovaných a lo-kalizovaných elektrónov vo vzorke v závislosti na magnetickej indukciiB.

medzený) priestor. Pri kalkulácii nebrali do úvahy spin elektrónu.Svoje výsledky s argumentáciou, ktorú nájdeme u M. BÜTTIKERA [36] ap-

likovali na prípad vodivého pásu navrhnutého LAUGHLINOM ohnutého do prs-tenca. Ohnutie modelovali periodickými okrajovými podmienkami v smere ohnu-tia. Okrajové podmienky pre hrany prstenca predpokladali nulovost’ vlnových fun-kcií na týchto hranách a vlnové funkcie v tvare riešenia pre harmonický oscilátor,ktorý bol obdržaný pre nekonecný systém (tu sa odvoláva na B.I. HALPERINA

[3]).Uvedieme riešenie podl’a HANSENA a kol. ([9]), odvodenie výsledkov pre l’u-

bovol’nú kalibráciu a ukážeme slabú stránku argumentácie vol’by riešení v tvareriešení pre harmonický oscilátor v prípade popisu Laughlinovho prstenca.

3.1 Riešenie problému podl’a Hansena

Tu predkladané riešenie—až po 3.2 na strane 272—vo vel’kejcasti sleduje riešenieA. HANSENA a kol. [9], ktoré sumarizuje mnohé z predchádzajúcich prác.

HANSENOM a kol. predložené riešenie môžeme rozdelit’ do trochcastí8:

• výpocet energiíEn viazaných stavov,

• konštrukcia viazaných stavovψn(x) prislúchajúcich energiiEn

8tieto casti môžemeciastocne alebo v celku identifikovat’ aj v pôvodných prácach [8], [1], [2] a[3]


• a z urcenia vodivostiσ systému.

Prvá cast’ (vzt’ahy (22) až (38)) je algebraickým riešením problému vlast-ných císiel Hamiltoniánu, ktoré je nezávislé na vol’be kalibrácie vektorového po-tenciálu. Nedostatkom tohoto riešenia je, že neberie do úvahy konecný rozmervzorky (geometrické usporiadanie systému) a existenciu príslušných samozdruže-ných operátorov predpokladá à priori. V prípade Laughlinovho pásu môžeme spo-chybnit’ napríklad existenciu druhej zložkyp2 hybnosti, nakol’ko priestor v tomtosmere je konecný a nemá translacnú symetriu.

Druhácast’ (vzt’ahy (39) až (45)) vyžaduje vol’bu konkrétnej kalibrácie. Aniv tejto casti sa neuvažuje korektným spôsobom vplyv geometrie systému. Defi-nicný obor Hamiltoniánu sa nevyšetruje a obchádza sa neúplnými fyzikálnymi úva-hami o okrajových podmienkach.

V tretej casti (vzt’ahy (47) až (67)) sa kombinuje algebraický prístup prvejcastis riešeniami druhejcasti k výpoctu vodivostiσ a rezistivityρ.

Analýze dopadu nekorektného prístupu (ktoré preto podrobne uvedieme) sabudeme venovat’ vcasti 3.2 (strana 272 a d’alej). Poznamenajme, že riešení presystémy s konecnou geometriou, ktoré sú z hl’adiska základných princípovkvanto-vej teórie korektné je mimoriadne málo. Pri modelovaní sacasto naráža na potrebuvyšetrovania spojitého spektra operátorov,co predstavuje kvalitatívne inú proble-matiku, než hl’adanie vlastnýchcísiel operátoru scisto bodovým spektrom.

3.1.1 Energia viazaných stavov vol’ného elektrónového plynu

Dohoda2. Podvol’nýmelektrónovým plynom budeme pre kratší zápis rozumiet’—pokial’ nepovieme výslovne nieco iné—elektrónový plyn vo vonkajšom magnetic-kom poli.

Hamiltonián elektrónu pohybujúceho sa v rovine 12 (rovina 12 - súradnicex1 ax2 a príslušné veliciny budeme indexovat’ 1 a 2), na ktorý pôsobí kolmé magneticképoleB = Be3 aB = konštanta je (spin elektrónu neberieme do úvahy)

H0 =1

2m(p+eA)2, (22)

kde m je efektívna hmotnost’ elektrónu,e je elementárny elektrický náboj9

p= (p1, p2) je samozdružený operátor hybnosti aA je samozdružený operátor vek-torového potenciálu magnetického pol’a10 , kdeB= rotA. Pre vektorový potenciálA nepredpisujeme žiadnu špecifickú kalibráciu.

9tj. elektrický náboj elektrónu jeq = −e10 OperátorA= (A1,A2) je v súradnicovej reprezentácii operátor násobenia funkciouA= (A1,A2)

a v našom odvodení.


Podl’a štandardných komutacných relácií

[x1, p1] = [x2, p2] = i~, (23)

a[x1,x2] = [x1, p2] = [x2, p1] = [p1, p2] = 0, (24)

kde operátoryx = (x1,x2) je operátory polohy.Zavedením kanonickej transformácie (KUBO [8]) pre pôvodné veliciny (x, p)

a získaním nových velicín ξ,Π definovaných ako

Π1 =1

eB(p2 +eA2) (25)

Π2 = − 1eB

(p1 +eA1) (26)

ξ1 = x1−Π1 (27)

ξ2 = x2−Π2 (28)

obdržíme evidentne samozdružené operátoryΠ aξ definované analogicky ako (25)až (28). Komutacné relácie nových velicín sú

[ξ1,ξ2] = −[Π1,Π2] = il 2 kde l2 =~

eB(29)

a[ξ1,Π1] = [ξ2,Π2] = [ξ1,Π2] = [ξ2,Π1] = 0. (30)

Zavedená magnetická dlžka l zodpovedá polomeru klasickej trajektórie cyklotró-novej frekvencie

ω =eBm

. (31)

Hamiltonián v nových súradniciach má tvar

H0 =m2

ω2(Π21 + Π2

2) (32)

V d’alšom odvodení sa odchýlime od postupu použitého v [9] a [8]. Zaved’mebezrozmerný HamiltoniánH0

a ako

H0a =

1~ω

H0, (33)

ktorý pomocou posúvacích operátorova aa+ definovaných ako

a =1√2l

(Π1− iΠ2) (34)

a+ =1√2l

(Π1 + iΠ2) (35)


môžeme prepísat’ do tvaru

H0a = aa+ +

12

. (36)

Z uvedeného vyplýva (pozri FORMÁNEK [37]), žeH0a je bezrozmerným Hamilto-

niánom jednorozmerného lineárneho harmonického oscilátoru s vlastnýmicíslami

λn = n+12

, n = 0,1,2, . . . (37)

a energetické spectrum operátoruH0 je diskrétne s hodnotami

En = ~ω(

n+12

)

. (38)

3.1.2 Konštrukcia viazaných stavov vol’ného elektrónového plynu

K zostrojeniu vlnových funkcií vlastných stavov si zvolímeLandauovu kalibráciuA(x) = B(−x2,0). Schrödingerova rovnica bude mat’ tvar

− ~2

2m

[

(

∂∂x1

− ieB~

x2

)2

+∂2

∂x22

]

ψLn(x) = EnψL

n(x), (39)

kde indexL poukazuje na volbu kalibrácie. Položme

ψ(L)n (x) = eik1x1χ(x2), (40)

cím diferenciálna rovnica (39) prejde na tvar

[

− ~2

2md2

dx22

+m2

ω2(x2−k1l2)2]

χn(x2) = Enχn(x2) (41)

Vlnová funkcia vlastných stavov pozostáva z rovinných vln v smerex1 a vlno-vej funkcieχ(x2) = χn(x2−k1l2) harmonického oscilátoru v smerex2 so stredomv x20 = k1l2. Energia vlastných stavov nezávisí odk1 a preto príslušné vlastné stavyv súradnicovej reprezentácii majú tvar

ψ(L)n,k1

(x) = eik1x1χn(x2−x20). (42)

Tieto vlnové funkcie predstavujú úplnú bázu v Hilbertovom priestore a každú vl-novú funkciu môžeme písat’ ako ich superpozíciu

ψ(L)(x) = ∑n

∫

dk1 eik1x1χn(x2−k1l2)Cn(k1). (43)


Pri prechode od kalibrácie (1) ku kalibrácii (2), tj.A(2) = A(1) − ∇α, zmení safáza vlnovej funkcieψ(2) = exp(ieα/~)ψ(1). V prípade prechodu od Landauovejkalibrácie

A(L) = B(−x2,0)

k symetrickej kalibráciiA(S) = B/2(−x2,x1)

je α = −Bx1x2/2 a vlnové funkcie môžeme písat’ v tvare

ψ(S)(x) = ∑n

∫

dk1 ei(k1x1−x1x2/2l2)χn(x2−k1l2)Cn(k1). (44)

Z charakteru zacykleného pásu vyplýva, že je potrebné požadovat’ periodicituvlnových funkcií v smerex1, tj.

ψ(L)n,k1

(x1,x2) = ψ(L)n,k1

(x1 +L1,x2), pre x1 ∈ R, x2 ∈ [0,L2],

kdeL2 je šírka pásu.Z periodicity v smerex1 vyplýva, že

k1 =2πL1

j, j ∈ Z. (45)

Ak príjmeme zjednodušený požiadavok, aby maximum vlnovej funkciecasti har-monického oscilátoru ležal na páse11, dostaneme odhad pre pocet stavov Landau-ových hladín pripadajúcich na jednotkovú plochu z podmienky

0≥ l ≥ L1L2

2πl2 = jmax,

ako

nB =jmax

L1L2=

12πl2 =

eBh

. (46)

3.1.3 Elektrónový plyn pod vplyvom elektrického pol’a a jeho vlastné stavy

Uvažujme teraz prítomnost’ elektrického pol’a s konštantnou intenzitouE2 v smerex2. Príslušný Hamiltonián (32) nadobudne za prítomnosti elektrického pol’a tvar

H0 =m2

ω2(Π21 + Π2

2

)

+eE2(ξ2 + Π), (47)

11tento požiadavok je skutocne zjednodušený, lebo matematicky správna požiadavka je,abyψ(x1,0) = ψ(x1,L2) = 0 pre všetkyx1


kde sme využili toho, žex2 = ξ2+Π2. Následne môžeme Hamiltonián prepísat’ dotvaru

H0 =m2

ω2

(

Π21 +

(

Π2 +eE2

mω2

)2)

− e2E 22

2mω2 +eE2ξ2. (48)

Znova zvolíme Landauovu kalibráciu a Schrödingerovu rovnicu zapíšeme v súrad-nicovej reprezentácii, pricom pre riešenie predpokladáme tvar (40) so separova-nými premennými,cím Schrödingerova rovnica prejde na tvar

[

− ~2

2md2

dx22

+m2

ω2(

x2−k1l2− me

E2

B2

)2]

χn(x2) (49)

+

[

eE2l2k1−m2

(

E2

B

)2]

χn(x2) = Enχ(x2),

z coho môžeme vycítat’, energia vlastných stavov je

~ω(

n+12

)

+eE2l2k1−m2

(

E2

B

)2

= En (50)

a príslušné vlastné stavyψ(L)n,k1

predstavujú v súradnicovej reprezentácii rovinnévlny s riešeniami lineárneho harmonického oscilátoruχ v tvare

ψ(L)n,k1

(x) = eik1x1χn(x2−k1l2−mE2/eB2). (51)

3.1.4 Tok elektrónového plynu pri pôsobení elektrického pol’a

Urcime hustotu prúdu vo vyššie popísanom systéme. Podstatnúcast’ odvodeniapredstavuje urcenie strednej hodnoty rýchlostív1 av2 v smerex1 ax2

v j(n,k1) =

∫

dx1 dx2 ψ(L)nk1

(x) x j ψ(L)nk1

(x), j = 1,2. (52)

Vyjadrime operátory rýchlosti ˙x j pomocou zavedených premenných (25) až (28)ako x j = Π j + ξ j . Využitím Heisenbergovej rovnice

dΠ1

dt=

i~

[H,Π1] = −ω(ξ2 +eE2

mω2 ), (53)

dΠ2

dt=

i~

[H,Π2] = ωξ1, (54)

dξ1

dt=

i~

[H,ξ1] =el2

~E2 =

E2

B, (55)

dξ1

dt=

i~

[H,ξ2] = 0, (56)


kde boli využité komutacné relácie (29), (23) a (24). Využitím stredných hodnôtrýchlostí (52) dostaneme

v1(n,k1) =E2

B, (57)

v2(n,k1) = 0. (58)

V relácii (57) bolo využité toho, že

∫ ∞

−∞dΠ2|χn(Π2 +eE2/mω2)|2(Π2 +eE2/mω2) =

∫ ∞

−∞dΠ2|χn(Π2)|2Π2) = 0,

(59)a v relácii (58)

∫ ∞

−∞Π2χn(Π2 +eE2/mω2)Π1χn(Π2 +eE2/mω2) =

∫ ∞

−∞Π2χn(Π2 +eE2/mω2)(−il 2)

ddΠ2

χn(Π2 +eE2/mω2) = 0 (60)

Poznámka3. HANSEN poznamenáva, že výsledky (57) a (58) bolo možné obdržat’priamo z grupovej rýchlosti

v j =1~

∂En,k1

∂k j.

Ak pocet elektrónov pripadajúcich na jednotku plochy oznacíme ne, potomhustotu prúduj1 v smerex1 môžeme vyjadrit’ pomocou (57) ako

j1 = − ∑n,k1

ev1(n,k1) = −l2nee2

~E2 = − ne

nB

e2

hE2 = −e2νe

hE2, (61)

kde sumácia beží cez všetky elektróny (nosice), ktorých spin sa neberie do úvahy.Hustota prúdu v smerex2 je

j2 = −∑n,k1

ev2(n,k1) = 0. (62)

V (61) sme zaviedliobsadzovacie císlo

νe =ne

nB= j, (63)

kdenB je plošná hustota Landauových hladín urcený vzt’ahom (46).


HANSEN a kol. uvádza (pozri [9]), že z hustoty prúdov (61) a (62) je možnévycítat’ príslušné vodivosti ako

σ11 = σ22 = 0, (64)

σ21 = −σ12 =e2νe

h. (65)

Tenzor rezistivity je potom

ρ11 = ρ22 = 0, (66)

ρ12 = −ρ21 =h

e2νe. (67)

HANSEN [9] poznamenáva, že v uzavretom systéme, ako je ním analyzovaný, nie jevidiet’, preco sa obsadzovaciecísloνe mení v celých krokoch,co vedie ku skokomv rezistivite.

3.2 Korektné riešenie problému na Laughlinovom páse

Riešenie elektrónového plynu vzájomne neinteragujúcich elektrónov je jednocasti-covou úlohou. Pri fyzikálnej interpretácii celocíselného kvantového Hallovho javusa vo väcšine literatúry postupuje tak, ako je to uvedené vyššie. Realizovatel’néparametre experimentov k tomuciastocne dávajú fyzikálne opodstatnenie, ale postránke korektnosti musíme ukázat’, aké sú zásadné problémy s týmito postupmi.Vedú nás k tomu aj novšie experimenty realizovaných na miniatúrnych vzorkách.

Pri zdôvodnení kvantovanosti vlnovéhocíslak1 (pozri 45) aj pri zdôvodnenítzv. hustoty Landauových hladín(pozri (46)), sa odvoláva na konecný rozmer vzor-ky.

Súcasne sa využívajú komutacné relácie (23) a z nich odvodené komutacnérelácie k dôkazu toho, že príslušný Hamiltonián je Hamiltoniánom lineárneho har-monického oscilátoru. Následne sú stanovené zodpovedajúce vlastné stavy (pozri(42) a (51)) ako aj príslušné vlastné hodnoty (pozri (38) a (50)).

Autori nediskutujú definicný obor príslušných operátorov, ani to,ci je splnenýzákladný postulát samozdruženosti operátorov reprezentujúce dané fyzikálne veli-ciny.

Nutnost’ overovania samozdruženosti vyplýva z nasledujúcich skutocností:

1. Operátor hybnostip1 definovaný na Laughlinovom prstenci má podstatneširší definicný obor, ako obdobný operátor pre vol’núcasticu v nekonecnompriestore.

Operátor hybnostip1 má vlastné stavyeik1x1ξn(.) (explicitne vypisujeme lenpremennúx1). Nakol’ko vlastné stavy|χn〉 HamiltoniánuH sú súcasne aj


vlastnými stavmi operátoru hybnostip1 (s vlastnou hodnotoup1 = ~k1), ma-ticové elementy komutátora[p1,x1] pre vlastné stavy|χn〉 sú zrejme nulové

〈χn|[p1,x1]|χn〉 = 0,

a preto nemôžeme tvrdit’, že

[p1,x1] = i~

na celom definicnom obore, kde komutátor alebo Hamiltonián je definovaný.

2. Pokial’ vychádzame z požiadavku, že v smerex2 je priestor obmedzený, jeproblematické si predstavit’ operátor hybnostip2. Ten by mal zabezpecit’translacnú symetriu priestoru v tomto smere, ktorá v dôsledku ohranicenostipriestoru (interval[0,L2]) neexistuje.

3. Korektné riešenie Schrödingerovej úlohy vedie nie k Hermitovým polynó-mom, ale k ich zovšeobecnej verzii (prípadne parabolickým cylindrickýmfunkciám) a podstatne komplikovanejšiemu spektru operátoru, kde nie jepravda, že energia vlastných stavov za absencie elektrického pol’a nezávisíodk1, tj. Landauove hladiny nie sú degenerované12 (až na výnimku prípadnejnáhodnej degenerácie malého stupna).

4. Korektné riešenie hustoty prúdu vyžaduje preverenie korektnosti definícietohoto pojmu v prípade systému definovaného na Laughlinovompáse. Prúdmôžeme definovat’ pomocou operátoru rýchlosti, prúdu toku pravdepodob-nosti, prípadne sa môžeme obmedzit’ na strednú hodnotu rýchlosti elektrónuv nejakom smere.

3.2.1 Hamiltonián

Uvažujme Laughlinov prstenec s vzájomne neinteragujúciminosicmi s elektric-kým nábojomq, na ktoré pôsobí konštantné elektrické pole(~E )2 = e2E2 (kde e2

je jednotkový vektor ukazujúci v smerex2) a magnetické pole s indukciouB kol-mou na plochu pása, ako je popísané vyššie13. Príslušný Hilbertov priestorH , napodmnožine ktorej definujeme podstatne samozdružený operátor Hamiltoniánu je

H = L2(S1,dϕ)⊗L2([0,L2],dx2), (68)

12v modeli neinteragujúcich elektrónov13v prípade, že nosicom je elektrón, nábojq = −e (e > 0), kým pre magnetickú indukciu mô-

žeme bez ujmy na všeobecnosti predpokladat’, žeB = B0ez, kdeB0 > 0. V d’alšom písanie indexuvypúšt’ame, teda píšeme lenB namiestoB0.


kdeS1 predstavuje jednotkovú kružnicu, pricomdϕ = dx1/L1 aL1 je obvod Laugh-linovho pásu, kýmL2 je jeho šírka (kolmo na obvod).

HamiltoniánomH systému bude fyzikálne prijatel’né samozdružené rozšíre-nie symetrického operátoruH0 definovaného na hustej podmnožineD HilbertovhopriestoruH

D = ψ|ψ ∈ H ∩ D, (69)

kde D sú funkcieψ z C∞0 (S1)⊗C∞

0 ([0,L2]), ktoré sú konecné lineárne kombináciefunkcií v tvareu1(x1)u2(x2).

Fyzikálne prijatel’né samozdružené rozšírenie vyžaduje,aby na páse nebolofyzikálne významné miesto v žiadnom bode v smerex1 (hladké zošívanie pásu),co znamená podmienku, pomocou ktorej definujeme podmnožinuD1 HilbertovhopriestoruH takto

D1 =

ψ ∈ H | ψ(0,x2) = ψ(L1,x2),∂ψ(0,x2)

∂x1=

∂ψ(L1,x2)∂x1

, x2∈[0,L2]

(70)

a nulovost’ vlnových funkcií všade na hrane pásu, pomocou ktorej definujeme pod-množinuD2 Hilbertovho priestoruH takto

D2 = ψ ∈ H |ψ(x1,0) = ψ(x1,L2) = 0 x1 ∈ [0,L1]. (71)

V Landauovej kalibráciiA(x) = B(−x2,0) (72)

pôsobenie operátoraH je definované diferenciálnym výrazomh

h ≡ 12m

[

−~2 ∂2

∂x21

−~2 ∂2

∂x22

−2i~qBx2∂

∂x1+q2B2x2

2

]

−qE2x2 (73)

je v podstate samozdružený naD∩D1∩D2, tj. jeho definicný obor je uzáveromtejto množiny

D(H) = D∩D1∩D2. (74)

OperátorH je na hustej podmnožineD urcenej (69) s podmienkami spojitosti(70) a nulovosti na kraji (71) v podstate samozdružený operátor.

Riešenie Schrödingerovej rovnice

hψ(x) = Eψ(x) (75)

ocakávame v tvareψ(x) = u1(x1)u2(x2), (76)


co vedie k rovnici

12m

[

−~2u′′1u1

−2i~qBx2u′1u1

]

=1

2m

[

~2u′′2u2

−q2B2x22

]

+E+qE2x2

= a0 +a1x2, (77)

kdea0,a1 ∈ C. Preu1 dostávame, že

u1(x1) = eik1x1, (78)

z coho plynie, že

a0 =~

2

2mk2

1, a1 = εq~ωk1, (79)

kdeεq = sgnq (80)

a cyklotrónovú frekvenciuω a magnetickú dlžku l definujeme zhodne s (31) a (29)ako

ω =|q|Bm

, l2 =~

|q|B , (l > 0). (81)

Podmienka hladkého zošitiau1(0) = u1(L1) urcuje možné hodnotyk1

k1 =2πL1

n1, n1 ∈ Z. (82)

Preu2 tým obdržíme obycajnú diferenciálnu rovnicu

~2

2mu′′2(x2)−

(

q2B2

2mx2

2−qE2x2 +~qBm

k1x2 +~

2k21

2m−E

)

u2(x2) = 0 (83)

Zaved’me bezrozmernú premennúzvzt’ahom

x2 = lz−(

~k1

qB− mE2

qB2

)

= lz−(

εql2k1−qE2l2

~ω

)

, (84)

d’alej nech14

u2(z) = e−z22 w(z), (85)

14u2(z) môže mat’ všeobecnejší tvar

u2(z) = e−z2/zw1(z)+ez2/2w2(z),

tj. k cieli vedie aj transformáciau2(z) = ez2/2w(z) s rovnakým výsledkom. Riešenia (89) a (90) súnezávislými riešeniami diferenciálnej rovnice (86) – porovnaj [38] 9.255.1, 9.240 a 9.248.1, ale tiežpriamym dosadením (nezávislost’ je zrejmá).


potom rovnica (83) prejde na tvar

w′′(z)−2zw′(z)+2εw(z) = 0, (86)

kde

ε = −12

+E~ω

− |q|E2l~ω

lk1 +12

(

qE2l~ω

)2

. (87)

Riešením diferenciálnej rovnice (86) je

w(z) = C1w1(z)+C2w2(z), (88)

w1(z) = z1F1

(

1− ε2

,32

,z2)

, (89)

w2(z) = 1F1

(

− ε2

;12

;z2)

, (90)

kdew1(z) zovšeobecnuje Hermitove polynómyHn(z) pre neceléε.Preε = n∈ N je w1(z) = 2−nHn(z).Funkciew1,w2 sú pri pevnomε analytické vz v celomC a pri pevnomz sú

analytické vε v C. Pri pevnomε nemajú vC póly a jedinú singularitu majú v∞15.

3.2.2 Energia viazaných stavov

Aby w(z) z (88) bolo vlastným stavom Hamiltoniánu, musíψ(x) patrit’ do definic-ného oboru, zcoho plynie, že musí platit’

w(z0) = w(zL) = 0, (91)

kdez0 azL sú hodnoty prex2 = 0 ax2 = L2, tj.

z0 = −qE2l~ω

+ εqlk1, zL =L2

l− qE2l

~ω+ εqlk1 (92)

Aby použitím všeobecného riešeniaw(z) z (88) bolo možné splnit’ okrajové pod-mienky (91) pre netriviálne koeficientyC1 aC2, matica systému rovníc

(

w1(z0) w2(z0)w1(zL) w2(zL)

)(

C1

C2

)

=

(

00

)

(93)

musí byt’ nesingulárna, tj.

s(ε,z0,zL)de f≡ w1(z0)w2(zL)−w1(zL)w2(z0) = 0. (94)

15w1 má v∞ pól stupna(ε +1)/2, ak(ε +1)/2∈ N, v opacnom prípade je singularita podstatná,w2 má v∞ pól stupnaε/2, pokial’ ε/2∈ N, v opacnom prípade je singularita podstatná


Táto komplikovaná rovnica je podmienkou pre vlastné hodnoty E Hamiltoniánu.Prípad vol’ného elektrónového plynu obdržíme dosadenímE2 = 0.

Príslušné vlastné stavy obdržíme zo všeobecného riešenia (88).V experimentálne zaujímavej oblasti

B∼ 1 T, L1,2 ∼ 10−2 m je l ∼ 10−8 m a ω ∼ 1011 m,

z coho plynie, žezL ≫ 1.Dosadením do (94), definujme podmienku pre spektrum pomocoufunkcies(ε,z0,zL)

nasledovne

s(ε,z0,zL) = zL 1F1

(

− ε2

;12

;z20

)

1F1

(

1− ε2

;32

;z2L

)

−z0 1F1

(

− ε2

;12

;z2L

)

1F1

(

1− ε2

;32

;z20

)

. (95)

Zrkadlovú symetriu, ktorú naznacuje numerické riešenie na obr. 3.2.5 môžeme po-mocou podmienky (95) dokázat’ exaktne.

Tvrdenie4. NechzL = z0 + λ, kde

2λ = L2/l (96)

je pevnécíslo, potom ak pre nejakéε je z0 = a riešením rovnice (95), potom je jehoriešením ajz0 = 2λ−a.

Dôkaz. Zaved’me novú premennúζ reláciou

z0 = ζ−λ, (97)

potomcast’ (95) v hranatej zátvorke prejde na tvar

s(ε,ζ,λ) = (λ+ ζ)1F1

(

− ε2

;12

;(λ−ζ)2)

1F1

(

1− ε2

;32

;(λ+ ζ)2)

+(λ−ζ)1F1

(

− ε2

;12

;(λ+ ζ)2)

1F1

(

1− ε2

;32

;(λ−ζ)2)

.

(98)

Evidentne platí ekvivalencia

s(ε,ζ,λ) = 0 ⇐⇒ s(ε,−ζ,λ) = 0,

z coho priamo plynie tvrdenie.


Využitím spektrálnej podmienky (98) preε2n+1 môžeme získat’ jasnejšiu pred-stavu o priebehu závislostiε2n+1(ζ), pokial’ využijeme toho, žeλ ≫ 1, teda (pozri13.5.1 v [39])

s(ε,0,λ) = πλ−2−2εe2λ2 1Γ(−ε/2)Γ((1− ε)/2)

(1+O(|λ|−2)). (99)

Z uvedeného vyplýva, že preζ = 0 (z0 = −λ = −L2/2l ) má spektrum tvar

εn = n, a preE2 = 0 En = ~ω(

n+12

)

n∈ N0. (100)

Na druhej strane z rozvoja podmienky (98) pre vel’kéλ a ζ = ±λ dostaneme(zo symetrie plynie, že stací zobrat’ζ = λ)

s(ε,λ,λ) = 2λ1F1

(

1− ε2

,32

,4λ2)

= 2−2−ε√πλ−2−εe4λ2 1Γ((1− ε)/2)

(1+O(|λ|−2)), (101)

z coho spektrum je podl’a ocakávania dané vzt’ahom

εn = 2n+1, a preE2 = 0 En = ~ω(

2n+32

)

n∈ N0. (102)

Poznámka5. Tieto zistené vlastnosti spektra (tým rozumieme vlastné hodnoty εn

resp. príslušné vlastné energieEn) sú v zhode so zistením HANSENA [9] a HALPE-RINA [3] (posledný z menovaných rieši úlohu v inom geometrickom usporiadaní,namiesto pásu tenký disk s otvorom v strede).

HANSEN explicitne uvádza (pozri tamtiež), že pri hl’adaní vlastných hodnôtuvažovali pás, ktorý je nekonecný v smerex2. V takom prípade sú exaktné riešeniariešeniami lineárneho harmonického oscilátoru. Aby boli splnené okrajové pod-mienky (tj. nulovost’ vlnových funkcií prex2 = 0 ax2 = L2), vylúcili tie exaktnériešenia lineárneho harmonického oscilátoru, ktoré túto nulovost’ nesplnajú. Expli-citne to znamená, že podmienkaψ(x1,0) = 0 vylúci všetky riešenia, ktoré obsa-hujú párne Hermitove polynómy. Ponecháva však bez povšimnutia, že podmienkaψ(x1,L2) = 0 nie je automaticky splnená a nie pre všetky hodnotyL2 sa dá splnit’.Nastávajú prípady, ked’ táto druhá okrajová podmienka sa vôbec nedá splnit’.

V oboch prípadoch ([9] aj [3]) sa necháva bez povšimnutia,ci základný axiómkvantovej mechaniky o samozdruženosti operátoru reprezentujúcu fyzikálnu ve-li cinu. Táto otázka samozdruženosti sa nenastolí ani u LAUGHLINA (pozri [2]),ktorého postup je zhodný už s uvedenými postupmi.


3.2.3 Korekcia v druhom najnižšom ráde priblíženia

LAUGHLINOM [2], HALPERINOM [3], HANSENOM a spol. [9] odvodené vlastnostispektra systému (pozri (100) a (102)) sú pre konkrétne prevedenie systému vel’mipresné, aj ked’ nie exaktné. Pre mikroskopické systémy alebo slabšie magneticképolia môže byt’ zaujímavé urcenie korekcie k týmto hodnotám presnejším riešenímexaktnej podmienky pre spektrum, ktoré je dané vzt’ahmi (95), resp. jej symetrickejobdoby (98). Vychádzajme z predpokladu, žeλ ≫ 1 (pozri 96), potom riešeniarovnice (98) preζ = 0 sú vel’kou presnost’ou dané vzt’ahom (100) a preζ = ±λvzt’ahom (102).

Poznámka6. Asymptotické chovanie degenerovanej hypergeometrickej funkcie

1F1(a;b;x) je v našom prípade špecifických hodnôta,b a x (b = 12 , 3

2 a x ≫ 1)možné písat’ v tvare

1F1(a;b;x) =Γ(b)eiπax−a

Γ(b−a)f1(a,b,x)+

Γ(b)exxa−b

Γ(a)f2(a,b,x), (103)

f1 =R

∑k=0

(a)n(1+a−b)n

n!(−x)−n +O(|x|−R) (104)

f2 =R

∑k=0

(b−a)n(1−a)n

n!x−n +O(|x|−S). (105)

Podmienka pre spektrum (98) nadobudne v aproximáciiλ ≫ |ζ| tvar

f2(− ε2 , 1

2 ,(λ−ζ)2) f2( 1−ε2 , 3

2 ,(λ+ ζ)2) = 0. (106)

Využitím toho, že pre vel’kéλ, malé|ζ| ≪ λ a malén môžeme písat’

εn = n+ ∆εn, |∆εn| ≪ 1,n∈ N. (107)

Z podmienky (106) dostávame pre základný stavε0 (vd’aka symetrie vζ môžemeuvažovat’ζ ≥ 0)

∆ε0 =1√π

(

(λ+ ζ)e−(λ+ζ)2+(λ−ζ)e−(λ−ζ)2

)

(

1+O(|λ−ζ|−1))

. (108)

Pre závislost’ vlastnej energie nak1 budeme oznacovat’ vlastnú energiu dvoj-icou indexovn1 a n2, kden1 indexujek1 podl’a vzt’ahu (82), tj.

k1 =2πL1

n1, n1 ∈ Z.

kým n2 indexuje riešenia rovnice (94) pri pevnomn1.


3.2.4 Vlastné stavy

Vlastné stavyψn1,n2 môžeme v súradnicovej reprezentácii písat’ v tvare

ψn1,n2(x) = ψ1,n1(x1)ψ2,n2(x2), (109)

ψ1,n1(x1) = N1eik1x1, (110)

ψ2,n1,n2(x2) = N2e− z2

2(

w2(zL)w1(z)−w1(zL)w2(z))

ε=εn1,n2(111)

kde

z=x2

l+ εqlk1−

qE2l~ω

, zL = z|x2=L2 (112)

a N1 resp. N2 sú normovacie konštanty precast’ závislej nax1 resp. x2, tedaN1 = 1/

√L1.

3.2.5 Landauove hladiny

Pocet Landauových hladín urcených vzt’ahom (46) uvádzaných v [9] vychádzaz predstáv (pozri tamtiež), že vlastné stavy sú vlastným stavom lineárneho harmonic-kého oscilátoru, ktorých vlnové funkcie od stredu vlnovej funkcie klesajú akoe−z2/2, preto fyzikálne sú prijatel’né len stavy, ktorých vlnové funkcie majú svojstred v oblasti, kde sa nosice náboja vyskytujú.

Nutnost’ tejto predstavy vyplýva z nedostatkov, ktoré vedúk predstave o rie-šení v tvare vlnových funkciícisto vlastných stavov lineárneho harmonického os-cilátoru a nezávislosti spektra Hamiltoniánu od vlnovéhocíslak1.

Pri exaktnom riešení argument o rýchlom poklese vlnových funkcií vlastnýchstavov neobstojí, lebo asymptotické chovaniew2(z) je ez2

a asymptotické chovaniepríslušnejcasti vlnovej funkcie je preto stáleez2/2. Táto vlastnost’ je dôsledkomtoho, že priestor, na ktorom je systém definovaný, je obmedzený, co je súcasne dô-vodom nepoužitel’nosti komutacných relácií (pokial’ chceme akceptovat’ základnéprincípy kvantovej teórie).

Exaktné riešenie vyžaduje, aby vlastné stavy pre všetkyk1 boli lokalizované vovnútri systému a neexistuje dôvod k ich vylúceniuad hoc.

Exaktné riešenie tiež ukazuje problém urcovania hustoty Landauových hladín,pod ktorým HANSEN a kol. rozumie pocet Landauových hladín (líšiacich sa lenv kvantovomcíslek1) delený plochou Laughlinovho pása (za neprítomnosti elek-trického pol’a) a vychádza z geometrických predstáv, ktorésme nacrtli vyššie.

To, co sa v [9] rozumie poctom Landauových hladín, je v skutocnosti pocetvlastných stavov s energiou bezprostredne pod Fermiho energiou EF pri teploteT → 0.


-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

ε0

ε1ε2ε3ε4

−λ +λζ

ε

(a)

1

2

3

4

5

6

-4 -2 2 4

ε0

ε1

ε2

ε3ε4ε5

ε

−λ +λζ

(b)

Obrázok 16: Na casti (a) obrázku predstavuje systémciar riešenia rovnices(ε,z0,zL) = 0 pri pevnej hodnotezL = 5,E0 = 0 a spojitom parametrez0. Prerušo-vanéciary ukazujú celocíselné hodnoty, kým zložitejší systém plnýchciar sú riešeniaεn(z0) a v hornejcasti krivky uvádzame hodnotun. Na casti (b) obrázku vidíme grafcentrovaný na os symetrie (v premennýchζ) pre hodnotuzL = 2λ = 20 aE2 l’ubo-vol’né. Konvergenciacasti spektra k celocíselným hodnotám je evidentná.

-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6ε0ε1ε2ε3ε4

−λ λ ζ

ε

εF

Obrázok 17: Na obrázku sme znázornili stavy v rovine(ζ,ε) ich príslušnými vlast-nými hodnotami pre 2λ = 10. Stavy s energiou nad Fermiho hladinou sme znázor-nili prerušovanouciarou, kým pod Fermiho hladinou súvislouciarou. Stavy „bezpro-stredne“ pod Fermiho hladinou sú znázornené hrubou plnouciarou. Fermiho energiaEF je prepocítaná na príslušnú hodnotuεF podl’a vzt’ahu (87). Z obrázku je vidiet’, žepocet stavov bezprostredne pod Fermiho hladinou môže byt’ menšia i väcšia, než bytomu zodpovedalo podl’a HANSENOVEJ argumentácii o geometrickom rozmiestenívlastných stavov na Laughlinovom páse (pozri [9]).


Presnejšie máme na mysli stavyψn1,n2 s energiouEn1,n2 ≤ EF takou, žeEn1,n2+1 > EF .

Oznacme ζ(ε) riešenie podmienky pre spektrum (98) pre základný stav, tj.s(ε,ζ(ε),λ)≡ 0, potom pocet stavov bezprostredne pod Fermiho hladinou je 2ζ(εF).Zo zistených vlastností vlastných hodnôt vieme (pozri (102)), že pokial’ εF = 1,potom rovnost’ζ(εF) = λ, co je prípad, ktorý je v [9] uvažovaný.

Predstavu o citlivosti poctu stavov na hodnote Fermiho energie aεF získamez podmienky

ds(ε,ζ(ε),λ)

dε= 0. (113)

Derivácia závisí naε,n2 a λ, teda

dζ(ε)dε

= C(ε,n2,λ), (114)

a preεF = 1 dostávame

C(1,0,λ) = λ1F(1,0,0)1 (− 1

2 ; 12 ;0)+ 1F(1,0,0)

1 (0; 32 ;4λ2)

1−e4λ2 +2λ√

πerfi(2λ)(115)

kde preλ > 4 je 16 C(1,0,λ) ≈ 0,886227.Vzhl’adom na skutocnost’, že pri konštantnomE2 je dζ = ldk1 = 2πl

L1dn1 a

pocet stavov∆n1 pod Fermiho hladinouεF je preλ ≫ 1 rádovo

∆n1 =k1L1

2π≈ L1L2

2πl2 ,

potomdn1

∆n1≈ l

L2C(ε,n2,λ)dε ≈ 0,886

lL2

dε. (116)

3.2.6 Citlivost’ systému na vonkajšie elektrické poleE2

Rovnica (87) udáva vzt’ah medzi bezrozmernou velicinou ε a vlastnou energiousystémuE, kde ε je riešením rovnices(ε,z0,zL) = 0 (pozri (95)), resp. riešenímrovnices(ε,ζ,λ) = 0 (pozri (98)), kdeζ = z0 + λ a 2λ = L2/l .

Z uvedeného vyplýva, že samotné riešeniaε sú funkciouE2, na rozdiel od toho,co predpokladali HANSEN a kol. [9]. Z definícieζ a z0 (pozri (92)) vyplýva, že ak

16

1F(1,0,0)1 (a;b;z) =

zb

F112201

(

a+1;1;1,a2,b+1; ;a+1

z,z

)


všeobecné riešenia ˜s(ε,ζ,λ) oznacíme (pri pevnomλ) ako εn2(ζ) = εn2(ν1,E2),potom

εn2(ν1,E2) = εn2(ν′1,0), (117)

kde

ν′1 = ν1−|q|L1E2

2π~ω. (118)

Inými slovami systém riešení pri nenulovom vonkajšom elektrickom poli E2 jedaný posunutím riešení pri nulovom poli o konštantnú hodnotu, ako je to znázor-nené na obr.3.2.6.

Dôsledkom je, že pokial’ systém má dostatokcasu na prerozdelenie energiímedzi jehocast’ami, pocet stavov pod Fermiho hladinou nie je závislá17 na prí-tomnosti vonkajšieho elektrického pol’aE2.

Výrazne však môže závisiet’ energia systému na intenziteE2, pokial’ sa nachá-dza v špeciálnych stavoch, napríklad vcistých stavochψn1,n2 v oblasti, kdeεn2(ζ)strmo stúpa.

Poznámka7. Uvažujme prípad,ked’E2 ≈ 0 a εF = 1. Energia stavuψ0,n1 silnezávisí naE2, pokial’ k1l = 2πn1/L1 ≈ 0. V tomto prípade totiž

dε ≈ dζ0,886

=dz0

0,886= − qldE2

0,886~ω≈− qlE2

0,886~ω,

a môže predstavovat’ podstatne korekciu k energii, porovnatel’nú s poslednýmidvomi clenmi uvedenými v (87).

Z uvedených dôvodov energiu vlastných stavov píšeme v tvare, ktorý explicitnevyjadruje závislost’ na intenzite elektrického pol’aE2, tj.

En1,n2(E2) = ~ω

[

12

+ εn1,n2(E2)+|q|lE2

~ωk1l +

12

(

qlE2

~ω

)2]

. (119)

3.2.7 Hustota prúdu pravdepodobnosti systému vcistom stave

Poznámka8. Doteraz odvodené výsledky (vlastné energie, ich závislost’ na kvan-tovomcíslen1, i vlastné stavy) dodržaním požiadavku samozdruženosti Hamilto-niánuH ukazovali malé odchýlky od HANSENOVHO odvodenia (pozri [9]). Od-lišnost’ sa prejavuje hlavne pri interpretovaní toho,co HANSEN nazývahustotouLandauovských hladín(pozri vyššie).

17závislost’ je minimálna a súvisí len tým, žeν1 chápeme ako spojitý parameter, kým v skutocnostije celocíselný.


-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

0246810

0ζ

ε

εF

lk1

ζ=−λ |q|lE2~ω

Obrázok 18: V prípade prítomnosti elektrického pol’aE2 6= 0 je závislost’ energiepri pevnomk1 evidentná. Systém energií sa posúva ako celok o hodnotu|q|lE2

~ω oprotistavu sE2 = 0 (systém tenkýchciar).

Neplatnost’ komutacných relácií (25) až (28) a (53) až (56) na celom definic-nom obore HamiltoniánuH, ako aj existencia spolocných vlastných stavov Hamil-toniánuH a operátoru hybnostip1 (ktorý je samozdružený a existuje na rozdielod p2, ktorý samozdružený nie je a preto nezodpovedá hybnostiP2, ktorý naviacneexistuje), HANSENOVO odvodenie prúdu (pozri [9] a tiež vyššie (51) na strane270 a nasledujúce), sa stáva kritickým pri urcení hustoty prúdu na Laughlinovompáse, ako strednej hodnoty rýchlosti elektrónu v staveψL

n,k1(x). Samozdruženost’ a

existencia spolocných vlastných stavovH a p1 má za následok, že stredné hodnotyrýchlostí pocítané pre vlastné stavy systému musia byt’ nulové.

Tvrdenie9. Nech stav|ψ〉 je vlastným stavom samozdruženého operátoruAs vlast-nou hodnotouα a súcasne nech patrí do definicného oboru operátoru[A,B], tj.

ψ ∈ D(A)∩D([A,B]) a A|ψ〉 = α|ψ〉, (120)

potom〈ψ|[A,B]|ψ〉 = 0 (121)

Aby HANSEN a kol. nimi uvedený výpocet mohli urobit’, predpoklady tvrdeniamusia byt’ splnené. Pokial’ sú splnené, tak výsledok je pre obidve stredné hodnotyrýchlostí 0. Pokial’ predpoklady splnené,co by lenciastocne, nie sú, potom prí-slušný výpocet nie je korektný.

Strednú hodnotuv j(n,k1) príslušnej rýchlosti urcenej vzt’ahom (52) (kdej = 1,2 urcuje súradnicu rýchlosti) pocítajú pomocou komutacných relácií (53)až (56), využitím toho, že podl’a transformácií (25) až (28)(pozri strana 267 ad’alej) je

x j = Π j + ξ j , j = 1,2.


Dôsledkom toho, že HANSEN a kol. ignoruje skutocnost’, že vlastné stavy Ha-miltoniánu H sú súcasne vlastným stavom operátoru hybnostip1 a nimi použitékomutacné relácie (53) až (56) nie sú platné, obdržia výsledok, ktorý ocakávajú(pozri [9] a tiež (57) a (58) na strane 271.

V skutocnosti (ako uvidíme nižšie) prúd môže vzniknút’ jedine ako dôsledoksuperponovaného stavu systému.

Poznámka10. Základným problémom používania komutacnej relácie

[x1, p1] = i~1 (122)

je, v definicnom obore, v ktorom platí. Oznacme definicný obor komutátora nal’avej strane (122). Platí, že

D([x1, p1]) = D(x1p1)∩D(p1x1), (123)

kde obidva operátory môžeme písat’ v tvare

x1 = x11⊗12, (124)

p1 = p11⊗12, (125)

kde 12 je jednotkový operátor definovaný na celom Hilbertovom priestore

H2 = L2([0,L2]) (126)

a operátoryx11 a p11 na

D(x11) = H1 = L2([0,L1]), (127)

D(p11) = ψ ∈ H1| ψ(0) = ψ(L2). (128)

Platí, že

D(x11p11) = ψ ∈ D(p11)| (p11ψ) ∈ D(x11) = D(p11) (129)

D(p11x11) = ψ ∈ D(x11)| (x11ψ) ∈ D(P11),= ψ ∈ AC([0,L1])| ψ(0) = ψ(L1) = 0, (130)

z coho plynie, že pravá strana komutacnej relácie (122) je zúžením operátoru iden-tity 1 na definicný obor komutátora,

D([x1, p1]) = (D(x11P11)∩D(p11x11))⊗H2 6= H = H1⊗H2. (131)

Do tejto podmnožiny nepatrí ani jeden z vlastných stavov operátoru p1, ani jedenz vlastných stavov HamiltoniánuH.

Fyzikálny význam operátorup2 nie je zrejmý, preto je diskutabilné skúmat’jeho komutátor s operátoromx2.


K definovaniu hustoty prúdu v staveψ sa využíva operátor rýchlosti (pozrinapr. [9]) so zložkamiv0

1 av02 definovaný pomocou komutacnej relácie

v0j =

1i~

[x j ,H], j = 1,2. (132)

Tvrdenie11. Operátoryv0j definované na prirodzenej podmnožine

D(v0j ) = D([x j ,H]) = D(x jH)∩D(Hx j) (133)

nie sú samozdružené.

Dôkaz. Definicný obor operátorov polohy je celý Hilbertov priestor

D(x j) = H = H1⊗H2, (134)

nakol’ko Laughlinov pás je obmedzený, kým definicný obor HamiltoniánuH mô-žeme písat’ v tvare

D(H) = (D1⊗H2)∩ (H1⊗D2), kde (135)

D1 = ψ ∈ AC2([0,L1])| ψ(0) = ψ(L1), ψ′(0) = ψ′(L1), (136)

D2 = ψ ∈ AC2([0,L2])| ψ(0) = ψ(L2) = 0. (137)

Pre operátorx jH preto platí, že

D(x jH) = ψ ∈ D(H)| (Hψ) ∈ D(x j) = H = D(H). (138)

OperátoryHx j budeme analyzovat’ zvlášt’ prej = 1 a j = 2.Nech j = 1, potom

D(Hx1) = ψ ∈ D(x1) = H | (x1ψ) ∈ D(H), (139)

explicitne musia byt’ splnené okrajové podmienky

0 = L1ψ(L1,x2)), ∀x2 ∈ [0,L2], (140)

ψ(0,x2) = ψ(L1,x2)+L1∂ψ(L1,x2)

∂x1, ∀x2 ∈ [0,L2], (141)

0 = x1ψ(x1,0) = x1ψ(x1,L2), ∀x1 ∈ [0,L1]. (142)

Posledná z podmienok je splnená triviálne. Operátorv01 sa dá prirodzeným spôso-

bom definovat’ naD(v01) (pozri (133)), pricom platí, že

D(v01) = ψ ∈ D(H)| ψ(0,x2) = ψ(L1,x2) = 0, (143)

∂∂x1

ψ(0,x2) = ∂∂x1

ψ(L1,x2) = 0,∀x2 ∈ [0,L2].


Pôsobenie operátoruv01 na definicnom oboreD(v0

1) je daný diferenciálnym vý-razomv1 definovaného pomocou diferenciálneho výrazuh pre Hamiltonián (pozri(73) na strane 274) ako

v j ≡1i~

(x jh−hx j). (144)

explicitne v Landauovej kalibrácii (72) (pozri strana 72)

v1 ≡1m

(

−i~∂

∂x1+qBx2

)

(145)

Z rovnosti

∫ 1

0χ(x)(−iψ′(x)−aψ(x))dx= −i[χ(x)ψ(x)]10 +

∫ 1

0(−iχ(x)−aχ(x))ψ(x)dx

(146)plynie, že definicný obor združeného operátoruv0

1∗

nie jeD(v01), lebo

D(v01∗) = χ ∈ AC([0,L1]⊗H2. (147)

Nech terazj = 2, potom

D(Hx2) = ψ ∈ D(x2) = H | (x2ψ) ∈ D(H) ⊃ D(H), (148)

nakol’ko podmienka(x2ψ(x)) ∈ D(H) znamená, že(x2ψ(x))x2=0 = 0 je splnenátriviálne. Použitím (138) dostávame pre definicný obor operátoruv2, že

D(v02) = D(H). (149)

Pôsobenie operátoruv02 je daný obdobne ako v prípadev1 vzt’ahom (138), expli-

citne diferenciálnym výrazom

v2 ≡−i~

m∂

∂x2. (150)

Z rovnosti (146) prea = 0 plynie, že

D(v02∗) = H2⊗ψ ∈ AC([0,L2]), (151)

Z coho plynie, že operátorv02 nie je samozdružený.

Poznámka12. Fyzikálne prijatel’ný operátor rýchlostiv1 môžeme obdržat’ štan-dardnou procedúrou samozdruženého rozšírenia príslušného symetrického operá-toru v0

1. Symetrický operátorv01 pôsobí prostredníctvom diferenciálneho výrazuv1


(pozri (145)) na funkciáchC∞0 ([0,L1]× [0,L2]). Definicný obor fyzikálne prijatel’-

ného samozdruženého rozšíreniav1 bude

D(v1) = ψ ∈ AC([0,L1])| ψ(0) = ψ(L1)⊗H2. (152)

K dôkazu stací prešetrit’ rovnost’ (146).Podobnou procedúrou nie je možné definovat’ samozdružený operátorv2, zrovna

tak, ako ani samozdružený operátor hybnostip2 (pozri napr. [40]).

Z vyššie uvedených dôvodov vieme definovat’ prúd pravdepodobnosti len v sme-re x1, ale strednú hodnotu rýchlosti elektrónu v staveψ môžeme urcit’ ako casovúderiváciu strednej hodnoty polohyx, tj.

〈v j〉(t) =ddt

〈ψ(x, t)|x j |ψ(x, t)〉. (153)

Uvažujme stavψ, ktorý môžeme vcaset0 rozvinút’ podl’a vlastných stavovHamiltoniánu do tvaru

ψ(x, t0) = ∑n1 ∈ Z

n2 ∈ N0

Cn1,n2(t0)ψn1,n2(x), (154)

potom vcaset môžeme tento stav písat’ v tvare

ψ(x, t) = ∑n1 ∈ Z

n2 ∈ N0

Cn1,n2(t)ψn1,n2(x), (155)

= ∑n1 ∈ Z

n2 ∈ N0

eεn1,n2

i~ (t−t0)Cn1,n2(t0)ψn1,n2(x). (156)

Strednú hodnotu rýchlostí〈v j〉 môžeme písat’ v tvare

〈v j〉 = ∑n1,r1 ∈ Z

n2,r2 ∈ N0

(εr1,r2 − εn1,n2)Cn1,n2Cr1,r2

〈ψn1,n2|x j |ψr1,r2〉i~

(157)

Pokial’ je ψ vlastným stavom, stredné hodnoty rýchlostí sú nulové.Pre jednotlivé zložky rýchlosti dostávame zjednodušené výrazy

〈v1〉 = ∑n1,r1 ∈ Z

n2 ∈ N0

(εr1,n2 − εn1,n2)Cn1,n2Cr1,n2

〈ψn1|x1|ψr1〉i~

(158)

=L1

h ∑n1,r1 ∈ Z

n1 6= r1n2 ∈ N0

Cn1,n2Cr1,n2

εr1,n2 − εn1,n2

r1−n1(159)


C2(x2)

C1(x1)

x1

x2

Obrázok 19: Na obrázku sú vyznacené krivkyC1 a C2. Tieto krivky môžeme para-metrizovat’ príslušnými súradnicami na Laughlinovom páse.

a

〈v2〉 = ∑n1 ∈ Z

n2,r2 ∈ N0

(εn1,r2 − εn1,n2)Cn1,n2Cn1,r2

〈ψn2|x2|ψ r2〉i~

(160)

Hustotu prúduj1(ψ; ,x, t) môžeme definovat’ pomocou diferenciálneho výrazuv1 popisujúceho pôsobenie operátoru rýchlostiv1 (pozri tiež poznámku 12) v sú-radnicovej reprezentácii (v Landauovej kalibrácii) tj.

j1(ψ;x, t) = ℜψ(x, t)v1ψ(x, t). (161)

Poznámka13. Ukázali sme (pozri poznámku 12), že je možné definovat’ samo-združený operátor rýchlostiv1 s definicným oborom (152).

Riešením diferenciálnej rovnice

v1ψ(x) = v1ψ(x) (162)

zistíme, že riešenia

ψ(x) = exp

im~

(

v1x1−qBm

x1x2

)

(163)

nepatria do definicného oboruD(v1) pre žiadnu hodnotuv1 (nie je možné splnit’podmienkuψ(0,x2) = ψ(L1,x1) pre všetkyx2 súcasne). Z uvedeného vyplýva, žeoperátor rýchlostiv1 má prázdne bodové spektrum.


Definujme zovšeobecnenie hustoty prúdu pravdepodobnostij1(ψ,χ;x, t) ako

j1(ψ,χ;x, t) =i~2m

(

χ(x, t)∂

∂x1ψ(x, t)−ψ(x, t)

∂∂x1

χ(x, t)

)

− qm

A1(x, t)ψ(x, t)χ(x, t), (164)

=i~2m

(

χ(x, t)∂

∂x1ψ(x, t)−ψ(x, t)

∂∂x1

χ(x, t)

)

− qm

Bx2ψ(x, t)χ(x, t), (165)

potom hustota prúdu pravdepodobnosti (161) pre stav (155) bude mat’ tvar

j1(ψ;x, t) = ∑n1,r1 ∈ Z

n2,r2 ∈ N0

Cn1,n2Cr1,r2 j(ψn1,n2,ψr1,r2;x). (166)

Definujme na Laughlinovom páse dva typy kriviek:

1. Úsecky C1(x1) kolmé na hranu pásu (otvorená krivka v smerex1 - pozriobr. 19

C1(x1) = (x1,x2)|x2 ∈ [0,L2],x1 = const., x1 ∈ [0,L1], (167)

2. KružniceC2(x2) rovnobežné s hranou pásu (uzavretá krivka v smerex1 -pozri obr. 19)

C2(x2) = (x1,x2)|x1 ∈ [0,L1],x2 = const., x2 ∈ [0,L2], (168)

Vel’kost’ elektrického prúduI1 v smerex1 cez krivkuC1(x1) je

I1(x1) = q∫

C1(x1)e1 · j(ψ;x, t)dx2 (169)

kde e1 je jednotkový vektor v bodex v smerex1 a q je elektrický náboj nosica(elektrónu).

Definujme obdobným spôsobom prúdové elementy

In1,n2;r1,r21 (x1) = q

∫

C1(x1)e1 · j(ψn1,n2,ψr1,r2;x, t)dx2 (170)

Využitím ortonormality18 vlastných stavov (109) dostaneme

18výber ortonormálnej báze je možný aj v prípade náhodnej degenerácie spektra


In1,n2;r1,r21 (x1) = A

[

π(n1 + r1)δn2r2 −εqL1

l2 〈ψ2,n1,n2|x2|ψ2,r1,r2〉]

,

(171)

A =q~

mL21

e2πix1L1

(r1−n1). (172)

Platí pre všetkyn1, r1 ∈ Z a všetkyn2, r2 ∈ N0, že

In1,n2;r1,r21 (x1) = I r1,n2;n1,r2

1 (x1), (173)

In1,n2;r1,r21 (x1) = In1,r2;r1,n2

1 (x1) (174)

Stredná hodnota prúduI1(ψ;x1, t), ktorý tecie krivkou C1(x1) v staveψ(x, t)daného vzt’ahom (154) ako superpozícia vlastných stavov je

I1(ψ;x1, t) = q∫

C1(x1)j(ψ; ,x, t)dx2 (175)

bude mat’ tvar

I1(ψ;x1, t) = ∑n1,r1 ∈ Z

n2,r2 ∈ N0

Cn1,n2Cr1,r2 In1,n2;r1,r21 (x1). (176)

Stredná hodnota prúduI1(ψ; t) vyjadrená ako

I1(ψ; t) = ℜ〈ψ|v1|ψ〉 =∫ L1

0dx1 I1(ψ;x1, t) (177)

pomocou stredných hodnôtciastkových prúdovIn1,n2;r1,r2 (v staveψ)

In1,n2;r1,r2 =∫ L1

0dx1 In1,n2;r1,r2(x1), (178)

ktorých tvar je

In1,n2;r1,r21 =

q~

mL1δn1r1

[

2πn1δn2r2 −εqL1

l2 〈ψ2,n1,n2|x2|ψ2, r1, r2〉]

(179)

bude

I1(ψ; t) =qh

mL1∑

n1 ∈ Z

n2 ∈ N0

n1|Cn1n2|2 (180)

−|q|~ml2 ∑

n2,r2∈N0

〈ψ2,n1, n2|x2|ψ2,r1, r2〉 ∑n1∈Z

Cn1,n2Cn1,r2


Poznámka14. Tento výsledok len zdanlivo odporuje výsledku (157) a d’alej, ktorépre cisto vlastné stavy, tj.ψ = ψn1,n2 dávajú nulový výsledok, kým z (179) a d’a-lej to neplynie. Vlastný stav predstavuje stav, ktorého hustota pravdepodobnosti jetranslacne invariantná voci posunutiu v smerex1, preto relácie (157) a d’alej nevy-povedajú o prúde, ktorý v systéme tecie, ale sú popísané vzt’ahmi (179) a d’alej.Z uvedeného žial’ tiež vyplýva, že chýba možnost’ definovania prúdu v smerex2

pomocou diferenciálnych výrazov.Tento problém je o to viac závažný, že tu uvažovaná geometriasystému (Laugh-

linov pás) nie je reálne usporiadanie, typické experimentálne usporiadanie predsta-vuje oblast’, ktorá nemá žiadnu translacnú symetriu19, s ktorým sa budeme zaobe-rat’ nižšie, ale o ktorom nemáme povedomost’, že by experimentálne bol realizo-vaný, a právom môžeme ocakávat’, že problémy s korektným definovaním prúdumôžu byt’ tiež prítomné.

Záverom poznamenajme, že výsledky zhrnuté vzt’ahmi (179) ad’alej neodpo-rujú ani tvrdeniu (9). Treba si všimnút’ toho, že stredná hodnota komutátora (121)sa v našom prípade dá pocítat’ len pre také stavyψ, ktoré sú z definicného oboru da-ného vzt’ahom (143), do ktorého nepatrí ani jeden z vlastných stavov HamiltoniánuH. Výsledky obdržané vyššie boli obdržané pomocou vhodne skonštruovaného sa-mozdruženého rozšírenia operátora (132), pricom prev2 žiadne samozdružené roz-šírenie neexistuje.

Poznámka15. Riešenie tohoto problému sa ponúka v definícii systému na trans-lacne symetrickom priestore (napr.R

2, v našom prípadeS1×R), kde podstatná ob-last’ systému (vzorka) sa ohranicí potenciálovou bariérou výškyV, ktorej hodnotaje vel’ká – obdobným spôsobom, ako sa rieši problémnekonecne hlbokej poten-ciálnej jamy(pozri napr. FORMÁNEK [37]).

V našom prípade Laughlinov pás môžeme predstavit’ ako oblast’ na dne po-tenciálnej jamy na nekonecne širokom prstenci, kde Hamiltonián systému je danýdiferenciálnym výrazomhe (pozri (73)) definovanom naΩe ako

he ≡ h+V(x), (181)

kde

V(x) =

0 x∈ ΩV0−qE2x2 > 0 x∈ (Ωe\Ω)

(182)

a

Ω = S1× [0,L2], (183)

Ω = S1×R. (184)

(185)

19Výnimku tvorí usporiadanie navrhnuté HALPERINOM (pozri [3])


Na takomto priestore je možné definovat’ operátor rýchlostiaj pre smerx2 samo-združeným spôsobom a jeho pôsobenie na Laughlinovom páse bude dané diferen-ciálnym výrazomv2. PreV0 −→ ∞ budú vlastné stavy príslušného HamitloniánuHe konvergovat’ k vlastným stavom Hamiltoniánu aH a vlastné hodnoty tiež.

Nakol’ko za vlastné stavy Hamiltoniánu definovaného diferenciálnym výrazomtypu he je možné v súradnicovej reprezentácii vždy vybrat’ reálne funkcie (pozri[41], str. 78), je zrejmé, že tok v smerex2 bude rovný 0.

Vypocítajme vel’kost’ prúduI1(x1, t) cez vybranú krivkuC1(x1) v prípade, žeψ predstavujecistý stav s kvantovýmicíslamin1,n2. V tomto prípade prúd nezávisínax1, ani nacaset a pre tok j1 môžeme písat’, že

j1 = In1,n2;n1,n21 =

q~

mL1

(

2πn1−εqL1

l2 〈ψ2, n1, n2|x2|ψ2,n1,n2〉)

. (186)

Zapíšme maticový element〈ψ2, n1, n2|x2|ψ2,n1,n2〉 v súradnicovej reprezentácii

〈ψ2, n1, n2|x2|ψ2,n1,n2〉 =

∫ L2

0dx2 x2|ψ2,n1,n2(x2)|2, (187)

kde využitím (84) prepíšeme do bezrozmerných premennýchzako

〈ψ2, n1, n2|x2|ψ2,n1,n2〉 = −(

εq2πn1l2

L1− qE2l2

~ω

)

+ l2D(n1,n2,E2), (188)

kdeD(n1,n2,E2) =

∫ zL

z0

dzz|ψ2,n1,n2(z)|2 (189)

a využili sme normovanostiψ2,n1,n2, cím konecný výsledok môžeme písat’ v tvare

j1 = qE2

B+

2qhmL1

n1−|q|~m

D(n1,n2,E2), (190)

j1 = εqq2l2

~E2 +ql2ω[4πn1− εqD(n1,n2,E2)] (191)

Prvý clen zodpovedá výsledku HANSENA a kol. vyjadreného vzt’ahmi (57) a (61)(porovnaj s [9]), kým ostatnécleny sú výsledkom exaktného riešenia.

Nakol’ko pocet stavov bezprostredne pod Fermiho hladinou (bezprostrednenad) je vel’mi málo citlivé na hodnote Fermiho energie (pozri argumentáciu u vzt’ahu(114) a d’alej), že pocet týchto (preL2≫ l ) stavov môžeme odhadnút’ z relácie me-dzi rozsahom možných kvantovýchcísiel∆n1 a šírkouL2 Laughlinovho pásu

∆k1l2 =2π∆n1

L1l2 ≈ L2 ⇒ ∆n1 =

L1L2

2πl2 . (192)


Na druhú stranu je plošná hustotanq vol’ných nosicov daný reláciou

nq =Nq

L1L2, (193)

kdeNq je pocet vol’ných nosicov vo vzorke. Za vedením obsadzovaciehocíslaνF

pre Fermiho hladinu ako

νF =Nq

∆n1, (194)

potom

l2 ≈ 12π

νF

nq(195)

a môžeme tokj1 pri plošnej hustotenq nosicov písat’ v tvare

j1 ≈ εqq2νF

hE2 + νF

qω2π

〈4πn1− εqD(n1,n2,E2)〉F , (196)

kde 〈.〉F predstavuje strednú hodnotu cez stavy na Fermiho hladine (stavy tesnenad, alebo tesne pod Fermiho hladinou). Pre nediagonálne elementy konduktivityσ dostávame

σ12 = −σ21 ≈ εqq2νF

h+ νF

qω2πE2

〈4πn1− εqD(n1,n2,E2)〉F (197)

3.2.8 Zhrnutie popisu celocíselného kvantového Hallovho javu na Laughlin-ovom prstenci v Hansenovej konštrukcii

HANSEN a kol. zvolili k štúdiu kvantového Hallovho javu špeciálne usporiadanie,kde Hallovo napätie modeloval pridaním vonkajšieho elektrického pol’a vel’kostiE2.

Tento prístup bol zo strany JOHNSTONA a SCHWEITZERA silne kritizovaný,lebo ako zdôraznili, dochádza tu k zámene dôsledku za prícinu. Hallovo napätievzniká ako dôsledok elektrického prúdu vo vodici pod vplyvom vonkajšieho mag-netického pol’a a nie prúd vzniká v dôsledku prítomnosti Hallovho napätia (pozri[23]).

Zdôraznujú tiež výsledky uvádzané v [42], kde ukázali, že predpoklad konštant-nostiE2 je vel’mi svojvol’ný a silný požiadavok (bližšie ho HANSEN a kol. nezdô-vodnujú). Pokial’ predpokladajú stály potenciálny rozdiel∆U medzi hranami pásu,pricom menia priebeh intenzity elektrického pol’a, obdržia saúplne iné výsledkypreσ12 = I1/∆U .


Poznámka16. Tieto dost’ silné argumenty nás privádzajú k myšlienke, ktorá pourcitej stránke ospravedlnujú prístup HANSENA a kol. co sa týka usporiadania sys-tému a zoslabujú argument o zámene dôsledku a príciny.

Riešením tohoto systému sme ukázali, že v tomto systéme môževzniknút’ prúdv smerex1 a závisí od hodnotyE2 intenzity priecneho elektrického pol’a. Vel’kost’prúdu, ako aj intenzitaE2 vonkajšieho elektrického pol’a urcujú hustotu pravdepo-dobnosti nosica náboja (d’alej len elektrónu). Pri konštantnej hodnoteE2 je možnémenit’ vel’kost’ toku tým, že elektrón uvedieme do iného stavu, charakterizova-ného kvantovýmicíslamin1 a n2. Aj táto samostatná zmena mení rozloženie hus-toty pravdepodobnosti a tým aj rozloženie hustoty elektrického náboja v smerex2

a mení tým napätie medzi hranami Laughlinovho pása. V klasickej terminológiiby sme mohli povedat’, že vonkajšie elektrické pole intenzity E2 sa superponujeelektrickým pol’om vznikajúceho v dôsledku Hallovho javu (prúdu pod vplyvomkolmého magnetického pol’a) a preto zmena napätia medzi hranami pása nepochá-dza len od vonkajšieho pol’a. inými slovami, pokial’E2 = const., napätie medzihranami nie jeE2L2, ale modifikované Hallovym napätím.

Zo zmeny rozloženia hustoty náboja by bolo možné zmapovat’ elektrické polegenerované len Hallovym javom (nazvemeHallovym pol’om).

Je teda síce pravda, že vonkajšie elektrické pole intenzityE2 nemôžeme a pri-ory stotožnit’ s elektrickým pol’om generovaného Hallovymjavom, ale na druhústranu Hallov jav je možné sledovat’ aj v tomto usporiadaní aspojitou zmenouvel’kosti E2 intenzity vonkajšieho pol’a môžeme spojito menit’ vel’kost’ elektric-kého pol’a generovaného Hallovym javom. Rozloženie nábojavo vzorke je potomvýsledkom superpozície vonkajšieho elektrického pol’a a pol’a generovaného Hal-lovym javom.

Nedochádza teda k zámene dôsledku s prícinou. Priecne poleE2e2 mení súborstavov systému,co sa prejaví v elektrickom prúde v smerex1, ktorý pod vplyvomvonkajšieho magnetického pol’aB generuje Hallovo napätie.

Predstava, žeL2E2 je vel’kost’ Hallovho napätia (tak, ako to používa HANSEN

a kol. v [9]) je nesprávna, ale ani argumentácia JOHNSONA a SCHWEITZERA ne-obstojí v tom, že rôzne realizácie napät’ového rozdielu

∆V =

∫ L2

0dx2E2(x2)

vedúce odlišným prúdom sú prejavom zámeny dôsledku s prícinou a dané usporia-danie nie je vhodné pre štúdium kvantového Hallovho javu ([23]).

Skutocnost’, žecím bol elektrický prúd vyvolaný, je v tomto supravodivomrežime nepodstatné.

Taktiež sa ukazuje po urcitej stránke byt’ nepodstatným prítomnost’ vonkaj-šieho elektrického pol’a. Stavy s nenulovým prúdom sú vlastné stavy systému a


k svojej existencii nepotrebujú prítomnost’ vonkajšieho elektrického pol’a. Pred-pokladajme, že vonkajšie elektrické pole nie je prítomné, tj. E2 = 0. Pokial’ tecievo vzorke (ktorá je supravodivá) prúd, mohol by byt’ pozorovaný Hallov jav alebokvantový Hallov.

Pokial’ E2 6= 0, prúd aj prípadné Hallovo napätie generované v supravodici mô-žeme menit’ spojito20. Že tomu tak môže byt’ ukazuje závislost’ vlastných stavovaj vlastných hodnôt na vel’kostiE2 intenzity elektrického pol’a. V tomto prípadeby sa jednal o efekt, ked’ prúd vo vodici v smerex1 je vyvolaný neštandardnýmspôsobom.

Poznámka17. Vel’kost’ intenzity elektrického pol’a generovaného Hallovym ja-vom (Hallovo pole) môžeme urcit’ lokálne zo znalosti hustoty toku pravdepodob-nosti.

Ukázali sme, že pokial’ systém je vo vlastnom staveψn1,n2 (vlastný stav Ha-miltoniánu), potom tok cez krivkuC1 je konštantný a to isté platí o hustote tokupozdlž krivky C2(x2)

21. Môžeme povedat’, že rýchlost’ toku pozdlž krivky C2(x2)závisí od hodnotyx2. Ak prejdeme do lokálnej inerciálnej sústavy, kde vel’kost’toku v danom bode bude nulová22, Lorentzova transformácia magnetickej indukcieB nám urcí intenzitu elektrického pol’a generovaného kvantovým Hallovym javoma môžeme urcit’ aj príslušnú zložku konduktivity. Ukazuje sa teda, že prapôvodom(kvantového) Hallovho javu je v tomto usporiadaní kvantovanost’ systému a jehozávislost’ naE2.

Taktiež je zrejmé, že prúd v smerex1 týmto spôsobom je možné generovat’a menit’ aj v prípade, že nebude prítomné magnetické poleB. To plynie priamoz definície hustotyj1(ψ;x, t) (pozri (161)) prúdu definovaného pomocou operá-toru rýchlostiv1, ktorého pôsobenie je popísané diferenciálnym výrazomv1 (pozri(145)) a z tvaruψ1(x1) casti vlastného stavu závislej nax1 (pozri (110)).

3.2.9 Hallovo napätie na Laughlinovom páse v supravodivom režime v Han-senovom usporiadaní

Prvé tri clánky (AOKI a ANDO v [1], L AUGHLIN v [2] a HALEPRIN v [3]) tvoriazáklad vel’mi pocetnej publikácie, u ktorých je možné sa dopátrat’ pôvodu základ-ných modelových predstáv.

Výpocet Hallovho napätia je v týchto prípadoch založený na kvantovanosti

20Uvažujeme o modeli a nezvažujeme prípadné technické problémy pri realizácii skutocnéhoexperimentu. Pri pomalej zmene vel’kostiE2 ale môžeme indukované magnetické pole zanedbat’a naše modelové úvahy tým získavajú na korektnosti.

21zdôraznujem, že pritom žiadny stav nie je vlastným stavom operátoru rýchlostiv122v klasickej terminológii je rýchlost’castíc na prúdnici nulová


magnetického tokuΦ, ktorý tecie otvorom vytváraným Laughlinovym pásom (v prí-pade HALPERINA otvorom v strede disku) – pozri obr.4.

Na tento mechanizmus sa môžeme pozriet’ podrobnejšie z pohl’adu nášho ma-tematicky korektnejšieho prístupu.

Predpokladajme, že systém je urcený ako v prípade HamiltoniánuH (pozricast’Hamiltoniánv paragrafe 3.2.1 na strane 273), doplnený magnetickým tokomvel’kosti Φ, ktorý tecie otvorom Laughlinovho pásu a nepretína jeho povrch. Vek-torový potenciál je v tomto prípade (v Landauovej kalibrácii)

AΦ(x) =

(

ΦL1

−Bx2,0

)

. (198)

Hamiltonián tohoto systému oznacme HΦ a diferenciálny výraz popisujúci jehopôsobenie akohΦ, ktorého tvar je

hΦ ≡= h+1

2m

[

2iq~ΦL1

∂∂x1

−2q2BΦL1

x2 +q2Φ2

L21

]

. (199)

Fyzikálne prijatel’ný definicný obor HamiltoniánuHΦ je identický s definicnýmoborom HamiltoniánuH, tj. (explicitný tvar pozri (135) a nasledujúce)

D(HΦ) = D(H). (200)

Vlastné stavyψn1,n2(Φ) v súradnicovej reprezentácii aj v tomto prípade môžemepísat’ v tvare

ψn1,n2(Φ;x) = ψ1,n1(x1)ψ2,n1,n2(x2), (201)

ψ1,n1(Φ;x1) = N1eik1x1, (202)

ψ2,n1,n2(Φ;x2) = N2e−z22(

w2(zL)w1(z)−w1(zL)w2(z))

ε=εn1,n2(203)

kde

z(Φ) =x2

l− qE2l

~ω+ εqlk1−

ΦBlL1

, zL(Φ) = z(Φ)|x2=L2, (204)

N1 aN2 sú normovacie konštanty (N1 = 1/√

L1) a funkciew1 aw2 sú dané vzt’ahmi(89) a (90), kdeε urcuje vlastné hodnoty obdobne ako (87) alebo explicitne (119)v tvare

En1,n2(Φ,E2)

~ω=

12

+ εn1,n2(Φ,E2)+|q|lE2

~ω

(

k1l +εqΦBlL1

)

+12

(

qlE2

~ω

)2

.

(205)Samotnéεn1,n2(Φ,E2) (skrátene lenε) je riešením rovnice

s(ε,z0(Φ),zL(Φ)) = 0, resp. s(ε,ζ(Φ),λ) = 0


pozri (95) resp. (98), kde

z0(Φ) = −qE2l~ω

+ εqlk1−Φ

BlL1, zL(Φ) =

L2

l− qE2l

~ω+ εqlk1−

ΦBlL1

(206)

a ζ(Φ) je definovaný vzt’ahom

ζ(Φ) = z0(Φ)+ λ. (207)

Tvrdenie18. NechΦ = he s, kdes∈ Z, potom HamiltoniánHΦ je unitárne ekvi-

valentný HamiltoniánuH.

Toto tvrdenie je základom LAUGHLINOM používaného argumentu (pozri [2])pre vysvetlenie kvantového Hallovho javu, ktorý dokážeme pre náš systém expli-citne.

Dôkaz. Ak Φ = he s, potom

εqlk1−Φ

BlL1=

2πlL1

(εqn1−s) (208)

a ku každémus existuje celécíslo n′1 = n1 = εqs, že uvedený výraz je nulový.Potomz(φ) = z(0) a tiež ζ(Φ) = ζ(0) a rovnica ˜s(ε,ζ(Φ),λ) = 0 má identickýsystém riešení ako ˜s(ε,ζ(0),λ) = 0. Položme pre všetkyn1 an2

εn1,n2(Φ,E2) = εn1−εqs,n2(0,E2), (209)

potom pre všetkyn1 an2 platí, že

En1,n2(Φ,E2) = En1−εqs,n2(0,E2) (210)

a pre vlastné funkcie v súradnicovej reprezentácii

ψ1,n1(Φ;x1) = ei2πεqs

L1x1ψ1,n1−εqs(0;x1), (211)

ψ2,n1,n2(Φ;x2) = ψ2,n1−εqs,n2(0;x2) (212)

ψn1,n2(Φ;x) = ei2πεqs

L1x1ψn1,n2(0;x) (213)

Definujme operátorUΦ naH ako operátor násobenia funkciou expi qΦ~L1

x1, tj.

(UΦψ)(x) = ei2πεqs

L1x1ψ(x). (214)

OperátorUΦ je naH unitárny a zrejme platí, že

UΦψn1,n2(0,x) = ψn1−εqs,n2(Φ,x) (215)

a z existencie rozkladu jednotky preH aHΦ plynie, že

HΦ = UΦHU−1Φ . (216)


Pre operátor rýchlostiv1,Φ systému popísaného HamiltoniánomHΦ platí ob-dobne, že

v1,Φ = UΦv1U−1Φ (217)

s definicným oboromD(v1,Φ) = D(v1) pozri (152) a jeho pôsobenie na definicnomobore je dané diferenciálnym výrazom

v1,Φ ≡ 1m

(

−i~∂

∂x1+qBx2−q

ΦL1

)

, (218)

alebo

v1,s ≡1m

(

−i~∂

∂x1+qBx2−

hsL1

)

, (219)

od coho môžeme odvodit’ hustotu prúdu ako v prípadeΦ = 0.Popis toho, žeco sa v systéme deje pri zvyšovaní magnetického tokuΦ je

v citovaných prácach analyzovaná na základe fyzikálnych predstáv o lokalizáciinosicov elektrického náboja (dynamika nie je modelovaná). Podl’a týchto predstávsú nosice elektrického prúdu lokalizované v úzkych pásoch rovnobežných s hra-nou Laughlinovho pásu a stred ich polohyx20 v staveψn1,n2(Φ) je daný približnereláciou (204), tj.

x20 =qE2l~ω

− εqlk1 +Φ

BlL1, (220)

ktoré je zdôvodnené symetrickým rozložením hustoty pravdepodobnosti okolo stre-du, kdez(Φ) = 0 (HALPERIN [3]). Tento priebeh je schematicky znázornený naobr. 3.2.9 a z tejto predstavy vychádza urcenie Hallovho napätiaUH , ktorý sa rovnázmene energie systému (na strane jednej) a práci konanej pri„premiestení“n nosi-cov náboja z jednej hrany pásu na druhý pri potenciálnom rozdieleUH (LAUGHLIN

[2]) – pre jednoduchost’ predpokladajmeE2 = 0.Celková zmena energie∆E(Φ) systému sa rovná

∆E(Φ) = ∑n1,n2

′[En1,n2(Φ,E2)−En1,n2(0,E2)] , (221)

kde ∑′ predstavuje súcet cez obsadené stavy. Porovnaním s (205) zistíme, že priT → 0 prispievajú v dôsledku unitárnej ekvivalencieHΦ s H len stavy, ktoré mô-žeme považovat’ za „premiestené“ (pozri obr. 3.2.9). Pri nulovom vonkajšom elek-trickom poli E2 dostávame, že

∆E(Φ) = ~ω ∑n1,n2

′[εn1,n2(Φ,0)− εn1,n2(0,0)] , (222)

Z charakteru závislosti riešeníε na n1 plynie (pozri obr. 3.2.9), že pokial’εF sanachádza medzi dvomi minimami série vlastných hodnôtε.,n2 a ε.,n2+1 (co sú pri-bližne susedné hodnoty pre lineárny harmonický oscilátor aautori väcšiny publi-kácií pod nimi rozumejú hodnoty zodpovedajúce Landauovým stavom, hladinám),


-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

0246810

0

Φ=0

εF

ζ

ε

n1

(a)

-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

0246810

0

Φ= hq

εF

ζ

ε

n1

(b)

Obrázok 20: Na obrázku sú schematicky znázornené neobsadené stavy (prázdny krú-žok) a obsadené stavy v systéme (poloplný a plný krúžok). Nacasti (a) obrázku jesystém priΦ = 0 (tiežE2 = 0) a v rovnováhe. Po zmene magnetického toku na hod-notuΦ = h

q (cast’ (b) obrázku) obsadenie príslušných stavov zostáva nezmenená, aleich energetický stav sa zmení (systém sΦ = 0 je znázornený prerušovanouciarou).Tento stav je unitárne ekvivalentný prípadu, ked’ všetky stavy zmenia svoje kvantovécíslon1 o hodnotu−1. Efektívne to znamená, akoby sa elektrón lokalizovaný prijed-nej hrane sa presunul k druhej hrane Lauhlinovho pásu. Poloplné krúžky predstavujústavy, ktorých hodnotaε sa nemení podstatne – pokial’ sú medzi okrajovými stavmiobsadené všetky stavy, tak ich súcet je konštantný.

dostatocne d’aleko od nižšej z nich, potom je zrejmé, že∆E rastie vel’mi pozvolna,co vedie k tomu, žeUH ≈ 0, tj. ajρ12≈ 0 23 . Tento stav potrvá až do okamihu, ked’pocet obsadených stavov v blízkosti hrany sa vycerpajú. Pod stavmi blízko hranytu rozumieme stavy, ktorýchε závisí nan1 podstatne výraznejším spôsobom, nežε stavov „uprostred Landauových hladín“.

Situácia, ked’ pocet obsadených stavov blízko hrany sa vycerpajú, zmena∆E(Φ) prostredníctvom∑′(ε(Φ)− ε(0)) sa stáva výraznejším,co je znázornenéna obr. 3.2.9

Poznámka19. Zaujímavá je skutocnost’, že rovnakým mechanizmom je možné„precerpávat’“ stavy od jednej hrany k druhej aj zmenou intenzity vonkajšiehoelektrického pol’aE2 (pozri vyššie, alebo vzt’ah (117) a analýzu citlivosti systémunaE2).

Kvantovanost’ρ12 je jednoznacne spojené s kvantovanost’ou magnetickéhotoku Φ, ako dôsledku kalibracnej invariancie systému (pozri (18) a (19), ev. [2]).

Pokial’ popis model neinteragujúcich elektrónov podáva správne vysvetlenie

23 samozrejme tieto hodnoty nie sú nulové;treba tiež poznamenat’, že celkový prúd v systéme rastie podstatne rýchlejšie vd’akaclenu−q φ

L1vystupujúcom v definícii operátoru rýchlostiv1 – pozri (218);


-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

0246810

0

Φ=0

εFζ

ε

n1

(a)

-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

0246810

0

Φ= hq

εFζ

ε

n1

(b)

Obrázok 21: Znacenie na obrázku je zhodné so znacením na obr. 3.2.9. V prípade,že εF prislúchajúce Fermiho hladine je tesne nad „Landauovými hladinami“, alebostavy v blízkosti hrany sú „odcerpané“ úplne, dochádza k výraznejšej zmene energiesystému∆E(Φ).

pôvodu prúdu v systéme ako rozdielnej obsadenosti stavov v blízkosti hrán Laugh-linovho pásu (HALPERIN [3]), potom zmenaE2, ktorá ktorá vyvoláva rovnakú asy-metriu, musí tiež vyvolat’ prúd v systéme. Tento prúd indukuje magnetické pole stokom Φ v otvore Laughlinovho pásu a z kalibracnej invariancie musí plynút’, žetento tok musí byt’ kvantovaný. Inými slovami aplikáciou vonkajšieho pol’a inten-zity E2 by sa mohol indukovat’ v systéme prúd analogickým mechanizmom, akovytvára prúd v systéme Hallovo napätie. Pokial’ je toto ocakávanie podložené, v ot-vore Laughlinovho pásu (Halperinovho disku) by sa malo indukovat’ meratel’ný(kvantovaný) magnetický tok.

4 Záver

Našim ciel’om bolo preskúmat’ výsledky dosiahnuté pri modelovaní celocíselnéhokvantového Hallovho javu (d’alej lenkvantový Hallov jav) prostredníctvom mo-delov dvojrozmerného plynu neinteragujúcich elektrónov.Základom modelu dvoj-rozmerného plynu neinteragujúcich elektrónov je jednocasticový model, ktoréhoformulácia je relatívne jednoduchá a hrá dôležitú úlohu priinterpretovaní experi-mentálnych výsledkov dodnes (pozri napr. McCormick a kol. [5], WEITZ a kol.[4], WEISS a kol. [43]).

V prípade väcšiny pocetných teoretických prác je možné sa dopátrat’ jedno-znacného vplyvu trojice pôvodných myšlienok pre modelovanie kvantového Hal-lovho javu (pozri ANDO a AOKI [1], L AUGLHIN [2] a HALPERIN [3]), ktoré saopierajú o výsledky algebraického riešenia problému Landauových hladín (KUBO

a kol. [8]).


Tieto prístupy obchádzajú problematiku základných axiómov kvantovej me-chaniky pomocou fyzikálnych úvah. Oproti deklarovanému riešeniu na priestorovoobmedzenej geometrii (reálna vzorka má konecné rozmery) sa využívajú riešeniaHamitloniánu systému s neobmedzenou geometriou. Tento prístup vedie k pred-stave Landauových hladín s konecnou degeneráciou, pricom daná Landauova hla-dina je úplne degenerovaná.

Ukázali sme v prípade geometrie Laughlinovho pásu (v supravodivom režimea s predpokladom teplotyT → 0), že pri exaktnom riešení sú stavy konkrétnej Lan-dauovej hladiny (oproti prípadu nekonecnej vzorky) nedegenerované aj v prípadenulového elektrického pol’aE2 (môže byt’ prítomná len náhodná degenerácia) —pozri exaktnú podmienku pre spektrum (95), resp. (98) (na strane 277 a d’alej) aobr. 3.2.5 na strane 281 resp. obr. 3.2.9 na strane 300.

Rozštiepenie energetických hladín v dôsledku konecných rozmerov vzorky(konecná geometria) je funkciou rozmerov vzorky ako aj kvantového císlak1, ktoréurcuje súradnicux20 maxima vlnovej funkcie príslušného vlastného stavu – zhrubapovedané súradnicu „polohy“ elektrónu v smere osix2. V tomto zmysle je energiaelektrónov nachádzajúcich sa vo vnútri vzorky vel’mi málo odlišná, kým na krajivzorky je ich energia jasne nedegenerovaná (pozri obr. 3.2.9 na strane 300).24

V tomto zmysle je uvažovanie o konkrétnej Landauovej hladine ako o súborestavov degenerovaných stavov fyzikálne prijatel’né. Rozvojom experimentálnej te-chinky sa stáva zaujímavým aj prípad, ked’ jeden z rozmerov vzorky nie je prílišvel’ký (pozri napr. KAWAJI a kol. [35], MCCORMICK a kol. [5], WEITZ a kol. [4],kde priecny rozmer vzorky je rádovo 10µm.).

Modelovanie kvantového Hallovho javu na malých vzorkách vyžaduje dodrža-nie základných princípov kvantovej mechaniky, nakol’ko efekty z vol’by správnehodefinicného oboru Hamiltoniánu môžu mat’ výrazný vplyv na energetické spek-trum systému podobným spôsobom, ako v prípade modelovania prostredníctvomkontaktných potenciálov (pozri napr. ŠEBA [44], TELEKI [45])

Ukázali sme, že pri dodržaní základných princípov sa narážana problém ne-existencie niektorých samozdružených operátorov, napr. druhej zložky p2 operá-toru impulzu a následne neexistencie samozdruženého operátoru druhej zložkyv2

rýchlosti (pozri tvrdenie 11 na str. 286 a nasledujúcu poznámku 12).Kvantovo mechanicky korektné modelovanie kvantového Hallovho javu v ge-

ometrickom usporiadaní, ktoré by bolo blízke reálnemu usporiadaniu experimentuv podstate neexistuje. Vplyv náhodného potenciálu na kvantový Hallov jav pri mo-delovaní na neobmedzenej vzorke bolo riešených v rade prác (DORLAS s kol. [46],

24Podobné vlastnosti sa dajú ocakávat’ aj v prípade, že vo vnútri vzorky sú poruchy, ktoré môžemematematicky modelovat’ potenciálomV(x) (pôsobenie Hamiltoniánu je potom dané diferenciálnymvýrazomhV ≡ h+V(x) – pozri (73) na strane 274).


[47], [48], COMBES a HISLOP [49], GERMINET a KLEIN [50]).Problematika modelovania na reálnej geometrii sa stáva zaujímavou oblast’ou,

kde výsledky boli publikované hlavne pri modelovaní na polorovine (COMBES akol. [51]), prípadne v geometrii typu Laughlinovho pásu, kde pás je vytváranýpomocou potenciálnych bariér (FERRARI a MACRIS [52]).

V týchto modeloch sacasto stretávame s problematikou spojitého spektra sa-mozdružených operátorov.

S týmto problémom sme sa stretli aj v prípade operátoru rýchlosti v1 – pozripoznámku 13 na str. 13. Operátor rýchlosti hrá úlohu urcenia prúdu tecúceho vzor-kou. Vo väcšine experimentov sa prúdI tecúci vzorkou udržiava konštantným amerajú sa príslušné napätia na vzorke.

Experimetnálne zistenia o nehomogénnom Hallovom poli (pozri M CCORMICK

a kol. [5], resp. WEITZ a kol. [4]) potvrdzujú námietky JOHNSTONA a SCHWEITZ-ERA (pozri [42]), že elektrické poleE2 nie je možné považovat’ za homogénneadhoc.

Možné riešenie urcenia Hallovho pol’a sme naznacili v poznámke 17 na strane296. v každom prípade sa ukazuje byt’ závažným urcenie vlastností operátoru rých-losti v1 (jeho pomocou je možné definovat’ vhodný operátor toku).

Podl’a nášho názoru úlohu elektrického pol’aE2 pre plyn neinteragujúcichelektrónov možné chápat’ korektne jedine ako vonkajšie elektrické pole. Toto elek-trické pole je vhodné pre riadenie elektrického prúdu vo vzorke, nakol’ko generujeprúd v uzavretom prstenci, ako sme to ukázali pri exaktnom riešení (pozri po-známku 19 na strane 300). Takéto usporiadanie s riadením prúdu v supravodivejvzorke pomocou pol’a kolmého na smer vodivosti (E2 je kolmý na smer v kto-rom môže tiect’ uzavretý prúd), je vhodné pre korektné fyzikálne modelovanie, alepripúšt’a aj experimentálnu realizáciu.

Problematika vyšetrovania spojitého spektra samozdružených operátorov (prí-padných rezonancií) je evidentne spojená s reálnymi geometrickými usporiada-niami experimentu kvantového Hallovho javu.

Pod’akovanie

Táto práca by nemohla byt’ prezentovaná v uvedenej podobe bez financnej podporyprojektov CGA 4/V/2004 a KEGA 03/3182/05, zaco patrí naše pod’akovanie.


Literatúra

[1] T.Ando H.Aoki. Effect of localization on the hall conductivity in thetwo-dimensional system in strong magnetic fields.Solid State Commun.,38:1079–1082, 1981.

[2] R.B.Laughlin. Quantized hall conductivity in two dimensions. Physical Re-view B, 23(10):5632–5633, May 1981.

[3] B.I.Halperin. Quantized hall conductance, current-carrying edge states, andthe existence of extended states in a two-dimensional disordered potencial.Phys.Rev.B, 25:2185–2190, 1982.

[4] J.Weis K.von Klitzing K.Eberl P.Weitz, E.Ahlswede. Hall-potential investiga-tion under quantum hall conditions using scanning force microscopy.PhysicaE, 6:247–250, 2000.

[5] M.Huang M.Wu P.L.McEuen K.L.McCormick, M.T.Woodside.Scanned po-tential microscopy of edge and bulk currents in the quantum hall regions.Phys.Rev.B, 59(7):4654–4657, February 1999.

[6] W.E.Howard P.J.Stiles A.B.Fowler, F.F.Fang. Magneto-oscillatory conduc-tance in silicon surfaces.Phys.Rev.Lett., 16(20):901–903, May 1966.

[7] Klaus von Klitzing.Nobel Lectures in Physics 1981-1990, chapter The Quan-tized Hall Effect, pages 316–342. World Scientific Publishing Co., 1993.ISBN: 9810207298.

[8] N.Hashitsume R.Kubo, S.J.Miyake. In D.Turnball F.Seitz, editor,Solid StatePhysics, volume 17, page 269. Academic Press, New York, 1965.

[9] J.Hove F.A.Maaø A.Hansen, E.H.Hauge.Annual reviews of ComputationalPhysics, volume 5, chapter Criticality in the Integer Quantum Hall Effect.World Scientific, Singapore, 1997.

[10] J.Wakabayashi S.Kawaji, T.Igarashi.Progr.in Theoretical Physics, 57:176,1975.

[11] R.B.Laughlin. In H.Heinrich G.Bauer, F.Kuchar, editor, Springer Series inSolid State Sciences, volume 53, page 272. Springer Verlag, 1984.

[12] R.E.Prange.Physical Review B, 38:1079, 1981.

[13] J.T.Chalker.J.Phys.C, 16:4297, 1983.


[14] W.Brenig. Z.Phys., 50B:305, 1983.

[15] H.L.Störmer. Nobel Lectures in Physics 1996-2000, chapter The FractionalQuantum Hall Effect, pages 295–325. World Scientific Publishing Co., 2003.ISBN: 9812380035.

[16] Fukuyama.Sold State Commun., 19:551, 1976.

[17] P.W.Anderson H.Fukuyama, P.M.PLatzman.Phys.Rev.B, 19:5211, 1979.

[18] M.Tsukada.J.Phys.Soc.Japan, 42:391, 1977.

[19] B.Kramer A.Mac Kinnon, L.Schweitzer.Surf.Sci., 142:189, 1984.

[20] T.Ando. J.Phys.Soc.Jpn., 52:1740, 1983.

[21] A.Mac Kinnon L.Schweitzer, B.Kramer.J.Phys.C, 17:4111, 1984.

[22] T.Ando H.Aoki. Physical Review Letter, 54:831, 1985.

[23] L.Schweitzer R.Johnston. An alternative model for thequantum-hall-effect.Zeitschrift für Physik B - Condensed Matter, 72:217–224, 1988.

[24] C.Probst K.Ploog G.Ebert, K.von Klitzing.Solid State Commun., 44:95,1982.

[25] K.von Klitzing B.Tausendfreund.Surf.Science, 142:220, 1984.

[26] K.von Klitzing G.Ebert.J.Phys C, 16:5441, 1983.

[27] B.F.Field E.R.Williams S.M.Girvin A.C.Gossard D.C.Tsui R.J.WagnerM.E.Cage, R.F.Dziuba.Physical Review Letters, 51:1374, 1983.

[28] G.Weimann H.Burkhand F.Kuchar, G.Bauer.Surf.Science, 142:196, 1984.

[29] D.C.Tsui J.c.M.Hwang H.L.Störmer, A.M.Chang.Proc. 17th ICPS, SanFrancisco, 1984.

[30] J.Yoshino S.P.Svensson Y.Sekiguchi T.Hotta S.NishiiH.Sakaki, K.Hirakawa.Surf.Science, 142:306, 1984.

[31] N.Kleinmichel H.Obloh G.Dorda G.Weimann K.von Klitzing, G.Ebert.Proc.17th ICPS, San Francisco, 1984.

[32] G.Weimann H.Burkhard F.Kuchar, R.Meisels.Proc.17th ICPS, San Fran-cisco, 1984.


[33] S.G.Semenchinsky V.M.Pudalov.Solid State Commun., 51:19, 1984.

[34] D.C.Tsui. Nobel Lectures in Physics 1996-2000, chapter Interplay of Dis-order and Interaction in Two-dimensional Electron Gas in Intense Magne-tic Fields, pages 330–339. World Scientific Publishing Co.,2003. ISBN:9812380035.

[35] M.Nagata T.Okamoto T.Fukase T.Gotoh S.Kawaji, K.Hirakawa. Breakdownof the quantum hall effect in gaas/algaas heterostructuresdue to current.J.ofPhys.Soc.Jap., 63(6):2303–2313, 1994.

[36] M.Büttiker. 4-terminal phase-coherent conductance.Physical Review Letters,57(14):1761–1764, 1986.

[37] J.Formánek.Úvod do kvantové teorie. Academia, Praha, 1983.

[38] I.S.Gradshteyn; I.M.Ryzhik.Table of Integrals, Series and Products. Acade-mic Press, New York, 6-th edition, 2000.

[39] I.Stegun M.Abramowitz.Handbook of Mathematical Functions with Formu-las, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications, Inc., New York,1972.

[40] M.Havlícek J.Blank, P.Exner.Lineární operátory v kvantové fyzice. Univer-zita Karlova, Praha, 1993.

[41] A.Messiah.Quantum Mechanics - Two volumes in one. Dover Publications,Inc., Mineola, 1999.

[42] L.Schweitzer R.Johnston. On the relationship of the drift-currents and thepotential changes to the quantum hall effect.Zeitschrift für Physik B - Con-densed Matter, 70:25, 1988.

[43] K.von Klitzing J.Weis, Y.Y.Wei. Probing the depletionregion of a two-dimensional electron system in high magnetic fields.Physica B, 256-258:1–7,1998.

[44] P.Šeba. Singular potentials in quantum mechanics: an example preprint. pre-print NC/TF/84, 1984.

[45] A.Teleki. Využitie samozdružených rozšírení symetrických operátorov vofyzike – vibracné spektrum trojatómových molekúl typu X2Y. In 1. Ve-decká konferencia doktorandov, volume Prírodovedec 50, pages 111–121.FPV UKF v Nitre, Nitra, 2000.


[46] J.V. Pulè T.C.Dorlas, N. Macris. Localisation in a single-band approximationto random schrödinger operators in a magnetic field.Helv.Phys.Acta, 65:330–365, 1995.

[47] J.V. Pulè T.C.Dorlas, N. Macris. Localization in single landau bands.J.Math.Phys., 37:1574–1595, 1996.

[48] J.V. Pulè T.C.Dorlas, N. Macris. The nature of the súectrum for a landauhamiltonian with delta impurities.J.Stat.Phys., 87:847–875, 1997.

[49] P.D.Hislop J.M.Combes. Landau hamiltonians with random potentials: local-ization and the density of states.Commun.Math.Phys., 177:603–629, 1996.

[50] A.Klein F.Germinet. Explicit finite volume criteria for localization in contin-uous random media and applications. preprint mp-arc/02-375, 2002.

[51] E.Soccorsi J.M.Combes, P.D.Hislop. Edge states for quantum hall hamilton-ians. preprint mp-arc/02-172, 2002.

[52] N.Macris C.Ferrari. Extended edge states in finite hallsystems.Journal ofMathematical Physics, 44(9):3734–3751, September 2003.

CoPhysInternational Physics Workshop 2006(for Departments of Physics of European Universities Collaborating in Science)by (in alphabetical order)AHMED Mustafa M. Abdalla, AUBRECHT Vladimír, BARTLOVÁ Milada,BŁASIAK Władysław, FARKAS Zsuzsa, HAVEL Václav, HOLUBOVÁ Renata,HORVÁTH Zoltán, HORVÁTHOVÁ Daniela, KAINZOVÁ Veronika, KECSKÉS Arpád,KEKULE Martina, KHEILOVÁ Milena, KLUVANEC Daniel, LACSNÝ Boris,MEDVED Igor, NÁNAI László, RAKOVSKÁ Mária, SZENTESI Dániel, TAFTGreg J.,TELEKI Aba, TOMÁNEK Pavel, TÓTH Gábor, VALOVICOVÁ L’ubomíra,VOZÁR Libor, ZELENICKÝ L’ubomír, ŠTUBNA Igor and ŽÁK VojtechPublished by the Constantine the Philosopher UniversityNitra 2007Technical Editor: TELEKI AbaCD designed by LACSNÝ BorisPublished as publication No. 235 in seriesPrírodovedecof the Constantine the PhilosopherUniversityNoncommercial publication

First editionNumber of pages:303TypefaceTimes 11/13pt.SystemLATEX

Address: Constantine the Philosopher UniversityTr. a. Hlinku 1SK-949 74 NitraSlovakiahttp://www.ukf.sk

Published with the help from Constantine the Philosopher University, project no. CGA4/V/2004 andfrom Ministry of Education of Slovak Republic, project no. KEGA 03/3182/05.

ISBN 978-80-8094-084-3

9 7 8 8 0 8 0 9 4 0 8 4 3

http://www.ukf.sk

cophys international physics workshop 2006 - ukf · cophys international physics workshop 2006 (for...

Documents