metodos de conducción de calor bidimensional

7/23/2019 Metodos de Conducción de Calor Bidimensional

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MATURÍN

INGENIERIA INDUSTRIAL

Métodos de transferencia de calor en flujo bidireccional por conducción

BACHILLER:RICHARD MEJÍA

PROFESOR:LUIS CASTILLO

Octubre 2015



INTRODUCCIÓN

La conducción de calor es un mecanismo de transferencia de

energía térmica entre dos sistemas basado en el contacto directode sus partículas sin ujo neto de materia y que tiende a igualar latemperatura dentro de un cuerpo y entre diferentes cuerpos encontacto por medio de ondasLa conducción del calor es muy reducida en el espacio !acío y esnula en el espacio !acío ideal" espacio sin energía

#l principal par$metro dependiente del material que regula laconducción de calor en los materiales es la conducti!idad térmica"una propiedad física que mide la capacidad de conducción de caloro capacidad de una substancia de transferir el mo!imiento cinéticode sus moléculas a sus propias moléculas adyacentes o a otrassubstancias con las que est$ en contacto La in!ersa de la

conducti!idad térmica es la resisti!idad térmica" que es lacapacidad de los materiales para oponerse al paso del calor



%ONDUCCIÓN DE CALOR

BIDIMENSIONAL

La transferencia de calor en estado estacionarioen sistemas en que los gradientes detemperatura y $rea podían e&presarse entérminos de una coordenada espacial '(oradeseamos anali)ar el caso m$s general del ujo

de calor bidimensional



EL MODELO DE CONDUCCIÓNBIDIMENSIONAL

%onsiderando una sección de unsólido

*ujeto a dos temperaturas +1 y +2

y

+1 +2 ,+1 isoterma

&

-étodos

.1/ 'nalítico *eparación de!ariables

.2/ r$co

./ 3umérico

.a/ 4iferencias nitas

.b/ #l elemento nito .c/ #lemento en lafrontera

xQ"

•

yQ"•

"•

Q

0

"""

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+=

•••

y

T

x

T

Q jQiQ y x



AN!LISIS GR!FICO DE CONDUCCIÓNDE CALOR BIDIMENSIONAL

4ebido a las geometrías irregulares asociadas conproblemas especícos y debido a la imposición de ciertascondiciones en la frontera" resulta con frecuencia muy difícil" oimposible" encontrar una solución analítica a los problemas-uc(as !eces se puede llegar a una solución apro&imada atra!és de medios gr$cos #sto es particularmente cierto si las

fronteras del cuerpo en cuestión incluyen segmentos que sonisotérmicos




#n realidad" para obtener una solución gr$ca" quien

est$ resol!iendo un problema de este tipo necesitacierta !isión" que sólo se consigue a tra!és de unae&posición e&tensi!a a problemas de conducción decalor #l trabajo de establecer una solución es algunaforma de arte" y el estudiante que principia no

debe esperar resultados inmediatos de este tipo deenfoque




6ara generar una solución gr$ca" se crea una red de cuadroscur!ilíneos" dibujando líneas isotermas y de ujo de calor de acuerdo a

los lineamientos siguientes7*iempre se dibujan líneas de ujo de calor perpendiculares a lasisotermas y a las fronteras isotermas" y bisectan el $ngulo en unaesquina donde dos fronteras isotermas se interceptan8Las isotermas corren perpendiculares a supercies aisladasLas diagonales de un cuadrado cur!ilíneo se interceptan en $ngulos

rectos +odos los lados de un cuadrado cur!ilíneo tiene apro&imadamente lamisma longitud" aun cuando un cuadrado cur!ilíneo puede ser mayor omenor que otro



MÉTODO GR!FICO

.1/ 9denticar las líneas rele!antes de simetría

a :y b;i

:&

:+ j

c d

+1 +2

.2/ Las líneas de simetría son adiab$ticas" no(ay

ujo de calor a tra!és de ellas

./ Líneas isotermas son perpendiculares a las

adiab$ticas

.</ *e forman cuadrados cur!ilíneos

canal del longitud l Tempde sincremento N

formade Factor S

N

Ml S T Sk T k

N

Ml Q

T N T T

x

T

l yk x

T

kAQ

asociadaslíneas M QQ

bd ac y

cd ab x

j

N

j

j

j j

ii

M

i

i

→→→

=∆=∆≈

∆=∆=∆∆

∆

∆≈∆

∆

≈

→=

+≡∆≈

+≡∆

−−

•=

−

•=

••

∑

∑

;.

).(

;

22

2121

1

21

1



MÉTODO GR!FICO: FACTOR DEFORMA

#n general la resistencia térmica es7

P"#$%&'( 4eterminar =*> para7 .a/6ared

plana" c$scara cilíndrica y una esfera(ueca

?P("&) *%(+(

@ C,-.("( ./%0+)"/.(

L

E-1&"( 23&.(

r2 r1

b/ Ana esfera térmica diam =4> enterrada

en un medio innitomedio @" +2

+1 4

)2(

)2(

1;

1

Dtcond

Dtcond

t

kRS

Sk R

RT T kS Q

==

∆=∆=•

AS

kA

Rt == ;

=

=

1

2ln

2;

2

2

1ln

r

r

S

k

r

r

t R

π

π

−

=

−=

21

21 11

4;

11

4

1

r r

S r r k

Rt

π

π

r Q•

( ) DS T T D

k Q

T T D

k

Q

r k

Q

dT r

dr

k

Q

dr

dT r k Q

r

r

D

r

D

T

T

r

r

π π

π π

π

π

2;2

4

2

0

4

1

4

4

)4(

21

12

2

22

2

2

1

=−

=

−=

−−=

=

−=

•

•∞•

∞•

•

∫ ∫



SOLUCIÓN ANALÍTICA PARACONDUCCIÓN DE CALOR BIDIMENSIONAL

6ara poder obtener una solución analítica a losproblemas de conducción de calor bidimensional"se requiere la introducción del concepto de unae&pansión en serie de Bourier de una función"digamos f.&/ 4urante la solución de un problema

de conducción de calor bidimensional" se llega acierto punto en que aparecen términos seno ycoseno en el lado de la derec(a de un signo deigualdad" y f.&/ aparece en el lado i)quierdo del

mismo signo de igualdad



SOLUCIÓN ANALÍTICA PARACONDUCCIÓN DE CALOR

BIDIMENSIONAL

*e dice que una función seccionalmente continua"uni!aluada" nita" y que posee un nCmero nito de

m$&imos y mínimos en un inter!alo dado" es unafunción seccionalmente rectangular *i f.&/ esseccionalmente regular" sobre un inter!alo .?L" L/"entonces se puede e&pandir en una serie de senos ycosenos de forma



MÉTODO ANALÍTICOSEPARACIÓN DE VARIABLES

+omando un elemento rectangularcomo7

y +2 DE1 +2 F +1

+1 G +1

L

+1 DE0 &

*e puede separar si ambas partes son9guales a la misma constante

*i D.0"y/ E 0H %1 E 0H %on7 D.&"0/ E 0

9ndica que se debe eliminar ladependencia

de & no es por a(í la solución2

2

2

2

2

2

2

2

12

1

11

)().(),(:11),(0),(

0)0,(0),0(.

0;

dy

! d

! dx

" d

"

y! x " y xasume se# x y

x y frontera$ y xT T

T T

=−

=

→==

==

=∂

∂+

∂

∂

−

−=

θ

θ θ θ

θ θ

θ θ θ

)()(

0

0

4321

432

2

2

212

2

2

y y

y y

$ $ xSen$ x$os$

$ $ ! ydy

! d

xSen$ x$os$ " xdx

" d

λ λ

λ λ

λ λ θ

λ

λ λ λ

++=

+==+

+==+

−

−

0

0)(

2

43432

=

−=⇒=+

$ y

$ $ $ $ xSen$ λ

∴



*i D.L"y/ E 0

%ombinando %tes y reconociendo que la

nue!a %te depende de los !alores de =n>

7

*i D.&"G/ E 1

*i f.&/ puede ser e&presada en términos deuna

serie innita de funciones ortogonales

0)(42

=− − y y Sen$ $ λ λ λ

)(

,...3,2,1,0

42

yn

yn

xnSen$ $

n

n Sen

satisfacen%uediscretos&alores

π π π

θ

π λ λ

λ

−

−=

==⇒=

→

ynSen'

xnSen$ y x

lineal es sistemaSi

ynSen'

xnSen$ y x

n

n

n

π π θ

π π θ

∑∞

=

=

=

1

),(

),(

x para sortogonale son

xn$os y

xnSen

nmdx x g x g

sib xaen si sortogonaleSon

x g x g x g

# nSen'

xnSen$ # x

n

b

a m

n

n

n

≤≤

∴≠=≤≤

==

∫

∑∞

=

0

;0)()(

)()...().(

1),(

21

1

π π

π π θ

∑∞

=

=1

)()(n

nn x g A x f




'n en esta serie se puede determinar

-ultiplicando cada lado de la ecuaciónpor

gn .&/ e integrando de a H b

'lgunos términos de la derec(a puedenser

%ero

I.&"G/ E 1" se puede escoger como7 f.&/E 1 y

#ntonces7

∫ ∑∫ ∞

=

= b

a n

n

nn

b

a n dx x g A x g dx x g x f )()()()(

1

∫

∫ ∫ ∫

=

=

b

a n

b

a n

n

b

a n

b

a nn

dx x g

dx x g x f A

dx x g Adx x g x f

)(

)()(

)()()(

2

2

)()(

xnSen x g n

π =

( )[ ]

)(

)(1)1(2

),(

,....3,2,1;

.

112

)1(21

)(

)1(2

1

1

1

1

1

1

0

2

0

y

# nSen'

y

ynSen'

xnSen

n y x

n

# nSen'n

$

Fourier (or

xnSen

n

tiene se x f de y

ndx

xnSen

dx xnSen

A

n

n

n

n

n

n

n

n

π

π

π

π θ

π π

π

π

π π

π

+−

=

=

+−=

−

=

−=

=

∑

∑

∫

∫

∞

=

+

+

∞

=

+

+




MÉTODOS NUMÉRICOS ENCONDUCCIÓN DE CALOR

#l uso de los métodos numéricos para resol!erproblemas de transferencia de calor" resulta de la

complejidad de las soluciones asociadas a losproblemas pr$cticos de ingeniería %on frecuencia"las soluciones analíticas son imposibles Losfactores que conducen al uso de los métodosnuméricos son la geometría compleja" condiciones

en la frontera no uniformes" condiciones en lafrontera que dependen del tiempo" y propiedadesque dependen de la temperatura



MÉTODOS NUMÉRICOS EN

CONDUCCIÓN DE CALOR

#n algunos casos" es posible conseguir

soluciones analíticas" en principio" pero puedeser muc(o m$s difícil la mec$nica que serequiere para obtener la solución" que la tarearequerida para resol!er el problemanuméricamente 6or ejemplo" en el caso de un

cuerpo compuesto por !arias capas demateriales que e&perimentan un proceso detransferencia de calor transitorio" resultarelati!amente f$cil establecer las ecuaciones

diferenciales

metodos de conducción de calor bidimensional

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