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CÍRCULO DE MOHR PARA DEFORMACIÓN

UDA 6. Análisis de esfuerzos y deformación

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DEFORMACIÓN PLANA

Las deformaciones normal y cortante en un punto de un cuerpo varían con la

dirección, en forma análoga a la de los esfuerzos

En el plano xy pueden ocurrir tres componentes de deformación: la deformación

normal , y la deformación por cortante . Un elemento sometido a estas

deformaciones está en estado de deformación plana, y está definida por las

siguientes condiciones:

x y xy

000 yzxzz



El incremento total en la longitud de la diagonal es:

La deformación normal , es igual al incremento en longitud, dividido entre la

longitud inicial de la diagonal ds, y como y , la deformación

plana será:

coscos dysendydxd xyyx

1x

cos/ dsdx sendsdy /

coscos 22

1sensen xyyxx

Para la deformación normal , se sustituye por .

1y 90

Las deformaciones , y en el plano xy producen un alargamiento del

elemento en la dirección x igual a , en y igual a y un acortamiento del

ángulo entre las caras x y y igual a .

x y xy

dxx dyy

xy



Suponiendo que la línea Oa representa una línea en el material que

inicialmente estaba a lo largo del eje x1, y la línea Ob a lo largo del eje y1, las

deformaciones ocasionan que estas líneas giren un ángulo en sentido antihorario, y

un ángulo en sentido horario, respectivamente.

La deformación angular es igual a la reducción total en el ángulo de las líneas que

inicialmente formaban un ángulo recto:

11yx

11yx

donde los ángulos y son:

2cos)( sensen xyyx

2coscos)( xyyx sen



por lo tanto, la deformación angular resulta la siguiente:

)(cos2

cos)(2

2211

sensenxy

yx

yx

Las ecuaciones de transformación para deformación plana, en términos del

ángulo 2, se obtienen sustituyendo identidades trigonométricas y son:

22

2cos221

senxyyxyx

x

2cos2

222

11 xyyxyxsen



CÍRCULO DE MOHR



El centro del círculo está en

El punto A representa las deformaciones asociadas con la dirección x (=0).

La deformación lineal máxima es 1, y la mínima es 2. Los sentidos de las

deformaciones lineales coinciden con los sentidos de los esfuerzos principales.

Como puede deducirse del círculo, la expresión analítica para las deformaciones

principales es:

donde el signo positivo antes del radical corresponde a 1 (deformación principal

máxima), el signo negativo a 2 (deformación principal mínima).

Los planos en que actúan las deformaciones principales se pueden definir

analíticamente a partir de la siguiente ecuación igualándola a cero:

2

yx

22

2222,1

xyyxyx

2cos2

222

11 xyyxyxsen



Por lo tanto:

yx

xy

12tan

La mayor deformación por corte máx es igual a dos veces el radio del círculo, por

lo tanto:

La deformación angular mínima tiene la misma magnitud pero es negativa.

La suma de las deformaciones lineales en dos direcciones mutuamente

perpendiculares es invariante, esto es, 1 + 2 = x + y = cte.

22

222

xyyxmáx



Ejemplo:

Un elemento sometido a deformación plana, tiene las siguientes deformaciones:

x= 340x10-6, y= 110x10-6, xy = 180x10-6

Calcular:

(a) Las deformaciones para un elemento girado 30°

(b) Las deformaciones principales

(c) Las deformaciones angulares máximas

Considerar únicamente las deformaciones en el plano-



Ejemplo:

Un elemento sometido a deformación plana, tiene las siguientes deformaciones:

x= 340x10-6, y= 110x10-6, xy = 180x10-6

Calcular:

(a) Las deformaciones para un elemento girado 30°

(b) Las deformaciones principales


Considerar únicamente las deformaciones en el plano-

6

66666

10360

602

10180º60cos

2

1011010340

2

1011010340

22

2cos22

1

1

x

senxxxxx

sen

x

xyyxyx

x

6

6

666

10110

10552

º60cos2

10180º60

2

1011010340

2cos2

222

11

11

11

x

x

xsen

xx

sen

yx

yx

xyyxyx

66 109010)360110340(1

11

11

xxy

xyxy

yxyx

(a)

Como la suma de las deformaciones lineales

en dos direcciones perpendiculares es

constante:



6

2

6

1

66

26

26666

2,1

22

2,1

107910371

10146102252

10180

2

1011010340

2

1011010340

222

xx

xxxxxxx

xyyxyx

6

6

22

10292

10146222

x

x

máx

xyyxmáx

(b) Las deformaciones principales son:




Ley de Hooke Generalizada



LEY DE HOOKE GENERALIZADA

INTRODUCCIÓN

Cuando un material elástico lineal es cargado axialmente

(unidimensional), el esfuerzo σ se relaciona con la

deformación unitaria ε mediante la propiedad del material:

σ = Eε

conocida como ley de Hooke, donde E es el modulo de

elasticidad del material. Así, para un caso unidimensional sólo

se requiere una propiedad para relacionar el esfuerzo y la

deformación para un material con comportamiento elástico.



INTRODUCCIÓN

Para un caso tridimensional la ley de Hooke establece que

cada componente del tensor de esfuerzo es una funcion lineal

de los componentes del tensor de deformación:



En realidad las ecuaciones anteriores no son una ley pero si una aproximación razonable para muchos materiales sujetos a peque-

ñas deformaciones.

Donde los 36 coeficientes , C11,..….…, C66 son llamados

coeficientes elásticos y caracterizan al material, sin embargo mediante

consideraciones de energía de deformación se demuestra que sólo 21 de

éstas constantes son independientes. Estos coeficientes deben obtenerse en

forma experimental. En general para un cuerpo, éstas dependen de la

temperatura, tiempo y localización.

Materiales que requieren 21 coeficientes elásticos independientes para la

relacion esfuerzo-deformación son llamados Anisotrópicos.



Aplicando la primera ley de la termodinámica, se establece a un solido como VC

sometido a fuerzas externas, en ausencia de flujo de calor y despreciando cambios

en la energía cinética y potencial, se tiene :

δW = δU Donde δW es el trabajo realizado sobre el VC y δU el cambio

en la energía interna del VC.

δW = ∫ (σxδεx + σyδεy + σzδεz + 2σxyδεxy + 2σyzδεyz + 2σzxδεzx ) dV

U = ∫ Uo dV → δUo = ∫ δUodV , con Uo la densidad de energía interna.

De las dos ecuaciones anteriores y la 1ª ley de la Termodinámica se deduce:

δUo = σxδεx + σyδεy + σzδεz + 2σxyδεxy + 2σyzδεyz + 2σzxδεzx ... (1)



Los esfuerzos estan relacionados con los componentes de deformacion, así la

densidad de energia interna puede ser expresada por las componentes del tensor

deformación:

Uo = Uo(εx, εy, εz, εxy, εyz, εzx)

δUo = (∂Uo/∂εx)δεx + (∂Uo/∂εy)δεy + (∂Uo/∂εz)δεz + (∂Uo/∂εxy)δεxy +

(∂Uo/∂εxz)δεxz + (∂Uo/∂εyz)δεyz ... (2)

... (3)

Comparando la ecuacion(2) con la (1) se obtiene:

∂εxy ∂εxz ∂εyz



Comparando las (3) con la ley de Hooke para un material anisotrópico se tiene:

∂Uo/∂εy = σy = C21 εx + C22εy + C23εz + C24γxy + C25γxz + C26γyz

Ahora, aplicando una diferenciación apropiada a las ecuaciones anteriores

Estas ecuaciones muestran que los

coeficientes elásticos Cij = Cji son

simétricos en los subíndices i.j. Por lo

tanto, hay únicamente 21 constantes

diferentes.

... (4)



Uo = ½C11εx² + ½C12εxεy + ... + ½C16εxγyz + ½C12εxεy + ½C22εy² + ... + ½C26εyγyz

+ ½C13εxεz + ......... + ½C16εxγyz + ½C26εyγyz + ...+ ½C66γyz

Resolviendo las ecuaciones (4) se llega a que la densidad de energía de deformación es:

... (5)

Ley de Hooke Generalizada

Dado que las componentes del esfuerzo y de la deformación dependen de la elección

del sistema coordenado, las constantes elásticas también.

Un material isotrópico tiene en un punto dado las mismas propiedades en cualquier

dirección (propiedades son invariantes a una rotación del sistema coordenado).

Si el material es homogéneo entonces sus propiedades son idénticas en cualquier

punto del cuerpo (propiedades son invariantes a una translación del sistema

coordenado).



Para un material elástico isotrópico, la densidad de energía de deformación depende

únicamente de las deformaciones principales:

Uo = ½C11ε1² + ½C12ε1ε2 + ½C13ε1ε3 +½C12ε1ε2 + ½C22ε2² + ½C23ε2ε3 +

+ ½C13ε1ε3 + ½ C23ε2ε3 + ½C33ε3² ... (6)

Por simetría, la dirección de los ejes principales es arbitraria, por lo que :

C11 = C22 = C33 = CI y C12 = C23 = C13 = λ.

Por lo que la densidad de energía de deformación es:

Uo = ½λ ( ε1 + ε2 + ε3 )² + G( ε1² + ε2² + ε3² ) ... (7)

Con G = (CI − λ )/ 2 ; con λ y G llamados los coeficientes elásticos de Lamé.

Mediante el uso de los invariantes de deformación se obtiene la densidad de energía de

deformación expresada en coordenadas cartesianas:

Uo = ½λ ( εx + εy + εz )² + G( εx² + εy² + ε3z² + 2εxy² + 2εxz² + 2εyz² ) ... (8)



Mediante la ecuación (7) y la (3) se llegan alas ecuaciones de la Ley de Hooke

generalizada:

Con υ la relación de Poisson. Se cumplen las siguientes relaciones:



En forma inversa se tiene:



Ley de Hooke De acuerdo con el concepto básico

de la ley de hooke, existe una relación

lineal entre el esfuerzo aplicado y la

deformación unitaria resultante.

Durante este proceso tiene lugar una contracción o una

expansión lateral del cuerpo .

La magnitud de la deformación lateral es formulada analíticamente

usando la razón de Poisson.



Ley Generalizada de Hooke

Si el material en un punto se somete a un estado de esfuerzo triaxial, sx, sy, sz, en el material se desarrollan deformaciones normales

asociadas x, y, z.



Los esfuerzos se pueden relacionar con las deformaciones mediante el principio de superposición, la razón de poisson y la ley de hooke.

Para demostrar cómo se hace esto, primero se considerará la deformación normal del elemento en la dirección x.

Cuando se aplica sx, el elemento de alarga en la dirección x y la deformación ´x en esta dirección es



La aplicación de sy, provoca que el elemento se contraiga con una deformación ´´x en la dirección x. En este caso

Asimismo, la aplicación de sz,

provoca que una contracción

en la dirección x de tal modo que:



Si ahora se aplica un esfuerzo cortante t xy al elemento, observaciones experimentales indican que el material se deformará sólo debido a la

deformación cortante xy; esto es, txy no inducirá otras deformaciones en el material.



Asimismo, tyz y tzx sólo provocarán las deformaciones cortantes yz y zx, respectivamente.

Por consiguiente la ley de Hooke para esfuerzo cortante y deformación cortante se puede escribir como sigue



Esfuerzo Plano Requisitos :

• Cuerpo plano.

• Espesor delgado ( t < Lmin /10 ).

• Sometido a carga plana sobre su borde.

, εz



Tensor de

Esfuerzo

Tensor de

Deformación

Esfuerzo Plano



Deformación Plana Requisitos :

• Cuerpo plano largo.

• Sección transversal uniforme.

• Sometido a carga transversal a lo

largo de toda su longitud axial.



Tensor de Esfuerzo

Tensor de Deformación

Deformación Plana



Si un cuerpo hecho de un material isotrópico linealmente elástico

esta sometido a un cambio de temperatura ΔT junto con los esfuerzos, la ecuaciones de la ley de Hooke generalizada se convierten

Para el caso de materiales isotrópicos un cambio de temperatura no genera deformaciones angulares.



Ejemplo 1:

El estado de deformación en el punto A de la ménsula mostrada en la figura (a) se mide por medio de la roseta de deformación ilustrada en la figura (b). Debido a las

cargas, las lecturas dan a=60(10-6), b=135(10-6) , c=264(10-6).

Determine: 1.- Las deformaciones principales

2.- Los esfuerzos principales



Solución I:

Donde a=0º, b=60º y c=120º

El valor de la deformación unitaria en una dirección con cosenos directores (l, m, n)

respecto al sistema XYZ es : M = l²εx + m²εx + n²εx + lmγxy + lnγxz + mnγxy

* Los cosenos directores para cada dirección son :

εa: (cosθa, senθa, 0) ; εb: (cosθb, senθb, 0) ; εc: (cosθc, senθc, 0)



Utilizando la ec(1) y resolviendo las ecuaciones (2) y (3) simultáneamente,

se obtiene

Las deformaciones principales en el plano se pueden determinar con el círculo de Mohr. El punto de referencia es A(60(10-6), -74.5(10-6)) y el centro C

del círculo, se localiza en prom = 153(10-6).



Las deformaciones Principales en el plano son, por tanto

El radio es:



Aplicando la ley de Hooke generalizada para un estado de

esfuerzo plano.

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente se obtiene



El problema también se puede resolver valiéndose del estado de

deformación dado.

Solución II:

Aplicando la ley de Hooke generalizada en el plano x-y, se obtiene



El esfuerzo cortante se calcula mediante la aplicación de la ley de

Hooke para cortante.



El círculo de Mohr para este estado de esfuerzo plano tiene un

punto de referencia A ( 29.4MPa, -11.46Mpa ) y el centro en

sprom=43.7. El radio se determina a partir del triángulo sombreado

Por consiguiente,



Ejemplo 2:

La barra de cobre mostrada en la figura se somete a una carga uniforme a lo largo de sus bordes como se muestra. Si tiene una longitud a = 300 mm, ancho b = 50 mm y espesor t = 20 mm antes de la aplicación de la carga, determine sus nuevas dimensiones al cabo de la aplicación de la carga. Considere Ecu = 120 GPa, vcu=0.34

x

y



Se ve que la barra esta sometida a un esfuerzo plano. Por la

carga se tiene

Las deformaciones normales asociadas se determinan mediante la ley

generalizada de Hooke

Solución :



Por consiguiente, las nuevas dimensiones de la barra son



Una clase importante de materiales, llamados ortotrópicos, la

madera, plásticos laminados, acero cold rolled, concreto

reforzado, varios materiales compuestos unidireccionales

reforzados con fibras y materiales forjados pueden ser

tratados como ortotrópicos . Los materiales ortotrópicos

tienen tres planos mutuamente perpendiculares de simetría

elástica. Denotaremos con 1, 2 y 3 los ejes principales del

material que son normales a los planos de simetría.

Materiales Ortotrópicos



Por ejemplo, la figura muestra una sección transversal de un árbol, en el

que 1 es el eje a lo largo de las fibras de madera (grano), 2 es el eje

tangencial a los anillos anulares y 3 es el eje a lo largo de la dirección

radial.



La ley de Hooke generalizada, referida al sistema coordenado

1, 2 y 3 puede escribirse como



Donde E1, E2 y E3 son los módulos de Young a lo largo de los ejes

principales del material;

V 12 es la razón de Poisson que caracteriza el decremento en la

dimensión 2 al aplicar una tensión en la dirección 1; V 21 es la

razón de Poisson que caracteriza el decremento en la dirección 1

debido a una tensión aplicada en la dirección 2, etc;

G23, G13, G12 son los módulos cortantes que caracterizan los

cambios en los ángulos entre las direcciones principales 2 y 3,

1 y 3 y 1 y 2, respectivamente.



Esfuerzo Plano

Consideraremos un cuerpo delgado que se encuentra en el plano 1, 2.

En materiales Ortotrópicos



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